Khóa luận Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin

Nội dung text: Khóa luận Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THANH NGA TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THANH NGA TRẠNG THÁI CƠ BẢN NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣ ớng dẫn khoa học: TS.Nguy ễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2017 HÀ NỘI,
3. LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS.Nguyễn Văn Thụ - người thầy hướng dẫn đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này. Em cũng xin bày tỏ lời lòng biết ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý cùng các bạn sinh viên trong quá trình học tập và trau dồi kiến thức tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và cho em nhiều kiến thức trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thanh Nga
4. LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einsstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiên biên Robin” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.Nguyễn Văn Thụ. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và không trùng với bất kì khoá luận nào khác. Hà Nội, ngày 17 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thanh Nga
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đ ch nghiên cứu 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Đóng góp của đề tài 2 CHƢƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3 1.1. Hệ hạt đồng nhất 3 1.1.1. Nguyên lí đồng nhất 3 1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng 4 1.1.3. Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu. 6 1.2 Thống kê Bose-Einsstein 7 1.3 Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose-Einsstein 17 1.4 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein 21 1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium. 21 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. 22 1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion 24 CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 28 2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii 28 2.1.1 Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian. 28
6. 2.1.2 Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. 29 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA). 32 2.3. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin. 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trước đây, t ai nghĩ rằng có thể tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein và chất ngưng tụ này lại hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ. Ngưng tụ Bose – Einstein là một công trình khoa học nổi tiếng của Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới (BEC- Bose- Einstein Condensation) từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Ngưng tụ Bose- Einstein là một trạng thái vật chất của kh boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ 0oK tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0oK hay - 273oC). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson cùng tồn tại ở trạng thái lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô. Trạng thái vật chất này lần đầu tiên được Bose- Einsstein tiên đoán về sự tồn tại trong những năm 1924- 1925. Bose đầu tiên gửi một bài báo đến Einstein về thống kê lượng tử của lượng tử ánh sáng. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này t ch tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới của vật chất. Với việc tạo ra trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, có ý nghĩa lớn trong vật lý như giải th ch được nhiều hiện tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy, Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein tôi chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ làm đề tài nghiên cứu của mình. 1
8. 2. Mục đ ch nghiên c u Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose – Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh và điều kiện biên Robin trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên c u - Các phương trình Gross-Pitavskii. - Nghiên cứu trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh dưới ảnh hưởng của điều kiện biên Robin. 4. Nhiệm vụ nghiên c u Tìm hiểu “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần phân tách mạnh với điều kiện biên Robin“ xuất phát từ các hệ hạt đồng chất, thống kê Bose-Einstein đối với các boson là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian. 5. Phƣơng pháp nghiên c u - Đọc sách và tra cứu tài liệu. - T nh số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica. - Sử dụng gần đúng parabol kép. - Sử dụng các kiến thức trong Vật lý thống kê, cơ học lượng tử và các phương pháp giải t ch toán học. 6. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. 2
9. CHƢƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất 1.1.1. Nguyên lí đồng nhất Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tương đối t nh. Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng: (1.1) trong đó là toán tử tương tác giữa các hạt, nó là hàm toạ độ của tất cả các hạt; là toán tử đặc trưng cho tương tác spin-quỹ đạo, tương tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài; là toán tử xung lượng; m là khối lượng của hạt. Hàm sóng của phương trình Schrodinger (1.2) với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1, 2, 3, , N . Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin, không phân biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. Nhưng biện pháp này không thể áp dụng được trong cơ học lượng tử. Chẳng hạn hai electron 3
