›

Khóa luận Phương pháp toán tử trong cơ học lượng tử

pdf 53 trang thiennha21 15/04/2022 5130
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Phương pháp toán tử trong cơ học lượng tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_phuong_phap_toan_tu_trong_co_hoc_luong_tu.pdf

Nội dung text: Khóa luận Phương pháp toán tử trong cơ học lượng tử

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== ĐINH THỊ ÁNH TUYẾT PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáoPGS.TS.Lƣu Thị Kim Thanh, ngƣời đã hƣớng dẫn và tận tình chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua. Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè, những ngƣời đã giúp đỡ động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa luận này. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên Đinh Thị Ánh Tuyết
  3. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em nhận đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý. Đặc biệt sự hƣớng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một số bàidạy của thầy cô trong trƣờng và một số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “ Phƣơng pháp toán tử trong Cơ học lƣợng tử ” không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ đề tài nào khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên Đinh Thị Ánh Tuyết
  4. MỤC LỤC PHẦN 1 : MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài. 1 2. Mục đích nghiên cứu. 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu. 2 6. Cấu trúc khóa luận. 2 PHẦN 2 : NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CHỦ YẾU CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3 1.1. Lƣỡng tính sóng –hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg. . 3 1.1.1. Lƣỡng tính sóng hạt của hạt vi mô. 3 1.1.2. Nguyên lí chồng chất các trạng thái. 6 1.1.3. Hệ thức bất định Heisenberg. 8 1.1.4. Nội dung của Nguyên lý Bất định 9 1.1.5. Ý nghĩa của Nguyên lý Bất định 10 1.2. Hàm sóng của hạt vi mô. 10 1.2.1. Định nghĩa hàm sóng. 11 1.2.2. Các tính chất của hàm sóng 11 1.2.3. Ví dụ về hàm sóng. 11 1.2.4. Hàm sóng của hệ N hạt. 12 1.2.5. Trung bình của một đại lƣợng vật lý. 12 1.2.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng. 12 1.3. Phƣơng trình Schrodinger 13 1.3.1. Phƣơng trình Schrodinger dừng 14 1.3.2. Phƣơng trình Schrodinger thời gian. 16
  5. 1.3.3. Tính chất của phƣơng trình Schrodinger 16 1.4. Vai trò của Cơ học Cổ điển. 17 1.4.1. Cơ học Cổ điển là giới hạn của Cơ học Lƣợng tử. 17 1.4.2. Cơ học Cổ điển là cơ sở của Cơ học Lƣợng tử. 17 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 18 CHƢƠNG 2 : PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ 19 2.1. Các đại lƣợng động lực và các toán tử. 19 2.2. Điều kiện để hai đại lƣợng vật lí đồng thời xác định trong cùng một trạng thái. 25 2.3. Phƣơng pháp toán tử. 26 2.3.1. Toán tử : là một kí hiệu biểu thị một hoặc một tập hợp tác động toán học, 26 2.3.2. Phƣơng trình trị riêng của toán tử. 26 2.3.3. Các loại toán tử 27 2.4. Các tính chất của toán tử 28 2.4.1. Cộng toán tử. 28 2.4.2. Nhân toán tử. 29 2.4.3. Toán tử đạo hàm theo thời gian. 30 2.5. Toán tử Hamilton. 31 2.5.1. Định luật bảo toàn năng lƣợng và tính đồng nhất về thời gian. 31 2.5.2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamintol trong trạng thái dừng. 31 2.6. Toán tử động lƣợng. 32 2.6.1. Định nghĩa. 32 2.6.2. Tính chất giao hoán. 33 2.6.3. Hàm riêng của toán tử động lƣợng. 33 2.7. Toán tử mô men động lƣợng. 34 2.7.1. Định nghĩa. 34
  6. 2.7.2. Tính chất giao hoán. 34 ˆ 2.7.3. Toán tử lz 36 ˆ 2.7.4. Các toán tử l 37 2.8. Toán tử chẵn lẻ Iˆ . 41 2.9. Toán tử spin 41 2.9.1. Các cơ sở thực nghiệm dẫn đến đại lƣợng spin 41 2.9.2. Định nghĩa và tính chất của spin. 43 2.9.3. Hàm sóng và trị riêng của spin. 43 2.10. Toán tử mômen động lƣợng toàn phần. 44 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2. 45 PHẦN 3: KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47
  7. PHẦN 1 : MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr. Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dỉac, Wolfgang Pauli và một số ngƣời khác tạo nên. Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết này vẫn đƣợc nghiên cứu cho đến ngày nay. Cơ học lượng tử là một bộ phận trong cơ học lý thuyết. Vật lý lý thuyết là một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý xây dựng các thuyết vật lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tƣởng tƣợng, các nhà vật lý lý thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống qui tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lý và để tậo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lƣợng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ năng lƣợng và xung lƣợng của các vật có kích thƣớc nhỏ bé, ở đó có sự thể hiện rõ rệt của lƣỡng tính sóng hạt. Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định là tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lƣợng tử đƣợc coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính các và đúng đắn rất nhiều các hiện tƣợng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích đƣợc Cơ học lƣợng tử đã đạt đƣợc các thành công vang dội trong việc giải thích rất nhiều các đặc điểm của thế giới của chúng ta. Rất nhiều các công nghệ hiện đại sử dụng các thiết bị có kích thƣớc mà ở đó hiệu ứng lƣợng tử 1
  8. rất quan trọng nhƣ : laser, transistor, chụp cộng hƣởng từ hạt nhân . Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lƣợng tử giúp chúng ta giải quyết đƣợc những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc. Thông qua việc học tập và nghiên cứu cơ học lƣợng tử mà nhất là các đốitƣợng của nó là không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý,đặc biệt là với sinh viên khoa Vật lý. Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt chƣơng trình học tập của ngành cũng nhƣ của khoa đề ra. Với mỗi môn học đều có hệ thống các phƣơng pháp chuyên biệt và cơ học lƣợng tử cũng vậy. Do đó em xin chọn đề tài “ Phƣơng pháp toán tử trong cơ học lƣợng tử”. 2.Mục đích nghiên cứu. - Hệ thống hóa cơ sở chủ yếu của Cơ học Lƣợng tử. - Các phƣơng pháp của Cơ học Lƣợng tử. - Tƣơng tác của electron với trƣờng điện từ. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tƣợng : Các phƣơng pháp toán tử thƣờng đƣợc sử dụng. - Phạm vi: Chƣơng I: “Nhập môn Cơ học Lƣợng tử”. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. Xây dựng đƣợc các phƣơng pháp của Cơ học Lƣợng tử. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu. Phƣơng pháp chủ yếu là phƣơng pháp lý thuyết. 6. Cấu trúc khóa luận. Phần1: Mở đầu. Phần 2: Nội dung. + Chƣơng 1: Các cơ sở chủ yếu của Cơ học Lƣợng tử. + Chƣơng 2: Phƣơng pháp toán tử. Phần 3: Kết luận. Tài liệu tham khảo. 2
