›

Khóa luận Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lý

pdf 48 trang thiennha21 15/04/2022 12270
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_mot_so_dang_phuong_trinh_vi_phan_va_ap_dung_de_gia.pdf

Nội dung text: Khóa luận Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lý

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƢƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2018
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƢƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN Hà Nội – 2018
  3. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lý – trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này. Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Đỗ Thị Thương
  4. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo). Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viên Đỗ Thị Thương
  5. MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN. 3 1.1. Một số khái niệm 3 1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân. 3 1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng. 3 1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân. 3 1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một. 3 1.2.1. Định nghĩa. 3 1.2.2. Một số dạng phƣơng trình. 4 1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1 4 1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần. 6 1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một 7 1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli. 9 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. 10 CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN 13 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. 13 2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. 13 2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. 13 2.1.2. Sự phân rã phóng xạ 14 2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng. 15 2.1.4. Một số bài toán về cơ học. 16 2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. 18 2.3. Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt. 21 2.3.1. Phƣơng trình dao động của sợi dây. 21 2.3.2. Phƣơng trình truyền nhiệt. 27 2.3.3. Phƣơng trình Schrodinger. 30 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG. 35 3.1. Trong y sinh và hóa lý (dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản, sự phát triển của dịch bệnh). 35
  6. 3.1.1. Dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản. 35 3.1.2. Sự phát triển của dịch bệnh: 38 3.2. Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa và giá cả). 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
  7. LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phƣơng trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng. Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu của các phƣơng trình vi phân tƣơng ứng. Phƣơng trình vi phân có ứng dụng rộng rãi trong các ngành nhƣ kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc độ tăng dân số, trong vật lí, Đặc biệt là trong ngành Vật lí lý thuyết – một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí, từ đó tìm ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy. Và phƣơng trình vi phân là một công cụ, một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh các giả thuyết. Vì vậy, em đã quyết định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí” để nghiên cứu. Khóa luận bao gồm các nội dung: Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân Chƣơng 2: Áp dụng các phƣơng trình vi phân để giải một số bài toán Chƣơng 3: Một số ứng dụng trong khoa học và đời sống 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về các dạng phƣơng trình vi phân. - Ứng dụng giải các bài toán vật lí bằng phƣơng trình vi phân. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Các dạng phƣơng trình vi phân. - Một số bài toán vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về các dạng phƣơng trình vi phân. - Nghiên cứu về các bài toán vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo trên sách, trên mạng, - Thống kê, lập luận, diễn giải. 1
  8. 6. Những đóng góp mới của khóa luận Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào giải một số bài toán vật lý. 2
  9. CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1. Một số khái niệm. 1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân. Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là cấp hay bậc của phƣơng trình vi phân đó Ví dụ: (y' ) 2 4 xy 3 5 y 5 0, có mặt đạo hàm cấp 1 nên đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân cấp 1 (y'' ) 2 5( y ' ) 3 y 1; (y' ) 5 ( y '' ) 2 y 1, có mặt đạo hàm cấp 2 nên đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân cấp 2 1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng. Phƣơng trình vi phân có dạng F( x , y , y'() , y n ) 0, đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân thƣờng cấp n. Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm, là đạo hàm cấp 1 của y, là đạo hàm cấp n của y 1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân. Nghiệm hay tích phân của phƣơng trình vi phân là mọi hàm số y = f(x) mà khi thay vào phƣơng trình sẽ biến phƣơng trình thành đồng nhất thức Ví dụ: Phƣơng trình yy'' 0, nhận các hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx – sinx và tổng quát là hàm số có dạng y = sinx + cosx là nghiệm của phƣơng trình, với mọi hằng số và 1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một. 1.2.1. Định nghĩa. Phƣơng trình vi phân cấp một là phƣơng trình có dạng F(x,y, ) = 0 (1.1) Hay = f(x,y) hay = f(x,y) y Ví dụ: 3yy'2 3 x 0; y2 dx xdy 0 ; y' x Hoặc từ (1.1) ta giải ra đƣợc: 3
