›

Khóa luận Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lý

pdf 73 trang thiennha21 15/04/2022 6761
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_chuoi_fourier_va_ung_dung_trong_vat_ly.pdf

Nội dung text: Khóa luận Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lý

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƢƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2017 1
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƢƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS.Nguyễn Huy Thảo HÀ NỘI – 2017 2
  3. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.Nguỹen Huy Thảo, thầy đã định hƣớng cho tôi có những tƣ duy khoa học đúng đắn, tận tình chỉ bảo và tạo rất nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trƣờng ĐHSPHN2 đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong thời gian hoàn thành khoá luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Cấn Thị Lan Hƣơng 3
  4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng: Khoa luận đề tài “Chuỗi Fourier và ứng dụng trong Vật lý” dƣới sự hƣớng dẫn của TS.Nguyễn Huy Thảo có các nội dung và kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực. Mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện khoá luận đã đƣợc cảm ơn, các tài liệu tham khảo đƣợc sử dụng đều đƣợc ghi rõ trong khoá luận. Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Cấn Thị Lan Hƣơng 4
  5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI 1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi. 9 1.1.1: Các định nghĩa 9 1.1.2: Tính chất. 9 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ. 10 1.1.4: Chuỗi số dương. 10 1.2: Chuỗi lượng giác. 12 1.2.1: Định nghĩa. 12 1.2.2: Định lý. 13 1.3: Chuỗi Fourier 14 1.3.1: Định nghĩa. 14 1.3.2: Định lý. 15 1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier 16 1.3.4: Tính hội tụ Fourier. 17 1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier. 17 1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. 19 CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 2.1: Ứng dụng trong Vật lý 28 2.1.1: Phương trình truyền nhiệt. 28 2.1.2: Phương trình dao động của dây. 36 2.2: Ứng dụng của huỗi Fourier trong một số lĩnh vực khác. 48 2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier 48 2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến 54 2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống 58 2.2.4: Ứng dụng của tích chập- xử lý tín hiệu và bộ lọc 63 2.2.5: Ứng dụng của tích chập- điều chỉnh biên độ và ghép tần số 66 2.2.6: Ứng dụng của chuỗi Fourier trong âm nhạc. 69 KẾT LUẬN 5
  6. TÀI LIỆU THAM KHẢO 6
  7. MỞ ĐẦ U 1. Lý do chọn đề tài. Trong những năm đầu của thế kỷ thứ 19, nhà toán học ngƣời Pháp Joseph Fourier trong nghiên cứu về sự dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên cứu chuỗi lƣợng giác theo các công trình trƣớc đó của Euler, d’Alambert và Bernoulli; ông đã phát hiện ra điều đáng chú ý của chuỗi lƣợng giác và đƣa ra chuỗi đặc biệt mà hiện nay mang tên ông gọi là chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier ra đời tạo nền tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo ra bƣớc tiến mới cho cả lý thuyết khoa học và ứng dụng thực tế. Ngày nay, những nghiên cứu về chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học nhƣ số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học . và đặc biệt trong vật lý với các bài toán về sự dao động và sự truyền nhiệt. Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải quyết nhiều vấn đề mà trƣớc đây ta chƣa làm đƣợc và giúp các ngành khoa học phát triển hơn. Với mục đích tìm hiểu về ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng để làm quen với nghiên cứu khoa học, chúng tôi đã chọn đề tài “chuỗi Fourier và ứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học. Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trƣờng sƣ phạm Hà Nội II. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất của các hệ số Fourier. Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn và chuỗi fourier. Tìm hiểu và nghiên cứu của các ứng dụng của chuỗi Fourier. 4. Phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về chuỗi Fourier và các ứng dụng nổi bật của chuỗi. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phƣơng pháp nghiên cứu chủ yếu là: -Sƣu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức. 7
  8. -Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hƣớng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cƣơng nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 6. Đóng góp của đề tài. Khóa luận trình bày đƣợc hệ thống kiến thức cơ sở đến mở rộng của chuỗi Fourier. Cung cấp và làm sáng tỏ các ứng dụng của chuỗi Fourier. 7. Cấu trúc Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi và các kiến thức quan trọng cần thiết về chuỗi Fourier. Chương II: Trình bày về ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải bài toán vật lý và một vài ứng dụng trong các lĩnh vực khác. 8
  9. NO I DUNG CHƯỞNG I: LÝ THUÝE T CHUO I 1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi. 1.1.1: Các định nghĩa Định nghĩa 1: Cho dãy số Biểu thức: (1.1) đƣợc gọi là chuỗi số và đƣợc kí hiệu là ∑ .Các số là các số hạng của chuỗi số. Định nghĩa 2: Ta gọi ∑ là tổng riêng thứ của chuỗi số (1.1). Nếu ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết ∑ Trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu không tồn tại hoặc thì chuỗi số (1.1) đƣợc gọi là chuỗi phân kì. Định nghĩa 3: Ta gọi là phần dƣ thứ của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì khi Nếu không dần tới một giới hạn hữu hạn khi , thì chuỗi số phân kì. 1.1.2: Tính chất. Tính chất 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ và có tổng S thì chuỗi số ∑ trong đó là hằng số cũng hội tụ và có tổng Tính chất 2: 9
  10. Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ và có tổng tƣơng ứng là I, J thì chuỗi số ∑ cũng hôi tụ và có tổng I+J. Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên. 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ. Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi số ∑ hội tụ khi và chỉ khi mỗi số cho trƣớc, tìm đƣợc số nguyên dƣơng N sao cho: | | Tính chất: Điều kiện cần để chuỗi ∑ hội tụ là 1.1.4: Chuỗi số dương. Định nghĩa 1: Chuỗi số ∑ có các số hạng với mọi đƣợc gọi là chuỗi số dƣơng. Các dấu hiệu hội tụ Định nghĩa 2: Chuỗi số dƣơng ∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của chuỗi bị chặn trên Định lý 1: (Dấu hiệu so sánh 1). Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ và ∑ . Giả sử , . Khi đó nếu chuỗi số ∑ hội tụ thì chuỗi số ∑ hội tụ, nếu chuỗi số ∑ phân kì thì chuỗi số ∑ phân kì. Định lý 2: (Dấu hệu so sánh 2). ∑ ∑ Cho hai chuỗi số dƣơng và . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hay phân kì. 10
  11. Định lý 3: (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Giả sử là một hàm số liên tục trên khoảng [ [ và giảm với đủ lớn. Đặt khi đó chuỗi số ∑ hội tụ nếu và chỉ nếu ∫ là hữu hạn. 1.1.5: Chuỗi đan dấu. Định nghĩa: Chuỗi số có dạng. ∑ hoặc ∑ với gọi là chuỗi số đan dấu. Định lý: ( Định lý Leibniz) Nếu chuỗi số đan dấu ∑ thoả mãn các điều kiện sau: (i) (ii) thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng . 1.1.6: Chuỗi số bất kì. Định nghĩa: Chuỗi số ∑ đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∑ | | hội tụ, là bán hội tụ nếu ∑ hội tụ nhƣng ∑ | | phân kì. 11
