Khóa luận Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn

Nội dung text: Khóa luận Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦ N THI ̣THẮ M NGHIÊN CỨ U SỨ C CĂNG MĂṬ NGOÀ I CỦ A NGƯNG TU ̣ BOSE-EINSTEIN MÔṬ THÀ NH PHẦ N TRONG THỐ NG KÊ CHÍNH TẮ C LỚ N Chuyên ngành: Vâṭ lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦ N THI ̣THẮ M NGHIÊN CỨ U SỨ C CĂNG MĂṬ NGOÀ I CỦ A NGƯNG TU ̣ BOSE-EINSTEIN MÔṬ THÀ NH PHẦ N TRONG THỐ NG KÊ CHÍNH TẮ C LỚ N Chuyên ngành: Vâṭ lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. NGUYỄN VĂN THU ̣ HÀ NỘI, 2018
3. LỜ I CẢ M ƠN Trướ c khi trình bày nôị dung chính của khóa luâṇ tố t nghiêp,̣ tôi xin gử i lời cám ơn tới PGS. TS Nguyêñ Văn Thu ̣ ngườ i đa ̃ đinḥ hướng choṇ đề tài và đa ̃ hướ ng dâñ tôi rấ t tâṇ tinh̀ để tôi làm tố t khóa luâṇ . Đồ ng thời tôi cám ơn giảng viên của bô ̣ môn Vâṭ lý lý thuyết của trường Đaị hoc̣ sư phaṃ Hà Nôị 2 đa ̃ hỗ trơ ̣ và giúp đỡ tôi trong thời gian hoc̣ tâp̣ cũng như thưc̣ hiêṇ khóa luâṇ . Hà nôi,̣ tháng 5, năm 2018. Tá c giả Trần Thi Tḥ ắ m
4. LỜ I CAM ĐOAN Cùng vớ i hướ ng dâñ của PGS.TS Nguyêñ Văn Thu ̣ khóa luâṇ tố t nghiêp̣ chuyên ngành Vâṭ lý lý thuyết, đề tài “Nghiên cứ u sứ c căng măṭ ngoài của ngưng tu ̣Bose-Einstein môṭ thành phầ n trong thố ng kê chính tắ c lớ n” đươc̣ cá nhân tôi thưc̣ hiêṇ . Các số liêụ và kết quả nêu trong đây là trung thưc̣ và chưa đươc̣ công bố ở tài liêụ khoa hoc̣ nào. Nếu điều đó không đúng, tôi se ̃ hoàn toàn chiụ trách nhiêm.̣ Hà nôi,̣ tháng 5, năm 2018. Tá c giả Trần Thi Tḥ ắ m
5. DANH MUC̣ CHỮ VIẾ T TẮ T BEC (Bose-Einstein condensate) Ngưng tu ̣Bose-Einstein GPE (Gross-Pitaevskii equation) Phương trình Gross-Pitaevskii DPA (Double-parabola approximation) Gầ n đúng parabol kép GCE (Grand canoical ensemble) Tâp̣ hơp̣ chính tắ c lớ n
6. MUC̣ LUC̣ MỞ ĐẦ U 1 1. Lý do choṇ đề tài. 1 2. Muc̣ đích nghiên cứ u. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. 2 5. Những đóng góp mới của đề tài. 2 6. Phương pháp nghiên cứu. 2 CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN. . 3 1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein. 3 1.1.1. Về măṭ lý thuyết. 3 1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm. 4 1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium. 4 1.1.2.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. 5 1.2. Lý thuyết trường trung bình. 6 1.2.1. Thế tương tác 6 1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii phu ̣thuôc̣ vào thời gian. 9 1.3. Phương pháp gần đúng Parabol kép. 11 KẾ T LUÂṆ CHƯƠNG 1 13 CHƯƠNG 2 SỨ C CĂNG MĂṬ NGOÀ I CỦ A NGƯNG TU ̣ BOSE-EINTEIN MÔṬ THÀ NH PHẦ N TRONG THỐ NG KÊ CHÍNH TẮ C LỚ N. 14 2.1. Các hệ thống kê. 14 2.1.1. Nghiên cứ u hệ hạt đồng nhất. 14 2.1.2. Nghiên cứ u hệ vi chính tắc. 16 2.1.3. Nghiên cứ u hệ chính tắc. 17 2.1.4. Hệ chính tắc lớn. 22 2.2. Trạng thái cơ bản gần đúng parabol kép. 24
7. 2.3. Sức căng mặt ngoài trong thố ng kê chính tắc lớn. 25 2.3.1. Sứ c căng măṭ ngoài. 25 2.3.2. Sứ c căng măṭ ngoài trong thố ng kê chính tắ c lớn. 27 KẾ T LUÂṆ CHƯƠNG 2 29 KẾ T LUÂṆ 30 TÀ I LIÊỤ THAM KHẢ O 31
8. MỞ ĐẦ U 1. Lý do choṇ đề tài. Albert Einstein(1987-1995)-một nhà vật lý lý thuyết người Đức, ông đã phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại. Nói tới ông nói tới hàng loạt những công trình nghiên cứu vi ̃ đại có sức ảnh hưởng vô cùng lớn trong thế kỷ 20, trong đó có nghiên cứu về ngưng tụ Bose- Einstein (Bose-Einstein Condansate-BEC). 1995, ở trạng thái này các nguyên tử sơ khai đươc̣ ngưng tu ̣thành công bằ ng cách làm lanḥ tớ i nhiêṭ đô ̣thấ p nhấ t, với các tính chất khác biêṭ. Thấy rằng việc nghiên cứu ra đươc̣ nguyên tử ở trạng thái BEC mang đến ý nghĩa quan trong̣ là tạo ra đươc̣ trang̣ thái tồ n taị mới của vâṭ chấ t. Mà chúng bị nhố t taị năng lượng cưc̣ tiểu , bên canḥ đó còn đem đến vô số triển vọng đố i với vật lý cơ bản và vớ i công cuôc̣ nghiên cứ u khoa học cho loài người. Ngoài ra, ở trang̣ thái BEC ta còn thấ y được các hiệu ứng vật lý mà không thể tìm thấ y ở những trang̣ thái khác, ví du:̣ siêu dẫn, siêu chảy Nhìn ra vô số ý nghiã của viêc̣ nghiên cứu trạng thái BEC cũng như mong muốn nghiên cứ u nhiều hơn về trạng thái BEC tôi chọn “Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn” làm đề tài nghiên cứ u của mình. 2. Muc̣ đích nghiên cứ u. Tìm đươc̣ sứ c căng măṭ ngoài của BEC môṭ thành phầ n trong thố ng kê chính tắ c lớ n. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Xây dưng̣ phương trình Gross-Pitaevskii tổng quát và phương pháp gầ n đúng parabol kép. 1
