Khóa luận Nhiệt dung Cv của phonon âm

Nội dung text: Khóa luận Nhiệt dung Cv của phonon âm

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== ĐỖ THỊ KIM VUI NHIỆT DUNG CV C ỦA PHONON ÂM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== ĐỖ THỊ KIM VUI NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khóa luận: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan ThS Đỗ Thị Thu Thủy HÀ NỘI, 2018
3. LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian theo học tại trường và đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hà Loan và cô Đỗ Thị Thu Thủy người trực tiếp hướng dẫn em đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng do lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Kim Vui
4. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thị Hà Loan và cô Đỗ Thị Thu Thủy khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và trích dẫn rõ ràng. Em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về lời cam đoan này. Hà Nội, tháng 4 năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Kim Vui
5. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 4. Đối tượng nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 PHẦN II: NỘI DUNG 3 Chương 1: Những khái niệm cơ bản 3 1.1. Hàm phân bố 3 1.2. Nội năng 6 1.3. Nhiệt dung 8 Chương 2: Phonon âm 12 2.1. Phonon âm 12 2.2. Phonon âm và phonon quang (mạng hai chiều) 20 Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm 25 3.1. Nhiệt dung của phonon âm 25 3.1 Nhiệt dung của vật rắn 28 PHẦN III: KẾT LUẬN 40 PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
6. PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử, Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể và năng lượng của dao động mạng bị lượng tử hóa. Lượng tử năng lượng này được gọi là phonon. Phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt hay còn được gọi là các chuẩn hạt. Việc nghiên cứu về tính chất vật lý của phonon đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu những tính chất vật lý của các chất rắn, em thấy mình bị lôi cuốn và muốn tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về trạng thái dao động của các giả hạt. Chính vì những lý do trên, em quyết định chọn tên đề tài là: “ Nhiệt dung CV của phonon âm” để nghiên cứu và tìm hiểu sâu rộng hơn về vấn đề này. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phonon âm và tính nhiệt dung của phonon âm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
7. Nghiên cứu dao động tử điều hòa Nghiên cứu nhiệt dung của hệ hạt lượng tử Tính nhiệt dung của phonon âm 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hệ nhiều hạt và tính nhiệt dung đẳng tích của chúng 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê Phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học 6. Cấu trúc khóa luận Đề tài “Nhiệt dung CV của phonon âm” có kết cấu gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo. Phần nội dung được chia làm 3 chương:  Chương 1: Những khái niệm cơ bản  Chương 2: Phonon âm  Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm 2
8. PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm cơ bản 1.1. Hàm phân bố Những đại lượng ngẫu nhiên có một tập hợp vô hạn các trị số khác nhau vô cùng gần nhau (phổ liên tục) thì xác suất của một biến cố riêng biệt trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số nào đó thật chính xác sẽ bằng không. Vì vậy sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có các trị số phân bố trong một khoảng ∆x nào đó từ x cho đến x + ∆x. Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x được kí hiệu là ∆W(x). Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì xác suất sẽ là dW(x) sao cho đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ: phụ thuộc vào trị số x đó hay nó là một hàm f(x) nào đó; tỉ lệ với chiều rộng của khoảng dx. Vì vậy ta có thể viết xác suất dW(x) như sau: dW(x) = f(x)dx Tập hợp tất cả các trị số của sác xuất của một đại lượng ngẫu nhiên đã cho sẽ tạo nên phân bố của đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác định bởi hàm f(x). Hàm f(x) được gọi là hàm phân bố và được biểu thị bằng một công thức xác định: () () = Một trong các nhiệm vụ cơ bản của vật lí thống kê là tìm các hàm phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên. Ta nêu lên một số hàm phân bố đó: 1.1.1. Phân bố chính tắc Gisbbs: Khi khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi. Tại mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là: 3