  9. PHẦN 2 : NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CHỦ YẾU CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1.1. Lƣỡng tính sóng –hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg. 1.1.1. Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô. Nhƣ chúng ta đã biết, hạt vi mô có lƣỡng tính sóng-hạt, chẳng hạn hạt phôtôn trong những hiện tƣợng quang điện, bức xạ nhiệt biểu hiện tính chất hạt, nhƣng trong các hiện tƣợng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực lại biểu hiện tính chất của sóng điện từ. Nhiều hiện tƣợng thực nghiệm cũng cho thấy các hạt vi mô khác đều có tính chất sóng. Chúng ta xét một số ví dụ đối với hạt electron. 1.1.1.1 Chuyển động của electron trong mô hình nguyên tử cổ điển. Electron trong nguyên tử cổ điển đƣợc coi nhƣ một hạt trong mô hình nguyên tử Bohr. Việc coi electron là hạt trong trƣờng hợp này dẫn đến những mâu thuẫn với các lý thuyết cổ điển: electron là hạt mang điện chuyển động xunh quanh hạt nhân tƣơng đƣơng với một dòng điện biến thiên, do đó bức xạ sóng điện từ và mất dần năng lƣợng, nghĩa là giá trị vận tốc giảm dần, điều này tƣơng đƣơng với sự giảm khoảng cách từ electron đến hạt nhân và cuối cùng electron “rơi” vào hạt nhân, dẫn đến nguyên tử bị phá hủy. Từ đó suy ra rằng, không thể coi một cách đơn giản electron chỉ là hạt. Nhƣ chúng ta sẽ thấy ở dƣới, việc coi electron có tính chất sóng sẽ khắc phục đƣợc nghịch lý này. 1.1.1.2 Hiệu ứng đường ngầm. Xét chuyển động của một hạt có khối lƣợng bằng m chuyển động từ trái sang phải tới một hàng rào thế có độ cao bằng U ( hình 1.1 ) 3
  10. U0 m E 1 2 3 a 0 Nếu coi hạt không có tính sóng, trƣớc khi nói hàng rào thế (miền 1: U=0) năng lƣợng E của hạt E=T+U=T, tức bằng động năng T. Trong miền 2: U U , và E<U; để thỏa mãn hệ thức E= T+U động năng T phải âm (T<0), là 0 điều vô lý. Có nghĩa là tại biên của hàng rào thế (giữa miền 1 và miền 2) thì T=0, hạt dừng lại, chuyển động theo chiều ngƣợc lại và không thể đi xuyên vào hàng rào thế. Nói tóm lại nếu hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng T<U 0 thì nó không thể đi qua hàng rào thế năng (từ miền 1 qua miền 2 sang miền 3). Tuy nhiên nhiều hiện tƣợng thực nghiệm đã xác nhận là trong trƣờng hợp này có thể vƣợt qua hàng rào thế sang miền 3. Hiện tƣợng hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng có thể đi qua hàng rào thế năng gọi là hiệu ứng đường ngầm. Lý thuyết lƣợng tử coi hạt có tính chất sóng đã giải thích đƣợc hiện tƣợng thực nghiệm nêu trên. Tính toán cho thấy hệ số truyền qua D của hạt từ miền 1 sang miền 3 đƣợc xác định bởi công thức: D exp 2a /  2m U 0 E  10 Với bề dày hàng rào thế a vào cỡ 10 m, hiệu năng lƣợng (U 0 E ) vào cỡ 7,5.10 19 J , áp dụng công thức trên cho electron, hệ số truyền qua xấp xỉ 0,1. Chúng ta thấy khả năng xuyên qua hàng rào thế theo hiệu ứng đƣờng ngầm là không nhỏ. 4
  11. 1.1.1.3 Nhiễu xạ electron. Chiếu chùm electron qua một khe hẹp K và hứng trên màn huỳnh quang M. Chúng ta thấy trên màn huỳnh quang hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng giống nhƣ hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng trong hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng ( hình 1.2a) Để khẳng định hình ảnh nhiễu xạ trên không phải do tƣơng tác của electron với biên của khe K, ngƣời ta thực hiện thí nghiệm nhiễu xạ electron với 2 khe (hình 1.2b) và trên màn hình M là hình ảnh nhiễu xạ qua hai khe nhƣ trong nhiễu xạ ánh sáng. Kết quả trên chỉ có thể giải thích đƣợc nếu coi electron có tính chất sóng. Với các hạt vi mô khác cũng có kết quả tƣơng tự. De Broglie đã coi hạt vi mô tự do tƣơng ứng với một sóng gọi là sóng De Broglie. Một hạt vi mô có năng lƣợng E và động lƣợng p tƣơng ứng với một sóng đơn sắc có tần số f và bƣớc sóng  theo các quan hệ sau: E=hf (1.1a) P=h/  (1.1b) 5
  12. 1.1.2. Nguyên lí chồng chất các trạng thái. Nguyên lí chồng chất các trạng thái là một luận điểm rất cơ bản của cơ học lƣợng tử. Nội dung của nguyên lí nhƣ sau: (1) Nếu một hệ lượng tử nào đó có thể ở trong các trạng thái được mô tả bởi các hàm sóng  1, 2 , thì nó cũng có thể ở trong trạng thái được mô tả bởi tổ hợp tuyến tính bất kì của các hàm sóng đó:  ck k ck C k 1 (2) Hàm  và hàm c (c phức bất kì 0)cùng tương ứng với một trạng thái bất kì của hệ. Từ các nội dung của nguyên lí này chúng ta sẽ đƣa ra một số nhận xét, các nhận xét này rất quan trọng trong quá trình xây dựng nên môn cơ học lƣợng tử. Trƣớc hết các trạng thái trong cơ học lƣợng tử khác một cách cơ bản với sự chồng chất các dao động của cơ học cổ điển, mà trong sự chồng chất đó sẽ dẫn đến một dao động mới có biên độ lớn hơn hay nhỏ hơn các biên độ của dao động thành phần. Ngoài ra, trong cơ học cổ điển có tồn tại các trạng thái nghỉ, tức là các trạng thái ứng với dao động ở khắp mọi nơi biên độ dao động bằng không. Còn trong cơ học lƣợng tử, các hàm sóng không mô tả một sóng thực nào cả, ở nơi nào hàm sóng bằng 0, thì ở nơi đó không có mặt của hạt. Thứ hai, giả sử các hàm  1, 2 , là nghiệm của phƣơng trình xác định các trạng thái của một hệ lƣợng tử, thì để cho nguyên lí chồng chất các trạng thái đƣợc thực hiện, bắt buộc phƣơng trình đó phải tuyến tính. Thứ ba, nguyên lí chồng chất các trạng thái phản ánh một tính chất rất quan trọng của các hệ lƣợng tử mà không có sự tƣơng tự trong vật lí cổ điển. Để thấy rõ hơn, ta xét một trạng thái đƣợc biểu diễn bởi các hàm sóng: 6
  13. i  r,t Aexp p r E t 1  1 1 i  r,t Bexp p r Et 2  2 Trong hai hàm sóng trên, hạt chuyển động với các giá trị xác định của xung lƣợng, tƣơng ứng lần lƣợt là p1 và p2 . Còn trong trạng thái  ck k k 1 ck C chuyển động của các hạt không đƣợc đặc trƣng bởi giá trị của xung lƣợng, vì trạng thái này không đƣợc biểu diễn bằng một sóng phẳng với giá trị xác định của p . Trạng thái mới là một trạng thái mà theo một nghĩa nào đó, là trạng thái trung gian giữa các trạng thái ban đầu  1, 2 , Trạng thái này càng gần với tính chất của một trong các trạng thái đầu, nếu “trọng số tỉ đối” của trạng thái đó càng lớn. Ngoài ra nhƣ ta đã thấy ở ví dụ minh họa trên, trong cơ học lƣợng tử thừa nhận những trạng thái mà trong đó một số đại lƣợng vật lí có thể không xác định đƣợc. Cuối cùng ta lƣu ý rằng, nguyên lí chồng chất các trạng thái chỉ áp dụng trong không gian có kích thƣớc dài không nhỏ hơn 10 13cm. Việc áp dụng nguyên lí này cho không gian có kích thƣớc dài nhỏ hơn chƣa đƣợc khẳng định. Ví dụ: “Bó sóng” là tập hợp các sóng phẳng có các vector sóng k hƣớng dọc trục Oz và có các giá trị nằm trong khoảng k0 k đến k0 k : k0 k  z,t A k exp i kz t dk k0 k Đƣa vào biến số mới  k k0 , khai triển  k và A k theo chuỗi các lũy thừa của  và chỉ giới hạn nhiều nhất là hai số hạng của chuỗi. Hãy tính  z,t ? 7
  14. Giải d Khai triển  k  k0 k và A k A k0 thì dk 0 d sin z t k dk  z,t 2A k 0 exp i k z  t  0 d 0 o z t dk 0 1.1.3. Hệ thức bất định Heisenberg. Từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron có thể dẫn ra một dạng hệ thức bất đinh Heisenberg nhƣ là một biểu hiện của tính chất sóng của electron. Khi chƣa chú ý hiện tƣợng nhiễu xạ, electron chuyển động theo phƣơng y, do vậy vx 0 : vy v Khi có nhiễu xạ vx 0 : vx vx Công thức cực tiểu nhiễu xạ (hình 1.3) sin k /b ; sin min  /b  /(2 x) Trong khi đó k=1 ứng với góc nhiễu xạ cực tiểu: sai số tọa độ theo phƣơng x bằng một nửa độ rộng b của khe ( x b/ 2) Với các góc nhiễu xạ nhỏ mà ta còn quan sát đƣợc ảnh nhiễu xạ, chúng ta có: sin tg vx /vy vx /v 8
  15. Suy ra vx /v sin min  /(2 x) Do đó x vx v / 2 Thay v p / m; vx px / m; p h/  Cuối cùng: x. px h/ 2 Tính toán chính xác chúng ta đƣợc: x. p  / 2 x (1.2a) Một cách tƣơng tự bằng cách thay đổi kí hiệu x thành y hoặc z: y. py  / 2 (1.2b) z. p  / 2 z (1.2c) Các hệ thức (1.2) là các hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ và động lƣợng. Ví dụ: Nghiệm lại hệ thức (1.2a) cho hai trƣờng hợp hạt vĩ mô và hạt vi mô để thấy hệ thức heisenberg chỉ có ý nghĩa đối với trƣờng hợp hạt vi mô. Trƣờng hợp hạt vĩ mô: Một ô tô khối lƣợng 1000kg trong khi chuyển động thẳng có sai số về tọa độ theo phƣơng x bằng 0,1m : sai số về vận tốc theo phƣơng x bằng 5km/h. Nghiệm lại (1.2a). Trƣờng hộ hạt vi mô: Hạt electron có khối lƣợng m chuyển động trong nguyên tử hydro có sai số về tọa độ theo phƣơng x bằng x , sai số về vận tốc 31 10 theo phƣơng x bằng vx . Khối lƣợng electron m 9,1.10 kg ; x 0,5.10 m ; 7 vx 10 m/ s . Nghiệm lại (1.2a). Ý nghĩa của hệ thức bất định:Từ các hệ thức (1.2) chúng ta thấy tọa độ và động lƣợng không thể đồng thời xác định chính xác. Hệ thức bất định là một biểu hiện của Nguyên lý Bất định. 1.1.4. Nội dung của Nguyên lý Bất định Trong cơ học cổ điển quỹ đạo hoàn toàn xác định trạng thái của hạt ở 9
  16. mọi thời điểm. Căn cứ vào quỹ đạo của hạt chúng ta có thể chỉ ra tọa độ và vận tốc của hạt ở bất cứ thời điểm nào. Tuy nhiên đối với hạt vi mô, vì có độ bất định về tọa độ và động lƣợng( hoặc vận tốc) chúng ta sẽ có một tập vô số các quỹ đạo có thể của vi hạt mà không thể khẳng định là hạt chuyển động theo quỹ đạo nào. Vì thế “Không thể xác định trạng thái của hạt vi mô bằng quĩ đạo”. Đó chính là Nguyên lý Bất định heisenberg. 1.1.5. Ý nghĩa của Nguyên lý Bất định Sở dĩ trạng thái của hạt vi mô không thể xác định bằng quĩ đạo chính là vì hạt có tính chất sóng thể hiện bởi hệ thức Bất định Heisenberg mà chúng ta đã dẫn ra từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron. Điều đó có nghĩa là Nguyên lý Bất định thể hiện rõ rệt tính chất sóng của vi hạt. Đó chính là ý nghĩa của Nguyên lý bất định Heisenberg. Vậy thì khi nào hạt vi mô là sóng và khi nào là hạt? Dễ thấy rằng hạt vi mô bao giờ cũng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Tuy nhiên việc biểu hiện ra tính chất sóng hay tính chất hạt phụ thuộc vào vật mà hạt vi mô tƣơng tác. Ví dụ trong hiện tƣợng nhiễu xạ electron thì hạt electron biểu hiện tính chất sóng, còn trong việc đo tọa độ của hạt khi hạt qua khe hẹp thì nó lại biểu hiện tính chất hạt. Điều đó có nghĩa là dù biết trạng thái của hạt vi hạt ở thời điểm t, chúng ta không thể khẳng định ở thời điểm t’>t hạt sẽ thể hiện tính chất nào và ở trạng thái nào. Tính chất của vi hạt chỉ được biểu hiện ra khi nó tương tác với các vật xung quanh. 1.2. Hàm sóng của hạt vi mô. Hạt vi mô có tính chất sóng nên trạng thái cuả nó không thể mô tả bằng quỹ đạo. Vì vậy phải có cách tiếp cận khác. Ngƣời ta đã sử dụng hàm sóng để mô tả trạng thái của vi hạt, coi việc có tồn tại hàm sóng nhƣ là một cơ sở của Cơ học Lƣợng tử. 10
  17. 1.2.1. Định nghĩa hàm sóng. Hàm sóng x, y, z,t là nghiệm của phƣơng trình sóng, tức phƣơng trình vi phân cấp II, sao cho / x, y, z,t / 2 dV là xác suất tìm thấy hạt trong dV lân cận điểm (x,y,z) ở thời điểm t. Định nghĩa trên cho thấy hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt là một hàm sóng không chỉ thỏa mãn phƣơng trình sóng mà còn có tính xác suất là tính chất mà các sóng cổ điển không có. 1.2.2. Các tính chất của hàm sóng 1.2.2.1. Liên tục, có đạo hàm bậc nhất liên tục, trừ trường hợp thế năng bằng vô cùng. 1.2.2.2. Hàm sóng thỏa mãn nguyên lý chồng chất. Nếu các hàm sóng 1 (x, y, z,t) và 2 (x, y, z,t)mô tả các trạng thái của hạt thì hàm sóng (x, y, z,t) c1 1 (x, y, z,t) c2 2 (x, y, z,t) là tổ hợp tuyến tính của và cũng mô tả trạng thái của hạt. Hai tính chất trên thể hiện hàm sóng là nghiệm của phƣơng trình sóng. 1.2.2.3. Giới nội, đơn trị. 1.2.2.4. Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng 2 (x, y, z,t) dV 1. (1.3) 1.2.2.5. Nếu hàm sóng và mô tả trạng thái của hai phần độc lập của hệ thì hàm sóng (x, y, z,t) 1 (x, y, z,t). 2 (x, y, z,t) mô tả trạng thái của hệ gồm hai phần nói trên. Ba tính chất trên thể hiện tính xác xuất của hàm sóng. 1.2.3. Ví dụ về hàm sóng. Hàm sóng của một hạt tự do là hàm sóng phẳng đơn sắc gọi là sóng De Broglie. 11
  18. i( kr wt ) i ( pr Et )/ (,,,)(,)x y z t  r t 00 e  e (1.4) E E E E Vận tốc nhóm của sóng: vn i j k , p px p y pz là vận tốc trùng với vận tốc của hạt. Vận tốc pha của sóng: v ph  / k 2 f / k ; k 2 /  trong đó năng lƣợng E, động lƣợng p của hạt tự do quan hệ với các đặc trƣng của sóng De Broglie tƣơng ứng theo công thức (1.1). 1.2.4. Hàm sóng của hệ N hạt. Hàm sóng của hệ N hạt có các tính chất nhƣ hàm sóng của một hạt, nhƣng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả N hạt qi (xi , yi , zi ) , i=1.2.3 ,N:  q, t q1 , q 2 , q 3 , , qN , t (1.5) 1.2.5. Trung bình của một đại lượng vật lý. Trung bình Fˆ của một đại lƣợng vật lý F có thể tính theo hàm sóng q,t của hạt (hoặc hệ) bởi công thức sau: Fˆ * q Fˆ q q dq (1.6) Trong đó Fˆ là toán tử tƣơng ứng với đại lƣợng F, sẽ đƣợc đề cập đến ở các phần sau. Giá trị trung bình Fˆ của đại lƣợng F tính theo công thức (1.6) chính là giá trị của đại lƣợng F xuất hiện trong trạng thái q,t , và đƣợc gọi là trung bình lƣợng tử của đại lƣợng F. 1.2.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng. Năm 1926 M.Born đã đƣa ra giả thiết cho ý nghĩa của hàm sóng. Theo giả thiết này, cƣờng độ sóng De Broglie tại mỗi điểm của không gian, ở một thời điểm đã cho, tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đã cho của không gian đó. Nhƣ vậy, theo M.Born thì đại lƣợng: 12
  19. ()()()q2 dq * q  q dq tỉ lệ với xác suất dW(q) để khi đó, chúng ta tìm thấy giá trị tọa độ của các hạt của hệ nằm trong khoảng (q,q+dq). Nếu hàm  ()q đã đƣợc chuẩn hóa: 2 (q ) dq  ( q ),  ( q ) 1 thì dW(q) là giá trị xác suất: dW( q )  ( q ) 2 dq Còn đại lƣợng: ( ) ( ) | ( )| mang ý nghĩa là mật độ xác suất tìm thấy tọa độ q của hệ ( ở thời điểm t). Từ điều kiện chuẩn hóa, ta thấy rằng các hàm chuẩn hóa sai khác nhau một nhân số modul bằng đơn vị, nghĩa là hơn kém nhau một hệ số exp(iα) (α ∈ R). Tuy nhiên các kết quả vật lý luôn tỉ lệ với | ( )| và vì vậy sự bất định này không còn nữa. Trong một số trƣờng hợp, tích phân ∫| ( )| không hội tụ. Lúc đó đại lƣợng ( ) | ( )| sẽ không có ý nghĩa mật độ xác suất. Tuy nhiên trong trƣờng hợp này, tỉ số giữa các đại lƣợng| ( )| ở các điểm khác nhau vẫn xác định xác suất tỉ đối của các điểm tƣơng ứng. 1.3. Phƣơng trình Schrodinger Phƣơng trình Schrodinger do Schrodinger đƣa ra, đƣợc coi là một trong những cơ sở chủ yếu của Cơ học Lƣợng tử. Giải phƣơng trình Schrodinger chúng ta tìm đƣợc hàm sóng x, y, z và năng lƣợng E. Thông thƣờng với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá trị xác định chúng ta có thể viết x, y, z,t 0 (x, y, z) f t , trong đó 0 x, y, z 13
