Khóa luận Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

Nội dung text: Khóa luận Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2018
3. LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô. Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hƣớng dẫn –Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tham gia khóa luận. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khoa luận này. Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình,bạn bè trong suốt quá trình làm khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn của Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan. Các dữ liệu đƣa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tƣợng nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3 1.1. Tọa độ 3 1.2. Xung lƣợng 4 1.3. Mômen xung lƣợng 5 1.4. Năng lƣợng 7 Kết luận chƣơng 1 9 CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 10 2.1. Biểu diễn tọa độ 10 2.2. Biểu diễn xung lƣợng 11 2.3. Biểu diễn năng lƣợng 13 2.4. Biểu diễn Schrodinger 16 2.5. Biểu diễn Heisenberg 16 2.6. Biểu diễn tƣơng tác 20 Kết luận chƣơng 2 22 CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 23 3.1. Bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau 23
6. 3.2. Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau 29 Kết luận chƣơng 3 38 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thế kỷ XX là thế kỷ của, vật lý học hiện đại với khuynh hƣớng xâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bé nhƣ nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản Cho đến nay, một trong những đối tƣợng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý học hiện đại là thế giới vi mô mà cơ học lƣợng tử là cơ sở đầu tiên giúp con ngƣời tìm hiểu và chinh phục thế giới đó. Cơ học lƣợng tử là một phần khá trừu tƣợng trong vật lý lý thuyết, có những khái niệm vốn quen thuộc trong vật lý học cổ điển. Có thể định nghĩa một cách tóm tắt cơ học lƣợng tử là lý thuyết của những nguyên tử và hạt nhân. Nguyên tử có kích thƣớc vào cỡ 10-8cm, còn hạt nhân có kích thƣớc vào cỡ 10-13cm. Những vật có kích thƣớc nhƣ vậy và nhỏ hơn đƣợc gọi là những vật vi mô. Để nghiên cứu các đại lƣợng động lực của hệ các hạt vi mô, ngƣời ta có thể dùng các biểu diễn khác nhau. Mỗi bài toán trong cơ học lƣợng tử thì sẽ có một cách giải quyết riêng và việc chọn dùng biểu diễn nào để giải quyết bài toàn ấy là đơn giản nhất, mà vẫn cho kết quả mô tả đầy đủ tính vật lý của hệ vật lý vi mô là rất cần thiết và quan trọng. Thêm vào đó việc giải bài tập một mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác còn để củng cố lý thuyết. Phải nắm đƣợc lý thuyết, hiểu nó mới có thể vận dụng để tìm tòi ra nhiều điều khác có liên quan. Giúp nắm chắc và hiểu lý thuyết sâu sắc hơn. Vì vậy, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử”. 2. Mục đích nghiên cứu Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập về lý thuyết của các hạt vi mô. 1
8. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các đại lƣợng động lực trong cơ học lƣợng tử. Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập trong cơ học lƣợng tử. 4. Đối tƣợng nghiên cứu Các đại lƣợng động lực và dạng của chúng trong các biểu diễn khác nhau. Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán học. Phƣơng pháp của lý thuyết biểu diễn của cơ học lƣợng tử. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm ba chƣơng: CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN. CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN. CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ. 2
