Khóa luận Tensor đề-các và ứng dụng trong vật lý

Nội dung text: Khóa luận Tensor đề-các và ứng dụng trong vật lý

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THANH TÂM TENSOR ĐỀ-CÁC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI - 2017
2. LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Hà Thanh Hùng đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa. Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết, những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hƣớng dẫn và không sao chép các công trình nghiên cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này! Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm
4. MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Bố cục của khóa luận 2 NỘI DUNG 4 CHƢƠNG 1: CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 4 1.1. Khái niệm về Tensor 4 1.1.1. Một số ký hiệu 4 1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ 8 1.2. Tensor Đề-các 9 1.2.1. Phép biến đổi tọa độ 9 1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. 11 1.3. Đại số Tensor 14 1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. 14 1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. 14 1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor. 14 1.3.2.2. Phép cuộn tensor. 15 1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor. 16 1.3.3. Phép hoán vị chỉ số. 16 1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor. 16 1.3.5. Gradien của một tensor. 17
5. 1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor. 18 1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic. 19 1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) 19 1.4.2. Tensor Levi – Civita. 21 1.4.2.1. Định nghĩa: 21 1.4.2.2. Tính chất: 22 1.4.2.3. Đồng nhất thức. 22 1.5. Giả tensor 23 1.5.1. Phép quay riêng và phép quay riêng ngược 23 1.5.2: Giả tensor 25 1.6. Tensor kép. 26 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 33 2.1. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng 33 2.2. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính 34 2.3. Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh thể 35 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
6. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tensor là khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi và đặc biệt là thuyết tương đối rộng Tensor lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro, những ngƣời tiếp tục các công trình sơ khởi của Bernhard Riemann và Elwin Bruno Christoffel cùng một số nhà toán học khác, trong một nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối. Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi, ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu là tƣơng đối phức tạp. Tensor cũng có ứng dụng hữu ích trong những lĩnh vực khác nhƣ cơ học môi trường liên tục. Đại số ngoài (exterior algebra) do Hermann Grassmann phát triển từ giữa thế kỷ XIX cũng là một lý thuyết tensor mang nhiều đặc tính hình học trong thời gian đầu, cho đến khi nó đƣợc nhận ra cùng với các dạng vi phân, đƣợc thống nhất về bản chất với phép tính tensor. Vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, vật lý sử dụng những công cụ toán học có sẵn đồng thời đặt ra những yêu cầu mới đối với toán học. Để tìm hiểu rõ hơn về vai trò của tensor Đề-các trong vật lý tôi đã quyết định chọn đề tài : Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu : “Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý” trên cơ sở đó tìm hiểu rõ hơn về Tensor Đề-các và các ứng dụng của nó trong vật lý. 1
7. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu về tensor Đề-các. - Phân loại tensor Đề-các. - Trình bày các phép tính của tensor Đề-các. - Ứng dụng của tensor Đề-các trong vật lý. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Tensor. - Phạm vi nghiên cứu: Tensor trong hệ tọa độ Đề-các. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách và tham khảo tài liệu, - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp, - Trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Bố cục của khóa luận PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng : Cách phân loại và các ph p iến đ i của tensor Đề-các 1.1: Khái niệm về tensor. - Một số kí hiệu. - Sự chuyển đổi cơ sở. 1.2: Tensor Đề-các. - Cách phân bậc của tensor Đề-các. 1.3: Đại số tensor. 1.4: Tensor Isotropic và Levi – Civita. 1.5: Giả tensor. 1.6: Tensor kép. Chƣơng 2: Ứng dụng vật lý của Tensor. 2.1: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng. 2
8. 2.2: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính. 2.3: Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh thể. PHẦN III. KẾT LUẬN 3
