Khóa luận Nhiệt độ suy biến của dao dộng tử điều hòa

Nội dung text: Khóa luận Nhiệt độ suy biến của dao dộng tử điều hòa

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THU HÀ NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO DỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN ThS. ĐỖ THỊ THU THỦY HÀ NỘI, 2018
2. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật lí, trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin cảm ơn cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luận này. Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà
3. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận của em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu tham khảo ). Em xin cam đoan rằng những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng với các đề tài khác. Nếu sai em chịu hoàn toàn trách nhiệm. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 4. Đối tƣợng nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 NỘI DUNG 4 CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4 1.1. Hàm phân bố 4 1.2. Nội năng 9 1.3. Nhiệt độ suy biến 10 CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12 2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử 12 2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử 17 CHƢƠNG3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 26 3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa 26 3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử 27 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36
5. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cùng với sự phát triển của tri thức nhân loại, Vật lí học ngày càng phát triển. Các đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ngày càng mở rộng. Và để nghiên cứu hệ nhiều hạt, ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp của vật lí thống kê. Vật lí thống kê áp dụng các phƣơng pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê. Vật lí thống kê cổ điển chỉ đúng với hệ hạt vĩ mô, do đó để giải thích nhiều tính chất của hệ hạt vi mô mà vật lý thống kê cổ điển chƣa giải thích đƣợc, ta sẽ áp dụng các thống kê lƣợng tử. Mô hình lƣợng tử đƣợc áp dụng rộng rãi trong vật lý hiện đại đó là dao động tử. Nó đƣợc coi là mô hình gần đúng của các phân tử thực, các nguyên tử thực và của các hạt thực khác. Các mô hình đó đƣợc áp dụng cho các hạt tự do cũng nhƣ cho các hạt cấu thành hệ vật lý. Một trong những tính chất đặc trƣng của hệ lƣợng tử này đó là nhiệt độ suy biến. Tính chất này là gì? Và tại sao tính chất này lại đƣợc nghiên cứu trong hệ lƣợng tử? Trong bài viết này em muốn làm sáng tỏ vấn đề đó. Vì vậy, em đã chọn đề tài “NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
6. - Nghiên cứu về dao động tử điều hòa - Nghiên cứu nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa và chất rắn 4. Đối tƣợng nghiên cứu - Tích phân trạng thái của dao động tử - Năng lƣợng trung bình của dao động tử - Nhiệt độ suy biến của dao động tử 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu của vật lý thống kê - Phƣơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán 6. Cấu trúc khóa luận - Đề tài “Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa” có kết cấu gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận. - Phần nội dung đƣợc chia làm 3 chƣơng: CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Hàm phân bố 1.1.1. Phân bố chính tắc lƣợng tử 1.1.2. Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử 1.1.3. Phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử 1.2. Nội năng của hệ 2