  12. Định lý 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó hội tụ và |∑ | ∑| | Định lý 2: ( Dấu hiệu D’Alembert) | | Cho chuỗi số ∑ có Khi đó | | (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi. Định lý 3: (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử chuỗi số ∑ √| | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi. Định lý 4: Giả sử ∑ là một chuỗi số với √| | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa thể nói gì về tính chất của chuỗi số. Định lý 5 : Giả sử ∑ là một dãy số thực | | (i) Nếu thì chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối. | | | | (ii) Nếu thì chuỗi số đã cho phân kì. | | 1.2: Chuỗi lượng giác. 1.2.1: Định nghĩa. Định nghĩa 1: Chuỗi lƣợng giác là chuỗi hàm có dạng. 12
  13. ∑ (1.2) Trong đó { } { } là hai dãy số thực. Số hạng tổng quát là một hàm số tuần hoàn chu kỳ liên tục và khả vi mọi cấp. 1.2.2: Định lý. Định lý 1: Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lƣợng giác: ∑ hội tụ đều trên R và tổng của chuỗi là một hàm liên tục trên R. Định lý 2: Giả sử dãy { } { } là hai dãy số giảm đến 0 khi Khi đó, chuỗi lƣợng giác: ∑ hội tụ tại mọi điểm và hội tụ đều trên mỗi đoạn [ ], Do đó tổng chuỗi là một hàm số liên tục trên Định lý 4: Nếu ∑ | | | | thì tổng của chuỗi lƣợng giác ∑ (1.3) là một hàm số khả vi liên tục trên R và nhận đƣợc bằng cách lấy đạo hàm từng hạng tử của chuỗi (1.3), tức là ∑ Định lý 5: 13
  14. Nếu chuỗi số ∑ ∑ đều hội tụ tuyệt đối thì tổng của chuỗi lƣợng giác: ∑ (1.5) liên tục trên R và tổng của chuỗi lƣợng giác ∑ ( ) nhận đƣợc nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (1.5) là một nguyên hàm của trên R. 1.3: Chuỗi Fourier 1.3.1: Định nghĩa. Định nghĩa 1: Hàm số xác định trên đoạn [ ] gọi là liên tục từng khúc nếu tồn tại một phép phân hoạch của đoạn [ ] có tính chất:Với mỗi , hàm số liên tục trên khoảng , có giới hạn phải hữu hạn tại điểm và giới hạn trái tại điểm Nói cách khác, là liên tục từng khúc trên đoạn [ ] nếu chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn Định nghĩa 2: Giả sử là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ , liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn . Chuỗi lƣợng giác: ∑ trong đó các hệ số đƣợc cho bởi công thức: ∫ ∫ 14
  15. gọi là chuỗi Fouriercủa hàm số đƣợc gọi là các hệ số Fourier của . Các công thức tính đƣợc gọi là công thức Euler. Vì là một hàm số tuần hoàn chu kỳ nên nhờ một phép biến đổi biến số, dễ dàng chứng minh đƣợc: ∫ ∫ Đặc biệt ta có: ∫ nếu là một hàm số chẵn thì là những hàm số chẵn và là những hàm số lẻ. Do đó: ∫ Vì thế chuỗi Fourier của có dạng: ∑ Tƣơng tự, nếu là một hàm số lẻ thì là những hàm số lẻ và là những hàm số chẵn. Do đó. ∫ Khi đó chuỗi Fourier của có dạng: ∑ 1.3.2: Định lý. Giả sử là một hàm số tuần hoàn với chu kì Giả sử chuỗi lƣợng giác: 15
  16. ∑ Hội tụ đều trên đoạn [ ] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là . Khi đó ta có: ∫ ∫ ∫ 1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier. Định lý 1: Cho là hàm số với bình phƣơng khả tích trên đoạn [ ] Nếu là tổng Fourier bậc của thì: ∫ [ ] ∫ [ ] trong đó minium ở vế phải lấy theo mọi đa thức lƣợng giác có bậc không quá Nếu là các hệ số Fourier của thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây: ∑ ∫ Định lý 2: Nếu là hàm liên tục trên đoạn [ ] và nhận cùng một giá trị ở hai đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier của thoả mãn đẳng thức sau: ∫ ∑ (đẳng thức Parseval) 16
  17. 1.3.4: Tính hội tụ Fourier. Không phải khi nào chuỗi Fourier của hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, nên ta dùng biểu thức: ∑ để biểu thị rằng hàm có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier Cho hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì. Khi đó chuỗi Fourier của hàm hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng tại mọi điểm mà hàm liên tục. Tại những điểm mà hàm không liên tục, tổng chuỗi Fourier hội tụ về giá trị [ ] trong đó: 1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier. Sử dụng công thức biểu diễn hàm lƣợng giác thông qua số phức: và Ta có thể viết lại khai triển Fourier dƣới dạng: ∑ [ ] Đặt ta có: 17
  18. ∑ Lƣu ý rằng , ta có ∫ ∫ ∫ ∫ Do vậy công thức trên có thể viết lại thành: ∑ ∫ Công thức này đƣợc gọi là dạng phức của chuỗi Fourier.  Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì . Với khả tích trên đoạn [ ]. Đối với hàm này ta lập đƣợc chuỗi Fourier ∑ trong đó ∫ ∫ { Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lƣợng giác với hàm mũ 18
  19. Suy ra Ta có thể viết Thay vào (1.9) ta đƣợc ∑ ( ) Nếu đặt (1.11) tổng riêng thứ của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.9), có thể viết là: ∑ ∑ Ta có cách viết. ∑ Dạng phức của chuỗi Fourier của hàm 1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.  Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. Cho chuỗi lƣợng giác: ∑ là chuỗi Fourier của trên đoạn [ ] Nếu chuỗi (1.12) hội tụ và hội tụ đến tổng chính là thì ta nói rằng khai triển thành Fourier trên đoạn [ ] Đồng thời viết 19
  20. ∑  Khai triển Fourier tổng quát Khai triển một hàm tuần hoàn trong khoảng[ ]. Hàm đƣợc gọi hàm liên tục từng khúc trong [ ] nếu [ ] có thể chia thành một số hữu hạn các khoảng con [ ] sao cho hàm liên tục trên mỗi khoảng mở và tồn tại các giá trị hữu hạn của các giới hạn một phía: tại các đầu khoảng con. Nói cách khác, khi đó trong mỗi khoảng con hàm có thể thác triển liên tục đƣợc lên các đầu của khoảng thành hàm liên tục trong mỗi khoảng con đóng [ ] đó. Nếu các đầu khoảng đó là các điểm gián đoạn của hàm thì chúng chỉ có thể là các điểm gián đoạn loại một. Ta không quan tâm tới giá trị của hàm tại chính các đầu khoảng con Chúng có thể xác định với giá trị tuỳ ý hoặc không xác định, và điều đó không ảnh hƣởng gì đến các giá trị của các hệ số Fourier của Định nghĩa: Hàm đƣợc gọi là hàm khả vi từng khúc trên đoạn [ ] nếu là hàm liên tục từng khúc trong [ ] và trong mỗi khoảng con mở hàm khả vi, đồng thời tồn tại các giá trị giới hạn hữu hạn: Nói cách khác, hàm sau khi đã thác triển liên tục trong khoảng lên hai đầu khoảng thì hàm đã thác triển này là hàm khả vi trong khoảng đóng [ ] Ta có định lý khai triển sau: Định lý Dirichlet. 20
  21. Giả sử hàm là hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ] Khi đó, chuỗi Fourier của hàm hội tụ trong toàn khoảng [ ] và tổng bằng với mọi [ ]. Ta thừa nhận định lý trên Nếu là điểm liên tục của hàm thì: Do đó Nhƣ vậy chuỗi Fourier của hàm khả vi từng khúc tại những điểm liên tục của hàm, hội tụ về chính giá trị của hàm ấy. Còn tại những điểm gián đoạn của hàm thì hội tụ về giá trị trung bình cộng của các giá trị giới hạn bên phải và bên trái của hàm. Chú ý: Nếu là hàm lẻ, nghĩa là thì chuỗi Fourier của hàm chứa những từ gồm toàn các hàm , vì khi đó là một hàm lẻ và mọi hệ số đều bằng 0. ∫ Khai triển một hàm không tuần hoàn trong [ ]. Xét hàm không tuần hoàn và giả thiết rằng trong khoảng [ ] hàm khả vi từng khúc. Ta thành lập một cách hình thức chuỗi trong đó các hệ số đƣợc tính theo công thức Euler. 21
  22. ∫ ∫ Chuỗi (1.13) vẫn đƣợc gọi là chuỗi Fourier của hàm Để xét xem chuỗi có hội tụ về hay không, ta xây dựng hàm sao cho trong khoảng [ ] trùng với hàm [ Còn ngoài khoảng trên thì lặp lại một cách tuần hoàn với chu kì Vậy chuỗi (1.13) cũng là chuỗi Fourier của hàm Theo kết quả đã xét ở trên, thì tại mọi chuỗi (1.13) hội tụ về Do chỉ khi [ ] nên ta có khi [ ]. Do tính tuần hoàn với chu kì của Vậy nếu là hàm không lặp lại tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ] thì chuỗi Fourier của hàm: hội tụ về hội tụ về hội tụ về [ ]. Khai triển một hàm xác định trong khoảng [ ] 22
