›

Khóa luận Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử

pdf 55 trang thiennha21 15/04/2022 5450
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_tim_hieu_ve_pho_nang_luong_cua_mot_so_phan_tu.pdf

Nội dung text: Khóa luận Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== NGƠ THỊ PHƢƠNG LIÊN TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== NGƠ THỊ PHƢƠNG LIÊN TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2018
  3. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo người đã giúp đỡ định hướng nghiên cứu, cung cấp cho tơi những tài liệu quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện tốt nhất trong quá trình hồn thành khố luận tốt nghiệp. Tiếp theo, tơi xin cảm ơn tất cả các thầy, các cơ thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nĩi chung và các thầy, các cơ trong khoa Vật Lý nĩi riêng đã giảng dạy , dìu dắt và cung cấp cho tơi những nền tảng khoa học từ kiến thức cơ bản đến kiến thức chuyên sâu, cũng như kĩ năng thực hành, thực nghiệm trong suốt bốn năm học qua. Cuối cùng, tơi xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình và bạn bè đã luơn bên cạnh, kịp thời giúp đỡ và động viên tơi vượt qua những khĩ khăn, hồn thành khố luận một cách tốt đẹp. Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khố luận của tơi chắc hẳn sẽ cịn nhiều hạn chế, vì vậy tơi rất mong nhận được những đĩng gĩp ý kiến của thầy cơ và bạn bè để khố luận được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Ngơ Thị Phƣơng Liên
  4. LỜI CAM ĐOAN Khĩa luận tốt nghiệp của tơi hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong quá trình nghiên cứu hồn thành bản khĩa luận tơi cĩ tham khảo một số tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tơi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khố luận hồn tồn là trung thực và chưa từng được cơng bố bởi bất kì nơi nào khác, mọi nguồn tài liệu tham khảo đều được trích dẫn một cách rõ ràng. Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Ngơ Thị Phƣơng Liên
  5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc của khĩa luận 2 NỘI DUNG 3 Chương 1. Phổ năng lượng của một số phân tử 3 1.1. Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân tử CO-phân tử HCl. 3 1.2. Rotator 16 1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử 16 1.2.2. Dạng đại số của momen xung lượng 21 1.3. Phổ năng lượng của Rotator của phân tử hai nguyên tử 30 Chương 2. Một số bài tốn về phổ năng lượng 40 KẾT LUẬN CHUNG 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
  6. DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BẢNG Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hịa 7 Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hịa 8 Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO 9 Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ. 10 Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3]. 11 Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi điều hịa. 12 Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO. 13 Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7]. 13 Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8]. 14 Hình 1.10 Mơ hình phân tử hai nguyên tử. 16 Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn khơng khả quy của SU(2) 26 Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2). 27 Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn khơng khả quy của SU(2). 28 Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn khơng khả quy SO(3, l) hoặc E(3). 31 Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3]. 33 Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại. 36 Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator khơng bền vững[3]. 37
  7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác. Để giải thích một số hiện tượng và hiệu ứng mới được phát hiện vào những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học cổ điển khơng thể giải thích được, các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như Max Planck, Albert Einstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giả thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn của năng lượng của một số loại hệ vi mơ. Những giả thuyết đĩ đã trở thành cơ sở của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ điển sang vật lý học lượng tử. Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mơ điển hình trong vật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường lực tác dụng lên hạt vi mơ mà phổ năng lượng cĩ thể chỉ gồm các giá trị gián đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của hạt vi mơ khơng thể cĩ. Vậy nên phổ năng lượng là một vấn đề tơi rất muốn tìm hiểu và mở rộng kiến thức cho bản thân.Với lý do đĩ tơi chọn đề tài “TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ ” làm đề tài khĩa luận tốt nghiệp . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về phổ năng lượng của một số phân tử 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu về phổ năng lượng của phân tử. 1
  8. Tổng hợp một số lý thuyết cơ bản và bài tập về phổ năng lượng của phân tử. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử Phạm vi nghiên cứu: Phổ năng lượng của phân tử 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp đọc và tra cứu tài liệu. Phương pháp phân tích nội dung chương trình Phương pháp thực hành giải bài tập. 6. Cấu trúc của khĩa luận Đề tài “ Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử ” cĩ kết cấu gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được chia làm 2 chương: Chương 1: Phổ năng lượng của một số phân tử Chương 2: Một số bài tốn về phổ năng lượng 2
  9. NỘI DUNG Chƣơng 1. Phổ năng lƣợng của một số phân tử 1.1. Sự chuyển giữa các mức năng lƣợng của phân tử dao động của phân tử CO-phân tử HCl. Trong cơ học lượng tử, một cơ hệ lượng tử ở một trạng thái cố định bất kỳ sẽ vẫn ở trạng thái đĩ nếu nĩ khơng bị tác động bởi ngoại lực. Trên thực tế thì mọi hệ cơ học lượng tử đều chịu tác động bởi ngoại lực yếu, chúng cĩ thể làm cho trạng thái của hệ thay đổi (ví dụ như trường điện từ ngồi hay trường điện từ trong sinh ra từ chuyển động của các trạng thái bên trong hệ ). Nếu hệ là một tập hợp các trạng thái gián đoạn (ví dụ: các năng lượng riêng của hệ dao động), thì với nhiễu loạn bên ngồi nhỏ sẽ khơng làm thay đổi các trạng thái này hay nĩi một cách chính xác là nĩ làm thay đổi mức năng lượng một lượng khơng đáng kể nhưng hệ vẫn cĩ thể nhảy từ trạng thái này sang trạng thái khác. Lý thuyết về sự chuyển các mức năng lượng cĩ thể được phát triển như là hệ quả của các tiên đề của cơ học lượng tử. Ở đây chúng ta sẽ chỉ đưa ra một số luận cứ bán cổ điển và nêu ra kết quả mà chúng ta sẽ sử dụng để thu được tần số chuyển tiếp các mức năng lượng và các quy tắc lọc lựa.[1] Vậy nên dưới ảnh hưởng của tồn bộ các nhiễu loạn bên ngồi, hệ lượng tử cĩ thể chuyển từ một năng lượng riêng với năng lượng En đến năng lượng riêng khác cĩ năng lượng Em và phát ra hoặc hấp thụ một năng lượng khác. EEnm như là bức xạ điện từ dưới dạng một lượng tử ánh sáng hoặc photon tần số EEEE v n m n m . (1.1) nm h 2 Nếu trường điện từ cĩ tần số vnm thì hệ cơ học lượng tử cĩ thể hấp thụ một photon của tần số và nhảy từ trạng thái năng lượng En sang trạng thái 3
