Luận văn Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

Nội dung text: Luận văn Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  ĐỖ THANH PHÚC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2. 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 là một bộ phận quan trọng của lý thuyết các bài toán cực trị. Người ta xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 cho hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo một phương d nào đó). Với d = 0, các nón cấp 2 ấy sẽ trở thành các nón cấp 1 tương ứng và như vậy từ các điều kiện tối ưu cấp 2 ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1 như một trường hợp riêng. Vì thế nhiều nghiên cứu tập trung vào lý thuyết hợp nhất các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho các bài toán tối ưu. Công trình nổi tiếng của A. Dubovitskii và A.A. Milyutin [5] ra đời, đã cho ta một lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 1 dưới ngôn ngữ giải tích hàm. Phát biểu ý tưởng của Dubovitskii - Milyutin [5], trong [4] A. Ben-Tal và J. Zowe đã xây dựng các điều kiện tối ưu cấp 2 dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 nón các phương chấp nhận được cấp 2 và nón các phương tiếp xúc cấp 2 (theo một phương d) mà trường hợp riêng của kết quả này (với d = 0) ta sẽ nhận lại được các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii - Milyutin. Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 2 của Ben Tal - Zowe [4] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3. 2 với ràng buộc nón và ràng buộc bất đẳng thức dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức. Khi các nón cấp 2 lấy theo phương 0 ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cấp 1. Luận văn này bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày điều kiện tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu trong không gian vectơ tôpô thực dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cấp 2 của ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 của ràng buộc đẳng thức. Các kết quả được trình bày trong chương này là của Ben Tal - Zowe [4]. Chương 2 trình bày cách tiếp cận áp dụng điều kiện cần cấp 2 tổng quát trong chương 1 bao gồm các kết quả tính toán nón các phương giảm cấp 1 và cấp 2, nón các phương chấp nhận được cấp 1 và cấp 2 và nón các phương tiếp xúc cấp 1 và cấp 2, cùng với các điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho bài toán tổng quát (P) và bài toán với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức (MP). Các kết quả trình bày trong chương này là của Ben Tal - Zowe [4]. Chương 3 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tổng quát (P) trong trường hợp không gian X là hữu hạn chiều của Ben Tal - Zowe [4] và X vô hạn chiều của Maurer - Zowe. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4. 3 Chương 1 Điều kiện cần tổng quát cho cực tiểu yếu địa phương 1.1 Các khái niệm và định nghĩa Ta xét bài toán tối ưu có dạng Min f(x), (P ) g(x) ∈ K, h(x) = 0, x ∈ X. Ánh xạ f : X → U, g : X → V, h : X → W là các ánh xạ liên tục, Ở đây X, U, V và W là các không gian vectơ tôpô thực, K là nón lồi trong V với phần trong không rỗng (intK 6= ∅), U được sắp bởi nón nhọn C với intK 6= ∅. Theo quy ước thông thường ta viết: u1 ≥ u2(hoặc u2 ≤ u1) nếu u1 −u2 ∈ C, và u1 > u2(u2 < u1) nếu u1 −u2 ∈ intC. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5. 4 Khi đó, ≥ có tính chất bất biến với phép tịnh tiến và phép nhân vô hướng dương. Ta quan tâm tới bài toán tìm cực tiểu yếu địa phương, tức là ta tìm điểm x0 thuộc tập chấp nhận được F := {x ∈ X : −g(x) ∈ Kvà h(x)=0} mà tồn tại một lân cận N(x0) của điểm x0 sao cho f(x) 6∈ f(x0) − intC, với ∀x ∈ N(x0) ∩ F. (1.1) Ta xét x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ). Nếu U là đường thẳng thực R và C là nửa đường thẳng không âm R+ = {λ ∈ R : λ không âm}, khi đó (P ) là bài toán cực tiểu địa phương thông thường. Thật vậy, (1.1) tương đương với (≥ là kí hiệu thứ tự thông thường trong R) f(x) ≥ f(x0) với x0 ∈ N(x0) ∩ F. (1.2) Trường hợp quan trọng nhất của bài toán (P ) là bài toán quy hoạch toán học hữu hạn chiều: U = R,C = R+ và K = n R+ (n ∈ N). Nếu gi, i = 1, 2, . . . , n, là các thành phần của g, thì bài toán (P ) trở thành: min f(x), (MP ) gi(x) ≤ 0, với i = 1, 2, ··· , n, h(x) = 0, x ∈ X. Như là một ví dụ cho bài toán (P ), khi f không phải là hàm thực, ta xét trường hợp U = Rn và lấy C là nón sắp thứ tự từ điển trong Rn, nghĩa là C là tập tất cả các vectơ trong Rn mà thành phần khác không đầu tiên dương, cùng với 0Rn . Ta kí hiệu cl C là bao đóng tôpô của C. Khi đó, Rn = (cl C) ∪ (−int C) và (cl C) ∩ (−int C) = ∅. Khi đó, (1.1) tương đương với f(x) ∈ f(x0) + cl C, với x ∈ N(x0) ∩ F. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6. 5 Định nghĩa 1.1.1. Một phương d ∈ X được gọi là phương tựa giảm tại x của hàm mục tiêu f : X → U tại x nếu với ∀u > 0, u ∈ U, tồn tại số thực T > 0 sao cho f(x + td) ≤ f(x) + tu, 0 0 sao cho g(x + td) ∈ −K + tv, với 0 0, và lân cận N(z) của z và số thực T > 0 sao cho f(x+td+t2z¯) ≤ f(x)−t2u, với mọi z¯ ∈ N(z) và 0 0 sao cho g(x+td−t2z¯) ∈ −K −t2v, với mọi z¯ ∈ N(z), và 0 < t ≤ T. (1.4) Tập tất cả z thoả mãn (1.3) và (1.4) được kí hiệu lần lượt là Qf (x, d) và Qg(x, d). Hiển nhiên, Qf (x, d) và Qg(x, d) là các tập mở. Ta đặt < < Df (x) := Qf (x, 0),Dg (x) := Qg(x, d) (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7. 