›

Khóa luận Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

pdf 51 trang thiennha21 15/04/2022 5410
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_he_thong_va_ung_dung_cua_mot_so_ham_toan_dac_biet.pdf

Nội dung text: Khóa luận Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN VŨ HOÀNG THANH TRANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN Tổ bộ môn: Toán lý Người hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải Sinh viên thực hiện: Vũ Hoàng Thanh Trang MSSV: 42.01.102.119 Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
  3. LỜI MỞ ĐẦU Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn thiện em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia đình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình làm khóa luận. Thầy luôn đồng hành giúp đỡ, động viên, chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học. Thứ hai, các thầy, cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy, truyền cho em những kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bước vào nghề trong tương lai. Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong thời gian qua. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020 gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang
  4. Mục lục Mục lục2 Mở đầu3 1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt5 1.1 Hàm Bessel và các hàm trụ 5 1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel 6 1.1.2 Các hàm trụ khác 10 1.2 Đa thức Legendre 12 1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre 12 1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp 16 1.3 Hàm cầu 19 1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu 19 1.3.2 Hàm riêng của quả cầu 23 2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên 25 2.1 Bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn 25 2.2 Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống 29 2.3 Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài 34 Kết luận và hướng phát triển 41 Tài liệu tham khảo 42 Phụ lục 44 Công bố khoa học 49 2
  5. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của vật lý lý thuyết và vật lý toán việc sử dụng các hàm toán đặc biệt đã trở nên rất cần thiết [1]. Tầm quan trọng của các hàm đặc biệt này có liên quan đến hai yếu tố cơ bản. Thứ nhất, khi khảo sát các mô hình toán học của các hiện tượng vật lý xảy ra trong tự nhiên, ban đầu chúng ta cần khảo sát những bài toán đã được đơn giản hóa, tức là những bài toán mà nghiệm của chúng có thể tìm được ở dạng giải tích (nghiệm chính xác). Thứ hai, những bài toán đã được đơn giản hóa này có thể được sử dụng như là phép thử (hàm cơ sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn những thuật toán số học để giải quyết những bài toán vật lý phức tạp hơn. Trong quá trình khảo sát những bài toán vật lý lý thuyết hay vật lý toán chúng ta thường sử dụng những hàm đặc biệt khác nhau. Nghiệm của nhiều bài toán vật lý quan trọng có liên quan đến các vấn đề như nghiên cứu các quá trình truyền nhiệt và tương tác bức xạ với các chất [2], sự lan truyền của các sóng điện từ và sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân và cấu trúc bên trong của các sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville chứa phương trình Laplace hay Helmholts, mà có thể được tìm thấy ở dạng giải tích chỉ đối với một số lượng nhỏ các miền khảo sát [4]. Trong các trường hợp các miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, như là đoạn thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành thì các nghiệm hàm này được biểu diễn thông qua các hàm sơ cấp cơ bản. Đối với những miền có dạng hình tròn, hình trụ, hình cầu hay những miền phức tạp hơn thì các hàm riêng được biểu diễn thông qua các hàm đặc biệt [5]. Trong thực tiễn những hàm đặc biệt thường đóng vai trò như là nghiệm của những phương trình vi phân khác nhau của các bài toán vật lý. Từ đó, có thể thấy các hàm đặc biệt có ứng dụng vô cùng to lớn trong các ngành khoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lý lý thuyết và vật lý toán. Vì vậy việc khảo sát và nghiên cứu một số hàm toán đặc biệt trong việc ứng dụng giải các bài toán vật lý là một nhiệm vụ thiết yếu của người nghiên cứu khoa học tự nhiên. Trong đề tài khóa luận này chúng tôi sẽ khảo sát những hàm toán đặc biệt 3
  6. thường được sử dụng, như hàm Bessel, tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức liên hợp Legendre, là cơ sở để tạo ra hàm cầu và những ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các vấn đề trong vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa bài toán biên đối với phương trình Helmholts. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu các hàm toán đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa và tính chất của các chúng. Khóa luận còn khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bài toán biên. 3. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình và 3 bảng được thể hiện qua hai chương: Chương 1: Hệ thống một số hàm toán đặc biệt Giới thiệu một số hàm toán đặc biệt thường được sử dụng trong vật lý lý thuyết và vật lý toán như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển, đa thức Legendre liên hợp và hàm cầu. Chương 2: Ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên Trình bày ứng dụng của các hàm toán đặc biệt thông qua việc giải một số bài toán biên như bài toán truyền nhiệt trong một hình trụ dài vô hạn, bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống và bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài. Cuối cùng là phần kết luận và hướng phát triển của đề tài. 4
  7. Chương 1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt 1.1. Hàm Bessel và các hàm trụ Hàm Bessel xuất hiện trong nghiệm của các phương trình có chứa toán tử Laplace 4 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Xét phương trình ∂2u ∂2u −4u(x, y) ≡ − − = λu + f(x, y). ∂x2 ∂y2 Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) thì phương trình đã cho có dạng 1 ∂  ∂u˜ 1 ∂2u˜ − r − = λu˜ + f˜(r, ϕ), r ∂r ∂r r2 ∂ϕ2 với u˜(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ). Nếu nghiệm hàm u˜(r) không phụ thuộc vào ϕ và f = 0 thì phương trình đã cho trở thành 1 u00(r) + u0(r) + λu(r) = 0. r Phương trình này được xem như là trường hợp riêng của phương trình Bessel. Ta có phương trình Bessel ở dạng tổng quát x2u00 + xu0 + (x2 − ν2)u = 0. (1.1) 5
