Khóa luận Năng lượng tự do của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao”

Nội dung text: Khóa luận Năng lượng tự do của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao”

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ THẢO NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM THỊ THẢO NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2018
3. LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được xin tỏ lòng biết ơn vô cùng đến PGS. TS. Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong cả quá trình làm để hoàn thành xong khóa luận. Tiếp theo, tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến các thầy cô trong tổ bộ môn vật lý lý thuyết của khoa vật lý đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong khoảng thời gian nghiên cứu và làm xong khóa luận. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, các bạn của tôi đã ở bên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và làm xong khóa luận.
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan rằng: Đề tài nghiên cứu này là kết quả tìm hiểu của riêng tôi và không có sự trùng lặp với các kết quả của các tác giả khác. Tôi có thừa hưởng và tham khảo một số thành tựu của các nhà nghiên cứu trước. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Người làm khóa luận: Phạm Thị Thảo
5. DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN BEC Ngưng tụ Bose- Einstein SD Schwinger- Dyson CJT Cornwall- Jackiw- Tombolis
6. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài. 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 5. Đóng góp mới của đề tài 2 6. Phương pháp nghiên cứu 2 Chương I: TỔNG QUAN 4 I.1. Giới thiệu chuyển pha 4 I.2. Ngưng tụ Bose – Einstein 10 I.3. Tác dụng hiệu dụng của Cornwall- Jackiw- Tombolis 14 I.4. Kết luận của chương I 20 Chương II 21 NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO 21 II.1. Thế hiệu dụng trong gần đúng hai vòng 22 II.2. Phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson. 25 2.1. Phương trình khe 25 2.2. Phương trình Schwinger - Dyson đối với hàm truyền 25 2.3. Phương trình khe mới 27 II.3. Năng lượng tự do 29 II.4. Gần đúng nhiệt độ cao. 30 II.5. Kết luận chương II 31 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Ngưng tụ Bose- Einstein (BEC) của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp (cỡ vài nK) đã được nhà bác học người Đức Einstein dự đoán từ năm 1925 nhưng phải sau 70 năm sau (1995) mới được thực nghiệm kiểm chứng. Bằng các thí nghiệm về BEC của nguyên tử 87Rb và 23Na ở trạng thái hơi. Sau đó, một loạt các thí nghiệm liên quan BEC của hệ gồm hai loại nguyên tử khác biệt nhau cho thấy rằng BEC nhiều thành phần không chỉ đơn giản là sự mở rộng của BEC một thành phần. Và đã có rất nhiều hiện tượng lạ, lôi cuốn ví dụ là đường hầm lượng tử, sự tách pha, cấu hình xoáy Đặc biệt còn tồn tại nhiều loại chuyển pha được tạo ra trong thực nghiệm bằng cách rất đơn giản là điều chỉnh các tham số. Những sự kiện này đã đánh dấu một bước phát triển rất nhanh trong nghiên cứu về khí lượng tử. Do vậy, tìm hiểu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose và khí Fermi ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành một lĩnh vực hấp dẫn đối với các nhà khoa học trong vật lý hiện đại. Sóng vật chất lượng tử có các đặc tính đặc biệt quan trọng của sóng laser là tính kết hợp mà BEC là vật chất lượng tử. Do đó, để nghiên cứu sóng vật chất dựa trên BEC đóng vai trò quan trọng và chủ yếu khi xác lập nguyên tắc làm việc của máy tính lượng tử ngày nay. Các tính chất vật lý của BEC một thành phần người ta tìm hiểu để phát hiện các hiệu ứng lượng tử liên quan trực tiếp tin học lượng tử. Sau các phát minh quan trọng của thực nghiệm, cũng có rất nhiều thành tựu về mặt lý thuyết giúp mô tả các hiện tượng khác nhau đã được quan sát và tiên đoán các hiệu ứng lượng tử mới. Ở BEC có nhiều các tính chất đặc biệt và quan trọng mà ở các chất khác không thể có được. Do vậy, tìm hiểu các 1
8. tính chất của BEC có ý nghĩa rất quan trọng đối với toàn bộ nghành vật lý và công nghệ lượng tử. Việc nghiên cứu và tìm năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành phần cho chúng ta các thông tin đầy đủ về tính chất vật lý của BEC. BEC có nhiều triển vọng phát triển và quan trọng nên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao”. 2. Mục đích nghiên cứu Dựa trên các cơ sở lý thuyết của ngưng tụ Bose- Einstein, tìm hiểu khí Bose một thành phần và tính năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein trong gần đúng nhiệt độ cao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao dựa vào tác dụng hiệu dụng CJT. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là khí Bose một thành phần ở nhiệt độ cực thấp. Phạm vi nghiên cứu là xét khí Bose một thành phần ở nhiệt độ cực thấp. Cụ thể là tìm hiểu năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao. 5. Đóng góp mới của đề tài Chúng tôi đã tìm hiểu được năng lượng tự do của ngưng tụ Bose- Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall- Jackiw- Tombolis ở gần đúng hai vòng. Đây là một phương pháp mới, độ chính xác cao, hiện nay được sử dụng để nghiên cứu trong chuyển pha. Phương pháp này có nhiều ưu thế vì nó tự động cho hai kết quả quan trọng dùng để xác định nghiệm vật lý 2