6 Định nghĩa 1.1.5. Vectơ z được gọi là phương tiếp xúc cấp hai hàm h : X → W tại x tương ứng với d ∈ X nếu tồn tại một số thực T > 0 và đường cong r(t) ∼ o(t2) sao cho 2 h(x + td + t z + r(t)) = 0, với 0 < t ≤ T1. Tập các vectơ z như vậy được kí hiệu là Vh(x, d). Ta đặt Th(x) := Vh(x, 0). (1.6) Lấy d ∈ X, khi đó ta gọi f là d-chính quy tại x nếu Qf (x, d) là tập không rỗng và lồi. Tương tự, ta nói g là d- chính quy tại x nếu Qg(x, d) là tập không rỗng và lồi. h là d-chính quy tại x nếu Vh(x, d) là tập không rỗng và lồi. Nếu f là d-chính quy tại x với ∀d ∈ Df (x), thì f được gọi là chính quy tại x (do (1.6) ta chỉ cần, với d ∈ Df¯(x)). Tương tự, g được gọi là chính quy tại x nếu g là d-chính quy tại x với ∀d ∈ Dg(x), h được gọi là chính quy tại x nếu h là d-chính quy tại x với ∀d ∈ Th(x). Với tập con S của X, hàm tựa δ∗(.|S) xác đinh trên không gian vectơ topô đối ngẫu X∗ của X với giá trị trên đường thẳng thực mở rộng R ∪ {∞} được định nghĩa như sau: δ∗(x∗|S) = sup x∗x với x∗ ∈ X∗. (1.7) x∈S (Nếu S = ∅, thì ta quy ước δ∗(·|S) = −∞ ). Miền hữu hiệu của δ∗(.|S) kí hiệu là Λ(S) Λ(S) = {x∗ ∈ X∗ : δ∗(x∗|S) < ∞}. Kí hiệu S+ là tập các cực của S S+ = {x∗ ∈ X∗ : x∗x ≥ 0 (∀x ∈ S)}. Ta có nếu S là nón thì Λ(S) = −S+, ( 0, nếu x∗ ∈ Λ(S), (1.8) δ∗(x∗|S) = ∞, nếu x∗ 6∈ Λ(S). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8. 7 1.2 Điều kiện cần tổng quát cho cực tiểu yếu địa phương Định lý 1.2.1. Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ). Khi đó, với mọi d ∈ Df (x0) ∩ Dg(x0) ∩ Th(x0), (1.9) trong đó f, g và h là d-chính quy, tồn tại các hàm tuyến tính liên tục trên X: lf ∈ Λ(Qf (x0, d)), lg ∈ Λ(Qg(x0, d)), lh ∈ Λ(Vh(x0, d)) (1.10) không đồng thời bằng không thoả mãn phương trình Euler - Lagrange lf + lg + lh = 0, (1.11) và bất đẳng thức Legendre ∗ ∗ ∗ δ (lf | Qf (x0, d)) + δ (lg| Qg(x0, d)) + δ (lh|Vh(x0, d)) ≤ 0. (1.12) Bổ đề 1.2.2. Giả sử S1, ··· ,Sn là tập con lồi của X và ∗ n x ∈ Λ(∩n=1Si). Nếu n−1 (∩n=1 intSi) ∩ Sn 6= ∅, (1.13) thì n ∗ ∗ n X ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ δ (x |∩i=1 Si) = min{ δ (xi |Si): x = x1 +··· +xn ∈ Λ(Si)}. i=1 Bổ đề 1.2.3. Giả sử S1, ··· ,Sn+1 là các tập con lồi, không rỗng của X, trong đó S1, ··· ,Sn là các tập mở. Khi đó n+1 ∩i=1 Si = ∅ (1.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9. 8 ∗ nếu và chỉ nếu tồn tại xi ∈ Λ(Si), ß = 1, ··· , n + 1, không đồng thời bằng không, sao cho ∗ ∗ ∗ x1 + x2 + ··· + xn+1 = 0, (1.15) ∗ ∗ ∗ ∗ δ (x1|S1) + δ(x2|S2) + ··· + δ(xn+1|Sn + 1) ≤ 0. (1.16) n+1 ∗ Chú ý 1.2.4. Nếu ∩i=2 Si 6= ∅ thì x1 6= 0 trong bổ đề 1.2.3. Hệ quả 1.2.5. Giả sử S1,S2, ··· ,Sn là các nón lồi không rỗng trong X và giả sử S1,S2, ··· ,Sn là các tập mở. Khi đó, n+1 ∩i=1 Si = ∅ ∗ + nếu và chỉ nếu tồn tại xi ∈ Si , i = 1, 2, ··· , n + 1, không đồng thời bằng không, sao cho ∗ ∗ x1 + ··· + xn = 0. Bổ đề 1.2.6. Giả sử A : X −→ U là toán tử tuyến tính với miền giá trị R(A) và S là tập con lồi không rỗng của U. Đặt A−1S := {x ∈ X : AX ∈ S}, và giả sử x∗ ∈ Λ(A−1S). Giả sử một trong các điều kiện sau đúng: (i) R(A) ∩ intS 6= ∅. (điều kiện Slater), (ii) A là tập mở . Khi đó, δ∗(x∗|A−1S) = min{δ∗(u∗|S): x∗ = u∗A,˙ u∗ ∈ Λ(S)} (Ở đây δ∗(·|A−1S) được xác định trên X∗ và δ∗(·|S) trên U ∗). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10. 9 Từ định lý 1.2.1 ta suy ra điều kiện tối ưu cấp 1 như là một trường hợp đặc biệt. Ta phát biểu điều này trong hệ quả sau Hệ quả 1.2.7. Giả sử x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ) và giả sử f, g, h là 0 - chính quy tại x0. Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X < + < + + lf ∈ Df (x0) , lg ∈ Dg (x0) , lh ∈ Th(x0) , (1.17) không đồng thời bằng không thoả mãn lf + lg + lh = 0. (1.18) Chú ý 1.2.8. Sự khác nhau giữa các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai phản ánh sự khác nhau giữa bổ đề 1.2.3 và hệ quả 1.2.5. Chú ý 1.2.9. Giả sử d thoả mãn giả thiết của định lý 1.2.1. Nếu Qg(x0, d) ∩ Vh(x0, d) 6= ∅ thì lf trong (1.10) và (1.11) khác 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11. 10 Chương 2 Áp dụng điều kiện cần tối ưu tổng quát 2.1 Các ràng buộc tích cực Mệnh đề 2.1.1. Giả sử v ∈ intK. Khi đó, (i) λv ∈ int K, với mọi số thực λ > 0, (ii) v + K ⊂ int K, (iii) [-v,v] là một lân cận của gốc trong V . Kí hiệu Ka là bao đóng của bao nón của K + a tức là (kí hiệu cone A là bao nón của A): Ka = cl cone(K + a) = cl{λ(k + a): k ∈ K, λ ≥ 0}. Với b ∈ V , ta kí hiệu Ka,b là bao đóng của bao nón của Ka+b, tức là Ka,b = cl{(ka + b): ka ∈ Ka, λ ≥ 0}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12. 11 Bổ đề 2.1.2. Cho a ∈ −K; b ∈ −Ka. Khi đó, Ka,b = cl(K + {λa + µb : λ ≥ 0, µ ≥ 0}). n n Mệnh đề 2.1.3. [4] Giả sử V = R ,K = R+ và x, d ∈ X. Giả sử g0 (x) tồn tại. (i) Nếu g(x) ∈ −K thì n ( Y R+, nếu i ∈ I(x), Kg(x) = Si, trong đó Si = i=1 R, nếu i 6∈ I(x). 0 (ii) Nếu g(x) ∈ −K và g (x)d ∈ −Kg(x) thì n ( Y R+, nếu i ∈ J(x, d), Kg(x),g0 (x)d = Si, trong đó Si = i=1 R, nếu i 6∈ J(x, d). Ví dụ 2.1.4. Cho V = R3 và K là nón, 3 2 2 2 K = {v ∈ R : v1 + v2 ≤ v3, v3 ≥ 0}. Cho g : X −→ R3 là hàm khả vi và xét ràng buộc g(x) ∈ −K. Ta cho hàm q : X −→ R2 xác định bởi g2(x) + g2(x) − g2(x) q(x) := 1 2 3 . −g3(x) Khi đó, tồn tại g(x) ∈ −K nếu và chỉ nếu qi(x) ≤ 0 với i = 1, 2. (2.1) Giả sử intK 6= 0. Ta có kết quả sau đây về phần trong của Ka và Ka,b. Bổ đề 2.1.5. Cho a ∈ −K và b ∈ −Ka. Khi đó, intKa = intK + {λa : λ ≥ 0}, (2.2) intKa,b = intK + {λa + µb : λ ≥ 0, µ ≥ 0}. (2.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13. 