Khóa luận Các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình Vật lý - Toán

Nội dung text: Khóa luận Các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình Vật lý - Toán

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  HUỲNH TRÚC PHƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý TP. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương Người hướng dẫn khoa học: ThS. Nguyễn Vũ Thụ Nhân TP. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2019
3. i LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn Trường, Phòng đào tạo, các thầy cô trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện khóa luận này. Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tôi hết mình trong thời gian thực hiện khóa luận. TP. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019 SINH VIÊN Huỳnh Trúc Phương
4. ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC BẢNG BIỂU v DANH MỤC HÌNH VẼ vi MỞ ĐẦU 1 I. Lí do chọn đề tài 1 II. Mục đích nghiên cứu 2 III. Đối tượng nghiên cứu 2 IV. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 V. Phạm vi nghiên cứu 2 VI. Cấu trúc đề tài 2 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 4 1.1. Một số hàm đặc biệt 4 1.1.1. Hàm delta Dirac 4 1.1.2. Hàm Heaviside 4 1.1.3. Hàm Bessel 4 1.1.4. Đa thức Legendre 5 1.2. Các phép biến đổi tích phân 6 1.2.1. Phép biến đổi Fourier 6 1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos 9 1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức 9 1.2.4. Phép biến đổi Laplace 10 Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ – TOÁN 15 2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 15 2.1.1. Giới thiệu phương pháp 15 2.1.2. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng 15 2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do 15 2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức 22
5. iii 2.1.3. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt 25 2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn 25 2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn 31 2.1.4. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace 34 2.1.5. Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác 38 2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 44 2.2.1. Giới thiệu phương pháp 44 2.2.2. Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền sóng 44 2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vô hạn 44 2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn 46 2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 48 2.3.1. Giới thiệu phương pháp 48 2.3.2. Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý – toán 48 2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 54 2.4.1. Giới thiệu phương pháp 54 2.4.2. Hàm Green 54 2.4.3. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian 56 2.4.4. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong không gian ba chiều 60 2.4.5. Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài toán phụ thuộc vào thời gian 62 Chương 3. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN 68 3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 68 3.1.1. Giải các bài toán truyền sóng 68 3.1.2. Giải các bài toán truyền nhiệt 75 3.1.3. Giải các bài toán Laplace 81 3.1.4. Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác 88 3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 98 3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 101
6. iv 3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 115 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO 127
7. v DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace 13 Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng 14
8. vi DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1. Chu tuyến lL trong mặt phẳng phức 12 Hình 2.1. Đồ thị hàm số y u x t ( , ) 100
9. 1 MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Trong vật lý, việc giải các phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, mang lại ý nghĩa quan trọng. Các nhà vật lý biết được dao động của dây, dao động của sóng nước, nhờ việc giải phương trình truyền sóng, biết sự biến thiên của nhiệt độ theo thời gian trong một miền cho trước nhờ việc giải phương trình truyền nhiệt, [7],[5]. Để giải các phương trình này, các nhà vật lý thường sử dụng một số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích. Phương pháp số có thể giải được nhiều bài toán phức tạp, nhưng chỉ giải ra nghiệm gần đúng [4]. Còn phương pháp giải tích giải ra nghiệm một cách chính xác nhưng trở nên khó khăn đối với các bài toán phức tạp [3]. Do đó, phương pháp giải tích thường được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên vì các bài toán vật lý trong chương trình học của sinh viên không quá phức tạp. Hiện nay, ở nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý được học các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý toán: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Mỗi loại phương trình có nhiều dạng khác nhau: phương trình truyền sóng trên dây dài hữu hạn và vô hạn, truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn chứa nguồn và không chứa nguồn, phương trình Laplace, Các phương pháp giải tích thường được sử dụng để giải các phương trình này là phương pháp tách biến và phương pháp đa thức D’Alembert. Hai phương pháp này được dùng phổ biến vì không đòi hỏi sinh viên biết nhiều kiến thức toán phức tạp. Ngoài ra còn có các phương pháp tìm ra nghiệm dễ dàng hơn nhưng khá nặng về kiến thức toán như phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp hàm Green. Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải chúng nên việc hệ thống lại các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán là rất cần thiết. Nhờ đó, sinh viên có thể xâu chuỗi lại kiến thức đã học, biết được thêm các phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng hơn. Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tôi đã hệ thống lại các phương pháp giải tích để giải các bài toán phương trình vật lý - toán trong đề tài này.
10. 2 II. Mục đích nghiên cứu Đề tài hướng đến hai mục đích sau: Đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green. III. Đối tượng nghiên cứu Các bài toán đạo hàm riêng ứng dụng trong vật lý. Các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán đạo hàm riêng trong vật lý. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu các bài toán đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý thông qua các giáo trình, sách, các tài liệu liên quan. Phân tích những ưu điểm, nhược điểm của các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán vật lý – toán. V. Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý - toán thường gặp: phương trình truyền sóng trên dây, phương trình truyền nhiệt trên thanh, phương trình Laplace, VI. Cấu trúc đề tài Mở đầu: Phần này tôi trình bày tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc đề tài. Chương 1. Cơ sở lý thuyết của đề tài nghiên cứu. Trong chương này, tôi trình bày một số hàm đặc biệt được đề cập tới trong đề tài và các phép biến đổi tích phân để làm cơ sở cho phương pháp biến đổi tích phân trong chương 2.
11. 3 Chương 2. Các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý – toán. Trong chương này, tôi trình bày về các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức d’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green. Chương 3. Áp dụng các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý - toán. Trong chương này, tôi trình bày hệ thống giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng trong vật lý theo từng phương pháp giải tích đã đề cập trong chương 2. Kết luận và hướng phát triển
12. 4 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.1. Một số hàm đặc biệt 1.1.1. Hàm delta Dirac Trong vật lý, hàm delta Dirac δ(x) thường được dùng để mô tả các khái niệm như: mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm, Hàm delta Dirac được định nghĩa bởi: 0, ≠ 0 훿( ) = { (1.1.1) ∞, = 0 và hàm này phải thoả mãn đẳng thức: +∞ ∫ 훿( ) = 1 (1.1.2) −∞ Hàm delta Dirac có tính chất như sau: Với mọi hàm ( ) liên tục tại = 0 thì: +∞ ∫ 훿( − 0) ( ) = ( 0). (1.1.3) −∞ 1.1.2. Hàm Heaviside Hàm Heaviside H(t), còn gọi là hàm bậc thang đơn vị, được định nghĩa như sau: 0, 푡 0 Định nghĩa trên cho ta biết hàm H(t) là một hàm không liên tục, nhận giá trị 0 khi đối số t âm và nhận giá trị 1 khi đối số t dương. Hàm Heaviside thường được dùng trong việc nghiên cứu các mạch điện, xử lý các tín hiệu, 1.1.3. Hàm Bessel Trong các bài toán vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, ta thường gặp phương trình có dạng sau: 2 2 + + ( 2 − 2) = 0 (1.1.5) 2 Phương trình (1.1.5) gọi là phương trình Bessel bậc m. Nghiệm của phương trình này có dạng hàm Bessel. Hàm Bessel loại 1 theo biến xR , bậc m, được định nghĩa bằng chuỗi luỹ thừa sau:
13. 5 +∞ (−1) 2 + 퐽 ( ) = ∑ ( ) (1.1.6) ! ( + )! 2 =0 Hàm Bessel loại 2 liên hệ với hàm Bessel loại 1 theo biểu thức: 퐽 ( ) cos( ) − 퐽 ( ) 푌 ( ) = − (1.1.7) sin( ) trong đó: +∞ (−1) 2 − 퐽 ( ) = ∑ ( ) − ! (− + )! 2 =0 Nếu phương trình (1.1.5) có bậc m nguyên, nghiệm tổng quát của nó có dạng: = 퐽 ( ) + 푌 ( ) (1.1.8) Ngược lại, nếu phương trình (1.1.5) có bậc m không nguyên, nghiệm tổng quát của nó có dạng: = 퐽 ( ) + 퐽− ( ) (1.1.9) với A, B là các hệ số. 1.1.4. Đa thức Legendre Trong các bài toán Laplace trong hệ toạ độ cầu, ta thường gặp các phương trình có dạng: 2 (1 − 2) − 2 + 푛(푛 + 1) = 0, ∈ (−1,1), 푛 ≥ 0 (1.1.10) 2 gọi là phương trình Legengre. Nghiệm của phương trình này có dạng đa thức Legendre. Đa thức Legendre bậc n, ký hiệu là 푃푛( ), được cho bởi biểu thức sau: 1 푛( 2 − 1)푛 푃 ( ) = , 푛 = 0,1,2, (1.1.11) 푛 푛! 2푛 2 Một vài giá trị bậc nhỏ của đa thức Legendre: 푃0( ) = 1 푃1( ) =
14. 6 1 푃 ( ) = (3 2 − 1) 2 2 1 푃 ( ) = (5 3 − 3 ) 3 2 Khi giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, nếu nghiệm tổng quát của nó dưới dạng chuỗi chứa đa thức Legendre, để tìm hệ số của chuỗi, chẳng hạn ta có +∞ ( ) = ∑ 푛푃푛( ) (1.1.12) 푛=0 với f(x) là một hàm đã biết, thì hệ số 푛 sẽ có dạng sau: 2푛 + 1 1 푛 = ∫ ( )푃푛( ) (1.1.13) 2 −1 1.2. Các phép biến đổi tích phân 1.2.1. Phép biến đổi Fourier Cho (푡) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Chuỗi Fourier của hàm (푡) có dạng: +∞ (푡) = 0 + ∑[ cos(휔 푡) + sin(휔 푡)] (1.2.1) 2 푛 푛 푛 푛 푛=1 2푛 trong đó n là các số nguyên không âm; 휔 = và các hệ số , , được xác định 푛 0 푛 푛 như sau: 2 2 = ∫ (푡) 푡 0 − 2 2 2 = ∫ (푡) cos(휔 푡) 푡 푛 푛 − 2 2 2 = ∫ (푡) sin(휔 푡) 푡 푛 푛 − { 2 Thay 푛, 푛, 휔푛 vào (푡):
15. 7 1 2 ⇒ (푡) = ∫ (푡) 푡 − 2 +∞ 2 2 + ∑ [cos 휔 푡 ∫ (푣) cos(휔 푣) 푣 푛 푛 (1.2.2) − 푛=1 2 2 + sin 휔 푡 ∫ (푣) sin(휔 푣) 푣] 푛 푛 − 2 Mặt khác ta có: 2(푛 + 1) 2푛 휔 − 휔 = − 푛+1 푛 2 2 ∆휔 ⇔ ∆휔 = 휔 − 휔 = ⇔ = 푛+1 푛 Do đó, (푡) được viết lại dưới dạng sau: 1 2 (푡) = ∫ (푡) 푡 − 2 +∞ 1 2 + {∑ [cos 휔 푡 ∫ (푣) cos(휔 푣) 푣∆휔 푛 푛 (1.2.3) − 푛=1 2 2 + sin 휔 푡 ∫ (푣) sin(휔 푣) 푣∆휔]} 푛 푛 − 2 Biểu thức (1.2.3) đúng với T bất kỳ nhưng T phải có giá trị hữu hạn. Bây giờ ta xét → +∞ và giả sử rằng kết quả thu được là một hàm không tuần hoàn: (푡) = lim (푡) →+∞ Hàm này khả tích trên trục t, nghĩa là tồn tại tích phân +∞ ∫ | (푡)| 푡 −∞
16. 8 1 thì khi → +∞ ⇒ → 0, số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.2.3) bằng 0. Mặt khác, 2 khi → +∞ thì ∆휔 = → 0, chuỗi vô hạn trong (1.2.3) trở thành tích phân với cận từ 0 đến ∞. 1 +∞ +∞ +∞ ⇒ (푡) = ∫ [cos 휔푡 ∫ (푣) cos 휔푣 푣 + sin 휔푡 ∫ (푣) sin 휔푣 푣] 휔 0 −∞ −∞ Ta đặt: +∞ 1 (휔) = ∫ (푣) cos 휔푣 푣 −∞ +∞ (1.2.4) 1 (휔) = ∫ (푣) sin 휔푣 푣 { −∞ +∞ ⇒ (푡) = ∫ [ (휔) cos 휔푡 + (휔) sin 휔푡] 휔 (1.2.5) 0 Biểu thức (1.2.5) chính là biểu diễn Fourier của hàm (푡). Tuy nhiên không phải bất kỳ hàm nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier. Nếu (푡) là hàm liên tục trên từng đoạn, có đạo hàm trái và phải tại mọi điểm, đồng thời tồn tại tích phân +∞ ∫ | (푡)| 푡 −∞ thì hàm (푡) có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier. Tại điểm (푡) bị gián đoạn, giá trị của tích phân Fourier sẽ bằng với trung bình giới hạn trái và phải của (푡) tại điểm đó. Nếu (푡) là hàm chẵn : 1 +∞ ( ) 휔 = ∫ (푣) sin 휔푣 푣 = 0 −∞ +∞ 2 (휔) = ∫ (푣) cos 휔푣 푣 { 0 +∞ ⇒ (푡) = ∫ (휔) cos 휔푡 휔 (1.2.6) 0 Nếu (푡) là hàm lẻ :
17. 9 1 +∞ ( ) ( ) 휔 = ∫ 푣 cos 휔푣 푣 = 0 −∞ +∞ 2 (휔) = ∫ (푣) sin 휔푣 푣 { 0 +∞ ⇒ (푡) = ∫ (휔) sin 휔푡 휔 (1.2.7) 0 1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos Cho hàm ( , 푡) xác định ∀ ∈ (0, +∞), ∀ 푡 ≥ 0. Biến đổi Fourier Sin của hàm ( , 푡) theo biến x được xác định bởi: +∞ ℱ푠( ( , 푡)) = 풰푠( , 푡) = ∫ ( , 푡) sin (1.2.8) 0 Để tìm lại được hàm ( , 푡), ta sử dụng phép biến đổi gọi là phép biến đổi ngược: +∞ −1 2 ℱ푠 (풰푠( , 푡)) = ( , 푡) = ∫ 풰푠( , 푡) sin (1.2.9) 0 Tương tự, biến đổi Fourier Cos của ( , 푡) theo biến x là: +∞ ℱ ( ( , 푡)) = 풰 ( , 푡) = ∫ ( , 푡) cos (1.2.10) 0 và phép biến đổi ngược có dạng: +∞ −1 2 ℱ (풰 ( , 푡)) = ( , 푡) = ∫ 풰 ( , 푡) cos (1.2.11) 0 1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức Phép biến đổi Fourier phức của hàm f(t) được định nghĩa như sau: +∞ ℱ( (푡)) = 퐹(휔) = ∫ (푡)푒−푖휔푡 푡 (1.2.12) −∞ Để tìm lại hàm f(t), ta sử dụng phép biến đổi Fourier phức ngược được cho bởi: 1 +∞ ℱ−1(퐹(휔)) = (푡) = ∫ 퐹(휔)푒푖휔푡 휔 (1.2.13) 2 −∞
