Khóa luận Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

53 trang thiennha21 15/04/2022 5400

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

khoa_luan_tim_hieu_ve_phuong_phap_thong_ke_momen_va_mot_vai.pdf

Nội dung text: Khóa luận Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THU TÌM HIỂU VỀ PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI – 2017
LỜI CẢM ƠN Đề tài: “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cô, bạn bè. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo hƣớng dẫn – TS. Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong quá trình hoàn thành đề tài. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm quen với phƣơng pháp nghiên cƣú khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày . tháng . năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu
LỜI CAM ĐOAN Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do em thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn của cô Phạm Thị Minh Hạnh. Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các khóa luận khác. Em cũng xin cam đoan rằng sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận này đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày . tháng . năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 3 1.1. Momen và hàm tƣơng quan 3 1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng lƣợng tự do 4 1.1.2. Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q 7 1.2. Công thức tổng quát về momen 14 1.2.1. Công thức tổng quát về momen 14 1.2.2. Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao 15 1.3. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do 18 Kết luận chƣơng 1 20 CHƢƠNG 2. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 21 2.1. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể 21 2.1.1. Trƣờng hợp mạch thẳng 21 2.1.2. Trƣờng hợp lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối 29
2.2. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của tinh thể. 37 2.2.1. Các khái niệm cơ bản 37 2.2.2. Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi 40 Kết luận chƣơng 2 46 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đã biết rằng khi sử dụng phƣơng pháp thống kê lƣợng tử để nghiên cứu dao động điều hòa của mạng tinh thể, nhiệt dung riêng đẳng tích của vật rắn theo mô hình Einstein và Debye vẫn có sự sai khác so với thực nghiệm ở vùng nhiệt độ cao do không tính đến đóng góp phi điều hòa của dao động mạng. Trong 20 năm trở lại đây, có một phƣơng pháp thống kê mới gọi là phƣơng pháp thống kê momen đƣợc xây dựng từ phƣơng pháp thống kê lƣợng tử. Đây là một phƣơng pháp thống kê mới đã và đang đƣợc áp dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các tinh thể. Việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể theo phƣơng pháp thống kê momen là một trong những vấn đề hấp dẫn, lý thú, thu hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Với mong muốn tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen cũng nhƣ mở rộng hiểu biết về những ứng dụng của phƣơng pháp này. Đồng thời, bƣớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề tài :“ Tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen“ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đ ch nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của khóa luận là: Tìm hiểu hƣơng pháp thống kê momen và ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu và tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen. - Áp dụng các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp thống kê momen để ứng dụng trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu. - Đọc và tra cứu tài liệu. 2
CHƢƠNG 1 PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 1.1. Momen và hàm tƣơng quan Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q1, q2, , qn tuân theo quy luật thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố ω(q1, q2, , qn). Hàm này thỏa mãn điều kiện chuẩn. Trong lí thuyết xác suất momen cấp m đƣợc định nghĩa nhƣ sau: mm q 11  1q 2 q ,q n , ,q 1 dq n dq (1.1) q1 ,q 2 , ,q n Momen này còn gọi là momen gốc. Ngoài ra còn có định nghĩa momen trung tâm cấp m: mm q1 q 1 q 1 q 1  q 1 ,q 2 , ,q n dq 1 dq n (1.2) q1 ,q 2 , ,q n Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê chính là momen cấp một và 2 phƣơng sai qq11 chính là momen trung tâm cấp hai. Từ các định nghĩa trên ta thấy rằng, về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố ω(q1, q2, , qn) hoàn toàn có thể xác định đƣợc các momen. Trong vật lí thống kê cũng có định nghĩa tƣơng tự. Riêng đối với hệ lƣợng tử đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê ˆ , các momen xác định nhƣ sau: qˆmm Tr q ˆ ˆ (1.3) mm qˆ q ˆ Tr q ˆ q ˆ ˆ  Toán tử ˆ tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử.  ˆ i H,ˆ ˆ t trong đó [ , ] là dấu ngoặc poisson lƣợng tử. 3
Nhƣ vậy, nếu biết toán tử thống kê ˆ thì có thể tìm đƣợc momen. Tuy nhiên việc tính các momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ cân bằng nhiệt động, dạng của ˆ thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, chính tắc lớn, ) nhƣng việc tìm các momen cũng rất phức tạp. Giữa các momen có mối quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu diễn qua momen cấp thấp hơn. Các hệ thức liên hệ giữa các momen đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến. Việc chứng minh tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các momen sẽ đƣợc xây dựng trong phần này. Xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hƣớng tọa độ suy rộng Qi. Nhƣ vậy Hamiltonian của hệ có dạng: ˆˆ ˆ H Ha0i Q i (1.4) i ˆ với H0 là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. Dƣới tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ chuyển sang trạng thái cân bằng nhiệt động mới, đƣợc mô tả phân bố chính tắc:  Hˆ ˆ exp ; kB T (1.5)  trong đó ψ là năng lƣợng tự do của hệ, kB là hằng số Boltzmann. 1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng lượng tự do Thực hiện đạo hàm theo ngoại lực aK đối với điều kiện chuẩn của toán tử thống kê. Tr ˆ 1 (1.6) Sử dụng các công thức toán tử: 4
