Đề tài Phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải toán

69 trang yendo 5890

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề tài Phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_tai_phan_tich_va_sua_chua_cac_sai_lam_cua_hoc_sinh_thpt_k.pdf

Nội dung text: Đề tài Phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải toán

ĐỀ TÀI Phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải tốn Giáo viên hướng dẫn : Phan Văn Danh Sinh viên thực hành :
Lời cảm ơn – ă Vă D – bi ử ỡ m ă ă ử nghi ử gử : www.tailieu.vn , www.baigiang.violet.vn , www.mathgroup.org , www.thucvientoanhoc.net ử : :0 6498 769 Mail: Ledethuong.tt@gmail.com. rầ :01649826097 Mail: Tungocsp510@gmail.com. rầ :0 6747 8 79 M : Tranquangsp@gmail.com. u 6 011 Nhóm 1
: 2011 Mục lục I. do ch n t i 5 II. Mục ch nghiên c u . 7 III. Nhi m vụ nghiênc u 7 IV. h ch th v i t ng nghiên c u 7 V. i thu t ho h c 7 VI. h ng ph p nghiên c u 8 VII. u tr c t i 8 h ng I: Nghiên c u v c c s i lầm phở bi n củ S hi gi i to n A. c s i lầm phở bi n A. 1. S i lầm hi bi n ởi cơng th c .9 A. 2. S i lầm hi gi i ph ng trình 10 A. 3. S i lầm hich ng minh BĐT 11 A. 4. S i lầm hi tìm gi trị M x Min 1 A. 5. S i lầm hi ig i t m th c bậc h i 13 A. 6. S i lầm hi hi gi i h pt 14 A. 7. S i lầm hi t nh giới hạn 14 A. 8. S i lầm hi gi i to n liên qu n n ạo h m 15 A. 9. S i lầm hi xét b i to n ti p x c v ti p tu n 15 A. 10. S i lầm hi xét c c ờng ti m cận 16 A. 11. S i lầm hi gi i to n ngu ên h m v t ch phân 17 B. hân t ch ngu ên nhân dẫn n c c s i lầm củ S hi gi i to n B. 1. Ngu ên nhân 1: i u hơng ầ ủ v ch nh x c 17 B. 2. Nguyên nhân 2: hơng nắm vững c u tr c lơgic 21 B. 3. Ngu ên nhân : Thi u i n th c cần thi t v lơgic 24 B. 4. Ngu ên nhân 4: S hơng nắm vững ph ng ph p gi i 26 h ng II: c bi n ph p rèn lu n năng lực gi i to thơngn qu vi c phân t ch v sử chữ c c s i lầm củ S T T hi gi i to n A. sở l luận A. 1. luận v ph ng ph p dạ h c 9 2 –
: 2011 A. 2. Những v n c b n củ v n tâm l dạ h c 1 B. B ph ng châm chỉ ạo B. 1. h ng châm 1: T nh ịpthời B. 2. h ng châm : T nh ch nh x c 4 B. 3. h ng châm : T nh gi o dục 5 C. B n bi n ph p s phạm chủ u C. 1. Bi n ph p 1: Tr ng bị ầ ủ ch nh x c 6 C. 2. Bi n ph p : Tr ng bị c c i n th c 47 C. 3. Bi n ph p : S c thử th ch 5 C. 4. Bi n ph p 4: Theo dõi th ờng xu ên sự xó bỏ 53 D. c êu cầu i với S v V D. 1. Rèn lu n th c v ch 65 D. 2. ìnhth nh hoạt ngợ h c 57 D. 3. Xâ dựng u t nGV 57 h ng III: Thực nghi m s phạm 1. Mục ch thực nghi m 60 2. Nợi dung th c nghi m 60 3. Tở ch c thực nghi m 60 4. h ng ph p ti n h nh 60 5. t luận th c nghi m 26 6. Đ nghị mợt s hi u bi t qu n tr ng 3 6 VIII. T i li u th m h o 65 IX. hụ lục 6 6 1. hụ lục 1: hi u i u tr 6 3 –
: 2011 B ng hi u vi t tắt ! i i qu t xong v n . ? S i lầm. Đ o ẳng Đ Đại h c Đ S Đại h c s phạm. GD i o dục GDPT i o dục phở thơng. GV i o viên. HS c sinh. KT i n th c. N Tập s tự nhiên NCKH Nghiên c u ho h .c NT Nh tr ờng. PP h ng ph p. PT hở thơng. R Tập s thực SL S i lầm. SP S phạm. TL Tâm l . THPT Trung h c phở thơng. Z Tập s ngu ên 4 –
: 2011 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong quá trình thực hiện bài tập giữa kỳ cho học phần P ươ p áp iê ứu khoa h c, chúng tơi đã suy nghĩ rất nhiều về việc lựa chọn một đề tài thực sự thiết thực, phù hợp với khả năng của cả nhĩm và đặc biệt là hữu ích cho các bạn sinh viên khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Huế. Sau một quá trình thảo luận đầy nghiêm túc, chúng tơi đã thống nhất theo các quan điểm sau: - Tốn học là một bộ mơn khoa học quan trọng, cĩ nhiều ứng dụng thực tế trong các nghành khoa học kỹ thuật. Cũng giống như các mơn thể thao trí tuệ khác, Tốn học giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thơng minh sáng tạo. Nĩ cịn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác như cần cù và nhẫn nại, tự lực gánh sinh, ý chí vượt khĩ, yêu thích chính xác, ham chuộng định lí. Dù bạn phục vụ ngành nào, trong cơng tác nào thì kiến thức và phương pháp tốn học cũng rất cần cho các bạn. Đĩ chính là lý do chương trình GDPT hiện nay luơn xem tốn học là một trong các mơn học chính, khơng thể thay thế. Các trường THPT cũng rất xem trọng bộ mơn này, đặc biệt là đối với khối 12 - khối học chuẩn bị bước vào kỳ thi tốt nghiệp cĩ mơn tốn là cố định. Tuy nhiên, khảo sát thực tiễn dạy tốn ở nước ta trong nhiều năm qua cĩ thể thấy rằng chất lượng dạy tốn ở trường phổ thơng cịn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải tốn của học sinh cịn hạn chế do học sinh cịn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp tốn học. - Giáo viên dạy tốn chính là các huấn luyện viên trong mơn thể thao trí tuệ này. Cơng việc dạy tốn của chúng ta nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy tốn học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước. Do vậy, sinh viên sư phạm chúng ta cần ý thức được sứ mệnh cao cả này để khơng ngừng phấn đấu học tập, rèn luyện để đáp ứng yêu cầu của nghề nghiệp. Tuy nhiên, nhiều giáo viên vẫn chưa thực sự làm tốt chức năng sư phạm của mình, trong đĩ nhiều giáo viên cịn ít kinh ngiệm trong các việc: phát hiện sai lầm của học sinh khi giải tốn, tìm ra những nguyên nhân của những sai lầm đĩ và những biện pháp hạn chế, sửa chữa chúng, thậm chí là sai lầm khi khơng chú ý đến các sai lầm của các em và khơng đưa ra được biện pháp đúng đắn, kịp thời. 5 –
: 2011 Dẫn đến hiệu quả GD khơng cao. Vấn đề này đã được các nhà tâm lý và GD học quan tâm đến. Vd: J.A.Komensky đã khẳng định: “Bất kỳ một sai lầm nào củng cĩ thể làm cho học sinh học kém đi nếu như GV khơng chú ý ngay tới sai lầm đĩ, bằng cách hướng dẫn HS tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm”. A.A.Stoliar cịn nhấn mạnh: “ Khơng được tiếc thời gian để phân tích trên lớp những sai lầm của học sinh”. - Hiện nay, nhiều học sinh cĩ cảm giác mất gốc tốn trầm trọng, dẫn đến các em ngại học mơn tốn, khơng cĩ ý chí học tập. Ngược lại, nhiều em là học sinh khá giỏi, thậm chí là xuất sắc nhưng vẫn mắc các sai lầm khá cơ bản, thậm chí là phổ biến. B.V.Gownhenvenco khi nêu ra 5 phẩm chất tốn học thì đã cĩ nĩi tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh các sai lầm khi giải tốn: Năng lực nhìn thấy được tính khơng rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các mắc xích cần thiết của chứng minh. Cĩ thĩi quen lí giải lơgic một cách đầy đủ. Sự chính xác của lí luận. - Các tài liệu nghiên cứu về sai lầm của HS THPT cĩ khá nhiều, gồm cả tài liệu trong và ngồi nước. Nhưng các tài liệu đĩ vẫn chưa thực sự phổ biến và thiết thực cho cả HS và SV khoa tốn chúng ta. - Chúng tơi chọn đối tượng là học sinh THPT vì bậc học này cĩ nhiệm vụ hồn chỉnh GDPT, chuẩn bị cho HS ra cuộc sống và một bộ phận lên học bậc Trung cấp chuyên nghiệp, Cao Đẳng, Đại Học. Do vậy, nếu HS bậc học này mắc sai lầm thì sẽ đi đến những hậu quả khá nghiêm trọng. Từ việc nhất quán các quan điểm trên, chúng tơi đã đi đến thống nhất lựa chọn đề tài: PHÂN TÍCH VÀ SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN 6 –
: 2011 II. MỤ ĐÍ N IÊN ỨU. Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải tốn, đồng thời đề xuất các giải pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa các sai lầm này, nằm chủ yếu qua phân mơn ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH nhằm rèn luyện năng lực giải tốn cho HS và gĩp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trong các trường THPT. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:  Điều tra các sai lầm phổ biến của học sinh THPT khi giải tốn.  Phân tích các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải tốn.  Đề xuất các biện pháp sư phạm với các tình huống điển hình để hạn chế, sửa chữa các sai lầm của HS THPT khi giải tốn.  Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất. IV. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. Khách thể và đối tượng nghiên cứu của đề tài bao gồm:  Học sinh THPT của một số trường cấp III trên địa bàn thành phố Huế.  Giáo viên dạy tốn THPT của một số trường cấp III trên địa bàn thành phố Huế.  Mơi trường sư phạm của một số trường cấp III trên địa bàn thành phố Huế, đặc biệt là trong các giờ học tốn. V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC. Nếu các GV tốn ở trường THPT nắm bắt được các sai lầm phổ biến của học sinh khi giải tốn, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các sai lầm này thì năng lực giải tốn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, từ đĩ chất lượng giáo dục tốn học sẽ tốt hơn. 7 –
: 2011 VI. ƯƠN Á N IÊN ỨU. 1. Nghiên c u lý luận: Cơ sở lý luận về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, điều khiển học, thơng tin học để phân tích các nguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải tốn. 2. Đi u tra tìm hi u: Tiến hành tìm hiểu về các sai lầm thơng qua các GV tốn ở trên địa bàn thành phố Huế, thơng qua bài kiểm tra trực tiếp HS ở các trường THPT. 3. Thực nghi m s phạm: Tiến hành điều tra và đánh giá mức độ mắc sai lầm của HS lớp 11A2 trường THPT Quốc học. Qua đĩ nhận thức được vai trị của đề tài và đề xuất một số ý kiến đối với SV khoa tốn chúng ta. VII. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài chúng tơi thực hiện gồm 3 chương: : Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải tốn. 2: Các biện pháp rèn luyện năng lực giải tốn cho HS THPT thơng qua phân tích và sửa chữa sai lầm. : Thực nghiệm sư phạm. Ngồi ra đề tài cịn cĩ 2 bảng, 8 sơ đồ và 1 phụ lục. 8 –
: 2011 h ng I Nghiên c u v các sai lầm phở bi n của h c sinh phở thơng trung h c khi gi i tốn. Theo từ điển tiếng việt thì:  Sai lầm: là trái với yêu cầu khách quan hoặc lẽ phải, dẫn đến hậu quả khơng hay.  Phổ biến: là cĩ tính chất chung, cĩ thể áp dụng cho cả một tập hợp hiện tượng, sự vật. Với cách hiểu trên, chúng tơi đã nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải tốn. Học sinh THPT hiện nay vẫn mắc nhiếu sai lầm khi giải tốn và mọi đối tượng học sinh đều cĩ thể mắc sai lầm khi giải tốn. Một số nguyên nhân nổi trội: - Khơng hiểu khái niệm, nội dung, tính tốn nhầm lẫn. - Xét thiếu trường hợp, khơng logic trong suy diễn . - Hiểu sai đề tốn, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện - Nhớ sai cơng thức, tính chất, diễn đạt kém Từ việc điều tra, nghiên cứu một số lớp học trên địa bàn thành phố Huế cũng như thơng qua các kỳ thi, chúng tơi đi đến kết quả sau: “ Học sinh cịn mắc nhiều sai lầm khi giải tốn, kể cả học sinh khá giỏi ở các lớp chuyên”. Dưới đây là những sai lầm phổ biến mà học sinh khá giỏi thường mắc phải.Đây là những sai lầm cĩ tần xuất cao trong các lời giải tốn của học sinh.Như đã nĩi, các sai lầm này nằm chủ yếu ở bộ mơn Đại số - Giải tích của phổ thơng trung học. A. Mợt s sai lầm th ờng gặp. A. 1. Sai lầm khi biến đổi cơng thức. - Những sai lầm khi biến đổi cơng thức thường mắc khi sử dụng các đẳng thức mà khơng phải là hằng đẳng thức, đĩ là các “á đẳng thức”- chưa đúng với điều kiện 9 –