18. 10 Ý nghĩa vật lý của việc biến đổi này như sau: ta hình dung hàm (푡) đóng vai trò là chùm sáng trong quang học, việc biến đổi Fourier giống như việc cho chùm sáng đi qua lăng kính, khi đó chúng sẽ bị tách ra thành các thành phần có tần số 휔 ứng với cường độ 퐹(휔). Trong quang học, mỗi ánh sáng đơn sắc ứng với một tần số. Do đó việc biến đổi Fourier sẽ cho ra các thành phần với các màu sắc khác nhau, tạo thành phổ màu. Và khi biến đổi Fourier ngược, ta sẽ đưa về chùm sáng ban đầu [2]. Một trong những định lý quan trọng để giải các bài tập sử dụng phép biến đổi Fourier phức là định lý tích chập. Định lý 1.2.1 (Định lý tích chập) Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g, kí hiệu là ∗ , được định nghĩa là: +∞ +∞ ( ∗ )( ) = ∫ ( ) ( − ) = ∫ ( − ) ( ) (1.2.14) −∞ −∞ Biến đổi Fourier của tích chập hai hàm f và g có dạng: ℱ( ∗ ) = ℱ( )ℱ( ) (1.2.15) Để tìm lại tích chập của f và g, ta có biến đổi Fourier ngược: +∞ ℱ−1(ℱ( )ℱ( )) = ∗ = ∫ ( ) ( − ) (1.2.16) −∞ 1.2.4. Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace của hàm ( ) được định nghĩa như sau: +∞ ℒ( ( )) = 퐹( ) = ∫ ( )푒− (1.2.17) 0 trong đó ( ) xác định ∀ ≥ 0 và khả vi trên mọi miền dương hữu hạn; là số phức, có dạng = 훾 + 푖훽, là một tham số phức hội tụ trong miền 푅푒( ) = 훾 > 훾0. Hàm ( ) được cho phải thỏa mãn điều kiện sao cho 푒− | ( )| khả vi trong mọi miền 0 < < ∞. Để tìm lại hàm ( ) từ hàm 퐹( ), ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược. Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa:
19. 11 1 훾+푖∞ ℒ−1(퐹( )) = ( ) = ∫ 퐹( )푒 (1.2.18) 2 푖 훾−푖∞ Để tính tích phân trong (1.2.18), ta phải áp dụng định lý thặng dư Cauchy. Định lý 1.2.2. (Định lý thặng dư Cauchy) Nếu ( ) là hàm giải tích trong một miền kín được giới hạn bởi biên ngoại trừ các điểm đơn cô lập 1, 2, 3, , 푛 (với n là số hữu hạn) nằm bên trong thì ta có: 푛 ∳ ( ) = 2 푖 ∑ Res ( ) (1.2.19) = 푗 푗=1 trong đó Res ( ) là giá trị thặng dư của hàm ( ) tại cực điểm = 푗. = 푗 푃( ) Giả sử ( ) = , với 푃( ) và 푄( ) đều là hàm giải tích của z. Nếu 푃( ) ≠ 0, 푄( ) 푄( ) = 0 thì điểm 0 của 푄( ) = 0 gọi là cực điểm của hàm ( ). Nếu = là một cực điểm của ( ) và nếu ( − ) có lũy thừa bậc 1, cực điểm này gọi là cực điểm cấp 1, nếu ( − ) có lũy thừa bậc 2, cực điểm gọi là cực điểm cấp 2, tương tự cho các cực điểm cấp cao hơn. Nếu ( ) có một cực điểm cấp > 1 tại = thì thặng dư được cho bởi: 1 −1 Res ( ) = lim [ [( − ) ( )]] (1.2.20) = ( − 1)! → −1 Để tìm biến đổi Laplace ngược sử dụng định lý thặng dư, ta tính tích phân sau: 훾+푖휔 = lim ∫ 푒 퐹( ) 휔→∞ 훾−푖휔
20. 12 Hình 1.1. Chu tuyến lL trong mặt phẳng phức Chu tuyến 푙 + 퐿 biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình 1.1. Chu tuyến này bao quanh tất cả các điểm bất thường cô lập của hàm lấy tích phân. Tích phân dọc theo chu tuyến 퐿 + 푙 có giá trị: ∫ 푒 퐹( ) = 2 푖 ∑ 푅푒푠 (푒 . 퐹( )) (1.2.21) 푙+퐿 ( ) Khi 휔 → ∞ thì ∫퐿 푒 퐹 → 0. Do đó: 훾+푖∞ = lim ∫푒 퐹( ) = ∫ 푒 퐹( ) 휔→∞ 푙 훾−푖∞ (1.2.22) = 2 푖 ∑ 푅푒푠 (푒 . 퐹( )) Mặt khác ta có:
21. 13 훾+푖∞ 2 푖 ( ) = ∫ 푒 퐹( ) (1.2.23) 훾−푖∞ Từ (1.2.22) và (1.2.23), suy ra: ℒ−1(퐹( )) = ( ) = ∑ 푅푒푠 (푒 . 퐹( )) Để sử dụng phép biến đổi Laplace, ta cần nhớ các định lý sau đây: Định lý 1.2.3 (Định lý dịch chuyển thứ nhất) Nếu ℒ( ) = 퐹( ) thì ℒ(푒 ( )) = 퐹( − ) (1.2.24) Định lý 1.2.4 (Định lý tích chập trong biến đổi Laplace) Cho ( ) và ( ) là hai hàm bất kỳ, có biến đổi Laplace với ℒ( ( )) = 퐹( ), ℒ( ( )) = ( ) thì: ℒ [∫ ( ) ( − ) ] = 퐹( ) ( ) (1.2.25) 0 và biến đổi ngược: ℒ−1[ ( ) ( )] = ∫ ( ) ( − ) (1.2.26) 0 Định lý 1.2.5 (Định lý dịch chuyển thứ hai) Nếu 퐹( ) = ℒ( ( )) thì với hằng số dương a bất kỳ, ta luôn có: 푒− 퐹( ) = ℒ[ ( − ) ( − )] (1.2.27) Để thuận tiện cho việc biến đổi Laplace, ta sử dụng bảng biến đổi Laplace và bảng biến đổi Laplace mở rộng được cho bởi bảng 1.1 và bảng 1.2: Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace HÀM 풇(풙) HÀM 푭(풑) 1 푒 −
22. 14 푛! 푛 푛+1 훽 sinh 훽 2 − 훽2 휔 sin 휔 2 + 휔2 cos 휔 2 + 휔2 훿( − ) 푒− cosh 훽 2 − 훽2 Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng HÀM 풇(풙) HÀM 푭(풑) 푛! 푒 푛 ( − )푛+1 휔 푒 sin 휔 ( − )2 + 휔2 − 푒 cos 휔 ( − )2 + 휔2
23. 15 Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ – TOÁN Nội dung chương 2 được tham khảo từ tài liệu [3]. 2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 2.1.1. Giới thiệu phương pháp Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp hiệu quả để giải các bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ý tưởng của phương pháp này là chuyển phương trình ban đầu thành các phương trình vi phân thường. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có thể biểu diễn thành chuỗi vô hạn các nghiệm của phương trình vi phân thường. Nhờ vào điều kiện biên, ta tìm được hệ số của chuỗi, từ đó suy ra nghiệm phương trình đã cho. Phần này sẽ trình bày phương pháp tách biến để giải các bài toán truyền sóng, truyền nhiệt, Laplace, Trước hết, ta sẽ xét các phương trình truyền sóng. 2.1.2. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng Phương trình truyền sóng là phương trình đạo hàm riêng dùng để mô tả sóng cơ (sóng nước, sóng âm, ) hoặc sóng ánh sáng trong vật lý [7]. Ta sẽ lần lượt xét các bài toán truyền sóng một chiều: truyền sóng trên dây dài hữu hạn dao động tự do và truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức. 2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do Ta xét một dây căng đàn hồi có chiều dài l. Người ta làm biến dạng sợi dây, sau đó thả ra với vận tốc cho trước. Ta sẽ xác định được độ lệch của dây tại một điểm 푖 nào đó, dọc trên dây vào thời điểm t bằng cách tìm nghiệm phương trình sóng. Phương trình truyền sóng một chiều của dây được cho như sau: 휕2 1 휕2 − = 0, ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 (2.1.1) 휕 2 2 휕푡2 Với ( , 푡) là độ lệch của một điểm trên dây tại thời điểm t. Tại thời điểm ban đầu 푡 = 0, độ lệch của dây được mô tả bởi hàm ( ) với: ( , 0) = ( ) và vận tốc của
24. 16 휕 dây được mô tả bởi hàm 퐹( ) với: ( , 0) = 퐹( ). Trong đó, ( ) khả vi liên tục tới 휕푡 cấp 2 và 퐹( ) khả vi liên tục trên −∞ < < ∞. Sử dụng phương pháp tách biến, ta có: ( , 푡) = ( ) (푡) (2.1.2) Thế (2.1.2) vào (2.1.1), ta được: 1 2 1 2 = (2.1.3) 2 푡2 2 Trong phương trình (2.1.3), vế trái là hàm theo t, vế phải là hàm theo x. Do đó hai vế chỉ bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số 휆 nào đó sao cho: 1 2 1 2 = = −휆 (2.1.4) 2 2 푡2 ′′( ) + 휆 ( ) = 0 ⇒ { ′′(푡) + 2휆 (푡) = 0 Đặt ′′( ) + 휆 ( ) = 0 (2.1.5) ′′(푡) + 2휆 (푡) = 0 (2.1.6) Đối với phương trình sóng một chiều, điều kiện biên có các trường hợp: hai đầu cố định, hai đầu thả tự do, một đầu cố định và đầu kia thả tự do.  Trường hợp hai đầu cố định Điều kiện biên: (0, 푡) = (0) (푡) = 0 { ∀ 푡 ≥ 0 (푙, 푡) = (푙) (푡) = 0 ⇒ (0) = (푙) = 0 ∀ 푡 ≥ 0 (2.1.7) * Giải phương trình (2.1.5): Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = √−휆 (2.1.5) ⇒ ( ) = 푒−훼 + 푒훼 (0) = 0 + = 0 Điều kiện biên (2.1.7): { (푙) = 0 ⇒ { . 푒−훼푙 + . 푒훼푙 = 0 ⇒ = = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀푡 ≥ 0
25. 17 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (2.1.5) ⇒ ( ) = + (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.7): { (푙) = 0 ⇒ { 푙 + = 0 ⇒ = = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀푡 ≥ 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.5) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.7): { (푙) = 0 ⇒ { cos 훼푙 + sin 훼푙 = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀ 푡 ≥ 0 ⇒ 훼푙 = ( = 1,2,3, ) ⇒ 훼 = 푙 ⇒ ( ) = sin , ∀ ∈ [0, 푙] 푙 * Giải phương trình (2.1.6): 푡 푡 (2.1.6) ⇒ (푡) = cos 훼 푡 + sin 훼 푡 = cos + sin 푙 푙 푡 푡 ⇒ ( , 푡) = ( ) (푡) = ( cos + sin ) sin 푙 푙 푙 Nghiệm tổng quát của (2.1.1): +∞ 푡 푡 ( , 푡) = ∑ ( cos + sin ) sin , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 푙 푙 푙 =1 Từ điều kiện đầu: ( , 0) = ( ) {휕 , ∀ ∈ [0, 푙] ( , 0) = 퐹( ) 휕푡 +∞ ∑ sin = ( ) 푙 =1 ⇒ +∞ ∀ ∈ [0, 푙] ∑ sin = 퐹( ) 푙 푙 { =1
26. 18 Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được: 2 푙 = ∫ ( ) sin 푙 푙 0 2 푙 . = ∫ 퐹( ) sin { 푙 푙 0 푙 Sau khi tìm được và , thay vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền sóng đã cho.  Trường hợp hai đầu thả tự do Điều kiện biên: ′(0, 푡) = ′(0) (푡) = 0 { ∀푡 ≥ 0 ′(푙, 푡) = ′(푙) (푡) = 0 ⇒ ′(0) = ′(푙) = 0 ∀푡 ≥ 0 (2.1.8) * Giải phương trình (2.1.5) Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = √−휆 (2.1.5) ⇒ ( ) = 푒−훼 + 푒훼 ⇒ ′( ) = − 훼푒−훼 + 훼푒훼 ′(0) = 0 − 훼 + 훼 = 0 Điều kiện biên (2.1.8): { ′(푙) = 0 ⇒ {− 훼. 푒−훼푙 + 훼. 푒훼푙 = 0 ⇒ = = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀푡 ≥ 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (2.1.5) ⇒ ( ) = + ⇒ ′( ) = ′(0) = 0 Điều kiện biên (2.1.8): { ′(푙) = 0 ⇒ = 0 ∀푡 ≥ 0 ⇒ ( ) = ′′ (2.1.6) ⇒ (푡) = 0 ⇒ (푡) = 푡 + , ∀푡 ≥ 0 Chọn = 0 để (푡) hữu hạn khi 푡 → ∞ ⇒ 0(푡) = ⇒ 0 = . Đặt . = 0 ⇒ = 0 2 0 2
27. 19 Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.5) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 ⇒ ′( ) = − 훼 sin 훼 + 훼 cos 훼 ′(0) = 0 훼 = 0 Điều kiện biên (2.1.8): { ′(푙) = 0 ⇒ {− 훼 sin 훼푙 + 훼 cos 훼푙 = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀ 푡 ≥ 0 = 0 ⇒ { ( = 1,2,3, ) 훼 = 푙 ⇒ ( ) = cos , ∀ ∈ [0, 푙] 푙 * Giải phương trình (2.1.6) 푡 푡 (2.1.6) ⇒ (푡) = cos + sin 푙 푙 푡 푡 ⇒ ( , 푡) = ( ) (푡) = ( cos + sin ) cos 푙 푙 푙 Nghiệm tổng quát của (2.1.1): +∞ 푡 푡 ( , 푡) = 0 + ∑ ( cos + sin ) cos , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 2 푙 푙 푙 =1 Từ điều kiện đầu: ( , 0) = ( ) {휕 , ∀ ∈ [0, 푙] ( , 0) = 퐹( ) 휕푡 +∞ 0 + ∑ cos = ( ) 2 푙 =1 ⇒ +∞ ∀ ∈ [0, 푙] ∑ cos = 퐹( ) 푙 푙 { =1 Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được hệ số 0, và với:
28. 20 2 푙 = ∫ ( ) cos 푙 0 푙 2 푙 . = ∫ 퐹( ) cos 푙 푙 0 푙 푙 2 0 = ∫ ( ) { 푙 0 Thay 0, và vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền sóng đã cho.  Trường hợp biên buộc ở đầu = 0 và biên thả dao động tự do ở đầu = 푙 Điều kiện biên: (0, 푡) = (0) (푡) = 0 { ∀푡 ≥ 0 ′(푙, 푡) = ′(푙) (푡) = 0 ⇒ (0) = ′(푙) = 0 ∀푡 ≥ 0 (2.1.9) * Giải phương trình (2.1.5): Trường hợp 1: 휆 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.5) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 ⇒ ′( ) = − 훼 sin 훼 + 훼 cos 훼 (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (1.1.9): { ′(푙) = 0 ⇒ {− 훼 sin 훼푙 + 훼 cos 훼푙 = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀ 푡 ≥ 0
29. 21 = 0 ⇒ { (2 + 1) ( = 0,1,2,3, ) 훼 = 2푙 (2 + 1) ⇒ ( ) = sin 2푙 * Giải phương trình (2.1.6): (2 +1) 푡 (2 +1) 푡 (2.1.6) ⇒ (푡) = cos + sin 2푙 2푙 ⇒ ( , 푡) = ( ) (푡) (2 + 1) 푡 (2 + 1) 푡 (2 + 1) = [ cos + sin ] sin 2푙 2푙 2푙 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1): +∞ (2 + 1) 푡 (2 + 1) 푡 (2 + 1) ( , 푡) = ∑ [ cos + sin ] sin , ∀ 2푙 2푙 2푙 =0 ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 Từ điều kiện đầu: ( , 0) = ( ) {휕 , ∀ ∈ [0, 푙] ( , 0) = 퐹( ) 휕푡 +∞ (2 + 1) ∑ sin = ( ) 2푙 =0 ⇒ +∞ ∀ ∈ [0, 푙] (2 + 1) (2 + 1) ∑ sin = 퐹( ) 2푙 2푙 { =0 Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được hệ số và 2 푙 (2 + 1) = ∫ ( ) sin 푙 2푙 0 (2 + 1) 2 푙 (2 + 1) . = ∫ 퐹( ) sin { 2푙 푙 0 2푙 Thay và vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền sóng đã cho.  Trường hợp biên buộc ở đầu = 푙 và biên thả dao động tự do ở đầu = 0
30. 22 Tính toán tương tự, ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1) là: +∞ (2 + 1) 푡 (2 + 1) 푡 (2 + 1) ( , 푡) = ∑ [ cos + sin ] cos , ∀ 2푙 2푙 2푙 =0 ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 Từ điều kiện đầu, ta khai triển Fourier tìm được hệ số , , thay vào nghiệm tổng quát, ta được nghiệm phương trình đã cho. 2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức Ta xét bài toán truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức với hàm ( , 푡), phương trình truyền sóng có dạng: 휕2 휕2 = 2 + ( , 푡), ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 (2.1.10) 휕푡2 휕 2 với điều kiện đầu: |푡=0 = ( ) {휕 , ∀ ∈ [0, 푙] | = 퐹( ) 휕푡 푡=0  Trường hợp hai đầu dây buộc chặt | =0 = | =푙 = 0, ∀푡 ≥ 0 Ta đặt nghiệm phương trình có dạng: +∞ ( , 푡) = ∑ (푡) sin , ∀ ∈ [0, 푙], ∀ 푡 ≥ 0 푙 =1 Tính các đạo hàm bậc hai của u theo x và t: +∞ 휕2 = ∑ ′′(푡) sin 휕푡2 푙 =1 +∞ 휕2 2 = ∑ − ( ) (푡) sin 휕 2 푙 푙 =1 Để đồng nhất với nghiệm phương trình, ta đặt: +∞ ( , 푡) = ∑ (푡) sin 푙 =
31. 23 2 푙 ⇒ (푡) = ∫ ( , 푡) sin 푙 0 푙 Với ( , 푡) đã cho ở đề bài, ta tính được (푡). Khi đó, phương trình (2.1.10) thành: +∞ +∞ +∞ 2 ∑ ′′(푡) sin + ∑ ( ) (푡) sin − ∑ (푡) sin = 0 푙 푙 푙 푙 =1 =1 =1 +∞ 2 ⇔ ∑ [ ′′(푡) + ( ) − (푡)] sin = 0 푙 푙 =1 2 ⇔ ′′(푡) + ( ) (푡) = (푡) ∀푡 ≥ 0 (2.1.11) 푙 Xét phương trình thuần nhất: 2 ′′(푡) + ( ) = 0 (2.1.12) 푙 Nghiệm phương trình (2.1.12) có dạng: 푡 푡 ∗(푡) = cos + sin 푙 푙 Nghiệm riêng 푅(푡) của phương trình (2.1.11) phụ thuộc vào dạng của hàm (푡). ∗ ⇒ (푡) = (푡) + 푅(푡) (2.1.13) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.10) có dạng: +∞ 푡 푡 ( , 푡) = ∑ [ cos + sin + (푡)] sin , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 푙 푙 푅 푙 =1 Điều kiện đầu: |푡=0 = ( ) {휕 , ∀ ∈ [0, 푙] | = 퐹( ) 휕푡 푡=0 +∞ ∑[ + (0)] sin = ( ) 푅 푙 =1 ⇒ +∞ ∑ [ + ′ (0)] sin = 퐹( ) 푙 푅 푙 { =1
32. 24 2 푙 ( ) ( ) + 푅 0 = ∫ sin 푙 0 푙 ⇒ 푙 (2.1.14) ′ 2 + 푅(0) = ∫ 퐹( ) sin { 푙 푙 0 푙 Giải (2.1.14), ta tìm được hệ số , , thay vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta thu được nghiệm phương trình (2.1.10).  Trường hợp hai đầu dây chuyển động theo một quy luật cho trước Điều kiện biên có dạng: (0, 푡) = 휑 { 1, ∀푡 ≥ 0 (푙, 푡) = 휑2 Ta đổi biến ( , 푡) thành 푣( , 푡): ( , 푡) = 푣( , 푡) + 휑 (푡) + [휑 (푡) − 휑 (푡)] (2.1.15) 1 2 1 푙 với điều kiện đầu: |푡=0 = ( ) {휕 , ∀ ∈ [0, 푙] | = 퐹( ) 휕푡 푡=0 푣| + 휑 (0) + [휑 (0) − 휑 (0)] = ( ) 푡=0 1 2 1 푙 (2.1.15) ⇔ { , ∀ ∈ [0, 푙] 휕푣 ′ ′ ′ | + 휑1(0) + [휑2(0) − 휑1(0)] = 퐹( ) 휕푡 푡=0 푙 Đặt ( ) = ( ) − 휑 (0) − [휑 (0) − 휑 (0)] 1 1 2 1 푙 { 퐹 ( ) = 퐹( ) − 휑′ (0) − [휑′ (0) − 휑′ (0)] 1 1 2 1 푙 푣|푡=0 = 1( ) ⇒ {휕푣 | = 퐹1( ) 휕푡 푡=0 Từ điều kiện biên, suy ra: 푣| =0 + 휑1(푡) = 휑1(푡) { 푙 푣| + 휑 (푡) + [휑 (푡) − 휑 (푡)] = 휑 (푡) =푙 1 2 1 푙 2