  20. là hàm sóng chỉ phụ thuộc tọa độ. 1.3.1. Phương trình Schrodinger dừng Phƣơng trình Schrodinger dừng có dạng sau : H x, y, z E x, y, z 0 0 (1.7) Trong đó H là Hamiltonian ( tức toán tử năng lƣợng ) của hạt 2 H  / 2m U x, y, z (1.8a)  2  2  2 2 2 2 x y z (1.8b) là toán tử Laplace và U(x,y,z) là thế năng của hạt trong trƣờng lực. Ví dụ 1: Giải phƣơng trình (1.7) để xác định hàm sóng và năng lƣợng E của một vi hạt tự do có khối lƣợng m (U(x,y,z)=0):  2  2  2 2m /  2 E (1.9) x 2 y 2 z 2 Tìm nghiệm dƣới dạng :  xyzt, , , A exp ipxpypzEt / (1.10) x y z Thay (1.10) vào (1.9), suy ra năng lƣợng E p 2 / 2m A là một hằng số không phụ thuộc vào tọa độ và đƣợc xác định từ công thức chuẩn hóa (1.3), chúng ta đƣợc A 1/ V , với V là thể tích trong đó có hạt. Ví dụ 2: giải phƣơng trình (1.7) để xác định hàm sóng và năng lƣợng của một vi hạt chuyển động trong giếng thế năng một chiều vô hạn: U x với x 0 (miền I) U x 0 với 0 x a (miền II) U x với x a (miền III) Phƣơng trình schrodinger (1.7) trong trƣờng hợp này có dạng: 14
  21.  2 Trong miền I: I k 2 2mU /  2 (1.11a) x 2 I  2 Trong miền II: II k 2 (1.11b) x 2 II  2 Trong miền III: III k 2 2mU /  2 (1.11c) x 2 III Với: k 2 2mE / 2 (1.12) Vì U trong miền I và miền III, dễ thấy rằng: 0 I III (1.13) Trong miền II phƣơng trình cho II có dạng của phƣơng trình dao động điều hòa nên chúng ta tìm nghiệm II dƣới dạng: x Asin kx Bcos kx II (1.14) Do tính liên tục của hàm sóng tại x=0 và x=a, từ (1.13) và (1.14) chúng ta có: II 0 B 0 (1.15a) a Asin ka Bcos ka Asin ka 0 II (1.15b) Suy ra(vìA phải khác 0): sin ka 0 và k n / a (1.16a) Từ (1.12): E n2 2 2 / 2ma2 (1.16b) n=1,2,3 (1.16c) (n không bằng 0 vì II x không đồng nhất bằng 0) Kết quả là II x Asin n x / a Hằng số A có thể xác định từ công thức huẩn hóa (1.3): a A2 sin 2 n x / a dx 1 0 Suy ra A 2/ a 15
  22. Cuối cùng : II x 2/ a sin n x / a (1.17) 1.3.2. Phương trình Schrodinger thời gian. Phƣơng trình schrodinger thời gian xác định sự phụ thuộc của hàm sóng theo thời gian: i x, y, z,t / t H x, y, z,t (1.18a) Với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá trị xác định, toán tử Hamilton H không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, hàm sóng x, y, z,t là nghiệm của các phƣơng trình schrodinger: H x, y, z,t E x, y, z,t (1.18b) Suy ra x, y, z,t 0 x, y, z exp iEt /  (1.19a) Trƣờng hợp hệ N hạt các công thức (1.18), (1.19) có công thức tƣơng tự: i q,t / t H q,t (1.18c) q,t 0 q exp iEt /  (1.19b) Trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ. 1.3.3. Tính chất của phương trình Schrodinger Xuất phát từ dạng chung của phƣơng trình Schrodinger , chúng ta có thể thấy phƣơng trình này có một số dạng chung nhƣ sau: - Nghiệm của phƣơng trình thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm sóng. - Năng lƣợng trung bình bao giờ cũng lớn hơn thế năng cực tiểu trung bình Vì H=T+U suy ra: =E= + , do đó E U U min -Với U 0 trạng thái ứng với E 0 là trạng thái ràng buộc. Chúng ta chứng minh bằng phản chứng: Hạt tự do có U=0 do đó E= >0, do đó hạt với E<0 không thể có U=0, tức hạt không thể là hạt tự do và phải ở trạng thái ràng buộcU 0 . 16
  23. 1.4. Vai trò của Cơ học Cổ điển. 1.4.1. Cơ học Cổ điển là giới hạn của Cơ học Lượng tử. Từ hệ thức bất định Heisenberg chúng ta thấy khi cho h=0, x px 0 , có nghĩa là x hoặc px ( hoặc cả hai) có thể bẳng 0, tọa độ và động lƣợng có thể đồng thời xác định chính xác, chúng ta nhận đƣợc các kết quả phù hợp với Cơ học Cổ điển. Vậy Cơ học Cổ điển có thể coi là giới hạn của Cơ học Lượng tử khi cho h tiến tới 0. 1.4.2. Cơ học Cổ điển là cơ sở của Cơ học Lượng tử. Để làm biểu hiện ra tính chất của hạt vi mô, cần cho nó tƣơng tác với một đối tƣợng nào đó. Căn cứ vào sự thay đổi trạng thái của một đối tƣợng tƣơng tác ta suy ra tính chất của hạt vi mô. Để nghiên cứu định lƣợng các tính chất của hạt vi mô phải dùng đối tƣợng tƣơng tác với hạt vi mô là máy đo. Máy đo thực chất là các giác quan của con ngƣời, có thể đƣợc mở rộng bởi các thiết bị hỗ trợ. Kết quả đo thiết bị hiển thị ra mà giác quan con ngƣời có thể nhận biết đƣợc đều là giá trị trung bình vĩ mô, vì thế bộ phận hiển thị kết quả của thiết bị đo và cơ quan cảm nhận của giác quan con ngƣời phải là hệ cổ điển, hoạt động trên cơ sở của Cơ học Cổ điển. Điều đó có nghĩa là nếu không có Cơ học Cổ điển thì chúng ta không thể nào nghiên cứu đƣợc hạt vi mô. Vì vậy Cơ học Cổ điển là một trong những cơ sở của Cơ học Lƣợng tử. 17
  24. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Trong chƣơng 1, em đã trình bày về “Các cơ sở chủ yếu của Cơ học lƣợng tử” với các nội dung chủ yếu là : lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và nguyên lí bất định Heisenberg, hàm sóng của hạt vi mô, phƣơng trình Schrodinger, vai trò của Cơ học Cổ điển. Chƣơng này là cơ sở để em nghiên cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận. 18
  25. CHƢƠNG 2 : PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ 2.1. Các đại lƣợng động lực và các toán tử. 1. Chúng ta đã biết, một trong những đặc điểm rất đặc trƣng để nhận biết các tính quy luật khách quan của các tính chất, hiện tƣợng của thế giới vi mô là sự cần thiết phải đƣa vào sử dụng các “dụng cụ” hay các “máy đo”; điều đó có nghĩa là sử dụng các dụng cụ nào dó để tác động vào các đối tuợng vi mô, mà kết quả là, do sự tƣơng tác của hệ vi mô với máy đo sẽ đƣa đến sự thay đổi các trạng thái của cả hệ vi mô lẫn trạng thái của máy đo, phản ánh độ lớn của tƣơng tác. Qua đó ngƣời ta nói rằng, đại lƣợng vật lí cần xác định đã đƣợc đo và máy đo cho phép ta xác định đƣợc độ lớn của đại lƣợng vật lí này. Ứng với mỗi trạng thái xác định của hệ lƣợng tử (trạng thái liên kết hệ lƣợng tử và máy đo), phép đo cho chúng ta một số đo xác định. Ngƣợc lại, có thể đặc trƣng cho trạng thái của hệ bằng tập các số đo các đại lƣợng vật lí khác nhau. Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các tọa độ và xung lƣợng. Các đại lƣợng vật lí này đủ để đặc trƣng cho trạng thái của hệ cơ học và đƣợc gọi là các đại lƣợng động lực của cơ học.Trong cơ học lƣợng tử, các đại lƣợng vật lí có vai trò tƣơng tự cũng đƣợc gọi là các đại lƣợng động lực của cơ học lƣợng tử. 2.Trong các phép đo các đại lƣợng động lực, cần chú ý rằng, do sự tƣơng tác giữa hệ vi mô và hệ máy đo, hệ vi mô cần nghiên cứu cũng sẽ chịu tác dụng của tƣơng tác, kết quả là, ở mỗi phép đo, hệ lƣợng tử sẽ ở trong một trạng thái liên kết hệ lƣợng tử - máy đo xác định và phép đo cho chúng ta một giá trị xác định của đại lƣợng vật lí cần đo. Trong phép đo tiếp theo, hệ lƣợng tử sẽ chuyển sang trạng thái mới và máy đo cho chúng ta giá trị mới của phép 19
  26. đo. Giả sử sau một số lần đo đủ lớn, hệ chuyển sang dãy tƣơng ứng các trạng thái  1, 2 , , n . Để đơn giản cho lí luận, ta giả thiết các hàm này là độc lập tuyến tính từng đôi, và là tất cả các trạng thái khả dĩ, không có trạng thái nào khác ngoài n trạng thái này. Tƣơng ứng với mỗi lần đo ta đƣợc một trị số của đại lƣợng F, và n lần đo đại lƣợng F, sẽ đƣợc dãy các trị số f1, f2 , , fn khác nhau từng đôi. Từ lần thứ n+1 trở đi, các kết quả đo lại lặp lại một trị số của dãy trên và hệ lại rơi vào một trong n trạng thái ban đầu. Nhƣ vậy, khi số lần đo đủ lớn, chúng ta đã phải tính đến xác suất để đo F đƣợc một giá trị nào đó (trong dãy trị số trên) và tƣơng đƣơng với điều ấy là xác suất để hệ lƣợng tử nằm ở trạng thái đã cho số đo trên. 3.Hơn nữa, trong hàng loạt thí nghiệm khi đo các đại lƣợng vật lí, ngƣời ta thấy rằng phổ các đại lƣợng này có thể rời rạc, có thể liên tục hoặc vừa rời rạc vừa liên tục từng khoảng. Khi nghiên cứu về các toán tử, ngƣời ta cũng thấy phổ cá giá trị riêng của các toán tử cũng có các tính chất tƣơng tự. Bởi vậy, ngƣời ta đã đối ứng các giá trị các phép đo các đại lƣợng vật lí với các giá trị riêng của các toán tử, đối ứng các đại lƣợng vật lí xác định với một toán tử xác định. Để áp dụng đƣợc nguyên lí chồng chất các trạng thái, các toán tử phải tuyến tính và để các trạng thái riêng của toán tử là thực thì các toán tử phải Hermite. Do đó trong cơ học lƣợng tử ngƣời ta chỉ sử dụng các toán tử tuyến tính – Hermite. Trong quá trình xây dựng cơ học lƣợng tử ngƣời ta thừa nhận tiên đề sau: “Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính, Hermite Fˆ . Trong phép đo đại lượng vật lí F hệ lượng tử nằm ở trạng thái  q,t nào đó ở thời điểm t, để được một số đo xác định, hệ lượng tử sẽ chuyển về 20