: 2011 nào đĩ. Đơi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm cơng thức, sử dụng cơng thức mà quên mất điều kiện ràng buộc . - Các ví dụ: Sai Đúng log log log log | | 2.2x = 4x 2.2x = 21+x A. 2. Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình. - Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc khi HS vi phạm quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương. Đặt thừa hay thiếu các điều kiện đều dẩn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức khơng giải được nữa! Một sai lầm cịn do hậu quả của việc biến đổi cơng thức khơng đúng ( Xem mục VII. A. 1). - Các ví dụ: Sai Đúng 3x3 6 x 2 9 x 9( x 3 2 x 2 3) 3x3 6 x 2 9 x 9( x 2 2 x 2 3) 3x ( x22 2 x 3) 9( x 2 x 3) 3x ( x22 2 x 3) 9( x 2 x 3) 2 39x (3x 9)( x 2 x 3) 0 x 3 3x 9 0 2 xx 2 3 0 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 10 –
: 2011 lg x2 2mx – lg x 1 0 lg x2 2mx – lg x 1 0 lg x2 2mx lg x 1 lg x2 2mx lg x 1 x2 2mx x 1 x 1 2 x2 2m 1 x 1 0 x 2mx x 1 x 1 2 x (2m-1)x +1 0(*) m duy nh t khi: m duy nh t khi: (2m 1)2 4 0 (2m 1)2 4 0 2 4mm2 4 3 0 4mm 4 3 0 3 3 m m 2 2 1 1 m m 2 2 : m = 3/2: Pt(*) trở thành 1 1(lo i) m = -1/2: Pt(*) trở thành 1 1(lo i) V y khơng t n t t nghi m duy nh t. A. 3. Sai lầm khi khi chứng minh bất đẳng thức. - Các sai lầm thường bắt nguồn khi vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà khơng để ý đến điều kiện để bất đẳng thức đúng, sử dụng sai sĩt các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia. - Các ví dụ: 11 –
: 2011 VD: So sánh 1 Giải: Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số x và ta cĩ: 1 1 √ Đẳng thức xảy ra khi : x = hay x2=1 hay x= 1 Sai lầm: Học sinh mắc sai lầm vì khơng để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức Cauchy: √ Với a , b A. 4. Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. - Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhát và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay của biểu thức nhiều ẩn thường do vi phạm quy tắc suy luận lơgic: f x m x “ Nếu{ thì min f x m” x f x m f x M x “ Nếu{ thì m x f x M ” x f x M - Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng cĩ quy tắc tương tự. - Các ví dụ: VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của : F(x,y) = (x+y)2 + (x+1)2 + (y+1)2 Giải: Với mọi x, y R thì (x+y)2 (x+1)2 (y+1)2 Vậy F(x,y) hay min x 12 –
: 2011 Sai lầm :HS khơng chỉ ra các giá trị của x, y để F(x,y)=0. Nhớ rằng: F(x,y) và nếu tồn tại sao cho F( )=0 thì mới kết luận min x . Đối với bài này thì khơng tồn tại để F( )=0. Sửa lại: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: 1= | x x 1 | √ √ x 1 √ √ x 1 x x 1 Đẳng thức xảy ra khi: => { 4 { 5 4 KL: Min x 1 { 5 A. 5. Sai lầm khi giải các bài tốn tam thức bậc hai. - Khi giải tốn tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện do khơng chú ý đến giả thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn những mệnh đề khơng đúng hoặc xét thiếu trường hợp cần biện luận. - Các ví dụ: VD: Tìm m sao cho: 1 (*) 1 13 –
: 2011 1 Sai lầm: khi nhân hai vế của (*) với khi chưa biết dấu của biểu thức này. A. 6. Sai lầm khi giải hệ phương trình, bất phương trình. - Sai lầm khi xét các loại hệ phương trình thường xuất phát từ nguyên nhân khơng nắm vững các phép biến đổi tương đương hoặc khơng để ý biện luận đủ các trường hợp xảy ra. - Các ví dụ: VD: Giải hệ phương trình:{ 1 4 Giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta cĩ: [ Vậy hệ cĩ nghiệm x= -1 hoặc x=2. Sai lầm: Rõ ràng x=-1 khơng phải là nghiệm của hệ?? Cần lưu ý rằng: , , Lời giải trên đã vi phạm tính tương đương vì hiểu rằng: , A-B =0 Trong khi ta chỉ cĩ: , A-B =0. Lời giải đúng là: Hệ tương đương với: 1 { Từ ( ) ta cĩ [ . Vì cả hai giá trị này đều khơng thỏa mãn nên hệ đã cho vơ nghiệm. A. 7. Sai lầm khi tính giới hạn. - Tiếp xúc với các bài tốn tính giới hạn, HS bước từ “vùng đất hữu hạn” sang “vùng đất vơ hạn” với những đại lượng vơ cùng bé, vơ cùng lớn nên rất dễ mắc sai lầm. Các sai lầm của dạng tốn này thường bắt nguồn từ việc khơng nắm vững các quy tắc vận dụng các định lí về giới hạn, đặc biệt là phạm vi cĩ hiệu lực của định lí. 14 –
: 2011 - Các ví dụ: VD: Tính: L = lim √ √ √ Giải: Ta cĩ: L= lim +lim + +lim √ √ √ = 0 + 0 + +0 = 0 Sai lầm: Vì học sinh khơng nắm vững kiến thức: các phép tốn giới hạn chỉ áp dụng cho hữu hạn số hạng, dẩn đến sai lầm trên. Lời giải đúng: 1 1 1 ớ 1 √ √ √ Do đĩ ∑ 1 mà lim 1 √ √ √ Theo Định lý kẹp thì L=1. A. 8. Sai lầm khi giải tốn liên quan tới đạo hàm: - Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thường gặp khi tính đạo hàm và khi vận dụng đạo hàm để giải tốn. - Các ví dụ: VD: Cho f(x) = { Tính f `(0)? Giải: Vì f(0) = 0 = const => f `(0)=0. Sai lầm : sai lầm của lời giải trên là khi thay x=0 vào f(x) rồi mới tính đạo hàm? Nếu cứ như vậy thì đạo hàm của f(x) tai mọi x đều bằng 0. Lời giải đúng: Theo định nghĩa ta cĩ: F’(0) = lim = lim = * lim + = 1. 15 –
: 2011 A. 9. Sai lầm khi xét bài tốn về tiếp xúc và tiếp tuyến - Các sai lầm khi xét bài tốn loại này xuất phát từ việc khơng nắm vững thuật ngữ hoặc khơng hiểu đúng sự tiếp xúc của hai đồ thị là gì? - Các ví dụ: VD: Cho hàm số y = x - 3x + 1 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3;19) tới đồ thị. Giải:Ta thấy f(3) = 19 A thuộc đồ thị. Vậy phương trình tiếp tuyến cần xác định là: y = f(3) = f’(3)(x - 3) y = 24x – 53. Sai lầm:Phương trình tiếp tuyến y = 24x – 53 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên là kể từ A. Nhưng vẫn cĩ thể tiếp tuyến đi qua A mà A khơng phải là tiếp điểm. Kết quả đúng là: Cĩ 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài tốn : y = 24(x - 3) + 19. y = (x - 3) + 19. A. 10. Sai lầm khi xét các đường tiệm cận của đồ thị. - Khái niệm về đường tiệm cận của đồ thị quan hệ chặt chẽ tới phép tính giới hạn (kể cả phép tính giới hạn một phía). Nhiều học sinh khơng nắm được định nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đốn máy mĩc nên dẫn đến sai lầm. Tất nhiên việc tính các giới hạn sai cũng dẫn đến sai lầm khi tìm các đường tiệm cận. - Các ví dụ: VD: Tìm đường tiệm cận của đường y = √ Giải: Vì lim = nên đồ thị cĩ hai đường tiệm cận đứng là x = 1. Vì tập xác định của hàm số là (-1; 1) nên lim khơng tồn tại. Suy ra đồ thị khơng cĩ đường tiệm cận ngang. (?) Sai lầm: Vì tập xác định của hàm số là (-1; 1) nên chỉ cĩ lim và lim .Do đĩ khơng viết lim . 16 –
: 2011 Cần lưu ý thêm đồ thị cũng khơng cĩ tiệm cận xiên vì tập xác định của hàm số là (-1; 1). A. 11. Sai lầm khi giải tốn nguyên hàm, tích phân - Những sai lầm loại này liên quan tới sự hiểu biết khơng đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lý, quy tắc. - Các ví dụ: VD: Tính ∫ x 1 dx. Giải:Ta cĩ ∫ x 1 dx = c Sai lầm:Lời giải trên đã vận dụng cơng thức : ∫ x dx c với n 1 Ở đây phải đặt u = 2x + 1 du dx dx để cĩ lời giải đúng. B. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của h c sinh phở thơng trung h c khi gi i tốn. B. 1. Nguyên nhân 1: Hiể k ơ đầ đủ và chính xác các thuộc tính của các khái ni m tốn h c. Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy tốn học. Mỗi khái niệm đều cĩ nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm của các khái niệm. Tập hợp các đối tượng cĩ chứa các dấu hiệu trên là chính là ngoại diện của khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu khơng trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất của khái niệm. Từ đĩ, các sai lầm khi giải tốn sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong tốn học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đĩ. Việc học sinh khơng nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc khơng hiểu và khơng thể cĩ biểu tượng về khái niệm khác. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong tốn học cĩ tính liên kết lơgic. Nhiều khái niệm khĩ trong tốn học mới được đưa vào chương trình PTTH như: vectơ, biến hình, nguyên hàm, tích phân Nếu chúng ta khơng 17 –
: 2011 kịp thời cĩ những cố gắng hồn thiện mới về phương pháp giảng dạy các khái niệm thì học sinh thì học sinh sẽ rất khĩ khăn trong việc lĩnh hội các khái niệm đĩ. Nhiều người hay nĩi tới sự mất gốc của học sinh về kiến thức thì trước hết cần hiểu rằng đĩ là sự mất gốc về các khái niệm. Khơng hiểu sự mở rộng khái niệm gĩc hình học sang khái niệm gĩc lượng giác thì học sinh gặp ngay khĩ khăn trong việc nắm vững khái niệm về các hàm lượng giác và từ đĩ việc biểu diễn gĩc lượng giác, việc giải các phương trình, đặc biệt việc giải các bất phương trình lượng giác sẽ khơng tránh khỏi các sai lầm. Nhiều học sinh đã viết: sinx < 1 x < π/2 +k2π, hay khi giải phương trình lượng giác thì các số nguyên khác nhau đều được ký hiệu là k và dẫn tới sự thu hẹp tập nghiệm. Ngay hai đơn vị đo gĩc lượng giác là độ và radian mà học sinh cũng khơng hiểu được đây là hai đơn vị đo khác nhau dẫn đến sai lầm 6 ?. Học sinh khơng nắm được khái niệm giới hạn của dãy số sẽ dẫn tới một loạt sự khơng hiểu các khái niệm tiếp theo: giới hạn hàm số, tính liên tục, đạo hàm, nguyên hàm, tiệm cận các đường cong. Thậm chí nhiều em cịn hiểu là các số, nên sẵn sàng viết , 0. = 0, 1 = 1 Một số em nghĩ rằng hai đường tiệm cận nhau thì khơng cắt nhau. Thậm chí nhiều em khơng hình dung ra được khái niệm tiếp xúc của hai đường dẫn đến sai lầm là “tiếp tuyến tại điểm uốn của đường cong bậc 3 khơng tiếp xúc với đường bậc 3 đĩ” (chỉ vì thấy tiếp tuyến đặc biệt này đi xuyên đồ thị). Học sinh khơng hiểu về căn thức nên đã viết √ hay √ , từ đĩ dẫn tới sai lầm khi giải phương trình và khi biến đổi các biểu thức. Học sinh khơng hiểu các khái niệm về cực trị hàm số nên khơng phân biệt được khái niệm này với khái niệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, đặc biệt sự lạm dụng các ký hiệu ymax và ymin. Học sinh khơng hiểu các khái niệm về nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức bằng cách chứng minh “ đạo hàm hai vế bằng nhau”. Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm của một hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho F’(x) = f(x) 18 –
: 2011 nên chứng minh hai nguyên hàm bằng nhau theo nguyên tắc chứng minh hai tập hợp bằng nhau. HS khơng nắm vững khái niệm về hệ tọa độ Decart vuơng gĩc, nên chọn đơn vị trên hai trục ox, oy khác nhau để dễ vẽ đồ thị của một hàm nào đĩ. HS khơng nắm vững khái niệm về parabol nên đã nhầm lẫn khi gọi tên một số đường cĩ dạng hơi giống parabol, chẳng hạn đường y =x4. HS khơng nắm vững khái niệm quỹ tích nên nhiều khi mới làm xong phần thuận đã vội vàng kết luận “ quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất của bài tốn là đường Học sinh cĩ khi cịn nhầm lẫn khái ni m với đ nh lý, chẳng hạn vì khơng nắm được khái niệm số mũ 0 của lũy thừa nên đã chứng minh 20 = 1. HS khơng nắm được khái niệm số mũ thực với khái niệm căn thức nên cứ tưởng √ với mọi x thuộc R, từ đĩ dẫn tới các sai lầm khi giải phương trình √ vì đưa về phương trình 1 Học sinh khơng nắm vững khái niệm về nghiệm của hệ phương trình nên nhiều khi kết luận hệ cĩ hai ẩn cĩ hai nghiệm là x= và y= Như vậy qua các dẫn chứng cho thấy việc khơng nắm vững các khái niệm học sinh cĩ thể bị dẫn tới sai lầm trong lời giải. Chúng tơi xin lưu ý tới nguyên nhân này vì giáo viên nếu khơng cĩ biện pháp sư phạm kịp thời thì chính từ đĩ sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh thể hiện qua sơ đồ sau: 19 –