9. của hệ. Do đó chúng tôi chọn phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở gần đúng hai vòng. 3
10. Chƣơng I: TỔNG QUAN I.1. Giới thiệu chuyển pha Khái niệm pha để chỉ các trạng thái khí, lỏng, rắn của một hệ nhiệt động được người ta sử dụng trong vật lý. Trạng thái của một hệ vĩ mô có các đặc trưng khác về chất đối với các trạng thái khác của chính hệ đó được gọi là pha, các đặc trưng vật lý cơ bản của hệ được xác định qua cấu trúc pha của hệ đó. Trong những trạng thái vĩ mô của một hệ được xác định bằng các thông số trạng thái như là áp suất (P), nhiệt độ (T), thể tích (V), mật độ hạt (n), entropy (S) chúng được xác định qua các hàm nhiệt động như năng lượng tự do E, thế nhiệt động (Ω) Những thông số trạng thái liên quan lẫn nhau mà không độc lập với nhau bởi phương trình nhiệt khi mà hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt. Do vậy, trạng thái khi hệ đồng chất cân bằng có thể xác định qua các đại lượng nhiệt động bất kì được cho trước đó, ví dụ như năng lượng E và thể tích V. Nhưng, hai đại lượng E và V có giá trị cho trước vẫn không thể khẳng định được rằng trạng thái đồng chất đó sẽ được ứng với một trạng thái cân bằng nhiệt. Khả năng hệ không phải là đồng chất mà lại tách ra làm hai phần đồng chất và tiếp giáp với nhau ở trong các trạng thái khác nhau khi hệ ở trạng thái cân bằng vẫn có thể xảy ra. Vật chất ở những trạng thái không giống nhau vẫn có khả năng tồn tại, cân bằng nhau và tiếp giáp với nhau gọi là các pha không giống nhau của vật chất. Hai pha được gọi là cân bằng với nhau khi hai pha có áp suất bằng nhau, nhiệt độ bằng nhau và thế hóa cũng phải bằng nhau, nghĩa là: PPTT1 2,, 1 2 1 2 (I.1) Nếu nhiệt độ và áp suất được đặt trên trục tọa độ khi đó đường cong cân bằng pha là tập hợp các điểm mà tại đó xảy ra cân bằng pha thuộc một đường cong bất kì. Do đó, ta có trạng thái đồng nhất của hệ là các điểm nằm ở 4
11. hai bên của đường cong, nghĩa là thuộc một pha xác định. Trạng thái của hệ khi thay đổi dọc theo một đường khi nó cắt đường cong cân bằng lúc đó sẽ xảy ra sự chuyển từ pha này sang pha khác tại giao điểm của đường cong. Các trạng thái trong đó đồng thời có hai pha sẽ chiếm cả một miền mặt phẳng khi biểu diễn sự cân bằng pha đối với một lượng chất xác định bằng cách vẽ giản đồ trong mặt phẳng (T, V). Sự cân bằng của ba pha cũng tương tự các điều kiện cân bằng của hai pha và nó được xác định bằng ba đẳng thức sau: (I.2) Theo lý thuyết Landau, trạng thái của một hệ được gọi là cân bằng khi các bất đẳng thức nhiệt động sau được thỏa mãn: nhiệt dung ở quá trình đẳng tích luôn dương (Cv > 0), nhiệt dung ở quá trình đẳng áp luôn lớn hơn nhiệt dung trong quá trình đẳng tích (Cp > Cv) và đạo hàm áp suất theo thể tích khi P nhiệt độ cố định luôn âm ( T cons t < 0). Do vậy, các trạng thái có nhiệt V dung đẳng tích âm hay đạo hàm của áp suất tính theo thể tích khi nhiệt độ cố định và dương gọi là các pha trạng thái không bền và không tồn tại. Năng lượng là một hàm tăng đơn điệu cùng nhiệt độ khi thể tích cố định nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp (Cv, Cp) có giá trị dương. Entropi luôn tăng đơn điệu theo nhiệt độ ngay cả khi thể tích cố định hoặc áp suất cố định. Chú ý rằng, trạng thái cân bằng bền là những trạng thái mà entropi giảm đi khi có thăng giáng xung quanh trạng thái đó nhưng sau đó hệ quay trở về trạng thái ban đầu. Trạng thái nửa bền (giả bền) là những trạng thái khi có độ chênh lệch hữu hạn nào đó thì entropi tăng so với trạng thái ban đầu và sau đó hệ không thể trở về trạng thái ban đầu được. Trạng thái bền là trạng thái tương ứng với cực đại có giá trị lớn nhất trong tất cả các giá trị cực đại khả dĩ của entropi. Chuyển pha là hiện tượng vật lý rất phổ biến trong tự nhiên, là sự biến đổi từ trạng thái vật chất này sang trạng thái vật chất khác như từ pha khí sang 5
12. lỏng, lỏng sang rắn v.v quen thuộc cho đến những chuyển pha trong các hệ lượng tử như chuyển pha chiral trong vũ trụ và chuyển pha hadron – quark trong các phản ứng ion nặng. Chuyển pha trong vũ trụ được nghiên cứu khá lâu trước đó. Để hiểu đầy đủ về lí thuyết chuyển pha ngoài lí thuyết Laudau cần bổ sung thêm các hệ thức Sacling cho các chỉ số tới hạn, các phương trình của trạng thái và kết hợp thêm lí thuyết về chuyển pha hiện đại của Kadanoff và của nhà lí thuyết Mỹ K. Wilson. Về nguyên nhân có thể chia chuyển pha thành hai loại: Chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử. Chuyển pha nhiệt Sự thay đổi về chất trong trạng thái của hệ tại điểm chuyển pha khi nhiệt độ biến đổi đạt tới giá trị tới hạn gọi là chuyển pha nhiệt. Nó xảy ra khi thăng giáng nhiệt của những đại lượng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt, trở nên rất lớn tại điểm chuyển pha và khi đó độ dài tương quan trở nên vô cùng lớn. Đến nay có hai quan điểm lý thuyết về chuyển pha nhiệt: một là theo lý thuyết của Laudau và hai là theo lý thuyết Ehrenfest. 1. Theo lý thuyết của Laudau, khi nhiệt độ tăng lên các tham số trật tự Φ(T) – Order Parameter biến đổi có bước nhảy (chuyển từ giá trị hữu hạn nào đó về đến không) thì sự chuyển pha này là loại một hay là sự chuyển của tinh thể là từ có trật tự thành không trật tự, nếu tham số trật tự dẫn đến không một cách liên tục, nghĩa là không có bước nhảy thì sẽ có sự chuyển pha loại hai. Lưu ý rằng, xảy ra hai trường hợp: đầu tiên, nếu mà xuất hiện tham số trật tự nhưng không có sự thay đổi đối xứng tinh thể thì không thể có chuyển pha loại hai nhưng có thể xảy ra chuyển pha loại một; và điều thứ hai là khi xảy ra sự chuyển tinh thể từ trật tự thành không trật tự một cách liên tục nhưng lại không thể có bước nhảy của nhiệt dung thì cũng không thể xảy ra chuyển pha loại hai. Trong chuyển pha loại hai, sự thay đổi đối xứng của hệ có một tính 6
