Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin

Nội dung text: Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HÀ THỊ LY TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HÀ THỊ LY TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2017
3. LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô đã giảng dạy em trong suốt bốn năm qua, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên nghành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán cùng toàn thể các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như công việc sau này. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để em hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu xót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên HÀ THỊ LY
4. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Văn Thụ. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Trong khi nghiên cứu tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên HÀ THỊ LY
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 4 1.1. Hệ hạt đồng nhất 4 1.2. Thống kê Bose - Einstein 5 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein 14 1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein 17 1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 17 1.4.2. Loại ánh sáng đột phá về vật lý 19 1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion 21 1.4.4. Chất siêu dẫn mới 24 CHƯƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 26 2.1. Phương trình Gross – Pitaevskii 26 2.1.1. Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian 26 2.1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 27 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 30 2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin 32
6. KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Albert Einstein là nhà vật lý lý thuyết người Đức, người đã phát triển thuyết tương đối tổng quát một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại. Mặc dù ông được biết đến nhiều nhất qua phương trình về sự tương đương giữa năng lượng - khối lượng E = mc2 nhưng ông lại được trao giải Noben vật lý năm 1921 cho những cống hiến của ông đối với vật lý lý thuyết, và đặc biệt cho sự khám phá ra định luật của hiệu ứng quang điện. Khi bước vào sự nghiệp của mình Einstein đã nhận ra được cơ học Newton không còn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trường điện từ. Từ đó ông đã phát triển thuyết tương đối đặc biệt, mở rộng nguyên lí tương đối cho cả trường hấp dẫn. Ông tiếp tục nghiên cứu các bài toán của cơ học thống kê và lý thuyết nguyên tử, trong đó đưa ra những giải thích về lý thuyết và sự chuyển động của các hạt. Ý tưởng về BEC (Bose - Einstein condesation) bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết người Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ của vật đen khi coi photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các hạt nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác là một siêu nguyên tử- tức là BEC. Mãi đến năm 1980 khi kỹ thuật laser đã đủ phát triển để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới được thực hiện. 1
8. Năm 1995 trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới tại phòng thí nghiệm JILA (Đại học Colorado cùng Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc Gia NTST) từ những nguyên tử lạnh được làm siêu lạnh trong một bẫy từ sử dụng laser. Điểu này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạng thái ở năng lượng thấp nhất, mở ra nhiều triển vọng trong nghiên cứu vật lý. Những nghiên cứu này đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý trên thế giới. Chính vì lý do này mà em chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các trạng thái cơ bản của của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các phương trình Gross- Pitaevskii. Nghiên cứu các trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các trạng thái cơ bản trong ngưng tụ Bose Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin trên cơ sở thống kê Bose- Einstein, phương trình Gross- Pitaevskii. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu có liên quan. 2
9. Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các phương pháp giải tích toán học. Sử dụng gần đúng parabol kép. Giải phương trình và về hình bằng phần mềm Mathematica. Phương pháp đàm thoại trao đổi với giáo viên. 3
10. CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất Xét một hệ N hạt chuyển động phi tương đối tính. Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng N 2 ˆpˆi ˆ ˆ H  V r12, r , , rN W, (1.1) i 1 2mi trong đó Vˆ là toán tử thế năng tương tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ của tất cả các hạt, là toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài, là toán tử xung lượng, m là khối lượng của hạt. Hàm sóng của phương trình Schrodinger  ˆ i H 1,2, , N , t 0, (1.2) t với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1, 2, 3, , N . Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin, không phân biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. Nhưng biện pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử. Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa. Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ 4