  23. Giả sử là hàm khả vi từng khúc [ ] Nếu [ ] [ ] thì theo định lý khai triển hàm khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier và chuỗi đó là duy nhất vì các hệ số của hàm hoàn toàn đƣợc xác định bởi công thức Euler. Ta xét hai trƣờng hợp [ ] [ ] a, Trƣờng hợp [ ] thực sự nằm trong [ ] Trƣờng hợp này là trƣờng hợp [ ] [ ] Xét hàm tuần hoàn với chu kỳ , khả vi từng khúc trong [ ] sao cho trong [ ] thì trùng với hàm còn trong [ ] thì hoàn toàn tuỳ ý. Ta khai triển thành chuỗi Fourier thì chuỗi này có tổng là: Trong [ ] vì nên ta có: Vì ngoài [ ] (x) có thể chọn tuỳ ý, mỗi cách chọn cho ta một chuỗi Fourier (1.14) khác nhau, nên ta có vô số chuỗi nhƣ vậy. Vậy nếu hàm khả vi từng khúc trong [ ] sao cho [ ] [ ] thì có vô số chuỗi Fourier dạng: hội tụ về [ ] Trong đó, các hệ số đƣợc tính bởi công thức: ∫ ∫ 23
  24. Ở đây, là một hàm bất kì, khả vi từng khúc trong [ ] và trùng với trong [ ] b, Trƣờng hợp [ ] thực sự nằm trong [ ] Đây là trƣờng hợp [ ] [ ] Xét chuỗi Fourier của hàm trong [ ] thì chuỗi này cũng là chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì và trong [ ] trùng với Ngoài khoảng [ ] nếu thì chuỗi hội tụ về chứ không hội tụ về Do vậy, trong trƣờng hợp không lặp lại tuần hoàn với chu kì mà ta tìm chuỗi Fourier dạng hội tụ trong toàn khoảng [ ] tới thì bài toán vô nghiệm. Khai triển chẵn, lẻ của một hàm. Giả sử là hàm khả vi từng khúc trong đoạn [ ] Theo mục ở trên, ta có thể khai triển ra toàn khoảng [ ] thành hàm và có vô số cách khai triển nhƣ vậy. Trong đó, có hai cách khai triển đặc biệt đƣợc gọi là khai triển chẵn và khai triển lẻ. - Khai triển chẵn là khai triển sao cho hàm thu đƣợc là hàm chẵn. Khi đó trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng cosin, tức là: ∑ [ ] trong đó ∫ ∫ ∫ 24
  25. - Khai triển lẻ là cách khai triển sao cho hàm thu đƣợc là một hàm lẻ. Khi đó, trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng sin, tức là: ∑ [ ] trong đó: ∫ ∫ ∫ Dạng khai triển Fourier trong [ ] Giả sử khả vi từng khúc trong [ ] ta khai triển một cách tuần hoàn hàm với chu kì ra ngoài khoảng [ ] Ta có Ta biến đổi với biến mới sao cho Khi đó, với [ ] [ ] và ( ) Hàm có chu kỳ nên hàm có chu kì . Hàm khả vi từng khúc trong [ ] nên có thể khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier trong [ ] ∑ Khi đó, ta có khai triển của trong [ ] 25
  26. ∑ ( ) trong đó: ∫ ∫ với đƣợc viết dƣới dạng: ∫ 1.16 ∫ Nếu là hàm tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ], thì hàm có thể khai triển đƣợc một cách duy nhất chuỗi Fourier dạng (1.15), trong đó các hệ số đƣợc tính theo công thức (1.16) Ta có: ∑ ( ) với Nếu hàm cho trong , theo trên ta có thể khai triển chẵn hàm trong dƣới dạng ∑ ∫ 26
  27. hoặc khai triển lẻ hàm trong dƣới dạng: ∑ ∫ 27
  28. CHƯỞNG II: Ư NG DU NG CU Ầ CHUO I FOURIER 2.1: Ứng dụng trong Vật lý 2.1.1: Phương trình truyền nhiệt. Ta xét một vật rắn G và gọi là nhiệt độ của vật tại điểm G ở thời điểm t. Nếu tại những điểm khác nhau của vật G có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp. Giả sử là một mảnh mặt bất kì khá bé trong vật G. Khi đó, theo định luật về sự truyền nhiệt, nhiệt lƣợng truyền qua mảnh ,trong khoảng thời gian tỷ lệ với , với là pháp tuyến của theo chiều truyền nhiệt( tức là chiều giảm của nhiệt độ) Trong đó là hệ số truyền nhiệt trong. Giả sử vật đang xét là đẳng hƣớng, tức là tại mọi điểm nhiệt truyền theo hƣớng nào cũng nhƣ nhau, thì hệ số chỉ phụ thuộc mà không phụ thuộc vào hƣớng của pháp tuyến với Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lƣợng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian. Khi đó từ (2.1) suy ra là hằng số nếu vật đẳng hƣớng và đồng chất. Ta xét một thể tích V bất kì trong vật rắn G giới hạn bởi một mặt kín trơn S và tính sự thay đổi nhiệt lƣợng trong thể tích V trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 bằng hai cách. Cách 1: Gọi C là nhiệt dung là tỉ khối (mật độ khối) của vật thể tại điểm thì nhiệt lƣợng cần thiết để trong phần thể tích của vật thể có sự thay đổi nhiệt độ từ đến là [ ] 28
  29. Do đó nhiệt lƣợng cần thiết để trong toàn bộ thể tích V có sự thay đổi nhiệt độ từ đến là ∭[ ] ∫ ∭ Vì ∫ Cách 2: (2.4) Trong đó: là nhiệt lƣợng từ bên ngoài truyền vào thể tích V qua mặt S trong khoảng thời gian t1 đến t2. là nhiệt lƣợng sinh ra ở trong thể tích V cũng trong khoảng thời gian đó do các nguồn nhiệt trong thể tích V. Từ (2.1) suy ra ∫ ∬ Với ⃗ là pháp tuyến trong với mặt S, hay ∫ ∬ Với ⃗ là pháp tuyến ngoài với mặt S. Gọi F(x,y,z) là mật độ nguồn nhiệt trong thể tích V tại điểm (x,y,z) ở thời điểm t, tức là nhiệt lƣợng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích, thì ∫ ∭ Từ đẳng thức (2.4), ta có ∫ ∭ ∫ ∬ ∫ ∭ 29
  30. Theo công thức Gauss-Ostrogradsky ta có ∬ ∬ ⃗ ∭ ∭ [ ( ) ( ) ( )] Do đó đẳng thức (2.8) có thể viết ∫ ∭ , * ( ) ( ) ( )+ - (2.9) Vì khoảng thời gian (t1,t2) và thể tích V đƣợc lấy tuỳ ý nên từ đẳng thức (2.9) suy ra với mọi (x,y,z) G và với mọi t, biểu thức dƣới dấu tích phân phải bằng 0. Do đó ( ) ( ) ( ) Phƣơng trình (2.10) đƣợc gọi là phƣơng trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hƣớng, không đồng chất. Nếu vật thể đẳng hƣớng và đồng chất thì C, đều là những hằng số và phƣơng trình (2.10) có dạng . / Trong đó: Nếu trong vật thể đang xét không có nguồn nhiệt, tức là F(x,y,z,t)=0, thì phƣơng trình (2.11) trở thành phƣơng trình truyền nhiệt thuần nhất: . / Ta xét hai trƣờng hợp riêng: 30
  31. 1) Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,y,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng đẳng hƣớng, đồng chất rất mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy, thì nhiệt độ u(x,y,z,t) tại điểm (x,y) ở thời điểm t thoả mãn phƣơng trình . / 2) Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một thanh đồng chất, đẳng hƣớng, rất mỏng đặt dọc theo trục Ox, thì nhiệt độ u(x,t) tại điểm x của thanh tại điểm t thoả mãn phƣơng trình Trong hai trƣờng hợp trên, ta phải giả thiết không có sự trao đổi nhiệt giữa bản phẳng hay thanh với môi trƣờng xung quanh.  Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho phương trình nhiệt Cho vật thể tích V với mặt S bao xung quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên biên S nhƣ sau: 1) Điều kiện Dirichlet (hay bài toán biên loại I) đòi hỏi nhiệt độ đƣợc xác định trên biên của miền, mà tại đó phƣơng trình nhiệt giải đƣợc. Loại điều kiện biên bày có dạng: | trong đó là nhiệt độ đã đƣợc xác định. 2) Điều kiện biên Neumann (hay bài toán biên loại 2) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên đƣợc xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phƣơng trình truyền nhiệt giải đƣợc. Loại điều kiện biên này có dạng: | | trong đó f2 là dòng nhiệt đã đƣợc xác định. 3) Điều kiện biên Robin (hay bài toán biên loại 3) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệt độ trao đổi với môi trƣờng xung quanh đƣợc xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phƣơng trình truyền nhiệt giải đƣợc. Loại điều kiện biên này có dạng | | trong đó h>0 là hằng số, f3 là dòng nhiệt đã đƣợc xác định. Chú ý rằng, dòng nhiệt trao đổi với môi trƣờng xung quanh phụ thuộc vào cả nhiệt độ của môi trƣờng. 4) Điều kiện hỗn hợp là kết quả của các điều kiện loại 1và loại 2. 31