Aˆ  n1  b[cˆˆ  b ˆ c  b ˆ ˆ c ˆ  ˆ b,b ˆ A ˆ    n1 n 1 ! (1.7) ˆ   n1 A ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ A    b[c   b c  b ˆ c  ˆ b,b ˆ  n 1 ! n1 trong đó: Aexpˆ  c bˆˆ ; c,b ˆˆlà các toán tử tùy ý, λ và τ là các thông số.  Đạo hàm theo aK biểu thức (1.6), ta đƣợc:   ˆ Tr ˆ 0 Tr aaKK  Hˆ  Hˆ a Qˆ 0 K K Tr e Tr e aaKK  Hˆ  Hˆ  e  (1.8) Tr  e .e  e  aaKK  ˆ ˆ  H0 a K Q K  Hˆ  1   K Tr  .e e  e   aaKK   1 ˆ ˆ ˆ Đặt  , H0K c,ˆ  a và bQ K . Áp dụng công thức đạo hàm theo  K thông số của toán tử (1.7) cho số hạng thứ 2 trong (1.8) ta đƣợc: 5
1 n1 ˆ  H  11  ˆˆ  ˆˆ 0Tr .e e Q[H K0  K aQ[H K 0  anK 1 ! n 1K Hˆ  ˆˆ ˆ ˆ  aK Q K [ [ H 0 a K Q K ,Q K ] ] e  KK  ˆˆ ˆˆ Chú ý rằng: H,QQ KK ,H , do đó ta có: n 1  1 11 ˆˆ  ˆˆ 0 Tr  , ˆˆ Qkk Q H H   ank n 1 1 (1.9)  n 1  1 i 1 1 ˆˆˆ ˆˆ ()n Tr Tr  QQkk   ank  n 1   ( 1)! ˆ n 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ trong đó: QK  [QKKK [Q [Q ,H] ]H] (1.10) i n n 11 Tr  QQˆˆ ˆ KKa Vì:  ˆˆ nn Tr QKK ˆ Q a và Tr1 ˆ nên (1.9) đƣợc viết lại dƣới dạng:  n 1 1 ˆˆ 1 i n QK  QK 0 (1.11)  a a n 1 !  a K n1 ˆ ˆ  H0  a K Q K K trong đó a biểu thị trung bình theo ˆ exp  .   6
ˆ ˆ ˆ n Đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có H,0 và do đó Q0K . Nhƣ vậy ta thu đƣợc hệ thức:  Qˆ (1.12) K a aK Công thức (1.12) cho phép tính năng lƣợng tự do của hệ lƣợng tử khi có ngoại lực tác dụng. 1.1.2. Hàm tương quan giữa đại lượng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q Để xác định hàm tƣơng quan giữa một đại lƣợng tùy ý F và tọa độ suy rộng Q, trƣớc hết ta lấy đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của F theo ngoại lực aK:  Fˆˆ TrFˆ a aaKK Fˆ   ˆ Tr ˆ  Tr Fˆ  (1.13) aaKK  ˆ ˆ  H0  a K Q K Fˆ Tr  Fˆ exp K aa   KKa  Đạo hàm toán tử ˆ theo aK bằng: n  ˆ 1  1ˆˆ 1 i n ˆ QQK ˆˆ  K aKK   an 1 !  n1  nên ta có:  ˆ 1  1 1 1 i n ˆˆˆ ˆ n ˆ (1.14) Tr Tr Tr QK  Tr QK aKK   a  n1 n 1 !  Thế (1.14) vào (1.13) ta đƣợc: 7
 F1ˆ FTrˆˆˆ F Tr FQ ˆˆ ˆ a K aaaKKK   a n 1i n  ˆ ˆ ˆ  Tr FQK  n1 n  1 !   Mặt khác, từ (1.12) ta có: Qˆ nên K a aK  Fˆ ˆ a F 11 ˆˆˆˆ F QFQKK aa   a aa KKa (1.15) n 1 1 i ˆ ˆ n  FQK n 1 !  a n1 Kết quả này cho phép xác định hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ suy rộng Q dƣới dạng: ˆ  F Fˆ FQˆˆˆˆ F Q  a KKaaa aaKK a (1.16) n 1i ˆ ˆ n  FQK n  1 ! a n1 ˆ ˆ Xét trƣờng hợp FQ 1 , thay vào (1.16) ta đƣợc: ˆ  Q1 Qˆ QQQQˆ ˆ ˆ ˆ  a 1 1 Ka 1 a K a aaKK a (1.17) n 1i ˆˆ n  QQ1 K n1 n  1 ! a Cho k = 1, từ phƣơng trình (1.16) ta có: 8
 Fˆ ˆ ˆˆˆˆ a F FQ11 F  Q aaa aa11 a (1.18) n 1i ˆ ˆ n  FQ1 n  1 ! a n1 ˆ ˆ Trong phƣơng trình (1.18), thay FQ K thu đƣợc: ˆ  QK ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a QK QQQQK 1  K 1 a a a aa11 a (1.19) n 1i ˆˆ n  QQK 1 n1 n  1 ! a Cộng vế với vế các phƣơng trình (1.17) và (1.19) ta đƣợc: QQˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1Kaa Q1 Q K Q K Q 1 2 Q K Q 1  a a a a aaK1 ˆˆ n Q1K Q 1 i ˆ ˆ nn ˆ ˆ  QQQQ1KK 1 a  a n 1 !  aa K1aa n1 QQˆˆ  Chú ý rằng: K1 0 và Qˆ aa K a a 1Kaa K suy ra: 22     2 Qˆ Q ˆ Q ˆ Q ˆ Q ˆ Q ˆ 1a K a 1 K a K 1 a aK  a 1  a 1  a K n 1i nn QQQQˆ ˆ ˆ ˆ  1KK 1  n1 n  1 ! aa Từ đó ta có: 9
n 2 1 1 i ˆ ˆ nn ˆ ˆ ˆ ˆ   QQQQQQ1K K1  1 K  aa 2n1 n 1 !a  a  aa K1 (1.20) (1.20) chính là kết quả thu đƣợc bởi Cramononvich bằng phƣơng pháp thông số trật tự của Feymann. Trong công thức (1.18) toán tử Fˆ là tùy ý, do đó có thể thay thế bởi toán dFˆ tử Fˆ : dt ˆ  F ˆ ˆˆˆˆ a F FQKK F Q  a aa aaKK a (1.21) n 1i ˆ ˆ n  FQK n1 n  1 ! a Ta có đối với hệ cân bằng nhiệt động F0ˆ n , trong đó: a 1 F[F [F,H] ]H]ˆˆ n ˆ ˆ ˆ i n n (1.22) 1 Thực vậy, với n = 1, ta có: Fˆ Fˆˆ 1 ˆ F,H 0 i suy ra F0ˆ . Vậy ta có: a ˆ n ˆˆˆˆF 1 i n FQK   FQK aaaK n1 n 1 !  a (1.23) Áp dụng tính chất không phụ thuộc thời gian của trung bình đạo hàm theo thời gian, ta đƣợc: 10
d ˆˆˆˆˆ nnn 1 ˆ FQFQFQ0KKK dt aaa ˆ ˆˆ nn 1 ˆ suy ra: FQFQKK (1.24) a a Đặt n = 0 vào (1.24) ta có: ˆ ˆˆˆˆ 1 ˆ FQFQFQKK K (1.25) a a a Kết hợp (1.23), (1.24) và (1.25) ta đƣợc: ˆ n ˆˆˆˆˆ ˆ F 1 i n1 FQKK FQFQ   K aaa  aK n1 n 1 ! a Tƣơng tự ta có: ˆˆ 22 ˆˆˆ ˆ F QFQFQKKK (1.26) aaa Thực vậy, vì: d ˆˆˆˆˆ 2 ˆ FQKKK F Q FQ 0 dt a a a ˆ ˆ ˆˆˆˆ 2 2 Áp dụng (1.24), suy ra: FQKK FQK F Q a a a Thay Fˆ bởi FFˆ ˆ 2 vào (1.23) ta đƣợc: ˆ 2 n ˆˆ 22 ˆˆF 1 i n F QFK Q   K (1.27) a an1 n 1 !  a K a Kết hợp (1.24), (1.26) và (1.27) ta đƣợc: ˆ 2 n ˆˆ2 ˆ 2 ˆF 1 i ˆ ˆ n2 FQKK F Q   FQK a a an1 n 1 !  a K a Tƣơng tự trên, trƣờng hợp tổng quát ta có hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng ˆ ˆ n F và QK : 11
ˆ n n ˆˆˆˆ nn n n1 F1 i FQKK 1FQ   aa an 1  ! n1 K a (1.28) Nhờ phƣơng trình (1.28) ta viết lại phƣơng trình (1.16) nhƣ sau: ˆ n n  F ˆˆ 1 n ˆˆˆˆ a Fi F FQKK F Q   aaa  a  a n1  n 1 ! a K KK a a nn nn nn 1 iFˆ   n 1n 1 n 1 ! n 1 !a   K a n n n n n n n n n 1 iFˆ     (1.29) n 1n 1n 1 n 1 ! n 1 ! n 1 !a   K a Nếu cộng các số hạng cùng bậc của (1.29) ta đƣợc: ˆ  F Fˆ FQˆˆˆˆ F Q  a KKaaa aa KKa m m m 1 iFˆ  Bm m1 m!  a K a  Fˆ m m m B i Fˆ Fˆ Qˆ a  1 m 1.30 a K a  am1 m!   a KKa Tƣơng tự ta có:  Fˆ m m ˆ m ˆˆˆˆa 1 iF QK F Q K F   B m 1.31 aaa  am1 m!   a KKa Cộng các phƣơng trình (1.30) và (1.31) vế với vế ta đƣợc: 12