9. (1.1.1) (, ) (, ) = − () Trong đó Z: tích phân trạng thái X: biến số trạng thái H: năng lượng của hạt : môđun của phân bố a: thông số ngoài 1.1.2. Phân bố chính tắc lớn Gisbbs: Trong vật lí học ta còn gặp những hệ trong đó không những năng lượng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ cũng có thể thay đổi, đó là hệ có số hạt thay đổi. Ở mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nhưng ở thời điểm sau, số hạt trong hệ sẽ thay đổi (tăng hoặc giảm) nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là: (1.1.2) 1 = . − ! () Trong đó k: hằng số Boltzmann T: nhiệt độ tuyệt đối : thế hóa học của hạt N: số hạt của hệ 1.1.3. Phân bố Maxwell – Boltzmann Áp dụng với hệ các hạt không tương tác, trong hệ đó các hạt được coi là khác nhau và năng lượng có thể có phổ liên tục cũng như rời rạc . Khi ta chia không gian pha ra làm các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét các sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm được xác suất nhiệt động của hệ, sau đó dựa vào nguyên lý Bônxơman tìm được entropi của hệ và 4
10. dựa vào điều kiện cực đại của entropi khi có cân bằng nhiệt động ta tìm được phân bố thống kế của hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là: − (1.1.3) = ( ) Trong đó: : năng lượng của hạt thứ i (): bội suy biến của mức 5
11. 1.2. Nội năng Nội năng của một vật gồm toàn bộ các dạng năng lượng bên trong của vật. Nội năng bao gồm: 1. Năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử 2. Thế năng tương tác giữa các phân tử 3. Thế năng tương tác giữa các nguyên tử trong từng phân tử 4. Động năng và thế năng tương tác của các hạt cấu tạo nên nguyên tử (hạt nhân và electron) Hai dạng năng lượng cuối (3 & 4) gọi chung là năng lượng bên trong các phân tử. Xét với 1 kmol vật chất thì ta có biểu thức: = + + (1.2.1) U0 – Nội năng của 1 kmol E0 – Nhiệt năng của 1 kmol Et – Tổng thế năng tương tác giữa các phân tử Ep – Tổng năng lượng nội phân tử Dưới đây ta sẽ đưa ra một cách định nghĩa nội năng thông qua phân bố Gibbs. Hàm trạng thái được xác định bởi hệ thức: = − được gọi là năng lượng tự do của hệ. Vì các mức năng lượng của hệ phụ thuộc số hạt N của hệ và phụ thuộc các tham số ngoại x cho nên tổng thống kê Z là hàm của T, x và N. Từ đó ta thấy năng lượng tự do là hàm của T, x và N: = (, , ) 6
12. Năng lượng tự do F và năng lượng trung bình (nội năng) U của hệ có liên hệ với nhau.Theo định nghĩa trung bình thống kê, ta có: = () [] Sử dụng phân bố Gibbs, ta có: 1 = = [] [] = = ln Như vậy , nội năng U theo phân bố Gibbs được xác định bằng: (1.2.2) = ln trong đó: k: hằng số Boltzmann T: nhiệt độ tuyệt đối Z: tích phân trạng thái 7
13. 1.3. Nhiệt dung 1.3.1. Khái niệm nhiệt dung Nhiệt dung là một trong những đại lượng cơ bản của nhiệt học, muốn tìm hiểu được nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niệm cơ bản của nhiệt động lực học như nhiệt độ, nhiệt lượng, nội năng. Vật lý phân tử và nhiệt học đã xem xét khái niệm nhiệt độ như sau: Khi để hai vật tiếp xúc với nhau thì các phân tử của hai vật do chuyển động hỗn loạn sẽ va chạm vào nhau và do đó có sự trao đổi năng lượng. Vật mà động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử trong vật lớn hơn sẽ bị mất năng lượng. Vật đó là vật nóng hơn. Vật mà động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử trong vật nhỏ hơn thì sẽ nhận thêm động năng Vật đó là vật lạnh hơn. Để đặc trưng cho độ nóng lạnh của vật người ta sử dụng khái niệm nhiệt độ. Như vậy, theo quan điểm động lực học phân tử: Nhiệt độ là đại lượng đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của chuyển động hỗn loạn các phân tử cấu tạo nên vật đó. Một sự thay đổi về nhiệt độ là do có sự truyền năng lượng giữa hệ và môi trường, năng lượng này là nội năng (hay nhiệt năng). Một phần nội năng truyền dưới dạng nhiệt lượng và ký hiệu là Q. Nhiệt lượng dương (Q>0) khi nội năng được truyền từ môi trường xung quanh sang hệ, nhiệt lượng âm khi môi trường nội năng được truyền từ hệ sang môi trường xung quanh. Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lượng ta có khái niệm về nhiệt dung như sau: Nhiệt dung được đo bằng lượng nhiệt cần thiết để đốt nóng hệ lên 10 nghĩa là (1.3.1) = 8
14. Về đơn vị: Nhiệt dung đo bằng Calo hoặc Jun (1J = 0,24 cal). Nhiệt độ đo bằng Kelvin (K). Do đó đơn vị của nhiệt dung là J/K hoặc cal/K. Khi hai vật làm cùng một chất liệu ta sẽ có nhiệt dung tỉ lệ với khối lượng của chúng. Ta định nghĩa: Nhiệt dung riêng (c) của một chất bất kỳ là một đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất đó để làm tăng nhiệt độ thêm 10. Ta có: = ∆ (1.3.2) Đơn vị của nhiệt dung riêng: J/Kg.K hay cal/Kg.K Nhiệt dung phân tử gam (nhiệt dung mol). Trong nhiều trường hợp, các đại lượng vật chất tính ra mol, do đó nhiệt dung cũng phải tính theo mol gọi là nhiệt dung mol. 1 mol = 6,023.1023 đơn vị cơ bản của lượng chất. Đơn vị của nhiệt dung mol: J/mol.K. Chú ý rằng nhiệt dung mol của tất cả các chất rắn thay đổi khi nhiệt độ thay đổi. Khi nhiệt độ đủ cao nó tiến gần tới 25 J/mol.K. Như vậy, nhiệt dung phân tử gam của một chất bất kì là một đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một mol chất ấy để làm tăng nhiệt độ thêm 10C, nghĩa là: (1.3.3) = 1.3.2. Nhiệt dung đẳng tích Khi ta gắn nhiệt dung cho một chất nào đó, ta không chỉ cần biết có bao nhiêu nhiệt đã được hấp thụ mà còn cần biết trong điều kiện nào đã xảy ra sự 9
15. truyền nhiệt. Với chất lỏng và chất rắn người ta giả định rằng vật chất trao đổi nhiệt khi thể tích không đổi. Theo thực nghiệm người ta thấy với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt dung riêng khi thể tích không đổi thường khác nhau không quá một vài phần trăm. Mật độ ở trong một thể tích phụ thuộc vào nồng độ khí cho nên đối với các thể tích không đổi thì nhiệt dung phụ thuộc vào thể tích này. Với các chất khí khác nhau, với cùng mật độ trong thể tích khác nhau thì nhiệt dung rất là khác nhau. 1.3.3. Biểu thức tính nhiệt dung đẳng tích Theo (1.3.3), nhiệt dung đẳng tích (Cv) được tính theo biểu thức dưới đây: (1.3.4) = Theo nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học: Nội năng là hàm đơn giá của trạng thái, ta có: = + (1.3.5) Khi thể tích không đổi thì = = 0 Từ (1.3.5) ta có: = Do đó: (1.3.6) = 10
16. Kết luận: Ở chương 1, em đã tìm hiểu và trình bày được các khái niệm cơ bản như là hàm phân bố, nội năng, nhiệt dung. Các khái niệm này dùng đối với hệ có số hạt rất lớn tuân theo quy luật thống kê: + Đối với hệ hạt mà có số hạt thay đổi thì sẽ tồn tại thế hóa học + Đối với hệ hạt mà có số hạt cố định thì thế hóa học = 0 11
17. Chương 2: Phonon âm 2.1. Phonon âm a/ Lý thuyết cổ điển Mạng tinh thể đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó (hình vẽ). Hình 1: Chuỗi nguyên tử cùng loại Đánh số các nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng là xn = Còn dịch chuyển của nguyên tử này là un(t) với () = (, ) Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kế nhau, ở các nút thứ n và n+1, tỉ lệ với bình phương độ dời tương đối. () − () Và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau Khi đó thế năng toàn phần của hệ là = [ () − ()] 2 12
18. Với là hệ số tỉ lệ, còn động năng toàn phần của hệ là () = 2 Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là = − = −(2 − − ) Từ định luật thứ hai của Newton () = Ta suy ra phương trình chuyển động sau (2.1.1) + (2 − − ) = 0 Tìm nghiệm của (2.1.1) dưới dạng sóng đơn sắc [()] () = (, ) = (2.1.2) Với A ≠ 0. Thay (2.1.2) vào (2.1.1), ta nhận được hệ thức 2 4 () = (1 − cos ) = sin 2 Hay (2.1.3) () = 2 sin 2 Ta thấy rằng tần số góc của dao động phụ thuộc vào vecto sóng k theo công thức (2.1.3) trong đó a là hằng số mạng. Đối với mạng tinh thể thì hằng số mạng a và khối lượng M là không đổi. Như vậy tần số góc là một hàm của vecto k theo hàm sin. Ta có thể vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tần số góc vào vecto sóng k như sau: 13
19. Hình 2: Sự phụ thuộc vào vecto sóng k của tần số của dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại. Vậy dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc (2.1.2) với tần số góc () xác định theo công thức (2.1.3) phụ thuộc không tuyến tính vào giá trị k của vecto sóng (hình 2), giống như hiện tượng tán sắc trong quang học. Trường hợp với k rất bé ta mới có sự phụ thuộc tuyến tính. () ≈ Khi đó nghiệm (2.1.2) có dạng () (, ) = Với = = Trong trường hợp này dao động của mạng tinh thể trùng với sóng âm với v là tốc độ truyền âm. Do vậy, các dao động (2.1.2) với () thỏa mãn hệ thức (2.1.3), gọi là các dao động âm. 14
20. b/ Lý thuyết lượng tử Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ () là () () = Biểu thức của động năng toàn phần có thể viết lại như sau 1 = () 2 Và do đó năng lượng toàn phần của hệ là 1 = () + [ () − ()] 2 2 Khi lượng tử hóa ta thay hàm Pn(t) bằng toán tử xung lượng và hàm un(t) bằng toán tử tọa độ suy rộng liên hợp với . Hamiltonian của hệ trở thành 1 (2.1.4) = + [ − ] 2 2 Giữa các toán tử và có các hệ thức giao hoán , = ℏ (2.1.5) [, ] = , = 0 Các toán tử và tương đương với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ xn của nút này. Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với vecto sóng nằm trong vùng Brilouin thứ nhất. 1 () (2.1.6) = √ 1 () = √ 15
21. Chỉ số (1) có nghĩa là lấy tổng theo k chỉ lấy trong vùng Brilouin thứ nhất. Theo phương pháp cung ta chỉ xét các sóng phẳng thỏa mãn điều kiện tuần hoàn trên đoạn thẳng chiều dài L = Na với N là số nút mạng có trên đoạn thẳng này, cũng là số giá trị gián đoạn k trong vùng Brilouin thứ nhất. Nhân cả hai vế của các công thức (2.1.6) với , trong đó k’ cũng là vecto sóng trong vùng Brilouin thứ nhất, rồi cộng theo n và dùng công thức 1 (2.1.7) ( ) = Ta thu được các biến đổi ngược lại: 1 () (2.1.8) = √ 1 () = √ Hãy tìm hệ thức giao hoán giữa và . Dùng các khai triển (2.1.8), các hệ thức giao hoán (2.1.5) và công thức (2.1.7), ta thu được 1 ( ) , = , ℏ [ − ] = − ( ) ℏ [ − ] = − ( ) [ − ] = −ℏ, Nghĩa là 16
22. , = −ℏ, (2.1.9) Tương tự, ta cũng có , = [, ] = 0 (2.1.10) Mặt khác, thay các khai triển (2.1.6) vào Hamiltonian (2.1.4) và lại dùng công thức (2.1.7), ta tính được () () 1 () = () () = , () = () () 1 () [ − ] = 1 − 1 − () () [ − ] = , (1 − )(1 − ) () [ − ] = (1 − )(1 − ) () [ − ] = 4 sin 2 Do đó () 1 (2.1.11) = + 2 sin 2 2 Thay 4 sin = () 2 Cuối cùng ta thu được 17
23. () 1 1 (2.1.12) = + () 2 2 Tiếp theo ta biến đổi công thức này về một dạng mới bằng cách đặt (2.1.13) ℏ() √() = ( + ) 2 1 ℏ() = − ( − ) √ 2 Trong các biểu thức trên và là các toán tử mới được biểu diễn ngược lại qua và như sau: 1 = √() + 2ℏ() √ 1 = √() − 2ℏ() √ Từ các hệ thức giao hoán (2.1.9), (2.1.10) suy ra rằng giữa các toán tử và có các hệ thức giao hoán: [ , ] = [ , ] = [ , ] = 0 (2.1.14) Thay thế các biến đổi (2.1.13) vào phương trình Hamilton (2.1.12), ta nhận được 1 (2.1.15) = ()ℏ()( + ) 2 Theo các hệ thức giao hoán (2.14) ta có = + 1 Do đó 1 (2.1.16) = ()ℏ() + ℏ() 2 Có thể chọn gốc tính năng lượng tại giá trị 18
24. 1 1 = = ℏ() 2 2 Cuối cùng ta nhận được () (2.1.17) = () () = ℏ() Vậy mạng tinh thể đơn giản mà ta xét được diễn ta trong lý thuyết lượng tử bằng Hamiltonian (2.1.17) với các toán tử và thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.1.14). Vì thế có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt là toán tử hủy hạt có vecto sóng k, xung lượng ℏ và năng lượng ℏ(), còn là toán tử sinh hạt như thế. Các hạt này là các lượng tử trong dao động mạng tinh thể, gọi là các phonon, do tuân theo các hệ thức giao hoán (2.1.14) nên các phonon là các boson, trong thực tế ta không có các hạt thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được mô tả giống như một hệ hạt mà thôi. Điều này có nghĩa là các phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt, thường được gọi là chuẩn hạt. Ta đang xét dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm khi vecto sóng rất bé. Các phonon trong trường hợp này là các phonon âm. Trong phần tiếp theo ta sẽ thấy còn có cả phonon quang nữa. 19
25. 2.2. Phonon âm và phonon quang (mạng hai chiều) a/ Lý thuyết cổ điển Ta xét chuỗi nguyên tử gồm hai loại khác nhau, loại thứ nhất có khối lượng M1 còn loại thứ hai có khối lượng M2, xếp xen kẽ, cách đều nhau một khoảng bằng a trên trục Ox, mỗi nguyên tử chuyển động quanh vị trí cân bằng của mình. Hình 3: Chuỗi hai nguyên tử khác loại. Gọi độ dời của loại nguyên tử thứ nhất, loại hình vuông trên hình 3 là () và của loại nguyên tử thứ hai, loại hình tròn là (), ta có hệ hai phương trình vi phân ∝ (2.2.1) + (2 − − ) = 0 ∝ (2.2.2) + (2 − − ) = 0 Tìm nghiệm của hệ phương trình (2.2.1), (2.2.2) dưới dạng sóng đơn sắc (()) () = (, ) = (2.2.3) 20
26. (()) () = (, ) = (2.2.4) Với A, B không đồng thời bằng không, thay các nghiệm (2.2.3), (2.2.4) vào các (2.2.1), (2.2.2), ta đi đến hệ phương trình đại số với hai biến A và B: [2 ∝ −() ] − 2 ∝ cos = 0 2 ∝ cos − [2 ∝ −() ] = 0 Để tồn tại lời giải không tầm thường thì định thức của hệ phương trình này ằng phải 0. 2 ∝ −() −2 ∝ cos = 0 −2 ∝ cos 2 ∝ −() Tức là [2 ∝ −() ][2 ∝ −() ] − 4 ∝ cos = 0 Phương trình này có hai nghiệm đối với () (2.2.5) 1 1 1 1 4 sin ()± =∝ + ± + − Vậy dao động của chuỗi hai nguyên tử khác loại là hai sóng đơn sắc (2.2.3), (2.2.4) với hai tần số góc ±(), xác định theo công thức (2.2.4). Sự phụ thuộc của ±() vào số sóng k được thể hiện bằng đồ thị hai nhánh trên hình 4, nhánh trên là () và nhánh dưới là (). 21
27. Hình 4: Sự phụ thu ộc của vào k Với k rất bé: 2 ∝ () ≈ + Phụ thuộc tuyến tính vào k giống như các sóng âm và vì thế ta ký hiệu () = () còn 1 1 () ≈ 2 ∝ + không phụ thuộc vào k. Các sóng này tương tác với ánh sáng mạnh hơn các sóng âm nên ta ký hiệu () = (). b/ Lý thuyết lượng tử Các xung lượng tương ứng với các độ rời () và () được ký hiệu là () () = 22
28. () () = Khi lượng tử hóa ta thay , , , bằng các toán tử , , , , thỏa mãn hệ thức giao hoán , = −ℏ , [, ] = −ℏ , , = [, ] = 0 , [, ] = [, ] = 0 , , = [, ] = 0 , , = [, ] = 0 . Sau đó ta khai triển các toánt ử theo chuỗi Fourier đối với các vecto sóng trong vùng Brilouin thứ nhất 1 () = , √ 1 () = , √ 1 () = , √ 1 () = , √ Rồi biểu diễn các hệ số Fourier , , , một cách thích hợp qua các toán () () () () tử hủy hạt , và sinh hoạt , để thu được Hamiltonian của hệ dưới dạng () (2.2.6) () () () () = ℏ () + () 23
29. Các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hạt và hủy hạt là: () () , = , () () () () , = , = 0 Hamiltonian (2.2.6) cho ta thấy trạng thái dao động tử của chuỗi hai nguyên tử khác loại có thể xem như một hệ nhiều hạt gồm hai loại chuẩn hạt khác nhau, mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ nhất có năng lượng ℏ() còn mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ hai có năng lượng ℏ(). Nếu tiến hành các tính toán chi tiết như ở phần chuỗi nguyên tử cùng loại sẽ tính được biểu thức giải thích tường minh của (), () trùng khớp với ±() theo công thức (2.2.5). Để xác định ta đặt () = () = () () = () = () () () Khi đó các chuẩn hạt ứng với các toán tử , được gọi là các () () phonon âm, còn các chuẩn hạt ứng với các toán tử , được gọi là các phonon quang. Tóm lại, trạng thái dao động lượng tử của chuỗi hai nguyên tử khác loại có thể xem như một hệ nhiều phonon âm và phonon quang. Kết luận: Ở chương 2, em đã tìm hiểu được các dao động mạng tinh thể vật rắn đối với trường hợp mạng một chiều và mạng hai chiều. Đối với trường hợp mạng một chiều thì dao động mạng được xem như là một dao động mà tần số vào cỡ tần số âm nên người ta gọi là dao động âm. Đối với trường hợp mạng hai chiều thì dao động theo hai tần số: một tần số vào cỡ tần số âm được gọi là dao động âm, một tần số phụ thuộc vào vecto sóng k và sự tán sắc của ánh sáng thì người ta gọi là tần số quang. Hay còn phonon quang. 24
30. Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm 3.1. Nhiệt dung của phonon âm 3.1.1. Phổ năng lượng của phonon âm Phonon âm được xem như một dao động tử điều hòa với tần số . Phổ năng lượng của phonon âm được tìm từ việc giải phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamilton |⟩ = |⟩ ℏ ( + )|⟩ = |⟩ 2 ℏ {|⟩ + |⟩} = |⟩ 2 ℏ {( + 1)|⟩ + |⟩} = |⟩ 2 ℏ {( + 1)|⟩ + |⟩} = |⟩ 2 ℏ {( + 1) + }|⟩ = |⟩ 2 ℏ (2 + 1)|⟩ = |⟩ 2 Vậy phổ năng lượng của phonon âm 1 (3.1.1) ε = ℏω n + trong đó n = 0,1,2,3, 2 Đồng thời g(ε) = 1. Như vậy là ta được “kết quả lượng tử” : năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể lấy các giá trị số gián đoạn xác định. Hiệu giữa các mức năng lượng là hằng số: ∆ε = ℏω. Chúng sẽ dùng nhiều lần về sau này phổ năng lượng của phonon âm. ℏ Ta hãy chú ý tới mức “không” của năng lượng = , tương ứng với cái gọi là các dao động “không” mà ta không thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn, 25
31. Nói khác đi, do có xuất hiện năng lượng “không” nếu phonon âm trong cơ học lượng tử không thể ở trong trạng thái nghỉ. Năng lượng “không” của phonon âm đã quan sát được khi cho ánh sáng tán xạ trên tinh thể nẳm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (mức cơ bản), nhưng khi đó các phonon lại thực hiện dao động. 3.1.2. Tổng trạng thái và nội năng của phonon âm. a/ Ta tìm tổng trạng thái của phonon âm Theo (1.1.3) và (3.1.1) tổng trạng thái của phonon âm được xác định bằng: ℏω ℏω (3.1.2) = − ( ) = − X − 2kT kT (với g(ε) = 1) Theo công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn giảm dần trong đó: = a: số hạng đầu tiên 1 − S: tổng các số hạng q: số công bội Ta được ℏω (3.1.3) − = 2kT ℏω 1 − − kT Hay ℏω (3.1.4) − = 2kT ℏω − 1 kT 26
32. Năng lượng trung bình của phonon âm ∑ − ̅ = = ∑ − ℏω ℏω (3.1.5) ̅ = + 2 ℏω − 1 kT Nhận xét: + Ở các nhiệt độ thấp ℏω ℏω ≫ 1 ℎ ≪ = kT k ℏ Năng lượng trung bình sẽ dẫn tới là năng lượng “dao động không” + Ở các nhiệt độ cao T ≫ Năng lượng trung bình của phonon âm có trị số cổ điển kT. Nhiệt dung ứng với phonon âm được xác định theo công thức: ̅ (3.1.6) = Trong trường hợp → 0 nhiệt dung sẽ dẫn tới không, còn đối với các nhiệt độ cao nó bằng trị số cổ điển kT. 27
33. 3.1 Nhiệt dung của vật rắn 3.2.1. Theo quan điểm cổ điển Giả sử vật rắn gồm N nguyên tử, mỗi một nguyên tử đó tham gia vào trong chuyển động dao động và có ba bậc tự do, các nguyên tử trong vật rắn có 3N bậc tự do. Mỗi một nguyên tử thường thực hiện các dao động phức tạp bao gồm nhiều chuyển động dao động điều hòa, mỗi bậc tự do chỉ ứng với một dao động điều hòa đơn giản Một vật rắn sẽ tương đương với một hệ gồm 3N dao động tử điều hòa, hệ này sẽ được diễn tả bằng 3N phương trình có dạng: ̈ + = 0, = 1,2, 3. Trong đó là tọa độ chuẩn. Đối với một hệ như vậy, hàm Haminton có biểu thức: 1 = + () 2 Biết mỗi một bậc tự do dao động cùng với năng lượng bằng kT. Bây giờ ta tìm năng lượng của chuyển động dao động của tất cả các nguyên tử thực hiện chuyển động nhiệt trong vật rắn. Muốn vậy ta nhân kT với số bậc tự do dao động 3N. = 3 Nhiệt dung của 1 mol vật rắn là: = 3 = 3 = 6 /độ Đó chính là định luật Dulong - Petit. 28
34. Hình 5: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của () của chất rắn vào nhiệt độ T Từ đồ thị (hình 5) đã chỉ rõ, định luật Dulong - Petit không phải là đúng với mọi vật rắn và trong mọi khoảng nhiệt độ. Sự tăng lên của nhiệt dung khi nhiệt độ tăng lên có thể giải thích theo quan điểm cổ điển, (vì khi nhiệt độ tăng thì các dao động trở thành phi điều hòa). Còn sự giảm nhiệt dung ở nhiệt độ thấp thì không thể giải thích được bằng thuyết cổ điển. Do đó, lý thuyết cổ điển chỉ phù hợp một cách thỏa đáng với thực nghiệm, đối với các chất riêng biệt và trong một khoảng nhiệt độ nhất định, khá hẹp. Khó khăn khi giải quyết nhiệt dung của vật rắn khi nhiệt độ giảm nói lên nhược điểm của các quan điểm cổ điển. Vấn đề trên chỉ được giải quyết trong khuôn khổ của thống kê lượng tử và ta sẽ thấy rằng, các trị số cổ điển của nhiệt dung chỉ là một trường hợp đặc biệt của các công thức tổng quát của nhiệt dung tìm được trong thống kê lượng tử. 3.2.2. Theo quan điểm của Einstein Nhằm khắc phục thiếu sót của lí thuyết nhiệt dung cổ điển, năm 1907 Einstein đưa ra lý thuyết dựa trên lượng tử. Einstein quan điểm chuyển động 29
35. của các nguyên tử trong vật rắn là chuyển động của các dao động tử điều hòa lượng tử ba chiều. Theo cơ học lượng tử, dao động tử điều hòa một chiều với tần số có phổ năng lượng gián đoạn được xác định theo công thức: 1 (3.2.1) = ℏ + 2 Trong đó: n là số nguyên, kể cả 0. Biết phổ năng lượng của dao động tử và nhiệt độ T của hệ, chúng ta có thể tính được năng lượng trung bình. Trước hết ta tính tổng thống kê Z của dao động tử theo công thức: = Dựa theo (3.2.1) ta có: ℏ ℏ (3.2.2) = ℏ ℏ Vì > 0 nên − < 1. Dựa theo công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta có: ℏ 1 = ℏ 1 − Từ đó ta có biểu thức tổng thống kê Z: ℏ (3.2.3) = ℏ 1 − Biết tổng thống kê Z, ta tính được năng lượng ttrung bình (3.2.4) ̅ = Thay Z từ (3.2.3) vào (3.2.4) và thực hiện phép tính đạo hàm ta được: 30
36. ℏ ℏ ℏ ℏ (3.2.5) ̅ = + = coth 2 ℏ 2 − 1 Vì mỗi nguyên tử có ba bậc tự do nên hệ N nguyên tử trong vật rắn là hệ 3N dao động tử điều hòa một chiều. Einstein quan điểm rằng tất cả các nguyển tử đều cùng chung một tần số dao động . Trên cơ sở quan điểm đó và kết quả (3.2.5) ta tính được năng lượng trung bình của hệ: ℏ ℏ = 3̅ = 3 + 2 ℏ − 1 Lấy đạo hàm năng lượng trung bình theo nhiệt độ ta sẽ tính được nhiệt dung đẳng tích: ℏ (3.2.6) 3ℏ = = ℏ − 1 Như vậy, theo lí thuyết Einstein thì nhiệt dung vật rắn phụ thuộc nhiệt độ theo qui luật khá phức tạp. Chúng ta lần lượt khảo sát dáng điệu phụ thuộc nhiệt độ trong hai trường hợp: nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp. a/ Trường hợp nhiệt độ cao: ℏ ℏ Xét trường hợp nhiệt độ = . Đại lượng = gọi là nhiệt độ Einstein. Khi nhiệt độ T lớn hơn rất nhiều so với nhiệt độ Einstein ta có thể ℏ khai triển gần đúng theo đại lượng ≪ 1: ℏ ℏ ≅ 1 + Thay giá trị này vào biểu thức (3.2.6) ta được: 3ℏ ℏ = 1 + ℏ ℏ Vì ≪ 1 nên có thể lấy gần đúng: 31
37. = 3 Đối với 1 mol vật rắn, nhiệt dung mol có giá trị là: = 3 = 3 ≈ 25 . Như vậy, trong vùng nhiệt độ cao kết quả của lý thuyết Einstein phù hợp với kết quả cổ điển, tức là định luật Dulong – Petit. b/ Trường hợp nhiệt độ thấp: ℏ Xét trường hợp nhiệt độ thấp, khi hệ thức ≪ = được thỏa mãn. ℏ Trong trường hợp này ≫ 1, do đó ta có thể bỏ qua số 1 ở mẫu số của vế phải biểu thức (3.2.6): ℏ 3ℏ = Như vậy, theo lí thuyết Einstein thì ở vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung phụ thuộc nhiệt độ dưới dạng: ℏ 1 (3.2.7) = Qua đó ta thấy: lim = 0 → Kết quả (3.2.7) phù hợp về định tính với thực nghiệm: nhiệt dung tiến tới 0 khi nhiệt độ tiến tới 0 độ tuyệt đối. Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy rằng nhiệt dung vật rắn tiến tới 0 theo qui luật ~ chứ không tiến tới 0 quá nhanh như qui luật (3.2.7). Đây chính là thiếu sót của lí thuyết Einstein. Thiếu sót này bắt nguồn từ chỗ Einstein quan niệm rằng tất cả các nguyên tử trong vật rắn đều dao động với cùng một tần số. 3.2.3. Theo quan điểm của Debye. Năm 1912 Debye đưa ra lí thuyết mới về nhiệt dung chất rắn. So với lí thuyết Einstein thì lí thuyết Debye phù hợp tốt hơn với thực nghiệm, vì vậy 32