9. NỘI DUNG CHƢƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Tọa độ Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt cho nên các đại lƣợng động lực mô tả trạng thái của hạt nhƣ tọa độ, xung lƣợng, momen xung lƣợng, năng lƣợng, ở thời điểm t sang thời điểm t’ đã khác đi và nó không tuân theo qui luật cổ điển mà nó tuân theo qui luật lƣợng tử tức là các trạng thái này không hoàn toàn đồng thời xác định. Để mô tả đƣợc trạng thái của các hạt vi mô thì các đại lƣợng động lực này có qui luật mới là a.b # b.a do đó các đại lƣợng động lực trở thành các toán tử theo nguyên lý tƣơng ứng. Để tìm dạng tƣờng minh của các toán tử biểu diễn biến số động lực chúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trƣờng hợp giới hạn của cơ học lƣợng tử (khi kích thƣớc của các vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mô). Nhƣ vậy ta có thể thừa nhận một cách tự nhiên rằng: Những toán tử cơ học lƣợng tử thỏa mãn những hệ thức giống nhƣ hệ thức giữa các đại lƣợng động lực tƣơng ứng trong cơ học cổ điển (không chứa đạo hàm). Đó là nguyên lý tƣơng ứng. Toán tử tọa độ ̂. Xét trƣờng hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng x) đã đƣợc chuẩn hóa. Toán tử tọa độ ̂ phải là ecmit và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức: ̅ ∫ ̂ (1.1.1) Nếu gọi p(x) là mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị là x thì trị trung bình của x là: ̅ ∫ Theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa của hàm sóng thì: P(x)=| | Vậy ̅ ∫ 3
10. Ta có: ∫ ̂ ∫ Vậy ̂ (1.1.2) Nhƣ vậy toán tử ̂ là một phép nhân với x. Ta có thể viết: ̂ (1.1.3) Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì có 3 toán tử tọa độ ̂ ̂ (1.1.4) ̂ 1.2. Xung lƣợng Theo nguyên lý tƣơng ứng thì xung lƣợng của các hạt vi mô là một toán tử: ̂ ̂ ̂    ( i j k ) x  y  z Toán tử xung lƣợng: Đối với hạt vi mô có xung lƣợng ̂ và năng lƣợng E chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng: Et pr ψ= ( i ) ħ Ta xét toán tử ̂. Hàm sóng ψ viết ở trên là hàm số biểu diễn trạng thái trong đó có giá trị xác định, vì thế hàm ấy phải là hàm riêng của toán tử ̂ , nghĩa là: ̂ ψ= ψ. Muốn thế thì phải chọn:  ̂ iħ (1.2.1) x Thực vậy 4
11. ⃗ * ( )+ i Et pr = ( p ) ( i ) ħ x ħ đó là điều cần chứng minh Cũng tƣơng tự nhƣ vậy ta có thể chứng minh rằng: ̂ ̂ Tóm lại.    ⃗̂ = ( i j k ) (1.2.2) x  y  z 1.3. Mômen xung lƣợng Trong cơ học lƣợng tử, cũng nhƣ trong cơ học cổ điển mômen xung lƣợng L đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ⃗̂ ̂ ⃗̂ (1.3.1) Trong đó là vectơ tia nối từ gốc tọa độ đến vị trí của hạt (coi là một điểm). Đó là một toán tử vectơ có ba thành phần: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ { ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (1.3.2) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ mômen xung lƣợng lên các trục x,y,z. Nếu chọn ̂ ̂ ̂ 5
12.  ̂ iħ x  ̂ iħ y  ̂ iħ z Thì các hình chiếu của toán tử mômen xung lƣợng trong tọa độ Đêcac có biểu thức nhƣ sau:  ̂ iħ ( yz ) zy  ̂ iħ (zx ) (1.3.3) xz  ̂ iħ ( xy ) { yx Ngƣời ta còn định nghĩa toán tử bình phƣơng mômen xung lƣợng: ̂ ̂ ̂ ̂ (1.3.4) Các thành phần của toán tử mômen xung lƣợng tuân theo những hệ thức giao hoán quan trọng sau đây: [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ (1.3.5) [ ̂ ̂ ] ̂ Đồng thời: ̂ ̂ ̂ [ ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ] (1.3.6) Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đƣợc một cách chính xác đồng thời hình chiếu của mômen xung lƣợng lên hai trong ba trục tọa độ vuông góc. Nếu đã đo đƣợc chính xác chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo 6
13. đƣợc chính xác hoặc . Có thể đo đƣợc chính xác đồng thời bình phƣơng của mômen xung lƣợng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì. Đôi khi để cho thuận tiện, ngƣời ta đƣa vào các toán tử sau đây: ̂ ̂ + ̂ ; ̂ ̂ ̂ (1.3.7) Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán: [ ̂ ̂ ] ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ (1.3.8) [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ Và ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ + ̂ (1.3.9) Nếu viết biểu thức của các toán tử mômen xung lƣợng trong tọa độ cầu thì ta có: ̂ ( )  ħ Ly i cosφ cotgθsinφ (1.3.10) θφ ̂ Còn đối với ̂ thì 2 ̂ 11   [ sinθ 22] (1.3.11) sinθ θ  θ sinθ  φ Hay, có thể viết: ̂ (1.3.12) 1.4. Năng lƣợng Trong cơ học cổ điển, năng lƣợng toàn phần đƣợc biểu diễn qua tọa độ x và xung lƣợng p theo biểu thức sau đây: 7