 Fˆ 2m ˆ 2m 1Bˆˆˆˆ i F a 2m  F,QKK F Q1.32   a a  2aa 2m ! a m0  KKa trong đó B2m là hệ số Becnulli. Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ Fˆ 2m QK. Muốn vậy cần phải biết các đại lƣợng Fˆ và . Đại lƣợng a a K a có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đƣợc xác định từ các phƣơng trình động lực. ˆ ˆ Trƣờng hợp đặc biệt FQ K ta có biểu thức xác định chính xác đối với phƣơng sai: ˆ 2m 2m 2  QK ˆ ˆˆ a B2m i Q K QQKK   (1.33) a  am0 2m !   a KKa Chú ý rằng QK không phụ thuộc rõ ràng vào aK, nên đối với hệ cổ điển công thức (1.33) trở nên đơn giản: 2  Qˆ ˆˆ K a QQKK  a aK (1.34) ˆ ˆ Trƣờng hợp đặc biệt FQ K ta thu đƣợc hệ thức cho phép xác định thăng giáng của xung lƣợng: 2m ˆ 2m 1 ˆ 2 B2m i Q K QK  (1.34a) a m0 2m !  a K a ˆ ˆ Ngoài ra, từ (1.32) có thể xác định hàm tƣơng quan giữa F và QK đối với ˆ hệ có Hamiltonian H0 : 13
 Fˆ 1 ˆˆˆˆ a F,QKK F Q  2a  K a0 (1.35) 2m ˆ 2m B2m i F  m0 2m !a  K a0 Trong đó biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonan ˆ H0 . 1.2. Công thức tổng quát về momen 1.2.1. Công thức tổng quát về momen (1.32) đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với momen tƣơng quan cấp cao. Muốn vậy, ta đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp n: ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ Kn [ [Q 1 ,Q 2 ] Q 3 ] Q n ] (1.36) 2n1 n1 ˆ ˆ Ví dụ toán tử tƣơng quan cấp 1 chính là tọa độ suy rộng FQ11 . Toán tử tƣơng quan cấp 2 có dạng: 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FQ,QQQQQ2 1 2 1 2 2 1 (1.37) 22 Tƣơng tự ta có: ˆ 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FQ,QQQQQQ,Q2 1 2 3 1 2 2 1 3 44 1 Qˆˆˆ Q Q Q ˆˆˆ Q Q Q ˆˆˆ Q Q Q ˆˆˆ Q Q (1.38) 4 123 213 312 321 ˆˆ Thay FK n trong (1.32) ta thu đƣợc: 14
 Kˆ 2m ˆ 2m 1Bˆˆ iˆˆ K n a 2m  n Kn ,Q K K n Q1.39 K   a a  2a 2ma ! a m0  KKa 11ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Lƣu ý rằng K,QKQQKKn K n K K n n 1 và thay k = 22 a a a n + 1 vào phƣơng trình (1.39) ta đƣợc công thức truy chứng:  Kˆ 2m ˆ 2m ˆˆˆ n a B2m i K n Kn 1 K  n Q(1.40) n 1  aaa  a m0 2m ! a n 1n 1 a Công thức này là công thức tổng quát của momen cho phép xác định các momen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định momen cấp cao qua momen cấp thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua momen cấp 1. Nhƣng biểu thức thu đƣợc khá phức tạp. Đối với các hệ cụ thể, nó có thể có dạng đơn giản hơn. 1.2.2. Các ví dụ về momen tương quan bậc cao Thay n = 1 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 2: ˆ 2m 2m  K1 B i Kˆ KKQˆˆ ˆ a  2m 1 2aa 1 2 a  a22m0 2m !   a a ˆ 2m 2m 1 Q1 B i Qˆ Q,QQQˆ ˆ ˆ ˆ a  2m 1 1 2 1aa 2  2 am0 2m !   a 22a hay: ˆ 1  Q1 QQQQQQˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a 1 2a 2 1 a 1 a 2 a 2a 2 2m ˆ 2m B2m i Q 1  1.41 m0 2m !  a 2 a Thay n = 2 vào (1.40) ta đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 3: 15
ˆ 1  Q2 Q,QQQQQPQˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a 1 2 3 1a 2 a 3 a 123 1 a 4a a  3 2  Qˆ 2m ˆˆ 2m 2m 2 1 B i  Q   Q a 2m Qˆ 1  1  3 a a  am0 2m !   a  a  a 2 3  2aa 3 2 2m 2n 2m 2n B B i  Qˆ 2 1 2m 2n 1  m,n 0 0 2m ! 2n !   a32  a a 2m   Qˆ 2m 2 1.42  aa31 a  ˆ trong đó P123 là toán tử hoán vị vòng chỉ số. Biểu thức (1.42) có thể viết dƣới dạng gọn hơn: 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q,QQQQQ1 2 3 1 2 3 a a a 4 a QQˆˆ2 ˆ ˆ 21aa2  PQ123  1 các số hạng có a a3  a 2  a 3 (1.43) Tƣơng tự, thay n = 3 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 4: 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q,QQQQQQQ1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a 8 a ˆ ˆ2 ˆ QQQ1  3  1 ˆ ˆ ˆa ˆ ˆ a ˆ a PQQQQQ1234 2 3 1 2  2 a aa a a  a a  a  a 4 4 3 4 QQQQˆ  ˆ 23 ˆ  ˆ 1 3 23 2 1 a a Qˆ a  a 1 a a2  a 4  a 3  a 4  a 2  a 3  a 4  + các số hạng có chứa (1.44) 16
Biểu thức cho momen bậc cao hơn có dạng phức tạp hơn. Từ kết quả nhận đƣợc ta thấy rằng hoàn toàn có thể xác định các momen của hệ nếu biết m ˆˆ nn ˆ QQKK ˆ QK ,,, Các đại lƣợng Q có thể tìm a K a aaii  a i a a Qˆ n đƣợc từ điều kiện cân bằng của hệ, còn K đƣợc tìm từ phƣơng trình ai a động lực học. Trƣờng hợp cổ điển các công thức trên nhận đƣợc dạng khép kín. Thực vậy, đối với hệ cổ điển hệ thức xác định momen tƣơng quan cấp cao có dạng: ˆ  Kn KKˆˆ Q  ˆ a (1.45) n 1naa n 1 a an1 Điều đó có nghĩa là từ điều kiện cân bằng tìm đƣợc đại lƣợng và do đó có thể tìm đƣợc tất cả các momen tƣơng quan. Ta có thể viết (1.45) dƣới dạng: ˆ 1 ˆ 21 ˆ 2 nnˆ ˆ ˆ Q1 Q 21 Q 2 nn L L L .1 (1.46) a  trong đó toán tử LQˆ ˆ  thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: iia ai Lˆˆ ,L 0,i,k 1,2, ,n ik Trƣờng hợp thông thƣờng biểu thức (1.46) có dạng: n1  Qˆnn Lˆ .1 Q ˆ  Q ˆ (1.47) a aa ai Đối với hệ cổ điển, nếu đƣa vào định nghĩa momen trung tâm bậc n: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ K1 n Q 1 Q 1 Q n Q n (1.48) aa a 17
thì ta nhận đƣợc công thức khép kín: ˆ ˆ  Q1 K ˆ ˆˆ a 1 n 1 K1 n  PK1  n 12  n 1 (1.49) aann  ˆ trong đó P1 n 1 là toán tử hoán vị vòng chỉ số. Công thức (1.49) có thể dễ dàng đƣợc chứng minh bằng cách lấy đạo hàm theo an biểu thức đối với ˆ K1 n 1 . Biểu thức của momen trung tâm có dạng:  Qˆ ˆ 1 a K12  a2 2 Qˆ ˆ 2 1 a K123  (1.50) aa23 2 QQQˆ  ˆ ˆ ˆˆ321a 1 a 3 a KP1234123   a2  a 3  a 4  a 2  a 4 Từ (1.49) dễ nhận thấy đối với hệ cổ điển tuyến tính, các momen trung tâm bậc lẻ bằng không, còn các momen bậc chẵn khác không. QQˆˆ ˆn ˆ ˆ ˆ 1aa 2n 1 K1 2n  P 23 2n P 45 2n P 2n 2,2n 1, 2n (1.51) aa2 2n Cũng có thể viết công thức này dƣới dạng: ˆˆ ˆ KK1 2n K  12 2n 1,2n (1.52) P, trong đó P, π dƣới dấu  có nghĩa rằng tổng đƣợc lấy theo tất cả các sự phân hoạch có thể có của các chỉ số 1, 2, ,2n thành cặp. 1.3. Công thức tổng quát t nh năng lƣợng tự do Trong vật lí thống kê năng lƣợng tự do liên hệ với tổng trạng thái theo biểu thức: 18