7. 1.3. Nhiệt độ suy biến CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử 2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử CHƢƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa 3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử 3.2.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa 3.2.2. Nhiệt độ suy biến của chất rắn 3
8. NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Hàm phân bố 1.1.1. Phân bố chính tắc lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt, hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng :  H (q, p) (q, p) e kT (1.1) trong đó  là năng lƣợng tự do của hệ Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê :  Hˆ ˆ e kT (1.2) ˆ Kí hiệu  n (q) là hệ hàm riêng của toán tử Hamilton H . Ta có : ˆ H n En n ˆ m m suy ra (H )  n (En )  n (1.3) 1 khi n m * ()()q  q dq  và n m nm (1.4) 0 khi n m Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng :   * (q)ˆ (q)dq nn n n (1.5) Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (1.2) dƣới dạng : 4
9. m  kT 1 H ˆ e  (1.6) m 0 m! kT Thay (1.6) vào (1.5), kết hợp với (1.3), (1.4) và phép biến đổi Taylor, ta đƣợc : m  1 H  * ()()q ekT  q dq nn n n m 0 m! kT m  11 ekT * ( q )( Hˆ )m ( q ) dq  nn m 0 m! kT m  1 E ekT n * ( q ) ( q ) dq  nn m 0 m! kT m EE nn kT1 En kT kT kT e e e e m 0 m! kT Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lƣợng tử có dạng :  En kT nn e Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lƣợng tử :  E  n kT kT kT 1 nn (En ) e e e Z n n n E n Đại lƣợng Z e kT đƣợc gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có : n  kT ln Z 5
10. E n Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z  e kT . Do đó nếu n mức năng lƣợng En suy biến bội g(En ) thì tổng thống kê của hệ trở thành : E n kT Z  g(En )e n 1.1.2. Phân bố chính tắc lớn lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt và có số hạt N thay đổi, hàm phân bố chính tắc lớn cổ điển có dạng :  N H (q, p,N ) (q, p, N) e kT (1.7) trong đó  là thế nhiệt động,  là thế hóa học của hạt Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê :  Nˆ Hˆ ˆ e kT (1.8) Vì có thể đo đƣợc đồng thời năng lƣợng và số hạt của hệ nên toán tử Hamilton Hˆ và toán tử số hạt Nˆ giao hoán với nhau. Do đó toán tử Hamilton và toán tử số hạt có chung hệ hàm riêng. Kí hiệu  nN (q) là hệ hàm riêng chung của toán tử Hˆ và . Ta có : Hˆ E  nN nN nN Nˆ N nN nN ˆ N nN N nN 6
11. (Nˆ Hˆ ) (N E ) nN nN n ˆ ˆ m m suy ra (N H)  nN (N EnN )  n (1.9)  * (q) (q)dq   và nN mM nm NM (1.10) Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng :   * (q)ˆ (q)dq (1.11) nN nN nN Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (1.8) dƣới dạng : m  1 Nˆ H ˆ kT  e  (1.12) m 0 m! kT Thay (1.12) vào (1.11), kết hợp với (1.9), (1.10) và phép biến đổi Taylor, ta đƣợc m  1 NHˆ  * ()()q ekT  q dq nN nN nN m 0 m! kT m  11 ekT * ( q )(  Nˆˆ H )m  ( q ) dq  nN nN m 0 m! kT m  1 NE ekT nN * ( q ) ( q ) dq  nN nN m 0 m! kT m  NENE nN  nN kT1 NE nN kT kT kT e e e e m 0 m! kT Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lƣợng tử có dạng :  N EnN kT nN (EnN , N) e 7
12. Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lƣợng tử :  N EnN  kT kT kT 1 nN (EnN , N) e e e Z n,N n,N n,N N EnN Đại lƣợng Z e kT đƣợc gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có : n,N  kT ln Z N EnN Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z e kT . Do đó nếu n,N mức năng lƣợng EnN suy biến bội g(EnN ) thì tổng thống kê của hệ trở thành : N EnN kT Z  g(EnN )e n,N 1.1.3. Phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử Khảo sát hệ các hạt không tƣơng tác. Năng lƣợng của hệ bằng tổng năng lƣợng của các hạt riêng lẻ : E  i . Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái i với năng lƣợng E bằng :  E   i  kT i (1.13) W(E) e exp  Wi kT i  Trong đó Wi là xác suất để một hạt bất kì của hệ ở trong trạng thái với năng lƣợng i :  i kT (1.14) Wi ae Điều kiện chuẩn hóa : 8