33. 25 푣| = 0 ⇒ { =0 , ∀푡 ≥ 0 푣| =푙 = 0 Ta đổi biến các số hạng trong (2.1.10): 휕2 휕2푣 = + 휑′′(푡) + [휑′′(푡) − 휑′′(푡)] 휕푡2 휕푡2 1 2 1 푙 휕2 휕2푣 = 휕 2 휕 2 Khi đó phương trình (2.1.10) thành: 휕2푣 휕2푣 = 2 + ( , 푡) − 휑′′(푡) − [휑′′(푡) − 휑′′(푡)] 휕푡2 휕 2 1 2 1 푙 휕2푣 휕2푣 ⇒ = 2 + ( , 푡) 휕푡2 휕 2 1 Nếu 1( , 푡) = 0, phương trình trên trở thành phương trình dao động tự do trên dây hữu hạn, hai đầu được buộc chặt. Sử dụng phương pháp tách biến như đã làm với các bài trước, ta thu được nghiệm phương trình đã cho. Nếu 1( , 푡) ≠ 0, phương trình trên trở thành phương trình truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức với hai đầu buộc chặt. Sử dụng phương pháp tách biến, ta tìm được nghiệm phương trình đã cho. 2.1.3. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt Phương trình truyền nhiệt là phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả sự biến thiên nhiệt độ trong một miền cho trước theo thời gian. Trong phần này, tôi sẽ xét bài toán truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn không chứa nguồn và chứa nguồn. 2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn Ta xét một thanh có chiều dài l không chứa nguồn nhiệt. Nhiệt độ ban đầu của thanh được cho bởi ( , 0) = ( ) ∀ ∈ [0, 푙]. Phương trình truyền nhiệt trên thanh có dạng: 휕 휕2 = 2 , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 (2.1.16) 휕푡 휕 2 Sử dụng phương pháp tách biến:
34. 26 ( , 푡) = ( ) (푡) (2.1.17) Phương trình (2.1.16) trở thành: ( ) ′(푡) = 2 ′′( ) (푡) (2.1.18) Tương tự như bài toán truyền sóng, hai vế phương trình (2.1.18) bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số 휆 sao cho: ′′( ) ′(푡) = = −휆 ( ) 2 (푡) Từ đây, ta có hai phương trình vi phân thường: ′′( ) + 휆 ( ) = 0 (2.1.19) ′(푡) + 2휆 (푡) = 0 (2.1.20) Ta xét 4 trường hợp ứng với điều kiện biên: hai đầu được giữ ở 00 ; hai đầu cách nhiệt; đầu = 0 cách nhiệt và đầu = 푙 được giữ ở 00 ; đầu = 0 được giữ ở 00 và đầu = 푙 cách nhiệt.  Trường hợp hai đầu được giữ ở 00 Ta có: (0, 푡) = (푙, 푡) = 0 Từ (2.1.17), điều kiện biên thành: (0) = (푙) = 0, ∀푡 ≥ 0 (2.1.21) * Giải phương trình (2.1.19) Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = −√휆 (2.1.19) ⇒ ( ) = 푒−훼 + 푒훼 (0) = 0 + = 0 Điều kiện biên (2.1.21): { (푙) = 0 ⇒ { . 푒−훼푙 + . 푒훼푙 = 0 ⇒ = = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀푡 ≥ 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (2.1.19) ⇒ ( ) = +
35. 27 (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.21): { (푙) = 0 ⇒ { 푙 + = 0 ⇒ = = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀푡 ≥ 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.19) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.21): { (푙) = 0 ⇒ { cos 훼푙 + sin 훼푙 = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀ 푡 ≥ 0 ⇒ 훼푙 = ( = 1,2,3, ) ⇒ 훼 = 푙 ⇒ ( ) = sin , ∀ ∈ [0, 푙] 푙 * Giải phương trình (2.1.20) 2 − 2휆푡 −( ) 푡 (2.1.20) ⇒ (푡) = . 푒 = . 푒 푙 2 −( ) 푡 ⇒ ( , 푡) = ( ) (푡) = . 푒 푙 . sin ( = 1,2,3 ) 푙 Nghiệm tổng quát của (2.1.16): +∞ 2 −( ) 푡 ( , 푡) = ∑ . 푒 푙 . sin , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 푙 =1 Từ điều kiện đầu: ( , 0) = ( ) ∀ ∈ [0, 푙] +∞ ⇒ ∑ sin = ( ) 푙 =1 Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta có: 2 푙 = ∫ ( ) sin 푙 0 푙 Giải tìm , thay vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt ứng với điều kiện đã cho.  Trường hợp hai đầu cách nhiệt
36. 28 Ta có: 휕 휕 (0, 푡) = (푙, 푡) = 0 ∀ 푡 ≥ 0 휕 휕 Từ (2.1.17), điều kiện biên thành: ′(0) = ′(푙) = 0, ∀ 푡 ≥ 0 (2.1.22) * Giải phương trình (2.1.19): Trường hợp 1: 휆 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.19) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 ⇒ ′( ) = − 훼 sin 훼 + 훼 cos 훼 ′(0) = 0 훼 = 0 Điều kiện biên (2.1.22): { ′(푙) = 0 ⇒ {− 훼 sin 훼푙 + 훼 cos 훼푙 = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀ 푡 ≥ 0 = 0 ⇒ { ( = 1,2,3, ) 훼 = 푙 ⇒ ( ) = cos , ∀ ∈ [0, 푙] 푙
37. 29 * Giải phương trình (2.1.20) 2 (2.1.20) ⇒ + 2 ( ) = 0 푡 푙 Chuyển T sang vế trái, t sang vế phải, sau đó lấy nguyên hàm hai vế: 2 ∫ = ∫ − 2 ( ) 푡 푙 2 ⇒ ln = − 2 ( ) 푡 + ln 푙 2 −( ) 푡 ⇒ = . 푒 푙 2 −( ) 푡 ⇒ ( , 푡) = ( ) (푡) = cos 푒 푙 푙 Nghiệm tổng quát của (2.1.16): +∞ 2 0 −( ) 푡 ( , 푡) = + ∑ cos 푒 푙 , ∀ ∈ [0, 푙], 푡 ≥ 0 2 푙 =1 Từ điều kiện đầu: ( , 0) = ( ) ∀ ∈ [0, 푙] +∞ ⇒ 0 + ∑ cos = ( ) 2 푙 =1 2 푙 = ∫ ( ) 0 푙 ⇒ 0 2 푙 = ∫ ( ) cos { 푙 0 푙 Giải tìm 0 và , sau đó thay vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt với điều kiện đã cho.  Trường hợp đầu = 0 được cách nhiệt, đầu = 푙 được giữ ở nhiệt độ 00 Ta có: 휕 (0, 푡) = (푙, 푡) = 0, ∀ 푡 ≥ 0 휕 Từ (2.1.17), điều kiện biên thành:
38. 30 ′(0) = (푙) = 0, ∀ 푡 ≥ 0 (2.1.23) * Giải phương trình (2.1.19): Trường hợp 1: 휆 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.19) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 ⇒ ′( ) = − 훼 sin 훼 + 훼 cos 훼 ′(0) = 0 훼 = 0 Điều kiện biên (2.1.23): { (푙) = 0 ⇒ { cos 훼푙 + sin 훼푙 = 0 ∀푡 ≥ 0 ∀ 푡 ≥ 0 = 0 ⇒ { (2 + 1) ( = 0,1,2,3, ) 훼 = 2푙 (2 + 1) ⇒ ( ) = cos , ∀ ∈ [0, 푙] 2푙 (2 +1) 2 −[ ] 푡 2푙 (2.1.20) ⇒ = . 푒 (2 +1) 2 (2 + 1) −[ ] 푡 ⇒ ( , 푡) = ( ) (푡) = cos 푒 2푙 2푙 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.16): +∞ (2 +1) 2 (2 + 1) −[ ] 푡 ( , 푡) = ∑ cos 푒 2푙 , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 2푙 =0 Từ điều kiện đầu:
39. 31 ( , 0) = ( ), ∀ ∈ [0, 푙] +∞ (2 + 1) ⇒ ∑ cos = ( ) 2푙 =0 2 푙 (2 + 1) ⇒ = ∫ ( ) cos 푙 0 2푙 Thay vào nghiệm tổng quát ( , 푡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt đã cho.  Trường hợp đầu = 0 được giữ ở 00 và đầu = 푙 cách nhiệt Làm tương tự trường hợp trên, ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.16): +∞ (2 +1) 2 (2 + 1) −[ ] 푡 ( , 푡) = ∑ sin 푒 2푙 , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 2푙 =0 Từ điều kiện đầu, dùng phép biến đổi Fourier, ta tìm được hệ số , thay vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm của phương trình (2.1.16). 2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn Ta xét sự truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chiều dài l, chứa hàm nguồn ( , 푡), phương trình truyền nhiệt có dạng: 휕 휕2 = 2 + ( , 푡), ∀ ∈ [0, 푙], ∀ 푡 ≥ 0 (2.1.24) 휕푡 휕 2 với điều kiện đầu: |푡=0 = ( ), ∀ ∈ [0, 푙]  Trường hợp hai biên được giữ ở nhiệt độ 00 Đặt nghiệm phương trình (2.1.24) có dạng: +∞ ( , 푡) = ∑ (푡) sin (2.1.25) 푙 =1 Để đồng nhất với ( , 푡), ta đặt: +∞ ( , 푡) = ∑ (푡) sin (2.1.26) 푙 =1
40. 32 2 푙 ⇒ (푡) = ∫ ( , 푡) sin 푙 0 푙 Ta tính đạo hàm riêng của u theo t và x: +∞ 휕 = ∑ ′ (푡) sin (2.1.27) 휕푡 푙 =1 +∞ 휕2 2 = ∑ − ( ) (푡) sin (2.1.28) 휕 2 푙 푙 =1 Thế (2.1.26), (2.1.27) và (2.1.28) vào (2.1.25), ta được: +∞ 2 ∑ [ ′(푡) + ( ) (푡) − (푡)] sin = 0 ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 푙 푙 =1 2 ⇔ ′(푡) + ( ) (푡) = (푡) (2.1.29) 푙 Xét phương trình thuần nhất: 2 ′(푡) + ( ) (푡) = 0 (2.1.30) 푙 Nghiệm phương trình (2.1.30) có dạng: 2 −( ) 푡 ∗ 푙 (푡) = 푒 Nghiệm riêng 푅(푡) của phương trình (2.1.30) có dạng phụ thuộc vào dạng của hàm (푡). 2 −( ) 푡 ⇒ (푡) = 푒 푙 + 푅(푡) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.24) có dạng: +∞ 2 −( ) 푡 ( , 푡) = ∑ [ 푒 푙 + (푡)] sin , ∀ ∈ [0, 푙], ∀푡 ≥ 0 푅 푙 =1 Điều kiện đầu: |푡=0 = ( ) , ∀ ∈ [0, 푙]
41. 33 +∞ ⇔ ∑[ + (0)] sin = ( ) 푅 푙 =1 2 푙 ⇒ = ∫ ( ) sin − 푅(0) 푙 0 푙 Sau khi tìm được hệ số , thế vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm của phương trình (2.1.24)  Trường hợp hai biên giữ ở nhiệt độ cho trước Ta có: | = 휑 (푡) { =0 1 , ∀푡 ≥ 0 (2.1.31) | =푙 = 휑2(푡) Tiến hành đổi biến ( , 푡) thành 푣( , 푡): ( , 푡) = 푣( , 푡) + 휑 (푡) + [휑 (푡) − 휑 (푡)] (2.1.32) 1 2 1 푙 Từ điều kiện đầu: |푡=0 = ( ), ∀ ∈ [0, 푙] (2.1.32) ⇒ 푣| + 휑 (0) + [휑 (0) − 휑 (0)] = ( ) 푡=0 1 2 1 푙 Đặt ( ) = ( ) − 휑 (0) − [휑 (0) − 휑 (0)] 1 1 2 1 푙 ⇒ 푣|푡=0 = 1( ) 푣| + 휑 (푡) = 휑 (푡) 푣| = 0 Điều kiện biên (2.1.31) ⇔ { =0 1 1 ⇔ { =0 ∀ 푡 ≥ 0 푣| =푙 + 휑2(푡) = 휑2(푡) 푣| =푙 = 0 Khi đó (2.1.24) trở thành: 휕푣 휕2푣 + 휑′ (푡) + [휑 (푡) − 휑 (푡)] = 2 휕푡 1 2 1 푙 휕 2 휕푣 휕2푣 ⇔ = 2 − 휑′ (푡) − [휑 (푡) − 휑 (푡)] 휕푡 휕 2 1 2 1 푙 Đặt ( , 푡) = −휑′ (푡) − [휑 (푡) − 휑 (푡)] 1 1 2 1 푙
42. 34 휕푣 휕2푣 ⇔ = 2 + ( , 푡) ∀ ∈ [0, 푙], ∀ 푡 ≥ 0 휕푡 휕 2 1 Nếu 1( , 푡) = 0: bài toán trở thành bài toán truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn, với hai đầu được giữ ở nhiệt độ 00 . Nếu 1( , 푡) ≠ 0: bài toán trở thành bài toán truyền nhiệt trên thanh hữu hạn chứa nguồn, với hai đầu được giữ ở nhiệt độ 00 . 2.1.4. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace Các phương trình truyền sóng, truyền nhiệt đã xét ở trên trong không gian một chiều đều có mặt biến t, nghĩa là các phương trình này có nghiệm phụ thuộc vào thời gian. Trong không gian hai chiều, nếu chúng ở trạng thái dừng, nghĩa là sự truyền sóng, truyền nhiệt không phụ thuộc vào thời gian, ta tìm nghiệm của chúng bằng cách giải phương trình Laplace. Phương trình Lalace là phương trình vi phân đạo hàm riêng có nghiệm mô tả thế năng trọng trường, thế năng của điện tích trong điện trường, Do vậy việc tìm nghiệm phương trình Laplace nghiệm đóng vai trò quan trọng trong các ngành của vật lý: thiên văn học, điện từ trường, cơ học chất lỏng, [6]. Xét phương trình Laplace trong không gian hai chiều: 휕2 휕2 ∇2 = + = 0 ∀ ∈ [0, 푙], ∀ ∈ [0, ] (2.1.33) 휕 2 휕 2 Ta sử dụng phương pháp tách biến để giải phương trình (2.1.33). Nghiệm tách biến có dạng: ( , ) = ( )푌( ), thay vào (2.1.33), ta được: ′′( )푌( ) + ( )푌′′( ) = 0 ∀ ∈ [0, 푙], ∀ ∈ [0, ] ′′( ) 푌′′( ) ⇒ = = −휆 ( ) −푌( ) Ta thu được hai phương trình vi phân thường: ′′( ) + 휆 ( ) = 0 (2.1.34) 푌′′( ) − 휆푌( ) = 0 (2.1.35) Do phương trình Laplace không phụ thuộc vào thời gian nên không có điều kiện đầu. Điều kiện biên có dạng:
43. 35 (0, ) = ( ) 1 (푙, ) = ( ) 2 ( , 0) = 1( ) { ( , ) = 2( )  Trường hợp 1( ) = 2( ) = 0 ⇒ (0) = (푙) = 0, ∀ ∈ [0, ] (2.1.36) * Giải phương trình (2.1.34) Trường hợp 1: 휆 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.34) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.36) { (푙) = 0 ⇒ { cos 훼푙 + sin 훼푙 = 0 ⇒ 훼푙 = ∀ ∈ [0, ] ∀ ∈ [0, ] ⇒ 훼 = ( = 1,2,3, ) 푙 ⇒ ( ) = sin ( ) , = 1,2,3, 푙 −훼 훼 − (2.1.35) ⇒ 푌( ) = . 푒 + . 푒 = . 푒 푙 + . 푒 푙 − ⇒ ( , ) = sin ( . 푒 푙 + . 푒 푙 ) 푙
44. 36 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.33): +∞ − ( , ) = ∑ sin ( . 푒 푙 + . 푒 푙 ) , ∀ ∈ [0, 푙], ∀ ∈ [0, ] 푙 =1 Điều kiện biên: ( , 0) = ( ) { 1 ∀ ∈ [0, 푙] ( , ) = 2( ) +∞ ∑( + ) sin = ( ) 푙 1 =1 ⇒ +∞ − ∑ [ 푒 푙 + 푒 푙 ] sin = ( ) 푙 2 { =1 2 푙 + = ∫ ( ) sin 푙 1 푙 ⇒ 0 푙 − 2 푒 푙 + 푒 푙 = ∫ 2( ) sin { 푙 0 푙 Giải hệ phương trình trên, ta tìm được hệ số và , thay vào nghiệm tổng quát ( , ), ta thu được nghiệm phương trình Laplace đã cho.  Trường hợp 1( ) = 2( ) = 0 ⇒ 푌(0) = 푌( ) = 0 ∀ ∈ [0, 푙] (2.1.37) * Giải phương trình (2.1.35): Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = √−휆 (2.1.35) ⇒ 푌( ) = 푒−훼 + 푒훼 푌(0) = 0 + = 0 Điều kiện biên (2.1.37) {푌( ) = 0 ⇒ { . 푒−훼 + . 푒훼 = 0 ⇒ = = 0 ∀ ∈ [0, 푙] ∈ [0, 푙] ⇒ 푌( ) = 0 ⇒ ( , ) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (2.1.35) ⇒ 푌( ) = +
45. 37 푌(0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.37) {푌( ) = 0 ⇒ { + = 0 ⇒ = = 0 ∀ ∈ [0, 푙] ∀ ∈ [0, 푙] ⇒ 푌( ) = 0 ⇒ ( , ) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.35) ⇒ 푌( ) = cos 훼 + sin 훼 푌(0) = 0 = 0 Điều kiện biên (2.1.37) {푌( ) = 0 ⇒ { cos 훼 + sin 훼 = 0 ∀ ∈ [0, 푙] ∀ ∈ [0, 푙] ⇒ 훼푙 = ( = 1,2,3, ) ⇒ 훼 = ( = 1,2,3, ) 푙 ⇒ 푌( ) = sin ( ) , = 1,2,3, − (2.1.34) ⇒ ( ) = . 푒−훼 + . 푒훼 = . 푒 + . 푒 − ⇒ ( , ) = sin ( . 푒 + . 푒 ) Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.33): +∞ − ( , ) = ∑ sin ( . 푒 + . 푒 ) ∀ ∈ [0, 푙], ∀ ∈ [0, ] =1 Điều kiện biên: (0, ) = ( ) { 1 ∀ ∈ [0, ] (푙, ) = 2( ) +∞ ∑( + ) sin = ( ) 1 =1 ⇒ +∞ 푙 푙 − ∑ [ . 푒 + . 푒 ] sin = ( ) 2 { =1 2 + = ∫ ( ) sin 1 ⇒ 0 푙 푙 − 2 . 푒 + . 푒 = ∫ 2( ) sin { 0
46. 38 Giải hệ phương trình trên, ta tìm được hệ số và , thay vào nghiệm tổng quát ( , ), ta thu được nghiệm phương trình Laplace đã cho. 2.1.5. Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác Ở các phần trước, ta đã sử dụng phương pháp tách biến giải các phương trình truyền sóng, truyền nhiệt, Laplace, trong hệ tọa độ Descartes. Trong phần này, ta sẽ giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác: tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu. Ta xét các ví dụ sau đây. Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình Laplace cho miền tròn có bán kính 0 và có biên ( ): 0 ≤ ≤ { 0 0 ≤ 휙 < 2 Với điều kiện: ( 0, 휑) = (휑) Giải Xét phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực: 1 휕 휕 1 휕2 ( ) + = 0 (2.1.38) 휕 휕 2 휕휑2 Sử dụng phương pháp tách biến: ( , 휑) = 푅( )Φ(휑) (2.1.39) Từ (2.1.38) và (2.1.39) Φ′′(휑) 2푅′′( ) + 푅′( ) ⇔ = = −휆 Φ(휑) −푅( ) Từ đây, ta có hai phương trình vi phân thường: Φ′′(휑) + 휆. Φ(휑) = 0 (2.1.40) 2푅′′( ) + 푅′( ) − 휆푅( ) = 0 (2.1.41) Vì trong miền tròn nên ta có điều kiện biên tuần hoàn: ( , 휑) = ( , 휑 + 2 ) Từ (2.1.39), điều kiện biên tuần hoàn trở thành: Φ(휑) = Φ(휑 + 2 ) ∀휑 ∈ [0,2 ] (2.1.42)
47. 39 * Giải phương trình (2.1.40) và (2.1.41): Trường hợp 1: 휆 0, đặt 훼 = √휆 (2.1.40) ⇒ Φ(휑) = cos 훼휑 + sin 훼휑 Điều kiện (2.1.42):
48. 40 Φ(휑) = Φ(휑 + 2 ) ∀휑 ∈ [0,2 ] ⇔ cos 훼휑 + sin 훼휑 = cos(훼휑 + 2 훼) + sin(훼휑 + 2 훼) cos 훼휑 = cos(훼휑 + 2 훼) ⇔ { sin 훼휑 = sin(훼휑 + 2 훼) ⇔ 훼 = 푛 (푛 = 1,2,3, ) ⇒ Φn(휑) = 푛 cos 푛휑 + 푛 sin 푛휑 (푛 = 1,2,3, ) (2.1.41) ⇔ 2푅′′( ) + 푅′( ) − 푛2푅( ) = 0 Đặt 푅( ) = 휇 ⇒ 2휇(휇 − 1) 휇−2 + 휇. 휇−1 − 푛2 휇 = 0 ⇔ (휇2 − 푛2) 휇 = 0 ⇒ 휇 = ±푛 (푛 = 1,2,3, ) 푛 −푛 ⇒ 푅( ) = . + . ∀ ∈ [0, 0] Chọn = 0 để 푅( ) tại = 0 có giá trị xác định. 푛 ⇒ 푅푛( ) = . 푛 ⇒ 푛( , 휑) = ( 푛 cos 푛휑 + 푛 sin 푛휑). Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.36) có dạng: +∞ ( , 휑) = 0 + ∑( cos 푛휑 + sin 푛휑). 푛 ∀ ∈ [0, ], ∀ 휑 ∈ [0,2 ] 2 푛 푛 0 푛=1 Từ điều kiện: ( 0, 휑) = (휑) +∞ ⇒ 0 + ∑( cos 푛휑 + sin 푛휑). 푛 = (휑) 2 푛 푛 0 푛=1 1 2 = ∫ (휑) 휑 0 0 1 2 ⇒ 푛 = 푛 ∫ (휑) cos 푛휑 휑 0 0 2 1 푛 = 푛 ∫ (휑) sin 푛휑 휑 { 0 0