  8. Mỗi nghiệm hàm khác 0 của phương trình Bessel được gọi là hàm trụ. 1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel Xét các tính chất cơ bản của hàm Bessel và các hàm trụ. Vì phương trình (1.1) có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x) của nó có thể được biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa tổng quát ∞ σ X k u(x) = x akx , (1.2) k=0 với a0 6= 0, số mũ σ và các hệ số ak thỏa mãn định nghĩa. Chuỗi lũy thừa (1.2) có khả vi đến cấp bất kì. Thay chuỗi (1.2) vào phương trình (1.1) và đồng nhất hệ số hai vế của phương trình theo lũy thừa của x, ta thu được các biểu thức truy hồi sau 2 2 a0(σ − ν ) = 0 2 2 a1[(σ + 1) − ν ] = 0 2 2 a2[(σ + 2) − ν ] + a0 = 0 (1.3) 2 2 ak[(σ + k) − ν ] + ak−2 = 0, k = 2, 3, Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), ta suy ra σ2 − ν2 = 0 hay σ = ±ν. Chú ý k rằng, khi ν 6= , k = 1, 2, thì ta có điều kiện sau 2 (σ + k)2 − ν2 6= 0; k = 1, 2, 3, (1.4) Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), khi σ = ±ν, ta suy ra a1 = 0 (1.5) Theo điều kiện (1.4), từ phương trình cuối cùng của hệ (1.3) ta thu được công thức truy hồi a a = − k−2 , k = 2, 3, (1.6) k (σ + k + ν)(σ + k − ν) Từ biểu thức (1.5) và (1.6), ta thấy rằng tất cả các hệ số với chỉ số dưới lẻ đều bằng 0, còn các hệ số với chỉ số dưới chẵn có thể được biểu diễn qua a0. Xét trường 6
  9. hợp σ = ν, khi đó, trong biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu được a a = − 2p−2 . (1.7) 2p 22p(p + ν) Áp dụng công thức (1.7) một cách tuần tự, ta thu được (−1)pa a = 0 . (1.8) 2p 22pp!(ν + 1)(ν + 2) (ν + p) Như vậy, nghiệm của phương trình Bessel (1.1) được xác định với độ chính xác theo thừa số tùy ý a0. Ta có thể cho a0 ở dạng 1 a = , (1.9) 0 2νΓ(ν + 1) với Γ là hàm Gamma–Euler. Theo tính chất của hàm Gamma–Euler [? ] Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2) (ν + p) = Γ(p + 1 + ν) Từ công thức (1.8) và (1.9), ta thu được (−1)p a = . 2p 22p+νΓ(ν + 1)Γ(p + 1 + ν) Xét chuỗi ∞ X (−1)k x2k+ν J (x) = . (1.10) ν Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1) 2 k=0 Dùng quy tắc d’Alembert, có thể chứng minh được chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt đối với mọi x. Định nghĩa: Chuỗi (1.10) được gọi là hàm Bessel loại một bậc ν và được ký hiệu là Jν(x). Ta thấy rằng hàm Jν(x) là một nghiệm riêng của phương trình Bessel (1.1). Xét trường hợp khi σ = −ν. Đặt Yν(x) = J−ν(x), thực hiện một cách tương tự, ta cũng sẽ đi đến định nghĩa sau Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν ∞ X (−1)k x2k−ν Y (x) = (1.11) ν Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1) 2 k=0 7
  10. Hình 1.1. Hàm Bessel loại một Jn(x) ứng với n = 0, 1, 2. là hàm Bessel loại hai bậc ν. Hình 1.2. Hàm Bessel loại hai Yn(x) ứng với n = 0, 1, 2. Khi ν nhận giá trị không nguyên (ν 6= ±1, ±2 ) thì hàm Yν(x) là nghiệm thứ hai của phương trình Bessel. Nghiệm này sẽ độc lập tuyến tính với hàm Bessel loại một Jν(x) nên các hàm Jν(x) và Yν(x) sẽ hình thành một hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel bậc ν. 8
  11. Nếu ν = n – số nguyên, thì n Yn(x) = (−1) Jn(x). (1.12) Khi đó các hàm Yn(x) và Jn(x) sẽ phụ thuộc tuyến tính và không hình thành hệ nghiệm hàm cơ bản. Ta chứng minh biểu thức (1.12). Vì Γ(−k) = ∞, k = 0, 1, , nên tổng chuỗi trong công thức (1.11) bắt đầu từ giá trị k = n, ta có ∞ X (−1)k x2k−n Y (x) = n Γ(k − n + 1)Γ(k + 1) 2 k=n ∞ X (−1)n+s x2s+n = Γ(s + 1)Γ(s + n + 1) 2 s=0 n = (−1) Jn(x). Các hàm trụ Bessel với các chỉ số dưới liên tiếp nhau (ν − 1, ν và ν + 1) cùng các đạo hàm liên hệ với nhau bằng hệ thức truy hồi 2ν J (x) = −J (x) + J (x), (1.13) ν+1 ν−1 x ν ν J0 (x) = −J (x) + J (x), (1.14) ν ν+1 x ν ν J (x) = J (x) − J (x). (1.15) ν ν−1 x ν Chú ý rằng, các hàm trụ Bessel với chỉ số dưới là số bán nguyên được biểu diễn thông qua các hàm sơ cấp. Thật vậy, ta có 1 √ Γ = π 2 và 3  1 · 3 ··· (2k + 1)√ Γ + k = π, 2 2k+1 Từ phương trình (1.10), ta có ∞ k 2k+ 1 X (−1) x 2 J 1 (x) = 2 k!Γ( 3 + k) 2 k=0 2 r ∞ r 2 X (−1)k 2 = x2x+1 = sin x. πx (2k + 1)! πx k=0 9
  12. Tương tự, ta cũng có r 2 Y 1 (x) = cos x. 2 πx Chú ý rằng, từ công thức (1.13) và các biểu thức của các hàm số J 1 (x) và Y 1 (x) ta 2 2 có công thức tổng quát sau r 2 h  1   πn  1   πni Jn+ 1 (x) = Pn sin x − + Qn cos x − , 2 πx x 2 x 2 với Pn(v) và Qn(v) là những đa thức có bậc không vượt quá n phụ thuộc vào v, ngoài ra Pn(0) = 1,Qn(0) = 0. Khi x → ∞ thì ta có công thức tiệm cận của hàm Bessel r 2 h  πν π   1 i J (x) = cos x − − + O . (1.16) ν πx 2 4 x Điểm không của hàm Bessel: Là những điểm mà tại đó hàm Bessel nhận giá trị bằng 0 [7]. Ở đây ta chỉ xét điểm không của hàm Bessel loại một có chỉ số dưới là số nguyên. Cụ thể, xét phương trình Jn(x)=0. Phương trình này luôn có một bộ nghiệm dương và các nghiệm này được phân bố theo thứ tự tăng dần, tức là (n) (n) (n) µ1 < µ2 < < µk < Thực hiện tính toán các giá trị của 6 điểm không đầu tiên của hàm J0(x) với độ chính xác đến 4 chữ số thập phân, ta được: (0) (0) (0) µ1 = 2.4048, µ2 = 5.5201, µ3 = 8.6537, (0) (0) (0) µ4 = 11.7015, µ5 = 14.9309, µ6 = 18.0711. Chú ý rằng, ta có thể tìm không điểm của hàm Bessel bằng cách sử dụng công thức tiệm cận (1.16), cụ thể cho Jν(x) = 0, ta suy ra 3π πν µ(ν) = + + kπ, k ∈ Z. k 4 2 1.1.2. Các hàm trụ khác Cùng với hàm Bessel Jν(x) thì trong các bài toán vật lý thường sử dụng các hàm trụ khác [8]. Ta xét một số hàm trụ sau Hàm Hankel loại một i H(1)(x) = [J (x)e−iπν − Y (x)], ν 6= n, n ∈ Z, ν sin πν ν ν 10
  13. i ∂J (x) ∂Y (x) H(1)(x) = J (x) + ν − (−1)n ν , ν = n; n n π ∂ν ∂ν Hàm Hankel loại hai 1 H(2)(x) = [J (x)eiπν − Y (x)], ν 6= n, n ∈ Z, ν i sin πν ν ν i ∂J (x) ∂Y (x) H(2)(x) = J (x) − ν − (−1)n ν , ν = n; n n π ∂ν ∂ν Hàm Neumann 1 N (x) = [J (x) cos πν − Y (x)], ν 6= n, n ∈ Z, ν sin πν ν ν 1 ∂J (x) ∂Y (x) N (x) = ν − (−1)n ν , ν = n; n π ∂ν ∂ν Hàm Infeld và hàm Macdonald  π  πi π  I (x) = exp − νi J (ix),K (x) = exp νi H(1)(ix). ν 2 ν ν 2 2 ν Hàm Hankel loại một và loại hai được biểu diễn qua hàm Bessel và Neumann như sau (1) (2) Hν (x) = Jν(x) + iNν(x),Hν (x) = Jν(x) − iNν(x). (1.17) Sử dụng công thức tiệm cận của các hàm Bessel Jν(x), ta có các biểu thức tiệm cận của các hàm trụ như sau r (1) 2 h  π π i  − 3  H (x) = exp i x − ν − + O x 2 , ν πx 2 4 r (2) 2 h  π π i  − 3  H (x) = exp −i x − ν − + O x 2 , ν πx 2 4 r 2  π π   − 3  N (x) = sin x − ν − + O x 2 , (1.18) ν πx 2 4 x e −1  Iν(x) = √ 1 + O(x ) , 2πx r π K (x) = e−x 1 + O(x−1) . ν 2x (1) (2) Một bộ đôi hàm số bất kỳ từ bộ các hàm số Jν(x),Nν(x),Hν (x),Hν (x) tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel với mọi giá trị của ν. Từ đó ta 11
  14. có công thức nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là u(x) = C1Jν(x) + C2Nν(x) hoặc (1) (2) u(x) = C1Hν (x) + C2Hν (x). Nếu trong phương trình Bessel, ta thay x bởi ix, thì các hàm Infeld và Macdonald sẽ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình, từ đó ta có nghiệm tổng quát u(x) = C1Iν(x) + C2Kν(x). Khi x → 0, ta có biểu thức mô tả trạng thái của các hàm trụ 1  2 ν J (x) ≈ , ν ≥ 0; ν Γ(ν + 1) x  2 x ln , ν = 0, π 2 Nν(x) ≈ Γ(ν) x−ν − , ν > 0; π 2  2 x ±i ln , ν = 0, (1,2)  π 2 Hν (x) ≈ Γ(ν) x−ν ±i , ν > 0; π 2  2 ln , ν = 0,  x Kν(x) ≈ 1 x−ν  Γ(ν) , ν > 0. 2 2 1.2. Đa thức Legendre 1.2.1. Đa thức trực giao cổ điển Legendre Trong các bài toán vật lý toán và vật lý lý thuyết, đa thức Legendre là một hệ đa thức hoàn chỉnh và trực giao. Đa thức Legendre có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau và mỗi cách định nghĩa làm nổi bật các tính chất cũng như những ứng dụng khác nhau trong việc giải các bài toán biên. Ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của đa thức Legendre thông qua 12