12 2.2 Tập các phương giảm và tập các phương chấp nhận được < < Ta bắt đầu với việc phân tích Df (x) và Dg (x) dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương f 0 (x; d) := lim t−1[f(x + td) − f(x)]. t→0+ Mệnh đề 2.2.1. Cho x ∈ X. Giả sử f 0 (x, d) và g0 (x, d) tồn tại với ∀d ∈ X.Khi đó, 0 (i) Df (x) = {d ∈ X : f (x, d) ≤ 0}, 0 (ii) Nếu g(x) ∈ −K, Dg(x) = {d ∈ X : g (x, d) ∈ −Kg(x)}. Mệnh đề 2.2.2. Giả sử X, U và V là các không gian định chuẩn. Lấy x, d ∈ X và giả sử f 00 (x, d; z) và g00 (x, d; z) tồn tại với mọi z ∈ X. Giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương tại x. Khi đó, (i) Nếu f 0 (x, d) ≤ 0, 00 Qf (x; d) = {z ∈ X : f (x, d; z) ∈ −int Cf 0 (x;d)}; (ii) Nếu g(x) ∈ −K và g0 (x; d) ∈ cone(K + g(x)) (= −Kg(x) khi cone(K + g(x)) là đóng, 00 Qg(x, d) = {z ∈ X : g (x, d, z) ∈ −intKg(x),g0 (x;d)}; 0 (ii) Nếu g(x) ∈ −K và g (x; d) ∈ −Kg(x), 00 Qg(x, d) ⊂ {z ∈ X : g (x, d; z) ∈ −int Kg(x),g0 (x;d)}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14. 13 Hệ quả 2.2.3. Cho X, U, V là các không gian định chuẩn, và giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương tại x. Giả sử tồn tại f 0 (x; d) và g0 (x, d) với mọi d ∈ X. Khi đó, < 0 (i) Df x = {d ∈ X : f (x; d) < 0}, < 0 (ii) Nếu g(x) ∈ −K thì Df x = {d ∈ X : g (x; d) ∈ −int Kg(x)}. Bổ đề 2.2.4. Giả sử f F- khả vi liên tục trong một lân cận của x, với d cho trước hàm Φd(t) := f(x + td) khả vi cấp hai tại t = 0. Khi đó, f 00 (x, d; z) tồn tại với ∀z ∈ X, và 00 0 1 00 f (x, d; z) = f (x; z) + Φ (0). (2.4) 2 d 2.3 Tập các phương tiếp xúc Bổ đề 2.3.1. Giả sử X và W là các không gian Banach, h : X → W F- khả vi liên tục trong một lân cận của x, h0 (x) là toàn ánh, h(x) = 0. Lấy k là số tự nhiên bất kỳ. Giả sử tồn tại dãy số thực → 0+ {ti}i=1,2,··· và dãy tương ứng {y(ti)}i=1,2,··· trong X sao cho k y(ti) −→ 0, ||h(x + y(ti))|| = o(||y(ti)|| ). t→∞ Khi đó, với mọi i, tồn tại {r(ti)} sao cho k h(x + y(ti)) + r(ti) = 0, ||r(ti)|| = o(||y(ti)|| ). Chú ý 2.3.2. Từ chứng minh trên ta thấy dạng liên tục của bổ đề 2.3.1 cũng đúng, trong đó các dãy y(ti)i=1,2,··· và r(ti)i=1,2,··· thay bởi các hàm y(t) và r(t) xác định trong khoảng (0, t0] với số dương t0 thích hợp. Ta sử dụng điều này để chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15. 14 Mệnh đề 2.3.3. Cho h là ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach W , F - khả vi cấp hai trong một lân cận của điểm x với h(x) = 0. Giả sử với h0 (x) là toàn ánh. Khi đó, 0 Th(x) = {d ∈ X : h (x)d = 0}, (2.5) 0 1 00 V (x, d) = {z ∈ X : h (x)z+ h (x)(d, d) = 0} với d ∈ T (x). h 2 h (2.6) Nói riêng, h chính quy tai x 2.4 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu của bài toán khả vi Mệnh đề 2.4.1. Giả sử X, U, V và W là các không gian định chuẩn; f, g và h là các hàm