  32.  Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn. Xét bài toán Đây là điều kiện Dirichlet xác định nhiệt độ tại các đầu mút của thanh và là nhiệt độ phân bố lúc ban đầu, f là hàm liên tục, khả vi từng khúc và f(0) = f = 0. Theo phƣơng pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm của phƣơng trình (2.18) dƣới dạng Thay (2.21) vào (2.18) ta đƣợc Chia hai vế cho ta đƣợc Vế trái (2.22) chỉ phụ thuộc t, vế phải chỉ phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số thay đổi, nhƣng tỉ số luôn bằng nhau. Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng số, do đó tồn tại hằng số thực thoả mãn. Từ đó ta có hai phƣơng trình vi phân sau: Các điều kiện biên (2.19) cho ta } 32
  33. Vậy để xác định X(x) ta đi tới bài toán về giá trị riêng. { Sau khi biện luận các giá trị của ta thấy rằng để (2.24) có nghiệm không tầm thƣờng thì Khi đó ta có √ √ trong đó C1 và C2 đƣợc xác định từ điều kiện (2.26) √ Từ (2.29), do ( nếu C2 = 0 thì suy ra √ √ √ Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thƣờng khi giá trị riêng ( ) Với mỗi trị riêng có một hàm riêng tƣơng ứng đƣợc viết ở dạng Ứng với trị riêng nghiệm của phƣơng trình (2.23) theo biến t là ( ) (2.33) với An là các hằng số tuỳ ý. Vậy các hàm ( ) là các nghiệm riêng của phƣơng trình (2.18), thoả mãn các điều kiện biên (2.19). Ta lập chuỗi 33
  34. ( ) ∑ Từ điều kiện đầu (2.20) ta có ∑ Do đó cần khai triển f(x) theo sin trong khoảng Việc tính các hệ số Fourier sẽ cho ta ∫ Vậy nghiệm của bài toán đƣợc cho bởi chuỗi (2.35) với các hệ số An xác định ở các công thức (2.36). Vì f là hàm liên tục, khả vi từng khúc và f(0) =f =0 nên chuỗi (2.35), với các hệ số xác định theo công thức (2.36), hội tụ tuyệt đối và đều tới hàm f(x).  Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. Xét bài toán. Với f là hàm liên tục, liên tục từng khúc với mọi t>0 thoả mãn f(0,t)=f( ,t)=0 Ta tìm nghiệm của bài toán (2.37), (2.38), (2.39) dƣới dạng: ∑ Nhƣ vậy điều kiện biên (2.39) đƣợc thoả mãn. Xét f(x,t) nhƣ hàm của x và phân tích hàm đó thành chuỗi Fourier theo sin trên . 34
  35. ∑ với ∫ Thay (2.40) vào (2.37) ta đƣợc : ∑ [ ( ) ] Đặt ta có mọi hệ số của chuỗi Fourier trên phải bằng 0, nghĩa là Từ (2.38) ta có ∑ Từ đó ta nhận đƣợc các điều kiện ban đầu của Tn(t) là Tn(0) = 0 (2.44) Nghiệm của bài toán (2.43), (2.44) đƣợc cho bởi công thức: ∫ Thay vào chuỗi (2.40) ta nhận đƣợc nghiệm của bài toán (2.37), (2.38), (2.39) dƣới dạng: ∑ 0∫ 1 Thế biểu thức từ (2.42) vào (2.45), ta biến đổi nghiệm u(x,t) nhƣ sau ∫ ∫ { ∑ } ∫ ∫ 35
  36. với ( ) ∑ 2.1.2: Phương trình dao động của dây.  Phương trình dao động của dây. Xét một sợi dây có chiều cố định ở hai đầu mút. Khi ở trạng thái tĩnh, dây có dạng đƣờng thẳng. Ta chọn đƣờng thẳng này làm trục Ox và xem các đầu dây trùng với các điểm x=0 và x= . Mỗi điểm của sợi dây có thể biểu thị bằng hoành độ x. Ta mô tả quá trình dao động của dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểm khác nhau, bằng cách đƣa véctơ dịch chuyển của sợi dây tại vị trí x và tại thời điểm t có dạng ⃗ Để đơn giản, ta giả sử quá trình dao động của sợi dây chỉ nằm trong mặt phẳng (u,x) và vectơ dịch chuyển ⃗ vuông góc với trục Ox tại thời điểm bất kì. Nhƣ vậy, việc mô tả quá trình dao động chỉ cần một hàm u(x;t) đặc trƣng cho độ dịch chuyển vuông góc với sợi dây. u  u x t A B 2 T2  ut x 1 x O x x+ x Hình 1: Dao động của dây Xét sợi dây nhƣ sợi chỉ đàn hồi dễ uốn. - Sức căng dây t tại mỗi điểm không phụ thuộc thời gian. Thật vậy, độ lớn của sức căng xuất hiện trong dây do đàn hồi có thể đƣợc tính theo định luật Hooke. Xét dao đông nhỏ của dây và bỏ qua bình phƣơng của ux so với 1 ( Khi sử 36
  37. dụng điều kiện này, ta tính đƣợc độ dài đƣờng cong của sợi dây khi dao động trên đoạn [ ] ∫ √ Nhƣ vậy, trong giới hạn của bài toán lí tƣởng này, ta có thể coi độ dài của sợi dây không đổi khi dao động. Do đó, theo định luật Hooke, độ lớn sức căng t tại mỗi điểm không thay đổi theo thời gian. - Sức căng T tại mỗi điểm không phụ thuộc vào toạ độ x, tức là Thật vậy, hình chiếu sức căng T trên trục Ox và Ou kí hiệu là Tx và Tu. √ trong đó là góc giữa tiếp tuyến với đƣờng cong u(x,t) và trục Ox. Trên đoạn [ ] của sợi dây có ba lực tác động. Lực căng hƣớng theo tiếp tuyến với sợi dây tại A và B; Ngoại lực vuông góc với Ox vì dây dao động ngang; Lực quán tính vuông góc với Ox vì dây dao động ngang. Ta sử dụng nguyên lí D’Alembert: Trong chuyển động của đoạn dây, tổng các lực tác động vào đoạn dây đó bằng 0. Ta chiếu tất cả các lực lên trục Ox sẽ nhận đƣợc Do tính tuỳ ý của đoạn [ ] suy ra sức căng không phụ thuộc x Để thuận tiện, ta đƣa vào một số kí hiệu độ dịch chuyển dao động ngang của dây 37
  38. mật độ khối lƣợng chiều dài của dây T=T(x): sức căng của dây w=w(x): ngoại lực tính trên một đơn vị độ dài. gia tốc dao động ngang của sợi dây. : hệ số tắt dần tuyến tính, với giả thiết lực tắt dần tỉ lệ với vận tốc dao động của sợi dây. Xét đoạn dây với mật độ tính trên đơn vị độ dài nằm trong khoảng giữa x và x. Trên hình, các đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến với đƣờng cong ở các đầu mút x, tức là Lực bên ngoài tác dụng lên đoạn [ ] bao gồm: ngoại lực w. và lực làm sóng yếu đi (lực tắt dần) trong đó lực tắt dần tỉ lệ với vận tốc dao động của dây và bỏ qua trọng lực. Mọi chuyển động hầu hết theo phƣơng thẳng đứng, do đó sức căng theo phƣơng chuyển động ngang trong trạng thái cân bằng và nhƣ nhau tại mọi điểm Áp dụng định luật Newton theo phƣơng thẳng đứng của dao động, tức là khối lƣợng nhân với gia tốc bằng tổng hợp lực tác dụng lên dây theo phƣơng thẳng đứng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chia hai vế cho rồi lấy giới hạn khi và chú ý rằng [ ] ( ) 38
  39. ta thu đƣợc phƣơng trình dao động của dây ( ) 48) Trƣờng hợp 1: mật độ và sức căng T=To là hằng số với Đặt ta thu đƣợc phƣơng trình sóng 1 chiều. Trƣờng hợp 2: mật độ và sức căng T=To là hằng số với Đặt ta thu đƣợc phƣơng trình điện báo Trƣờng hợp 3: mật độ và sức căng T= To là hằng số với g, trong đó g là gia tốc trọng trƣờng. Đặt ta thu đƣợc phƣơng trình dao động của dây dƣới tác dụng của trọng lực Trƣờng hợp 4: mật độ và sức căng T phụ thuộc vào toạ độ ta thu đƣợc: ( )  Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu cho phương trình dao động của dây. Để tìm nghiệm dƣới dạng tƣờng minh, cần phải có các điều kiện biên cho phƣơng trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phƣơng trình dao động của dây thƣờng có dạng sau. 1) Điều kiện biên Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng 39
  40. 2) Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng 3) Điều kiện biên Robin: Còn đƣợc gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp tuyến tính của hai điều kiện biên trên. Khi đó độ dịch chuyển và độ dốc của các đầu dây có dạng ( )| ( )| trong đó grad ⃗ ⃗ là vectơ pháp tuyến đơn vị. Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu.  Bài toán thứ nhất Ta xét bài toán dao động tự do của dây rung với hai đầu mút cố định, tức là tìm nghiệm u của phƣơng trình: thoả mãn các điều kiện biên và điều kiện đầu nhƣ sau trong đó f và g là các hàm liên tục trên [ ] triệt tiêu khi x=0 và x= Bài toán đã đƣợc chứng minh có nghiệm duy nhất trong lí thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng.Ở đây ta dùng phƣơng pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm. Trƣớc hết ta tìm nghiệm riêng u không đồng nhất 0, có dạng tách biến: 40
  41. Thay dạng này vào (2.53), ta thu đƣợc: Suy ra Vế phải phụ thuộc t,vế trái phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số có thay đổi, nhƣng tỉ số luôn luôn bằng nhau. Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng số đƣợc chọn là với là hằng số. Nhƣ vậy Ta nhận đƣợc hai phƣơng trình vi phân Các điều kiện biên (2.54) cho ta: } Để điều kiện đầu đƣợc thoả mãn thì Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm giá trị của tham số để phƣơng trình có nghiệm không tầm thƣờng. Lý thuyết phƣơng trình vi phân cho thấy để (2.60) có nghiệm không tầm thƣờng thì phải dƣơng. Khi đó, nghiệm của bài toán (2.60) có dạng: √ √ (C1, C2 là hằng số) √ 41