  15. phương trình vi phân của bài toán Sturm–Liouville d  dy  (1 − x2) λy = 0, −1 ≤ x ≤ 1, (1.19) dx dx |y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞. (1.20) Phương trình (1.19) được gọi là phương trình vi phân Legendre. Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.19) trong lân cận của điểm x = 0 ở dạng chuỗi lũy thừa ∞ X k y(x) = akx . (1.21) k=0 Thay biểu thức (1.21) vào phương trình (1.19) và thực hiện một số phép biến đổi cơ bản, ta thu được ∞ X 2 k [(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k − k)ak]x = 0, k=0 suy ra 2 k [(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k − k)ak]x = 0, k = 0, ∞. Từ đó, ta có công thức truy hồi λ − k2 − k a = − a . (1.22) k+2 (k + 2)(k + 1) k Công thức này cho phép ta biểu diễn các hệ số chẵn qua hệ số a0 và các hệ số lẻ qua a1. Khi a0 6= 0, a1 = 0, ta có nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của x ∞ X 2p y1(x) = a2px . (1.23) p=0 Khi a0 = 0, a1 6= 0 – nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc lẻ của x ∞ X 2p+1 y2(x) = a2p+1x . (1.24) p=0 Ta thấy rằng, các chuỗi y1(x) và y2(x) hội tụ trên đoạn [−1; 1]. Nếu λ = n(n + 1), thì |y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞. 13
  16. Thật vậy, từ công thức truy hồi (1.22), khi λ = n(n + 1), ta có an+2 = an+4 = = an+2p = = 0, nghĩa là một trong các chuỗi (1.23) hoặc (1.24) sẽ triệt tiêu và sẽ tạo thành đa thức bậc n. y(x) = Pn(x), n = 0, ∞. Đa thức trên là hàm riêng của bài toán (1.19), (1.20). Các đa thức này được gọi là đa thức Legendre. Xét một số tính chất của đa thức Legendre [11] 1. Các đa thức Legendre trực giao trên đoạn [−1; 1] với trọng số p(x) = 1, tức là 1 Pn(x)Pm(x)dx = 0, n 6= m. ˆ−1 Thật vậy, theo phương trình Legendre, ta có các đồng nhất thức sau: d  dP  (1 − x2) n + n(n + 1)P (x) ≡ 0, dx dx n d  dP  (1 − x2) m + m(m + 1)P (x) ≡ 0. dx dx m Nhân phương trình thứ nhất với Pm(x), và phương trình thứ hai với Pn(x), trừ vế theo vế và sau đó lấy tích phân trên đoạn [−1; 1], ta được 1      d 2 dPn d 2 dPm Pm (1 − x ) − Pn (1 − x ) dx ˆ−1 dx dx dx dx 1 = [m(m + 1) − n(n + 1)] Pn(x)Pm(x)dx ˆ−1 hay 1    d 2 dPn dPm (1 − x ) Pm − Pn dx ˆ−1 dx dx dx 1 = (m − n)(m + n + 1) Pn(x)Pm(x)dx. ˆ−1 Từ đó 1 Pn(x)Pm(x)dx ˆ−1 14
  17.    1 a 2 dPn dPm = (1 − x ) Pm − Pn = 0, (m − n)(m + m + 1) dx dx −1 khi n 6= m. 2. Đa thức Legendre hoặc là đa thức chẵn hoặc là đa thức lẻ. 3. Đa thức Legendre thỏa mãn công thức Rodrigues [12] dn P (x) = C (x2 − 1)n. (1.25) n dxn Thật vậy, hàm u(x) = C(x2 − 1)n là nghiệm của phương trình (x2 − 1)u0 − 2nxu = 0, Lấy vi phân phương trình trên n + 1 lần, áp dụng công thức Leibnits đối với đạo hàm của tích hai hàm số, ta được d  du(n)  (x2 − 1) − n(n + 1)u(n) = 0, dx dx từ đây suy ra hàm u(n)(x) là nghiệm của phương trình Legendre khi q = n(n + 1), và u(n)(x) là đa thức bậc n, trùng với đa thức Legendre. 4. Đa thức Ledendre Pn(x) có n không điểm khác nhau trong đoạn [−1; 1]. 1 5. Trong biểu thức (1.25) đặt C = , ta được đa thức Legendre chuẩn hóa 2(n)n! n 1 d 2 n P n(x) = (x − 1) . (1.26) 2(n)n! dxn Sử dụng công thức (1.26), ta có thể tính được các biểu thức một số đa thức Legendre đầu tiên 1 3 5 3 P (x) = 1, P (x) = x, P (x) = − + x2, P (x) = x3 − x, 0 1 2 2 2 3 2 2 3 35 15 63 35 15 P (x) = + x4 − x2, P (x) = x5 − x3 + x, 4 8 8 4 5 8 4 8 5 231 315 105 P (x) = − + x6 − x4 + x2, 6 16 16 16 16 429 693 315 35 P (x) = x7 − x5 + x3 − x, 7 16 16 16 16 35 6435 3003 3465 315 P (x) = + x8 − x6 + x4 − x2, 8 128 128 32 64 32 12155 6435 9009 1155 315 P (x) = x9 − x7 + x5 − x3 + x, 9 128 32 64 32 128 15
  18. 63 46189 109395 45045 15015 3465 P (x) = − + x10 − x8 + x6 − x4 + x2. 10 256 256 256 128 128 256 Sau này khi nói về đa thức Legendre chuẩn hóa thì ta sẽ dùng kí hiệu Pn(x), thay cho P n(x). Hình (1.3) biểu diễn 6 hàm đa thức Legendre chuẩn hóa đầu tiên. Hình 1.3. Đồ thị đa thức Legendre Pn(x) ứng với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 1.2.2. Đa thức Legendre liên hợp Trong toán học, đa thức Legendre liên hợp là nghiệm chính tắc của phương trình Legendre tổng quát d2 d  m2  (1 − x2) P (m)(x) − 2x P (m)(x) + n(n + 1) − P (m)(x) = 0, (1.27) dx2 n dx n 1 − x2 n hoặc ta có thể viết lại ở dạng tương đương d  d   m2  (1 − x2) P (m)(x) + n(n + 1) − P (m)(x) = 0. (1.28) dx dx n 1 − x2 n Trong đó các hệ số n và m là các số nguyên. Phương trình (1.27) (hay (1.28)) có các nghiệm khác không chỉ trên đoạn [−1, 1] khi n và m nguyên với 0 ≤ m ≤ n. (m) Khi m là số chẵn thì hàm Pn (x) là một đa thức, khi m = 0 và n nguyên thì hàm số chính là đa thức trực giao cổ điển Legendre (đã được khảo sát ở mục 1.2.1). Phương trình vi phân Legendre thường được gặp trong các bài toán vật lý toán và các bài toán vật lý lý thuyết. Cụ thể, nó xuất hiện trong việc giải phương trình Laplace (và phương trình vi phân đạo hàm riêng) trong hệ tọa độ cầu. Các đa thức 16
  19. Legendre liên hợp đóng vai trò quan trọng trong việc định nghĩa hàm cầu. Định nghĩa các tham số nguyên không âm n và m Đa thức Legendre liên hợp được biểu diễn qua đa thức Legendre cổ điển như sau m (m) m 2 m d P (x) = (−1) (1 − x ) 2 (P (x)). (1.29) n dxm n Các hàm số này trong biểu thức (1.29) thỏa mãn phương trình vi phân Legendre với các giá trị xác định của các tham số n và m bằng cách lấy vi phân m lần phương trình Legendre đối với Pn(x) [13] d2 d (1 − x2) P (x) − 2x P (x) + n(n + 1)P (x) = 0. dx2 n dx n n Mặt khác, theo công thức Rodrigues 1 dn P (x) = (x2 − 1)n . (1.30) n 2nn! dxn (m) Hàm Pn (x) có thể được viết lại m n+m (m) (−1) 2 m d 2 n P (x) = (1 − x ) 2 (x − 1) . (1.31) n 2nn! dxn+m Phương trình này cho phép mở rộng giới hạn của m thành: −n ≤ m ≤ n. (−m) (m) Ta có biểu thức liên hệ giữa Pn (x) và Pn (x) (n − m)! P (−m)(x) = (−1)m P (m)(x). (1.32) n (n + m)! n Tính trực giao Giả sử 0 ≤ m ≤ n, đa thức Legendre liên hợp thỏa mãn điều kiện trực giao với giá trị m cố định 1 (m) (m) 2(n + m)! Pk Pn dx = δk,n, (1.33) ˆ−1 (2n + 1)(n + m)! trong đó δk,n là ký hiệu Delta Kronecker. Ngoài ra, đa thức Legendre liên hợp còn thỏa mãn điều kiện trực giao khi cố 17