10. ở thời điểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một “rào thế”, thì do hiệu ứng đường hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa. Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lượng tử dẫn tới nguyên lý về t nh đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau. 1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Ta k hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là ij và k hiệu trạng thái của hệ N hạt đồng chất là (1, ,i, ,j, ,N,t) ≡ (i,j). Nếu thế ; ; (1.3) Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử ij . (1.4) Chú ý đến (1.4) . Từ đây suy ra trị riêng của toán tử là là λ= . Thành thử các hàm riêng của toán tử hoán vị được chia làm hai lớp: a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì 4
11. ij = - , (1.5) tương ứng với trị riêng λ= . b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì , (1.6) tương ứng với trị riêng λ= . Các hàm (1.5) được gọi là các hàm phản đối xứng, các hàm (1.6) được gọi là các hàm đối xứng. T nh đối xứng và phản đối xứng của một hệ hạt là t ch phân chuyển động. Thật vậy, vì không phụ thuộc tường minh vào thời gian ( , nên: , Từ đây (đpcm). Các th nghiệm đã chứng tỏ rằng, t nh chất đối xứng và phản đối xứng của các hàm sóng liên quan đến t nh chất nội tại của các hạt. Các hạt có các hàm sóng đối xứng được gọi là các hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có hàm sóng phản đối xứng được gọi là các hạt Fermi hay các Fermion, tuân theo thống kê Fermi-Dirac. Các boson là các hạt có spin nguyên (photon, -meson, K-meson, ). Các fermion là các hạt có spin bán nguyên (electron, các nucleon, ). 5
12. 1.1.3. Nguyên lí Pauli và hàm sóng của hệ tương tác yếu. Đối với các fermion có một nguyên l cấm do Pauli đưa ra. Nguyên l này được phát biểu như sau: Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực (L1,L2,L3,Sz) bất kì đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4 số (L1,L2,L3,Sz) giống nhau. Nguyên l này được rút ra từ t nh phản đối xứng của hàm sóng của các fermion. Thật vậy, giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau . Theo giả thiết , cho nên . Từ đây và , nghĩa là một trạng thái của hệ như thế không có. Bây giờ chúng ta xét một hệ đồng chất mà các hạt trong hệ tương tác yếu với nhau. Trong một phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau. Giả sử hàm là nghiệm của phương trình . 6
13. Ở đây là toán tử Hamilton cho hạt thứ Ɩ (Ɩ=1,2, ,N), là tập hợp các số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l. Khi đó các hàm riêng của toán tử của cả hệ (tương ứng với năng lượng sẽ là các tổ hợp tuyến t nh của các t ch dạng Đối với hệ các boson, hàm sóng phải có dạng của t ch đã đối xứng hóa (1.7) Ở đây, là tất cả các hoán vị khả dĩ để cho tất cả các t ch khác nhau từng đôi một, N1, N2, , Ns là số các hạt ở trong các trạng thái lượng tử n1, n2, , ns tương ứng khác nhau từng đôi một và N1+ N2+ +Ns=N. Đối với hệ các fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng . (1.8) Từ (1.8) chúng ta có thể suy ra nguyên l Pauli. Thật vậy, nếu hai hạt có trạng thái giống nhau, hai dòng định thức sẽ giống nhau, như vậy định thức sẽ bằng 0. 1.2 Thống kê Bose-Einsstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2], 7
14. (1.9) trong đó gk là độ suy biến, Ek là năng lượng ở trạng thái k, N là số hạt đồng nhất, θ và Ѱ là các thông số của phân bố. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có (1.10) Enk  l l , l 0 ở đây, l là năng lượng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng l . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk trong (1.9) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó ch nh là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng (1.11) trong đó , Ω là thế nhiệt động chính tắc lớn,  là thế hóa. Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.11) là vì có kể đến t nh đồng nhất của các hạt và t nh không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. 8
15. Ta k hiệu (1.12) Khi đó (1.11) được viết lại như sau (1.13) Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.13) như sau: Một là vế phải của (1.13) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0,nl hạt nằm trên mức l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng (1.14) Hai là đại lượng xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có . Nhưng trong thống kê Maxwell-Boltzmann, khi mà các hạt là khác biệt nhau về 9
16. phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện trạng thái mới), ta có (1.15) Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt (tức ) đều sẽ cho các trang thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho nn01! ! Khi đó: (1.16) thay giá trị của vào (1.12) ta thu được (1.15). Để t nh trị trung bình của các số lấp đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng trong công thức (1.13) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thế hóa học . Và cuối phép tính ta cho . Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau (1.17) với 10
17.   nl  l l l 0 (1.18) Z  exp  G n01 , n , ,  nn01  nghĩa là (1.19) Khi đó đạo hàm của theo dựa vào (1.12) và (1.13) (1.20) Nếu trong biểu thức (1.20) ta đặt thì theo (1.14) vế phải của công thức (1.20) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu được . (1.21) Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ ) và do đó theo (1.18) ta có  n   l l l l 0   l l Zn  exp   exp   n01 n l 0 n 0   1  , (1.22)  l 0 1 exp ll  11
