›

Khóa luận Phương trình vi phân cấp một và ứng dụng trong vật lý

pdf 48 trang thiennha21 15/04/2022 7031
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Phương trình vi phân cấp một và ứng dụng trong vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_phuong_trinh_vi_phan_cap_mot_va_ung_dung_trong_vat.pdf

Nội dung text: Khóa luận Phương trình vi phân cấp một và ứng dụng trong vật lý

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐOÀN THỊ HIỀN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐOÀN THỊ HIỀN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2017
  3. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật lý, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin trân thành cảm ơn thầy HÀ THANH HÙNG đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luận này. Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc nhƣng ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 27 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Đoàn Thị Hiền
  4. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của thầy HÀ THANH HÙNG cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân em không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 27 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Đoàn Thị Hiền
  5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 NỘI DUNG 4 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 4 1.1. Khái niệm về phƣơng trình vi phân cấp một 4 1.2. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp một 6 1.3. Các dạng phƣơng trình vi phân cấp một thƣờng gặp 8 1.3.1. Phương trình vi phân cấp một, bậc một 8 1.3.2. Phương trình vi phân cấp một, bậc cao 25 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 33 2.1. Ứng dụng của phƣơng trình phân li biến số 33 2.2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một 34 2.3. Ứng dụng của phƣơng trình Becnuly 37 2.4. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
  6. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Dƣới sự phát triển không ngừng của khoa học vào thế kỉ XIX, một số chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khẳng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật lý học và toán học, đó chính là ngành “ Vật lý lý thuyết”. Nó đã diễn tả đƣợc các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học và đời sống cũng nhƣ trong kĩ thuật. Bên cạnh đó nhờ suy luận logic nó còn tìm ra đƣợc những quy luật mới chƣa thể tìm ra bằng thực nghiệm. Sự phát triển của toán học tuy có những bƣớc thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt đƣợc rực rỡ nhất vào thế kỉ XX do sự phát triển của ngành giải tích toán học. Với sự ra đời của ngành giải tích hàm thì những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, khoa học, đƣợc giải quyết nhanh gọn chính xác. Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực nhƣ: các lớp hàm liên tục, khả vi, phƣơng trình vi phân Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng riêng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó, phƣơng trình vi phân là một phần cơ bản của giải tích. Có thể nghiên cứu từng phần để tìm thấy cái hay của môn học này vào trong thực tế cũng nhƣ trong các môn học khoa học khác. Phƣơng trình vi phân có nhiều ứng dụng nhƣ: giải toán dao động lò xo, con lắc đơn, Chính vì thế em đã chọn đề tài: “ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp một trong vật lý. 1