13.  i kT 1 Wi ae i i  i kT 1 Đặt Z e , ta đƣợc a . Trong trƣờng hợp mức năng lƣợng  i suy biến i Z bội g( i ) thì  i kT Z  g( i )e i Khi đó (1.14) trở thành :  g( ) i W i e kT i Z Đây chính là phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử. 1.2. Nội năng Mọi hệ nhiệt động đều bao gồm một số rất lớn các hạt. Các hạt này chuyển động và tƣơng tác với nhau. Tổng năng lƣợng của các hạt này là năng lƣợng của hệ. Năng lƣợng toàn phần của hệ bao gồm nội năng và ngoại năng. Nhƣng trong nhiệt động lực học, chúng ta không khảo sát chuyển động của toàn bộ hệ và độ biến thiên thế năng của hệ trong chuyển động đó. Vì vậy, năng lƣợng của hệ trong nhiệt động lực học chính là nội năng của hệ. Nội năng của hệ bao gồm năng lƣợng của tất cả các dạng chuyển động và tƣơng tác của các hạt cấu thành hệ: năng lƣợng của chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử, năng lƣợng tƣơng tác phân tử, năng lƣợng nội nguyên tử của các lớp chứa đầy electron, năng lƣợng nội hạt nhân và các năng lƣợng khác. 9
14. Nội năng U là một thông số nội và, do đó khi có cân bằng nó phụ thuộc vào các thông số ngoại ai và vào nhiệt độ T: U=U (a1,a2, an,T) 1.3. Nhiệt độ suy biến Nhiệt độ suy biến là nhiệt độ mà ở đó, hệ thống các hạt trở thành suy biến (x. Suy biến), nghĩa là trạng thái dao động của các hạt bị phá vỡ hay trạng thái vật chất của hệ bị thay đổi. 10
15. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Ở chƣơng này, em đã tìm hiểu và trình bày về một số khái niệm cơ bản của Vật lí thống kê. Đó là hàm phân bố, nội năng và nhiệt độ suy biến của dao động tử. Trên cơ sở đó, em sẽ tìm hiếu kĩ hơn về dao động tử điều hòa. 11
16. CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử Trong Cơ học cổ điển chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt khối lƣợng m, chịu tác dụng của lực đàn hồi F= -Kx (k là hệ số đàn hồi) đƣợc diễn tả bằng phƣơng trình Newton dx2 m Kx 0 dt 2 và hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó x asin( t ) với pha  , tần số góc K  m và biên độ dao động 2E a m 2 trong đó E là năng lƣợng toàn phần. Vận tốc của hạt nhƣ một hàm của tọa độ là dx x2 va  1 dt a2 12
17. 2 Gọi  là chu kỳ dao động, xác suất dxW()()CD mà hạt vĩ mô nằm trong  khoảng từ x đến x +dx với dx= vdt bằng ()CD dt1 dx dW() x dx  2 a x2 1 a2 Trong Cơ học lƣợng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là 1 V() x Kx2 2 và do đó trạng thái lƣợng tử của hạt với năng lƣợng E đƣợc diễn tả bằng hàm sóng  ()x thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger 22 d 1 2 (2.1) 2 Kx()() x E x 22m dx Đặt 1 mK4 m 22E m E (2.2)  2 , K  và dùng biến không thứ nguyên  x ta viết lại đƣợc phƣơng trình (2.1) dƣới dạng 2 d 2 (2.3) 2  (  ) 0 d 13
18. trong đó      phải hữu hạn tại  0 và giới nội khi  . Vì lời giải tiệm cận của phƣơng trình (2.3) khi  lớn là 2 (  ) exp(  / 2) Nên ta tìm lời giải chính xác dƣới dạng     exp(  2 / 2) (2.4) với  là hàm cần xác định. Thay thế biểu thức (2.4) vào phƣơng trình (2.3), ta thu đƣợc   2   ( 1)   0 (2.5) trong đó d d 2()   ,   2 d d Tìm hàm  dƣới dạng chuỗi    a  , a0 ≠ 0  0 dễ dàng tính đƣợc công thức móc xích cho các hệ số khai triển 21 aa (2.6)  2  21 14