: 2011 Khơng nắm vững Nhận dạng sai nội hàm Khơng nắm vững các thuộc tính khái T niệm H Biến đổi sai Ể Kí hiệu sai H I Khơng nắm vững Chứng minh sai Ệ ngoại diện N Vẽ hình sai S A Diễn đạt sai I Khơng phát hiện Khơng phân tích Học sinh Giáo viên Khơng củng cố Khơng phân loại Hình 1: Sai lầm do khơng nắm hiểu khơng đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm tốn học. 20 –
: 2011 B. 2. Nguyên nhân 2 : Khơng nắm vững cấu trúc lơgic củ đ nh lí. Định lý là một mệnh đề đã được khẳng định đúng. Cấu trúc thơng thường của định lý cĩ dạng A B. Trong cấu trúc của định lý A B thì A là giả thuyết của định lý và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được của định lý. Người ta cịn nĩi A là diều kiện đủ để cĩ B. Nhưng khá nhiều học sinh khơng nắm vững hoặc coi thường giả thuyết A nên dẫn tới sai lầm. Nhiều học sinh nhầm giả thuyết A của định lý cũng là điều kiện cần để cĩ kết luận B nên mắc sai lầm. Nhiều học sinh nhầm giả thiết A của định lí là điều kiện cần để cĩ kết luận B nên mắc sai lầm. Khi học định lí về chiều biến thiên của hàm số “Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số y= f(x) địng biến trên (a;b)”, khá nhiều HS nghĩ đây là điều kiện cần và đủ để hàm số y= f(x) đồng biến trên (a;b). Thực ra đây chỉ là điều kiện đủ ( hàm số y = x3 là hàm số đồng biến trên R. Từ đĩ, HS sử dụng định lý này để xác định tham số sao cho hàm số thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Khi đọc định lí: “Nếu f’(x0) = 0 và f”(x0) > 0 ( f”(x0) < 0) thì hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại x = x0”, HS cũng mắc sai lầm khi gặp tình huống f’(x0) = 0 và f”( x0) = 0 lại kết luận hàm số khơng cĩ cực đại, cực tiểu. Tình huống này chỉ dẫn đến một suy nghĩ hợp lí là trở về qui tắc 1 xét cực trị hàm số nhờ đạo hàm bậc nhất. phản thí dụ cho sai lầm của HS là y=x4. Khi học định lí Weiersrtrass về sự tồn tại giới hạn dãy, nhiều HS cũng tưởng điều kiện dãy đơn điệu là điều kiện cần và lí luận sai lầm “ dãy khơng đơn điệu nên khơng cĩ giới hạn”. Khơng nắm vững giả thiết của định lí nên HS cĩ thể áp dụng định lí ra ngồi phạm vi của giả thiết. Chẳng hạn, học quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = xn, HS khơng lưu ý rằng số mũ phải là hằng số nên đã áp dụng quy tắc trên để tính đạo x x 1 hàm của hàm số y = x . Ngay HS PTTH mà cịn nĩi rằng là số nguyên x2 x 1 khi và chỉ khi x+1 chia hết cho x2 + x + 1 mặc dù x thuộc tập số thực R. Điều trên chỉ nĩi được nếu x + 1 và x2 + x + 1 nhận giá trị thuộc tập số nguyên Z. Khi học về bất đẳng thức Cauchy , HS khơng để ý tới giả thiết chỉ áp dụng bất đẳng thức 21 –
: 2011 cho các số khơng âm nên khi gặp bài tốn so sánh x + 1/x với số 2 đã áp dụng ngay để cĩ sai lầm x + 1 > 2 với x ≠ 1 và x + = 2 với x = 1. x 1 Nhiều HS lớp 12 vẫn dùng định lí Newton-Leibnitz để tính tích phân 1 mặc 2 2 x dù hàm số khơng xác định và liên tục tại x = 0 thuộc [-2;1] để cĩ đáp số sai là -1,5, thực ra tích phân này khơng tồn tại. Định lý về các phép tốn của giới hạn dãy chỉ phát biểu cho giới hạn của một tổng hữu hạn dãy và các dãy này phải tồn tại giới hạn, nhưng nhiều khi HS vẫn áp dụng định lý cho tổng vơ hạn, thậm chí khơng để ý giới hạn của từng dãy cĩ tồn tại hay khơng? Nguyên nhân này cịn dẫn đến sai lầm là nhiều HS sử dụng các á hằng đẳng thức khi giải tốn, chẳng hạn: ab a b. log (xy ) log ( x )log ( y ). 2 2 2 logab .log b c log a c . Tĩm lại, việc khơng nắm vững cấu trúc logic của định lý sẽ dẫn HS tới nhiều sai lầm trong khi học tốn và giải tốn. Chúng tơi xin lưu ý sơ đồ sau: 22 –
: 2011 Định lý : A B Khơng nắm vững A Khơng nắm vững B Khơn Khơn Sử dụng Sử Cĩ A g cĩ A g cĩ A định lý dụng nhưng Cĩ B vẫn suy ra tương B mà suy ra suy suy ra khơn tự chưa khơn khơng ra A B g cĩ B đúng g nhớ phải A B Lời giải sai Học sinh Giáo viên Hình 2: Sai lầm do khơng nắm vững cấu trúc lơgic của định lí 23 –
: 2011 B. 3. Nguyên nhân 3 : Thiếu các kiến thức cần thiết về lơgic. Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đốn – một trong các hình thức của tư duy. Hoạt dộng suy luận giải tốn dựa trên cơ sở của lơgic học. HS thiếu các kiến thức cần thiết về lơgic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đĩ dẫn đến các sai lầm khi giải tốn. Việc khơng cĩ ý thức về phép tuyển và phép hội gây cho HS khĩ khăn ngay cả việc lĩnh hội các khía niệm, các định lí. Nhiều định lí cĩ giả thiết và kết luận mang cấu trúc tuyển hoặc hội. Nhiều tính chất đặc trưng của một khái niệm cũng cĩ các kiểu cấu trúc này. Chẳng hạn định lí “Nếu hàm số đạt cực trị tại x=x* thì hàm số khơng cĩ đạo hàm tại x=x* hoặc đạo hàm tại đĩ triệt tiêu”. Nhiều HS khơng hiểu được từ đĩ suy ra một khẳng định “Nếu hàm số cĩ đạo hàm tại điểm x=x* thì đạo hàm tại đĩ bằng 0”. Phép tốn kéo theo của lơgic là phép tốn rất quan trọng trong việc phát biểu các định lí, khái niệm và trong lập luận của lời giải. Chúng tơi đã phân tích nguyên nhân các HS khơng nắm vững cấu trúc lơgic của định lí nên dẫn tới các sai lầm khi giải tốn. Nhưng sự thiếu hiểu biết về lơgic , mà đặc biệt là phép tốn kéo theo lại là “ nguyên nhân của nguyên nhân” dẫn đến các sai lầm. Nhiều HS khơng hiểu đâu là điều kiện cần, điều kiện đủ và thậm chí đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ, HS cũng khĩ trả lời. HS cịn thiếu những hiểu biết về các quy tắc suy luận nên dẫn tới nhiều sai lầm khi thực hiện các phép tính chứng minh. Phân tích các suy luận trong chứng minh tốn học ta thấy mỗi chứng minh bao gồm các bước cơ bản, mà mỗi bước được thực hiện theo những quy tắc nhất định gọi là các quy tắc suy luận. HS nhiều khi nhầm phép suy ngược tiến là một phép chứng minh. Chẳng hạn, để chứng minh với mọi a, b, c ta cĩ bất đẳng thức: 2 2 2 2 3(a b c ) ( a b c ) Cĩ HS giải như sau: 24 –
: 2011 3(a2 b 2 c 2 ) ( a b c ) 2 2a2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 ac 2 bc 0 (a b )2 ( a c ) 2 ( b c ) 2 0 Do bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng ? - HS cịn chưa hiểu thực chất của phép quy nạp tốn học, nhiều khi dùng phép tương tự thay phép chứng minh bằng quy nạp tốn học. Chẳng hạn, để tính đạo hàm bậc n của hàm số y=e2x, HS lần lượt tính y’=2e2x, y”=4e2x, y”’=8e2x và tương tự suy ra y(n)=2 e2x mà khơng chứng minh gì thêm. - Khơng nắm vững các phép tốn đại số mệnh đề: phủ định, kéo theo, hội, tuyển, tương đương, khơng nắm vững thuộc tính của các lượng từ “mọi”, “tồn tại” cũng như “và”, “hoặc” Khơng nắm vững các quy tắc suy luận cơ bản: - Quy tắc kết luận(Modus ponens): p,p q q - Quy tắc suy luận bắc cầu: p q, q r pr - Quy tắc suy luận phản chứng: q p.p q q,p q pq p hoặc qp 25 –
: 2011 - Quy tắc lựa chọn: p q, p p q, q q hoặc p - Quy tắc tách hội: pq pq p hoặc q - Quy tắc nhập hội: p,q pq - Quy tắc nhập tuyển: p q hoặc pq pq - Quy tắc hốn vị tiên đề: p (q r) q (p r) - Quy tắc hội tiên đề: p (q r) p q r B. 4. Nguyên nhân 4: H c sinh khơng nắm vữ p ươ p áp iải á bài tố ơ bản. - Khơng nắm vững phương pháp giải các bài tốn cơ bản, HS khơng nghĩ được đủ trường hợp cần xét và dẩn đến điều kiện sai. - Khơng nắm vững phương pháp giải các bài tốn, HS sẽ khơng biện luận đủ các trường hợp xảy ra của bài tốn. 26 –
: 2011 - Khơng nắm vững phương pháp giải các bài tốn, HS sẽ khơng áp dụng đúng phạm vi và dẩn đến bế tắc, khơng đi đến lời giải. - Khơng nắm vững phương pháp giải các bài tốn, HS sẽ bỏ qua những bước quan trọng và đi ngay tới kết luận. - Khơng nắm vững phương pháp giải của cùng một loại tốn, HS khơng tìm ra phương pháp giải tối ưu cho một bài tốn cụ thể. - Khơng nắm vững phương pháp giải, lời giải của học sinh sẽ khơng cĩ trình tự lơgic và sẽ khơng biết khi nào kết thúc lời giải. VD: Giải các phương trình: a) 4 5 b) 1 5 1 c) 4 6 9  Phương pháp giải: HS dể dàng nhận ra phương pháp giải cơ bản của pt dạng: với { * Và phương trình cĩ mơt nghiệm đã biết như sau: Đưa phương trình về dạng ( ) ( ) 1 Chỉ ra x = là nghiệm. Nếu . 1 thì f(x)= ( ) ( ) đồng biến nên x= là nghiệm duy nhất. Nếu . 1 thì f(x)= ( ) ( ) nghịch biến nên x= là nghiệm duy nhất. Với phương pháp này, HS sẽ thành cơng khi giải phương trình a, b, nhưng sẽ thất bại với pt c. Phương trình này khơng dùng phương pháp giải trên vì khơng nhầm ra nghiệm mặc dù vẫn chứng minh được là nghiệm duy nhất. Vì khơng nắm rõ cách giải phương trình loại này nên học sinh đi ngay đến kết luận sai lầm. Trong khi ta cĩ thể giải phương trình c theo phương pháp: Cho phương trình A(a2)t(x) + B(ab)t(x) + C (b2)t(x) = 0 Đặt t =( ) Ta được phương trình: At2 +Bt +C =0 Giải phương trình cơ bản trên để tìm ra . 27 –
: 2011 Kết luận:Tất cả kết quả nghiên cứu ở chương này, cho phép chúng tơi khẳng định: - HS cịn mắc nhiều sai lầm khi giải tốn. - Những sai lầm của HS cĩ thể hệ thống lại để giúp GV dễ phát hiện trong lời giải của HS. - Những sai lầm khi giải tốn của HS xuất phát từ nhiều nguyên nhân về kiến thức. - Từ những nghiên cứu này, chúng tơi cĩ cơ sở thực tiễn và lý luận để đề nghị các biện pháp hiệu quả nhằm phân tích, sửa chữa và hạn chế các sai lầm của HS khi giải tốn. Từ đĩ, gĩp phần hồn thiện lý luận dạy học mơn tốn và rèn luyện năng lực giải tốn cho HS THPT. 28 –
: 2011 h ng II Các bi n pháp rèn luy n năng lực gi i tốn cho h c sinh phở thơng trung h c qua phân tích và sửa chữa sai lầm. A. sở lí luận Trong quá trình nghiên cứu để xây dựng các biện pháp hạn chế và sữa chữa các sai lầm của HS PTTH khi giải tốn, chúng tơi dựa trên những cơ sở lí luận sau đây: A. 1. Lí luận v ph ng ph p dạy h c. Căn cứ này là tiền đề để bổ sung vào phương pháp dạy học mơn tốn nhằm đạt mục đích đề ra là hạn chế, sữa chữa các sai lầm của HS khi giải tốn. Phương pháp dạy học là cách thức làm việc của thầy cơ và của trị trong sự phối hợp thống nhất và dưới sự chỉ đạo của thầy, nhằm làm cho trị tự giác, tích cực, tự lực đạt tới mục đích dạy học. Phương pháp dạy phải cĩ hai chức năng là truyền đạt và chỉ đạo. Phương pháp cũng cĩ 2 chức năng là tiếp thu và tự chỉ đạo. Phương pháp khoa học tốn học và phương pháp dạy học tốn học là đẳng cấu, nhưng khơng đồng nhất. Người HS chỉ chủ động sáng tạo trong khuơn khổ của sự chỉ đạo sư phạm của GV, của chương trình đào tạo, phát hiện lại chân lí mới cho bản . Các nhà tâm lí học khẳng định rằng “mọi trẻ em bình thường khơng cĩ bệnh tật gì đều cĩ khả năng đạt được học vấn tốn học phổ thơng, cơ bản dẫu cho chương trình tốn đã “hiện đại hĩa” . Như vậy cĩ thể thấy rằng các sai lầm của HS khi giải tốn là cĩ thể khắc phục được. Giáo dục học mơn tồn liên hệ khăng khít với một số khoa học khác : khoa học duy vật biện chứng và duy vật lịch sử, tốn học, giáo dục học, tâm lí học, lơgic học, điều khiển học và lý thuyết thơng tin. Các biện pháp sữa chữa sai lầm cho HS khi giải tốn cũng phải dựa trên mối liên hệ hữu cơ của các bộ mơn khoa học trên. 29 –