  10. y' f(,) x y Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm. Ta cũng có thể viết phƣơng trình vi phân đã giải ra đạo hàm dƣới dạng đối xứng M( x , y ) dx N ( x , y ) dy 0 Cách giải: Ta dùng phƣơng pháp tách biến - Đƣa phƣơng trình vi phân cấp một về dạng: A(x)dx + B(y)dy = 0 (1.2) Trong đó A(x), B(y) là các hàm lần lƣợt chỉ phụ thuộc vào x và y. - Tích phân 2 vế phƣơng trình (1.2) ta đƣợc tích phân tổng quát của (1.2): A()() x dx B y dy C Ví dụ: Giải phƣơng trình: (1 x ) ydx (1 y ) xdy 0 Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, có thể viết phƣơng trình thành: 11 ( 1)dx (1 ) dy xy Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: ln|x| + x = y - ln|y| + C Hay ln|xy| + x – y = C Đó là tích phân tổng quát của phƣơng trình. 1.2.2. Một số dạng phƣơng trình. 1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1. Phƣơng trình y’ = f(x,y) đƣợc gọi là phƣơng trình đẳng cấp nếu f (x, y) là hàm đẳng cấp bậc 0, nghĩa là ff(x, y) (tx,ty) xy ví dụ: y' là phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp một xy Cách giải: Theo định nghĩa phƣơng trình đẳng cấp ta có f( tx , ty ) f (x, y) 4
  11. 1 y Chọn t ( x 0 )thì ta có yf' (x, y) f(1, ) (1.3) x x Vế phải của phƣơng trình (1.3) là một biểu thức luôn phụ thuộc vào y do x yy vậy yf' (1, ) ) (1.4) xx y Đặt u y u. x y'' u x. u thế vào phƣơng trình (1.4) ta có xu.' (u) u x - Trƣờng hợp 1: (u) u yy Khi đó: () xx y dy dx Do đó phƣơng trình ( ) trở thành y' y Cx x yx - Trƣờng hợp 2: (u) u 0 du dx Khi đó: : phƣơng trình tách biến (u) u x xy Ví dụ: Giải phƣơng trình vi phân y' xy Rõ ràng đây là phƣơng trình đẳng cấp. Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau: y 1 xy y' x y xy 1 x y Đặt u . Ta có: y'' u x u và thay vào phƣơng trình ta có: x 1 u 1 u dx u' x u du 1 u 1 ux2 Lấy tích phân hai vế ta đƣợc: du udu lnx lnC 11 uu22 1 arctgu ln(1 u2 ) ln C x 2 Hay 2 arctgu ln C x 1 u y arctg ( ) Vậy nghiệm của phƣơng trình có dạng: C() x22 y e x 5
  12. 1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần. Phƣơng trình: M(x, y)dx N(x, y)dy 0 (1.5) Đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện là vế trái của phƣơng trình (1.5) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào đó. Tức là tồn tại hàm U(x, y) khả vi nào đó sao cho: dU(x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy Điều kiện để một phƣơng trình vi phân dạng (1.5) trở thành một phƣơng trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết một phƣơng trình vi phân toàn phần) là: MN yx Cách giải: Nếu (1.5) là phƣơng trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.5) là: x y U(x, y) M (x, y )dx N (x, y) dy C (1.6) 0 xy00 Hoặc x y U(x, y) M (x, y)dx N (x , y) dy C (1.7) 0 xy00 Với (x00 , y ) là một điểm bất kì mà khi thay vào các hàm M (x, y0 ) , N(x0 , y) xác định. Ví dụ: Giải phƣơng trình: (3x2 6 xy 2 ) dx (6 x 2 y 4 y 3 ) dy 0 (1.8) Giải: Trƣớc tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phƣơng trình đã cho có là phƣơng trình vi phân toàn phần hay không Ta có: M(x, y) (3x22 6 xy ), N(x, y) (6x23 y 4 y ) MN 12xy yx Vậy (1.8) là phƣơng trình vi phân toàn phần. Chọn (x00 , y ) (0,0) 6
  13. Theo công thức (1.7) ta đƣợc: x y (3x2 6 xy 2 ) dx 4 y 3 dy C 00 Hay tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.8) là: x3 3 x 2 y 2 y 4 C 1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một là phƣơng trình có dạng: yp' (x) y q(x) (1.9) (hay yp' (x) y q(x) ) Trong đó p(x),q(x) là những hàm số liên tục, cho trƣớc - Nếu q(x) 0 thì (1.9) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất. - Nếu q(x) 0 thì (2.9) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất. Cách giải: Cách 1: Phƣơng pháp thừa số tích phân. p() x dx Nhân 2 vế của (1.9) với thừa số e ta đƣợc: p( x ) dx p (x)dx p ( x ) dx y' e p()() x e y q x e (1.10) Ta chú ý vế trái của phƣơng trình (1.10) sẽ thấy biểu thức ở vế trá chính là p() x dx đạo hàm của tích số ye. . Vậy ta viết lại phƣơng trình (1.10) nhƣ sau: p()() x dx p x dx (y . e )' q ( x ). e Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc: p()() x dx p x dx y. e q ( x ). e dx C Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) có dạng: p()() x dx p x dx y e . q ( x ). e dx C Lƣu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trƣờng hợp hệ số của y' bằng 1. Ví dụ: Giải phƣơng trình: y' 24 xy x Giải: 7
  14. 2xdx 2 Nhân 2 vế của phƣơng trình với thừa số ee x 2 2 2 Ta đƣợc: y'. ex 2 xe x . y 4 x . e x Hay d 22 (y .exx ) 4 x . e dx Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc: 2 2 2 y.ex 4 x . e x dx C 2 e x C Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là: 2 y 2. C e x Cách 2: Phƣơng pháp Bernoulli (phƣơng pháp tìm nghiệm dƣới dạng tích) Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng tích của 2 hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phƣơng trình dƣới dạng tích: y u( x ). v ( x ) Ta có: y''' u v vu Thế vào phƣơng trình (1.9) ta có: (u'' v vu ) p ( x ).( u . v ) q ( x ) Hay (u'' p ( x ). u ) v v . u q ( x ) (1.11) Phƣơng trình (1.11) có tới 4 thông số chƣa biết là u, v, nên không thể giải để tìm u, v bất kì. Để tìm u, v thỏa mãn phƣơng trình (1.11), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi một hàm chƣa biết. Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho u' p( x ).u 0 (1.12) Ta dễ dàng tìm đƣợc hàm u(x) thỏa mãn (1.12) vì (1.12) chính là phƣơng trình tách biến. Khi đó: du p() x dx p(x)dx u(x) C.e u p() x dx Chọn C=1 ta có u(x) e Nhƣ vậy ta tìm đƣợc hàm u(x) nên từ (1.11) ta sẽ có: qx() p() x dx p() x dx v' q( x ). e v q( x ). e dx C 1 ux() Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) là: p()() x dx p x dx y e q() x e C 1 8
  15. Cách 3: Phƣơng pháp Larrange (phƣơng pháp biến thiên hằng số) Từ cách 2 ta thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng y u( x ). v ( x ) , với u(x) là nghiệm của phƣơng trình (1.12) – đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1. Do vậy, giải phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm đƣợc p() x dx u(). x C e p() x dx Mà công thức nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) lại là y e .() v x chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x). Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải đƣợc bài toán. Vậy: Bước 1: Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phƣơng trình (1.9): ' y p( x ).y 0 Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất có dạng: p() x dx y C. e Bước 2: Nghiệm tổng quát của phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất (1.9) có dạng: p() x dx y v( x ). e p()() x dx p x dx Ta có: y'' v( x ). e v . p ( x ). e Thế vào phƣơng trình ta có: pxdx()()() pxdx pxdx vxe' (). vpxe .(). pxe ().v. qx () p() x dx Suy ra: v' q() x e . Từ đó tìm đƣợc v(x). 1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli. Phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình có dạng: y' p( x ). y q ( x ). y ,( 0, 1) (1.13) Cách giải: Nhân 2 vế của phƣơng trình (1.13) cho (1 ).y . Ta có: (1 ).y .y'1 (1 ). p ( x ). y (1 ). q ( x ) (1.14) 9