13. chất tổng quát khá là quan trọng nếu khi đối xứng của một pha cao hơn đối xứng của pha kia khi đó pha nào có nhiệt độ cao hơn sẽ có đối xứng cao hơn. Từ điều kiện không có bước nhảy trạng thái tại điểm chuyển pha loại hai dẫn đến kết quả sau: các hàm trạng thái nhiệt động của hệ như là năng lượng, entropi, thể tích, vẫn giữ liên tục khi đi qua điểm chuyển pha. Do đó ta thấy rằng điểm chuyển pha loại hai khác điểm chuyển pha loại một ở điểm là nó xảy ra không kèm theo sự tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt nhưng bậc nhất của đạo hàm của những đại lượng nhiệt động theo áp suất hay theo thể tích sẽ có sự thay đổi như có bước nhảy ở điểm chuyển pha loại hai. Như vậy, theo lý thuyết của Landau rút ra rằng: - Chuyển pha là loại một: khi tham số trật tự có bước nhảy tại điểm có T = Tc. Các đối xứng của hệ không gắn liền với chuyển pha loại một. - Chuyển pha là loại hai: khi tham số trật tự là hàm đơn điệu của nhiệt độ và sẽ tiến tới không khi nhiệt độ T tiến tới Tc. Điểm đặc biệt cần chú ý ở trong lý thuyết của Landau là gắn sự chuyển pha loại hai với thuộc tính đối xứng của hệ đối với các phép biến đổi của những tham số trật tự. Khi chuyển pha loại hai xảy ra, Φ(T) tham số trật tự của hệ giảm liên tục về không theo ba cách như ở hình I.1a; I.1b; I.1c và tại điểm chuyển pha nhiệt dung có sự kỳ dị. 7
14. Φ(T) Φ(T ) 0 T = T T c T (b) (a) 0 Φ(T) T 0 T = T c (c) Hình I.1: Tham số trật tự của Φ phụ thuộc vào nhiệt độ T: (a) Đối xứng bị phá vỡ tại điểm T = 0 và được phục hồi tại điểm T = Tc > 0 được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng SR; (b) đối xứng bị phá vỡ tại T = 0 nhưng không được phục hồi khi T tăng được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng SNR; (c) đối xứng bị phá vỡ tại T = Tc > 0 được gọi là kịch bản pha ứng với hiện tượng ISB. Chú ý rằng, kịch bản pha SR đã được chứng minh là có tồn tại trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Còn kịch bản pha SNR và ISB là rất hiếm xảy ra trong tự nhiên nhưng hoàn toàn có thể tồn tại trong nhiều hệ, và đặc biệt đã tìm thấy hiện tượng ISB xảy ra đối với muối Rochelle. 2. Theo lý thuyết Ehrenfest, chuyển pha nhiệt của một hệ sẽ xảy ra tại điểm tới hạn ứng với sự gián đoạn đạo hàm của năng lượng tự do khi tính theo nhiệt độ. Sự chuyển pha này chính là chuyển pha cổ điển. Chuyển pha 8
15. loại một xảy ra nếu đạo hàm bậc nhất của năng lượng tự do E theo nhiệt độ không liên tục tại điểm chuyển pha (hình I.2). Chuyển pha loại hai nếu đạo hàm bậc hai của năng lượng tự do theo nhiệt độ không liên tục tại điểm tới hạn. E ∆E 0 T = TC T Hình I.2: Chuyển pha xảy ra là loại một ứng với năng lượng tự do gián đoạn tại điểm tới hạn Chuyển pha lƣợng tử Pha lượng tử được hiểu là những trạng thái lượng tử mà khi hệ ở cùng một pha vật chất nhưng có thể ở những trạng thái lượng tử không giống nhau theo lý thuyết lượng tử. Khi tiến tới điểm chuyển pha có mật độ số hạt trở nên rất lớn xảy ra thăng giáng lượng tử của những đại lượng vật lý ở nhiệt độ nhất định gọi là chuyển pha lượng tử. Thăng giáng lượng tử xảy ra do nguyên lý bất định Heisenberg. Để tìm hiểu thông tin về pha lượng tử ta khảo sát thăng giáng của các tham số như thế hóa học, hằng số tương tác, mật độ hạt của một hệ lượng tử ở nhiệt độ nhất định. Một ví dụ về chuyển pha lương tử, chuyển pha lượng tử xảy ra khi thế hóa thay đổi đến giá trị tới hạn μc khi đó thăng giáng lượng tử của mật độ hạt trở lên vô cùng lớn, khi đó hệ sẽ chuyển từ trạng thái lượng tử này sang trạng thái lượng tử khác ở những nhiệt độ không đổi hay khoảng cách giữa các nguyên tử, phân tử không đổi. 9
16. Tóm lại, chuyển pha nhiệt là hệ sẽ thay đổi từ các trạng thái nhiệt động này sang trạng thái nhiệt động khác khi qua điểm T = Tc còn chuyển pha lượng tử là chuyển đổi các trạng thái lượng tử này sang các trạng thái lượng tử khác khi đi qua điểm chuyển pha ở nhiệt độ cực thấp cố định. Trong thực tế, có các kịch bản pha ứng với các hiện tượng sau: SR là kịch bản chuyển pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không và được phục hồi ở nhiệt độ cao hơn, SNR là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không nhưng không phục hồi được ở nhiệt độ cao hơn và kịch bản pha ISB là kịch bản pha xảy ra do có sự đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ lớn hơn 0K. I.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein Boson là những hạt có giá trị spin nguyên và biến đổi theo quy luật thống kê Bose – Einstein. Hệ Bose gồm có các hạt boson hay gồm các cặp hạt Fermi liên kết. Khí Bose là hệ Bose tương tác yếu, có thể là khí Bose một thành phần hoặc là hỗn hợp nhiều thành phần. Khí Bose không tương tác (g = 0 hay λ = 0), được gọi là khí Bose lý tưởng. Trạng thái của một hệ Bose được biểu diễn bằng những hàm sóng đối xứng và số lấp đầy sẽ không bị hạn chế bởi nguyên lý Pauli mà có thể nhận giá trị bất kỳ. Thế nhiệt động Ω của hệ là:  k T nk k Teln ( ) , (I.3) n 0  k và chỉ hội tụ khi e T 1 nên có thể viết:  k T Ωk = k Teln(1 ) . (I.4) Mà nk hạt ở trong trạng thái lượng tử thứ k có mức năng lượng lớn gấp nk lần năng lượng ϵk của hạt trong trạng thái đó (Ek = nkϵk) nên số hạt boson (nk) trong trạng thái có năng lượng Ek sẽ tuân theo hàm phân bố Bose:  1 n . (I.5) k  k e T 1 10