 ln Z H (1.53) Z Tr e  Tuy nhiên việc tìm ψ không đơn giản. Đối với các hệ lí tƣởng chỉ có thể tìm dƣới dạng gần đúng biểu thức chính xác của năng lƣợng tự do. Có một số phƣơng pháp khác nhau trong việc xác định năng lƣợng tự do nhƣ phƣơng pháp lí thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân Bogoliubov, phƣơng pháp momen. Ở đây ta sẽ tìm công thức tính tổng quát tính năng lƣợng tự do theo phƣơng pháp momen và áp dụng công thức này vào việc giải bài toán dao tử điều hòa và phi điều hòa lƣợng tử: Giả sử Hamiltonian của hệ lƣợng tử có dạng: ˆˆˆ H HV 0 với α là thông số và Vˆ là toán tử tùy ý. Tƣơng tự nhƣ (1.12) ta dễ dàng thu đƣợc biểu thức:  V (1.54) a  Biểu thức này tƣơng đƣơng với công thức:  0 Vd (1.55) 0 ˆ trong đó ψ0 là năng lƣợng tự do của hệ với Hamiltonian H0 và coi nhƣ đã biết. Bằng cách nào đó tìm đƣợc V a (có thể sử dụng các công thức momen) thì từ (1.55) có thể thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do  . Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì ta tách: ˆ ˆ ˆ HHV 0  i i i 19
ˆˆˆ sao cho HVV0 , 1 12 2 ˆ Giả sử biết năng lƣợng tự do ψ0 ứng với Hamiltonian H0 của hệ, khi đó ˆˆˆ tìm năng lƣợng tự do ψ1 ứng HHV101 1 . Tiếp theo tìm năng lƣợng tự do ˆ ˆ ˆ ψ2 ứng HHV2 1 2 2 , v.v Cuối cùng chúng ta thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do ψ của hệ. Kết luận chƣơng 1 Trong chƣơng 1, em đã trình bày về: - Momen và hàm tƣơng quan. - Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình giữa đại lƣợng bất kì và năng lƣợng tự do. - Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kì và tọa độ suy rộng Q. - Công thức tổng quát về momen. - Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao. - Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do. 20
CHƢƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 2.1. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu t nh chất nhiệt động của tinh thể 2.1.1. Trường hợp mạch thẳng 2.1.1.1. Độ dời của hạt khỏi nút mạng. Để đơn giản, trƣớc hết chúng ta hãy khảo sát một mạch thẳng gồm N hạt, có cấu trúc tuần hoàn. Tƣơng tác chủ yếu trong mạch là tƣơng tác cặp.Khi sử dụng phƣơng pháp quả cầu phối vị [4] thế năng tƣơng tác có thể viết dƣới dạng: N Uu  i0 (| a i i |), 2 i ở đây ai là vị trí cân bằng của hạt thứ i; ui là độ dời của nó; i0 là thế năng tƣơng tác giữa hạt thứ i và hạt thứ 0 (hạt chọn làm gốc). Trong trƣờng hợp các hạt dao động mạnh, ta có thể khai triển thế năng i0 (| a|) i u i theo độ dời ui. Ở phép gần đúng bậc 4 thế năng tƣơng tác giữa hai hạt có dạng: 2 3 4 1  i0 2 1  i 0 3 1  i 0 4 i00 a i u i i a i u i u i u i , 2u2 6  u 3 24  u 4 i eq i eq i eq 23 Theo [3] các số hạng ii00 , v.v có dạng nhƣ sau: uu23 ii eq eq 21
2   i0 22 2  i00 a i  i u i eq 3 i0 3 3 2 (2.1) 3  i00 aa ii 3 i  u i eq 4  i0 4 4 3 2 2 4  i000 aa ii 63 ii , u i eq  trong đó: 1 1   a , ii0a 10 i 11 2 (2)3 aa( ), i023 i 00 i i i aaii  (2.2) 13 3 3 (3)(2) aa (1) ( ), i0aa34 i 00 i a 5 0 i i i ii i 16 15 15 4 (4)(aaaa ) (3) ( ) (2) ( ) (1) ( ), i04567 i 0000 i i i i i i i aaaaiiii  với các kí hiệu (1), (2), (3), (4) trên đầu hàm i0 ()x là đạo hàm các cấp tƣơng ứng. Nhƣ vậy, tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ 0 bằng: 2 3 4 1  i0 1  i 0 23 1  i 0 ui u i u i . 2u2 4   u 3 12   u 4 i i eq i i eq i i eq 1 Chú ý rằng trong biểu thức này tổng lực đã giảm đi vì ta đã tính tới sự 2 tƣơng tác giữa các hạt thứ i. Nếu hạt thứ 0 còn chịu tác dụng thêm lực không đổi phụ a (thƣờng là nhỏ) thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phƣơng trình: 2 3 4 1  i0 1  i 0 23 1  i 0 ui u i u i a 0. 2u2a 4   u 3aa 12   u 4 i i eq i i eq i i eq (2.3) 22
Các momen u2 và u3 có thể đƣợc biểu diễn qua u nhờ các công i a i a i a thức (1.40) và (1.41). Chú ý rằng, do tính chất đối xứng nên độ dời của các hạt ở nút mạng đều bằng nhau và có thể đƣa ra ngoài dấu tổng. Ngoài ra, từ (2.1) và (2.2) dễ dàng nhận thấy đối với mạch thẳng thì: 3 i0 0.  u3 i i eq Nhƣ vậy phƣơng trình (2.3) biến đổi về dạng đơn giản:  d2 y dy  23 3 y  y ky xcthx 1 y a 0 da2 da k 3 1  2 km i0  ,  (2.4) 2  u2 i i eq 4 1  i0    ;;.y  ui x 12 u4 a 2 i i eq  (2.4) là phƣơng trình vi phân tuyến tính, ta tìm nghiệm của nó dƣới dạng gần đúng. Vì ngoại lực a là tùy ý và nhỏ, nên có thể tìm nghiệm dƣới dạng đơn giản: 2 y y0 Aa 1 A 2 a . (2.5) y0 là độ dời tƣơng ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực tác dụng lên mạch. Thay (2.5) vào (2.4) ta có: dy A122 aA da dy2 2A da2 2 3 2 3 3 3 3 3 6 2 2 y ( y012 AaAa ) y 012 Aa Aa 3 y 011202 AaAaAa y Aa 333336 2 22 324 22 24 25 y y01 Aa Aa 2 3( yAayAa 01 02 +A 120 A ya Aya 20 yAa 01 yAAa 012 AAa 12 ) Do đó ta có: 23
22 2A2 3  ( y 0 A 1 a A 2 a ).( A 1 2 aA 2 ) 33336 2 22 324 22 24 25  (3(y01 Aa Aa 2 +A yAayAaA)) 01 02 120 ya Aya 20 yAa 01 yAAa 012 AAa 12 22 k(y0 AaAa 1 20 ) 1 x 2 coth x 10 yAaAa a k 22A 3  y 3  AaAa 2 AaA 2  y 3 3  yAa 2 2 0 1 2 1 2 0 0 1 3336 22 324 22 24 25  Aa1 Aa 2 3( yAa 02 +A 120 A ya Aya 20 yAa 01 yAAa 012 AAa 12 )    kykAa xcoth x 1 y x coth x 1 Aa x coth x 1 Aaa2 0. 0 1k 0 k 1 k 2 22 2 2 2A2 3  yA 0 1 6  yAa 2 3  Aa 1 6  AAa 1 2 3  AaA 2 1 2 aA 2 3 2 3336 22 324 22 y0 3  yAa 01  [A 1 a Aa 2 3(  yAa 02 AAya 120 Aya 20 yAa 01  yAAa3 AAa 2 4 AAa 2 5)] ky kAakAa 2 x coth x 1 y 0121212 012k 0   xcoth x 1 A a x cothx 1 A a2 a 0. kk1 2  [22A 3  y A  y 3 ky 3 x coth x 1 y ] 2 0 1 0 0k 0 22  6yA0 2 3  A 1 3  yAkA 0 1 1 x coth xA 1 1 1 a k 2 2 3 3 6 2 5 6A1 A 2 a 3  A 2 a A 1 2 aA 2  A 1 a A 2 a A 1 A 2 a  kA a22 ( x coth x 1) A a 0. 22k Vì ngoại lực a là tùy ý và nhỏ do đó ta có:   223A 3  y A  y ky ( xcthx 1) y 0, 2 0 1 0 0k 0  (2.6)  6y A 3  A22 3  y A kA ( xcthx 1) A 1 0. 0 2 1 0 1k 1  Hệ này cho phƣơng trình tƣơng đƣơng chứa y0 và A1 : 2 4 3 2  2 2 336y0 k  A 1 (1) xcthx y 0 k  A 1  (1)3 xcthx A 1  A 1 0. kk (2.7) 24
