›

Khóa luận Một số bài tập về liên kết trong cơ lý thuyết

pdf 50 trang thiennha21 15/04/2022 5670
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Một số bài tập về liên kết trong cơ lý thuyết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_mot_so_bai_tap_ve_lien_ket_trong_co_ly_thuyet.pdf

Nội dung text: Khóa luận Một số bài tập về liên kết trong cơ lý thuyết

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HOÀNG THỊ HOÀI LINH MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT TRONG CƠ LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HOÀNG THỊ HOÀI LINH MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT TRONG CƠ LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2018
  3. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan, người đã chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Hoàng Thị Hoài Linh
  4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kỳ khóa luận tốt nghiệp khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Hoàng Thị Hoài Linh
  5. Mục lục MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 4. Đối tượng nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc của khóa luận 2 N I DUNG 3 H NG : NH NG KH I NI M N 3 1.1 Phương trình chuyển động 3 1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc 3 . .2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ 4 . .3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên 6 1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ 7 . .5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu 10 .2 Xung lượng 11 .2. Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm 11 .2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. 12 .3 Momen xung lượng 14 .3. Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm 14 .3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất 15 .4 Năng lượng 17 .4. Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm. 17 .4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất 18 1.5 Tọa độ suy rộng 19 1.6 Số bậc tự do 20
  6. H NG 2: LI N K T 21 2. Khái niệm liên kết 21 2.2 Phương trình liên kết hình học 21 2.3 Phương trình liên kết động học 22 2.4 Liên kết lý tưởng 23 2.5 Dịch chuyển có thể và dịch chuyển ảo 24 2.6 Lực suy rộng 26 H NG 3: M T S I T P V LI N K T 27 3. ài tập về liên kết của vật với mặt tiếp xúc 28 3.2 ài tập về liên kết của các vật trong hệ với nhau 31 K T LU N 43 T I LI U THAM KH O 44
  7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ vai trò khá quan trọng. Nó giúp chúng ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn phần lý thuyết đã học. Một trong những học phần trong chuyên ngành vật lý được học ở đại học đó là môn ơ học lý thuyết. Đây là bộ môn khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian. Do đó số lượng bài tập tương đối nhiều và đa dạng. Ta có thể giải bài tập động lực học bằng các nguyên lý của cơ học. ác nguyên lý cơ học cũng cho phép ta thành lập được các phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ và điều kiện cân bằng của cơ hệ. Giải các bài tập bằng các nguyên lý của cơ học đặc biệt thuận lợi khi tìm các lực liên kết tác dụng vào cơ hệ. Đồng thời áp dụng công cụ cơ học giải tích là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu quy luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích, cho ta một phương pháp ưu việt để giải các bài tập cơ học. Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết”. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các loại liên kết 1