  20. định n, tức là  0 với m 6= p,  1 P (m)P (p)  (n + m)! n n dx = với m = p 6= 0, ˆ 1 − x2 m(m − m)! −1  ∞ với m = p = 0. Một số hàm đa thức Legendre liên hợp Hình 1.4. Đa thức Legendre liên hợp với m = 1 (bên trái) và m = 2 (bên phải). Một số hàm đa thức Legendre liên hợp đầu tiên với các giá trị nguyên âm và nguyên dương của m (0) (−1) −1 (1) (0) (1) 2 1 P (x) = 1,P (x) = P (x),P (x) = x, P (x) = −(1 − x ) 2 , 0 1 2 1 1 1 1 −1 1 P (−2)(x) = P (2)(x),P (−1)(x) = P (1)(x),P (0)(x) = (3x2 − 1), 2 24 2 2 6 2 2 2 (1) 2 1 (2) 2 (−3) −1 (3) P (x) = −3x(1 − x ) 2 ,P (x) = 3(1 − x ),P (x) = P (x), 2 2 3 720 3 1 −1 1 P (−2)(x) = P (2)(x),P (−1)(x) = P (1)(x),P (0)(x) = (5x3 − 3x), 3 120 3 3 12 3 3 2 (1) −3 2 2 1 (2) 2 (3) 2 3 P (x) = (5x − 1)(1 − x ) 2 ,P (x) = 15x(1 − x ),P (x) = −15(1 − x ) 2 . 3 2 3 3 Đồ thị của các hàm đa thức Legendre liên hợp với các giá trị khác nhau của m và n được biểu diễn trên hình (1.4). 18
  21. 1.3. Hàm cầu 1.3.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu Hàm cầu là phần góc của họ các hàm trực giao trong phương trình Laplace, được biểu diễn trong hệ tọa độ cầu. Hàm cầu được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý trong các miền không gian được giới hạn bởi các bề mặt cầu và trong lời giải của các bài toán vật lý có tính đối xứng cầu. Hàm cầu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và trong vật lý lý thuyết, đặc biệt trong các bài toán tính toán quỹ đạo của electron trong nguyên tử, trọng trường của Geoid [14], từ trường của các hành tinh và cường độ bức xạ di tích. Phương trình Laplace có dạng ∆u = 0 ∂2u ∂2u ∂2u ⇔ + + = 0. ∂x2 ∂y2 ∂z2 Trong hệ tọa độ cầu phương trình trên được viết lại như sau 1 ∂  ∂u 1 ∂  ∂u 1 ∂2u r2 + sin θ + = 0. r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2 Nghiệm của phương trình này được tìm bằng phương pháp tách biến u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ). Từ đó ta thu được hai phương trình vi phân, phương trình của hàm bán kính 1 d  dR r2 = λ, R dr dr và phương trình hàm góc ∆θϕY + λY = 0, (1.34) với ∆θϕ− phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu, có dạng 1 ∂  ∂  1 ∂ ∆θϕ = sin θ + . sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 19
  22. Phương trình (1.34) là bài toán Sturm–Liouville trên mặt cầu đơn vị: 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, với điều kiện tuần hoàn Y (θ, ϕ) = Y (θ, ϕ + 2π), (1.35) và điều kiện hữu hạn |Y (θ, ϕ)| < ∞, |Y (π, ϕ)| < ∞. (1.36) Định nghĩa: Nghiệm hữu hạn của phương trình (1.34) trên mặt cầu đơn vị thỏa mãn điều kiện tuần hoàn theo ϕ và có đạo hàm liên tục đến bậc hai được gọi là hàm cầu. Nghiệm của bài toán (1.34)–(1.36) được tìm bằng phương pháp tách biến ở dạng Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ). (1.37) Thay (1.37) vào phương trình (1.34), ta được Φ00 + νΦ = 0, Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π). (1.38) Khi ν = m2 nghiệm không tầm thường của phương trình này có dạng imϕ Φm(ϕ) = e , m = 0, ±1, Đối với hàm Θ(θ), ta có phương trình 1 ∂  ∂Θ  m2  sin θ + λ − Θ = 0, (1.39) sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ 0 < θ < π, |Θ(θ)| < ∞, |Θ(π)| < ∞. Nếu thay đổi biến số x = cos θ, y(x) = y(cos θ), thì phương trình (1.39) có dạng d  dy   m2  1 − x2 + λ − y = 0, (1.40) dx dx 1 − x2 −1 < x < 1, |y(±1)| < ∞. Bài toán (1.40) là bài toán Sturm–Liouville đối với hàm Legendre liên hợp, vì vậy trị riêng có dạng λn = n(n + 1), 20
  23. (m) và hàm riêng ynm(cos θ) = Pn (cos θ) với m ≤ n. Ta viết lại biểu thức của hệ hàm cầu bậc n (m) (|m|) imϕ Yn (θ, ϕ) = Pn (cos θ) exp , (−n ≤ m ≤ n). (1.41) Hàm riêng của bài toán (1.38) có thể được viết ở dạng lượng giác:  cos mϕ, Φm(ϕ) = m = 0, n. sin mϕ, (m) Trong trường hợp này, ta quy ước rằng chỉ số trên dương của hàm Yn (θ, ϕ) tương ứng với việc nhân cho sin mϕ còn chỉ số trên âm thì nhân cho cos mϕ, tức là (m) (|m|) Yn (θ, ϕ) = Pn (cos θ) sin mϕ, (1.42) (−m) (|m|) Yn (θ, ϕ) = Pn (cos θ) cos mϕ, m = 0, n. (1.43) Biểu thức của một số hàm cầu trong hệ tọa độ cầu r r r 1 1 1 3 1 3 Y (0)(θ, ϕ) = ,Y (−1)(θ, ϕ) = sin θe−iϕ,Y (0)(θ, ϕ) = cos θ, 0 2 π 1 2 2π 1 2 π r r −1 3 1 15 Y (1)(θ, ϕ) = sin θeiϕ,Y (−2)(θ, ϕ) = sin2 θe−2iϕ, 1 2 2π 2 4 2π r r 1 15 1 5 Y (−1)(θ, ϕ) = sin θ cos θe−iϕ,Y (0)(θ, ϕ) = (3 cos2 θ − 1), 2 2 2π 2 4 π r r −1 15 1 15 Y (1)(θ, ϕ) = sin θ cos θeiϕ,Y (2)(θ, ϕ) = sin2 θe2iϕ. 2 2 2π 2 4 2π Đồ thị của một số hàm cầu dưới dạng hình chiếu trong hệ tọa độ Descartes (2D) và trong hệ tọa độ cầu (3D) được biểu diễn ở hình (1.5). Xét sự đầy đủ của hệ hàm lượng giác và hệ phương trình Legendre liên hợp, ta công nhận định lý sau. Định lý (về tính đầy đủ của hàm cầu) Hệ hàm cầu đầy đủ trên mặt cầu đơn vị X : [0 ≤ θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π], π 2π (m1) (m2) Yn1 (θ, ϕ)Yn2 (θ, ϕ) sin θdθdϕ = 0, ˆ0 ˆ0 21
  24. (0) (a) Hình 2D của Y0 (0) (b) Hình 3D của Y0 (0) (c) Hình 2D của Y1 (0) (d) Hình 3D của Y1 (0) (e) Hình 2D của Y2 (0) (f) Hình 3D của Y2 (1) (g) Hình 2D của Y2 (1) (h) Hình 3D của Y2 Hình 1.5. Đồ thị biểu diễn hình dạng của hàm cầu dưới dạng hình chiếu trong hệ tọa độ Descartes (2D) và trong hệ tọa độ cầu (3D) 22
  25. khi m1 6= m2, n1 6= n2. Đối với hàm cầu, ta có định lý khai triển Steklov. Định lý Steklov (khai triển theo các hàm cầu) Nếu f(θ, ϕ) – hàm số biến thiên hữu hạn trên mặt cầu đơn vị P và khả tích tuyệt đối trên P, thì tại các điểm liên tục hàm này có thể được khai triển thành chuỗi hội tụ đều theo các hàm cầu: ∞ X (m) f(θ, ϕ) = Yn (θ, ϕ). (1.44) n=0 Chuỗi này còn được gọi là chuỗi Laplace. 1.3.2. Hàm riêng của quả cầu Xét phương trình Laplace trong quả cầu bán kính r0. ∆u = 0 (1.45) Ta tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp tách biến, ta có u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ). (1.46) Thay (1.46) vào (1.45) và phân ly biến số, ta được: d  dR r2 dr dr ∆ Y ≡ − θϕ . (1.47) R(r) Y (θ, ϕ) Cho rằng, trong bài toán Sturm – Liouville ở phần trước đối với hàm cầu thì ∆ Y θϕ = −n(n + 1). (1.48) Y (θ, ϕ) Từ (1.47) và (1.48) ta có phương trình đối với hàm bán kính r2R00 + 2rR0 − n(n + 1)R = 0. (1.49) Phương trình (1.49) được gọi là phương trình Euler. Nghiệm của phương trình này được tìm ở dạng R(r) = rσ. (1.50) 23
  26. Thay (1.50) vào (1.49) và rút gọn cho rσ, ta được phương trình đặc trưng σ(σ + 1) − n(n + 1) = 0, phương trình đặc trưng này có nghiệm σ = n và σ = −(n + 1). Từ đó, ta thu được hai hệ nghiệm riêng của phương trình Laplace  n (m) r Yn (θ, ϕ), unm(r, θ, ϕ) = (1.51) −(n+1) (m) r Yn (θ, ϕ). Hàm unm(r, θ, ϕ), được xác định bởi công thức (1.51), nghiệm tổng của phương trình Laplace trong hệ tọa cầu, được gọi là hàm hình cầu. 24
  27. Chương 2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên Trong phần này chúng ta sẽ xét một số ứng dụng của các hàm toán đặc biệt được thể hiện qua việc giải các bài toán vật lý. 2.1. Bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn Hình 2.1. Sự truyền nhiệt trong hình trụ . Xét bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn có bán kính r0 và nhiệt độ trên bề mặt của hình trụ bằng không, còn nhiệt độ ban đầu chỉ phụ thuộc 25