18. khi đó ll    ln 1 exp  . (1.23) l 0  Theo (1.21) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình 1 n , (1.24) l  exp l 1   ta có (1.24) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong công thức (1.24) được xác định từ điều kiện  nNl . (1.25) l 0 Đối với khí bose l tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ  d  bằng dN  dn  , (1.26)  exp  1  trong đó dN  là số các mức năng lượng trong khoảng  d . Tìm dN  . Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể t ch V có thể xem như các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định dN  bằng cách áp dụng công thức k2 dk dN k V. (1.27) 2 2 Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véc tơ sóng k 12
19. pk , (1.28) khi đó (1.21) có thể được viết dưới dạng p2 dp dN p V. (1.29) 2 23 p2 Đối với các hạt phi tương đối t nh tức là hạt có vận tốc thì  suy 2m ra pm2 2, p23 dp 2, m d do đó (1.29) có dạng 2mV3 dN  d . 23 2 Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt gs 21. Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng  d  là 2m3 Vg dN   d . (1.30) 2 23 Theo (1.26) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng  d  là 2m3 Vg d dn  . (1.31) 2 23  exp  1  Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau 13
20. 2m3 Vg  N dn d . (1.32) 23  002 e kT 1 Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí bose l tưởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng  0. (1.33) Thực vậy, số hạt trung bình dn  chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.31), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.31) luôn luôn dương (nghĩa là  khi  0, để cho exp  luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).  Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.32) ta có:     d d N   T 0 T  0 kT kT  Te 1 e 1 N T   d     d  0  e kT 1 0  e kT 1 14
21.     1   eekT   kT dd    2 2 2 00kT     eekT 11 kT 1 . (1.34)  T   1 eekT kT dd    22 00kT     eekT 11 kT Nhưng do (1.32) nên  0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải  (1.34) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy 0 . Từ các tính chất T   0 và 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá trị âm T tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không max 0 . Xác định nhiệt độ T0 Chọn  0 và TT 0 . Khi đó phương trình (1.32) trở thành 2m3 Vg  N dn d . 23  002 ekT0 1  Đặt x suy ra kT0 m3/2 Vg x N kT kT dx 23 00 x 21 0 e 15
22. 3/2 3/2 m3/2 Vg kT xx mkT Vg 00dx dx. (1.35) 2 3 xx 2 3 2 00ee 1 2 1 x Mà ta biết dx 2.31, nên từ (1.35) và  kT , ta được x 00 0 e 1 1/3 2 42 2/3 0 N T0 . (1.36) kV 2.31g 2/3 mk Đối với tất cả các kh bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng hêli vào cỡ 3 0 120kg/m ta được TK0 2,19 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0 0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 TT0. Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max 0, mà  0 nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0 TT thì T 0  0. Với nhiệt độ TT 0 số hạt có năng lượng là 3/2 2m3 Vg  mkT Vg x N 0 d dx N (1.37) 2 3  2 3 x 2 00 2e 1 ekT 1 So sánh (1.35) và (1.37) ta thấy 3/2 3/2 T NT NN  0 hay . T0 NT 0 Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được đoán nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi TT 0 thì NN chỉ ra rằng số hạt toàn phần N 16
23. chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.26), tức là m3/2 Vg d  N  d  dn  . (1.38) 2 2 3   2.31 3/2  exp  1 0 exp  1    Các hạt còn lại NN , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ. Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân 1 bố trên các mức khác theo định luật . Hiện tượng mà ta vừa mô tả, trong e/ 1 đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T 0) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không. 1.3 Tình hình nghiên c u về ngƣng tụ Bose-Einsstein Ngưng tụ Bose-Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở khí loãng lần đầu tiên vào năm 1995. Einstein đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose thành kh l tưởng của hệ hạt đồng chất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng được bảo toàn. Cùng thời gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp, các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ. Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose-Einsstein (BEC), xảy ra với các hạt có tổng spin nguyên. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [3]. 17
24. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của 4He cũng như t nh siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu. Năm 1995, kh ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học Cornell, Lee, Osheroff và Richardron đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của hêli (He) là hêli-3 có thể trở thành siêu lỏng tại một nhiệt độ chỉ khoảng hai phần nghìn độ trên không độ tuyệt đối. Chất lỏng lượng tử siêu lỏng này khác hẳn với chất lỏng lượng tử siêu lỏng mà người ta đã phát hiện thấy vào những năm 1930 ở nhiệt độ khoảng hai độ (cao hơn một nghìn lần) trong một đồng vị khác của hêli là hêli-4. Chất lỏng lượng tử mới (hêli-3) có những tính chất đặc biệt chẳng hạn như các định luật lượng tử của vật lý vi mô thi thoảng cũng trực tiếp chi phối dáng điệu của vật lý vĩ mô. Nguyên tử hêli-4 là một Bose và chúng tuân theo thống kê Bose- Einsstein. Trong điều kiện nào đó, chúng ngưng tụ ở trạng thái có năng lượng nhỏ nhất. quá trình chuyển pha trong đó xảy ra và được gọi là sự ngưng tụ Bose- Einsstein. Các nguyên tử hêli-3 tuân theo thống kê Fermi-Dirac và thực ttees không bị ngưng tụ ở trạng thái năng lượng thấp nhất. Do đó, sự siêu lỏng không xảy ra trong hêli-3 giống như hêli-4, nghĩa là hêli-3 không thể hóa lỏng ở nhiệt độ 18