  10. năng lượng cao hơn là Em. Mặt khác, nếu một hệ lượng tử đang trong trạng thái kích thích En là trạng thái cĩ năng lượng cao hơn trạng thái cơ bản thì hệ cĩ thể phát ra một photon cĩ tần số vnm và giảm xuống trạng thái năng lượng thấp hơn là Em. Bên cạnh đĩ thì sự chuyển mức năng lượng giữa hai trạng thái khơng thể xảy ra dưới ảnh hưởng của bức xạ điện từ nếu phần tử ma trận của tốn tử điện dịch Dˆ của hệ biến mất giữa hai trạng thái. Ngồi ra, cịn liên quan đến xác suất chuyển các mức năng lượng, vì vậy cường độ của bức xạ điện từ phát ra (hoặc hấp thụ), tỷ lệ thuận với bình phương modun của phần tử ma trận này. Xét phân tử lưỡng nguyên tử, nếu phân tử gồm các nguyên tử khác nhau (ví dụ: CO) thì sẽ xuất hiện moment lưỡng cực điện, vì tâm của các điện tích dương và âm là khơng trùng khớp. Do đĩ moment lưỡng cực là vector hướng từ tâm của các điện tích âm đến tâm của các điện tích dương và được tính bởi cơng thức Dq d, trong đĩ q là điện tích và d là khoảng cách giữa tâm của các điện tích. Moment lưỡng cực khơng đổi D0 của phân tử nằm dọc theo trục hạt nhân. Và nếu khoảng cách giữa các điểm tương tác hoặc hạt nhân thay đổi, moment lưỡng cực sẽ thay đổi. Do đĩ với một phép tính gần đúng ta cĩ thể giả định rằng moment lưỡng cực là một hàm tuyến tính: D D0 qx. (1.2) Vì vậy, moment lưỡng cực sẽ thay đổi với tần số dao động cơ học. Điện tích dao động sẽ phát xạ trong trường điện từ và trên cơ sở điện động lực học cổ điển, ánh sáng phát ra phải cĩ tần số bằng tần số của dao động, hay  v , (1.3) 2 trong đĩ  km/ là tần số gĩc của dao động cổ điển. 4
  11. Nếu phân tử bao gồm hai nguyên tử giống(ví dụ: O2, N2 ), thì moment lưỡng cực sẽ là khơng, vì tâm của các điện tích dương và âm là trùng khớp và dao động của phân tử về vị trí cân bằng của nĩ khơng làm tâm của các điện tích dao động. Do đĩ mà điện tích dao động sẽ khơng phát xạ hoặc hấp thụ bức xạ điện từ. Theo lý thuyết lượng tử, sự phát xạ của bức xạ diễn ra là kết quả của sự chuyển dao động từ trạng thái năng lượng cao hơn sang trạng thái năng lượng thấp hơn, và sự hấp thụ sẽ diễn ra theo quá trình ngược lại. Khi đĩ tần số của ánh sáng phát ra được cho bởi cơng thức EE v nm. (1.1) nm h Cường độ phát xạ tỷ lệ thuận với giá trị trung bình theo thời gian (trong một khoảng thời gian) của bình phương của moment lưỡng cực D mà trong lý thuyết lượng tử cường độ phát xạ tỷ lệ với bình phương modun của các phần tử ma trận của tốn tử điện dịch m D n Dmn , (1.4) trong đĩ Dˆ là tốn tử lưỡng cực thu được từ (1.2). Thay x bằng tốn tử Q vào (1.2) thu được: D D0 qQ. (1.5) Khi đĩ xác suất chuyển các mức năng lượng trên mỗi đơn vị thời gian Anm đối với sự phát xạ lưỡng cực tự phát trong quá trình chuyển từ trạng thái năng lượng cĩ năng lượng En đến một trạng thái cĩ năng lượng Em được cho bởi cơng thức: 4 2 AD 3 , (1.6) nm3 c2 nm mn 5
  12. Khi nm E n E m /, h c là vận tốc ánh sáng và ta cĩ : 3 2 112 Dmn Tr  n D.,,.  m D   m D i n v (1.7) dim nn  dim   iv 1, Với D D qQ,  là phép chiếu trên khơng gian năng lượng riêng 0 n với trị riêng En , và dim n là số chiều của khơng gian năng lượng riêng này.  vàv là cùng một loại chỉ số, chúng đánh dấu các vector khác nhau trong các khơng gian năng lượng riêng m và n Xét trong trường hợp đặc biệt của dao động một chiều khi thay thế các vector lưỡng cực và vector vị trí bằng một lượng D và Q và (1.7) qua 2 m D n . Đối với nhiều hệ cơ lượng tử, đa số các phần tử ma trận của tốn tử D biến mất, nên cĩ một giới hạn về khả năng chuyển các mức năng lượng. Các quy tắc biểu thị giới hạn này được gọi là các quy tắc lọc lựa. Để xác định sự chuyển mức năng lượng cụ thể nào cĩ thể xảy ra trong dao động điều hịa, chúng ta tính tốn các phần tử ma trận m D n q m Q n . (1.8) Các phần tử ma trận của tốn tử vị trí giữa các năng lượng riêng được tính xác định bởi cơng thức: m Q n n m| n 1 n 1 m | n 1 . (1.9) 2 Từ đĩ thấy rằng xác suất chuyển các mức năng lượng và cường độ phát xạ và hấp thụ của ánh sáng sẽ là 0 trừ khi số lượng tử n và m được phân biệt bởi tính thống nhất. Như vậy, quy tắc lọc lựa cho dao động điều hịa sẽ là nm 1. (1.10) 6
  13. Sự chuyển mức năng lượng trong dao động điều hịa chỉ cĩ thể xảy ra giữa các mức năng lượng liền kề. Tần số ánh sáng phát ra (đối với EEnm ) hoặc hấp thụ (đối với EEmn ) được xác định theo (1.1) và (1.10) là EEnm  11 vnm n m . (1.11) hh 2 2 2 Theo lý thuyết lượng tử tần số của ánh sáng phát xạ bằng tần số  /2 của dao động và độc lập với mức năng lượng n. Áp dụng tương tự cho sự hấp thụ. Như vậy, đối với trường hợp cụ thể của hệ lượng tử trong dao động điều hịa, tần số ánh sáng phát ra và hấp thụ tương tự như dao động cổ điển. Từ sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hịa (Hình 1.2), chúng ta cĩ thể chỉ ra các bước chuyển mức năng lượng bằng các đường thẳng đứng (xem Hình 1.1). Thấy rằng các mức năng lượng là cách đều nhau, do dĩ tất cả những chuyển mức năng lượng này đều làm tăng tần số như nhau. Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hịa 7
  14. Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hịa Đối với phân tử hai nguyên tử bao gồm hai nguyên tử (ví dụ: O2), tốn tử moment lưỡng cực (1.5) là tốn tử khơng do đĩ khơng cĩ sự chuyển giữa các mức năng lượng khác nhau xảy ra. So sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm. Để tìm tần số mong muốn, chúng ta bắt đầu từ phổ năng lượng của các phân tử CO (Hình 1.3). Sự chênh lệch giữa các mức năng lượng khác nhau trong dao động của phân tử CO là EV0.265e . (1.12a) Nếu tính tần số theo (1.11) thu được: E0.265 eV v 6.4 1013 sec 1 (1.12b) 2 2 6.58 10 16 eV sec Và v  0.466 10 3cm 4.66 m (1.12c) c 4 8 4 1m 10 cm ;1  10 cm 10 m . 8
