Khóa luận Ức căng mặt phân cách của ngưngtụ bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng

51 trang thiennha21 15/04/2022 5511

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Ức căng mặt phân cách của ngưngtụ bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

khoa_luan_uc_cang_mat_phan_cach_cua_ngungtu_bose_einstein_ha.pdf

Nội dung text: Khóa luận Ức căng mặt phân cách của ngưngtụ bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN TUẤN ANH SỨC CĂNG MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNGTỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƯỜNG CỨNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI,2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiệnhơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm2017 Sinhviên Nguyễn Tuấn Anh
LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Sức căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 04 năm2017 Sinhviên Nguyễn Tuấn Anh
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Đóng góp của đề tài 2 NỘI DUNG 3 Chương 1.TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển 3 1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein Condensates 10 1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 10 1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng 12 1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận 15 1.3.1. Thống kê Bose – Einstein 15 1.3.2. Toán tử Hamilton 24 1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii 25 1.3.3.1. Hệ riêng biệt 26 1.3.3.2. Hệ hai thành phần 28 1.3.3.2.1. Phương trìnhGross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 28 1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thờigian 30 1.4. Sơ lược về phương pháp gần đúng Parabol kép 33
CHƯƠNG 2. SUẤT CĂNG MẶT PHÂN CÁCH 35 2.1 Trạng thái cơ bản của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng 35 2.2 Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng 38 2.2.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài 38 2.2.2. Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ý tưởng ngưng tụ Bose-Einstein Condensates (BEC) là của Satyendra Nath Bose (Ấn Độ) và Albert Einstein (Mỹ) tiên đoán từnăm1924. Nhưng mãi tới năm 1980 kỹ thuật laze phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được và đến năm 1995 mới quan sát được bằng thực nghiệm. BEC là trạng thái vật chất hết sức quan trọng trong phòng thí nghiệm để quan sát nhiều hiệu ứng vật lý mà các vật chất khác không có, nhất là đối với các hiệu ứng lượng tử. Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa hai thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các trạng thái ripplon, các đơn cực Ở Việt Nam BEC vẫn còn là một vấn đề mới mẻ, nhất là đối với học sinh và sinh viên. Vì vậy việc tìm hiểu BEC đối với sinh viên là hết sức cần thiết. Do điều kiện nghiên cứu thực nghiệm ở Việt Nam đối với sinh viên còn gặp nhiều khó khăn (thiết bị, kinh phí, ) nên để tìm hiểu về BEC chúng ta chỉ mới có thể tìm hiểu trên phương diện lí thuyết. Vì thời gian và kiến thức hạn hẹp nên đối với sinh viên chúng em chỉ có thể tìm hiểu về một khía cạnh nhỏ của BEC. Vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài: “SỨC CĂNG MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƯỜNG CỨNG” làm đề tài nghiên cứu của mình. 1
2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi một tường cứng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê của hệ BCE hai thành phần Phạm vi: chỉ nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan được các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BCE Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii Trình bày về phương pháp gần đúng Parabol kép Áp dụng phương pháp gần đúng Parabol kép để nghiên cứu sức căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose –Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng 5. Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần đúng Parabol kép 6. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. 2
NỘI DUNG Chương 1.TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển Albert Einstein (1897-1955) là một nhà vật lí lý thuyết sinh ra ở Đức. Khi bước vào sự nghiệp của mình, Eisntein đã nhận ra cơ học Newton không còn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ diển với các định luật của trường điện từ. Từ đó ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với các bài báo đăng trong năm 1905. Tuy nhiên, ông thấy nguyên lý tương đối có thể mở rộng cho cả trường hấp dẫn, và đến năm 1916 ông đã xuất bản một bài báo cáo về thuyết tương đối tổng quát. Ông cũng là người đặt cơ sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng. Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ Một trong những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về ngưng tụ Bose-Einstein Condensates bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác mộtsiêu nguyên tử - tức là một BEC Về mặt lý thuyết các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp các fermion. Boson là những hạt có ''spin nguyên'' (0,1,2, ), fermion là những hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2,3/2 ). Các hạt boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý 3