  16. Khi đó, ta đặt: zy 1 . Ta có z'' (1 ) y . y . Thế vào phƣơng trình (1.14) ta đƣợc: z' (1 ) p ( x ). z (1 ). q ( x ) Phƣơng trình này chính là phƣơng trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Ví dụ: yx2 Giải phƣơng trình: y' (1.15) 22xy Giải: 1 x2 Ta viết lại phƣơng trình: y'1 y y 22x Đây là phƣơng trình Bernoulli với 1 Do đó, ta nhân hai vế của phƣơng trình với (1 ( 1)).yy1 2 . 1 Ta có: 2.yy' y 2 x 2 (*) x 1 Đặt zy 2 z'' 2 yy . Thế vào (*) ta có: z'2 . z x ( ) (phƣơng trình x tuyến tính với z là hàm theo biến x). - Giải phƣơng trình thuần nhất liên kết với ( ) ta đƣợc: z C. x - Nghiệm tổng quát của phƣơng trình ( ) có dạng: z v( x ). x x2 Thế vào ( ) ta tìm đƣợc: v() x C 2 x3 Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình ( ) là: z C. x 2 x3 Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là: y2 C. x 2 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. Phƣơng trình vi phân cấp 2 là phƣơng trình có dạng: F( x , y , y' , y '' ) 0hay y'' f(,,) x y y ' (1.16) y Ví dụ: x3 y '' 2 xy ex y 3 x 0; y'' 2 x cos x là những phƣơng trình vi phân x2 cấp 2 Xét phƣơng trình y'' f(,,) x y y ' 10
  17. Nếu f(,,) x y y' là một hàm liên tục trong một miền nào đó có chứa điểm ' (,,)x00 y y thì phƣơng trình vi phân cấp 2 đã cho tồn tại một nghiệm y y0 () x thỏa f f mãn điều kiện y( x ) y ; y'' ( x ) y . Ngoài ra, nếu và cũng liên tục trong 0 0 0 0 y y' miền nói trên thì nghiệm y y() x là nghiệm duy nhất. '' Điều kiện để y();() x0 y 0 y x 0 y 0 đƣợc gọi là các điều kiện ban đầu của một phƣơng trình vi phân cấp 2: y y; y'' y x x0000 x x Gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là hàm số yx (,C,C)12, trong đó , là những hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau: - Nó thỏa mãn phƣơng trình (1.16) với mọi giá trị của , ' - Với mọi (,,)x000 y y ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất nghiệm đƣợc thỏa mãn, có thể tìm đƣợc các giá trị xác định 00 00 CCCC1 1, 2 2 sao cho hàm số y (,,) x C12 C thỏa mãn: y y, y'' y x x0000 x x Hệ thức (x , y , C12 , C ) 0 xác định nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.1) dƣới dạng ẩn đƣợc gọi là tích phân tổng quát của nó.Nó biểu diễn một họ đƣờng tích phân phụ thuộc hai tham số. Ngƣời ta gọi nghiệm riêng của phƣơng trình (1.16) là một hàm số 00 y (,,) x C12 C mà ta đƣợc bằng cách cho , trong nghiệm tổng quát các giá 00 00 trị xác định CC12, . Hệ thức (x , y , C12 , C ) 0 đƣợc gọi là tích phân riêng. Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình: y'' sinx . Tìm một nghiệm riêng ' thỏa mãn điều kiện ban đầu yyxx 00 0; 1 Giải: Phƣơng trình trên là phƣơng trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và '' Từ phƣơng trình y sinx (1.17) Ta có: y' sin x dx C cos x C 11 y cos xdx C x C sinx C x C 1 2 1 2 Suy ra, nghiệm tổng quát của (1.17) là: y sinx C12 x C 11
  18. Tìm nghiệm riêng: Vì yx 0 0 sin0 C 1 0 C 2 0 C 2 0 ' Vì yx 0 1 cos0 C 1 1 C 1 2 Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: yx sinx 2 12
  19. CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. 2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. 2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. Bài toán: Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC đƣợc kích thích bởi một nguồn DC từ bên ngoài. Xét mạch (nhƣ hình). Khóa K đóng tại thời điểm t = 0 và tụ đa tích điện ban đầu với giá trị V0 . Xác định các giá trị vi, c và iR sau khi đóng khóa K, tức t > 0? Giải: Khi t > 0, viết định luật 1 Kirchhoff (định luật Kirchhoff về dòng điện – KCL) cho mạch: dv v CI dt R 0 Hay: dv 1 I v 0 dt RC C Phƣơng trình này chính là phƣơng trình Bernoulli với 0 Giải phƣơng trình trên ta đƣợc: t RC v(). t Ae RI0 Xác định A nhờ điều kiện đầu. 13
  20. Ở t = 0+: v(0 ) v (0 ) V0 V 0 A RI 0 Hay: A V00 RI t t t RC RC RC vt( ) ( VRIe0 0 ). RI 0 Ve 0 . RI 0 (1 e ) Hằng số A bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu (V0 ) và cả nguồn kích thích ( I0 ). Đáp ứng gồm 2 phần: Phần chứa hàm mũ có dạng giống nhƣ đáp ứng của mạch RC không chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn đƣợc xác định nhờ thời hằng của mạch và đƣợc gọi là đáp ứng tự nhiên: t RC vn ( V00 RI ). e Để ý là vn 0 khi t Phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, đƣợc gọi là đáp ứng ép: vf RI0 Trong trƣờng hợp nguồn kích thích DC, vn và v f Dòng iC và iR xác định bởi: t dv V RI i(). t C 00 e RC C dt R t V RI V i(). t I i I 00 e RC RC00RR 2.1.2. Sự phân rã phóng xạ. Gọi y(t) là số lƣợng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật liệu cho trƣớc. Với k là một hằng số phƣơng trình: dy() t k.() y t dt Là phƣơng trình vi phân mô tả lƣợng nguyên tử phóng xạ. 14
  21. Bài toán: Chu kì bán rã của Radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa là cứ khoảng 1600 năm khối lƣợng của Radium giảm đi một nửa. Nếu ban đầu một mẫu Radium có khối lƣợng là 50 gram thì sau bao lâu khối lƣợng của nó là 45 gram? Giải: Gọi y(t) là khối lƣợng của Radium sau khoảng thời gian là t (năm) Ta biết rằng y' ().() t k y t (k là một hằng số) Giải phƣơng trình vi phân trên ta đƣợc: y(). t C ekt ln 2 Ta có: y(0) 50 và y(1600) 25 ta tìm đƣợc Ck 50, 1600 x 45 ln( ) ln( ) Vậy sau thời gian t 50 50 243,2 (năm) kk 2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng. Đây là mô hình toán học diễn tả sự thay đổi của đối tƣợng đƣợc khảo sát trong một môi trƣờng nhất định. Định luật phát biểu rằng tốc độ thay đổi (theo thời gian) của nhiệt độ tỷ lệ thuận với sai biệt giữa nhiệt độ T của đối tƣợng và nhiệt độ Te của môi trƣờng xung quanh đối tƣợng dT k() T T dt e t 0; T (0) Te Ví dụ: Một bình nƣớc đang sôi ở nhiệt độ ban đầu là 100 C , ngƣời ta muốn giảm xuống 70 C biết nhiệt độ môi trƣờng là 26 C , nhiệt độ sẽ giảm xuống 96 C sau 1 phút. - Viết phƣơng trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm của phƣơng trình này. - Tính thời gian để bình nƣớc ở 63 C Lời giải: dT k() T T dt e t 0; T (0) 100; Te 26 tT 1; (1) 96 15
  22. dT kT( 26) Phƣơng trình vi phân: dt dT kdt ln T 26 kt C T 26 kt C kt T e 26 C1 e 26 t 0; T (0) 100 100 C 26 C 74 11 k.1 74 t 1; T (1) 96 96 74. e 26 k ln 70 k 0,06 Vậy nghiệm tổng quát: Te 74. 0,06.t 26 Xét phƣơng trình: 74.e 0,06.t 26 63 ln 2 t 11,55 ph út 0,06 2.1.4. Một số bài toán về cơ học.  Vận tốc thoát khỏi trái đất. Xét bài toán xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm đi ra trái đất và bị tác động bởi lực hấp dẫn của trái đất. Giả sử vận tốc ban đầu theo hƣớng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đƣờng đi qua tâm trái đất. Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc tỷ lệ nghịch với bình phƣơng khoảng cách từ hạt đến tâm trái đất. Giả sử rlà biến khoảng cách và Rlà bán kính trái đất. Nếu tbiểu diễn thời gian, vlà vận tốc của hạt, alà gia tốc và k là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có: dv k a dt r 2 Gia tốc là âm vì vận tốc giảm. Vì thế hằng số klà dƣơng. Khi rR thì ag , gia tốc của trọng lực ở bề ngoài trái đất. Nhƣ vậy: k g R2 Từ đó: gR2 a r 2 (2.1) 16
  23. Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách. dv dr Ta có a và v , do đó: dt dt dv dr dv dv av (2.2) dt dt dr dr Từ (2.1) và (2.2) ta có: dv gR2 v (2.3) dr r 2 Nghiệm tổng quát của (2.3) có dạng: 2gR2 vC2 r Giả sử hạt rời bề mặt trái đất với vận tốcv0 . Khi đó vv 0 khi rR , do đó ta có: 2 C v0 2 gR Nhƣ vậy, một hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm đi ra xa trái đất với vận tốc ban đầu v0 sẽ chuyển động với vận tốc v đƣợc xác định bởi phƣơng trình: 2gR2 v2 v 2 gR (2.4) r 0 Phƣơng trình (2.4) cho phép ta xác định một hạt sẽ thoát khỏi trái đất. Ở bề mặt trái đất, rR , với vận tốc là dƣơng, vv 0 . Từ (2.4) ta thấy vận tốc của hạt sẽ dƣơng nếu và chỉ nếu 2 v0 20 gR 2 Mặt khác, nếu v0 20 gR thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế phải của (2.4) bằng 0. Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dƣơng sang âm và hạt sẽ trở lại trái đất. 2 Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0 mà v0 2 gR sẽ thoát khỏi trái đất. Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là ve 2 gR Đƣợc gọi là vận tốc thoát. Nhƣ vậy, bằng việc tìm tập hợp nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.3) ta xác định đƣợc phƣơng trình vận tốc thoát của hạt. 17
  24.  Vật thể rơi. Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểmt 0. Nếu h(t) là độ cao của vật ở thời điểm t, gia tốc a(t)và vận tốc v(t)thì ta có mối liên hệ giữa a,v,h dv dh at() và vt() dt dt Đối với một vật thể rơi thì a(t)là hằng số và bằng với g = - 9,8(m/s). dh2 Kết hợp các phƣơng trình vi phân trên ta đƣợc: g dt 2 Từ đó ta có: dh gt v dt 0 Do đó: 1 h() t gt2 v t h 2 00 Phƣơng trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu với vận tốc ban đầu . 2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, dƣới tác dụng của các lực FFF1, 2 , ,n . Đối với chất điểm tự do các lực này là lực đặt lên chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả ngoại lực và phản lực liên kết. Căn cứ vào phƣơng trình cơ bản của động lực học ta có thể thành lập phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. Gọi véc-tơ định vị của chất điểm là r ta có: dr2 w r dr 2 Khi đó phƣơng trình cơ bản viết cho chất điểm nhƣ sau: dr2 n mF2  i (2.5) dt i 1 Phƣơng trình vi phân (2.5) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm dƣới dạng vec-tơ. Từ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động lực học có hai bài toán cơ bản sau đây: 18
  25. - Bài toán cơ bản thứ nhất: cho biết chuyển động của chất điểm xác định lực gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận. - Bài toán cơ bản thứ hai: cho biết lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm. Bài toán này gọi là bài toán nghịch. Cách giải 2 bài toán trên: Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phƣơng trình vi phân của chuyển động của chất điểm. Từ phƣơng trình vi phân ta xác định đƣợc lực tác dụng lên từng chất điểm. Điểm cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm, điều này đã đƣợc giải quyết trong động học. Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phƣơng trình vi phân sau đó tích phân phƣơng trình vi phân tìm đƣợc. Để tìm dạng chuyển động cụ thể ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động. Bài toán 1: Một chất điểm có khối lƣợng m chịu tác dụng của một lực F làm nó chuyển động theo đƣờng elip x acoskt và yb sinkt , với a, b, k là các hằng số, t là thời gian chất điểm chuyển động đƣợc. Hãy tìm lực tác dụng lên chất điểm. Giải: Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ nhất. Căn cứ vào phƣơng trình chuyển động: x acos kt y=bsinkt Xác định đƣợc: x ak22cos kt k x ; y=bk22 sinkt k y ; Ta có phƣơng trình vi phân chuyển động nhƣ sau: 2 xm Fx mk x 2 ym Fy mk y Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với: 2 2 2 2 2 2 F Fxy F mk x y mk r Các góc chỉ phƣơng của F là: 19
  26. F x cos( F , x ) x Fr F y cos( F , y ) y Fr Mặt khác ta cũng có: x cos( r , x ) r y cos( r , y ) r Dễ dàng nhận thấy F cùng phƣơng nhƣng ngƣợc chiều với vec-tơ định vị của chất điểm Ta có: F mkr Bài toán 2: Một chất điểm có khối lƣợng m chuyển động trong mặt phẳng ngang dƣới tác dụng của lực hút về tâm O là F k2 mr . Ở đây r là véc-tơ định vị, còn k là hệ số tỉ lệ.Hãy tìm phƣơng trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm. Cho biết tại thời điểm ban đầu t0 0, x 0 1, x 0, y 0 0, y v 0 . Giải: Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ hai. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm (dạng vec-tơ): mW k2 mr Cho hệ tọa độ Oxy, ta có thể thiết lập phƣơng trình vi phân dƣới dạng tọa độ Đề-các nhƣ sau: mx k2 mx 2 my k my Khử khối lƣợng m ở hai vế phƣơng trình trên ta đƣợc: x k2 x 0 2 y k y 0 Nghiệm tổng quát của hai phƣơng trình trên có dạng: x Ccos kt C sin kt 12 y Ccos kt C sin kt 34 Các hằng số tích phân CCCC1,,, 2 3 4 đƣợc xác định từ các điều kiện đầu của chuyển động. Khi tt 0 0 ta có: x x 1 C ; x 0 kC 01 2 20
  27. y y 0 C ; y v kC 03 04 Suy ra: v CCCC 1; 0; 0; 0 1 2 3 4 k Phƣơng trình chuyển động của chất điểm đƣợc viết: x lcos kt ; vsin kt y o k Khử t trong phƣơng trình trên sẽ tìm đƣợc phƣơng trình quỹ đạo dạng: xy22 2 2 1 l v0 k 2 2.3. Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt. 2.3.1. Phƣơng trình dao động của sợi dây. Xét sợi dây căng, có lực căng là T nghĩa là ở mỗi điểm của sợi dây có lực T tác dụng theo phƣơng tiếp tuyến với nó. Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do có sức căng T là nhƣ nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động. Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x, còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục x và nằm trong cùng một mặt phẳng chứa trục x. Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ Đề-các vuông góc x, u, trong đó u là kí hiệu độ lệch pha của dây khỏi vị trí cân bằng. Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t, u=u(x,t). Ta thiết lập phƣơng trình cho u(x,t). Xét đoạn dây từ điểm đến điểm . Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t và thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T. Ta hãy xác định hình chiếu trên trục u của các lực tác dụng lên phần đang xét của dây. Gọi là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm , là góc tƣơng ứng ở điểm . Tổng hình chiếu của lực căng sẽ là TTsin 21 sin Giả sử rằng lực ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngƣợc chiều với trục u (chẳng hạn trọng lƣợng của dây). Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi dây kí hiệu là g(,) x t . 21
  28. Thành thử hợp lực tác dụng lên phần sợi dây đang xét là: x2 g(,) x t dx x1 trong đó là mật độ khối tuyến tính của sợi dây nghĩa là khối lƣợng của một đơn vị dài của dây. Ta coi dây là đồng chất nên là hằng số. 2u Mặt khác, gia tốc của các điểm của sợi dây là u'' nên hợp lực quán tính tt t 2 trên phần đang xét của sợi dây là: x2 u'' (,) x t dx tt x1 Do đó ở thời điểm t, ta có đẳng thức: xx22 uxtdxT'' ( , ) (sin sin ) gxtdx ( , ) (2.6) tt 21 xx11 Ta đã biết: u ux2 2 u Do đó: T(sin sin ) T T dx 21 2 xx x x x x  x 21x1 Ở đây ta đã giả thiết là chiều dài của sợi dây không thay đổi trong suốt thời gian dao động nên vi phân cung: '2 ds 1 ux ( x , t ) dx dx '2 '2 Nghĩa là đại lƣợng ux (,) x t là đủ nhỏ để có thể thay thế 1 ux bằng 1, ta '2 coi ux có thể bỏ qua so với 1.Ở đây trong quá trình dao động, độ lệch của sợi dây so với trục x luôn luôn rất nhỏ. Vậy đẳng thức (2.6) có dạng: x2 u''( xt , ) Tu '' ( xt , ) gxt ( , ) dx 0 tt xx x1 Bởi vì đẳng thức này có thể xảy ra đối với một phần bất kì ( ) của dây, cho nên biểu thức dƣới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây và tại một thời điểm bất kì, nghĩa là có thể xảy ra đẳng thức: '' '' utt( x , t ) Tu xx ( x , t ) g ( x , t ) 0 hay u''(,)(,)(,) x t a 2 u '' x t g x t (2.7) tt xx T Trong đó a2 là một hằng số dƣơng. 22
  29. Phƣơng trình dao động của dây (2.7) là một phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số. Nó là một trong các phƣơng trình vi phân vật lý-toán đơn giản nhất. Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t) = 0 và phƣơng trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây. Còn phƣơng trình (2.7) với g(x,t) 0 là không thuần nhất và mô tả dao động cƣỡng bức của sợi dây. Bài toán: Dạng dao động của dây vô hạn: Sợi dây vô hạn là sự trừu tƣợng hóa sợi dây có chiều dài lớn đến mức là các đầu mút không ảnh hƣởng gì đến dao động của phần lớn sợi dây đang xét. Lúc đó dao động của phần này chỉ chịu ảnh hƣởng của điều kiện ban đầu. Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung nhƣ sau: ở thời điểm ban đầu nào đó t = 0, sợi dây có một hình dạng nào đó: u( x , t ) u ( x ,0) f ( x ) t 0 Và mỗi thời điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu: u''( x , t ) u ( x ,0) F ( x ) ttt 0 Sau đó sợi dây tự nó chuyển động. Hàm f(x) và F(x) phải đƣợc xác định trên toàn bộ trục x. Thành thử ta có bài toán vật lý – toán sau đây: Tìm nghiệm u = u(x,t), xt ,0 của phƣơng trình: '' 2 '' utt a u xx 0 (2.8) Thỏa mãn các điều kiện ban đầu: u f( x ), u' F ( x ); x (2.9) ttt 0 t 0 Muốn tìm nghiệm của (2.8), ta đƣa nó về dạng đơn giản bằng cách đổi biến số. Đặt  x at; x at ta có: 23
  30. u  u  u x   u  u  u ()a t   2u  2 u  2 u  2 u 2 x2  2       2 2u  2 u  2 u  2 u a2 ( 2 ) t 2  2       2 2u  2 u  2 u aa224 tx22    Vậy phƣơng trình (2.8) có dạng: 2u 0  u u Vì ( ) 0 nên ()   1 Trong đó 1 là một hàm tùy ý. Từ đó: ud(,)()()      1 Trong đó là một hàm tùy ý. Vì 1 là một hàm tùy ý nên tích phân của nó cũng là một hàm tùy ý. Vậy: u ()()    Trở về các biến số cũ x, t ta đƣợc: u(,)()() x t  x at x at (2.10) Trong đó , là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép đổi biến số trên là đúng. Nghiệm (2.10) đƣợc gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.8). Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2.9) để xác định các hàm và  . Trong (2.10) ta thay t = 0: ()()()x x f x (2.11) u  ()() x  x a a F() x (2.12) tt 0  x  x Lấy tích phân hai vế của (2.12) từ 0 đến x ta đƣợc: x a () x (0) a  () x  (0) F ()  d  0 24
  31. Hay nếu đặt C (0) (0), ta đƣợc: 1 x ()()()x  x F  d  C (2.13) a 0 Giải hệ phƣơng trình (2.11) và (2.13) ta đƣợc: 11x C ()()()x f x F  d  2 2a 2 0 11x C ()()()x f x F  d  2 2a 0 2 Thay các biểu thức này vào (2.10) ta đƣợc: 11x at uxt(,)()()() fxat fxat  Fd 22a x at Ví dụ: Tìm quy luật dao động tự do của sợi dây dài vô hạn, biết vận tốc truyền sóng là a = 1 đơn vị và ở thời điểm ban đầu dây đứng yên có hình dạng cho bởi: 0,x 0 xx,0 1 fx() 2 xx ,1 2 0,x 2 Giải: Gọi u(x,t) là độ lệch của điểm x tại thời điểm t. Ta có u là nghiệm của bài toán Cauchy: '' 2 '' utt a u xx 0 , (x R , t 0) Theo đề bài: u( x ,0) f ( x ), x R ux' ( ,0) 0 Áp dụng công thức D’Alamber, bài toán đã cho có nghiệm: 1 u(,)()() x t  f x t f x t  2 25