: 2011 Các biện pháp sữa chữa sai lầm cho HS, cũng như phương pháp dạy học nĩi chung phải phản ánh được : cấu trúc bên ngồi và cấu trúc bên trong, đặc biệt đối với cấu trúc bên trong phải chỉ ra được các thao tác trí tuệ, cách thức tổ chức lơgic của sự nhận thức và lĩnh hội của HS. Đối với việc chỉ ra các sai lầm của HS khi giải tốn cũng cĩ nhiều quan điểm khác nhau trên thế giới. Nửa thế kỉ sau của thế kỉ XIX, một số nhà giáo dục học người Đức mà tiêu biểu là Aphogut Lai cho rằng: việc chú ý tới các sai lầm của HS trong giờ học cĩ ảnh hưởng xấu đến việc tiếp thu bài giảng. Đặc biệt quan điểm này đề nghị khơng viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm trong ý thức HS. Đây là một quan niệm cĩ tính chất máy mĩc giáo điều, khơng dựa trên qui luật tiếp thu tri thức một cách cĩ ý thức của HS. Chúng tơi đồng nhất quan điểm với R.A.Axanop : “ Việc tiếp thu tri thức một cách cĩ ý thức được kích thích bởi việc tự HS phân tích một cách cĩ suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà HS phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và tư duy, lí luận về bản chất của các sai lầm” . Chính A.A.Stoliar cũng đã đặt ra một số bài tốn phương pháp giảng dạy mà trong đĩ liên quan tới các tình huống HS mắc sai lầm khi giải tốn và đã khẳng định cần phải cĩ biện pháp nhằm dạy học mơn tốn dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của HS xuất hiện. Mặt khác, ngồi các phương pháp dạy học truyền thống, các nhà nghiên cứu về phương pháp dạy học đã đưa ra một số phương pháp mới mà tình huống mắc sai lầm của HS tạo điều kiện để phát huy ưu điểm của phương pháp này. Chúng tơi xin minh họa rõ ý trên bằng quan điểm cụ thể dưới đây. Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống cĩ vấn đề trong dạy học. Khi HS mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện tình huống cĩ vấn đề, khơng phải do GV đề ra theo ý mình mà tự nĩ nảy sinh từ lơgic bên trong của việc giải tốn. Sai lầm của HS tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của HS. Sai lầm của HS làm nảy sinh nhu cầu cho tư duy mà “ tư duy sáng tạo luơn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề” (Rubinstein ). 30 –
: 2011 Sai lầm của HS xuất hiện thì sẽ khêu gợi được hoạt động học tập mà HS sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng. Tìm ra cái sai của chính minh hay của bạn mình đều là sự khám phá. Từ sự khám phá này, HS chiếm lĩnh được kiến thức một cách trọn vẹn hơn. Tuy nhiên cần gây niềm tin cho HS là bản thân mình cĩ thể tìm ra được sai lầm trong một lời giải nào đĩ. HS cĩ thể tự suy nghĩ hoặc trao đổi để tìm ra các sai lầm. Trong tình trạng phân cực trình độ của HS như hiện nay (ngay trong một lớp) thì phương pháp dạy học phân hĩa cĩ tác dụng rút bớt dần sự phân cức. GV cĩ thể đối xử cá biệt trong những pha dạy học đồng loạt nhằm hạn chế và sữa chữa các sai lầm của HS khi giải tốn. Sự phân hĩa trong nhờ thơng qua những mức độ “bẫy” sai lầm khác nhau cho từng đối tượng HS, thể hiện ngay ở việc GV giao bài tập trên lớp hoặc bài tập về nhà. Sự phân hĩa ngồi nhờ thơng qua các cơng việc tổ chức học tập theo nhĩm, tổ và phụ đạo riêng cho những HS mắc nhiều sai lầm trầm trọng. Tuy nhiên, chúng ta khơng được quên tận dụng các ưu điểm của các phương pháp dạy học truyền thống vào mục đích mà chúng ta đang hướng tới. Các biện pháp được đề xuất đều dựa trên quan điểm hoạt động trong phương pháp d y h c v ởng ch c G.S Nguy B : a) Cho HS th c hi n và t p luy n nh ng ho ng và ho ng thành ph thích với nội dung và mục đích dạy học. b) Gây động cơ hoạt động và tiến hành hoạt động. c) Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động. d) Phân bậc hoạt động làm chỗ dực cho việc điều khiển quá trình dạy học. A. 2. Những v n c b n của tâm lí dạy h c Ngay trong các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của HS khi giải tốn cĩ các nguyên nhân về tâm lí của HS. Chính vì vậy khi đưa ra các biện pháp sư phạm, chúng tơi lấy các qui luật của tâm lí học dạy học làm cơ sở lí luận. 31 –
: 2011 Nhờ lí thuyết hoạt động mà ngành tâm lí học sư phạm đã nghiên cứu được nhiều kết quả do thực tiễn dạy và học đặt ra. Chúng tơi rất tán thành quan điểm “Suy cho cùng giáo dục là quá trình biến năng lực của lồi người thành năng lực của mỗi trẻ em”. Để làm được cơng việc này cần phải thơng qua hoạt động dạy học. Tất nhiên, hoạt động dạy khơng thể tách rời hoạt động học. “Chất lượng hoạt động học phụ thuộc vào trình độ điều khiển và tổ chức ( trình độ nghề nghiệp) của thầy, kết tinh ở trình độ phát triển những hành động học tập tích cực của HS” . Chúng tơi rất quan tâm tới bản chất của hoạt động học của HS đã được khẳng định: a) Tri thức và những kĩ năng, kĩ xảo tương ứng với tri thức ấy là đối tượng của hoạt động học. Việc lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của xã hội sẽ khơng thể thực hiện được nếu người học là khách thể bị động của những tác động sư phạm. b) Hoạt động học làm cho chính chủ thể hoạt động này thay đổi và phát triển. Chỉ cĩ thơng qua đĩ người học mới giành được những khả năng khách quan để ngày càng tự hồn thiện chính mình. c) Hoạt động học cần làm cho HS cĩ cả những tri thức về hoạt động học mà chúng ta thường gọi là phương pháp học tập. Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho HS khi giải tốn phải tác động và nhằm đích vào hoạt động của HS. Trước hết cần tạo ra động cơ học tập sửa chữa các sai lầm. HS phải thấy việc sửa chữa các sai lầm khi giải tốn là một nhu cầu và cần phải tham gia như một chủ thể một cách tự nguyện, say mê hào hứng. HS phải cĩ được “ động cơ hồn thiện tri thức”. Cần lấy hoạt động học tập của HS để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức. Hoạt động học của HS phải thơng qua các hành động cụ thể: hành động phân tích, hành động cụ thể hĩa. Căn cứ vào những kết quả nghiên cứu về tâm lí dạy học, chúng tơi thấy cần hình thành ở HS những năng lực tạo ra năng lực, mà trong đĩ bản thân năng lực tìm ra các sai lầm khi giải tốn sẽ tạo ra năng lực giải tốn cho HS. Từ đĩ HS tự tin để sửa chữa các sai lầm. 32 –
: 2011 Tâm lí học khẳng định “ muốn hình thành khái niệm ở HS phải lấy hành động của các em làm cơ sở”. Nếu tổ chức hành động cho HS khơng tốt thì HS khơng thể nắm vững các thuộc tính của khái niệm và nguyên nhân gây ra sai lầm sẽ xuất hiện. Hơn nữa, các biện pháp phải tập trung vào phát triển hoạt động, rèn luyện các kĩ năng học tập của HS ( kỹ năng nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ chức hoạt động, kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá) . B. B ph ng châm chỉ ạo sử dụng các bi n ph p s phạm nhằm hạn ch và sửa chữa các sai lầm của h c sinh khi gi i tốn B. 1. h ng châm 1: Tính kịp thời Các biện pháp phải chú ý thích ứng với thời điểm thích hợp. Biện pháp chỉ huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc. Khơng thể tùy tiện trong việc phân tích và sửa chữa, cũng như hạn chế các sai lầm của HS. Đặc biệt, thời gian mà GV tiếp xúc trực tiếp với HS là cĩ hạn.Sự khơng kịp thời sẽ gây lãng phí thời gian và GV sẽ khĩ cĩ điều kiện lấy lại thời gian đã mất. Tính kịp thời của các biện pháp địi hỏi sự nhanh nhạy của GV trước các tình huống điển hình, nhằm tác động đúng hoạt động học của HS. Tính kịp thời địi hỏi sự tích cực hĩa hoạt động nhận thức của cả GV và HS. Tính kịp thời địi hỏi GV phải nghiên cứu và dự đốn được các sai lầm của HS ở từng thời điểm của năm học, từng giờ lên lớp. Tính kịp thời địi hỏi GV luơn ở tư thế thường trực với mục tiêu dạy học nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của HS khi giải tốn. Sai lầm càng sửa muộn bao nhiêu thì sự vất vả của thầy và trị càng tăng bấy nhiêu. Tính kịp thời địi hỏi GV phải vững vàng về tâm lí nghề nghiệp, biết chủ động trong thái độ, biết kiềm chế khi khĩ chịu và biết đồng cảm với mọi điều sai, đúng của HS. Tính kịp thời địi hỏi GV phải tranh thủ giao tiếp với HS, khơng chỉ ở trên lớp mà cịn trong nhiều hồn cảnh khác để tận dụng cơ hội thực hiện các biện pháp dạy học. Tính kịp thời địi hỏi GV phải tìm cách hạn chế các nguyên nhân sai lầm của HS kể cả khi các sai lầm chưa xuất hiện. 33 –
: 2011 Tính kịp thời cịn địi hỏi GV phải củng cố thường xuyên các sai lầm sửa chữa cho HS, nhằm khơng để các sai lầm tái diễn. B. 2. h ng châm : Tính chính xác Sự chính xác trong lời giải là địi hỏi của tốn học, cũng là sự địi hỏi của nhiệm vụ dạy học mơn tốn trong nhà trường phổ thơng để “ đào tạo cĩ chất lượng những người lao động mới”. Các biện pháp đề xuất phải đi tới mục tiêu làm cho lời giải của HS bảo đảm độ chính xác cao. Tính chính xác địi hỏi GV phải diễn đạt chính xác, từ ngơn ngữ thơng thường đến ngơn ngữ tốn học. GV phải là mẫu mực về phương pháp tư duy, tư duy chính xác, về lời giải chính xác cho các bài tốn. Tính chính xác địi hỏi GV phải chỉ ra chính xác nguyên nhân sai lầm của HS trong lời giải. GV khơng được phủ định lời giải sai của HS một cách chung chung. Tính chính xác địi hỏi các bài tốn của GV đưa ra khơng được sai lầm. Đối với HS giỏi thì cĩ thể sự sai lầm của bài tốn sẽ được HS phát hiện, nhưng đối với HS yếu hoặc trung bình thì bài tốn dễ gây hoang mang và mất niềm tin vào GV. Tính chính xác địi hỏi sự đánh giá chính xác mức độ sai lầm của HS. Chẳng hạn, khi HS viết thì thơng th ờng c c V cho â l mợt sai lầm nghiêm trọng về kiến thức cơ bản. Tuy nhiên, đối với một số HS cụ thể thì sai lầm này cĩ khi chỉ do sự vơ ý thức gây nên. Tính chính xác địi hỏi GV đánh giá bài giải của HS qua điểm số một cách cơng bằng. Tính chính xác địi hỏi GV phải biết hướng dẫn điều chính, sửa chữa một lời giải sai để Hs tự tìm ra một lời giải đúng. Tính chính xác địi hỏi GV phải lựa chọn đúng biện pháp tối ưu trong từng tình huống điển hình. 34 –
: 2011 B. 3. h ng châm : Tính giáo dục Tính giáo dục địi hỏi GV phải lấy sự phát triển nhân cách của HS làm mục tiêu cho các biện pháp. Tính giáo dục giúp cho HS thấy được tầm quan trọng của sự chính xác trong lời giải. Tính giáo dục giúp cho HS tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất hiện. Tính giáo dục giúp cho HS xác định được động cơ học tập mơn tốn.Tính giáo dục địi hỏi GV phải cĩ phẩm chất và năng lực xứng đáng là người thầy. Tính giáo dục địi hỏi GV khơng làm cho HS bị xúc phạm về nhân cách khi mắc sai lầm trong lời giải. Tính giáo dục làm cho HS cĩ ý chí trong học tốn, giải tốn. HS khơng ngại khĩ, biết kiên trì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng. Tính giáo dục giúp cho HS cĩ những thĩi quen tốt, như biết tự kiểm tra việc làm của mình, biết phủ định sai lầm của chính mình và biết giúp bạn nhận ra sai lầm. Tính giáo dục giúp cho HS khơng giấu dốt, dám hỏi khi khơng hiểu, khơng biết, tránh gian lận quay cĩp để mong lời giải đúng. Tính giáo dục giúp cho HS tích cực suy nghĩ, tăng cười hoạt động đưa đến sự ham mê chiếm lĩnh kiến thức chuẩn xác. Tính chính xác địi hỏi GV phải biết khen ngợi, khích kệ HS khi đã sửa chữa được sai lầm. Tính giáo dục làm cho HS thấy được mọi sai lầm đề cĩ thể sửa chữa được nếu ra tìm ra nguyên nhân và cĩ ý chí khắc phục. Tính giáo dục làm cho HS biết được ưu điểm của trực giác là cĩ thể giúp nghĩ ra, kiểm tra lời giải nhưng cũng chính trực giác cĩ thể đưa HS đến các sai lầm. Tính giáo dục địi hỏi GV đảm nhận ra sai lầm của mình trong lời giải, trong cách đánh giá HS. 35 –