  27. nằm ở trạng thái liên kết máy đo – hệ lượng tử. Trạng thái liên kết này được ˆ mô tả bởi hàm riêng  q,t của toán tử F tương ứng với giá trị riêng f n . Giá trị riêng f n là số đo f n của phép đo đại lượng vật lí F. Tập các giá ˆ trị riêng f n được gọi là phổ (giá trị riêng) của toán tử F . Phổ của các toán tử có thể rời rạc, cũng có thể liên tục”. Từ tiên đề này chúng ta rút ra các kết luận sau: (i) Phƣơng trình cho hàm riêng và giá trị riêng của toán tử Fˆ : ˆ F n q,t fn n q,t Mô tả phép đo đại lƣợng vật lí F để có số đo f n . Trong phép đo đó, hệ lƣợng tử chuyển từ trạng thái  q,t nào đó về nằm ở trạng thái liên kết  n . Trƣờng hợp phép đo F không thực hiện đƣợc thì khi liên kết với hệ máy đo, hệ lƣợng tử không chuyển về trạng thái  n . ˆ (ii) Hệ các hàm riêng  n  của toán tử Hermite F là một hệ cơ sở trực chuẩn đủ của không gian Hilbert các hàm trạng thái  n , m  nm , vì vậy trạng thái  tùy ý (đã đƣợc chuẩn hóa) có thể khai triển duy nhất theo hệ cơ sở này:  cn n n 2 Từ hệ tiên đề thứ nhất, ta đã nói rằng cn là xác suất để hệ  nằm ở trạng thái  n ứng với phép đo F để đƣợc số đo f n , vì vậy có thể suy ra rằng 2 cn là xác suất để đo đƣợc số trị f n của đại lƣợng vật lí F của hệ lƣợng tử. (iii) Vì hệ  n  là trực chuẩn đủ, dễ dàng rút ra: c  *dq  , n n Nhƣ vậy, trong trƣờng hợp phổ của Fˆ là rời rạc, xác suất để đo đƣợc giá trị f n xác định của đại lƣợng vật lí F của hệ lƣợng tử (tƣơng ứng với toán tử 21
  28. Fˆ ) trong trạng thái đƣợc mô tả bởi hàm sóng  q nào đó (cũng là xác suất để hệ lƣợng tử  q chuyển về nằm ở (xẹp xuống) trạng thái  n ) sẽ đƣợc tính bởi công thức: 2 W f c 2  * q  q dq n n n Còn trong trƣơng hợp phổ của Fˆ là liên tục, xác suất để đo đại lƣợng F trong trạng thái  q để đạt đƣợc giá trị từ f đến f+df sẽ là: 2 2 dW f c df  * q  q dq df f f 2 Và c f có ý nghĩa là mật độ xác suất. (iv) Nếu hệ lƣợng tử chỉ ở trong trạng thái đƣợc mô tả bởi hàm sóng ˆ   n là hàm riêng của toán tử F ứng với trị riêng f n thì đại lƣợng vật lí F có giá trị xác định và lần nào đo cũng đƣợc trị số f n . (v) Nếu hệ lƣợng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng   n  2 (n=1,2,3 .)các số đo f n của đại lƣợng F có xác suất đo là cn . Theo lí thuyết xác suất, các số đo f n (n=1,2,3 ) sẽ có trị trung bình. * F W fn fn cncn fn n n Ta sẽ biểu diễn F qua hàm  bằng cách biến đổi nhƣ sau: F c*c* f  * dq c f  * c f  dq  n n n  n n n  n n n n n n  * c Fˆ dq  *F c  dq  *Fˆdq  , Fˆ  n n  n n . n n Bởi vậy F  *Fˆdq  , Fˆ khi  đã chuẩn hóa. * ˆ  Fdq  , Fˆ F khi  chƣa chuẩn hóa.  *dq  , 22
  29.   F  *Fˆdq  , Fˆ Nếu n , thì khi  đã chuẩn hóa, rút về trƣờng hợp (iv) F  *Fˆdq f  *dq f F  f n n ;nghĩa là n . 4. Từ tiên đề trên chúng ta đã thấy rằng cần phải đối ứng đại lƣợng vật lí F với toán tử Fˆ nào đó. Nhƣ vậy, nếu nghiên cứu năng lƣợng của hệ, cần phải biết toán tử Hamilton, còn nếu nghiên cứu năng lƣợng của hệ, cần phải biết toán tử xung lƣợng Vấn đề đặt ra là dạng tƣờng minh của các toán tử tƣơng ứng với các đại lƣợng vật lí cần nghiên cứu sẽ viết nhƣ thế nào? Việc xây dựng dạng của các toán tử phải dựa trên các cơ sở: (i) Cơ học lượng tử xây dựng trên cơ sở của cơ học cổ điển, bởi vậy những lượng vật lí của cơ học lượng tử phải trùng với các đại lượng vật lí cổ điển, trong những điều kiện mà hệ lượng tử được coi như là hệ cổ điển. (ii) Các phương trình toán tử chính là các phương trình chuyển động của cơ. học lượng tử. Các kết quả rút ra từ các phương trình này phải được thực tế kiểm nghiệm.  r,t  2  2  2 (iii)Phương trình toán tửi Hˆ r,t với Hˆ 2 , t 2m r 2 2m mô tả chuyển động tự do của hạt với năng lượng E là phương trình cho hàm  2 riêng và trị riêng của toán tử Hamintol Hˆ 2 . 2m Dạng của toán tử Hˆ trong các trường hợp khác nhau, trong các trường hợp không có tương tác phải chuyển về dạng . Ngƣời ta đƣa ra tiên đề sau thỏa mãn đƣợc những yêu cầu trên: Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử cũng giống như các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển. 23
  30. Nếu trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bởi hàm của tọa độ và thời gian và nếu L qk ,qk ,t , pk và qk k 1 tương ứng là hàm Largange, các xung lượng suy rộng và các tọa độ suy rộng của hệ vi mô, thì :   (i) Hàm Hamiltonian H pk ,qk ,t  pk qk L qk ,qk ,t được chuyển tương k ứng thành toán tử  Hˆ i t L (ii) Xung lượng suy rộng pk được chuyển tương ứng thành toán tử qk  pˆ k i qk (iii) Tọa độ suy rộng qk được chuyển tương ứng thành toán tử nhân với qˆk qk Ví dụ: Tính mật độ xác suất để đo đƣợc giá trị px của xung lƣợng một hạt lƣợng tử ở trạng thái: 2 n x  x sin 0 x a,n 1,2, n a a Giải. Các hệ số khai triển c đƣợc tính bằng tích phân: px a a i 1 px x n x c  * x  x dx e  sin dx px px n 0 a 0 a iap x 1 3 n n a  1 e  a 2 p 2 n 2 2 2 x Mật độ xác suất đo đƣợc giá trị px của xung lƣợng ở trạng thái  n x là: 2 3 2 2n a  n ap c 1 1 cos x px 2 2 2 2 2 a px n   24
  31. 4n2a 3 ap sin 2 x nếu n chẵn. 2 2 2 2 2 2 2 a px n  4n2a 3 ap Và bằng cos 2 x nếu n lẻ. 2 2 2 2 2 2 2 a px n  2.2. Điều kiện để hai đại lƣợng vật lí đồng thời xác định trong cùng một trạng thái. Định lí: Hai toán tử chung nhau những hàm riêng khi và chỉ khi chúng giao hoán nhau. Chứng minh: ˆ ˆ Giả sử F và G chung nhau những hàm riêng  n  nghĩa là: Fˆ F  n n n (*) Gˆ G  n n n ( ) Tác dụng vào hai vế của (*) với Gˆ và tác dụng vào hai vế của ( ) với Fˆ , sau đó trừ các kết quả tƣơng ứng cho nhau: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (GF FG) n FnG n Gn F n FnGn n Gn Fn n 0 Từ đây ta suy ra rằng: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cn GF FG  n GF FG cn n GF FG  0. n n Vì  là tùy ý cho nên GˆFˆ FˆGˆ 0. Ngƣợc lại, giả sử hai toán tử Fˆ và Gˆ giao hoán với nhau, ta sẽ chứng ˆ ˆ minh rằng nếu  n n 1,2 là những hàm riêng của F : F n Fn n thì  n cũng ˆ ˆ là những hàm riêng của G nghĩa là :G n Gn n Đầu tiên ta xét trƣờng hợp không suy biến. Theo giả thiết FˆGˆ GˆFˆ , từ đây: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F G n GF n GFn n Fn G n 25