  32. Dạng dao động cƣỡng bức của sợi dây hữu hạn: Ví dụ: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = l, nếu dạng của sợi dây x() l x fx() ban đầu là cung parabol M , vận tốc ban đầu bằng 0: F(x) = 0 và giả sử rằng g(x,t) = g, trong đó g là hằng số dƣơng đủ nhỏ. Bài toán này là bài toán dao động cƣỡng bức của dây dài hữu hạn, với hằng x() l x uu ;0' , và các điều kiện t 0 t t 0 số cƣỡng bức là g, các điều kiện ban đầu M uu 0; 0 biên x 0 x l . Ta phải tìm hàm u = u(x,t) thỏa mãn phƣơng trình: '' 2 '' utt a u xx g (*) Ta phân tích hằng số -g thành chuỗi theo sin trong khoảng (0,l). kx g  k sin k 1 l Từ đó: 2l k 2 g kl 2 g  gsin  d  c os ( 1)k 1 k  l0 l k l0 k Vì g(x,t) không phụ thuộc t nên ở đây  k cũng không phụ thuộc t. Do đó, đối với các hàm chƣa biết Ttk (), chúng ta có: 2 2 2 '' k a2 g k TTkk 2 ( 1) 1 lk Với các điều kiện ban đầu: 2 4l k ' Tk(0) a k 33 ( 1) 1 ; T k (0) 0 kM Ta tìm đƣợc: k at k at2 gl k Tk( t ) A k c os B k sin 3 3 2 1 ( 1)  l l k a Trong đó: 2glkk 2 l 2 l g ak 3 3 2 1 ( 1) 3 3 2 1 ( 1)  k a k M a 26
  33. Và Bk 0 . Do đó nghiệm của bài toán trong trƣờng hợp đã cho là hàm: 4l2 1 2 l g 2n 1 at g 2 n 1 x uc 3 3 2os 2 .sin n 0 21n M a l a l Biện luận: Khi g = 0, thay vào phƣơng trình (*) ta đƣợc: u'' a 2 u '' 0 tt xx Đây chính là phƣơng trình dao động tự do của dây hữu hạn Và khi đó nghiệm của bài toán trên có dạng: 81l3 2n 1 at 2 n 1 x uc os .sin 3M 3 l l n 0 21n 2.3.2. Phƣơng trình truyền nhiệt. Xét một môi trƣờng truyền nhiệt đẳng hƣớng, u(x,y,z,t) là nhiệt độ của nó tại điểm p(x,y,z) ở thời điểm t. Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Furie: Nhiệt lƣợng Q đi qua một mảnh mặt kín bất kì S theo phƣơng pháp tuyến n trong u thời gian t tỉ lệ với S , t và đạo hàm pháp tuyến : n u Q k(,,) x y z t S (2.14) n Trong đó k là hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hƣớng của pháp tuyến vì môi trƣờng là đẳng hƣớng và ta thƣờng coi là hằng số, n là véc- tơ pháp tuyến của S theo chiều giảm của nhiệt độ. Bây giờ ta xét một vật thể tùy ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn S và xét sự biến thiên nhiệt lƣợng trong thể tích đó từ thời gian đến . Từ (2.14) ta suy ra nhiệt lƣợng truyền vào trong mặt S từ thời điểm t1 đến t2 là: t2 u Q dt k(,,) x y z dS 1 n tS1 Trong đó n là véc-tơ pháp tuyến hƣớng vào bên trong của mặt S. Áp dụng định lý Ôtxtrogratxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp và coi k là hằng số, ta có: t2 Q k dt divgradudV 1 tV1 222uuu Vì ta có: divgradu u x2  y 2  z 2 Nên 27
  34. t2 Q k dt udV 1 tV1 Giả sử trong vùng V có nguồn nhiệt có mật độ là g(x,y,z,t) (nghĩa là nhiệt lƣợng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian), thì từ thời điểm t1 đến t2 , trong thể tích V xuất hiện một nhiệt lƣợng là: t2 Q dt gdV 2 tV1 Mặt khác nhiệt lƣợng cần cho thể tích V thay đổi từ u(x,y,z, t1 ) đến u(x,y,z,t2 ) là: Q uxyzt(,,,)(,,,)(,,)(,,) uxyzt cxyz xyzdV 3  2 1  V Trong đó c là nhiệt dung, là mật độ của môi trƣờng. Tính chính xác đến các đại lƣợng nhỏ so với V , ta có: t2 u uxyzt(,,,)(,,,) uxyzt dt 21 t t1 Vậy: t2 u Q dt c dV 3 tV t Nhiệt lƣợng này phải bằng QQ12 vậy: QQQ3 1 2 0 Hay t 2 u dt c k u g dxdydz 0 t tV1 Vì khoảng thời gian là bất kì nên: (c u' k u g ) dxdydz 0 t V Đồng thời vùng V cũng là tùy ý nên ở một điểm bất kì của môi trƣờng, ta phải có đẳng thức: ' c ut k u g 0 1 Hay u' a 2()(,,,) u '' u '' u '' g x y z t (2.15) t xx yy zz c 28
  35. k Trong đó a2 . c Phƣơng trình (2.15) gọi là phƣơng trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) của phƣơng trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi trƣờng truyền nhiệt. Nếu g 0, ta có phƣơng trình truyền nhiệt thuần nhất. Ngƣợc lại, phƣơng trình là không thuần nhất. Bài toán: Tìm nhiệt độ u(x,t) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh đƣợc giữ ở u0 ; còn đầu kia đƣợc giữ ở u1 , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh là u2 Giải: 2 uu2 01 x Phƣơng trình truyền nhiệt: a 2 với tx t 0 uu x 0;1 Điều kiện ban đầu: t 0 2 với mọi   uu uu t 0 Điều kiện biên: x 0 0 , x 1 1 với mọi Đặt v(,)(,)() x t u x t u0 u 0 u 1 x v u u ( u u ).0 0 xx 000 0 1 v u u ( u u ).1 0 xx 110 0 1 v u u () u u x Với điều kiện ban đầu: t 0 2 0 0 1 vv 0 Và điều kiện biên: xx 01 Tách biến: vxt(,) XxTt ().() XxTt ().()' aXxTt 2 '' ().() X''()() x T ' t X'' ( x )  X ( x ) 0  ctons 2 '2 X()() x a T t T( t ) a T ( t ) 0 Điều kiện biên: XX(0) (1) 0 Giải phƣơng trình: X'' ( x )  X ( x ) 0 (1) Trƣờng hợp 1:  0 X ( x ) Ax B XAB(0) .0 0 Thay điều kiện biên AB 0 XAB(1) .1 0 29
  36. X( x ) 0 v ( x , t ) 0 (loại) Trƣờng hợp 2:  0 X ( x ) Ae . xx B . e với  XAB(0) 0 AB 0 Thay điều kiện biên X(1) Ae . Be 0 X( x ) 0 v ( x , t ) 0 (loại) Trƣờng hợp 3:  0 X ( x ) Ac . os x B .sin x với  Thay điều kiện biên XA(0) 0 0 sin 0 XAB(1) sin 0 k Với k = 1, 2, 3, Phƣơng trình (1) có vô số nghiệm: Xk ( x ) B sin k x Giải phƣơng trình: T'2( t ) a T ( t ) 0 (2) 22 t() k t 22 Ta có nghiệm: Tk () t C e C e , với  ()k 1 2 suy ra: vxt( , ) Ce . ()kt sin kxC 2 uu ( uux ) sin kxdx  k k  2 0 0 1  0 Vậy: 2 uxtuuux( , ) ( ) Ce . ()kt sin kx 0 1 0  k 2.3.3. Phƣơng trình Schrodinger. Chúng ta đã biết hàm sóng phẳng của De Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do. Để mô tả chuyển động của hạt trong các trƣờng lực, cần phải tìm hàm sóng mô tả chuyển động của hạt trong môi trƣờng đã cho.Hàm sóng phải xác định đƣợc hoàn toàn trạng thái của hệ vật lý.Điều đó có nghĩa là, việc làm cho hàm sóng tại một thời điểm nào đó không những mô tả đƣợc tính chất của hệ, mà còn xác định đƣợc động thái của hệ ở những thời điểm sau. Yêu cầu này biểu diễn những nguyên lý nhân quả trong cơ học lƣợng tử. Trong trƣờng hợp đặc biệt khi không có trƣờng, nghiệm của phƣơng trình là hàm sóng phải mô tả chuyển động của hạt tự do. Do đó phƣơng trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng De Broglie cũng nhƣ chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó. Về mặt  toán học những sự kiện nêu trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm của hàm sóng t 30
