Khóa luận Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động

44 trang thiennha21 15/04/2022 4570

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

khoa_luan_cac_phuong_phap_bieu_dien_dao_dong_va_ung_dung_tro.pdf

Nội dung text: Khóa luận Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ CÔNG THỊ KHÁNH HUYỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ CÔNG THỊ KHÁNH HUYỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ ĐÌNH TRỌNG HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo – PGS.TS Lê Đình Trọng người đã hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu để hoàn thành đề tài khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận này. Trong quá trình nghiên cứu em đã hết sức cố gắng và nỗ lực để thực hiện đề tài một cách hoàn thiện nhất. Song do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi một vài thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đọc để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Công Thị Khánh Huyền i
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Khóa luận xét tốt nghiệp với đề tài “Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động” được hoàn thành với sự cố gắng của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo PGS.TS. Lê Đình Trọng, tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng khớp với kết quả của một công trình nghiên cứu nào khác đã được công bố. Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi có tham khảo những thành tựu của các nhà nhà nghiên cứu đi trước với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Công Thị Khánh Huyền ii
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2 4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2 6. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 2 NỘI DUNG 3 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3 1.1. DAO ĐỘNG 3 1.1.1. Một số khái niệm tổng quát về dao động 3 1.1.2. Dao động điều hòa 3 1.2. CÁC HỆ DAO ĐỘNG 5 1.2.1. Hệ dao động điều hòa 5 1.2.2. Hệ dao động riêng tắt dần 9 1.2.3. Hệ dao động riêng duy trì 11 1.2.4. Hệ dao động cưỡng bức 11 1.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG 12 1.3.1. Phương pháp lượng giác 12 1.3.2. Phương pháp hình học 12 1.3.3. Phương pháp số phức 13 CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 15 2.1. BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ 15 2.1.1. Hai dao động cùng phương, cùng tần số nhưng biên độ và pha ban đầu khác nhau: 15 2.1.2. Hai dao động cùng tần số, phương vuông góc nhau, biên độ và pha iii
ban đầu khác nhau 27 2.2. BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ 30 2.2.1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, tần số hơi khác nhau (hiện tượng phách) 31 2.2.2. Tổng hợp hai dao động có phương vuông góc nhau, tần số bội nguyên lần 35 KẾT LUẬN 37 TÀI TIỆU THAM KHẢO 38 iv
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dao động học là một trong những phần kiến thức rất quan trọng trong vật lý nói riêng cũng như trong khoa học kỹ thuật và đời sống nói chung. Kiến thức về dao động là những nội dung lớn trong chương trình vật lý lớp 12, nó chiếm một lượng lớn trong hệ thống kiến thức thi THPT Quốc gia, đồng thời nó là học phần không thể thiếu của sinh viên khoa Vật lý, do vậy tầm quan trọng của nó càng được chú trọng. Không những vậy, hệ thống bài tập về dao đông vô cùng phong phú cả về các dạng lẫn cách biểu diễn, phương pháp giải các bài tập. Khi nghiên cứu dao động, nhiều phương pháp biểu diễn dao động có thể được sử dụng như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức. Mỗi phương pháp có những ưu điểm và hạn chế riêng. Để giải các bài toán dao động nhanh gọn, hiệu quả, phù hợp với xu thế đổi mới của ngành giáo dục là giảng dạy và kiểm tra đánh giá theo hướng trắc nghiệm khách quan, đòi hỏi học sinh bên cạnh nắm chắc kiến thức cần phải có phản ứng nhanh đối với các dạng bài toán thì việc hiểu rõ và vận dụng tốt các phương pháp biểu diễn dao động vào giải các bài toán dao động cụ thể là rất cần thiết. Qua quá trình học tập, nghiên cứu vật lý ở đại học, tìm hiểu những phương pháp giải bài tập vật lý hiệu quả và đặc biệt ở phần dao động, thì tôi cho rằng để giải bài toán nhanh gọn, hiệu quả thì cần phải chọn phương pháp phù hợp nhất với từng trường hợp bài toán cụ thể. Bên cạnh đó, để có cái nhìn tổng quan hơn về dao động thì chúng ta cần khai thác một vấn đề theo nhiều khía cạnh. Bằng những trải nghiệm thực tế của bản thân ở trường THPT và xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động” làm đề tài khóa luận xét tốt nghiệp đại học của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn dao động từ đó làm nổi bật ưu và nhược điểm của từng phương pháp và ứng dụng trong giải các bài toán dao động. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức. - Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng các phương pháp biểu diễn dao động trong việc giải các bài toán dao động. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức. - Tổng hợp kiến thức và hệ thống bài tập dao động. - Trên cơ sở kiến thức toán học đã được trang bị ở cấp học phổ thông và đại học sư phạm vật lý, qua việc vận dụng từng phương pháp, chỉ ra ưu và hạn chế và đề xuất việc vận dụng từng phương pháp vào giải các dạng bài toán dao động sao cho phù hợp. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ đạo là lý thuyết: - Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến dao động và các phương pháp biểu diễn dao động. - Vận dụng các phương pháp biểu diễn dao động trong nghiên cứu dao động trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp đưa ra những nhận xét, đánh giá một cách tổng quát. 6. Đóng góp của đề tài - Nâng cao trình độ nhận thức, kỹ năng vận dụng kiến thức lý thuyết vào thực tiễn cho người học. - Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành cử nhân sư phạm vật lý cũng như giáo viên giảng dạy trong trường phổ thông. 2
NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Dao động 1.1.1. Một số khái niệm tổng quát về dao động Hiện tượng tuần hoàn: Trong thiên nhiên, trong đời sống, trong khoa học và kỹ thuật có nhiều hiện tượng diễn ra lặp đi lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian nhất định đó là những hiện tượng tuần hoàn. Ví dụ: nhịp tim của động vật, các mùa trong năm, Quá trình tuần hoàn là những quá trình liên tục trong đó sự biến thiên của một số đại lượng nào đó đặc trưng cho quá trình biến đổi như vận tốc, gia tốc, áp suất, nhiệt độ, khoảng cách, được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian xác định. Dao động: Trong một số quá trình tuần hoàn những đại lượng biến thiên đặc trưng cho quá trình chỉ thay đổi giá trị xung quanh một giá trị trung bình được gọi là một dao động tuần hoàn. Mỗi lần các đại lượng biến thiên của quá trình lặp lại những giá trị như cũ ta nói rằng nó đã thực hiện được một dao động. Chu kì dao động: Chu kì dao động (T) là khoảng thời gian xác định không đổi để quá trình biến đổi thực hiện được một dao động. Nếu f (t+T) =f (t) là một đại lượng biến đổi tuần hoàn theo thời gian thì với chu kì T ta luôn có: f (t+T) =f (t). Chúng ta gặp những dao động tuần hoàn không những trong quá trình cơ học mà ngay cả trong các quá trình điện học, nhiệt học, quang học, quá trình diễn ra trong các nguyên tử hạt nhân, 1.1.2. Dao động điều hòa 1.1.2.1. Khái niệm dao động điều hòa Dao động điều hòa là loại dao động đơn giản nhất và quan trọng nhất. Các dao động trong tự nhiên và trong kĩ thuật thường có tính chất rất gần với dao động điều 3
hòa và một dao động bất kỳ đều có thể được biểu diễn như là tổng hợp của các dao động điều hòa. Một dao động tuần hoàn mà các đại lượng biến đổi đều được biểu diễn bởi các phương trình dạng sin hoặc cosin được gọi là dao động điều hòa. 1.1.2.2. Phương trình động học dao động điều hòa Dao động điều hòa được biểu diễn bởi phương trình: xAsin(t)A=+ =+ cos(t) − , 2 trong đó: • Gốc tọa độ dược chọn tại vị trí cân bằng, khi đó tọa độ x gọi là li độ của dao động. • Lượng ( t ) + được gọi là pha của dao động điều hòa, cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc của chất điểm t bất kì • Lượng α được gọi là pha ban đầu của dao động điều hòa, cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban đầu t = 0 (trạng thái ban đầu của dao động) 2 • Lượng T = là chu kì của dao động điều hòa. Trong dao động điều hòa, li  2 độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với một chu kì chung T = . Nghịch đảo  của chu kì T, được gọi là tần số  của dao động điều hòa. Thứ nguyên của tần số: [ ] = T-1. Đơn vị của tần số (trong hệ SI) là Hec (Hz): 1Hz = 1 s-1. 2 • Đại lượng = = 2  được gọi là tần số vòng hay tần số góc của dao T động điều hòa. Như vậy ta có thể đổi cách biểu diễn dạng sin thành dạng biểu diễn cosin bằng cách 4
thay đổi điều kiện ban đầu =, − . Hai cách biểu diễn đó là tương đương nhau. 2 1.2. Các hệ dao động 1.2.1. Hệ dao động điều hòa Ví dụ một số hệ dao động điều hòa: Hệ dao động của con lắc lò xo chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang, hệ dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động của con lắc vật lý, hoặc trong mạch điện lý tưởng không có điện trở, 1.2.1.1. Lực hồi phục Lực hồi phục là lực có độ lớn tỷ lệ thuận với độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng và luôn lướng về vị trí cân bằng của vật. 1.2.1.2. Phương trình động lực học Xét chuyển động của một vật theo phương trục x, chịu tác dụng của lực hồi phục Fhp = -kx. Phương trình Định luật II Newton cho chuyển động của vật: F m= a , có dạng: k mxkxxx0= − += (1.1). m Đây là phương trình động lực học của vật. k Đặt = (rad/s) là tần số vòng của dao động thì phương trình (1.1) có thể viết 0 m lại thành: 2 x+ 0 x = 0 . (1.2) (1.2) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số. Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: x= Acos(  t + ) , (1.3a) hoặc: x= Asin(  t + + ). (1.3b) 2 5