F- khả vi cấp hai. Cho x, d ∈ X. 0 (i) Giả sử f (x)d ≤ 0 và Qf (x, d) 6= ∅. Khi đó, với lf ∈ ∗ + Λ(Qf (x, d)), tồn tại u ∈ C sao cho ∗ 0 ∗ 0 lf = u · f (x), u f (x)d = 0, −1 00 δ∗(l |Q (x, d)) = u∗f (x)(d, d). f f 2 (ii) Giả sử g(x) ∈ −K, g0 (x)d ∈ −cone(K + g(x)) và Qg(x, d) 6= 0. Khi đó, với lg ∈ Λ(Qg(x, d)), tồn tại v∗ ∈ K+ sao cho ∗ 0 ∗ 0 ∗ lg = v · g (x), v g (x)d = 0, v g(x) = 0, −1 00 δ∗(l |Q (x, d)) = v∗g (x)(d, d). g g 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16. 15 (iii) Giả sử X và W là các không gian Banach, h0 (x) là 0 ánh xạ lên, h(x) = 0 và h (x)d = 0. Khi đó, với lh ∈ ∗ ∗ Vh(x, d), tồn tại w ∈ W sao cho ∗ 0 lh = w · h (x), −1 00 δ∗(l |V (x, d)) = w∗h (x)(d, d). h h 2 Định lý 2.4.2. Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ); X và W là các không gian Banach, U và V là không gian định chuẩn. Giả sử f, g và h là F-khả vi cấp 2. 0 0 Miền giá trị R(h (x0)) của h (x0) là đóng. Khi đó, với mọi d thoả mãn 0 0 0 f (x0)d ≤ 0, g (x0)d ∈ −cone(K + g(x0)), h (x0)d = 0, (2.7) tồn tại các hàm tuyến tính liên tục u∗ ∈ C+, v∗ ∈ K+ và w∗ ∈ W ∗ không đồng thời bằng 0 sao cho ∗ 0 ∗ ∗ 0 u f (x0)d = 0, v g(x0) = 0, v g (x0)d = 0, (2.8) ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 u · f (x0) + v · g (x0) + w · h (x0) = 0, (2.9) ∗ 00 ∗ 00 ∗ 00 (u · f (x0) + v · g (x0) + w · h (x0))(d, d) ≥ 0. (2.10) Ta thêm một điều kiện chính quy 0 h (x0) là ánh xạ lên và tồn tại z ∈ X sao cho 0 00 CQ(d) g (x )z + g (x )(d, d) ∈ −int K 0 , 0 0 g(x0),g (x0)d 0 00 h (x0)z + h (x0)(d, d) = 0. Hệ quả 2.4.3. Nếu cho vectơ d trong (2.8) thoả mãn điều kiện CQ(d) thì u∗ tương ứng trong (2.9)-(2.11) khác 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17. 16 2.5 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán (MP) Ta đặc biệt hoá định lý 1.2.1 cho bài toán (MP). Để làm điều này ta ký hiệu Dgi (x) là tập của các phương tựa chấp nhận được của thành phần gi của g (thay K bằng R+ trong định nghĩa), tương tự cho Q (x, d) và D<(x).Ta nói g chính gi gi i quy tại x nếu Qgi (x, d) không rỗng và lồi với mọi d ∈ Dgi (x). Nhắc lại định nghĩa của I(x): I(x) = {i ∈ 1, 2, ··· , n} : gi(x) = 0}, và với d ∈ Dg(x), ta đặt J(x, d) = {i ∈ I(x): d ∈ Dg¯i (x) Định lý 2.5.1. Cho x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (MP ), và giả sử f, h và gi, i ∈ I(x0) là chính quy tại x0. Khi đó, với mọi d ∈ Df (x0) ∩ ( ∩ Dgi (x0)) ∩ Th(x0) (2.11) i∈I(x0) tồn tại các hàm tuyến tính liên tục l ∈ Λ(Q (x , d)), l ∈ Λ(V (x , d)), f f 0 h h 0 (2.12) lgi ∈ Λ(Qgi (x0, d)) (i ∈ J(x0, d)), không đồng thời bằng 0, thoả mãn X lf + lgi + lh = 0, (2.13) i∈J(x0,d) ∗ X ∗ ∗ δ (lf |Qf (x0, d))+ δ (lgi |Qgi (x0, d))+δ (lh|Vh(x0, d)) ≤ 0 i∈J(x0,d) (2.14) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18. 