  28. vào khoảng cách từ điểm đang khảo sát đến trục của hình trụ được mô tả bởi phương trình truyền nhiệt [9] ∂u = a2∆u, (2.1) ∂t trong đó a là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu, độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt. Nghiệm của phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên u = 0, (2.2) r=r0 và điều kiện ban đầu u = ϕ(r). (2.3) t=0 (a) t = 0 (b) t = 0.1 (c) t = 0.2 (d) t = 0.3 (e) t = 0.4 (f) t = 0.5 Hình 2.2. Đồ thị biểu diễn nhiệt độ ứng với các thời điểm t = 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. Đây là bài toán hỗn hợp có dạng đối xứng trụ nên nghiệm của phương trình chỉ phụ thuộc vào r và t mà không phụ thuộc vào θ, tức là u = u(r, t). Biểu thức của 26
  29. hàm toán tử Laplace trong hệ tọa độ cực có dạng 1 ∂  ∂u ∆u = r . r ∂r ∂r Bằng phương pháp tách biến, nghiệm của bài toán được tìm ở dạng u(r, t) = R(r)T (t). (2.4) Thay (2.4) vào (2.1) và thực hiện sự phân ly biến số, ta có T 0 1 dR 1 d2R = + = −λ2. (2.5) a2T rR dr R dr2 Hàm R(r) là nghiệm của bài toán Sturm–Liouville dR d2R + r + λ2rR = 0 (2.6) dr dr2 |R(0)| < ∞,R(0) = 0. (2.7) dR dR d2R d2R Đặt x = λr =⇒ = λ , = λ2 , khi đó (2.5) trở thành phương trình dr dx dr2 dx2 Bessel bậc không (ν = 0) d2R 1 dR + + R = 0. dx2 x dr Nghiệm tổng quát của phương trình là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm riêng J0(x) và N0(x) R(x) = CJ0(x) + DN0(x); hay R(r) = CJ0(λr) + DN0(λr). (2.8) Vì hàm Bessel J0(λr) hữu hạn trên đoạn [0, r0], nên để điều kiện |R(0)| < ∞ được thỏa mãn thì ta phải có D = 0. Tham số λ được xác định từ phương trình J0(λr0) = 0, từ đây ta tìm được trị riêng (0) (0) µk λr0 = µk ⇒ λ = λk = , k = 1, ∞ r0 27
  30. và hàm riêng tương ứng (0) ! µk Rk(r) = CkJ0 r , k = 1, ∞. r0 Từ (2.5) ta có phương trình đối với hàm T (t) !2 µ(0) T 0 + k a T = 0, r0 và nghiệm của phương trình này có dạng  (0) !2  µk Tk(t) = Bk exp − a t , r0 suy ra (0) !  (0) !2  µk µk uk(r, t) = CkJ0 r Bk exp − a t . r0 r0 Đặt Ak = Ck.Bk, ta có (0) !  (0) !2  µk µk uk(r, t) = AkJ0 r exp − a t . r0 r0 Từ đó ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) ∞ X u(r, t) = uk(r, t), k=1 ∞ (0) !  (0) !2  X µk µk ⇒ u(r, t) = AkJ0 r exp − a t . (2.9) r0 r0 k=1 Hệ số Ak được xác định từ điều kiện ban đầu (2.3) ∞ (0) ! X µk u(r, 0) = AkJ0 r = ϕ(r). r0 k=1 28
  31. Hệ số khai triển Fourier Ak được xác định theo hệ trực giao tổng quát r0 (0) ! µk rϕ(r)J0 r dr ˆ0 r0 Ak = 2 . (2.10) r0 " (0) !# µk r J0 r dr ˆ0 r0 Dựa vào tính chất của hàm Bessel, ta có thể biểu diễn tích phân ở mẫu số như sau sau " !#2 r0 (0) 2 2 µk r0 h (0) i r J0 r dr = J1(µk ) , ˆ0 r0 2 khi đó hệ số khai triển Fourier có dạng r0 (0) ! 2 1 µk Ak = 2 2 rϕ(r)J0 r dr. (2.11) r0 h (0) i ˆ0 r0 J1(µk ) Bằng cách cho các thông số ban đầu như r0 = 1, a = 1 và ϕ(r) = 100, ta có thể thấy rõ sự biến đổi của hàm nhiệt độ u(r, t) trong không gian và theo thời gian qua đồ thị được biểu diễn như trên hình (2.2). Code thuật toán trên chương trình phần mềm Maple được trình bày ở phần phụ lục A (trang 44). 2.2. Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống Một màng đàn hồi hai chiều dưới sức căng có thể tạo ra các rung động (dao động) ngang. Các tính chất của một mặt trống lý tưởng có thể được mô hình hóa bằng các rung động của một màng tròn có độ dày đồng đều, được gắn vào một khung cứng. Do hiện tượng cộng hưởng, ở các tần số rung nhất định (tần số cộng hưởng), màng tròn có thể lưu trữ năng lượng rung động, bề mặt dao động theo mô hình đặc trưng của sóng dừng. Đây được gọi là chế độ bình thường. Một màng có vô số các chế độ bình thường như vậy, bắt đầu từ tần số thấp nhất được gọi là chế độ cơ bản. Đã có nhiều phương thức tạo ra sự rung động cho một màng trống, mỗi phương thức phụ thuộc vào hình dạng của màng tại một thời điểm ban đầu nào đó và vận 29
  32. Hình 2.3. Hình dạng của một cái trống thông thường Hình 2.4. Đồ thị biểu diễn mặt trống trong hệ tọa độ hai chiều Oxy tốc ngang của từng điểm trên màng tại thời điểm đó. Dao động của màng được được mô ta bởi các nghiệm của phương trình sóng hai chiều với điều kiện biên Dirichlet, trong đó khung của màng trống được xem như là biên. Có thể thấy rằng bất kỳ rung động tùy ý phức tạp nào của màng đàn hồi đều có thể được phân tích thành một chuỗi vô hạn các chế độ cơ bản của màng. Điều này tương tự với việc phân tích hàm tín hiệu thời gian thành chuỗi Fourier [10]. Xét một màng trống tròn Ω, bán kính r0 trong hệ tọa độ hai chiều Oxy như hình (2.4). Dao động của màng trống được mô tả bởi hàm u(x, y, t), đặc trưng cho độ cao của một điểm trên màng trống phụ thuộc vào thời gian t và tọa độ (x, y). Phương trình sóng mô tả sự rung động của màng trống trong không gian hai 30
  33. chiều có dạng ∂2u ∂2u ∂2u = c2 + , (x, y) ∈ Ω, ∂t2 ∂x2 ∂y2 với điều kiện biên u = 0 tại biên ∂Ω của màn trống. Trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) phương trình trên được viết lại như sau ∂2u ∂2u 1 ∂u 1 ∂2u = c2 + + , (2.12) ∂t2 ∂t2 r ∂r r2 ∂θ2 với 0 ≤ r ≤ r0, 0 ≤ θ ≤ 2π và c là hằng số dương, đặc trưng cho tốc độ lan truyền sóng trên màng trống. Nghiệm của phương trình (2.12) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet u = 0. (2.13) r=r0 Xét bài toán trong hai trường hợp a. Trường hợp đối xứng trục Hàm u(x, y, t) không phụ thuộc vào góc θ, lúc đó (2.12) trở thành ∂2u ∂2u 1 ∂u = c2 + . (2.14) ∂t2 ∂t2 r ∂r Bằng phương pháp tách biến, nghiệm của bài toán được tìm ở dạng u(r, t) = R(r)T (t). (2.15) Thay (2.15) vào (2.14) và thực hiện sự phân ly biến số, ta có T 0 1 dR 1 d2R = + = −λ2. (2.16) a2T rR dr R dr2 Hàm R(r) là nghiệm của bài toán Sturm–Liouville dR d2R + r + λ2rR = 0, (2.17) dr dr2 |R(0)| < ∞,R(0) = 0. (2.18) dR dR d2R d2R Đặt x = λr =⇒ = λ , = λ2 , khi đó (2.16) trở thành phương trình dr dx dr2 dx2 Bessel bậc không (ν = 0) d2R 1 dR + + R = 0. dx2 x dx 31
  34. Nghiệm tổng quát của phương trình là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm hàm riêng J0(x) và N0(x) R(x) = CJ0(x) + DN0(x); hay R(r) = CJ0(λr) + DN0(λr). (2.19) Vì hàm Bessel J0(λr) hữu hạn trên đoạn [0, r0], nên để điều kiện |R(0)| < ∞ được thỏa mãn thì ta phải có D = 0. Tham số λ được xác định từ điều kiện J0(λr0) = 0, từ đó ta tìm được trị riêng (0) (0) µk λr0 = µk ⇒ λ = λk = , k = 1, ∞, r0 và hàm riêng tương ứng (cho Ck = 1) (0) ! µk Rk(r) = J0 r , k = 1, ∞. (2.20) r0 Từ (2.16) ta có phương trình đối với hàm T (t) T ”(t) + λ2c2T (t) = 0 (2.21) ⇔ T (t) = A cos(cλt) + B sin(cλt). (2.22) Thay (2.20) và (2.22) vào (2.15) ta được (0)   (0)   (0)  (0) uk (r, t) = A cos cλk t + B sin cλk t J0(λk r), k = 1, ∞. b. Trường hợp tổng quát Khi hàm u(x, y, t) phụ thuộc vào góc θ. Tương tự như trường hợp trên, áp dụng phương pháp tách biến u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t). (2.23) Khi đó (2.12) trở thành T 00 1 d2R 1 dR 1 dΘ2 = + + = −λ2. (2.24) c2T R dr2 r dr r2Θ dθ2 32