Phƣơng trình này cho phép tìm đƣợc biểu thức đối với y0. Muốn vậy, chú ý rằng trong phép gần đúng chuẩn điều hòa, phƣơng trình (2.4) có dạng đơn giản: ky-a=0, 1 nghĩa là ở phép gần đúng này không khó khăn tìm đƣợc A . 1 k Thay kết quả này vào (2.7) ta có phƣơng trình đối với y0 : 1 311 1 2 3y422 3 kxcthx 6  .1 y  k .1 3 xcthx 00 2 k kk k k k 1 3 1 2  2  2 3y42 3 k 6  . xcthx 3  . y xcthx 3 00 2 k k k k k k 33  22 3 y42 32 k xcthx y xcthx 00 2 kk kk 2 42  2  xcthx 3 y00 3 k 1 22 ( xcthx 1) y 1 0. (2.8) kk 2 k Đối với tinh thể thƣờng y2 , do đó có thể lấy nghiệm của (2.8) dƣới 0  dạng: 2 2 2 xcthx y0 3 1. (2.9) 32k Biểu thức này là độ dời trong phép gần đúng chuẩn điều hòa. Muốn có kết quả tốt hơn, thay (2.9) vào (2.7) và thu đƣợc phƣơng trình đối với A1 : 22 22 4   xcthx 3A11 k  1 24 xcthx 1 1 A kk 2 2 2 xcthx 2 2  2 xcthx 4  3  3 xcthx  1 2 1 4 xcthx 1 1 6 1 0 k 2 k 2 3 k 2 (2.10) Phƣơng trình này cho nghiệm gần đúng: 25
12 22 xcthx Axcthx1 11( 4 1) . (2.11) kk 2 lại thay kết quả này vào phƣơng trình (2.7), ta thu đƣợc phƣơng trình trùng phƣơng đối với y0. Cuối cùng phƣơng trình đó cho kết quả gần đúng đối với độ dời y0 : 2 2 yA2 , (2.12) 0 3k 3 2  2  3  3  4  4  5  5  6  6 A a a a a a a , 1k4 2 k 6 3 k 8 4 k 10 5 k 12 6 xcthx a 1. 1 2 13 47231 axcthx x cth x x2 cth 2 x 3 3 , 2 3 662 25 121 502 2 16 3 3 1 4 4 a3 xcthx x cth x x cth x x cth x , 3 6 3 3 2 43 93 169 83 22 1 a xcthx x2 cth 2 x x 3 cth 3 x x 4 cth 4 x x 5 cth 5 x, 4 3 2 3 3 3 2 103 749 3632 2 391 3 3 148 4 4 53 5 5 1 6 6 a5 xcthx x cth x x cth x x cth x x cth x x cth x , 3 6 2 3 3 6 2 561 1489 927 733 145 a 65 xcthx x2 cth 2 x x 3 cth 3 x x 4 cth 4 x x 5 cth 5 x 6 2 3 2 3 2 31 1 x6 cth 6 x x 7 cth 7 x. 32 Trong trƣờng hợp cổ điển các số hạng a1, a2, a3, có giá trị đơn giản: 3 33 458 1589 a1 ; a 2 ; a 3 51;a 4 ; a 5 ; a 6 1633. 2 2 3 3 Nhƣ vậy, đối với trƣờng hợp cổ điển biểu thức (2.12) cho kết quả khai 2 8 triển y0 theo nhiệt độ tới bậc T . 2.1.1.2. Năng lượng tự do Trong phép gần đúng tới bậc 4 thế năng tƣơng tác giữa các hạt có dạng: 26
234 N 111  iii000 234 Uauuu i0 iiii 22624 uuu234 i iii eqeqeq Nhƣ vậy đối với mạch thẳng thế năng trung bình bằng: k 24  U U0 N uu , 24  (2.13) N Ua00  ii 2 i  Momen u4 đƣợc biểu diễn qua momen cấp thấp hơn nhờ (1.40). Công thức đầy đủ của nó có dạng khá phức tạp. Nếu chỉ giữ tới các số hạng thuộc tổng đầu tiên, nó có dạng: 232 2 u  u  u  u u4 u 4 6 ua 4  2 u a 3  2 a  3 a aa aa23 a  a  a  a 2m 2m B iu2   2m u .  a m 1 (2ma )!   a (2.14) Bằng con đƣờng tƣơng tự , trong đó yu0  đƣợc thay bằng (2.12), ta tìm đƣợc công thức gần đúng: 2 2 2 3 2 4 2 4 428 a1   2  4   2   u 2 4 a2 4 xcthx 3 a 1 6 a 1 6 a 1 xcthx 1 xcthx 5 . 3k 4 k k 3 k k (2.15) Để tính năng lƣợng tự do của mạch thẳng, sử dụng cách tính nhƣ công thức (1.55). Kết quả tìm đƣợc: N2 xcthx N  2  3 xcthx  Uxcthx00 24 1 1 1 . 6kk 2 4 2 (2.16)  N x ln 1 e 2x , 0 với  0 có ý nghĩa của năng lƣợng tự do đối với N dao tử điều hòa. Entropy của mạch thẳng có dạng: 27
Fx xcthxx  x  cthx11 2 3 2 22 3 22 S kBB S0 Nkxcthx 2 13 x cth 3, x 2 42 2    3k 4 sinh x 4 4 kx x 2 2 sinh sinh (2.17) trong đó S0 là entropy của N dao tử điều hòa. Biểu thức (2.17) chứng tỏ S > S0, nghĩa là khi tính tới hiệu ứng phi tuyến entropy tăng, độ bền vững của mạch giảm. Từ biểu thức: E = F +TS, ta tìm đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng của mạch:   1 1x2  2  2 3 3 x 2 x 3 cthx E E0 N 2 2 4 2 xcthx 2 2 (2.18) 3k 2 4 sinh x 4 k 2 2 sinh x sinh x Tƣơng tự, có thể xác định đƣợc các đại lƣợng nhiệt động khác nhờ có biểu thức (2.16) của năng lƣợng tự do. 28
2.1.2. Trường hợp lập phương tâm diện và lập phương tâm khối 2.1.2.1. Độ dời của hạt khỏi nút mạng Biểu thức khai triển của thế năng tƣơng tác trong trƣờng hợp tinh thể 3 chiều có dạng phức tạp: 23 11 ii00 i00(a i u i ) i ( au ieqiieqiii ) uu u ( u )(    ) 26 ,,  , u  i  uu ii   u i   u i  4 1  i0  ()equ i u i  u i  u i  24 ,,,    ui  u i   u i   u i  2 Dạng của i0 v.v đƣợc xác định nhƣ trong [3]: uu ii eq 2  i0 2 00 i00 aa i , i   i uu ii eq 3  i0 32 0 i00 a i a i  a i  0, i a i    a i    a i   u  u  u i i  i  eq 4  i0 4 0 i0 a i a i  a i  a i  u  u  u  u i i  i  i  eq 3 0 iii0 aa   aa ii   aa ii   aa ii    aa ii    aa ii    2 0, i0             2 Trong đó các lƣợng 0 i0 , 0 i0 , v.v vẫn có dạng nhƣ (2.2) Do tính chất đối xứng nên đối với tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối các số hạng sau đây đều bằng 0. 23 ii00 0; 0,  iiu  u  u   i i  eq i i  i  eq 44 ii00 0; 0.  32 iiu  u  u  u  u i i  eq i i  i  eq ()   29
Khi tính tới tính chất này thì điều kiện cân bằng đối với hạt thứ 0: 11 23 ii00 u .  i a 24ii .  u  uu  u  u i ii  eqeq i  i  1 4 uu i0 . ii a  12 i,,,   u  u  u  u i i  i  i  eq u u u a 0 (2.20) i i  i a  cho phƣơng trình có dạng nhƣ (4.4) nhƣng các thông số k,  bằng: 1 2  k i0  2 2 ui eq  (2.21a) 1 44  ii006;  42 2 12 i uu  u ii eqeq i    x,,. y z Nhƣ vậy, đối với tinh thể lập phƣơng tâm diệnvà lập phƣơng tâm khối độ dời của các hạt khỏi nút mạng vẫn có dạng của biểu thức (2.12). Biểu thức này cho biết sự thay đổi của độ dời theo nhiệt độ. Do đó khoảng cách gần nhất giữa hai hạt đƣợc xác định bởi a = a0 + y0 , 0 trong đó a0 là khoảng cách ở 0 K. Nói cách khác, từ biểu thức (2.12) hoàn toàn có thể xác định đƣợc khoảng cách a ở các nhiệt độ khác nhau. 2.1.2.2. Năng lượng tự do Khác với trƣờng hợp mạch thẳng, trong trƣờng hợp tinh thể 3 chiều thế năng tƣơng tác trong bình của tinh thể lập phƣơng tâm diện hoặc lập phƣơng tâm khối đƣợc xác định bởi biểu thức ; k 2 4 2 2 U U0 3, N u  1 u 2 u 2 1 4 6 4  io ;  i0 (2.21b ) 1  4 2  22 48 i u 48 i uu i eq ii eq 30