49. 41 Sau khi tìm được 0, 푛, 푛, thế vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm phương trình đã cho. Ví dụ 2.2.2 Giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu có đối xứng trục: 1 휕 휕 1 휕2 1 휕 휕 ( 2 ) + + (sin 휃 ) = 0 (2.1.43) 2 휕 휕 2 sin2 휃 휕휙2 2 sin 휃 휕휃 휕휃 Xét miền cầu bán kính , thỏa mãn điều kiện biên: (const), 0 ≤ 휃 ≤ 1 2 ( , 휃) = { (const), ≤ 휃 ≤ 2 2 với có giá trị hữu hạn trong miền cầu và giả sử rằng không phụ thuộc vào 휙. Giải Nghiệm phương trình (2.1.43) không phụ thuộc vào 휙, do đó ta có: 1 휕 휕 1 휕 휕 ( 2 ) + (sin 휃 ) = 0 (2.1.44) 2 휕 휕 2 sin 휃 휕휃 휕휃 Dùng phương pháp tách biến: ( , 휃) = 푅( )φ(θ) 1 푅 1 휑 (2.1.44) ⇒ ( 2 ) + (sin 휃 ) = 0 푅 휑 sin 휃 휃 휃 1 푅 1 휑 ⇒ ( 2 ) = − (sin 휃 ) = 휆 푅 휑 sin 휃 휃 휃 Ta thu được hai phương trình vi phân thường: 1 푅 ( 2 ) = 휆 (2.1.45) 푅 1 휑 휆 + (sin 휃 ) = 0 (2.1.46) 휑 sin 휃 휃 휃 Đặt 휆 = 푠(푠 + 1), phương trình (2.1.46) thành: 1 휑 (sin 휃 ) + 푠(푠 + 1)휑 = 0 (2.1.47) sin 휃 휃 휃
50. 42 sin2 휃 = 1 − 휔2 Đặt cos 휃 = 휔 ⇒ { = − sin 휃 휃 휔 휑 ⇒ [(1 − 휔2) ] + 푠(푠 + 1)휑 = 0 휔 휔 2휑 휑 ⇒ (1 − 휔2) − 2휔 + 푠(푠 + 1)휑 = 0 (2.1.48) 휔2 휔 Phương trình (2.1.48) có dạng phương trình Legendre, nghiệm là đa thức Legendre 푃푛(휔) hay 푃푛(cos 휃). ⇒ 휑푛(휃) = 푃푛(cos 휃) Đặt 푠 = 푛 (푛 = 0,1,2,3, ) (2.1.45) ⇒ 2푅′′ + 2 푅′ − 푛(푛 + 1)푅 = 0 ⇔ 푅 ( ) = 푛 + 푛 푛 푛 푛+1 Để ( , 휃) có giá trị xác định trong miền cầu bán kính a, ta chọn 푛 = 0 푛 ⇒ 푅푛( ) = 푛 Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.43): +∞ 푛 ( , 휃) = ∑ 푛 푃푛(cos 휃) 푛=0 Từ điều kiện biên: ( , 휃) = (휃) +∞ 푛 ⇒ ∑ 푛 푃푛(cos 휃) = (휃) 푛=0 Hay +∞ 푛 ∗ ∑ 푛 푃푛(휔) = (휔) 푛=0 2푛 + 1 1 ∗( ) ( ) ⇒ 푛 = 푛 ∫ 휔 푃푛 휔 휔 2. −1 Từ điều kiện biên:
51. 43 (const), 0 ≤ 휃 ≤ 1 2 ( , 휃) = { (const), ≤ 휃 ≤ 2 2 Đổi biến: 0 ≤ 휃 ≤ ⇒ 0 ≤ 휔 ≤ 1 2 { ≤ 휃 ≤ ⇒ −1 ≤ 휔 ≤ 0 2 2푛 + 1 0 (2푛 + 1) 1 ( ) ( ) ⇒ 푛 = 푛 [∫ 2푃푛 휔 휔 + 푛 ∫ 1푃푛 휔 휔] 2 −1 2 0 Với 푛 = 0: 0 1 1 1 1 0 = 2 ∫ 휔 + ∫ 휔 = ( 2 + 1) 2 −1 2 0 2 Với 푛 = 1: 0 1 3 2 3 1 3 1 = ∫ 휔 휔 + ∫ 휔 휔 = − ( 2 − 1) 2 −1 2 0 4 Với 푛 = 2: 5 0 1 5 1 1 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 2 = 2 ∫ 3휔 − 1 휔 + 2 ∫ 3휔 − 1 휔 = 0 2 −1 2 2 0 2 Với 푛 = 3: 7 0 1 7 1 1 7 2 ( 3 ) 1 ( 3 ) 3 = 3 ∫ 5휔 − 3휔 휔 + 3 ∫ 5휔 − 3휔 휔 = 3 ( 2 − 1) 2 −1 2 2 0 2 16 Tính toán cho 푛 = 4,5,6 . Vậy nghiệm của phương trình (2.1.43) là: 1 3 7 3 ( , 휃) = ( + ) − ( − ) 푃 (cos 휃) + ( − ) ( ) 푃 (cos 휃) + ⋯ 2 1 2 4 2 1 1 16 2 1 3 Qua việc dùng phương pháp tách biến giải các bài toàn truyền nhiệt, truyền sóng, Laplace trong tọa độ Descartes và các tọa độ khác (tọa độ cầu, tọa độ cực, tọa độ trụ, ), ta thấy rằng phương pháp này không sử dụng quá nhiều kiến thức chuyên sâu về toán học, dễ hiểu cho người đọc. Do đó phương pháp này là một công cụ hữu ích để giải các phương trình vật lý - toán và được sử dụng để giảng dạy rộng rãi ở các trường đại học
52. 44 nước ta. Tuy nhiên phương pháp này gặp khó khăn khi giải các bài toán phức tạp, nên cần phải sử dụng các phương pháp giải tích khác, ta sẽ xét ở các phần sau. 2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 2.2.1. Giới thiệu phương pháp Phương pháp đa thức d’Alembert là một trong các phương pháp thường dùng để giải các phương truyền sóng trên dây dài vô hạn hoặc nửa vô hạn. Ý tưởng của phương pháp này là đổi biến thích hợp để thu được phương trình có thể giải bằng tích phân đơn giản. 2.2.2. Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền sóng 2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vô hạn Ta xét phương trình truyền sóng cho dây dài vô hạn: 휕2 1 휕2 − = 0 , ∀ ∈ (−∞, +∞), ∀푡 ≥ 0 (2.2.1) 휕 2 2 휕푡2 với điều kiện đầu: ( , 0) = 휙( ) {휕 , ∀ ∈ (−∞, +∞) (2.2.2) ( , 0) = 푞( ) 휕푡 훼 = + 푡 Đặt {훽 = − 푡 Ta tính đạo hàm riêng cấp hai của u theo biến x và t: 휕 휕 휕훼 휕 휕훽 휕 휕 = . + . = + 휕 휕훼 휕 휕훽 휕 휕훼 휕훽 휕2 휕 휕 휕 휕2 휕2 휕2 ⇒ = ( + ) = + 2. + (2.2.3) 휕 2 휕 휕훼 휕훽 휕훼2 휕훼. 휕훽 휕훽2 휕 휕 휕훼 휕 휕훽 휕 휕 = . + . = ( − ) 휕푡 휕훼 휕푡 휕훽 휕푡 휕훼 휕훽
53. 45 휕2 휕 휕 휕 휕훼 휕 휕 휕 ⇒ = ( . − . ) + ( − ) 휕푡2 휕훼 휕훼 휕훽 휕푡 휕훽 휕훼 휕훽 (2.2.4) 휕2 휕2 휕2 = 2 ( − 2. + ) 휕훼2 휕훼. 휕훽 휕훽2 Thay (2.2.3) và (2.2.4) vào (2.2.1) ta được: 휕2 휕2 휕2 휕2 휕2 휕2 + 2. + = − 2. + 휕훼2 휕훼. 휕훽 휕훽2 휕훼2 휕훼. 휕훽 휕훽2 휕2 ⇒ = 0 휕훼. 휕훽 Lấy nguyên hàm hai vế: 휕 휕 ∫ ( ) 훼 = ∫ 0 훼 휕훼 휕훽 휕 ⇔ = ψ(훽) 휕훽 휕 ⇒ ∫ . 훽 = ∫ 휓(훽) 훽 휕훽 ⇒ (훼, 훽) = (훽) + (훼) Nghiệm tổng quát của phương trình (2.2.1) là: ( , 푡) = ( + 푡) + ( − 푡) (2.2.5) Điều kiện đầu (2.2.2): ( , 0) = 휙( ) {휕 ( , 0) = 푞( ) 휕푡 ( ) + ( ) = 휙( ) ⇒ { − ′( ) + ′( ) = 푞( ) ( ) + ( ) = 휙( ) ⇒ { ∫ [ ′( ) − ′( )] = ∫ 푞(휀) 휀 0 0 ( ) + ( ) = 휙( ) ⇒ { [ ( ) − ( ) − (0) + (0)] = ∫ 푞(휀) 휀 0
54. 46 ( ) + ( ) = 휙( ) ⇒ { 1 (Với là hằng số) ( ) − ( ) = ∫ 푞(휀) 휀 + 0 1 1 ( ) ( ) ( ) = 휙 + ∫ 푞 휀 휀 + 2 2 0 2 ⇒ 1 1 ( ) = 휙( ) − ∫ 푞(휀) 휀 − { 2 2 0 2 1 1 + 푡 ( − 푡) = 휙( − 푡) + ∫ 푞(휀) 휀 + 2 2 2 ⇒ 0 1 1 − 푡 ( + 푡) = 휙( + 푡) − ∫ 푞(휀) 휀 − { 2 2 0 2 Vậy nghiệm của phương trình (2.2.1): 1 1 + 푡 ( , 푡) = [휙( − 푡) + 휙( + 푡)] + ∫ 푞(휀) 휀 (2.2.6) 2 2 − 푡 (2.2.6) gọi là công thức d’Alembert cho phương trình truyền sóng trên dây vô hạn. 2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn Xét một dây dài nằm dọc theo trục x với đầu = 0 cố định. Giả sử điều kiện đầu: ( , 0) = 휙1( ) {휕 , ∀ ∈ [0, +∞) ( , 0) = 푞 ( ) 휕푡 1 Nghiệm tổng quát của phương trình sóng theo phương pháp d’Alembert: 1 1 + 푡 ( , 푡) = [휙1( − 푡) + 휙1( + 푡)] + ∫ 푞1(휀) 휀 2 2 − 푡 Bài toán sẽ được giải quyết nếu dây vô hạn có li độ đầu 휙( ) và vận tốc đầu 푞( ) thỏa mãn điều kiện sao cho ∀ ∈ 푅, chúng trở thành điều kiện đầu của dây nửa vô hạn và (0, 푡) = 0. Khi đó, ta có: 휙( ) = 휙 ( ) { 1 , ∀ ≥ 0 푞( ) = 푞1( ) Nghiệm tổng quát thành:
55. 47 1 1 + 푡 ( , 푡) = [휙( − 푡) + 휙( + 푡)] + ∫ 푞(휀) 휀 2 2 − 푡 Ta xét hai trường hợp điều kiện biên: biên = 0 bị buộc chặt và biên = 0 thả dao động tự do.  Trường hợp biên = 0 bị buộc chặt: (0, 푡) = 0 ∀ 푡 ≥ 0 1 1 푡 ⇒ [휙(− 푡) + 휙( 푡)] + ∫ 푞(휀) 휀 = 0 ∀푡 ≥ 0 2 2 − 푡 휙(− 푡) = −휙( 푡) ⇒ { 푡 ∫ 푞(휀) 휀 = 0 − 푡 ⇒ 휙( ) và 푞( ) là hàm lẻ 휙(− ) = −휙 ( ), > 0 ⇒ { 1 휙( ) = −휙1(− ), 0 Và { 1 푞( ) = −푞1( ), < 0 Do đó để biết được dao động của dây nửa vô hạn dựa vào dao động của dây vô hạn, điều kiện đầu phải thỏa: 휙 ( ), ≥ 0 휙( ) = { 1 −휙1(− ), < 0 푞 ( ), ≥ 0 푞( ) = { 1 −푞1( ), < 0  Trường hợp biên = 0 thả dao động tự do: 휕 (0, 푡) = 0 ∀ 푡 ≥ 0 휕 1 1 푡 ⇒ [휙′( 푡) + 휙′(− 푡)] + ∫ 푞′(휀) 휀 = 0 2 2 − 푡 휙′( 푡) = −휙′(− 푡) ⇒ { 푡 ∫ 푞′(휀) 휀 = 0 − 푡 ⇒ 휙′( ) và 푞′( ) là hàm lẻ.
56. 48 ⇒ 휙( ) và 푞( ) là hàm chẵn. Do đó, ta có điều kiện đầu: 휙 ( ), ≥ 0 휙( ) = { 1 휙1(− ), < 0 푞 ( ), ≥ 0 푞( ) = { 1 푞1(− ), < 0 Tóm lại, phương pháp d’Alembert là một phương pháp hữu ích dùng để giải các bài toán truyền sóng trên dây dài vô hạn và nửa vô hạn. 2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.3.1. Giới thiệu phương pháp Bên cạnh phương pháp tách biến và phương pháp D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân là một trong những phương pháp được sử dụng để giải các phương trình vật lý - toán. Phương pháp này tương tự phương pháp tách biến ở chỗ nghiệm thu được thông qua việc tính toán tích phân. Tuy nhiên, phương pháp biến đổi tích phân có thể áp dụng giải nhiều dạng toán hơn, chẳng hạn như có thể giải được bài toán với điều kiện biên phụ thuộc vào thời gian, trong khi phương pháp tách biến gặp thất bại khi tìm nghiệm các bài toán này [2]. Ý tưởng của phương pháp này là chuyển các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành dạng phương trình đại số, sau đó dùng các phép biến đổi ngược để tìm nghiệm của phương trình đã cho. Ngay cả khi các biến đổi ngược không thể tìm ra bằng phương pháp giải tích, nghiệm vẫn có thể được tìm ra bằng các phương pháp số và phương pháp tiệm cận. Do vậy trong các trường hợp đó, phương pháp biến đổi tích phân vẫn có thể sử dụng được. 2.3.2. Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý – toán Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên, ta xét bài toán truyền nhiệt sau. Một thanh có hai đầu cách nhiệt, phương trình truyền nhiệt trên thanh có dạng: 휕 휕2 = 2 , ∀ ∈ (−∞, +∞), ∀ 푡 ≥ 0 (2.3.1) 휕푡 휕 2 với điều kiện đầu:
57. 49 ( , 0) = ( ) , ∀ ∈ (−∞, +∞) trong đó ( ) là hàm mô tả nhiệt độ ban đầu của thanh. Để tìm nghiệm của phương trình (2.3.1), ta áp dụng phương pháp tách biến: ( , 푡) = ( ) (푡) Thay vào phương trình (2.3.1): ( ) ′(푡) = 2 ′′( ) (푡) ′′( ) ′(푡) ⇒ = = ( ) 2 (푡) Ta thu được hai phương trình vi phân thường: ′′ = (2.3.2) ′ = 2 (2.3.3) 2 2 (2.3.3) ⇒ (푡) = 푒 푡 + . 푒− 푡 Để nghiệm phương trình ( , 푡) có giá trị hữu hạn khi 푡 → +∞, ta đặt = − 2 ( ≥ 0) và chọn = 0 2 2 ⇒ (푡) = . 푒− 푡 (2.3.2) ⇒ ( ) = cos + sin Giả sử p liên tục, ta có nghiệm tổng quát của phương trình (2.3.1): ∞ − 2 2푡 ( , 푡) = ∫ ( cos + sin )푒 0 Từ điều kiện đầu: ( , 0) = ( ) ∞ ⇒ ∫ ( cos + sin ) = ( ) 0 Để tìm hệ số và , ta sử dụng biểu diễn Fourier đã trình bày ở phần 1.2.1. Theo (1.2.4), ta có: +∞ 1 = ∫ ( ) cos −∞ +∞ 1 = ∫ ( ) sin { −∞
58. 50 Thay , vào nghiệm tổng quát, ta tìm được nghiệm phương trình đã cho. Bài toán trên được giải bằng phép biến đổi Fourier. Để giải các bài toán vi phân đạo hàm riêng, ta cần lựa chọn phương pháp biến đổi tích phân phù hợp cho từng bài toán. Chẳng hạn, nếu đề bài cho hàm (0, 푡), ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier 휕 Sin; nếu cho hàm (0, 푡), ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier Cos. Sau đây, ta xét 휕 qua một vài ví dụ để làm rõ hơn phương pháp biến đổi tích phân. Ví dụ 2.3.1 Giải phương trình truyền nhiệt: 휕2 1 휕 = , ∀ ∈ (0, ∞), ∀ 푡 ≥ 0 (2.3.4) 휕 2 휕푡 với điều kiện: (0, 푡) = = const , ∀ 푡 ≥ 0 { 0 ( , 0) = 0, ∀ ∈ (0, ∞) Giải Đề bài cho (0, 푡), do đó ta sử dụng biến đổi tích phân Fourier Sin. Biến đổi hai vế phương trình (2.3.4) theo Fourier Sin theo biến x, ta được: 휕2 1 휕 ℱ ( ) = ℱ ( ) (2.3.5) 푠 휕 2 푠 휕푡 Tính từng số hạng trong (2.3.5), sau đó thay vào (2.3.5), ta thu được phương trình: 풰 푠 + 2풰 = (2.3.6) 푡 푠 0 Nghiệm phương trình (2.3.6) có dạng: 2 0 2 풰 = 푒− 푡 ( 푒 푡 + ) (2.3.7) 푠 Mà ( , 0) = 0 ∞ ⇒ ℱ푠( ( , 0)) = 풰푠( , 0) = ∫ 0 sin = 0 (2.3.8) 0 Từ (2.3.7) và (2.3.8), ta có:
59. 51 2 = − 0 ⇒ 풰 = 0 (1 − 푒− 푡) 푠 Dùng phép biến đổi ngược, ta thu được nghiệm phương trình (2.3.4): ∞ 2 2 ( , 푡) = ∫ 0 (1 − 푒− 푡) sin 0 ∞ ∞ 2 sin 2 = 0 (∫ − ∫ 푒− 푡 sin ) 0 0 Mặt khác ta có: ∞ sin ∫ = , ∀ > 0 0 2 ∞ 2 − 2푡 sin ⇒ ( , 푡) = 0 (1 − ∫ 푒 . ) 0 Ví dụ 2.3.2 Sử dụng tích phân Fourier để giải phương trình Laplace trong không gian hai chiều: 휕2 휕2 + = 0 ∀ ∈ (−∞, +∞), ∀ ∈ [0, +∞) (2.3.9) 휕 2 휕 2 Điều kiện: ( , 0) = ( ), ∀ ∈ (−∞, +∞) ( , 푡) → 0 khi √ 2 + 2 → ∞ Giải Biến đổi Fourier phức hai vế phương trình (2.3.9) theo biến x, ta thu được: 휕2 휕2 ℱ ( ) + ℱ ( ) = 0 (2.3.10) 휕 2 휕 2 휕2 +∞ 휕2 휕 +∞ +∞ 휕 −푖휔 −푖휔 ( ) −푖휔 ℱ ( 2) = ∫ 2 푒 = . 푒 | − ∫ . −푖휔 . 푒 휕 −∞ 휕 휕 −∞ −∞ 휕 +∞ +∞ = 푖휔. . 푒−푖휔푡| + ∫ (−푖휔)2 . 푒−푖휔 −∞ −∞ 휕2 ⇒ ℱ ( ) = 휔2풰 (2.3.11) 휕 2
60. 52 2 +∞ 2 2 휕 휕 푖휔 풰 ℱ ( 2) = ∫ 2 푒 = 2 (2.3.12) 휕 −∞ 휕 Thay (2.3.11), (2.3.12) vào (2.3.10), ta được: 2풰 − 휔2풰 = 0 (2.3.13) 2 Nghiệm phương trình (2.3.13) có dạng: 풰 = 푒휔 + 푒−휔 Từ điều kiện biên ( , 0) = ( ) +∞ +∞ ⇒ 풰(휔, 0) = ∫ ( , 0)푒푖휔푡 푡 = ∫ ( )푒푖휔푡 푡 = 퐹(휔) −∞ −∞ Khi 휔 > 0, chọn = 0 để 풰 có giá trị xác định. = 0 ⇒ 풰(휔, 0) = = 퐹(휔) Khi 휔 < 0, chọn = 0 để 풰 có giá trị xác định. = 0 ⇒ 풰(휔, 0) = = 퐹(휔) Do đó: 풰(휔, ) = 퐹(휔)푒−|휔| Ta có: 1 ℱ−1(푒−|휔| ) = 2 + 2 Từ định lý tích chập, ta tìm được nghiệm phương trình Laplace đã cho: +∞ 1 ( ) ( ) , = ∫ − . . 2 2 −∞ + +∞ ( − ) = ∫ 2 2 ∞ + +∞ ( ) = ∫ 2 2 ∞ ( − ) + Ví dụ 2.3.3 Sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình sau:
61. 53 휕 휕 + = , ∀ > 0, ∀ 푡 > 0 (2.3.14) 휕 휕푡 với điều kiện : ( , 0) = 0, ∀ > 0 (2.3.15) (0, 푡) = 0, ∀ 푡 > 0 (2.3.16) Giải Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.3.14) theo biến t, ta được: 휕 휕 ℒ ( ) + ℒ ( ) = ℒ( ) (2.3.17) 휕 휕푡 Ta biến đổi Laplace từng số hạng trong (2.3.17), thay vào (2.3.17), ta được 풰( , ) + 풰( , ) − ( , 0) = Mà ( , 0) = 0 풰 ⇒ + 풰 = (2.3.18) Nghiệm phương trình (2.3.18) có dạng: 1 1 푒 풰( , ) = 푒− ( ∫ 푒 ) = 푒− [ ( 푒 − ) + ] 2 1 ⇒ 풰( , ) = − + 푒− 2 3 ∞ ⇒ 풰(0, ) = ∫ (0, 푡)푒− 푡 푡 = 0 0 1 1 ⇔ 0 = 0 − + ⇔ = 3 3 1 1 ⇒ 풰( , ) = − + 푒− 2 3 3 Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm lại hàm ( , 푡): 푡2 (푡 − )2 ( , 푡) = 푡 − + (푡 − ) 2 2 Nếu 푡 > :
62. 54 푡2 (푡 − )2 푡2 푡2 2 2 ( , 푡) = 푡 − + = 푡 − + − 푡 + = 2 2 2 2 2 2 Nếu 푡 < : 푡2 ( , 푡) = 푡 − 2 Tóm lại, với phương pháp biến đổi tích phân, ta có thể tìm ra nghiệm bài toán ngắn gọn hơn so với các phương pháp khác. Tuy vậy, để sử dụng được phương pháp này, ta cần nắm rõ các tính chất của các phép biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi Fourier Sin và Cos, biến đổi Fourier phức, biến đổi Laplace. 2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 2.4.1. Giới thiệu phương pháp Phương pháp hàm Green là một công cụ toán học hữu ích để giải các bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng, được áp dụng thành công trong lĩnh vực điện từ cổ điển và âm học cuối thế kỉ XIX. Ngoài ra, hàm Green là một công cụ tính toán hiệu quả trong vật lý hạt, tĩnh học vật rắn, cơ học lượng tử và nhiều lĩnh vực khác trong toán học và vật lý. Hàm Green được sử dụng chủ yếu để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất (mặc dù có thể giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng thuần nhất theo phương pháp này). Phương pháp này tìm ra nghiệm mà không cần giải trực tiếp phương trình đã cho. Ý tưởng của phương pháp này là biểu diễn nghiệm tổng quát có chứa hàm Green, sau đó thông qua việc giải phương trình khác, ta tìm được hàm Green, từ đó suy ra nghiệm phương trình đã cho. 2.4.2. Hàm Green Hàm Green của một toán tử vi phân tuyến tính 퐿( ) trên tập hợp con của không 푛 gian Euclidean 푅 , tại điểm 0, ký hiệu là ( | 0), là nghiệm của phương trình: 퐿 ( | 0) = 훿( − 0) trong đó 훿( − 0) là hàm delta Dirac. Với định nghĩa này, hàm Green có thể ứng dụng để giải các phương trình có dạng: 퐿 ( ) = ( ) với f(x) là hàm đã biết, u(x) là nghiệm cần tìm.