  35. Tương tự (2.22) ta có nghiệm hàm T (t) có dạng T (t) = A cos(cλt) + B sin(cλt). (2.25) Xét phương trình đối với R(r) và Θ(θ) trong (2.24) ta được 1 d2R 1 dR 1 d2Θ + + = −λ2. (2.26) R dr2 r dr rΘ dθ Đặt 1 d2Θ − = m2 (2.27) Θ dθ2 d2Θ ⇔ + m2Θ = 0. dθ2 Nghiệm của phương trình này có dạng Θ(θ) = C cos(mθ) + D sin(mθ), (2.28) với m = 0, ∞ và C, D là những hằng số. Thay (2.27) vào (2.26) ta được r2 d2R r dR λ2r2 + + = m2. (2.29) R dr2 R dr Tương tự ở trường hợp đối xứng trục, ta tìm được (m) R(r) = Jm(λk r), (2.30) với (m) (m) µk λk = , m = 0, ∞, k = 1, ∞. (2.31) r0 Từ (2.25), (2.28) và (2.30), ta thu được nghiệm hàm u(r, θ, t) ở dạng tổng quát   (m)   (m)   (m)  (m) uk (r, θ, t) = A cos cλk t + B sin cλk t Jm(λk r) C cos(mθ) + D sin(mθ) , với m = 0, ∞, k = 1, ∞. Hình (2.5) là đồ thị biểu diễn sự rung động màng trống trong một số trường hợp với các giá trị khác nhau của m và n. 33
  36. (0) (0) (0) (0) (0) (0) (a) u1 với µ1 = 2.40483 (b) u2 với µ2 = 5.52008 (c) u3 với µ3 = 8.65373 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (d) u1 với µ1 = 3.83171 (e) u2 với µ2 = 7.01559 (f) u3 với µ3 = 10.1735 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (g) u1 với µ1 = 5.13562 (h) u2 với µ2 = 8.41724 (i) u3 với µ3 = 11.6198 Hình 2.5. Đồ thị dao động của mặt trống với các giá trị khác nhau của m và n. Code thuật toán trên chương trình phần mềm Maple được trình bày ở phần phụ lục B (trang 45). 2.3. Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài Phương pháp tách biến đóng vai trò quan trọng trong các bài toán vật lý toán, đặc biệt trong bài toán tán xạ có chứa phương trình dạng hyperbolic khi miền khảo sát được giới hạn bởi các bề mặt tọa độ có hình dạng bất kỳ. Trong bài toán 34
  37. này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tách biến trong hệ tọa độ cầu cho việc tính toán tán xạ dừng vô hướng trên một phỏng cầu dài với tỉ lệ bất kỳ giữa bước sóng và kích thước của phỏng cầu. Một cách tổng thể, bài toán tán xạ là một dạng bài toán khá phức tạp và đã có một số bài toán mà nghiệm của chúng có thể được biểu diễn ở dạng giải tích. Đã có một số nghiên cứu về tán xạ trên phòng cầu (dẹt và dài) như [15–17] và nhiều công trình khác. Mặc dù vậy, nghiệm của bài toán luôn được tìm thấy ở dạng sóng hình cầu (hàm bán kính và hàm góc). Trong bài toán này chúng ta khảo sát bài toán tán xạ dừng vô hướng có tính chất đối xứng trục trên một phỏng cầu dài bằng cách sử dụng phương pháp tách biến. Phỏng cầu dài là một ellipsoid dài có trục lớn là trục Oz [18]. Chọn trục nhỏ của phỏng cầu dài là một đơn vị, phương trình của phỏng cầu dài trong hệ tọa độ cầu có dạng [19, 20]: p r = r(θ) ≡ 1 + ε2 cos2 θ, với ε là tham số phụ thuộc vào tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ của phỏng cầu dài. Hình dạng của phỏng cầu dài được biểu diễn trên hình (2.6) ứng với các giá trị khác nhau của ε. Hình 2.6. Hình dạng của phỏng cầu dài ứng với ε2 = 0, 1, 2, 3 (từ trái sang). Trên hình (2.7) trường tán xạ được biểu diễn trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ, θ). Θ là góc tán xạ. Gốc tọa độ trong hệ tọa độ Decartes trùng với tâm đối xứng của phỏng cầu còn trục Oz trùng với trục dài của phỏng cầu. α là góc tới (góc giữa hướng của sóng tới với trục Oz trong mặt phẳng Oxy). Phương pháp tách biến √ 2 2 Trong phương trình Helmholts ∆ψ + k ψ = 0, với r > rmax = 1 + ε (bên ngoài phỏng cầu với θ = 0 và θ = π, lúc đó cos2 θ = 1) hàm sóng ψ được khai triển thành chuỗi ∞ X  + + − −  ψ = cn χn (r) − cn χn (r) Yn(θ), n=0 35
  38. Hình 2.7. Biểu diễn tán xạ hình học trên phỏng cầu dài. r r (1) 2n + 1 ± π (2) với Yn(θ) = Pn(cos θ), χn (r) = H 1 (kr),Pn− đa thức Legendre, 2 2kr n+ 2 (1) (2) H 1 − hàm Hankel loại một và loại hai. n+ 2 0 0 2 Vì χ±(r) = χ∓∗(r), χ+χ − −χ+ χ− = , nên χ−Y là sóng tới, còn χ+Y là sóng n n n n n n ikr2 n n n n đi khỏi hay sóng truyền qua. − Trong bài toán tán xạ biên độ của sóng tới cn phải được cho trước, còn biên độ + − của sóng truyền qua cn được biểu diễn qua cn với điều kiện trên bề mặt của phỏng cầu tán xạ p 2 ∂ψ −ikπ 1 + ε2 sin θ. ≡ q(θ), ∂n r=r(θ) ± đối với các hệ số cn , ta có π ± ∓ cn = q(θ)χn [r(θ)]Yn(θ) sin θdθ. (2.32) ˆ0 + − Dựa vào biểu thức (2.32), ta cần tìm cn với giá trị cho sẵn của cn và đại lượng chưa biết q(θ). Đầu tiên, ta khai triển hàm q(θ) thành chuỗi theo hàm cầu ∞ X q(θ) = αmYm(θ) (2.33) m=0 π ± ∓ Thay (2.33) vào (2.32) và kí hiệu amn = χn [r(θ)]Yn(θ)Ym(θ) sin θdθ, ta thu được ˆ0 36
  39. hệ phương trình đại số vô hạn đối với các hệ số αm: ∞ X − − amnαm = cn , n = 0, 1, 2, (2.34) m=0 + Giải hệ phương trình này ta thu được αm sau đó biên độ cn được tính theo công thức ∞ + X + cn = amnαm. m=0 + Với giá trị cn tìm được, có thể tính được tiết diện tán xạ vi phân I(θ) = 2  ∗  ∞ r ∗ ∂ψ+ ∂ψ+ X + + lim ψ+ − ψ+ , với ψ+ = cn χn (r)Yn(θ). r→∞ 2ik ∂r ∂r n=0 1 Vì χ+ ≈ i−n−1eikr khi r lớn, nên n kr ∞ 1 X I(θ) = |f(θ)|2, f(θ) = i−nc+Y (θ). (2.35) ik n n n=0 Khó khăn cơ bản của bài toán đó là các hệ (2.34) là hệ vô hạn. Mặc dù vậy, về nguyên tắc hệ (2.34) có thể được xem như là hữu hạn, vì tán xạ hiệu dụng chỉ xảy ra khi số sóng là hữu hạn p n ≤ N ≈ k 1 + ε2 + 3. Điều này dễ dàng được khẳng định trong trường hợp ε = 0, khi đó − − ± ± + cn χn (1) amn = χn (1)δmn, cn = + . χn (1) 1 + n + cn 2 Khi n lớn (n > k) ta có − ≈ 1 − i exp{[−(2n + 1)(α − chα)]}, với chα = . cn k Tính toán tán xạ − Với giá trị cho trước của biên độ sóng tới cn ta sẽ tính toán biên độ của sóng + rời đi cn và tiết diện tán xạ vi phân. − Cho rằng sóng tới là sóng phẳng có dạng ψ0 = exp{(ikr cos θ)}, và c được cho r n 2n + 1 bởi công thức c− = −in . n 2 − − 2 Giá trị của cn và bình phương module tương ứng |cn | được cho trong bảng 2.1. 1 Nghiệm của bài toán phụ thuộc vào hai tham số: k và ε. Lấy k = và k = 1 với 2 ε2 = 0, 1, 2, 3 [21, 22]. 37
  40. n 0 1 2 3 4 5 − cn −0.7071 −1.2247i 1.5811 1.8708i −2.1213 −2.3452i − 2 |cn | 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 − − 2 Bảng 2.1: Bảng giá trị của cn và |cn | ứng với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. ε2 0 1 2 3 + c0 0.382-0.595i 0.268-0.633i 0.193-0.648i 0.111-0.644i + c1 0.089+1.222i 0.173+1.212i 0.268+1.195i 0.365+1.168i + c2 -1.581+0.002i -1.587-0.002i -1.595-0.004i -1.604-0.002i + c3 -1.871i 0.001-1.871i 0.003-1.871i 0.006-1.872i + c4 2.121 2.121 1.121 2.121 + 2 |c0 | 0.5 0.483 0.458 0.427 + 2 |c1 | 1.5 1.5 1.499 1.498 + 2 |c2 | 2.5 2.517 2.543 2.573 + 2 |c3 | 3.5 3.5 3.501 3.503 + 2 |c4 | 4.5 4.5 4.5 4.5 + S4 12.5 12.5 12.5 12.501 σ 0.935 1.215 1.514 1.815 + + 2 + 2 Bảng 2.2: Giá trị của cn , |cn | ,SN (n = 0,N,N = 4) và σ với ε = 0, 1, 2, 3. + + 2 Giá trị của cn và bình phương module tương ứng |cn | được cho trong bảng 2.2 và 2.3. N ± X ± 2 Đại lượng SN = cn đặc trưng cho sự tiêu hao của dòng sóng tới và sóng n=0 rời đi. giá trị của đại lượng này được tính toán và được biểu diễn trong bảng 2.2 và 2.3. Đối với việc tính toán tiết diện tán xạ vi phân, phần hao hụt của chuỗi (2.35) 1 được biểu diễn ở dạng δ(1 − cos θ). ik Đại lượng f(θ) khi θ 6= 0 được tính như là tổng của chuỗi ∞ " r # 1 X 2n + 1 c+ − in i−n−1Y (θ), k n 2 n n=0 các hệ số của chuỗi này giảm dần khi n ' N. Tiết diện tán xạ toàn phần được tính theo công thức 2π π 2πσ = I(θ) sin θdθdϕ. ˆ0 ˆ0 38