19. Từ phƣơng trình (2.6), ta suy ra 21n do đó, theo các hệ thức (2.2) năng lƣợng E của dao động tử điều hòa chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn 1 E En n  , n=0,1,2, 2 Năng lƣợng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n=0 1 E  0 0 2 đƣợc gọi là năng lƣợng không. Sự tồn tại năng lƣợng hữu hạn thấp nhất E0 chỉ có thể giải thích đƣợc trên cơ sở của Vật lý lƣợng tử. Thật vậy, gọi các độ bất định của năng lƣợng, xung lƣợng và tọa độ là E, p và x. Sự tồn tại E0 gắn liền với hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lƣợng của hạt: px /2, vì p22 K x K 1 E p x  2mm 2 2 Có thể quy ƣớc chọn gốc tính năng lƣợng trùng với năng lƣợng không E0. Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lƣợng là bội của năng lƣợng  : Enn  Đó chính là giả thuyết Planck: Năng lƣợng của một dao động tử điều hòa bằng bội nguyên của lƣợng tử năng lƣợng . Để xác định dạng tƣờng minh của hàm sóng  x ta lƣu ý rằng với 21n phƣơng trình (2.5) trở thành   2   2nHn  0 Mặt khác, từ toán học ta lại biết đa thức Hermit Hn  thỏa mãn phƣơng trình 15
20. Hn  2  H n  2 nH n  0 So sánh hai phƣơng trình trên, ta rút ra   n  NH n n  với Nn là hệ số chuẩn hóa do đó  22x 2  x n x N n H n  x e Chuẩn hóa hàm  n x sao cho 2 2 Nn 2  2 nn x dx H  e d  1  và sử dụng tính chất của đa thức Hermite 2 H2  e  d  2!n n n ta tính đƣợc  N n 2!n n Đa thức Hermite có dạng tƣờng minh n n 22 Hn  1 en e  Thí dụ nhƣ H01 x 1, H x 2, Ta có các hàm chuẩn hóa tƣơng ứng là 16
21.  22x   xe 2 0 3  22x 2 2 1 x xe , ()LT Xác suất dxWn mà hạt vi mô với năng lƣợng En có thể đƣợc tìm thấy trong khoảng từ x đến x+dx bằng ()LT 2 dWnn x dx  x dx 2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm đƣợc bằng phƣơng pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamiltonian 22d 1 Hˆ Kx2 22m dx2 (2.7) id Để thuận tiện, thay các toán tử tọa độ x và xung lƣợng ta dùng các toán dx tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới x qˆ mx dd i pˆ i dxm dx Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ vẫn là  pˆˆ, q i Biểu diễn qua và , Hamiltonian (2.7) có dạng 17
22. 1 Hˆ pˆˆ2 2 q 2 (2.8) 2 Ta lại đặt  pˆ a ˆ a ˆ 2 qˆ i a ˆ a ˆ 2 và có 1 Hˆ aaˆ ˆ a ˆ a ˆ  (2.9) 2 Các toán tử aaˆˆ, xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngƣợc lại qua pˆ và qˆ nhƣ sau: 1 aˆ p ˆ i q ˆ 2  1 aˆ p ˆ i q ˆ 2  Dễ dàng chứng minh đƣợc rằng các toán tử trên thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.10) aaˆˆ.1 và do đó Hamiltonian (2.9) trở thành ˆ 1 H aˆˆ a  (2.11) 2 Việc nghiên cứu phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các véctơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (2.11), trong đó các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.10). Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới nhƣ sau 18
23. (2.12) Nˆ aˆˆ a Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử này và toán tử aaˆˆ, ˆ ˆˆˆˆˆˆ N, a a hay Na a N 1 (2.13) ˆ ˆˆ Naˆˆˆˆ a N 1 N, a a hay (2.14) Thật vậy, theo định nghĩa (2.12) và sử dụng hệ thức giao hoán (2.10), ta có: Naˆ, ˆ NaaN ˆ ˆˆ ˆ aaaaaa ˆˆˆˆˆˆ aa ˆˆ aaa ˆˆˆ a ˆ chính là hệ thức (2.13) và ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ ˆˆ ˆ Na, Na aN aaa aaaaaa aa a chính là hệ thức (2.14). Ký hiệu n là vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n Nˆ n n n Từ phƣơng trình (2.15) ta suy ra ngay n Nˆ n n aˆˆ a n n 0 n n n n vì 2 n n  r dr 0 n và 2 n aˆ a ˆ n a ˆ r dr 0 n 19
24. Vậy ta có các nhận xét sau: Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm Xét véctơ trạng thái thu đƣợc bằng cách tác dụng toán tử aˆ lên n . Đó là véctơ trạng thái anˆ . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng công thức (2.13), ta có: NanaNˆˆˆ ˆ 1 nan ˆ 1 n n 1 an ˆ Hệ thức trên nghĩa là anˆ là một véctơ riêng của Nˆ ứng với trị riêng n-1 Tƣơng tự nhƣ vây ta chứng minh đƣợc aˆˆ23 n, a n , cũng là các véctơ riêng của Nˆ ứng với các trị riêng n-2, n-3, Xét véctơ trạng thái thu đƣợc bằng cách tác dụng toán tử aˆ lên n . Đó là vecto trạng thái anˆ . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng công thức (2.14), ta có: NanaNˆˆˆ ˆ 1 nan ˆ 1 n n 1 an ˆ Hệ thức trên nghĩa là anˆ là một véctơ riêng của ứng với trị riêng n+1 Tƣơng tự nhƣ vây ta chứng minh đƣợc aˆˆ 23 n, a n , cũng là các véctơ riêng của ứng với các trị riêng n+2, n+3, Ta đi đến nhận xét hai Nếu n là một véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì với p 1,2,3, , aˆ p n cũng là một vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n-p và anˆ p cũng là một véctơ riêng của toán tử ứng với trị riêng n+p nếu chúng khác không. 20