38. cho đến nay nó vẫn được coi là lí thuyết đúng đắn nhất. Dưới đây chúng ta sẽ điểm qua những nét cơ bản nhất trong lí thuyết Debye. Trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tương tác với nhau, vì vậy chúng chuyển động như các dao động tử liên kết, chứ không phải là các dao động tử độc lập như trong lý thuyết Einstein. Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do, vì vậy tập hợp N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động tử điều hòa lượng tử liên kết, với 3N tần số khác nhau, kể từ tần số 0 cho tới tần số cực đại (tần số Debye). Chuyển động dao động tập thể của các nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm, tức là sóng đàn hồi trong vật rắn. Sóng âm trong vật rắn gồm hai loại: sóng dọc và sóng ngang. Ta ký hiệu vận tốc truyền sóng dọc là , vận tốc truyền sóng ngang là . Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết có thể được thay bằng tập hợp 3N dao động chuẩn (hay còn gọi là “mốt”). Nếu vận tốc trruyền sóng là C, tần số là thì trong khoảng (, + ) số lượng các dao động chuẩn được tính theo công thức: () = () = 2 Để ý rằng sóng âm trong vật rắn bao gồm sóng ngang và sóng dọc với vận tốc truyền khác nhau: mặt khác, sóng ngang lại có hai khả năng phân cực, ta có thể tính số dao động chuẩn trong khoảng (, + ) theo công thức: 1 2 () = + 2 Để thuận tiện ta đưa vào đại lượng C xác định theo hệ thức: 3 1 2 (3.3.1) = + 33
39. Đại lượng C có thứ nguyên như vận tốc truyền sóng. Bây giờ ta có thể viết lại biểu thức () như sau: 3 (3.3.2) () = 2 Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ 0 cho tới tần số cực đại xác định từ điều kiện: (3.3.3) 3 () = 2 = 3 Sau khi lấy tích phân ta được: (3.3.4) 6 = Tần số gọi là tần số Debye. Nó tùy thuộc vận tốc truyền sóng âm trong vật rắn và mật độ nguyên tử trong môi trường đó. Trên cơ sở (3.3.4) ta có thể viết lại (3.3.2) dưới dạng: 9 (3.3.5) () = Mỗi dao động chuẩn là một dao động tử điều hòa lượng tử, vì vậy năng lượng trung bình của mỗi dao động chuẩn là: ℏ ℏ (3.3.6) (̅ ) = + 2 ℏ − 1 Năng lượng trung bình của cả hệ 3N dao động chuẩn được tính theo công thức: 34
40. = (̅ )() Thay các biểu thức (3.3.5) và (3.3.6) vào vế phải của công thức trên ta được: (3.3.7) 9ℏ 9ℏ = + ℏ 2 − 1 Số hạng thứ nhất ở vế phải của (3.3.7) không phụ thuộc T, vì vậy nhiệt dung được tính như sau: 9ℏ = = ℏ − 1 Từ đó ta có: ℏ 9 ℏ = ℏ − 1 ℏ Đăt = , ta có thể viết: ℏ = 3. 3 ℏ ( − 1) ℏ Đại lượng = được gọi là nhiệt độ Debye. Với ký hiệu đó ta có thể viết lại biểu thức nhiệt dung như sau: (3.3.8) = 3. 3 ( − 1) Người ta thường viết biểu thức nhiệt dung vật rắn dưới dạng ngắn gọn: 35
41. (3.3.9) = 3 Trong đó D là hàm Debye được xác định như sau: ∝ 3 (3.3.10) (∝) = ∝ ( − 1) Đối với 1 mol ta có: (3.3.11) ( ) = 3 Kết quả này cho ta thấy nhiệt dung của mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc nhiệt độ như thế nào. Ta hãy xét dáng điệu của () trong hai vùng nhiệt độ khác biệt: nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp. a/ Trường hợp nhiệt độ cao: ℏ Xét vùng nhiệt độ thỏa mãn điều kiện ≫ = với điều kiện này thì có giá trị rất nhỏ. Ta hãy tham khảo hàm Debye khi biến số rất nhỏ. Theo định nghĩa (3.3.7) ta có: ∝ 3 (∝) = ∝ ( − 1) Nếu ∝ rất nhỏ thì ta có thể lấy gần đúng: 1 + 1 ≅ ≅ ( − 1) ∝ 3 (∝) = = 1 ∝ Dựa vào kết quả này và biểu thức (3.3.8) ta có: 36
42. () = 3 (ℎ ≫ ) Điều này có nghĩa là trong vùng nhiệt độ cao lí thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong – Petit. b/ Trường hợp nhiệt độ thấp: ℏ Xét vùng nhiệt độ thỏa mãn điều kiện ≪ = . Trong trường hợp này rất lớn, do đó ta phải khảo sát hàm (∝) khi ∝ rất lớn. Từ định nghĩa ta thấy rằng ∝ rất lớn thì cận trên của tích phân ở vế phải biểu thức (3.3.7) có thể thay bằng ∞, do đó: ∝ 3 3 4 (∝) = = ∝ ( − 1) ∝ 15 Thay kết quả này vào (3.2.11) ta được: (3.3.12) 12 () = 5 Như vậy trong vùng nhiệt độ rất thấp lí thuyết Debye cho kết quả phù hợp rất tốt thực nghiệm: () ≈ Hình 6: Sự phụ thuộc của nhiệt dung chất rắn vào nhiệt độ theo 3 định luật 37