  41. ε2 0 1 2 3 + c0 -0.294-0.643i -0.350-0.456i -0.315-0.284i -0.220-0.165i + c1 0.510+1.114i 0.806+0.908i 1.013+0.626i 1.111+0.316i + c2 -1.582+0.054i -1.629+0.119i -1.66+0.249i -1.654+0.427i + c3 -0.002-1.871i 0.013-1.878i 0.032-1.898i 0.051-1.932i + c4 2.121 2.121+0.002i 2.121+0.009i 2.123+0.0.021i + c5 2.345i 2.345i 2.345i -0.001+2.344i + 2 |c0 | 0.5 0.332 0.18 0.075 + 2 |c1 | 1.5 1.474 1.418 1.335 + 2 |c2 | 2.5 2.669 2.819 2.917 + 2 |c3 | 3.5 3.529 3.604 3.736 + 2 |c4 | 4.5 4.5 4.501 4.509 + 2 |c5 | 5.5 5.5 5.499 5.496 + S5 18 18 18 18.006 σ 0.846 1.044 1.271 1.511 + + 2 + 2 Bảng 2.3: Giá trị của cn , |cn | ,SN (n = 0,N,N = 5) và σ với ε = 0, 1, 2, 3. 1 Hình 2.8. Hàm số tán xạ chuẩn hóa T (θ) với hệ số k = (bên trái) và k = 1 ω 2 (bên phải). 39
  42. Hàm số tán xạ chuẩn hóa Tω được tính theo công thức [23] I(θ) T = ω σ và được biểu diễn trên hình (2.8) Hàm mật độ xác suất |ψ(r, θ)|2, phần thực Re((ψ(r, θ)) và phần ảo Im(ψ(r, θ)) của hàm sóng tán xạ ψ(r, θ) được biểu diễn trên hình (2.9). (a) |ψ(r, ϕ)|2 (b) Re(ψ(r, θ)) (c) Im(ψ(r, θ)) 2 (d) |ψ(r, ϕ)| (e) Re(ψ(r, θ)) (f) Im(ψ(r, θ)) Hình 2.9. Mật độ xác suất |ψ(r, θ)|2 (bên trái), phần thực Re(ψ(r, θ)) (ở giữa) và 1 phần ảo Im(ψ(r, θ)) (bên phải) của hàm sóng khi k = với ε2 = 1 (hàng trên) và 2 k = 1 với ε2 = 3 (hàng dưới) . Code thuật toán trên chương trình phần mềm Maple được trình bày ở phần phụ lục C (trang 46). 40
  43. Kết luận và hướng phát triển • Trong đề tài này chúng tôi đã hệ thống một số hàm toán đặc biệt và khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bài toán biên. Cụ thể, những hàm toán đặc biệt được khảo sát như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển và đa thức Legendre liên hợp và cuối cùng là hàm cầu. Các bài toán biên được nghiên cứu và khảo sát là bài toán truyền nhiệt trong hình trụ dài vô hạn, bài toán khảo sát sự rung động của màn trống đàn hồi và bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài. Kết quả thu được trong các bài toán trên mang ý nghĩa khoa học cao. • Nghiệm của những bài toán vật lý phức tạp trong vật lý toán và vật lý thuyết thường không thể được biểu diễn qua các hàm sơ cấp cơ bản mà phải thông qua các hàm toán đặc biệt. Ngoài các hàm toán được khảo sát trong đề tài còn có những hàm toán đặc biệt khác thường được sử dụng như hàm Airy, đa thức Laguerre, đa thức Chebyshev, hàm Kelvin, đa thức Hermite v.v • Đề tài khóa luận sẽ là một công cụ hữu ích cho các nhà nghiên cứu đặc biệt trong lĩnh vực khoa học tự nhiên và khoa học kĩ thuật để khảo sát các mô hình toán học dựa trên các mô hình vật lý như vật lý lượng tử, vật lý hạt nhân nguyên tử v.v 41
  44. Tài liệu tham khảo [1] Nikiforov A. J., Uvarov V. B., Special Functions of Mathematical Physics. A Unified Introduction with Applications Springer Basel AG. 1988. [2] Егоров А. А. Теоретический и численный анализ волноводного распространения и рассеяния собственных и несобственных мод нерегулярного интегрально- оптического волновода. Квант. Электр. 2012. Т. 42. № 4. С. 337–34. [3] Боголюбов А. Н., Малых М. Д. О ловушечных модах электромагнитного волновода с неоднородным заполнением. Радиотехника и электроника. 2005. T. 50. № 2. С. 218–222. [4] Read W. W., Analytical Solutions for a Helmholtz Equation with Dirichlet Boundary Conditions and Arbitrary Boundaries. Mathl. Comput. Modeling. 1996. Vol. 24, No. 2, pp. 23-34. [5] Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions. 1964. [6] Watson G. N. , A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press. 1922. [7] Mathews G. B., Gray A., Gray E., A Treatise on Bessel Functions and Their Applications to Physics. Macmillan and Company. 1895 [8] Bagrov V. G., Belov V. V., Zadorozhny V. N., Trifonov A. Yu., Methods of mathematical physics. III. Special features. Tomsk: NTL Publishing House. 2002. 352p. [9] Bergman T. L., Lavine A. S., Incropera F. P. and DeWitt D. P., Fundamentals of Heat and Mass Transfer. 7th ed. Hoboken. NJ: John Wiley and Sons. 2011. [10] Javidinejad A., Vibration Modal Solutions Developing of the Elastic Circular Membrane in Polar Coordinates Based on the Fourier-Bessel Series. Journal of Theoretical and Applied Mechanics. March 2013. 43(1):19-26. · 42
  45. [11] Kholodova S. E., Peregudin S. I., Special functions in problems of mathemat- ical physics. -St. Petersburg: NRU ITMO. 2012. 72p. [12] Belousov S. L., Tables of Normalized Associated Legendre Polynomials. Math- ematical Tables. 1962. 18. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-009723-7. [13] Courant, Hilbert 1953. V.10. [14] Barthelmes F., Definition of Functionals of the Geopotential and Their Calculation from Spherical Harmonic Models. Scientific Technical Report STR09/02. Revised Edition, January 2013. 36p. [15] King B. J., Van Buren A. L., Acoustic radiation from two spheroids. J. Acoust. Soc. Amer. 1972. 52(1). 364-372. [16] Bowman J. J. et al., Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes. North-Holland. Amsterdam. 1969. [17] Handelman G. H., Sidman R. D., Motion of a spherical obstacle generated by plane or spherical acoustic waves. J. Acoust. Soc. Amer. 1972. 52(3). 923-927. [18] Acho T. M., Scalar wave scattering of a prolate spheroid as a parameter ex- pansion of that of a sphere, Quarterly of applied mathematics. 1992. l(3). 451-468. [19] Meixner J., Wells C. P., Improving of the convergence in an expansion of spheroidal wave functions. Quart. Appl. Math. 1959. 17(3). 263-269. [20] Flammer K., Spheroidal wave function tables. Moscow. Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR. 1962. [21] Senior T. B. A., Scalar diffraction by a prolate spheroid at low frequencies. Canad. J. Phys. 1960. 38(12). 1632-1641. [22] Barlow C. A., Einspruch N. G., Scattering of a compressional wave by a prolate spheroid. Quart. Appl. Math. 1961. 19(3). 253-258. [23] Wallander S. V., Aerodynamics of thin gases. Sat 1. Ed. L., Ed. LSU. 1963. 43