  8. - Giải quyết một số bài tập về liên kết 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết hình học - Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết động học - Ứng dụng để giải quyết một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết 4. Đối tƣợng nghiên cứu - Nghiên cứu liên kết một vật với các bề mặt tiếp xúc - Nghiên cứu liên kết của một cơ hệ với nhau 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán - Phương pháp nghiên cứu của cơ học 6. Cấu trúc của khóa luận - Đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết ” có kết cấu gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận. - Phần nội dung được chia làm 3 chương: hương : Những khái niệm cơ bản hương 2: Liên kết hương 3: Một số bài tập áp dụng 2
  9. NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NH NG KH I NIỆM CƠ BẢN 1.1 Phƣơng trình chuyển động 1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc a. Phương trình chuyển động Xét chuyển động của chất điềm M đối với hệ quy chiếu K được quy ước là đứng yên. Giả sử chất điềm M chuyển động trên đường cong AB. Đường cong do chất điểm chuyển động vạch ra trong không gian gọi là quỹ đạo của nó. Vị trí của M đối với hệ quy chiếu K được xác định bằng bán kính vectơ ⃗ kẻ từ gốc tọa độ O đến chất điểm M. Khi chất điểm M chuyển động thì bán kính vectơ ⃗ thay đổi cả về độ lớn và phương. Vì vậy, bán kính vectơ ⃗ là hàm của thời gian t: ( ) z A ⃗ = ⃗ (1.1) B Hệ thức trên xác định vị trí của chất điềm M trong không gian ở thời điểm t bất kỳ và được gọi là phương trình chuyển động của O chất điểm cho dưới dạng vectơ. Đó cũng chính x là phương trình quỹ đạo của chất điểm y cho dưới dạng thông số. b. Vectơ vận tốc: Để đặc trưng cho sự thay đổi bán kính vectơ ⃗ theo thời gian người ta đưa ra khái niệm vận tốc. Vận tốc là đại lượng vectơ đặc trưng cho độ nhanh, chậm, phương chiều chuyển động của chất điểm tại mỗi thời điểm và bằng đạo hàm hạng nhất của bán kính vectơ ⃗ theo thời gian. dr v (1.2) dt 3
  10. c. Vectơ gia tốc Để đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ vận tốc theo thời gian ta đưa vào khái niệm gia tốc. Gia tốc chuyển động của chất điểm là một đại lượng vectơ, bằng đạo hàm hạng hai theo thời gian của bán kính vectơ ⃗ dv d2 r w (1.3) dt dt2 Ở đây ta quy ước ký hiệu vi phân theo thời gian của một đại lượng bằng dấu chấm đặt trên ký hiệu của đại lượng ấy. . w v r 1.1.2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ Descartes ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ Descartes Ox, Oy, Oz là ⃗⃗ , ⃗⃗ , ⃗⃗ . Trong hệ tọa độ Descartes có thể biểu diễn bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của chất điểm M z dưới dạng: M ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (1.4) ⃗⃗ ⃗ Trong đó x, y, z là các thành phần của O bán kính vectơ ⃗ trên các trục tọa độ. ⃗⃗ ⃗⃗ y x Khi chất điểm chuyển động thì x, y, z đều biến đổi theo thời gian do đó ta có thể viết: ( ) ( ) (1.5) ( ) 4
  11. ác phương trình ( .5) gọi là các phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ hay còn gọi là phương trình quỹ đạo của chất điểm dưới dạng thông số trong tọa độ Descartes. Theo định nghĩa: ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ (1.6) Gọi là các thành phần của ⃗⃗ trên các trục tọa độ thì có thể viết ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Ta nhận được: ̇ , ̇ ̇ Nghĩa là mỗi thành phần của ⃗⃗ trên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng. Độ lớn của vận tốc: √ √ ̇ ̇ ̇ (1.7) Gọi là các góc hợp bởi vectơ vận tốc với các trục tọa độ. Hướng của vectơ vận tốc được xác định bởi các cosin chỉ phương: vx vy vz cosα , cosβ , cos γ v v v Theo định nghĩa của vectơ gia tốc ta có: dv d w ( ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ) dt dt ⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗ ̈ ⃗⃗ ̈ ⃗⃗ Gọi thành phần gia tốc trên các trục tọa độ là thì có thể viết: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Ta có thành phần gia tốc trên các trục tọa độ: ̈ ̈ , ̈ Độ lớn của gia tốc: 5