Nhƣ vậy, nhờ các công thức momen (1.40) và (2.14) đối với u2 và u4 ta hoàn toàn xác định đƣợc u . Từ cách viết biểu thức (1.55) có thể tìm năng lƣợng tự do thông qua các biểu thức đối với momen. Thực vậy, năng lƣợng tự do của tinh thể có thể tính nhƣ ở mục 2.1.1.2 phần 2.1.1. Theo phƣơng pháp này ta phải tính các tích phân:  2 1 2 2 4 ud 2 và ud1. 1 0 0 0 Khi thay các công thức của momen u2 , u4 vào và tiến hành tính các tích phân, ta thu đƣợc biểu thức gần dung của năng lƣợng tự do đối với tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối.  4 xcthx  2 xcthx 1 23 2  2 xcthx 2 32 22 1  U0  0 3 N 24  2 x cth x 1, kk 32 2 xcthx 2 1 2  1  2 . 1 1 xcthx  2  3N x ln 1 e2x (2.22) 0 Kết quả (2.22) cho phép tìm năng lƣợng tự do ở nhiệt độ T nếu biết giá trị của các thông số k,  1 ,  2 ở nhiệt độ T0 ( chẳng hạn T0 =0K). Nếu nhiệt độ T0 không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động của hạt xung quanh vị trí cân bằng mới ( tƣơng ứng với T0) là điều hòa. Nhƣ vậy, năng lƣợng tự do của tinh thể có dạng nhƣ năng lƣợng tự do của hệ N dao tử điều hòa, nghĩa là: u  3N 0 x ln 1 e 2x , 6 ua00  ii . (2.23) i Khi sử dụng biểu thức này cần chú ý rằng các thông số k,  và đại lƣợng u0 phụ thuộc vào nhiệt độ. 31
2.1.2.3. Các đại lượng nhiệt động Hệ số dãn nở và hệ số nén Theo định nghĩa hệ số nén đẳng nhiệt đƣợc xác định bởi biểu thức: 1 V T , VP 0 T (2.24) 0 trong đó V0 là thể tích của tinh thể ở 0 K. Vì V = NV ( đối với các tinh thể nguyên tử), do đó suy ra: 3 a 3 T . (2.25) a0 P a a T Áp suất P đƣợc biểu thị qua năng lƣợng tự do dƣới dạng:  a P , (2.26) VV TT a 3 Do đó từ (2.24) dễ dàng tìm đƣợc kết quả: 3 a 3 a  0 , (2.27) T a22   2.P 2 3Va  T 2 Trong trƣờng hợp thể lập phƣơng tâm diện có thể tích va 3 thì: 2 3 a 3 a  0 , (2.28) T 21 2 2P 2 a3 N  a T 4a3 Còn trong trƣờng hợp thể lập phƣơng tâm khối có thể tích v thì: 33 3 a 3 a  0 . (2.29) T 31 2 2P 2 a4 N  a T 32
2 Biểu thức đối với 2 có thể đƣợc xác định từ (2.23): a T 2 2 22 2  11 u0 xcthx  k  k x 2 3.N  2  2 2 xcthx 2 a6  a 2 k  a 4 k  a sinh x T  (2.30) Nếu chọn T0 = T để tính các thông số thì biểu thức trên có dạng đơn giản hơn: 2 22 2  11 u0 kk 3.N  (2.31) aa222 k6 a k 42 a T  TTT Hằng số mạng aT đƣợc xác định nhờ biểu thức a = a0 + y0,trong đó độ dời y0 xác định bởi (2.12), nên các thông số k, ,, 12  ở nhiệt độ T hoàn toàn có thể tìm đƣợc. Vì vậy khi sử dụng (2.27) ta sẽ tìm đƣợc các giá trị của hệ số nén đẳng nhiệt T . Hệ số dãn nở dài đƣợc định nghĩa nhƣ sau: k da B , (2.32) ad0  nghĩa là có thể viết: 2 kkdy dy 0 BB0 .(*) a0 d2 y 0 a 0 d Khi sử dụng(2.12), tìm đƣợc kết quả: y0  A' dA 1 ;A '  . (2.33) a0 T 2 A d Biểu thức này cho phép xác định khi biết y0 . Nếu thay (2.12) vào (2.30) ta thu đƣợc một hàm phức tạp. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp giới hạn cổ điển biểu thức (2.33) dẫn tới kết quả là hàm khai triển của nhiệt độ. Sử dụng hệ thức này và (2.32) ta tìm đƣợc nhƣ sau: 2 2 dy0 2d (  A ) 2 2 2   A ' 3. 3 2AA ' 3 1 d3 k d 3 k 3 k 2 A 33
Thay vào biểu thức (*) ta có: kyB 0 2' A  23. .2A 1 . 2y00 a 3 k 2 A kyB 0 2' A  2 .3 .2A 1 . 2 A 32kA 2. a 3k 3 0 y0  A' 1 . . a0 T 2 A Chú ý rằng trong nhiệt động học có hệ thức: aP  1.  Pa PaT  a 1 ( )   P P . Pa VT Mặt khác: 1 V T VP 0 T 3 11  ka  a 2 T 333ka ka00  P ka P T T 3 a 3 T . a0 P a a T 3 Pa 3 . aT a0 aT Thay vào ( )ta đƣợc: a 1 3 ( )  P  a 3 PV a0 aT Thay ( ) vào (*) ta có: 34
3 kkBBdaP a T  a0  . . a00 d aa 3  V 2 kBT a0 P .(*’) 3 a  V Biểu thức này có thể viết dƣới dạng khác nếu sử dụng (2.26):    a Vì P . VV TT3 a  Pa  2  V 3Va Vậy (*’) có dạng: 2 2 kBT a0 a   . (2.34) 33 a V a Kết quả này cho thấy có thể tính đƣợc nếu biết T và ngƣợc lại. Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể Khi áp dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz và biểu thức đối với năng lƣợng tự do (2.22), chúng ta tìm đƣợc biểu thức của năng lƣợng mạng tinh thể: 22 3 3Nx 22 x cthx1 E U0 E 0  22 x cth x 22 kx22 x 2 3 sinh sinh , (2.35) Trong đó E0 là năng lƣợng của N dao động điều hòa: E0 3. N xcthx Nhƣ vậy, nhiệt dung riêng đẳng tích của mạng đƣợc xác định bởi biểu thức: 2 3 4 4 2 x2 11 x cthx2 x x cth x CvB 3 Nk 2 2 222 2 4 2 2  sinhx k 3 sinh x 3 sinh x sinh x (2.36) Trong trƣờng hợp cổ điển các biểu thức trên cho: 35
 EUN 3 1  () 01 2 k 2 (2.37) 2 CvB 3 Nk 1 ()12 k 2 Kết quả này có thể còn chính xác hơn nếu trong biểu thức đối với năng lƣợng E lấy thêm các số hạng gần đúng tiếp theo.Và nhƣ vậy, biểu thức đối 2 với Cv trong trƣờng hợp cổ điển sẽ có thêm các số hạng chứa T . Nhiệt dung riêng đẳng áp đƣợc xác định nhờ áp dụng hệ thức nhiệt động: 9TV 2 CCpv (2.38) T Nhƣ vậy có thể tìm đƣợc hệ số nén đoạn nhiệt S nhờ hệ thức: CV ST . (2.39) CP Ngoài ra còn có thể xác định các suất môđun đàn hồi đẳng nhiệt BT và đoạn nhiệt BS : 11 BBTS ,. (2.40) TS Các đại lượng nhiệt động khác Entropy S của mạng theo nhiệt động học bằng: E  S . T Thay các kết quả (2.22) và (2.35) vào biểu thức này ta đƣợc: 23 3NkB 1 x x cthx S S02 2 4 xcthx 2 2 2 , (2.41) k 3 sinh x sinh x ở đây S0 là entropy của N dao tử điều hòa: S0 3 NkB  xcthx ln(2sinh x ) . Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp mạch thẳng, trong trƣờng hợp 3 chiều thông thƣờng S > S0. 36