  32. ˆ ˆ ˆ Đẳng thức này chứng tỏ G n là hàm riêng của toán tử F . Vì G n và ˆ  n đều là hàm riêng ứng với Fn của F , cho nên chúng ta chỉ khác nhau một thừa số không đổi. ˆ G n Gn n Gn const (đpcm) Sau đây ta xét trƣờng hợp suy biến. Gỉa sử trị riêng của Fˆ suy biến s lần nghĩa là: Fˆ F  (k=1,2, ,s) nk n nk Nói chung những hàm riêng  không phải là hàm riêng của Gˆ nữa. nk Nhƣng nếu lập những tổ hợp tuyến tính dạng: s ˆ n cl  n Fn Fnn l  k k l l k 1 Lập luận nhƣ trƣờng hợp không suy biến, ta đi đến kết luận  cũng là nl hàm riêng của Gˆ . 2.3. Phƣơng pháp toán tử. 2.3.1. Toán tử: là một kí hiệu biểu thị một hoặc một tập hợp tác động toán học. Ví dụ: H (x, y, z,t) E (x, y, z,t) (1.20) Với H 2 / 2m U(x, y, z,t) (1.21) H là một toán tử, có tên là toán tử Hamilton, đó là tác động toán học của  2  2  2 đạo hàm bậc hai theo tọa độ . x 2 y 2 z 2 2.3.2. Phương trình trị riêng của toán tử. Tác động một toán tử Lˆ lên hàm sóng  làm  biến đổi thành : Lˆ (1.22) Phƣơng trình (1.22) là phƣơng trình toán tử. 26
  33. Nếu  , với  là hằng số, từ (1.22) ta đƣợc: Lˆ  (1.23) Phƣơng trình (1.23) gọi là phƣơng trình trị riêng của toán tử Lˆ ;  là trị riêng,  làhàm riêng của toán tử Lˆ . 2.3.3.Các loại toán tử 2.3.3.1.Toán tử Hec-mit là toán tử mà trị riêng của nó là thực. Nếu f là trị riêng của toán tử hecmit f , f f , thì * f f (1.24) Vì các đại lƣợng vật lý là thực nên các toán tử tƣơng ứng với chúng là các toán tử hecmit. 2.3.3.2. Toán tử tuyến tính là toán tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện ˆ ˆ L 1  2 L1 L 2 (1.25a) Lˆc cLˆ (1.25b) 2.3.3.3. Toán tử đơn vị là toán tử mà tác động của nó lên hàm sóng không làm thay đổi hàm sóng Iˆ  (1.26) 2.3.3.4. Toán tử ngược của toán tử Lˆ ,(kí hiệu là Lˆ 1 ) là toán tử mà tác động của nóngược với toán tử Lˆ , nghĩa là nếu Lˆ thì  Lˆ 1 . Từ định nghĩa trên suy ra Lˆ 1.Lˆ Lˆ 1 Iˆ , nghĩa là tích của một toán tử với toán tửngƣợc của nó là một toán tử đơn vị. ~ 2.3.3.5. Toán tử chuyển vị: Toán tử fˆ gọi là toán tử chuyển vị của toán tử fˆ nếu: fˆˆ  dr  f  dr 2 1 1 2 (1.27a) ~ ˆ Rõ ràng là f f . Trong trƣờng hợp tác dụng của toán tử fˆ làm thay đổi biến của hàm 27
  34. sóng, tức là: fˆ u v ˆ Và toán tử f là toán tử unita, công thức định nghĩa toán tử chuyển vị (1.27a) đƣợc viết dƣới dạng: ~  * v fˆ u dv  u fˆ * v du (1.27b) 2.3.3.6. Toán tử liên hợp phức fˆ * của toán tử fˆ là toán tử fˆ trong đó đơn vị ảo I bằng –i. 2.3.3.7. Toán tử liên hợp fˆ của toán tử fˆ là toán tử vừa chuyển vị vừa liên hợp phức của toán tử fˆ , nghĩa là : ~ ˆ ˆ * f f (1.28) 2.3.3.8. Toán tử liên hợp là toán tử khi toán tử liên hợp của nó bằng chính nó. fˆ fˆ (1.29) Dễ dàng chứng minh đƣợc rằng toán tử hecmit là toán tử tự liên hợp. Thật vậy, từ công thức f * f (1.24) ta có * ~  * fˆdr  * fˆdr fˆ * *dr  * fˆ *dr  * fˆ dr Từ đó suy ra : fˆ fˆ (1.29) 2.3.3.9. Toán tử unita : Toán tử fˆ gọi là unita nếu tích của nó với toán tử liên hợp bằng toán tử đơn vị , nghĩa là: ffˆˆ Iˆ (1.30a) Dễ thấy rằng fˆ fˆ 1 (1.30b) 2.4. Các tính chất của toán tử 2.4.1. Cộng toán tử. Nếu gˆ và fˆ đồng thời xác định và có phƣơng trình trị riêng: ˆ gˆ n gn n , f n fn n f 28
  35. Thì gˆ fˆ  g f  n n n n 2 Ví dụ: Tính Dˆ xˆ Giải 2 Dˆ xˆ Dˆ xˆ Dˆ xˆ Dˆ Dˆ xˆ xˆ D xˆ DˆDˆ Dˆxˆ xˆDˆ xˆxˆ Dˆ 2 Dˆxˆ xˆDˆ xˆ2 2.4.2. Nhân toán tử. Sự giao hoán của hai toán tử là điều cần và đủ để hai toán tử có cùng hệ hàm riêng. ˆ ˆ Điều kiện cần : Cho gˆf fgˆ , gˆ n gn n . fˆ f   ˆ Phải chứng minh: n n n , tức là n cũng là hệ hàm riêng của f . Thật vậy , vì gˆ g  , suy ra fˆgˆ g fˆ n n n n n n . Kí hiệu fˆ , chúng ta có fˆgˆ gˆ n n n n . ˆ ˆ ˆ Mặt khác vì gˆf n fgˆ n gn f n gn n , suy ra gˆ n gn n , nghĩa là n cũng là hệ hàm riêng của gˆ , do đó n chỉ có thể sai khác so với  n một thừa số, nghĩa là : f  n n n fˆ f   fˆ Cuối cùng n n n n , tức n cũng là hệ hàm riêng của gˆ g  fˆ f  Điều kiện đủ: Cho n n n và n n n Phải chứng minh : gˆfˆ fˆgˆ ˆ ˆ ˆ Thật vậy, fgˆ n fgn n gn f n gn fn n ˆ gˆf n gˆfn n fn gˆ n fn gn n gn fn n ˆ ˆ Suy ra gˆf fgˆ . 29
  36. Ý nghĩa vật lý: Khi hai toán tử giao hoán với nhau, chúng có cùng hệ hàm riêng, các đại lượng vật lý tương ứng đồng thời xác định ở cùng một trạng thái. 2.4.3. Toán tử đạo hàm theo thời gian. ˆ Nếu toán tử fˆ tƣơng ứng với đại lƣợng f, thì toán tử f tƣơng ứng với đại ˆ lƣợng f gọi là toán tử đạo hàm theo thời gian của toán tử fˆ . Toán tử f và đƣợc địnhnghĩa nhƣ sau : ˆ  f fˆ t (1.31) Chúng ta xây dựng công thức để tính đại lƣợng này: ˆ   f fˆ  fˆdq t t  fˆ  = fˆdq  dq  fˆ dq t t t  iH Thay vào phƣơng trình trên ta đƣợc: t  ˆ ˆ f f iH  /   fˆ dq  dq  fˆ iH /  dq t Vì iH  /  fˆ dq i /  fˆ H  dq i /   Hfˆdq Chúng ta đƣợc: ˆ ˆ f f  dq i /   Hfˆ fˆH dq t ˆ ˆ Mặt khác, vì f  fdq ˆ fˆ Suy ra: f i /  Hfˆ fˆH (1.32) t fˆ Trƣờng hợp fˆ phụ thuộc không tƣờng minh vào thời gian 0 t ˆ ˆ ˆ f i / Hf fH (1.33) 30
  37. ˆ Nếu toán tử fˆ giao hoán H, f 0 ,nghĩa là đại lƣợng f bảo toàn. Dƣới đây chúng ta sẽ tìm hiểu về những toán tử liên quan đến các đại lƣợng bảotoàn của hạt cô lập. 2.5. Toán tử Hamilton. 2.5.1. Định luật bảo toàn năng lượng và tính đồng nhất về thời gian. Toán tử Halminotn là toán tử tƣơng ứng với năng lƣợng E. Với một hạt cô lập năng lƣợng H không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, thay fˆ H ˆ trong f i / Hfˆ fˆH (1.33). Ta nhận đƣợc năng lƣợng là một đại lƣợng bảo toàn. Sự không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian của H có thể coi nhƣ tính đồng nhất về thời gian của hạt. Có nghĩa là sự bảo toàn năng lƣợng liên quan đến tính đồng nhất về thời gian. 2.5.2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamintol trong trạng thái dừng. Xét phƣơng trình Shrodinger: H E  n n n (1.34) Với E là năng lƣợng ở trạng thái n. Trong trạng thái dừng năng lƣợng E có giá trị xác định, nhƣng hàm sóng có thể thay đổi theo thời gian. Phƣơng tình shrodinger thời gian có dạng  n /t iH n / , kết hợp với (1.34), ta đƣợc: n q,t  n q exp iEnt / (1.35) Thay (1.35) vào (1.34) ta có: H n q exp iEnt / En n q exp iEnt / Vì thế năng chỉ phụ thuộc vào tọa độ Q và H không phụ thuộc tƣờng minh vào t nên, H q E q n n n (1.36) Với dạng cụ thể của thế năng, giải phƣơng trình (1.36), chúng ta xác định đƣợc hàm sóng n q . 31
  38. 2.6. Toán tử động lƣợng. 2.6.1. Định nghĩa. Xét một phép dịch chuyển tịnh tiến trong không gian r ==> r dr do tác độngcủa toán tử Ôp : Ô  r  r dr p (1.37) Khai triển hàm  r dr ở lân cận điểm r :  r dr  r  r dr 1 dr  r Suy ra: Ôp 1 dr (1.38a) Toán tử Ôp đƣợc định nghĩa nhƣ (1.37) giao hoán với H. Thƣờng dùng một toán tửkhác tƣơng đƣơng với Ôp gọi là toán tử động lượng: ˆ P c (1.38b)  Trong đó c là hằng số có thứ nguyên để bảo đảm cho Pˆ có thứ nguyên động lƣợng.Giá trị của c có thể xác định đƣợc bằng cách : Viết biểu thức năng lƣợng của hạt tự do (động năng) E p2 / 2m và biểu thức toán tử tƣơng ứng H Pˆ 2 / 2m. Mặt khác toán tử năng lƣợng của hạt tự do có dạng H 2 / 2m 2 , chúng ta suy ra: ˆ P i (1.38c) Do đó hệ số c i . ˆ Thành phần của toán tử động lƣợng P : ˆ  ˆ  ˆ  Px i ; Piy , Pz i (1.39)  x  y  z ˆ Dễ dàng chứng tỏ đƣợc rằng toán tử động lƣợng P của một hạt cô lập giao hoán với Hamintol H. Từ đó suy ra động lƣợng của hạt cô lập bảo toàn. Từ công thức: Ôp r  r dr (1.37) và Ôp 1 dr (1.38a) , 32