  15. Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO Trong phổ học phân tử, thơng thường tần số khơng ở đơn vị sec 1 mà ở đơn vị cm 1 hay nĩi cách khác là thay tần số v bằng số sĩng vc/ 1/  , biểu thị số sĩng trên mỗi cm và gọi tần số này là v. Các tần số trong hoặc số sĩng của bức xạ phát ra bởi sự chuyển giữa các mức dao động của CO là: v 2140 cm 1 . (1.12d) Do đĩ, chúng ta mong đợi trong dao động của các phân tử CO phát ra hoặc hấp thụ bức xạ điện từ chỉ với tần số cho bởi (1.12) hay nĩi cách khác là chúng ta mong đợi một đường phổ ở gần vùng hồng ngoại từ phổ năng lượng của phân tử CO. Phổ điện từ 9
  16. Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ. Nếu so sánh phổ năng lượng trên với phổ hấp thụ hoặc phát xạ, ta thấy thực sự chính xác. Nếu phổ hấp thụ là sự hấp thụ ở một lớp khí mỏng, thì chỉ tìm thấy một đường hấp thụ đơn cực (hay dải) trong vùng gần vùng hồng ngoại với bước sĩng khoảng 4.66 m . Đối với các phân tử hai nguyên tử khác bao gồm các nguyên tử khơng giống nhau, điều tương tự cũng xảy ra. Ví dụ: Đối với HCl, dải này nằm ở  2.46 m. Ta cũng thấy rằng các dải như vậy khơng xuất hiện ở các phân tử gồm các nguyên tử giống nhau như: O2, N2, H2. Nếu sự hấp thụ được quan sát ở các lớp khí dày hơn, cường độ hấp thụ của dải cơ bản sẽ tăng lên một cách tự nhiên và sẽ cĩ một dải thứ hai tương tự xuất hiện nhưng yếu hơn, vào khoảng một nửa bước sĩng hoặc gấp đơi tần số (số sĩng). Nếu độ dày của lớp khí tiếp tục tăng lên, một phần ba hay thậm chí một phần tư, một phần năm thì sẽ xuất hiện dải với bước sĩng tương ứng là 1/3, 1/4 và 1/5 của dải đầu tiên hay nĩi cách khác là tần số của chúng lớn gấp 10
  17. ba, bốn và năm lần. Hình 1.5 cho thấy đầy đủ tồn bộ phổ hồng ngoại của phân tử HC1. Trong hình, chiều dài của các đường thẳng đứng thể hiện cường độ của các dải. Trên thực tế thì cường độ giảm gấp năm lần nhưng khơng giảm nhanh như trong giản đồ. Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3]. Trong dao động điều hịa, lực khơi phục tăng vơ hạn với khoảng cách từ vị trí cân bằng ngày càng tăng. Tuy nhiên, trong một phân tử, khi các nguyên tử ở khoảng cách rất xa nhau, lực hấp dẫn sẽ bằng khơng. Do đĩ, hệ lượng tử dao động điều hịa chỉ là mơ hình đơn giản hĩa của phân tử dao động và nếu muốn mơ tả chi tiết hơn các phân tử dao động thì các lực phi điều hịa cũng phải được tính đến. Các mức năng lượng của dao động phi điều hịa khơng cách đều nhau như ở dao động điều hịa mà khoảng cách của chúng giảm dần khi n tăng. Các mức năng lượng và phổ hấp thụ với dao động tử phi điều hịa được chỉ ra trong Hình 1.6. Quy tắc lọc lựa (1.10), nm 1, chỉ áp dụng cho dao động phi điều hịa và cho sự chuyển mức năng lượng mạnh nhất. 11
  18. Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi điều hịa. Phổ hấp thụ được đưa ra dưới dạng sơ đồ bên dưới. Chuyển tiếp ứng với nm 2, 3, , cũng cĩ thể xuất hiện khi cường độ giảm nhanh. Tất cả các kết quả này cĩ thể được tính tốn bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn. Từ tất cả những điều trên chúng ta cĩ thể chứng minh rằng các mơ hình cơ lượng tử đơn giản như dao động điều hịa chỉ mơ tả cấu trúc chính của một hệ vi mơ trong tự nhiên mà khơng thể mơ tả hết tất cả các chi tiết. Đây khơng phải là sự thiếu hụt của mơ hình dao động điều hịa mà là một tính chất chung của vật lý lý thuyết. Các mơ hình chỉ là sự lý tưởng hố và khơng thể dự đốn chính xác các kết quả thực nghiệm. Giải thích về một hàng chữ số thập phân mới trong một số thực nghiệm thường địi hỏi một mơ hình mới và cĩ thể là một lý thuyết hồn tồn mới. Ta cĩ thể thấy điều này ngay sau khi chúng ta khảo sát chi tiết hơn các tần số chuyển các mức năng lượng ở vùng gần vùng hồng ngoại như những gì thu được ở một phổ kế cĩ độ phân giải đủ cao. Các đường phổ rộng của phân tử CO quanh khu vực cĩ tần sốv 2140 cm 1 được phân chia thành một số 12
  19. đường hẹp riêng, như thể hiện trong Hình 1.7 hay nĩi cách khác là xung quanh khu vực cĩ tần số v 2140 cm 1 khơng cĩ đường riêng mà chỉ cĩ dải. Từ hình ảnh cĩ thể thấy, dải này bao gồm một tập hợp các đường thẳng cách đều nhau, với một đường đứt quãng ở giữa dải. Đi ra khỏi chỗ đứt quãng cĩ hai nhánh được gọi là nhánh P (hướng tới các bước sĩng dài hơn) và nhánh R (ứng với các bước sĩng nhỏ hơn). Hình 1.8 cho thấy cùng một hiệu ứng cho vạch n 1ở Hình 1.5 của phân tử HC1. Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO. Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7]. Với kỳ vọng cấu trúc chính xác như vậy trong phổ hấp thụ hoặc phát xạ đặc trưng của bức xạ điện từ của phân tử CO khi các mức năng lượng của 13
  20. phân tử dao động ở Hình 1.1 được tách thành một dãy các cấp nhỏ hơn như thể hiện trong Hình 1.9, thì chỉ cho thấy cĩ hai mức năng lượng liền kề của phổ năng lượng của phân tử dao động như đã cho trong Hình 1.1. Mơ tả của sự phân chia như vậy nằm ngồi khả năng của một mơ hình dao động. Nĩ chỉ cĩ thể cĩ một trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n khơng phải là trạng thái thuần túy mà chính xác là một hỗn hợp của các trạng thái cĩ năng lượng khác nhau. Tuy nhiên, trong dao động trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n là trạng thái thuần túy được mơ tả bởi một phép chiếu  trên khơng gian mở một chiều được kéo dài bởi  cụ thể là khơng gian n n . Trạng thái của phân tử hai nguyên tử được đặc trưng bởi số lượng tử n n phải cĩ số chiều nhiều như là số mức năng lượng (khi số mức năng lượng bằng với số chiều thì bất kỳ giá trị năng lượng nào cũng thuộc một khơng gian hoặc một phép chiếu trên một trục của khơng gian con). Do đĩ mơ hình dao động chỉ mơ tả một phần các thuộc tính của một phân tử hai nguyên tử. Để mơ tả chi tiết hơn về phổ, cần phải kết hợp mơ hình dao động với một mơ hình mơ tả chi tiết hơn và phản ánh thêm các đặc điểm của phân tử hai nguyên tử chưa đề cập đến. Mơ hình mới này là mơ hình Rotator. Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8]. 14
  21. Các nhánh P và R được hiển thị ở bên trái và bên phải theo thứ tự trên phổ kế đã vẽ của dải hấp thụ CO cơ bản ở 2144 cm-1. Nhánh Q (đường nét đứt) là khuyết. Các mức năng lượng được hiển thị theo thang đo, ngoại trừ khoảng cách giữa các trạng thái dao động trên và dưới (2144 cm-1) cĩ thể gấp khoảng năm lần so với hình vẽ. Xét phân tử CO gồm hai nguyên tử cĩ nguyên tử khối là m1 và m2 cách nhau một khoảng x, thấy rằng phân tử này khơng chỉ dao động theo trục x mà cịn cĩ thể quay xung quanh tâm của nĩ trong khơng gian ba chiều. Nếu nĩ nằm trong trạng thái dao động và cĩ năng lượng nhỏ hơn 0,26 eV thì nĩ sẽ là một Rotator bền vững hay nĩi cách khác nĩ cĩ thể được coi là hai khối giống như điểm m1, m2 được gắn vào hai đầu của thanh sắt khơng trọng lượng cĩ chiều dài x. Do đĩ, trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu mơ hình Rotator bền vững. 15