Trong trƣờng hợp tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối, với mô hình nhƣ đã đƣợc xét ở trên, có thể dễ dàng xác định hằng số Gruneisen. Thực vậy, theo giả thiết của Gruneisen thì:  G i V0 0 . (2.42) i V trong đó  G là hằng số Gruneisen, i là tần số dao động khi thể tích của 0 tinh thể bằng V, còn i là tần số khi thể tích của tinh thể bằng V0 . Đối với các tinh thể đang xét, mọi nút đều dao động cùng một tần số, do đó dễ dàng suy ra:  ln 1   0 . (2.43) G a 3 ln 0 a Ngoài ra cũng có thể xác định hằng số Gruneisen  G từ phƣơng trình Gruneisen[1]: 3 V  G . (2.44) TVC 2.2. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu t nh chất đàn hồi của tinh thể. 2.2.1. Các khái niệm cơ bản Dƣới tác dụng của ngoại lực, vật rắn bị biến dạng, nghĩa là thay đổi hình dạng và kích thƣớc. Trong lí thuyết biến dạng, vật rắn đƣợc khảo sát nhƣ một môi trƣờng liên tục. Vị trí của mỗi điểm trong vật rắn đƣợc đặc trƣng bằng bán kính véc tơ r (x1, x2, x3), với x1, x2, x3 là các thành phần vô hƣớng của véc tơ trong hệ tọa độ tùy ý. Trong quá trình biến dạng, mỗi điểm( mỗi nguyên tử) trong vật rắn sẽ dịch chuyển từ vị trí xác định bằng véc tơ sang vị trí xác định bằng véc tơ r ' (x’1, x’2, x’3). Sự dịch chuyển của các nguyên 37
tử tạo ra sự biến dạng.Ngƣời ta thƣờng chia biến dạng ra làm hai kiểu: biến dạng đàn hồi và biến dạng phi đàn hồi hay biến dạng phi tuyến. Vật thể dƣới tác dụng của ngoại lực sẽ bị biến dạng , nếu sau khi cất tải(thôi tác dụng), biến dạng bị mất đi và vật thể lại trở về hình dạng và kích thƣớc ban đầu thì biến dạng này gọi là biến dạng đàn hồi. Khi tăng ngoại lực tác dụng (tăng tải) đến một giới hạn đủ lớn, các nguyên tử trong vật rắn chuyển dời sang một vị trí mới xa hơn và ổn định hơn, không trở về vị trí cân bằng cũ khi cất tải.Tổng sự dịch chuyển của các nguyên tử sang vị trí mới tạo nên một độ biến dạng dƣ, hay một sự thay đổi hình dạng và kích thƣớc vật thể, biến dạng này gọi là biến dạng dư hay biến dạng phi tuyến. Trong biến dạng phi tuyến, để tạo nên sự dịch chuyển sang vị trí mới của các nguyên tử mà vẫn không gây nên sự phá hủy các mối liên kết, ta phải đảm bảo điều kiện trong quá trình dịch chuyển của các nguyên tử, khoảng cách giữa các nguyên tử không đƣợc vƣợt quá kích thƣớc vùng lực tác dụng tƣơng hỗ kéo giữa các nguyên tử.( hình 2.1) Lực kéo kéo c ự Lực tổng hợp c l c ự Lực đẩy y l y ẩ c đ c ự l Hình 2.1:Biểu đồ thế năng giữa các nguyên tử, r là khoảng cách giữa các nguyên tử, r0 là khoảng cách giữa các nguyên tử khi ở vị trí cân bằng 38
Sau khi cất tải, các nguyên tử có xu thế chiếm vị trí cân bằng mới, thiết lập lại mối quan hệ và liên kết giữa các nguyên tử. Tuy nhiên biến dạng phi tuyến không làm thay đổi thể tích của vật thể biến dạng. Nhìn chung, khi nghiên cứu về biến dạng phi tuyến và biến dạng dẻo của vật rắn, ta thƣờng gặp hai loại vật thể: vật dẻo lí tƣởng và vật đàn- dẻo. - Nếu ngay từ thời điểm bắt đầu có tác dụng của ngoại lực, vật thể đã không tuân theo quy luật đàn hồi, vật thể đó gọi là vật thể dẻo lí tƣởng.Biểu đồ ứng suất – biến dạng của nó đƣợc chỉ ra trên hình 2.1a - Nếu ở giai đoạn đầu của quá trình đặt tải, vật thể có tính đàn hồi và chỉ từ một giai đoạn nào đó trở đi mới xuất hiện biến dạng phi tuyến thì vật thể đó gọi là vật thể đàn - dẻo. Biểu đồ ứng suất – biến dạng của nó đƣợc cho trên hình 2.2b. Đoạn OA biểu diễn quá trình biến dạng đàn hồi, đoạn OB biểu diễn quá trình biến dạng phi tuyến. B A O O a) b) Hình 2.2: Hai kiểu đƣờng cong ứng suất – biến dạng 39
2.2.2. Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi Đặc điểm của biến dạng đàn hồi là trong phạm vi giới hạn của ngoại lực thì vật rắn trở lại hình dạng và kích thƣớc ban đầu.Khi vật thể chịu biến dạng đàn hồi, độ dịch chuyển của các nguyên tử trong vật có thể mô tả bằng véc tơ dịch chuyển ur 'r với các thành phần uii x i '( x 1,2,3) i (2.45) Ta thấy các thành phần ui của véc tơ dịch chuyển thay đổi từ điểm này sang điểm khác trong vật thể , chúng là những hàm liên tục của tọa độ. Tenxơ biến dạng có dạng: 1 uikl  u l  u  u ik () (2.46) 2 xkii  k x  x  x Rõ ràng tenxơ này là đối xứng ()ikki .Trong trƣờng hợp biến dạng nhỏ, thành phần thứ ba trong (2.46) có thể bỏ qua và lúc đó tenxơ biến dạng có dạng đơn giản hơn: 1 uuik ik (2.47) 2 xxki Ở trạng thái biến dạng, trong vật rắn luôn tồn tại các nội lực có xu thế kéo vật rắn thái cân bằng, ta nói vật thể ở trong trạng thái ứng suất. Nếu cắt vật rắn bằng một mặt cắt bất kì, trên đó tại điểm A lấy ra một mặt cắt bất kì, trên đó tại điểm A lấy ra một phân tố diện tích vô cùng nhỏ A.Giả sử trên xuất hiện nội lực f , ta gọi: f lim  (2.48) A 0 A Là ứng suất toàn phần tại điểm A trên mặt , phƣơng của ứng suất này trùng với phƣơng của nội lực .Nếu phân tích thành hai thành phần vuông góc và song song với thì ta đƣợc: 40
f lim   A 0 A f lim  A 0 A trong đó,   gọi là ứng suất pháp tuyến và  gọi là ứng suất tiếp tuyến trên mặt A. Để đơn giản trong cách kí hiệu, ứng suất pháp tuyến kí hiệu là  , còn ứng suất tiếp tuyến kí hiệu là  . pháp tuyến của Hình 2.3: Nội lực và ứng suất trong vật rắn Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, tenxơ biến dạng ik tƣơng ứng với ứng suất  ik cũng có dạng là tenxơ đối xứng hạng hai. Trong trƣờng hợp tổng quát, năng lƣợng đàn hồi đƣợc viết dƣới dạng: 11 FCC      , (2.49) 22ijkl ij kl ij klmn ij kl mn Ở đây, Cijkl tạo thành tenxơ hạng 4 và đƣợc gọi là môđun đàn hồi bậc 2, còn Cijklmn tạo thành tenxơ hạng 6 đƣợc gọi là môđun đàn hồi bậc 3. Những thành phần bậc cao hơn trong khai triển năng lƣợng đàn hồi theo biến dạng đƣợc bỏ qua vì chúng quá nhỏ. Trong lí thuyết đàn hồi tuyến tính, thành phần thứ hai trong (2.49) cũng đƣợc bỏ qua, khi đó biểu thức năng lƣợng đàn hồi có dạng: 1 FC  (2.50) 2 ijkl ij kl 41
Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo quy luật của định luật Hooke tổng quát F ijij C kl kl (2.51) ij hay: ijij S kl kl (2.52) với Sijkl đƣợc gọi là tenxơ đàn hồi, liên hệ với Cijkl bằng hệ thức 1 CSIijijkl klpq pqip jp  iq  jp   , (2.53) 2 ở đây, Iijpq là tenxơ đơn vị, ik là kí hiệu Croneker. Rõ ràng: Ciklm = Ckilm = Cikml =Clmik , (2.54) và tƣơng tự Siklm= Skilm= Sikml = Slmik , (2.55) Vì vậy, số các thành phần độc lập Ciklm và Siklm giảm xuống, trong trƣờng hợp tổng quát giảm từ 81 xuống còn 21. Ngƣời ta cũng đã chứng minh đƣợc rằng đối với vật thể đàn hồi đẳng hƣớng, số hằng số đàn hồi độc lập chỉ còn là 2. Khi biểu diễn tenxơ môđun đàn hồi và tenxơ hằng số đàn hồi dƣới dạng ma trận, sẽ thu đƣợc dạng ma trận của định luật Hooke tổng quát. Đối với vật rắn đàn hồi đẳng hƣớng, biểu thức năng lƣợng đàn hồi có dạng: 2 KGAC 2 2 3 F GBik  ll  ik  il  kl  ik  ll  ll , (2.56) 2 3 33 ở đây, K là môđun nén khối theo mọi phƣơng, G là môđun trƣợt còn A,B,C là các môđun đàn hồi bậc 3 theo Landau. Trong lí thuyết đàn hồi tuyến tính, khi bỏ qua các thành phần bậc cao, biểu thức năng lƣợng đàn hồi có dạng: 2 1 K 2 FG ik  ik  ll  ll . (2.57) 22 42
Nhƣ vậy, từ (2.8) và (2.15), định luật Hooke tổng quát đƣợc viết lại nhƣ sau: 1  (1   ),  ikikllE ik E  ikikik  ll , (2.58) 11  2 ở đây, E là môđun đàn hồi Young,  là hệ số Poisson đƣợc xác định bằng tỉ số giữa độ co ngang với độ dãn dài của vật thể. dd/   (2.59) ll/  với ddd  . (2.60) Xét biến dạng trƣợt( biến dạng mà tất cả các lớp mặt phẳng của vật rắn bị dịch đi và luôn song song với một mặt phẳng nào đó trƣớc khi bị dịch đi và không bị uốn cong, không thay đổi kích thƣớc) dƣới tác dụng của ứng suất tiếp tuyến  . Góc  là góc trƣợt và đƣợc tính bằng radian, góc này tỉ lệ với ứng suất tiếp tuyến   G. (2.61) với G là môđun trƣợt. 43
d l d0 a, Biến dạng dƣới tác dụng b, Biến dạng trƣợt dƣới tác dụng của ứng suất pháp tuyến . của ứng suất tiếp tuyến . Hình 2.4 Khi nén vật theo mọi hƣớng, sự thay đổi thể tích tƣơng đối của vật VV/ luôn tỉ lệ với ứng suất pháp tuyến tác dụng phân bố đều trên bề mặt vật rắn, nghĩa là V  K. (2.62) V với K là môđun nén khối. Trong thực tế, tất cả các đơn tinh thể là đàn hồi dị hƣớng.Các môđun đàn hồi E, G, K của vật đa tinh thể đều phụ thuộc vào cấu trúc vật liệu, mức kết 44
cấu nên dẫn tới đàn hồi dị hƣớng.Nếu không kể đến kết cấu thì vật đa tinh thể cũng có thể coi là vật thể đàn hồi đẳng hƣớng. Voigh và Reuss [5,6] đã trình bày phƣơng pháp tính môđun đàn hồi của vật đa tinh thể đẳng hƣớng theo các giá trị đặc trƣng đàn hồi của vật đơn tinh thể. Phƣơng pháp này đã đƣa ra đƣợc các giá trị giới hạn của các môđun Kmin, Gmin, Kmax, Gmax, Các giá trị thực cuả các môđun K và G thỏa mãn điều kiện: KKminmax K và GGminmax G , (2.63) Theo Voigh [84] 1 11 KCmax iikk , GCCmax ikik iikk . (2.64) 9 10 3 Trong [5] , Reuss đã đƣa ra các giá trị giới hạn nhƣ sau: 1 1 21 Siikk , hay SSikikiikk . (2.65) Kmin Gmin 53 Trong [12] , R.Hill cho rằng, để xác định môđun đàn hồi của vật đa tinh thể ta có thể sử dụng giá trị trung bình số học ( hoặc trung bình hình học) của các mođun đã đƣợc tính bởi Reuss và Voigh. Trong nhiều trƣờng hợp, các kết quả tính các môđun đàn hồi bằng phƣơng pháp Voigh-Reuss-Hill khá phù hợp với thực nghiệm [11] . Tuy nhiên phƣơng pháp Voigh-Reuss-Hill chƣa tìm đƣợc sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các môđun đàn hồi. Đối với các vật đàn hồi đẳng hƣớng, ta có: S CCCSS 2 , 44 , (2.66) 11 12 44 11 12 2 Khi đó: 1 CCC(3 2 ) E 44 12 44 , (2.67) SCC11 12 44 1 GC 44 , (2.68) S44 45
2 12 KC C 1244 , (2.69) 3 63SS12 44 2SC  1212 . (2.70) 22()S12 SC 4412 C 44 Kết luận chƣơng 2 Trong chƣơng này em đã trình bày về: - Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể. - Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của tinh thể. 46
KẾT LUẬN Với đề tài “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen” của em đã giải quyết đƣợc một số vấn đề sau: - Bƣớc đầu tiếp cận với phƣơng pháp thống kê momen, nắm đƣợc định nghĩa của momen cũng nhƣ cách tính momen bậc cao dựa vào các momen bậc thấp. - Áp dụng đƣợc các kết quả thu đƣợc bởi phƣơng pháp thống kê momen để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể. Qua đề tài này em đã biết thêm về một phƣơng pháp nghiên cứu khoa học mới và đã từng bƣớc áp dụng phƣơng pháp thống kê momen để nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể.Tuy nhiên, do trình độ, kinh nghiệm và thời gian còn nhiều hạn chế nên chắc chắn cuốn luận văn này còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để cuốn luận văn này đƣợc hoàn thiện hơn. 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể_ Vũ Văn Hùng [2] G.Leibfried - Lí thuyết vi mô đối với các tính chất cơ và nhiệt của tinh thể (tiếng Nga)- M- 1963. [3] G.Leibfried, W . Ludwig – Lí thuyết các hiệu ứng phi tuyến trong tinh thể (tiếng Nga) – M – 1963. [4] G.S. Jdannov – Vật lí chất rắn – M -1962 (tiếng Nga). [5] Reuss A. (1928), Berechder Fliesgrenze von Mischkristallen aul Grund der Platistal Sberechnung fur Einkristalle, Z – angen Math Mech, pp.49- 58 [6]Voigt W. (1928), Lehrbuch der Kristall Physik, Springer, Leipzig, s500. [7]Hill R. (1952), Proc. Phys. Soc. A65, pp.349-354. [8 ]V.I.Zubov- Các vấn đề lý thuyết thống kê của tinh thể - M-1975 (tiếng Nga). [9] D.A. Kirjnitz – Phƣơng pháp trƣờng trong lí thuyết nhiều hạt – M – 1963 (tiếng Nga). [10] I.P. Bazarov, P.N.Nicolaev- Lí thuyết tƣơng quan của tinh thể -M-1981 (tiếng Nga). [11] N.M Plakida – Trong sách “Vật lí thống kê và lí thuyết trƣờng lƣợng tử” (tiếng Nga) – M – 1973. [12] Alejandro Stranchan et al. (2004), Mod. Simul. Mater. Sci. Eng., 12, 445. 48