  12. √ √ ̈ ̈ ̈ (1.8) Gọi là góc hợp bởi véctơ gia tốc với các trục tọa độ thì phương của vectơ gia tốc được xác định bởi các cosin chỉ phương. w w x y wz cosα1 , cosβ1 , cos γ w w 1 w 1.1.3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên Khi quỹ đạo chuyển động của chất điểm cho biết trước thì dùng phương pháp tọa độ tự nhiên để mô tả chuyển động của chất điểm lại thuận lợi hơn. O1 Ta chọn điểm O1 trên quỹ đạo làm điểm gốc S để tính độ dài cung S của quỹ đạo. Chiều dương M d ⃗ của S lấy theo chiều tăng của nó trong quá trình ⃗ τ⃗⃗ d chuyển động. O Khi chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo bán kính vectơ ⃗ của nó sẽ biến đổi theo sự biến đổi của tọa độ cung S, còn bản thân tọa độ cung S sẽ biến đổi theo thời gian. ⃗ ⃗( ) , ( ) Phương trình ( ) được gọi là phương tình chuyển động của chất điểm theo quỹ đạo của nó. Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết, thuận tiện hơn ta dùng hệ tọa độ vuông góc tạo thành bởi các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗]. Hệ tọa độ này gọi là hệ tọa độ tự nhiên hay tam diệm tự nhiên. Vectơ vận tốc ⃗⃗ và vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ của chất điểm có thể biểu diễn dưới dạng: 6
  13. dr dr ds v ̇ ⃗⃗ (1.9) dt ds dt dv dn w ̈ ⃗⃗ ( ̇) τ (1.10) dt ds dr Trong đó τ là vectơ đơn vị, tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo ds chiều chuyển động của chất điểm. Hình chiếu của ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ trên các trục của tọa độ tự nhiên có dạng: ̇ s 2 ̈ w , w 0 nbR Biết các thành phần ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ta xác định được độ lớn và hướng của nó: √ ̇ (1.11) ̇ √ √( ̈) ( ) (1.12) ̈ ̇ Trong đó là các góc tạo bởi vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ với các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗. 1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của chất điểm M được xác định bởi ba tọa độ . z ⃗⃗ Khi đó bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của ⃗⃗φ O ρ chất điểm M được viết dưới dạng 1 M’ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) (1.13) 휃 ρ O ρ φ y x M 7
  14. Những tọa độ trụ của điểm M liên hệ với các tọa độ Descartes của nó bằng các hệ thức sau đây: (1.14) ⃗⃗ Những vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ trong hệ tọa độ trụ liên hệ với các vectơ đơn vị ⃗ ⃗ ⃗⃗ trong hệ tọa độ Descartes được xác định như sau ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗⃗ ] ⃗ ⃗ Khi chất điểm M chuyển động thì các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ thay đổi chiều nên đạo hàm của chúng theo thời gian bằng: ̇ ⃗⃗ ̇ ( ⃗ ⃗ ) ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ (⃗ ⃗ ) ̇ ⃗⃗ Phương trình chuyển động của chất điểm ở trong hệ tọa độ trụ: khi chất điểm M chuyển động thì đều biến đổi theo thời gian: ( ) ( ) (1.15) ( ) Vận tốc của chất điểm trong hệ tọa độ trụ: ⃗ ⃗ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗ = ̇ ̇ ̇ √ √ ̇ ( ̇ ) ̇ (1.16) 8
  15. Gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ trụ: d ⃗⃗ d ⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ) ⃗⃗ ( ̇ ) ⃗⃗ ̈ ⃗⃗ d d ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 1d ̈ w ρ2 φ , ̈ φ ρ dt √ ⁄ {( ̈ ) [ ( ̇ )] ̈ } Khi chất điểm M chỉ chuyển động trong mặt phẳng thì z = 0 và hệ tọa độ trụ chuyển thành hệ tọa độ cực. Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ cực: + Phương trình chuyển động: ( ) , ( ) + Vận tốc: √ √ ̇ ( ̇ ) + Gia tốc: √ ⁄ d {( ̈ ) [ ( ̇ )] } d 9