  22. 1.2. Rotator 1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử Xét Rotator cổ điển, khi thay ba tọa độ của xung lượng Pi và ba tọa độ ˆ ˆ vị trí xi trong tất cả các đại lượng cĩ trong biểu thức với các tốn tử Pi và Qi thỏa mãn hệ thức giao hốn chính tắc ˆˆˆ [,],PQIii ij i [QQˆˆ , ] 0, (1.13) ij ˆˆ [PPij , ] 0 (ij 1 với ij và ij 0 cho ij và j 1,2,3). Trong cơ học cổ điển, năng lượng quay E của một vật rắn được cho bởi 1 EI  2. (1.14) 2 Trong đĩ  là tốc độ gĩc và I là moment quán tính của hệ trục quay. Tốc độ gĩc liên quan đến số lần quay trên mỗi giây với tần số quay vrot là:  2.  rot (1.15) Moment xung lượng của hệ được cho bởi  I. . Thay vào (1.14) được năng lượng: 2 E . (1.16) 2I Hình 1.10 Mơ hình phân tử hai nguyên tử. 16
  23. Moment quán tính của trục quay của mơ hình Rotator được cho bởi cơng thức 22 I m1 r 1 m 22, r 2 Với m m rx 2 và rx 1 (1.17) 1 mm 2 mm 12 12 là khoảng cách tương ứng từ m1 và m2 đến tâm của khối C và x là khoảng cách giữa hai điểm khối và (xem Hình 1.10). Ta được : mm Ix 12 2 , (1.18) mm12 Với  được gọi là khối lượng rút gọn của phân tử. mm  12 (1.19) mm12 Do đĩ, thay vì xét sự quay của Rotator bền vững, cĩ thể cân nhắc đến việc quay một chất điểm cĩ khối lượng rút gọn với tọa độ xi nơi cĩ vector x x1,, x 2 x 3 là vectơ vị trí. Nếu ta biểu diễn xung lượng của chất điểm cĩ khối lượng rút gọn trong hệ toạ độ này bởi p (,,)ppp1 2 3 thì moment xung lượng được cho bởi: I x p, (1.20) nên các phần tử của nĩ được xác định bởi: l  x p x p . i ijk j k ijk j k (1.21) jk, Trong phương trình này ijk 1 khi ijk 123 và mọi hốn vị chẵn của nĩ, ijk 1 khi ijk là một phép hốn vị lẻ của (123) cịn lại là ijk 0 . ˆ ˆ Theo điều kiện tổng quát (1.13) khi thay xi , Pi bằng Q j , Pi thì tốn tử moment xung lượng Lˆ được xác định bởi cơng thức 17
  24. LPQˆˆ ˆ, hoặc ˆˆˆ LQPi ijk j k , (1.22) và tốn tử năng lượng tương ứng (1.16) được xác định bởi 3 ˆ1 ˆ2 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ HLLLLL  i i i i . (1.23) 2 2 i 1 2  ˆ ˆ ˆ ˆ Q j và Pk là các tốn tử Hermitian, nên Li và H cũng Hermitian: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ LPQPQQPLi ijk k j ijk k j ijk j k i . (1.23a) Từ hệ thức giao hốn Heisenberg (1.13), ta thu được hệ thức giao hốn của ˆ các tốn tử Li biểu diễn các phần tử của moment xung lượng. Đĩ là: [,][,]LLQPQPˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ i l ijk lmn j k m n ([,][,])QPQPQQPPˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ijklmn jk mn j mn k (QPQPQPPˆ {[ˆ , ˆ ] ˆ ˆ [ ˆ , ˆ ]} ijk lmn j k m n m k n {[QQPQQPPˆ , ˆ ]ˆ ˆ [ ˆ , ˆ ]} ˆ ) j m n m j n k ˆˆˆˆ ijk lmn(QPQP j n km m k jn ). ii Bằng cách thay đổi thành phép tổng các chỉ số biểu thức trên cĩ thể viết lại như sau: ()(). QPQPQPˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1.24) iiimk lkn m n ikn lmk m k imk knl ink klm m n Theo tính chất của tenxơ imk dễ dàng chứng minh: imk knl  in  ml  mn  il . (1.25) Từ đĩ suy ra: ink klm  il  nm  mn  nl , 18
  25. và thay vào (1.25) thu được: imk knl ink klm  in  ml  im  nl ilk kmn. Thế biểu thức trên vào (1.24) thu được ˆ ˆˆ ˆ [,].Li L l i ilk kmn Q m P n Kết hợp với (1.22) thu được hệ thức giao hốn của tốn tử moment ˆ xung lượng Li : ˆ ˆ ˆ (1.26) [,].Li L l i ilk L k ˆ ˆ Biểu thức của tốn tử năng lượng (1.23) khơng chứa Pi và Qi ,điều này ˆ đúng với tất cả các đại lượng vật lý của Rotator. Trên thực tế, các tốn tử Pi ˆ và Qi là những đại lượng phi vật lý trong cơ học lượng tử Rotator. Do đĩ, đối ˆ với Rotator tốn tử Li tuân theo hệ thức giao hốn (1.26) là những đại lượng ˆ vật lý cơ bản. Trên thực tế, các tốn tử Li được xác định bởi (1.22) hoặc số lượng tử li được xác định bởi (1.21) là một trường hợp đặc biệt của các đại lượng cĩ liên quan đến bậc tự do mới của các hệ vật lý trong khơng gian ba chiều. Một hệ vật lý trong khơng gian vật lý ba chiều cĩ sáu bậc tự do: ba bậc tự do được mơ tả bởi ba tọa độ xi và ba bậc tự do quay, được mơ tả bởi phép quay R ,,   phụ thuộc vào ba gĩc ,,   (ví dụ, ba gĩc Euler hoặc ba gĩc xoay quanh ba trục tọa độ cố định). Xung lượng Pi là biến số chính tắc liên hợp với tọa độ xi cịn biến số chính tắc liên hợp với tọa độ gĩc i là moment xung lượng li . Tổng quát, một hạt trong khơng gian vật lý ba chiều cĩ các biến số là xung lượng và spin si ứng với các tọa độ tuyến tính xi và các tọa độ gĩc 19
  26. ˆ i . Đối với một hạt, xung lượng được biểu diễn bởi tốn tử Pi và spin được ˆ biểu diễn bởi tốn tử Si . Do đĩ dễ dàng xác định được hệ thức giao hốn của ˆ tốn tử Spin Si là: ˆ ˆ ˆ (1.27) [,].Si S j i ijk S k Phương trình (1.27) cũng cĩ thể được suy ra từ các tính chất của nhĩm quay[4], nếu giả thuyết rằng phép quay R (α, β, γ ) của một hạt được biểu diễn bởi một tốn tử (đơn vị) U (α, β, γ ) trong khơng gian của trạng thái vật lý của hạt này. Trên thực tế phép quay là phép biến đổi đối xứng và nhĩm quay là một nhĩm đối xứng của hệ vật lý (Định lý Wigner). Bắt đầu từ dạng đại số của đại lượng được xác định bởi hệ thức giao hốn (1.27) . Tiếp theo khảo sát tính chất đại số của các tốn tử được tạo thành từ tốn tử ˆ J j khi áp dụng các hệ thức giao hốn [,]Jˆ J ˆ i J ˆ (1.28) i k ikl l (i , k , l 1,2,3), ˆ ˆ ˆ trong đĩ tốn tử J j tương đương với tốn tử Li trong (1.22) hoặc tốn tử Si . ˆ Từ đĩ cĩ được tính chất của tất cả các tốn tử J j là các tốn tử Hermit tuyến tính trong một khơng gian tuyến tính. Hay cĩ được tập hợp tất cả các ˆ ˆ tốn tử J j là nhiều hơn tập hợp của tốn tử Li cho bởi (1.22). Dạng đại số ˆ được tạo thành từ tốn tử J j được gọi là đại số bao của nhĩm SU(2) và được kí hiệu là: E(SU(2)). 20
  27. 1.2.2. Dạng đại số của momen xung lượng Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra tất cả các nghiệm cĩ thể của hệ thức giao ˆˆ hốn (1.28) để chứng minh được JJii Điều này cĩ nghĩa là chúng ta sẽ xây ˆ dựng tất cả các khơng gian tuyến tính trong đĩ Ji thỏa mãn (1.28) hoạt động như các tốn tử Hermit tuyến tính. Giả sử tồn tại ít nhất một vector riêng của ˆ ˆ J3 trong những khơng gian này. Thay vì sử dụng Ji với i 1,2,3 thì dựa theo tổ hợp tuyến tính sau: HJˆˆ 1 , Hˆ 1 J ˆ iJ ˆ , Hˆˆ 1 J iJ , (1.29) 33 12 12 ˆˆ Điều kiện Hermiteity JJii được biểu diễn HHˆˆ , HHˆˆ , HHˆˆ . (1.30) 3 Từ (1.28) và (1.30) thu được HHHˆ, ˆ ˆ HHHˆ, ˆ 2 ˆ . (1.31) 3 3 Tốn tử Jˆ 2 cĩ thể được viết JHˆˆ2 2 2 (1.32) Với ˆ2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ HHHHHHHHH 3 3 3 3. (1.33) Bởi vậy HHˆˆ2 , 0, HHˆˆ2, 0, 3 (1.34a) hay tổng quát ˆ 2 ˆ HA, 0, (1.34b) trong đĩ Aˆ là 21