25. Kết hợp hai nhận xét trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của Nˆ thì chuỗi các số không âm n-1,n-2,n-3, cũng là các trị riêng của . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin. Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin. Rõ ràng là anˆ min 0 vì nếu anˆ min 0 thì đó là véctơ trạng thái ứng với trị riêng nmin-1<nmin , trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ đẳng thức (3.17) ta suy ra ˆ aˆˆ a nmin N n min 0 Mặt khác, theo định nghĩa của nmin ˆ N nmin n min n min So sánh hai phƣơng trình trên ta đi đến nhận xét ba Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin = 0. Vecto trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của đƣợc kí hiệu là 0 . Vecto trạng thái này thõa mãn điều kiện aˆ 00 Khi đó aˆ 0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của ứng với trị riêng n=1, aˆ 2 0 tỉ lệ với véctơ riêng 2 của ứng với trị riêng n=2, aˆ n 0 tỉ lệ với véctơ riêng n của ứng với trị riêng n. Vì 21
26. ˆˆ 11 H aˆˆ a  N 22 nên 1 0 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E  0 2 1 1 là véctơ riêng của ứng với trị riêng E1 1  , 2 1 n là véctơ riêng của ứng với trị riêng Enn  2 Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lƣợng gián đoạn với các giá trị các đều nhau: hiệu số năng lƣợng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lƣợng tử năng lƣợng  . Trạng thái có năng lƣợng thấp nhất là E0. Trạng thái tiếp theo 1 với năng lƣợng E0  Trạng thái tiếp theo 2 với năng lƣợng EE10  2 , Nếu ta lấy gốc tính năng lƣợng là E0 thì có thể coi là trạng thái không chứa lƣợng tử nào, 1 là trạng thái chứa một lƣợng tử, 2 là trạng thái chứa hai lƣợng tử, n là trạng thái chứa n lƣợng tử. Toán tử Nˆ có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị đƣợc đoán nhận là toán tử số lƣợng tử năng lƣợng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 và do đó đƣợc đoán nhận là toán tử hủy năng 22
27. lƣợng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 và do đó đƣợc đoán nhận là toán tử sinh năng lƣợng. Nếu ta tƣởng tƣợng rằng lƣợng tử năng lƣợng là một hạt thì Nˆ sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó trạng thái n với năng lƣợng Enn  sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt trong dao động tử điều hòa. Trong Cơ học lƣợng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lƣợng bằng. Khái niệm “hạt” đƣa vào đây chỉ để cho tiện, thực chất đó chỉ là “giả hạt”, một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý các môi trƣờng đông đặc. Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ lệ n,,  n  n trong các hệ thức aˆ n n n 1 aˆ n n n 1 n na  n ˆ 0 để sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa mn mn Tứ các biểu thức (2.13),(2.14) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa ở trên ta có 22 n n aˆˆ a n nn n 11 n và n n aˆ a ˆ n n aa ˆ ˆ 1 n 22 nnn 1 n 1 n n 1 23
28. Coi nn, là các số thực, ta rút ra n n n n 1 Ta cũng có n n 11 n aˆ0 a ˆ a ˆ 00 a ˆ 1 nn 22 0aˆ a ˆ12  0  1 a ˆ nn 33 0  1aˆ a ˆ23  0  1  2 a ˆ 0  1 n 1 n n ! n Và do đó 22nn 1 n n nn 0 aˆˆ a 0 n ! hay coi  n là thực, ta rút ra đƣợc 1  n n! Tóm lại, ta đã thiết lập đƣợc các công thức quan trọng sau Nˆ n n n aˆ 00 aˆ n n n 1 ( n 0) aˆ n n 1 n 1 ( n 0) 1 na ˆ n 0 n! (2.13) 24
29. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Để nghiên cứu về hệ dao động tử điều hòa, ta có hai cách biểu diễn đó là biểu diễn tọa độ và biểu diễn số hạt. Trong biểu diễn số hạt, ta biết thêm về khái niệm sinh và huỷ hạt nhờ đó ta đƣa ra đƣợc công thức tính năng lƣợng đơn giản hơn biểu diễn tọa độ. 25
30. CHƢƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa Để tìm phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa, ta cần giải phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian (2.11) của dao động tử điều hòa: ˆ H n En n 1  aˆˆ a n En n (3.1) 2 Thay (2.13) vào (3.1) ta có: nn 1 aaˆˆ  aˆˆ a 0 En 2 nn!! 1 aaˆˆ nn  nE 0 n 2 nn!! Từ đây ta có công thức xác định năng lƣợng của dao động tử điều hòa với tần số  là: 1 (3.2) En h n trong đó n=0,1,2,3 2 Nhƣ vậy ta đã thu đƣợc “kết quả lƣợng tử”: năng lƣợng của dao động tử điều hòa chỉ có thể lấy các trị số gián đoạn xác định. Hiệu giữa các mức năng lƣợng là hằng số Eh h Đại lƣợng E là mức “không” của năng lƣợng. Năng lƣợng “không” 0 2 tƣơng ứng với các dao động “không” mà ta không thể trừ bỏ đƣợc bằng cách hạ nhiệt độ. Nói khác đi, do có xuất hiện năng lƣợng “không” nên dao động tử trong cơ học lƣợng tử không thể ở trạng thái nghỉ. 26
31. 3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử 3.2.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa Xét tổng trạng thái của các hệ lí tƣởng hóa cấu tạo bởi một số rất lớn N các dao động tử. Ta tìm tổng thống kê (tổng trạng thái) đối với một dao động tử của hệ Từ công thức (1.7) và (3.1), tổng trạng thái đối với một dao động tử đƣợc xác định bằng E hh   Z exp n exp  exp n  (3.3) n 0 kT 2kT n 0 kT  Vế phải của (3.3) có chứa một cấp số nhân vô hạn giảm dần. Theo công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn giảm dần ta đƣợc h h exp  exp  2kT 2kT Z   h h 1 exp exp  1 kT kT Năng lƣợng trung bình của một dao động tử là En En exp   kT kT2  Z  n 1  E ZT exp  n n 1 kT hh  2 h exp  1 kT h h Ở nhiệt độ rất thấp 1 hay Tt (nhiệt độ suy biến) thì năng lƣợng kT kT sb h trung bình  sẽ tiến tới , tức là năng lƣợng ở mức thấp nhất. 2 27
32. Còn ở các nhiệt độ rất cao Ttsb thì năng lƣợng trung bình của dao động tử rất lớn (so với mức thấp nhất) và khi đó dao động tử điều hòa sẽ bị phá vỡ. Hệ đƣợc cấu tạo từ các dao động tử sẽ phải thay đổi trạng thái (rắn sang lỏng, lỏng sang khí, rắn sang khí). 3.2.2. Nhiệt độ suy biến của chất rắn Trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tƣơng tác với nhau, vì vậy chúng chuyển động nhƣ các dao động tử liên kết. Mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do, vì vậy tập hợp N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động tử điều hòa lƣợng tử liên kết, với 3N tần số khác nhau, kể từ tần số 0 cho tới tần số cực đại D . Chuyển động dao động tập thể của các nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm, tức là sóng đàn hồi trong vật rắn. Sóng âm trong vật rắn gồm hai loại: sóng dọc và sóng ngang . Ta ký hiệu vận tốc truyền sóng dọc là Ce , vận tốc truyền sóng ngang là Ct. Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết có thể đƣợc thay bằng tập hợp 3N dao động chuẩn. Nếu vận tốc truyền sóng là C, tần số là  thì trong khoảng ,  d  số lƣợng các dao động chuẩn đƣợc xác định theo công thức V2 dN  ()  d  2 23C Do sóng âm trong vật rắn bao gồm sóng ngang và sóng dọc với vận tốc truyền khác nhau; mặt khác sóng ngang lại có khả năng phân cực nên ta có thể tính số dao động chuẩn trong khoảng theo công thức: 28
33. V 2 12 dN  2 3 3 d 2 CCet 3V2 dN  d (3.4) 2 23C với 3 1 2 3 3 3 CCCet Đại lƣợng C có thứ nguyên nhƣ vận tốc truyền sóng. Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ 0 đến tần số cực đại D. Giá trị D đƣợc xác định từ điều kiện: DD3V dN  2 d  3 N 002 23C Sau khi lấy đƣợc tích phân ta đƣợc: 1 3 2 N (3.5)  D C 6 V Tần số D gọi là tần số Debye, phụ thuộc vào vận tốc truyền sóng âm trong vật rắn và mật độ nguyên tử trong môi trƣờng đó. Trên cơ sở (3.4) ta viết đƣợc (3.5) dƣới dạng: (3.6) 9N 2 dN  3  d  D 29