11. học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: “Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau”[1]. Dựa vào tính chất nội tại của các hạt người ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là: + Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermi, đó là các hạt có spin bán 13 nguyên ( , , ); ví dụ như electron, các nucleon, Hệ này bị chi phối bởi 22 nguyên lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ được tìm thấy ở tại cùng một trạng thái lượng tử”. Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng trên các fermion. + Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ như photon, - meson, K – meson Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một trạng thái lượng tử. Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên người ta đã áp dụng thống kê Bose – Einstein tìm được tính chất điển hình của boson là ngưng tụ Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò như nhau như một hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm được. 1.2. Thống kê Bose - Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2], 1  Ek Wkk exp g , (1.3) N!  trong đó gk là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có 5
12. Enk  l l , (1.4) l 0 ở đây, l là năng lượng (trị riêng của toán tử Haminton) của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng l (số hạt nằm trên cùng mức năng lượng . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk trong (1.3) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek , đó chính là số các hoán vị (về phương diện tọa độ) của hạt tương ứng với các trạng thái mới (về phương diện vật lí). Vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng 1  W n01 , n , exp    N  nl l g k , (1.5) N! l 0 trong đó Nn  l ,  là thế nhiệt động chính tắc lớn,  là thế hóa. l 0 1 Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính N ! đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. Kí hiệu (1.6) khi đó (1.5) được viết lại như sau    nll  l 0 W n0 , n 1 , exp  G n 0 , n 1 , . (1.7)   6
13. Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) như sau: Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0,nl hạt nằm trên mức l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng (1.8) Hai là, sở dĩ đại lượng G n01, n , xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có Nhưng trong thống kê Macxoen – Bonxoman, khi mà các hạt là khác biệt nhau về phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng thái mới) ta có 1 G n01, n , . (1.9) nn01! ! Tìm gk Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia 7
14. cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho nn01! ! Khi đó N! gk , (1.10) nn01! ! thay giá trị của gk vào (1.6) ta thu được (1.9). Để tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa học l . Và cuối phép tính ta cho l . Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau   W n01 , n , exp  Z 1, (1.11)  nn01  với   nl  l l l 0 Z  exp  G n01 , n , , (1.12)  nn01  nghĩa là   lnZ . (1.13) Ta xét đạo hàm của  theo l dựa vào (1.12) và (1.13)    nl  l l 1 Z l 0   nk .exp  G n01 , n , . (1.14) Z   llnn01  Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l thì theo (1.8) vế phải của công 8
15. thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu được (1.15) Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ 0 ) và G n01, n , 1 do đó theo (1.11) ta có  n   l l l l 0   l l Zn  exp   exp   n01 n l 0 n 0   1  , (1.16)  l 0 1 exp ll  khi đó ll    ln 1 exp  . (1.17) l 0  Theo (1.15) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình 1 n , (1.18) l  exp l 1   ta có (1.18) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học  trong công thức (1.18) được xác định từ điều kiện  nNl . (1.19) l 0 Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ  d  bằng 9
16. dN  dn  , (1.20)  exp  1  trong đó dN  là số các mức năng lượng trong khoảng  d . Tìm dN  Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể xem như các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định dN  bằng cách áp dụng công thức kV2 dN k dk, 2 2 cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k k dk k2 dk dN k V. (1.21) 2 2 Theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng p và véc tơ sóng k pk , (1.22) khi đó (1.21) có thể được viết dưới dạng p2 dp dN p V. (1.23) 2 23 p2 Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc thì  2m suy ra pm2 2, p23 dp 2, m d do đó (1.23) có dạng 10