  16. 1.1.5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu. Vị trí của chất điểm M trong hệ tọa độ cầu z 푛⃗⃗ được xác định bằng ba tọa độ . M 푛⃗⃗휑 Khi chất điểm chuyển động thì 휃 O 푛⃗⃗휃 y đều biến đổi theo thời gian. 휑 x ( ) ( ) ( ) (1.17) Đây chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ tọa độ cầu. Mối liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes được các định bằng các công thức: (1.18) Với , , ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ cầu liên hệ với các vectơ đơn vị trong hệ tọa độ Descartes: r1 nr ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) rr = ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗ ⃗ Đạo hàm bậc nhất theo thời gian các vectơ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ 10
  17. ác phương trình chuyển động, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ cầu được biểu diễn dưới dạng: ( ) ⃗⃗ ( ) (1.19) dr v ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ dt ̇ ( ̇ ̇ ) (1.20) dv w ̈ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗̇ ⃗⃗̈ dt √ (1.21) π Khi θ thì hệ tọa cầu chuyển thành hệ tọa độ cực. Khi đó ̇ ̈ và 2 chất điểm chuyển động trong mặt phẳng xOy. 1.2 Xung lƣợng 1.2.1 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc ⃗⃗ của nó được gọi là xung lượng ⃗⃗ của chất điểm. ⃗⃗ ⃗⃗ (1.22) Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động nên từ (1.22) có thể nhận được định luật biến thiên xung lượng ⃗⃗̇ ⃗⃗ (1.23) Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm: “ Đạo hàm của xung lượng theo thời gian bằng tổng các lực tác dụng lên chất điểm.” Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn. Ví dụ: Fz = 0 thì Fz bảo toàn 11
  18. hú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bằng 0. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm: “ Nếu chất điểm là cô lập (không có lực tác dụng) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo toàn.” ̇ ⃗⃗ hay ⃗⃗ ⃗⃗ = const. 1.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. Ký hiệu xung lượng của chất điểm là ⃗⃗ thì theo định nghĩa NN P  Pi m i v i (1.24) i 1 i 1 Trong đó ⃗⃗ ⃗⃗ là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung lượng của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của chất điểm trong hệ. Đạo hàm hai vế của phương trình theo thời gian N dP dvi mi dti1 dt dP N mwii (1.25) dt i1 Trong đó ⃗⃗⃗⃗ là gia tốc của chất điểm thứ i. NN in e ó: mi w i (F i F i ) (1.26) i 1 i 1 N in Với: Fi là tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. i1 N e Fi là tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. i1 12
  19. NNN FFin Ta có: i  ij i 1 i 1 j1 ij NNNNN FFFin i  ij  ij i 1 i 1j 1 i 1 j 1 i j i j NNNNN FFFin i  ji  ji i 1 i 1j 1 i 1 j 1 i j i j NN Fin (F F ) 0 Do đó: i ij ji i1 i.j 1 ji Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0 Khi đó (1.26) trở thành: NN e mi w i F i (1.27) i 1 i 1 Thay (1.27) vào (1.25) ta được N dP e Fi dt i1 dP e F hay ⃗⃗̇ ⃗⃗ (1.28) dt Biểu thức (1.28) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:“ Đạo hàm vectơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ” * Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên trục cố định nào đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của hệ trên trục đó bảo toàn. Ví dụ: thì Pz = const. 13