  7. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp một trong vật lý. - Phạm vi nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân cấp một và ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp một trong vật lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về các dạng của phƣơng trình vi phân cấp một. - Sử dụng phƣơng trình vi phân cấp một để xây dựng và giải thích một số bài toán trong vật lý. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp vật lý lý thuyết 6. Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG 1 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1. Khái niệm của phƣơng trình vi phân cấp một 1.2. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp một 1.3. Các dạng phƣơng trình vi phân cấp một thƣờng gặp 1.3.1. Phƣơng trình vi phân cấp một, bậc một 1.3.1.1. Phƣơng trình phân li biến số 1.3.1.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần 1.3.1.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính 1.3.1.4. Phƣơng trình vi phân thuần nhất 1.3.1.5. Phƣơng trình đẳng cấp 1.3.1.6. Phƣơng trình Becnuly 1.3.1.7. Phƣơng trình Miscelaneous 1.3.2. Phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao 1.3.2.1. Phƣơng trình có thể giải ra nghiệm 1.3.2.2. Phƣơng trình có thể giải ra nghiệm 2
  8. 1.3.2.3. Phƣơng trình có thể giải ra nghiệm 1.3.2.4. Phƣơng trình Clairaut’s CHƢƠNG 2 : ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1. Ứng dụng của phƣơng trình phân li biến số 2.2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một 2.3. Ứng dụng của phƣơng trình Becnuly 2.4. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao 3
  9. NỘI DUNG CHƢƠNG 1 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1. Khái niệm về phƣơng trình vi phân cấp một Trong phần này, chúng ta tìm hiểu để chính xác hóa các khái niệm cơ bản của phƣơng trình vi phân. Phƣơng trình vi phân là thuật ngữ dùng để chỉ các phƣơng trình có chứa đạo hàm. Trong toán học, đạo hàm của các hàm nhiều biến nói chung thƣờng tồn tại ở hai dạng là đạo hàm toàn phần và đạo hàm riêng phần. Do vậy, chúng ta dùng thuật ngữ phƣơng trình vi phân thông thƣờng ( ordinary differential equations ( ODEs )) để chỉ các phƣơng trình vi phân không chứa đạo hàm riêng phần. Ở dạng đơn giản nhất các phƣơng trình vi phân thông thƣờng mô tả mối quan hệ giữa một biến phụ thuộc, thƣờng gọi là , và một biến độc lập, thƣờng gọi là . Nghiệm của phƣơng trình vi phân đƣợc tìm dƣới dạng là một hàm của biến độc lập , thƣờng kí hiệu là ( ). Phƣơng trình vi phân đƣợc phân loại thành các dạng khác nhau, dựa vào các đặc tính chung của nó. Một đặc điểm quan trọng thƣờng đƣợc sử dụng để phân loại các phƣơng trình vi phân là cấp ( order ) của phƣơng trình vi phân. Cấp của một phƣơng trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm trong đó có phƣơng trình vi phân ấy. Do đó nếu một phƣơng trình vi phân thông thƣờng ( ODEs ) chỉ chứa mà không có đạo hàm cấp cao hơn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân cấp một. Theo đó, nếu một phƣơng trình vi phân thông thƣờng ( ODEs ) chứa đạo hàm cấp cao nhất là đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân cấp hai. Một đặc điểm khác cũng thƣờng đƣợc sử dụng để phân loại phƣơng trình vi phân là bậc ( dergee ) của phƣơng trình vi phân. Bậc của một phƣơng trình vi phân là mũ của đạo hàm cao nhất có trong phƣơng trình vi phân. Khi xác 4