17. 2mV3 dN   d . 2 23 Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt gs 21. Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng  d  là 2m3 Vg dN   d . (1.24) 2 23 Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng  d  là 2m3 Vg d dn  . (1.25) 2 23  exp  1  Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau 2m3 Vg  N dn d . (1.26) 23  002 e kT 1 Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tưởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng  0. (1.27) Thực vậy, số hạt trung bình dn  chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dương (nghĩa  là khi  0, để cho exp  luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).  Tiếp theo, chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có: 11
18.     d d N   T 0 T  0 kT kT  Te 1 e 1 N T   d     d  0  e kT 1 0  e kT 1     1   eekT   kT dd    2 2 2 00kT     eekT 11 kT 1 . (1.28)  T   1 eekT kT dd    22 00kT     eekT 11 kT Nhưng do (1.26) nên  0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế  phải (1.28) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy 0 . Từ các tính T  chất  0 và 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá T trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không max 0 . Xác định nhiệt độ T0 Chọn  0 và TT 0 . Khi đó phương trình (1.26) trở thành 2m3 Vg  N dn d . 23  002 ekT0 1  Đặt x suy ra kT0 12
19. m3/2 Vg x N kT kT dx 23 00 x 21 0 e 3/2 3/2 m3/2 Vg kT xx mkT Vg 00dx dx. (1.29) 2 3 xx 2 3 2 00ee 1 2 1 x Mà ta biết dx 2.31, nên từ (1.29) và  kT , ta được x 00 0 e 1 1/3 2 42 2/3 0 N T0 . (1.30) kV 2.31g 2/3 mk Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào 3 0 cỡ 120kg/m ta được TK0 2,19 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0 0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 TT0. Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max 0,  mà 0 nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ T 0 TT0 thì  0. Với nhiệt độ TT 0 số hạt có năng lượng là 3/2 2m3 Vg  mkT Vg x N 0 d dx N (1.31) 2 3  2 3 x 2 00 2e 1 ekT 1 So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy 3/2 3/2 T NT NN  0 hay . T NT 0 0 Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được đoán 13
20. nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi TT 0 thì NN chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.20), tức là m3/2 Vg d  N  d  dn  . (1.32) 2 2 3   2.31 3/2  exp  1 0 exp  1    Các hạt còn lại NN , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ. Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ 1 được phân bố trên các mức khác theo định luật . Hiện tượng mà ta e/ 1 vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T 0 ) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không. 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay -2730C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô. Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó 14
21. mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4]. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu. Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong 15
22. kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng  0, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E 0 . Còn đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ TK 00 các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác không ( E 0). Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt boson hay khí bose. Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng. (Ảnh: Wikipedia) Ngưng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã được quan sát trong một vài hệ vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và 16
23. vật lý chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình cộng hưởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngưng tụ Bose – Einstein. Trong một số thí nghiệm gần đây, người ta đã tiến hành nghiên cứu với khí photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, người ta đã mô tả lại ngưng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết định cả thế giam cầm và sự không ảnh hưởng bởi khối lượng các photon, làm cho hệ tương đương với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta thấy dấu hiệu của ngưng tụ Bose – Einstein, năng lượng photon phân bố chủ yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước. 1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein 1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium Đội nghiên cứu của Francesca Ferlaino tại trường Đại học Innsbruck là nhóm đầu tiên tạo ra thành công một ngưng tụ của nguyên tố lạ erbium. Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lý lượng tử. “Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết. 17
24. Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose – Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói. Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lý ở Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của Sesium, dẫn tới vô số những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố Erbium. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của erbium, lần đầu tiên được tạo ra ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chước những hiệu ứng phát sinh từ sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế động lực học phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy địa vật lý, trong các 18
25. chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp. 1.4.2. Loại ánh sáng đột phá về vật lý Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu. Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”, nó từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng. Hình 1.2: Một “siêu phonon” được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein” . (Ảnh: LiveScience) Tuy nhiên, bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành “nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”. Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein truyền thống được làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên 19
26. không thể phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon là các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất – điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh. Theo trang LiveScience, bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để nhốt giữ các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó được tái phát. Các tấm gương đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến – lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng. Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein. Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho biết thêm rằng, công trình của họ có thể giúp mang tới những ứng dụng trong việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bước sóng vô cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím. 20
27. 1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tương tự đã từng được công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của chùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polartion từ các chùm. Lần đầu tiên được tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử rubidi, trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lượng lớn các hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển như một trạng thái kết hợp, và rất có ý nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lượng tử ví dụ như siêu chảy trong một hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thường chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối. Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K. Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong 21
28. lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp được rồi. Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tương tự mà trong đó các polartion được tạo ra bởi các tia laser sau đó di chuyển khỏi vùng kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều ngang 50 micrô, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có nghĩa là tạo ra như một bẫy để tích lũy các polartion. Và ở hệ này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007). Mặc dù ở nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này, nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32 22
29. K: “Có hàng trăm nguyên nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ cao hơn, cao hơn nữa dù không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ phòng nhưng trên 100K không phải là không thể đạt được trong khả năng của chúng tôi”. Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc – microcavity) được tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tương tự từng được dùng trong các khí nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác. Hình 1.4: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007). Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng thái chuẩn cân bằng. “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trạng thái cân bằng thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa cùng trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn”. 23
30. 1.4.4. Chất siêu dẫn mới Mới đây, các nhà khoa học thuộc Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc gia cùng phới hợp với trường đại học Colorado (Mỹ) đã thành công trong việc tạo ra một loại chất mới. Loại vật chất này là một dạng cô đặc của các hạt cơ bản: electron, proton và neutron. Đó còn là dạng vật chất thứ sáu được con người khám phá sau những dạng: chất khí, chất rắn, chất lỏng, khí plasma và Bose – Einstein cô đặc đã được tạo ra từ năm 1995. Deborah Jin (đại học Colorado) cho biết, loại vật chất mà các đồng nghiệp của bà vừa tạo ra là đột phá khoa học trong việc cung cấp một kiểu mới cho hoạt động của cơ học lượng tử. Loại vật chất mới này có khả năng tạo ra một mối liên kết giữa hai lĩnh vực hoạt động khoa học là chất siêu dẫn và Bose – Einstein, tạo cơ sở phát triển