9. NỘI DUNG CHƢƠNG : CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 1.1. Khái niệm về Tensor Tensor là đối tƣợng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính giữa các đại lƣợng vectơ, vô hƣớng, và các tensor với nhau. Những ví dụ cơ bản về liên hệ này bao gồm tích vô hƣớng, tích vector, và ánh xạ tuyến tính. Đại lƣợng vector và vô hƣớng theo định nghĩa cũng là tensor. Có nhiều cách biểu diễn tensor, nhƣ mảng giá trị số đa chiều. Bậc (hay hạng) của một tensor bằng số chiều của mảng cần để biểu diễn nó, hay tƣơng đƣơng với số chỉ số cần để đánh dấu các thành phần của mảng. Ví dụ, một ánh xạ tuyến tính biểu diễn dƣới dạng ma trận 2 chiều, mảng 2 chiều, do đó nó là tensor bậc (hạng) 2. Vector có thể coi là mảng một chiều và là tensor bậc (hạng) 1. Đại lƣợng vô hƣớng là các giá trị số và là tensor bậc (hạng) 0. 1.1.1. Một số ký hiệu Ta sẽ kí hiệu một đại lƣợng vật lý nào đó bằng một hoặc một tập kí tự (chữ La mã, chữ La tinh viết thƣờng hoặc in hay bằng bất kỳ một kí hiệu nào tùy ý, là tên của đại lƣợng vật lý nào đấy cần khảo sát, ví dụ a, A , Ab , , ) kèm theo các chỉ số dƣới hoặc trên hoặc hỗn hợp. Các chỉ số này có thể là số j jl tự nhiên, các chữ (Hy lạp hoặc Latinh), ví dụ Ai, A i , a ik , ABiak Đại lƣợng j vật lý Ai thì A là kí tự, tên của đại lƣợng vật lý; j là chỉ số trên; i là chỉ số dƣới. Sau này ngƣời ta gọi các đại lƣợng có kí hiệu nhƣ vậy là đại lƣợng tensor. Trong lý thuyết tổng quát về tensor cần phân biệt chỉ số trên và chỉ số dƣới. Các tensor trong tọa độ Đề-các thì các chỉ số trên và dƣới không có phân biệt gì, và ngƣời ta thƣờng viết một loại chỉ số, thƣờng là chỉ số dƣới và 4
10. các chỉ số thƣờng bằng chữ Latinh. Dƣới đây khi nói đến tensor, ta hiểu là tensor Đề-các nếu không có chú thích gì đặc biệt. Để sử dụng một cách thống nhất các đại lƣợng vật lý, ta có những quy ƣớc sau đây: Quy ƣớc 1: Nếu một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn, ví dụ Aij, aij b , ) với các chỉ số bằng chữ Latinh gặp một lần thì chỉ số ấy là các giá trị từ 1 đến 3 và nó có thể xuất hiện trên tử số hoặc mẫu số của một số hạng trong một biểu thức. Ví dụ: 1 - Đại lƣợng ai có 33 thành phần là a1,, a 2 a 3 2 - Đại lƣợng Aij có 39 thành phần là: a11,,,,,,,, a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a - Đại lƣợng i có 392 thành phần là: x j a  a  a  a  a  a  a  a  a 1,,,,,,,, 1 1 2 2 2 3 3 3 x1  x 2  x 3  x 1  x 2  x 3  x 1  x 2  x 3 3 - Đại lƣợng aijk có 3 27 thành phần. m 4 - Đại lƣợng aijk có 3 81 thành phần. Chỉ số lặp lại một lần trong một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) gọi là chỉ số tự do. Quy ƣớc 2: Chỉ số bằng chữ (Latinh) gặp hai lần trong một đại lƣợng hoặc trong một biểu thức đơn đƣợc lấy tổng từ 1 đến 3. 3 Ví dụ: aii  a ii a11 a 22 a 33 i 1 3 ai x i  a i x i a1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 i 1 5
11. Chỉ số lặp lại hai lần trong một đại lƣợng hoặc trong một biểu thức đơn gọi là chỉ số câm và có thể thay bằng bất kỳ một chữ nào khác mà kết quả đều nhƣ nhau. Lƣu ý: - Sẽ không bao giờ gặp trong đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) lại có quá hai chỉ số trùng nhau, chẳng hạn đại lƣợng aii b j c i là không có nghĩa (tất nhiên đại lƣợng a11 bn c 1 lại có nghĩa). - Hai quy ƣớc trên là quy ƣớc chỉ số Anh-xtanh, trong nhiều ứng dụng nó có thể mở rộng đến n tùy ý mà không nhất thiết chỉ đến 3, ví dụ ai có thể có đến n thành phần là a1, a 2 , a 3, an : n ai b i  a i b i a1 b 1 a 2 b 2 a n b n i 1 Quy ƣớc 3: Ký hiệu Krônecker: 1, ij ij 0,ij Nhƣ vậy đại lƣợng ij có 9 thành phần trong đó ba thành phần bằng 1 đó là 11  22  33 1; 6 thành phần còn lại đều bằng 0 đó là: 12  21  13  31  23  32 0 Lƣu ý, các đại lƣợng aai , ij đều gắn với một đại lƣợng vật lý nào đó mà các đại lƣợng vật lý lại đƣợc xác định trong một hệ tọa độ (Đề-các) xác định, nên để phù hợp với các kí hiệu trên đây, các trục tọa độ sẽ đƣợc đánh số từ 1 đến 3 tƣơng ứng với các trục x,, y z . Ta sẽ nói hệ trục tọa độ xi có các vectơ đơn vị ei tƣơng ứng với cách nói đã quen thuộc là hệ trục tƣơng ứng với các vectơ đơn vị i,, j k tức là: x1 x,, x 2  y x 3  z 6
12. e1 i,, e 2  j e 3  k Từ quy ƣớc 3 và các lƣu ý trên ta có các hệ quả sau: - Hệ quả 1: ij ji - Hệ quả 2: ii jj 3 - Hệ quả 3: ik.3  ik  ii  jj - Hệ quả 4: ij kj  ik aaij jk ik aij ij aii a jj a 11 a 22 a 33 - Hệ quả 5: ei. e j e i . e j cos e i . e j cos e i . e j ij Quy ƣớc 4: Kí hiệu Levi-Civita. ijk 1 khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1 2 3, ijk 1 khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1 2 3, ijk 0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau. Đại lƣợng  có 33 27 thành phần, có 3 thành phần bằng 1là ,,   ; ijk 123 231 312 3 thành phần bằng 1 là 132,,  213  321 và 21 thành phần còn lại đều bằng 0. Từ quy ƣớc trên với lƣu ý ở quy ƣớc 2, ta có các hệ quả sau: - Hệ quả 1: ijk  jik  k ij - Hệ quả 2: ijk.  ipq  jp  kq  jq  kp Từ đó ta có ngay: ijp.2  ij p  pq - Hệ quả 3: ijkk.6 ij - Hệ quả 4: ei e jij k e k 7