  42. Suy ra phƣơng trình tìm trị riêng: √ √ Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thƣờng khi giá trị riêng. ( ) Tƣơng ứng ta có các hàm riêng: Với trị riêng đã cho, nghiệm của phƣơng trình (2.58) theo biến t có dạng: trong đó An, Bn là các hằng số tuỳ ý. Suy ra nghiệm riêng (2.56) có dạng ( ) Ta sẽ tìm đƣợc nghiệm tổng quát u dƣới dạng chuỗi sau: ∑ ( ) Khi đó điều kiện ban đầu (2.55) xác định cho ta các hệ số tuỳ ý An, Bn. Ta có: ∑ (n=1,2 ) (2.66) ∑ Bằng cách khai triển f và g theo chuỗi sin ta đƣợc ; ∫ (n=1,2 ) (2.67) 42
  43. ∫ (n=1,2, ) Vậy nghiệm của bài toán đƣợc cho bởi (2.65) với các hệ số An, Bn nhƣ trên.  Bài toán thứ hai Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phƣơng trình biểu diễn dao động của một sợi dây dài có hai đầu mút cố định, hình dạng ban đầu của sợi dây là một tam giác có độ cao bằng h, chân đƣờng cao tại , vận tốc ban đầu bằng không Phƣơng trình dao động của dây là Thoả mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu nhƣ sau { Bài toán đã đƣợc chứng minh có nghiệm duy nhất trong lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng phƣơng pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm. Trƣớc hết ta tìm nghiệm riêng u không đồng nhất 0, có dạng tách biến Ta có Suy ra Vế phải phụ thuộc t, vế trái phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số có thay đổi, nhƣng tỉ số luôn luôn bằng nhau. Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng số đƣợc chọn là - với là hằng số. Nhƣ vậy 43
  44. Ta nhận đƣợc hai phƣơng trình vi phân Các điều kiện biên (2.69) cho ta } Để điều kiện đầu đƣợc thoả mãn thì Giải bài toán đơn giản nhất về trị riêng: Tìm giá trị của tham số để phƣơng trình Có nghiệm không tầm thƣờng. Lý thuyết phƣơng trình vi phân cho thấy để (2.75) có nghiệm không tầm thƣờng thì phải dƣơng. Khi đó ta có √ √ (C1, C2 là các hằng số) √ Suy ra phƣơng trình tìm trị riêng √ √ Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thƣờng khi giá trị riêng ( ) Tƣơng ứng ta có các hàm riêng 44
  45. Với trị riêng đã cho nghiệm của phƣơng trình (2.73) theo biến t có dạng trong đó An, Bn là các hằng số tuỳ ý. Suy ra nghiệm riêng (2.71) có dạng ( ) Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát u dƣới dạng chuỗi sau: ∑ ( ) Khi đó điều kiện (2.70) xác định cho ta các hệ số tuỳ ý An, Bn. Ta có ∑ ∑ Bằng cách khai triển f và g theo chuỗi sin ta đƣợc ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (n=1,2, ) (2.82) 45
  46. ∫ Vậy nghiệm của bài toán đƣợc cho bởi (2.81) với các hệ số An, Bn nhƣ trên  Bài toán thứ ba Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phƣơng trình biểu diễn dao động cƣỡng bức của sợi dây có hai đầu mút cố định. Thoả mãn các điều kiện biên và điều kiện đầu nhƣ sau Bài toán đã đƣợc chứng minh có nghiệm duy nhất trong lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng. Ở đây ta dùng công cụ chuỗi Fourier để giải nghiệm bài toán. Ta khai triển hàm f(x,t)=x(x-1) thành chuỗi sin ∑ Tích phân từng phần trong công thức hệ số Fourier bk(t), ta có ∫ ∫ [ ] { Ta sẽ tìm nghiệm bài toán dƣới dạng 46
  47. ∑ ∑ Thay (2.86) vào (2.83) ta đƣợc ∑[ ] Nhân hai vế của đẳng thức trên với ta đƣợc: ∑[ ] Lấy tích phân theo x, ta đƣợc Thay bk vào phƣơng trình vi phân ở trên ta đƣợc [ ] Sử dụng các điều kiện đầu (2.85) ta có ∑ và ∑ Ta suy ra Theo lý thuyết phƣơng trình vi phân, ta có nghiệm duy nhất của (2.87) là 47
  48. và nghiệm tổng quát của (2.88) là Đối chiếu với điều kiện (2.89), ta suy ra Vậy ∑ 2.2: Ứng dụng của huỗi Fourier trong một số lĩnh vực khác. Ngoài ứng dụng trong hai bài toán vật lý, phép biến đổi Fourier còn đặc biệt đƣợc sử dụng trong việc giải phƣơng trình vi phân và thiết kế thiết bị xử lý tín hiệu. Trong phần này sẽ giới thiệu một số ứng dụng thƣờng gặp của biến đổi Fourier. 2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier Ta định nghĩa tích chập của hai hàm và nhƣ sau: ∫ Ta có: ∫ ∫ và vì thế Tích chập là một giao hoán và là hàm của chính nó. Tích là một đồ thị không phải là số. Tính toán tích chập của hai hàm từ định nghĩa đƣợc đƣa ra một cách đơn giản, hợp lý. Đầu tiên ta xem xét tất cả các khía cạnh của tích phân trình bày nhƣ một tích, tích chập liên quan đến khu vực đƣờng cong dƣới. Tuy nhiên, t là biến tự do, vì thế, trong hầu hết trƣờng hợp cả đƣờng cong cụ thể và giới hạn của tích sẽ thay đổi theo Hơn thế, vì tích 48
  49. phân có liên quan tới , không liên quan tới , chỉ cần hiểu đồ thị của và đƣợc giải thích qua hàm của nhƣ thế nào. Đồ thị biểu diễn hàm là đơn giản - giống với đồ thị của ngoại trừ trục ngang là . Tuy nhiên bởi dấu trừ, không đơn giản là một bản chuyển của Hơn thế, biểu thị đầu tiên đƣợc dịch chuyển sao cho gốc tại , nhƣng sau đó với hình dạng đƣờng cong gốc bị đảo ngƣợc ta sẽ thấy nhƣ thời gian bị chạy ngƣợc trở lại. Tích chập của và sau đó trở thành vùng phía dƣới đƣờng cong đảo ngƣợc và đƣờng cong của Hình 2: Quan hệ của hàm và hàm Tính toán tích chập đòi hỏi một cấu trúc chung hợp lý phù hợp với hình ảnh. Ta đƣa ra trình tự các bƣớc dƣới đây 1. Vẽ và là hàm của . 2. Đảo ngƣợc đồ thị của để có . Thay đổi đƣờng cong này một lƣợng tuỳ ý và gắn một điểm trên đƣờng cong đảo ngƣợc tƣơng ứng với gốc là , lúc đó ta có đồ thị của 3. Đặt đồ thị của ở trên đồ thị điểm đƣợc gắn là ở vị trí gần trên đồ thị của 4. Trƣợt từ từ đồ thị về bên phải. Ở bất kỳ điểm nào, tại vùng phía dƣới đồ thị kết hợp của hai đồ thị là tích chập cho giá trị của Ví dụ: { { 49
  50. Chú ý, ta áp dụng bƣớc thứ hai, ta có thể coi sự nghịch đảo số mũ là cạnh đầu tại . Vì thế, ban đầu (khi hàm không có giá trị nào trùng với xung vuông, và có giá trị là 0(trƣờng hợp I). Cạnh đầu của sự nghịch đảo số mũ dịch chuyển thêm về bên phải, và bắt đầu giao với xung, ta có một tích phân khác giữa gốc và điểm (trƣờng hợp II). Cuối cùng, cạnh đầu của sự nghịch đảo số mũ sẽ di chuyển đến bên phải của cạnh đầu của xung và ở đây sẽ có chỉ tích phân giữa điểm gốc và (trƣờng hợp III). Tính toán, ta có thể trình bày ba trƣờng hợp nhƣ sau. Trƣờng hợp I: Trƣờng hợp II: ∫ | Trƣờng hợp III: 1 ∫ | Cuối cùng, ta kết hợp ba trƣờng hợp lại một đồ thị đơn thể hiện tích chập của hai hàm. Ta xét sự liên quan giữa biến đổi Fourier của một tích chập với biến đổi Fourier của hai hàm riêng thành phần.Ta bắt đầu bằng giả thiết rằng cả và đều có sự biến đổi, ta chứng tỏ các hàm này tƣơng ứng với và . Sau đó, ta viết đƣợc định nghĩa cho biến đổi của tích chập của chúng [ ] ∫ 2∫ 3 Với tích phân hai lớp lúc này, ta có thể đổi thứ tự tích phân của chúng và viết [ ] ∫ 2∫ 3 Tích phân này ta có thể đƣa ra ngoài do không phụ thuộc vào biến Ta thu đƣợc: [ ] ∫ 2∫ 3 50
  51. Hình 3: Đồ thị mô tả một tích chập Bây giờ, bằng định nghĩa, phần còn lại trong tích phân chỉ cần biến đổi Fourier với của [ ] ∫ [ ] Vì thế, bằng việc chuyển đổi giá trị của biến đổi ta có thể thay thế [ ] bằng [ ] ∫ Tuy nhiên, trong công thức, không phụ thuộc vào và vì thế ta có thể đƣa ra khỏi dấu tích phân. [ ] ∫ 51
  52. 1,2 1 g(t)*h(t) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Hình 4: Đồ thị quan hệ g(t)*h(t). Khi ta thực hiện tính toán, phần tích phân còn lại là tích phân của , và biến đổi trở thành [ ] Nói cách khác, một tích chập trong miền thời gian tƣơng ứng với phép nhân của các biến đổi trong miền tần số. Kết quả này thƣờng đƣợc gọi là định lý tích chập. Để chứng minh định lý tích chập, xét ví dụ dƣới đây: 2 dễ thấy rằng { 52