  37. theo thời gian tại thời điểm đã cho phải đƣợc xác định bằng giá trị của chính hàm sóng  tại cùng thời điểm. Thêm vào đó theo nguyên lý chồng chất, phƣơng trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải là tuyến tính. Ta viết đƣợc:  (,)xt Lˆ(,)(,) x t x t t Trong đó Lˆ là một toán tử tuyến tính. Để tìm dạng của L, ta xét trƣờng hợp của chuyển động tự do. Khi đó  chính là hàm sóng phẳng De Broglie i  (,,,)xyzt N .exp ( Etpxpypz x y z ) ppp222 Trong đó E x y z , N là một hằng số chuẩn hóa 2m Phép tính trực tiếp cho ta:  i 2 tm2 Phƣơng trình này có thể viết lại dƣới dạng:  1 Hˆ ti Trong đó Hˆ là hamiltonien cho chuyển động tự do của hạt: 22 HTˆˆ 2  22mm Từ đó suy ra rằng, đối với chuyển động tự do của hạt: 1 LHˆˆ i Trong cơ học lƣợng tử, ngƣời ta tổng quát hóa kết quả riêng biệt này sang các trƣờng hợp khác, coi nhƣ một tiền đề, nghĩa là toán tử Lˆ luôn bằng: 1 LHˆˆ i Trong đó Hˆ là hamiltonien, hàm sóng  đƣợc viết dƣới dạng:  iH ˆ t Đó là phƣơng trình Schrodinger dƣới dạng tổng quát nhất.Nó là một trong những tiên đề của cơ học lƣợng tử.Sự đúng đắn của nó đã đƣợc thực nghiệm xác nhận. 31
  38. Đặc điểm quan trọng nhất của phƣơng trình Schrodinger thể hiện ở chỗ, nó là phƣơng trình cấp 1 của thời gian và có chứa đơn vịa ảo i ở trƣớc đạo hàm  . Do đó hàm sóng phải là phức và phƣơng trình có nghiệm tuần hoàn. t Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bởi hàm thực là hàm sóng cho 1 một hạt tự do, chẳng hạn dƣới dạng sóng chạy  Acos ( pr Et ) . Tuy nhiên khi đó, ta không thể xây dựng đƣợc phƣơng trình bậc nhất theo thời gian, mà nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các trạng thái nhƣ vậy. Sự kiện  phƣơng trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian có liên t quan mật thiết đến nguyên lý nhân quả trong cơ học lƣợng tử. Thực vậy, nếu 2 phƣơng trình Schrodinger chứa , thì để xác định  tại thời điểm t nào đó, t 2 nếu chỉ biết hàm  tại thời điểm ban đầu sẽ là chƣa đủ, mà cần phải biết hàm   và cả tại thời điểm ban đầu nữa. t Biểu thức của Hˆ khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng: 1 2 Hˆ () pˆˆˆ222 p p 22mmx y z Đối với hệ hạt không tƣơng tác, Hˆ của hệ bằng tổng các hamiltonien của các hạt thành phần. 2 Hˆ  a 2 a ma Ở đây chỉ số a đánh số các hạt, a là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân đƣợc thực hiện cho hạt thứ a. Đối với hệ hạt có tƣơng tác với nhau: 2 ˆ a H  U( r12 , r , ) 2 a ma Số hạng thứ nhất là toán tử động năng, còn số hạng thứ hai là toán tử thế năng. Đặc biệt đối với hạt nằm trong trƣờng ngoài: p22 Hˆ U(,,)(,,) x y z U x y z 22m Ta thu đƣợc phƣơng trình sóng: 32
  39.  2 i  U(,,) x y z tm2 Bài toán: Viết hàm sóng của một hạt chuyển động tự do Ta xét một hạt chuyển động tự do theo trục x. Vì thế năng U(x) = 0 nên phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng của hạt có dạng: d2 ( x ) 2 mE  (x ) 0 (2.16) dx2 2 2mE Nếu đặt k 2 thì nghiệm của phƣơng trình (2.3) là: ikx ikx  k ()x Ae Be (2.17) Số hạng thứ nhất trong (2.17) mô tả chuyển động theo trục x (sóng tới), số hạng thứ hai mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ). Biểu thức (2.17) có thể viết gọn lại: ikx  k ()x Ae (2.18) Trong đó x > 0 ứng với chuyển động theo chiều dƣơng, x < 0 ứng với chuyển động theo chiều âm. Do hạt chuyển động tự do nên nghiệm của (2.18) thỏa mãn các điều kiện liên tục và hữu hạn trong toàn bộ không gian với năng lƣợng E có giá trị bất kì. Biểu thức của năng lƣợng là: hk22 E (2.19) k 2m Nếu để ý rằng pkk thì biểu thức của năng lƣợng có thể viết lại dƣới dạng: p2 E (2.20) p 2m Phổ trị riêng là năng lƣợng liên tục, có giá trị nhất định trong khoảng từ 0 đến , trong đó p pk k là xung lƣợng của hạt tự do, kk x là thành phần vec-tơ sóng trên trục x. Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng: k 2 i() kx t 2m  k (,)x t Ae (2.21) Trong đó ta đã thay giá trị của E theo (2.19) Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phƣơng trình Schrodinger tổng quát và có dạng: (,)(,)xt c xtdk Acei() kx  t dk k k k (2.22) 33
  40. 1 Với A do điều kiện trực chuẩn của hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng 2 (2.18) diễn tả dạng bó sóng, đó là tổ hợp tuyến tính của sóng phẳng dạng (2.19) với các giá trị k khác nhau. Hệ số ck chính là biên độ của bó sóng và đƣợc xác định từ điều kiện ban đầu.  (x ,0) A c eikx dk k (2.23) Từ đó: 1 c  ( x ,0) e ikx dx k (2.24) 2 34
  41. CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG 3.1. Trong y sinh và hóa lý (dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản, sự phát triển của dịch bệnh). 3.1.1. Dƣợc động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản.  Dược động lực học: Trƣớc khi y tá tiêm hoặc cho uống thuốc, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân là 0.Khi thuốc di chuyển khắp cơ thể và đƣợc chuyển hóa, nồng độ thuốc tăng dần lên. Nhƣng sẽ đạt đến thời điểm khi nồng độ không còn tăng nữa và bắt đầu suy giảm. Đây là thời kì thuốc đƣợc phân rã hoàn toàn và quá trình trao đổi chất đang diễn ra.Theo thời gian, nồng độ thuốc sẽ giảm xuống và thấp hơn một liều lƣợng nhất định có hiệu quả cho việc điều trị. Nhƣ thế bệnh nhân cần phải tiếp tục uống thuốc theo chỉ dẫn của bác sĩ. Chúng ta có thể lập mô hình toán học cho tình huống nhƣ vậy bằng phƣơng trình vi phân. Nó có 2 phần- một phần có thể hấp thụ và một phần loại bỏ. Lúc đầu, sự hấp thụ (tăng lƣợng thuốc tập trung) có quyền ƣu tiên và theo thời gian, phần đào thải hay loại bỏ (giảm nồng độ) là yếu tố quan trọng nhất. Gọi các biến sau: . D là liều thuốc dùng . V là thể tích phân phối trong cơ thể . C(t) là nồng độ của thuốc tại thời điểm t . F là tỉ lệ liều lƣợng đã đƣợc hấp thụ (còn gọi là sinh khả dụng) . A là tỉ lệ hấp thụ (không đổi) . E là tỉ lệ đào thải (không đổi) - Phần hấp thụ: điều này phụ thuộc vào số lƣợng của các loại thuốc nhất định, tỉ lệ này là phần đã đƣợc hấp thụ và tỉ lệ hấp thụ không thay đổi. Phần hấp thụ giảm dần theo thời gian. Các biểu thức về sự hấp thụ đƣợc cho bởi Atp () - Phần đào thải: động lực loại bỏ chịu ảnh hƣởng bởi hằng số đào thải, thể tích phân phối trong cơ thể và nồng độ còn lại của thuốc. Các biểu hiện cho phần này là Etp () 35
  42. Tích giữa số gia nồng độ của thuốc tại thời điểm t và thể tích phân phối trong cơ thể bằng hiệu giữa phần hấp thụ và phần đào thải. At Ap () t A D F e Ep ( t ) C ( t ). EV . Phƣơng trình vi phân nhƣ sau: dC() t A()() t E t dt pp Hay dC() t V A. D . F . e At C ( t ). EV . dt Ví dụ: Bệnh nhân có thể tích hấp thụ là 15 (uva), tỉ lệ hấp thụ là 0,5, sinh khả dụng F=2, liều dùng thuốc là 800 trên giờ, tỉ lệ đào thải là 0,4 - Viết và giải phƣơng trình vi phân mô phỏng - Xác định thời điểm cao nhất và thấp nhất của nồng độ thuốc trong cơ thể bệnh nhân Giải: - Từ các số liệu cho trƣớc ta có: dC() t 15 0,5.800.e 0.5t C ( t ).0,4.15 dt dC() t 0,4.C ( t ) 53.3. e 0.5t dt Ta có: 0,4dt ()t e e0,4t (tQtdt ) ( ) e0,4t .53.3. edt 0,5 t 533 e 0,1 t C Nghiệm tổng quát: 533.eC 0,1t C( t ) 533. e 0,5tt C . e 0.4 e0,4t t 0; C (0) 0 C 533 Do đó: C( t ) 533.( e 0,5tt e 0,4 ) - Để tìm thời điểm nồng độ thuốc cao nhất ta tính đạo hàm C(t) và giải phƣơng trình Ct( )' 0 Để tìm thời điểm nồng độ thuốc thấp nhất dựa vào đồ thị C(t) ta tính giới hạn:limCt ( ) 0 tt 0 36
  43. Thời điểm cao nhất là t giờ và thời điểm thấp nhất là t giờ (nồng độ còn khoảng 1 ).  Sự chuyển đổi các hóa chất đơn giản: Kết quả của các cuộc thí nghiệm chỉ ra, trong các phản ứng hóa học trong đó các chất A chuyển thành một chất khác thì tốc độ chuyển hóa tỉ lệ với lƣợng chất không bị chuyển hóa x. Giả sử lƣợng chất không bị biến đổi ở thời điểm t = 0 là x0 . Khi đó lƣợng x ở bất kì thời điểm t > 0 đƣợc xác định bởi phƣơng trình vi phân: dx kx (3.1) dt Và điều kiện xx 0 khi t = 0. Vì lƣợng x là giảm khi thời gian tăng lên nên hằng số tỉ lệ trong (3.1) đƣợc xác định là –k Từ (3.1) ta có nghiệm: x C. e kt Từ xx 0 khi t = 0 ta suy ra Cx 0 . Vì thế ta có: kt x x0. e (3.2) 2 Ta giả sử tại ts 30 thì lƣợng chất ban đầu x vừa bị biến đổi. Ta sẽ xác 3 0 định lƣợng chất không bị biến đổi còn lại ở ts 60 2 1 Khi lƣợng chất bị biến đổi thì lƣợng chất còn lại không bị biến đổi. Do 3 3 1 đó xx khi t 30 . Từ (3.2) ta có: 3 0 1 x x e 30t 3 00 1 Từ đó ta có k ln 3 . Khi đó với t đƣợc đo bằng giây thì lƣợng chất không 30 bị biến đổi đƣợc xác định bởi phƣơng trình: 1 x xexp( t ln3) 0 30 Tại t = 60 thì: 1 x x00exp( 60ln3) x exp( 2ln3) 30 37
  44. 3.1.2. Sự phát triển của dịch bệnh: Phƣơng trình vi phân có thể dùng để dự báo sự phát triển của dân số, vật nuôi, vi khuẩn đang chịu tác động bởi các yếu tố khách quan. Hàm số logarit mô tả một thành phần tác động và một thành phần ngăn cản, có thể dùng để dự báo tốc độ phát triển của dịch bệnh. Gọi N N() t là số ngƣời nhiễm bệnh tại thời điểm t, P là tổng thể ngƣời (hằng số), c là hằng số phát triển Ta có phƣơng trình vi phân mô phỏng sau: dN cPN cN 2 dt Giả sử thành phố có 50.000 dân đang bị lây nhiễm AIDS. Virut do 100 ngƣời nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu và thống kê cho thấy có 1000 ngƣời mắc bệnh sau 10 tuần - Viết phƣơng trình vi phân mô tả và giải phƣơng trình này - Dự báo xem bao lâu thì nửa số dân trong thành phố sẽ mắc phải AIDS Giải: - Phƣơng trình vi phân mô tả: dN 50000PN cN 2 dt Ta có: dN dt 50000cN cN 2 dN dt 50000cN cN 2 lnNN ln 50000 tC 1 50000c 50000 Hay Nt() 50000ct . 1 50000Ce1 . Thay t = 0, N(0) = 100 ta đƣợc: 38
  45. 50000 499 100 C1 1 50000C1 50000 50000 50000 Nt() 499 50000ct . 1 50000. .e 50000ct . 1 499.e 50000 Thay t = 10, N(10) = 1000 ta đƣợc: 50000 1 1000 c 50000ct . 49 1 499.e 50000ln( ) 499 ce 0,46416. 5 Khi đó: 50000 Nt() 1 499.e 0,232080.t - Dự báo xem bao lâu thì nửa dân số trong thành phố sẽ mắc pải AIDS Dựa vào hàm N(t), giải phƣơng trình Nt( ) 25000 Tìm t: 50000 1 25000 e 0,232080.t 1 499.e 0,232080.t 499 t 26,76924 27 tuần 3.2. Trong lý kinh tế (tăng trƣởng hàng hóa và giá cả). Xét mô hình kinh tế của một thị trƣờng hàng hóa nhất định.Giả sử giá cả P, nguồn cung S và nhu cầu D của hàng hóa là những hàm thời gian và sự biến thiên của giá cả tỉ lệ với độ chênh giữa nhu cầu và nguồn cung. Nghĩa là: dP k() D S (3.3) dt Giả sử hằng số k là dƣơng vì thế giá cả tăng nếu nhu cầu vƣợt quá nguồn cung. Nhiều mô hình khác của thị trƣờng hàng hóa sẽ đƣợc kết quả phụ thuộc vào tính chất của hàm cung và hàm cầu. Ví dụ, giả sử: D c dP và S a bP (3.4) Trong đó a, b, c là các số dƣơng. Ta có phƣơng trình vi phân tuyến tính đối với P: 39
  46. dP k()() c a d b P (3.5) dt (3.3) phản ánh xu hƣớng nhu cầu giảm khi giá cả tăng và nguồn cung tăng khi c giá cả tăng.Giả sử 0 P để D không âm. d Từ (3.4) ta có: dP k()() d b P k c a (3.6) dt Nghiệm tổng quát của (3.5) là: ca P() t C e k() d b t 1 db Giả sử tại t = 0 thì PP 0 . Khi đó ta có: ca PC 01db Do đó: ca CP 10db Vì vậy c a c a P( t ) ( P ). e k() d b t (3.7) 0 d b d b Phƣơng trình (3.7) chỉ ra rằng với sự giả định (3.3) và (3.4) giá cả sẽ ổn định ca ở giá trị khi t lớn. db 40
  47. KẾT LUẬN Trên đây em đã trình bày xong toàn bộ khóa luận của mình đó là: “Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lý”. Trong khóa luận này em đã trình bày một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân trong vật lý, trong khoa học cũng nhƣ trong đời sống. Tuy nhiên do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn. Qua đây em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Phương Lan – giảng viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và hƣớng dẫn em để em hoàn thành tốt khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn! 41
  48. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, Phƣơng pháp toán lí, Đỗ Đình Thanh, NXB Giáo dục. 2, Cơ lý thuyết, Nguyễn Hữu Mình, NXB Đại học Quốc gia. 3, Bài tập Vật lí lý thuyết, tập 1, Nguyễn Hữu Mình, NXB Giáo dục năm 1983. 4, Toán cao cấp, tập 3, Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục. 5, Khóa luận “ Một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân” - Cao Thị Thanh Huệ - Sƣ phạm Toán – trƣờng ĐHSP Hà Nội 2. 6, phan.html 7, Introduction to classical mechanics, David Morin (Sách dịch), ĐHKHTNHN 2013 8, Mathematical Methods for Physics and Engineering, K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Cambridge University Press, 2006 42