Nghiệm này biểu diễn một dao động điều hòa. Giá trị của biên độ A và pha ban đầu được xác định dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán. Sau đây, ta sẽ đi xét một vài ví dụ cụ thể: Trường hợp 1: Xét trường hợp một vật nặng khối lượng m treo dưới một lò xo có hệ số cứng k và khối lượng không đáng kể (Hình 1.1). Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng (VTCB) của vật, trục Ox hướng từ trên xuống dưới. Ở VTCB, trọng lực P tác dụng lên vật cân bằng với lực đàn hồi F0 của lò xo. Ta có: P F+= 0 0 , suy ra: PF0PFkl−= == , 00 với l là độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB. Hình 1.1: Con lắc lò xo Kéo vật xuống phía dưới một đoạn rồi buông ra, vật sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng. Xét chuyển động của vật, tại vị trí bất kỳ có tọa độ (ly độ) x, khí đó hình chiếu hợp lực tác dụng lên vật trên trục Ox là: (PF+=−=− )PFPk(đh xđh += lx)k − lk( += lx)kx − . Phương trình Định luật II Newton cho chuyển động của vật có dạng: k mxkxxx0= − += . (1.4) m Phương trình (1.4) giống với phương trình (1.1) Như vậy, chuyển động của con lắc lò xo là một dao động điều hòa với tần số vòng k = (rad/s). (1.5) 0 m Trường hợp 2: Xét con lắc toán học (Hình 1.2), các lực tác dụng lên con lắc gồm trọng lực và lực căng. Áp dụng ĐL II Newton, ta có: 6
P+= T ma . Chiếu lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta được: − ==P.sinmam.s t . (1.6) s Khi nhỏ thì s in = thay vào (1.6) ta l được: s −=m g . m . s l g +s =. s 0 . l Đặt: g =0 , (1.7) l ta nhận được: Hình 1.2: Con lắc toán học 2 ss0+=0 . (1.8) Phương trình này giống với phương trình (1.2). Vậy, dao động của con lắc toán học trong trường hợp góc lệch nhỏ là dao động điều hòa. Trường hợp 3: con lắc vật lý (Hình 1.3), áp dụng ĐLII Newton ta có: M= md  g = I  Chiếu lên chiều dương là chiều hợp với chiều tăng của góc lệch  theo quy tắc nắm tay phải, ta được −mgd.sinII = = Khi góc  nhỏ ta có sin   , do đó: −mgd.  = I , hay: mgd  + = 0. (1.9) Hình 1.3: Con lắc vật lý I Phương trình (1.9) có dạng giống với phương trình (1.2). Ta kết luận dao động của 7
con lắc vật lý là dao động điều hòa với tần số góc m g d = (rad/s). (1.10) 0 I Trường hợp 4: Trong dao động điện, ta xét mạch LC (Hình 1.4). Dòng điện trong mạch liên hệ với điện tích trên các bản tụ điện bởi biểu thức: dq i = . dt Dòng điện biến thiên tạo suất diện động cảm ứng E trong cuộn dây là: didq 2 E=−=−LL. dtdt 2 Áp dụng định luật Kirchhoff (Kiếc-sốp) thứ hai cho Hình 1.4: Mạch LC mạch (R = 0) ta có: d22 qqd q ULL= − = − . dtCdt22 Hay: qd q1 2 += +=L0qq0 . (1.11) CdtLC 2 Đây là phương trình điện động lực học của dao động điện trong mạch LC. Phương trình (1.11) có dạng giống phương trình (1.2) ta kết luận dao động trong mạch lý tưởng không có điện trở là dao động điều hòa với tần số góc 1  = . (1.12) 0 LC 1.2.1.3. Nhận xét Ở trên ta đã xét dao động điện trong mạch LC và dao động cơ điều hòa bằng việc giải phương trình động lực học. Có thể thấy hiện tượng dao động của con lắc lò xo, con lắc toán học, con lắc vật lý hay sự biến đổi của các đại lượng điện trong mạch LC bị chi phối bới những định luật vật lý khác nhau nhưng chúng tuân theo một phương trình vi phân. Nhìn chung từ phương trình của các dao động này đều cho ta 8
nghiệm tổng quát có dạng là một dao động điều hòa: xAcos(t)=+ 0 . Trong đó tần số vòng 0 khác nhau ứng với các trường hợp dao động khác nhau. Vậy để một hệ vật tham gia chuyển động là một dao động điều hòa thì hệ phải chịu tác dụng của một lực hồi phục. Lực hồi phục có thể là lực đàn hồi hoặc lực chuẩn đàn hồi. Đặc điểm: Khi chuyển động của vật là một dao động điều hòa thì biên độ dao động và tần số dao động không đổi theo thời gian. 2 A c= o n s t và T= = c o n st . 0 Hình 1.5: Sự phụ thuộc li độ dao động vào thời gian 1.2.2. Hệ dao động riêng tắt dần Ở phần trước ta đã xét các dao động điều hòa tự do, hệ chỉ chịu tác dụng của lực hồi phục, đó là trường hợp lí tưởng. Trong thực tế bao giờ cũng có sự tiêu hao năng lượng dao động. Do năng lượng dao động của hệ giảm dần theo thời gian dẫn đến biên độ dao động giảm dần đến một lúc nào đó hệ dao động sẽ dừng lại. Như vậy, dao động không còn là điều hòa nữa. Nguyên nhân: Đối với dao động cơ, do sức cản môi trường dẫn đến sự tổn hao năng cơ năng; Đối với dao động điện, do có mặt của điện trở gây ra hiệu ứng Jun- Lenxơ làm hao hụt năng lượng điện từ. - Đặc điểm của hệ dao động riêng tắt dần: 9
Biên độ dao động sẽ giảm dần theo thời gian và chu kỳ của dao động tắt dần sẽ lớn hơn chu kỳ dao động điều hòa. Phương trình dao động của hệ dao động riêng tắt dần là: −t xAecos(t)=+0 . Chu kỳ dao động tắt dần: 22 T ==   −  0 Trong đó:  : tần số dao động riêng tắt dần, 0 tần số dao động của vật khi dao động điều hòa,  là hệ số tắt dần của dao động. Hình 1.6: Sự phụ thuộc li độ dao động tắt dần vào thời gian k r Trường hợp 1: Đối với dao động cơ tắt dần = và = với r: hệ số cản của 0 m 2m môi trường. Trường hợp 2: Đối với dao động điện tắt dần (mạch RLC tắt dần do có mặt điện trở) 1 R = và = . 0 LC 2L Nhận xét: Trong dao động tắt dần, tần số Hình 1.7: Mạch dao động RLC và chu kỳ dao động không chỉ phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng cho hệ mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng cho sự 10