  53. 1 h(t) h(휏) t 휏 3 -3 h(휏) 3 -3 1 h(t-휏) 휏 휏 -3 3 -3 3 휏 h(t- ) 1 휏 3 h(t-휏) 1 휏 3 h(t-휏) 휏 3 h(t-휏) 휏 3 Hình 5: Đồ thị của một tích chập. Từ kết quả tích chập ta có thể tính toán biến đổi Fourier trực tiếp nhƣ sau: [ ] ∫ [ ] | Kết quả này trùng khớp điều mà định lý tích chập dự đoán. (chú ý sử dụng công thức lƣợng giác 53
  54. Vì thế, theo cách khác, ta có thể nói định lý tích chập giống nhƣ bất kỳ phép biến đổi nào khác, ta không thể có đƣợc bằng cách tính toán trực tiếp. Nếu tất cả mà ta cần là [ ], sử dụng định lý tích chập có thể giúp ta giảm bớt đáng kể các tính toán. Ta có thể thấy rằng biến đổi Fourier của tích chập có dạng: [ ] ∫ 2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến Một công dụng chính của biến đổi Fourier trong phân tích đƣợc gọi là tính tuyến tính, và tính bất biến (cũng đƣợc gọi là bộ lọc, dùng trong xử lý tín hiệu). Những tính chất này là đòi hỏi cơ bản cho nhiều thiết kế kỹ thuật. Khi nói về một hệ, ta nghĩ đến toán học hoặc một quá trình vật lý bất kỳ mà có thể mô tả bản chất bằng quan hệ đầu vào/đầu ra. Nói cách khác, một hệ thực bất kỳ về cơ bản có thể đƣợc mô tả bằng mô hình hộp đen. S[⬚] [ ] Hệ nhƣ vậy thƣờng đƣợc mô tả bằng phƣơng trình vi phân. Ví dụ về hệ xác định bằng phƣơng trình vi phân thông thƣờng và [ ] Hệ có thể tuyến tính hoặc không tuyến tính. Một hệ tuyến tính tuân theo nguyên tắc chồng chất, trong đó đầu ra của hệ thống là tổng của các đầu vào tƣơng ứng. Trong mô hình hộp đen, một hệ tuyến tính hoạt động nhƣ sau Nếu S[⬚] S[⬚] và 54
  55. sau đó S[⬚] Tại đầu vào và tuỳ ý và là số tuỳ ý. Cuối cùng, hệ là bất biến nếu trì hoãn đầu vào bằng nột lƣợng tuỳ ý tạo ra phản hồi giống với đầu vào khi chƣa giải phóng, ngoại trừ phản hồi bị trì hoãn bởi một lƣợng tƣơng tự nhƣ đầu vào hoặc trong mô hình hộp đen Nếu S[⬚] S[⬚] Sau đó Liên hệ với trƣớc đó, ta có thể nhận ra rằng, tính tuyến tính và tính bất biến là độc lập. Ví dụ, một hệ có thể tuyến tính nhƣng không là bất biến ( hoặc tuyến tính hoặc bất biến ( ta không ngạc nhiên với phát hiện rằng khi tuyến tính, tính bất biến đƣợc trình bày theo dạng phƣơng trình vi phân, phƣơng trình sẽ tuyến tính và có hệ số không đổi. Hầu hết các thiết kế kỹ thuật, ít nhất ở đầu vào, dựa vào tính tuyến tính, tính bất biến Tính tuyến tính, tính bất biến là cơ bản cho các ứng dụng thực. Ta có thể thấy rằng một hệ là tuyến tính và bất biến nếu và chỉ nếu đầu ra của nó là tích chập của những đầu vào khác hoặc hệ hàm riêng, ví dụ, trong mô hình hộp đen, tính tuyến tính, tính biến phải tuân theo quan hệ [ ] S [ ⬚ ] ∫ Trong đó là những hàm phụ thuộc hoàn toàn vào hệ cụ thể đƣợc xem xét, và không dựa vào Thấy rằng hệ mà đầu ra là tích chập tuyến tính và chuyển đổi độc lập là cực kỳ đơn giản. Tính tuyến tính thể hiện ngay từ những nguyên tắc tính toán cơ bản, nhƣ tích phân của tổng là tổng của các tích phân. Cho thấy tích chập cũng có tính bất biến và đòi hỏi chỉ một thay đổi đơn giản của biến trong tích phân Ví dụ: 55
  56. ∫ ∫ [ ] Ở đây ta đổi giữa tích phân thứ nhất và tích phân thứ hai bằng việc thay thế trong tích phân thứ nhất bởi Ta bắt đầu bằng việc xem xét những khoảng thời gian tuỳ ý, từ đến . Tiếp đó ta chia khoảng thời gian thành những khoảng nhỏ có độ dài bằng nhau, biểu thị cho điểm cuối mỗi khoảng là với và Ta cũng để Bởi tính tuyến tính, thu đƣợc hàm và bất kỳ, hệ phải tuân theo [ ] ∑ S ⬚ ∑ [ ] Ở đây, [ ] biểu thị đầu ra của hệ với đầu vào (đầu ra phải có dạng nhƣ vậy vì là giá trị không đổi. Vì thế chỉ là số. Do hệ là tuyến tính, đầu ra chỉ có thể là tổng của các phản hồi riêng). Tuy nhiên, cả đầu ra và đầu vào đều chính xác dƣới dạng của tổng Riemann xấp xỉ đến một tích phân xác định. Ta đặt ra rằng mối quan hệ đầu ra/ đầu vào của hệ phải trở thành ∫ S [ ⬚ ] ∫ [ ] Trong trƣờng hợp đặc biệt và , ta cần viết chính xác S[⬚] [ ] ∫ ∫ Giả sử rằng là tuỳ ý, chú ý đến một trƣờng hợp đặc biệt là một xung. Ví dụ, trong trƣờng hợp, mối quan hệ đầu vào/ đầu ra của hộp đen có thể đƣợc viết S[⬚] [ ] ∫ ∫ Hoặc dùng biến đổi của hàm delta S[⬚] [ ] ∫ Nhƣng ta cũng có thể giả thiết rằng hệ là bất biến ví dụ, nếu [ ] 56
  57. hoặc tƣơng tự, nếu S [ ⬚ ] Sau đó, bởi tính bất biến, [ ] Vì thế, ta thấy rằng, với một hệ tuyến tính tuỳ ý, hệ bất biến [ ] S ⬚ ∫ Do là một xung, nhƣ định nghĩa ở trên đƣợc gọi là xung phản hồi của hệ. Vì thế ta có thể trình bày, hệ bất biến bất kỳ là tích chập của đầu vào với xung phản hồi của hệ. Kết quả cuối cùng này thể hiện tính chất cơ bản của hệ tuyến tính, hệ bất biến trong miền thời gian. Nhƣng nhƣ ta thấy trƣớc đó, một trong những ý nghĩa chính của phân tích Fourier là sự tồn tại đồng thời của cả miền thời gian và miền tần số. Vì thế, để hoàn chỉnh, ta cũng nên giải thích mối quan hệ đầu vào/ đầu ra của hệ tuyến tính, hệ bất biến trong miền tần số. Định lý tích chập cho ta biết, trong biến đổi S [ ⬚ ] đơn giản biểu thị biến đổi Fourier của xung phản hồi của hệ. Ví dụ ∫ Biến đổi này cũng đƣợc gọi chung là hàm chuyển hoặc tần số phản hồi của hệ. Trên thực tế, đầu ra của một hệ tuyến tính, hệ bất biến là sản phẩm trong miền tần số và có giá trị lớn. Phân tích phản hồi đầu ra của những hệ thống tổng quát trong miền thời gian đòi hỏi tính toán tích chập .Ngƣợc lại, nhƣ một hệ quả của định lý tích chập, phân tích tính chất chung của hệ trong miền tần số đơn giản chỉ cần nhân hai đƣờng cong với nhau. Việc sử dụng miền tần số hoặc công thức của hàm chuyển cũng có thể đơn giản hoá rất nhiều việc phân tích và xây dựng các hệ thống phức tạp, bằng cách cho phép tiếp cận mô đun, xây dựng khối. Đặc biệt, giả sử hệ gồm hai hệ con nối tiếp là và . Từng hệ thống này sẽ có xung phản hồi và hàm chuyển của chúng. Ví dụ, sẽ là hàm chuyển của hệ con Trong miền tần số, biểu đồ đầu vào/ đầu ra với hệ thống này trở thành (hình 6) 57
  58. Biểu đồ này cho thấy rõ rằng kết quả đầu ra sẽ giống nhƣ từ một hệ đơn có hàm chuyển là Điều đó có nghĩa là ta có thể thay thế bất kỳ hệ đơn lẻ phức tạp nào bằng hệ đƣợc tạo thành từ các thành phần đơn giản hơn cho kết quả của hàm chuyển giống nhƣ kết quả của hệ phức tạp. Nhƣ ở trƣớc đã chỉ ra, xung phản hồi và hàm chuyển của hệ là then cốt để mô tả tính chất của một hệ và cho thiết kế hệ thống để hoạt động theo những cách nhất định (tất nhiên, xung phản hồi và hàm chuyển là một biến đổi Fourier kép) S[⬚] S [ ⬚ ] Xung phản hồi trong miền thời gian S [ ⬚ ] Hàm chuyển trong miền tần số S[⬚] 1 f f Hệ phản hồi trong miền thời gian S[⬚] ∫ Hệ phản hồi trong miền tần số X(f) X(f) S[⬚] Hình 6: Đồ thị miêu tả đầu ra 2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống Xác định xung phản hồi và hàm chuyển là phần chủ yếu của thiết kế và phân tích hệ thống. Vì thế bây giờ ta xem xét cách tìm lƣu ý đặc biệt về những kỹ thuật áp dụng không chỉ cho mô hình hệ thống mà còn trong thực tế. 58
  59. Theo lý thuyết, việc tìm xung phản hồi của hệ thống khá đơn giản. Xung phản hồi theo định nghĩa,là kết quả hoạt động của hệ thống từ một xung lực tại Ta cần thay thế hàm cƣớng bức trong hệ phƣơng trình vi phân bởi không bỏ bất kỳ điều kiện đầu nào và sau đó giải. Với ví dụ, xét mạch RC ở hình 7. Ở thời điểm bất kỳ, tụ tích điện và có điện áp ngoài hiệu dụng Hình 7: Một mạch RC mẫu Vì thế, nếu ta lấy đầu vào nhƣ điện áp ngoài hiệu dụng và đầu ra nhƣ điện áp đƣợc đo qua tụ điện, ta có thể biểu thị cho hệ này bằng hộp đen S [ ⬚ ] Điện tích trên tụ điện đƣợc sinh ra bởi một đơn vị điện áp xung tại , nên ta có Hệ số không đổi và những điều kiện chung bắt buộc tuân theo giải bởi biến đổi Laplace. Trong ví dụ này, lấy biến đổi của cả hai bên dẫn đến ( ) [ ] hoặc [ ] [ ] { Chuyển đổi điện tích thành điện áp trên trên tụ điện thấy rằng, bằng định nghĩa, xung phản hồi của mạch này là 59
  60. { Với xung phản hồi cho sẵn, ta có thể tìm đƣợc hàm chuyển của hệ thống bởi phép biến đổi Fourier . Ta có thể tìm biến đổi Fourier của hàm, bằng việc thay thế đơn giản biến trong biến đổi Laplace bằng số hạng Fourier , Θ | | h(t) / f 1/RC -1/RC - / f f RC 2RC -1/RC 1/RC Hình 8: Một ví dụ xung phản hồi và hàm chuyển Ta có thể xác định hàm chuyển bằng biến đổi Fourier phƣơng trình vi phân. Công thức ( ) Bởi tính tuyến tính của biến đổi, ta có thể chia cho C để có biến đổi điện áp đầu ra. Công thức giống với ta đã tìm ở trên. Cuối cùng nghịch đảo biến đổi Fourier của hàm chuyển này sẽ tạo ra xung phản hồi, 60
  61. Theo lý thuyết, cách tiếp cận làm cho hệ trở thành một xung là trực tiếp, đơn giản và dễ dàng áp dụng cho bất kỳ hệ thống nào đƣợc mô tả bởi phƣơng trình vi phân hệ số không đổi thông thƣờng. Tuy nhiên, biến một hệ thực thành xung có thể không phải là ý tƣởng hay. Xung thực không dễ tạo thành- nó không thể thực sự tức thời, cần thời gian vô cùng ngắn cho một xung thực gần đúng. Hơn nữa, bởi thời gian ngắn, xung thực cũng cần có biên độ rất lớn. Nhƣng, biên độ lớn, thậm chí khi thời gian ngắn có thể dễ hƣ hại hệ thống thực- đặc biệt nếu đƣợc liên kết với các thiết bị điện tử nhạy cảm. Vì thế, nhiều phƣơng pháp kiểm tra ít hƣ hại hơn nhƣ xung tải dễ áp dụng hơn cho hệ thống thực. Một trong những hàm cƣỡng bức đơn giản nhất để tạo ra và ít hƣ hại hơn là đƣờng hình sin đơn giản, ví dụ, mạch AC. Để tìm hiểu, ta lựa chọn hàm cƣỡng bức có số mũ phức tạp với là tần số cố định. Trong thuật ngữ của mô hình hộp đen và tính chất của xung phản hồi, điều này tạo ra dạng của đầu ra/ đầu vào nhƣ sau S[⬚] ∫ Nếu ta thay biến vào tích phân đầu ra, ta có ∫ ∫ ∫ Theo định nghĩa, biến đổi Fourier của đánh giá ở tần số Do đó, trong dạng của mô hình hộp đen S [ ⬚ ] Ta có thể trực tiếp đo hàm chuyển của hệ thống chỉ bằng phép đo phản hồi của hệ thống với chu kỳ hàm cƣỡng bức. Hơn thế, ta thu đƣợc hàm chuyển bằng phƣơng pháp này, sau đó ta có thể tìm thấy xung phản hồi theo toán học bằng cách dùng một phép biến đổi nghịch đảo, do đó hoàn toàn tránh việc phải tải hệ thống với một xung. Với hệ thống đƣợc mô tả bằng phƣơng trình vi phân hệ số không đổi thông thƣờng, ta cũng có thể thực hiện cách tiếp cận toán học này. Ta đơn giản đổi chỗ hàm cƣỡng bức trong phƣơng trình vi phân với số mũ phức tạp, sau đó giải bằng hệ số không xác định cho các trạng thái ổn định. Ví dụ, với mạch biểu diễn trên hình 7, với một tín hiệu đầu vào phƣơng trình vi phân trở thành 61
  62. Bởi hệ số chƣa xác định, trạng thái ổn định cụ thể của phƣơng trình là Vì thế phản hồi qua tụ điện là Ta có thể xác định lại xung phản hồi của hệ( nếu chƣa biết) đơn giản bằng tính toán biến đổi Fourier nghịch đảo của Một vấn đề thực tiễn gặp phải, các hàm có giá trị phức tạp thực sự chỉ là những phép toán học, không thể sử dụng đƣợc trong thực tế. Ta sử dụng cái gì làm tín hiệu đầu vào thực tế? Câu trả lời khá đơn giản- ta sử dụng Ta có thể kiểm chứng từ phƣơng trình lƣợng giác cơ bản và thấy ∫ ( ) ∫ ∫ [ ] [ ] Do đó mà phần thực và phần ảo của , tƣơng ứng có thể đƣợc tìm thấy trực tiếp, với một tín hiệu vào thực, chỉ bằng phép đo biên độ của đầu ra tại hai thời điểm khác nhau. Kết quả này cung cấp phƣơng pháp cơ bản cho tính toán xung phản hồi và hàm chuyển của hệ thống đƣợc đƣa ra. Hàm chuyển là cơ sở để phân tích hoạt động của hệ thống, phân tích trƣớc đó về hệ tuyến tính, hệ biến đổi bất biến cho thấy định lý tích chập thể hiện đầu ra của hệ thống nhƣ một sản phẩm của biến đổi của đầu vào với hàm chuyển. Ví dụ, xét hàm chuyển (hình 8). Dễ thấy 62
  63. | | / | | Và do đó hệ thống này sẽ trở thành phần tần số thấp ở đầu vào tƣơng đối không bị ảnh hƣởng, nhƣng sẽ suy giảm nghiêm trọng về tần số lớn. Trong thực tế, nếu ( ) sau đó ( ) Nói cách khác, hệ thống làm giảm tần số cao cần thiết để sản xuất tín hiệu không liên tục, đƣa một tín hiệu vào không liên tục, đầu ra sẽ trở thành liên tục, với chỉ một đạo hàm không liên tục. Vì thế, ta chờ đợi hệ thống sẽ biến đổi tín hiệu đầu vào. Một trong những biểu diễn đầu ra hệ thống tƣơng ứng (hình 9). Hình 9: Ví dụ đầu ra và đầu vào của mạch RC 2.2.4: Ứng dụng của tích chập- xử lý tín hiệu và bộ lọc Nhƣ ta đã thấy, tầm quan trọng của biến đổi Fourier, tích chập, của hàm chuyển ,vv nhƣ là công cụ để phân tích hệ thống vật lý. Một trong những ứng dụng quan trọng nhất mà chúng đƣợc sử dụng gọi là xử lý tín hiệu. Trong xử lý tín hiệu ta bắt đầu giả định rằng một số tín hiệu mang thông tin ban đầu đƣợc truyền vào một môi trƣờng vật lý (ví dụ một ăngten có thể truyền tín hiệu vô tuyến vào bầu không khí hoặc đầu dò có thể phát tín hiệu sóng siêu âm vào nƣớc). Môi trƣờng thƣờng đƣợc gọi là kênh, sau khi đi qua môi trƣờng tín hiệu đƣợc nhận lại tại một vị trí (vị trí này thƣờng ở nơi khác với nơi truyền tải). Tuy nhiên, vì hiệu ứng vật lý gặp phải khi đi qua kênh, hoặc do sự có mặt của nhiều hơn một tín hiệu trong kênh tại cùng một thời điểm, tín hiệu nhận đƣợc nói chung một số bản bị méo hoặc bị ảnh hƣởng khác của tín hiệu truyền ban đầu. Ta có thể biểu diễn quá trình này theo sơ đồ nhƣ sau 63
  64. [ ] C ⬚ Tín hiệu truyền kênh tín hiệu nhận Bộ xử lý tín hiệu sau đó đƣợc thiết kế một số mạch,vv , mà nếu vƣợt qua đƣợc thông qua mạch đó,sẽ hoàn thiện các hiệu ứng đƣợc đƣa ra bởi kênh, kết quả đƣợc một đầu ra tƣơng đối gần với tín hiệu ban đầu. S [ ⬚ ] Tín hiệu nhận bộ xử lý đầu ra Mô hình đơn giản nhất của giả thuyết nhƣ vậy xảy ra khi kênh là tuyến tính và bất biến, kênh có hàm chuyển riêng đƣợc biểu thì là , và do đó sự biến đổi của tín hiệu thu đƣợc sẽ là Nhƣng theo lý thuyết, nếu điều này là đúng, tất cả những gì ta cần làm là thiết kế hệ thống xử lý để hàm chuyển của hệ thống là nghịch đảo của kênh. Nhƣng ta thƣờng không thể đạt đƣợc điều này trong thực tế . Trong nhiều trƣờng hợp ta thậm chí không thể xác định hoàn toàn tất cả các hiệu ứng của kênh- làm cho rất khó để loại bỏ chúng. Tuy nhiên, ta vẫn có thể đảo ngƣợc những ảnh hƣởng các hiệu ứng hỏng hóc chính của kênh và phục hồi một phiên bản có hiệu quả hoàn toàn có thể sử dụng đƣợc của tín hiệu truyền. Loại xử lý tín hiệu cơ bản nhất là bộ lọc. Nhƣ tên của nó, bộ lọc cho phép một số tín hiệu đi qua và ngăn cản những tín hiệu còn lại. Bộ lọc đơn giản nhất đƣợc thiết kế cho phép một số tần số nhất định đi qua và chặn (hoặc làm suy giảm) các tần số còn lại. Bộ lọc nhƣ gồm ba loại chung: Bộ lọc tần số thấp: cho phép những tần số thấp đi qua nhƣng chặn những tần số cao Bộ lọc tần số cao: cho phép tần số cao đi qua nhƣng chặn tín hiệu tần số thấp. Bộ lọc băng thông: chặn cả tín hiệu tần số cao và tín hiệu tần số thấp nhƣng cho những tín hiệu ở phạm vi trung bình đi qua 64
  65. 1 - 1 - 1 - - Hình 10: Hàm chuyển vủa bộ lọc lý tƣởng Hình 10 biểu thị hàm chuyển cho các trƣờng hợp lý tƣởng của mỗi loại, ta gọi đây là những trƣờng hợp lý tƣởng bởi vì không bộ nào trong số chúng có thể đạt đƣợc trong thực tế. Ví dụ, hàm chuyển của bộ lọc tần số thấp lý tƣởng { Điều này có nghĩa xung phản hồi cho bộ lọc này là Hệ thống RC trong hình 7 là dễ dàng xây dựng, chi phí thấp và theo hình 8 có thể cho các tần số thấp qua và chặn các tần số cao, miễn là ta chọn R và C phù hợp. Bộ lọc tần số cao và bộ lọc băng thông có thể thực hiện đƣợc bằng cách đơn giản là kết hợp điện trở, tụ điện và cuộn cảm có giá trị thích hợp và đo giá trị điện áp đầu ra bằng thiết bị thích hợp. Hàm chuyển của tất cả các bộ này đƣợc biểu diễn trong hình 12. Các bộ lọc tƣơng tự đƣợc sử dụng phổ biến trong hầu hết các thiết bị gia đình. 65