13. 1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ Vì tensor thể hiện mối quan hệ giữa các vector, tensor phải độc lập với bất kỳ sự lựa chọn hệ tọa độ nào. Khi chọn một cơ sở tọa độ hoặc hệ quy chiếu và áp dụng tensor vào, nó sẽ cho kết quả là một mảng đa chiều đƣợc tổ chức đại diện cho tensor đó trong cơ sở hay hệ quy chiếu đó. Một vector tùy ý a trong hệ tọa độ Đề-các đã cho với 3 thành phần ai trên các trục tọa độ xi . Ta có thể viết aa i (lƣu ý đây là cách viết mới, không nên hiểu một đại lƣợng vector tƣơng đƣơng với các đại lƣợng vô hƣớng). Cách viết này cũng có thể hiểu việc sắp xếp các thành phần của vector thành hàng hoặc cột là không quan trọng, sau này sẽ thấy rõ hơn việc nhân các đại lƣợng tensor là các phép nhân theo quy ƣớc (định nghĩa), việc mở rộng các phép tính này hoàn toàn phù hợp với phép tính vector đã quen biết khi xếp nó thành hàng hoặc thành cột theo kiểu ma trận. Giả sử có một tập hợp các vector cơ sở e1,, e 2 e 3 thuộc không gian ba chiều (vector). Trong cơ sở này, bằng cách sử dụng quy ƣớc lấy tổng, vector a đƣợc mô tả: a a1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 aii e Nếu có một cơ sở mới e1', e 2 ', e 3 ' liên quan với cơ sở cũ bởi biểu thức: ' eejj Sij (tổng trên i ) (1.1) Trong đó S là thành phần thứ của vector e ' đối với cơ sở e,, e e . ij j 1 2 3 ''''''  Trong cơ sở mới này, a a1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 (tổng trên ) '1 Nếu ký hiệu bởi ma trận S thì aajj (S )ij (tổng trên j ) Bằng quy ƣớc lấy tổng, có một tổng ẩn trên từ j 1 tới j 3 Trong trƣờng hợp đặc biệt, phép biến đổi là phép quay của trục tọa độ. Các ma trận biến đổi là trực giao và ta có: 8
14. ' T ai (S )ij a j S ji a j (tổng trên j ) Tuy nhiên, biến đổi vô hƣớng diễn ra khác nhau thì nó vẫn không thay đổi.  Các phép tính vector thƣờng gặp: (i) Phép cộng (trừ) các vector: a b  ai b i  a i b i e i (ii) Phép nhân vô hƣớng hai vector: ab aebei i k k abee i k i k ab i k ik ab i i (iii) Phép nhân có hƣớng hai vector: abaebe i i  k k abee i k i  k ab i k ikp e p  ikp abe i k p  ikp ab i k pqra p b q e r pqr a p b q . (iv) Tích hỗn hợp của 3 vector: abc  aeiipqrpqr bce  pqripqir abcee.  pqripq abc ir  pqrrpq abc 1.2. Tensor Đề-các 1.2.1. Phép biến đổi tọa độ Hình 1 9
15. Giả sử hai hệ tọa độ Đề-các trực giao có chung gốc tọa độ tùy ý '''' ' Ox1 x 2 x 3  Oxi và Ox1 x 2 x 3  Oxi (Hình 1). Vì hai hệ trục Oxi và Oxi đều trực giao có chung gốc nên có thể hệ trục này nhận đƣợc từ hệ trục kia bằng phép quay các trục quanh gốc tọa độ hoặc bằng phép chiếu gƣơng các trục đối với một mặt tọa độ nào đấy, hoặc có thể kết hợp cả hai cách. Gọi ei ' và ei là các vector đơn vị trên các trục tọa độ tƣơng ứng và cosin của góc ' giữa hai trục xi và xk kí hiệu là aik . Rõ ràng ta có: ''''' eeeei. k i . k cos ee i . k cos ee i . k cxx os i k a ik (1.2) Và có 9 đại lƣợng nhƣ vậy. Ta lập bảng: e1 e2 e3 ' a a a e1 11 12 13 ' e a21 a22 a23 2 ' a a a e3 31 32 33 Hoặc ma trận biến đổi hệ trục tọa độ: a11 a 12 a 13 A a a a a ik 21 22 23 (1.3) a31 a 32 a 33 Nhờ ma trận biến đổi này mà các vector đơn vị trên hệ trục tọa độ (tạm gọi là hệ trục tọa độ cũ) là ek có thể biểu diễn qua các vector đơn vị của hệ trục tọa độ mới và ngƣợc lại: ' ' ei a ik. e k ; ek a ik. e i (1.4) (lƣu ý đến quy ƣớc về chỉ số) 10
16. Nói cách khác, khi cho trƣớc một hệ trục tọa độ Đề-các (tƣơng ứng với cho tập các vector đơn vị hay hệ các vector cơ sở) và ma trận cosin chỉ phƣơng thì hệ vector cơ sở mới (tƣơng ứng với hệ trục tọa độ mới) là hoàn toàn xác định theo (1.4). Dễ dàng thấy rằng các hàng và các cột của ma trận A đều là những vector trực giao và trực chuẩn, nghĩa là các vector vuông góc với nhau có độ lớn (chuẩn) bằng đơn vị. Thật vậy: '' ei e k  ik a ip e p a kp e q a ip a kq pq a ip a kp (1.5) '' ei e k  ik a pi e p. a qk e q a pi a qk pq a pi a pk Ma trận gồm các hàng, các cột trực giao và trực chuẩn gọi là ma trận trực giao. Các ma trận trực giao thỏa mãn đẳng thức: AA 1 T 1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. Vector tùy ý x trên Hình 1 có thể biểu diễn qua các thành phần tƣơng ' ứng trong hệ tọa độ mới xi và trong hệ tọa độ cũ xk nhƣ sau: ''' x xi x i. e i (1.6) x xk x k. e k (1.7) ' Các vector đơn vị ei và ek lại có quan hệ thông qua (1.4). Từ (1.4) và (1.6) và (1.7) suy ra: ' ' xi a ik x k ; xk a ik x i (1.8) Đẳng thức (1.8) chứng tỏ rằng nếu biết trƣớc ma trận cosin chỉ phƣơng của hai hệ trục tọa độ và các thành phần của một vector nào đó trong một hệ trục đã cho thì các thành phần của nó trong hệ trục kia cũng hoàn toàn xác định. Quy luật này giống với quy luật biến đổi hệ trục tọa độ (1.4). Từ kết quả đó cho phép ta có một định nghĩa mới về vector nhƣ sau: 11
