›

Khóa luận Sử dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh

pdf 47 trang thiennha21 15/04/2022 3790
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Sử dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_su_dung_day_nano_kim_loai_de_bat_bay_nguyen_tu_lan.pdf

Nội dung text: Khóa luận Sử dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== LÊ PHƯƠNG ANH SỬ DỤNG DÂY NANO KIM LOẠI ĐỂ BẮT BẪY NGUYÊN TỬ LẠNH Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN HÀ NỘI, 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật Lý, các thầy giáo, cơ giáo trong khoa và tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp tơi hồn thành khĩa luận tốt nghiệp này. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Thị Phương Lan đã quan tâm và tận tình hướng dẫn tơi trong suốt quá trình làm khĩa luận. Do đây là lần đầu tơi làm đề tài nghiên cứu khoa học, dù đã cố gắng nhưng vẫn khơng tránh khỏi những thiếu sĩt, hạn chế. Kính mong sự đĩng gĩp quý báu từ phía các thầy cơ và các bạn trong khoa để khĩa luận tốt nghiệp của tơi được hồn chỉnh hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2017. Sinh viên thực hiện LÊ PHƯƠNG ANH
  3. LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khĩa luận tốt nghiệp “Sử dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh”, đây là khĩa luận tốt nghiệp của bản thân, dưới sự hướng dẫn tận tình của ThS. Nguyễn Thị Phương Lan. Những kết quả nghiên cứu trong khĩa luận này là hồn tồn trung thực và khơng trùng lặp với đề tài khác. Tơi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khĩa luận này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong khĩa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc. Các kết quả nêu trong khĩa luận là hồn tồn trung thực. Hà Nội, tháng 4 năm 2017. Sinh viên thực hiện LÊ PHƯƠNG ANH
  4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Đĩng gĩp của khĩa luận 2 7. Cấu trúc của khĩa luận 3 NỘI DUNG 4 CHƯƠNG 1: HIỆU ỨNG EVANESCENT TRÊN CÁC VẬT LIỆU CỠ NANO MÉT 4 1.1. Nguyên tử lạnh. 4 1.2. Hiệu ứng evanescent. 4 CHƯƠNG 2: PLASMON, PLASMON BỀ MẶT VÀ PLASMON POLARITON BỀ MẶT TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI. 19 2.1. Khái niệm plasmon, plasmon bề mặt và plasmon polariton bề mặt. 19 2.2. Hệ thức tán sắc của plasmon polariton. 21 CHƯƠNG 3: MƠ HÌNH ĐƠN GIẢN BẪY QUANG NGUYÊN TỬ LẠNH TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI. 27 3.1. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hịa. 27 3.2. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hịa khi tính đến hiệu ứng plasmon polariton bề mặt. 34 KẾT LUẬN 42
  5. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đối với cuộc cách mạng khoa học cơng nghệ, vật lí chất rắn cĩ một vai trị đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn đã cung cấp những vật liệu cho ngành mũi nhọn như: điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử Cùng với sự phát triển của các ngành khoa học khác thì càng địi hỏi nhu cầu về vật liệu đa dạng và phong phú để cĩ thể đáp ứng kịp thời sự tiến bộ khoa học đĩ. Chính vì vậy khi nghiên cứu tới vật rắn ta đặc biệt quan tâm tới cấu trúc của vật rắn, các tính chất sau này đều dựa trên cấu trúc vật lí của vật rắn. Trước kia người ta cho rằng vật chất tồn tại ở ba trạng thái: rắn, lỏng, khí. Mãi tới gần đây thì người ta cịn phát hiện ra ngồi 3 dạng tồn tại trên thì vật chất cịn tồn tại ở dạng thứ tư là plasma, giống như các phonon là chuẩn hạt các dao động cơ học. Như vậy, plasmon là dao động tập thể của các mật độ khí electron tự do. Plasmon cĩ thể cặp với hai photon để tạo ra một giả hạt gọi là plasmon polariton. Plasmon bề mặt là những plasmon được giới hạn bề mặt và tương tác mạnh với ánh sáng dẫn tới một polariton. Chúng xảy ra tại giao diện của chân khơng và vật liệu cĩ hằng số điện mơi thực là dương nhỏ hoặc âm lớn (thường là một kim loại hoặc điện mơi pha tạp). Với những tính chất vật lí đĩ ứng dụng của plasmon và plasmon bề mặt trong vật lí rất đa dạng, tiêu biểu là tính chất quang học của kim loại. Plasmon đang được coi là phương tiện truyền tải thơng tin trên các chip máy tính. Plasmon cũng đã được đề xuất như một phương tiện in lito cĩ độ phân giải cao và kính hiển vi đo bước sĩng vơ cùng bé của mình. Các ứng dụng đã được nghiên cứu thành cơng trong phịng thí nghiệm. Cịn Plasmon bề mặt đĩng vai trị quan trọng trong vấn đề phổ Raman tăng cường bề mặt (FERS ), truyền năng lượng Plasmon bề mặt (SET), và truyền năng lượng cộng hưởng 1
  6. (FRET) và cĩ nhiều ứng dụng trong cơng nghệ nano Plasmon và điều trị y tế. Những năm gần đây plasmon đang được quan tâm nhiều do những ứng dụng to lớn của chúng trong các kĩ thuật vật lí mới và cơng nghệ mới. Điểm mạnh và thú vị của Plasmon bề mặt là làm các hiệu ứng vật lí mạnh lên rất nhiều lần, thậm chí tăng “khổng lồ” lên nhiều bậc, ví dụ tăng 14 bậc trong tán xạ Ranma bề mặt SERS. Chính vì vậy mà tơi quyết định chọn đề tài : “Sử dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh.” nhằm tìm hiểu về cách bắt bẫy nguyên tử lạnh trung hịa và cách bắt bẫy nguyên tử lạnh trung hịa khi tính đến hiệu ứng plasmon polariton bề mặt. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về plasmon. - Hiệu ứng Plasmon của dây nano kim loại. - Ứng dụng của Plasmon trong việc bẫy nguyên tử lạnh. 3. Đối tượng nghiên cứu - Plasmon. - Dây nano kim loại. - Nguyên tử lạnh. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về plasmon. - Nghiên cứu về Plasmon của dây nano kim loại. - Nghiên cứu ứng dụng của plasmon trong việc bẫy nguyên tử lạnh. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo. - Thống kê, lập luận, diễn giải. 6. Đĩng gĩp của khĩa luận Khĩa luận này cũng cĩ thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và bạn đọc quan tâm. 2
  7. 7. Cấu trúc của khĩa luận Chương 1: Hiệu ứng evanescent trên các vật liệu cỡ nano mét. Chương 2: Plasma, plasmon bề mặt và Plasmon polariton bề mặt của dây nano kim loại. Chương 3: Mơ hình đơn giản bẫy quang nguyên tử lạnh trên dây nano kim loại. 3