  10. định bậc của một phƣơng trình vi phân phải chú ý là viết phƣơng trình vi phân ấy dƣới dạng hợp lý, tức là số mũ của các đạo hàm phải là số nguyên. Theo đó, giả sử ta có phƣơng trình vi phân: ( ) Đây là phƣơng trình vi phân cấp ba và bậc hai, bởi vì khi viết dƣới dạng hợp lý hóa, phƣơng trình trên chứa số ( ) . Nghiệm tổng quát (general solutions) của phƣơng trình vi phân là hàm của biến , kí hiệu là ( ), đƣợc xác định bằng các đặc điểm của phƣơng trình vi phân. Nghiệm tổng quát này thông thƣờng chứa các hằng số tích phân, các hằng số tích phân sẽ đƣợc xác định khi chúng ta áp dụng các điều kiện biên cho phƣơng trình vi phân ban đầu. Chẳng hạn với phƣơng trình vi phân cấp một, chúng ta luôn có thể xác định đƣợc hằng số tích phân khi chọn khi . Việc này sẽ khó khăn hơn nếu ta thực hiện với phƣơng trình vi phân cấp , biểu thức nghiệm sẽ chứa hằng số tích phân và để xác định các hằng số tích phân này cần phải điều kiện biên. Khi các hằng số tích phân đƣợc xác định chính xác từ các điều kiện biên và thay vào công thức nghiệm tổng quát, tƣơng ứng chúng ta sẽ có nghiệm cụ thể ( particular solution ) của phƣơng trình vi phân. Một số phƣơng trình vi phân bậc hai trở lên còn có các nghiệm kỳ dị ( singular solutions ), các nghiệm này có dạng khác với nghiệm tổng quát và thƣờng đƣợc tìm ra dựa trên các đặc điểm của từng phƣơng trình vi phân. Phƣơng trình vi phân cấp một có dạng tổng quát ( ) (1) trong đó hàm đƣợc xác định trong miền hoặc từ (1) ta giải ra đƣợc 5
  11. ( ) hay ( ) Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm. Ta cũng có thể viết phƣơng trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm dƣới dạng: ( ) ( ) 1.2. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân cấp một Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân thông thƣờng (ODEs) đƣợc đƣa ra dƣới dạng: ( ) Trong đó, mỗi bộ số ̅̅ ̅̅ ̅ cho ta một nghiệm riêng của phƣơng trình vi phân. Việc biết trƣớc nghiệm tổng quát rất quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn bản chất của các phƣơng trình vi phân. Chẳng hạn, chúng ta có nghiệm tổng quát của một phƣơng trình vi phân: ở đây hệ số chỉ có và , tức là n=2 Phƣơng trình vi phân sẽ đƣợc chúng ta tìm ngƣợc bằng cách lấy đạo hàm cấp một và cấp hai của y. { Do đó, nghiệm tổng quát trên là của phƣơng trình vi phân cấp 2 6
  12. Một cách trực quan, nghiệm của phƣơng trình vi phân cấp n sẽ chứa n tham số độc lập. Để tìm nghiệm chính xác của phƣơng trình vi phân cấp n, chúng ta cần n phƣơng trình mô tả mối liên hệ giữa đạo hàm các cấp của hàm cần tìm với biến số độc lập x. Điều này liên quan đến các ảnh hƣởng bên ngoài tác động lên hệ mà chúng ta xét, hay nói cách khác là các điều kiện biên. Phƣơng trình vi phân cấp n sẽ có nghiệm cụ thể nếu chúng ta có n điều kiện biên. Các điều kiện biên này có nhiều các xác định khác nhau: i) Xác định giá trị của y tại n giá trị khác nhau của x, ii) xác định giá trị của y cùng với giá trị của (n-1) đạo hàm trong số n đạo hàm ( ) tại cùng một giá trị của x, iii) Tập hợp n điều kiện khác nhau trong số các dạng điều kiện ở i) và ii). Với phƣơng trình vi phân cấp một, thì nghiệm tổng quát có dạng đơn giản hơn: ( ) phụ thuộc vào một hằng số tùy ý C và thỏa mãn các điều kiện sau đây:  Có nghiệm đúng phƣơng trình vi phân với mọi giá trị cụ thể của hằng số C.  Với bất kỳ điều kiện ban đầu nào ( khi , tức ( ) ), ta cũng có thể tìm đƣợc giá trị sao cho hàm số ( ) thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trƣớc ấy. Ở đây ta phải giả thiết rằng các giá trị và thuộc về miền biến thiên của các biến và , trong đó điều kiện của định lý tồn tại duy nhất của nghiệm đƣợc thỏa mãn. Nghiệm của phƣơng trình vi phân cấp một xác định đơn giản hơn, bởi vì chỉ cần một điều kiện biên. 7