17. 1 Một hệ thống gồm 33 thành phần xk cho trong một hệ tọa độ Đề- các nào đó, khi hệ trục này thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần này cũng thay đổi theo quy luật ấy (quy luật (1.8)), chúng lập thành một tensor Đề-các bậc nhất. Lƣu ý rằng quy luật biến đổi của tensor bậc nhất tỉ lệ bậc nhất với các cosin chỉ phƣơng. Một vector là một tensor bậc nhất nhƣng không phải chỉ có vector mới là tensor bậc nhất mà bất kỳ một tập 3 thành phần nào khi hệ trục tọa độ thay đổi mà nó đƣợc xác định theo quy luật (1.8) đều là tensor bậc nhất. Một mặt phẳng có phƣơng trình tổng quát cho trong hệ trục Oxi là: ' ak x k a i x i 1, khi hệ trục thay đổi thành Oxi phƣơng trình của mặt '' phẳng này trong hệ trục tọa độ mới là: axii 1 ' ' Quan hệ giữa tọa độ xk và xi nhƣ đã biết là: xi a ik x k . Vậy thì: ''' ' ai x i a i a ik x k 1 a k x k hay ak a ik a i . Đây chính là quan hệ của biến đổi tensor bậc nhất (1.8). Vậy các hệ số của mặt phẳng ak cũng là một tensor bậc nhất. Tensor bậc nhất có một bất biến, đó là “độ dài” và “hƣớng” của nó '' đƣợc xác định bằng tích xxii trong hệ tọa độ cũ và xxii trong hệ tọa độ mới là không thay đổi (bằng nhau). Thật vậy, ta có: '' xxi i axax ip p iq q aaxx ip iq p q  pq xx p q xx i i Để dẫn đến các tensor bậc cao hơn (chẳng hạn bậc 2) ta xét tích của 2 vector đƣợc định nghĩa nhƣ sau: x y xik y (1.9) nghĩa là lấy tập hợp các tích có thể có đƣợc của từng thành phần của hai vector x và y . Ta có tất cả 9 tích nhƣ vậy. Kí hiệu: 12
18. aik x i y k (1.10) Ta thử xem các thành phần aik sẽ thay đổi nhƣ thế nào khi chuyển sang ' hệ trục tọa độ mới. Gọi aik là các thành phần của nó trong hệ trục mới và khi chuyển sang hệ trục mới, đẳng thức (1.10) trở thành: ''' aik x i y k (1.11) Do xyik, là thành phần của tensor bậc nhất nên sang hệ tọa độ mới phải tuân theo quy luật (1.8): ' aik axay ip p kq q aaxy ip kq p q aaa ip kq pq (1.12) Đẳng thức (1.12) chứng tỏ rằng việc chuyển đổi các thành phần apq trong hệ tọa độ cũ sang các thành phần trong tọa độ mới là có quy luật xác định dựa vào các thành phần của ma trận chuyển đổi A và tỷ lệ bậc hai với các thành phần cosin chỉ phƣơng này. Quy luật (1.12) dẫn đến định nghĩa tensor bậc hai nhƣ sau: 2 Một hệ thống gồm 39 thành phần aik cho trong một hệ trục tọa độ Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.12) chúng lập thành một tensor Đề-các bậc hai. Dễ dàng thấy rằng các hệ số của mặt bậc hai tổng quát aik x i x k 1, là một tensor bậc hai. Trên cơ sở nghiên cứu quy luật biến đổi của tensor bậc nhất và tensor bậc hai ta có thể mở rộng để định nghĩa một tensor Đề-các bậc N bất kỳ nhƣ sau: N Một hệ thống gồm 3 thành phần aikp cho trong một hệ trục tọa độ Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần này thay đổi theo quy luật: ' aikp a im a kn a ps a mns (1.13) 13
19. chúng lập thành một tensor Đề-các bậc N . Các thành phần của tensor trong hai hệ trục tỉ lệ bậc N với các cosin chỉ phƣơng. Trƣờng hợp đặc biệt, các vô hướng là tensor bậc không. 1.3. Đại số Tensor Đại số tensor nghiên cứu các phép tính đại số nhƣ: phép cộng, phép trừ, phép nhân (tích trong, tích ngoài và phép cuộn) tensor. 1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. Giả sử aijk và bijk là các thành phần của cùng một tensor. Các tensor Đề-các cùng bậc có thể cộng (hoặc trừ) các thành phần theo nguyên tắc sau: aijk b ij k c ij k (1.14) Tensor tổng này sẽ cùng bậc với các tensor thành phần. Cần lƣu ý rằng các chỉ số nhƣ nhau đƣợc sắp xếp theo một thứ tự nhất quán trong mỗi một phần tử. Phép nhân tất cả các thành phần của tensor với một vô hƣớng cho một tensor mới cùng bậc, chẳng hạn: bijkk a. a ij (1.15) 1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. 1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của hai tensor có bậc tùy ý là một tensor mới mà mỗi thành phần của nó đƣợc biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia. Bậc của tensor mới bằng tổng bậc của hai tensor thành phần. Chứng minh: Giả sử đối với hai tensor có bậc hai và bậc ba aik và bijk . Tích có thể của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia sẽ là abik pqr . Ta kí hiệu kết quả phép nhân này là cikpqr , nghĩa là: 14
20. c a b ikpqr ik pqr Bây giờ cần chứng minh cikpqr là một tensor bậc năm. Thật vậy, trong hệ tọa độ mới có: ''' cikpqr a ik b pqr Do giả thiết, aik và bpqr là hai tensor bậc hai và bậc ba nên ở hệ tọa độ mới, các thành phần này biến đổi theo quy luật của tensor, vậy: ' cikpqr aaaaaab im kn mn ps qh rj shj aaaaaab im kn ps qh rj mn shj aim a kn a ps a qh a rj c mnshj Theo định nghĩa đây là quy luật của tensor bậc năm. 1.3.2.2. Phép cuộn tensor. Phép cuộn tensor theo hai chỉ số là phép tính khi hai chỉ số trùng nhau và nhƣ vậy nó tuân theo quy tắc lấy tổng. Kết quả phép cuộn tensor đƣợc một tensor mới (tích chập) có bậc giảm hai đơn vị so với tensor ban đầu. Việc chứng minh kết quả của phép cuộn tensor là một tensor có bậc bé hơn tensor ban đầu hai đơn vị hoàn toàn tƣơng tự nhƣ cách chứng minh tích ngoài của hai tensor. Điều cần lƣu ý là để thực hiện phép cuộn tensor đòi hỏi tensor ban đầu phải có bậc ít nhất là hai và có thể cuộn nhiều lần. Ví dụ: Chỉ ra phép cuộn của một tensor bậc N tạo ra tensor bậc N 2 . Bài làm Giả sử Tij l m k là các thành phần của một tensor bậc N thì: ' TLLLLLTij l m k ip jq lr ms kn pq r s n Nthuaso Nếu lm thì: ' TLLLLLTij l l k ip jq lr ls kn pq r s n LLLTip jq  rs kn pq r s n 15