những ứng dụng thiết thực khác. Hiện nay, theo ước tính có khoảng 10% lượng điện ta sản xuất ra bị tiêu hao trên đường chuyển tải, làm nóng đường dây. Nếu ứng dụng vật liệu chất siêu dẫn vào làm dây dẫn điện thì quá trình chuyển tải điện không còn bị hao hụt bởi điện trở nữa. Ngoài ra, chất siêu dẫn còn cho phép sáng chế ra những loại xe lửa bay trên đệm từ trường dựa trên cơ sở nguồn năng lượng hiện đang được sử dụng. Do được giải phóng khỏi ma sát, đoàn tàu sẽ lướt đi theo đường từ trường ở tốc độ cao hơn. Jin cùng với hai đồng nghiệp Eric Cornell và Carl Wieman đã đoạt giải Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh ra vật chất Bose – Einstein cô đặc. Loại vật chất này được tạo ra từ tập hợp của hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo thành trạng thái lượng tử đơn, tương tự một siêu nguyên tử. Còn loại vật chất mới mà nhóm nghiên cứu của bà vừa tạo ra khác với Bose – Einstein. Nó được tạo thành từ những khối hạt vật chất là proton, electron và neutron trong môi trường chân không được làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối. Tại nhiệt độ đó, các phần tử vật chất ngừng hoạt động. Sau đó, từ trường và tia 24
31. laser điều khiển để những nguyên tử kết đôi lại với nhau. Loại nguyên tử mới này có sức hút mạnh hơn những nguyên tử thông thường, đem đến cho thế giới nhiều ứng dụng mới thiết thực cho cuộc sống hàng ngày của con người. 25
32. CHƯƠNG 2 TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 2.1. Phương trình Gross – Pitaevskii 2.1.1. Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian Ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng , thế năng , chỉ số j = 1,2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần 2. Xét hỗn hợp của hai nguyên tử boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu 1 và 2 tương ứng với và N2 là (2.1) Ở trạng thái 1 được biểu diễn bởi và trạng thái 2 biểu thị bởi . Các hàm sóng đơn tương ứng là và . Đối với một hệ đồng nhất năng lượng cho bởi phương trình tổng quát (2.2) Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với và . Thì năng lương tương ứng cho hệ một thành phần như sau (2.3) Tại đó bỏ qua ảnh hưởng của và , hai giá trị này là nhỏ nếu và lớn, khối lượng của hạt thứ i, là thế năng bên ngoài. Các hằng số , , được xác định bởi độ dài tán xạ sóng s theo công thức (2.4) 26
33. và , là khối lượng rút gọn của nguyên tử thứ i và nguyên tử thứ j. Từ (2.2) và (2.3) ta thu được phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian 2 1 2 22 i  U1 g 11 1 g 12  2  1, (2.5) tm 2 1 2  2 2 22 i  U2 g 22 2 g 12  1  2, (2.6) tm 2 2 với UU12, là thế năng tương tác ngoài. 2.1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta giả sử sự tự phân tách diễn ra dọc theo trục Oz và gọi ngưng tụ bên phải mặt phân cách là “1” ( z 0 ) và ngưng tụ bên trái mặt phân cách là “2” ( z 0 ). Biểu diễn hàm sóng dưới dạng phân li biến số: it j /  jj  ze , (2.7) với  j là hàm sóng ở trạng thái cơ bản,  j là thế hóa. Thay (2.7) vào (2.5) và (2.6) ta được 27
34. Thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian ta thu được 22d  1    U g22 g 0, (2.8) 2 1 11 111 1 122 1 2m1 dz 22d  2    U g22 g 0. (2.9) 2 2 22 222 2 121 2 2m2 dz Phương trình (2.8) và (2.9) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. Khi không có trường ngoài, tức là UU12 0 thì (2.8) và (2.9) trở thành 22d  1   gg 22    0, (2.10) 2 1 1 11 1 1 12 2 1 2m1 dz 22d  2   gg 22    0. (2.11) 2 2 2 22 2 2 12 1 2 2m2 dz Như vậy thế tương tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng 24g jj 22 Vg   j  j  j 12  1  2 j 1,2 2 (2.12) gg =   2 211  4 22   4g 2 2 . 1 1 2 222 1 2 12 1 2 Sử dụng chiều dài tương quan (heading length)  j , (2.13) 2m jj và mật độ khối của hạt thứ j là ngj0  j/ jj và đưa vào các đại lượng không thứ nguyên 28
35. zz 1, 2 j g 12 (2.14)  ,,,j K 1 nj0 g 11 g 22 thì ta có d d dz1 d , dz dz dz1 dz dd221 . 2 2 2 dz1 dz Do đó 2dd 2 21 2 1  n . 2 2 2 1 10 22mm11dz1 dz Thay biểu thức của vào biểu thức trên ta được: 2dd 2 2 11 g n n . (2.15) 2211 10 10 2m1 dz dz Ta có: (2.16) Thay (2.15) và (2.16) vào (2.10) ta được: 2 d 1 32 1  1 K  2  1 0. (2.17) dz2 Tương tự: 2 2dd 2 2  2 2  n . (2.18) 22 2 20 22mm2dz 2  2 dz Thay biểu thức của 2 vào biểu thức trên ta được: 2dd 2 2 22  2g n n . (2.19) 2222 20 20 2m2 dz dz 29
36. Ta có (2.20) Thay (2.19) và (2.20) vào (2.11) ta được 2 2d 2 3 2  2  2 K  1  2 0. (2.21) dz2 Lưu ý rằng ở đây ta đang xét hệ trong trạng thái cân bằng pha nên áp suất của hai thành phần phải bằng nhau, tức là PP12 , 2 trong đó Pj g jj n j0 / 2. 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (2.12) có dạng g V  24  . (2.22) GP 2 Bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ nguyên như ở (2.14), thế tương tác (2.22) có thể viết dưới dạng 1 V 24 . (2.23) GP 2 Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ 1 nên ta đặt  1,a (2.24) với a là số thực và nhỏ. Thay (2.24) vào (2.23) ta được 30