34. Mỗi dao động chuẩn là một dao động điều hòa lƣợng tử, vì vậy năng lƣợng trung bình của mỗi dao động chuẩn là   (3.7) 2  e kT 1 Năng lƣợng trung bình của cả hệ dao động chuẩn đƣợc tính theo công thức: D E   dN  0 thay các biểu thức (3.6),(3.7) vào vế phải của công thức trên ta đƣợc 3    DDD99NN3  E   dN   d  d  (3.8) 022 0 0  2DD e kT 1 Số hạng thứ nhất của (3.8) không phụ thuộc vào T, nên nhiệt dung CV đƣợc tính nhƣ sau 3 EN9 D  Cd  V Tt3 0  D e kT 1 Từ đó ta có  2 kT 9NkD e  Cd 2 V 3 0  D kT e kT 1  Đặt x , ta có thể viết kT 30
35. 3  4 x kTkT x e CV 3 Nk .3 2 dx  0 x D e 1  Đại lƣợng T đƣợc gọi là nhiệt độ Debye. Với kí hiệu đó ta có thể viết lại D k biểu thức nhiệt dung nhƣ sau: 3 TD 4 x TT x e CV 3 Nk .3 2 dx T 0 x D e 1 Ngƣời ta thƣờng viết biểu thức nhiệt dung vật rắn dƣới dạng ngắn gọn: TD CV 3 NkD T trong đó D là hàm Debye đƣợc xác định nhƣ sau: 4 x 3 xe D dx (3.9) 3 0 2 ex 1 Đối với 1 mol ta có: (3.10) TD CV 3 RD mol T Kết quả này cho ta thấy nhiệt dung của mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc vào nhiệt độ nhƣ thế nào, do đó ta xét các trƣờng hợp Xét vùng nhiệt độ cao T >>TD 31
36. Với điều kiện trên thì có giá trị rất nhỏ . Ta sẽ khảo sát hàm Debye khi biến số rất nhỏ. 3 xe4 x Theo định nghĩa hàm Debye, ta có: D dx 3 x 2 0 e 1 exx 11 Nếu rất nhỏ ta có thể lấy gần đúng: 2 22 ex 1 xx 3 D x2 dx 1  3 0 Dựa vào kết quả này và biểu thức (3.10) xác định (CV)mol ta có: (CV)mol =3R (khi T>>TD) Điều này nghĩa là trong vùng nhiệt độ cao, lý thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong-Petit Xét vùng nhiệt độ thấp T<<TD T Trong trƣờng hợp này D rất lớn, do đó ta phải khảo sát hàm Debye khi rất T lớn. Theo định nghĩa, ta thay cận tích phân bằng 3 xe44x 3 4 D dx 33 x 2 15 0 e 1 32
37. Thay kết quả này vào biểu thức (3.9) xác định (CV)mol ta có: 12 4 R CT 3 V mol 3 5TD Nhƣ vậy trong vùng nhiệt độ thấp lí thuyết Debye cho kết quả phù hợp rất tốt 3 với thực nghiệm (CV)mol ≈ T 33
38. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 Nhiệt độ suy biến là một tính chất quan trọng của hệ dao động tử. Do đó, ở chƣơng 3 em đã tìm hiểu, trình bày và tính đƣợc phổ năng lƣợng và nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa. Đặc biệt áp dụng tính nhiệt độ suy biến của chất rắn theo quan điểm của Debye. 34
39. KẾT LUẬN Với đề tài “ NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA” em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau: - Những khái niệm cơ bản: hàm phân bố, nội năng, nhiệt độ suy biến - Biểu diễn dao động tử điều hòa - Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa và áp dụng trong chất rắn Do vậy, đề tài này có thể bổ sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong quá trình tìm hiểu về nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử trong Vật lý. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà 35
40. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Vũ Thanh Khiết (1983), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục. 2. Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2009), Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 3. Bài giảng Vật lí thống kê của các thầy cô ở tổ Vật lí lý thuyết, Khoa Vật lí ĐHSP Hà Nội 2. 4. Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cở sở lý thuyết của vật lí lƣợng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 5. Charles Kittel (1970), Sơ yếu Vật lí chất rắn, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà nội ( Phạm Duy Hiển và Đặng Mộng Lân dịch) 36