  66. Hình 11: Bộ lọc thực với xung phản hồi và hàm chuyển nó 2.2.5: Ứng dụng của tích chập- điều chỉnh biên độ và ghép tần số Nhƣ ta đã nói đến, một đặc tính chính đáng chú ý của biến đổi Fourier là sự gần đúng giữa biến đổi và biến đổi nghịch đảo có ý nghĩa rằng hầu nhƣ mọi thuộc tính trong miền thời gian đều có hình ảnh phản chiếu gần ở miền tần số. Một ví dụ của điều này mà ta đề cập trƣớc đó ngƣợc với định lý tích chập, điều ta nói lại ở đây [ ] Ta sẽ xem xét một trong những ứng dụng phổ biến nhất của kết quả này. Các chƣơng trình phát sóng radio ban đầu sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh biên độ. (các đài phát thanh đầu tiên cũng bị hạn chế chỉ sử dụng một dải tần số khá nhỏ trong phạm vi tần số thấp, do điều chỉnh đƣợc sử dụng cho hầu nhƣ tất cả các trạm, tần số này gọi là tần số AM). Trong điều chỉnh biên độ, tín hiệu thông tin thực tế, ví dụ: một chƣơng trình trò chuyện hoặc âm nhạc, tạo bởi tín hiệu gốc mà ta biểu diễn ở đây là Ta thƣờng đề cập tới dải tần số mà có chứa tần số gốc, trong thực hiện biến đổi Fourier nhƣ băng thông của tín hiệu, ta biểu thị bằng B.( trong AM radio, băng thông cơ bản thƣờng đƣợc giới hạn ở tần số thấp phạm vi tƣơng đối hẹp( tần số thấp hơn 5KHz). Điều chỉnh biên độ bao gồm việc nhân lên các điện tử tín hiệu gốc này bằng một tần số lớn hình sin- đƣợc gọi là tín hiệu vận chuyển, ta biểu thị bởi để tạo ra tín hiệu phát sóng, ta có thể biểu thị là hình 12). Trong miền thời gian, kết quả tín hiệu phát sóng có thể nhìn thấy đƣợc dao động rất nhanh trong giới hạn xác định bởi tín hiệu gốc thay đổi từ từ. 66
  67. Thuật ngữ điều chỉnh biên độ là phù hợp để mô tả quá trình vì tần số của tín hiệu vận chuyển đƣợc sửa đổi theo tần số của tín hiệu gốc. Hình 12: Điều chỉnh biên độ- miển thời gian Trong biến đổi [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ [ ] ∫ ∫ Sự chuyển đổi tính chất của hai hàm delta đơn giản hoá hai tích phân cuối và thấy rằng biến đổi của tín hiệu phát sóng đơn giản là 67
  68. Hình 13: Điều chỉnh biên độ- miền tần số Hình 13 cũng giúp giải thích biến đổi khác trong điều chỉnh biên độ. Do tính đối xứng của , chỉ cần truyền tín hiệu một bên. Ta có thể chỉ cần lọc dải qua trƣớc khi truyền đi, nhƣ trong hình 14, phần bộ lọc chọn chỉ ở dải bên trên (chú ý trong hình 14 ta chỉ vẽ các tần số dƣơng vì do tính tƣơng đối phổ của các tần số âm sẽ là hình ảnh phản chiếu). Phƣơng pháp truyền này thƣờng đƣợc gọi là điều chỉnh dải đơn. Điều chỉnh dải đơn đƣợc chú ý vì điều chỉnh có thể truyền tải các thông tin tƣơng tự nhƣ là một tín hiệu dải đôi nhƣng chỉ trong một nửa phổ tín hiệu. Tuy nhiên, trong thực tế, chi phí mạch bổ xung liên quan đến điều chỉnh dải đơn thƣờng xuyên dẫn đến chi phí cao không thể dùng thay thế hoàn toàn cho điều chỉnh dải đôi, thậm chí dù bộ điều chỉnh này sử dụng tần số có sẵn hiệu quả hơn. Điều chỉnh biên độ có một tính năng quan trọng bổ sung. Hình 14: Điều chỉnh tín hiệu đơn- trong miền thời gian Cụ thể, giả sử có hai tín hiệu mang thông tin khác nhau, có băng thông là B, và đƣợc biểu thị tƣơng ứng là và , ta muốn truyền chúng đồng thời. Ta điều chỉnh biên độ cả hai tín hiệu, nhƣng ở tần số tín hiệu vận chuyển khác nhau ( kí hiệu tƣơng ứng là và ), để tạo ra tín hiệu đầu ra điều chỉnh và Sau đó ta thêm các tín hiệu đã điều 68
  69. chỉnh để tạo ra tín hiệu đầu ra duy nhất Nếu ta giả thiết để và đƣợc chọn sao cho nhỏ hơn , thời gian và miền tần số đặc trƣng của quá trình này phải đƣợc thể hiện nhƣ trong hình 15. Hai tín hiệu đầu ra và hoàn toàn khác biệt, không chồng chéo nhau trong khu vực phổ tần số. Vì thế, nếu ta muốn phục hồi tín hiệu, ta chỉ cần bộ lọc băng thông nhận đƣợc tín hiệu để loại bỏ phần không mong muốn hình 16, phƣơng pháp này đƣợc gọi là tần số phân chia bộ phận- sử dụng trong phát sóng. Có nhiều kênh truyền thông, ngƣời nghe có thể chọn kênh mà họ muốn nghe bằng cách đơn giản là sử dụng bộ thu trên máy thu thanh của họ Hình 16: Ghép kênh tần số Hình 15: Ghép kênh tần số Hình 16: Phục hồi tín hiệu ghép kênh tần số 2.2.6: Ứng dụng của chuỗi Fourier trong âm nhạc. Chuỗi Fourier còn đƣợc sử dụng trong việc phân tích và tổng hợp âm thanh trong âm nhạc. Chúng ta nghe đƣợc âm thanh khi màng nhĩ của chúng ta rung động do sự thay đổi áp suất không khí. Nếu một dây đàn guitar đƣợc gảy hoặc một dây cung đƣợc kéo qua dây 69
  70. đàn violon hoặc một chuỗi phím đàn piano đƣợc đánh, dây đàn sẽ rung động. Sự rung động này đƣợc khuếch đại và truyền vào không khí. Kết quả là áp suất không khí thay đổi và truyền đến màng nhĩ của chúng ta và đƣợc chuyển đổi thành xung điện sau đó đƣợc xử lý bởi não bộ. Làm thế nào chúng ta có thể phân biệt đƣợc âm thanh của hai loại nhạc cụ khác nhau? Đồ thị sau cho thấy những dao động này. Cho sáo và violon chơi cùng một cung D (294 rung động/ giây) nhƣ hàm của thời gian. Các biểu đồ này ở dạng sóng và ta thấy rung động của áp suất khí quyển ở hai trƣờng hợp là khác nhau. Cụ thể là ở violon có dạng sóng phức tạp hơn ở sáo. Hình 18: Dạng sóng: Sáo violon Ta sẽ hiểu sâu hơn sự khác nhau giữa hai dạng sóng khi thể hiện chúng dƣới dạng tổng của chuỗi Fourier ( ) ( ) ( ) ( ) Viết nhƣ vậy tức là ta đang thể hiện âm thanh nhƣ tổng của các âm thanh đơn giản. Sự khác biệt âm thanh giữa hai nhạc cụ là do các giá trị tƣơng đối của hệ số Fourier của các dạng sóng tƣơng ứng. Hệ số trong chuỗi Fourier ( ) ( ) đƣợc gọi là hoạ âm thứ của . Biên độ của hoạ âm thứ n là 70
  71. √ và bình phƣơng là đôi khi nó đƣợc gọi là âm lƣợng của hoạ âm thứ . (chú ý, với chuỗi Fourier chỉ chứa hàm sin thì biên độ là | | và năng lƣợng là . Đồ thị của dãy { } đƣợc gọi là phổ âm lƣợng của và cho biết độ lớn của các giai điệu. Hình 18: Phổ âm lƣợng Hình 18 cho thấy phổ âm lƣợng cho dạng sóng của sáo và violon. Ta thấy rằng, đối với sáo có xu hƣớng giảm nhanh khi n tăng còn đối với violon, các giai điệu cao hơn lại khá mạnh. Điều này chứng minh cho dạng sóng tƣơng đối đơn giản của sáo và trong thực tế âm thanh của sáo nghe sẽ trong hơn so với âm thanh của violon. Ngoài phân tích âm thanh của các nhạc cụ truyền thống, chuỗi Fourier cũng giúp chúng ta tổng hợp âm thanh, nghĩa là kết hợp nhiều âm thanh đơn giản thành âm thanh phức tạp hơn thông qua việc tăng các hoạ âm bằng các gán các hệ số Fourier lớn hơn. 71
  72. KE T LUẦ N Khoá luận”Chuỗi Fourier và ứng dụng trong vật lý” về cơ bản đã hoàn thành những mục tiêu đề ra. Khoá luận đã khái quát những nội dung cơ bản về chuỗi, chuỗi lƣợng giác và chuỗi Fourier. Khoá luận đã trình bày chi tiết về chuỗi Fourier và ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải quyết một số bài toán vật lý. Khoá luận cũng giới thiệu một số ứng dụng của chuỗi Fourier trong các lĩnh vực khác điển hình là trong xử lí tín hiệu trong lĩnh vực truyền thông và trong lĩnh vực âm nhạc. Tuy nhiên, do điều kiện, thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên bài khoá luận sẽ không thiếu các thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận của tôi đƣợc hoàn thiện hơn. 72
  73. Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1. Dƣơng Minh Hiển Tố (2007). Luận văn thạc sĩ “Chuỗi Fourier và hai bài toán vật lý”. 2. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán cao cấp tập II, NXB Giáo Dục Việt Nam. Tiếng Anh 3. Athur L.Schoenstadt (2005),” An Introduction To Fourier Analysis”. 73