  39. ˆ Và P c (1.38b) Ta thấy toán tử động lƣợng liên quan đến dịch chuyển tịnh tiến trong không gian, tính bảo toàn của đại lượng này thể hiện tính đồng nhất của không gian. 2.6.2. Tính chất giao hoán. Có thể chứng minh đƣợc: ˆ ˆ ˆ ˆ Pi Pj Pj Pi 0 , ( i,j=x,y,z ) (1.40) Nghĩa là các thành phần động lƣợng có thể tồn tại đồng thời.Nhƣng các ˆ thành phần động lƣợng Pi thì không giao hoán với các đại lƣợng là hàm của tọa độ f r . Dễ dàng chứng minh đƣợc công thức: ˆ ˆ ˆ Pi f r f r P i P ì f r (1.41) Chẳng hạn với i=x: f r     ˆ ˆ    Px f r  f r Px i  i f r  f r i  x x  x  f r ˆ i  Px f r  x Tƣơng tự với i=y và i=z, suy ra (1.41) ˆ ˆ Với i=x , f r x : Px x xPx i (1.42a) ˆ ˆ Với i=y , f r y : Py y yPy i (1.42b) ˆ ˆ Với i=z , f r z : Pz z zPz i (1.42c) Dễ dàng nhận đƣợc công thức tổng quát: Pˆ x x Pˆ i i j j i ij (1.43) ( với i=x,y,z ; x j x, y, z ;  ij 1 nếu i=j ,  ij 0 nếu i j ) 2.6.3. Hàm riêng của toán tử động lượng. Phƣơng trình trị riêng: 33
  40.  pˆ  p  , hay i p  x x x x ip Do đó  y, z e xx/  (1.44) 0 2.7. Toán tử mô men động lƣợng. 2.7.1. Định nghĩa. Tƣơng ứng với đại lƣợng mô men động lƣợng l đƣợc định nghĩa bằng tích vécto bán kính r với động lƣợng p :l r  p , ngƣời ta định nghĩa toán tử động lƣợng một cách tƣơng ứng: ˆ   ˆ l rˆ  pˆ hoặc l i rˆ   (1.45a) Xét tác động quay không gian một góc d : vecto bán kính r biến đổi từ r thành r ' : r r' r dr r d  r , hàm sóng cũng biến đổi tƣơng tự:  r  r'  r d  r . Ký hiệu Ôl là toán tử thể hiện phép biến đổi này, ta có:  Ôl r  r d  r  r  d  r  r   r d  r   r  Suy raÔl 1 d  r   (1.45b) Vì d là đại lƣợng xác định cho trƣớc, trên thực tế thƣờng dùng toán tử c r   . Đó chính là toán tử mô men động lƣợng xác định bằng (1.45a) , với hằng số c iz , vì trong biểu diễn tọa độ rˆ r . Thành phần của toán tử mô men động lƣợng trong hệ tọa độ Décartes: ˆ   ˆ   ˆ   lx i y z ; l y i z x ; lz i x y (1.46) z y x z y x 2.7.2. Tính chất giao hoán. Bằng cách tính toán trực tiếp với các biểu thức (1.46) ta dễ dàng chứng 34
  41. minh đƣợc tính chất giao hoán sau ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ lxly lylx ilz ; lylz lzly ilx ; lzlx lxlz ily (1.47) Khi xét tính chất giao hoán của toán tử mô men động lƣợng với toán tử Hamilton H trong trƣờng hợp hạt cô lập, ta viết biểu thức của H trong trƣờng hợp này nhƣ sau :  2  2  2  2 H 2 2 2 2m x y z Tính chất giao hoán giữa các thành phần x của toán tử mô men động lƣợng với toán tử H có thể xác định nhƣ sau:    2  2  2  2 lˆ H i y z x 2 2 2 z  y 2m x y z 3 3 3 3 3 3 3       = i / 2m y 2 y 2 y 3 z 2 z 3 z 2 (1.48a) zx zy z yx y yz  2  2  2  2   Hlˆ i y z x 2 2 2 2m x y z z y i3 3 3 3 3 3 3 y z y z y z (1.48b) 2 2 2 3 3 2 2m x z x y y z y z z y Từ (1.48a) và (1.48b) ta đƣợc: lˆ H Hlˆ 0 (1.49a) x x Nghĩa là thành phần toán tử mô men động lƣợng giao hoán với toán tử Hamilton. Tƣơng tự có thể chứng minh rằng bình phƣơng của từng thành phần mô men động lƣợng, và cả bình phƣơng của mô men động lƣợng lˆ2 cũng giao hoán với H: ˆ ˆ l 2 H Hl 2 (1.49b) Các kết quả trên dẫn đến sự bảo toàn của mô men động lƣợng trong hệ cô lập. Vì toán tử mô men động lƣợng thể hiện tác động quay không gian một 35
  42. góc, sự bảo toàn này liên quan đến tính đẳng hƣớng của không gian. ˆ 2.7.3. Toán tử lz ˆ Toán tử lz có vai trò đặc biệt quan trọng trong số các toán tử mô men động lƣợng khi đƣợc xem xét trong hệ tọa độ cầu. Vì thế trƣớc hết chúng ta ˆ dẫn ra biểu thức của lz trong hệ tọa độ cầu. Từ các công thức: x rsin cos ; y rsin sin ; z r cos (1.50) Ta có: dx sin cos dr r cos cosd rsin sin d (1.51a) dy sin sin dr r cos sin d rsin cos d (1.51b) dz cosdr rsind (1.51c) Giải hệ phƣơng trình (1.51) tìm dr,d,d theo dx,dy,dz ta có thể viết đƣợc các biểu thức đã cho r   r   r   , , , , , , , , . x x x y y y z z z Trên cơ sở các biểu thức này chúng ta tìm đƣợc:  r      , x x r x  x  Một cách tƣơng tự ta có:  r       r      và y y r y  y  z z r z  z  Cuối cùng thay vào các toán tử mô men động lƣợng , ta đƣợc  lˆ i (1.52) z  ˆ ˆ Và tƣơng tự cho các toán tử l x và l y ˆ Để tìm trị riêng và hàm riêng của lz chúng ta giải phƣơng trình trị riêng: 36
  43. ˆ  lz i lz (1.53)  Suy ra : r,, f r, exp il z / (1.54a)  r,, phải thỏa mãn tính đơn trị của hàm sóngl nên mỗi giá trị của hoặc 2 phải ứng với một giá trị hàm sóng ( vì trong không gian và 2 đều ứng với một góc nhƣ nhau):  r,,  r,, 2 . Chú ý (1.54a) suy ra : exp il 2 / 1 z . Do đó l m ; m 0, 1, 2, , m (1.55a) z max ˆ Có nghĩa là trị riêng của lz bị lƣợng tử hóa, chỉ có các giá trị nguyên lần  .Vì giá trị cực đại của lz bằng giá trị của vectơ l l Suy ra mmax l (1.55b) Cuối cùng hàm sóng (1.54a) có dạng:  r,, f r, exp im (1.54b) ˆ 2.7.4. Các toán tử l ˆ ˆ Biểu thức của các toán tử l x và l y có dạng phức tạp, nên thay vì các toán ˆ tử này thƣờng dùng các toán tử l . ˆ ˆ ˆ Theo định nghĩa: l lx ily (1.56) ˆ ˆ ˆ Để xét tính chất của các toán tử l chúng ta viết biểu thức của l x và l y trong hệ tọa độ cầu. Tiến hành các phép biến đổi nhƣ để nhận đƣợc công thức (1.52), chúng ta nhận đƣợc từ (1.56): ˆ i   l e icot g (1.57)   ˆ 2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ 2 Tƣơng tự cho l , chú ý rằng l l x l y lz , chúng ta đƣợc: 37
  44. 2 ˆ2 2 1   1  l  sin 2 2 (1.58) sin   sin   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Từ (1.52) và (1.57) : lzl l lz lz lx ily lx ily lz ilˆ lˆ lˆ y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Do đó lzl  m l lz m l  m  m 1 l  m ˆ Đặt l  m (1.59) ˆ ˆ Suy ra lz  m 1 , nghĩa là là hàm riêng của lz ứng với trị riêng bằng m+1, tức là c m 1 , ˆ Cuối cùng l  m c m 1 (1.60) ˆ Điều đó có nghĩa là tác động của toán tử l lên trạng thái m làm xuất hiện trạng thái (m+1), tức là tăng số m thêm một đơn vị. ˆ Tƣơng tự với toán tử l : lˆ c (1.61) m m 1 ˆ Nghĩa là tác động của toán tử l lên trạng thái m làm xuất hiện trạng thái (m-1), tức làm giảm số m đi một đơn vị. Trên cơ sở những kết quả trên có thể chứng tỏ rằng hàm riêng (1.54) của ˆ ˆ 2 toán tử lz cũng là hàm riêng của toán tử l . ˆ ˆ ˆ Thực vậy: l l  m l cl  m l 1 0, vì không có trạng thái m=l+1 do đó  m l 1 0, mặt khác vì: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ l l lx ily lx ily l x l y ilxly ilylx l l z lz ˆ2 ˆ 2 ˆ Chúng ta có: l lz lz  m l 0 ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 Suy ral  l lz lz  m l  l l 1  m l (1.62) ˆ ˆ 2 Nghĩa là  m l vừa là hàm riêng của lz , vừa là hàm riêng của l , và trị riêng của lˆ 2 bằng 2l l 1 ; 38
  45. Vì lˆ 2 giao hoán với H, hệ hàm riêng này cũng là hệ hàm riêng của H và xác định trạng thái của hạt. Để có dạng đầy đủ của hàm sóng này chúng ta cần xác định dạng của hàm f r, trong công thức (1.54). Mặt khấc, trạng thái của hạt phụ thuộc mô men động lƣợng, tức vào số lƣợng tử l, nên hàm sóng của hạt còn phụ thuộc vào số lƣợng tử l, tức là:  l,m r,, f r, exp im (1.54c) Chú ý rằng  l,m l 1 0 , chúng ta có: ˆ ˆ il i   il l  l,l l fl (r,)e e icot g fl (r,)e 0    Suy ra: l cot g fl (r,) 0 (1.63)  l Nghiệm của (1.63) có dạng: fl (r,) R(r)sin  ( ta có thể kiểm tra bằng cách thay trực tiếp nghiệm đó vào (1.63) để đƣợc kết quả f (r,) l l cot gf (r,) )  l Để xác định dạng cuối cùng của hàm  l,m (r,, ) , ta làm nhƣ sau: ˆ Từ công thức (1.61)l  m c m 1 , ta suy ra: ˆ i  l il  l,l 1 const.l  l,l const.e icot g Rl (r)sin e  Tƣơng tự: ˆ ˆ 2  l,l 2 const.l  l,l 1 const. l  l,l . ˆ l m  l,m const. l  l,l l m i(l m)  l il const.e icot g Rl (r)sin e  Cuối cùng có thể viết: 39