25. khoảng một vài độ trên độ không tuyệt đối. Nhưng các fermion thực tế có thể bị ngưng tụ nhưng theo cách phức tạp hơn. Bằng cách thay đổi áp suất, nhiệt độ và thể tích của hêli-3 lỏng và theo dõi cẩn thận sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến số đó. David Lee, Douglas Osheroff và Robert Richardson đã sử dụng một vài cm3 hêli-3 lỏng để tiến hành các thực nghiệm mà chúng dẫn đến phát minh được trao giải thưởng Nobel Vật lý năm 1996 về “tính siêu lỏng của hêli-3”. Về mặt lý thuyết các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2, ), fermion là các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2, ). Các hạt boson tuân theo thống kê Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”. Ở nhiệt độ phòng kh boson và kh fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell-Boltzman (bởi cả thống kê Bose–Einstein và thống kê Fermi–Dirac đều tiệm cận đến thống kê Maxwell- Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí bose có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn như kh điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng  0, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E 0. Còn đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ TK 00 các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do đó năng lượng của cả hệ khác không ( E 0). Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt boson hay khí bose. 19
26. Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng. Ngưng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã được quan sát trong một vài hệ vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí bose là phổ biến nhất. Bức xạ của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng tán xạ Compton cho kh điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình cộng hưởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngưng tụ Bose – Einstein. Trong một số thí nghiệm gần 20
27. đây, người ta đã tiến hành nghiên cứu với khí photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, người ta đã mô tả lại ngưng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết định cả thế giam cầm và sự không ảnh hưởng bởi khối lượng các photon, làm cho hệ tương đương với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta thấy dấu hiệu của ngưng tụ Bose – Einstein, năng lượng photon phân bố chủ yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ và dạng hình học của hốc thế được dự đoán từ trước. 1.4 Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose-Einstein 1.4.1. Ngưng tụ Bose- Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium. Các chất kh lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ l tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lý lượng tử. “Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”, Ferlaino cho biết. Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose – Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi t nh chất cá lẻ của chúng và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của 21
28. những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ t nh lượng tử với những nguyên tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói. Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lý ở Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của Sesium, dẫn tới vô số những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố erbium. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên được tạo ra ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chước những hiệu ứng phát sinh từ sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của cơ chế động lực học phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra trong các xoáy địa vật lý, trong các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp. 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu. Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng 22
29. thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”, nó từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng [10]. Hình 1.2: Một “siêu phonon” được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein” . Tuy nhiên, bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành “nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”. Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein truyền thống được làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên không thể phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon là các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất – điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh. 23
30. Theo trang LiveScience, bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để bẫy các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó được phát ra. Các tấm gương đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến – lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng. Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một hạt khổng lồ,hay trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein. Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho biết thêm rằng, công trình của họ có thể giúp mang tới những ứng dụng trong việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bước sóng vô cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím. 1.4.3. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion. Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tương tự đã từng được công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi 24
31. rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của chùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách t ch lũy polartion từ các chùm. Lần đầu tiên được tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử Rubidi, trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lượng lớn các hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển như một trạng thái kết hợp, và rất có ý nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lượng tử ví dụ như siêu chảy trong một hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thường chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối. Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt độ khá cao là 19oK. Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp được rồi. Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tương tự 25
32. mà trong đó các polartion được tạo ra bởi các tia laser sau đó di chuyển khỏi vùng kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều ngang 50 micrô, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có nghĩa là tạo ra như một bẫy để t ch lũy các polartion. Và ở hệ này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Hình 1.3: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007). Mặc dù ở nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này, nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32 K: “Có hàng trăm nguyên nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ cao hơn, cao hơn nữa dù không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ phòng nhưng trên 100K không phải là không thể đạt được trong khả năng của chúng tôi”. Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc – microcavity) được tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tương tự từng được dùng trong các khí nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác. 26
33. Hình 1.4: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007). Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng thái chuẩn cân bằng. “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trạng thái cân bằng thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa cùng trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn”. 27
34. CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN 2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii 2.1.1 Phương trình Gross- Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian. Xét hệ ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần, hàm tác dụng S có dạng S1,, 2 dtL dtdrL 1 (2.1) với mật độ hàm Lagrangian trong phương trình Gross-Pitaevskii [7,9] là 2  j Li1  1,,,  2  j   1  2 (2.2) j 1 t trong đó hàm Hamilton có dạng 2 2 2 g jj 4 22  1,,  2  j   j  j g 12  1  2 22m j 1 j (2.3) ở đây, hạt j , j rt, là hàm sóng ở trạng thái cơ bản; m j là khối lượng hạt; ggjj , 12 là các hằng số tương tác dương, chúng được xác định qua độ dài tán xạ sóng s theo công thức 11 ga 2. 2 (2.4) jj jj mmjj Bằng cách cực tiểu hóa hàm tác dụng S theo  j  S 0, (2.5)  j ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian khi không có 28
35. trường ngoài (2.6) (2.7) 2.1.2 Phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta giả sử sự tự phân tách diễn ra dọc theo trục Oz và gọi ngưng tụ bên phải mặt phân cách là “1” ( z 0) và ngưng tụ bên trái mặt phân cách là “2” ( z 0 ) it j /  jj  ze , (2.8) với Ψj là hàm sóng ở trạng thái cơ bản, μj là thế hóa. Thay (2.8) vào (2.6) và (2.7), thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian ta thu được 22d  1   gg 22    0, 2 1 1 11 1 1 12 2 1 2m1 dz (2.9) 22d  2   gg 22    0. 2 2 2 22 2 2 12 1 2 2m2 dz (2.10) Phương trình (2.9) và (2.10) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. Như vậy thế tương tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng 24g jj 22 Vg   j  j  j 12  1  2 j 1,2 2 2 2gg11 4 22 4 2 2 =   1 1 2 2  1   2g 12 1 2 . 22 (2.11) 29
36. Sử dụng chiều dài tương quan (healing lergth)  j , (2.12) 2m jj và mật độ khối của hạt thứ j là ngj0  j/ jj và đưa vào các đại lượng không thứ nguyên zz 1, 2 j g 12 (2.13)  ,,,j K 1 nj0 g 11 g 22 thì ta có d d dz1 d , dz dz dz1 dz dd221 . 2 2 2 dz1 dz Do đó 2dd 2 21 2 1  n . 22mm2 2 2 1 10 11dz1 dz Thay biểu thức của 1 vào biểu thức trên ta được: 2dd 2 2 11 g n n . (2.14) 2211 10 10 2m1 dz dz Ta có: (2.15) 30
37. Thay (2.14) và (2.15) vào (2.9) ta được: (2.16) Áp suất của mỗi thành phần ngưng tụ khi ở xa biên được cho bởi công thức . Xuất phát từ phương trình Laplace-Young . Ta đang xét hệ trong trạng thái cân bằng pha nên nên (2.17) Thay (2.17) vào (2.16) ta được: 2 d 1 32 1  1 K  2  1 0. (2.18) dz2 Ta có: 2 2dd 2 2  2 2  n . 22 2 20 22mm2dz 2  2 dz (2.19) 31