17. Vì vậy, ở một trạng thái lượng tử không đổi, hệ Bose sẽ có một số tùy ý các hạt. Từ những năm đầu của thế kỉ XX (1924 – 1925), nhà khoa học Einstein đã dự đoán về mặt lý thuyết rằng khi nhiệt độ T bằng 0K, những hạt trong hệ sẽ không chuyển động nhiệt nên động lượng bằng không và hàm sóng ψ k mô tả hệ các hạt trở thành ψ(0). Cho nên, trạng thái cơ bản khi năng lượng của hệ các hạt Bose ở trạng thái lượng tử ứng với T bằng 0K là thấp nhất. Khi nguyên lý Pauli không ảnh hưởng tới các Boson nữa nên ở những trạng thái lượng tử này, trong một thể tích xác định sẽ còn xuất hiện một số tùy ý các hạt không có chuyển động nhiệt. Trạng thái này là một trạng thái rất đặc biệt với mật độ hạt rất là lớn, chúng ta có thể mường tượng là nó giống với một đám mây lạnh đậm đặc chứa rất nhiều hạt ở trong một thể tích nhỏ và nhất định. Hiện tượng vật lý này gọi là ngưng tụ Bose- Einstein và được viết tắt là BEC. Vậy, BEC là trạng thái mới của vật chất, nó xảy ra nếu nhiệt độ được hạ xuống đến gần độ không 0K. Khi xảy ra ngưng tụ, mật độ hạt ngưng tụ tăng lên đột biến. Trong nghiên cứu lý thuyết đã hình thành một số cách tiếp cận khác nhau, tiếp cận BEC ở nhiệt độ hữu hạn như cách tiếp cận dựa trên phép gần đúng Thomas - Fermi của nhóm nghiên cứu Ho và Shenoy, cách tiếp cận dựa trên thế hiệu dụng CJT và phép gần đúng Hatree - Ford của nhóm nghiên cứu lý thuyết của GS. TSKH. Trần Hữu Phát và các đồng nghiệp của ông. Những tiến bộ trong kĩ thuật làm lạnh và giam nguyên tử (ví dụ làm lạnh bằng laze, làm lạnh bằng bay hơi, ) đã cho phép thực nghiệm quan sát được hiện tượng ngưng tụ Bose - Einstein trong các hệ Liti, Kali, Natri. Các thành tựu nghiên cứu của nhóm Steven Chu, Claude Cohen- Tannoudji và Wiliam Phillips đối với kĩ thuật bẫy và làm lạnh tia laser đã đạt giải Nobel vào năm 1997. Thành tựu này đã được ứng dụng để thực hiện thí nghiệm phát hiện BEC. Quá trình thí nghiệm về BEC trải qua các bước sau đây: Làm lạnh tia 11
18. laser sau đó đến bẫy từ trường và cuối cùng là làm bay hơi lạnh các nguyên tử kiềm. Người ta đã dùng hiệu ứng Zeeman tách khí một thành phần thành hai thành phần trong thí nghiệm về BEC hai thành phần. Nhóm Carl Wieman, Eric Cornell và Wolfgang Ketterle thuộc Đại học bang Colorado - Mỹ đã thực hiện thành công thực nghiệm quan sát được BEC hai thành phần, xảy ra ở nhiệt độ 170nK, công trình này đã được giải Nobel năm 2001. Các thí nghiệm phát hiện BEC của khí Bose loãng ở nhiệt độ cực thấp đã chứng tỏ rằng có thể điều khiển theo ý muốn các tham số vật lý như độ dài tán xạ, thế hóa học, để tạo ra các loại chuyển pha khác nhau. Các công dụng đặc biệt quan trọng của BEC trong thực tế đã mở ra các nghành vật lí mới. Tìm hiểu các đặc điểm của BEC đang là đề tài nghiên cứu hấp dẫn, phát triển, lý thú cả trong thực nghiệm lẫn lý thuyết. Tính chất của ngƣng tụ Bose- Einstein Hạt Bose thống nhất trong các hệ, bước sóng de Broglie phụ thuộc nhiệt độ và được tính bằng biểu thức sau: Hình I.3: Hình ảnh của ngưng tụ Bose- Einstein thu từ thực nghiệm của Rubirium do nhóm Carl Wieman, Eric Cornell và Wolfgang Ketterle- Mỹ 12
19. thực hiện được nhờ kỹ thuật làm lạnh, bẫy từ trường và bay hơi lạnh. (Ảnh trên internet) 2 2  , (I.6) T mkT rong đó: m - khối lượng của một hạt, k - hằng số Boltzmann, T - nhiệt độ. Do vậy trong BEC, các hạt Bose có cùng một bước sóng de Broglie. Ta kết luận được rằng BEC là vật chất lượng tử có tính chất kết hợp, xảy ra khi nhiệt độ được hạ xuống đến giá trị tới hạn. Công thức của nhiệt độ tới hạn là: 2/3 2 2 n Tc , (I.7) mk  (3 / 2) mà: n được gọi là mật độ hạt của hệ,  (3 / 2) = 2,612 là hàm zeta Riemann. Từ biểu thức của nhiệt độ này chúng ta thấy rằng nhiệt độ tới hạn được dự đoán theo lý thuyết là thấp hơn 10-6K. Khi hạ nhiệt độ xuống cực thấp tức là làm lạnh khí Bose, khí Bose sẽ chuyển thành chất lỏng lượng tử được mô tả bởi phương trình Gross – Pitaevskii. Hàm có tính đối xứng tương ứng với các thông số trạng thái là nhiệt độ, áp suất, năng lượng, mật độ hạt là hàm sóng mô tả trạng thái thống kê. Khi ở nhiệt độ cực thấp, xung lượng k << 1 khi có BEC thì phổ năng lượng của các hạt Bose mang tính siêu lưu: E = sk , trong đó s là tốc độ âm thanh trong BEC. Nếu s < 0 thì hệ các hạt Bose ở trạng thái bất ổn định Landau. Nếu s là số phức thì hệ ở trạng thái bất ổn định động lực (Dynamical Instability). Tóm lại, đặc tính cơ bản của BEC là tính kết hợp và tính siêu lưu khi xung lượng của các hạt rất nhỏ. 13