63. 55 Ta xét phương trình sau: 휕2 ( + 2) ( , ) = ( ) (2.4.1) 휕 2 với là số sóng, ( ) là hàm nguồn, nghiệm trên toàn miền không gian đưa tới điều 휕 kiện = 0 và = 0 tại ±∞. Phương trình trên mô tả trạng thái của sóng dừng (với 휕 2 bước sóng 휆 = ) dựa vào nguồn ( ). Để giải (2.4.1), ta đi tìm hàm Green thỏa mãn phương trình: 휕2 ( + 2) ( | , ) = 훿( − ) (2.4.2) 휕 2 0 0 Mặt khác do tính chất của hàm delta Dirac nên: +∞ ∫ ( )훿( − 0) = ( 0) (2.4.3) −∞ Nhân hai vế (2.4.1) cho : 휕2 ( + 2) = (2.4.4) 휕 2 Nhân hai vế (2.4.2) cho : 휕2 ( + 2) = 훿( − ) (2.4.5) 휕 2 0 Lấy (2.4.4) trừ (2.4.5), sau đó lấy tích phân hai vế, ta được: +∞ 휕2 휕2 +∞ +∞ ( ) ∫ ( 2 − 2) = ∫ − ∫ 훿 − 0 −∞ 휕 휕 −∞ −∞ Sử dụng tính chất của hàm 훿 cho trong phương trình (2.4.3), ta được: +∞ +∞ 휕2 휕2 ( ) 0, 푡 = ∫ − ∫ ( 2 − 2) (2.4.6) −∞ −∞ 휕 휕 Tính tích phân thứ hai trong phương trình (2.4.6): +∞ 휕2 휕2 +∞ 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 ∫ ( 2 − 2) = ∫ [ ( ) − . − ( ) + ] −∞ 휕 휕 −∞ 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕
64. 56 +∞ 휕 휕 +∞ 휕 휕 = ∫ ( ) − ∫ ( ) −∞ 휕 휕 −∞ 휕 휕 휕 +∞ 휕 +∞ = | − | = 0 휕 −∞ 휕 −∞ Từ đây, ta thu được nghiệm phương trình (2.4.1): +∞ ( 0, ) = ∫ ( ) ( | 0, ) (2.4.7) −∞ Kết quả trên có dạng tích chập của hàm nguồn và hàm Green . Hàm Green mô tả sự truyền sóng từ điểm này đến điểm khác trong không gian. Do đó hàm Green cho biết “độ dài quãng đường” đi được giữa hai điểm và 0 mà không quan tâm > 0 hay < 0. 2.4.3. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian Trong phần này, ta sẽ tập trung vào tính toán hàm Green cho phương trình sóng độc lập theo thời gian trong không gian một chiều, hai chiều và ba chiều. Nghiệm thu được trên toàn miền không gian và hàm Green không có điều kiện biên ràng buộc (ngoại trừ điều kiện ±∞)  Trong không gian 1 chiều Xét phương trình sóng không thuần nhất: 휕2 ( + 2) ( , ) = ( ), ∀ ∈ (−∞, +∞) (2.4.8) 휕 2 trong đó là hằng số, với điều kiện biên được cho bởi: ( , )|±∞ = 0 { 휕 (2.4.9) ( ( , ))| = 0 휕 ±∞ Sử dụng kết quả (2.4.7), ta có: +∞ ( 0, ) = ∫ ( ) ( | 0, ) (2.4.10) −∞ với hàm Green là nghiệm phương trình:
65. 57 휕2 ( + 2) ( | , ) = −훿( − ) (2.4.11) 휕 2 0 0 Vế phải của (2.4.11) bằng  thay vì  chỉ để thuận tiện cho việc tính toán. Điều kiện biên của hàm Green: ( , )|±∞ = 0 { 휕 ( ( , ))| = 0 휕 ±∞ Đặt = | − 0|, dùng biến đổi Fourier phức, ta được: 휕2 1 +∞ 휕2 ( ) 푖 2 = ∫ 2 , . 푒 휕 2 −∞ 휕 1 +∞ ⇒ ( , ) = ∫ ( , )푒푖 (2.4.12) 2 −∞ Ta biến đổi tương tự cho hàm 훿: 1 +∞ 훿( ) = ∫ 푒푖 (2.4.13) 2 −∞ Thay (2.4.12) và (2.4.13) vào (2.4.11) ta được: 1 +∞ 1 +∞ ∫ (− 2 + 2) ( , )푒푖 = − ∫ 푒푖 2 −∞ 2 −∞ 1 ⇒ ( , ) = (2.4.14) 2 + 2 Thế (2.4.14) vào (2.4.12): 1 +∞ 푒푖 1 +∞ 푒푖 ( ) , = ∫ 2 2 = ∫ (2.4.15) 2 −∞ − 2 −∞ ( − )( + ) Dùng định lý thặng dư Cauchy, ta tính tích phân trong phương trình (2.4.15). Hàm 1 , có 2 cực điểm là = − và = . ( − )( + ) 1 1 +∞ + − ( − ) (2.4.15) ⇒ ( , ) = . ∫ . 푒푖 2 2 −∞ ( − )( + )
66. 58 1 +∞ 푒푖 1 +∞ 푒푖 = ∫ + ∫ 4 −∞ − 4 −∞ + Ta có: +∞ 푒푖 푒푖 ( − )푒푖 ∫ = 2 푖 Res = 2 푖 lim = 2 푖푒푖 −∞ − = − → − +∞ 푒푖 푒−푖 ( + )푒−푖 ∫ = 2 푖. Res = 2 푖. lim = 2 푖. 푒−푖 −∞ + =− + u→−k + 푒푖 푒−푖 1 ⇒ ( , ) = 2 푖 ( − ) = − sin 4 4 Hàm Green ( , ) vừa tìm thấy ở trên mô tả sự lan truyền sóng từ điểm nhiễu loạn = 0, gọi là sóng ra. Ngoài ra nó còn cho biết sự lan truyền sóng về phía điểm nhiễu loạn, gọi là sóng tới. Sóng tới được cho bởi: 푖 ( | , ) = − 푒−푖 | − 0| 0 2 và sóng ra: 푖 ( | , ) = 푒푖 | − 0| 0 2  Trong không gian 2 chiều Ta xét phương trình 2 2 2 (∇ + ) ( | 0, ) = −훿 ( − 0) trong đó: 2 훿 ( − 0) = 훿( − 0)훿( − 0) Đặt 푅 = − 0, tính toán tương tự trong trường hợp 1 chiều, ta thu được: 1 +∞ 푒푖 푅 ( ) 2 푅, = 2 ∫ 2 2 (2 ) −∞ − Chuyển sang hệ tọa độ cực: 1 +∞ 푒푖 푅 cos 휃 ( ) 푅, = 2 ∫ ∫ 2 2 휃 (2 ) 0 −∞ − Ta tính tích phân theo , sau đó sử dụng định lý thặng dư:
67. 59 푒푖 푅 cos휃 ⇒ ∮ = 푖 푒푖 푅 cos 휃 ( + )( − ) với C là chu tuyến với cực điểm là = , hàm Green mô tả hàm sóng ra ngoài từ điểm 0 có dạng: 푖 (푅, ) = ∫ 푒푖 푅 cos 휃 휃 4 0 Bằng cách sử dụng phương pháp tiệm cận để giải tích phân trên, ta thu được hàm Green trong không gian 2 chiều: 1 푖 푒푖 | − 0| ( | 0, ) = 푒 4 . √8 √ | − 0|  Trong không gian 3 chiều Trong không gian 3 chiều, hàm Green là nghiệm của phương trình: 2 2 3 (∇ + ) ( | 0, ) = −훿 ( − 0) trong đó: 3 훿 ( − 0) = 훿( − 0)훿( − 0)훿( − 0) Tính toán tương tự trong không gian 1 và 2 chiều, ta thu được: 1 +∞ 푒푖 푅 ( ) 3 푅, = 3 ∫ 2 2 (2 ) −∞ − Ta chuyển sang hệ tọa độ cầu: 1 2 1 +∞ 푒푖 푅 cos 휃 2 ( ) ( ) 푅, = 3 ∫ 휙 ∫ cos 휃 ∫ 2 2 (2 ) 0 −1 0 − Lấy tích phân theo 휙 và 휃: 1 +∞ sin 푅 1 +∞ sin 푅 ( ) ⇒ 푅, = 2 ∫ 2 2 = 2 ∫ 2 2 (2.4.16) 2 푅 0 − 4 푅 −∞ − Theo công thức Euler: 1 푒푖 푅 = cos 푅 + 푖 sin 푅 ⇒ sin 푅 = (푒푖 푅 − cos 푅) 푖 1 +∞ 푒푖 푅 +∞ cos 푅 ( ) ( ) Từ 2.4.16 ⇒ 푅, = 2 (∫ 2 2 − ∫ 2 2 ) 4 푖푅 −∞ − −∞ −
68. 60 표푠 푅 +∞ 표푠 푅 Vì hàm 2 2 là hàm lẻ nên ∫ 2 2 = 0 − −∞ − 1 +∞ 푒푖 푅 ( ) ⇒ 푅, = 2 ∫ 2 2 (2.4.17) 4 푖푅 −∞ − . 푒푖 푅 Xét tích phân = ∮ ( + )( − ) Theo định lý thặng dư Cauchy: 푛 ∮ ( ) = 2 푖 ∑ Res ( ) = 푗 푗=1 Xét sóng ra với cực điểm = : ( − ) 푒푖 푅 1 Res ( ) = lim = 푒푖 푅 = → ( + )( − ) 2 . 푒푖 푅 1 ⇒ ∮ = 2 푖. 푒푖 푅 = 푖 푒푖 푅 ( + )( − ) 2 1 1 Từ (2.4.17) ⇒ (푅, ) = . 푖 푒푖 푅 = 푒푖 푅 4 2푖푅 4 푅 Vậy trong không gian 3 chiều, hàm Green có dạng: 1 푖 | − 0| ( | 0, ) = 푒 4 | − 0| 2.4.4. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong không gian ba chiều Ở phần trước, ta đã tìm nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không đồng nhất độc lập theo thời gian trong không gian một, hai và ba chiều. Trong phần này, ta sẽ xét trong trường hợp tổng quát hơn cho trường sóng ( , ) phát sinh từ một nguồn bất kỳ không phụ thuộc vào thời gian ( ). Ta đi tìm nghiệm phương trình sóng trong không gian ba chiều có dạng: (∇2 + 2) ( , ) = − ( ), ∀ ∈ (2.4.18) Vế phải phương trình (2.4.18) có giá trị bằng − để đồng nhất với nghiệm hàm Green do nghiệm hàm Green có chứa hàm −훿. Phương trình hàm Green có dạng:
69. 61 2 2 3 (∇ + ) ( | 0, ) = −훿 ( − 0) (2.4.19) Nhân cho phương trình (2.4.18), nhân cho phương trình (2.4.19), trừ vế theo vế hai phương trình ta được: ∇2 − ∇2 = − + 훿3 (2.4.20) Giả sử nguồn được giới hạn trong một vùng không gian với thể tích hữu hạn V. Bên ngoài vùng V, hàm nguồn có giá trị là 0. Tích phân hai vế phương trình (2.4.20) trên toàn miền V: 3 ⇒ ( 0, ) = ∫ ( ) ( | 0, ) (2.4.21) 2 2 3 + ∫| ( | 0, )∇ ( , ) − ( , )∇ ( | 0, )] Định lý 2.4.1 (Green’s Second Identity) Cho và là hai hàm liên tục trên từng đoạn, 푆 là mặt khép kín bao quanh thể tích V. Cho các hàm , , đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của chúng đơn trị, liên tục trong miền mở chứa S. Khi đó ta có: ∂ ∂ ∫( ∇2 − ∇2 ) 3 = ∮ ( − ) 2 푆 휕푛̂ 휕푛̂ Áp dụng định lý 2.4.1 cho số hạng thứ hai bên vế phải của phương trình (2.4.21), nghiệm phương trình (2.4.18) cho trường sóng u tại điểm 0 có dạng: 3 2 ( 0, ) = ∫ + ∮( ∇ − ∇ )푛̂ 푆 Mặc dù định lý Green giúp nghiệm phương trình sóng trở nên đơn giản hơn do chuyển từ không gian ba chiều sang không gian hai chiều nhưng nghiệm u lại nằm hai bên phương trình mà không phải hoàn toàn một bên. Do đó, nếu ta biết tính chất của hàm u và ∇ trên mặt S, ta có thể tính toán hàm u tại điểm quan sát 0 bất kỳ. Từ đây, Dirichlet và Neumann đưa hai điều kiện biên như sau: điều kiện thứ nhất gọi là điều kiện biên đồng nhất Dirichlet, cho = 0 trên mặt S; điều kiện thứ hai gọi là điều kiện biên đồng nhất Neumann, cho ∇ = 0 trên mặt S. Khi nghiệm u thỏa mãn hai điều kiện này, ta có:
70. 62 ∮( ∇ − ∇ )푛̂ 2 = 0 푆 Khi đó: 3 ( 표, ) = ∫ ( ) ( | 0, ) Định lý 2.4.2 (Định lý thuận nghịch) Nếu 1 và 2 là hai điểm trong không gian thì ( 1| 2, ) = ( 2| 1, ) nghĩa là sự lan truyền sóng từ điểm 1 đến điểm 2 giống hệt với sự lan truyền sóng từ điểm 2 sang 1. 2.4.5. Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài toán phụ thuộc vào thời gian Ngoài việc tìm nghiệm của phương trình vật lý - toán, hàm Green còn là một công cụ để dự đoán tính chất của trường điện từ. Ta sẽ tiến hành xét các phương trình Maxwell – phương trình cơ bản của điện từ trường. Phương pháp hàm Green được sử dụng để giải các phương trình này, qua đó mô tả thuộc tính của một trường điện từ. Xét chuyển động của electron (và các hạt mang điện khác) trong trường điện ⃗ và trường từ ⃗ , các trường này liên hệ với nhau theo hệ phương trình Maxwell được cho bên dưới: div ⃗ = 4 휌 (2.4.22) 1 휕 ⃗ rot ⃗ = − (2.4.23) 휕푡 div ⃗ = 0 (2.4.24) 1 휕 ⃗ 4 rot ⃗ = + 푗 (2.4.25) 휕푡 trong đó: 휌 là mật độ điện tích trong điện trường, là tốc độ ánh sáng trong chân không, 푗 là mật độ dòng điện tích. Lấy rot hai vế phương trình (2.4.23), kết hợp với (2.4.25), ta được:
71. 63 1 ∂ 1 휕 1 휕 ⃗ 4 rot(rot ⃗ ) = − . rot ⃗ = − . ( + 푗 ) c 휕푡 휕푡 휕푡 Mặt khác theo tính chất toán tử : rot(rot ⃗ ) = ⃗grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (div ⃗ ) − ∇2 ⃗ ⇒ rot(rot ⃗ ) = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (4πρ) − ∇2 ⃗ 1 휕 1 휕 ⃗ 4 ⇒ ⃗grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (4 휌) − ∇2 ⃗ = − . ( + 푗 ) 휕푡 휕푡 1 휕2 ⃗ 4 휕푗 ⇔ ∇2 ⃗ − = 4 . grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (휌) + (2.4.26) 2 휕푡2 2 휕푡 Làm tương tự, lấy rot hai vế phương trình (2.4.25), kết hợp với (2.4.23), ta được: 1 휕 ⃗ 4 1 휕2 ⃗ 4 rot(rot ⃗ ) = + 푗 = − + rot 푗 휕푡 2 휕푡2 mà rot(rot ⃗ ) = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (div ⃗ ) − ∇2 ⃗ 1 휕2 ⃗ 4 ⇒ − + rot 푗 = grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (div ⃗ ) − ∇2 ⃗ 2 휕푡2 1 휕2 ⃗ 4 ⇒ ∇2 ⃗ − = − rot 푗 (2.4.27) 2 휕푡2 Phương trình (2.4.26) và (2.4.27) là các phương trình sóng không thuần nhất, liên hệ với nhau bởi trường 푗 . Với trường dừng: 휌 = 0 và 푗 = 0 thì ⃗ và ⃗ thỏa: 1 휕2 ∇2 − = 0 (2.4.28) 2 휕푡2 Ta thấy phương trình (2.4.28) có dạng phương trình sóng thuần nhất. Trong hệ tọa độ Descartes, một nghiệm của phương trình này có dạng: = 퐹( − 푡), = 0, = 0  Nghiệm tổng quát của phương trình Maxwell Phương pháp giải các phương trình Maxwell bao gồm các bước sau:
72. 64 Bước 1: Biểu diễn ⃗ và ⃗ theo thế vô hướng 푈 và thế vector . Bước 2: Biến đổi để thu được hai phương trình tách biến cho 푈 và . Bước 3: Giải hai phương trình trên sau đó tính toán để suy ra ⃗ và ⃗ . Đặt ⃗ = rot (2.4.29) Từ (2.4.23), suy ra: 1 휕 rot ⃗ = − rot A⃗⃗ 휕푡 1 휕 ⇔ rot ( ⃗ + ) = 0 휕푡 Đặt 1 휕 ⃗ + = −⃗grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U 휕푡 1 휕 ⇔ ⃗ = −grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U − (2.4.30) 휕푡 Thay (2.4.30) vào (2.4.22) ta được: 1 휕 div (grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푈 + ) = −4 휌 휕푡 hay 1 휕 ∇2푈 + div = −4 휌 (2.4.31) 휕푡 Thay (2.4.29) và (2.4.30) vào (2.4.25): 1 휕 1 휕 4 rot(rot A⃗⃗ ) + (⃗grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푈 + ) = 푗 휕푡 휕푡 1 휕2 1 휕푈 4 ⇒ ∇2 − − ⃗grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (div + ) = − 푗 (2.4.32) 2 휕푡2 휕푡 Để giải (2.4.31) và(2.4.32), ta thêm vào điều kiện sau, gọi là định cỡ Lorentz: 1 휕푈 div + = 0 휕푡
73. 65 Do đó (2.4.31) và (2.4.32) thành: 1 휕2푈 ∇2푈 − = −4 휌 2 휕푡2 1 휕2 4 푗 ∇2 − = − 2 휕푡2 Các phương trình trên đều chứa biến t, nghĩa là chúng phụ thuộc vào thời gian. Sau đây, ta xét phương pháp hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất phụ thuộc vào thời gian. Xét trường hợp hàm nguồn ( , 푡) sinh ra trường sóng U với U là nghiệm của phương trình: 1 휕2 (∇2 − ) 푈( , 푡) = − ( , 푡) (2.4.33) 2 휕푡2 Tương tự như với trường hợp hàm nguồn không phụ thuộc vào thời gian, để giải (2.4.33), ta tìm nghiệm hàm Green cho bởi phương trình: 2 2 1 휕 3 (∇ − ) ( | 0, 푡|푡0) = −훿 ( − 0)훿(푡 − 푡0) 2 휕푡2 (2.4.34) Phương pháp chung để tìm hàm ( | 0, 푡|푡0) là chuyển phương trình phụ thuộc vào thời gian (2.4.34) sang phương trình không phụ thuộc vào thời gian bằng phép biến đổi Fourier phức: 1 +∞ 푖휔(푡−푡0) ( | 0, 푡|푡0) = ∫ ( | 0, 휔)푒 휔 (2.4.35) 2 −∞ 1 +∞ 푖휔(푡−푡0) 훿(푡 − 푡0) = ∫ 푒 휔 (2.4.36) 2 −∞ Ta thay các phương trình này vào (2.4.34): 2 2 3 (∇ + ) ( | 0, ) = −훿 ( − 0) (2.4.37) Phương trình (2.4.37) có nghiệm là hàm Green trong không gian 3 chiều: 1 푖 | − 0| ( | 0, ) = 푒 4 | − 0|
74. 66 1 +∞ 1 푖 | − 0| 푖휔(푡−푡0) (2.4.35) ⇒ ( | 0, 푡|푡0) = ∫ 푒 . 푒 휔 2 −∞ 4 | − 0| 1 | − 0| = 훿 (푡 − 푡0 + ) 4 | − 0| Để tính hàm Green trong không gian 2 chiều, ta lấy tích phân của hàm Green trong không gian ba chiều theo biến z0 : | − 0| +∞ 훿 (푡 − 푡 + ) 0 (푠|푠0, 푡|푡0) = ∫ 0 −∞ 4 | − 0| Để tính hàm Green trong không gian 1 chiều, ta lấy tích phân của hàm Green trong không gian 3 chiều theo biến z0 và y0 : 1 +∞ 푖 푖 | − 0| 푖휔(푡−푡0) ( | 0, 푡|푡0) = ∫ 푒 . 푒 휔 2 −∞ 2 Bây giờ, ta đi tìm nghiệm tổng quát của phương trình Maxwell. Thay = 4 휌 trong phương trình (2.4.33), bằng cách sử dụng định lý thặng dư với điều kiện biên thuần 휕 nhất và điều kiện |푡=±∞ = 0, | = 0, ta tìm được hàm U: 휕푡 푡=±∞ +∞ +∞ 3 푈( 0, 푡0) = ∫ ∫ 휌( , 푡) ( | 0, 푡|푡0) 푡 −∞ −∞ +∞ +∞ ( ) 3 휌 , 푡 푅 = ∫ ∫ 푡 훿 [ + 푡 − 푡0] −∞ −∞ 푅 푅 +∞ 휌 ( , 푡0 − ) = ∫ 3 −∞ 푅 Trong đó 푅 = − 0 푅 Đặt 휏 = 푡 − 0 +∞ ( ) 휌 , 휏 3 ⇒ 푈( 0, 푡0) = ∫ −∞ 푅 Từ phương trình trên, ta nhận thấy rằng giá trị U tại điểm ( 0, 푡0) phụ thuộc vào 휌 푅 tại thời điểm 휏 = 푡 − . Khi 휌 hoặc 푗 thay đổi sẽ ảnh hưởng đến 푈 và sau khoảng thời 0
75. 67 푅 gian bằng , với là tốc độ ánh sáng trong chân không. Đây chính là nguyên tắc lan truyền sóng điện từ trong không gian. Tóm lại, phương pháp hàm Green không những cho ta biết nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng mà nó còn cho ta biết một số tính chất, ý nghĩa vật lý thông qua hàm Green. Tuy nhiên, để sử dụng phương pháp này, ta cần vận dụng khá nhiều kiến thức toán học: toán tử, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Fourier, Do vậy phương pháp này chưa được áp dụng rộng rãi cho sinh viên các trường đại học trong nước.
76. 68 Chương 3. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN 3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 3.1.1. Giải các bài toán truyền sóng Bài 3.1 Sử dụng phương pháp tách biến giải phương trình sóng: 휕2 1 휕2 = (0 ≤ ≤ 퐿, 푡 ≥ 0) (3.1.1) 휕 2 2 휕푡2 với điều kiện đầu: 2 ( , 0) = sin ( ) + sin ( ) { 퐿 퐿 , ∀ ∈ [0, 퐿] (3.1.2) 휕 ( , 0) = 0 휕푡 và điều kiện biên: (0, 푡) = 0 { , ∀푡 ≥ 0 (3.1.3) (퐿, 푡) = 0 Giải: Bài toán có dạng truyền sóng trên dây có chiều dài L, với trường hợp hai đầu cố định, do đó nghiệm tổng quát của bài toán được cho bởi: ∞ 푡 푡 ( , 푡) = ∑ ( cos + sin ) sin , ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 퐿 퐿 퐿 =1 Điều kiện đầu: 2 ( , 0) = sin ( ) + sin ( ) { 퐿 퐿 , ∀ ∈ [0, 퐿] 휕 ( , 0) = 0 휕푡
77. 69 ∞ 2 ∑ sin = sin ( ) + sin ( ) 퐿 퐿 퐿 =1 ⇒ ∞ ∑ sin = 0 퐿 퐿 { =1 1 = 1 = 1 ⇒ { 2 = 0 ( = 3,4,5, ) = 0 Vậy nghiệm phương trình (3.1.1): 푡 2 푡 2 ( , 푡) = cos sin + cos sin , ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 퐿 퐿 퐿 퐿 Bài 3.2 Tìm nghiệm phương trình: 휕2 휕2 = 2 , ∀ ∈ [0,2], ∀푡 ≥ 0 (3.1.4) 휕푡2 휕 2 Điều kiện biên: ′(0, 푡) = ′(2, 푡) = 0 (3.1.5) Điều kiện đầu: ,0 ≤ ≤ 1 ( , 0) = ( ) = { (2 − ), 1 ≤ ≤ 2 { (3.1.6) 휕 ( , 0) = 0 , ∀ ∈ [0,2] 휕푡 Giải Bài toán có dạng truyền sóng trên dây có chiều dài L=2, với trường hợp hai đầu thả tự do, do đó nghiệm tổng quát của bài toán được cho bởi:
78. 70 ∞ 푛 푡 푛 푡 푛 ( , 푡) = 0 + ∑ ( cos + sin ) cos , ∀ ∈ [0,2], ∀푡 ≥ 0 2 푛 2 푛 2 2 푛=1 Điều kiện đầu: ,0 ≤ ≤ 1 ( , 0) = ( ) = { (2 − ), 1 ≤ ≤ 2 { , ∀ ∈ [0,2] 휕 ( , 0) = 0 휕푡 ∞ 푛 0 + ∑ cos = ( ) 2 푛 2 푛=1 ⇒ ∞ 푛 푛 ∑ cos = 0 2 푛 2 { 푛=1 2 0 = ∫ ( ) 0 ⇒ 2 푛 푛 = ∫ ( ) cos 0 2 { 푛 = 0 1 2 0 = ∫ + ∫ (2 − ) = 0 1 ⇒ 1 푛 2 푛 8 푛 4 ( ) 푛 = ∫ cos + ∫ 2 − cos = 2 2 cos − 2 2 (cos 푛 + 1) 0 2 1 2 푛 2 푛 { 푛 = 0 Vậy nghiệm của phương trình (3.1.4) là: ∞ 8 푛 4 푛 푡 푛 ( , 푡) = + ∑ [ cos − (cos 푛 + 1)] cos cos , 2 푛2 2 2 푛2 2 2 2 푛=1 ∀ ∈ [0,2], ∀푡 ≥ 0 Bài 3.3 Giải phương trình truyền sóng:
79. 71 휕2 휕2 휕 2 = + 휇 , ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 > 0 (3.1.7) 휕 2 휕푡2 휕푡 Điều kiện biên: (0, 푡) = (퐿, 푡) = 0, ∀푡 > 0 (3.1.8) Điều kiện đầu: ( , 0) = sin 퐿 { 휕 , ∀ ∈ [0, 퐿] (3.1.9) ( , 0) = 0 휕푡 Giải Dùng phương pháp tách biến: ( , 푡) = ( ) (푡) Điều kiện biên (3.1.8) thành: (0) = (퐿) = 0, ∀푡 > 0 (3.1.10) Khi đó, (3.1.7) trở thành: ( ) ′′(푡) + 휇 ( ) ′(푡) = 2 ′′( ) (푡) ′′(푡) 휇 ′(푡) ′′( ) ⇔ + = = −휆 2 (푡) 2 (푡) ( ) ′′(푡) + 휇 ′(푡) + 2휆 (푡) = 0 ⇔ { ′′( ) + 휆 ( ) = 0 * Giải các phương trình: ′′(푡) + 휇 ′(푡) + 2휆 (푡) = 0 (3.1.11) ′′( ) + 휆 ( ) = 0 (3.1.12) Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = −√휆
80. 72 (3.1.12) ⇒ ( ) = 푒−훼 + 푒훼 (0) = 0 + = 0 Điều kiện biên (3.1.10): { (퐿) = 0 ⇒ { ⇒ = = 0 푒−훼퐿 + 푒훼퐿 = 0 ∀푡 > 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (3.1.12) ⇒ ( ) = + (0) = 0 = 0 Điều kiện biên (3.1.10): { (퐿) = 0 ⇒ { ⇒ = = 0 퐿 + = 0 ∀푡 > 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (3.1.12) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 (0) = 0 = 0 = 0 Điều kiện biên (3.1.10): { (퐿) = 0 ⇒ { ⇒ { 푛 sin 훼퐿 = 0 훼 = , 푛 = 1,2,3, ∀푡 > 0 퐿 푛 ⇒ ( ) = sin 퐿 푛 2 (3.1.11) ⇒ ′′(푡) + 휇 ′(푡) + ( ) (푡) = 0 퐿 Xét phương trình đặc trưng: 푛 2 2 + 휇 + ( ) = 0 퐿 푛 Đặt = ⇒ 2 + 휇 + 2 = 0 퐿 Nghiệm phương trình có dạng: (푡) = 푒 푡 thỏa phương trình bậc hai: 2 + 휇 + 2 = 0
81. 73 Xét ∆= 휇2 − 4 2 ∆> 0 1푡 2푡 (푡) = 1푒 + 2푒 −휇 + √휇2 − 4 2 1 = với 2 −휇 − √휇2 − 4 2 = { 2 2 ∞ 푛 ⇒ ( , 푡) = ∑ sin ( ) ( 푒 1푡 + 푒 2푡), ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 퐿 1 2 푛=1 Điều kiện đầu: ( , 0) = sin 퐿 [ ] { 휕 , ∀ ∈ 0, 퐿 ( , 0) = 0 휕푡 +∞ 푛 ∑ sin ( + ) = sin 퐿 1 2 퐿 푛=1 ⇒ +∞ 푛 ∑( + ) sin = 0 1 1 2 2 퐿 { 푛=1 Đồng nhất phương trình đầu của hệ phương trình trên, ta suy ra 푛 = 1: 4 2 2 휇 + √휇2 − 2 퐿2 1 = = 2 − 1 4 2 2 2√휇2 − + = 1 퐿2 ⇒ 1 2 ⇒ 1 1 + 2 2 = 0 4 2 2 −휇 + √휇2 − 1 퐿2 2 = − = 2 − 1 4 2 2 2√휇2 − { { 퐿2 Vậy nghiệm phương trình đã cho là:
82. 74 4 2 2 1 4 2 2 (−휇+√휇2− )푡 ( , 푡) = sin [(휇 + √휇2 − ) 푒 퐿2 퐿 4 2 2 퐿2 2√휇2 − 퐿2 4 2 2 4 2 2 (−휇−√휇2− )푡 + (−휇 + √휇2 − ) 푒 퐿2 ] , ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 퐿2 ∆= 0 휇푡 휇푡 − − ⇒ (푡) = 1푒 2 + 2 푒 2 ∞ 휇푡 휇푡 푛 − − ⇒ ( , 푡) = ∑ sin ( ) ( 푒 2 + 푡푒 2 ), ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 퐿 1 2 푛=1 Điều kiện đầu: ( , 0) = sin 퐿 { 휕 , ∀ ∈ [0, 퐿] ( , 0) = 0 휕푡 +∞ 푛 ∑ sin = sin 1 퐿 퐿 푛=1 ⇒ +∞ 휇 ∑ − + = 0 2 1 2 { 푛=1 Đồng nhất phương trình đầu trong hệ phương trình trên, ta suy ra 푛 = 1 1 = 1 ⇒ { 휇 휇 = 1 = 2 2 2 휇푡 휇푡 − 휇 − ⇒ ( , 푡) = sin (푒 2 + 푡푒 2 ) , ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 퐿 2 ∆< 0
83. 75 휇푡 2 2 2 2 − √4 − 휇 √4 − 휇 ⇒ (푡) = 푒 2 ( cos 푡 + sin 푡) 1 2 2 2 ∞ 휇푡 2 2 2 2 푛 − √4 − 휇 √4 − 휇 ⇒ ( , 푡) = ∑ sin ( ) 푒 2 ( cos 푡 + sin 푡) , ∀ 퐿 1 2 2 2 푛=1 ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 Từ điều kiện đầu: +∞ 푛 ∑ sin = sin 1 퐿 퐿 푛=1 ⇒ +∞ 2 2 휇 2√4 − 휇 푛 ∑ (− + ) sin = 0 2 1 2 퐿 {푛=1 Đồng nhất hai vế phương trình đầu trong hệ phương trình trên, ta suy ra 푛 = 1 1 = 1 휇 휇 ⇒ { 2 = = √4 2 − 휇2 4 2 2 √ − 휇2 퐿2 2 2 4 2 휇푡 √ 2 − 휇 푛 − 퐿 ⇒ ( , 푡) = sin 푒 2 cos 푡 2 ( 4 2 2 √ − 휇2 휇 퐿2 + sin 푡 , ∀ ∈ [0, 퐿], ∀푡 ≥ 0 4 2 2 2 √ − 휇2 퐿2 ) 3.1.2. Giải các bài toán truyền nhiệt Bài 3.4 Tìm nghiệm phương trình:
84. 76 휕2휃 1 휕휃 = , ∀ ∈ (0, ), ∀푡 > 0 (3.1.13) 휕 2 2 휕푡 với điều kiện biên: 휕휃 (0, 푡) = 휃( , 푡) = 0 ∀푡 > 0 (3.1.14) 휕 và điều kiện đầu: 휃( , 0) = 휃0, (0 0 (3.1.16) ( ) = 0 Phương trình (3.1.13) thành: ( ) ′(푡) = 2 ′′( ) (푡) ′′( ) ′(푡) ⇔ = = −휆 ( ) 2 (푡) ′′( ) + 휆 ( ) = 0 ⇔ { ′(푡) + 2휆 (푡) = 0 * Giải các phương trình: ′′( ) + 휆 ( ) = 0 (3.1.17) ′(푡) + 2휆 (푡) = 0 (3.1.18) Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = √−휆 (3.1.17) ⇒ ( ) = 푒−훼 + 푒훼 ⇒ ′( ) = − 훼푒훼 + 훼푒훼
85. 77 − 훼 + 훼 = 0 = = 0 Điều kiện biên (3.1.16) ⇒ { 푒−훼 + 푒훼 = 0 ⇔ { ∀푡 > 0 ∀푡 > 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (3.1.17) ⇒ ( ) = + ⇒ ′( ) = = 0 Điều kiện biên (3.1.16) ⇒ { + = 0 ⇔ = = 0 ∀푡 ≥ 0 ⇒ ( ) = 0 ⇒ 휃( , 푡) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (3.1.17) ⇒ ( ) = cos 훼 + sin 훼 ⇒ ′( ) = − 훼 sin 훼 + 훼 cos 훼 훼 = 0 = 0 Điều kiện biên (3.1.16) ⇒ { ⇒ {훼 = + 푛 , 푛 = 0,1,2, cos 훼 + sin 훼 = 0 2 ∀푡 > 0 ∀푡 > 0 = 0 ⇔ { (2푛 + 1) , ∀푡 > 0 , 푛 = 0,1,2, . . 훼 = 2 (2푛 + 1) ⇒ ( ) = cos 2 (2푛+1) 2 2 −[ ] 푡 (3.1.18) ⇒ (푡) = 푒− 휆푡 = 푒 2 (2푛+1) 2 (2푛 + 1) −[ ] 푡 ⇒ 휃 ( , 푡) = cos 푒 2 , (푛 = 0,1,2, )∀ ∈ (0, ), ∀푡 > 0 푛 푛 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.1.13): ∞ (2푛+1) 2 (2푛 + 1) −[ ] 푡 휃( , 푡) = ∑ cos 푒 2 , ∀ ∈ (0, ), ∀푡 > 0 푛 2 푛=0
86. 78 Từ điều kiện đầu: 휃( , 0) = 휃0, (0 0 (2푛 + 1) 2 푛=0 Bài 3.5 Tìm nghiệm phương trình: 휕 1 휕2 = + 1 (0 0) (3.1.19) 휕푡 4 휕 2 với điều kiện biên: 휕 (0, 푡) = 0 { 휕 , ∀푡 > 0 (3.1.20) (10, 푡) = 20 và điều kiện đầu: ( , 0) = 50, ∀ ∈ (0,10) (3.1.21) Giải Dùng phương pháp đổi biến: ( , 푡) = 푣( , 푡) + 20 Ta tính các đạo hàm riêng của 푣 theo và 푡, sau đó thay vào phương trình (3.1.19), ta được:
87. 79 휕푣 1 휕2푣 = + 1 (0 0) (3.1.22) 휕푡 4 휕 2 휕푣 (0, 푡) = 0 (3.1.20) thành: {휕 , ∀푡 > 0 푣(10, 푡) = 0 (3.1.21) thành: 푣( , 0) = 50 − 20 = 30 ∀ ∈ (0,10) Đặt: ∞ (2 + 1) 푣( , 푡) = ∑ (푡) cos (3.1.23) 20 =0 và đặt: ∞ (2 + 1) 1 = ∑ cos 20 =0 10 1 (2 + 1) 4(−1) ⇒ = ∫ cos = (3.1.24) 5 20 (2 + 1) 0 Từ (3.1.23) và (3.1.24), (3.1.22) trở thành: ∞ (2 + 1) 2 4(−1) (2 + 1) ∑ { ′(푡) + [ ] (푡) − } cos = 0 40 (2 + 1) 20 =0 (2 + 1) 2 4(−1) ⇔ ′(푡) + [ ] (푡) = (3.1.25) 40 (2 + 1) Xét phương trình thuần nhất: (2 + 1) 2 ′(푡) + [ ] (푡) = 0 (3.1.26) 40 (2 +1)2 2 − 2 푡 Nghiệm phương trình (3.1.26): = 푒 40
88. 80 Nghiệm riêng của phương trình (3.1.25): 푅 = thay vào (3.1.25): (2 + 1) 2 4(−1) [ ] = 40 (2 + 1) 6400(−1) ⇔ = (2 + 1)3 3 (2 +1)2 2 − 푡 6400(−1) ⇒ = 푒 402 + (2 + 1)3 3 Nghiệm tổng quát của (3.1.22): ∞ (2 +1)2 2 − 푡 6400(−1) (2 + 1) 푣( , 푡) = ∑ [ 푒 402 + ] cos = 0, (0 0) Điều kiện đầu: 푣( , 0) = 30 10 6400(−1) 2.30 (2 + 1) 120 ⇒ + = ∫ cos = (−1) (2 + 1)3 3 10 20 (2 + 1) 0 120 6400(−1) ⇒ = (−1) − (2 + 1) (2 + 1)3 3 +∞ (2 +1)2 2 120 6400(−1) − 푡 ⇒ 푣( , 푡) = ∑ {[ (−1) − ] 푒 402 (2 + 1) (2 + 1)3 3 =0 6400(−1) (2 + 1) + } cos , (0 0) (2 + 1)3 3 20 Vậy nghiệm phương trình (3.1.19) là:
89. 81 +∞ (2 +1)2 2 120 6400(−1) − 푡 ( , 푡) = 20 + ∑ {[ (−1) − ] 푒 402 (2 + 1) (2 + 1)3 3 =0 6400(−1) (2 + 1) + } cos (0 0) (2 + 1)3 3 20 3.1.3. Giải các bài toán Laplace Bài 3.6 Tìm nghiệm của phương trình: 휕2 휕2 + = 0, ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] (3.1.27) 휕 2 휕 2 Điều kiện biên: ( , 0) = ( , ) = 0 ∀ ∈ [0, ] (3.1.28) Điều kiện đầu: ( , ) = 0 , 0 < < 2 , ∀ ∈ [0, ] (3.1.29) (0, ) = ( ) = { − , < < { 2 Giải Bài toán có dạng phương trình Laplace trong không gian hai chiều với điều kiện biên ( , 0) = ( , ) = 0 ∀ ∈ [0, ], do đó nghiệm tổng quát của (3.1.27) có dạng: ∞ 푛 푛 (− ) ( ) 푛 ( , ) = ∑ ( 푒 + 푒 ) sin , ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] 푛 푛 푛=1 Từ điều kiện đầu (3.1.29):
90. 82 ( , ) = 0 , 0 < < 2 , ∀ ∈ [0, ] (0, ) = ( ) = { − , < < { 2 +∞ 푛 ∑( + ) sin = ( ) 푛 푛 푛=1 ⇒ +∞ 푛 ∑( 푒−푛 + 푒푛 ) sin = 0 푛 푛 {푛=1 2 2 푛 2 푛 + = ∫ sin + ∫ ( − ) sin 푛 푛 ⇒ { 0 2 −2푛 푛 = − 푛푒 4 푛 (1 − 푒−2푛 ) = sin ⇔ { 푛 푛2 2 2 −2푛 푛 = − 푛푒 4 푛 = sin 푛 푛2 2(1 − 푒−2푛 ) 2 ⇔ −4 푛 B = sin . 푒−2푛 { n 푛2 2(1 − 푒−2푛 ) 2 Vậy nghiệm của phương trình (3.1.27) là: ∞ 푛 푛 4 푛 − 푛 sin (푒 − 푒−2푛 . 푒 ) sin ( , ) = ∑ 푛2 2(1 − 푒−2푛 ) 2 푛=1 ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] Bài 3.7 Tìm nghiệm phương trình: 휕2 휕2 + 2 = 0 , ∀ ∈ (−∞, +∞), ∀ ∈ [0, 푙] (3.1.30) 휕 2 휕 2 với điều kiện biên:
91. 83 ( , 0) = 0 {휕 , ∀ ∈ (−∞, +∞) (3.1.31) ( , 푙) = 0 휕 và: → ∞ khi → ∞ { (0, ) = 2 Giải Dùng phương pháp tách biến: ( , ) = ( )푌( ) Khi đó điều kiện biên (3.1.31) thành: ( )푌(0) = 0 { ⇒ 푌(0) = 푌′(푙) = 0, ∀ ∈ (−∞, +∞) (3.1.32) ( )푌′(푙) = 0 (3.1.30) thành: ′′( )푌( ) + 2 ( )푌′′( ) = 0 ′′( ) 푌′′( ) ⇔ = = −휆 − 2 ( ) 푌( ) ′′( ) − 휆 2 ( ) = 0 ⇔ { 푌′′( ) + 휆푌( ) = 0 * Giải các phương trình: ′′( ) − 휆 2 ( ) = 0 (3.1.33) 푌′′( ) + 휆푌( ) = 0 (3.1.34) Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = √−휆 (3.1.34) ⇒ 푌( ) = 푒−훼 + 푒훼 ⇒ 푌′( ) = − 훼푒훼 + 훼푒훼 + = 0 Từ điều kiện biên (3.1.32) ⇒ { ⇔ = = 0 − 훼푒훼푙 + 훼푒훼푙 = 0
92. 84 ⇒ 푌( ) = 0 ⇒ ( , ) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (3.1.34) ⇒ 푌( ) = + ⇒ 푌′( ) = = 0 Từ điều kiện biên (3.1.32) ⇒ { = 0 ⇒ 푌( ) = 0 ⇒ ( , ) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (3.1.34) ⇒ 푌( ) = cos 훼 + sin 훼 ⇒ 푌′( ) = − 훼 sin 훼 + 훼 cos 훼 = 0 Từ điều kiện biên (3.1.32)⇒ { (2푛+1) 훼 = , (푛 = 1,2,3, ) 2푙 (2푛 + 1) ⇒ 푌( ) = sin , (푛 = 1,2,3, ) 2푙 −(2푛+1) (2푛+1) (3.1.33) ⇒ ( ) = 푒 2푙 + 푒 2푙 −(2푛+1) (2푛+1) (2푛 + 1) ⇒ ( , ) = [ 푒 2푙 + 푒 2푙 ] sin (푛 = 1,2,3, ) 푛 푛 푛 2푙 ∀ ∈ (−∞, +∞), ∀ ∈ [0, 푙] Nghiệm tổng quát của (3.1.30) ∞ −(2푛+1) (2푛+1) (2푛 + 1) ( , ) = ∑ [ 푒 2푙 + 푒 2푙 ] sin , ∀ 푛 푛 2푙 푛=1 ∈ (−∞, +∞), ∀ ∈ [0, 푙] Để → 0 ℎ푖 → ∞, ta chọn 푛 = 0 Mặt khác, theo đề bài: (0, ) = 2 ∞ (2푛 + 1) ⇒ ∑ sin = 2 푛 2푙 푛=1
93. 85 4 푙 (2푛 + 1) 16푙 (2푛 + 1) ⇒ 푛 = ∫ sin = 2 2 sin 푙 0 2푙 (2푛 + 1) 2 Vậy nghiệm của phương trình (3.1.30) là: ∞ 16푙 (2푛 + 1) −(2푛+1) (2푛 + 1) ( , ) = ∑ sin 푒 2푙 sin , ∀ (2푛 + 1)2 2 2 2푙 푛=1 ∈ (−∞, +∞), ∀ ∈ [0, 푙] Bài 3.8 Tìm nghiệm phương trình: 휕2∅ 휕2∅ 휕2∅ + + = 0, ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] (3.1.35) 휕 2 휕 2 휕 2 Với điều kiện: ∅(0, , ) = ∅( , , ) = 0, ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] { (3.1.36) ∅( , 0, ) = ∅( , , ) = 0, ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] Và: ∅( , , 0) = 0 { , ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] (3.1.37) ∅( , , ) = ( ) Giải Dùn phương pháp tách biến: ∅( , , ) = ( )푌( )푍( ) Khi đó điều kiện (3.1.36) thành: (0) = ( ) = 0, ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] { (3.1.38) 푌(0) = 푌( ) = 0, ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] (3.1.35) thành: ′′( )푌( )푍( ) + ( )푌′′( )푍( ) + ( )푌( )푍′′( ) = 0
94. 86 ′′( ) 푌′′( ) 푍′′( ) ⇔ + + = 0 ( ) 푌( ) 푍( ) ′′( ) 푌′′( ) 푍′′( ) ⇔ = − − = −휆 ( ) 푌( ) 푍( ) 1 ′′ ( ) + 휆1 ( ) = 0 ⇔ {푌′′( ) 푍′′( ) = 휆 − = −휆 푌( ) 1 푍( ) 2 ′′ ( ) + 휆1 ( ) = 0 ′′ ⇔ { 푌 ( ) + 휆2푌( ) = 0 ′′ 푍 ( ) − (휆1 + 휆2)푍( ) = 0 Giải các phương trình: ′′ ( ) + 휆1 ( ) = 0 (3.1.39) ′′ 푌 ( ) + 휆2푌( ) = 0 (3.1.40) ′′ 푍 ( ) − (휆1 + 휆2)푍( ) = 0 (3.1.41) Với các trường hợp: 휆1 ≤ 0 hoặc 휆2 ≤ 0, ta nhận được ∅( , , ) = 0 Với 휆1 > 0 và 휆2 > 0: ( ) = cos √휆 + sin √휆 Từ (3.1.39), (3.1.40) ⇒ { 1 1 ′ ′ 푌( ) = cos √휆2 + sin √휆2 (0) = 0 Từ (3.1.38), ta có:{ ( ) = 0 ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] = 0 = 0 ⇒ { ⇔ { 2 ⇒ ( ) = sin ( = 1,2,3. . ) sin √휆1 = 0 휆 = ( ) 1 푛 Tương tự cho 푌( ), ta được: 푌( ) = ′ sin (푛 = 1,2,3. . ) Từ (3.1.41) ⇒ 푍( ) = 푒−√휆1+휆2 + 푒√휆1+휆2
95. 87 2 푛 2 2 푛 2 −√( ) +( ) √( ) +( ) ⇒푍( ) = 푒 + 푒 2 푛 2 2 푛 2 −√( ) +( ) √( ) +( ) 푛 ⇒ ( , , ) = [ 푒 + 푒 ] sin sin 푛, 푛, 푛, ( = 1,2,3, . . ; 푛 = 1,2,3, ) ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1.35) là: +∞ +∞ 2 푛 2 2 푛 2 −√( ) +( ) √( ) +( ) 푛 ( , , ) = ∑ ∑ [ 푒 + 푒 ] sin sin 푛, 푛, 푛=1 =1 ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] Từ điều kiện (3.1.37): ∅( , , 0) = 0 { , ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] ∅( , , ) = ( ) +∞ +∞ 푛 ∑ ∑( + ) sin sin = 0 푛, 푛, 푛=1 =1 ⇒ +∞ +∞ 2 푛 2 2 푛 2 −√( ) +( ) √( ) +( ) 푛 ∑ ∑ [ 푒 + 푒 ] sin sin = ( ) 푛, 푛, {푛=1 =1 푛, = − 푛, 2 푛 2 2 푛 2 ⇒ { −√( ) +( ) √( ) +( ) 2 2 푛 푛, (푒 − 푒 ) = ∫ ∫ ( ) sin sin 0 0 푛, = − 푛, ⇒ { 2 푛 2 4 푛 √ 2 푛, sinh ( ) + ( ) = ∫ sin ∫ ( ) sin 0 0 = − 푛, 푛, 2 (−1)푛 ⇒ = ∫ ( ) sin 푛, 2 푛 2 0 푛 sinh √( ) + ( ) { Vậy nghiệm của phương trình (3.1.35):
96. 88 ( , , ) +∞ +∞ 푛 2 푛 2 2 (−1) −√( ) +( ) = ∑ ∑ ∫ ( ) sin [푒 2 푛 2 0 푛=1 =1 푛 sinh √( ) + ( ) 2 푛 2 √( ) +( ) 푛 − 푒 ] sin sin , ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ], ∀ ∈ [0, ] 3.1.4. Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác Bài 3.9 Tìm nghiệm phương trình: 휕2푣 1 휕푣 1 휕2푣 + + = 0 ∀ ∈ [0,1], ∀휃 ∈ [0, ] (3.1.42) 휕 2 휕 2 휕휃2 2 với điều kiện: 푣( , 0) = 0 {휕푣 ∀ ∈ [0,1] (3.1.43) ( , ) = 0 휕휃 2 và: 푣(1, 휃) = 2휃, ∀ 휃 ∈ [0, ] (3.1.44) 2 Giải Dùng phương pháp tách biến: ( , 휃) = 푅( )휑(휃) Điều kiện (3.1.43) thành:
97. 89 휑(0) = 0 { , ∀ ∀ ∈ [0,1] (3.1.45) 휑′ ( ) = 0 2 Khi đó (3.1.42) thành: 1 1 푅′′( )휑(휃) + 푅′( )휑(휃) + 푅( )휑′′(휃) = 0 2 푅′′( ) 1 푅′( ) 1 휑′′(휃) ⇔ + + = 0 푅( ) 푅( ) 2 휑(휃) 2푅′′( ) + 푅′( ) 휑′′(휃) ⇔ = = −휆 −푅( ) 휑(휃) 휑′′(휃) + 휆휑(휃) = 0 ⇔ { 2푅′′( ) + 푅′( ) − 휆푅( ) = 0 * Giải các phương trình: 휑′′(휃) + 휆휑(휃) = 0 (3.1.46) 2푅′′( ) + 푅′( ) − 휆푅( ) = 0 (3.1.47) Trường hợp 1: 휆 < 0, đặt 훼 = √−휆 (3.1.46) ⇒ 휑(휃) = 푒−훼휃 + 푒훼휃 ⇒ 휑′(휃) = − 훼푒훼휃 + 훼푒훼휃 휑(0) = 0 + = 0 ′ 훼 훼 Từ điều kiện (3.1.45) : {휑 ( ) = 0 ⇔ { 2 2 ⇔ = = 0 2 − 훼푒 + 훼푒 = 0 ∀ ∈ [0,1] ∀ ∈ [0,1] ⇒ 휑(휃) = 0 ⇒ ( , 휃) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 2: 휆 = 0 (3.1.46) ⇒ 휑(휃) = 휃 + ⇒ 휑′(휃) =