  13. 1.3. Các dạng phƣơng trình vi phân cấp một thƣờng gặp 1.3.1. Phương trình vi phân cấp một, bậc một Phƣơng trình vi phân cấp một, bậc một là phƣơng trình chỉ chứa bậc một của vi phân cấp một . Phƣơng trình vi phân loại này thƣờng đƣợc viết ở hai dạng: ( ) hoặc ( ) ( ) Trong đó ( ) ( ) ( ) là các hàm của cả hai biến x và y. Hai dạng trên của phƣơng trình đƣợc coi là tƣơng đƣơng nếu ta đặt ( ) ( ) . Với các cách viết này, các phƣơng trình vi phân cấp một, bậc một ( ) đƣợc dùng để mô tả rất tốt các hệ vật lý, đồng thời cũng giúp cho việc tìm nghiệm thuận lợi và dễ dàng hơn. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số trƣờng hợp nhƣ vậy. 1.3.1.1. Phương trình phân li biến số Định nghĩa Phƣơng trình phân li biến số có dạng: ( ) ( ) (1.1) trong đó vế phải là tích của một hàm số chỉ phụ thuộc với một hàm số chỉ phụ thuộc . Cách giải Giả sử ( ) , ta có thể viết lại (1.1) dƣới dạng: ( ) (1.2) ( ) Lấy tích phân 2 vế của phƣơng trình ta đƣợc: 8
  14. ∫ ∫ ( ) ( ) Từ đó,chúng ta có thể tìm đƣợc sự phụ thuộc của hàm y theo biến số x Ví dụ Giải phƣơng trình : (1.3) Vế phải của phƣơng trình (1.3) có thể tách thành ( ), ta có thể viết lại dƣới dạng (1.4) Lấy tích phân 2 vế phƣơng trình (1.4) ta đƣợc: ∫ ∫ tức là ( ) hay ( ) ( ) ở đây và là các hằng số bất kỳ sẽ đƣợc xác định từ điều kiện biên của hệ vật lý mà chúng ta đang mô tả. 1.3.1.2. Phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa Phƣơng trình ( ) ( ) (2.1) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân toàn phần nếu ( ) và ( ) là những hàm số liên tục, khả vi, thỏa mãn hệ thức : 9
  15. (2.2) trong đó và là liên tục trong một miền nào đó. Cách giải Chứng minh rằng vế trái của (2.1) là một phƣơng trình vi phân toàn phần thì điều kiện (2.2) đƣợc thỏa mãn, và ngƣợc lại, nếu điều kiện (2.2) đƣợc thỏa mãn thì vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của hàm số ( ) nào đó, nghĩa là phƣơng trình (2.1) có dạng ( ) và do đó tích phân tổng quát của nó là ( ) giả sử rằng vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( ) nào đó, tức là ( ) ( ) khi đó (2.3) ( ) ( ) Lấy vi phân hệ thức thứ nhất theo , hệ thức thứ hai theo , ta đƣợc Giả sử các đạo hàm hạng hai liên tục thì ta có: nghĩa là đẳng thức (2.2) là điều kiện cần để cho vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( ). 10
  16. Chứng minh rằng đẳng thức (2.2) là điều kiện đủ để cho vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( ), nghĩa là nếu đẳng thức (2.2) đƣợc thỏa mãn thì vế trái của (2.1) là vi phân toàn phần của một hàm số ( )nào đó. Từ hệ thức ( ) ta có ∫ ( ) ( ) trong đó , là hoành độ của một điểm tùy ý trong miền tồn tại của nghiệm. Khi lấy tích phân theo , ta xem là hằng số và vì vậy hằng số tích phân tùy ý có thể phụ thuộc . Ta chọn hàm số ( ) sao cho hệ thức thứ hai trong (2.3) đƣợc thỏa mãn. Muốn vậy, ta lấy vi phân hai vế của đẳng thức sau cùng này theo và kết quả có đƣợc bằng ( ): ∫ ( ) ( ) Vì nên ta có thể viết: ∫ ( ) | ( ) ( ) tức là ; hay ( ) ( ) ( ) ( ) do đó ( ) ( ) 11
  17. hay ( ) ∫ ( ) Nhƣ vậy, hàm số ( )sẽ có dạng ∫ ( ) ∫ ( ) Ví dụ Giải phƣơng trình Đặt khi đó điều kiện (2.2) đƣợc thỏa mãn với . Nhƣ vậy vế trái của phƣơng trình đã cho là vi phân toàn phần của một hàm số chƣa biết ( ) nào đó. Vì cho nên ∫ ( ) ( ) trong đó ( ) là một hàm số của chƣa đƣợc xác định. Lấy vi phân hệ thức trên theo và chú ý rằng 12
  18. ta đƣợc ( ) do đó ( ) ( ) ( ) Tích phân tổng quát của phƣơng trình đã cho là Hằng số tích phân sẽ đƣợc xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. 1.3.1.3. Phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một là phƣơng trình có dạng: (3.1) ( ) ( ) trong đó ( ) và ( ) là những hàm số liên tục của ( hoặc là hằng số ). Cách giải Tìm nghiệm của phƣơng trình (3.1) dƣới dạng tích của hai hàm số của ( ) ( ) (3.2) Một trong hai hàm số này có thể lấy tùy ý, hàm số kia sẽ đƣợc xác định dựa trên phƣơng trình (3.1). Lấy vi phân hai vế của (3.2), ta có Thay vào (3.1) ta có 13