  46. Phụ lục A. Thuật toán trên Maple cho bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn Code cho bài toán có dạng như sau: *restart; with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình và nhập lệnh vẽ đồ thị *r0:=1;phir:=100;a:=1; # Các thông số ban đầu *mu:=k->BesselJZeros(0,k); # Không điểm thứ k của hàm Bessel bậc 0 *A:=k->Int(r*phir*BesselJ(0,mu(k)*r/r0),r=0 r0)/ Int(r*(BesselJ(0,mu(k)*r/r0))^2,r=0 r0); # Hệ số khai triển Fourier thứ k *u:=(N,r,t)->sum(evalf(A(k))*BesselJ(0,mu(k)*r/r0)* exp(-(mu(k)*a/r0)^2*t),k=1 N); # Nghiệm hàm của bài toán *plot3d([r,theta,u(10,r,0)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu t=0 *plot3d([r,theta,u(10,r,0.1)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.1s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.2)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.2s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.3)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.3s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.4)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.4s *plot3d([r,theta,u(10,r,0.5)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, 44
  47. coords=cylindrical,axes=frame,view=0 120); # Đồ thị của hàm nhiệt độ tại thời điểm t=0.5s *animate3d([r,theta,u(10,r,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi, t=0 0.5,coords=cylindrical,axes=frame,frames=30); # Đồ thị mô tả sự biến đổi của hàm nhiệt độ theo không gian và thời gian B. Thuật toán trên Maple cho bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống Code cho bài toán có dạng như sau: *restart; with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình và nhập lệnh vẽ đồ thị *c:=1; r0:=2; # Các thông số ban đầu *mu:=(m,n)->BesselJZeros(m,n); # Không điểm thứ n của hàm Bessel bậc m *lambda:=(m,n)->mu(m,n)/r0; #Biểu diễn lambda qua mu *uC:=(m,n,r,theta,t)->cos(c*lambda(m,n)*t)* BesselJ(m,lambda(m,n)*r)*cos(m*theta); # Nghiệm hàm của bài toán ứng với thành phần cosin *uS:=(m,n,r,theta,t)->sin(c*lambda(m,n)*t)* BesselJ(m,lambda(m,n)*r)*sin(m*theta); # Nghiệm hàm của bài toán ứng với thành phần sin # Đồ thị mô tả sự biến đổi của hàm theo không gian và thời gian ứng với các giá trị khác nhau của m và n *animate3d([r,theta,uC(0,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,2,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,3,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(0,4,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,2,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, 45
  48. coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,3,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(1,4,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,1,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,2,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,3,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); *animate3d([r,theta,uC(2,4,r,theta,t)],r=0 r0,theta=-Pi Pi,t=0 5, coords=cylindrical,axes=frame,shading=zhue,numpoints=6000); C. Thuật toán trên Maple cho bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài Code cho bài toán trong trường hợp k = 1 và ε = 0 có dạng như sau: *restart;with(linalg):with(plots):with(plottools): # Khởi động chương trình, nhập lệnh phép toán đại số tuyến tính và lệnh vẽ đồ thị *Digits:=10; # Chọn 10 số đứng sau dấu phẩy của số thập phân *epsilon:=0; k:=1;# Nhập giá trị của epsilon và số sóng *dimb:=6; # Nhập giá trị số chiều N của ma trận *cm[i]:=(j,i)->evalf(-I^(i-1)*sqrt((2*(i-1)+1)/2)); # Tính toán giá trị của biên độ sóng tới *b:=matrix(1,dimb,cm[i]); # Ma trận hàng chứa các phần tử là biên độ sóng tới *rsferoid:=sqrt(1+epsilon^2*cos(theta)^2); # Phương trình của phỏng cầu dài trong hệ tọa độ cầu *ccm:=matrix(1,dimb,(cm[i])^2); # Ma trận hàng chứa các phần tử là bình phương của biên độ sóng tới *am[m,n]:=(m,n)->evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH1(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0 Pi)); # Biễu diễn các hệ số am[m,n] *A:=transpose(matrix(dimb,dimb,am[m,n])); # Ma trận chứa các phần tử là am[m,n] 46
  49. *for n to dimb do eqn||n:=add(A[n,m]*alpha[m],m=1 dimb)-b[1,n]; od; # Lập hệ các phương trình đại số chứa các ẩn là alpha[m] *s:=solve({seq(eqn||jj,jj=1 dimb)}, {seq(alpha[jj],jj=1 dimb)}); for h to dimb do alpha[h]:=eval(alpha[h],s); od; # Nghiệm của hệ các phương đại số *for m to dimb do for n to dimb do ap[m,n]:=evalf(Int((sqrt((1/2)*Pi/k/rsferoid)* HankelH2(n-1+1/2,k*rsferoid)*(1/2)*sqrt(2*(n-1)+1)* sqrt(2*(m-1)+1))*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta)))* simplify(LegendreP(m-1,cos(theta)))*sin(theta),theta=0 Pi)); od; od; # Biễu diễn các hệ số ap[m,n] *for n to dimb do cp[n]:=add(ap[m,n]*alpha[m],m=1 dimb); cpp[n]:=abs(cp[n])^2; od; # Tính toán giá trị của biên độ sóng truyền qua và bình phương của biên độ sóng truyền qua *S[6]:=sum(cpp[i],i=1 dimb); # Độ tiêu hao của dòng sóng rời đi *for t from 1 to dimb do f[t]:=(1/2)*(cp[t]-I^(t-1)*sqrt((2*(t-1)+1)*(1/2)))* I^(-(t-1)-1)*sqrt(2*(t-1)+1)* simplify(LegendreP(t-1,cos(theta)))/k; od; *mysum:=sum(f[i],i=1 dimb); *expand(evalc(abs(mysum)^2)*sin(theta)): *v:=[op(%)]; *sigma:=add(int(op(j0,v),theta=0 Pi),j0=1 nops(v)); # Giá trị của tiết diện tán xạ toàn phần *plot(abs(mysum)^2/sigma,theta=0 Pi,thickness=3,labels=[theta, T[omega](theta)]); # Đồ thị của hàm số tán xạ chuẩn hóa *Psii:=add((cp[n]*sqrt((1/2)*Pi/k/r)*HankelH1(n-1+1/2,k*r)- b[1,n]*sqrt((1/2)*Pi*k*r)*HankelH2(n-1+1/2,k*r))*sqrt(1/2)* sqrt(2*(n-1)+1)*simplify(LegendreP(n-1,cos(theta))),n=1 dimb); 47
  50. # Hàm sóng tán xạ *RePsii:=Re(Psii);ImPsii:=Im(Psii); # Phần thực và phần ảo của hàm sóng *awf:=(collect(evalf(evalc(abs(Psii)^2)),[sin,cos],expand))* piecewise(r<1,0,1): # Mật độ xác suất *Reawf:=(collect(evalf(evalc(RePsii)),[sin,cos],expand))* piecewise(r<1,0,1): *Imawf:=(collect(evalf(evalc(ImPsii)),[sin,cos],expand))* piecewise(r<1,0,1): *awf1:=subs(r=sqrt(x^2+z^2),subs(cos(theta)= z/r,sin(theta)=x/r,awf)): *Reawf1:=subs(r=sqrt(x^2+z^2),subs(cos(theta)= z/r,sin(theta)=x/r,Reawf)): *Imawf1:=subs(r=sqrt(x^2+z^2),subs(cos(theta)=z/r, sin(theta)=x/r,Imawf)): *xmax:=2;zmax:=2; # Nhập giá trị biên của biến x và z *plot3d(awf1,x=-xmax xmax,z=-zmax zmax,axes=boxed, grid=[111,111],shading=ZHUE); # Đồ thị của hàm mật độ xác suất *plot3d(Reawf1,x=-xmax xmax,z=-zmax zmax,axes=boxed, grid=[111,111],shading=ZHUE); # Đồ thị phần thực của hàm sóng *plot3d(Imawf1,x=-xmax xmax,z=-zmax zmax,axes=boxed, grid=[111,111],shading=ZHUE); # Đồ thị phần ảo của hàm sóng 48
  51. Công bố khoa học Kết quả thu được trong khóa luận được đăng trên Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Tên bài báo: "CALCULATION OF SCALAR SCATTERING ON A PROLATE SPHEROID" JOURNAL OF SCIENCE – NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY. Vol. 17, No. 3 (2020): 500-508 Tác giả: Luong Le Hai, Vu Hoang Thanh Trang, Gusev Alexander Alexan- drovich 49