  28. ikij ij A aI aJi aJJ i j aJJJ i j k , (1.35) với a, aik , aij , a ij , là những số phức. Do tính chất (1.34), Hˆ 2 và Jˆ 2 được gọi là tốn tử bất biến của đại số bao E(SU(2)). Ta sẽ thấy thang biểu diễn của E(SU(2)) hay nĩi cách khác là tất cả các nghiệm của hệ thức giao hốn (1.28) bởi các tốn tử tuyến tính trong khơng gian tuyến tính thu được bằng cách áp dụng tồn bộ đại số bao E(SU(2)) cho ˆ một vector riêng của tốn tử H3 . (Giả sử tồn tại một vector riêng). Chọn vector ff c là vector riêng của tốn tử Hˆ 2 với trị riêng c: Hˆ 2 f cf (1.36) Khi tốn tử Hˆ 2 giao hốn với mỗi Aˆ của biểu thức (1.35), Af là một vector riêng của tốn tử Hˆ 2 với giá trị riêng c. ˆ Chọn f là một vector riêng của tốn tử H3 và gọi m là trị riêng. Với c vector riêng chuẩn hĩa kí hiệu là ffmm : ˆ H3 fmm mf , ffmm, 1. (1.36’) ( fm được gọi là vectơ Weight, m được gọi là Weight)[5,6]. Nếu hai tốn tử giao hốn thì cĩ thể chọn một vector đồng thời là vector riêng của cả hai tốn tử, vì ˆ22 ˆ ˆ ˆ H H33 fmm H H f nên (1.36) và (1.36’) trở thành đồng nhất thức. Nếu hai tốn tử khơng giao hốn sẽ khơng cĩ cùng một vector riêng. Ta cĩ ˆ fmm H f kết hợp với (1.31) thu được 22
  29. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H3 fm H 3 H f m H H 3 H f m Hˆ m H ˆ f m 1 H ˆ f (1.37) mm mf1. m ˆ Do đĩ (nếu fm 0 )thì fm là một vector riêng của tốn tử H3 với giá trị riêng m 1 fm cĩ một vài tính chất cần lưu ý đĩ là: 1. Số c là khơng âm. ˆ 2. Bất kỳ giá trị riêng m nào của H3 cũng thỏa mãn mc2 (1.38) c ˆ ˆ 2 Nếu bắt đầu với một vectơ riêng fmo bất kỳ của tốn tử H3 và H và tác ˆ c ˆ dụng liên tiếp tốn tử sinh H thì sẽ thu được các vector riêng fm mới của H3 với các giá trị riêng ngày càng tăng. Sau một số hữu hạn các bước phải đạt tới vector riêng với giá trị riêng lớn nhất của Hˆ là l, vì mc2 , hay 3 ccˆ fll H f 0. (1.39) Từ (1.33) và (1.39) thu được ˆ22c ˆ ˆ c c H fl H33 H f l l l 1. f l (1.40) ˆ 2 ˆ Do đĩ giá trị riêng c của H và giá trị riêng lớn nhất l của H3 liên hệ với nhau bởi cơng thức: c l l 1 ˆ 2 ˆ Thay vì mơ tả các vec tơ riêng của H và H3 bởi c và m cĩ thể mơ tả bằng l và m. 23
  30. ˆ l Nếu tác dụng liên tiếp tốn tử hủy H thu được vector riêng fm thì sau l ˆ một số hữu hạn các bước phải đạt đến vector f với trị riêng thấp nhất của H3 là  vì mc2 , hay nĩi cách khác llˆ f H f 0. (1.41) Theo đĩ kết hợp với (1.33) thu được ˆ22l ˆ ˆ l l H f H33 H f   1. f  (1.42) So sánh (1.42) với (1.40) thấy rằng ll 1  1 , và nghiệm duy nhất của phương trình này cho thỏa mãn là  l. (1.43) Vì vậy, nếu bắt đầu với vector f l , tác dụng liên tiếp tốn tử hủy Hˆ và chuẩn l hĩa sẽ cĩ được chuỗi các vector ll 1 ˆ fl 1 l H f l , ll 1 ˆ fl 2 l 1 H f l 1, . (1.44) . . ll 1 ˆ fm 1 m H f m , tại là m ˆˆll m H f m,. H f m Từ đĩ thu được 24
  31. ll 1 ˆ f  11 H f  Do  l nên sẽ cĩ 21l vector trong chuỗi (1.44). l fm (1.45) m l, l 1, l 2, , l 1, l , thỏa mãn ll ffm,. m''  mm (1.46) Vì là số vector và phải là một số nguyên nên do đĩ l chỉ cĩ thể là một trong những con số sau: 13 l 0, ,1, , (1.47) 22 l Như vậy với mỗi số l sẽ cĩ vector fm là trực giao và mở ra một khơng gian gọi là khơng gian l : l l  m m  f:. f  a fl (1.48) ml Hằng số chuẩn hĩa m : ˆ ˆ ˆ ˆ m m H f m,, H f m f m H H f m f, Hˆ2 H ˆ 2 H ˆ f l l 1 m 2 m . mm 33 Do đĩ, ngoại trừ hằng số pha chưa xác định thì 2 m l l 1 m m l m l m 1 , (1.49) và ˆ l l l H fm l m l m 1. f m 11 m f m (1.50) ˆ ˆ ll ˆ ll Bây giờ xác định Hf m . Đã biết H fmm f 1 nên ta thiết lập H fm  m f m 1 và tính tốn được 25
  32. l lˆˆ l l l l l l  m f m 1,,,,. f m 1 H f m f m 1 f m H f m 1 m 1 f m f m Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn khơng khả quy của SU(2) vì thế m m 1 l m 1, l m  m và ˆ l l l H fm l m 1. l m f m 1 m 1 f m 1 (1.51) Như vậy: Với mỗi giá trị l nguyên hoặc bán nguyên cĩ một khơng gian l l  kéo dài bởi 21l vectơ trực giao fm m l, , l . Trong khơng gian ˆ ˆ ˆ các tốn tử HHH ,,3 được cho bởi (1.36’), (1.50), (1.51) do đĩ tác dụng của bất kỳ phần tử A∈ E(SU(2)) được cho bởi (1.35) trên bất kỳ vector f l nào được cho bởi (1.48) là được xác định. Để chỉ ra rằng với mỗi l thu được ˆˆˆ lll một tốn tử khác nhau, cĩ thể viết HHH ,,3 cho các tốn tử trong (1.36’), (1.50), (1.51). Khơng gian được gọi là khơng gian biểu diễn khơng khả ˆ ˆ ˆ quy của E(SU(2)). Trong khơng gian này, các phần tử HHH ,,3 xác định từ (1.31) được biểu diễn bởi các tốn tử được đưa ra trong (1.36’), (1.50), (1.51). Các tốn tử này được gọi là -chiều biểu diễn khơng khả quy của các ˆ ˆ ˆ 1 tốn tử HHH ,,3 . Cĩ thể thấy chúng phụ thuộc vào l với mỗi l 0, ,1, cĩ 2 một tập hợp các tốn tử khác. Tất cả các vectơ trong là vec tơ riêng của 26
  33. Hˆ 2 với cùng một giá trị riêng và l là bất biến dưới tất cả các A∈ E(SU(2)). ˆ ˆˆ Đặc biệt, vẫn bất biến dưới ảnh hưởng của Jii 1,2,3 và HH , 3 . Nếu biểu diễn được các giá trị cĩ thể cĩ của m trong một biểu diễn khơng khả quy dọc theo một đường thẳng thì ta cĩ được sơ đồ Weight của phép biểu diễn được đặc trưng bởi giá trị riêng l của SU(2). Với l = 2 cũng được thể hiện l trong Hình 1.11. Mỗi điểm tương ứng với một vector cơ sở fm trong khơng gian biểu diễn hoặc tương tự cĩ một chiều của khơng gian con tương ứng được kéo dài bởi . Mỗi khơng gian con như vậy (hoặc vector cơ sở) biểu thị cho một trạng thái vật lý thuần túy. Do đĩ mỗi điểm trên sơ đồ Weight tương ứng với một trạng thái vật lý thuần túy. Khơng gian con nhỏ nhất là 0 , là khơng gian một chiều, biểu thị trong Hình 1.12. Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2). 27
  34. Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn khơng khả quy của SU(2). Vậy cĩ một sơ đồ Weight cho mỗi biểu diễn và tác dụng của các tốn ˆˆ tử HH , cĩ thể được biểu diễn trong sơ đồ này, như biểu diễn trong Hình 1.13. Đối với mỗi sơ đồ Weight, cĩ một khơng gian l và với mỗi khơng gian cĩ thể cĩ một trạng thái (hoặc tập hợp các trạng thái) của hệ cơ lượng tử được mơ tả bởi giá trị l. Vì sự tương ứng giữa tốn tử Lˆ ở (1.22) và moment xung lượng cổ điển I ở (1.20), số l được gọi là số lượng tử moment xung lượng: Lˆ22 fll l l1. f Do đĩ moment xung lượng trong cơ lượng tử chỉ cĩ thể là một giá trị rời rạc. Trạng thái vật lý tương ứng với một khơng gian xác định và được 1 1 mơ tả bởi tốn tử thống kê Wˆ dim l  l 2l 1  l tại l là phép chiếu trên khơng gian cĩ một moment xung lượng xác định l. Ngoại trừ l= 0 thì trạng thái như trên khơng phải là trạng thái thuần túy mà là một trạng thái hỗn hợp. Để cĩ một trạng thái thuần túy địi hỏi khơng chỉ một phép đo 2 của L mà cịn cả một phép đo của L3 hay bất kỳ phần tử nào khác của vector 28