  19. hay (3.3) ( ) Ta chọn hàm số sao cho (3.4) Phân li biến số trong phƣơng trình vi phân (3.4) với hàm số , ta đƣợc Lấy tích phân ∫ ∫ hay Vì ta chỉ cần tìm một nghiệm nào đó khác không của phƣơng trình (3.4), nên ta lấy hàm số ( ) bằng : ( ) ∫ trong đó ∫ là một nguyên hàm tùy ý. Vì ( ) và , từ (3.3) ta đƣợc ( ) ( ) hay ( ) ( ) do đó ( ) ∫ ( ) Thay vào (3.2) cuối cùng ta đƣợc 14
  20. ( ) ( ) *∫ + ( ) hay ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Ví dụ Giải phƣơng trình ( ) (3.5) Đặt khi đó (3.6) Thay (3.6) vào phƣơng trình (3.5) ta đƣợc ( ) (3.7) ( ) ( ) Ta có phƣơng trình để xác định : tức là do đó ( ) ( ) Thay biểu thức của vào (3.7), ta có phƣơng trình xác định của u : ( ) ( ) 15
  21. ( ) Nhƣ vậy, tích phân tổng quát của phƣơng trình đã cho có dạng ( ) ( ) Họ có đƣợc là nghiệm tổng quát. Với bất kì điều kiện ban đầu ( ) nào cho trƣớc, trong đó , bao giờ ta cũng có thể chọn sao cho nghiệm riêng tƣơng ứng thỏa mãn điều kiện ban đầu ấy. Thí dụ, nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện khi , có thể tìm đƣợc nhƣ sau ( ) ( ) Nghiệm riêng phải tìm là: ( ) ( ) 1.3.1.4. Phương trình vi phân thuần nhất Định nghĩa Hàm số ( ) đƣợc gọi là thuần nhất bậc nếu với mọi ta có: ( ) ( ) Phƣơng trình vi phân thuần nhất là phƣơng trình có dạng ( ) (4.1) trong đó ( ) liên tục và là hàm thuần nhất bậc không. Cách giải Theo giả thiết ( ) ( ) 16
  22. Đặt Ta đƣợc ( ) ( ) Khi đó phƣơng trình (4.1) có dạng ( ) Đặt , ta có Do đó ( ) Đây là phƣơng trình vi phân với biến số phân li đƣợc ( ) hay ( ) Lấy tích phân ∫ ∫ ( ) Ví dụ Giải phƣơng trình (4.2) Đặt , khi đó 17
  23. Nên Phân li biến số, ta đƣợc ( ) ( ) Lấy tích phân | | | | | | hay | | với là hằng số bất kì và nó có thể đƣợc xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. 1.3.1.5. Phương trình vi phân đẳng cấp Định nghĩa Phƣơng trình vi phân đẳng cấp là suy rộng của phƣơng trình vi phân thuần nhất và nó có dạng ( ) (5.1) ( ) ở đây phƣơng trình thống nhất theo số chiều nếu và đƣợc cho bởi trọng số , còn và đƣợc quy ƣớc trọng số là 1. Bằng cách quy ƣớc nhƣ vậy, thì nếu thế ta đƣợc phƣơng trình phân li. 18
  24. Cách giải Đƣa phƣơng trình (5.1) về dạng ( ) ( ) Cho và có trọng số , và có trọng số 1, viết ra tổng các lũy thừa trong các số hạng. Sau đó, nếu tìm đƣợc giá trị của m để các tổng này bằng nhau, thế vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc phƣơng trình phân li. Lấy tích phân phƣơng trình phân li và thay bởi ta đƣợc nghiệm. Ví dụ Giải phƣơng trình ( ) Phƣơng trình trên đƣợc viết lại là ( ) Cho và có trọng số , và có trọng số 1, tổng các lũy thừa trong mỗi số hạng của vế trái lần lƣợt là , 0 và . Chúng bằng nhau nếu tức là .Thế , với kết quả là ta đƣợc Phƣơng trình này là phƣơng trình phân li và lấy tích phân ta đƣợc Thay √ ta đƣợc nghiệm 19
  25. với là hằng số bất kì và nó có thể đƣợc xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. 1.3.1.6. Phương trình Becnuly Định nghĩa Phƣơng trình Becnuly có dạng (6.1) ( ) ( ) trong đó ( ) và ( ) là những hàm số liên tục của ( hay là hằng số ) còn hoặc Phƣơng trình Becnuly thực chất là phƣơng trình vi phân không tuyến tính do xuất hiện ở bên vế phải. Tuy nhiên, điểm đặc biệt của phƣơng trình vi phân loại này là ta có thể đƣa về phƣơng trình vi phân tuyến tính bằng cách đặt Cách giải Chia hai vế của phƣơng trình (6.1) cho ta đƣợc : ( ) ( ) Đổi biến số : Ta có ( ) Khi đó ( ) ( ) Đây là phƣơng trình tuyến tính. Tìm tích phân tổng quát của phƣơng trình này và thay bằng biểu thức , ta có tích phân tổng quát của phƣơng trình Becnuly. 20