  46. im m  l,m r,, Cl,m Rl (r)e Pl cos (1.64) m Trong đó Pl cos là đa thức Legendre, đƣợc xác định bởi biểu thức sau: 2 m / 2 l m m l 1 l m ! 1 u  2 l Pl u 1 1 u (1.65) l m ! 2l l!  Cl,m là hằng số chỉ phụ thuộc vào các số lƣợng tử l,m. Tìm Rl (r) , ta trở lại phƣơng trình Shrodinger:  l,m 2m/ E U  l,m 0 (1.66) Với trong tọa độ cầu: 2 2 2 2    1  2  1   1  2 2 2 2 r 2 sin 2 2 2 (1.67a) x y z r r r r sin   r sin   2 ˆ2 2 1   1  Từ công thức: l  sin 2 2 (1.58) ta đƣợc: sin   sin   1   2 ˆ2  2 2 r l / (1.67b) r r r Thay vào (1.66) ta đƣợc: 1   2 ˆ2  2  2 2 r l /  l.m r,, 2me / E U  l,m r,, 0 r r r ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 Từ công thức l  l lz lz  m l  l l 1  m l (1.62) chúng ta đƣợc 1   2 2 2 r l l 1  l,m r,, 2me / E U  l,m r,, 0 (1.68) r r r Trong trƣờng hợp thế năng chỉ phụ thuộc giá trị r (chẳng hạn trong trƣờng xuyên tâm), hàm  l,m trong (1.66) có thể thay bằng hàm Rl r : 1   2  2 2 r l l 1 Rl (r) 2me / E U r Rl r 0 (1.69) r r r Chúng ta tìm nghiệm (1.69) dƣới dạng: R r  r / r (1.70) 40
  47. Với  0 0 để đảm bảo tính giới nội của R r tại điểm r=0 Thay vào (1.69), ta đƣợc:  2  r 2m e E V r  r 0 (1.71) r 2  2 Với V r là thế hiệu dụng: V r U r 2 / 2m l l 1 / r 2 (1.72) Bài toán xác định hàm R r trở thành bài toán một chiều, phụ thuộc vào dạng cụ thể của thế U r . 2.8. Toán tử chẵn lẻ Iˆ . Toán tử chẵn lẻ là toán tử có tác dụng biến đổi trạng thái của hạt với tọa độ từ r thành r : Iˆ r  r (1.73) Trị riêng của Iˆ khi đó đƣợc xác định nhƣ sau: Iˆ2 r IˆIˆ r Iˆ r  r Nghĩa là trị riêng của Iˆ 2 bằng 1 và trị riêng của Iˆ bằng 1. Hai trị riêng 1ứng với hai hàm sóng: ˆ Hàm chẵn  r : I r  r ˆ Hàm lẻ  r : I r  r Dễ dàng chứng tỏ rằng tính chất chẵn, lẻ phụ thuộc vào giá trị của số lƣợng tử quỹ đạo l. Trong tọa độ cầu chú ý im m im l m  l,m r, , Cl,m Rl (r)e Pl cos  e 1  l,m r,, Từ công thức (1.73) ta có: ˆ l I l,m r,,  l,m r, , ( 1)  l,m r,, (1.74) Có nghĩa là trạng thái là chẵn khi l chẵn, còn trạng thái là lẻ khi l lẻ. 2.9. Toán tử spin. 2.9.1. Các cơ sở thực nghiệm dẫn đến đại lượng spin. 41
  48. 2.9.1.1. Hiện tượng quang phổ vạch của Na. Nhờ các thiết bị chính xác ngƣời ta đã phát hiện hai vạch trong quang phổ vạch của Na là 5890A và 5896A thay vì một vạch 5893A nhƣ đã phát hiện ra trƣớc đó. Nếu không thừa nhận electron có spin thì không thể giải thích đƣợc hiện tƣợng này. 2.9.1.2. Thí nghiệm Einstein-de Haas. Bố trí nhƣ hình dƣới . Khi đóng mạch dòng điện chạy qua vòng dây làm cho thanh sắt từ (số 1) quay. Đo độ xoắn của dây treo (số2) và đo cƣờng độ dòng điện có thể thiết lập đƣợc quan hệ giữa mô men từ và mô men động lƣợng của electron. Khi chƣa có dòng điện trong các vòng dây mô men động lƣợng của hệ gồm mômen động lƣợng của các hạt nhân và của các electron đều bằng 0: Lhatnhan 0 ; Le 0 Suy ra L L 0 hatnhan e . Mặt khác tổng mô men động lƣợng bảo toàn nên khi có dòng điện ta cũng có: Lhatnhan Le 0 hay Lhatnhan Le . Khi có dòng điện, chất sắt từ bị từ hóa, dẫn đến Le 0 và Lhatnhan 0 , nghĩa là dây treo bị quay. Đo mômen xoắn của dây có thể suy ra Lhatnhan, và do đó cả Le . Đo cƣờng độ dòng điện có thể tính đƣợc mô men từ M ứng với một 42
  49. electron. Kết quả cho thấy: M / s e/ me (1.75a) Với s ứng với một electron ( Le  s , tổng lấy theo tất cả các electron trong thanh sắt từ). Biểu thức (1.75a) viết dƣới dạng vectơ : M es / me (1.75b) Kết quả nhận đƣợc khác với những gì đã viết từ lý thuyết cổ điển : M ele /(2me ) (1.76) trong đó le là mô men động lƣợng quỹ đạo của electron. 2.9.1.3. Thí nghiệm đo mômen từ của khí hydro ở trạng thái cơ bản. Kết quả đo cho thấy mômen từ ở trạng thái cơ bản với l=0, bằng M e/ 2me trong khi lý thuyết trƣớc khi phát hiện ra spin tính đƣợc M=0. Để giải thích các kết quả thực nghiệm trên Pauli đƣa ra giả thuyết là electron phải có một đặc trƣng gọi là spin. 2.9.2. Định nghĩa và tính chất của spin. Spin của electron là một đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho vận động nội tại của electron, có tính chất giống nhƣ mô men động lƣợng và có hai giá trị bằng  / 2 . Với định nghĩa trên các công thức của mô men động lƣợng có thể áp dụng cho spin. 2.9.3. Hàm sóng và trị riêng của spin. ˆ Toán tử ứng với đại lƣợng spin là toán tử spin S . Phƣơng trình trị riêng ˆ của S có dạng: ˆ ˆ 2 2 Sz s và S  s s 1   , với s=1/2 (1.77) Thực nghiệm cho thấy các hạt vi mô, kể cả các hạt không mang điện, đều có spin, với giá trị bằng s là các số nguyên hoặc bán nguyên. 43
  50. Spin là đặc trƣng lƣợng tử của các hạt vi mô. Chỉ có các hạt lƣợng tử mới có spin. Thật vậy, từ (1.77) chúng ta thấy khhi cho  tiến tới 0, trị riêng của toán tử spin tiến tới 0, điều đó có nghĩa là các hạt cổ điển không có spin. 2.10.Toán tử mômen động lƣợng toàn phần. Trên thực tế trạng thái đầy đủ của hạt vi mô đƣợc đặc trƣng bởi cả hai đại lƣợng mô men động lƣợng quỹ đạo l và spin s . Vì thế đại lƣợng đặc trƣng cho hạt vi mô trong trƣờng hợp này là vectơ mô men động lƣợng toàn ˆ phần j l s và toán tử tƣơng ứng với nó là j : ˆ ˆ ˆ j l s (1.78) Trị riêng của toán tử ˆj do đó có các giá trị: j l s , l s 1 , , l s , (đơn vị  ) (1.79) Còn trị riêng của ˆj 2 bằng j( j 1)2 . 44
  51. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2. Trong chƣơng 2, em đã trình bày về “Phƣơng pháp toán tử”, với các nội dung cụ thể là: các đại lƣợng động lực và các toán tử, điều kiện để hai đại lƣợng vật lí đồng thời xác định trong cùng một trạng thái, phƣơng pháp toán tử, các tính chất của toán tử, toán tử haminton, toán tử động lƣợng, toán tử mômen động lƣợng, toán tử chẵn lẻ Iˆ , toán tử spin, toán tử mômen động lƣợng toàn phần. Chƣơng này là một trong những nội dung quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu phƣơng pháp toán tử trong cơ học lƣợng tử. 45
  52. PHẦN 3: KẾT LUẬN Sau một thời gian nghiên cứu về “ Phƣơng pháp toán tử trong cơ học lƣợng tử”, em đã thu đƣợc kết quả nhƣ sau: Giới thiệu đƣợc các cơ sở chủ yếu của cơ học lƣợng tử: Lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và Nguyên lí bất định Heisenberg, hàm sóng của hạt vi mô, phƣơng trình Schrodiger, vai trò của Cơ học Cổ điển. Phƣơng pháp toán tử : Các đại lƣợng động lực và các toán tử, điều kiện để hai đại lƣợng vật lí đồng thời xác định trong cùng một trạng thái, phƣơng pháp toán tử, các tính chất của toán tử, tóan tử Hamintol, toán tử động lƣợng, toán tử mô men động lƣợng, toán tử chẵn lẻ, toán tử spin, toán tử mômen động lƣợng toàn phần. Do thời gian có hạn, lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học, khả năng và vốn kiến thức của bản thân còn nhiều sai sót. Em hy vọng nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc. Hy vọng với các nội dung đã đƣợc trình bày trong khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đọc, góp phần nghiêncứu phƣơng pháp toán tử trong cơ học lƣợng tử. Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! 46
  53. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Cơ học lƣợng tử_Trần Thái Hoa_NXB Đại học sƣ phạm Hà Nội II. 2.Lý thuyết hệ nhiều hạt_Đỗ Trần Cát_NXB Bách khoa Hà Nội. 3.Giáo trình cơ học lƣợng tử_Phan Đình Kiến_NXB Đại học Sƣ phạm. 4.Cơ học lƣợng tử_Phạm Quý Tƣ, Đỗ Đình Thanh_NXB ĐHQG Hà Nội 1999 47