: 2011 Tính giáo dục địi hỏi GV khơng nĩng vội trong việc thực hiện các biện pháp để mong muốn chấm dứt sai lầm của HS. Cĩ những sai lầm địi hỏi GV phải huy động nhiều biện pháp đồng bộ và qua một thời gian dài mới khắc phục nổi. Tính giáo dục địi hỏi các biện pháp phải dựa trên tình thương yêu học sinh, mong HS tiến bộ và tuyệt đối khơng xúc phạm hay quy kết sai nguyên nhân sai lầm của HS. Ba phương châm trên hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện đúng mục đích và kết quả. Tính kịp thời làm cho tính giáo dục đạt được nhanh hơn và ngược lại tính giáo dục giúp cho các biện pháp thực hiện được kịp thời, thuận lợi hơn. Tính chính xác củng cố cho tính giáo dục và tạo điều kiện cho tính kịp thời. Ngược lại, tính kịp thời là chuẩn bị điều kiện thể hiện tính chính xác. Một biện pháp, một hoạt động của GV hay HS nhiều lúc thể hiện cả ba phương châm chỉ đạo quan trọng trên. Chẳng hạn sự tích cực hĩa trong việc nhận thức các khái niệm vừa cĩ tính kịp thời đề phịng các sai lầm, vừa cĩ tính chính xác để đạt được sự hiểu biết sâu sắc khái niệm và cĩ tính giáo dục trong việc giúp HS chủ động chiếm lĩnh các kiến thức chuẩn C. B n bi n ph p s phạm chủ y u nhằm hạn ch và sữa chữa sai lầm cho h c sinh C. 1. Bi n pháp 1: Trang bị đ y đ , chính xác các kiến th c về bộ mơn tốn. Biện pháp này giải quyết bốn tình huống cụ thể sau đây: Tình huống 1: D y khái ni m Tốn h tránh sai l m cho h c sinh khi gi i Tốn? Ngồi các hoạt động dạy học khái niệm đã được trình bày chúng tơi cịn muốn nhấn mạnh và hồn thiện thêm một số biện pháp. Giáo viên cần dự đốn trước (bằng kinh nghiệm bản thân hoặc trao đổi với đồng nghiệp), các khả năng khơng hiểu hết các thuộc tính của khái niệm. Chẳng hạn đối với khái niệm hàm số ngược thì học sinh cĩ khả năng nào khơng hiểu hết các thuộc tính của khái niệm? Dù xây dựng qua khái niệm song ánh đi chăng nữa, cuối cùng đối với học sinh trung học phổ thơng, chúng ta đều dựa vào phương trình f(x) = y với y thuộc tập giá trị của hàm f cho trước. Nếu phương trình này cĩ nghiệm duy nhất thì chúng ta cĩ thể xây dựng được hàm g sao cho nếu f(x) = y thì g(y) = x và g gọi là hàm ngược 36 –
: 2011 của hàm f. Khơng những thế, người ta cĩ thể thu hẹp tập xác định của f để tồn tại g. Nhiều học sinh khi nĩi tới hàm f cho bởi một biểu thức giải tích, mà khơng để ý tới hàm f cho bởi nhiều biểu thức giải tích, thậm chí cho bởi các cách khác như bảng giá trị, đồ thị vv Nhiều học sinh khơng để ý tới tập xác định của f. Chẳng hạn y = f(x) = x2 là khơng đơn điệu trên R nhưng đơn điệu trên R+. Học sinh coi hàm y = f(x) = x2 trên R và trên R+ là như nhau vì cùng một cách tương ứng mỗi x với y = x2. Từ đĩ, học sinh hoạt động nhận dang và thực hiện dễ mắc sai lầm. Một số học sinh cịn nĩi hàm y = arcsinx là hàm ngược của hàm y = sinx, chứ khơng nhấn mạnh là hàm ngược của hàm y = sinx với x ϵ [ ; ]. Học sinh cịn nghĩ rằng hai hàm ngược nhau f và g là khác nhau! Do đĩ khi tìm hàm ngược của hàm y = x hay hàm y = ; y = học sinh ngỡ ngàng khơng dám kết luận hàm ngược của f chính là f. Khi khơng cĩ phương trình f(x) = y thì học sinh khơng biết tìm hàm ngược như thế nào. Chẳng hạn hàm số cho bởi bảng giá trị tương ứng: x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 8 7 6 5 4 3 2 1 Thì học sinh khơng tìm ra được hàm số ngược. Cĩ khi học sinh khơng nắm được nếu hàm g là hàm ngược của hàm f thì hàm cũng là hàm ngược của hàm g. Nếu dự đốn được các sai lầm thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài giảng của mình để đề phịng trước sai lầm cho học sinh. Sự chủ động đề phịng sai lầm bao giờ cũng tích cực hơn là lo sửa chữa sau này. Những sai lầm của học sinh về khái niệm Tốn học mang dấu ấn khĩ phai và rất mất cơng chỉnh lại cho chính xác. Ở đây cũng lưu ý phân biệt chưa hiểu hết và hiểu sai. Cĩ những khái niệm khĩ, học sinh khơng hiểu hết các thuộc tính ngay một lúc mà phải qua các hoạt động nhận dạng và cải thiện mới đi tới sự trọn vẹn. chính việc chưa hiểu hết các thuộc tính sẽ rất dễ dẫn đến việc hiểu sai khái niệm. Do đĩ cĩ những sai lầm của học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết các thuộc tính của khái niệm thì mới mong học sinh hết hiểu sai. Chẳng hạn khi dụng kí hiệu ymax, ymin từ lớp 10, lớp 11 học sinh coi đĩ là kí hiệu cho giá trị 37 –
: 2011 lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , nhưng lúc đĩ học sinh chưa hiểu hết cái sai mà lớp 12 thì học sinh mới được giải thích thỏa đáng. Trong lí thuyết thơng tin, để khơng nhiễu thơng tin chúng tơi cĩ đề ra phương pháp mà cĩ thể vận dụng vào dạy học. Học sinh cĩ nhiệm vụ giải mã thơng tin mà giáo viên đưa đến. Làm sao để vừa sức giải mã của học sinh. Hay đổi mã để học sinh dễ giải mã hơn. Các biện pháp giáo dục trực quan đã được nhiều tác giả nghiên cứu, ở đây chúng tơi đề cập tới một biện pháp đổi mã cho học sinh bằng cách nâng giá mang của thơng tin. Chẳng hạn khi dạy hàm số liên tục, chúng ta cĩ định nghĩa: “ Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại đểm x = x0 nếu: 1) x0 là một điểm thuộc tập xác định của hàm số, 2) = f(x0)” Một định nghĩa khác: “Một hàm số f(x) xác định trên tập số D, gọi là liên tục tại điểm x ϵ D, nếu lim = f(x0)” Thực ra khi viết f(x0) đã mang thơng tin x0 thuộc tập xác định, nhưng các định nghĩa trên đều nhấn mạnh riêng yêu cầu này chính là tạo điều kiện cho học sinh giải mã tốt hơn. Thậm chí theo chúng tơi là rất tốt. Chúng tơi cịn lưu ý ngay dưới định nghĩa: Như vậy một hàm số liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu 3 điều kiên sau: 1) f(x) xác định tại x = x0, 2) lim tồn tại, 3) lim = f(x0)” Với lưu ý này chúng tơi tạo điều kiện giải mã cho học sinh . Hãy hình dung lẽ ra chỉ cần 3 nhưng đã thêm 1, và cuối cùng thêm cả 2. Hiểu được dụng ý sư phạm và ý nghĩa thơng tin này, giáp viên sẽ tổ chức hoạt động nhận dạng tốt hơn. Trong hoạt động nhận dạng thì các phản ví dụ rất quan trọng trong việc tránh các sai lầm của học sinh khi lãnh hội khái niệm. chẳng hạn, hàm số y = khơng liên tục tại ớ 1 x= -1 (vi phạm 1), y ={ khơng liên tục tại x= -1 ớ 1 38 –
: 2011 ớ ( vi phạm 3); y={ khơng liên tục tại x=0 ( vi phạm 2). ớ Khi học sinh đã đi qua một loạt khái niệm bằng sơ đồ rất dễ gây dấu ấn cho học sinh. Chẳng hạn mối quan hệ giữa 3 khái niệm quan trọng của giải tích: f(x) khả vi trên f(x) liên tục f(x) khả tích (a;b) trên (a;b) trên (a;b) Ngay việc phân loại khái niệm, giáo viên cũng cần chỉ ra sự phát triển theo con đường tốn học đã đi để học sinh thấy được học sinh thấy được nội hàm và ngoại diên khái niệm. cĩ thể giáo viên cịn phải biết “ bức tranh tồn cảnh về các khái niệm quan trọng trong chương trình đại số-giải tích ở trung học phổ thơng. Tình huống 2: D ịnh lí Tốn h h c sinh tránh các sai l m khi gi i Tốn? Nĩi tới định lí Tốn học là nĩi tới một khẳng định đúng. Tuy nhiên việc quan trọng mà giáo viên cần quan tâm đầu tiên là cấu trúc logic của định lý. Như chúng tơi đã phân tích việc khơng nắm vững các cấu trúc định lí sẽ dẫn tới sai lầm khi học sinh giải tốn.các định lí tốn học thường được diễn đạt theo cấu trúc A=> B. Ai cũng biết A là giả thuyết B là khẳng định,kết luận của định lí. Nhưng chúng tơi xin lưu ý thêm: A cho biết dùng định lí khi nào và B sẽ cho biết kết luận suy ra được gì khi cĩ A. Dạy định lí tốn học cĩ thể đi theo 2 con đường: con đường suy diễn và con đường cĩ khâu suy đốn. Nhằm hạn chế và đề phịng sai lầm của học sinh khi giải tốn chúng tơi thấy cần phải phân tích rõ giả thiết của định lí.Học sinh nhiều khi khơng quan tâm đến giả thiết định lí mà chỉ quan tâm tới kết luận định lí dẫn tới sai lầm. Giáo viên cần nhấn mạnh giả thiết của định lí cĩ cấu trúc hội hay tuyển. Chẳng hạn định lí Viete: 2 Nếu phương trình bậc hai ax + bx+ c = 0 (a≠0) cĩ nghiệm x1, x2 thì tổng và tích của nghiệm nĩ là: 39 –
: 2011 { Cấu trúc của giả thiết cĩ cấu trúc hội : { a≠0} và { 0}. Trước khi dùng định lí này phải kiểm tra hoặc đặt điều kiện để bài tốn thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện của giả thiết. Học sinh rất hay quên điều kiện a≠0. Nhiều học sinh vẫn tính tổng và tích nghiệm của phương trình x2+x+1=0 mặc dù phương trình vơ nghiệm. Giáo viên cần tạo ra các thí dụ mà các điều kiện của giả thiết chưa thỏa mãn hồn tồn để học sinh thấy rằng mọi điều kiện của giả thiết là khơng thể thiếu được. Thí dụ hay định lí: Nếu hàm số f(x) cĩ đạo hàm f’(x)= 0 trên khoảng (a;b) thì y là một hàm hằng trên khoảng đĩ tức là f(x)=c với mọi x ϵ (a;b). Nhiều học sinh chỉ để ý tới f(x)=0 mà khơng để ý tới (a;b) nên dẫn tới sai lầm. Khi định lí cĩ cấu trúc A B thì A là điều kiện đủ để cĩ B chứ chưa chắc là điều kiện cần. Giáo viên cũng cần nêu ra thí dụ để thuyết phục, chứ khơng chỉ dừng lại ở việc nhắc nhở. Các thí dụ mà đặc biệt là các phản ví dụ bao giờ cũng tạo ấn tượng sâu sắc đối với học sinh. Chẳng hạn khi dạy định lí: “Cho hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm f’(x) trên khoảng (a ; b. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a ; b) thì f(x) đồng biến ( tức là tăng) trên khoảng đĩ”. Giáo viên cần chỉ ra hàm số y = x3 thực sự tăng trên R, nhưng y’ = 3x2 vẫn triệt tiêu tại x = 0 , thậm chí y = √ thực sự tăng trên [ 0 ; + ) nhưng y’ = khơng xác √ định tại x = 0, điều này chứng tỏ giả thiết f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a ; b) chỉ là điều kiện đủ chứ khơng phải là điều kiện cần. Để khắc sâu định lí, giáo viên cần chỉ định lí này là khái quát cho định lí nào mà học sinh đã học trước đĩ. Chẳng hạn định lí hàm cosin khái quát cho định lí Pytago. Định lí hàm sin làm cho học sinh nhìn lại định lí hàm quỹ tích cung chứa gĩc. 40 –
: 2011 Khi dạy định lí cần chỉ cho học sinh các ứng dụng của định lí để tạo sự nhạy cảm cho học sinh khi đứng trước một bài tốn biết nghĩ tới vận dụng định lí nào. Chẳng hạn định lí Lagrange ở chương trình giải tích lớp 12, giáo viên cần chỉ ra 3 hướng ứng dụng của định lí này: Chứng minh hệ thức hoặc rút gọn biểu thức, chứng minh phương trình cĩ nghiệm, chứng minh bất đẳng thức. Chúng tơi xin dẫn ra 3 ví dụ cho 3 ứng dụng này: ớng 1: Cho m > 0 và a,b,c là các số thỏa mãn + = 0 Chứng minh: phương trình ax2 + bx +c = 0 cĩ nghiệm thuộc (0 ; 1). Bài tốn này học sinh lớp 10 giải nhờ định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, Học sinh lớp 11 dựa vào định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục, cả hai lời giải đều khá phức tạp, học sinh lớp 12 cĩ thể dựa vào định lí Lagrange. Qua bài tốn này giáo viên cần giúp học sinh thấy được một bài học thú vị: khi được cung cấp thêm các kiến thức ở lớp trên thì cũng cĩ những cách nhìn mới về cùng một bài tốn từ đĩ cĩ những lời giải mới. Học sinh thấy rằng sự phát triển của kiến thức chính là mở rộng tầm nhìn, chứ khơng phải mang thêm gánh nặng trong trí ĩc. ớng 2: “Chứng minh rằng 0 > , từ kết quả ab c a b trên suy ra điều phải chứng minh. 41 –