tiêu hao năng lượng dao động của hệ như hệ số cản của môi trường, điện trở của mạch, Hệ số tắt dần càng lớn và chu kì của dao động càng lớn, dao động tắt dần càng nhanh. 1.2.3. Hệ dao động riêng duy trì Như đã tìm hiểu ở trên, để dao động không bị tắt dần theo thời gian, ta cần bù vào phần năng lượng tiêu hao, người ta bổ sung thêm năng lượng bên ngoài vào cho hệ để mà không làm thay đổi tần số dao động. Khi ấy hệ được gọi là hệ dao động riêng duy trì. Ví dụ: muốn duy trì dao động của con lắc đồng hồ, cần có năng lượng bù thêm của dây cót đồng hồ, con lắc dừng lại khi hết dây cót. 1.2.4. Hệ dao động cưỡng bức Mặt khác, muốn duy trì dao động của hệ để không bị tắt dần, ta cung cấp năng lượng bằng việc tác dụng vào hệ một lực F biến thiên tuần hoàn theo thời gian, hoặc đối với mạch điện thì ta mắc vào mạch một nguồn điện xoay chiều. Khi đó dao động của hệ sẽ không tắt dần nhưng tần số dao động của hệ bị thay đổi. Hệ khi ấy được gọi là hệ dao động cưỡng bức. Trong dao động cưỡng bức, pha ban đầu và biên độ dao động không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu mà phụ thuộc vào mối tương quan giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ. Cụ thể, hệ sẽ dao động với tần số bằng tần số của ngoại lực tác dụng. Đây là đặc điểm để phân biệt dao động cưỡng bức với dao động riêng duy trì. Ví dụ: Đối với dao động cơ ta tác dụng một ngoại lực biến thiên tuần hoàn, khi đó hệ sẽ dao động với tần số bằng tần số ngoại lực. Đối với dao động điện ta đặt vào hệ một nguồn điện xoay chiều, khi đó cường độ dòng điện, hiệu điện thế sẽ dao động cưỡng bức với tần số bằng tần số của nguồn xoay chiều. Hệ quả của dao động cưỡng bức là gây ra hiện tượng cộng hưởng. Hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng biên độ dao động đạt giá trị cực đại. 11
Hiện tượng cộng hưởng có thể xảy ra trong dao động cơ, dao động điện từ, Trong thực tế, hiện tượng cộng hưởng vừa có lợi vừa có hại, tuy nhiên nó được ứng dụng rất rộng rãi trong cuộc sống. 1.3. Các phương pháp biểu diễn dao động Để biểu diễn dao động tuần hoàn tùy từng trường hợp cụ thể mà chúng ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp sau: phương pháp lượng giác, phương pháp số phức, phương pháp hình học. 1.3.1. Phương pháp lượng giác Phương pháp lượng giác là phương pháp biểu diễn dao động tuần hoàn với các phương trình lượng giác dạng sin hoặc cosin mà trên đây ta đã sử dụng: x As=  i n+ ( t ) , hoặc xAcos(t)=+ . Gải sử một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có cùng phương, biên độ và tần số khác nhau có phương trình dao động lần lượt là: xAcos(t)1111=+ xAcos(t)2222=+ Phương trình dao động tổng hợp hai dao động trên là: xxA==+12111222 cos(t)A+ ++x cos(t) - Nếu hai dao động cùng biên độ AAA12== + + − − x= 2cos(1 2 t + 1 2 ).cos( 1 2 t + 1 2 ) 2 2 2 2 - Đặc biệt khi hai dao động cùng tần số =12 =  thì: − + x= 2cos(1 2 ).cos(  t + 1 2 ) 22 1.3.2. Phương pháp hình học Phương pháp hình học (hay phương pháp Frexnen hay phương pháp giản đồ véctơ quay) áp dụng tính chất: Vết chiếu P’ của một chất điểm P chuyển động tròn 12
đều trên một đường kính là một dao động điều hòa. Trên quỹ đạo tròn, ta chọn điểm C bất kì làm gốc. Chọn trục Ox có gốc tại tâm quỹ đạo chuyển động của P và đi qua điểm C (Hình 1.8). Từ O đặt một vectơ A tạo với trục Ox một góc bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ A của dao động. A được gọi là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều Hình 1.8 dương (ngược chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng . Vết chiếu của điểm đầu mút vectơ biên độ trên trục Ox sẽ dao động xung quanh với điểm O với biên độ bằng độ dài của vectơ biên độ, với tần số bằng vận tốc quay của vectơ biên độ, và với pha ban đầu bằng góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox tại thời điểm ban đầu theo phương trình: xAcos(t)=+ . Như vậy, một dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vectơ có độ dài bằng biên độ dao động, tại thời điểm bắt đầu hướng của vectơ hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu của dao động. Chính vì lý do như vậy mà pha ban đầu còn được gọi là góc pha và  còn được gọi là tần số vòng. 1.3.3. Phương pháp số phức Một số phức a có thể được biểu diễn dưới dạng: aAeAiAiA==+=+i (cossincossin ) . Trong đó: Acos là phần thực của số phức a iAsin là phần ảo của số phức a a(Acos= + )(Asin22 ) là mô đun của số phức a được gọi là argumen của số phức a, thỏa mãn điều kiện aai=+(cossin) Một dao động điều hòa có thể biểu diễn dưới dạng x= Acos (  t + )có thể được 13
biểu diễn bởi phần thực của số phức a A= e i( t+ ) hoặc số phức liên hợp a* A= e −+it( ) hay có thể viết dưới dạng: aAit=+exp ( ) hoặc aAit* =−+exp ( ). Hai dao động điều hòa được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức: aAcos(t)iAsin(t)=+ ++1111 , bBcos(t)iBsin(t)=+ ++2222 . Khi cộng hai số phức với nhau thì phần thực của chúng cộng với nhau còn phần ảo của chúng cộng với nhau. Gọi số phức c là tổng của a và b c a=+ b , thì phần thực của số phức c biểu diễn tổng hợp của hai dao động nói trên. Trong trường hợp đặc biệt, tích một số phức a A= e i(t)+ với số liên hợp phức của nó aAe*i(t)= − + là: a.aAeAe*i(t)i(t)2=  + −.A + = . Với A là biên độ dao động đó. Ở trên ta xét, dao động điều hòa được biểu diễn bởi phần thực hoặc phần ảo của só phức, tuy nhiên khi xét dao động điều hòa được biểu diễn bởi cả phần thực và phần ảo của số phức thì khi đó để thuận tiện, ta đưa vào khái niệm mặt phẳng phức. ❖ Mặt phẳng phức Giả sử trên mặt phẳng R2 cho một hệ tọa độ vuông góc xOy. Như vậy mỗi điểm M(x,y) R2 được xác định bởi hoành độ và tung độ của nó. Điều này cho phép ta lập được tương ứng một và chỉ một giữa các điểm của mặt phẳng R2 với các số phức z C. Mặt phẳng R2 cùng với một tương ứng như vậy gọi là mặt phẳng phức. Như vậy một điểm M(x,y) R2 có thể coi là một số phức nếu đồng nhất nó với zxi.y=+ 14
Chương 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 2.1. Bài toán tổng hợp hai dao động cùng tần số 2.1.1. Hai dao động cùng phương, cùng tần số nhưng biên độ và pha ban đầu khác nhau: xAsin(t)111=+ xAsin(t)222=+ Phương trình dao động tổng hợp hai dao động điều hòa trên là: x As= i + n ( t ) . Sau đây, ta sẽ đi giải bài toán bằng 3 cách: Cách 1: Phương pháp lượng giác Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động: xxsin(=121122 ++= t)A +xAsin(t) + AA Đặt tan =22 = arctan( ) AA11 Chia cả 2 vế cho A1 ta được : xA2 =sin(t)sin(t) + +12 + AA11 x = +sin(t)tan.sin(t) +  + 12 A1 xsin = +sin(t).sin(t) + + 12 Acos1 x.cos =sin( + t1 ).cos + sin .sin( + t2 ) A1 A1 x. =+ + sin( t).cos + − sin .cos( t) . cos2 12 Đến đây việc khai triển để ra phương trình dao động tổng hợp phải tùy thuộc vào biên độ và pha ban đầu mà đề bài cho sau đó dùng các công thức lượng giác để 15
tiếp tục biến đổi thích hợp. Cách 2: Phương pháp hình học Hình 2.1 Theo hình 2.1: 22 A = AAA121221++ − A cos() , AsinA .sinA + .sin tan == 1122 . AcosA .cosA + 1122 .cos Cách 3: Phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2: i(t) + 1 aA.e1 = 1 i(t) + 2 aA.e2 = 2 Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a: aA.e= i(t) + . Ta có: i( t + ) i( t + 12 )i( + t ) a= a1212 + aA.eA =+ .eA .e i(t)i i(t) ii 12 i(t)  A.e e = A12 .e .e + A .e .e i ii 12 =+A.eA .eA12 .e A(cos +i.sin ) = A1 (cos 1 +i.sin 1 )+A 2 (cos 2 +i.sin 2 ) 16
AcosA.cosA.cos = + 1122 (2.1) AsinA.sinA.sin = + 1122 Bình phương 2 vế của biểu thức (2.1) sau đó cộng hai phương trình lại ta được: 2 2 2 2 2 A (cos + sin ) = A12 + A 22 =+AAA 12, AsinA + .sinA.sin tan == 1122 . AcosA + .cosA.cos1122 Nhận xét: Đối với bài toán tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số, thì dùng phương pháp hình học là ngắn gọn và dễ dàng hơn cả. Để minh chứng cho điều này ta đi giải quyết một số bài tập cụ thể Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động điều hòa là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x1 = 4sin(t)(cm) x3sin(t)(cm)= + 2 2 Giải Giả sử phương trình tổng hợp hai dao động điều hòa trên là: xAsin(t)= + Với A: biên độ dao động tổng hợp; : pha ban đầu của dao động. Cách 1: Giải bằng phương pháp lượng giác Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động: x= x+x = 4sin( t) + 3sin( t + ) 12 2 33 Đặt tan = =arctan( ) 0,2 (rad) 44 Chia cả 2 vế cho 4 ta được : 17
x3 = + +sin(t)sin(t) 442 x3 = + sin(t)cos(t) 44 x =sin( t) + tan .cos( t) 4 xsin = + sin(t).cos(t) 4cos x.cos = + sin(t).cossin.cos(t) 4 4 = +x.sin(t) cos 43 = x.sin( + tarctan) 3 cos(arctan) 4 4 = + x5.sin(t0,2)(cm) Đáp số : A=5cm, =0,2 (rad) Cách 2: Giải bằng phương pháp hình học Theo hình 2.1, ta có: 22 A = AAA121221++ − A cos() A = 422+ 3 + 4.3.cos( − 0) = 5(cm) 2 A3 tan = 2 = 0,2 (rad) A41 Đáp số : A = 5cm, = (rad) Cách 3: Giải bằng phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2: i( + t ) i( t) 2 a1 = 4.e và a2 = 3.e . 18
Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a: a A= . e i(t) + . Ta có: i(t) + i(t)i(t) + 2 aaaA.e4.e3.e=+ =+12 i(t)i(t)i(t) i. =+A.ee4.e.e3.e.eii.0 2 i. A.ei = 4.e i.0 + 3.e 2 =A(cos+i.sin)4(cos0+i.sin0)+3(cos+i.sin) 22 =A(cos+i.sin)4(cos0+i.sin0)+3(cos+i.sin) 22 A(cos + i.sin ) = 4(1 + i.0) + 3(0 + i.1) A(cosi.sin)4(1i.0)3(0i.1) + =+++ A(cosi.sin)43i + =+ Acos4 = (2.2) Asin3 = Bình phương 2 vế của biểu thức (2.2) sau đó cộng hai phương trình lại ta được: A2 (cos 2 + sin 2 ) = 4 2 + 3 2 A = 422 + 3 = 5(cm) Asin3 tan0,2(rad) == Acos4 Đáp số : A = 5 cm, = 0 ,2 (rad) Bài 2: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương: x1 = A1cos(t+ /3) (cm) và x2 = A2cos(t - /2) (cm). Phương trình dao động tổng hợp là: x = 5cos(t + ) (cm). Biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất khi bằng bao nhiêu? Tính A2max? A.- /3; 8 cm B.- /6;10 cm C. /6; 10 cm D. B hoặc C. 19
Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ quay như hình 2.12: Xét tam giác tạo bởi A1, A2, A. Theo định lý hàm số sin ta có: A => A sin= . . 2 sin Theo đề, ta có A = 5 cm, = /6, nên A2 phụ thuộc vào Sin . Ta thấy, A2 cực đại khi góc đối diện với nó (góc ) là góc vuông (tam giác có góc  vuông mà A2 là cạnh huyền). Vậy:  = /2. Ta có:  = - → = -  = /3 - /2 = - /6. 1 1 và Hình 2.2 A5 A1.10=== (cm). 2 max sin(/ 6)1/ 2 Vậy, chọn B. Bài 3: Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1, 2, 3. Ở vị trí cân bằng ba vật có cùng độ cao. Con lắc thứ nhất dao động theo phương trình x1 = 3cos(20 t + ) (cm), con lắc thứ hai dao động theo phương trình x2 = 1,5cos(20 t) 2 (cm). Hỏi con lắc thứ ba dao động theo phương trình nào thì ba vật luôn luôn nằm trên một đường thẳng? A. x3 = 3 2 cos(20 t - ) (cm). B. x3 = cos(20 t - ) (cm). 4 C. x3 = 3 cos(20 t - ) (cm). D. x3 = 3 cos(20 t + ) (cm). 2 Giải Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì xx13+ x = hay x3 = 2x2 – x1. 2 2 20
Vậy, dao động của m3 là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen, ta có: A3 = 2A2 + (−A1) Từ giản đồ suy ra: 2 2 A3 = (2A2 ) + A1 = 3 2 cm Dễ thấy φ3 = - π/4 rad. Do đó: x3 = 3 cos(20 t - ) (cm). 4 Hình 1.3 Vậy, chọn đáp án A. Bài 4: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng 2 2 phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 = 3cos( t - ) và x2 = 3 3 cos t 3 2 3 (x1 và x2 tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là: A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19cm. C. ± 6 cm. D. ± 3 cm. Giải Dùng giản đồ véctơ: -x2 0 x2 /6 /6 Xtổng = x1 + x2 Xhiệu = x1 - x2 X1 Hình 2.4 Ta vẽ giản đồ véctơ như hình 2.4. Ta dễ dàng có: 2 5 2 xhiệu = 6cos( t − ) ; xtổng = 6cos( t − ) 3 6 3 6 21
Nhận xét: Khi x1 = x2 thì x1 - x2 = 0. Khi đó, véctơ biểu điễn xhiệu = x1 - x2 vuông góc với trục ngang. Lúc đó xtổng = x1 + x2 lệch với trục ngang một góc /6 hoặc 5 /6. Nên ta có: x = 6cos ( /6) = 3 3 = 5,19cm ; x = 6cos (5 /6)= -3 3 = -5,19cm. Vậy, B được chọn. Bài 5: Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x12 = 2cos(2πt + π/3) cm, x23 = 2 3 cos(2πt +5π/6) cm, x31 = 2cos(2πt + π) cm. Biên độ dao động của thành phần thứ 2? A. 1 cm. B. 3 cm. C. cm. D. 2 cm. Giải: Chọn trục Ox như hình 2.5, vẽ giản đồ vectơ Hình 2.5 A12 = 2cm; A23 = 2 cm, A31 = 2cm vẽ vectơ A A+A= 1231 . Ta thấy A = A12 = 2cm. A = A12311 + A = A + A 2 + A 13 + A= 2A 12 + A + A 3 = 2 A 1 + A 23 Từ giản đồ ta tính được A1 = 1 cm. 0 Xét tam giác OA23M: A23M = 2A1, góc A23OM = 30 Định lí hàm số cosin: 2 2 2 0 4A1 = (2 ) + 2 – 2.2 .2 cos30 = 4 22
→ A1 = 1 cm Và vectơ A1 trùng với trục Ox. Từ đó suy ra A2 = 3 cm . Chọn đáp án B. Bài 6: Môṭ vâṭ thưc̣ hiêṇ đồng thời hai dao đông̣ điều hòa cùng phương có phương trình: x11 A= c o s (2 t) (cm) và x2,53cos(2t)22= + (cm). Phương trình dao đông̣ tổng hơp̣ thu đươc̣ là: x2,5cos(2t)= + (cm). Biết 2 và A1 đaṭ giá tri ̣lớn nhất. Giá trị của φ2 và φ là: 2 5 A. , B. − , C. ,− D. , 63 63 32 63 Giải : Sử dụng phương pháp hình học: Hình 2.6 Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác OAA1 ta được: A2,52,5 32,5 1 ==→= Asin . sinsinsinsin 1 0 Nhận thấy, A1 max khi β = 90 → Tam giác OAA1 vuông tại A → tan φ = 2,5 3 /2,5 = → φ = π/3 → φ2 = 5π/6. Đáp án D được chọn. Bài 7: 23
Cho đoạn mạch hình 2.7. Trong mạch có dòng điện xoay chiều cường độ i I= c 0 os 10 0 t (A). Khi đó uMB và uAN vuông pha nhau và u1002cos100t+MB = (V). Hãy viết biểu thức uAN và tìm hệ số công suất của 3 đoạn mạch MN. Giải: Sử dụng giản đồ vectơ: Do pha ban đầu của i bằng 0 nên : =−=−= 0 (rad) MBui MB 33 Dựa vào giản đồ vec-tơ, ta có các giá trị hiệu dụng của UL, UR, UC là: UU= .cos = 100.cos = 50(V) R MB MB 3 UU=tan = 50tan = 50 3 (V) L R MB 3 Vì uMB và uAN vuông pha nhau nên: −= = − MBANAN 26 24
UULC− Ta có: tan.tan1 MBAN =− = − .1 UURR 22 UR 5050 ===UC (V) UL 5033 U R 501002 Ta có: UUAN === = o 100 (V) cos3 3 AN AN cos − 6 Vậy biểu thức của uAN là: 2 (V). utAN =−100cos100 36 Hệ số công suất của đoạn mạch MN là : RUU 50 3 cos = =RR = = = ZU 2 227 UUURLC+−( ) 2 50 50+− 50 3 3 3 Đáp số: (V); cos = 7 Bài 8: Cho mạch điện như hình 2.9. Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức ut= 200cos100 (V). Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100, tụ Hình 2.9 10−4 điện có điện dung C = (F). Xác định L sao cho điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của mạch điện khi đó. 25
Giải Sử dụng giản đồ Fresnel : Dung kháng : 11 Z === 100 C C 10−4 100. Ta có: UUUU=++RCL Đặt U U1 =+ U RC Mặt khác, ta có: UIZZCCC 100 tan1 1 === UIRRR 100 = (rad) 1 4 Dựa vào giản đồ ta thấy: += =− 1 2 2 1 = − = rad 2 4 4 Xét tam giác OPQ và đặt =+ 1. UU U Theo định lý hàm số sin, ta có: = L =U sin  sinsin L sin Vì U và sin không đổi nên ULmax khi sin cực đại hay sin = 1 = 2 Vì =−=−=  (rad). 1 244 2 Hệ số công suất: coscos == 42 Mặt khác: ZZ− tan ==LC 1 ZZR = + =100 + 100 = 200  R LC 26
Z 2002 ===L L (H).  100 2 Đáp số: LH= ; c o s = 2 2 2.1.2. Hai dao động cùng tần số, phương vuông góc nhau, biên độ và pha ban đầu khác nhau Trong quang học, vô tuyến điện, có những trường hợp phải tổng hợp hai dao động điều hòa có phương vuông góc nhau. Ta xét bài toán một vật đồng thời tham gia hai dao động có cùng tần số theo hai phương vuông góc nhau Ox và Oy. Ta chọn thời điểm ban đầu t = 0 là lúc pha ban đầu theo trục x bằng 0 thì là pha ban đầu theo trục y cũng là độ lệch pha giữa hai dao động. Phương trình hai dao động thành phần là: xAcost=1 (2.3) yAcos(t)=+2 Cách 1: Phương pháp lượng giác Phương trình (2.3) cũng chính là phương trình quỹ đạo mà theo đó vật chuyển động dưới dạng tham số. Để nhận được phương trình quỹ đạo dạng chính tắc ta phải khử t trong hai phương trình trên. Ta có: x =cost (2.4) A1 y =cos(t)ct.cossint.sin + = − os . (2.5) A2 Nhân (2.4) với cos , sau đó trừ đi (2.5) ta được: xy cos − = sin  t.sin . (2.6) AA12 Nhân (2.4) với sin , ta được: x sin = cos  t.sin . (2.7) A1 27
Bình phương 2 vế phương trình (2.6) và (2.7) rồi cộng các phương trình ta được: 22 xy2xy 2 22+−= .cossin . (2.8) AAA.A1212 Phương trình (2.8) là phương trình quỹ đạo của chuyển động có dạng là phương trình của một elip có các trục đối xứng nghiêng góc với các trục tọa độ Ox và Oy. Dao động lúc này là dao động có tần số bằng tần số ω của các dao động thành phần. Sự định hướng của elip và độ lớn của các bán trục của nó phụ thuộc một cách khá phức tạp vào các biên độ và hiệu số pha của các dao động thành phần. Cách 2: Phương pháp hình học Trong trường hợp này ta không biểu diễn hai dao động bằng phương pháp hình học, vì khi đó các dao động thành phần được biểu diễn bởi hình chiếu của vectơ biên độ trên hai trục tọa độ khác nhau Ox và Oy, vuông góc với nhau. Việc tổng hợp lúc này lại không thể tổng hợp như trong trường hợp tổng hợp hai dao động cùng phương như đã xét ở mục 2.1.1. Cách 3: Phương pháp số phức Từ (2.3) ta biến đổi thành: x= A1 cos( t) (2.9) y= A2 sin(  t + − ) 2 Theo lý thuyết về mặt phẳng phức ta nhận thấy, dao động tổng hợp của hai dao động trên được biểu diễn dưới dạng số phức : zxiy=+ (2.10) Số phức z này được biểu diễn trên mặt phẳng phức bằng một điểm, giả sử ta gọi đó là điểm M. Tại mỗi thời điểm t tương ứng sẽ có một giá trị dao động tổng hợp ứng với các điểm M1, M2, khác nhau. Quỹ tích các điểm M, M1, M2, sẽ cho ta quỹ đạo chuyển động của dao động tổng hợp. Tuy nhiên, phương trình quỹ đạo của chuyển động có dạng như thế nào thì phải biến đối toán học và dùng phương pháp lượng giác để xác định như đã nêu ở phần trên. Ta có thể sử dụng phương pháp lượng giác để tìm môđun của z (nghĩa là biên 28
độ của dao động tổng hợp). Từ (2.10) ta biểu diễn dưới dạng số phức. Ta có: i(t)i(t+/2) − zi=+A.eA.e12 i ti − i /2 z =+e( A12 i. A .e .e ) it i − − z =e A12 +i. A .e . cos( ) + isin( ) 2 2 it i z =+−eAA.e i.i).( 12 it i z =+eAA.e 12 it z =+ eAA + 12.cosi.sin( ) it z =+ e(AAA +  122 cos)i.sin() . (2.11) Từ (2.11) ta nhận được biên độ của dao động tổng hợp là: 2222 2 Acos=+ + =++ (AAA )sinAA2A122121 2 A cos( ) . (2.12) Nhận xét: Đến đây ta nhận thấy rằng việc dùng phương pháp số phức để khai triển ra phương trình quỹ đạo của chuyển động là không khả quan. Sử dụng lý thuyết về mặt phẳng phức chỉ giúp ta phần nào trong việc tìm biên độ của dao động tổng hợp tuy nhiên không phải cách nhanh nhất. Trong trường hợp này, ta nên sử dụng phương pháp lượng giác để tìm ra phương trình quỹ đạo tổng hợp. Sau đó tùy theo biên độ và độ lệch pha tương ứng với bài tập để biện luận và giải bài tập một cách cụ thể. Bài tập vận dụng: Bài 1: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2) cm và y = 4cos(5πt – π/6) cm. 29
Khi chất điểm thứ nhất có li độ x3=− cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là: A. 33cm. B. 7 cm. C. 23cm. D. 15 cm. Giải: Khi t = 0: x = 0, vx 0, chất điểm y đi từ 23ra biên. Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vi ̣tri ́ x3=− hết thờ i gian T/6. Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ y 2= 3 ra biên dương rồi về laị đúng y 2= 3 Vi tṛ í của 2 vâṭ như hình 2.10: Dựa vào hình vẽ, khoảng cách giữa 2 vâṭ là 22 d=( 3) +( 2 3) = 15 (cm). Hình 2.10 Vậy chọn đáp án: D 2.2. Bài toán tổng hợp hai dao động khác tần số Xét một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương, khác tần số, biên độ và pha ban đầu: x1= A 1 sin(  1 t + 1 ) (2.13) x2= A 2 sin(  2 t + 2 ) Chuyển động của vật là tổng hợp hai dao động x= x12111222 + xA = sin( + t) + A sin( + t) . (2.14) Ta nhận thấy hai dao động điều hòa dao động với hai tần số khác nhau, hai vectơ biên độ sẽ quay với các vận tốc khác nhau nên góc giữa chúng sẽ biến đổi theo thời gian, hình bình hành tạo bởi hai vecto biên độ cũng sẽ biến dạng theo thời gian. Nếu 30
sử dụng phương pháp hình học để biểu diễn hai dao động điều hòa khác tần số thì ta sẽ chỉ nhận định được một cách định lượng vị trí của dao động ở tại một thời điểm nào đó. Mặt khác, khi vận tốc góc quay biến đổi theo thời gian, biên độ tổng hợp không phải hằng số thì dao động lúc ấy không là dao động điều hòa nữa. Sau đây, ta đi xét một số trường hợp đặc biệt. 2.2.1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, tần số hơi khác nhau (hiện tượng phách) Xét tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng biên độ, cùng pha ban đầu, tần số khác nhau không đáng kể: x1010=+ Asin(t) (2.15) xAsin(t)2020=+ Cách 1: Phương pháp lượng giác Chuyển động của vật là tổng hợp của hai dao động xxxA=+=+12010020 sin(t)A ++ sin(t) =+A01020 [sin(t)sin(t)] ++  +   −  1 2 1 2 =A00 2.sin tt +  cos 22 1212 −  +  =+2A 00 .cos.sin tt 22 + Đặt 12= , ta có: 2 12 −  x= 2A00 .cos t .sin(  t + ) . (2.16) 2 12− −12  Vì ω1 ≈ ω2 nên . Do đó, số hạng cos t biến đổi chậm theo 2 2 thời gian so với sint(+ 0 ) . Trong một chu kỳ biến đổi của , có thể 31
12 −  xem c os t gần như không đổi. Như vậy có thể coi biên độ dao động tổng 2 hợp là: −12  A2A.cos= 0 t (2.17) 2 Như vậy, biên độ dao động tổng hợp biến đổi tuần hoàn theo thời gian. Hiện tượng biên độ dao động biến đổi chậm theo thời gian được gọi là hiện tượng phách. Tần số biến đổi biên độ theo thời gian được gọi là tần số phách, có giá trị lớn gấp hai lần tần số của biểu thức đứng trong dấu môdun, tức là bằng hiệu các tần số của các dao động thành phần. Chu kì dao động của biên độ: 4 T = . (2.18) 12 −  Cuối cùng ta có thể viết lại (2.17): xA.sint=+ ( 0 ) (2.19) Ta có thể coi dao động tổng hợp là một dao động gần như điều hòa được biểu diễn bởi phương trình (2.19). Trong thực tế, hiện tượng phách giúp chúng ta so dây đàn cho đúng. Tuy nhiên trong các máy thu thanh, hiện tượng này làm cho âm thanh phát ra lúc to lúc nhỏ rất khó chịu, nên trong máy thu thường có các bộ phận chống phách để khắc phục hiện tượng này. Cách 2: Phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2: i(10 t + ) a1 = A0 .e (2.20) i(20 t + ) a2 = A0 .e Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a, ta có: i(1 t + 0 ) i(  2 t + 0 ) a= a1 + a 2 = A 0 .e + A 0 .e 32
i(t)i(t)+ + → aAee=+1020 (2.21) 0 ( ) tttttt + +  + +  + + iiiiii102010201020 −− 222222 →+a = A0 .e.ee.ee.e Suy ra: 1 + 2  1 − 2  1 − 2 i( t)+ 0 i( t) − i( t) 2 2 2 a= A0 .e . e+ e Với biên độ của dao động tổng hợp của hai dao động có dạng:  − − i(t)i(t)1212 − 22 AA.ee=+0 Ta có thể viết: 12 + i(t) + 0 aA.e= 2 (2.22) (2.22) là phương trình dao động tổng hợp của dao động gần như điều hòa biểu diễn dưới dạng số phức. Nhận xét: Đối với bài toán tổng hợp hai dao động cùng phương khác tần số, thì dùng phương pháp số phức cũng cho ta phương trình dao động tổng hợp. Tuy nhiên biến đổi có đôi chút phức tạp. Vậy nên trong trường hợp này sử dụng phương pháp lượng giác là ngắn gọn hơn cả. Bài tập vận dụng: Bài 1: Một vật dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần lần lượt có phương trình: x12 = 4 cos 10 tvà − x − = 4 cos 12 t(cm) . Hãy xác định phương trình dao 64 động, biên độ của dao động tổng hợp. Giải Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần là: 33
x = x+x=12 4cos10t4cos12t −+ − 64 5 = 42.cos11t.cost − − 2424 5 = 8cost.cos11t + − 2424 5 Nhận xét: Thừa số c o s 1 1 t − chứa tần số góc =   11() 12 nên tần 24 số góc chứa trong thừa số này là tần số góc của chu kỳ dao động tổng hợp. Vậy biên độ dao động tổng hợp có phương trình dao động: x8cost(cm)A = + . 24 Bài 2: Một vật tham gia đồng thời hai dao động thành phần có phương trình: x=101 cos 49t − (cm) và x2 = 10 cos 51 − t (cm). 6 6 Hỏi khi biên độ dao động tổng hợp hoàn thành một chu kỳ thì vật thực hiện được bao nhiêu dao động. Giải Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần: xxx10cos=+= 12 −+ 49 − t10cos 51 t 66 → x20cost= − .cos( ) 50 t (cm) 6 Phương trình dao động của biên độ: xA = 20 cos( t) (cm). Chu kỳ dao động của biên độ: 34
TA 1 (== s) (2.23) A Chu kỳ dao động tổng hợp: 2 T 0== ,0 4 ( s) (2.24)  Từ (2.23) và (2.24) dễ thấy khi biên độ hoàn thành một chu kỳ thì dao động tổng TA hợp thực hiện được 25 dao động. Vì = 25 . T 2.2.2. Tổng hợp hai dao động có phương vuông góc nhau, tần số bội nguyên lần Xét trường hợp một vật tham gia đồng thời hai dao động có phương vuông góc nhau, tần số khác nhau. Phương trình dao động thành phần có dạng: xAsin(t+)= 111 (2.25) yAsin(t+)= 222 trong đó: ω1 = qω, ω2 = pω; với p, q là hai số nguyên. Khi đó chuyển động của vật được coi là phức tạp. Quỹ đạo của chuyển động là đường cong khá phức tạp gọi là các đường Lixaju. Ta gọi T1 , T2 lần lượt là chu kỳ của hai dao động thành phần theo trục x và y 2 với T(s)= , và 1 q 2 T(s)= . Hình 2 p dạng của các đường Lixaju phụ thuộc vào Hình 2.11 tỷ số của các tần số T1 và hiệu các pha () 21 − được cho thấy trong hình 2.11. T2 35
Tương tự như trong trường hợp tổng hợp hai dao động có phương vuông góc có cùng tần số, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài ta nên sử dụng phương pháp lượng giác để tìm ra phương trình quỹ đạo của vật. Bài tập vận dụng: Tìm phương trình quỹ đạo y(x) của chất điểm, nếu chất điểm chuyển động theo quy luật x as= i n ( t) và y a= s i n ( 2 t ) . Giải Phương trình quỹ đạo của hai dao động thành phần có dạng: x =sin( t) a (2.26) y =sin( 2 t) a Suy ra x =sin(t) a (2.27) y =sin(2t)= 2.sintcost( ) ( ) a Chia cả hai vế của phương trình (2.27), sau đó lấy bình phương hai vế ta được: x12 = y4cos(t)22 Suy ra y4cos(t).x222= 222 y41sin(t).x=− Kết hợp với (2.27) ta được : x2 22 . y4x1=− 2 a 2 22 x Đáp số: y=− 4x 1 2 . a 36
KẾT LUẬN Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng của nó trong giải các bài toán dao động” tôi đã hoàn thành việc nghiên cứu các vấn đề sau: 1. Trình bày được cơ sở lý thuyết về các loại dao động và các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức. 2. Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày, đề tài này còn làm nổi bật ưu, nhược điểm của các phương pháp biểu diễn dao động ứng với các trường hợp cụ thể, được chia dạng áp dụng một cách rõ ràng. 3. Bên cạnh đó, khóa luận cũng đưa ra được những bài tập vận dụng mang tính chất điển hình có đáp án chi tiết dưới cả hình thức tự luận và trắc nghiệm khách quan để phát huy được điểm mạnh của các phương pháp giải. 4. Đối với một số trường hợp tổng hợp dao động khác phương phức tạp và ít đề cập trong chương trình Vật lý phổ thông thì trong khóa luận này tôi chưa đưa ra được nhiều dạng bài tập vận dụng. Tuy nhiên, đề tài sẽ được tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng cho các chương, các phần khác trong thời gian sớm nhất và rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để giúp khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thiện hơn. 37
TÀI TIỆU THAM KHẢO [1]. Lê Đình Trọng, Giáo trình Cơ học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2013. [2]. Lê Đình Trọng, Giáo trình Dao động và sóng, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2013. [3]. Phạm Quý Tư, Dao động và sóng, NXB Giáo Dục 2000. [4]. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, ĐHQG Hà Nội, 1997. [5]. Trần Ngọc Hợi (chủ biên) - Phạm Văn Thiều, Vật lý đại cương các nguyên lý và ứng dụng (tập 2), NXB Giáo Dục 2006. 38