  26. Ví dụ Giải phƣơng trình (6.2) Chia hai vế của phƣơng trình (6.2) cho , ta đƣợc Ta đƣa vào hàm số mới , thì Khi đó (6.3) Đây là một phƣơng trình vi phân tuyến tính Ta tìm tích phân tổng quát của phƣơng trình này Đặt (6.4) Khi đó (6.5) Thay biểu thức của (6.4) và (6.5) vào phƣơng trình vi phân tuyến tính trên ta đƣợc ( ) cho bằng không biểu thức trong dấu ngoặc 21
  27. Để xác định , ta có đẳng thức Phân li biến số ∫ Lấy tích phân từng phần, ta đƣợc Do đó tích phân tổng quát của phƣơng trình đã cho là hay √ với là hằng số bất kì và nó có thể đƣợc xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. 1.3.1.7. Phương trình Miscelaneous Có hai dạng cơ bản của phƣơng trình Miscelaneous Dạng thứ nhất ( ) (7.1) trong đó là các hằng số Cách giải Đặt ( ) Đây là dạng phƣơng trình với biến số phân li đƣợc. Ví dụ 22
  28. Giải phƣơng trình ( ) (7.2) Đặt Phƣơng trình này là phân li và có thể lấy tích phân trực tiếp ∫ ∫ Nghiệm của phƣơng trình vi phân (7.2) là ( ) với là hằng số tích và nó có thể đƣợc xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. Dạng thứ hai (7.3) trong đó là các hằng số. Cách giải Đặt và Nhƣ vậy Do đó Chọn và sao cho các đẳng thứ sau đây đƣợc thỏa mãn 23
  29. Khi đó, ta có Và đây là phƣơng trình vi phân thuần nhất. Ví dụ Giải phƣơng trình Đặt và Khi đó Ta có hệ phƣơng trình { Giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc , Do vậy Đặt Nên Và ta có phƣơng trình với biến số phân li đƣợc 24
  30. Phân li biến số Lấy tích phân ( ) √ hay √ Mà , nên √ Cuối cùng, trở về các biến , , ta có √( ) ( ) với là hằng số tùy ý và nó có thể đƣợc xác định cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. 1.3.2. Phương trình vi phân cấp một, bậc cao Phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao có thể viết dƣới dạng ( ) Hoặc ( ) ( ) ( ) ( ) với 1.3.2.1. Phương trình có thể giải ra nghiệm p Phƣơng trình ( ) có thể đƣợc phân tích thành dạng ( )( ) ( ) (8.1) 25
  31. với ( ) Cách giải Phân tích phƣơng trình đã cho dƣới dạng ( ). Sau đó giải phƣơng trình vi phân cấp một, bậc một . Viết nghiệm của phƣơng trình vi phân vừa giải đƣợc dƣới dạng ( ). Dạng nghiệm chung đƣợc viết dƣới dạng: ( ) ( ) ( ) Ví dụ Giải phƣơng trình ( ) ( ) (8.2) Phƣơng trình đƣợc phân tích thành dạng [( ) ][( ) ] Suy ra ( ) ( ) Nghiệm tƣơng ứng của hai phƣơng trình vi phân trên là ( ) ( ) Lƣu ý các hằng số tùy ý trong hai nghiệm tìm đƣợc có thể đƣợc thực hiện nhƣ nhau. Dạng nghiệm chung của phƣơng trình trên là [ ( )][ ( )] 1.3.2.2. Phương trình có thể giải ra nghiệm Phƣơng trình có thể giải ra nghiệm có dạng ( ) (9.1) 26
  32. Cách giải Ta có thể đƣa về các phƣơng trình vi phân cấp một bậc một bằng cách lấy vi phân hai vế của phƣơng trình (9.1) theo , ta đƣợc (9.2) Sắp xếp lại kết quả của phƣơng trình (9.2) dƣới dạng ( ) và kết hợp với (9.1) để loại bỏ Với nhân tố chứa trong biểu thức ( ) , ta rút bằng cách giải phƣơng trình vi phân của nhân tố chứa , sau đó thay ngƣợc trở lại (9.1) để loại bỏ và sẽ đƣa ra đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình (9.1). Với nhân tố còn lại trong biểu thức ( ) , ta rút theo và rồi thay ngƣợc trở lại phƣơng trình (9.1) để loại bỏ và sẽ đƣa ra đƣợc nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (9.1). Nhƣ vậy, thông thƣờng nghiệm kỳ dị của phƣơng trình sẽ đƣợc tìm đồng thời nghiệm tổng quát. Nghiệm kỳ dị không chứa các hằng số tùy ý. Ví dụ Giải phƣơng trình (9.3) Phƣơng trình trên có thể viết lại thành : ( ) Đạo hàm hai vế theo biến , ta đƣợc Phân tích thừa số phƣơng trình trên, ta đƣợc 27