17 Điều kiện cấp 2 ở trên chứa điều kiện cấp 1 của Dubobit- skii và Milyuntin [5] như một trường hợp đặc biệt. Để thấy điều này ta đặt d = 0 trong định lý 2.5.1. Hiển nhiên các tập cấp 2 trong (2.12) trở thành: < + + Λ(Qf (x0, d)) = −Df (x0 ), Λ(Vh(x0, 0)) = −Th(x0) , Λ(Q (x , 0)) = −D<(x )+ (i ∈ J(x , 0) = I(x )), gi 0 gi 0 0 0 và (2.15) trở thành bất đẳng thức tầm thường 0 ≤ 0. Ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.5.2. Lấy x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (MP) và giả sử D<(x ),I (x ) và D<(x ) với i ∈ f 0 h 0 gi 0 < + I(x0) không rỗng và lồi. Khi ddos tồn tại lf ∈ Df (x0) , lh ∈ T (x )+ và l ∈ D<(x )+ với i ∈ I(x ), không đồng thời h 0 gi gi 0 0 bằng 0, sao cho X lf + lgi + lh = 0. i∈I(x0) Các trường hợp khả vi của định lý 2.5.1 sau đây dễ dàng được chứng minh bằng cách đặc biệt hoá định lý 2.4.2 Định lý 2.5.3. [4] Lấy x0 là một nghiệm tối ưu địa phương của của bài toán (MP), X, W là các không gian Banach. Giả sử f, h và gi với i = 1, 2, ··· , n là F-khả vi cấp hai và miền 0 giá trị của h (x0) là đóng. Khi đó, với mọi d thoả mãn 0 0 0 f (x0)d ≤ 0, gi(x0)d ≤ 0 (i ∈ I(x0)), h (x0)d = 0, (2.15) tồn tại các số thực y0 ≥ 0 và yi ≥ 0 với i ∈ J(x0, d), và hàm w∗ ∈ W ∗ không đồng thời bằng 0 sao cho 0 X 0 ∗ 0 y0f (x0) + yigi(x0) + w · h (x0) = 0, (2.16) i∈J(x0,d) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19. 18 00 X 00 ∗ 00
    y0f (x0) + yigi (x0) + w · h (x0) (d, d) ≥ 0. (2.17) i∈J(x0,d) Chú ý 2.5.4. Với dimW 0, y¯i ≥ 0 với i ∈ J(x0, d) và w¯ (chẳng hạn khi CQ(d) thoả mãn với ít nhất một d trong (2.36)), thì tập các phương d thoả mãn(2.36) sẽ nhận được từ (2.37) (đặt yi = 0 với i ∈ J(x0) \ J(x0, d)): 0 0 0 {d|f (x0)d ≤ 0, g (x0)d ≤ 0 với i ∈ I(x0), h (x0)d = 0} = ( ( ) 0 = 0 với i ∈ I(x0), y¯i > 0 0 = d : gi(x0)d khi h (x0)d = 0 ≤ 0 với i ∈ I(x0), y¯i = 0 Chú ý 2.5.8. Sau đây là một ví dụ đơn giản để chỉ ra rằng các nhân tử trong định lý 2.5.3 phụ thuộc vào d. 2 2 2 1 Lấy X = R , f(x) = x1 − x2, g1(x) = x1(x2 − 2 x1), 1 2 4 g2(x) = −x1( 2 x1) + x2 và g3(x) = −x1 + x2. x0 = (0, 0) là 0 0 nghiệm tối ưu. f (x0) = g (x0) = (0, 0) với i = 1, 2, 3 và với mọi d ∈ R2 thoả mãn (2.16). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20. 19 Ta có kết quả sau đây cho trường hợp dimX 0, 0 g (x0)d ≤ 0, với i ∈ I(x0), yi = 0, (2.20) 0 h (x0)d = 0. Ví dụ 2.5.10. Ta trình bày ví dụ minh họa cho định lý 1.2.1 và 2.5.1. Xét bài toán không khả vi: 2 2 min f(x) = (x1 − 1) + x2, 1 điều kiện g(x) = |x | − x2 ≤ 0, 1 k 2 Trong đó k là tham số dương. Với giá trị nào của k thì T x0 := (0, 0) là nghiệm tối ưu? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21. 