20. I.3. Tác dụng hiệu dụng của Cornwall- Jackiw- Tombolis Khi tìm hiểu các lý thuyết lượng tử về ngưng tụ Bose- Einstein (BEC) của khí Bose các nhà nghiên cứu đã sử dụng rất nhiều các phép gần đúng như phương pháp gần đúng trường tự hợp Hatree- Fork (giúp chúng ta giải được phương trình Schodinger để tìm ra hàm sóng mô tả hệ và năng lượng tương ứng), và đã sử dụng phương pháp thống kê Fecmi- Dirac giúp chúng ta giải những bài toán có hệ số hạt lớn hay phương pháp gần đúng Popov cho các hệ khí trộn lẫn. Nhưng khi nghiên cứu lý thuyết tính chất của BEC chúng ta cần một phương pháp đảm bảo không làm mất đi tính phi tuyến tính của các hiệu ứng thể và liên kết của hệ ngưng tụ. Phương pháp tác dụng do ba nhà vật lý J. Golstone, A. Salam và S. Weinberge đưa ra và năm 1962 đã dựa trên tích phân phiếm hàm là phương pháp không nhiễu loạn và đáp ứng được các yêu cầu đã nêu. Đặc biệt nó thích hợp trong việc khảo sát các hiệu ứng tập thể. Khi tiếp tục phát triển phương pháp này, Cornwall- Jackiw- Tombolis đã mở rộng tác dụng hiệu dụng cho các toán tử đa hợp và được gọi tắt là phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT. Phương pháp này đã cho thấy sự ưu việt khi giải quyết được các câu hỏi của lý thuyết trường lượng tử, hơn nữa nó còn có ưu điểm vượt trội trong việc tìm hiểu các tính chất của hệ lượng tử trong đó có cả quá trình chuyển pha. Tác dụng hiệu dụng CJT có kí hiệu là   ,G . Tác dụng hiệu dụng CJT không những phụ thuộc vào giá trị trung bình của trường lượng tử ()x mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G(,) x y là giá trị trung bình của tích chuẩn hai trường lượng tử ứng với T(()x ()y ). Tác dụng hiệu dụng lƣợng tử CJT Trong mọi quá trình vật lý, chúng ta coi những trạng thái của hệ ban đầu ở thời điểm có t và trạng thái của hệ tại thời điểm cuối cùng t 14
21. được xem như những trạng thái ứng với mức năng lượng thấp nhất, tương ứng là các chân không O và O . Khi đó biên độ xác suất để hệ chuyển từ chân không O đến chân không O khi có các nguồn ngoài J, K là phiếm hàm sinh 1 i( ) S  J  K  Z J, K O O N D e 2 , (I.8)   JK, trong đó: .()()J x J x d4 x ,  ()(,)()K   x K x y  y d44 xd y , là các tích chấm đã thể hiện trên tất cả các quá trình bên trong và không thời gian, N là thừa số chuẩn hóa, S[ϕ] là tác dụng thông thường. Tích phân phiếm hàm này được lấy trên toàn bộ các cấu hình trường của hệ vật lý. Quá trình vật lý của hệ đặc trưng bởi sự bổ sung của mỗi đường vào tích phân lấy từ tác dụng thông thường. Hàm Green tổng quát bao gồm tất cả các giản đồ liên kết và không liên kết được sinh ra từ phiếm hàm sinh Z [J, K]. Một phiếm hàm khác W [J, K] chỉ gồm các giản đồ liên kết, không tính đến sự khác nhau do giao hoán các đỉnh sẽ đóng góp vào Z [J, K] theo công thức sau: Z J,. K eiW[,] J K (I.9) Phiếm hàm sinh [,] G chỉ bao gồm những giản đồ bất khả quy hai hạt cho các hàm đỉnh liên kết, bằng phép biến đổi Legendre loại hai ta nhận được phiếm hàm sinh theo công thức: 11  ,W, ,,G  J K  J  K  Tr G K (I.10) 22 Từ định nghĩa 15
22. .()(),J x J x d4 x  ()(,)();K   x K x y  y d44 xd y ij 4 4 Tr G,(,)(,). K Gij x y K x y d xd y Như vậy ta có (,)G JKii (.), (I.11) i [ ,G ] 1 Kij . (I.12) Gij 2 [,] G còn được gọi khác là tác dụng hiệu dụng lượng tử. Ở các trạng thái vật ký, khi nguồn ngoài tất cả bằng không, cặp phương trình (I.23) và (I.24) tương ứng với các trạng thái cơ bản của hệ và là một hệ gồm đầy đủ các phương trình khe để khảo sát chuyển động của trường và phương trình SD của G mà chúng tương ứng có dạng như sau: [,]G 0, (I.13)  JK 0 phương trình Schwinger- Dyson: [,]G 0 . (I.14) G JK 0 Vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính Composite nên khi xét tác dụng , tác dụng này không chỉ phụ thuộc vào giá trị trung bình của trường lượng tử mà nó còn phụ thuộc vào hàm truyền G – là trị trung bình của T - là tích các toán tử trường. Do đó, mọi tính chất nhiệt động của hệ đều được hiểu là khi ta tìm được tác dụng hiệu dụng CJT . Điều đó rất thuận lợi cho việc nghiên cứu sự vi phạm đối xứng khi (I.11) cho nghiệm đối xứng thì (I.12) vẫn cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng. Ta phải dùng phép gần đúng nhất định để xác định đầy đủ .Khai triển loop của , nó 16
23. cho phép ta giải quyết được vấn đề này. Khai triển hai loop (bất khả quy hai hạt) đối với trường Boson có dạng: i [,]G S []  Tr [ln GG 11 GG 1]  [,],  G (I.15) 2 0 0 2 trong đó: 22 11S[][]   Si nt  iG0 ij(), iG 0 ij (I.16) ii jj   2[,] G bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt có các đỉnh được xác định bởi Sint[,] và hàm truyền được đặt bằng G. Lấy đạo hàm theo G của tác dụng hiệu dụng (I.15) có tính đến (I.12) ta sẽ thu được phương trình SD của hàm truyền và năng lượng riêng của hệ. Với trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển  ()x là một hằng số. Lúc này tác dụng hiệu dụng [,] G biểu diễn dưới dạng sau: 4 = - Ve f f ( ,G) dx, (I.17) trong đó Veff( ,G) chính là thế hiệu dụng. Từ khai triển chuỗi (I.15) thế hiệu dụng CJT trong không gian xung lượng có dạng là: i d4 p V(,) GU () trGpGpGGp [ln() 11 () (;)1] VG (,), (I.18) e f f 4 0 0 2 2 (2 ) trong đó U() là thế cổ điển và V2 ( ,G) là tổng của tất cả giản đồ chân không bất khả quy hai hạt của lý thuyết với các đỉnh và hàm truyền Gp( ). Các đỉnh bây giờ chỉ còn là một tham số hằng số nhưng vẫn phụ thuộc vào  và được cho bởi Sint ( , ). Điều kiện dừng để mô tả trạng thái cơ bản trở thành dạng: 17
24. Ve ff ( , G ) 0,  Ve ff ( , G ) 0. (I.19) G Tóm lại, thế hiệu dụng CJT V(,) G là hàm của  và là một phiếm hàm của G. Ở trạng thái cơ bản, thế hiệu dụng CJT và tác dụng hiệu dụng có ý nghĩa như mật độ của năng lượng và năng lượng. Như vậy, ta kết luận được rằng hình thức luận tác dụng hiệu dụng có hai kết quả quan trọng sau: Điều quan trọng thứ nhất, các nghiệm phải thỏa mãn hai phương trình sau: [,]G 0, (I.20) ()x (,)G 0. (I.21) G(,) x y Trong đó phương trình (I.20) là phương trình chuyển động, xác định sự thay đổi của trường lượng tử, phương trình (I.21) chính là phương trình Schwinger- Dyson (SD) cho hàm truyền G. Các kết quả này đặc biệt thuân lợi cho việc nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng cả khi phương trình (I.20) cho nghiệm đối xứng,  (x ) 0 thì phương trình (I.21) vẫn có thể cho được nghiệm làm phá vỡ đối xứng. Điều quan trọng thứ hai là khai triển loop của tác dụng hiệu dụng CJT   ,G bao gồm tổng các giản đồ với một số cố định các loop. Do vậy việc quan trọng đối với (I.13) và (I.14) là việc xác định được bậc loop khai triển và tìm điều kiện dừng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài. Khi có nghiệm  (x ) 0 18
25. của hệ (I.20) và (I.21) tức là đã xảy ra sự đối xứng bị phá vỡ. Nghĩa là sự đối xứng bị phá vỡ đã tự động được tạo ra ngay trong hình thức luận tác dụng hiệu dụng CJT. Và còn, khi triển khai tác dụng hiệu dụng CJT quanh nghiệm dừng, các nghiệm không nhiễu loạn ứng với sự đối xứng bị phá vỡ tự động xuất hiện trong các hiện tượng vật lý ở trạng thái cơ bản. Tác dụng hiệu dụng CJT giúp chúng ta rút ra được rất nhiều thông tin quan trọng có ý nghĩa đặc biệt như xác định giá trị trung bình của Hamilton trong trạng thái chuẩn hóa. Thế hiệu dụng xác định giá trị mật độ năng lượng của hệ trong trường hợp bất biến tính tiến. Bởi vậy, trong những năm gần đây phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT cho các toán tử composite rất là phát triển, nó là một phương pháp toán học hữu ích với độ tin cậy cao trong trường lượng tử. Sự phá vỡ của đối xứng tự phát Các nguyên lý đối xứng xây dựng được hầu hết các lý thuyết vật lý. Nhưng trong thực tế có những đối xứng xảy ra sự “phá vỡ tự phát” nghĩa là trạng thái trong chân không của hệ đã không còn đúng dưới sự biến đổi của các phép đối xứng đó. Cặp phương trình (I.11) và (I.12) tương ứng với các điều kiện dừng của hệ có ý nghĩa rất lớn khi xét sự vi phạm đối xứng khi các nguồn ngoài triệt tiêu. Vì vậy, khi khai triển thế hiệu dụng đã cho thấy đạo hàm bậc hai của thế hiệu dụng là tổng của tất cả những giản đồ liên kết bất khả quy một hạt trong không gian xung lượng và nếu đối xứng bị phá vỡ thì phải tồn tại những Boson không khối lượng được sinh ra và được gọi là Boson Goldstone. Định lý Goldstone cho ta thấy số hạt boson Goldstone được sinh ra. Định Lý Goldstone Định lý Goldstone được phát biểu như sau “Một hệ tương đối tính trong đó nhóm đối xứng liên tục G( n ) bị phá vỡ tự phát: G()() n H m n , 19
26. trong đó H là nhóm con của G, sẽ xuất hiện các boson với hệ thức tán sắc Ekii . . Trong gần đúng khi k 0 , số các boson này gọi là boson Goldstone với số lượng bằng nm ”. I.4. Kết luận của chƣơng I Tổng hợp lại, chương I này đã giới thiệu cho chúng ta những kiến thức cơ bản về lý thuyết chuyển pha, ngưng tụ Bose- Einstein (BEC) và những khái niệm liên quan đến chuyển pha. Chương này cũng đã giới thiệu tác dụng hiệu dụng CJT và ý nghĩa của tác dụng hiệu dụng CJT, thế hiệu dụng ở trong các trạng thái cơ bản. Khi sử dụng phương pháp này sẽ cho kết quả đáng tin cậy. Và trong luận văn tốt nghiệp này chúng tôi đã sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để nghiên cứu và tính năng lượng tự do ở gần đúng nhiệt độ cao cho hệ một thành phần ở chương II. 20
27. Chƣơng II NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CAO Trong chương này chúng ta sẽ đi tìm năng lượng tự do của BEC một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao. Trước hết, khi tính được năng lượng tự do ta cần nghiên cứu về cấu trúc pha của BEC một thành phần được xác định nhờ phương trình Gross - Pitaevskii có dạng sau: 2  £ =  ()(), i      2 tm22 (II.1) trong đó: μ - thế hóa học, m - khối lượng của nguyên tử Bose, λ - hằng số liên kết được mô tả qua độ dài tán xạ a : 4 2a  . (II.2) m Ở nhiệt độ cực thấp, xét thấy độ dài tán xạ giữa các hạt trong hệ của khí Bose sẽ lớn hơn khoảng cách trung bình giữa các hạt khi đó tác dụng lẫn nhau của các hạt boson trong hệ là tương tác đẩy yếu nên hằng số liên kết phải dương, . μ, λ và nhiệt độ T là các tham số điều khiển tương ứng với Lagrangian (II.1). Ta nhận thấy hàm Lagrangian (II.1) không thay đổi khi thay đổi khi ta thay hàm sóng ϕ bằng ei  , nghĩa là bất biến đối với phép biến đổi pha của nhóm đối xứng Unita U(1). Vì vậy, nếu hàm Lagrangian đối xứng tự phát bị phá vỡ đối với nhóm U(1) thì sẽ phải có một Bose Goldstone được sinh ra theo định lý Golstone và được áp dụng cho ngưng tụ Bose - Einstein. Dựa vào đó chúng tôi đi xây dựng thế hiệu dụng Cornwall - Jackiw - Tomboulis (CJT) đối với hệ có Lagarangian (II.1) trong gần đúng hai vòng và từ đó sẽ rút ra phương trình trạng thái. Sau đó là thực hiện bước nghiên cứu số 21
28. để khảo sát chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử từ đó tính được năng lượng tự do trong gần đúng nhiệt độ cao. Cuối cùng rút ra được các kết luận quan trọng. II.1. Thế hiệu dụng trong gần đúng hai vòng Đầu tiên để tìm thế hiệu dụng CJT trong gần đúng hai vòng ta viết toán tử trường dưới dạng: 1   (  i  ). (II.3) 02 1 2 Ta thay (II.3) vào (II.1), ta thu được: 2 2 2   00   i    i  i 12 i  t2 m 22  t 2 m  t 2 m 2 2 2 1    2   i  1   i 1 i  2 i  2 2 t 2 m 2  t 2 m 2  t 2 m 2 i2  i 1. 22 tm    2  (  )2  2  4 2(  2 ) 1 (  3  2 ) 20 2 0 0 0 1 2 0 2   2 ()()(). 2  2  2    2  2 2 220 1 2 0 18 1 2 Khi đó, ta viết lại Lagrangian (II.1) dưới dạng: £ = £0 + £1 + £2, trong đó ta có 24 £0 = 00  , 2 22
29. 22 00   i   £1 ii  1 2 22 t22 m t m 22 ii12     ii 21 2 t 2 m 2 t 2 m 2 1  2 i  3 01  22 tm 2 1  2 i  02  , 22 tm 2 2 2 2 2 2 £2 = 2(   )     (   ) (   ) . 0 0 12 0 1 1 28 1 2 Ta sẽ thu được Lagrangian tương tác có dạng sau: 2 2 2 2 2 £int =  ()()     . 2 0 1 1 28 1 2 Từ Lagrangian và (II.3), trong không gian xung lượng chúng ta thu được: ⃰ Nghịch đảo của hàm truyền tự do: k 2 n 1 2m Dk0 (); k 2  n 2m ⃰ Nghịch đảo của hàm truyền ở gần đúng mức cây: 2 k 2  3 0 n 1 2m Dk00(,). (II.4) k 2    2 n 2m 0 Từ đó 23
30. kk22 det D 1( k , ) 0 E 2  3  2   2 . 0 0 0 0 22mm (II.5) Khi chúng ta sử dụng biểu thức thế tương tác:  U 24  , (II.6) 002 Lấy đạo hàm của (II.6) ta được: U 3 00 00  . (II.7) 0 Vì vậy, mật độ ngưng tụ trong gần đúng cây được xác định bởi: 2 00 (II.8) ứng với các cực tiểu địa phương của thế phải thỏa mãn:   2 . (II.9) 0  Có thể viết lại hàm truyền nghịch đảo trong không gian xung lượng dưới dạng sau: k 2 D 12( k , ) A , A  2  , 0 0 ij 112m 0 (II.10) k 2 AAA  ,. 12 21n 22 2m Thay (II.7) vào (II.5) chúng ta sẽ nhận được một hệ thức tán sắc Bogoliubov đối với ngưng tụ Bose – Einstein của khí Bose khi ở nhiệt độ cực thấp: kk22 E 2, 2 (II.11) 0 22mm Khi xung lượng nhỏ, (II.11) sẽ trở thành: 24
31.  2 Ek 0 . (II.12) m Hệ thức (II.12) diễn tả sự xuất hiện boson Goldstone không khối lượng do sự đối xứng bị phá vỡ của nhóm U(1) như đã nói từ trước. Tiếp đến, chúng ta sẽ đi tính thế hiệu dụng CJT ở gần đúng hai vòng. Để tính được ta phải giả sử hàm truyền đầy đủ có dạng: kk22 D 1(),,, k B B M B M B B  . ij 1122mm 1 22 2 12 21 n Vận dụng công thức (I.18), biểu thức của thế hiệu dụng CJT, VD(,)  0 ở nhiệt độ hữu hạn trong gần đúng hai vòng sẽ là:  1 VCJT (,) D 2  4 tr ln() D 1 k D 1 (,)()1 k  D k  022  0 0 (II.13) 3322   D()()()(), k D k D k D k 8 11 8  22 4  11  22 trong đó, để gọn ta dùng ký hiệu: dk3 f( k ) T f ( , k ). (II.14)   3 n n (2 ) Như vậy, ta sẽ thu được hai phương trình là: phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson. II.2. Phƣơng trình khe và phƣơng trình Schwinger - Dyson. 2.1. Phƣơng trình khe CJT V 2 0  01  0. (II.15) 0 2.2. Phƣơng trình Schwinger - Dyson đối với hàm truyền 25
32. V CJT k 2 3  0 D 12  3  D ( k ) D ( k ), 11 0  11 22  Dm11 2 2 2 V CJT  0, D 1   D 12 n 12 CJT V 1 0, D12 n  D21 V CJT k 2 3  0 D 12   D ( k ) D ( k ). 22 0  22 11  Dm22 2 2 2 Nghĩa là: 2 k 2  3 01  n 1 2m Dk(), (II.16) k 2    2  n 2m 02 trong đó: 3  D()() k D k 122  11 22 3  D( k ) D ( k ). (II.17) 222  11 22 Như vậy, hàm truyền đầy đủ trong gần đúng hai vòng là: k 2 D 1(),, k B B M ij 112m 1 (II.18) k 2 BBBM  ,, 12 21n 222m 2 trong đó 2 M1  3,  0  1 2 (II.19) M 2   0  2 . 26
33. Chúng ta thấy rằng rõ ràng định lý Goldstone không được nghiệm đúng trong phép gần đúng này. Để khôi phục lại định lý Goldstone, ta viết thế hiệu dụng dưới dạng bổ chính: CJT CJT VDVDV(,)(,),00 (II.20) trong đó  22 VPPPP 2, Paa = D (ka ); 1,2. (II.21) 4 11 22 11 22  aa Thay (II.21) vào (II.14) ta thu được thế hiệu dụng:  1 VCJT (,) D 2  4 tr ln() D 1 k D 1 (,)()1 k  D k  0 022 0  0 0 (II.22)  3  PPPP22 . 811 8 22 4 11 22 Từ (II.22) chúng ta sẽ thu được: 2.3. Phƣơng trình khe mới 2  02  0 . (II.23) Hay  2 ;.    (II.24) 02 Theo công thức (II.19): M   2  0 hay M ⃰ bị triệt tiêu 2 0 0 2 trong pha đối xứng bị phá vỡ. 2.4. Phƣơng trình SD mới 11 D0()(,), k D 0 k  0  2 (II.25) trong đó: 3   ,,   PP ij 11 122 11 22 (II.26) 3   0,   PP . 12 21 22 222 11 22 Kết hợp với (II.24), (II.25) và (II.26) ta sẽ thu được: 27
34. k 2 D 1(),,, k B B M B B  ij 112m 1 12 21 n (II.27) k 2 BM ,  3  2  . 222m 1 0 1 ⃰ ⃰ Do chỉ có M1 ≠ 0 nên ta kí hiệu M1 = M. Khi đó hệ thức tán sắc có dạng: kk22 EM (II.28) 22mm Khi k 0, hệ thức tán sắc sẽ trở thành: M Ek (II.29) 2m Hệ thức này đã chứng tỏ định lý Goldstone được nghiệm đúng. Như vậy, thế hiệu dụng trong gần đúng (II.22) đã khôi phục lại định lý Goldstone trong pha đối xứng bị phá vỡ và không làm thay đổi các phương trình với những giá trị trung bình của trường trong gần đúng hai vòng và không làm thay đổi các kết quả trong pha đối xứng được phục hồi. Với sự phục hồi của định lý Goldstone, chúng ta đi xét điều kiện tiêu chuẩn Laudau đối với tính siêu lỏng của BEC, nghĩa là giá trị cực tiểu của vận tốc để có thể tồn tại các kích thích trong BEC là: Ek() c min( ), k trong đó: Ek() được gọi là năng lượng kích thích, k là động lượng của hệ. Do đó, khi định lý Goldstone được nghiệm đúng, BEC trở thành siêu lỏng trong pha bị phá vỡ và tốc độ của sóng âm tương ứng là: M c C . (II.30) 2m 28