ngoại trù Pauli, ''hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượngtử''. Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống kê Bose-Einstein và thống kê Fecmi- Dirac đều tiệm cận đến thống kê Mắcxoen- Bônxơman ở nhiệt độ phòng). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả đều có năng lượng  = 0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E = 0. Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T = 00K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E #0). Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose. Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc nào đó thì theo nguyên lý bất định 1 2 ⁄2 Heisenberg các hạt boson có bước sóng Đơbrơi là 휆 = (2 ħ ⁄mkBT) do đó 휆 tăng lên khi nhiệt độ giảm. Khi 휆 có thể so sánh được với kích thước không gian giữa các nguyên tử thì các sóng Đơbrơi này sẽ chồng chất lên nhau tạo thành bó sóng và khi đó các hạt đều có cùng một trạng thái lượng tử ta gọi là trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC ). Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện khi nhiệt độ của hệ ở dưới nhiệt độ giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt không tương tác mà không có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi công thức: 4
푛 2/3 2πћ2 ћ2푛2/3 Tc= ( ) ≈ 3.3125 Ϛ(3/2) Tc là nhiệt độ giới hạn n là mật độ hạt m là khối lượng của từng boson ћ là hằng số Plăng thu gọn kB là hằng số Boltzmann ς là hàm Zeta Riemann; ς(3/2)≈ 2.6124 Về thực nghiệm các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu là Frencesca Ferlaino thuộc Viện Vật lí Thựcnghiệm,ĐạihọcInnsbruck,đãchọnmộtnguyêntốrấtlạ,đólàvì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử. "Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", Ferlaino cho biết. Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose- Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. " Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kết quả sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt, chúng ta mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử lạnh", Franlainonói. Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí 5
ở Innsbbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố erbium. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khácnhau. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu. Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm2001. 6
Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được gọi là "polariton". Mặc dù những khăng định tương tự đã từng được công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của trùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polariton từ cácchùm. Tuy nhiên, các polariton - các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có 7
thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt đô khá cao 19k. Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này lại nghi nghờ rằng các polarition dù ở trạng thái BEC thật, nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợprồi. Hình 1.2: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316,1007) Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp Pittsburgh và các cộng sự ở phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tượng tự mà trong đó các polarition được tạo bởi các tia laser sau đó di chuyển khỏi vung kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều ngang 50 micron, để tạo ra một ứng suất bất đồng trên vi cầu, có nghĩa là tạo ra như một cái bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2K. 8
Mặc dù nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32 K. Hơn nữa, các vi cầu ( hay vi hốc-microcavity) được tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tượng tự từng được dùng trong các khí nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác. Hình 1.3: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316,1007) Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng thái chuẩn cân bằng. "Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trong trạng thái cân bằng thực sự" - Snoke nói - "Mặt 9
khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa chung trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn". 1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein Condensates 1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu. Hình 1.4: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein" Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt 10
vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ cùng lúc điều bất khả thi. Do photon là các hạt không có khối lượng, chỉ mang năng lượng nên chúng đơn giản dễ bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất, đặc biệt là khi chúng bị làm lạnh. Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để duy trì số lượng hạt photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1 micromet. Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó được tái tạo. Các tấm gương đã "tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến - lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt photon trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Mặc dù không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nhiệt độ phòng thôi, cũng đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một hạt khổng lồ, hay trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein. Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là "một thành tựu mang tính bước ngoặt". Ứng dụng phát kiến này vào thực tế, chúng ta có thể tạo các loại laser mới có bước sóng cực ngắn, trong dải tia cực tím, hoặc tia X. Ví dụ ứng dụng quan trọng của laze nguyên tử : Là in hôlôgraf (“in ba chiều”). Giống như hôlôgraf quang học nhưng nó có thể phân giải mịn gấp 70 ngàn lần ánh sáng. 11
Làm các gia tốc kế siêu nhạy. Làm chip: Bằng cách rọi một chùm laze nguyên tử qua nột mặt nạ hôlôgraf các nhà sản xuất có thể xây dựng các mạch với các đường dẫn mảnh đúng bằng nguyên tử. Tương tự, kĩ thuật hôlôgraf có thể dùng vào việc chế tạo ra các chi tiết linh kiện nano khác. Du hành: Các con quay dùng dùng laze nguyên tử có thể gắn vào các hệ thống dẫn đường quán tính, hoặc tương tự. Có thể dùng cho máy bay, tầu ngầm và các loại tầu thuyền khác với tính năng định vị chính xác mà không cần tham chiếu bất kỳ trạm bên ngoài nào, không như các hệ định vị vệ tinh GPS thường làm. Đo lường và phát hiện: Các giao thoa kế dùng các laze nguyên tử sẽ đủ nhạy để phát hiện được cả những biến đổi nhỏ của trường hấp dẫn đến từ các trầm tích dầu mỏ, các đường hầm hoặc các mắcma sâu trong lòng đất 1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng Các nhà vật lý Mỹ giờ đây đã có thể ghi một xung ánh sáng đồng bộ vào một tập hợp các nguyên tử siêu lạnh - và sau đó khôi phục lại nguyên dạng xung sáng đó từ một tập hợp các nguyên tử thứ hai ở cách đó một khoảng cách nào đó. Thí nghiệm đã chứng tỏ rằng các hạt vĩ mô là khó có thể phân biệt một cách rạch ròi như cơ học lượng tử đã nói mặc dù chúng có thể tách biệt về mặt vật lý. Thí nghiệm được tiến hành bằng cách sử dụng các nguyên tử ngưng tụ Bose Einstein được làm lạnh tới nhiệt độ mà tất cả chúng ở cùng một trạng thái lượng tử (Theo bài báo đăng trên tạp chí Nature). Để bắt ánh sáng "nhảy" từ chỗ này sang chỗ khác, Lene Hau và các đồng nghiệp ở Đại học Harvard đã khai thác một kỹ thuật được họ phát triển từ năm 2001 để giữ các xung ánh sáng trong trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein, có thể làm cho ánh sáng laser đi chậm đến mức gần như đứng 12
lại. Kỹ thuật này bao gồm việc chiếu một xung từ một đầu phát laser vào các nguyên tử Na ở trạng thái BEC, làm cảm ứng đến việc phân bố các dao động nhỏ của điện tích trong nguyên tử. Nhà vật lý Lene Vestergaard Hau sử dụng những tia laser và các đám mây cực nhỏ để che nguyên tử siêu lạnh làm cho ánh sáng đi chậm đến mức gần như đứng lại. Thông thường các lưỡng cực sẽ phát xạ và nhanh tróng bị phân rã, nhưng khi chiếu một chùm laser có điều khiển vào các chuyên tử, chúng sẽ chuyển các dao động trong điện tử thành các dao động của spin mà dao động này ổn định hơn. Vì thế, khi mà xung laser này tắt đi, thông tin của đầu phát laser sẽ được ghi lại trên dao động của lưỡng cực spin của nguyên tử. Đảo tia laser điều khiển để giải phóng ánh sáng, cho phép các nguyên tử bức xạ lại kết hợp (ví dụ như đồng pha với xung dò ban đầu). Điểm khác biệt trong kỹ thuật mới là xung được làm chậm để tái hiện lại tại vị trí BEC cách đó khoảng 1,6 mm. "Thủ đoạn đánh lừa" ở đây là hàm sóng của lưỡng cực spin thực ra là một sự chồng chập của các nguyên tử trong trạng thái cơ bản và trong trạng thái kích thích spin. Nhờ có nguyên lý bảo toàn xung lượng mà các nguyên tử ở trạng thái kích thích spin sẽ di chuyển khỏi BCE ban đầu khi nguyên tử hấp thụ photon từ xung laser, trong khi nguyên tử ở trạng thái cơ bản thì đứng yên tại vị trí đó. Nội dung thông tin của xung đầu dò đã được "in dấu" trên dao động quay tròn các lưỡng cực của nguyên tử BEC đầu tiên (trên). Trong thí nghiệm mới này xung cản trở được làm để xuất hiện BEC thứ 2 cách xa khoảng 160 µm (dưới) . 13
Một điểm sáng tạo là nhóm ở Harvard đã quyết định đợi cho đến khi nguyên tử kích thích spin đi đến vị trí ngưng tụ thứ hai trước khi tác dụng lại các laser điều khiển. Và họ nhận ra rằng tập hợp các nguyên tử tách biệt một cách vật lý này sau đó có thể phát xạ lại ánh sáng ban đầu. Xung ánh sáng được khôi phục này lan truyền một cách chậm rãi khỏi vị trí BEC thứ hai trước khi đạt vận tốc 300000 km/s như vốn có của ánh sáng. Vì hai vị trí BEC được tạo ra hoàn toàn độc lập, nên ta có thể hy vọng sự gửi đi các bó sóng từ vị trí đầu tiên đến một vị trí xa lạ BEC thứ hai. Thực tế không hẳn là hàm sóng ở trạng thái cơ bản có một thành phần trên cả hai vị trí BEC trong cùng một thời điểm để có thể tổ hợp với thành phần bị kích thích spin khi nó đến vị trí thứ hai. Thí nghiệm là một minh chứng hùng hồn của việc không phân biệt lượng tử. "Bằng cách thao tác cho vật chất sao chép lại nguyên bản ánh sáng ban đầu, chúng ta có thể sử dụng trong việc xử lý thông tin quang" - 14
Hau phát biểu. Bà phát biểu trên Physics Web rằng thí nghiệm này có thể sẽ đưa đến kỹ thuật xử lý thông tin quang trong viễn thông quang và mạng thông tin lượng tử. Một ứng dụng khác có thể là cảm biến quay siêu nhạy hoặc detetor trọng trường. Ngoài vài ứng dụng đã kể trên thì còn rất nhiều ứng dụng khác nữa và khả năng tiềm tàng của BEC còn rất lớn và đang tiếp tục được khám phá. 1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận 1.3.1. Thống kê Bose – Einstein Trong mục này chúng ta cần chỉ ra rằng khi nhiệt độ xuống thấp hơn nhiệt độ Tc nào đó thì xuất hiện một số hạt nằm ở cùng một mức năng lượng thấp nhất hay còn gọi là cùng trạng thái lượng tử. Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử : 1  Ek wexp.kk g (1.1) N!  Trong đó gk là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hoạt động tương tác thì ta có ∞ = ∑ 푛푙휀푙 . (1.2) 푙=0 Ở đây  l là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chưa đầy tức là số có cùng năng lượng . Số hạt trong hệ có thể nhận các giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk trong (1.1) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì 15
số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cố điển thay thế cho phân số chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân số chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lượng tử có dạng 1 ∞ 푊(푛0, 푛1, ) = 푒 {훺 + 휇 − ∑푙=0 푛푙휀푙} . ! (1.3) Trong đó Nn  l ,  là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa. l 0 1 Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính N ! đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt cuả các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. Ta kí hiệu g k Gnn(,, ) . (1.4) N! 01 Khi đó (1.3) được viết lại như sau:    nll() l 0 W n0101,, exp(,, ) nG n n  . (1.5)   Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đón nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0 ,nl hạt nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do dó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng 16
  n ()  ll nnGnn (,, ) l 0 . (1.6) ll  01 nn01  Hai là đại lượng G n( , n ,.01 . . ) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ bonson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàn sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc dổi dấu nhĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có 1 G( n01 , n , ) . nn01! ! (1.7) Trong phân số Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho nn01! ! . . . Khi đó N! gk , (1.8) nn01!! thay giá trị của gk vào (1.4) ta được (1.7). Để tính trị trung bình của các số chưa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho dại lượng  trong công thức (1.5) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thể hóa học l . Và cuối phép tính ta cho l . 17
Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau  exp1WZ  , (1.9)  (,, )nn01  nn01   n ()  1 ll với ZGnn exp(,, ) l 0 , (1.10)   01 nn01  nghĩa là   ln Z . (1.11) Khi đó đạo hàm của  theo l dựa vào (1.10) và (1.11)   n ()  1 Z  ll  nG exp( n  n , , )l 0 . (1.12)  Z  k 01 llnn01  Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt l thì theo (1.6) vế phải của công thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu được  nl  . (1.13) l Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ 0 ) và Gnn(,, )101 do đó theo (1.9) ta có  n1()ll l 0  ( l l Zn exp  exp    n01 n l 00 n   1 , (1.14)   l 0 1 exp ll  khi đó 18
ll   ln1exp  . (1.15) l 0  Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình 1 n , (1.16) l  exp1 l  ta có (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thể hóa học  trong công thức (1.16) được xác định từ điều kiện ∞ ∑ 푛̅푙 = . (1.17) 푙=0 Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ  d bằng dN() dn() , (1.18)  exp  1  trong đó dN() là số các mức năng lượng trong khoảng Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể xem như các sóng dừng Broglie. Vì vậy có thể xác định bằng cách áp dụng công thức kdk2 dNkV() . (1.19) 2 2 Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véctơ sóng k 푃⃗ = ћ ⃗ , (1.20) khi đó (1.19) có thể được viết dưới dạng p2 dp dN() p V . (1.21) 2 23h 19
2 Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vân tốc v≪c thì ɛ= suy ra 2 pm2 2  2 = √2 3ɛdɛ. Do đó (1.21) có dạng 2mV3 dNd() . 2 23h Vì các hạt có thể có xác định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g = 2s+1. Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng    d là 2mVg3 dNd() . (1.22) 2 23h Theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng là 2m3 Vgd  dn() . (1.23) 2 23h  exp1   Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau 1 2m3 Vg  2 Ndnd () . (1.24) 2 23h  00e KT 1 Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thể hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thể hóa học  đối với khí bose lí tưởng. Đầu tiên là chúng ta chứng minh rằng  0 . (1.25) Thật vậy, số hạt trung bình dn() chỉ có thể là một số dương, trong đó, theo (1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luân luôn dương 20
 (nghĩa là khi 0 , để cho exp  luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của   ). Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta có:     N e  d  d T 1 T  0 KT 0 KT  Te e 1 N T     d    1   d 0 KT e 0 e KT 1   1 () e KT  e KT dd   2    22 00kT eeKTKT 11 1 (1.26)    T 1 eeKTKT dd      22 00kT eeKTKT 11 Nhưng do (1.24) nên  0 , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế  phải (1.26) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy 0 . Từ các tính T  chất  0 và 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá T trị âm tăng lên đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max 0). Xác định nhiệt độ T0 Chọn  0 và TT 0 . Khi đó phương trình 21
1 2m3 Vg e 2 N dn() d 2 h3  00e KT 1 Trở thành 1 3 2m3 Vg e2 (2)mVgx2 Ndnd () kTdx 3  23 0 x 002 h 21 he0 e KT0 1 33 (2)()mVgkT22 x 0 dx 1 ex 1 22 23h 0 3 ()mkTVg2 x 0 dx 1 ex 1 . (1.27) 22 23h 0 x Mà ta đã biết dx 2.31, nên từ (1.27) và  kT , ta được x 00 0 e 1 1 2 423 2 h 3 0 N T0 2 . (1.28) kV 2,31g 3 mk Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn như đối với 4 He , ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 3 0 120kg / m ta được TK0 2,19 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0 0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0<T≤ 0 22
 thì thể hóa học  tăng tới giá trị  0, mà 0 nên  không thể giản max T nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0<T≤ 0 thì  0 Với nhiệt độ T<T0 số hạt có năng lượng là : 33 (2)()mVgxmkTVgx22 NdxdxN  0 ' 2123he  1 x . (1.29) 00ehKT 122 23 So sánh (1.27) và (1.29) ta thấy 3 2 3 T ′ NN(0) 2 T hay = ( ) . 0 0 Vì số hạt toàn phần trong hệ không đổi, nên kết quả trên phải được đoán ′ nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T < T0thì N < chỉ ra rằngsố hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N' có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.18), tức là: 3 m2 VgdNd    ' dm() 13   .(1.30) 22,3122 23h exp1exp1    0 Các hạt N< N’ còn lại cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ. Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0một phần của các hạt khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lương không) và các hạt còn lại sẽ được 1 phân bố trên các mức khác theo định luật  , hiện tượng mà ta vừa mô tả, e 1 trong đó một số hạt khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai 23
phần của khi bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose-Einstein. Ở nhiệt độ tuyệt đối T=0 Tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không. 1.3.2. Toán tử Hamilton Dựa vào hệ tiên đề của cơ học lượng tử ta thấy, để nghiên cứu năng lượng của hệ chúng ta cần phải biết toán tử Hamilton, toán tử Hamilton tương ứng với hàm Hamilton trong cổđiển. N . Hàm Hamilton H p q L kk là hàm tọa độ suy rộng và thời gian. k1 Qua một số biến đổi ta được các phương trình củaHamilton: 휕 휕 ̇ = - , 푞 ̇ = (1.31) 휕푞 휕 Cơ học cổ điển bị hạn chế, có những hiện tượng mà không giải thích được bằng lý thuyết cổ điển. Do đó dẫn đến hình thành môn cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử người ta dùng toán tử để mô tả biến số độnglực. Toán tử Hamilton là toán tử quan trọng vào bậc nhất của cơ học lượng tử. Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử Hamilton của một hạt gồm toán tử động năng và hàm lực Hˆ=Kˆ+Uˆ . (1.32) Ở đây toán tử động năng ̂2 ћ2 퐾̂= = − 훻2. (1.33) 2 2 Còn hàmlực Û= U( , t) phụ thuộc vào tọa độ r và thời gian t, thànhthử ћ2 Ĥ= − 훻2 + Û( , t). (1.34) 2 Nếu không phụ thuộc vào t, thì Û( ) được gọi là thế năng. Trong 24
trường hợp ấy: ћ2 Ĥ= − 훻2 + Û( ) . (1.35) 2 Trường hợp tổng quát, nết hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc ,thì: ћ2 Ĥ= − 훻2 + Ŵ . (1.36) 2 Ở đây Ŵ là thành phần mô tả cho chuyển động trong trường lực tổng quát. Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamiltonlà: 푛 ћ2 ̂ = ∑(− 훻 2) + Ŵ 2 (1.37) =1 Trongđó Ŵ là thành phần viết cho trường lực tổng quát nào đó mô tả tương tác của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian 1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii Ở trạng thái ngưng tụ tính chất hạt của vật chất cổ điển không còn thể hiện rõ nữa mà thể hiện chủ yếu của nó là tính chất sóng như tính chất các photon vì vậy các phương trình động học cổ điển không dùng được nữa khi nghiên cứu chuyển đông của nó. Vì vậy nghiên cứu chuyển động của nó ta cần phải dùng những phương trình chuyển động cho cơ học lượng tử. Một trong những phương trình quan trọng kinh điển đó là phương trình Gross- Pitaevskii. Sau đây ta tìm hiểu về nó cho hệ riêng biệt và hệ hai thành phần ngưng tụ. 25
1.3.3.1. Hệ riêng biệt Chúng ta đã biết rằng sự tương tác hiệu dụng giữa hai hạt ở năng lượng 4 2a thấp là một hằng số trong biểu diễn động lượng U . Trong biểu diễn 0 m tọa độ, năng lượng tương ứng tới một tương tác tiếp xúc U0δ rr ' , trong đó r và r ' là bán kính véctơ xác định vị trí của hai hạt. Trong trạng thái ngưng tụ hoàn toàn, tất cả các hạt bose có trạng thái như nhau, hàm sóng của 1 hạt là  r và do đó chúng ta có thể viết hàm sóng của hệ N hạt như sau: N  r12, r, r N = (ri ) (1.38) i 1 Hàm sóng của một hạt  ri là hàm sóng chuẩn hóa theo cách thông thường 2  ()1r dr (1.39) Hàm Hamiltonian cho hệ N hạt có thể được viết là: N 2 pi H  V(ri ) U0  ( r i r j ) (1.40) i 1 2m i j Với Vr()i là thế bên ngoài tác dụng lên hạt thứ i. Năng lượng của hệ các hạt có hàm Hamiltonian (1.40) được xác định bằng: 2 224 N 1 E    NrV rrUr ( )( ) ( )( ) 0 d . (1.41) 22m NN( 1) 4 Trong đó là số hạng năng lượng tương tác, Urdr() là 2 0 năng lượng tương tác của hai hạt với hàm sóng ()r . 26
Xét hệ gồm rất lớn số hạt Boson ở nhiệt độ rất thấp, khi này động năng có thể bỏ qua. Xét hệ không tương tác với bên ngoài (Vr() =0). Năng lượng tương ứng của hệ là: ( −1) 1 E = 푈 = 푛2푈 . (1.42) 2 0 2 0 N Với n là mật độ các hạt của hệ. V Quy ước đưa vào khái niệm hàm sóng  ()r của không gian ngưng tụ định nghĩa bởi: 1/2 ( )r ( N ) r . (1.43) Mật độ các hạt lúc này được cho bởi: nrr()()  2 . (1.44) 1 Bỏ qua số hạng của bậc , năng lượng của hệ có thể được tìm thấy từ N việc thay (1.43) vào (1.41) ta được: ћ2 1 (휓) = ∫ [ |∇휓( )|2 + ( )|휓( )|2 + 푈 |휓( )|4] . (1.45) 2 2 0 Tìm trạng thái cơ bản của hàm sóng  bằng cách cực tiểu hóa năng lượng (1.45) với biến phân độc lập tương ứng của  ()r và liên hợp phức của nó  *()r với điều kiện là tổng số hạt Nrdr  ()2 . (1.46) là không đổi. Ta có phương trình cực tiểu năng lượng Lagrange 27
 EN  0 , (1.47) với thế hóa học  là hằng số tùy ý. Phương pháp này là tương đương với việc cực tiểu hóa năng lượng EN  khi cố định . Tương đương với biến phân không của tương ứng tới  *()r bằng cách thế (1.45) và (1.46) vào (1.47) ta được: 2  2()()()()()()rVrrUrrr 2 2m 0 (1.48) Phương trình (1.48) là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Xét một hệ khí bose đồng nhất ở trạng thái ngưng tụ có Vr( ) 0 , phương trình Gross-Pitaevskii (1.48) tương ứng là 2  UUn00(r) (1.49) E Với  là thế hóa học từ năng lượng của trạng thái đồng nhất. N 1.3.3.2. Hệ hai thành phần 1.3.3.2.1. Phương trìnhGross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian Chúng ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng mj thế năng Vj chỉ số j = 1, 2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần2. Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và hai tương ứng với N1và N2 hạtlà: 1 2 휓( , . . . , ; ′. . . ′ ) = ∏ 휑 ( ) ∏ 휑 ( ′). 1 1 1 2 1 푖 2 푗 (1.50) 푖=1 푗=1 28
Ở đây trạng thái 1 được biểu diễn bởi 푖 và trạng thái 2 biểu thị bởi 푗 Các hàm sóng đơn tương ứng là 1 và 2 đối với hệ đồng nhất năng lượng cho bởi phương trình tổng quát ( −1) ( −1) E= 1 1 11 + 1 2 12 + 2 2 22 2 2 (1.51) Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với 1/2 1/2 ψ1= 1 휑1và ψ2= 2 휑2 Thì năng lượng tương ứng cho hệ hai thành phần là nhưsau: 2 2 ћ 2 2 ћ 2 = ∫( |훻휓1| + 1|휓1| + |훻휓12| 2 1 2 2 (1.52) 2 + 2|휓2| 1 1 + |휓 |4 + |휓 |4 2 11 1 2 22 2 2 2 + 12|휓1| |휓2 | ). Tại đó bỏ qua ảnh hưởng của 1/N1 và 1/N2, hai giá trị này nhỏ nếu N1 và N2 lớn. mi là khối lượng của hạt thứ i, Vi là thế năng bên ngoài. Các hằng số g11, g22, g12 = g21 được xác định bởi độ dài tán xạ a11, a22, a12 = a21, với 푖푗 = 2 ħ 푖푗/ 푖푗 , (푖, 푗 = 1,2) và 푖푗 = 푖 푗/( 푖 + 푗)là khối lượng rút gọn của nguyên tử i và nguyên tử j. Từ (1.51) và (1.52) ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc và thời gian như sau: 2 휕휓1 ћ 2 2 2 (1.53) iћ = (− ∇ + 1 + 11|휓1| + 12|휓2| )휓1 휕푡 2 1 2 휕휓2 ћ 2 2 2 iћ = (− ∇ + 2 + 22|휓2| + 12|휓1| )휓2 휕푡 2 2 (1.54) Như vậy, ta đã thu được phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo hình thức luận Hamilton. 29
Chúng ta giả định rằng các hằng số tương tác thỏa mãn: 2 12 > 11. 22 tức là hai thành phần không thể trộn lẫn. Sự tiến triển của hệ theo thời gian có thể xác định bằng cách giải số các phương trình (1.53) và (1.54) theo phương pháp giải phổ với các điều kiện biên xácđịnh. 1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thờigian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta đặt: −푖휇1푡/ћ 휓1 = 휓10( )푒 , −푖휇2푡/ћ 휓2 = 휓20( )푒 . (1.55) trongđó ψ10 và ψ20 là hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các thànhphần. Thay lần lượt (1.55) vào (1.53) tađược 휕(휓 ( )푒−푖휇1푡/ћ ) 푖ћ 10 휕푡 2 ћ 2 2 −푖휇1푡/ћ = (− ∇ + 1 + 11|휓10( )푒 | 2 1 −푖휇2푡/ћ 2 −푖휇1푡/ћ + 12|휓20( )푒 | )휓10( )푒 휕(휓 ( )푒−푖휇2푡/ћ ) 푖ћ 20 휕푡 2 ћ 2 2 −푖휇2푡/ћ = (− ∇ + 2 + 22|휓20( )푒 | 2 2 −푖휇1푡/ћ 2 −푖휇2푡/ћ + 12|휓10( )푒 | )휓20( )푒 Thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian thuđược 2 ћ 2 2 2 (1.56) − ∇ 휓1 − 휇1휓1 + 1휓1 + 11|휓1| 휓1 + 12|휓1| 휓2 = 0, 2 1 2 ћ 2 2 2 − ∇ 휓2 − 휇2휓2 + 2휓2 + 22|휓2| 휓2 + 12|휓2| 휓1 = 0 .(1.57) 2 2 30
Phương trình (1.56) và (1.57) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. Như vậy thế tương tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng 24g 22 vg    jj  j jj1212 j 1,2 2 (1.58) 224422 gg      1112 g . 1122121212 22 Sử dụng chiều dài tương quan  . (1.59) 1 2m  jj Và mật độ của hạt thứ j là ngjjjj0  và đưa vào đại lượng không thứ nguyên zz 1,   g (1.60)  1212,,. K  j ngg 2 j01122 Thì ta có dddzd 1 , dzdzdzdz  1 (1.61) dd221 . dzdz222  1 Do đó 22d 2 1 1  n . 22m dz2 m 2 dz 2 1 10 1 1 1 Thay biểu thức của 1 vào biểu thức trên ta được 31
2 dd22  11gnn . (1.62) 2mdzdz 22111010 1 Ta có: 11111010 gnn , 22 ggnn111111101011 , (1.63) ggnn 22. 122112101021 Thay (1.62) và (1.63) vào (1.56) ta được: d 2 1  32K 0. (1.64) dz 2 1121 Ta có 2 222 2 d 2  d 220 n . (1.65) 22mdzmdz22 222 Thay biểu thức của 2 vào biểu thức trên ta được 2 dd22  22 2 gnn . (1.66) 2mdzdz 2222 2020 2 Ta có 2 2g 22 n 20 n 20 , 22 g22 2  2 g 22 n 20 n 20 2 2 , (1.67) g22  g n n . 12 1 2 12 10 20 1 2 Thay (1.66) và (1.67) vào (1.57) ta được d 2 232 2 K 0. (1.68) dz2 221 2 32
Lưu ý ở đây ta chỉ xét hệ trong trạng thái cân bằng pha nên áp suất của 2 thành phần bằng nhau, tức là PP12 , 2 Trong đó Pjjjj g n 0 2. 1.4. Sơ lược về phương pháp gần đúng Parabol kép Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (1.68) có dạng 24g VGP  . (1.69) 2 Bằng cách đưa vào các đại lượng không thứ nguyên như ở (1.60), thế tương tác (1.69) có thể được viết dưới dạng 241 VGP . (1.70) 2 Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ 1 nên ta đặt  1,a (1.71) với a là số thực và nhỏ. Thay (1.70) vào (1.71) ta được 241 VaaGP 11 2 1 1 21a 464 aaaaa2234 2 11 22.aaa234 22 Khai triển VGP giữ đến gần đúng bậc 2 ta được 2 112 VaDPA 2 2  1 . (1.72) 22 Trong đó VDPA là thế gần đúng trong parabol kép 33
Ta có đồ thị của hai thế VGP và VDPA như sau Đường màu xanh là đồ thị của thế , đường màu đỏ là đồ thị của thế . Ta thấy có hai cực tiểu như hình vẽ và khi thay vào phương trình Gross-Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp được phương trình. Do đó ta thay thế là hai parabol ghép với nhau và được gọi là parabol kép. Khi thay thế vào phương trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải được phương trình. 34
CHƯƠNG 2. SUẤT CĂNG MẶT NGOÀI 2.1 Trạng thái cơ bản của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng Với sự có mặt của hai tường cứng tai zh và zh . Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ. Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí zz 0 , khi đó điều kiện biên cho các thành phần có dạng như sau Với zz 0 1 h 0 (2.1)  h 0. 2 Với zz 0 1 h 0 (2.2)  h 0. 2 Ta khai triển tham số trật tự  j quanh giá trị được chuẩn hóa theo mật độ khối n j 0 tức là  1,, jjjj'' ' ' Với jj,1,2 khi zz 0 và jj,2,1 khi . Cần chú ý rằng  j và  j là các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khi triển này. • Ở miền zz 0 ( z0 là vị trí biên) ta đặt  1,,,aba b (2.3) 12 Thay vào (1.65) và (1.71) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình aa'' 2 0, 2 (2.4)  b'' ( K 1) b 0. Thay (2.3) vào (2.4) và đặt  2,1, K ta được phương trình Gross-Pitaevskii trong PDA 35
''2  11 10, (2.5) 2''2 0. 22 • Ở miền zz 0 ta đặt  baab,1,, (2.6) 12 Thay vào (1.65) và (1.71) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta được hệ phương trình bKb''(1)0 2 (2.7)  aa''20. ''2 110, Do đó (2.8)  2''2 (1)0. 22 Trong miền zz 0 nghiệm của hệ phương trình (2.5) có dạng zhzhzz 11=eee1ee, A h (2.9)   hz 21 2esinh.B  Trong miền zz 0 nghiệm của hệ phương trình (2.8) có dạng  =e1e,  22h zh z A 12 2h zh zh z h (2.10)  222 e1eee. BB Với AABB1212,,, là các hằng số tích phân. Trong DPA, yêu cầu là hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục tại zz 0 11 và 22 , (2.11) zz00 zz00 dd11 dd22 zz00 và zz00 . dz dz dz dz Thay (2.9), (2.10) vào (2.11) ta được 36
h z  zh 22 zhh z eeee   0 000 A , 1 2222hzhz   2h 2 z eeee 00     0 2  2hz h z eee 0 0 A , 2 2222hzhz   2h 2 z eee 00     e 0 h 2  hz 0 esinh 2 B1 ,  hzhzhzhz 0 000 coshsinhcoshsinh  (2.12) h hz 0   h zh00 z e1 ecoshsinh   B2 . 22 h zh00 z   h zh00 z 1 ecosh1 esinh  1.0 0.8 0.6 2 , 1 0.4 0.2 0.0 10 5 0 5 10 z Hình 2.1 biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự theo z tại 2,  2,zh0 0,  1, 10 Đường màu đỏ và màu xanh ứng với thành phần 1 và thành phần 2 37
2.2 Suất căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng 2.2.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài Trước tiên ta xét khái niệm sức căng mặt ngoài của chất lỏng. Ta tưởng tượng tách riêng được một phần tử A nào đó trong khối chất lỏng và nghiên cứu tác dụng của tất cả các phần tử khác lên nó. Ta hãy vẽ một hình cầu bán kính r có tâm là tâm phân tử A. Ta chỉ cần nghiên cứu tất cả các phân tử có tâm nằm trong hình cầu bán kính r lên phân tử A. Khoảng cách r gọi là bán kính tác dụng phân tử . Phân tử A nằm trong lòng khối chất lỏng nên lực hút giữa các phân tử trong hình cầu tác dụng của phân tử A lên phân tử A hướng theo mọi phía và tính trung bình thì chúng cân bằng nhau (hình 3.1), do đó lực tương tác tổng hợp của các phân tử chất lỏng lên phân tử A bằng 0 Hình 2.1 Đối với phân tử nằm gần mặt thoáng thì lại khác. Ta hãy xét phân tử B (hình 3.1) nằm cách mặt thoáng một khoảng nhỏ hơn r. Một phần của hình cầu bán kính r nằm ngoài khối chất lỏng. 38
Giả sử phần trên của khối chất lỏng là thể khí, ( ví dụ hơi của chất lỏng đó). Vì số phân tử ở pha hơi nằm trong hình cầu tác dụng của phân tử B là ít lên tác dụng của chúng lên B là rất nhỏ ta không cần chú ý tới. Ta chỉ cần chú ý tới tác dụng của các phân tử thuộc khối chất lỏng nằm trong hình cầu. Rõ ràng là các lực hỗ trợ tác dụng lên B theo mọi hướng không thể cân bằng nhau và phân tử B chịu tác dụng của một hợp lực f hướng vào trong khối lỏng . Độ lớn của lực này càng tăng lên khi phân tử B càng gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Tuy nhiên cần chú ý rằng tuy có lực tác dụng lên nhưng phân tử B không chuyển động vào trong lòng chất lỏng mà vẫn thực hiện dao động nhiệt xung quanh vị trí cân bằng đó. Đó là vì khi phân tử B dưới tác dụng của lực tiến theo hướng đi vào trong lòng chất lỏng để lại gần các phân tử khác hơn thì sẽ xuất hiện lực đẩy chống lại lực . Đối với các phân tử khcs nằm trong lớp mặt ngoài có chiều dày dr cũng chịu tác dụng của những lực hướng vào trong khối chất lỏng tương tự như phân tử B. Hình ảnh chuyển động nhiệt của các phân tử nằm ở lớp mặt ngoài cũng như đối với các phân tử ở trong lòng chất lỏng nghĩa là dao động hỗn loạn chung quanh các vị trí cân bằng một thời gian nào đó và sau đó do sự tương tác với các phân tử chung quanh thỉnh thoảng lại thay đổi vị trí cân bằng. Nói cách khác nếu bỏ qua dao động nhiệt thì tuy chịu tác dụng của lự nhưng phân tử nằm ở lớp ngoài vẫn được coi như nằm tại vị trí cân bằng. Ta biết, hợp lực vuông góc với mặt thoáng chất lỏng không dịch chuyển phân tử B theo phương vuông góc cũng như phương nằm ngang đối với mặ thoáng. Bây giờ, chúng ta chú ý đến các thành phần theo phương nằm ngang (tức theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng) của lực tương tác của phân tử chất lỏng lên phân tử B. Dĩ nhiên các thành phần này của lực theo hai 39
chiều ngược nhau phải có độ lớn bằng nhau f1 = f2 (hình 3.1) vì vậy chúng cân bằng nhau. Khác với trường hợp của lực f đac nhận xét ở trên, độ lớn của lực f1 hoặc f2 sẽ càng giảm khi phân tử B càng đến gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Nếu giả sử vì một lý do nào đó một phía của phân tử B không có chất lỏng nữa thì dưới tác dụng của lực thành phần theo phương tiếp tuyến với mặt thoáng ( hoặc f2 ) phân tử B sẽ chuyển động ngang. Ta tưởng tượng các phân tử nằm trong lớp mặt ngoài tạo thành một đoạn cong nguyên tố l thì tổng hợp tất cả các lực thành phần lên phân tử này theo phương tiếp tuyến với mặt phân cách và ở về một phía xác định của đoạn cong được gọi là lực căng mặ ngoài kí hiệu là f . Vì đủ nhỏ lên có thể coi lực căng mặt ngoài f vuông góc với . Vậy rõ ràng dưới tác dụng của lực căng mặt ngoài f , lớp mặt ngoài luôn luôn muốn co về diện tích nhỏ nhất. Tính chất này làm cho lớp mặt ngoài của chất lỏng gần giống như một màng căng ( chẳng hạn màng cao su), vì vậy hiện tượng mà ta đang xét được gọi là hiện tượng căng mặt ngoài. Ta cần chú ý sự khác nhau căn bản giữa lớp mặt ngoài chất lỏng với màng cao su. Lớp mặt ngoài khối chất lỏng tăng diện tích là do có những phân tử đi từ trong lòng khối chất lỏng ra mặt ngoài và do đó bề dày của nó không đổi dr , còn đối với màng cao su thì sự tăng diện tích là nhờ có sự giảm bề dày của màng. Việc di chuyển phân tử trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài đòi hỏi phải tiêu thụ một công để thắng lực cản nói trên. Trong trường hợp khối lỏng không trao đổi năng lượng với ngoại vật thì công này được thực hiện do sự giảm động năng của phân tử đó mà thế năng phân tử sẽ tăng lên, tương tự như 40
trường hợp công được thực hiện khi một vật được chuyển động trong trọng trường từ dưới lên trên( động năng của vật giảm, thế năng của vật tăng). Ngược lại khi phân tử đi từ lớp mặt ngoài vào trong lòng chất lỏng, nó sẽ thực hiện một công do sự giảm thế năng của phân tử. Vậy mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài khác với phân tử ở trong lòng ở trong lòng khối lỏng là một thế năng phụ. Tổng thế năng phụ của các phân tử ở lớp mặt ngoài được gọi là năng lượng tự do. Năng lượng tự do chính là một phần nội năng của khối lỏng. Khi có nhiều phân tử di chuyển từ trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài ( tức diện tích mặt ngoài khối lỏng tăng ) thì năng lượng tự do tăng. Sự tăng năng lượng này hoặc do sự giảm động năng của các phân tử hoặc do công của ngoại vật thực hiện lên chất lỏng hoặc do cả hai nguyên nhân vừa nêu. Ngược lại khi chất lỏng giảm diện tích mặt ngoài, năng lượng tự do giảm đi làm cho chất lỏng hoặc sẽ nóng lên hoặc sẽ sinh công cho ngoại vật hoặc sẽ đồng thời xảy ra cả hai hiện tượng vừa kể. Và người ta định nghĩa: “ Độ tăng năng lượng tự do mặt ngoài trên một đơn vị diện tích là sức căng mặt ngoài”   (2.13) A Trong đó:  là năng lượng tự do mặt ngoài, A là diện tích mặt phân cách 2.2.2. Suất căng mặt phân cách của ngưng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng Chúng ta xét hệ BEC trong trường hợp số hạt của hệ xác định 41
n h Ndz j0  2 . (2.14) jj2mg jjj h Năng lượng trên bề mặt ngưng tụ được thiết lập bởi P. Ao và S.T. Chiu [11]  22422 ggjjjj  Edrnngn  nnN jjjjjjj00012 10  20 120. .  222m jj 1,21,2 j (2.15) Từ đây xác định được sức căng mặt phân các giữa hai ngưng tụ dưới dạng không thứ nguyên h E 222  1211122   Pdz zz . (2.16) A h g n22 g n Trong đó A là diện tích mặt phân cách, P 11 10 22 20 là áp suất bên trong 22 ngưng tụ Để thuận lợi cho những tính toán về sau công thức (2.16) được viết lại dưới dạng gn2 h   jjj 0  2 dz, (2.17) 12  2 jjzj j 1,2 h và h z0  P dz  2 22   2 P  dz   2    2 12 1 z 1 z 2 1 z 1 z 2 hh h P dz  22 2   1 zz 1 2 z0 z0 h  P dzP    dz2222  22 112112 zzzz hz0 PIIII1 1 2 3 4 .(2.18) z0 z0 h h I  2 dz I 2 2 dz Idz  2 I 2 2 dz Với 11 z , 22 z , 31 z , 42 z . h h z0 z0 42
Ta tính được 3222 Ihhhhzhzhhzhz10000 (  (484cosh24cosh2     2 4cosh2hhzhz   00 222 4cosh22sinhhhzhzhhz    44sinh 000   222 2sinh  22sinh hzhzh 22sinh00 2 z0 22    sinh 22sinh 2sinh hzhzhz000 2 2 2 4sinh    2sinh 24sinh3hzhzhz000 22     sinh 22sinhhzhz 22 00 2 2    sinh 422sinhhhzh 0  zhzhzhz0000 22sinh2 2 2sinh    322sinh hzhzhzhz 32 0000 22     sinh 422sinh22sinh2hhzhzhzhzhz 00000 2 2sinh   322sinh hzhzh 3 00 zhz00 2 3222 484cosh24cosh2  zzhzhzzhzhzz00000000     22 4cosh24cosh2     hzhzzhzhzz000000 222 8cosh42cosh   2))hzhzhzhz / 0000 2 4sinh  h      zhz sinh, 00 4  h zh z 4h 2 2 sinhsinhsinh200 hz 0 2 I2 2 ,  h zh000 zh z 0 hz coshsinhcoshsinh  4 2 hz 0 h z0 2 eeesinh 4sinh 22   hh zh z 00 I3 2 , 2hzhz 222    2h 2 z eee 00     e 0 43
2 4h 4 z 2 hz 0 0 2  hz 0  I4 (  (sinhee4e hz0  22 2 hz 0  hzhzhzhz 3 8ecoshsinhsinhsinh2  2 0000 h z 0  2 2 hz 0  2 hz 0 2esinh   2 hzhzhzhz 3  cosh 0000 coshcosh2 sinh)) / hz 0  2 22 h zh00 z   hzhz 00 21ecosh1esinh).   Sử dụng (2.18) chúng ta có thể khảo sát sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài vào các thông số của hệ như hằng số tương tác K và tỉ lệ các độ dài đặc trưng  . Hình 2.2 biểu diễn sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài khác vào giá trị 1 K tại  1,0,30,2.zh0 Kết quả cho thấy khi K 1 thì 12 là nhỏ nhất.Với  Hình 2.2 Sự phụ thuộc của sức căng mặt ngoài vào các giá trị (trong đó 12 ). 12 P 44
KẾT LUẬN Khóa luận “Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng” hoàn thành đã thu được các kết quả sau - Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein: xây dựng thống kê Bose- Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose-Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đưa ra ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí lý tưởng. - Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian. - Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trong gần đúng parabol kép. - Tính giá trị của sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trong trường hợp số hạt không đổi. Do mới làm quen với công việc nghiên cứu nên khi hoàn thành khóa luận em không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các thầy, cô và các bạn sinh viên góp ý để em hoàn thiện khóa luận và vốn kiến thức của bản thân. Em chân thành cảm ơn! 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng cơ học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội 2. [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3] Lê Văn (1978), Vật lý phân tử và nhiệt học, NXB Giáo dục, Hà Nội. Tiếng Anh [4] A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-particles Systems (McGraw-Hill,Boston,1971). [5] B.V Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624 (2008) [6] B. Van Schaeybroeck and J.O. Indekeu, Phys. Rev. A 91, 013626 (2015) [7] C.J. Pethick, H. Smith (2008), Bose-Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York. [8] I.E. Mazets, Phys. Pev. A 65, 033618 (2002) [9] J.O. Indekeu, C.Y.Lin, N. V. Thu, B. V. Schaeybroeck,T. H. Phat (2015), Static interfacial properties of Bose-Einstein condensate mixtures, Phys. Rev. A 91, 033615. [10] L. Pitaevskii, S. Stringari (2003), Bose-Einstein condensate, Clarendon Press. Oxford, New York. [11] P. Ao and S. T. Chiu, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998). [12] R. A. Brarankov, Phys. Rev. A 66, 013612 (2002). [13] N. V. Thu, Physics Letters A 380, 2920–2924 (2016). 46