20 Chương 3 Điều kiện đủ tối ưu 3.1 Điều kiện đủ tối ưu cho bài toán khả vi Định lý 3.1.1. Xét bài toán (P) trong không gian X hữu hạn chiều, C là nón lồi đóng và f, g, h là các hàm F- khả vi cấp hai. Lấy x0 là điểm chấp nhận được của (P). Khi đó, x0 là nghiệm tối ưu địa phương chặt nếu một trong hai điều kiện sau đây thoả mãn: (i) Hệ sau không có nghiệm d 0 0 0 f (x0)d ≤ 0, g (x0)d ∈ −Kg(x0), h (x0)d = 0, d 6= 0; (3.1) (ii) Với mọi nghiệm d của (3.1), tồn tại u∗ ∈ C+, v∗ ∈ K+, w∗ ∈ W ∗ sao cho ∗ 0 ∗ 0 ∗ u f (x0)d = 0, v g (x0)d = 0, v g(x0) = 0, (3.2) ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 u · f (x0)d + v · g (x0) + w · h (x0) = 0, (3.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22. 21 ∗ 00 ∗ 00 ∗ 00 u f (x0)(d, d) + v g (x0)(d, d) + w h (x0)(d, d) > 0. (3.4) Giả thiết dimX 0 với ∀n. Ta xét bài toán: ∞ ∞ X 2 X 4 min f(x) = sixi − xi . i=1 i=1 3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho trường hợp vô hạn chiều Với X vô hạn chiều, ta có điều kiện đủ cấp hai sau đây: Định lý 3.2.1. Xét bài toán (P) với U = R, các không gian Banach thực X, V, W và các hàm F- khả vi cấp hai. Lấy x0 là điểm chấp nhận được bài toán (P) và giả sử tồn tại ánh xạ x → d(x) của tập chấp nhận được F vào tập xấp xỉ tuyến 0 0 tính {d ∈ X : g (x0)d ∈ −Kg(x0), h (x0)d = 0} của F sao cho ||d(x)−(x−x0)|| = o(||x−x0||), với mọi x chấp nhận được (3.5) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Giả sử tồn tại các nhân tử w ∈ W , v ∈ K với v g(x0) và các số thực dương α, β sao cho 0 ∗ 0 ∗ 0 f (x0) + v · g (x0) + w · h (x0) = 0, 00 ∗ 00 ∗ 00 2 (f (x0) + v g (x0) + w h (x0))(d, d) ≥ δ||d|| với mọi 0 0 ∗ 0 d ∈ {y ∈ X|g (x0)y ∈ −Kg(x0), h (x0)y = 0, v ·g (x0) ≥ −β||y||} Khi đó, x0 là cực tiểu địa phương chặt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23. 22 KẾT LUẬN Luận văn này đã trình bày lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp hai của Ben Tal-Zowe [4] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian vectơ tôpô thực. Các điều kiện cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ nón các phương giảm cấp 2 của hàm mục tiêu, nón các phương chấp nhận được cấp 2 cho ràng buộc nón và nón các phương tiếp xúc cấp 2 cho ràng buộc đẳng thức (theo phương d nào đó). Chú ý rằng với d = 0, từ các nón cấp 2 ấy ta sẽ nhận được nón các phương giảm, nón các phương chấp nhận được và nón các phương tiếp xúc. Khi đó, từ điều kiện cần tối ưu cấp 2 ta nhận lại được điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Dubovitskii - Milyutin [5]. Khi các hàm mục tiêu và ràng buộc khả vi Fréchet cấp 2 , từ kết quả tổng quát ta nhận lại được các điều kiện tối ưu cấp 2 đã biết trước. Điều kiện tối ưu cấp 2 và cấp cao cho bài toán tối ưu đa mục tiêu là đề tài đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên