›

Khóa luận Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý

pdf 56 trang thiennha21 15/04/2022 3651
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_mot_so_bai_toan_ve_cheo_hoa_ma_tran_trong_vat_ly.pdf

Nội dung text: Khóa luận Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ HÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHÉO HÓA MA TRẬN TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng nhƣ nghiên cứu đề tài khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết và Ban chủ nhiệm khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song do buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng nhƣ hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chƣa thấy đƣợc. Em rất mong nhận đƣợc sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn đọc để khóa luận đƣợc hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017. Sinh viên Phạm Thị Hà
  3. LỜI CAM ĐOAN Đƣợc sự hƣớng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản thân, em đã hoàn thành khóa luận này. Em xin cam đoan đây là công trình của riêng em, không trùng lặp với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trƣớc đây. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017. Sinh viên Phạm Thị Hà
  4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA MA TRẬN 3 1.1. Lý thuyết ma trận 3 1.1.1. Ma Trận 3 1.1.2. Định nghĩa 3 1.1.3. Cộng hai ma trận 4 1.1.4. Tích của hai ma trận 4 1.1.5. Ma trận khả nghịch 4 1.1.6. Ma trận chuyển 4 1.1.7. Ma trận đồng dạng 5 1.1.8. Ma trận chuyển vị 5 1.1.9. Ma trận chéo 5 1.1.10. Ma trận đơn vị 6 1.1.11. Ma trận tam giác 6 1.1.12. Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7 1.1.13. Ma trận Hermitian 7 1.1.14. Ma trận trực giao 8 1.2. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận 8
  5. 1.2.1. Vấn đề chéo hóa ma trận 9 1.2.1.1. Đặt bài toán 9 1.2.1.2. Cách giải 9 1.2.1.3. Ma trận chéo hóa đƣợc 10 1.2.1.4. Giải bài toán chéo hóa ma trận 10 1.2.1.5. Quy trình chéo hóa một ma trận 12 1.2.1.6. Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác nhau 13 1.2.1.7. Thuật toán chéo hóa ma trận 14 1.2.2. Vấn đề chéo hóa trực giao 14 1.2.2.1. Cơ sở trực chuẩn 15 1.2.2.2. Phƣơng pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt 15 1.2.2.3. Phƣơng pháp chéo hóa trực giao 16 1.2.2.4. Chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng 17 1.2.2.5. Quy trình chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng 18 1.3. Chéo hóa ma trận khối 20 1.3.1. Khái niệm và các phép toán 20 1.3.2. Một số kết quả cơ bản 21 1.3.3. Ma trận nghịch đảo của ma trận khối 22 1.3.4. Các dạng chéo hóa của ma trận khối 22 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 33 2.1. Một số bài toán về chéo hóa ma trận và ma trận đối xứng 33 2.1.1. Bài toán chéo hóa ma trận 33 2.1.2. Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng 38 2.2. Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối 43 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51
  6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chéo hóa ma trận là một trong những kĩ thuật cơ bản về việc giải quyết các bài toán vật lý. Phƣơng pháp này có thể đƣợc thực hiện bằng cách biến đổi trực tiếp hoặc sử dụng máy tính để giải. Chéo hóa giúp cho việc bắt đầu giải các bài toán và giải thích các hiện tƣợng vật lý một cách dễ hiểu, đơn giản hơn. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận đƣợc khám phá vào năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy. Chéo hóa ma trận là một vấn đề lý thú và quan trọng của vật lý, đƣợc ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực chuyên ngành khác nhau của vật lý cũng nhƣ toán học hiện đại. Trong toán học thì không đi tìm hiểu sâu về ma trận đối xứng và ma trận khối nhƣ trong vật lý. Hai phƣơng pháp chéo hóa này đều đƣợc ứng dụng nhiều để giải các bài toán vật lý trong các môn cơ học, điện học, cơ lƣợng tử Thông qua chéo hóa ma trận mà việc giải quyết các bài toán trở nên đơn giản hơn. Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về chéo hóa ma trận đƣợc áp dụng trong vật lý nhƣ thế nào và cũng là bƣớc đầu giúp cho việc giải các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn, em lựa chọn đề tài: “Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý” làm đề tài tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tƣ duy logic đặc thù cho bộ môn. Tìm hiểu những kiến thức về chéo hóa ma trận. Mục tiêu chính của đề tài mà em chọn là một số bài toán về chéo hóa ma trận 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: ma trận Phạm vi nghiên cứu: chéo hóa ma trận và tập trung chủ yếu đƣa ra một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận 1
  7. Nghiên cứu phƣơng pháp chéo hóa và một số bài toán chéo hóa ma trận trong vật lý 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc, tra cứu tài liệu Phƣơng pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận bao gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1. Cơ sở lý thyết về ma trận và chéo hóa ma trận 1.1. Lý thuyết ma trận 1.2. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận 1.3. Chéo hóa ma trận khối Chƣơng 2. Một số bài toán chéo hóa ma trận 2.1. Một số bài toán về chéo hóa ma trận vuông và ma trận đối xứng 2.2. Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối 2
  8. NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA MA TRẬN 1.1. Lý thuyết ma trận 1.1.1. Ma Trận Định nghĩa: Cho K là một trƣờng tùy ý. Một bảng gồm mxn phần tử aij (1 ) có dạng: ( , đƣợc gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi aij đƣợc gọi là thành phần của ma trận. Kí hiệu là: A= (aij)m x n. Ta cũng nói ma trận A có m dòng, n cột. Vectơ dòng (hay hàng) (ai1 ai2 ain) đƣợc gọi là dòng (hay hàng) thứ i của ma trận A. Vectơ cột ( , đƣợc gọi là cột thứ j của ma trận A. Khi m = n thì ma trận (aij )m x n đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n. Kí hiệu: A= (aij ) m x n Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trƣờng K đƣợc kí hiệu là Mat( m x n, K). 1.1.2. Định nghĩa Cho A= (aij ) m x n, B= (bij ) m x n là hai ma trận cùng thuộc Mat(m x n, K) và . Ta gọi là tổng của hai ma trận A và B một ma trận C= (cij ) m x n xác định bởi: cij = aij + bij, i= ̅̅ ̅ ̅̅, j ̅̅̅ ̅ ̅ và kí hiệu D= λ.A Nhƣ vậy: A+B= (aij + bij )m x n , λ.A= (λ. aij )m x n. 3
  9. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ HÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHÉO HÓA MA TRẬN TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2017 1.1.3. Cộng hai ma trận a. Định nghĩa Cho hai ma trận cùng cỡ mxn: A = [aij]m x n , B = [bij]m x n Tổng A + B là ma trận cỡ mxn xác định bởi A + B = [aij + bij]m x n Tức là ( A + B)ij = aij + bij nhƣ vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta cộng các phần tử cùng vị trí. Ví dụ: * + * + * + b. Tính chất: A + B = B + A A+ 0 = 0 + A = A Nếu gọi –A = [aij]m x n thì còn có A + (-A) = (-A) + A = 0 Nếu có thêm ma trận C với C = [cij]m x n thì (A + B) + C = A + (B + C) 1.1.4. Tích của hai ma trận Cho ma trận A = (aij) và B = (bij) . Ta gọi là tích của ma trận A với ma trận B một ma trận C = (cij) mà phần tử đƣợc xác định bởi: cik = ∑ , i = 1, ,m; k = 1, ,p và kí hiệu là C = A.B 1.1.5. Ma trận khả nghịch Định nghĩa: Ta gọi ma trận vuông A là ma trận khả nghịch (hay là ma trận vuông không suy biến), nếu có ma trận vuông B Mat( n x n, K) sao cho A.B = B.A = En Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu B= A-1. Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất. 1.1.6. Ma trận chuyển Định nghĩa: Cho (e)= { ⃗ ⃗ ⃗ } và ( { ⃗ ⃗ ⃗ } là 2 cơ sở của không gian vectơ n chiều V. Ta gọi ma trận vuông cấp n: C= (aij) trong đó cij đƣợc xác định bởi: 4
  10. ⃗⃗ ⃗= ∑ ⃗⃗⃗ , j= 1, , n là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở ( Gọi ( + ( + lần lƣợt là các tọa độ của vectơ ⃗⃗⃗⃗ lần lƣợt đối với cơ sở (e) và cơ sở ( thì ta có công thức đổi tọa độ từ cơ sở (e) sang cơ sở ( viết dƣới dạng ma trận là: ( + ( + 1.1.7. Ma trận đồng dạng Định ngĩa: Cho hai ma trận A và B Ta nói A, B là 2 ma trận đồng dạng nếu tồn tại một ma trận C là ma trận khả nghịch sao cho: B= C-1. A.C Kí hiệu: A 1.1.8. Ma trận chuyển vị Ta gọi ma trận At là ma trận chuyển vị của ma trận A nếu các dòng của ma trận A là các cột của ma trận At. Tức là: A = ( + ( + Ta có: ( At)t= A (A+B)t = At + Bt (A.B)t = Bt. At Ví dụ: A= ( + ( + 1.1.9. Ma trận chéo Đƣờng chéo chứa các phần tử a11, a22, a33, , anm của ma trận vuông A = (aij)n đƣợc gọi là đƣờng chéo chính của A, đƣờng chéo còn lại đƣợc gọi là đƣờng chéo phụ. 5
  11. Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử không nằm trên đƣờng chéo chính bằng 0 nghĩa là aij = 0, ( , Ví dụ: Ma trận A= ( + là ma trận chéo 1.1.10. Ma trận đơn vị Phần tử đơn vị của vành Mat (nxn, K) là ma trận Ma trận I = ( , n Ta gọi In là ma trận đơn vị cấp n. Trong đó các phần tử chéo bằng 1, các phần tử khác bằng 0 gọi là ma trận đơn vị cấp n. Đặc điểm của ma trận đơn vị I là: AI = IA = A, . Ví dụ: ( ) ( + là các ma trận đơn vị. ( ) ( )= ( ).( )= ( ) 1.1.11. Ma trận tam giác Nếu mọi phần tử của A nằm bên dƣới đƣờng chéo chính bằng 0, thì A đƣợc gọi là ma trận tam giác trên. ( + Nếu mọi phần tử của A nằm bên trên đƣờng chéo chính bằng 0, thì A đƣợc gọi là ma trận tam giác dƣới. 6
  12. ( + 1.1.12. Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch Định nghĩa: Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là A = AT, là ma trận đối xứng. Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e., A = −AT, thì A đƣợc gọi là ma trận đối xứng lệch (skew-symmetric matrix). Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thƣờng đƣợc thay bằng khái niệm ma trận Hermite, mà thỏa mãn A∗ = A, với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận chuyển vị. 1.1.13. Ma trận Hermitian a. Định nghĩa Trong toán học, ma trận Hermitian ( hoặc tự liên hợp ma trận) là một ma trận vuông phức tạp tự liên hợp riêng của mình, tức là các phần tử ở cột thứ i và hàng thứ j liên hợp phức tạp với các yếu tố của các phần tử ở cột thứ j và hàng thứ i, cho ̅̅̅ ̅ tất cả các chỉ số i và j: aij = ̅̅̅ ̅ hoặc A = Ma trận Hermitian có thể hiểu nhƣ phần mở rộng phức tạp của các ma trận đối xứng. Nếu liên hợp ma trận chuyển vị của ma trận A đƣợc kí hiệu AH thì thuộc tính của ma trận Hermitian có thể đƣợc viết A = AH b. Tính chất - Các phần tử trên đƣờng chéo chính phải là số thực vì đƣợc tạo bởi liên hợp phức tạp của nó. - Nếu một ma trận là ma trận hermitian nếu và chỉ nếu nó là một ma trận đối xứng, tức là, nếu nó là đối xứng đối với đƣờng chéo chính. Một ma trận thực và ma trận đối xứng chỉ đơn giản là trƣờng hợp của ma trận Hermitian. - Ma trận bậc n không tạo thành một không gian vectơ trên trƣờng số phức. Tuy nhiên, ma trận Hermitian phức tạp tạo thành một không gian vectơ trên tập số thực R. Trong không gian vectơ 2n2 chiều phức tạp của ma trận dạng n x n trên R, 7
  13. 2 ma trận Hermitian phức tạp tạo thành một không gian con kích thƣớc n . Nếu Ejk là ma trận bậc n bởi n ma trận với một trong j, k vị trí và số 0 ở nơi khác, một cơ sở có thể đƣợc mô tả nhƣ sau: Ejj với Ejk + Ekj với Và ma trận: i( Ejk – Ekj) với - Tổng của ma trận vuông và ma trận chuyển vị (C + CH là Hermitian - Định thức của ma trận Hermitian Det(A) = det (AT) => det(AH) = det(A)* Nếu A= AH => det(A)= det(A)* 1.1.14. Ma trận trực giao Định nghĩa:Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho các cột và các hàng là những vectơ đơn vị trực giao(nghĩa là vectơ trực chuẩn). Hay nói tƣơng đƣơng, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó: AT = A-1, mà ATA = AAT = I với I là ma trận đơn vị. Ma trận trực giao A cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa A-1 = AT), unita (A−1 = A*), và chuẩn tắc (A*A = AA*). Định thức của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng +1 hoặc −1. Ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng +1. Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao đặc biệt thuần túy chính là phép quay, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng -1 thuần túy là phép phản xạ hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Sự tƣơng tự đối với ma trận phức của ma trận trực giao là ma trận unita. 1.2. Phƣơng pháp chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận A cho trƣớc là việc ta đi tìm một ma trận khả nghịch P (nếu có) để P-1AP là một ma trận chéo. Làm thế nào để tìm ra ma trận P và ma trận P có tính chất gì đặc biệt phụ thuộc vào kiểu của ma trận A mà nó làm chéo hóa. Nếu A là ma trận bất kì, A không đối xứng thì P là ma trận có các vectơ cột là các vectơ riêng của A. 8
  14. Nếu A là ma trận đối xứng thì P là một ma trận trực giao, với các vectơ cột là một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của A. Sau đây ta sẽ đi nghiên cứu hai dạng bài toán chéo hóa ma trận cơ bản sau: 1.2.1. Vấn đề chéo hóa ma trận 1.2.1.1. Đặt bài toán Bài toán 1a. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, T: V V là một toán tử tuyến tính trong V. Ta đã biết rằng ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn trong V. Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản nhƣ dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cơ sở trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo? Bài toán 2a. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều có tích vô hƣớng, T : V V là một toán tử tuyến tính trong V. Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo? 1.2.1.2. Cách giải Giả sử A là ma trận của T đối với một cơ sở xác định nào đó trong V. Ta xét một phép đổi cơ sở. Theo định lí của ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là P-1 AP trong đó P là ma trận đổi cơ sở. Vậy bài toán 1a tƣơng đƣơng với bài toán: Hỏi có tồn tại một phép đổi cơ sở để cho ma trận mới của T đối với cơ sở mới là ma trận chéo? Nếu V là một không gian có tích vô hƣớng và những cơ sở là trực chuẩn thì P sẽ là trực giao. Vậy ta đã đƣa hai bài toán 1a và 2a về những bài toán dạng ma trận: Bài toán 1b (dạng ma trận). Cho một ma trận vuông A. Hỏi có tồn tại hay không một ma trận P khả đảo sao cho P-1 AP là ma trận chéo? Bài toán 2b (dạng ma trận). Cho một ma trận vuông A. Hỏi có tồn tại hay không một ma trận trực giao P sao cho P-1 AP là ma trận chéo? (ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu AtA = I). 9
  15. 1.2.1.3. Ma trận chéo hóa được a. Định nghĩa: Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao cho P-1 AP là ma trận chéo thì nói ma trận A chéo hóa được và nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. Nhƣ vậy A chéo hóa đƣợc nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo. Ta phải trả lời đƣợc hai câu hỏi: 1) Ma trận có điều kiện gì thì chéo hóa đƣợc 2) Ma trận P làm chéo hóa ma trận ấy xác định nhƣ thế nào? b. Định lý: Ma trận A (R) chéo hóa đƣợc khi và chỉ khi hai tính chất sau đƣợc thỏa mãn: 1) Đa thức đặc trƣng ( ) = ( ( ( 2) Với mỗi trị riêng (1 không gian riêng V( ) có dim V( )= r1 ( = số bội của λ1 trong (λ)). Hơn nữa, khi đó gọi ℬi là cơ sở của V ) (1 ) và đặt A là ma trận có đƣợc bằng cách dựng lần lƣợt các vectơ trong ℬ1, ℬ2, , ℬk thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và r1 dòng r2 dòng P-1 . A.P= rk dòng ( ) c. Hệ quả: Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa đƣợc. 1.2.1.4. Giải bài toán chéo hóa ma trận Định lí 1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Khi đó P là ma trận chuyển từ 10
  16. n cơ sở chính tắc { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} của K sang cơ sở gồm n vectơ riêng { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗} của A Chứng minh: a) Giả sử A chéo hóa đƣợc, nghĩa là tồn tại một ma trận khả đảo P: [ ] Sao cho P-1 AP = D, ( , Ta suy ra AP = PD Gọi p1, p2, pn là các vectơ cột của P, ta thấy các cột liên tiếp của AP là Ap1, Ap2, , Apn. Đồng thời PD= [ ] [ ] = [ ] Vậy phƣơng trình AP = PD ở trên cho Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, , Apn = λnpn Vì p khả đảo nên những vectơ cột pi , do đó λ1 λ2, , λn là các trị riêng của A và p1, p2, , pn là các vectơ riêng tƣơng ứng. Vì P khả đảo nên det(P) 0 và các vectơ p1, p2, , pn là độc lập tuyến tính. Vậy khi A chéo hóa đƣợc thì nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Chứng minh: b) Giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính p1, p2, , pn với các trị riêng tƣơng ứng λ1, λ2, , λn và giả sử [ ] Là ma trận mà các cột là p1, p2, , pn. Các cột của tích AP là Ap1, Ap2, , Apn. Nhƣng Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, , Apn = λnpn, 11
  17. Nên AP = [ ] = [ ] [ ] = PD, Trong đó D là ma trận chéo có những trị riêng trên đƣờng chéo chính. Vì những vectơ cột của P là độc lập tuyến tính, nên P khả đảo. Vậy phƣơng trình AP = PD ở trên viết thành : P-1 AP = D Vậy khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa đƣợc. Từ chứng minh của định lí trên ta đi đến: 1.2.1.5. Quy trình chéo hóa một ma trận Bước 1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A: p1, p2, , pn Bước 2: Lập ma trận p có p1, p2, , pn là các cột. -1 Bước 3: Ma trận P AP sẽ là ma trận chéo với λ1, λ2, , λn là các phần tử chéo liên tiếp, trong đó λi là trị riêng ứng pi, i = 1,2,3, , n. Ví dụ 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận [ ] Giải: Phƣơng trình đặc trƣng của A là [ ]= -(λ-1)(λ-5)2 = 0 Nên các trị riêng của A là λ=1 và λ=5 (bội của 2). Đồng thời các vectơ trị riêng [ ] và [ ] tạo nên cơ sở cho không gian riêng ứng trị riêng λ=5, còn [ ] là cơ sở cho không gian riêng ứng trị riêng λ=1. Dễ kiểm tra để thấy { } độc lập tuyến tính, do đó [ ] 12
  18. Làm chéo hóa A: [ ] [ ] [ ] [ ] Ví dụ 2: Xét ma trận A = * + Giải: Phƣơng trình đặc trƣng của A là 2 Det(A – λI) = | | = (λ + 1) = 0 Vậy λ = 1 là trị riêng duy nhất của A. Vectơ riêng ứng trị riêng λ = 1 là nghiệm của (A + I)x = 0 nghĩa là { Những nghiệm của hệ này là x1 = t, x2 = t. Do đó không gian riêng gồm các vectơ * + * + Vì không gian này là một chiều, nên A không có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, do đó không chéo hóa đƣợc. 1.2.1.6. Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác nhau Định lí 2: Nếu ma trận A cấp n có n trị riêng khác nhau thì A chéo hóa được. Chứng minh: Dựa vào định lí 1, ta chỉ cần chứng minh rằng ma trận A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Giả sử các trị riêng và vectơ riêng tƣơng ứng của A là λi và ui, i = 1, 2, 3, , n. Đặt S = { } và gọi r là hạng của S. Ta đánh số lại các vectơ riêng và trị riêng nếu cần để có r vectơ riêng đầu độc lập tuyến tính. Nếu r < n thì { } là phụ thuộc tuyến tính: Nhân hai vế với A và chú ý rằng Aui = λiui ta có Ta suy ra: 13
  19. Vì u1, u2, , ur độc lập tuyến tính và vì λr+1 – λ1 λr+1 – λ2 , λr+1 – λr nên c1 = 0, c2 = 0, , cr = 0. Vậy ur+1 = , điều đó trái giả thiết ur+1 là vectơ riêng. Do đó r không thể nhỏ hơn n, nghĩa là có r = n. Nói cách khác ma trận A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. 1.2.1.7. Thuật toán chéo hóa ma trận Cho A (R). Thuật toán khảo sát tính chéo hóa đƣợc của A và xác định ma trận P là chéo hóa A cũng nhƣ dạng chéo của A ( trƣờng hợp A chéo hóa đƣợc) gồm các bƣớc nhƣ sau: Bƣớc 1: Tìm đa thức đặc trƣng (λ) Nếu (λ) không thể phân tích đƣợc thành tích các đa thức bậc 1 thì A không chéo hóa đƣợc và thuật toán kết thúc. Trƣờng hợp ngƣợc lại, phân tích (λ) thành tích các đa thức bậc 1: (λ) = Và chuyển sang bƣớc 2. Bƣớc 2: Tìm các trị riêng λ1 cùng các bội số r1 tƣơng ứng (1 Bƣớc 3: Với mỗi (1 tìm cơ sở ℬ1 và số chiều dim V( ) của các không gian riêng V( ): Nếu tồn tại (1 sao cho dim V( )< r1 thì A không chéo hóa đƣợc và thuật toán kết thúc. Trƣờng hợp ngƣợc lại, ta có dim V( )= r1 với mọi (1 và A chéo hóa đƣợc và chuyển sang bƣớc 4 Bƣớc 4: Đặt P là ma trận có đƣợc bằng cách lần lƣợt dựng các vectơ trong ℬ1, -1 ℬ2, , ℬk thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P AP có dạng chéo. 1.2.2. Vấn đề chéo hóa trực giao  Khái niệm chéo hóa trực giao Định nghĩa 1: Cho ma trận vuông A. Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho P-1AP là ma trận chéo thì nói A là chéo hóa trực giao được và P là ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A. Ta phải trả lời hai câu hỏi: 14
  20. 1) Những ma trận thế nào thì chéo hóa trực giao đƣợc? 2) Ma trận P thực hiện quá trình chéo hóa trực giao đó là ma trận nào? 1.2.2.1. Cơ sở trực chuẩn  Cơ sở trực chuẩn Định nghĩa: a) Cho một cơ sở gồm n vectơ { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} của không gian Euclid n chiều đƣợc gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một vuông góc với nhau, tức là 〈 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗〉 nếu i b) Cho một cơ sở gồm n vectơ { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} của không gian Euclid n chiều đƣợc gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và chuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1. 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 { 1.2.2.2. Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt Phƣơng pháp trực giao hóa Schmidt là phƣơng pháp chuyển một hệ n vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ không chứa vectơ ⃗⃗, trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ này biểu diễn tuyến tính qua hệ đã cho. Giả sử có một cơ sở bất kì { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} của không gian Euclid n chiều E. Ta xây dựng hệ n vectơ trực giao ( { ⃗ ⃗ ⃗ } nhƣ sau: Đặt: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅ 〈 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 〉 Trong đó: bi = ̅̅̅ ̅ ̅ 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 〉 Thì nhận đƣợc cơ sở trực giao { ⃗ ⃗ ⃗ } của hệ { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} trong E ⃗⃗ bằng phƣơng pháp trực giao hóa Schmidt. Chuẩn hóa bằng cách đặt ⃗⃗⃗⃗ ta ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ nhận đƣợc hệ { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗} là một cơ sở trực chuẩn của hệ { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} trong E bằng phƣơng pháp trực chuẩn hóa Schmidt. Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau trong không gian vectơ 4 Euclid P : ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 15
  21. Giải Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} là hệ vectơ độc lập tuyến tính. Xét hệ: ⃗⃗⃗ ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, với b1 = 〈⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗〉  ⃗⃗⃗⃗ = + = ( ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, với: 〈⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 b1 = 〈⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗〉 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 b2 = 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉  ⃗⃗⃗⃗= + . ( + = ( 4 Ta nhận đƣợc cơ sở trực giao { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗} của hệ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} trong P . Chuẩn hóa hệ { ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗} nhƣ sau: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ Vậy hệ vectơ trực chuẩn từ ba vectơ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} là: ( { ⃗ ⃗ ⃗ } 1.2.2.3. Phương pháp chéo hóa trực giao Định lí 1: Giải sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa trực giao được là A có n vectơ riêng trực chuẩn. Chứng minh: Giả sử ma trận A làm chéo hóa trực giao đƣợc và tồn tại ma trận trực giao P sao cho P-1AP = D là ma trận chéo mà n vectơ cột của P là các vectơ riêng của A.Vì P là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ cột của P là hệ trực chuẩn, do đó A có n vectơ riêng trực chuẩn [p1, p2, ,pn]. Kí hiệu P = [p1, p2, ,pn] là ma trận vuông gồm các vectơ cột c1, , cn. Ma trận P-1AP là ma trận chéo. Ta đã chỉ ra đƣợc ma trận P nhận các vectơ riêng đó làm các cột sẽ chéo hóa ma trận A. Vì những vectơ riêng này là trực chuẩn nên P là trực giao. Vậy P chéo hóa trực giao A. 16
  22. 1.2.2.4. Chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng Định lí 2: Xét ma trận vuông A cấp n. Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa trực giao được là A đối xứng. Chứng minh: Chứng minh định lí 1 chứng tỏ rằng một ma trận cấp n chéo hóa trực giao đƣợc sẽ chéo hóa trực giao đƣợc bởi một ma trận P cấp n mà các cột đƣợc tạo nên bởi họ trực chuẩn các vectơ riêng của A. Gọi D là ma trận D = P-1AP Thì A = PDP-1 Nhƣng vì P là trực giao nên A = PDPt. Do đó At = (PDPt)t = (Pt)tDtPt = PDtPt = PDPt = A Vậy At = A, nghĩa là A là ma trận đối xứng.  Thêm một số tính chất của trị riêng của ma trận đối xứng Vì ma trận đối xứng A chéo hóa trực giao đƣợc nên tồn tại ma trận trực giao P để P-1AP = D Trong đó D là ma trận chéo các trị riêng A. Vậy A và D có các trị riêng trùng nhau với cùng một số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng mỗi trị riêng. Do đó có kết quả: Định lí 3: Nếu ma trận vuông A đối xứng thì các vectơ riêng thuộc những không gian riêng khác nhau sẽ trực giao theo tích vô hướng Euclid trong Rn. Chứng minh: Giả sử λ và µ là hai trị riêng khác nhau của A, đồng thời v thuộc không gian riêng ứng λ và w thuộc không gian riêng ứng µ. Ta có Av = λv, Aw = µw, λ # µ v = (v1, v2, vn) , w = (w1, w2, , wn) . t := v1w1 + v2w2 + + vnwn = [v] [w] Ta phải chứng minh = 0. Ta có Λ = = = [Av]t[w] = (A[v)t[w] = [v]tAt[w] = [v]tA[w] 17
  23. = = = µ . Do đó: (λ - µ) = 0 Nhƣng theo giả thiết λ # µ nên đẳng thức này buộc = 0, nghĩa là v và w trực giao theo tích vô hƣớng Euclid. Định lí 4: Nếu ma trận A đối xứng thì bội số hình học của mỗi trị riêng bằng số bội đại số của nó, nghĩa là: nếu trị riêng λ là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng của A thì ứng với λ có đủ m vectơ riêng độc lập tuyến tính, nói cách khác: không gian riêng ứng λ có số chiều đúng bằng m. 1.2.2.5. Quy trình chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng Bước 1. Sử dụng các phƣơng pháp tìm vectơ riêng - giá trị riêng để tìm ra các giá trị riêng của A. Bước 2.Tìm một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng ứng với mỗi giá trị riêng. a) Nếu bội mk = 1 thì lấy một vectơ bất kì tƣơng ứng với λk rồi chuẩn hóa nó. b) Nếu bội mk >1 thì ta có thể tìm cơ sở trực giao của không gian riêng tƣơng ứng với λk bằng một trong hai cách sau: Cách 1: Tìm một cơ sở của không gian riêng tƣơng ứng với λk sau đó áp dụng quá trình chuẩn hóa Schmidt để đƣợc một cơ sở trực chuẩn. Cách 2: Từ công thức nghiệm của hệ (A – λk.En). X = 0 ta lấy một vectơ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ nào đó chuẩn bằng 1, sau đó tìm một vectơ nghiệm ⃗⃗⃗⃗ ⃗ thỏa mãn: 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉 { 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 Tiếp tục quá trình nhƣ vậy sao cho vectơ nghiệm sau trực giao với vectơ nghiệm trƣớc đó và có chuẩn bằng 1. Cuối cùng ta đƣợc cơ sở trực chuẩn của không gian riêng ứng với giá trị riêng λk ( . Và ghép lại chúng ta đƣợc cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng. Bước 3. - Lập ma trận P mà các cột là các vectơ cơ sở xây dựng ở bƣớc 2. 18
  24. - Lập ma trận chéo D có các phần tử trên đƣờng chéo chính là các giá trị riêng của A, còn các phần tử khác bằng 0. Ma trận P này sẽ làm chéo hóa trực giao ma trận A. Ví dụ: Hãy tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận [ ] Giải: Trƣớc hết ta nhận xét ngay rằng ma trận A này đối xứng. Phƣơng trình đặc trƣng của A là Det (A – I) = | |= (λ – 2)2 (8 – λ) = 0 Giải phƣơng trình đặc trƣng này ta đƣợc cơ sở của không gian riêng ứng λ = 2 là [ ] và [ ] Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram – Smidt vào { } ta đƣợc những vectơ riêng trực chuẩn ứng λ = 2 v [ ] và v . Không gian riêng ứng λ = 8 là [ ] 1 2 [ ] Chuẩn hóa nó ta đƣợc: v 3 [ ] Cuối cùng lấy làm các cột cho P ta đƣợc P = [ ] Ma trận P này sẽ làm chéo hóa ma trận A. 19
  25. 1.3. Chéo hóa ma trận khối 1.3.1. Khái niệm và các phép toán  Định nghĩa. Ma trận A đƣợc viết dƣới dạng A = ( , Trong đó Amn là các ma trận, cách biểu diễn ma trận A nhƣ thế đƣợc gọi là ma trận khối. Tất nhiên các ma trận Amn trên cùng một dòng sẽ có chung số dòng, trên cùng một cột sẽ có chung số cột. Ma trận khối là ma trận có số hàng bằng số cột.  Phép toán trên ma trận khối a. Phép cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số: Nếu A, B là 2 ma trận khối đƣợc phân chia các khối nhƣ nhau thì ta có thể cộng và nhân bình thƣờng. b. Phép nhân ma trận khối với ma trận khối: Giả sử: A = ( , ; B = ( , Trong đó Aik, Bkj là các ma trận con nhân đƣợc với nhau (số cột của ma trận Aik bằng với số dòng của ma trận Bkj), khi đó ma trận tích AB tồn tại, khối ma trận nằm ở “dòng” i, “cột j” của AB là: Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj Ví dụ 1: A = ( , = ( ); B = ( , = ( ) Với C = ( ) và E = ( ), sử dụng phép nhân ma trận khối ta đƣợc AB = ( ) ( ) ( ) = ( , 20
  26. Ví dụ 2: Một ma trận khối A = (Aij) đƣợc gọi là ma trận khối dạng tam giác nếu tất cả các khối trên đƣờng chéo chính (nghĩa là các khối A11, A22, đều là các ma trận vuông và tất cả các khối về một phía của đƣờng chéo chính đều bằng 0. Chứng minh rằng nếu A và B là hai ma trận khối với các phần tử trên đƣờng chéo chính tƣơng ứng cùng cấp và với các khối bằng 0 nằm về cùng phía của đƣờng chéo chính (đều là phía trên, phía dƣới) thì tích AB của chúng cũng là ma trận khối dạng tam giác với các khối trên đƣờng chéo chính cùng cấp và các khối bằng 0 nằm về một phía của đƣờng chéo chính nhƣ các ma trận thành phần A, B. 1.3.2. Một số kết quả cơ bản a. Định thức của ma trận khối: Theo định lý laplace về khai triển định thức, ta công nhận công thức sau đây về tính định thức của ma trận khối: Det ( ) = det (A). det (C) Ví dụ 3: Chứng minh rằng với A, B là hai ma trận vuông cấp n và det(A . Đặt M = ( ). Chứng minh rằng det (M) . Lời giải Xét ma trận tích của các ma trận khối ( ) ( ) = ( ) Lấy định thức hai vế ta đƣợc: det( ) ( ) = det ( ) = det ( * n n  2 det ( ) = 2 det (A – B) det (A+B) . (đpcm) b. Biến đổi sơ cấp trên ma trận khối Ngoài việc ta có thể biến đổi sơ cấp bình thƣờng trên các khối dòng của ma trận, ta còn có thể biến đổi theo kiểu khác. Thông thƣờng phép biến đổi đƣợc thực hiện chỉ với ma trận khối gồm 4 khối ( 2 khối dòng, 2 khối cột) 21
  27. 1.3.3. Ma trận nghịch đảo của ma trận khối Xét các ma trận Arr, Bss, Crs là các ma trận sao cho A, B khả nghịch, khi đó: + ( ) = ( ) + ( ) ( ) 1.3.4. Các dạng chéo hóa của ma trận khối a. Định nghĩa: Ma trận M M = ( ) với A, D là ma trận vuông B, C là ma trận hình chữ nhật Ma trận khối tam giác trên nếu C = 0 Ma trận khối tam giác dƣới nếu B = 0 Ma trận chéo khối nếu B = 0 và C = 0 Trong tất cả các trƣờng hợp, vectơ riêng của M bằng vectơ riêng của A hợp với vectơ riêng của D. PM( = PA( ) PD(λ) + Trƣờng hợp đơn giản nhất: M = ( ) λI – M = ( ) Giải phƣơng trình đặc trƣng bằng cách tính det (λI – M) = 0 PM( = det (λI – M)= det (λI – A) det (λI – D) = PA( ) PD(λ) Nếu A ⃗⃗ = λ ⃗⃗ thì M( ⃗⃗) = ( ) ( ⃗⃗) = ( ⃗) = ( ⃗) Nếu D ⃗⃗ ⃗⃗ thì M( * = ( ) ( * = ( * = ( * ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ P = ( * ma trận P sẽ làm chéo hóa ma trận M ⃗⃗ + Ví dụ 1: Chéo hóa ma trận khối sau: 22
  28. M = = ( ) ( ) Lời giải: Ma trận A = ( ) A – λI = ( ). Giải phƣơng trình đặc trƣng để tìm trị riêng 2 2 Det (A – λI) = | | = 0  ( – 1 = 0  - 4 + 3 = 0  *  λ = 3, 1. Tìm vectơ riêng Au = λu hay (A – Iλ)u = 0  (A – Iλ)( ) = 0 + TH λ = 3: ( ) ( ) = 0  x = y ( ) = ( ) = y( ) suy ra vectơ riêng u = ( ) 1 + TH λ = 1 ( ) ( ) = 0  x + y = 0 => y = -x ( ) = ( ) = x( ) suy ra vectơ riêng u = ( ) 2 P = ( ) Det P = 1. (-1) -1 = -2 -1 P = - ( ) = ( ) -1 P = ( ) -1 P AP = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) Ma trận D = ( + 23
  29. (D – λI) = ( +. Giải phƣơng trình đặc trƣng để tìm trị riêng Det (D – λI) = | | = - λ( = - λ3 + 3λ + 2 = -(λ + 1)(λ + 1)( λ – 2) Suy ra trị riêng λ = 2, -1, -1 Tìm vectơ riêng bằng cách giải phƣơng trình: (D – λI). / = 0 + TH λ = 2: ( + . /  ( + . /  ( + . / => {  x = y =z . / . / ( + . Vậy vectơ riêng u1 = ( + + TH λ = -1: ( + . /  ( + . /  ( + . / => x + y + z = 0 Với y = a, z = b suy ra x = - a – b . / ( + = a( + + b( + Vectơ riêng u2 = ( + , u3 ( + Suy ra P2 = ( +. Det P2 = 1.1 + (-1). (-1) + 1. 1= 3 24
  30. = ( + . Suy ra = ( + D P = ( + ( + ( + 2 = ( + ( + = ( + = ( + Trị riêng của M: 3, 1, 2, -1, -1 Vectơ riêng của M: , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ma trận E là ma trận chéo của ma trận M có dạng: E = ( ) + Ví dụ 2: E = ( ) Lời giải: Ma trận A = ( +. Giải phƣơng trình đặc trƣng det (A – λI) = 0 | | = 0  ( -1 – λ).(-1)1+1 [ ] – 3(-1)2+1[ ] – 3(-1)3+1[ ] =0  - λ2 +6 λ – 8 – λ3 + 6 λ2 - 8 λ +18 - 9 λ + 3 λ – 6 = 0 25
  31.  - λ3 + 5 λ2 - 8 λ +4 = (λ – 1) (λ – 2)2 = 0 => * - Giải phƣơng trình: (A – λI).X = 0  ( A – λI). . / = ( + + TH λ = 1: Phƣơng trình trên tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( + . / ( +  {  x = y = z = a . / . / ( +  V(λ= 1) có một cơ sở là { } + TH λ = 2: Phƣơng trình trên tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( + . / ( +  {  { . / . / = a ( + + b ( + Vậy V(λ= 2) có 2 cơ sở là { }; { } Ma trận P = ( +. Det P = 3 – 2 = 1 P-1 = ( + . Suy ra P-1 = ( + 26
  32. P-1AP = ( + ( + ( + = ( + ( + = ( + Ma trận B = ( + Ma trận C = ( ) Ma trận D = ( ). Giải phƣơng trình đặc trƣng Det(C – λI) = 0  | | = 0  (1- λ) (2-λ) = 0 => * Giải phƣơng trình (A- .X = 0 + TH = 1: Tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( ) ( ) = ( )  { x R  ( ) = ( ) = ( )  Vậy V(λ=1) có một cơ sở { } + TH λ = 2: Tƣơng đƣơng với phƣơng trình ( ) ( ) = ( )  {  x = 3y  ( )= ( * = y( )  Vậy V có một cơ sở là { } Vậy ma trận P = ( ) Det P = 1 (λ=2) -1 -1 P = ( ) . Suy ra P = ( ) -1 P DP = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( )= ( ) Trị riêng của ma trận E: 1, 2, 2, 1, 2 27
  33. Vectơ riêng của E: , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ma trận F là ma trận chéo của ma trận E có dạng: F= ( ) b. Chéo hóa ma trận khối tam giác trên M = ( ) λI – M = ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ PM(λ) = PA(λ) PD(λ). Nếu A ⃗ = λ ⃗⃗ thì M( ) = ( ) ( ) ( * =λ( ) Nếu D ⃗ = ⃗, ( * không là vectơ riêng của M ⃗ ⃗⃗ M( * ( ) ( * . / ( * ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ + Ví dụ : M = . / = ( ) Lời giải: Ma trận A = ( ) Hàm riêng: λ = 5, -1 Trị riêng: u = ( ) ( ) 1 Ma trận B = ( ) Ma trận C Ma trận D = 4 Hàm riêng là 4, trị riêng là 1 28
  34. . / ( + ( + = ( + . / ( + ( + = - ( + . / ( + ( + ( + ⁄ ⁄ ⁄ ⁄  M – 4I = . / => ( , = ⁄ ( ) ⁄  ⁄ ( ) ⁄ ⃗ (M – 4I) = ⁄ . / = 0  { ( ) Với z = c. . / ( , = ( , Ta có vectơ riêng ⃗ ( , Vậy ma trận M có các vectơ riêng: ( + ( + ( , 29
  35. P = ( , Det P = 1. (-1)1 +1. (-1) + 1.(-1)2+1.1 + 0 = -2 P-1 = ( + . Suy ra P-1 = ( + -1 P MP = ( + . / ( , = ( + ( , = . / c. Chéo hóa ma trận khối tam giác dƣới M = ( ) Vectơ riêng của M bằng với vectơ riêng của A hợp với vectơ riêng của D PM(λ) = PA(λ) PD(λ) D ⃗ = λ ⃗ ( * ( * = λ( * ⃗ ⃗ ⃗ Nếu A ⃗⃗ = ⃗⃗, ( ⃗⃗) không là vectơ riêng của M M( ⃗⃗) ( ) ( ⃗⃗) ( ⃗⃗) ( ⃗⃗) ⃗⃗ + Ví dụ: M = ( + Lời giải: A = 4 có trị riêng λ = 4, vectơ trong cơ sở của không gian con riêng V(λ= 4): u1 = 1 B =(0 0) C = ( ) 30
  36. D = ( ) trị riêng λ = -1, 5. Vậy V có một cơ sở { } và V (λ= -1) (λ= 5) có một cơ sở { } M ⃗ = λ ⃗ + ( + ( + = ( + ⃗⃗ + ( + ( + = ( + ( + = λ ⃗⃗ + ( + ( += ( + ( += λ ⃗ Tính (M – λI): Với λ=4, ta có ( + = ( + = ( + = ( + Giải phƣơng trình: (M – 4I). ⃗ = 0 ( + . / ( + [ => [ Vậy ⃗ = c ( , Với V có 1 cơ sở , - (λ=4) Vậy ma trận P = ( ,. Det P = 2 P-1 = ( + . P-1 = ( + = ( + 31
  37. -1 P MP = ( + ( + ( , = ( , ( , = ( + 32
  38. CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN Đây là một số bài toán cơ bản về chéo hóa ma trận vuông và ma trận khối. Các bài toán này sẽ giúp chúng ta bƣớc đầu làm quen với chéo hóa ma trận. Chéo hóa ma trận vuông đặc biệt là chéo hóa ma trận khối là một trong những kỹ thuật thƣờng dùng trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử để có thể tìm ra đƣợc khối lƣợng của hạt neutrino trong vật lý. 2.1. Một số bài toán về chéo hóa ma trận và ma trận đối xứng 2.1.1. Bài toán chéo hóa ma trận Việc tính lũy thừa bậc n của ma trận vuông A theo công thức nhân ma trận thông thƣờng là việc rất khó khăn. Bây giờ ta đi tìm công thức tính lũy thừa bậc n của ma trận vuông dựa vào ma trận chéo. Giả sử cho ma trận A , A có ma trận chéo là B với B = C-1.A.C thì ta có A = C.B.C-1. Sử dụng tính chất này ta có: n -1 n -1 -1 -1 -1 A = (C.B.C ) = C.B.C . C.B.C C.B.C , mà C .C = En  An = C.Bn.C-1 (1). Đây là công thức cần tìm Bài 1: Tìm các vectơ riêng và các giá trị riêng của ma trận cấp 2: ( ) Lời giải : Ta có phƣơng trình đặc trƣng là : Det( ) | | = 0 có 2 trị riêng, λ1 = 1 và λ2 = -1 + Với λ1 = 1, có hệ phƣơng trình : { Đặt x2 = , x1 = (x) = ( ), 1 Với λ2 = -1 tƣơng tự tìm đƣợc: 33
  39. (x) = ( ) -1 Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm đƣợc: . Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm các vectơ riêng và các giá trị riêng của ma trận cấp ba: ( + Chuẩn hóa các vectơ riêng ? Bài 2: Tìm các vectơ riêng chuẩn hóa và các giá trị riêng của ma trận cấp 2: a. ( ) b. ( ) c. ( ) Bài 2: Cho f: P2 xác định bởi: f (x, y) = (5x + 4y, 8x +9y). Hãy tìm một cơ sở của P2 để trong cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo và tìm ma trận đó. Lời giải: Ta có ma trận A của f trong cơ sở chính tắc của P2 là: A = ( ) Phƣơng trình đặc trƣng của A là: 2 | |= 0  λ - 14λ +13 = 0 Phƣơng trình có các nghiệm: λ1 = 1 và λ2 = 13 Với λ1 = 1, ta giải hệ phƣơng trình: {  x1 + 2x2 = 0 Chọn ⃗⃗⃗⃗ ⃗ là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ1 = 1 Với λ2 = 13, ta giải hệ phƣơng trình: {  x1 – x2 = 0 34
  40. Chọn ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 1) là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ2 = 13. Ta có rank ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2, vì ta có | | = 3 2 Nên hệ hai vectơ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗} độc lập tuyến tính trong P . 2 Vậy { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ } là một cơ sở của P để trong cơ sở đó ma trận A của f có dạng chéo, ma trận đó là: B = ( ) Bài 3: Cho ma trận: A = ( + Tính An bằng cách chéo hóa ma trận A? Lời giải: Bằng các phƣơng pháp chéo hóa ma trận ở phần trƣớc ta tìm đƣợc ma trận làm chéo hóa ma trận A là: C = ( + Khi đó ma trận chéo của ma trận A là: B = C-1.A.C = ( + Áp dụng công thức (1) ta tính đƣợc: An = C.Bn.C-1 = [( +].[ ].[ ] = [ ] Bài 4: Cho ma trận: B = ( +. Hãy chéo hóa ma trận vuông B Lời giải: 35
  41. Giải phƣơng trình đặc trƣng det (B – λI) = 0, ta có: | | = 0  (5 – λ).( -4 – λ + λ2) + 42 - 18λ -16 +8λ = 0  -20 – λ + 6λ2 – λ3 + 26 - 10λ = 0 – λ3 + 6λ2– 11λ + 6 = 0 Phƣơng trình này có nghiệm là: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3. Giải phƣơng trình (B – λI). ⃗ = 0 để tìm các vectơ riêng + Với λ1 = 1 ta có hệ phƣơng trình sau: { { . / . / ( + Vậy với V(λ=1) có 1 cơ sở là: { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ } + Với λ2 = 2 ta có hệ phƣơng trình sau: { { . / . / ( + Vậy với V(λ=2) có 1 cơ sở là: { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ } + Với λ3 = 3 ta có hệ phƣơng trình sau: { { Vậy với V có 1 cơ sở là: , ⃗⃗⃗⃗⃗ - (λ=3) Vậy ma trận P = ( ) là ma trận làm chéo hóa ma trận B. Det P = 1 – 1 = - 36
  42. P-1 = -2.( + = ( + P-1 = ( + -1 P .B.P = ( +. ( + ( ) = ( +. ( ) = ( + Bài tập áp dụng: Bài 1: Chéo hóa các ma trận sau: A = ( +; B = ( + C = ( ,; D = ( , Đáp số: Ma trận A có dạng chéo hóa là: ( + Ma trận B có dạng chéo là: ( + Ma trận C có dạng chéo hóa là: ( , Ma trận D không chéo hóa đƣợc do không tồn tại một cơ sở gồm những vectơ riêng Bài 2: Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP 37
  43. -1 1) A = ( ) Đáp số: P = ( ) P .A.P = ( ) -1 2) A = ( ) Đáp số: P = ( ) P .A.P = ( ) 3) A = ( + Đáp số: P = ( + P-1.A.P = ( + 4) A = ( + Đáp số: P = ( + P-1.A.P = ( + 2.1.2. Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng Bài 1: Cho ma trận A, hãy tìm ma trận trực giao Q sao cho B = Q-1.A.Q là ma trận chéo. A = ( + Lời giải: Phƣơng trình đặc trƣng của A là: Det(A –λI) = | | = 0  - λ3 + 3λ2 + 6λ – 8 = 0  (λ + 2)( λ – 1)(- λ + 4) = 0  { Với λ = 2 giải hệ phƣơng trình: {  { Chọn ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 2, 2) là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ1 = -2 Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc: ⃗⃗⃗⃗ = ( ) Với λ2 = 1, giải hệ phƣơng trình: {  { Chọn ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 1, -2) là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 = 1 38
  44. Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc: ⃗⃗⃗⃗ = ( ) Với λ3 = 4, giải hệ phƣơng trình: {  { Chọn ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, -2, 1) là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ3 = 4 Chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗ đƣợc: ⃗⃗⃗⃗ = ( ) Vậy ( ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ là cơ sở trực chuẩn gồm toàn các vectơ riêng của A. Ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là: Q = ( ) Ma trận chéo P là: B = ( + Bài 2: Cho ma trận A = ( +. Hãy tìm ma trận trực giao Q để đƣa A về dạng chéo B = Q-1.A.Q. Tìm ma trận chéo B. Lời giải: Trƣớc hết ta nhận xét ma trận A là ma trận đối xứng nên A chéo hóa trực giao đƣợc. 1. Giải phƣơng trình đặc trƣng: det (A – λI) = 0  | | = 0  -(5 – λ).(1+ λ)2 = 0  [ 2. Tìm 1 cơ sở trực chuẩn của không gian riêng λ1=5 (m1 = 1). Giải hệ phƣơng trình: (A – λI).X = 0 39
  45. Ta có: ( + . / = ( +  ( + . / = ( +  ( + . / = ( +  {  { t { } ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Lấy ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 1) = ⃗⃗⃗ ⃗ chuẩn hóa ⃗⃗⃗ ⃗⃗ đƣợc ⃗⃗⃗ ⃗ = = ( ) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ + λ2 = -1 (m2 = 2). Giải hệ phƣơng trình: (A – λI) = 0  ( + . / ( +  2x + 2y +2z = 0  { t, v Để tìm cơ sở trực chuẩn của không gian riêng ứng với λ2 = -1 ta làm nhƣ sau: Lấy ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ( 1, 0, -1) , ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, 1, -1) là cơ sở ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ chuẩn hóa ⃗⃗⃗ ⃗ đƣợc ⃗⃗⃗ ⃗ = ( ) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , b2 = = = - 〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗〉 ⃗⃗⃗⃗ = .(1, 0, -1) + (0, 1, -1) = ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Chuẩn hóa ⃗⃗⃗ ⃗ đƣợc ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( ) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 3. Ma trận Q và B cần tìm là: Q = B = ( + ( ) Chú ý: Ma trận Q không là duy nhất vì Q phụ thuộc vào cách chọn vectơ riêng. 40
  46. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ma trận P làm chéo hóa trực giao A và xác định P-1.A.P: 1) A = ( ) 4) A = ( * 2) A = ( + 5) A = ( , 3) A = ( + 6) A = ( , Đáp số: -1 1) P = . / P AP = ( ) 2) P = ( , P-1AP = ( + 3) P = ( , -1 4) P = ( ) P AP = ( ) 5) P = ( ) 41
  47. 6) P = ( ) Bài tập 2: Cho ma trận vuông cấp hai thực hay phức: A = ( ). Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c, d để ma trận A chéo hóa đƣợc. Hƣớng dẫn: Đa thức đặc trƣng của ma trận A: 2 | | |( )|= λ – (a +d)λ +ad – bc TH 1: A là ma trận thực + Nếu thì A có 2 giá trị riêng phân biệt, vậy A chéo hóa đƣợc. + Nếu thì A có 1 giá trị riêng duy nhất λ0. Để A chéo hóa đƣợc thì A phải có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , (| | ). Khi đó ta có: { , { Hệ hai phƣơng trình trên có | | nên và c = Hay: , ; , . Suy ra a = d và b = c = 0 Từ những điều trên ta dễ dàng suy ra điều kiện cần và đủ để ma trận thực A chéo hóa đƣợc là hoặc hoặc a = d và b = c = 0. TH 2: A là ma trận phức. Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thực ta suy ra: Điều kiện cần và đủ để ma trận phức A chéo hóa đƣợc là hoặc hoặc a = d và b = c = 0. 42
  48. 2.2. Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối Bài toán 1: Chéo hóa ma trận khối sau: M = = ( ) ( ) Lời giải: Ma trận A = ( + Giải phƣơng trình đặc trƣng det (A – λI) = 0, ta có: | | = 0  (5 – λ).( -4 – λ + λ2) + 42 - 18λ -16 +8λ = 0  -20 – λ + 6λ2 – λ3 + 26 - 10λ = 0 – λ3 + 6λ2– 11λ + 6 = 0 Phƣơng trình này có nghiệm là: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3. Giải phƣơng trình (A – λI). ⃗ = 0 để tìm các vectơ riêng + Với λ1 = 1 ta có hệ phƣơng trình sau: { { . / . / ( + Vậy với V(λ=1) có 1 cơ sở là: { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ } + Với λ2 = 2 ta có hệ phƣơng trình sau: { { . / . / ( + Vậy với V(λ=2) có 1 cơ sở là: { ⃗⃗⃗⃗ ⃗ } 43
  49. + Với λ3 = 3 ta có hệ phƣơng trình sau: { { Vậy với V có 1 cơ sở là: , ⃗⃗⃗⃗⃗ - (λ=3) Vậy ma trận P = ( ) là ma trận làm chéo hóa ma trận B. Det P = 1 – 1 = - P-1 = -2.( + = ( + P-1 = ( + -1 P .A.P = ( +. ( + ( ) = ( +. ( ) = ( + Ma trận D = ( +. Giải phƣơng trình đặc trƣng det (D – λI) = 0 | | = 0  ( -1 – λ).(-1)1+1 [ ] – 3(-1)2+1[ ] – 3(-1)3+1[ ] =0  - λ2 +6 λ – 8 – λ3 + 6 λ2 - 8 λ +18 - 9 λ + 3 λ – 6 = 0  - λ3 + 5 λ2 - 8 λ +4 = (λ – 1) (λ – 2)2 = 0 => * 44
  50. - Giải phƣơng trình: (D – λI).X = 0  ( D – λI). . / = ( + + TH λ = 1: Phƣơng trình trên tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( + . / ( +  {  x = y = z = a . / . / ( +  V(λ= 1) có một cơ sở là { } + TH λ = 2: Phƣơng trình trên tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ( + . / ( +  {  { . / . / = a ( + + b ( + Vậy V(λ= 2) có 2 cơ sở là { }; { }. Vậy ma trận P = ( +. Det P = 3 – 2 = 1 P-1 = ( + . Suy ra P-1 = ( + P-1DP = ( + ( + ( + 45
  51. = ( + ( + = ( + Trị riêng của M: 1, 2, 3, 1, 2, 2 Vectơ riêng của M: , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ma trận E là ma trận chéo của ma trận M có dạng: E = ( ) Bài toán 2: Tìm ma trận chéo khối của ma trận khối tam giác trên sau: M = ( , = ( ) Lời giải: A = ( +. Giải phƣơng trình đặc trƣng det (A – λI) = 0  | |  -λ3 + 5λ2 - 8λ +4 = 0 2  (λ -1)( λ – 2) = 0 => * Giải phƣơng trình (A –λI). ⃗ = 0 Với λ1 = 1 => V(λ1 = 1) có một cơ sở { ⃗⃗ } ⃗⃗ Với λ2 = 2 => có hai cơ sở là: { ⃗⃗ B = ( + 46
  52. C = D = 4 trị riêng λ = 4, vectơ trong cơ sở không gian con riêng là ⃗⃗ = 1 A ⃗ = ⃗ + ( , ( , = ( , ⃗ + ( , ( , = ( , = 2( , = ( , + ( , ( , = ( , = 2( , = ( , + ( , ( , = ( , ⃗ Tính M – 4I = ( , = ( , = ( , (M – 4I). ⃗ = 0  ( , ( ) = ( ,  {   { { 47
  53. ⃗ Vậy vectơ riêng = = ( ) ( ) Vậy P = ( ) -1 E = P .M.P = ( , Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ma trận chéo Q = P-1.M.P của các ma trận khối sau: 1. M = Đáp số: Q = ( ) ( ) 2. M = ( ) Đáp số: Q = ( ) 48
  54. 3. M = Đáp số: Q ( ) ( ) Bài 2: Tìm ma trận chéo của ma trận khối tam giác sau: 1. M = ( , Đáp số: Q = ( , 2. M = ( + Đáp số: Q = ( + 3. M = ( , Đáp số: Q = ( , 4. M = ( , Đáp số: Q = ( , 49
  55. KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý”, đối chiếu với mục đích đã đề ra về cơ bản khóa luận đã đƣợc hoàn thành. Theo hƣớng tìm hiểu chi tiết về chéo hóa ma trận vuông và ma trận khối, khóa luận thu đƣợc một số kết quả sau: - Giới thiệu đƣợc về lý thuyết ma trận và một số ma trận thƣờng xuất hiện trong vật lý nhƣ: Ma trận đơn vị, ma trận nghịch đảo, ma trận hermitian, ma trận đối xứng, ma trận trực giao, ma trận khối - Đƣa ra đƣợc phƣơng pháp chéo hóa ma trận vuông, chéo hóa ma trận đối xứng bằng phƣơng pháp chéo hóa ma trận trực giao. Tìm hiểu đƣợc kĩ thuật chéo hóa ma trận khối đây là kĩ thuật thƣờng đƣợc sử dụng trong vật lý hiện đại. - Đƣa ra đƣợc một số bài toán về chéo hóa ma trận, chéo hóa ma trận đối xứng và chéo hóa ma trận khối. Do thời gian có hạn, lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học, khả năng và vốn kiến thức của bản thân còn nhiều thiếu sót. Em hy vọng nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc. Hy vọng với các nội dung đã đƣợc trình bày trong khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đọc, góp phần nghiên cứu các bài toán về chéo hóa ma trận vuông, chéo hóa ma trận đối xứng và chéo hóa ma trận khối trong vật lý. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô! 50
  56. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cấp tập 1, NXB Giáo dục. [2] Nguyễn Đình Trí (2006), Bài tập Toán học cao cấp tập 1, NXB Giáo dục. [3] Phan Hồng Trƣờng, Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [4] Trần Thái Hoa (2014), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [5] Diagonalisation of a 3x3 matrix [6] How-To Guide to Matrix Diagonalization [7] Matrix [8] Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization 51