21. LLLTip jq kn pq r r n N 2 thuaso Thấy rằng Tij l l k là các thành phần (khác nhau) của một tensor Đề- các bậc N 2 1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor. Phép nhân trong là phép nhân ngoài và cuộn đồng thời của các tensor, các chỉ số trùng nhau phải có mặt trong mỗi nhân tử. Ví dụ phép nhân trong là Abijkj, Tamn nk còn Abiik j lại không phải là phép nhân trong vì chỉ số i trùng nhau chỉ nằm ở nhân tử Aiik . 1.3.3. Phép hoán vị chỉ số. Với tensor đã cho, hoán vị bất kì chỉ số nào đều nhận đƣợc tensor mới cùng bậc với tensor đã cho. Tensor mới và tensor cũ có các thành phần nhƣ nhau, không thay đổi nhƣng sắp xếp thứ tự các thành phần là khác nhau. 1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor. Ta thƣờng gặp trƣờng hợp sau đây trong phép tính tensor: Khi thực hiện phép tính tích các đại lƣợng một cách hình thức nhƣ các phép tính tensor mà biết chắc một thành phần là tensor và kết quả của phép tính ấy cũng là tensor. Vấn đề đặt ra là, thành phần còn lại trong phép tính ấy có phải là tensor không. Trƣớc hết ta chứng minh cho trƣờng hợp riêng và sau đó mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát. Giả thiết bcii, là hai tensor bậc 1 và có đẳng thức: ci a is b s (1.16) cần chứng minh ais là một tensor bậc hai. Chứng minh: 16
22. Do bi là tensor bậc nhất (vector), không mất tính tổng quát ta chọn hệ trục mới có một trục trùng với vector này, chẳng hạn trục đó là trục k , khi đó ' bk bằng độ dài  của vector: ' ' bk  và bk 0 khi sk Chuyển sang hệ tọa độ mới, đẳng thức (1.16) trở thành: ''' ci a is b s (1.17) ' Ở đây, s là chỉ số lấy tổng, khi s chạy đến k thì bk  , hai giá trị khác bằng không. Đẳng thức (1.17) trở thành: '' cai  ik (1.18) Theo giả thiết bcii, là tensor bậc nhất nên theo quy luật biến đổi tensor phải có: '' ci ip c p ip a pq b q ip a pq mq b m  ip kq a pq (1.19) So sánh (1.18) và (1.19) nhận đƣợc: ' aaik ip kq pq Đây là quy luật của tensor bậc hai và là điều phải chứng minh. Mở rộng cho các tensor bất kỳ thì trong một tích hình thức kiểu phép nhân trong hai tensor mà có một thành phần là tensor (bậc bất kỳ), kết quả của phép nhân là tensor thì thành phần kia cũng là tensor, bậc của tensor này bằng chỉ số của nó. 1.3.5. Gradien của một tensor. Đạo hàm riêng một lần theo một biến xk nào đó của tensor bậc bất kì nhận đƣợc tensor có bậc cao hơn tensor ban đầu một đơn vị. Ví dụ:  - Tensor bậc không: tensor bậc nhất:  i xi 17
23. ai - Tensor bậc nhất: ai tensor bậc hai:  aik, xk 2  ai - Tensor bậc hai: tensor bậc ba:  ai, kj xxkj 2 Tij  Tij - Tensor bậc ba:  Tij,k tensor bậc bốn:  aij ,km xk xxkm Lƣu ý: Chỉ số biến lấy đạo hàm không trùng với chỉ số của các thành phần tenxơ. 1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor. Xét phƣơng trình: ABCpq k m ij k n pq m ij n (1.20) Trong đó: 3 tensor ABC,, lần lƣợt là các tensor bậc M , N , MN 2; k độc lập trong A và B . Khi Bik và Cpi là tensor bậc 2 bất kì, ta xét phƣơng trình: ABC (1.21) pk ik pi ta có: ''' ABCpk ik pi (chuyển từ (1.21)) LLCpqij qj (khi C là một tensor) LLABpqij ql jl (từ (1.21)) ' LLALLBpqij ql mj nl mn (khi B là một tensor) ' LLABpq nl ql in (khi LLij mj  im ) Nếu k và n là chỉ số câm thì: '' ALLABpk pq kl ql ik 0 ' Bik là một tensor bất kì thì Bik cũng là một tensor bất kì nên: 18
24. ' ALLApk pq kl ql ' Apk đƣợc cho bởi công thức chung (1.12) vì thế Apk là thành phần của một tensor bậc 2, lúc này (1.21) đƣợc thay thế bằng: ABCpk ik pi (Định luật co chỉ số của tensor). Định luật này đƣợc sử dụng để kiểm tra một tập hợp các số lƣợng là một tensor một cách thuận tiện. Nó đƣợc áp dụng bằng cách quy ƣớc tập hợp các số lƣợng (có kí hiệu N ), với một tensor tùy ý bậc N và xác định kết quả là một vô hƣớng. 1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic. 1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) Một tensor mà các thành phần của nó có giá trị nhƣ nhau trong hệ tọa độ Đề-các đƣợc gọi là tensor đẳng hƣớng. Cụ thể là tensor đồng nhất thức bậc 2, ij và tensor hoán vị bậc 3, ijk . Chúng ta có thể phân loại tensor đẳng hƣớng thành bốn bậc nhƣ sau: Bậc 0: Tất cả các đại lƣợng vô hƣớng đều là tensor đẳng hƣớng, xét với một tensor T , trong hệ tọa độ Đề-các bất kì thì ta có thể viết ijk là: ' TTijkk ij Bậc 1: Không có vector không đẳng hƣớng bằng 0. Bậc 2: Tensor đẳng hƣớng bậc 2 chung nhất là ij . Bậc 3: Tensor đẳng hƣớng bậc 3 chung nhất là ijk . Bậc 4: Tensor đẳng hƣớng bậc 4 chung nhất là ij kl  ik  jk  il  jk Trong đó ,,,,    là các đại lƣợng vô hƣớng. 19