38. Thay biểu thức của 2 vào biểu thức trên ta được: 2dd 2 2 22  2g n n . (2.20) 2222 20 20 2m2 dz dz Ta có (2.21) Thay (2.20) và (2.21) vào (2.10) ta được Chứng minh tương tự, ta được 2 2d 2 3 2  2  2 K  1  2 0. (2.22) dz2 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA). Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngưng tụ Bose – Einstein một thành phần. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (2.11) có dạng g V  24  . (2.23) GP 2 Bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ nguyên như ở (2.13), thế tương tác (2.23) có thể viết dưới dạng 1 V 24 . (2.24) GP 2 Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ 1 nên ta đặt 32
39.  1,a (2.25) với ɑ là số thực và nhỏ. Thay (2.25) vào (2.24) ta được 1 V 11 a 24 a GP 2 1 = 1 2a a2 1 4 a 6 a 2 4 a 3 a 4 2 11 = 2a2 2 a 3 a 4 . 22 Khai triển VGP giữ đến gần đúng bậc hai ta được 11 Va 22 2  1 2 , (2.26) DPA 22 trong đó VDPA là thế gần đúng trong parabol kép. Ta có đồ thị của hai thế VGP và VDPA như sau 1.5 V 1.0 0.5 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 0.5 33
40. Hình 2.1 Đồ thị của thế VGP và thế VDPA Đường nét liền là đồ thị của thế VGP, đường nét đứt là đồ thị của thế VDPA. Ta thấy VGP có hai cực tiểu như hình vẽ và khi thay vào phương trình Gross- Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp được phương trình. Do đó ta thay bằng thế VGPA là hai parabol ghép với nhau và được gọi là parabol kép. Khi thay thế VGPA vào phương trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải được phương trình. 2.3. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh trong gần đúng parabol kép, giải phương trình với điều kiện biên Robin. Với sự có mặt của tường cứng tại z 0, ta áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho thành phần 1, điều kiện biên Robin được áp dụng cho thành phần 2, tức là (2.26) trong đó c là hằng số. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ. Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí z=l, khi đó ta khai triển tham số trật tự quanh giá trị được chuẩn hóa theo mật độ khối tức là  1  ,   , j j j j với khi và khi . Cần chú ý rằng  j và  j là các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khai triển này. 34
41. • Ở miền (Ɩ là vị trí mặt phân cách) ta đặt (2.28) Thay vào (2.18) và (2.22) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình aa 2 0, (2.29)  2b K 1 b 0. Thay (2.28) vào (2.29) và đặt ta được phương trình Gross-Pitaevskii trong DPA  2  1 0, 11 (2.30) 22  22   0. • Ở miền ta đặt (2.31) Thay vào (2.18) và (2.22) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình b K 1 b 0, (2.32)  2aa 2 0. Do đó  2  0, 11 (2.33) 22  22 (  1) 0. Trong miền , nghiệm của phương trình (2.30) có dạng z 11 1,Ae  z (2.34)  21 Be . 35
42. Trong miền , do bị triệt tiêu tại vị tr đặt tường cứng nên nghiệm của (2.34) bị ràng buộc bởi điều kiện biên (2.27) có dạng (2.35) với AABB1,,, 2 1 2 là các hằng số tích phân. Trong DPA, các tác giả [9] đã chứng minh được rằng các tham số trật tự và đạo hàm bậc nhất của chúng phải liên tục tại mặt phân cách jj , dd (2.36) jj . dz dz Thay (2.34) và (2.35) vào (2.36) ta tìm được (2.37) Xét trong phân tách mạnh, giới hạn khi K là và từ (2.34) và (2.37) ta có 36
43. (2.38) Từ (2.35) và (2.37) ta có (2.39) Để minh họa cho các tính toán ở trên chúng ta tiến hành tính số cho 1 số trường hợp. Trước hết chúng ta tiến hành tính số với c=0, tức là cả hai thành phần đều được áp dụng điều kiện biên Dirichlet. Hình 2.2 và 2.3 lần lượt là hàm sóng trạng thái cơ bản ứng với và K=100. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 z Hình 2.2: Hàm sóng ở trạng thái cơ bản trong trường hợp ứng với . Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2. 37
44. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 z Hình 2.3: Hàm sóng ở trạng thái cơ bản trong trường hợp ứng với K=100. Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2. Bây giờ ta sẽ tiến hành t nh số tương ứng với . Kết quả được trình bày trên hình 2.4 (với ) và 2.5 ( với K=100). 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 z Hình 2.4: Hàm sóng ở trạng thái cơ bản trong trường hợp ứng với . Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2. 38
45. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 z Hình 2.3: Hàm sóng ở trạng thái cơ bản trong trường hợp ứng với K=100. Đường nét liền và nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2. 39
46. KẾT LUẬN Về cơ bản khóa luận đã đạt được những mục đ ch đề ra, đó là: Tìm hiểu thống kê Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra khái niện ngưng tụ Bose – Einstein đối với kh bose lý tưởng. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách mạnh trong gần đúng parabol kép với điều kiện biên Robin. Sử dụng phần mềm Mathematica để vẽ đồ thị biểu diễn sự thay đổi của tham số trật tự theo z. 40
47. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Trần Thái Hoa( 1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [2] Vũ Thanh Khiết( 1988), Vật lí thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3] www.wikipedia.org. Tiếng Anh [4] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of Many – particles Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971). [5] B. V. Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008). [6] B. Van Schaeybroeck and J. O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626 (2015). [7] C. J. Pethick, H. Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York. [8] J. O. Indekeu, C. Y. Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck, T. H. Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615. [9] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press. Oxford, New York. [10] www.livescience.com. 41