9. Nghiên cứu về sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Hê ̣ ngưng tu ̣ Bose-Einstein môṭ thành phầ n trong thố ng kê chính tắ c lớn. 5. Những đóng góp mới của đề tài. Nghiên cứ u trạng thái BEC một thành phần trong thống kê chính tắc lớn góp phầ n mang laị môṭ số ý nghiã cho Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và cả Vật lý lý thuyết. 6. Phương pháp nghiên cứu. Phương trình Gross-Pitaevskii. Sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép. Tính toán và trinh̀ bày hình nhờ vào phần mềm Mathematica. 2
10. CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN. 1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein. 1.1.1. Về măṭ lý thuyết. BEC được phát hiện bởi Satyendra Nath Bose và Einstein. Từ năm 1924 tư tưởng về BEC đa ̃ đươc̣ một nhà vật lý và toán học ở Ấn Độ là Satyendra Nath Bose hình thành, khi Bose xem xét các nhóm photon hành xử như thế nào. Photon thuộc về một trong hai lớp lớn của các hạt cơ bản hoặc siêu nhỏ xác định bởi dù lượng tử của nó quay là một số nguyên hay bán nguyên. Bao gồ m hai loai:̣ thứ nhất được gọi là boson bao gồm các photon mà spin của nó là 1, thứ hai gọi là fermions bao gồm các electron mà spin của nó là ½ và hai lớp hành xử khác nhau. Theo nguyên tắc lọai trừ Pauli, hạt fermions có xu hướng tránh lẫn nhau, ngược lại một số lượng không giới hạn của boson có thể cùng một trạng thái năng lượng và chia sẻ trạng thái lượng tử duy nhất [2]. Ý tưở ng của Bose đươc̣ Einstein phát triển và tổng quát lý thuyết cho một khí lý tưởng các nguyên tử. Ông dư ̣ đoán khi làm lanḥ các nguyên tử đến môṭ nhiệt độ cực thấp thì bước sóng của chúng se ̃ lớn đến mức xếp chồ ng lên nhau. Các nguyên tử khi ấ y se ̃ hình thành ra trạng thái lượng tử vĩ mô hay là một siêu nguyên tử-tức là một BEC. Vào năm 1925, Albert Einstein đã thể hiêṇ đươc̣ quan điểm cơ bản của một ngưng tụ Bose–Einstein, theo quan điểm của ông một lương̣ lớn các hạt nằ m taị trang̣ thái mứ c thấp nhất và nhiệt độ thấp. Đối với 4He lỏng các nhà nghiên cứ u phát hiêṇ ra sự thay đổi trạng thái vô cùng đăc̣ biêṭ ở 2,19oK và đươc̣ được coi như sự ngưng tụ của khí boson [3]. 3
11. Năm 1938, Fritz London đã giải thích tính siêu lỏng của 4He bằ ng cách đề xuất trạng thái BEC và tính chấ t siêu dẫn của một số vật liệu ở gầ n đô ̣ không tuyêṭ đố i. Năm 1947 Bogoliubov xây dưng̣ thành công lý thuyết về tương tác khí bose ở lĩnh vực BEC, ông đưa ra cách tính tương tác giữa những nguyên tử khi nhố t chúng laị. 1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm. 1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium. Dưạ và những đăc̣ trưng quan trong̣ của chấ t khí lương̣ tử taị nhiêṭ đô ̣ cưc̣ thấ p hỗ trơ ̣ viêc̣ làm cho môṭ số hiêṇ tương̣ vâṭ lý dê ̃ hiểu hơn. Nhóm nghiên cứ u của Francesca Ferlaino quyết đinḥ nghiên cứ u về nguyên tố Erbium, do môṭ số tính chấ t đăc̣ trưng của nó giúp giải quyết đươc̣ nghi ngờ trong vâṭ lý cơ bản. “Erbium tương đối nặng và có tính từ mạnh. Những tính chất này dẫn tới một hành trạng lưỡng cực cực độ của hệ các lượng tử” Francesca Ferlaino nói. Bà và nhóm nghiên cứ u của bà đã làm lạnh nguyên tố phức tạp này nhờ vào phương tiện laser và kỹ thuật giúp làm lạnh bay hơi. Một đám mây chứ a lương̣ lớn erbium có thể taọ một ngưng tụ Bose-Einstein từ tính taị nhiêṭ đô ̣ gầ n đô ̣không kenvil. Taị đây, tính chất đơn lẻ của các haṭ bi ̣xóa bỏ và chúng se ̃ đươc̣ đồng bộ hóa hành trạng. “Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử lạnh”, Francesca Ferlaino nói. Ba nguyên tố hóa học Cesium, Strontium và Erbiu đa ̃ đươc̣ các nhà Vật lý taị Innsbruck ngưng tụ thành công daọ gầ n đây. Vào năm 2002 Rudolf Grimm 4
12. và nhóm của ông có thành công là thu đươc̣ ngưng tụ của Cesium. Cũng là môṭ thành viên trong nhóm đó, Florian Schreck là người trước tiên ngưng tụ thành công Strontium hồi 2009. Và Francesca Ferlaino tiếp tuc̣ thành công với nguyên tố Erbium. Hiêṇ nay có 13 nguyên tố được làm cho ngưng tụ, mười trong số đó được nghiên cứ u từ mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4]. 1.1.2.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. Môṭ số nhà khoa hoc̣ đến từ Đứ c hóa lanḥ phân tử photon để nó chuyển sang dang̣ đố m màu nhờ đó tìm ra đươc̣ loaị ánh sáng mớ i. Từ đó ngườ i ta đa ̃ khám phá ra trang̣ thái vâṭ chấ t mới “trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein” đa ̃ đươc̣ tìm dưạ vào viêc̣ làm lanḥ nguyên tử của chất khí năm 1995, nhưng ho ̣cho rằ ng từ hạt photon không thể taọ ra nó (quang tử). Nhưng Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz là những nhà vật lý thuộc đại học Bonn (Đức) gầ n đây đã thành công và goị tên hạt đó là “các siêu photon”. Làm cho haṭ tồ n taị ở trang̣ thái BEC truyền thố ng thành dang̣ siêu lanḥ cho tới khi hòa vào nhau, không thể phân biệt được với nhau rồ i tạo ra một hạt khổng lồ. Những photon từ ng bi ̣dư ̣ đoán se ̃ không thể đạt được dang̣ trên vì môṭ điều không thể làm đó là làm lanḥ và ngưng tu ̣ ánh sáng cùng môṭ lúc. Photon khi bi ̣làm lanḥ se ̃ bi ̣hấ p thu ̣vào môi trường quanh nó để rồ i biến mấ t vì khố i lương̣ của nó là không đáng kể. Nhưng rồ i bố n nhà vâṭ lý ngườ i Đứ c kia đa ̃ làm lanḥ đươc̣ đươc̣ photon mà nó không bi ̣biến mấ t. Ho ̣ chế ra một thùng nhố t giữ photon làm bằng những tấm gương, những tấ m gương đó chỉ cách nhau một khoảng phần triệu của một mét (1micron). Các phầ n nhỏ các phân tử “thuốc nhuộm” đươc̣ bỏ vào các khoảng vô cùng nhỏ ấ y.Khi photon va chaṃ vớ i các phân tử thuố c nhuôṃ se ̃ bi ̣hấ p thu ̣ rồ i tái phát. 5
13. Trong quá trình va chaṃ các photon bi ̣các tấ m gương giữ chỉ đươc̣ dicḥ chuyển trong khoảng giới han.̣ Khi va chaṃ các photon có thể đaṭ tớ i mứ c nhiêṭ đô ̣phòng nhờ trao đổi nhiêṭ vớ i phân tử thuố c nhuôṃ và taị đó chúng se ̃ taọ thành môṭ trang̣ thái BEC. Thử nghiệm trên đươc̣ nhâṇ xét là “một thử nghiệm mang tính bước ngoặt” đươc̣ James Anglin nói trong tap̣ trí Nature. Thử nghiêṃ trên còn hỗ trơ ̣ viêc̣ ứng dụng trong để tạo ra môṭ số laser mới sinh ra đươc̣ ánh sáng với bước sóng cưc̣ ngắn trong dải tia X hoặc tia cực tím. 1.2. Lý thuyết trường trung bình. 1.2.1. Thế tương tác. Xét hê ̣ BEC thu đươc̣ từ viêc̣ làm lanḥ boson xuố ng nhiêṭ đô ̣ cưc̣ thấ p(0oK). Để khảo sát một hệ bất kỳ ta sử dung̣ biểu thứ c năng lương̣ ở trang̣ thái cơ bản. Phương trình tổng quát của toán tử Hamilton [3]: NNN p2 1 HVrVrr=++− i ,  extiij( ) ( ) (1.1) iij== 11 i 22m với: số hạng thứ nhấ t bên phải biểu thi ̣động năng của hạt thứ i và thứ hai biểu thi ̣tương tác ngoài, thứ ba biểu thi ̣tương tác giữa N hạt của hệ. Phương pháp cực trị đươc̣ dùng để tìm ra năng lượng. Dưạ vào năng lượng tự do thì ta có năng lượng cần làm cho nhỏ nhấ t FEN=− với E là năng lượng còn µ là thế hóa học. Năng lương̣ đươc̣ viết laị thông qua Hˆ và ψ Hˆ E( ) = . (1.2)  Dưạ vào công thứ c (1.2) ta đi tìm năng lương̣ tư ̣ do F. Hê ̣đang khảo sát cho phép liên hợp hàm sóng ψi với bất kỳ hàm sóng nào cùng hệ. Nhưng để giải đươc̣ chúng ta cầ n dưạ vào phương pháp gần đúng trường trung bình. 6
14. Để làm đươc̣ thì trong không gian của hàm sóng thì năng lương̣ tư ̣ do của nó cầ n đươc̣ cưc̣ tiểu hóa, có dang̣  =      với là tenxơ, có  là tích tenxơ của N hàm sóng các hạt (điều kiện chuẩn hóa   =1). Viêc̣ giải bài toán đươc̣ quy về tìm cưc̣ tiểu của FH(=−)  , bây giờ đi tính từng thành phần của biểu thức 2 NNp 2  =i * rr dr  ( iii) ( ) ii==1122mm 2 2 =Nrdr  2m ( ii) (1.3) 2 = −Nrr dr*2 . 2m ( ) ( ) Nghiêṃ của (1.3) có đươc̣ nhờ vào tính chấ t của hàm Green Số hạng mô tả thế năng đươc̣ viết lại n VrNr = Vr dr * .  extit( ) ( ) ex ( ) (1.4) i=1 Tương tác giữa các haṭ của hê ̣đươc̣ biểu thi ̣ 1 NN − V r r  ( ij) 2 i= 1 j i 1 NN =−drrr V r  rrr dr  iiji( jijj ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 i= 1 j i (1.5) NN( −1) ) =−drrr V* r rrr dr , 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Trong công thứ c năng lương̣ tư ̣ do, số hang̣ cuố i N *   = ( (r)  ( r) dr) . (1.6) 7
15. Tính cực tiểu của các công thứ c trên, hay là khảo sát sư ̣ thay đổi nhỏ của các  (r), thưc̣ tế là khảo sát sự thay đổi của các thành phần thực và ảo của  nhưng ta coi  và  * độc lập đố i với biến số. Ta đươc̣ cho (1.3)  * và (1.4). Ở (1.5), đa ̃ có đạo hàm bâc̣ hai hàm sóng  * nhưng r vị trí có thể biến đổi nên  1 nn Vrr − *  ( ij)  2 ii==11 (1.7) 2 * =−−NNrrVrrrdr( 1.)  ( ) ( ) ( ) ( ) Giố ng như thế hóa, ta có   N −1 = Nrr drrr dr * ( ( ) ( ) ) ( ) ( )  (1.8) = Nrr  dr* ( ) ( ) . Thế tất cả các công thứ c trên vào năng lượng tự do F sau đó lấ y biến phân  F = 0  * 2 −++ 2rVrr ( ) ext ( ) ( ) = N 2m  *,(1.9) 2 +−−−(1)''NrV rr( drrr) ( ) ( )  ( ) đa số thế năng tương tác đươc̣ lấ y là 4 2 V rrrr−=−  ( ), (1.10) ( ) m với α là chiều dài tán xạ sóng s, gần đúng NN−1 cuối cùng ta có: 222 − 2 4 ++= (r)  Vext ( r) ( r) Nrrr ( ) ( ) ( ). (1.11) 2mm 8
16. (1.11) đươc̣ goị là phương trình Gross–Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Các boson có cườ ng đô ̣ tương tác vớ i nhau đươc̣ biểu thi ̣qua α, α 0 biểu thi ̣tương tác đẩy. Kết luâṇ năng lượng E bi ̣cưc̣ tiểu hóa tương đương vớ i năng lượng tự do F E=− N  bi ̣cực tiểu hóa. 1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii phu ̣ thuôc̣ vào thời gian. Khảo sát hệ BEC một thành phần, hàm S SdtLdtdrL== ,   1 (1.12) trong gầ n đúng trường trung bình mật độ hàm Lagragian có dạng  Li=− *  ( ), (1.13) 1 t và hàm Hamiton 2 g 4  (=) −  *2 + , (1.14) 22m ở đây ta có: hàm sóng = (rt, ) ở trang̣ thái cơ bản; m-khối lượng hạt; g- hằng số tương tác dương và chúng phu ̣thuôc̣ vào đô ̣dài tán xa ̣sóng 1 ga= 4. 2 (1.15) m s Cực tiểu hóa hàm S theo  *  S = 0, (1.16) * tìm ra phương trình GP phụ thuộc vào thời gian 2  2 2 iUg = − ++ , (1.17) tm 2 với U là thế năng tương tác. Bây giờ hàm sóng viết laị thành −it / =(r,. t)  ( r) e (1.18) 9
17. Thế (1.18) vào (1.17) có phương trình 2 − 3 −+=2 g 0. (1.19) 2m Lúc này thế tương tác se ̃ có dang̣ sau 24g V =−+ . (1.20) 2 Khi các thành phầ n ngưng tu ̣đươc̣ phân bố doc̣ theo phương Oz và có tính chấ t đố i xứ ng tinḥ tiến theo các phương Ox, Oy thì (1.19) se ̃ dươc̣ viết laị 22 − d  3 −+= g 0. (1.21) 2mdz 2 Bây giờ ta đi đưa phương trình về dang̣ không thứ nguyên bằ ng cách đưa vào môṭ số đaị lương̣ : - Đô ̣dài đăc̣ trưng:  = . 2m - Thờ i gian đăc̣ trưng: t = .  Sử dung̣ các biến không thứ nguyên là toạ đô ̣ = z , thờ i gian t, hàm sóng rút goṇ = n0 với no là mâṭ đô ̣khố i của haṭ ng0 =  . 2 dddd2222  1 Ta có: = 2 , ==, 2m dzddzd22222  2 1 d  3 nên (1.21) thành −−+=2  g 0,  22d mà ==gnn00, nên từ phương trình (1.21) đươc̣ 1 d 2 −23gn n − gn n  + gn n  = 0 0 22 0d 0 0 0 0 −d 2 − +3 = 0, (1.22) d 2 10
18. và thế năng tương tác (1.20) đươc̣ viết laị thành 24g Vgnnn=−+ 2 , 000 2 4 V 2  =−+=2  VGP . (1.23) gn0 2 1.3. Phương pháp gần đúng Parabol kép. Khi muố n đi sâu hơn về DPA ta đi xét BEC môṭ thành phầ n giớ i haṇ bởi tườ ng cứ ng. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (1.23) viết laị như sau 4 2  V = − + . (1.24) GP 2 Ở gầ n măṭ thoáng, giá tri ̣mâṭ đô ̣khố i giảm dầ n từ 1 nên ở gầ n đúng bâc̣ thấ p nhấ t lấ y  +1,a (1.25) Trong đó a phải nhỏ và là số thưc̣ . Thế (1.25) vào (1.24) có 241 V= −(11 + a) +( + a) GP 2 1 = −1 − 2a − a2 +( 1 + 4 a + 6 a 2 + 4 a 3 + a 4 ) 2 11 = − +2a2 + 2 a 3 + a 4 . 22 Khai triển VGP lấ y đến gầ n đúng bâc̣ hai đươc̣ 112 Va=22 − 2( − 1) − , (1.26) DPA 22 với VDPA là thế gầ n đúng trong parabol kép. 11
19. 0.4 0.2 V 0.0 0.2 0.4 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Hình 1.1: Đồ thi ̣biểu diêñ thế tương tác theo tham số trâṭ tư ̣ ϕ, đườ ng nét liền ứ ng vớ i thế GP và nét đứ t ứ ng với thế DPA. Thấ y rằ ng thế GP đươc̣ thay bằ ng hai đườ ng parabol nên goị đây là gầ n đúng parabol kép. 12
20. KẾ T LUÂṆ CHƯƠNG 1 Trong chương này tôi đa ̃ trình bày về tổng quan của BEC, đưa ra đươc̣ thế tương tác của hê ̣ BEC môṭ thành phầ n và phương trình GP phu ̣ thuôc̣ cũng như không phu ̣thuôc̣ vào thờ i gian, đồ ng thời tôi cũng trình bày đươc̣ phương pháp gầ n đúng parabol kép. 13
