Xác định hằng số mạng tinh thể silic bằng phương pháp thống kê momen

Nội dung text: Xác định hằng số mạng tinh thể silic bằng phương pháp thống kê momen

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HOÀNG THỊ HOA XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HOÀNG THỊ HOA XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PHAN THỊ THANH HỒNG HÀ NỘI, 2017
3. LỜI CÁM ƠN Em xin gửi lời cám ơn chân thành, sâu sắc đến TS.Phan Thị Thanh Hồng người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo và tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân thành cám ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Tôi xin cám ơn các bạn sinh viên lớp K39A – Sư phạm Vật lý – Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã đóng góp ý kiến quý báu cho khóa luận. Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh Viên Hoàng Thị Hoa
4. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của T.S Phan Thị Thanh Hồng cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan những kêt quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm . Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Hoa
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Ý nghĩa khoa học của đề tài 2 7. Cấu trúc khóa luận 2 CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC CỦA TINH THẾ SI 3 1.1. Cấu trúc tinh thể Si 3 1.2 Các tính chất hóa, lý học của Silic. 4 1.2.1. Tính chất hóa học. 4 1.2.2. Tính chất vật lý 5 1.3 Một số ứng dụng của chất bán dẫn Si. 5 1.4. Các khuyết tật trong tinh thể Si 9 CHƯƠNG 2 : XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC 13 2.1. Cách xác định hằng số mạng của tinh thể bằng phương pháp thống kê mô men. 13 2.2. Xác định độ dịch chuyển y0 của hạt khỏi vị trí cân bằng. 14 2.3. Xác định khoảng lân cận gần nhất r10 18 2.4. Áp dụng tính số và thảo luận kết quả 19 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24
6. DANH MỤC HÌNH Hình 1.1: Cấu trúc tinh thể Silic. 4 Hình 1.2: Khuyết tật nút khuyết trong tinh thể Si. 11 Hình 1.3: Khuyết tật tự xen kẽ (self-interstitial) trong tinh thể Si. 11 Hình 1.4: Khuyết tật tạp xen kẽ (dopant-interstitial) trong tinh thể Si. 12 Hình 1.5: Ô cơ sở lập phương của tinh thể Si 13
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong hàng ngũ đông đảo các vật liệu chất rắn, các chất bán dẫn chiếm một vị trí quan trọng và được quan tâm nghiên cứu liên tục trong suốt mấy chục năm qua. Lĩnh vực khoa học kỹ thuật nghiên cứu những tính chất và cơ chế vật lý xảy ra trong các chất bán dẫn đã đạt được những thành tựu hết sức to lớn. Với những thành tựu đó, các chất bán dẫn thực sự đã làm một cuộc cách mạng trong công nghiệp điện tử cũng như trong nhiều ngành khoa học và công nghiệp khác. Silic(Si) là vật liệu bán dẫn điển hình. Đơn tinh thể Si có cấu trúc kim cương. Si cũng là chất bán dẫn được nghiên cứu nhiều nhất và có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Khi nghiên cứu các vật liệu rắn nói chung và Si nói riêng, việc xác định chính xác hằng số mạng của tinh thể là điều hết sức quan trọng. Có nhiều phương pháp lí thuyết khác nhau để xác định hằng số mạng của tinh thể. Trong luận văn này, chúng tôi “Xác định hằng số mạng của tinh thể silic bằng phương pháp thống kê mô men’’. 2. Mục đích nghiên cứu Áp dụng phương pháp thống kê mô men để xác định hằng số mạng của tinh thể Si. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: tinh thể bán dẫn Si. Phạm vi nghiên cứu: Xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số mạng của tinh thể Si bằng phương pháp thống kê mô men. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau: 1
8. Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của Si. Tìm hiểu về phương pháp thống kê mô men. Xác định hằng số mạng của tinh thể Si bằng phương pháp thống kê mô men. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc các tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu. Sử dụng các phần mềm hỗ trợ tính toán để tính số. Tổng hợp, khái quát các kiến thức tìm hiểu và tính toán được. 6. Ý nghĩa khoa học của đề tài Đề tài giúp cho tác giả và người đọc biết rõ hơn về bán dẫn Si cũng như các ứng dụng quan trọng của nó. Biết được cách xác định hằng số mạng của tinh thể Si bằng phương pháp thống kê mô men. 7. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia làm 2 chương, 5 mục . Nội dung chủ yếu của từng chương cụ thể như sau : Chương 1: Trình bày sơ lược về cấu trúc của tinh thể Si, các ứng dụng quan trọng của tinh thể Si ; cách xác định hẳng số mạng của tinh thể Si. Chương 2: Sử dụng các biểu thức giải tích thu được từ việc áp dụng phương pháp thống kê momen đồng thời sử dụng phần mềm maple để tính hằng số mạng tinh thể Si 2
9. CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC CỦA TINH THẾ SI 1.1. Cấu trúc tinh thể Si Các chất bán dẫn thông dụng thường kết tinh theo dạng tinh thể lập phương tâm diện [3]. Trong đó, mỗi nút mạng được gắn với một gốc gồm hai nguyên tử. Đối với các chất bán dẫn đơn chất như Si, Ge thì hai nguyên tử đó là cùng loại và nó là khác loại nếu là bán dẫn hợp chất như : GaAs, InSB, CdTe, Trong tinh thể Si, nếu ở nút mạng có một nguyên tử thì còn có một nguyên tử khác nằm cách nguyên tử đó một khoảng bằng 1 đường chéo của ô 4 a 3 mạng cơ bản, khoảng cách đó bằng ( a là hằng số mạng của tinh thể ). Do 4 vậy, nếu tọa độ của nguyên tử thứ nhất trong hệ trục tọa giao là (0,0,0) thì tọa a a a độ nguyên tử thứ hai là , , . 4 4 4 Như vậy tinh thể Si được xem như gồm hai mạng lập phương tâm diện a 3 lồng vào nhau, mạng thứ hai dịch đi một đoạn bằng theo phương đường 4 chéo của hình lập phương so với mạng thứ nhất (Hình 1.1). Đối với tinh thể Si hay các chất bán dẫn khác, hai mạng đó đều được cấu tạo từ cùng một loại nguyên tử. Từ (Hình 1.1) ta thấy rằng, mỗi nguyên tử Si là tâm của một hình tứ diện đều cấu tạo từ 4 nguyên tử Si xung quanh. Ta thấy rằng trong tinh thể Si, mỗi nguyên tử Si là tâm của một hình tứ diện đều cấu tạo từ 4 nguyên tử Si xung quanh. Đây là đặc trưng quan trọng của cấu trúc này – cấu trúc kim cương. 3
10. 1 a Hình 1.1: Cấu trúc tinh thể Silic. Tuy nhiên, trong thực tế tinh thể lí tưởng thường không có thực và cũng hiếm có bán dẫn tinh khiết. Các tinh thể bán dẫn thường có tạp chất và bị khuyết tật. Chính việc nghiên cứu về bán dẫn pha tạp này, cùng với việc đi sâu tìm hiểu các yếu tố ảnh hưởng cũng như các tính chất vật lý, hóa học của chúng mà đã có rất nhiều phát minh khoa học đã được ra đời với nhiều ứng dung quan trọng trong kỹ thuật cũng như trong đời sống. 1.2 Các tính chất hóa, lý học của Silic. 1.2.1 Tính chất hóa học. Silic tinh khiết kết tinh ở dạng tinh thể lập phương, có cấu trúc giống kim cương. Trong mạng lưới tinh thể đó mỗi nguyên tử silic liên kết cộng hóa với 4
11. 4 nguyên tử silic bao quanh kiểu hình tứ diện đều [4]. Độ dài của liên kết Si- Si-Si là 2,34 Å. - Ở điều kiện thường, silic khá trơ về mặt hóa học vì có mạng lưới tinh thể rất bền. - Ở khoảng 800- 900оC, Si tác dụng với một số kim loại như Mg, Ca, Fe, Cu, tạo thành Sixilua. Giống với Cacbua, Sixilua của kim loại chuyển tiếp thường là hợp chất kiểu xâm nhập, thành phần của chúng không ứng với hóa trị bình thường của các nguyên tố. - Silic không tan trong dung môi mà chỉ tan trong một số kim loại nóng chảy như Al, Ag, Zn, Pb, Khi để nguội những dung dịch đó, Si sẽ kết tinh và tính chất này được sử dụng để điều chế Silic tinh thể. 1.2.2 Tính chất vật lý. - Giống với kim cương, Si tinh thể cũng cứng (độ cứng bằng 7), rất khó nóng chảy, khó sôi (nhiệt độ nóng chảy là 1428оC và nhiệt độ sôi là 3280оC) và có tỉ khối là 2,33. - Trong tinh thể silic có một phần nào đó sự không định chỗ của liên kết nên silic có màu xám, có ánh kim. - Silic tinh khiết là chất bán dẫn, tính dẫn điện kém, khi nhiệt độ càng cao tính dẫn điện càng tăng dần. Si bán dẫn chịu được nhiệt độ cao (250оC) hơn Gecmani bán dẫn (75оC). - Có khả năng truyền nhiệt tốt do các nguyên tử trong mạng lưới liên kết rất chặt chẽ với nhau. Dựa vào tất cả những đặc tính này mà người ta thường dùng nó để chế tạo và sử dụng các thiết bị bán dẫn và nhiều thiết bị khác ứng dụng tính bán dẫn này. 1.3 Một số ứng dụng của chất bán dẫn Si. Ứng dụng của Si 5
12. Silic là nguyên tố rất có ích và cực kỳ cần thiết trong nhiều ngành công nghiệp [6]. Chẳng hạn như trong xây dựng thì Silica là thành phần quan trọng trong sản xuất gạch, xi măng, bê tông vì tính hoạt hoá thấp của nó. Trong y tế thì vật liệu y tế - Silicon là hợp chất dẻo chứa các liên kết silic-oxy và silic-cacbon, chúng được sử dụng trong các ứng dụng như nâng ngực nhân tạo và lăng kính tiếp giáp. Một số hợp chất của silic với kim loại như thép- silic, Cu-Si, là thành phần quan trọng trong sản xuất vật liệu, đồ dùng thiết thực cho đời sống của con người. Ngoài ra còn có hợp chất cacbua-silic dùng để sản xuất giấy nhám và là một trong những vật liệu mài mòn quan trọng nhất. Trong các photonic-silic được sử dụng trong các laser để sản xuất ánh sáng đơn sắc có bước sóng 456nm. Thuỷ tinh-Silica từ cát là thành phần cơ bản của thuỷ tinh. Thuỷ tinh có thể sản xuất thành nhiều chủng loại đồ vật với những thuộc tính lý học khác nhau. Silica được sử dụng như vật liệu cơ bản trong sản xuất kính cửa sổ, đồ chứa, sứ cách điện Nhưng đáng quan tâm hơn cả là những ứng dụng của Si dựa vào tính bán dẫn của nó. Có thể kể ra một số ví dụ điển hình như sau: + Đầu tiên là việc chế tạo hai loại bán dẫn, đó là bán dẫn kiểu n và bán dẫn kiểu p. Đối với bán dẫn kiểu n thì khi cho thêm một lượng nhỏ các nguyên tố hóa trị V (nhóm V) như: phôtpho (P), asen (As), vào tinh thể silic, những nguyên tử pha thêm đó xâm nhập vào mạng lưới tinh thể của Si. Vì mỗi nguyên tử Si chỉ cần 4 electron hoá trị để tạo nên liên kết với 4 nguyên tử Si bao quanh, nên các nguyên tử pha thêm có dư một elecctron. Electron đó chiếm một mức năng lượng ở trong vùng dẫn của tinh thể Si. Nếu đặt một hiệu điện thế lên tinh thể Si, electron đó di chuyển xuyên suốt tinh thể và tinh thể trở nên dẫn điện. Trong trường hợp này, sự dẫn điện gây ra bởi sự dịch chuyển của electron âm điện nên Si là chất bán dẫn kiểu n (negative) [4] 6
13. Tương tự như vậy, đối với bán dẫn kiểu p, khi cho một lượng nhỏ các nguyên tố hóa trị III (nhóm III) như: bo (B), nhôm (Al), vào tinh thể silic, những nguyên tử pha thêm này cũng xâm nhập vào mạng lưới tinh thể silic. Vì cần 4 electron để tạo 4 liên kết với silic nên nguyên tử B hay Al phải lấy thêm 1 electron của nguyên tử silic bao quanh làm cho nguyên tử silic này bị mất bớt electron nên mang điện dương. Lỗ khuyết trong vỏ electron hoá trị của Si được gọi là lỗ khuyết dương. Một electron từ nguyên tử Si khác ở bên cạnh di chuyển đến lỗ khuyết dương đó làm xuất hiện lỗ khuyết dương mới ở nguyên tử silic đó và cứ như vậy hiện tượng xuất hiện lỗ khuyết dương tiếp tục xảy ra. Nếu đặt một thế hiệu điện lên tinh thể silic, những lỗ khuyết dương di chuyển xuyên suốt tinh thể và tinh thể trở nên dẫn điện. Trường hợp này sự dẫn điện gây ra bởi sự di chuyển của lỗ khuyết dương trong mạng tinh thể nên được gọi là bán dẫn kiểu p (positive). + Tranzito là thiết bị bán dẫn được sáng chế từ năm 1948 và là áp dụng đầu tiên của công nghệ bán dẫn [4]. Đây là thiết bị bán dẫn bao gồm một lớp màng mỏng chất bán dẫn kiểu n (hay p) kẹp giữa hai lớp màng mỏng chất bán dẫn kiểu p (hay n). Tranzito kiểu pnp hoạt động nhờ sự di chuyển của lỗ khuyết dương (+), còn tranzito kiểu npn hoạt động nhờ sự di chuyển của electron (-). Tranzito có khả năng khuếch đại dòng và thế điện. + Pin Mặt Trời cũng được cấu tạo dựa trên hai loại bán dẫn này. Bằng cách xếp một màng mỏng chất bán dẫn kiểu n lên trên một màng mỏng bán dẫn kiểu p. Nếu chiếu ánh sáng mặt trời lên các lớp màng đó, những electron tự do ở lớp trên theo dây dẫn của mạch ngoài được hút đến lỗ khuyết dương ở lớp dưới. Vì electron rời khỏi lớp bán dẫn kiểu n đến tích luỹ ở lớp bán dẫn kiểu p nên lớp trên trở nên dương và lớp dưới trở nên âm hơn. Electron ở lớp dưới được hút kéo lên lớp trên và mạch điện trở nên kín. Pin mặt trời hay pin quang điện này chuyển hoá được 25 % năng lượng mặt trời chiếu tới thành 7
14. điện năng [4]. Hàng vạn pin mặt trời ghép lại thành tấm có thể thay thế cho trạm điện. Pin mặt trời thường được dùng để cung cấp điện cho máy móc trong vệ tinh nhân tạo và tàu du hành vũ trụ, nó cũng ngày càng được dùng phổ biến hơn trong đời sống hàng ngày. + Khi ghép một cực làm bằng chất bán dẫn kiểu p với một cực làm bằng chất bán dẫn kiểu n, chúng ta được một tiếp giáp p-n. Bằng cách đặt vào hai cực đó một thế hiệu điện người ta đã tạo ra được một thiết bị có khả năng chuyển dòng điện xoay chiều thành dòng điện một chiều.Vì vậy mà thiết bị này được gọi là bộ chỉnh lưu. Bộ chỉnh lưu bán dẫn thay cho điôt điện tử trước đây nên được gọi là điôt bán dẫn. + Mạch tổ hợp: bao gồm hàng ngàn điện trở, tranzito, chỉnh lưu và tụ điện được cấu tạo nên từ chất bán dẫn kiểu p và n ở trên một mảnh silic có kích thước vài milimet được cắt ra từ đơn tinh thể Si. Có thể nói vi mạch silic là trái tim của đồng hồ đeo tay hiện số, máy tính và máy vi tính [4]. Việc thu nhỏ mạch điện bằng tranzito và vi mạch tổ hợp là một cuộc cách mạng rất lớn trong ngành công nghiệp điện tử và ngành công nghiệp máy tính. Để có được các linh kiện bán dẫn kể trên, từ chất bán dẫn tinh khiết ban đầu (Si hoặc Ge) người ta phải tạo ra hai loại bán dẫn là bán dẫn loại n (dẫn điện chủ yếu bằng điện tử) và bán dẫn loại p (dẫn điện chủ yếu bằng lỗ trống), bằng cách pha các nguyên tử tạp chất vào Si (hay Ge). Sau đó ghép hai loại bán dẫn đó lại với nhau để được điôt hay tranzito. Công nghệ pha tạp nói chung rất đa dạng và cũng là một công nghệ rất cơ bản được sử dụng thường xuyên từ xa xưa. Có nhiều phương pháp pha nguyên tử tạp chất vào vật liệu bán dẫn như: Phương pháp nuôi đơn tinh thể, phương pháp cấy ion, phương pháp khuếch tán, So với các phương pháp khác thì phương pháp khuếch tán có nhiều ưu điểm như không làm thay đổi cấu trúc tinh thể, có thể pha tạp với 8
15. chiều sâu tùy ý, cho phép điều khiển tốt hơn tính chất của transistor và đã thu được những thiết bị có thể hoạt động ở tần số cao. Hơn nữa, quá trình khuếch tán cũng cho phép nhiều transistor được chế tạo trên một lớp silic đơn tinh thể mỏng, vì vậy giá thành của những thiết bị này giảm xuống. Đó là những lí do khiến cho kĩ thuật khuếch tán các nguyên tử tạp chất vào vật liệu bán dẫn đã và đang phát triển nhanh chóng nhằm chế tạo các tranzito, các vi mạch điện tử và ngày nay là các mạch điện có các cấu hình có kích thước nanô, nanô sensor, 1.4. Các khuyết tật trong tinh thể Si Đa số vật rắn có cấu trúc mạng tinh thể và chúng gồm một số rất lớn các nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách tuần hoàn trong không gian để tạo thành mạng tinh thể lí tưởng. Thực tế, mạng tinh thể lí tưởng thường không có thực. Các tinh thể thực luôn chứa đựng bên trong nó những khuyết tật (còn gọi là sai hỏng). Có nhiều loại khuyết tật với những đặc điểm khác nhau như: - khuyết tật điểm có kích thước cỡ nguyên tử theo ba chiều không gian, - khuyết tật đường có kích thước cỡ nguyên tử theo hai chiều và rất lớn theo chiều thứ ba, - khuyết tật mặt có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều thứ ba, - khuyết tật khối có kích thước lớn theo cả ba chiều không gian. Trong số các loại khuyết tật kể trên, khuyết tật điểm có cấu trúc đơn giản nhất và tồn tại nhiều nhất trong các tinh thể rắn. Các khuyết tật điểm có thể được phát sinh trong tinh thể bằng quá trình Schottky hoặc Frenkel [2]. Trong quá trình Schottky, một xen kẽ (Iterstitial- kí hiệu là I) được tạo ra bởi sự di chuyển của một nguyên tử từ bề mặt vào một lỗ hổng nào đó bên trong tinh thể hay ngược lại một nút khuyết (Vacancy- kí hiệu là V) được hình 9
16. thành khi một nguyên tử rời khỏi nút mạng để di chuyển ra mặt ngoài của tinh thể. Trong quá trình Frenkel, một nguyên tử sẽ rời khỏi vị trí nút mạng của nó để tới một vị trí lỗ hổng mạng, tạo ra một xen kẽ và một nút khuyết. Khi nghiên cứu hiện tượng khuếch tán của các nguyên tử trong tinh thể, người ta đã chỉ ra rằng các khuyết tật điểm trong tinh thể đóng vai trò quyết định trong sự khuếch tán của các nguyên tử. Các khuyết tật điểm có thể được phân làm hai loại là khuyết tật điểm tự nhiên và khuyết tật điểm gắn liền với tạp. Khuyết tật điểm tự nhiên tồn tại trong tinh thể Si tinh khiết. Khuyết tật điểm gắn liền với tạp xuất hiện từ việc đưa các tạp chất từ bên ngoài vào trong tinh thể. Khuyết tật điểm tự nhiên tồn tại trong tinh thể Si là nút khuyết (vacancy) và xen kẽ (interstitial) Nút khuyết được định nghĩa đơn giản là một vị trí nút mạng tinh thể bị bỏ trống (Hình 1.2). 10
17. V Hình 1.2: Khuyết tật nút khuyết trong tinh thể Si. Xen kẽ được hiểu là một nguyên tử cư trú ở một lỗ hổng (kẽ hở) bên trong mạng tinh thể Si. Có hai loại xen kẽ là xen kẽ do các nguyên tử Si-tự xen kẽ (self-interstitial) (Hình 1.3) và xen kẽ do nguyên tử tạp chất (dopant- interstitial) (Hình 1.4). Si Hình 1.3: Khuyết tật tự xen kẽ (self-interstitial) trong tinh thể Si. 11
18. TẠP Hình 1.4: Khuyết tật tạp xen kẽ (dopant-interstitial) trong tinh thể Si. 12
19. CHƯƠNG 2 : XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC 2.1. Cách xác định hằng số mạng của tinh thể bằng phương pháp thống kê mô men. Như chúng tôi đã trình bày trong chương 1. Mạng tinh thể Si được cấu tạo từ hai phần mạng lập phương tâm mặt lồng vào nhau, phân mạng này dịch 3 đi so với phần mạng kia một khoảng bằng √ theo đường chéo của hình lập 4 phương. Mạng tinh thể Si thì được cấu tạo từ một loại nguyên tử là Si. B C A a Hình 1.5: Ô cơ sở lập phương của tinh thể Si 13
20. Trong mạng tinh thể Si ta giả sử tách ra một ô cơ sở lập phương có cạnh là hằng số mạng a .Gọi 표 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử thì ta có : = = mà AB =a√3 1 4 3 4 => = √ hay a= 1 (2.1) 1 4 √3 Như vậy, muốn xác định hằng số mạng a ta phải xác định được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T theo công thức sau: 1 = 10 + 0 , (2.2) trong đó, r10 là khoảng lần cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ 0K, y0 là độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày cách xác định hai đại lượng này. 2.2. Xác định độ dịch chuyển y0 của hạt khỏi vị trí cân bằng. Trong công trình [1] về “nghiên cứu các tính chất nhiệt động và mô đun đàn hồi của tinh thể và hợp chất bán dẫn bằng phương pháp thống kê momen”, tác giả đã xây dựng được biếu thức xác định độ dịch chuyển y0 của hạt khỏi vị trí cân bằng trong tinh thể bán dẫn ở nhiệt độ T. Ở phép gần đúng đến bậc một, biểu thức y0 có dạng: 훽 1 2훾2휃2 1 2훾휃 2훾2 훽 = ′ − + [1 + (1 + ) (1 + )] [ − ( − 1) − ] 0 0 3훾 퐾 퐾4 2 3 3훾 27훾 훾 (2.3) trong đó: ℏ휔 = 표푡ℎ , = , (2.4) 2휃 휕2휑 = ( 푖) ≡ 휔2 , (2.5) 휕 2 푗 푒푞 14
21. 휕3휑 훽 = ( 푖 ) , (2.6) 휕 휕 휕 푗 푗 푗 푒푞 1 휕4휑 휕4휑 훾 = [( 푖) + 6 ( 푖 ) ] , (2.7) 6 휕 4 휕 2 휕 2 푗 푒푞 푗 푗 푒푞 훽2 퐾 = − , 휃 = , (2.8) 3훾 ở đây, ujx, ujy, ujz là độ dời của hạt thứ j khỏi vị trí cân bằng theo các phương x, y, z; 휑i là thế năng tương tác của hạt thứ i trong tinh thể. Khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị, 휑i có dạng: 1 1 휑 = 휑 (| ⃗⃗⃗ |) = ∑ Φ (| ⃗⃗⃗ |) + ∑ 푊 ( ⃗⃗⃗ ) , (2.9) 푖 푖 𝑗 2 푗 푖푗 𝑗 6 푖푗 푖푗 𝑗 trong đó, Φij là thế năng tương tác giữa hạt thứ i (hạt chọn làm gốc) và hạt thứ j, Wijk là thế năng tương tác giữa hạt i, j và k; aj là vị trí cân bằng của hạt thứ j. 휕2휑 Trong các công thức từ (2.5) đến (2.7) dạng của số hạng ( 푖) , 휕 2 푗 푒푞 휕4휑 휕3휑 휕4휑 ( 푖) , ( 푖 ) và ( 푖 ) được xác định như sau: 휕 4 휕 휕 휕 휕 2 휕 2 푗 푒푞 푗 푗 푗 푒푞 푗 푗 푒푞 휕2휑 ( 푖) = (Θ2휑 ) 2 + (Θ휑 ) 휕 2 푖 푗 푖 푗 푒푞 휕4휑 ( 푖) = (Θ4휑 ) 4 + 6(Θ3휑 ) 2 + 3(Θ2휑 ) 휕 4 푖 푗 푖 푗 푖 푗 푒푞 (2.10) 휕3휑 ( 푖 ) = (Θ3휑 ) 휕 휕 휕 푖 푗 푗 푗 푗 푗 푗 푒푞 휕4휑 ( 푖 ) = (Θ4휑 ) 2 2 + (Θ3휑 )( 2 + 2 ) + (Θ2휑 ) 휕 2 휕 2 푖 푗 푗 푖 푗 푗 푖 푗 푗 푒푞 15
22. trong đó, 1 (1) (1) Θ휑푖 = [Φ푖푗 ( 푗) + ∑ 푊푖푗 ( 푗)] 푗 2 1 (2) (2) 1 (1) Θ 휑푖 = 2 [Φ푖푗 ( 푗) + ∑ 푊푖푗 ( 푗)] − 3 [Φ푖푗 ( 푗) + 푗 푗 (1) ∑ 푊푖푗 ( 푗)] 3 1 (3) (3) 3 (2) Θ 휑푖 = 3 [Φ푖푗 ( 푗) + ∑ 푊푖푗 ( 푗)] − 4 [Φ푖푗 ( 푗) + 푗 푗 (2) 3 (1) (1) ∑ 푊푖푗 ( 푗)] + 5 [Φ푖푗 ( 푗) + ∑ 푊푖푗 ( 푗)] 푗 4 1 (4) (4) 6 (3) Θ 휑푖 = 4 [Φ푖푗 ( 푗) + ∑ 푊푖푗 ( 푗)] − 5 [Φ푖푗 ( 푗) + 푗 푗 (3) 15 (2) (2) 15 (1) ∑ 푊푖푗 ( 푗)] + 6 [Φ푖푗 ( 푗) + ∑ 푊푖푗 ( 푗)] − 7 [Φ푖푗 ( 푗) + 푗 푗 (1) ∑ 푊푖푗 ( 푗)] (2.11) Các kí hiệu (1), (2), (3) và (4) trên đầu các hàm Φij(aj), Wijk(aj) là đạo hàm các cấp tương ứng theo aj. ’ Trong công thức (2.3), y 0 lại được xác định như sau: 2훾휃2 ′ ≈ √ , (2.12) 0 3퐾3 với 훾2휃2 훾3휃3 훾4휃4 훾5휃5 훾6휃6 = + + + + + , (2.13) 1 퐾4 2 퐾6 3 퐾8 4 퐾10 5 퐾12 6 = 1 + , 1 2 16
23. 13 47 23 1 = + + 2 + 3 , 2 3 6 6 2 25 121 50 16 1 = − ( + + 2 + 2 + 4) , 3 3 6 3 3 2 43 93 169 83 22 1 = + + 2 + 2 + 4 + 5 , 4 3 2 3 3 3 2 103 749 363 391 148 53 1 = − ( + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6), 5 3 6 2 3 3 6 2 561 1489 927 733 145 31 1 = 65 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 . 6 2 3 2 3 2 3 2 Như vậy để xác định được độ dời y0 của hạt ở nhiệt độ T, ta phải xác được các thông số k, 훽, 훾 ở nhiệt độ T=0K. Vì tương tác giữa hạt là tương tác ngắn, nên khi áp dụng tính số cho các công thức nêu trên ta chỉ kể đến sự tương tác của các hạt trên quả cầu phối vị thứ nhất và thứ 2 có tâm là hạt gốc i, có bán kính là r1, r2. Khi đó thay (2.11) vào (2.10), các thông số k, 훽, 훾 sẽ có dạng như sau: 2 2 (2) 4 (1) (1) = [Φ푖푗( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] + [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] + 3 3 1 2 (2) 4 (1) (1) 2 [Φ푖푗( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] + [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] 2 (2.14) 2 (3) (3) 2 (2) 훽 = [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] − [Φ푖푗 ( 1) + 3√3 √3 1 (2) 2 (1) (1) ∑ 푊푖푗 ( 1)] + 2 [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] √3 1 (2.15) 훾 = 4(훾1 + 훾2) , (2.16) 17
24. 1 (4) (4) 1 (3) 훾1 = [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] + [Φ푖푗 ( 1) + 108 9 1 (3) 1 (2) (2) 1 (1) ∑ 푊푖푗 ( 1)] − 2 [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] + 3 [Φ푖푗 ( 1) + 9 1 9 1 (1) 1 (4) (4) 1 (3) ∑ 푊푖푗 ( 1)] + [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] + [Φ푖푗 ( 2) + 24 4 2 (3) 1 (2) (2) 1 (1) ∑ 푊푖푗 ( 2)] − 2 [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] + 3 [Φ푖푗 ( 2) + 8 1 8 2 (1) ∑ 푊푖푗 ( 2)] , (2.17) 1 훾 = [Φ(4)( ) + ∑ 푊(4)( )] + 0 [Φ(3)( ) + ∑ 푊(3)( )] + 2 18 푖푗 1 푖푗 1 푖푗 1 푖푗 1 1 (2) (2) 1 (1) (1) 2 [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] − 3 [Φ푖푗 ( 1) + ∑ 푊푖푗 ( 1)] − 3 1 3 1 1 (4) (4) 1 (3) (3) [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] + [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] + 8 4 2 3 (2) (2) 3 (1) (1) 2 [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] − 3 [Φ푖푗 ( 2) + ∑ 푊푖푗 ( 2)] , 8 1 8 2 (2.18) 2.3. Xác định khoảng lân cận gần nhất r10 Khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K (bán kính quả cầu phối vị thứ nhất) có thể xác định từ điều kiện cực tiểu của thế năng tương tác u0, hoặc từ việc giải phương trình trạng thái. Trong luận văn này chúng tôi xác định r10 từ phương trình trạng thái có dạng [1] sau: 1 휕 0 ℏ휔 휕 푣 = − 1 [ + ], (2.19) 3 휕 1 4 휕 1 trong đó, p là áp suất thủy tĩnh, v là thể tích nguyên tử của Si được xác định theo công thức 푣 = , r1 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt, k là 18
25. hằng số dao động được xác định theo (2.14); u0 là thế năng tương tác trung bình của một hạt trong tinh thể được xác định theo (2.9) : 1 1 푈 = ∑ 휑 (| |) = ∑ Φ (| |) + ∑ 푊 (| |) (2.20) 0 푖 푗 2 푖푗 푗 6 푖푗 푗 푖 푗 푗, với rj là bán kính quả cầu phối vị thứ j, tổng theo j là tổng số hạt trên quả cầu phối vị thứ j. Khi p=0, giải phương trình trạng thái (2.19) ta sẽ tìm được r10. 2.4. Áp dụng tính số và thảo luận kết quả Như chúng tôi đã nêu ở trên, đối với những vật liệu có liên kết cộng hóa trị mạnh như bán dẫn, thì việc chỉ sử dụng thế cặp ij là không đủ để mô tả lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có các tương tác ba hạt Wijk . Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thế tương tác ba hạt được trình bày cho bán dẫn Si có dạng [5]: 휑 = ∑ Φ푖푗 + ∑ 푊푖푗 , 푖<푗 푖<푗< (2.21) 12 6 0 0 Φ푖푗 = 휀 [( ) − 2 ( ) ], (2.22) 푖푗 푖푗 (1+3 표푠휃푖 표푠휃푗 표푠휃 ) 푊푖푗 = 푍 3 , (2.23) ( 푖푗 푗 푖) trong đó, rij , rjk , rki tương ứng là khoảng cách giữa các cặp hạt i và j, j và k, k và i; i , j ,k là ba góc trong của tam giác được tạo thành từ ba hạt i, j, k; , r0 , Z là các thông số thế được xác định từ thực nghiệm. Giá trị của các thông số này được trình bày cho Si trong Bảng 2.1. Bảng 2.1: Giá trị thực nghiệm các thông số thế của Si. 19
26. Đại lượng Si 휀 (eV) 2,817 푅0 (Å) 2,295 9 푍 (eV.Å ) 3484,0 Thay các tương tác hai hạt (2.22) và tương tác ba hạt (2.23), được áp dụng cho tinh thể Si lí tưởng xét trên hai quả cầu phối vị thứ nhất và thứ hai có tâm là hạt gốc i (quả cầu thứ nhất có 4 hạt, quả cầu thứ hai có 12 hạt) vào các biểu thức (2.20) và (2.14), chúng ta sẽ thu được các biểu thức của u0 và k tính theo khoảng lân cận gần nhất r1 . Thay các biểu thức của u0 và k vừa tìm được vào phương trình trạng thái (2.19), sử dụng phần mềm toán học Maple ta sẽ giải được phương trình (2.19). Nghiệm của phương trình trạng thái (2.19) khi p = 0, chính là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K khi tinh thể Si lí tưởng (r10). Tiến hành làm tương tự như trên, nhưng xét quả cầu phối vị thứ nhất bị khuyết 1 hạt (quả cầu thứ nhất có 3 hạt, quả cầu thứ hai có 12 hạt). Giải V phương trình trạng thái (2.19) cho trường hợp này ta thu được nghiệm r10 - là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K khi tinh thể có khuyết tật vacancy. Tương tự, xét quả cầu phối vị thứ nhất có thêm một hạt (quả cầu thứ nhất có 5 hạt, quả cầu thứ 2 có 12 hạt). Cũng giải phương trình trạng thái I (2.19) ứng với trường hợp này ta thu được nghiệm r10 - là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K khi tinh thể có khuyết tật điền kẽ. Sau khi tìm được r10, chúng ta sẽ tìm được giá trị của các thông số , 훾1, 훾2, 훽, 퐾 của Ge tương ứng ở nhiệt độ 0K nhờ các công thức (2.14), (2.17), (2.18), (2.16),(2.15) và (2.8). biết giá trị của các thông số này, chúng ta sẽ tìm được độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T (y0) theo công thức (2.3). Vì giá trị của y0 là rất nhỏ so với khoảng lân cận gần 20
27. nhất giữa hai hạt, nên trong giới hạn gần đúng ta có thể coi độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T, khi tinh thể có khuyết tật là bằng giá trị y0 của tinh thể lí tưởng. Biết các khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K ( 10, 10, 10) và độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng T(y0), ta tìm được các khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T( 1, 1 , 10) theo công thức (2.19). Thay 1, 1 , tương ứng vào (2.1) ta sẽ tìm được các hằng số mạng 퐿 , 퐾 , 퐾 . Giá trị của các hằng số mạng được trình bày trong Bảng 2.2. Bảng 2.2 : Giá trị của hằng số mạng của tinh thể Si T (K) 퐿 (Å) 퐾 (Å) 퐾 (Å) 0 5,3542 5,3154 5,5047 300 5,3872 5,3483 5,5377 400 5,3933 5,3545 5,5438 500 5,3940 5,3611 5,5505 600 5,4077 5,3688 5,5582 700 5,4171 5,3782 5,5676 800 5,4291 5,3903 5.5796 900 5,4449 5,4060 5,5954 1000 5,4655 5,4266 5,6159 1100 5,4920 5,4532 5,6425 1200 5,5656 5,4868 5,6761 1300 5,5674 5,5285 5,7179 1400 5,6162 5,5794 5,7687 1500 5,6791 5,6403 5,8296 21
28. - Khi nhiệt độ tăng, các hằng số mạng đều tăng. Ở vùng nhiệt độ thấp, sự tăng này là không đáng kể, bởi các nguyên tử chỉ dao động quanh vị trí cân bằng với biên độ nhỏ ( y0 nhỏ). Nhiệt độ càng cao các nguyên tử dao động quanh vị trí cân bằng càng mạnh, dẫn đến độ dịch chuyển y0 của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng càng lớn, làm cho hằng số mạng tăng lên rất nhanh, đặc biệt là ở gần vùng nhiệt độ nóng chảy. - Ở cùng một nhiệt độ, hằng số mạng của tinh thể Si có khuyết tật vacancy nhỏ hơn của Si lí tưởng, còn của Si có khuyết tật điền kẽ lại lớn hơn. Điều này là hoàn toàn phù hợp với quy luật tự nhiên, bởi khi một nguyên tử rời khỏi nút mạng để hình thành một vacancy thì mạng tinh thể sẽ bị co lại, dẫn đến hằng số mạng giảm. Ngược lại, khi một nguyên tử từ bên ngoài nhảy vào chiếm một vị trí điền kẽ sẽ làm cho mạng tinh thể bị phình ra, tức là hằng số mạng tăng lên. - Khi so sánh kết quả của hằng số mạng được tính bằng phương pháp thống kê momen ( 퐿 = 5,3872) và thực nghiệm ( 0=5,4307) ở 300K ta thấy kết quả thu được bằng phương pháp thống kê momen là phù hợp tốt với thực nghiệm. 22
29. KẾT LUẬN Sau một thời gian nghiên cứu, với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Phan Thị Thanh Hồng, tôi đã hoàn thành khóa luận với đề tài : “ Xác định hằng số mạng của tinh thể Si bằng phương pháp thống kê mô men”. Các kết quả chính đạt được của khóa luận là: 1. Trình bày sơ lược về cấu trúc tinh thể của Si; các ứng dụng của Si, cách xác định hằng số mạng của tinh thể Si 2. Áp dụng các biểu thức giải tích thu được từ phương pháp thống kê mô men để tính hằng số mạng tinh thể Si bằng phần mềm maple. Do thời gian có hạn, kinh nghiệm của bản thân chưa có, nên đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn. 23
30. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Phạm Thị Minh Hạnh (2006), Nghiên cứu các tính chất nhiệt động và môđun đàn hồi của tinh thể và hợp chất bán dẫn bằng phương pháp mômen, Luận án Tiến sỹ Vật lý, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [2]. Phan Thị Thanh Hồng (2013), Nghiên cứu sự tự khuếch tán và khuếch tán của tạp chất trong bán dẫn bằng phương pháp thống kê mômen, Luận án Tiến sĩ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [3]. Phùng Hồ, Phan Quốc Phô (2001), Giáo trình vật lý bán dẫn, Nhà xuất bản KHKT, Hà Nội. [4]. Hoàng Nhâm (2003), Hoá vô cơ - tập 2, Nhà xuất bản giáo dục. [5]. Erkoc S. (1997), "Empirical many-body potential energy functions used in computer simulations of condensed matter properties", Phys. Reports 278(2), pp.79-105. [6] vi.wikipedia.org 24