  8. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HIỆU ỨNG EVANESCENT TRÊN CÁC VẬT LIỆU CỠ NANO MÉT. 1.1. Nguyên tử lạnh. Nguyên tử lạnh được hiểu là nguyên tử được làm lạnh đến gần nhiệt độ tuyệt đối, cĩ thể đạt tới gần một phần triệu độ Kelvin. Làm lạnh nguyên tử như thế tức là làm giảm sự dao động nhiệt của chúng. Khi nguyên tử được làm lạnh đến nhiệt độ này, chúng cĩ thể sẽ bị giam cầm trong một thể tích khơng gian giới hạn, ta cĩ thể bắt chúng đứng yên để quan sát hay khảo sát vật lý với một lượng hạt rất nhỏ[10]. Các nguyên tử lạnh bị giam cầm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của vật lý cũng như mở ra những triển vọng mới cho ngành vật lý nhiệt độ thấp. Các nguyên tử lạnh bị giam cầm cĩ thể được sử dụng trong việc hình thành các phân tử lạnh, cung cấp khả năng để nghiên cứu các quá trình va chạm trong các mẫu nguyên tử lạnh, nĩ sẽ mở ra một hướng nghiêm cứu mới trong quang phổ học nguyên tử, và trong nghiên cứu các hiệu ứng thống kê lượng tử của tập hợp các nguyên tử ở nhiệt độ thấp như ngưng tụ Bose- Einstein, Cùng với sự phát triển của khoa học cơng nghệ và kĩ thuật, con người đã tìm tịi và phát hiện ra nhiều cách làm lạnh nguyên tử khác nhau như: Phương pháp làm lạnh Doppler, phương pháp làm lạnh bằng tia laser, . Khi làm lạnh nguyên tử bằng tia laser, người ta chiếu một chùm tia laser lên nguyên tử, sau khi va chạm với nhau nguyên tử và photon đều bị giảm tốc độ. Sau khi va chạm với nhau rất nhiều lần, tốc độ của chúng giảm xuống do vậy nhiệt độ cũng giảm. 1.2. Hiệu ứng evanescent. Khi chiếu chùm sĩng điện từ cĩ cường độ hay bước sĩng thích hợp vào các vật liệu cĩ kích cỡ nano mét thì trên bề mặt của chúng sẽ xuất hiện một 4
  9. sĩng suy giảm theo hàm số mũ, sĩng suy giảm này được gọi là sĩng evanescent. Hình 1.1: Sự hình thành sĩng evanescent trên ống nano kim loại. Khi một chùm sĩng điện từ cĩ tần số thích hợp được chiếu dọc theo sợi nano kim loại hay một ống nano carbon thì phần lớn các sĩng điện từ sẽ lan truyền dọc theo chiều dài của chúng. Tuy nhiên sẽ cĩ một phần nhỏ sĩng này bị tán xạ theo bề mặt của chúng gây ra một trường sĩng suy giảm theo hàm mũ được gọi là hiệu ứng evanescent quanh dây và ống. Sĩng ánh sáng suy giảm khi đi ra từ thành dây và ống sẽ sinh ra một thế hút các nguyên tử ở gần bề mặt của nĩ. Chúng ta cĩ thể lợi dụng tính chất này của sĩng để cĩ thể bẫy và bắt các nguyên tử đĩ chuyển động quanh ống. Điều đĩ cĩ thể xảy ra khi gradien lực của trường sĩng evanescent cĩ thể cân bằng với lực li tâm của chuyển động xung quanh ống. Một số cơng trình đã chứng minh được khi sĩng điện từ mạnh cĩ tần số trải từ Terahertz (THz) tới vùng lân cận hồng ngoại truyền trong ống sẽ gây ra một trường sĩng evanescent quanh ống để bẫy các nguyên tử. Sự bẫy và dẫn nguyên tử xảy ra ở bên ngồi ống[2]. 5
  10. Hình 1.2: Sự dẫn hướng nguyên tử chuyển động quanh dây nano kim loại. Ngồi ra, khi chiếu một sĩng điện từ lên một màng mỏng kim loại trên nền điện mơi với những điều kiện nhất định cường độ sĩng, gĩc tới thì cũng xuất hiện hiệu ứng evanescent[1]. Khi sĩng ánh sáng chiếu vào bề mặt giới hạn của một vật liệu cĩ cấu tạo nano với các chiết suất khác nhau, thì một phần của sĩng được phản xạ và một phần cĩ thể bị khúc xạ (đi qua mặt phân cách giữa hai mơi trường). Điều này sẽ được mơ tả như sau: Hình 1.3: Phản xạ và khúc xạ của một sĩng điện từ tại biên của hai mơi trường. Giả sử ta cĩ hai mơi trường 1 và 2 lần lượt cĩ chiết suất là n1 và n2 được giới hạn bởi một mặt phẳng. Một sĩng điện từ phẳng đơn sắc truyền từ mơi 6
  11. trường 1 đến mặt phân cách ta gọi đĩ là sĩng tới và biểu thị bằng vector sĩng k1. Đến bề mặt phân cách một phần sĩng tới bị phản xạ lại mơi trường 1 (sĩng phản xạ k1' ) và một phần khác truyền sang mơi trường 2 (sĩng khúc xạ k 2 ). Ta cĩ cường độ của các sĩng tới, sĩng phản xạ và khúc xạ được biểu diễn dưới dạng: E1 E 01.exp i t k . r , (1.1a) 1 1 E1' E 01'.exp i t k . r , (1.1b) 1' 1' E2 E 02.exp i t k . r . (1.1c) 2 2 Trong đĩ EEE01,, 01' 02 là biên độ; 1,,  1'  2 là tần số gĩc của các sĩng. Điều kiện biên đối với các thành phần tiếp tuyến của E tại bề mặt phân cách giữa hai mơi trường: EE12tt . (1.2) Vì sĩng tới và sĩng phản xạ cùng nằm trong mơi trường 1 cịn sĩng khúc xạ nằm trong mơi trường 2 nên ta cĩ thể viết (1.2) thành: EEEt1 t 1' t 2, (1.3) với EEEt1,, t 1' t 2 tương ứng là thành phần tiếp tuyến của sĩng tới, sĩng phản xạ và sĩng khúc xạ. Nếu gọi i,,  i  i (i=1, 1', 2) lần lượt là gĩc giữa các tia sáng với các trục x, y, z thì từ (1.1a), (1.1b), (1.1c) ta cĩ: Et1 E to 1exp i  1 t k 1 x cos 1 k 1 zcos  1 , (1.4a) Et1' E to 1'exp i  1' t k 1' x cos 1' k 1' zcos  1' , (1.4b) Et2 E to 2exp i  2 t k 2 x cos 2 k 2 zcos  2 . (1.4c) Trong đĩ: cos 11 , cos , là những cosin chỉ phương của các vector sĩng. 7
  12. Thay (1.4a), (1.4b), (1.4c) vào (1.3) ta được: i1 t i  1' t i  2 t a1 e a 2 e a 3 e . (1.5) Trong đĩ: a1 Eto 1exp ik 1 x cos  1 ik 1 z cos 1 , (1.6a) a2 Eto 1'exp ik 1' x cos  1' ik 1' z cos 1' , (1.6b) a3 Eto 2exp ik 2 x cos  2 ik 2 z cos 2 . (1.6c) i1 t i  1' t i  2 t Lấy đạo hàm (1.5) ta được: a1 1 e a 2  1' e a 3  2 e . (1.7a) Rút a3 từ (1.5) rồi thay vào (1.7a) ta được: i1 t i 1' t a1  1  2 e a 2  1'  2 e 0. (1.7b) Để (1.7b) thỏa mãn với mọi t là: 1  2 0  1  2 . (1.8a) Và 1'  2 0  1'  2 . (1.8b) Từ (1.8a) và (1.8b) ta suy ra: 1  1'  2 . (1.9) Vậy tần số của sĩng phản xạ và sĩng khúc xạ bằng tần số sĩng đến. Từ (1.5) và (1.9) ta rút ra: a1 a 2 a 3. (1.10) Thay (1.6) vào (1.10) ta được: ik1 zcos 1 ik 1' z cos  1' ik 2 z cos  2 b1 e b 2 e b 3 e . (1.11) ik11 xcos Trong đĩ: b11 Eto e , (1.12a) ik1' xcos 1' b2 Eto 1' e , (1.12b) ik22 xcos b32 Eto e . (1.12c) Rút b3 từ (1.11) rồi thay vào biểu thức đạo hàm của (1.11) theo z ta được: ik1 zcos 1 ik 1' z cos 1' b1112 kcos k cos  2 e b 21' k cos  1'2 k cos  2 e 0 . Để thỏa mãn phương trình trên thì các biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0 nghĩa là: k1cos 1 k 1' cos  1' k 2 cos  2 . (1.13) Nếu tia đến nằm trong mặt (x, y) tức là  thì cos 0. Khi đĩ, từ 1 2 1 8