  20. Trong trường hợp cơ hệ là kín mà trong đó các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay ⃗⃗ . ⃗⃗ ⃗⃗ = const Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn” 1.3 Momen xung lƣợng 1.3.1 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm Để đưa đến khái niệm momen xung lượng của một chất điểm ta đem nhân hữu hướng hai vế của phương trình định luật II Niuton với bán kính vectơ ⃗ về phía trái, ta có: [ ⃗ ⃗⃗̇ ] [ ⃗ ⃗⃗] (1.29) Tích hữu hướng [ ⃗ ⃗⃗] được gọi là momen lực được ký hiệu là ⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗] (1.30) Vì [ ⃗⃗ ⃗⃗] nên có thể biến đổi vế trái của (1.29) thành dạng: dM [ ⃗ ⃗⃗̇ ] (1.31) dt Trong đó ⃗⃗⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗̇ ] được gọi là momen xung lượng của chất điểm. Từ (1.29), (1.30), (1.31) ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên momen xung lượng của chất điểm. ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗ Định luật biến thiên momen xung lượng của chất điểm được phát biểu: “ Đạo hàm momen xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng momen lực tác dụng lên chất điểm đó.” * Nếu thành phần momen lực tác dụng lên một trục cố định nào đó tại mọi thời điểm bằng 0 thì thành phần momen xung lượng của chất điểm trên trục đó được bảo toàn. 14
  21. Nhận xét: Momen lực ( hay các thành phần của nó trên trục nào đó) bằng 0 khi lực tác dụng lên chất điểm bằng 0. Nhưng cũng có thể xảy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà momen lực lại bằng 0. Định luật bảo toàn momen xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 hoặc lực cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm thì momen xung lượng của chất điểm được bảo toàn.” ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = const 1.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có dạng: ̈ ⃗⃗ ⃗⃗ mi ⃗ (i = 1,2, , N) Nhân hữu hướng vế bên trái của phương trình này với bán kính vectơ ⃗ của chất điểm thứ i ta nhận được phương trình xác định sự biến thiên của momen xung lượng của chất điểm thứ i. ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗ ⃗⃗ (1.32) ⃗⃗ ⃗⃗ Trong đó: [ ⃗ ] là momen nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i ⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ] là momen ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i ̇ ⃗⃗⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗ ] là monem xung lượng của chất điểm thứ i Lấy tổng biểu thức (1.32) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được: NN ̇ LLin e ⃗⃗⃗⃗ ii i 1 i 1 Trong đó ⃗⃗⃗⃗ là momen xung lượng của hệ, bằng tổng momen xung lượng của các chất điểm trong hệ. 15
  22. N MM  i i1 ác lực tương tác giữa mỗi cặp chất điểm theo định luật III Niuton thì bằng nhau về độ lớn và hướng ngược chiều nhau trên đường thẳng nối các chất điểm tương tác. Do đó ta có thể biểu diễn momen lực theo tất cả các cặp chất điểm tương tác. NNNN Lin r F r.F r .F i  i  ji  i ji j ij  i 1 i 1 i, j 1 i, j 0 i j i j N in L0i (1.33) i1 Bởi vì [ ⃗ ⃗⃗ ] [ ⃗ ⃗⃗ ] [( ⃗ ⃗ ) ⃗⃗ ] (vì ⃗⃗ cộng tuyến với ⃗ = ⃗ ⃗ ) Từ biểu thức (1.32) và ( .33) ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên momen xung lượng của hệ chất điểm: ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗ Định luật biến thiên momen xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm momen xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng momen ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”  Nếu thành phần của tổng momen ngoại lực trên một trục cố định nào đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của momen xung lượng của hệ trên trục đó được bảo toàn. Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, momen xung lượng của hệ không thay đổi ” ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = const 16
  23. 1.4 Năng lƣợng 1.4.1 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm. Để thiết lập định luật biến thiên động năng của chất điểm ta nhân vô hướng hai vế của phương trình ⃗⃗̇ ⃗⃗ với dịch chuyển d ⃗, ta được: m ⃗⃗̇ d ⃗⃗⃗ = ⃗⃗ d ⃗ Đại lượng ⃗⃗ d ⃗ được gọi là công nguyên tố của lực ⃗⃗ trên dịch chuyển d ⃗ và được ký hiệu dA. dA = ⃗⃗ d ⃗ Ta biến đổi vế trái của phương trình trên: dv mv2 m dr = ⃗⃗ d ⃗⃗ = d dt 2 mv2 Gọi T là động năng của chất điểm: T = 2 Biểu thức của định lý biến thiên động năng dT = dA (1.34) Định lý biến thiên động năng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Vi phân động năng của chất điểm bằng công nguyên tố của lực tác dụng lên chất điểm” Lấy tích phân hai vế phương trình ( .34) từ ⃗ đến ⃗ ta nhận được: r mv22 mv 1 10 = F dr A (1.35) 22 r0  Từ phương trình ( .35) ta thấy rằng, nếu không biết định luật chuyển động của chất điểm, nghĩa là không biết hàm ⃗( ) , thì ta sẽ không tính được công trên một dịch chuyển hữu hạn của chất điểm và đồng thời cũng không thể tính được độ biến thiên hữu hạn của động năng của nó. Tuy nhiên 17
  24. đối với một số lực không biết phương trình chuyển động ⃗( ) ta vẫn có thể xác định được độ biến thiên hữu hạn của động năng. Đó là những lực thế. Lực thế là những lực mà ta có thể biểu diễn dưới dạng: ⃗⃗ ( ⃗) Trong đó ( ⃗) là hàm vô hướng chỉ phụ thuộc vào vị trí của chất điểm được gọi là thế năng của chất điểm. ông nguyên tố của lực thế là một vi phân toàn phần. Thật vậy: dA = ⃗⃗ d ⃗ ( ⃗)d ⃗ = d (1.36) Theo định nghĩa cơ năng của chất điểm bằng tổng động năng cộng thế năng của nó: E = T + U Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được: dE dT dU dt dt dt dT dA dA dU Từ định lý biến thiên động năng có và từ (1.36) có dt dt dt dt dE mv2 Vậy 0 hay E ( ⃗) = const. dt 2 Định luật bảo toàn cơ năng cho ta một tích phân đầu của chuyển động. Tích phân này cho phép xác định độ lớn của vận tốc là một hàm của vị trí mà không phải tìm nghiệm của phương trình chuyển động. 1.4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. Nếu nhân hai vế phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm: ̈ ⃗⃗ ⃗⃗ mi ⃗ (i = 1,2, , N) với dịch chuyển tương ứng d ⃗ của chất điểm thứ i thì ta sẽ nhận được biểu thức xác định sự biến thiên động năng của chất điểm thứ i. 18
  25. d d d (1.37) mv2 Trong đó: T ii là động năng của chất điểm thứ i i 2 d và d là các công nguyên tố của nội và ngoại lực trên dịch chuyển d ⃗ của chất điểm thứ i. Lấy tổng (1.37) theo tất cả các chất điểm trong hệ ta được: dT = d d N Trong đó T = Ti là động năng của hệ, bằng tổng động năng của các i1 chất điểm trong hệ. d là công nguyên tố của tất cả các nội lực d là công nguyên tố của tất cả các ngoại lực Định lý biến thiên động năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Vi phân động năng của hệ chất điểm bằng công nguyên tố của tất cả nội lực và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”  Đối với hệ kín thì cơ năng cũng không đổi nên định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “Khi cơ hệ là kín hoặc các lực tác dụng lên cơ hệ đều là những lực thế thì cơ năng của hệ bảo toàn” E = E0 = const. 1.5 Tọa độ suy rộng Để đơn giản, ta khảo sát cơ hệ Hôlômôn gồm N chất điểm Mi ( i = ̅̅ ̅ ̅̅ ) với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình: ( ⃗ , ⃗ , , ⃗ , t) = 0 ( ̅̅̅ ̅ ̅) (1.38) Nếu n phương trình liên kết này độc lập thì trong số 3N tọa đồ Descartes xi, yi và zi ( i = ̅̅ ̅̅ ̅ ) có s = 3N – n tọa độ độc lập. Muốn xác định đơn giá vị trí của cơ hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập. 19
  26. Ta ký hiệu s thông số độc lập là q1, q2, , qs. Những thông số độc lập cần thiết qk ( k = ,2,3, S) để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là những tọa độ suy rộng. Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó. Giữa tọa độ suy rộng q1, q2, , qs và các bán kính vectơ ⃗ (i = 1,2, N) có mối liên hệ được biểu diễn bởi phương trình: ⃗ = ⃗ ( q1, q2, , qs, t ) (i= ̅̅ ̅̅ ̅ ) Hay xi = xi ( q1, q2, , qs, t ) yi = yi (q1, q2, , qs, t ) zi = zi (q1, q2, , qs, t ) 1.6 Số bậc tự do Ta hãy xét một cơ hệ gồm N chất điểm M1, M2, M3, , MN chuyển động với hệ quy chiếu quán tính.Vị trí của chất điểm M1 trong không gian được xác định bởi bán kính vectơ ⃗ hay 3 tọa độ Descartes xi, yi, zi. Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính vectơ ⃗ ( i = ̅̅ ̅̅ ̅ ) hay 3 tọa độ Descartes xi, yi, zi ( i = ̅̅ ̅̅ ̅ ). Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do. Vị trí của vật rắn trong không gian được xác định bởi ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng. a điểm như vậy có 6 bậc tự do. Vậy vật rắn chuyển động bất kỳ trong không gian có 6 bậc tự do 20
  27. CHƢƠNG 2: LIÊN KẾT 2.1 Khái niệm liên kết ơ hệ được gọi là cơ hệ tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ thể có thể chiếm những vị trí bất kì trong không gian và có những vận tốc bất kì. Nói khác đi, cơ hệ tự do thì vị trí vận tốc của những chất điểm của cơ hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện nào. Số bậc tự do của cơ hệ là 3N. Trong thực tế, ta thường gặp cả những cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm tạo thành nó bị hạn chế bởi những điều kiện nào đó. Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết. Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bằng một thanh có độ dài r12 là một cơ hệ không tự do. Sáu tọa độ Descartes xác định vị trí hai chất điểm phải thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) (2.1) Do đó những tọa độ Descartes này không phải là những thông số độc lập vì giữa chúng có liên hệ với nhau bởi phương trình (2.1). Chỉ có 5 trong 6 tọa độ Descares là độc lập. Vậy cơ hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi có 5 bậc tự do. 2.2 Phƣơng trình liên kết hình học Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi k phương trình: ̅̅̅̅̅ ( x1, y1, z , , xN, yN, zN, ̇ , ̇, ̇ , , ̇ ̇ ̇ , t ) = 0 ( ) (2.2) ̇ ̇ ̇ ̅̅̅̅̅ Hay: ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ) ( ) (2.3) ó thể viết dưới dạng ngắn gọn: 21
  28. ̇ ̅̅̅̅̅ ( ⃗ ⃗ ) ( ) (2.4) Trường hợp đặc biệt, khi phương trình liên kết không phụ thuộc vận tốc ̇ ⃗ thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học. Đối với liên kết hình học ta có: ̇ ̅̅̅̅̅ ( ⃗ ,t ) = 0 ( ) (2.5) 2.3 Phƣơng trình liên kết động học ̇ Những phương trình liên kết (2.4) phụ thuộc vào vận tốc ⃗ biểu diễn những liên kết động học đặt lên cơ hệ. Trong thực tế, ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi n phương trình liên kết hình học (2.5) và m phương trình liên kết động học có dạng: N ̇ ( ax by cz) g ( ⃗ ⃗ ) =  βi i β i i β i i β i1 N p ̇ ̅̅̅̅̅ =  βi ⃗ + ( ( ) (2.6) i1 Trong đó những hàm của ⃗ , t. là ba hình chiếu của vectơ ⃗⃗ nào đó trên các trục tọa độ Descartes. Những phương trình (2.6) có thể được viết dưới dạng tương đương : N fdt pdr gdt 0 ̅̅̅̅̅ β  βi i β ( ( ) (2.7) i1 Vi phân đẳng thức (2.5) cho ta: N ffαα dfαi  dr dt 0 ( ̅̅̅ ̅ ̅ ) (2.8) i1 rti Dễ thấy phương trình (2.8) biểu diễn liên kết động học tương đương với liên kết hình học (2.5) vì tích phân (2.7) cho ta: 22