  35. L. Nếu giá trị của L3 luơn là m thì trạng thái của khơng gian này sẽ là trạng thái l l l thuần túy được biểu thị bởi phép chiếu  mff m m trên khơng gian con l một chiềum . Khơng gian l là tổng trực tiếp các khơng gian con một chiều , l ll   m , (1.52) ml l và mỗi khơng gian được kéo dài bởi fm vector. ˆ Khơng phải tất cả các tốn tử tuyến tính Jii 1,2,3 thỏa mãn (1.28) ˆ cĩ thể được đưa ra bởi (1.22). Nên cĩ thể chứng minh rằng các tốn tử Li cho bởi (1.22) chỉ cĩ thể được biểu diễn bởi các tốn tử trong khơng gian với l 0,1,2, Như vậy đối với các tốn tử được cho bởi (1.22) cĩ một số đếm ˆ l được các biểu diễn của Li trong khơng gian , cịn lại là bất biến dưới tác ˆ l dụng của Li . Tuy nhiên các khơng gian trên là khơng bất biến dưới tác ˆ ˆ dụng của các tốn tử Q j và Pj .Áp dụng (1.13) và định nghĩa (1.22), tính tốn trực tiếp ta cĩ Lˆ ,, Qˆˆ i Q i j ikl k (1.53) Lˆ,. P ˆ i P ˆ i j ikl k Các tốn tử như Pˆ và Qˆ thỏa mãn các hệ thức giao hốn với Lˆ, được gọi là tốn tử vector. Từ (1.53) thu được Lˆ2, Qˆ i LQ ˆ ˆ Q ˆ L ˆ 0, j ikl i k k i 29
  36. ˆ ˆ2 ˆ do đĩ Q j sẽ thay đổi trị riêng ll 1 của L . Hay nĩi cách khác là Q j cĩ thể l l ' ˆ biến đổi từ khơng gian sang với ll '. Các tốn tử Li trong khơng gian 1 3 5 với l , , , hoặc bất kỳ tổng trực tiếp nào của chúng, 222 l  l khơng thể được biểu thị dưới dạng hàm số của các tốn tử Qˆ và Pˆ . Đối với i i 1 l các tốn tử Lˆ l 1/2 được gọi là tốn tử spin. Ma trận vuơng  với các 2 i i ll 1/2ˆ 1/2 phần tử ma trận 2 ffm' ,L i m được gọi là ma trận Pauli. 1.3. Phổ năng lƣợng của Rotator của phân tử hai nguyên tử Đại số bao E(SU(2)) khơng chứa các tốn tử biến đổi trong một khơng gian xác định. Tuy nhiên trong cơ học lượng tử, dạng đại số của các đại lượng của Rotator là lớn hơn E(SU(2)) , các phần tử bổ sung cĩ thể được hình thành, ví dụ: các hàm số của Ji và Pi hoặc của và Qi . Ví dụ: đại lượng cĩ tính chất biến đổi từ đến lân cận l 1 và l 1 : l l 11 l Qi :,   (1.54) nhưng khơng thể cĩ ln với n > 1. Khơng gian  là tổng trực tiếp của các khơng gian :   l . (1.55) l 0 Ta cĩ khơng phải là một khơng gian biểu diễn khơng khả quy của nhĩm bao E(SU(3)). được gọi là khơng gian biểu diễn khả quy. Các tốn ˆ ˆ ˆ tử HHH ,,3 là các tốn tử trong khơng gian lớn và khơng gian con của 30
  37. ˆ ˆ ˆ khơng gian  là bất biến với HHH ,,3 và với mọi A∈ E(SU(2)). Nên sẽ cĩ ll 1 phổ khơng tầm thường trong khơng gian , cụ thể là phổ: H2 l l 1 , l 1,2,3,  (1.56) Sơ đồ Weight đối với biểu diễn trong khơng gian được thể hiện trong Hình 1.14. Chứng minh phát biểu (1.55). Giả thuyết rằng Ji là moment xung lượng LQPi ikl j k thì chỉ các giá trị nguyên của l là thỏa mãn hay nĩi cách khác khơng gian chỉ chứa khơng gian con l khi l 0,1,2, và theo (1.54) các đại lượng của Rotator (ví dụ, các tốn tử Qi ) biến đổi từ khơng gian đến lân cậnl 1 và l 1 . Mỗi khơng gian chỉ xuất hiện một lần và thực tế thì khơng cần thêm số lượng tử đối với Rotator. Nếu một l0 xuất hiện hai lần trở ll00 lên thì sẽ cĩ hai hoặc nhiều vector ffmm 1 , 2 , với các số lượng tử l, m và số lượng tử mới cần thiết để phân biệt giữa hai hay nhiều vector. Nhưng Rotator chỉ là mơ hình mà khơng cĩ đại lượng chéo nào khác ngồi moment 2 xung lượng ( L và L3 ). Rotator chỉ là một mơ hình gần đúng. Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn khơng khả quy SO(3, l) hoặc E(3). 31
  38. Như vậy sự chứng minh của (1.55) là về bản chất của các hệ vật lý mà trạng thái vật lý (đến một giới hạn nhất định) được mơ tả bởi khơng gian  Mỗi dấu chấm trên sơ đồ Weight của khơng gian đại diện cho trạng l thái thuần túy được mơ tả bởi một khơng gian con m (l, m cố định) được l ˆ l l kéo dài bởi fm . Các tốn tử thống kê cho trạng thái thuần túy W m tại m là phép chiếu trên khơng gian biểu diễn một hệ cơ lượng tử mà moment ˆ xung lượng cĩ giá trị xác định l và phần tử của moment xung lượng là H3 cĩ giá trị xác định m. Vì khơng gian là đẳng hướng và hệ tọa độ được chọn là tùy ˆ ý nên H3 được chọn để biểu thị cho moment xung lượng theo hướng bất kỳ và được gọi là đường xoắn ốc. Các giá trị của tốn tử năng lượng trong khơng gian được hiểu là phổ năng lượng của Rotator thu được từ (1.23) như phổ 1 2 H El l l 1. (1.57) 2I Vậy các mức năng lượng phụ thuộc vào l như thể hiện trong sơ đồ Hình 1.15. Nếu so sánh với Hình 1.9 thấy rằng Rotator là phổ năng lượng cần thiết để giải thích phổ hồng ngoại của các phân tử hai nguyên tử. 32
  39. Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3]. Trái ngược với dao động, các khơng gian năng lượng riêng (hay là khơng gian của các vector cĩ cùng giá trị năng lượng riêng) của Rotator khơng phải là khơng gian một chiều, trừ khơng gian ứng với l = 0. Vì vậy trạng thái của Rotator cĩ giá trị năng lượng xác định El 0 khơng nhất l0 0 thiết phải là trạng thái thuần túy. Nếu phép đo năng lượng chỉ được dùng với kết quả E thì tốn tử thống kê được cho bởi: (chưa chuẩn hĩa) l0 Wˆ l0 (1.58) Hay (đã chuẩn hĩa) 1 1 ˆ ll00 W Tr  2 l0 1  (1.58’) l0 trong đĩ  là phép chiếu trên khơng gian 21l0 chiều. Chỉ bằng phép đo năng lượng khơng thể cĩ trạng thái thuần túy của Rotator. Với điều kiện bổ 33
  40. sung nếu một hướng trong khơng gian được xác định (ví dụ: bằng từ trường bên ngồi) thì cĩ thể cĩ một trạng thái xác định cĩ tính xoắn ốc hay nĩi cách khác chính là trạng thái thuần túy l0 . m0 Wˆ  l0 l 0  l 0   l 0 l 0 (1.59) l0 l 0 1 m l 0 Để tính tốn tần số cĩ thể được phát ra và hấp thụ bởi Rotator, chúng ta phải biết các quy tắc lọc lựa. Ta cĩ moment lưỡng cực quay D với D cons tQ , (1.60) trong đĩ Q là vector khoảng cách giữa tâm của các điện tích dương và âm. Bức xạ là kết quả của việc xoay moment lưỡng cực điện. Trong cơ lượng tử, cường độ của bức xạ hấp thụ hoặc phát ra tỷ lệ thuận với bình phương modun của phần tử ma trận của tốn tử Dˆ 2 ll' fm' Q i f m . (1.61) l ' l Do đĩ, bức xạ lưỡng cực sẽ chỉ thu được khi chuyển từ trạng thái fm' đến fm phần tử ma trận (1.61) là khác khơng (tứ cực và bức xạ bậc cao là khơng đáng kể). Nên ll' fm' Q i f m 0 (1.62) trừ khi ll '1. Vậy quy tắc lọc lựa đối với bức xạ lưỡng cực của Rotator là l l l' 1. (1.63) Nếu so sánh kết quả trên với kết quả thực nghiệm của CO được mơ tả trong Hình 1.9 sẽ thấy hồn tồn phù hợp. Hình 1.9 cho thấy sự chuyển giữa các trạng thái khơng chỉ với các giá trị khác nhau của moment xung lượng l mà cịn với các giá trị khác nhau của số lượng tử dao động n. 34
  41. Kỳ vọng rằng bức xạ từ các quá trình chuyển giữa các trạng thái Rotator khác nhau của phân tử hai nguyên tử thuộc cùng một trạng thái dao động ứng với n = 0. Những chuyển tiếp hồng ngoại được biểu diễn bằng ký hiệu trong Hình 1.15. Tần số bức xạ hồng ngoại được cho trong các đơn vị của số sĩng cm-1 thu được bằng cách chia (1.1) cho c, là EEll' vll' . 2 c Từ (1.57) và (1.63) thu được 2 l 1 l 2 l l 1 v ll 1, 22Ic (1.64) 2 l 1 B 2 l 1 , 4 cI tại h B 2 8 cI Do đĩ, phổ của một Rotator bền vững đơn giản gồm một tập hợp các đường thẳng cách đều như được vẽ trong sơ đồ ở cuối Hình 1.15. Mong đợi rằng tần số quay chuyển đổi thuần túy sẽ nhỏ hơn nhiều tần số rung vì khoảng cách giữa các mức năng lượng quay thấp hơn nhiều khoảng cách giữa các mức năng lượng rung như trong Hình 1.9. Phổ quay thuần túy nằm xa vùng hồng ngoại. Kết quả đo thực nghiệm của phổ hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại được đưa ra trong cột thứ hai của Bảng 1. Từ (1.64) mong đợi rằng các tần số sẽ là những khoảng cách đều. Vì vậy trong phần cột thứ ba của bảng, hiệu số giữa các tần số liên tiếp là xác định. Theo (1.64) hiệu số giữa các tần số liên tiếp được xác định v vl 1, l v l , l 1 2. B (1.65) 35
  42. Thay giá trị của mười một tần số đầu tiên cĩ khoảng cách gần bằng nhau vào (1.64) thu được h 1 BHCl 2 10.35 cm . (1.66) 8 cI HCl Ở cột thứ tư của bảng là các giá trị được tính từ (1.64) với giá trị (1.66). Ta thấy khá phù hợp giữa các giá trị tính tốn được và các giá trị quan sát được nếu chỉ so sánh 11 tần số đầu tiên trong cột hai với cột bốn. Hiệu số giữa các tần số liên tiếp ngày càng giảm khi mức giá trị của l tăng. Các tần số là khơng cách đều nhau nên cĩ thể thay đổi (1.64) để cĩ được hiệu số tốt hơn ở các giá trị cao hơn của l. Cột cuối cùng của bảng phù hợp với 3 vll 1, 2 b l 1 4d l 1 (1.67) Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại. 36
  43. (b, d là hằng số). So sánh cột cuối với các giá trị trong cột thứ hai thấy rằng hiệu số (1.67) phù hợp với dữ liệu thực nghiệm hơn (1.64). Phổ năng lượng tương ứng với (1.67) được cho bởi E bl l 1 dl2 l 12 2 c t (1.68) (b, d là hằng số). Mức năng lượng (1.68) đã được rút ra trong Hình 1.16 với giá trị phĩng đại là d. Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator khơng bền vững[3]. Để so sánh, mức năng lượng của rotator bền vững tương ứng được chỉ ra bởi các đường nét đứt (đối với J <6 khơng thể được vẽ riêng). Giải thích cho sự phù hợp hơn của (1.68) với các giá trị thực nghiệm là phân tử hai nguyên tử HC1 khơng phải là một Rotator bền vững. Các liên kết giữa các nguyên tử khơng bền vững và khoảng cách giữa các nguyên tử biến thiên với tốc độ gĩc dẫn đến sự biến dạng ly tâm. Phương trình (1.68) cĩ thể thu được nếu xét trong đĩ phân tử được coi là hai quả cầu rắn(nguyên tử) nối với nhau bởi một lị xo. Nếu phân tử xoay quanh một trục vuơng gĩc với lị xo 37
  44. này thì ở trạng thái cân bằng, lực ly tâm 23/ x cân bằng với lực hướng tâm k x xe trong đĩ k là hằng số lị xo và xe là khoảng cách giữa các nguyên tử của phân tử tĩnh. Như vậy 2 k x xe 3 . (1.69) x Năng lượng của hệ là 2  1 2 E 2 k x xe . (1.70) 22x Mà 22 xx e xx e 1 2 (1.71) xe Do đĩ thu được năng lượng E 112 2 2 2 3 EO 2  2 6 (  ) ((  ) ). (1.72) 22xxee Số hạng đầu tiên là năng lượng của Rotator bền vững và số hạng thứ hai là lực ly tâm. Thế 2 với tốn tử Lˆ2 sẽ thu được tốn tử năng lượng ˆ11 ˆ2 ˆ 2 2 HLL 2 2 6 (), (1.73) 22xxee thấy rằng : 1 bHCl 10.438 cm , 1 (1.74) dHCl 0.00046 cm . Điều này cho thấy Rotator bền vững là một mơ hình phù hợp của phân tử hai nguyên tử quay. Và khoảng cách giữa các bậc của phân tử CO quay là nhỏ hơn đáng kể so với phân tử HC1. Do đĩ phổ quay thuần túy của CO nằm ở vùng cĩ bước sĩng dài hơn đáng kể. Từ giá trị (1.66) cĩ moment quán tính của HC1là: 38
  45. 40 2 IHCl 2.71 10 cm . Với 35.45 mg 6.0 10 23 , Cl N A 1.008 23 mgH 0.167 10 , N A kết hợp với (1.19) cĩ được mmCl H 24 HCl 1.63 10 g mmCl H Từ (1.18) cĩ thể tính tốn khoảng cách giữa các hạt của các phân tử HC1 sử dụng các giá trị IHCl vàHCl : 8 xHCl 1.29 10 cm Như vậy, chúng ta đã tính tốn theo phổ hấp thụ hồng ngoại kích thước 8 của phân tử là bậc của10cm . Bậc của độ phĩng đại phù hợp với các giá trị của bán kính nguyên tử và phân tử thu được từ những khảo sát cổ điển. Và x là giá trị cho hình ảnh cổ điển của hệ cơ lượng tử và khơng phải là giá trị kỳ vọng của một đại lượng trong hệ cơ lượng tử. 39
  46. Chƣơng 2. Một số bài tốn về phổ năng lƣợng Bài tốn 1. Xét một hạt cĩ khối lượng m = 0.51 MeV/c2 trong một hố thế [2]: V0 xa , V()x V0 6 eV, a 1.4 Å 0 xa . a) Cĩ bao nhiêu trạng thái liên kết và số tính số năng lượng của các trạng thái đĩ. Cho biết thế nhiễu loạn được xác định bởi: V ( x )  ( x b ),  0, a b a . (1) b) Giả sử giá trị b của hiệu chỉnh bậc nhất E0 theo năng lượng của trạng thái cơ bản là cực đại và  1eVÅ. Với giá trị nào của thì kết quả là chấp nhận được? Lời giải a) Biết rằng, một hố thế hình chữ nhật cĩ chiều sâu V0 và chiều rộng 2a cĩ một số trạng thái liên kết bằng số nguyên thấp nhất lớn hơn hoặc bằng: 2 22 2 2mVa0 3.1 2 1.1 2 mVa 0 aaVeaBB 0 2 . Vì vậy hệ cĩ hai trạng thái liên kết mà năng lượng thu được bằng số nghiệm của phương trình tương ứng với trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu 2 2 2 2 2 tiên: tan  2mV00 a  ,  tan  (2 mV a )  22 Tại  ka 2 ma ( V0 E ) . Ta thấy 0 0.97 và1 1.71 Vậy: 222 2 2 aeB E0  0tan  0 2 (  0 tan  0 ) 4eV; 22ma a aB 40
  47. 2 2 E1  1tan 1 2 0.11eV. 2ma b) Nếu  0 ()x là hàm sĩng đã chuẩn hĩa của trạng thái cơ bản khơng nhiễu (1) 2 loạn, ta cĩ Eb00 () là một cực đại cho b 0. Ta lại cĩ: cos(kx0 ) 0 xa 00()()x x A cos(ka0 ) xa 2 2 2 Với ka00  và 0 (k 0 a ) 2 mV 0 a , Vậy: 1 2 2 cos (k00 a ) sin(2 k a ) -1 (1) 2 Aa 1 0.42Å EA0  0.42eV. k00 a2 k a Ta được kết quả của hiệu chỉnh bậc nhất là chấp nhận được (1) EEE0 1 2 3.9 eV  9.3 eVÅ. Bài tốn 2. Hàm Hamiltonian của hạt trong dao động một chiều là: p2 1 1 1 H kq2 k qq 2  H k 2 , k 0 2m 2 20 2 1 Coi số hạng kq 2 (đối với các giá tri thích hợp của k ) như một nhiễu loạn 2 theo H0 [2]. 1 0 a) Tính hiệu chỉnh bậc nhất En theo giá trị riêng En của . 2 b) Tính hiệu chỉnh bậc hai E0 theo năng lượng của trạng thái cơ bản. Lời giải 1 a) Ta cĩ E(1) k n q 2 n . n 2 Số hạng n q2 n cĩ thể được tính theo nhiều cách 41
  48. 11 1 k Mà n kq2 n E (0) EE(1)(). (0) 22n nn2 k b) Cơng thức tính hiệu chỉnh bậc hai là: 1 2 2 0 k q s 2 02q2 2 k E0  (0) (0) s 0 EEs 0 42 k 2 2 ( )2 0 ( † ) 2 2 82m 2 11kk 2 2 2 (0) ( ) 0 2 ( ) E0 32kk 8 Với (  km/ ) Bài tốn 3. Hàm Hamiltonian của dao động tử điều hịa một chiều với ngoại lực F khơng đổi là [2] p2 1 H m22 q Fq  H Fq 22m 0 a) Tìm hàm riêng và trị riêng của hàm Hamiltonian H . Coi số hạng -Fq như là một nhiễu loạn, tính tác dụng của nĩ trên mức khơng nhiễu loạn của dao động bằng lý thuyết nhiễu loạn. b) Tính bậc của lý thuyết nhiễu loạn tại thời điểm mức năng lượng chung nhận đĩng gĩp từ nhiễu loạn. c) Các biểu thức của hiệu chỉnh bậc 3 và bậc 4 theo mức năng lượng khơng 1 suy biến En do nhiễu loạn V là, nếu En 0 3 VVVna ab bn En  a, b n EEEEa n b n 2 VVVV V EE 42 na ab bc cn na nnEEEEEE 2 a,, b c n a n b n c n a n EEan 42
  49. Chứng minh rằng hiêụ chỉnh bậc ba và bậc bốn theo năng lượng của trạng thái cơ bản do nhiễu loạn -Fq, là đang biến mất. Lời giải a) Các giá trị riêng của H là: 11F 2 En ().  n 22m2 Các hàm riêng của thu được bằng cách tịnh tiến những H0 bằng F m22: x x F m . 2 b) Khi hiệu chỉnh theo giá trị riêng khơng nhiễu loạn là tỷ lệ với F , ta cĩ: 2 n q n (2) 2 EFn  sn EEsn 2 F 2 2 n q n z n q n 1  và q i n1 2 m , q i n2, m nn,1 nn,1 (2) 2 2 Vậy En F2. m (1) c) Cĩ E0 0. giống như qnn,1 , chỉ các phần tử ma trận bất biến của q , là biến mất (đi từ 0 đến 0 bởi bậc của 1, số bậc là chẵn). 2 2 2 q q q q (4) 4 01 12 01 01 EF0 0. 2  32 Bài tốn 4. Xét dao động điều hịa một chiều của khối lượng m và tần số gĩc  nhiễu loạn bởi thế [2]: V() x gx4 e x 2 b 2 43
  50. Tại b a m . Trạng thái trong đĩ nhiễu loạn gx4 nằm trong vùng lớn hơn nhiều chiều dài đặc trưng a của dao động và tiến dần đến 0 khi x . a) Tính hiệu chỉnh bậc nhất của nhiễu loạn lên trạng thái cơ bản của dao động. Điều kiện: nằm trong giới hạn áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn g  , kết quả là cĩ nghĩa cho cả g 0 và g 0 . b) 4 1  1 V(),() x gx f x b f  4 1   1 Do đĩ Vx() là hằng số cho xb (bỏ qua lực tương tác). Chứng minh rằng khi b hiệu chỉnh bậc nhất theo năng lượng của trạng thái cơ bản của dao động đồng quy liên quan đến nhiễu loạn . Lời giải a) Áp dụng biểu diễn Şchrưdinger: 52 (1)gg 4 x2 (1 a 2 1 b 2 ) 3 1 1 E0 x e dx 22 a 4a a b 3 ab45 g 4 (ab2 2 ) 5 2 Trong trường hợp, cho gm23 , kết quả là cĩ nghĩa. Thật vậy, độc lập với các dấu hiệu của g , hàm Hamiltonian chỉ cĩ trạng thái cơ bản, nên nĩ là nhiễuloạn (và nĩ là đúng) mà một dãy nhiễu loạn cĩ bán kính bất biến của đồng quy. b) Ta cĩ: g E(1)2 x 4 e xa 2 2 f ( x b ) dx 0 a 0 44
  51. Vậy, khi f( x b ) 1 địi hỏi giới hạn b cĩ thể được thực hiện trước khi lấy tích phân luận đề sau. Nĩ cĩ thể đưa ra ước tính tốc độ đồng quy: 22gx 2 g 22 4 e x2 a 2 x 4(1 ( bxdx ) 4 ) ex x a 4 (1 bx ) dx aa bb2b 4 22 g 2 g a ab 2 2 ()y24 b e y a dy e b a ab b2 ab Cho ba 10 bằng phép tính gần đúng (ga4 ) 3.8 10 43 . Bài tốn 5. Xét các dao động điều hịa một chiều mà hàm Hamiltonian khơng nhiễu loạn là H0 và: pm22 H q23 gq  H H 22m 0 a) Tìm thứ nguyên của hằng số ngẫu hợp g và viết H theo hình thức Hq  3 (khơng cĩ thừa số vơ ích) đê hằng số ngẫu hợp  là khơng thứ nguyên. b) Tìm hiệu chỉnh bậc nhất của nhiễu loạn H trên mức năng lượng khơng nhiễu loạn. 2 c) Tính hiệu chỉnh bậc hai E0 theo năng lượng của trạng thái cơ bản.[2] Lời giải a) Thứ nguyên của hằng số ngẫu hợp g là năng lượng/(chiều dài)3. Giống như m là chiều dài đặc trưng của dao động điều hịa , đặt gm    32,  là khơng thứ nguyên và: m H  m23 q . 45
  52. (1) 3 b) Đối với bậc một En  n q n 0, do các quy tắc lựa chọn về tính chẵn lẻ (q3 là một tốn tử lẻ). c) Đối với bậc hai: 2 3 2 3 2 03q 0 qs g 2 E(2) g 2 0 q 3 1 . 0  EE(0) (0)  3 s 0 s 0 Phần tử ma trận 01q3 và 03q3 cĩ thể tính được bằng nhiều cách, do đĩ thu được : 32 33 qi0 ( ) 3! 3 3 1 2m Từ: 2 3 (2)11g 11 2 E0  8 2m 8 Bài tốn 6. Xét ion C6 gồm các hạt nhân của nguyên tử cacbon (Z = 6) và chỉ cĩ một electron (C2, C3, · · · tương ứng là các nguyên tử cacbon đã được ion hĩa một lần, hai lần, · · ·). Giả sử rằng hạt nhân là một quả cầu tích điện đều cĩ bán kính R 2.5 10 13 cm (kích thước hạt nhân là hữu hạn)[2]. a) Vẽ đồ thị của thế năng Ur của electron và viết hàm Hamiltonian của hệ theo hình thức H H0 V r , tại Vr là hiệu số giữa và thế năng của electron trong trường hạt nhân giả định pointlike. 11 1 b) Xét như một nhiễu loạn, tính hiệu chỉnh bậc nhất EE1s, 2s và E2 p 5 : nĩ là đủ để giữ cho bậc bất biến trong Ra/B 4.7 10 . Hiệu chỉnh một phần với năng lượng ion hĩa của C6 là gì? Lời giải 46
  53. a) Thế được tạo thành bởi điện tích phân bố đều trong một quả cầu , với 2 rR thế năng là Z e r. Ta cĩ: p 22 Ze HHV 0 (r ); H0 2mre Ze2 Ze 2 13 r 2 2 rR V()r r R 22 R rR . 0 2 2 2 R Ze Ze 13 r b) E(1) R 2() r r 2 dr 1s 0 1,0 2 r R 22 R 2 3 2 2 2 4 2 R Z Ze Ze 1 r 3 2 Z e R 4 r2 dr 0 32 aBBB r R 2 R 2 5 a a 3.1 10 5 eV. Năng lượng ion hĩa của C 6 là Z 2 13.6 490 eV, vì vậy EE 6 10 8 . 2 3 2 2 2 4 2 R 1Z Ze Ze 1 r 3 Z e R E(1) r 2 dr 2s 0 32 2aBBB r R 2 R 2 20 a a 3.9 10 6 eV. 4 5 2 2 2 4 2 R 1Z Ze Ze 1 r 3 Z e R E(1) r 2 dr 2 p 0 52 24aBBB r R 2 R 2 1120 a a 5.6 10 15 eV. 47
  54. KẾT LUẬN CHUNG Về cơ bản khĩa luận đã hồn thành những nhiệm vụ nghiên cứu đề ra, những kết quả chính của khĩa luận là: Khĩa luận đã giới thiệu và tổng hợp được một số lý thuyết cơ bản về phổ năng lượng của một số phân tử như CO và HCl, sự chuyển mức năng lượng, Rotator bền vững, dạng đại số của moment xung lượng và phổ năng lượng của Rotator. Khĩa luận đã trình bày một số bài tốn về phổ năng lượng của các nguyên tử. Do thời gian tìm hiểu cịn hạn chế và gặp phải một vài khĩ khăn trong việc xử lý tài liệu tiếng anh nên khĩa luận sẽ hồn thiện hơn khi bổ sung được một số lý thuyết về phổ năng lượng của một số phân tử khác và bổ sung được nhiều bài tập hơn về phổ năng lượng. 48
  55. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Arno Bohm (1993), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, New York. [2] Emilio d'Emilio, Luigi E. Picasso(2017), Problems in Quantum Mechanics_ with Solutions, New York. [3] G. Herzberg(1966), Molecular Spectra and Molecular structure, D. van Nostrand, New York. [4] I. M. Gelfand, R. A. Minlos, Z. Ja. Shapiro(1963), Representation of the Rotation Group and of the Lorentz Group, Pergamon Pres, New York. [5] L. C. Biedenharn, J. D. Louck(1979), Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, Mass. [6] M. Hamermesh(1962), Group Theory, Addison-Wesley, Reading, Mass. [7] N. L. Alpert, W. E. Keiser, H. A. Szymanski(1970), Theory and Practice of Inrared Spectroscopy, Wiley, New York. [8] R. P. Bauman(1962), Absorption Spectroscopy, Wiley, New York. 49