35. Cuối cùng, bằng cách sử dụng phương trình khe và phương trình SD theo (II.25) và (II.26), ta sẽ thu được biểu thức rút gọn của thế hiệu dụng là:  1 VCJT ( ) 2  4 tr ln D 1 ( k )  0 022 0  PP 11(322  M ) 22 (   ) (II.31) 2200 3 ().PPPP22 8411 22 11 22 II.3. Năng lƣợng tự do Những đặc trưng vật lý của hệ được xây dựng qua các thông số trạng thái và nghiệm của phương trình trạng thái mô tả hệ. Dựa vào thế hiệu dụng ở phương trình (II.31), ta sẽ nhận được các phương trình trạng thái của hệ bằng cách sau: - Trước tiên, dựa vào định nghĩa của áp suất: CJT PVD  (0 , ), (II.32) khi được lấy tại cực tiểu của thế và mật độ ngưng tụ là: V CJT PP   2 11 22 . (II.33)  0 2 Chúng ta sẽ tính được áp suất theo mật độ là: 1  P  2 trln D 1 ( k )  P P 2 . (II.34) 22  11 11 ta có thông số của hàm truyền: MP 21 1 2  1 11 . (II.35) Với năng lượng tự do, ta sử dụng phép biến đổi Legendre   P, khi đó ta sẽ thu được: 1    2 trD 1(). k P 2 (II.36) 22  11 29
36. Hai biểu thức (II.34) và (II.36) là những phương trình trạng thái của BEC. Những phương trình này quyết định tất cả các quá trình chuyển pha của BEC. Sau đó, dựa vào những phương trình trạng thái, chúng tôi sẽ đi khảo sát năng lượng tự do ở nhiệt độ cao (T /i 1) . II.4. Gần đúng nhiệt độ cao. Vì sự đối xứng của U(1) bị phá vỡ ở độ không tuyệt đối T=0 và được 2 phục hồi ở nhiệt độ cao T = Tc nếu 0 0 khi T Tc nên để tìm được nhiệt độ tới hạn, chúng ta sử dụng khai triển ở nhiệt độ cao của các tích phân trong thế hiệu dụng ở (II.22). Các tích phân trong thế hiệu dụng và hàm truyền ở nhiệt độ cao có dạng như sau: (2m )3/2 (2m )3/2  (3 / 2) D() k  M 3 1122 1  64 3/235 21/2 41/2 (3 / 2)TMTMT  (1/ 2)11  ( 1/ 2) ; 28 (2)mm3/2 (2) 3/2  (3/2) D() k M 3 2222 1  12 4 13 3/2 21/2 41/2 (3/2)T  (1/2)MTT11  (1/2)M . 28 Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ cao  (2m )3/2  (3 / 2) VTCJT 2  4  (5 / 2) 5/2  0024 2 3/2 (2m ) (3 / 2) 12 3/2 3 4 1/2 (3 / 2)MTMT11 (1/ 2) 4 2 2 8 3 m  2 3 2 2 (3 / 2) TMT  (1/ 2)  (3 / 2) 1 8 3 2 m3 2 (3 / 2)  (1/ 2) MTMT3 3/2 4 . 8 3 3 1/2 11 4 30
37. và thu được: 3/2(3/ 2) 3/2 (2mT ) (3/ 2) , 12 2 2 Trong đó  (z) là hàm zeta Riemann. Từ đó dựa vào biểu thức (II.24), 2 thu được biểu thức của nhiệt độ tới hạn Tc là nhiệt độ ở đó 0 0 : 3/2  Tc 2. 3/2 (II.37) 2m  (3 / 2) Đồng thời chúng ta cũng thu được: - Áp suất trong điều kiện nhiệt độ cao dưới nhiệt độ tới hạn 3/2 3 2 2m  (5 / 2) 5/2m  (3/ 2) 3 PTT  3 , (II.38) 22 3 16 - Năng lượng tự do ở gần đúng nhiệt độ cao 3m3/2  (3 / 2)   2 T 3/2 42 3 (II.39) 3/2 3 2 3m  (5 / 2) m  (3 / 2) 3 T . 42 3 8 3 II.5. Kết luận chƣơng II Tóm tắt lại, chương II đã giới thiệu lý thuyết về thế hiệu dung trong gần đúng hai vòng các biểu thức, phương trình của nó. Chương II cũng đã giới thiệu phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson. Phần quan trọng nhất trong khóa luận này là chương II với việc tìm hiểu và tính được năng lượng tự do của BEC trong gần đúng nhiệt độ cao. 31
38. KẾT LUẬN Trong khóa luận này chúng tôi đã tìm hiểu và đi tính năng lượng tự do của ngưng tụ Bose - Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao. Đầu tiên, chương I là phần tổng quan trong chương này đã giới thiệu những kiến thức cơ bản về chuyển pha, BEC và tác dụng hiệu dụng CJT. Dựa vào đó chúng ta có những kiến thức tổng quan nhất về BEC tác dụng CJT và ý nghĩa của tác dụng hiệu dụng trong vật lý, thế hiệu dụng ở trạng thái cơ bản. Sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để nghiên cứu các hiện tượng vật lý trong tự nhiên, hiệu ứng tập thể và sự chuyển pha sẽ cho kết quả đáng tin cậy. Chương II là chương quan trọng nhất của luận văn tốt nghiệp, chúng tôi đã sử dụng thế hiệu dụng trong gần đúng hai vòng, phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson để tính được năng lượng tự do. Luận văn tốt nghiệp này chỉ tìm hiểu một khía cạnh nhỏ là năng lượng tự do của ngưng tụ Bose - Einstein một thành phần ở gần đúng nhiệt độ cao.Ta chỉ tính được gần đúng năng lượng mà chưa thể tính được năng lượng tự do một cách chính xác vì chúng ta chỉ sử dụng các phương pháp gần đúng nên kết quả có chút sai số. Kết luận lại khóa luận này là đi tính năng lượng tự do của ngưng tụ Bose - Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ cao bằng các phương pháp gần đúng. 32
39. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Davudop A. X, Cơ Học Lượng Tử (1992), Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp. [2]. T. H. Phát. V. Hoa, N. T. Anh, N. V. Long, Ann. Phys. 324,2074 (2009) [3]. Vũ Thanh Khiết. Vật lý thống kê [4].Amelion- G. Camelia (1996), On the CJT Formalisn in multi - field theories, Nucl. Phys. B 476, 255. [5]. Bajc B (2000), High Temperature Symmetry Nonrestoration. Available from hep- ph/0002187. [6]. Pethick C. J. and Smith H. (2008), Bose - Enstein Condensation in Dilute Gases, second Edition, Cambridge University Press. 33