25. Ví dụ: Chứng minh nếu T là một tensor đẳng hƣớng bậc 2 thì T ij Chứng minh Xét một tensor bậc 2 T có thành phần Tij với các trục e1,, e 2 e 3. Giả sử T là đẳng hƣớng, trong phép quay vuông góc với 3 trục, đối với trục mới thì: ''' e1 e 2,, e 2 e 1 e 3 e 3 Ma trận của phép quay này là: 0 1 0 A 1 0 0 0 0 1 Sử dụng phép biến đổi của ma trận, ta thấy rằng: ''' TTT11 12 13 0 1 0 TTT 0 1 0 11 12 13 TTTTTT''' 1 0 0 1 0 0 21 22 23 21 22 23 ''' 0 0 1 TTT 0 0 1 TTT31 32 33 31 32 33 TTT22 21 23 TTT 12 11 13 TTT32 31 33 ' vì T là đẳng hƣớng, TTij ij , do đó: TT11 22 TTT13 23 13 sao cho TT13 23 0 TTT31 32 31 sao cho TT31 32 0 Tƣơng tự xét trong phép quay vuông góc với 2 trục, ta thấy rằng TT11 33 và TT12 32 0, TT21 23 0. Do đó phần tử ngoài đƣờng chéo của T là số 0 và tất cả các phần tử đƣờng chéo bằng  . Nên: 20
26.  00 T 00 hay . TT  ij 00 1.4.2. Tensor Levi – Civita. 1.4.2.1. Định nghĩa: Kí hiệu Levi – Civita ijk là một tensor bậc 3 và đƣợc định nghĩa bằng: ijk 1 khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3 ijk 1 khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 ijk 0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau. Ký hiệu Levi – Civita ijk là hệ thống phản đối xứng trên mỗi cặp của chỉ số và ijk là thành phần của một tensor Đề-các bậc ba hay tensor phản xứng hoàn toàn. Sử dụng kí hiệu Levi-Civita chúng ta có thể viết đƣợc biểu thức của một ma trận A(3 3) : AAAAlmn li mj nkij k (1.22) (tƣơng đƣơng với khai triển Laplace) Định thức của ma trận A với các phần tử aij có thể đƣợc viết trong điều kiện của ijk nhƣ: a a a 11 12 13 3 3 3 det a21 a 22 a 23  ijk a 1 i a 2 j a 3 k ij k a 1 i a 2 j a 3 k a a a i 1 j 1 k 1 31 32 33 Chú ý, kí hiệu Levi – civita có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng định thức, hay là tích hỗn tạp của 3 vector đơn vị bất kì e1,, e 2 e 3 : ijk det(e i , e j , e k ) e i . e j e k 21
27. Bây giờ, ta có thể định nghĩa tƣơng tự nhƣ định nghĩa của định thức của 1 tích: e1 e 2 e 3 a b det a1 a 2 a 3  ijk e i a j b k b1 b 2 b 3 Hay đối với mỗi tọa độ: a b a b i ijk j k 1.4.2.2. Tính chất: Tensor Levi – Civita ijk có 3 3 3 27 thành phần, trong đó có: - 3 (6 1) 21 thành phần bằng 0 , - 3 thành phần bằng 1, - 3 thành phần bằng -1. 1.4.2.3. Đồng nhất thức. Tích của 2 Tensor Levi – Civita có thể biểu thị nhƣ hàm của Kronecker ij : ijk lmn  il jm kn  im jn kl  in jl km im  jl  kn  il  jn  km  in  jm  kl Đặt il thì: ijk  imn  jm  kn  jn  km Chứng minh: ijk imn  ii jm kn  jn km  im jn ki  in ji km  im ji kn  in jm ki 3 jm kn  jn km  km jn  jn km  jm kn  kn jm jm  kn  jn  km Ngoài là một kí hiệu cho định thức của một ma trận, ijk còn đƣợc sử dụng để viết các biểu thức quen thuộc của đại số vector. Và hệ thức quan trọng giữa tensor  và  đƣợc đƣa ra bởi đồng nhất thức: 22
28. ijk  imn  jm  kn  jn  km (1.23) Đặt i l, j m thì: ijk  ij n 2  kn Đặt i l,, j m k n thì: ijkk ij 6 (1.24) Do đó: a b c b a c c a b Chứng minh: d a b c dm  mni a n ij k b j c k imnij ka n b j c k mj  nk  mk  nj a n b j c k bm a k c k c m a j b j b a c c a b mm Theo cùng một cách:   aa    i ijk j kmn m n kij kmn  j  ma n j  iaa j  j  j i  .aa 2 i 1.5. Giả tensor 1.5.1. Phép quay riêng và phép quay riêng ngược Xét phép quay của các trục tọa độ đƣợc mô tả bởi một ma trận trực giao A với A 1. Phép quay nhƣ vậy đƣợc gọi là phép quay riêng. 23
29. Bây giờ chúng ta mở rộng nghiên cứu phép biến đổi vẫn đƣợc mô tả bởi ma trận trực giao A nhƣng với A 1 và nó đƣợc gọi là phép quay riêng ngược. Phép quay này có thể đƣợc coi là một phép nghịch đảo của trục tọa độ qua gốc, đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình: ' xxii kết hợp với một phép quay riêng. Ví dụ rõ ràng nhất là phép biến đổi với A 1 là ma trận tƣơng ứng với chính nó, trong trƣờng hợp này: Aij  ij Bất kì một vector vật lý thực v nào cũng có thể coi là một đối tƣợng hình học (tức là một mũi tên trong không gian), không phụ thuộc vào bất kì hệ tọa độ nào, nó có hƣớng và độ lớn không thay đổi trong các hệ tọa độ khác nhau. Vì vậy, các thành phần của v biến đổi nhƣ: ' - vij Aij v dƣới phép quay riêng. ' - vij Aij v dƣới phép quay riêng ngƣợc. Trong trƣờng hợp này, vi không hoàn toàn là thành phần của một tensor Đề-các bậc nhất nhƣng thay vào đó là thành phần của một giả tensor Đề-các bậc nhất hay giả vector. 24
30. 1.5.2: Giả tensor Hình 2 Hình 2 biểu diễn một vector v và một giả vector p dƣới một phản xạ ''' qua gốc của trục tọa độ x1,, x 2 x 3 qua trục tọa độ mới x1,, x 2 x 3 . Điều quan trọng là một giả vector không phải là một đối tƣợng hình học theo nghĩa thông thƣờng, đặc biệt nó không nên đƣợc gọi là một vector vật lý thực vì hƣớng đi của nó bị đảo ngƣợc của trục tọa độ. Vì thế mà giả vector p đƣợc biểu diễn bằng nét đứt để chỉ ra rằng nó không phải là một vector vật lý thực. Tƣơng ứng với vector và giả vector, các đối tƣợng bậc 0 có thể đƣợc chia thành vô hƣớng và giả vô hƣớng. Có thể mở rộng khái niệm vô hƣớng và giả vô hƣớng, vector và giả vector để đối tƣợng có ít nhất là 2 chỉ số. Đối với 2 chỉ số, bất kì đối tƣợng biến đổi nhƣ: ' TAAAij ik jl kl dƣới mọi phép quay (riêng và riêng ngƣợc) đƣợc gọi là tensor Đề-các bậc 2. ' Nếu: TAAAij ik jl kl dƣới mọi phép quay riêng, ' TAAAij ik jl kl dƣới mọi phép quay riêng ngƣợc, 25