  13. (1.13) ta suy ra: cos1 cos  1' cos  2 0  1  1'  2 / 2. (1.14) Nghĩa là các tia của sĩng tới, sĩng phản xạ và sĩng khúc xạ đều nằm trong cùng một mặt phẳng, và được gọi là mặt phẳng tới. Ta thay (1.6) vào (1.10) và viết dưới dạng: ik1 xcos 1 ik 1' x cos 1' ik 2 x cos 2 C1 e C 2 e C 3 e . (1.15) ik11zcos Trong đĩ: C11 Eto e , (1.16a) ik1'zcos 1' C2 Eto 1' e , (1.16b) ik22zcos C22 Eto e . (1.16c) Lấy đạo hàm (1.15) và cũng làm tương tự như trên ta được: k1cos 1 k 1' cos 1' k 2 cos 2 . (1.17) Đối với các mơi trường cĩ hằng sĩ điện mơi 휀 và độ từ thẩm 휇 số sĩng là k   nên ta viết (1.17) thành: 1 1cos  1 1 1 cos 1'  2 2 cos 2 , và từ đây ta suy ra: cos 1' cos 1 , (1.18) cos  2 11. (1.19) cos 1 22 Từ (1.18) ta cĩ 1' 1. (1.20) Vì các gĩc và  tương ứng là phụ nhau cho nên (1.19) cũng cĩ dạng: sin  2 11. (1.21) sin1 22 (1.21) là cơng thức định luật Snell’n. Trong đĩ,1 là gĩc tới, 2 gĩc khúc xạ. Gĩc xảy ra khi chùm tia khúc xạ gần pháp tuyến được gọi là gĩc tới hạn. Sự phản xạ tồn phần sẽ xảy ra nếu 9
  14. gĩc tới lớn hơn gĩc tới giới hạn. Tại bề mặt phân cách giữa hai mơi trường cĩ thể xảy ra sự phản xạ tồn phần (Total internal reflec - TIR) nếu gĩc tới lớn hơn hoặc bằng gĩc tới hạn khi chiếu một chùm ánh sáng từ mơi trường 1 sang mơi trường 2 kém chiết quang hơn (cĩ chỉ số khúc xạ thấp hơn). Hiện tượng này cĩ thể được biểu thị bằng cơng thức : 1 n2 i sin . (1.22) n1 Thay (1.4) vào (1.3) và sử dụng (1.9), (1.13) và (1.17) ta được: EEEto1 to 1' to 2 . (1.23) Đĩ là điều kiện biên đối với các biên độ của điện trường. Tương tự ta cũng cĩ điều kiện biên đối với các biên độ của từ trường: HHHto1 to 1' to 2 . (1.24) Mặt khác, từ ta suy ra mối quan hệ giữa biên độ của  n E H sĩng điện và sĩng từ:  n Eoo H . (1.25) Ta xét hai trường hợp sĩng điện từ phân cực thẳng. Hình 1.4: Sự phản xạ và khúc xạ của một sĩng phẳng tại mặt phân cách giữa hai mơi trường trong các trường hợp phân cực song song (a), phân cực vuơng gĩc (b). Đối với phân cực song song, vector điện nằm trong mặt phẳng tới. Trong trường hợp này, ta cĩ thể viết (1.23) thành: 10
  15. EEExo1 xo 1' xo 2 . (1.26) Hay EEEo1cos 1 o 1' cos  1' o 2 cos  2 . (1.27) Vì 1 1' , từ (1.27) ta cĩ: EEEo1 o 1' cos 1 o 2 cos 2 . (1.28) Do vector từ vuơng gĩc với mặt phẳng tới, do đĩ ta cĩ thể viết (1.24) thành: HHHzo1 zo 1' zo 2. (1.29) Đối với điện mơi  0 từ (1.25) và (1.29) ta rút ra: 1 EEEo 1 o 1' 2 o 2 . (1.30) Từ (1.28) và (1.30) ta cĩ: 2cos  1  1 cos  2 EEoo1' 1, (1.31) 2cos  1  1 cos  2 211 cos EEoo21 . (1.32) 1cos  2  2 cos  1 Sử dụng (1.21) ta biến đổi hai cơng thức trên thành: tan 12 EEoo1' 1, (1.33) tan 12 2cos12 sin EEoo21 . (1.34) sin 1  2 cos  1  2 Đối với phân cực vuơng gĩc, vector điện vuơng gĩc với mặt phẳng tới. Điều kiện biên cho các vector điện trong trường hợp này là: EEEo1 o 1' o 2. (1.35) Tương tự như trên ta cĩ: 1cos  1  2 cos  2 EEoo1' 1, (1.36) 1cos  1  2 cos  2 11
  16. 211 cos EEoo21 . (1.37) 1cos  1  2 cos  2 Hoặc sử dụng cơng thức (1.21) ta biến bổi hai cơng thức trên thành: sin(12 ) EEoo1' 1, (1.38) sin(12 ) 2sin12 .sin EEoo21 . (1.39) sin(12 ) Hệ số phản xạ r và hệ số truyền qua t được định nghĩa như sau: P P r 1' ; t 2 . (1.40) P1 P1 Trong đĩ, P là vector mật độ dịng năng lượng Poynting. Do PE2 nên ta viết (1.40) thành: 2 2 Eo1' Eo2 r 2 ; t 2 . (1.41) Eo1 Eo1 Từ (1.33), (1.34), (1.38), (1.39) và (1.41) ta nhận được các cơng thức sau: Trường hợp E nằm trong mặt phẳng tới: 2 tan  2sin 2 sin 2 r 12, 12 // 2 t// 22. (1.42) tan 12 sin 1  2 cos  1  2 Trường hợp E vuơng gĩc với mặt phẳng tới: 2 sin  2sin 2 sin 2 r 12, 12  2 t 2 . (1.43) sin 12 sin 12 Từ phương trình Fresnel này, nếu biết cường độ tia tới cĩ thể tính được cường độ chùm tia phản xạ và khúc xạ. Hệ số phản xạ phụ thuộc vào độ phân cực của ánh sáng tới. Nếu biết giá trị của gĩc tới, gĩc phản xạ thì các phương trình Fresnel cĩ dạng: 12
  17. E0r n icos i n t cos t r  , (1.44) E0i n icos i n t cos t nntcos i i cos t r// , (1.45) nnicos t t cos i với r , r//lần lượt là hệ số phản xạ ánh sáng phân cực vuơng gĩc, song song. Sử dụng phương trình Snell’s và hệ thức lượng giác sin22 cos 1 thì ta cĩ thể viết lại cơng thức Fresnel như sau: 2 nt 2 cosii sin ni r , (1.46)  2 nt 2 costi sin ni 22 nntt 2 cosii sin nnii r , (1.47) // 22 nntt 2 cosii sin nnii 2nii cos t , (1.48) nnicos i t cos t 2nii cos t// . (1.49) nnicos t t cos i tt, // là hệ số truyền qua. Nếu gĩc tới lớn hơn gĩc tới giới hạn thì sĩng evanescent được tạo ra trong quá trình phản xạ và truyền qua của một sĩng điện từ. Khơng phải lúc nào ta chiếu một sĩng điện từ vào bề mặt vật cĩ cấu tạo nano thì cũng xuất hiện sĩng evanescent. Sự xuất hiện của sĩng cịn phụ thuộc vào yếu tố như gĩc tới lớn hơn gĩc tới giới hạn, chiết suất, cường độ chùm sĩng điện từ, 13
  18. Với một cách tiếp cận khác, trường sĩng evanescent đĩng một vai trị trung tâm trong quang học nano. Những trường evanescent cĩ thể được mơ tả i kr  t bởi những sĩng phẳng cĩ dạng Ee . Nĩ được đặc trưng bởi ít nhất một thành phần của vector sĩng k mơ tả hướng truyền là khơng cĩ thực. Trong khơng gian, phần ảo của vector sĩng k khơng lan truyền mà nĩ suy giảm theo hàm số mũ. Sĩng suy giảm này cĩ tầm quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực quang học cĩ kích cỡ nanomet. Những trường sĩng evanescent chỉ xuất hiện ở gần bề mặt phân cách giữa hai mơi trường khơng đồng nhất và khơng bao giờ xuất hiện ở một mơi trường đồng nhất. Xét hai mơi trường cĩ hằng số điện mơi và độ từ thẩm lần lượt là 11, và 22, . Một sĩng phẳng phân cực E1 exp ik . r i t luơn cĩ thể được viết như sự chồng chất của hai sĩng phẳng phân cực trực giao, để thuận tiện cho những phân cực song song hoặc vuơng gĩc với mặt phẳng tỉ lệ của vector sĩng k ta cĩ thể viết: ()()sp EEE1 11. (1.50) ()s ()p Trong đĩ, E1 , E1 tương ứng là các vector điện song song và vuơng gĩc với vector sĩng k . Những thành phần song song và vuơng gĩc của vector sĩng k khơng bị thay đổi khi bị phản xạ hay truyền qua mặt phân cách giữa hai mơi trường. Ta phân biệt sĩng tới và sĩng truyền qua bởi vector sĩng k1 và k 2 . Từ hình 1.3 ta cĩ: 14
  19.  k1 k,,, k k kk1  . (1.51) x y z1 1c 1 1  k2 k,,, k k kk2  . (1.52) x y z2 2c 2 2 Vì vậy các thành phần ngang của vector sĩng kkxy, là khơng thay đổi và số sĩng dọc được cho bởi: 2 2 2 k k2 k 2 k 2 , k k k k . (1.53) z1 1 x y z2 2 x y 22 Số sĩng ngang k|| kxy k cĩ thể được biểu diễn qua gĩc tới 1 như sau: 22 k|| kxy k k 1sin 1 (1.54) Theo cơng thức (1.53) ta cũng cĩ thể biểu biễn kk, qua  . zz12 1 Từ các điều kiện biên, biên độ của sĩng phản xạ và truyền qua cĩ thể được biểu diễn: ()()ss s (p) (p) p E11r E r kxy,, k E11r E r kxy, k , ()()sss (p) (p) p E21 E t kxy,, k E21 E r kxy,, k (1.55) (s ) (p) với EE22, lần lượt là sĩng khúc xạ song song và vuơng gĩc với vector sĩng k. Khi đĩ, hệ số phản xạ, hệ số truyền qua được xác định là: kk kk s 21zz12p 21zz12 r kxy,, k r kxy, k . kk kk 21zz12 21zz12 2 k 2 k s 2 z1 p 2 z1 21 t kxy,, k t kxy, k (1.56) kk kk    21zz12 2zz12 1 1 2 Các hệ số này phụ thuộc vào sự phân cực của sĩng phẳng tới mặt phân 15
  20. cách giữa hai mơi trường. Các hệ số kk, được xác định qua kk, và do đĩ zz12 xy nĩ cĩ thể được biểu diễn qua gĩc tới 1 . Đối với một sĩng phẳng trực giao sp 1 0 thì rr, khác nhau bởi một hệ số là 1. Tại bề mặt phân cách sẽ cĩ sự phản xạ ánh sáng và sĩng phản xạ cĩ biên độ được xác định bởi cơng thức Fresnel và định luật Snell’n tương ứng. Khi gĩc tới lớn hơn gĩc tới giới hạn hoặc gĩc phản xạ bằng 0 thì sĩng evanescent được tạo ra bởi sự phản xạ tồn phần trên bề mặt màng mỏng kim loại trên nền chất điện mơi. Chọn trục hồnh x nằm trên mặt phân cách giữa hai mơi trường, vector của trường sĩng truyền đi cĩ dạng: E p tp k k/ k 12xz2 ik x ik z E E s ts k e xz2 (1.57) 21 x E p tp k k/ k 12 xx Ta cĩ: 2 2 kk 1 sin  , k k1 n sin2  , (1.58) z1 11z2 21  với n là hệ số khúc xạ tương đối, n 11 (1.59) 22 Khi n 1, và gĩc tới  tăng dần thì k (hoặc k 0) sẽ nhỏ dần và khi 1 z2 z 1 đạt tới một giá trị nào đĩ thì biểu thức dưới dấu căn sẽ trở thành một số âm. Các gĩc tới hạn c được xác định bởi điều kiện: 2 1 n sin2  0 (1.60) 1 Khi thành phần vector sĩng theo phương z của sĩng khúc xạ bằng 0 ( k 0 ) tức sĩng phẳng khúc xạ đi song song với bề mặt phân cách giữa hai z2 16
  21. mơi trường thì:c arcsin 1/ n . (1.61) Ví dụ, đối với hai mơi trường kính và khơng khí lần lượt cĩ hằng số điện mơi và độ từ thẩm lần lượt là: 21 1, 2,25 và 12 1 thì gĩc giới hạn 0 2 2 cĩ giá trị c 41,8 . Khi 1 c thì 1 n sin 1 sẽ cĩ dạng phức. Sự lan truyền của sĩng khúc xạ sẽ được diễn tả như là hàm của gĩc 1 . Do vậy từ (1.57) ta cĩ: p p 2 2 iE1 t  1 n sin 1 1 E E s tsz eisin11 k x e  2 1 1 . (1.62) p p E1 t  1 n sin 1 Trong đĩ,  là hệ số suy giảm,  được xác định bởi: 2 2  kn11sin 1 (1.63) Hình 1.5: Sự xuất hiện của sĩng evanescent khi cĩ sự phản xạ tồn phần của chùm sáng khi chiếu trên bề mặt phân cách giữa 2 mơi trường. Nếu sĩng phẳng tới mặt phân cách giữa hai mơi trường với gĩc tới 1 cc(  là gĩc phản xạ tồn phần) thì sĩng evanescent được tạo ra trong mơi trường. Phương trình (1.62) mơ tả một trường sĩng truyền dọc theo bề mặt phân cách nhưng lại bị suy giảm theo hàm số mũ theo phương vuơng gĩc bề mặt phân cách giữa hai mơi trường. Như vậy, một sĩng evanescent sẽ được 17
  22. tạo thành khi một sĩng phẳng truyền tới một gĩc 1 c . Và, sự phản xạ tồn phần chính là sự tạo thành sĩng evanescent nhờ một sĩng phẳng tới mặt phân cách một gĩc 1 c . Đối với sự truyền ánh sáng giữa hai mơi trường kính và khơng khí khi gĩc 0 tới i 45 , hằng số suy giảm  2,22 / . Điều này cĩ nghĩa là ở một khoảng cách xấp xỉ  /2 từ trường được tính trung bình theo thời gian bởi một hệ số e. Tại một khoảng cách xấp xỉ 2 từ trường trở nên khơng đáng kể. Khi 1 c thì nĩ cĩ dạng số phức. Hơn nữa, nĩ dẫn đến sự cực hướng elip của sĩng evanescent với sự quay của trường vector trong mặt phẳng tới khi cho p - phân cực. Cơng thức (1.62) mơ tả trường sĩng evanescent. Ngồi ra khi chiếu một chùm tia sáng vào một lăng trụ kính thì cũng cĩ thể tạo ra sĩng evanescent. Hình 1.5: Hình ảnh sĩng evanescent đứng dọc theo hướng lan truyền và sự phân rã của cường độ theo trục z. Tung độ phụ thuộc đều đặn vào năng lượng. 18
  23. CHƯƠNG 2: PLASMON, PLASMON BỀ MẶT VÀ PLASMON POLARITON BỀ MẶT TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI. 2.1. Khái niệm plasmon, plasmon bề mặt và plasmon polariton bề mặt. 2.1.1. Plasmon và plasmon bề mặt. Plasmon được định nghĩa là dao động tập thể của các điện tử tự do. Các điện tử ở mặt phân cách giữa hai vật liệu cĩ phần thực của hàm điện mơi trái dấu, ví dụ như kim loại – điện mơi, được kích thích dao động tập thể sẽ tạo thành plasmon bề mặt (surface plasmon – SP)[11]. Plasmon bề mặt cĩ năng lượng nhỏ hơn năng lượng của plasmon khối. Trong vật lý, plasmon được định nghĩa là lượng tử của dao động plasma. Khi được sinh ra từ sự lượng tử hĩa của các dao động plasma thì các plasmon cĩ thể được coi là một chuẩn hạt, giống như các phonon là chuẩn hạt các dao động cơ học. Như vậy, plasmon được định nghĩa là dao động tập thể của các mật độ khí electron tự do, và plasmon polariton chính là plasmon cĩ thể cặp với một photon để tạo ra một giả hạt. Plasmon cĩ thể được mơ tả trong các bức tranh cổ điển như một dao động của mật độ electron tự do đối với các ion dương cố định trong kim loại. Hầu hết các tính chất của plasmon cĩ thể được suy ra trực tiếp từ hệ các phương trình Maxwell, chúng là sự lượng tử hĩa của các dao động plasma cổ điển. Hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra và sĩng cộng hưởng plasmon (surface plasmon resonance - SPR) sẽ lan truyền trên biên phân cách giữa hai mơi trường điện mơi và kim loại, hoặc bức xạ ra khơng gian tự do khi tần số sĩng ánh sáng tới trùng với tần số dao động riêng của plasmon. Như vậy, sự kích thích tập thể đồng thời của tất cả các điện tử dẫn tạo thành một dao động đồng pha là cộng hưởng plasmon bề mặt (surface plasmon resonance - SPR). 19
  24. 2.1.2. Plasmon polariton bề mặt. Khi các điện tử tự do ở mặt phân cách tương tác với photon thì tạo ra plasmon polariton bề mặt (Surface Plasmon Polariton -SPP). Plasmon plariton bề mặt thường được gọi là plasmon bề mặt. Chúng cĩ thể truyền dọc theo bề mặt kim loại, năng lượng của nĩ sẽ bị mất do sự hấp thụ của kim loại hoặc bị bức xạ vào mơi trường. Plasmon bề mặt tại mặt phân cách giữa hai mơi trường kim loại và điện mơi được minh họa trên hình 2.1. Trong kim loại cĩ chứa các điện tử tự do, các điện tử tự do sẽ dịch chuyển ngược chiều điện trường, gây nên một phân bố điện tích trên bề mặt kim loại khi cĩ ánh sáng kích thích chiếu tới bề mặt kim loại. Sĩng plasmon bề mặt truyền dọc theo phân cách kim loại – điện mơi là dao động của phân bố điện tích này. Hình 2.1: Plasmon bề mặt tại mặt phân cách giữa một kim loại và vật liệu điện mơi cĩ điện tích kết hợp [7]. Điện trường của ánh sáng tới tạo nên phân cực của các điện tử dẫn (điện tử tự do) đối với lõi ion nặng của một hạt cầu ứng với các hạt nano kim loại. Một dao động lưỡng cực của các điện tử với chu kỳ T (hình 2.2) tạo ra bởi sự chênh lệch điện tích thực tế ở các biên của hạt nano kim loại hoạt động như 20
  25. lực hồi phục (restoring force). Hình 2.2: Sự tạo thành dao động plasmon bề mặt trên các hạt nano kim loại. Như vậy, cĩ thể thấy các mode liên kết của trường điện từ của ánh sáng tới và các điện tử tự do trong kim loại là plasmon bề mặt. Chúng cĩ thể được xem như ánh sáng hai chiều bị ràng buộc bởi mặt phân cách kim loại – điện mơi, trường plasmon bề mặt cĩ cường độ lớn nhất ở mặt phân cách và suy giảm theo hàm mũ ở các hướng vuơng gĩc với bề mặt [8, 9]. 2.2. Hệ thức tán sắc của plasmon polariton. Khi cĩ ánh sáng kích thích chiếu tới mặt phân cách sẽ gây nên một phân bố điện tích trên bề mặt kim loại. Sĩng plasmon bề mặt truyền dọc theo biên phân cách kim loại – điện mơi (hình 2.1) là dao động của phân bố điện tích này. Do đĩ, để giải bài tốn sĩng điện từ trên biên phân cách giữa hai mơi trường ta áp dụng lý thuyết điện từ học. Xét mặt phân cách giữa hai mơi trường cĩ hàm điện mơi là m và d. Điện trường của sĩng điện từ được biểu diễn bởi cơng thức: E = E exp i kr- ωt 0 trong đĩ: r là bán kính vectơ của điểm quan sát, k là vectơ sĩng và  là tần 21
  26. số của ánh sáng tới. Vì dao động của phân bố điện tích là sĩng plasmon bề mặt truyền dọc theo biên phân cách giữa hai mơi trường nên điện trường của sĩng điện từ lan truyền được biểu diễn bởi cơng thức: E E0 exp i ( kxz x k x  t ) (2.1) Các phương trình Maxwell cĩ dạng: B  E = - t D  H = j + t D = ρ B = 0 D = εE Điều kiện biên liên tục của vectơ điện thế và vectơ điện dịch: E2t E 1t 0 ; D2n - D 1n = 0 Giải các phương trình Maxwell cho sĩng điện từ tại biên phân cách giữa hai vật liệu với hằng số điện mơi là m và d, sử dụng các điều kiện biên liên tục của điện thế và vectơ điện dịch ta cĩ [3, 6]: kk zz12 (2.2) md 2 22  và kkx zi  i , i = 1, 2. (2.3) c Trong đĩ c là tốc độ ánh sáng trong chân khơng, kx là như nhau tại biên phân cách cho một sĩng bề mặt. Từ hai phương trình (2.2) và (2.3) ta cĩ mối quan hệ tán sắc cho một sĩng lan truyền trên bề mặt là: 22
  27. 1/2  md  kkx SP . (2.4) c md  Hàm điện mơi của kim loại trong mơ hình của khí điện tử tự do được cho ω2 bởi: P . ε = 1 + 22 ω0 - ω - iγω 2 ωP Với ω0 = 0, ta cĩ: ε = 1 - . ω2 + iγω ω2 Bỏ qua sự suy giảm, ta cĩ: ε = 1 - P . ω22 +  ω2 Vì ω >> γ nên: ε ω = 1 - P . (2.5) ω2 Trong đĩ P là tần số plasmon của kim loại khối, cĩ biểu thức trong e2 đơn vị SI là : ωp = * , (2.6) 0m với là mật độ điện tích, e là điện tích của điện tử, m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử và 0 là hằng số điện mơi trong chân khơng. Trên hình 2.3 biểu diễn đường cong tán sắc của tần số plasmon bề mặt. 23
  28. Hình 2.3: Đường cong tán sắc của các plasmon polariton. Ở giá trị các vectơ sĩng nhỏ, các SPP thể hiện giống như các photon, nhưng khi k tăng, đường cong tán sắc bị uốn cong và đạt tới một giới hạn tiệm cận tới tần số plasmon của kim loại khối Tần số plasmon bề mặt được cho bởi: SP  P/1  d . (2.7) Trong trường hợp mơi trường điện mơi là khơng khí trên bề mặt kim loại ( εd = 1), ta cĩ: SP  P /2. (2.8) Ta thấy, từ cơng thức (2.4) và hình 2.3, với cùng một tần số, giá trị vectơ sĩng của plasmon kSP lớn hơn so với giá trị vectơ sĩng của photon tự do. Sĩng plasmon chỉ lan truyền trên bề mặt phân cách giữa hai mơi trường do sự chênh lệch vectơ sĩng này. Xét mặt phân cách giữa kim loại (m) và điện mơi (d) ta cĩ d là thực và d > 0 và εm < 0 (là điều kiện kim loại thỏa mãn). Sĩng điện từ bị suy hao do các mất mát ohmic sẽ đi qua kim loại và các tương tác giữa điện tử và lõi ion. Các hiệu ứng này cho thấy cĩ một thành phần ảo của hàm điện mơi. 24
  29. Hàm điện mơi của kim loại được biểu diễn: εm εri iε . (2.9) Trong đĩ r là phần thực và i là phần ảo. ri biểu thức của số sĩng tại mặt phân cách của các plasmon được biểu diễn như sau: 1/2 3/2  r  d   r  d  i kx k x ik x i (2.10) cc    22 r d r d r Trong kim loại, biểu thức vectơ sĩng cho ta ý nghĩa vật lý của sĩng điện từ như độ lớn khơng gian của các plasmon và yêu cầu để cĩ sự kết hợp vectơ sĩng tại mặt phân cách. Khoảng cách mà sĩng plasmon cĩ cường độ giảm đi e lần được định nghĩa là độ dài lan truyền plasmon,được cho bởi cơng thức [11]: 1 L . (2.11) 2kx Độ xuyên sâu của trường plasmon vào kim loại m và điện mơi d được biểu diễn theo các cơng thức [7, 11]: 1/2 λ rd  δm  . (2.12a) 2π r 1/2 λ rd  δd  . (2.12b) 2π d Trên hình 2.4 biểu diễn độ xuyên sâu của trường plasmon vào kim loại và điện mơi. 25
  30. Hình 2.4: Minh họa độ xuyên sâu của trường plasmon vào kim loại và điện mơi. 26
  31. CHƯƠNG 3: MƠ HÌNH ĐƠN GIẢN BẪY QUANG NGUYÊN TỬ LẠNH TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI. 3.1. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hịa. Khi chiếu một chùm sáng điện từ vào một dây nano oxit kẽm thì sẽ xuất hiện một trường sĩng evanescent quanh dây. Sĩng ánh sáng suy giảm khi đi ra xa từ thành dây sinh ra một thế hút các nguyên tử lạnh trung hịa. Bên ngồi dây xảy ra sự bẫy và dẫn nguyên tử. Khi nguyên tử giữ ở xa thành dây thì sự bền vững bẫy và dẫn nguyên tử được duy trì. Điều này cĩ thể đạt được bởi rào thế ly tâm. Rào thế ly tâm cĩ thể cân bằng với tất cả các thế phân kỳ kém tốc độ hơn r 2 khi r 0 . Hình 3.1: Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hịa dùng dây nano oxit kẽm[2]. Xét một nguyên tử lạnh trung hịa khối lượng µ chuyển động quanh dây nano oxit kẽm. Sĩng điện từ mạnh truyền trong dây gây ra một trường sĩng evanescent quanh dây. Giả sử rằng, thế U của nguyên tử cĩ đối xứng trụ. Do đĩ, U phụ thuộc vào khoảng cách r từ nguyên tử tới trục z của dây nhưng nĩ khơng phụ thuộc vào hai tọa độ trụ khác là φ và z. Do đối xứng, thành phần Lz của mơmen xung lượng của nguyên tử được bảo tồn. Trong trạng thái riêng, Lmz , m là một số nguyên, được gọi là số lượng tử quay. Thế ly tâm của nguyên tử là thế đẩy và được xác định bởi [8, 12] : 2 2 2 Ucf ( m 1 4) 2 . r . (3.1) 27
  32. Chuyển động xuyên tâm của nguyên tử cĩ thể được khảo sát như chuyển động một chiều của một hạt trong thế hiệu dụng: UUUeff cf (3.2) Ở đĩ, cĩ tồn tại trạng thái liên kết bền vững của nguyên tử nếu Ueff cĩ một cực tiểu địa phương ở khoảng cách rr m bên ngồi dây nano. Nếu thế U là thế hút, ngược với thế ly tâm Ucf thì điều này sẽ xảy ra. Sĩng điện từ mạnh truyền trong dây sinh ra thế U. Sĩng điện từ mạnh sinh ra một trường sĩng evanescent quanh dây, sự biến thiên độ dốc của nĩ trong mặt phẳng vuơng gĩc dẫn đến một gradient lực lên nguyên tử. Trường sĩng này phụ thuộc bán kính dây R và bước sĩng điện từ  được chiếu vào dây. Trong gần đúng phân cực tuyến tính, hàm Bessel K0() qr mơ tả sự phụ thuộc khơng gian của biên độ của trường bên ngồi dây nano. Trong đĩ, tham số q 1  là nghịch đảo của độ dài suy giảm đặc trưng Λ của trường sĩng evanescent. Khi đĩ, thế quang học U bên ngồi dây cĩ thể được 2 viết như sau: U GK0 () qr , (3.3) với G là hằng số tương tác giữa trường sĩng evanescent và nguyên tử. Để đơn giản ta sử dụng ánh sáng phân cực trịn để tạo ra thế quang học đối xứng trụ. Thế hiệu dụng đối với chuyển động xuyên tâm của nguyên tử trong thế quang học U cĩ thể được viết dưới dạng : 2 m 14 2 Ue0ff()() r  rec 22 gK qr . (3.4) kr 2 Trong đĩ, rec (k ) 2 là năng lượng giật lùi, gG rec là hằng số tương tác chuẩn hĩa. Ở đây, µ là khối lượng của nguyên tử và k là số sĩng của trường. Tại điểm cực tiểu địa phương rm, đạo hàm của Ueff theo khoảng cách r bằng khơng; 28
  33. Ueff r 0 . rr m Để tính rm, ta dùng phương pháp biến đổi: xmm qr . Khi đĩ xm sẽ là nghiệm của phương trình: f (x) M, (3.5) 3 f()()() x x K x K x với: 01 (3.6) 2 2 2 M (m 1 4) q gk Hàm f(x) đạt giá trị cực đại tại . Nếu thì fc  0,2545 xc  0.9331 M fc sẽ tồn tại rm. Khi điều kiện này được thỏa mãn, phương trình (3.5) cĩ 2 nghiệm. Nghiệm nhỏ hơn sẽ tương ứng với điểm cực tiểu địa phương rm của Ueff(r) và nghiệm lớn hơn tương ứng với điểm cực đại địa phương. Sau đĩ, từ hệ thức xm xc nên rm xc  0.9331  . Vì vậy, khoảng cách từ điểm cực tiểu địa phương rm của thế quang học hiệu dụng tới trục của dây nano luơn luơn nhỏ hơn độ dài suy giảm đặc trưng Λ của trường sĩng evanescent. Để bẫy các nguyên tử ở ngồi ống dây thì khoảng cách từ chúng tới trục ống phải lớn hơn bán kính R của dây; do vậy rm R , mặt khác rm  xc nên ta thu được: qR xc  0.9 3 3 1. (3.7) Do vậy, R xc   0.9331 . Điều kiện (3.7) cĩ thể được thỏa mãn chỉ khi tham số kích thước kR là đủ nhỏ. Mặt khác, địi hỏi rm R cĩ thể được thỏa mãn chỉ khi fR M , ở đây: fRR f x với xR qR. Tổ hợp các điều kiện fR M và M fc và sử dụng biểu thức tường minh của M, ta thu được: 1 q2 f ()mf2 . (3.8) R 4 gk 2 c 2 2 2 2 Suy ra: fRc gk q 1 4 m f gk q 1 4 . 29
  34. Do đĩ nếu mmin m m max thì trạng thái liên kết bền vững của nguyên tử mới cĩ thể tồn tại với mmin và mmax là các số nguyên tương ứng gần với 22 22 fR gk q 14 và fc gk q 14. Khi m tăng thì tăng tương ứng sự giảm độ sâu –Ueff (rm) của cực tiểu địa phương của thế quang học hiệu dụng. Khi đĩ độ sâu –Ueff(rm) tăng lên với sự tăng của tham số tương tác g. Khi tính số thế hiệu dụng quang học Ueff(r) của nguyên tử lạnh trung hịa ở bên ngồi dây nano kim loại, ta sử dụng ánh sáng cĩ bước sĩng  0,761 m, với bán kính của dây nano oxit kẽm R 100 nm và độ dài suy giảm đặc trưng của ánh sáng bẫy từ ống 190nm. Để sinh ra một lực lưỡng cực mạnh dẫn đến một thế quang học hiệu dụng với điểm cực tiểu địa phương ở sâu thì tham số tương tác g phải là lớn. Ở đây, ta chọn g 78500 . Khi đĩ, từ cơng thức (3.8) cho ta biết giá trị mmin 197 và mmax 221. Vậy để thế quang học hiệu dụng Ueff cĩ một điểm cực tiểu địa phương rm bên ngồi dây nano nhằm bẫy được nguyên tử lạnh, thì trong trường hợp này m chỉ nhận giá trị 197 m 221. Hình 3.2: Thế quang học hiệu dụng Ueff của nguyên tử bên ngồi dây nano oxit kẽm. Bước sĩng và tham số tương tác chuẩn hĩa của ánh sáng bẫy tương ứng là  0,761 m và g 78500 . Hình 3.2 biểu diễn kết quả tính tốn cho thế quang học hiệu dụng Ueff trong 30
  35. một số trường hợp của m ( m 197, m 221). Từ hình vẽ ta thấy, thế quang học hiệu dụng cĩ một cực tiểu sâu nằm bên ngồi dây nano khi m = 197. Khi số lượng tử quay m tăng lên dẫn tới sự tăng vị trí rm của điểm cực tiểu địa phương và sự giảm độ sâu của thế hiệu dụng –Ueff(rm). Sự tồn tại của một cực tiểu địa phương ở sâu của thế quang học hiệu dụng gây ra bởi sĩng điện từ mạnh truyền trong dây nano oxide kẽm dẫn đến sự tồn tại trạng thái liên kết của nguyên tử lạnh trung hịa. Nguyên tử cĩ thể bị bẫy bằng cách sử dụng sĩng điện từ mạnh truyền trong dây nano oxit kẽm. Sự tồn tại một cực tiểu địa phương ở sâu của thế quang học hiệu dụng Ueff dẫn tới sự tồn tại các trạng thái liên kết của nguyên tử. Do đĩ, ta tính được năng lượng liên kết đối với chuyển động xuyên tâm của nguyên tử. Xét trong hệ tọa độ trụ (r, 휑, z), phương trình Schrưdinger cho chuyển động của nguyên tử được viết dưới dạng sau: 2 2  Ueff (r, ,r) = E  (r, ,r) , (3.9) 2 Trong đĩ, E là năng lượng của nguyên tử trong thế quang học. Sử dụng hàm sĩng tổng quát cĩ dạng: 1 im ikz  (r, ,r)= R(r) e e . (3.10) r Thay  (,,)rz vào phương trình Schrưdinger (3.9) ta nhận được phương trình đối với hàm bán kính R(r): 22 d R2 ( m 1 4) 2 2 2 E 2 GK0 ( qr ) R 0. (3.11) d r 2 r 2 Đặt rec (k ) 2 là năng lượng giật lùi và gG rec là hằng số tương tác chuẩn hĩa. Khi đĩ, phương trình Schrưdinger đối với chuyển động xuyên 31
  36. tâm của nguyên tử trong thế quang học hiệu dụng là: 22 d R2 m 1 4 2 2 2rec ( 2 2 gK0 ( qr )) R 0. (3.12) d r k r Trong đĩ, E rec . Từ phương trình (3.12) ta cĩ thể xác định được năng lượng của hàm sĩng dao động của nguyên tử. Tuy nhiên, để gải phương trình này rất khĩ khăn. Để đơn giản, ta sử dụng phương pháp tính số bằng cách dùng một thế fit. Vì vậy, (m2 1 4) ta tiến hành fit thế quang học U gK2 () qr với thế phụ effrec kr22 0 AB thuộc ba thơng số cĩ dạng C , trong đĩ A, B và C là các tham số fit, r2 r với điều kiện thế fit này phải cho cực tiểu địa phương trùng với cực tiểu địa phương của hàm Ueff rec tại cùng một vị trí rr min . Hình 3.3: Đồ thị hàm fit của thế quang học hiệu dụng theo bán kính. Khi đĩ, việc tìm các mức năng lượng đầu tiên đối với chuyển động xuyên tâm của nguyên tử trong thế quang học gây ra bởi sĩng điện từ mạnh truyền trong dây nano oxit kẽm sẽ quy về việc giải phương trình Schrưdinger đối với 32
  37. d2 R2 A B hàm bán kính: 2 2rec 2 CR 0. (3.13) dr r r Sử dụng các phần mềm tính tốn, ta thu được hàm fit với các thơng số: ABC 5.7509 10 10 , 1.1285 10 2 , 5.170 10 4 . Giải phương trình (3.13) ta được các mức năng lượng En của nguyên tử cĩ dạng [10]: 2 22 (BBA rec ) 2  (  rec )  8  En C rec 2 2 2 2 n 1 1 2 rec , 2 (ns 1)  2 (ECB rec )  rec  với  2 , , n = 0, 1, 2, 3, 2(EC rec ) Năng lượng liên kết của nguyên tử lạnh trung hịa: 2  E C B2 k 22 n 1 1 4 Ak 2 [2]. (3.14) n n rec  Hình 3.4: Năng lượng liên kết ứng với 2 mức đầu tiên N = 0, 1 của chuyển động xuyên tâm của nguyên tử trong thế quang học hiệu dụng gây ra bởi sĩng điện từ mạnh truyền trong ống SWNT kim loại (21, 0). Bước sĩng và tham số tương tác chuẩn hĩa của ánh sáng bẫy tương ứng là  1.2m và g = 5850. Số lượng tử quay m = 2[2]. 33
  38. Thực nghiệm xác nhận rằng, các trạng thái liên kết địi hỏi năng lượng liên kết của các nguyên tử phải lớn hơn động năng chuyển động nhiệt của chúng. Năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử Cesium (n = 0), E0  0.37mK . Như vậy, mơ hình này cĩ thể dùng để bẫy các nguyên tử Cesium ở nhiệt độ thấp hơn 0.37mK bằng việc sử dụng dây nano oxit kẽm bán kính R = 100 nm với ánh sáng cĩ bước sĩng 0.761 µm truyền trong dây. Kết quả cho thấy, bán kính càng nhỏ thì thế được tạo ra càng mạnh. Trạng thái liên kết của nguyên tử trong mơ hình đĩ là ổn định. 3.2. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hịa khi tính đến hiệu ứng plasmon polariton bề mặt. Khi chiếu một chùm sĩng điện từ mạnh vào tiết diện của một dây nano kim loại, trường sĩng evanescent xuất hiện quanh dây do hiệu ứng plasmon polariton bề mặt gây ra, các sĩng phân rã ra khỏi bề mặt dây nano kim loại sinh ra một thế hấp dẫn đối với các nguyên tử trung hịa. Các nguyên tử cần phải được giữ cách xa các dây nano kim loại cho bẫy ổn định. Tương tự như khi chưa tính tới hiệu ứng SPP thì trong trường hợp này, năng lượng bẫy quang học của nguyên tử lạnh trung hịa khi để ý tới hiệu ứng SPP, ta cũng tính được các mức năng lượng của nguyên tử lạnh trung hịa bị bẫy. Xét một mơ hình lượng tử hĩa lần thứ 2 hàm Hamiltonian cho plasmon polariton bề mặt [11] trong dây nano kim loại [12]: H  Hk  kkk aa Pkk bbgabba kkk kk . (3.15) kk + + Trong đĩ: ak (ak ), bk (bk ) là tốn tử hủy (sinh) photon và plasmon tương ứng với động lượng k, ωP là năng lượng plasmon bề mặt, và  kd ck / là hệ thức tán sắc của photon. gk được định nghĩa là sự chuyển tiếp đỉnh 34
  39. plasmon-photon (cịn được gọi là hằng số liên kết), vì các plasmon khối kích thích theo chiều dọc, trong khi photon kích thích ngang nên đỉnh này vắng mặt trong lý thuyết plasmon truyền thống gBk = 0. Hình 3.5: Sự mơ phỏng quá trình tương tác giữa photon và plasmon để tạo thành plasmon polariton. Do sĩng điện từ phải thỏa mãn các điều kiện biên tại bề mặt ranh giới giữa hai mơi trường, nên quá trình chuyển đổi đỉnh plasmon-photon cĩ thể khơng là khơng, và đây là thơng số chính của lý thuyết của plasmon polariton bề mặt. Sử dụng phép chuyển đổi Bogoliubov lấy từ lý thuyết siêu dẫn cho sự chéo hĩa Hamilatonian plasmon polariton, ta được: Hk   UkUkUk   LkLkLk   , (3.16) k với ik ( ik ) là tốn tử hủy (sinh) của các tốn tử plasmon polarition bề mặt SPP với động lượng k, và i là số nhánh i = L = 1 cho nhánh thấp và i = U = 2 cho nhánh trên. 22 Các phép biến đổi với điều kiện UNITA uvkk 1 là: 12k= u k a k +v k b k , k = -v k a k +u k b k . (3.17) Sử dụng các mối quan hệ giao hốn cho các tốn tử hủy và sinh: ak, a k 1 , b k , b k 1 ,  ik , ik 1 và bằng khơng cho những trường hợp khác, ta cĩ được mối quan hệ phân tán plasmon polariton bề mặt 35
  40. 1  2 2 SPP: ik(R) =   k  P (R )  k  P ( R ) 4 g k . (3.18) 2  Trong trường hợp của hình học phẳng, các nhánh trên được nằm trong khoảng cách năng lượng nơi cĩ sự tắt dần là quá cao vì vậy chỉ cĩ nhánh thấp tồn tại, trong khi trong trường hợp của dây nano kim loại cả hai nhánh SPP cĩ 222 thể tồn tại. Ta cĩ: gWWk (R) = k  D (kR , ) -  k , (3.19) 1 ở đây k  P1  k , (3.20) 2 và DW (k ,R) là hệ thức tán sắc kiểu Drude của SPP, ta cĩ các mối quan hệ tán sắc của các mode SPP năng lượng thấp nhất trên các dây nano bạc của các dây nano kim loại trong các dạng: 1/2 (,)()().k R 2  4 R  4  4 R DW  k P k P  (3.21) Hình 3.6: Đường cong tán sắc của plasmon polariton bề mặt. Lưu ý rằng, ta cũng xác định hằng số liên kết thơng qua  kP, (R) . 36
  41. Hình 3.7: Các tính tốn từ phương trình. (3.18, 3.19) quan hệ tán sắc Ωk và hằng số liên kết plasmon-photon gk của modes SPP năng lượng thấp nhất với số liệu thực nghiệm (các chấm trịn)[8]. 1 1 Các vùng giới hạn km 20 đến km 40 cĩ kkp là quan trọng nhất đối với tất cả các vấn đề polariton, từ hình ảnh này, để tính đơn giản và gg 0.3 để đánh giá chúng ta cĩ thể lấy xấp xỉ P k kp P [8]. Trong trường hợp của mode plasmon bề mặt, các tham số liên kết bình thường là quá lớn mà thay vì thế hiệu dụng kiểu thế Morse, ta lựa chọn thế hiệu dụng kiểu hàm mũ: Veff ( r ) V0 exp r / , (3.22) với V0 và δ là các tham số của mơ hình. Ta cĩ Vg0 PP0.3 , và δ là độ dài xuyên thấu của plasmon tạo ra bởi trường evanescent của plasmon bề mặt 1 c md trong chân khơng hoặc khơng khí: ( ) = =2 . (3.23) kd  d Khi đĩ, năng lượng liên kết (trạng thái cơ bản) của phương trình Schrodinger 2 2 với thế dạng mũ (3.23) là: E= -  , (3.24) 8 2 2 với β được xác định bởi phương trình: JV 2 0 =0 , (3.25) 37
  42. và J là hàm Bessel. Vì các tham số của hàm Bessel là quá lớn 2 21V0 , do đĩ, trong thực tế các phương trình (3.18) là khơng dễ dàng để giải quyết. Để đơn giản, ta lấy thế V : V r =ar b (3.26) với các điều kiện mà hai thế cĩ cùng độ sâu và cùng hiệu quả trung bình rmax V 0 = Veff (0) , V ( r ) d r V eff ( r ) d r, (3.27) 00 với rmax = b/a. Từ những điều kiện này, ta được b = V0 = gP, và 2 V0 gP gP a a. Thế hiệu dụng V mới là: Vr( ) r-g (3.28) 22 2 P Các giá trị của thế V (màu vàng- đường thẳng) và thế dạng hàm mũ (màu xanh- đường cong) được thể hiện trong hình 3.8. Hình 3.8: Các giá trị của thế V (màu vàng) và thế mũ (màu xanh). Bằng phương pháp bán thực nghiệm WENTZEL-KRAMERS- BRILLOUIN (WKB) cĩ thể thu được một cách chính xác phổ năng lượng của phương trình Schrodinger với thế dạng V. Các chuyển động trong một hệ nguyên tử được lượng tử hĩa, hoặc rời rạc là ý tưởng cơ bản của lý thuyết bán lượng tử. Hệ này tuân theo cơ học cổ điển, ngoại trừ rằng khơng phải mọi chuyển động được cho phép, chỉ những chuyển động mà tuân theo các điều kiện bán lượng tử: 38
  43. r2 pdr nh , (3.29) r1 trong đĩ h là hằng số lượng tử, rr12, là các điểm uốn cĩ nguồn gốc từ phương trình H (p, r) = E. Đối với thế V : r1 = 0, r2 = b/a = 훿 thì điều kiện lượng tử là:  gP 2 E r gP d r nh , (3.30) 0 2 3/2 4 Eg P Vì vậy: 2 = nh = n2 , (3.31) 3 gP / (2 ) Các mức năng lượng được xác định: 2/3 3 gP 2/3 EnP = -g + n , (3.32) 42 mức năng lượng thấp nhất (trạng thái cơ bản): 2/3 3 gP EnP = -g + , (3.33) 42 Các điều kiện tồn tại ít nhất một trạng thái liên kết E1<0, hoặc 2/3 3 gP 3 gP , hoặc  gP (3.34) 42 42 Bây giờ, ta đi ước tính kết quả thu được. Đối với dự đốn ta lấy dây nano Ag:  50nm , gPPP g11 0.3 450 THz , P 1370THz , R 100 nm ,  2.9,, các nguyên tử lạnh là nguyên tử xeri Ce với  140M0 , M0 :1 GeV là khối lượng neutron. Sử dụng nhiệt hệ thống đơn vị QED với 39
  44. ck B 1, trong đĩ tất cả các giá trị vật lý phải chuyển đổi ra đơn vị năng lượng eV: 1 11 PPP11 5.6 eVg , :0.3  1.7 eV,  =7.4 eV ,  =1.4 10 eV, k=2eV (UV và phạm vi quang học). Ta đã nhận rằng các điều kiện (3.34) luơn luơn thỏa mãn, một trạng thái liên kết luơn cĩ, các yếu tố cơ chế bẫy SPP 10 gP/ rec 1.5 10 . So sánh với khơng phải -SSP yếu tố cơ chế 3 6 G /rec 6 10 ,hệ số tăng cường SSP trong bẫy hiệu quả  gGP / 10 trong thống nhất với các yếu tố tăng cường rất lớn trong một hiện tượng với cơ chế SSP, như SERS, Năng lượng liên kết của bẫy cơ chế SPP là 4 EBP E1; g 1.7 eV, tương ứng với nhiệt độ TSPP 2 10 K so sánh với nhiệt độ bẫy quang học truyền thống Tt 1 mK , hệ số tăng cường SPP trong nhiệt độ là: 107 . Bẫy với cơ chế SSP, điều kiện "lạnh" của các nguyên tử cĩ vẻ như khơng cần thiết nữa. Khi sử dụng một dây nano kim loại, khơng gian bắt bẫy các nguyên tử ở gần đĩ khác nhau tùy vào sự phân cực của ánh sáng đầu vào mà ta cĩ sự phân cực của các sĩng evanescent khác nhau (cĩ tính chất của trường cảm ứng) dẫn tới. Khơng gian bắt bẫy phụ thuộc vào sự phân cực của ánh sáng (sự tác động của vector điện trường E), vùng bắt bẫy mạnh nhất trùng với hướng của điện trường của ánh sáng. Nếu ánh sáng là phân cực thẳng cĩ vector điện trường E nằm trên mặt phân cực hợp với trục z một gĩc  , khi đĩ khơng gian bắt bẫy là mặt phẳng phân cực đĩ và mặt phẳng vuơng gĩc với nĩ. Nếu ánh sáng là phân cực trịn thì thế tương tác giữa nguyên tử và trường evanescent tính từ bề mặt cĩ thể triển khai theo các bậc của các đa cực 1 E0 2 m (multipole): (EzEzc0 , ) 0 os z (1 3 c os2  )  EzPc 0 mm ( os  ), 8 z m 0 40
  45. với m là mơment bậc m. Trong trường hợp gần đúng lưỡng cực (Dipole) thì thế eva cĩ dạng z/ V(,) E00 z e E e (  là Dippole, 훿 là độ xuyên sâu của trường sĩng evanescent). Khơng gian bắt bẫy nguyên tử phụ thuộc vào phân bố độ lớn của vector điện trường E của trường evanescent. Giả thiết ánh sáng tới cĩ phân cực thì trường evanescent sẽ cĩ sự phân cực tương ứng theo quy tắc chọn lọc. Vậy E là vector điện trường của ánh sáng tới và lại phụ thuộc vào sự phân cực của E0 . Hình 3.9: Sĩng evanescent và sự phân cực trịn của sĩng evanescent trên một dây nano kim loại trong các trường hợp đơn cực (m=0), lưỡng cực (m=1), tứ cực (m=2). Khơng gian bắt bẫy phụ thuộc vào sự phân cực của ánh sáng tới, phản ứng của kim loại đối với sự phân cực, cấu hình hình học (kích thước và khoảng cách giữa chúng). 41
  46. KẾT LUẬN Thơng qua việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh” em đã nghiên cứu sâu hơn về một vấn đề trong chuyên ngành Vật lí lí thuyết, cụ thể hơn là về mơ hình bẫy nguyên tử lạnh trên dây nano kim loại. Đề tài này được thực hiện với mong muốn đĩng gĩp kinh nghiệm giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu hơn về mơ hình bẫy nguyên tử lạnh trên dây nano kim loại. Dù đã cố gắng song do bước đầu làm nghiên cứu nên khĩa luận khơng tránh khỏi những thiếu sĩt và hạn chế. Em rất mong nhận được sự đĩng gĩp của quý thầy cơ và bạn đọc để đề tài được hồn thiện hơn. Nếu tiếp tục được nghiên cứu bổ sung thì đề tài thực sự cĩ ý nghĩa lớn hơn. Qua đĩ mang lại một lượng kiến thức lớn cho những ai quan tâm đến vấn đề này. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Lê Phương Anh 42
  47. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Chu Việt Hà, “Một số ảnh của chùm laser xung Gauss lên quá trình phân bốcủa mơi trường bị kích thích”, 2012. [2]. Đào Thị Thúy Nga, Nguyễn Thị Phương Lan, Đỗ Thị Nga, Nguyễn Ái Việt, “Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hịa dùng dây nano oxit kẽm”, 2013. [3]. Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB Giáo dục Hà Nội, 1970. [4]. Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001. [5]. Nguyễn Ngọc Long, Vật lí chất rắn, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007. [6]. Nguyễn Thị Nhung, "Hiệu ứng plasmon của dây nano kim loại", Khĩa luận tốt nghiệp, 2016. [7]. Barnes W.L., Dereux A. & Ebbesen T.W, “Surface Plasmon subwavelength optics”, Nature 424, pp 824-830, 2003. [8]. Balykin V I, Hakuta K, Kien F L, Liang J Q and Morinaga M:"Atom trapping and guiding with a subwavelength-diameter optical fiber" Phys. Rev. A 70 011401, 2004. [9]. C. T. Anh, D. T. Nga, T. T. Thao, N. V. Thanh, N. A. Viet, “Trapping Cold Atoms by a Carbon Nanotube” Mod. Phys. Lett. B. 25, 979 (2011). [10]. [11]. M.A.Garcia, “Surface plasmon in metallic nanoparticles: Fundamentals and applications”, Journal of Physics D: Applied Physic 44, 28 283001, 2011. [12]. Nguyen Thi Phuong Lan, Do Thi Ngaand Nguyen Ai Viet, A model of optical trapping cold atoms using a metallic nano wire with surface plasmon effect, J. Phys.: Conf. Series 726 012008, 2016. [13]. Ren-Bin Z, Wei-Hao L, Jun Z and Sheng-Gang L, ''Surface plasmon wave propagation along single metal wire'', Chin. Phys. B 21 117303, 2012. 43