21. CHƯƠNG 2 SỨ C CĂNG MĂṬ NGOÀ I CỦ A NGƯNG TU ̣ BOSE-EINTEIN MÔṬ THÀ NH PHẦ N TRONG THỐ NG KÊ CHÍNH TẮ C LỚ N. 2.1. Các hệ thống kê. 2.1.1. Nghiên cứ u hệ hạt đồng nhất. Nguyên lý đồng nhất. Toán tử Hamilton trong hê ̣N haṭ chuyển đông̣ phi tương đố i tính N ˆ 2 ˆˆˆ Pi HVrrr=++ ( 12,, ,W,n ) (2.1) i=1 2mi với Vˆ biểu thi ̣toán tử tương tác giữa các hạt, Wˆ biểu thi ̣toán tử tương tác spin–quỹ đao.̣ Phương trình Schrodinger có hàm sóng  ˆ iHN−= t  (,2, ,,0, ) (2.2) t trong đó toán tử Hamilton (2.1) biểu thi ̣hàm toạ đô ̣không gian, thời gian và spin. Hê ̣haṭ goị là đồ ng nhấ t là hê ̣có những haṭ không thể phân biêṭ đươc̣ về điện tích, khối lượng, spin . Để xác đinḥ đươc̣ các haṭ này ta phải chỉ ra toạ đô ̣và xung lương̣ cho từ ng hat.̣ Phát biểu nguyên lý: “Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau” [1]. Trạng thái đối xứng và phản đối xứng. Kí hiệu Pˆ la toán tử hạt i và j với nhau và trạng thái của hệ gồ m N hạt ij ̀ đồng nhất là (1,2, ,N , t)  ( i , j). Nếu vậy: Pˆ i,, j= j i và Pˆ j,,. i= i j (2.3) ij ( ) ( ) ij ( ) ( ) ˆ Pij có hàm riêng và tri ̣riêng biểu thi quạ 14
22. ˆ Pijijij( ,,. ) = ( ) (2.4) ˆˆˆˆ22 Chú ý tới (2.4) PijijPPijPjij ( ,,,,,,) === iij ( ) ijijij( ( )) ( ) ( ) ˆ ta thu đươc̣  = 1 là tri ̣riêng của Pij và hàm riêng của nó gồ m a)  =−1 Hàm phản đố i xứ ng là hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì. ˆ Pijaa=− , (2.5) Hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi–Dirac là những hạt có hàm sóng ψa và có spin bán nguyên. b)  =1 Hàm đố i xứ ng là hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì. ˆ Pijss= , (2.6) Haṭ Bose tuân theo thố ng kê Bose-Einstein là những haṭ có có hàm sóng ψs và có spin nguyên. Nguyên lí Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu. Pauli đã đưa ra một nguyên lí cấm cho các Fermion: “Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực (L1,L2,L3,St) bất kỳ đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4 số (L1,L2,L3,St) giống nhau” [5]. Giả thiết, có hạt i và j taị hai trạng thái như nhau trong hê ̣ ˆ Pijjijaaa iij( ,,,,) == −( ) ( ) Thêm nưa j,,, ii= j nên i,, j=− i j ̃ aa( ) ( ) aa( ) ( ) suy ra 2,0 a (ij) = và  a (ij,0) = nói cách khác không có trạng thái như thế của hệ. Bây giờ khảo sát hệ haṭ đồ ng nhấ t trong đó những haṭ tương tác yếu hay coi như không có tương tác. 15
23. Coi phương trình Hˆ l−= l 0 ( ) nl nl ( ) có nghiêṃ là hàm φnl(l), trong đó: toán tử Hamilton của hạt thứ l là Hlˆ ( ) (l=1,2,3, , N), nl là tập hợp các số lượng tử đaị diêṇ cho trạng thái của hạt thứ l. ˆ Thì toán tử H có hàm riêng dạng nnnN12(12.) ( ) (N) Hàm sóng là tích đối xứng hóa của hê ̣Boson NNN12!! ! s  svnnnN=  PN 12(12 ,) ( ) ( ) (2.7) N! v với Pv bao gồ m các hoán vị khả dĩ sao cho nnnN12(12 ) ( ) (N ) khác nhau từng đôi một; N1, N2, , Ns là số các hạt ở trong trạng thái lượng tử n1, n2, , ns tương ứng khác nhau đôi một và N1+N2+ +Ns=N. Hàm sóng có dạng phản đối xứng đố i vớ i hê ̣Fermion nnn111(12) ( ) ( N ) 1 (12) ( ) ( N )  = nnn222 , (2.8) a N! nNnNnN(12) ( ) ( N ) và từ (2.8) suy ra đươc̣ nguyên lí Pauli. 2.1.2. Nghiên cứ u hệ vi chính tắc. Khảo sát hê ̣đoạn nhiệt: HXaEct( ,ons) == , (2.9) Có thể đặt 1 ( XE) =− H X a ( ,,) (2.10) (Ea, ) 1 với thừ a số chuẩn hóa có đươc̣ nhờ điều kiện chuẩn hóa (Ea, ) 16
24. ( X d) X =1 ( X ) =−(EaEHXadX,,. )  ( ) (2.11) ( X ) Phân bố vi chính tắc Gipxơ biểu thi ̣qua công thứ c (2.10), nhờ đó ta tính trị trung bình của bấ t kỳ đại lượng vật lý nào trong hệ cô lập đoạn nhiêṭ 1 FFXEHXadX=− ( )  ( ,.) (2.12) ( X ) (Ea, ) 2.1.3. Nghiên cứ u hệ chính tắc. Giả sử hệ muố n xét là C1 và C2 (hệ điều nhiệt vớ i số bâc̣ tư ̣ do rấ t lớ n so với hê ̣đẳng nhiêṭ đang muố n), số hạt lần lượt là N1, N2 và được mô tả thông qua X1, X2 và có NN21. Cũng có thể coi một hệ cô lập và đoạn nhiệt chưa biết là hê ̣ chung của chúng có phân bố vi chính tắc 1 ( XXEHXX1212,,, ) =− ( ) (2.13) (E) trong đó hàm Hamilton của hệ bằng tổng hàm Hamilton của hai hệ C1 và C2 và có năng lượng tương tác U12. HXXHXHXUXX( 12121212,,. ) =++( ) ( ) ( ) (2.14) Tích phân trên tất cả các miền biến thiên theo đại lượng X2 tìm được hàm phân bố của hệ con C1 (2.15) ( XXXdX1122) = ( ,.) ( X2 ) Để xác đinḥ ω(X1) môṭ cách tổng quát ta đưa ra ba giả thiết 1. Thứ nhấ t, năng lượng của các hệ C1 và C2 coi so với năng lượng tương tác U12 luôn lớn hơn rấ t nhiều. Nếu như số hạt N1, N2 đủ lớn thì điều này rất hợp lý với các hệ nhiệt động thông thường và đố i vớ i (2.14) nếu hê ̣có năng lương̣ công̣ tinh́ thi ̀ 17
25. U X1212 X( , 0 . ) = (2.16) 2. Thứ hai, nếu N1+N2 → ∞ thì E 3 == cto n s , (2.17) N 2 (2.17) có đươc̣ nếu hê ̣ có năng lương̣ công̣ tính thêm nữa ta đã quy ước N1<<N2 nên điều kiện (2.17) viết thành E 3 = , (2.18) N 2 ở đây coi θ/2 tương đương với số bậc tự do là môṭ và mang giá tri ̣trung bình số học của năng lương̣ hê.̣ 3. Thứ ba, khi đi tìm ω(X1) ta giả sử H X11( E ) , (2.19) nghĩa là đi khảo sát trạng thái có năng lương̣ toàn phầ n lớn hơn rấ t nhiều đố i với năng lương̣ của hê.̣ Hay kết quả tìm cho ω(X1) phải phù hơp̣ vớ i điều kiện (2.19). Để tìm được ω(X1) đơn giản, ta thưc̣ hiêṇ Đầ u tiên chia hê ̣ cầ n xét thành C’1 và C”1, lầ n lươṭ có hàm phân bố là ω(X’1) và ω(X”1), năng lương̣ hê ̣se ̃ bi ̣chi phố i bởi năng lượng toàn phần của hệ C’1 và C”1. ( XfHX'''111) = ( ) ( XfHX""".111) = ( ) C1 có biểu thứ c năng lương̣ toàn phầ n H11111112( XHXHXU) =++''""'( .) ( ) Nếu hai hê ̣con đủ lớn thì giố ng với giả thiết đầ u coi năng lượng tương tác U’12 bằ ng không HXHXHX1( 1) =+''"". 1( 1) 1( 1 ) 18
26. Nên giả sử C’1 và C”1 độc lập đố i vớ i nhau khi đó đinḥ lý nhân xác suất đươc̣ sử dung̣ fHHdxdxfHdxHdx '"'"''""11111111+= , ( ) ( ) fHHfHfH'"'".+= hay 1111  ( ) ( ) tiếp theo ta dùng logarit và vi phân dfHHdfHdfHln'"ln'ln",( 1111+=+ ) ( ) ( ) lnf( H '1+ H " 1) '( dH ' 1 + dH " 1 ) = =+ lnf( H ') dH ' ln f( H ") dH " . hay 1 1 1 1 Giả như môṭ cách độc lập dH’1 và dH”1 dầ n về không, thì ln'"'ln''ln"',fHHfHfH( 1111+===) − ( ) ( )  với β = const. Tiếp tuc̣ lấy tích phân, được: fHDH( ) =−exp.   Thấ y β phải là số dương từ điều kiêṇ chuẩn hóa. Ta giả thiết 1   = và D = exp  , với θ > 0 (2.20)    − H  − H1 được fH( ) = exp,  nên ( X1 ) = exp,  (2.21)   với ψ và θ là hằng số. Ta còn tìm được biểu thức của ω(X1) nhờ phân bố vi chính tắc, dựa vào hai điều kiện (2.13) và (2.14) được: 1 XE=−− H XH X dX . ( 11) 12 22 ( ) ( ) (E) X ( 2 ) (1) Hê ̣đang xét mang năng lương̣ bằ ng động năng công̣ thế năng H2(X2) = K2(P2) + U2(Q2), với: P2 và Q2 lầ n lươṭ biểu thi ̣xung lương̣ và tọa độ của các hạt trong hệ điều nhiệt. 19
27. 1  X=  E − H X − U Q dQ , ( 1) k 1( 1) 2( 2) 2 (E) Q Có ( 2 ) (2) =−k ( yyKPdP)  222( ) (P ) với 2 dy ( ) =( y) k k dy dX2 = dP2dQ2, và (3) =k ( y) dP2 , K( P) y với ( 22 ) nhưng hệ điều nhiệt mang đông̣ năng NN2 3 22P 1 2 KPP ==n . 22( )  ( )n (4) nn===111 22mmnn 1 = P , Nên qua k ( )n với k = αn , nên siêu diện động năng Ky2 = 2mn 3N2 2 bao quanh thể tích k ( y) viết laị thành: =k y. k=1 Tương tư ̣ như không gian ba chiều, “mặt cầu 3N2 chiều” có bán kính 푅 = 3N2 √ và Гk là thể tích của hình cầu tỉ lệ với R , có biểu thứ c 3N2 2 =k ( yay) (a là hệ số không đổi). Kết hơp̣ vớ i (3) có 3N 2 −1 2 =k ( yby) (5) 3N với ba= 2 . 2 Áp dụng (5), viết được (2) thành: 3N b 2 −1 2 (6) ( X1) = E − H 1( X 1) − U 2( Q 2) dQ 2. (E) (Q2 ) 20
28. 3N bE M Kí hiệu: M =−2 1 và BEM( , ) = (7) 2 (E) M M HXUQ1122( ) ( ) thì (6) thành  ( XBE12) =−− MdQ 1,1. ( ) (8) EEHX − (Q2 ) 11( ) Dựa vào (2.17) và (7) đặt = 휃 khi N lớ n và khi đó (8) có dạng M M HXUQ1122( ) ( ) ( XBMdQ12) =−− 1,1. ( ) (9) MMHX − (Q2 ) 11( ) Từ điều kiện (2.19), tích phân vế phải của (9) theo Q2 thực tế không phụ thuộc vào H1(X1) khi mà M lớ n. Nên (9) trở thành M HX11( ) ( XDM1 ) =− 1,, ( ) (10) M M UX22( ) với D(, M) =− B( , M) 1 dQ2 . MHX − (Q2 ) 11( ) Giả thiết M→∞ (vì theo (2.12) và (7) MN1 mà N1 lại rất lớn) thì DM(, ) bị phụ thuộc vào θ khi nó tiến đến một giá trị giới hạn D. Nếu thông M y − y qua: lim1, −=e thì (10) thành M → M HX11( )  ( XD1 ) =−exp.  (11)  Biểu thức cuối cùng của ω(X1) chỉ chứa duy nhất thông số đaị diêṇ cho hê ̣điều nhiêṭ là θ. Có thể không cần xét hệ hệ điều nhiệt C2 chỉ cầ n xét C1 nên có thể bỏ đi chỉ số 1 thì (2.21) có dạng ( ,,a) − H( X a)  ( X ) = exp  , (2.22)  21
29. 휓 vơi = 푒 { } phụ thuộc vao hê ̣số chuẩn hoa a. ́ 휃 ̀ ́ Phân bố (2.22), tập hợp chính tắc là tâp̣ hơp̣ pha, môđun của phân bố chính tắc là θ,  đươc̣ xác đinḥ ( ,,aHXa) − ( )  ( XdXdX) ==exp1,  (2.23) ( XX) ( )  H( X, a) từ đó được = − ln exp dX = −  ln Z(  , a) , (2.24) ( X )  HXa( , ) với ZadX(,exp,) =−  (2.25) ( X )  là tích phân trang̣ thái và bi ̣phụ thuộc vào θ, a. Hệ đồng nhất N haṭ như nhau se ̃ không có đươc̣ trạng thái vi mô mớ i khi thưc̣ hiêṇ phép chuyển vị khác nhau khi ấ y cần loaị đi các điểm mà không gian pha ở đó ứ ng với phép chuyển vị trên. Hê ̣khi ấ y se ̃ có không gian pha bi ̣ giảm đi N! lần (phép chuyển vị của N hạt là N!). Thì (2.22) có dang̣ 1 ( ,,aHX) − a( ) ( X ) = exp.  (2.22a) N!  1 Tuy nhiên, trong phần lớn trường hợp chỉ ảnh hưởng tới hằng số N ! chuẩn hóa nên ta chỉ đưa nó vào một số trường hợp cần thiết. 2.1.4. Hệ chính tắc lớn. Khảo sát hê ̣có số haṭ thay đổi trong nhiêṭ đông̣ lưc̣ hoc̣  Đưa thế hóa học µ:  = . N VT, Dưạ vào định nghĩa của µ, tính tích phân bất định với n, đươc̣ = NVT + ( ,,,) (2.26) với Ω là thế nhiệt động mới. 22
30. Phân bố chính tắ c se ̃ nghiêṃ đúng trong hê ̣ N haṭ đồ ng nhấ t như nhau, phân bố trong không gian 6N chiều 11  −HNH +− dXdXdXWexpexp.( ) ==   NkTNkT!!   Hệ có số hạt N’nhấ t đinḥ thì ở không gian pha 6N’ chiều ta có phân bố 1'  +−NH chính tắc dXdXW''exp'.( ) =  NkT'!  Hê ̣mà số haṭ thay đổi đươc̣ có hàm phân bố 1  +−NH (NX,exp.) =  (2.27) NkT!   ,,VT (2.27) là phân bố chính tắc Gipxơ và ( ) là thế điện động lớn nhờ điều kiện chuẩn hóa của phân bố chính tắ c lớn để tìm. Xác đinḥ điều kiện chuẩn hóa. Đầ u tiên tính tích phân (2.27) theo X sau đó toàn bộ các tập hợp chính tắc có thể tạo thành tập hợp chính tắc lớn bằ ng cách lấy tổng 1  +−NH  exp1. dX = (2.28) N =0 NkT!  Đaị lương̣ vâṭ lý có số haṭ thay đổi có tri trung̣ bình 1  +−NH FF=  N XdX ( ,exp.)  (2.29) N =0 NkT! ( X )  Do biến số pha X không chi phố i Ω và số hạt N nên (2.29) viết laị thành     NH1 expexpexp1,    −=dX (2.30) kTkT   N =0 NkT !( X )  NH1 nên  = −−kTdXln expexp.   (2.31) N =0  kT NkT!( X ) Xác đinḥ ý nghĩa nhiệt động của Ω. Ω có các đaọ hàm riêng 23
31.  11  =(  +NHUS −) =( −) = = − TTTT VV,   = = − p (2.32) VV TT,  =−N.  VT, Tích phân trang̣ thái trong GCE  NH1 ZdX=− expexp.   (2.33) N =0  kTNkT !( X ) 2.2. Trạng thái cơ bản gần đúng parabol kép. (1.22) biểu thi ̣trang̣ thái cơ bản trong DPA, ở măṭ thoáng ta khai triển theo tham số trâṭ tư ̣  =+1. (2.34) Thay vào (1.24) đươc̣ 2 2 1 VDPA =−− ( 1,) 2 (2.35) với = 2, thay (1.25) vào (1.22) ta thu đươc̣ phương trình Euller – Lagrang −d 2 + 2 ( −1) = 0, (2.36) d 2 − Giải phương trình đươc̣ nghiêm:̣  =1, +C12 e + C e chú ý rằ ng taị măṭ thoáng hàm sóng liên tuc,̣ đơn tri ̣và hữu haṇ nên −  =+1.Ce2 (2.37) Đồ ng thời có điều kiêṇ biên = 0 thì  = 0 đươc̣ C2 =−1. Tìm đươc̣ hàm sóng  =−1,e− (2.38) Nghiêṃ ϕ ở trên chỉ là nghiêṃ gầ n đúng của (1.22) còn chính xác thu đươc̣ nghiêṃ 24
32.  = ta nh (2.39) 2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Hình 1.2: Tham số trâṭ tư ̣ theo toạ đô.̣ Nhâṇ xét: Ta thấ y hai đườ ng màu xanh–ứ ng với giá tri ̣chính xác của ϕ và đườ ng màu đỏ–ứ ng vớ i giá tri ̣của ϕ tìm đươc̣ bằ ng phương pháp gầ n đúng. 2.3. Sức căng mặt ngoài trong thố ng kê chính tắc lớn. 2.3.1. Sứ c căng măṭ ngoài. Để nghiên cứ u sứ c căng măṭ ngoài trong BEC, đầ u tiên khảo sát nó trong môṭ hê ̣cổ điển là chấ t lỏng. Xét phân tử A dang̣ cầ u bán kính r nằ m trong lòng của chấ t lỏng và tìm hiểu tác dung̣ mà những phân tử khác tác dung̣ lên nó. Chỉ cầ n khảo sát tương tác lên A của những phân tử có tâm nằ m trong hình cầ u bán kính r (bán kính tác dung̣ phân tử ). Hình cầ u có bán kính như vâỵ goị là hình cầ u tác dung̣ phân tử . Taị vì vi ̣trí của A nên lưc̣ hút tác dung̣ vào nó theo moị phía từ nhiều phân tử khác và có thể cân bằ ng nên coi lưc̣ tổng hơp̣ lên A bằ ng 0. Phân tử B có môṭ phầ n nằ m trong chấ t lỏng và cách măṭ phân cách môṭ khoảng bé hơn bán kính phân tử . Coi trên măṭ phân cách là không khí. Thấ y 25