14. p2 H V x,y,z (1.4.1) 2m Trong đó m là khối lƣợng của hạt, V(x,y,z) là biểu thức của thế năng, Theo nguyên lý tƣơng ứng thì toán tử năng lƣợng toàn phần (hay toán tử Hamintơn) cũng tuân theo một biểu thức tƣơng tự biểu thức (1.4.1), trong đó các đại lƣợng động lực đƣợc thay thế bằng các toán tử tƣơng ứng: p2 Hˆ V x,ˆˆ y,zˆ , (1.4.2) 2m Trong đó ̂ ̂ ̂ ̂    =( iħ ) +( iħ ) ( iħ ) x y z 2  2  2 = ( ) x2  y 2  z 2 = Và ̂ ̂ ̂ ħ Vậy: ̂ = (1.4.3) 2m 8
15. Kết luận chƣơng 1 Ở trong chƣơng 1, tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản: Tọa độ, Xung lƣợng, Mômen xung lƣợng, Năng lƣợng. Trong cơ học lƣợng tử, thì các đại lƣợng động lực này đã có biểu thức có dạng giống nhƣ trong cơ học cổ điển nhƣng viết đối với các toán tử. Các đại lƣợng động lực của các hạt vi mô không đồng thời xác định nên không thể đo chính xác nó trong cùng một trạng thái. Sai số của phép đo các đại lƣợng vật lý tuân theo hệ thức bất định Heisenberg. 9
16. CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 2.1. Biểu diễn tọa độ Xét một hàm sóng ψ(x) biểu diễn một trạng thái của một hạt. Ta gọi ψ(x) là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay trong x-biểu diễn. Cho một toán tử ̂ biểu diễn một biến số động lực. Các hàm riêng của toán tử ̂ đƣợc kí hiệu là (x), các hàm riêng này hợp thành một hệ đủ. Nói cách khác ta có thể biểu diễn ψ(x) dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng (x): ψ(x)=∑ (x) (2.1.1) tổng lấy theo toàn bộ các giá trị có thể của chỉ số nguyên n. Nếu biết tất cả các hệ số thì ta có thể xây dựng đƣợc tổng ở (2.1.1), tức là biết đƣợc biểu thức ψ(x). Tập hợp các hệ số hoàn toàn có thể thay cho ψ(x) để mô tả trạng thái của hạt, ngƣời ta nói rằng: tập hợp các hệ số là hàm sóng của hạt trong L-biểu diễn. Việc lựa chọn hệ hàm riêng của những toán tử vật lý nào, đƣợc gọi là việc chọn biểu diễn. Biểu diễn tọa độ kí hiệu trạng thái lƣợng tử bởi chỉ số a. Hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ và kí hiệu là (chữ x kí hiệu một hoặc một tập hợp tọa độ). Bình phƣơng mô đun hàm sóng đã chuẩn hóa trong biểu diễn tọa độ bằng mật độ xác suất để trong trạng thái đã cho tọa độ x có giá trị xác định. Hàm phân bố xác suất cho tọa độ x trong trạng thái ψ(x) là: | | Và do đó: ∫ ̂ ∫| | ∫ Nghĩa là: ̂ Nhƣ vậy, trong biểu diễn tọa độ, toán tử tọa độ là toán tử nhân với tọa độ, khi tác dụng lên hàm sóng nó chỉ là thừa số nhân. 10
17. Xét trong không gian vecto 3 chiều thông thƣờng: ̂ 2.2. Biểu diễn xung lƣợng Biểu diễn xung lƣợng hay p-biểu diễn chú ý rằng trị riêng của toán tử xung lƣợng có giá trị liên tục. Hàm riêng của toán tử xung lƣợng, ứng với trị riêng p, trong biểu diễn tọa độ là: (x) Hàm này đƣợc chuẩn hóa: ∫ (x)dx= (p- ) (2.2.1) Bây giờ phân tích hàm sóng (x) của trạng thái a trong x-biểu diễn theo hệ đủ các hàm (x): (x)=∫ (x)dp (2.2.2) Hệ số phân tích c(p) dƣới dấu tích phân chính là hàm sóng của trạng thái a trong p-biểu diễn và có thể kí hiệu nhƣ sau: c(p) (p) (2.2.3) Có thể viết lại công thức (2.2.2) nhƣ sau: (x)=∫ dp (2.2.4) Bình phƣơng môđun của hàm sóng bằng mật độ xác suất để xung lƣợng có giá trị p dW p = =| | (2.2.5) dp Biến đổi ngƣợc với (2.2.4), tức là biến đổi hàm sóng từ x-biểu diễn sang p- biểu diễn, nhƣ sau: (p)= ∫ dx (2.2.6) Ta xét dạng cụ thể của hàm . Đối với hạt chuyển động tự do, thì phần phụ thuộc tọa độ của hàm sóng có dạng: 11
18. 1 ipx (x)= exp( ) (2.2.7) 2πħ ħ Hệ số xuất hiện do điều kiện chuẩn hóa. Nếu xét trong không gian 3 chiều thì: 3 ipr ħ 2 ψp x 2π exp (2.2.8) ħ Nhƣ vậy hàm biến đổi từ x-biểu diễn sang p-biểu diễn có dạng 1 ipx = exp (2.2.9) 2πħ ħ * Ta tìm dạng của các toán tử động lực trong biểu diễn xung lƣợng Toán tử xung lƣợng đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ sau: ∫ ̂ = ∫ Đó là một ma trận chéo liên tục. Phƣơng trình toán tử trong p-biểu diễn: ∫ =∫ ̂ Nhƣ vậy,trong biểu diễn xung lƣợng, toán tử vectơ xung lƣợng vẫn chỉ là phép nhân với xung lƣợng. -Toán tử tọa độ đƣợc biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử nhƣ sau: ∫ ̂ 12
19. Ta đã biết trong biểu diễn tọa độ: ̂  Tác dụng toán tử iħ lên hàm có: p  1 ipx 1 ipx iħ exp x exp p 2πħħħħ 2π  ħ Vậy i ∫ p Hàm sóng trong p biểu diễn sau khi chịu tác dụng của toán tử ̂ ̂ ∫  = ∫  p  iħ p ̂ Nhƣ vậy, trong biểu diễn xung lƣợng, thành phần của toán tử vectơ tọa độ bằng nhân với đạo hàm theo biến xung lƣợng liên hợp chính tắc. Trong trƣờng hợp một hạt ,không gian là 3 chiều, khi đó:  ̂ iħ và  ⃗⃗ px 2.3. Biểu diễn năng lƣợng 13
20. Biểu diễn năng lƣợng hay E-biểu diễn. Để đơn giản, ta xét trạng thái của một hạt chuyển động trong một trƣờng ngoài có năng lƣợng âm, nhƣ vậy trị riêng của năng lƣợng là gián đoạn. Kí hiệu các trị riêng ấy là . Các hàm riêng tƣơng ứng là (x). Các hàm ấy là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng là , nên có thể viết: (x)= (x) Theo định lí về tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử (năng lƣợng) hecmit, ta có giống nhƣ (2.1.1): (x)= c ψ ()x (2.3.1)  nEn n Các hệ số phân tích gọi là hàm sóng trong E-biểu diễn, ta có thể kí hiệu chúng nhƣ sau: ( ) (2.3.2) Bây giờ biến số độc lập của hàm sóng trong E-biểu diễn có những giá trị gián đoạn. Bình phƣơng môđun của hàm sóng xác định xác suất để năng lƣợng có giá trị E: W( =| | (2.3.3) Nếu hàm sóng trong biểu diễn mới cũng đƣợc chuẩn hóa. Thực vậy, trong phƣơng trình chuẩn hóa vừa viết trên nếu ta thay (x) bằng biểu thức phân tích của nó: φ E ψ (x)=  a n En (x) n φ E ψ (x)=  a m Em (x) m Thì ta sẽ có: φ E φ E ψ x ψ x dx 1  a m a n Emn E nm Vì hàm sóng trong x-biểu diễn đƣợc chuẩn hóa, nên tích phân ở vế đầu có giá trị là . Sau khi lấy tổng theo m thì phƣơng trình trở thành: 14
21. 2 (2.3.4) φa E n φ a E n  φ a E n 1 nn Đó là điều kiện chuẩn hóa hàm song trong E-biểu diễn. Dựa vào điều kiện trực chuẩn của hàm sóng (x) có: ∫ (2.3.5) thể tính đƣợc hàm sóng trong E-biểu diễn. Biến đổi này đƣợc thực hiện nhờ hàm (x) là liên hiệp phức của hàm riêng của toán tử năng lƣợng trong x-biểu diễn, còn công thức (2.3.1) chính là công thức biến đổi từ E-biểu diễn sang x-biểu diễn, biến đổi đƣợc thực hiện nhờ (x). Từ (2.3.2) và (2.3.5) ta thấy hàm sóng trong E-biểu diễn là tập hợp các hệ số phân tích hoặc hàm của biến số độc lập E. Biến số này nhận các giá trị gián đoạn, cho các chỉ số n các giá trị lần lƣợt là 1,2,3 ta sẽ đƣợc Giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý không phụ thuộc vào việc lựa chọn biểu diễn. Ta biết dạng của biểu thức giá trị trung bình của một đại lƣợng vật lý L trong trạng thái bất kỳ biểu diễn bằng hàm sóng ψ là: ̅ ∫ ̂ *Ta tìm giá trị trung bình của năng lƣợng: Phân tích hàm sóng theo hàm riêng của toán tử năng lƣợng cnn u x n thay vào biểu thức tính giá trị trung bình: ̅ c u x Lcˆ u x dx  n n m m = c c u x Luˆ x dx  n m n m nm 15
22. = * cn c m L nm nm Trong đó là phần tử ma trận của toán tử ̂ trong E biểu diễn Ta có thể viết lại dƣới dạng phƣơng trình ma trận: ̅ Trong đó là ma trận một cột [ ] còn là ma trận một hàng [ ] 2.4. Biểu diễn Schrodinger Vectơ trạng thái phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian còn các toán tử không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian trong đó tọa độ và xung lƣợng chọn nhƣ sau:  ̂ , ̂ iħ  qi Sự thay đổi trạng thái theo thời gian trong biểu diễn Schrodinger đƣợc biểu diễn bằng phƣơng trình Schodinger: ̂ ̂: Hamintonien Đó là tiên đề về phƣơng trình chuyển động trong biểu diễn Schrodinger. Ký hiệu: 2.5. Biểu diễn Heisenberg Các vectơ trạng thái không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian còn sự phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian là ở các toán tử. Vectơ trạng thái trong biểu diễn Heisenberg đƣợc ký hiệu là: Trong biểu diễn Schrodinger: ̂ Chọn ở thời điểm ban đầu: , ̂ ̂ 16
23. Vectơ trạng thái tại thời điểm bất kỳ t đƣợc suy ra từ vectơ trạng thái tại thời điểm . Đặt : ̂ ̂ U(t) là phép biến đổi Unita Xác suất ⟨ ⟩=⟨ ⟩ Xác suất trong biểu diễn S phải bằng xác suất trong biểu diễn H ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ Do đó ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ U(t) phải là Unita. = Toán tử biến đổi thế nào? Tính các giá trị trung bình của các đại lƣợng ̂ trong hai biểu diễn và hai giá trị đó phải bằng nhau. ⟨ ̂ ⟩ Giả sử rằng trong phép biến đổi Unita nói trên ̂ biến thành ̂ , thì giá trị trung bình: Trong biểu diễn S: ⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩ ̂ ̂ Trong biểu diễn H: ⟨ ⟩=⟨ ⟩=⟨ ̂ ⟩ ̂ ̂ ̂ ̂ Nếu trong phép biến đổi chính tắc biến đổi thì ̂ ̂ Ngƣợc lại trong biểu diễn H mà: thì ̂ Ta thấy rằng toán tử U phải thỏa mãn phƣơng trình S: 17
24. ̂ Với điều kiện ban đầu: U(0)=I Nếu ̂ không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian thì U sẽ có dạng: ̂ ̂ i Hˆ t ħ vì ̂ ̂ i i i Hˆ t Hˆ t Htˆ ħ ħ ħ Do đó có thể viết: ̂ ̂ Trong trƣờng hợp này toán tử Haminton trong hai biểu diễn là nhƣ nhau i i Hˆ t Hˆ t ħ S ħ S ̂ ̂ ̂ ̂ Lấy đạo hàm theo thời gian ̂ ̂ ta có: ̂ ̂ ̂ ̂ i = [ ̂ ̂ ̂ ̂ ] ħ ii = Hˆ F ˆ F ˆ H ˆ H,ˆˆ F ħħ H H H Vậy sự thay đổi của toán tử ̂ theo thời gian đƣợc xác định bằng phƣơng trình sau: ˆ  FtH [ ̂ ̂] t Đó là phƣơng trình biểu diễn Heisenberg.  qtˆ H [ ̂ ̂] (2.5.1) t 18
25.  ptˆ H [ ̂ ̂] (2.5.2) t Để thấy sự liên hệ giữa các toán tử ̂ ̂ ̂ cũng có dạng nhƣ trong cơ học cổ điển ta phải làm nhƣ sau: pˆ 2 Gỉa sử rằng: Hˆ H Uˆ t 2m ̂ không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nên U(t) phụ thuộc vào t qua q. tọa độ trong biểu diễn H pˆ 2 Hˆˆ H U q 2m H  Hˆ pˆ H pmˆ H  Hˆ Uq H qH q H  qˆˆ p2 1 ħ H ˆ H ˆ ˆ 2 (2.5.1) ta có : i qH , U q H q H ,p H t 2m 2m  qˆˆ p Hˆ H H t m pˆ H  Hˆ qˆ H pˆ H Từ (2.5.2) ta có:  pˆ t iħ H pˆ ,Hˆ t H pˆ 2 ˆ H ˆ pH , U q H 2m ˆˆ pH ,U q H 19
26. U qˆ iħ H qˆ H ˆ  H Uq H pˆ H qqH H  Hˆ qˆ H pˆ H Các toán tử liên hệ với nhau bằng biểu thức giống biểu thức của các đại lƣợng tƣơng ứng trong cơ học cổ điển. 2.6. Biểu diễn tƣơng tác Gỉa sử khảo sát toán tử Haminton của hệ đƣợc chia làm hai phần trong đó: ̂ ̂ ̂ ̂ Toán tử Haminton không có tƣơng tác ̂ Toán tử Haminton đặc trƣng cho sự tƣơng tác của cơ hệ Trong trƣờng hợp này ngƣời ta thƣờng dùng biểu diễn tƣơng tác để mô tả sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trong biểu diễn tƣơng tác vectơ trạng thái và toán tử đều có thể phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian. Các giá trị của các đại lƣợng vật lý đó đều không phụ thuộc vào biểu diễn mà ta chọn vì thế từ biểu diễn này sang biểu diễn khác phải đƣợc thực hiện bằng phép biến đổi Unita. Ta hãy thực hiện một phép biến đổi Unita: ̂ ̂ ̂ Chọn toán tử Unita vì ̂ ̂ i Hˆ t ħ 0 e i i Hˆ t Hˆ t ħ 0 ħ 0 ̂ e ̂ e 20
27. Biểu diễn mà vectơ trạng thái và toán tử đƣợc chọn nhƣ trên gọi là biểu diễn tƣơng tác. Lấy đạo hàm theo thời gian: i Hˆ t ̂ eħ 0 ψt i Với s Hˆ ψ t ħ s i ˆ ψ i i Ht0 tt Hˆψ eħ H ˆ H ˆ ψ t t ħħ0 tt 0 i s iiˆˆ iiH0 t H 0 t eħħ Hˆ e ψ ħħi tt Vậy, trong biểu diễn tƣơng tác, sự thay đổi của vectơ trạng thái theo thời gian đƣợc xác định bằng phƣơng trình Schrodinger với toán tử Haminton tƣơng tác. ̂ Tƣơng tự, sự thay đổi của các toán tử vật lý theo thời gian đƣợc xác định bằng phƣơng trình Heisenberg, với Haminton tự do. ̂ [ ̂ ̂ ] Biểu diễn tƣơng tác là biểu diễn trung gian giữa biểu diễn Schrodinger và biểu diễn Heisenberg. Ngoài các phƣơng pháp mô tả trạng thái của hệ lƣợng tử nói trên, ta còn có phƣơng pháp khác nhƣ biểu diễn lƣợng tử hóa thứ cấp hay biểu diễn số lấp đầy. 21
28. Kết luận chƣơng 2 Ở chƣơng 2, tôi đã trình bày về các biểu diễn trong cơ học lƣợng tử nhƣ: biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lƣợng, biểu diễn năng lƣợng, biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn tƣơng tác. Tùy từng bài toán cụ thể mà nên chọn biểu diễn nào để giải quyết sẽ cho kết quả đơn giản. 22
29. CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3.1. Bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau Bài tập 1: Trong 퐫 - biểu diễn hạt ở trạng thái 훙 퐫 ). Tìm hàm sóng mô tả trang thái của các hạt trong 퐩⃗⃗ -biểu diễn Lời giải: Để tìm hàm sóng ψ trong p-biểu diễn ta cần khai triển ψ theo họ hàm riêng của toán tử xung lƣợng ⃗ . Hàm riêng đƣợc tìm từ phƣơng trình: ̂ =p 휕 휕 1i  ψp r 3 exp  pr ≤ < ∞ là các hàm riêng của toán tử 2πħ ħ xung lƣợng. Biểu thị tuyến tính hàm ψ theo hệ hàm riêng { }: Khai triển ψ theo hệ hàm riêng { } 1i  ψ c exp pr d 3 pp  2πħ ħ 1i  Các hệ số: ψ r exp pr dV (1) ⃗⃗ 3  2πħ ħ Chính là các hàm sóng biểu diễn trạng thái ψ ⃗ -biểu diễn. Bài tập 2: 23
30. Trong x-biểu diễn dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản (n=1) đƣợc mô tả bằng hàm sóng: 1 4 mω  mω 2 ψx exp  x πħħ 2 Hãy tìm hàm sóng mô tả trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa trong 퐩 –biểu diễn ? Lời giải: i i ̂ Px Toán tử P = có hệ hàm riêng là: =exp( x ) ħ x ħ Các hàm riêng mô tả trạng thái trên P biểu diễn là: C(P )=∫ dx 1 i  mω1 mω  exp P x ( )4 exp x2 dx x   2πħ ħ π2 ħ ħ  mωi2 x Px x Ta tính tích phân: I= ee2ħħdx 2 e ax bx Tích phân này dạng: I = dx bb2 2 x22 b 2 ee 2a 4a 4a2 I dx 2 b2 b ax 4a2 2a I ee d(x- ) b2 2 au2 I ee4a du với u=x- 24
31. b2 2 π Áp dụng tích phân Poátsông ta có: I e4a 4a Dùng này tính tích phân trên ta có: mωi x2 P x i 2ħħx b p I= eedx với ħ m a { 2ħ Vậy các hàm sóng trong P-biểu diễn có dạng: 2 11ħ p 1mω42 2π 2mħ C = ( )( ) e 2πħ πħ mω 1 2 22ħ 4 p m 1 4π 2mħ C = 2 2 2 2 e πħħ 4π m  1 p2 4 1 2mħ C = e πmħ  C chính là các hàm sóng mô tả trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa trong P -biểu diễn. Bài tập 3: Tìm hàm sóng của hạt trong biểu diễn năng lƣợng khi hạt ở giếng thế một chiều có thành cao vô hạn có bề rộng d và ở trong trạng thái ퟒ퐝 퐤퐡퐢 ≤ ≤ 퐝 Ψ(x)=, 퐤퐡퐢 ≥ 퐝 퐯à ≤ Lời giải: Trong biểu diễn tọa độ hàm sóng và năng lƣợng của hạt trong giếng thế 1 chiều cao vô hạn bề rộng d là: 2n πx (x)= sin dd 25
32. ħ2n 2π 2 = n=1,2,3 2m d2 Hàm sóng trong E biểu diễn có dạng: = = (x)dx ∫ 2nd πx = sin( )(x22 4d )dx dd0 2ndd πx 2 nπx = x2 sin dx 4d 2 x 2 sin dx (2) d00 d d d d 2 nπx I = x sin dx 0 d Tích phân từng phần: d 2 nπx dd d nπx I = x cos 2xcos dx dn π0 nπ 0 d d 2d I = -d2 cos(nπ) I (3) nπ nπ 2 d nπx I = xcos dx 0 d d dn πx d d nπx I = xsin sin dx 2sin dx nπ d 0 nπ0 d dnd πx I = 2sin dx (4) nπd0 32d dn 2d nπx Thay (4) vào (3) ta có: I = 1 2sin dx 22 nπ n π0 d Thay I vào (1) ta có: 32dd 2  dn 2d nπx nπx = 1 2sin dx 4d2 sin  22 dn π n π00 d d 26
33. 3 2 2 2  dn 2d n 4d n =  1 2 2 1 1 2 2 1 1 n=1,2,3 dn π n π n π -là hàm sóng của hạt trong hố thế 1 chiều trong biểu diễn năng lƣợng. Bài tập 4: Gỉa sử biết phổ năng lƣợng của hệ. Hãy tìm hàm sóng của các trạng thái dừng của nó trong biểu diễn năng lƣợng. Lời giải: Đối với phổ gián đoạn, hệ hàm riêng đƣợc chuẩn hóa theo ký hiệu Kronecker: ⟨ | ⟩ (E)= = Đối với phổ liên tục, hệ hàm riêng đƣợc chuẩn hóa bằng hàm delta Dirac: (E)=⟨ |ε⟩= ε Bài tập 5: Xác định xác suất để khi đo xung lƣợng đƣợc giá trị 퐩 đối với một dao động tử một chiều ở trạng thái n? Lời giải: Đáng lẽ phân tích hàm sóng ở trạng thái dừng theo những hàm riêng của toán tử xung lƣợng, thì trong trƣờng hợp này, cách làm đơn giản là trực tiếp xuất phát từ phƣơng trình Schrodinger trong biểu diễn. Thay toán tử tọa độ  ̂ iħ vào biểu thức của ̂ của dao động tử với U(x) cho bởi  px xx kx2 m 2 x 2 U=- F d kxd x x x 00 22 pm2 2ħ 2 2 ̂= x 2m 2  2 p x 27
34. Phƣơng trình Schrodinger tƣơng ứng ̂a( )=Ea( đối với hàm sóng a( ) Trong -biêu diễn là: 22 dax 2 p 22 E a px 0 d2 m ħ 2m p x Phƣơng trình này đƣa về dạng của phƣơng trình cho dao động tử điều hòa: 2m m22 x ψ" x 2 E ψ x 0 ħ 2 mp Nếu thay x x ħ mħ 1 1 2 n pp 2 ħ 4 xx Nhƣ vậy ta có: =(2 n) mπ exp  Hn 2mħ mħ Từ đây sự phân bố xác suất phải tìm là: 1  p2 p | | = exp xxH2 (5) n n 2 n! mπmħħ 2mħ Bài tập 6: Trong x biểu diễn ,hàm sóng của hạt có dạng i aa 1 px0 khi x eħ 22 ψ = a a 0, x 2 tìm dạng của hàm sóng này trong biểu diễn xung lƣợng. lời giải: Khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử xung lƣợng ipx x 1 ħ = e 2πħ 28
35. vì trị riêng của toán tử xung lƣợng có giá trị liên tục nên: ψ ∫ Trong đó = chính là hàm sóng sau biểu diễn xung lƣợng (p-biểu diễn) tìm đƣợc nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng: ⟨ | ⟩ a 1 2 ipx x ip0 x eħħ e d x 2πaħ a 2 a 2 i 1 p0x p x edħ = x 2πaħ a 2 a i 1 p0x p x 2 = eħ i p p 2πaħ a 0x 2 i a i a 1 p0 p x p 0 p x = eeħħ22 i p0x p 2πaħ 1 p p a = 2isin 0x ħ i p0x p 2πaħ 2 21ħ p p a Vậy hàm sóng trong p-biểu diễn: = sin 0x ħ πa p0x p 2 3.2. Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau Bài tập 1: Viết toán tử Haminton của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu diễn xung lƣợng . Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lƣợng. 29
36. Lời giải: Toán tử Haminton của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu diễn xung lƣợng có dạng: 2 Pm22  ̂= iħ 2m 2 P Pm2 2 2 = ħ2 2m 2  P2 Phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của ̂ ̂φ(p)=Eφ(p) Pm2 2 2 ħ2 φ(p)= Eφ(p) (6) 2m 2  P2 p 2E Đƣa vào thông số không thứ nguyên: = và đặt 힮= mħ ħ  ddξ Ta có: φ(p)= P dξ dp 1d φ(p) mħ dξ 2 1 d d  φ(p)= φ(p) 2 P mħ dp dξ 1d2 dξ = φ(p) mħ dξ2 dp 1d2 = φ(p) mdħ ξ2 Thay vào phƣơng trình (6): P2 m 2 1  2 ħ2 ( 2 )φ(p)=Eφ(p) 2m 2 mħ ξ 30
37. P22ħ  Eφ(p)=0 2 2m 2 ξ mħξE22 ħ  ħ  φ(p)=0 2 2m 2ξ 2 2 d 2 2 εξ φ(p)=0 dξ 2 d 2 2 εξ ̃(ξ)=0 (7) dξ Nghiệm của phƣơng trình có dạng: ξ2 ̃(ξ)=v(ξ)exp 2 Thay vào phƣơng trình (7) 2 ξ2 ξ2 d 2 2 2 2 v ξe +( ε ξ ) v ξ e =0 dξ 22 2 d ξξ ξ v ξ e22 v ξ ξ e +( ε ξ2 ) v ξ e 2 =0 dξ +( ε =0 k Nghiệm của phƣơng trình dạng: v ξ  ak ξ (8) k0 k 1 k Ta có : v ξ  kak ξ k 1 a k 1 ξ k 1 k 0 k 1 k v ξ  kk1aξ k 1 k2k1aξ k 2 k 2 k 0 Thay vào (8) 31
38. k k k  k 2 k 1 a k 2ξ 2ξ  k1aξ k 1 ε1  aξ k =0 k 0 k 0 k 0 k k k  k 2 k 1 a k 2ξ 2  ka k ξ ε 1  a k ξ =0 k 0 k 0 k 0 k  k 2 k 1 ak 2 2k 1 ε a k ξ =0 k0 2k 1 ε aak 2 k k 2 k 1 Đặt k=n, =0 2n+1= ε 1 Phổ năng lƣợng: = (n )ħ 2 Để xác định đƣợc hàm sóng ta sử dụng đa thức hermite +2n =0 = ξ2 2 φ( )= Ann e H ξ n n 22d = 1 eξξ e dξ2 1 mw4 1 = πħ 2n n! Bài tập 2: Tìm toán tử tọa độ và xung lƣợng trong biểu diễn xung lƣợng. Lời giải: Toán tử ̂ ⃗⃗ trong ⃗ -biểu diễn (trong biểu diễn xung lƣợng ) đƣợc xã định từ đẳng thức: 32
39. ̂ ⃗⃗ φ( ⃗ )=∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ φ( ⃗ )d ⃗ Trong đó φ( ⃗ ) là hàm sóng trong p-biểu diễn và ̂ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗⃗ Với ̂ là toán tử trong ⃗⃗ -biểu diễn và ⃗⃗ là hàm riêng của toán tử xung lƣợng ⃗̂ trong r-biểu diễn. i pr 1 ħ Hàm: ψp r 3 e 2πħ 2 *Khi ̂ ̂ ta có: ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ii 1 pr pr eħħ re dr 3 2πħ ii iħ pr pr eħħ e dr 3 2πħ p' i iħ p p r eħ dr 3 2πħ p' Chú ý rằng: i i i i p p r eħ dr e ħ (p p')dx e ħ (p p')dy e ħ (p p')dz xx y y z z px p' x pyy p' p z p' z =2 πδ 2πδ 2πδ ħ ħ ħ 3 = 2πħ δp x p'δp x y p'δp y z p' z 3 = 2πħ δ p p 33
40.  ħ Ta có: ripp δ p p p Toán tử ⃗⃗ trong p-biểu diễn đƣợc xác định bằng phƣơng trình: ̂ ⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗  ' iħ δ p p φ p' dp p ' idħ δ p p φ p' dp φ p' =0+ iħ δ p p dp' p φp = iħ p  Vậy rp iħ p *Khi ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗̂⃗ ∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ⃗⃗ ⃗⃗ ∫ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ [ ⃗ ⃗ ] ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Vậy ̂ ⃗⃗ ⃗ 34
41.  Trong p-biểu diễn có: r iħ p p p Bài tập 3: Tìm toán tử tọa độ trong biểu diễn Heisenberg của một hạt chuyển động tự do. Lời giải: Heisenberg qua Schrodinger ii Hˆ t Hˆ t ħħ xˆˆ t e xs e Vì hạt tự do P̂ ̂ 2 i ˆ 1i ˆˆ xˆ t x ˆ t H,x ˆ + t H, H,xˆ  ħ 2! ħ ̂ [ ̂ ] [P̂ ̂] ̂ [ ̂ ] ̂ ̂ ̂ Bài tập 4: Tìm toán tử tọa độ và xung lƣợng của một dao động tử tuyến tính trong bức tranh Heisenberg bằng cách giải các phƣơng trình chuyển động cho các toán tử ấy. Lời giải dxˆ t i Phƣơng trình chuyển động : H,xˆ ˆ t (9) dt ħ 35
42. dpˆ t i Tƣơng tự: H,pˆ ˆ t (10) dt ħ Liên hệ giữa một toán tử Heisenberg với toán tử Schrodinger của trạng thái bất kỳ: ii Htˆ Htˆ fˆˆ t eħħ fe Thay vào (9) ii dxˆ t i Htˆˆ Ht pˆ t eħħ H,xˆ ˆ e dt ħ μ Với piˆ dxˆ t pˆ t vˆ x ˆ H,xˆ ˆ (11) μħ dt μ Tƣơng tự cho (10), đối với dao động tử điều hòa ̂ ̂ ̂ dptˆ = ̂ (12) dt Nhƣ vậy ta thu đƣợc 2 phƣơng trình: (11) và (12) Giải ra ta đƣợc: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Xác định các toán tử hệ số từ điều kiện ban đầu: xˆ 0 x ˆ x ˆ 0 cc11 x ˆ pˆ pˆ 0 pˆ p ˆ 0 c ˆ μω c 22μω Vậy: 36
43. ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 37
44. Kết luận chƣơng 3 Trong chƣơng 3, tôi đã trình bày dạng bài tập của lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử: bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau, bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau. Và áp dụng các lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập dạng nêu trên. Qua đây, nhận thấy rằng các bài toán tìm các đại lƣợng động lực của các trạng thái của các hạt vi mô thì nếu hạt có đại lƣợng động lực nào là xác định thì nên giải quyết bài toán trong biểu diễn của các đại lƣợng động lực ấy là dễ nhất. 38
45. KẾT LUẬN Trong cuốn khóa luận này,tôi đã nghiên cứu và trình bày đƣợc các khái niệm cơ bản: Tọa độ, Xung lƣợng, Mômen xung lƣợng, Năng lƣợng. Các biểu diễn trong cơ học lƣợng tử nhƣ: biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lƣợng, biểu diễn năng lƣợng, biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn tƣơng tác. Và dạng bài tập của lý thuyết biểu diễn trong cơ học lƣợng tử: bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau, bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau. Ở trong phần trọng tâm của khóa luận, tôi đã áp dụng các lý thuyết biểu diễn để giải các bài tập về các trạng thái lƣợng tử trong các biểu diễn khác nhau và bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau. Tùy từng bài toán khác nhau mà ta dùng biểu diễn phù hợp để có thể giải đơn giản và nhanh chóng. Tuy nhiên, do trình độ, kinh nghiệm và thời gian còn nhiều hạn chế nên khóa luận văn này vẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để cuốn luận văn này đƣợc hoàn thiện hơn. 39
46. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phạm Quý Tƣ (1986), Cơ học lƣợng tử, NXB Giáo dục 2. Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học sƣ phạm 3. Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết của Vật lý lƣợng tử, NXB ĐHQG Hà Nội 4. Bài giảng Cơ lƣợng tử của các Thầy cô ở Tổ Vật Lý Lý Thuyết,khoa Lý, ĐHSP Hà Nội 2 5. Nguyễn Hữu Mình, Bài tập vật lý lý thuyết tập 2, NXB Giáo dục 40