31. thì Tij là thành phần của một giả tensor Đề-các bậc 2. Nhìn chung, các thành phần của giả tensor Đề-các thay đổi tùy ý khi: ' TAAAAij k ij jm A kn lm n với A là định thức của ma trận biến đổi. Ví dụ từ (1.22), ta có: AAAAijk il jm kn lmn Nhƣng khi A 1, ta có thể viết: ijk AAAA il jm kn lmn Từ ví dụ trên, ta thấy rằng, mặc dù ijk nhƣ là một tensor dƣới phép quay riêng, nhƣ đã tìm hiểu thì nó đƣợc coi là một giả tensor Đề-các bậc 3. Ví dụ: Nếu bj và ck là thành phần của các vector thì số lƣợng ai ij k b j c k tạo nên các thành phần của một giả vector? Chứng minh: Trong một hệ tọa độ mới ta có: '''' ai ij k b j c k A Ail A jm A kn lmn A jp b p A kq c q A Ail lmn  mp  nq b p c q A Ail lmn b m c n A Ail a l Vậy số lƣợng ai tạo ra thành phần của một giả vector. 1.6. Tensor k p. Xét các giả tensorijk liên kết với mỗi phản đối xứng của tensor bậc hai (3 chiều), một giả vector p đƣợc cho bởi: Aij i 26
32. 1 pA  (1.25) i2 ij k jk Nếu gọi tensor phản đối xứng A bằng các ma trận: 0 AA12 31 AAAA 0 ij 12 23 AA31 23 0 thì các thành phần của giả vector kép của nó là p1,,,, p 2 p 3 A 23 A 31 A 12 Ví dụ: Từ (1.25), hãy chứng minh rằng: Apij  ijkk. Chứng minh: Nhân 2 vế của (1.25) với ijk , ta đƣợc: 1 .pA   ijk i2 ij k klm lm Sử dụng đồng nhất thức (1.23) ta đƣợc: 1 ijkkpA  iljm   imjl  lm 2 1 AAij ji 2 1 AAij ij 2 Aij Bằng phép mở rộng đơn giản, kết hợp 2 giả vô hƣớng s với mỗi tensor bậc 3 Aijk phản đối xứng: 1 sA  (1.26) 3! ijkk ij Aijk là một phản đối xứng hoàn toàn của 3 chỉ số dƣới và nó bằng bội số nào đó của ijk . 27
33. Thực thế: Asijkk . ij , có thể chứng minh bằng cách thay thế biểu thức này vào (1.26) và sử dụng (1.24). 28
34. CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 2.1. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng Xét tập hợp các hạt liên kết chặt chẽ với nhau với vận tốc góc  , trong đó hạt thứ có khối lƣợng m và đƣợc đặt ở vị trí r đối với gốc tọa độ O . Mômen động lƣợng J xung quanh O đƣợc cho bởi: J  r . p Mà p m . r và rr  ( bất kỳ). Nên các thành phần của mômen động lƣợng đƣợc cho bởi: Jik  m ij xj xk m ijk xjm  klm  l x m il  jm  im  jl xjm x  l 2 m r x x   I  (2.1)  ilil l il l Ví dụ: Vận tốc một điểm nào đó thuộc vật rắn quay quanh một điểm cố định là vx  , ở đây  là vector vận tốc góc. Hãy tính mômen động lƣợng của vật rắn đối với điểm quay này  ctons . Lời giải Mômen động lƣợng của vật rắn đối với điểm quay đƣợc tính theo công thức: J x  vdV ijk x i v j dV VV 33
35. Thay biểu thức của vận tốc vxq  lqj l q nhƣ đầu bài cho vào biểu thức trên nhận đƣợc: J Ji ij k x i  lqj  l x q dV  il  kq  iq  kl x i x q dV VV l x li x  ilqq x x dV  l  ilqq x x x li x dV VV Biểu thức của tích phân là tensor mômen quán tính Iil , vậy JIi il l . 2.2. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính Từ biểu thức (2.1) ta thấy Iil là một tensor đối xứng bậc hai. Tensor phân bố này đƣợc gọi là tensor quán tính tại O của hệ, nó phụ thuộc vào sự phân bố của nó trong hệ và không phụ thuộc vào hƣớng hay độ lớn của  . Cụ thể, ta xét một vật rắn đƣợc liên kết chặt chẽ, có khối lƣợng ( ) , lúc này phép lấy tổng đƣợc thay thế bằng phép lấy tích phân theo khối lƣợng của vật. Trong hệ tọa độ Đề-các, các tensor quán tính đối với một hệ liên tục sẽ có dạng: y22 z dV xy dV xz dV I I xy dV z22 x dV yz dV ij xz dV yz dV x22 y dV Trong đó: x,, y z là sự phân bố khối lƣợng, dV dxdydz . Các phần tử đƣờng chéo của tensor này đƣợc gọi là mômen quán tính và phần tử ngoài đƣờng chéo không có dấu trừ đƣợc gọi là tích quán tính. Ví dụ: Chứng minh rằng động năng của hệ quay đƣợc cho bởi: Chứng minh Ta có động năng: 34
36. ∑ ( ̇ ̇ ) ∑ ∑ ( ) ∑ [ ( ) ] Ngoài ra, khi , ta có thể viết động năng của các hệ tọa độ quay là: Nhận xét: Ví dụ trên cho thấy động năng của cơ hệ quay là một vô hƣớng thu đƣợc bằng hai lần rút gọn  với tensor quán tính. Nó cũng cho thấy mômen quán tính của cơ hệ theo một chiều đƣợc cho bởi vector đơn vị n là: Iil n j n l Khi II  jl là một tensor đối xứng bậc hai, nó liên kết với ba hƣớng vuông góc với nhau, đó là ba trục chính và có các tính chất sau: - Tính chất 1: Với mỗi trục chính liên kết với một mômen quán tính  ,  1,2,3. - Tính chất 2: Khi cơ hệ quay quanh một trục, vận tốc góc và mômen động lƣợng song song và đƣợc cho bởi: JI    ,  là một vector đặc trƣng của I và có giá trị riêng là . - Tính chất 3: Coi các trục này nhƣ các trục tọa độ, các tensor quán tính là các phần tử đƣờng chéo 1,,  2  3 . 2.3. Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh thể Ta xét 2 ví dụ của vật lý đƣợc biểu diễn bởi tensor bậc 2 đó là độ cảm từ và khả năng dẫn điện. Trong trƣờng hợp thứ nhất ta có: 35