: 2011 Điều đặc biệt cần chú ý khi dạy tốn học cho học sinh là: Giáo viên cho học sinh thấy rõ phương pháp phân tích để chứng định lí. Chính biện pháp này giúp học sinh dễ đi tới chứng minh đúng trong giải tốn sau này. Dạy định lí chính nhằm mục đích truyền thụ những tri thức phương pháp liên quan tới phép chứng minh. Tình huống 3: Cung c p các ki n th c v h c sinh tránh sai l m khi gi i tốn? Nhằm giải quyết tình huống này, chương trình tốn PTTH chuyên ban đã chính thức đưa “ một số hình thức suy luận tốn học” vào phân mơn Đại số lớp 10. Giáo viên khi dạy chương trình cải cách giáo dục cần tham khảo vấn đề này để tiến hành biện pháp cung cấp thêm các kiến thức về logic cho học sinh ngay từ đầu THPH. Trước hết cần lưu ý tới mệnh đề và các phép tốn mệnh đề như phủ định, tuyển. hội, kéo theo, tương đương. Theo thực nghiệm của chúng tơi việc đưa ra các thí dụ theo ngơn ngữ tự nhiên cần đi trước các thí dụ theo ngơn ngữ tốn học. Đây chính là con đường đi từ “trực quan sinh động” đến “tư duy trừu tượng” của nhận thức. Chẳng hạn, cĩ thể theo mệnh đề A = {trời nắng} ; B = {đội mũ} thì thơng thường học sinh được nhắc nhở “Nếu trời nắng thì đội mũ” nên học sinh dễ nhận thức ra ý nghĩa của phép kéo theo A B. A là đủ để cĩ B nhưng lưu ý nhiều học sinh vẫn đội mũ khi trời khơng nắng, nghĩa là A chưa phải là điều kiện cần để cĩ B. Đặc biệt nếu A B đúng thì đây là thí dụ để nhấn mạnh mệnh đề đảo B A khơng đúng. Học sinh cĩ thể thấy ngay việc đội mũ khơng làm cho trời nắng! Một thí dụ khác, để phủ định mệnh đề do một bạn nêu ra: Tớ thường xuyên tập thể dục buổi sáng” thì chỉ cần chỉ ra một buổi sáng mà bạn ấy khơng tập. Từ đĩ chỉ ra mối quan hệ giữa hai lượng từ “với mọi” và “tồn tại”. Từ ngơn ngữ thơng thường, giáo viên bắt đầu sử dụng các khái niệm, tính chất,định lí tốn học mà học sinh đã biết để phân tích chân lí của các mệnh đề hội, tuyển, phủ định, kéo theo, tương đương của các mệnh đề cho trước. Chẳng hạn, nếu A = {số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 0}; B = {số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 5}; 42 –
: 2011 C = {số tự nhiên chia hết cho 5} thì (A˅B) C đồng thời C (A ˅ B), do đĩ (A ˅ B) C là tiêu chuẩn chia hết cho 5 của số tự nhiên. Khi kiểm tra một số chia hết cho 5 hay khơng chỉ cần kiểm tra A hoặc B. Từ đĩ phủ định mệnh đề này cĩ ()ABC , qua đây học sinh thấy mối quan hệ của các phép tuyển, hội, phủ định, tương đương. Một sai lầm cần tránh là sử dụng các kí hiệu logic một cách tùy tiện. nhiều học sinh viết A B mà A khơng phải là điều kiện để cĩ B. Chẳng hạn cĩ học sinh viết “x ≥ 1 x = 1, lẽ ra viết x ≥ 1 và x ≤ 1 x = 1” Kí hiệu kéo theo cịn được viết trong câu văn: “Đồn xe đi một đám bụi mù mịt”. Việc trang bị lý thuyết khơng chỉ dừng lại ở một số biện pháp suy luận tốn học trong phần đầu chương trình đại số lớp 10 mà cần được thường xuyên củng cố. Phép quy nạp tốn học cĩ nhiều dịp để giáo viên nhắc rõ cho học sinh, Chẳng hạn khi chứng minh hệ thức: 1 + 2 + 3 + .+ n = Thì ngồi cách đã được sách giáo khoa trình bày, GV cần yêu cầu thêm học sinh dùng thêm cách thứ 2 nhờ phương pháp quy nạp tốn học. Khi dạy học sinh tính đạo hàm bậc cao, Giáo viên lại một lần nữa dùng phương pháp này để giải tốn.Cần phân biệt suy đốn với suy diễn. Chẳng hạn tính đạo hàm bậc n của hàm số y = , học sinh cĩ thể suy đốn y(n) = 2ne2x nhưng phải chứng minh tốt nhất ở đây là phương pháp quy nạp tốn học. GV khơng cần tường minh dạy cho học sinh phép tam đoạn luận để khẳng định, phủ định, lựa chọn, bắc cầu. GV cĩ thể chủ động đưa ra các suy luận sai để học sinh phân tích và tránh vấp phải sau này. Đặc biệt, cần làm cho học sinh nắm được phương pháp phân tích đi lên, phân tích,tổng hợp, phản chứng, quy nạp. 43 –
: 2011 GV cần tận dụng bất cứ cơ hội nào, miễn là hợp lí, để khắc sâu kiến thức logic cho học sinh. Chẳng hạn ở lớp 10 đối với hệ phương trình { Thì việc phân tích hai yêu cầu sau đây là khác nhau chính là tăng cường kiến thức logic: - Tìm a sao cho với mọi b luơn tồn tại c để hệ cĩ nghiệm. - Tìm a sao cho tồn tại c để hệ cĩ nghiệm với mọi b. Học sinh nắm vững các kiến thức về logic sẽ hạn chế được sai lầm khi giải tốn. Tình huống 4: Trang bị tránh sai l m h c sinh khi gi i tốn? Cĩ thể nĩi rằng các loại tốn cơ bản trong chương trình Đại số - Giải tích PTTH đều cĩ phương pháp giải. Việc trang bị các phương pháp giải này chính làm cho học sinh nắm vững các loại tốn cơ bản. Phương pháp giải hệ { Được đề cập trong chương trình phổ thơng hai lần để cung cấp tới bốn cách giải: phép thế, phép cộng đại số, phương pháp đồ thị và phương pháp định thức. Nhiều học sinh thường tính ngay D = | | khi bắt đầu lời giải. Chúng tơi cĩ sơ đồ sau: 44 –
: 2011 =0 0 D =0 0 =0 0 Vơ nghiệm =0 0 Vơ số nghiệm phụ thuộc vào Vơ nghiệm 1 phương trình. Hình 3: thuật tốn giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Từ sơ đồ trên học sinh cịn thấy được “ Nếu a1, a2, b1, b2 khơng đồng thời bằng 0 và D = 0 thì hệ cĩ nghiêm khi chỉ khi Dx = Dy = 0” . Đây là kiến thức quan trọng để học sinh tránh sai lầm khi gặp bài tốn “Tìm a sao cho với mọi b luơn tồn tại c để hệ sau cĩ nghiệm: bx y a 2 x by c c Trong chương trình đại số 10, Học sinh cần nắm vững phương pháp giải để so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) với một số . Giáo viên cần tổng kết theo sơ đồ sau: 45 –
: 2011 + - - VN - + - + Hình 4: Thuật tốn so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) với một số . Việc rèn luyện cho học sinh lập các sơ đồ trên vừa làm học sinh nắm vững phương pháp giải, vừa phát triển tư duy cho học tập nĩi chung và học bộ mơn Tốn học nĩi riêng. Từ đĩ học sinh cĩ thể tránh sai lầm khi giải tốn. Tuy nhiên cũng cĩ thể lưu ý học sinh là với một loại tốn cĩ thể cĩ nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp giải tối ưu để giải quyết bài tốn cụ thể. Các phương pháp giải thường xuyên được củng cố để học sinh được nắm vững. Chẳng hạn bài tốn so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với các số (lớp 10) cịn được sử dụng để xét phương trình lượng giác, phương trình mũ, bất phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình logarit, xét chiều biến thiên và cực trị hàm số. 46 –
: 2011 Từ lời giải một bài tốn cụ thể, GV cần gợi ý cho học sinh tìm ra phương pháp lời giải cho một lớp bài tốn. Biện pháp này giúp học sinh hiểu bản chất lời giải cụ thể và tư duy khái quát được phát triển. Tránh tình trạng “làm bài nào biết bài ấy”; “thấy cây mà chẳng thấy rừng”. Làm được điều này giáo viên đã giúp học sinh “học một biết mười”. Thí dụ khi học sinh giải bài tốn “Chứng minh sin20o > ” thì dựa vào sin60o = 3sin20o – 4sin320o, học sinh đưa ra f(x) = 4x3 – 3x + √ nhận sin20o làm nghiệm, sau đĩ nhận thấy sin20o, thuộc (- ; ) là miền nghịch biến f(x) nên sin20o > √ f(sin20o) < f( ) 0 < - và từ đĩ dễ dàng giải xong. Khơng dừng lại giáo viên cho tiếp các bài tập ( cĩ thể là về nhà): so sánh cos10o với ; √ + √9 vv để học sinh tổng kết thành phương pháp giải lớp bài tốn. Việc tổng kết và hệ thống lại các phương pháp giải sẽ giúp học sinh bớt lúng túng, đỡ vấp phải sai lầm đáng tiếc khi giải tốn. C. 2. Bi n pháp 2 : Trang b các kiến thứ ơ bản về p ươ p áp iải tố , đặc bi t là vi c tự kiểm tra phát hi n ra các sai lầm trong các lời giải. Những kiến thức cần thiết về phương pháp giải tốn đã được nhiều tác giả trong và ngồi nước nghiên cứu khá sâu sắc. Nổi bật là những nghiên cứu của G.Poolya. Ngồi ra, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Thái Hịe, Hồng Chúng cũng đã nhấn mạnh và cụ thể hĩa các tư tưởng của G.Poolya. Các tác giả đi sâu vào việc trả lời câu hỏi : Tìm tịi lời giải bài tốn như thế nào: -Tìm hiểu nội dung bài tốn -Xây dựng chương trình giải -Thực hiện chương trình giải -Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. 47 –
: 2011 Khơng những thế, G.Poolya cịn đưa ra một bản gợi ý cụ thể rất cĩ ích cho mọi người giải tốn. Chúng tơi lưu ý thêm những ý kiến của L.M Phoritman – E.N.Turetki – V. la. Xtetxencơ về sơ đồ các bước tìm kiếm lời giải của các bài tốn như sau: -Trong khi đọc kĩ bài tốn, cần phải cố gắng xác định được bài tốn thuộc dạng nào -Nếu các bạn đã nhận được trong đĩ bài tốn chuẩn của dạng quen thuộc, thì hãy vận dụng qui tắc đã biết để giải. -Nếu bài tốn là khơng chuẩn thì cần phải hành động theo hai hướng: tách từ từ bài tốn ra hoặc chia nhỏ bài tốn ra thành những bài tốn nhỏ cĩ dạng chuẩn ( thủ pháp chia nhỏ) hoặc diễn đạt lại bài tốn theo một cách khác, dẫn bài tốn đến một bài tốn cĩ dạng chuẩn ( thủ pháp mơ hình hĩa) . Tuy nhiên các hướng dẫn trên cũng chỉ là con đường chung, chưa phải là con đường riêng hiệu quả cho mỗi bài tốn cụ thể. Ngay G.Poolya cũng thừa nhận: “ để đạt được kết quả thực sự thì anh ta cũng cần học tập cả cách suy luận cĩ lý, là suy luận mà tồn bộ hoạt động sáng tạo của anh ta sẽ phụ thuộc vào đĩ .” . Áp dụng một cách cĩ hiệu quả các suy luận cĩ lý như là một kĩ năng thực hành và kĩ năng đĩ cũng như mọi kĩ năng thực hành khác đều học được bằng cịn đường bắt chước và thực hành. Tơi dự định làm tất cả những gì tơi cĩ thể làm được để giúp bạn đọc ham muốn học thơng thạo cách suy luận cĩ lý, song tất cả những gì tơi cĩ thể đề nghị thì đĩ chỉ là những thí dụ mẫu và khả năng thực hành chu đáo” . Với mục đích hạn chế và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải tốn, chúng tơi chú ý tới hai bước cuối cùng trong bốn bước mà G.Poolya nêu ra: -Thực hiện chương trình giải với các gợi ý nhằm tránh sai lầm : hãy kiểm tra lại từng bước, cĩ thể chứng minh được tính đúng đắn của từng bước làm hay khơng? -Trở lại cách giải với các gợi ý để kiểm tra: cĩ thể kiểm tra lại kết quả? Cĩ thể kiểm tra lại tồn bộ quá trình giải bài tốn khơng? Nhờ thực hiện biện pháp 1, trong đĩ cĩ việc trang bị các kiến thức về lơgic cho HS mà việc thực hiện kiểm tra sự cĩ lý của từng bước suy luận thực hiện được thuận lợi. 48 –
: 2011 Lời giải thí dụ 1, mục 1.4 trang 9 lại mắc sai lầm ở bước cuối cùng khi tưởng rằng từ F(x,y) 0 với mọi x,y thuộc R thì min F(x;y) = 0. Hs sẽ tránh được sai lầm nếu tìm cách chỉ ra x, y sao cho F(x;y) = 0. Rõ ràng, khơng cĩ giá trị nào của x,y thỏa mãn điều đĩ,nên Hs sẽ thực hiện con đường khác để giải bài tốn. Để thực hiện biện pháp 2, chúng tơi sẽ bàn kỹ tới nội dung sau: GV cần trang bị cho HS phương pháp nhận biết ra lời giải sai( một số dấu hiệu dẫn tới phản thí dụ, tuy nhiên đối với nhiều HS thì ngay việc hiểu như thế nào là một phản thí dụ cũng đang cịn khĩ khăn).Tối thiểu, GV cần trang bị cho HS các dấu hiệu quan trọng sau đây. Dấu hiệu th nhất : K t qu l i gi i mâu thu n v i k t qu ng h p riêng. Một loạt thí dụ mà chúng tơi trình bày ở chương 1 đã minh họa cho dấu hiệu quan trọng này. Dấu hiệu th hai : - ng h p riêng ở k t qu khơng th a mãn bài tốn Chẳng hạn với chú ý này HS cĩ thể thấy các nghiệm ngoại lai của phương trình , bất phương trình hoặc các loại hệ. Các nghiệm ngoại lai xuất hiện chứng tỏ việc biến đổi khơng tương đương hoặc cịn thiếu một bước quan trọng trong lời giải. Dấu hiệu th ba: K t qu l i gi i bài tốn khơng ch a k t qu ng h p riêng. Đơi khi dấu hiệu này thể hiện như dấu hiệu thứ nhất. Khi đặc biệt hĩa bài tốn sẽ dẫn tới một kết quả cụ thể mà kết quả cụ thể này phải thuộc trong kết quả của tồn bộ bài tốn. Nếu điều này khơng xảy ra thì lời giải cĩ sai lầm. Chẳng hạn, khi giải bài tốn “ Tìm m để đồ thị y=x4 – mx3 + x2 cĩ trục đối xứng thẳng đứng” cĩ thể thấy rằng trong trường hợp đặc biệt m=0 thì hàm số trở thành hàm chẵn nên cĩ trục đối xứng x=0 thỏa mãn bài tốn. Chứng tỏ trong các giá trị cần tìm của m phải “tối thiểu” cĩ m=0. Nếu kết quả lời giải thiếu m=0 thì chắc chắn lời giải cĩ sai lầm. 49 –
: 2011 Dấu hiệu th : K t qu bài tốn cụ th khác k t qu bài tốn tổ bi t. Nhiều bài tốn mà HS giải cĩ thể tổng quát và cĩ kết quả tổng quát. Nếu kết quả của bài tốn cụ thể mâu thuẫn với kết quả của bài tốn tổng quát thì rõ rãng lời giải cĩ sai lầm. ax 2 bx c Chẳng hạn, đường hypepol, y cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc khi và chỉ a'' x b khi cĩ điểm cực đại và cực tiểu. Đĩ là kết quả tổng quát. HS tìm m để đồ thị m yx cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc thì dứt khốt đáp số phải là m>0 ( tìm m để x hàm số cĩ cực đại, cực tiểu là bài tốn đơn giản hơn), nếu đáp số khác thì chắc chắn lời giải cĩ sai lầm. Một thí dụ khác, quỹ tích các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau tới parabol y= ax2 +bx + c là đường thẳng cùng phương với trục hồnh (cĩ thể viết được phương trình tổng quát). Vậy khi HS tìm quỹ tích này đối với hàm bậc hai cụ thể gặp kết quả mâu thuẫn thì lời giải cĩ sai lầm. xx12 b Hay là, hàm số nếu y’ cĩ hai nghiệm phân biệt x1,x2 thì 2 a xx2 1 Nếu HS tính đạo hàm của hàm số y được y’ cĩ hai nghiệm khơng thỏa x 2 xx mãn 12 2 thì phép tính đạo hàm y’ hoặc phép tìm nghiệm của y’ bị sai lầm. 2 Do đĩ trong những loại tốn cĩ thể được, GV nên cung cấp cho HS kết quả tổng quát bằng cách làm bài tốn tổng quát hoặc dừng lại ở mức độ thơng báo kết quả để HS cĩ vốn kiến thức kiểm tra lại lời giải cụ thể. Dấu hiệu th ă : K t qu c mâu thu n v i th c t . Tất nhiên, nhiều khi dấu hiệu này xuất hiện do chính bài tốn ban đầu mâu thuẫn với thực tế. Ở đây, giả sử rằng bài tốn đã cho phù hợp với thực tế mà kết quả mâu thuẩn với thực tế thì lời giải mắc sai lầm. 50 –
: 2011 Lời giải ngụy biện nổi tiếng để chứng minh lực sĩ Asin chạy thua một con rùa, khơng bao giờ đuổi kịp con rùa nếu con rùa chạy trước là mâu thuẫn với thực tế, do đĩ sai lầm. Tất nhiên từ việc biết tới lời giải sai đến việc chỉ ra được lỗi sai, nguyên nhân sai là một quá trình rèn luyện tích cực mới đạt được. Thực tế lời giải mâu thuẫn nhiều khi là thực tế của thực nghiệm trên mơ hình. Tốn học chủ yếu là khoa học suy diễn và quy nạp. Thế nhưng đã gặp những HS thực nghiệm trên mơ hình để dự đốn kết quả và kiểm tra lời giải của mình. Khi chúng tơi cho bài tốn “ Cho hai điểm A và B chuyển động trên đường parabol y =x2 sao cho AB =1, tìm quỹ tích trung điểm I của AB”, cĩ HS đã lấy đoạn thước kẻ cho 2 đầu trượt trên parabol để nhận định kết quả của bài tốn là đường thẳng hay đường cong là sai ( tuy HS khơng giải được nhưng vẫn dự đốn đúng những kết quả khơng thể cĩ). Trong các bài tốn tính số người, tính số các khả năng mà kết quả khơng phải số nguyên dương thì chắc chắn lời giải sai lầm. Dấu hiệu th sáu: K t lu ng gi a các y u t ng c a gi thi t. Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài tốn và cả kết quả của nĩ giúp cho người giải tốn thấy rõ quá trình xãy ra cĩ quy luật của mọi bài tốn. Nĩi cụ thể hơn là người giải tốn sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?. Ở đây chúng tơi nhấn mạnh sự bình đẳng của các yếu tố ở giả thiết bài tốn sẽ tất yếu thể hiện tiếp tục sự bình đẳng đĩ ở kết luận. Khơng xảy ra điều này thì chắc chắn lời giải sai. Dấu hiệu th b y: K t qu c a l i gi i này khác k t qu c a l i gi i khác, mà l i gi i sau cĩ hình nh tin c y. Nhiều khi để kiểm tra lời giải, người ta giải bài tốn theo một cách khác. Nếu kết quả của hai cách giải mâu thuẫn thì cĩ ít nhất một trong hai lời giải là sai. Khi đĩ 51 –
: 2011 phải tiến hành kiểm tra từng bước thao tác của mỗi lời giải hoặc dùng các dấu hiệu đã trình bày trên để xem xét lời giải nào sai( cĩ khi cả hai lời giả đều sai). Thơng thường người ta hay kiểm tra lời giải bằng một cách nhìn khác, chẳng hạn bằng hình vẽ, tuy cĩ thể cách nhìn này khơng cho kết quả cụ thể cho lời giải, nhưng cĩ thể báo hiệu cho chúng ta một dấu hiệu lời giải sai. Dấu hiệu th tám: ị ở hai v c a m ng th c khác nhau( sai l m v th nguyên). Trong các bài tốn cĩ nội dung tính tốn một đại lượng khác, cần lưu ý tới đơn vị đo của các đại lượng này. C. 3. Bi n pháp 3 HS được thử t á t ường xuyên với những bài tốn dể dẫn đến sai lầm khi giải tốn. Đây là biện pháp thường trực, kể cả khi sai lầm nào đĩ đã được phân tích và sửa chữa cho HS. Để thực hiện biện pháp này, giáo viên phải biết đặt các bài tốn cĩ chứa các “bẫy”. Chúng tơi xin định nghĩa dưới dạng mơ tả khái niệm “ bẫy” nhằm theo nghĩa tích cực và cĩ tính sư phạm. Chúng tơi khơng thiên về sự đánh đố học trị. Bởi sự đánh đố quá mức sẽ dẫn HS đến bế tắc chứ khơng “sa bẫy”, khi đĩ các biện pháp cĩ chủ định về sư phạm sẽ khơng thực hiện được. Chúng tơi cho rắng “bẫy” phải làm cho bài tốn cĩ tính hấp dẫn. chính đặc trưng này làm cho HS tích cực tham gia hoạt động giải tốn. HS chủ quan nghĩ rằng bài tốn khơng cĩ gì uẩn khúc và dễ dàng đưa ra lời giải của mình cùng với sai lầm do giáo viên dự kiến trước. Chúng tơi đã thực nghiệm về “bẫy” trong một đợt điều tra 43 học sinh lớp 11A2 trường THPT Quốc Học. Với bài tốn “Chứng minh với mọi a, b,c thì : (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + b2) ≥ 8a2b2c2 đã lơi cuốn 98,5% HS tham gia giải và cĩ lời giải. Hầu hết HS lớp 11 đều nhận xét là bài tốn dễ, chỉ làm chưa đến 10 phút. Nhưng đã cĩ tới 42% (195 HS) bị chung một sai lầm khi nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức: a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca 52 –
: 2011 để cĩ điều phải chứng minh, mặc dù 2ab, 2bc, 2ca chưa phải đồng thời là các số khơng âm. Khi biết mình bị sai lầm do lỗi này, nhiều HS rất thấm thía về một quy tắc suy luận sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức, mặc dù hầu hết HS là HS các lớp chuyên. Như vậy, để đạt mục đích sư phạm thì “bẫy” phải làm cho bài tốn cĩ tính thử thách để đo độ vững vàng về những kiến thức cụ thể của HS. Cĩ những bài tốn được cài đặt liên tiếp các “bẫy”. HS vượt qua được tất cả các “bẫy” để đi đến lời giải chính xác, chính là đã qua một hình thức đo kiến thức. Bài tốn tuy nhiều “bẫy” nhưng HS khĩ nhận ra. Chẳng hạn, bài tốn “Giải bất phương trình + 3( > 12” liên tiếp được cài các bẫy sau đây : 2 - HS đặt t=( > 0 đưa về giải t + t – 12 > 0 và viết t = 3; t = -4 (loại). Ở đây điều 1 2 kiện t > 0 là điều kiện của nghiệm bất phương trình chứ khơng phải điều kiện cho nghiệm tam thức bậc nên khơng thể nĩi đến việc loại giá trị t2 = -4. - HS viết ( 1 bị sai lầm vì khơng chú ý đến cơ số (0;1). - HS viết < -1 1< -x bị sai lầm vì khơng thể nhân hai vế của bất phương trình với x khi chưa biết dấu của x. Bài tốn trên hồn tồn khơng quá khĩ nhưng đã kiểm tra được nhiều kiến thức của HS. Vậy cuối cùng, “bẫy” trong các bài tốn là các kiến thức mà HS dễ bị sai lầm ở một bước nào đĩ của lời giải, các kiến thức này được sự chuẩn bị cĩ chủ định của GV nhằm đạt được tính hấp dẫn cùng với tính thử thách đối với HS. Tạo ra được “bẫy” trong một bài tốn chính là một nghệ thuật sư phạm của GV. Việc tạo các “bẫy” để HS mắc sai lầm chính là sự phịng tránh chủ động các sai lầm cĩ thể xuất hiện. Các “bẫy” này cịn cũng cố lại, nhằm xĩa hẳn những sai lầm của HS đã được sữa chửa trước đĩ. Tuy nhiên cần sử dụng các “bẫy” cĩ mức độ. Sự lạm dụng quá biện pháp này sẽ dẫn đến sự đánh đố chứ khơng phải thử thách HS vì mục đích sư phạm. C. 4. Bi n pháp 4: Theo dõi một sai lầm của HS khi giải tố q á i i đoạn. 53 –
: 2011 Để tăng cường hiệu quả của các biện pháp trên, GV phải nhận thức được các giai đoạn cụ thể của một sai lầm nào đĩ. Đối với một sai lầm (GV cĩ thể dự đốn trước) thì tính giai đoạn thể hiện khá rõ. G đ ạn 1: Sai l t hi n. Ở giai đoạn này, các biện pháp được huy động nhằm “phịng tránh” sai lầm xuất hiện. Khơng cĩ ý thức về việc này chúng ta dễ thiếu tích cực trong giai đoạn 1. Biện pháp sử dụng chủ yếu trong giiai đoạn này là trang bị tốt kiến thức cho bộ mơn tốn (biện pháp 1), kiến thức về phương pháp giải tốn (biện pháp 2). Một điều cần lưu ý ở giai đoạn này là GV cĩ thể dự báo trước các sai lầm và thể hiện ở các chú ý đối với HS. Chẳng hạn, GV cĩ thể chú ý bất đẳng thức Cauchy chỉ được áp dụng cho các số khơng âm, vì vậy để chứng minh a(1 – a) ≤ bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a vầ 1 – a là sai lầm. Tất nhiên, để dự báo tốt, GV phải được trang bị hiểu biết về các sai lầm của HS khi giải tốn và phải cĩ năng lực chuyên mơn, kinh nghiệm sư phạm. Giai đ ạn 2: Sai l m xu t hi n trong l i gi i c a HS. Đây là giai đoạn địi hỏi GV phải kết hợp được ba nguyên tắc kịp thời, chính xác và giáo dục, cùng với sự tích cực hĩa của HS để vận dụng các hiểu biết về việc kiểm tra lời giải (biện pháp 2) nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sữa chữa lời giải. Quy trình ở giai đoạn này là GV theo dõi thấy sai lầm GV gợi ý để HS tự tìm ra sai lầm HS tự tìm ra sai lầm GV gợi ý điều chỉnh lời giải HS thể hiện lời giải đúng GV tổng kết và nhấn mạnh sai lầm đã bị mắc. Nhiều sai lầm của HS khá tinh vi, cĩ khi GV khơng phát hiện kịp thời. Giai đoạn này địi hỏi GV phải cĩ thái độ đối xử khéo léo sư phạm để tăng hiệu giáo dục. 54 –
: 2011 Tùy theo mức độ sai lầm mà GV quyết định sử dụng các biện pháp sư phạm thích hợp. Cĩ khi GV càn đưa ra lời giải đúng để HS đối chiếu và tìm ra sai lầm của lời giải sai, đây cũng là một cách gợi ý để HS nhận ra sai lầm. Cĩ khi GV chủ động đưa ra lời giải sai để HS nhận dạng các dấu hiệu tìm ra sai lầm. Cĩ khi GV đưa ra nhiều lời giải khác nhau để HS phân biệt sự đúng sai của các lời giải, cĩ thể sử dụng phương pháp trắc nghiệm để mọi HS đều phải suy nghĩ và cĩ ý kiến. Giai đoạn này, GV dễ tạo ra được những tình huống thú vị, cĩ thể hát huy ưu diểm của nhiều phương pháp dạy học như : dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hĩa, dạy học theo lí thuyết tình huống, dạy học đàm thoại, trên quan điểm hoạt động của quá trình dạy học. Ngược lại, nếu giai đoạn này GV khơng kịp thời phân tích và sửa chữa các sai lầm của HS khi giả tốn thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng , GV khơng hồn thành nhiệm vụ dạy học, HS sẽ sút kém về kết quả. G đ ạn 3 : Sai l c phân tích và sửa ch a. Một sai lầm của HS tuy đã được GV phân tích và sửa chữa, vẫn cịn cĩ thể tái diễn. Chúng ta lưu ý “tính ỳ” của tư duy. Đặc biệt là các sai lầm gây ra từ các thĩi quen khơng tốt. Việc dứt bỏ thĩi quen khơng đơn giản vì thĩi quen nằm trong nếp sống của một con người. Song song với việc dứt bỏ một thĩi quen, GV cần xĩa bỏ hẳn sai lầm đĩ của HS. Việc chia ba giai đoạn đối với một sai lầm chỉ cĩ ý nghĩa nhấn mạnh thời điểm của sai lầm. Trong một thời điểm dạy học GV cĩ khi đồng thời tác động đến cả ba giai đoạn, bởi vì vừa “phịng tránh” các sai lầm chưa xuất hiện, vừa lo phân tích và sửa chữa các sai lầm đang xuất hiện, đồng thời lo xĩa hẳn những sai lầm đã sửa chữa. Sơ đồ sau chỉ rõ sự kiên trì để xĩa bỏ một sai lầm của HS: 55 –
: 2011 Sai lầm chưa Sai lầm xuất hiện xuất hiện Phân tích sữa Phong tránh chữa Củng cố thử Sai lầm được xĩa thách bỏ Hình 5: Quá trình xĩa bỏ một sai lầm của HS. D. Các yêu cầu i với h c sinh và giáo viên Các biện pháp sư phạm được đề xuất chỉ đạt được hiệu quả khi cĩ sự đảm bảo của các yêu cầu về HS và GV. Đây là hai đối tượng chủ yếu tham gia thực hiện các biện pháp sư phạm. GV cần lưu ý các yêu cầu sau: D. 1. Rèn luyện ý th c và ý chí h c tập cho h c sinh. Việc xác định mục đích học tập mơn tốn sẽ ảnh hưởng rất lớn tới điều kiện để cĩ ý thức học tập mơn tốn của HS. Mục đích chung nhất của việc học tập chính là động cơ học tập. Nhiều HS chưa xác định được động cơ cũng như mục đích của việc học tốn. Thậm chí cĩ HS chỉ quan niệm tốn là mơn học để thi cử nên bắt buộc phải học. HS khơng biết rằng tốn là mơn h c giúp rèn luyện trí tuệ đ n và hiệu qu nhất. Sự đơn điệu về phương pháp giảng dạy của GV càng làm cho HS coi mơn tốn là một gánh nặng trong việc học tập ở phổ thơng. 56 –
: 2011 HS chưa ý thức được rằng sau khi tốt nghiệp THPT, dù làm nghề gì trong xã hội cũng cần đến học vấn tốn phổ thơng ( kiến thức, phương pháp, kỹ năng) . Theo lý thuyết thơng tin thì một trong 3 nguyên nhân để dẫn đến tình trạng mất thơng tin là ý thức kém của người thu nhận thơng tin ( hai nguyên nhân cịn lại là tổ chức thơng tin và kỹ thuật thơng tin). Chính từ đĩ HS nhận thức bài giảng của GV khơng đầy đủ, khơng chính xác và dẫn đến tới sai lầm khi giải tốn. Thiếu ý thức học tập, HS khơng cĩ kế hoạch thường xuyên ơn tập lại các kiến thức đã được học. Do đĩ các kiến thức cơ bản dần dần mờ nhạt trong nhận thức của HS, nhiều “lỗ hổng” về kiến thức xuất hiện, thậm chí ý chí học tập cũng dần sút kém. Nhiều HS khi giải tốn khơng cĩ tinh thần vượt khĩ, khơng chịu tính tốn cẩn thận, khơng chịu kiểm tra lại kết quả đã làm và từ đĩ dẫn đến sai lầm. D. 2. Hình thành hoạt động h c cho h c sinh. Dạy học tập trung vào HS, nghĩa là lấy HS làm mục tiêu phấn đấu của sự nghiệp GD và lấy HS làm động lực chính để tiến hành tồn bộ quá trình dạy học. Từ quan điểm dạy học này nên cĩ phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của HS. Chính vì dạy học tập trung vào HS và nhằm khắc phục các nguyên nhân sai lầm của HS khi giải tốn, chúng tơi rất chú ý đến hình thành hoạt động học cho HS theo mục đích này. Chúng ta biết rằng hoạt động học của HS bao gồm 3 yếu tố chủ yếu là hoạt động học tập, mục đích học tập và hành động học tập. GV nên thấy rằng động cơ học tập của HS khơng thể áp đặt từ bên ngồi mà phải dưới sự hướng dẫn của người thầy. GV cần làm cho HS thấy được sự hấp dẫn của mơn tốn. Sự hấp dẫn này kích thích sự mong muốn chiếm lĩnh kiến thức. D. 3. Xây dựng uy tín c a giáo viên dựa trên sự bồ d ỡ ă ực chuyên mơn và phẩm chất nghề nghiệp. Chúng ta biết rằng: “ Nhân cách của người GV là nhân tố cĩ ý nghĩa to lớn đối với chất lượng GD” 57 –
: 2011 Nhân cách giáo viên cĩ cấu trúc như sau: Nhân cách Phẩm chất Năng lực Tính Kiến Hiểu Phương Tự Xu chất thức Giao Tổ học pháp tưởng hướng khí cơ tiếp chức sinh dạy học chất bản Hình 6: Cấu trúc của nhân cách giáo viên. GV khơng tự thường xuyên rèn luyện năng lực chuyên mơn của mình nên dạy HS khĩ hiểu, thậm chí nhiều GV đơi lúc giải sai các bài tốn. GV b ết áp dụng dạy r ă ực cu HS phân cự đậm nét. Cĩ những GV vững kiến thức chuyên mơn nhưng lại yếu về mặt năng lực sư phạm, nên càng dạy, HS càng khĩ hiểu, càng thấy vấn đề phức tạp và dẫn HS đến các sai lầm. Nhiều GV khi dạy định lý, khái niệm, quy tắc chưa cĩ khả năng phân tích rõ cấu trúc tốn học rõ ràng và chưa dự kiến được các sai lầm dễ mắc phải của HS. K t luận: Bốn biện pháp và ba phương châm chỉ đạo nhằm mục đích làm cho HS cĩ được kiến thức chuẩn xác thể hiện qua sơ đồ: 58 –
: 2011 Giáo viên Học sinh Truyền thụ kiến Lĩnh hội kiến Yếu tố Phẩm thức và phương thức và phương tâm lí và chất và pháp pháp kiến thức năng lực chưa tốt Học sinh sai lầm khi giải tốn Rèn luyện ý thức, ý Xây dựng uy tín chí. Hình thành thực hiện biện Kiến thức hoạt động học. Bổ pháp sư phạm chuẩn sung kiến thức. Tìm ra, sữa chữa sai lầm Hình 7: Quá trình HS cĩ được kiến thức chuẩn. 59 –
: 2011 h ng III THỰC NGHIỆM SƯ ẠM 1. Mục ch thực nghi m Sáng tỏ thêm sai lầm của học sinh khi giải tốn là tình trạng phổ biến hiện nay, kể cả học sinh chuyên Tốn( những học sinh được coi là cĩ trình độ khá giỏi về tốn). Thực nghiệm cịn nhằm thử nghiệm các biện pháp dạy học thích hợp để phát hiện, phân tích, hạn chế và sữa chữa các sai lầm của học sinh khi giải tốn. Từ đĩ cĩ thể xem xét tính khả thi và tính cĩ hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 2. Nợi dung thực nghi m Sáng tỏ thêm sai lầm của học sinh khi giải tốn là tình trạng phổ biến hiện nay, kể cả học sinh chuyên Tốn (những học sinh được coi là cĩ trình độ khá giỏi về tốn). Trang bị cho học sinh các kiến thức về phương pháp giải tốn, đặc biệt là các dấu hiệu phát hiện lời giải giải sai, tạo các “bẫy” trong các bài tốn, nhằm rèn luyện cho học sinh hạn chế các sai lầm khi giải tốn. 3. Tở ch c thực nghi m Được sự đồng ý của các Ban giám hiệu nhà trường, chúng tơi đã chọn đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 11A2 chuyên Tốn trường THPT chuyên Quốc Học. Đặc điểm của đối tượng thực nghiệm: là học sinh lớp chuyên Tốn của một ngơi trường đạt chuẩn quốc gia, kinh nghiệm dạy mơn chuyên rất dày dặn, cĩ thể nĩi là một mơi trường đào tạo rất tốt cho học sinh chuyên. Chúng tơi đã tiến hành điều tra chất lượng đầu của 43 học sinh ở trong lớp này bằng cùng một phiếu điều tra ( Phụ lục 1). 4. h ng ph p ti n h nh Phương pháp điều tra:  Lập phiếu điều tra gồm 10 câu hỏi được giải sai hồn tồn.  Phát phiếu cho 43 học sinh trong lớp 11A2.  Yêu cầu các em đánh giá bài làm trong phiếu điều tra thơng qua việc chấm điểm (1điểm/câu).  Thu phiếu điều tra và đánh giá mức độ nhận thức các sai lầm của học sinh theo cách thức: Học sinh cho điểm càng cao chứng tỏ các em vẩn bị nhầm lẩn khá cao. 60 –
: 2011 Học sinh cho điểm càng thấp thì mức độ nhận thức sai lầm của các em càng tốt. 5. t luận thực nghi m - Tuy là các học sinh ưu tú, cĩ thành tích học tập tốt nhưng các em vẫn mắc các sai lầm khá phổ biến. - Một số em vẫn bị nhầm lẫn khá trầm trọng. - Theo dõi sơ đồ thu được từ cuộc khảo sát: Đi m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S h c sinh cho i m 3 0 6 4 9 8 7 4 1 1 0 ng ời) Tỉ l (%) 7 0 14 9.3 20.9 18.6 16.3 9.3 2.3 2.3 0 ả Số liệu thống kê số lượng học sinh cho điểm bài làm trong phiếu điều tra. 61 –
: 2011 Điểm 0 Điểm1 Điểm 2 Điểm 3 Điểm 4 Điểm 5 Điểm 6 Điểm 7 Điểm 8 Điểm 9 ả 2: T lệ cho điểm bài làm trong phiếu điều tra. (%) 6. Đ nghị v mợt s hi u bi t qu n tr ng củ sinh viên s phạm ton Qua nghiên cứu và quan sát của mình, chúng tơi cĩ một kiến nghị tha thiết sau đây: “Nh ng sai l m c a h c sinh khi gi i tốn là một hiểu biết quan tr ng c ạm” . Thật vậy, nhìn lại chương trình học của các sinh viên sư phạm tốn, chúng tơi thấy các mơn cĩ tính chất đào tạo nghề dạy học như Tâm lí học, Giáo dục học được giảng chưa sâu sắc và ít cĩ thí dụ vận dụng vào việc giảng dạy tốn. Từ đĩ sinh viên khơng thích học hoặc học đối phĩ với mơn này. 62 –
: 2011 Những kiến thức về các sai lầm của học sinh khi giải tốn, thục sự là một hiểu biết cĩ tính nghề nghiệp cần được trang bị cho sinh viên sư phạm tốn. Chúng tơi đề xuất 3 con đường để đưa hiểu biết này đến sinh viên sư phạm tốn. đ ờng th nhất : Các nghiên cứu, đưa ra trong đề tài được bổ sung xen vào trong chương trình các mơn học liên quan tới chương trình tốn ở PTTH. Giảng viên các mơn này được trang bị các tài liệu cần thiết để khéo léo đưa vào chương trình dạy ở các thời diểm thích hợp. Cĩ thể đưa những hiểu biết này vào trong chương trình ngoại khĩa. đ ờng th hai: Biên thành một chuyên đề trong chương trình rèn luyện nghiệp vụ sư phạm cho sinh viên năm thứ ba. đ ờng th ba: Đặt vấn đề cho sinh viên làm các điều tra về những dạng sai lầm của học sinh trung học phổ thơng khi giải tốn từ đĩ hướng dẫn sinh viên làm niên luận, khĩa luận về các vấn đề tỉ mỉ hơn. Đây là con đường gắn sinh viên với thực tế và tập dược cho sinh viên nghiên cứu khoa học giáo dục. Từ đĩ chúng tơi sẽ gắn chặt thêm ba đỉnh của ”tam giác đào tạo sư phạm” : Phản ánh thực tiễn Trư ờng Sư Phạm Trường Phổ Thơng Đào tạo đội ngũ Học nghề sư phạm Thực Tập Sư Phạm Trang bị kiến thức Thực tiễn Sinh Viên Hình 8: Tam giác đào tạo sư phạm. 63 –
: 2011 VIII. Tài li u tham kh o. [1] Nguyễn Ngọc Bảo, M tính tích c c l p nhân th c và m i liên h gi a chúng, H i th o: ổi m i gi ng d y, nghiên c u tâm lí h c và giáo dục h Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại Học Sư Phạm, Khoa Tâm Lí Giáo Dục, H.1995. [2] Nguyễn Thanh Bình, Kh ă p c m trong th c t p t t nghi p, NCGD, 12-1994, tr23. [3] Phạm Thanh Bình, ổi m i m nh mẽ c ở ng phổ thơng- yêu c u c p bách c a giáo dục hi n nay, NCGD, 3-1995, tr10. [4] Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nghiên c u xây d ng h th ng bài t p y h c tốn, NCGD, 11-1986, tr. 9-11 [5] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, Sai l m phổ bi n khi gi i tốn, NXB Giáo dục, H 1996. [6] Phan Hữu Châu, Trần Lâm Hách, Nh p mơn lý thuy t t p h p và logic. NXB Giáo dục, H.1997. [7] Hồng Chúng, y h c tốn h c, NXB Giáo dục, H.1978. [8] Hồng Chủng, Rèn luy n kh ă t o Tốn h c ở phổ thơng, NXB Giáo dục, H. 1969. [9] Nguyễn Nghĩa Dân, ục tích c c v i mục tiêu nhân cách sáng t o, NCGD, 8-1996, tr5. [10] Phạm Tất Dong, C ă t cho h c sinh phổ thơng, NCGD, 11-1977, tr 27-30. [11] Phạm văn Đồng, y h c phát huy tính tích c c – m pháp vơ cùng quí báu, NCGD, 12-1994, tr 1-2. [12] Phạm Minh Hạc p ti p c n ho ng nhân cách- m ở lí lu n c y h c hi i, Thơng tin KHGD, tr 7-10. [13] Phạm Văn Hồn, Trần Thúc Trình, Rèn luy i qua d y tốn, NCGD, 10-1975, tr17-25. [14] Trần Bá Hồnh, Bàn ti p v d y h c l y h c sinh làm trung tâm. Thơng tin KHGD 49 (1995), tr22-27. [15] Nguyễn Thài Hịe, Rèn luy i bài t p tốn, NXB Giáo dục, H.1995. [16] Nguyễn Bá Kim, Chính xác hĩa m t s khái ni m liê n d y h c gi i quy t v , NCGD, 9-1991, tr2-3. 64 –
: 2011 IX. hụ lục.  P I PHIẾU ĐIỀU TRA NGHIÊN CỨU VÀ SỮA CHỮA SAI LẦM CHO HS THPT KHI GIẢI TỐN Họ và tên: Tổng điểm: Lớp:  Nhận xét và cho điểm từng câu (1điểm/câu) Bài 1: Giải Phương trình: x √x 16 Giải: ĐK: √ 16 4 64 56 4 65 59 * Bài 2: Giải phương trình: √ 1 √ 1 1 Giải: ĐK: 1 Lúc đĩ ta cĩ: √ 1 1 √ 1 Với 1 thì √ 1 √ 1 Vậy pt vơ nghiệm. Bài 3: Giải bất phương trình: 1 65 –
: 2011 Đặt f(x) = . Khi đĩ f(x) đồng biến trên R nên với x>-1 thì: 1 1 Vậy nghiệm của BPT là 1 Bài 4: Chứng minh rằng với a, b, c >0 thì: √ Giải: áp dụng BDT cauchy ta cĩ: √ √ Vì các vế đều dương nên: √ √ √ Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của : F(x,y) = (x+y)2 + (x+1)2 + (y+1)2 Giải: Với mọi x, y R thì: (x+y)2 (x+1)2 (y+1)2 Vậy F(x,y) hay min x Bài 6: Tính: L = lim √ √ √ Giải: Ta cĩ: lim =0, lim =0 √ √ . lim √ Nên L = 0 Bài 7:Tìm đường tiệm cận của đường 66 –
: 2011 y = √ Giải: Vì lim = nên đồ thị cĩ hai đường tiệm cận đứng là x = 1. Vì tập xác định của hàm số là (-1; 1) nên lim khơng tồn tại. Suy ra đồ thị khơng cĩ đường tiệm cận ngang. Bài 8: Một dạ tiệc cĩ 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. Hỏi cĩ bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy ? Giải: Mỗi cách ghép 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp 3 của 10 nên số cách chọn 3 bạn nam cĩ thứ tự là 8 9 1 7 cách. Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ cĩ thứ tự là 4 5 6 1 cách. Vậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là: 7 1 864 Bài 9:Tính giới hạn: √ L = lim √ Giải: L = lim √ = lim = 1. Bài 10: Tính tích phân: I = ∫ Giải: I = ∫ = | = -4/3. 67 –
: 2011 68 –