98. 90 휑(0) = 0 = 0 Từ điều kiện (3.1.45) : {휑′ ( ) = 0 ⇔ { = 0 ⇔ = = 0 2 [ ] ∀ ∈ [0,1] ∀ ∈ 0,1 ⇒ 휑(휃) = 0 ⇒ ( , 휃) = 0 (nghiệm tầm thường) Trường hợp 3: 휆 > 0, đặt 훼 = √휆 (3.1.46) ⇒ 휑(휃) = cos 훼휃 + sin 훼휃 ⇒ 휑′(휃) = − 훼 sin 훼 휃 + 훼 cos 훼휃 휑(0) = 0 = 0 훼 Từ điều kiện (3.1.45) : {휑′ ( ) = 0 ⇔ { 훼 cos = 0 2 2 ∀ ∈ [0,1] ∀ ∈ [0,1] = 0 ⇒ {훼 = 2푛 + 1, (푛 = 1,2,3, ) ∀ ∈ [0,1] ⇒ 휑(휃) = sin(2푛 + 1)휃 , (푛 = 1,2,3, ) Từ (3.1.47) ⇒ 2푅′′( ) + 푅′( ) − 휆푅( ) = 0 Đặt 푅( ) = 휇 ⇒ 2휇(휇 − 1) 휇−2 + 휇 휇−1 − (2푛 + 1)2 휇 = 0 ⇔ 휇 = ±(2푛 + 1) ⇒ 푅( ) = 2푛+1 + −(2푛+1) Chọn = 0 để 푅( ) có giá trị xác định khi = 0 ⇒ 푅( ) = 2푛+1 ⇒ 푣 ( , 휃) = sin[(2푛 + 1)휃] 2푛+1∀ ∈ [0,1], ∀휃 ∈ [0, ] 푛 푛 2 Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1.42):
99. 91 +∞ 푣( , 휃) = ∑ sin[(2푛 + 1)휃] 2푛+1∀ ∈ [0,1], ∀휃 ∈ [0, ] 푛 2 푛=1 Từ điều kiện (3.1.44): 푣(1, 휃) = 2휃, ∀휃 ∈ [0, ] 2 ⇒ 푛 sin[(2푛 + 1)휃] = 2휃 (2푛 + 1) 8 sin [ ] 2 2 2 ⇒ = ∫ 2θ sin[(2푛 + 1)휃] 휃 = 푛 (2푛 + 1)2 2 0 Vậy nghiệm của phương trình (3.1.42): (2푛 + 1) +∞ 8 sin [ ] 2 푣( , 휃) = ∑ sin[(2푛 + 1)휃] 2푛+1∀ ∈ [0,1], ∀휃 ∈ [0, ] (2푛 + 1)2 2 푛=1 Bài 3.10 Cho ( ) = 1 (0 < < ) với: +∞ 2 퐽 (휆 ) ( ) = ∑ 0 푛 휆푛퐽1(휆푛 ) 푛=1 trong đó 휆푛 là nghiệm của phương trình 퐽0(휆 ) = 0 chứng minh rằng nghiệm phương trình: 1 휕 휕2 1 휕 + = , (0 ≤ ≤ , 푡 ≥ 0) (3.1.48) 휕 휕 2 휕푡 với điều kiện:
100. 92 ( , 0) = , ∀ ∈ [0, ] { 0 (3.1.49) ( , 푡) = 0, ∀푡 ≥ 0 có dạng: ∞ ( ) 2 0 퐽0 휆푛 − 휆2푡 ( , 푡) = ∑ 푒푛 휆푛퐽1(휆푛 ) 푛=1 Giải Dùng phương pháp tách biến: ( , 푡) = 푅( ) (푡) (3.1.48) thành: 1 1 푅′( ) (푡) + 푅′′( ) (푡) = 푅( ) ′(푡) = −푠2 ′(푡) + 푠2 (푡) = 0 ⇒ { 1 푅′′( ) + 푅′( ) + 푠2푅( ) = 0 * Giải các phương trình: ′(푡) + 푠2 (푡) = 0 (3.1.50) 1 푅′′( ) + 푅′( ) + 푠2푅( ) = 0 (3.1.51) 2 Từ (3.1.50) ⇒ (푡) = 푒− 푠 푡 Phương trình (3.1.51) có dạng phương trình Bessel bậc 0, do đó nghiệm của nó có dạng: 푅(푠 ) = 퐽0(푠 ) + 푌0(푠 ) Chọn = 0 để 푌 tại r=0 có giá trị xác định. ⇒ 푅 = 퐽0(푠 ) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.1.48):
101. 93 − 푠2푡 ( , 푡) = ∑ 푠퐽0(푠 ) 푒 푠 Từ điều kiện: 푅( ) = 0 ⇒ 퐽0( 푠) = 0 Mà: 퐽0(휆푛 ) = 0 ⇒ 푠 = 휆 ⇒ 푠 = 휆 ∞ − 푠2푡 ⇒ ( , 푡) = ∑ 푛퐽0(휆푛 )푒 푛=1 Điều kiện đầu: ( , 0) = 휏0 ∞ ⇒ ∑ 푛퐽0(휆푛 ) = 휏0 (3.1.52) 푛=1 Theo đề bài: ∞ 2 퐽 (휆 ) ( ) = ∑ 0 푛 = 1 (3.1.53) 휆푛퐽1(휆푛 ) 푛=1 ∞ ∞ 2 퐽0(휆푛 ) Từ (3.1.52) và (3.1.53) ⇒ ∑ 푛퐽0(휆푛 ) = 휏0. ∑ 휆푛퐽1(휆푛 ) 푛=1 푛=1 2휏0 1 ⇒ 푛 = . 휆푛퐽1(휆푛 ) Vậy nghiệm phương trình (3.1.48) là: ∞ 2휏 퐽 (휆 ) 2 ( , 푡) = 0 ∑ 0 푛 푒− 푠 푡 휆푛퐽1(휆푛 ) 푛=1 Bài 3.11
102. 94 Tìm nghiệm của phương trình: 1 휕 휕 1 휕2 1 휕 휕 ( 2 ) + + (sin 휃 ) = 0 (3.1.54) 2 휕 휕 2 sin2 휃 휕휙2 2푠푖푛휃 휕휃 휕휃 với điều kiện biên: , 0 ≤ 휃 ≤ 1 2 ( , 휃) = { (với u1,u2 là các hằng số) (3.1.55) , ≤ 휃 ≤ 2 2 Biết nghiệm nằm bên ngoài hình cầu bán kính a và không phụ thuộc vào 휙. Giải 휕2 Do u không phụ thuộc vào 휙 ⇒ = 0 휕휙2 Từ (3.1.54): 휕 휕 1 휕 휕 ⇒ ( 2 ) + (sin 휃 ) = 0 (3.1.56) 휕 휕 푠푖푛휃 휕휃 휕휃 Dùng phương pháp tách biến: ( , 휃) = 푅( )휑(휃) (3.1.56) thành: 1 푅 1 휑 ( 2 ) + (sin 휃 ) = 0 푅 휃 sin 휃 휃 휃 1 푅 1 휑 ⇔ ( 2 ) = − (sin 휃 ) = 휆 푅 휃 sin 휃 휃 휃
103. 95 1 푅 ( 2 ) = 휆 ⇒ { 푅 1 휑 휆 + (sin 휃 ) = 0 휃 sin 휃 휃 휃 * Giải các phương trình: 1 푅 ( 2 ) = 휆 (3.1.57) 푅 1 휑 휆 + (sin 휃 ) = 0 (3.1.58) 휃 sin 휃 휃 휃 Đặt: 휆 = 푠(푠 + 1) { = − sin 휃 (3.1.59) cos 휃 = 휔 (−1 ≤ 휔 ≤ 1) ⇒ { 휃 휔 sin2 휃 = 1 − 휔2 Thế (3.1.59) vào (3.1.58), ta được: 휑 푠(푠 + 1) − [−(1 − 휔2) ] = 0 휔 휔 2휑 휑 ⇔ (1 − 휔2) − 2휔 + 푠(푠 + 1)휑 = 0 (3.1.60) 휔2 휔 Phương trình (3.1.60) có dạng phương trình Legendre, với 푠 = 푛, nghiệm của phương trình Lagendre là đa thức Lagendre có dạng: 휑(휃) = 푃푛(cos 휃) Vì 휆 = 푠(푠 + 1) ⇒ 휆 = 푛(푛 + 1), 푛 = 0,1,2, Do đó (3.1.57) trở thành:
104. 96 2푅′′( ) + 2 푅′( ) − 푛(푛 + 1)푅( ) = 0 (3.1.61) Đặt 푅( ) = 휇 (3.1.61) ⇒ 2휇(휇 − 1) 휇−2 + 2 휇 휇−1 − 푛(푛 + 1) 휇 = 0 ⇔ 휇(휇 − 1) 휇 + 2휇 휇 − 푛(푛 + 1) 휇 = 0 ⇔ 휇2 + 휇 = 푛2 + 푛 ⇔ (휇 − 푛)(휇 + 푛 + 1) = 0 휇 = 푛 ⇔ [휇 = −푛 − 1 ⇒ 푅( ) = 푛 + 푛+1 Do nghiệm phương trình nằm bên ngoài miền tròn bán kính a, nên ta chọn = 0. ⇒ 푅( ) = 푛+1 ⇒ ( , 휃) = 푛 푃 (cos 휃) 푛 푛+1 푛 Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1.54): +∞ ( , 휃) = ∑ 푛 푃 (cos 휃) , ∀ ∈ [0, ], ∀휃 ∈ [0, ] 푛+1 푛 푛=0 Điều kiện đầu: ( , 휃) = (휃) +∞ ⇒ ∑ 푛 푃 (cos 휃) = (휃) 푛+1 푛 푛=0 +∞ ⇒ ∑ 푛 푃 (휔) = ∗(휔) 푛+1 푛 푛=0
105. 97 1 2푛 + 1 ⇒ 푛 = ∫ ∗(휔)푃 (휔) 휔 푛+1 2 푛 −1 0 1 2푛 + 1 2푛 + 1 ⇒ = 푛+1 ( ∫ 푃 (휔) 휔 + ∫ 푃 (휔) 휔) 푛 2 2 푛 2 1 푛 −1 0 Với 푛 = 0: 0 1 = ∫ 1 휔 + ∫ 휔 = ( + ) 0 2 2 2 1 2 1 2 −1 0 Với 푛 = 1: 0 1 3 3 3 = 2 ∫ 휔 휔 + 2 ∫ 휔 휔 = 2( − ) 1 2 2 2 1 4 1 2 −1 0 Với 푛 = 2: 0 1 5 3휔2 − 1 5 3휔2 − 1 = 3 ∫ 휔 + 3 ∫ 휔 = 0 2 2 2 2 2 1 2 −1 0 Với 푛 = 3: 0 1 7 1 7 1 7 = 4 ∫ (5휔3 − 3휔) 휔 + 4 ∫ (5휔3 − 3휔) 휔 = 4( − ) 3 2 2 2 2 2 1 16 2 1 −1 0 Tương tự cho 푛 = 4,5,6, Vậy nghiệm của phương trình (3.1.54) là:
106. 98 3 2 7 4 ( , 휃) = ( + ) + ( − ) ( ) 푃 (cos 휃) + ( − )푃 (cos 휃) ( ) 2 1 2 4 1 2 1 16 2 1 3 + ⋯ . . , ∀ ∈ [0, ], ∀휃 ∈ [0, ] 3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT Bài 3.12 Tìm nghiệm của phương trình sóng: 휕2 휕2 = 4 (−∞ 0) (3.2.1) 휕 2 휕푡2 Với điều kiện đầu: 2 ( , 0) = 푒− {휕 2, (−∞ < < +∞) (3.2.2) ( , 0) = 푒− 휕푡 Biểu diễn hàm = ( , 푡) với 푡 = 0,2,4 trên cùng một đồ thị. Giải Bài toán có dạng truyền sóng trên dây dài vô hạn, do đó nghiệm tổng quát của phương trình có dạng: ( , 푡) = ( + 푡) + ( − 푡) 1 Theo đề bài, = , ta suy ra: 2 1 1 ( , 푡) = ( + 푡) + ( − 푡) 2 2 Điều kiện đầu (3.2.2): 2 ( , 0) = 푒− {휕 2, (−∞ < < +∞) ( , 0) = 푒− 휕푡
107. 99 2 ( ) + ( ) = 푒− ⇒ {1 2 [ ′( ) − ′( )] = . 푒− 2 2 ( ) + ( ) = 푒− ⇒ 1 2 ∫[ ′( ) − ′( )] = ∫ . 푒− 2 { 0 0 2 ( ) + ( ) = 푒− ⇔ { 2 ( ) − ( ) − (0) + (0) = −푒− 2 ( ) + ( ) = 푒− ⇔ { 2 ( ) − ( ) = −푒− + ( ) = ⇒ { 2 2 ( ) = 푒− − 2 1 ( + 푡) = 2 2 ⇒ { 1 2 1 −( − 푡) ( − 푡) = 푒 2 − 2 2 Vậy nghiệm của phương trình (3.2.1) là: 1 2 −( − 푡) ( , 푡) = 푒 2 , (−∞ 0)  Vẽ đồ thị: 2 Với 푡 = 0 ⇒ ( , 0) = 푒− , ∀ ∈ (−∞, +∞) 2 Với 푡 = 2 ⇒ ( , 2) = 푒−( −1) , ∀ ∈ (−∞, +∞) 2 Với 푡 = 4 ⇒ ( , 4) = 푒−( −2) , ∀ ∈ (−∞, +∞)
108. 100 2 2 2 −( −1) −( −2) = 푒− = 푒 = 푒 Hình 2.1. Đồ thị hàm số y u x t ( , ) Bài 3.13 Giải phương trình: 휕2 휕2 = (0 < < +∞, 푡 ≥ 0) (3.2.3) 휕 2 휕푡2 với điều kiện đầu: ( , 0) = 0 {휕 , (0 < < +∞) (3.2.4) ( , 0) = sin 휕푡 và (0, 푡) = 0 (푡 ≥ 0) (3.2.5) Giải Từ điều kiện đầu, đặt: 휙1( ) = ( , 0) = 0 { 휕 (3.2.6) 푞 ( ) = ( , 0) = sin 1 휕푡 Kéo dài dây nửa vô hạn thành dây vô hạn thỏa điều kiện:
109. 101 휙( ) = 휙 ( ) { 1 ( ≥ 0) (3.2.7) 푞( ) = 푞1( ) Nghiệm phương trình (3.2.3) theo công thức d’Alembert: +푡 1 1 ( , 푡) = [휙( − 푡) + 휙( + 푡)] + ∫ 푞( ) 2 2 −푡 +푡 1 Từ điều kiện đầu (3.2.4) ⇒ 휙( ) = 0 ⇒ ( , 푡) = ∫ 푞( ) 2 −푡 sin , > 0 Ta có: 푞( ) = { − sin(− ) , 0, ∀푡 ≥ 0 2 3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Bài 3.14 Chứng minh phương trình Laplace trong không gian hai chiều: 휕2 휕2 + = 0 , ∀ ∈ (−∞, +∞), ∀ ∈ [0, ] (3.3.1) 휕 2 휕 2 với điều kiện: ( , 0) = ( ) { , ∀ ∈ (−∞, +∞) (3.3.2) ( , ) = 0
110. 102 có nghiệm là: 1 ∞ +∞ sinh[휆( − )] ( , ) = ∫ [∫ (휉) cos 휆 . (휉 − ) 휉] 휆 0 −∞ sinh(휆 ) Giải Dùng phương pháp tách biến: ( , ) = ( )푌( ) (3.3.1) ⇒ ′′( )푌( ) = − ( )푌′′( ) ′′( ) 푌′′( ) ⇒ = = − ( ) 푌( ) Nghiệm phương trình có giá trị hữu hạn khi → ∞, do đó chọn = 휆2 ′′( ) + 휆2 ( ) = 0 ⇒ { 푌′′( ) − 휆2푌( ) = 0 * Giải các phương trình: ′′( ) + 휆2 ( ) = 0 (3.3.3) 푌′′( ) − 휆2푌( ) = 0 (3.3.4) (3.3.3) ⇒ ( ) = cos 휆 + sin 휆 (3.3.4) ⇒ 푌( ) = 푒휆 + 푒−휆 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.3.1) là: 휆 −휆 ( , ) = ∑( 휆 cos 휆 + 휆 sin 휆 ) ( 휆푒 + 휆푒 ) (3.3.5) 휆 Với 휆 liên tục, tổng (3.3.5) trở thành tích phân: +∞ 휆 −휆 ( , ) = ∫ ( 휆 cos 휆 + 휆 sin 휆 )( 휆푒 + 휆푒 ) 휆 0 Từ điều kiện:
111. 103 ( , ) = 0, ∀ ∈ (−∞, +∞) 휆 −휆 ⇒ ∑( 휆 cos 휆 + 휆 sin 휆 ) ( 휆푒 + 휆푒 ) = 0 휆 휆 −휆 ⇒ 휆푒 = − 휆푒 (3.3.6) Ta có: 푒휆 . 푒휆 + 푒휆 . 푒−휆 푒휆 + 푒−휆 = 휆 휆 휆 휆 푒휆 − 푒−휆 . 푒휆 + 푒휆 . 푒−휆 = 휆 휆 푒휆 sinh 휆( − ) = 2 휆 푒휆 +∞ 2 ( ) 휆 ( ) ⇒ , = ∫ 휆 휆 cos 휆 + 휆 sin 휆 sinh 휆( − ) 휆 0 푒 +∞ 2 ( ) ( ) 휆 ( ) , 0 = = ∫ 휆 휆 cos 휆 + 휆 sin 휆 sinh 휆 휆 0 푒 2 sinh 휆 1 +∞ 휆 = ∫ ( ) cos 휆 휆 휆 푒 −∞ Mà +∞ 2 휆 sinh 휆 1 휆 휆 = ∫ ( ) sin 휆 { 푒 −∞ ⇒ 휆 cos 휆 + 휆 sin 휆 푒휆 +∞ = ∫ [ ( ) cos 휆 . cos 휆 + ( ) sin 휆 . sin 휆 ] 2 휆 sinh 휆 −∞ 푒휆 +∞ = ∫ cos 휆( − ) ( ) 2 휆 sinh 휆 −∞ Vậy nghiệm của phương trình (3.3.1) là: +∞ +∞ 1 ( , ) = ∫ ∫ cos 휆( − ) ( ). sinh 휆( − ) 휆 0 −∞ sinh 휆
112. 104 1 +∞ +∞ sinh 휆( − ) = ∫ [∫ ( ). cos 휆( − ) ] 휆 0 −∞ sinh 휆 Bài 3.15 Bằng phương pháp biến đổi Fourier Cos, giải phương trình sau: 휕2 1 휕 = , ∀ ∈ (0, +∞), ∀푡 > 0 (3.3.7) 휕 2 휕푡 với điều kiện: ( , 0) = 0, ∀ ∈ (0, +∞) {휕 (3.3.8) | = −푣 (với v là const) 휕 =0 Giải Dùng phép biến đổi Fourier Cos cho hai vế phương trình (3.3.7), ta được: 휕2 1 휕 ℱ ( ) = ℱ ( ) (3.3.9) 휕 2 휕푡 Ta tính từng số hạng trong (3.3.9): +∞ +∞ 휕 휕 +∞ ℱ ( ) = ∫ cos = cos |0 + ∫ ( , 푡) sin 휕 0 휕 0 = 풰푠( , 푡) − (0, 푡) 휕2 휕 휕 휕 ( ) 2 ( ) ℱ ( 2) = ℱ푠 ( ) − 0, 푡 = − 풰 , 푡 − | (3.3.10) 휕 휕 휕 휕 =0 +∞ 휕 휕 풰 ℱ ( ) = ∫ cos = (3.3.11) 휕푡 0 휕푡 푡 Thế (3.3.10) và (3.3.11) vào (3.3.9), ta được:
113. 105 2 휕 1 풰 − 풰 ( , 푡) − | = . 휕 =0 푡 휕 Mà | = −푣 휕 =0 풰 ⇒ + 2풰 = 푣 (3.3.12) 푡 Nghiệm tổng quát của phương trình (3.3.12) có dạng: +∞ − 2푡 2푡 풰 = 푒 (∫ 푣 푒 . 푡 + ) 0 푣 2 ⇒ 풰 = + . 푒− 푡 (3.3.13) 2 Với 푡 = 0, từ (3.3.8) và (3.3.13): 푣 +∞ ( ) ( ) ⇒ 2 + = 풰 , 0 = ∫ , 0 cos = 0 0 푣 ⇒ = − 2 푣 2 ⇒ 풰 = (1 − 푒− 푡) 2 Dùng phương pháp biến đổi Fourier ngược, ta tìm được nghiệm phương trình (3.3.7): 2 +∞ 2푣 +∞ 1 ( ) − 2푡 , 푡 = ∫ 풰 cos = ∫ 2 (1 − 푒 ) cos 0 0 +∞ +∞ 2푣 cos 2푣 − 2푡 cos = ∫ 2 − ∫ 푒 . 2 0 0 2 2푣 +∞ 1 − 푒− 푡 ⇒ ( , 푡) = ∫ 2 cos 0 Bài 3.16