37. MHij ij (2.2) Và trong trƣờng hợp thứ hai, ta có: jEij ij (2.3) Trong đó: M là mômen từ trên mỗi đơn vị thể tích j là mật độ dòng điện (dòng điện trên mỗi đơn vị diện tích). Trong cả hai trƣờng hợp, ta có ở phía bên trái một vector và trên sự thu hẹp của một tập hợp các số lƣợng bên phải với các vector khác. Do đó mỗi bộ số lƣợng phải hình thành các thành phần của một tensor bậc hai. Trong môi trƣờng đẳng hƣớng, MH và jE nhƣng đối với môi trƣờng dị hƣớng nhƣ độ cảm từ và độ dẫn điện của tinh thể có thể khác nhau theo các trục tinh thể khác nhau, làm cho ij và ij cùng là tensor bậc hai, mặc dù chúng thƣờng đối xứng. Ví dụ 1: Độ điện dẫn  trong một tinh thể với các thành phần đƣợc cho bởi: 1 2 0 ij 2 3 1 (2.4) 0 1 1 Hãy cho thấy một hƣớng dọc theo tinh thể có thể không có dòng điện và dọc theo hai hƣớng vuông góc có dòng điện không bằng nhau. Chứng minh Mật độ dòng điện trong tinh thể đƣợc tính bằng: jEij ij với ij đƣợc cho bởi (2.4). Khi ij là ma trận đối xứng, nó có 3 vector đặc trƣng cùng vuông góc với nhau và tensor dẫn là đƣờng chéo với các phần tử đƣờng chéo 1,,  2  3 là các giá trị riêng của . 36
38. Giá trị riêng của ij đƣợc cho bởi:  I 0 Nhƣ vậy, ta phải có: 1  2 0 2 3  1 0 0 1 1  Từ đó ta tìm đƣợc: 1  3  1  1 2 1  0 Để đơn giản hơn, cho  0,1,4 sao cho đối với mỗi trục chính của nó, ' các tensor dẫn có các thành phần  ij đƣợc cho bởi: 400  ' 0 1 0 ij 0 0 0 ''' Khi jEij  ij , ta thấy rằng cùng một trục chính thì không có dòng điện và dọc theo hai hƣớng vuông góc thì dòng điện không bằng nhau. Ví dụ 2: Một tinh thể có độ điện dẫn  với các thành phần đƣợc cho bởi: 1 3 1  ij 0 2 1 0 3 0 Chứng minh rằng dọc theo ba hƣớng vuông góc của tinh thể có dòng điện không bằng nhau. Chứng minh Mật độ dòng điện trong tinh thể đƣợc tính bằng: jEij ij 37
39. Ma trận ij có 3 vector đặc trƣng cùng vuông góc với nhau và tensor dẫn là đƣờng chéo với các phần tử đƣờng chéo 1,,  2  3 là các giá trị riêng của . Giá trị riêng của đƣợc cho bởi:  I 0 Với I là ma trận đơn vị cấp 3. Nhƣ vậy ta phải có: 1  3 1 0 2  1 0 03  Từ đó ta tìm đƣợc: 1  2   3 1  0 Giải phƣơng trình trên ta tìm đƣợc 3 nghiệm: 1 3,  2 1,  3 1 ' Nhƣ vậy, tensor dẫn có các thành phần  ij đƣợc cho bởi: 3 0 0  ' 0 1 0 ij 0 0 1 ''' Khi jEij  ij , ta thấy rằng cùng một trục chính thì dọc theo ba hƣớng vuông góc của tinh thể có dòng điện không bằng nhau. Chúng ta có thể mở rộng khái niệm của một tensor bậc hai thông qua mối liên hệ giữa hai tensor bậc hai với một tensor bậc bốn và ta xét trong lý thuyết đàn hồi tại điểm P bất kỳ ở trong đó có thể đƣợc mô tả bằng một tensor bậc hai đối xứng eij gọi là tensor biến dạng và nó đƣợc cho bởi: 1 u u e i j ij 2 xxji 38
40. ở đây, u là vector dịch chuyển mô tả sự thay đổi của một phần tử thể tích nhỏ có vị trí không liên kết với gốc là x . Tƣơng tự, chúng ta có thể mô tả ứng suất của cơ hệ tại P bằng tensor đối xứng bậc hai đó là tensor ứng suất pij . Số lƣợng là x j -thành phần của vector ứng suất qua mặt phẳng ngang P trực giao theo hƣớng xi . Một khái quát của định luật Húc có liên quan đến tensor ứng suất và biến dạng bởi: pij c ijkl e kl (2.5) trong đó: cijkl là một tensor Đề-các bậc bốn. Ví dụ 3: Giả sử có tensor bậc bốn: c       (2.6) ijkl ij kl ik jl il jk Tìm dạng của (2.5) cho môi trƣờng đẳng hƣớng có môđun E và hệ số Poisson. Bài làm Đối với môi trƣờng đẳng hƣớng, ta phải có một tensor đẳng hƣớng và ta giả thiết dạng của tensor bậc bốn: Thay vào (2.5) ta đƣợc: pij  ij ekk  e ij  e ji Nhƣng eij là đối xứng và nếu ta viết  2  thì: pij  ekk  ij2  e ij Trong đó:  và  là hằng số Lame. Nếu eij 0 khi ij thì các trục chính của tensor ứng suất và biến dạng trùng nhau. 39
41. Xét một ứng suất đơn giản theo hƣớng x1 , tức là pS11 , nhƣng tất cả pij 0 , thì ta có ekk (tổng trên k ) bằng  . Trong phép cộng eij 0 ij có 3 phƣơng trình: Se 2,  11 0  2 e 22 , 0  2 e33 . Cộng vào cho: S  32   Môđun E đƣợc định nghĩa bởi S Ee11 với:  32   E (2.7)  Ngoài ra hệ số Poisson đƣợc định nghĩa là: e e  22 (hoặc 33 ) e11 e11 Do đó: 11  Ee11   (2.8) ee11 2 11 2  3  2  2   Giải (2.7) và (2.8) tìm  và  , cuối cùng ta có:  EE p e e ij1  1 2 kk ij 1  ij 40
42. KẾT LUẬN Đề tài này không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa cả về mặt thực tiễn. Nó cung cấp một phần lý thuyết về tensor Đề-các đó là: cách phân bậc tensor Đề-các, đại số tensor, các loại tensor Qua đó, chúng ta có những ứng dụng của tensor vào trong vật lý để xác định mômen động lƣợng, mômen quán tính và độ điện dẫn của mạng tinh thể. Tuy nhiên do thời gian không có hạn và do trình độ của tôi còn hạn chế nên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy, các cô cùng các bạn sinh viên để đề tài này ngày càng hoàn thiện. 43
43. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1, Cambridge University Press 1988. [2] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 2, Cambridge University Press 1988. [3] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006. [4] Cơ học môi trƣờng liên tục, Học viện Kỹ thuật Quân sự PGS-TS Phan Nguyên Di, NXB Quân đội Nhân dân Hà Nội 2001. 44