33. B chiụ lưc̣ hút không cân bằ ng bởi những phân tử nằ m trong chấ t lỏng và lưc̣ f hướ ng về phía trong, thấ y lưc̣ càng tăng nếu B càng gầ n măṭ chấ t thoáng. B dao đông̣ quanh vi ̣trí cân bằ ng dù có măṭ lưc̣ . Vì ngoài lưc̣ kéo B tiến đến phân tử khác thì đồ ng thờ i có lưc̣ ngăn cản lưc̣ này. Tuy tổng hơp̣ lưc̣ vuông với măṭ phân cách nhưng B không dao đông̣ dưạ vào nó. Nghiên cứ u lưc̣ tương tác lên B theo phương ngang, thành phầ n của lưc̣ có đô ̣ lớn như nhau theo hai chiều đố i xứ ng nên cân bằ ng và B càng gầ n măṭ thoáng thì đô ̣ lớ n đó càng giảm và nếu chấ t ở môṭ bên của B không phải là lỏng thì B có thể dao đông̣ theo phương ngang. Ở lớp phía ngoài những phân tử taọ ra đoaṇ cong tuyêṭ đố i ∆l thì theo phương vuông vơí măṭ chấ t lỏng về môṭ phía của nó hơp̣ lưc̣ thành phầ n tác dung̣ vào nó goị là lưc̣ căng măṭ ngoài ∆f, vì ∆l bé nên coi ∆f vuông góc với ∆l. Lớ p ngoài đó mang xu hướ ng co về diêṇ tích cưc̣ tiểu để nó giố ng vớ i màn căng và goị là hiêṇ tương̣ căng măṭ ngoài. Muố n đưa phân tử ở trong lòng của môṭ chấ t lỏng ra ngoài cầ n có công để chố ng laị lưc̣ cản. Công này đươc̣ sinh ra do đông̣ năng phân tử bi ̣giảm và thế năng tăng khi không có sư ̣ trao đổi năng lương̣ vớ i môi trườ ng ngoài. Khi thế năng giảm và đông̣ năng tăng dồ ng nghiã với phân tử nằ m ngoài đang di chuyển vào trong chấ t lỏng. Ở lớp măṭ ngoài chấ t lỏng phân tử có thế năng phu ̣và tổng của chúng là môṭ phầ n nôị năng và goị là năng lương̣ tư ̣ do. Năng lương̣ này tăng nếu có nhiều phân tử di chuyển ra ngoài lớ p măṭ ngoài. Sư ̣ tăng năng lương̣ này có thể vì đông̣ năng giảm hoăc̣ vì công ngoaị lưc̣ tác dung̣ vào chấ t lỏng hay do cả hai. Ngươc̣ laị diêṇ tích măṭ ngoài chấ t lỏng bi ̣ giảm là do năng lương̣ tư ̣ do làm nhiêṭ đô ̣ chấ t lỏng tăng lên hoăc̣ sinh công cho ngoaị vâṭ hoăc̣ là cả hai. 26
34. Đinḥ nghia:̃ “Đô ̣ tăng năng lương̣ tư ̣ do măṭ ngoài trên môṭ đơn vi ̣diêṇ tích là sứ c căng măṭ ngoài” [1].   = , (2.40) A với ∆Ω năng lương̣ tư ̣ do măṭ ngoài, A là diêṇ tích măṭ thoáng. 2.3.2. Sứ c căng măṭ ngoài trong thố ng kê chính tắc lớ n. Muố n tinh́ sứ c căng măṭ ngoài đố i với hê ̣ BEC môṭ thành phầ n, ta khảo sát hê ̣vớ i hàm thố ng kê chính tắ c lớn. = Hb dV V 2 d hay  =2,P0 A + VDPA d (2.41) 0 d 2 gn0 với P0 = là áp suấ t hê.̣ Kết hơp̣ (2.41) với (1.25) đươc̣ sứ c căng măṭ 2 ngoài 2 −PVd0  2  ==+− 221.Pd0 ( ) (2.42) Ad0 Măṭ khác hê ̣phải thỏa mañ biểu thứ c sau đây 2 d 1 +=V , (2.43) d 2 đươc̣ goị là “hằ ng số chuyển đông̣ ”. Thế (2.43) cho (2.42) có 2 d  = 4.Pdo (2.44) 0 d Trướ c hết ta tính sứ c căng măṭ ngoài trong gầ n đúng DPA. Thay (2.38) vào (2.44) đươc̣ DPA = 2 2P0 . (2.45) 27
35. Bây giờ sử dung̣ nghiêṃ chính xác (2.39) thì thu đươc̣ kết quả là 42 = P . (2.46) 3 o Lâp̣ tỉ số của  DPA và  ta đươc̣  3 DPA = . (2.47)  2 Theo (2.47) thấ y rằ ng kết quả tìm đươc̣ thông qua phương pháp DPA lớn hơn 3/2 lầ n so vớ i kết quả ứ ng với giá tri ̣của nghiêṃ chính xác. 28
36. KẾ T LUÂṆ CHƯƠNG 2 Ở chương 2 tôi nêu môṭ số hê ̣thố ng kê, tìm hiểu đươc̣ trang̣ thái cơ bản của Bose-Einstein môṭ thành phầ n trong gầ n đúng parabol kép và xác đinḥ đươc̣ sứ c căng măṭ ngoài của ngưng tu ̣ Bose-Einstein môṭ thành phầ n với các điều kiêṇ biên. 29
37. KẾ T LUÂṆ Đề tài “Nghiên cứ u sứ c căng măṭ ngoài củ a ngưng tu ̣ Bose- Einstein môṭ thành phần trong thố ng kê chính tắ c lớ n” đa ̃ đem laị kết quả Tổng quan về ngưng tu ̣Bose-Einstein. Hê ̣thố ng lí thuyết Gross-Pitaevskii. Tìm đươc̣ trang̣ thái cơ bản của ngưng tu ̣ Bose-Einstein môṭ thành phầ n trong gầ n đúng parabol kép. Tìm đươc̣ sứ c căng măṭ ngoài của ngưng tu ̣ Bose-Einstein môṭ thành phầ n trong thố ng kê chính tắ c lớ n. 30
38. TÀ I LIÊỤ THAM KHẢ O Tiếng Viêṭ [1] Lê Văn (1978), Vâṭ Lý Phân Tử Và Nhiêṭ Hoc̣ , NXB Giáo Duc,̣ Hà Nôi.̣ [2] Trầ n Thái Hoa (1993), Bà i giảng cơ hoc̣ lương̣ tử, NXB ĐHSP Hà Nôị 2. [3] Vũ Thanh Khiết (1988), Vâṭ lý thố ng kê, NXB Giáo duc,̣ Hà Nôi.̣ [4] www.wikipedia.org. Tiếng Anh [5] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615. 31