37. 1 V 11 a 24 a GP 2 1 = 1 2a a2 1 4 a 6 a 2 4 a 3 a 4 2 11 = 2a2 2 a 3 a 4 . 22 Khai triển VGP giữ đến gần đúng bậc hai ta được 11 Va 22 2  1 2 , (2.25) DPA 22 trong đó VDPA là thế gần đúng trong parabol kép. Ta có đồ thị của hai thế VGP và VDPA như sau: 1.5 1.0 V 0.5 0.0 0.5 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Hình 2.1 Đồ thị của thế VGP và thế VDPA Đường màu nét đứt là đồ thị của thế VGP , đường nét liền là đồ thị của thế VDPA. Ta thấy VGP có hai cực tiểu như hình vẽ và khi thay vào phương trình Gross-Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp được phương trình. Do đó ta thay bằng thế VDPA là hai parabol ghép với nhau và được gọi là parabol kép. Khi thay thế VDPA vào phương trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải được phương trình. 31
38. 2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin Với sự có mặt của tường cứng tại z 0 , áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho thành phần 1, tức là , (2.26a) . Với thành phần 2 ta áp dụng điều kiện biên Robin, tức là . (2.26b) với c là 1 hằng số. Rõ ràng là khi thì điều kiện biên Robin trở thành điều kiện biên Dirichlet. Ngược lại, nếu thì điều kiện biên Robin trở thành điều kiện biên Newman. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ. Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí , khi đó ta khai triển tham số trật tự  j quanh giá trị được chuẩn hóa theo mật độ khối n j0 tức là j 1  j ,  j  j , với jj, 1,2 khi và jj, 2,1 khi . Cần chú ý rằng  j và  j là các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khai triển này. Ở miền ( là vị trí biên) ta đặt (2.27) Thay vào (2.17) và (2.21) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình aa 2 0, (2.28)  2b K 1 b 0. 32
39. Thay (2.27) vào (2.28) và đặt  2, K 1, ta được phương trình Gross-Pitaevskii trong DPA  2  1 0, 11 (2.29) 22  22   0. • Ở miền ta đặt (2.30) Thay vào (2.17) và (2.21) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình b K 1 b 0, (2.31)  2aa 2 0. Do đó  2  0, 11 (2.32) 22  22 (  1) 0. Trong miền , nghiệm của phương trình (2.29) có dạng (2.33) Trong miền , do bị triệt tiêu tại vị trí đặt tường cứng nên nghiệm của (2.32) bị ràng buộc bởi điều kiện biên (2.26a) và (2.26b) có dạng (2.34) với AABB1,,, 2 1 2 là các hằng số tích phân. Trong DPA, các tác giả [10] đã chứng minh được rằng các tham số trật tự và đạo hàm bậc nhất của chúng phải liên tục tại mặt phân cách 33
40. (2.35) Thay (2.33) và (2.34) vào (2.35) ta tìm được (2.36) Trong phân tách yếu, giới hạn khi (K tiến đến rất gần 1 nhưng ). Trước hết với trường hợp ta thấy kết quả này trùng với những kết quả tương ứng khi sử dụng điều kiện biên Dirichlet. Hình 2.3 và 2.4 biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z tại và . 34
41. Hình 2.1 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại . Đường nét liền và đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2 ( . Hình 2.2 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2 . 35
42. Bây giờ ta sẽ tiến hành tính số với cùng giá trị tham số ở trên nhưng với . Kết quả cho thấy sự khác biệt của mật độ phân bố thành phần 2 ở gần tường cứng. Kết quả được thể hiện trên hình 2.4 và 2.5 biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z tại và . Hình 2.3 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại . Đường nét liền và đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2 Hình 2.4 Hàm sóng ở trạng thái cơ bản tại Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2. 36
43. KẾT LUẬN Với đề tài “Trạng thái cơ bản ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu với điều kiện biên Robin” em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau: Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose – Einstein: thống kế Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí Boson lý tưởng. Phương trình Gross – Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian. Phương trình Gross – Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách yếu trong gần đúng parabol kép. 37
44. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3] www.wikipedia.org. Tiếng Anh [4] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many – particles Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971). [5] B. V. Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008). [6] B. Van Schaeybroeck and J. O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626 (2015). [7] C. J. Pethick, H. Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York. [8] I. E. Mazets, Phys. Rev. A 65, 033618 (2002). [9] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615. [10] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press. Oxford, New York. [11] P. Ao and S. T. Chiu, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998). [12] R. A. Barankov, Phys. Rev. A 66, 013612 (2002). 38