43. Trên hình 6 có vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung chất rắn theo các kết quả của lí thuyết cổ điển (định luật Dulong – Petit), lí thuyết Einstein và lí thuyết Debye. Như đã trình bày ở trên định luật Dulong – Petit (() = 3) chỉ ℏ đúng khi nhiệt độ T lớn hơn nhiều so với nhiệt độ Debye = . Các chất rắn khác nhau có nhiệt độ Debye khác nhau, do đó lĩnh vực nhiệt độ cho phép áp dụng định luật Dulong – Petit cũng khác nhau. Điều này cho phép chúng ta hiểu được một thực tế: cùng ở nhiệt độ phòng thí nghiệm nhưng một số chất rắn có nhiệt dung () xấp xỉ 3R, còn một số khác lại có nhiệt dung () khác nhiều với giá trị 3R. Chẳng hạn, nhiệt độ Debye của chì (Pb) có giá trị 880K, vì vậy nhiệt độ phòng thí nghiệm ( ≈ 300°) đã là cao so với , do đó nhiệt dung () của chì trong điều kiện phòng thí nghiệm có giá trị cỡ 3R (số liệu thực nghiệm là () = 27,8 /độ. Kim cương có nhiệt độ Debye rất cao ( ≈ 800°), vì vậy ở nhiệt độ phòng thị nghiệm ( ≈ 300°) nhiệt dung của nó không tuân theo định luật Dulong 0 – Petit (ở nhiệt độ T = 298 K, kim cương có nhiệt dung () = 6,1 /độ. Nhiệt dung của kim loại bao gồm hai phần là nhiệt dung của mạng ion dương và nhiệt dung của các điện tử tự do. Nhưng kết quả của tính toán nói trên chỉ liên quan tới nhiệt dung của mạng các ion dương. Kí hiệu là nhiệt dung của các ion dương và là nhiệt dung của các điện tử tự do, ta có thể viết nhiệt dung của các kim loại như sau: = + Ở nhiệt độ cao cỡ phòng thí nghiệm nhiệt dung của các điện tử nhỏ hơn nhiều so với nhiệt dung của mạng các ion dương, do đó ta có thể lấy gần đúng: = (ℎệ độ ) 38
44. Ở vùng nhiệt độ thấp ta thấy có tình trạng ngược lại. Khi → 0° thì nhiệt dung của khí điện tử tự do cỡ: ≈ . Theo kết quả của lí thuyết Debye thì khi → 0° nhiệt dung của mạng các ion dương có giá trị cỡ: ≈ . Như vậy rõ ràng là ở nhiệt độ thấp ≈ . Vì vậy, ở nhiệt độ thấp nhiệt dung của kim loại chủ yếu là nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại: = (ℎệ độ ℎấ) Kết luận: Ở chương 3, áp dụng lí thuyết nhiệt dung tính trong vật lý thống kê cho hệ một số lớn các hạt, em đã tính được nhiệt dung cho hệ các hạt phonon âm và tìm hiểu tính nhiệt dung của vật rắn theo quan điểm cổ điển, quan điểm của Einstein và quan điểm của Debye. Ta thấy theo quan điểm của Debye sẽ cho kết quả phù hợp tốt hơn với thực nghiệm hơn kết quả tìm được từ quan điểm của cổ điển và Einstein ở chỗ: Đối với kết quả cổ điển thì đã coi nhiệt dung chỉ bằng kT nhân với số bậc tự do. Khi nhiệt độ tăng thì lý thuyết cổ điển phù hợp với thực nghiệm, còn khi nhiệt độ giảm thì lý thuyết cổ điển sẽ không giải thích được. Đối với lí thuyết của Einstein thì đã giải thích được cả ở nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp theo một cách định tính so với thực nghiệm. Nhưng ở nhiệt độ thấp thì thực nghiệm cho thấy là nhiệt dung tỷ lệ với lũy thừa bậc ba của nhiệt độ tuyệt đối T nhưng còn lý thuyết của Einstein thì tỷ lệ theo hàm e mũ như vậy nó sẽ giảm rất nhanh theo hàm e mũ vì vậy chưa phù hợp với thực nghiệm Đối với lí thuyết Debye đã cho kết quả nhiệt dung ở nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp phù hợp với thực nghiệm và đã giải thích được khi ở nhiệt độ thấp thì nó sẽ giảm theo hàm bậc ba của nhiệt độ tuyệt đối T. 39
45. PHẦN III: KẾT LUẬN Ở luận văn này em đã tìm hiểu, trình bày được những khái niệm cơ bản ở trong vật lý thống kê về hàm phân bố, nội năng,nhiệt dung cho các hệ có số lớn các hạt. Và em đã trình bày được dao động mạng tinh thể 1 chiều và 2 chiều và đưa ra được phổ năng lượng của chúng. Cuối cùng em đã áp dụng lý thuyết nhiệt dung trong vật lý thống kê để tính được nhiệt dung của phonon âm. Tìm hiểu và trình bày được cách tính nhiệt dung của vật rắn theo quan điển cồ điển, quan điểm Einstein, quan điểm Debye và thấy rằng quan điểm của Debye là phù hợp tốt với thực nghiệm hơn so với lý thuyết cổ điển, lý thuyết Einstein. 40
46. PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2013), “Cơ sở lý thuyết của vật lý lượng tử”, nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. [2] Vũ Đình Cự (1997), “Vật lý chất rắn”, NXB Khoa Học và Kĩ Thuật. [3] Vũ Thanh Khiết (1997), “Giáo trình nhiệt động lực học và vật lý thống kê”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 1997. [4] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1992), “Vật lý chất rắn”, NXB Giáo Dục. [5] Phạm Quý Tư (1998), “Giáo trình Nhiệt động lực học”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [6] Nguyễn Quý Báu, Bùi Bằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng (2009), “Vật lý thống kê”, nhà xuất bản NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [7] Bài giảng vật lý thống kê của các thầy cô ở tổ Vật lý lí thuyết, khoa Vật lý ĐHSP Hà Nội 2. [8] Charles Kittel (1970), “Sơ yếu Vật lý chất rắn”, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội (Phạm Duy Hiển và Đặng Mộng Lân dịch). 41