  33. ( ) ( ) (9.3) Xét ( ) với là hằng số tùy ý. Thế vào (9.3) từ đó ta tìm đƣợc nghiệm tổng quát của (9.3) là Xét Khi đó (9.4) Thay (9.4) vào (9.3), ta đƣợc ( ) hay (9.5) Đây chính là nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (9.3). 28
  34. 1.3.2.3. Phương trình có thể giải ra nghiệm y Phƣơng trình có thể giải ra nghiệm có dạng ( ) (10.1) Cách giải Phân tích các vế của (10.1) theo biến , ta đƣợc (10.2) Sắp xếp lại kết quả của phƣơng trình (10.2) dƣới dạng ( ) và kết hợp với (10.1) để loại bỏ Với nhân tố chứa trong biểu thức ( ) , ta rút bằng cách giải phƣơng trình vi phân của nhân tố chứa , sau đó thay ngƣợc trở lại (10.1) để loại bỏ và sẽ đƣa ra đƣợc nghiệm tổng quát của phƣơng trình (10.1). Với nhân tố còn lại trong biểu thức ( ) , ta rút theo và rồi thay ngƣợc trở lại phƣơng trình (10.1) để loại bỏ và sẽ đƣa ra đƣợc nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (10.1). Nhƣ vậy, thông thƣờng nghiệm kỳ dị của phƣơng trình sẽ đƣợc tìm đồng thời nghiệm tổng quát. Nghiệm kỳ dị không chứa các hằng số tùy ý. Ví dụ Giải phƣơng trình (10.3) Phƣơng trình trên có thể viết lại thành Đạo hàm hai vế theo biến , ta đƣợc Phân tích thừa số phƣơng trình trên ta đƣợc 29
  35. ( ) ( ) Xét Thay vào (10.3), ta đƣợc ( ) ( ) Đây là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (10.3) Xét Suy ra Thế vào (10.3), ta đƣợc nghiệm nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (10.3) Đó chính là nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (10.3). 1.3.2.4. Phương trình Clairaut’s Cuối cùng, chúng ta xét đến phƣơng trình Clairaut’s, nó có dạng 30
  36. ( ) (11.1) Cách giải Lấy đạo hàm hai vế (11.1) đối với , ta đƣợc Suy ra ( ) Xét yếu tố chứa Suy ra (11.2) Vì Nếu chúng ta thay thế (11.2) vào (11.1) thì ta sẽ có ( ) Khi đó, nghiệm tổng quát của phƣơng trình Clairaut’s là ( ) Xét yếu tố (11.3) Rút ra từ (11.3) sau đó thay ngƣợc trở về phƣơng trình ( ) để khử ta sẽ tìm đƣợc nghiệm kỳ dị của phƣơng trình ( ) Ví dụ Giải phƣơng trình 31
  37. (11.4) Lấy đạo hàm hai vế đối với ta đƣợc ( ) Xét Khi đó nghiệm tổng quát của phƣơng trình có dạng của (11.4) Xét Thay vào (11.4) ta đƣợc ( ) ( ) Đây chính là nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (11.4). 32
  38. CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1. Ứng dụng của phƣơng trình phân li biến số  Xét bài toán về sự phân rã Radium Ngƣời ta xác lập đƣợc rằng vận tốc phân hủy của Radium tỉ lệ thuận với khối lƣợng của nó tại mỗi thời điểm. Hãy tìm quy luật biến đổi của khối lƣợng Radium theo thời gian, nếu khối lƣợng của Radium là lúc Giải Vận tốc phân hủy đƣợc xác định nhƣ sau : giả sử ở thời điểm , khối lƣợng là , ở thời điểm khối lƣợng là . Trong thời gian , khối lƣợng phân hủy là . Tỉ số là vận tốc phân hủy trung bình. Giới hạn của tỉ số này khi : là vận tốc phân hủy của Radium ở thời điểm . Theo điều kiện của bài toán (12.1) là hệ số tỉ lệ ( ). Ta lấy dấu trừ vì khi thời gian tăng thì khối lƣợng Radium giảm vào do đó Phƣơng trình (12.1) là phƣơng trình với biến số phân ly đƣợc. Ta có do đó (12.2) 33
  39. Vì khi , khối lƣợng radium là , nên phải thỏa mãn hệ thức Thay giá trị của vào (12.2), ta đƣợc sự phụ thuộc phải tìm của khối lƣợng radium theo thời gian :  Vận dụng Ta hãy tìm thời gian phân hủy một nửa của radium, tức là khoảng thời gian mà sau đó khối lƣợng radium chỉ còn bằng một nửa khối lƣợng ban đầu của nó. Biết rằng Phƣơng trình xác định thời gian phân hủy một nửa của của radium là Theo giả thiết do đó 2.2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một  Xét bài toán Một mạch điện kín có chứa một điện trở , tụ điện , và một nguồn điện có hiệu điện thế thay đổi theo thời gian là ( ). Điện tích trên tụ tuân theo phƣơng trình (13.1) ( ) 34
  40. Tại thời điểm ban đầu tụ không tích điện và ( ) ( ). Tìm quy luật biến đổi của điện tích trên tụ theo thời gian. Giải Chia cả hai vế phƣơng trình (13.1) cho , ta đƣợc ( ) (13.2) Phƣơng trình này có dạng của phƣơng trình tuyến tính cấp một Ta đặt (13.3) Thay (13.3) vào (13.2) ta có ( ) ( ) ( ) (13.4) Ta có phƣơng trình để xác định : Lấy tích phân, ta đƣợc Hay Thay biểu thức vào (13.4), ta có phƣơng trình xác định 35
  41. ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ( ) Tính tích phân ∫ ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) Vậy ( ( ) ( )) ( ) Mà Nên ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 36
  42. 2.3. Ứng dụng của phƣơng trình Becnuly  Xét bài toán Một vật có khối lƣợng có gia tốc bằng ( ) ( là vận tốc của vật ). Trong thực tế thì lực cản tỉ lệ với vận tốc và có dạng là , trong đó là một hằng số phụ thuộc vào môi trƣờng chuyển động. Phƣơng trình chuyển động của vật đƣợc cho dƣới dạng ( ) (14.1) Tìm quy luật biến đổi của vận tốc theo thời gian ? Biết rằng, tại vận tốc của vật là . Giải Chia hai vế của phƣơng trình (14.1) cho , ta đƣợc ( ) ( ) Phƣơng trình này có dạng của phƣơng trình Becnuly Chia hai vế cho ta đƣợc (14.2) ( ) Đổi biến số (14.3) Thay ( ) vào (14.2) ta có ( ) 37
  43. ( ) (14.4) Đây là một phƣơng trình tuyến tính thuần nhất Đặt Thay vào (14.4), ta có ( ) ( ) ( ) Cho bằng không biểu thức trong dấu ngoặc Để xác định , ta có biểu thức ( ) ( ) Lấy vi phân hai vế, ta đƣợc 38
  44. ( ) Khi đó Vậy √ Hay √ Tại , √ Do đó 2.4. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao  Xét bài toán Một gƣơng phản xạ thƣờng đƣợc tạo thành từ các mặt cong nhẵn. Ở dạng tổng quát thì các mặt cong này thƣờng đƣợc biểu thị là một hàm ( ) theo biến số độc lập . Để các tia sáng phát ra từ một nguồn điểm trên trục cho tia phản xạ song song với trục thì hàm cần tìm ( ) thỏa mãn phƣơng trình sau 39
  45. ở đây . Bằng cách giải phƣơng trình này theo , tìm đƣờng cong ( ). Giải Xét phƣơng trình (15.1) Đây là phƣơng trình có thể giải ra nghiệm . Phƣơng trình trên có thể viết lại là Lấy vi phân hai vế phƣơng trình theo , ta đƣợc Nhân phƣơng trình trên với , ta đƣợc ( ) ( ) ( ) ( ) Xét 40
  46. (15.2) Thay (15.2) vào (15.1) ta đƣợc Đây là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (15.1) Xét Thay vào phƣơng trình (15.1) ta đƣợc Thay ngƣợc trở lại phƣơng trình (15.1), ta đƣợc ( ) Đây là nghiệm kỳ dị của phƣơng trình (15.1). 41
  47. KẾT LUẬN Với đề tài “ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau: - Sơ lƣợc lý thuyết về phƣơng trình vi phân cấp một. - Phân loại các dạng phƣơng trình cấp một và đƣa ra từng phƣơng pháp giải cho từng dạng. - Vận dụng một số phƣơng trình để ứng dụng vào trong một số bài toán của Vật lý. Do vậy, đề tài này có thể bổ sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong quá trình tìm hiểu về phƣơng trình vi phân cấp một và ứng dụng trong Vật lý. 42
  48. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.X.PIXCUNOP, Phép tính vi phân và tích phân, NXB giáo dục. [2] K.F.RILEX, M.P.HOBSON and S.J.BENCE (2006), Mathematical Methods for Physic and Engineering, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Tuấn, Phép tính vi phân của hàm một biến và hàm nhiều biến, NXB ĐHQG, Hà Nội. 43