  29. ( ⃗ ) ( ⃗ ) ( ̅̅̅ ̅ ̅ ) (2.9) Trong đó là hằng số tùy ý. Liên kết động học (2.8) gọi là liên kết động học tích phân được. Đối với liên kết động học tích phân được, ta có thể dẫn nó về liên kết hình học. Tuy nhiên, không phải mọi liên kết động học là những liên kết động học tích phân được. Nếu vế trái của phương trình (2.7) không thể biểu diễn qua vi phân toàn phần của một hàm nào đó của các biến số ⃗ ,t thì liên kết động học như vậy gọi là liên kết động học không tích phân được. ơ hệ không chịu liên kết động học không tích phân được đặt lên nó gọi là cơ hệ Hôlônôm. ơ hệ tự do, cơ hệ chịu liên kết hình học ( phương trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc ) hay liên kết động học tích phân được ( phương trình liên kết chứa yếu tố vận tốc nhưng nhưng nhờ phép tính tích phân được đưa về dạng không chứa yếu tố vận tốc) đặt lên chúng đều là những cơ hệ Hôlônôm. Đối với những cơ hệ Hôlônôm, liên kết đặt lên nó luôn có thể biểu diễn bằng những phương trình (2.5). Ngược lại, cơ hệ chịu liên kết động học không tích phân được đặt lên nó gọi là cơ hệ không Hôlônôm. 2.4 Liên kết lý tƣởng Giả sử có chất điểm chuyển động dưới tác dụng của lực ( ̅̅ ̅̅ ̅). Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niuton ta có: ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Fi Khi đặt lên hệ thì gia tốc wi c thể không thỏa mãn mi các phương trình liên kết. Thật vậy, lấy đạo hàm bậc hai của phương trình (1.38) theo thời gian ta nhận được những phương trình mô tả sự hạn chế gia tốc của những chất điểm của cơ hệ 23
  30. NN fα d  f α  f α wii ( )v 0 ( ) (2.10) i 1rii i 1 dt  r  t Fi Gia tốc wi có thể không thỏa mãn phương trình (2. 0). Điều ấy có mi nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mi một lực nào đó gọi là phản lực liên kết. Ký hiệu phản lực liên kết là ⃗⃗⃗ thì phương trình chuyển động của chất điểm không tự do có dạng: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ (i = 1,2, , N) (2.11) Để phân biệt với phản lực ⃗⃗⃗ ta gọi ⃗⃗ là lực chủ động tác dụng lên chất điểm. Liên kết được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng 0, nghĩa là: NN Niiδr (Nδx ixi Nδy iyi Nδz) izi 0 (2.12) i 1 i 1 2.5 Dịch chuyển có thể và dịch chuyển ảo Một tập hợp những vectơ dịch chuyển vô cùng bé d ⃗ ( i = 1,2, N ) thỏa mãn phương trình liên kết (2.7) và (2.8) gọi là những dịch chuyển có thể. Ví dụ: Giả sử chất điểm Mi chuyển động trên một mặt phẳng cho trước. Ở thời điểm t, vị trí của chất điểm M d ⃗ được xác định bởi bán kính vectơ ⃗ M K Ở thời điểm t + dt,vị trí của chất điểm ⃗ M được xác định bởi bán kính vectơ ⃗ d ⃗ ⃗ d ⃗ O Vị trí M và K là những vị trí nằm trong mặt phẳng, đều là những vị trí có thể có của chất điểm Mi. Vectơ d ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ là vectơ dịch chuyển có thể. 24
  31. Dịch chuyển thực d ⃗ của chất điểm Mi cũng phải thỏa mãn phương trình liên kết (2.7) và (2.8). Vậy dịch chuyển thực d ⃗ của chất điểm là một trong những dịch chuyển có thể. Giả sử tại thời điểm t, ta lấy hai hệ thống vectơ dịch chuyển có thể d ⃗ và d ⃗ Hiệu hai vectơ d ⃗ và d ⃗ là một vectơ d ⃗ δ ⃗ vô cùng bé và được ký hiệu ⃗ M d ⃗ N Tập hợp những vectơ ⃗ = d ⃗ d ⃗ gọi là những vectơ dịch chuyển ảo. ác vectơ dịch chuyển có thể d ⃗ và d ⃗ thỏa mãn những phương trình liên kết: N ff dr' dt 0 ̅̅̅̅̅  ' i ( ) (2.13) i1 rti N ' p dr g dt 0 ̅̅̅̅̅  βi i β ( ) (2.14) i1 N ff  dri dt=0 ( ̅̅̅ ̅ ̅) (2.15) i1 rti N p dr g dt 0 ̅̅̅̅̅  βi i β ( ) (2.16) i1 Trừ phương trình (2. 3) cho phương trình (2. 5) và phương trình (2. 4) cho phương trình (2. 6) ta thu được những phương trình đối với hệ vectơ dịch chuyển ảo ⃗ . NN f  fα  f α  f α δri ( δx i δy i δz)0 i ( ̅̅̅ ̅ ̅) (2.17) i 1ri i 1  x i  y i  z i 25
  32. NN p δr (a δx b δy c δz ) 0 ̅̅̅̅̅ βi i β i i β i i β i i ( ) (2.18) i 1 i 1 Trong đó là ba hình chiếu của vectơ ⃗ trên các trục tọa độ x, y, z. 2.6 Lực suy rộng Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực chủ động ⃗⃗ . Giả sử cơ hệ có n bậc tự do. ông thức lực chủ động trên di chuyển khả dĩ ⃗ gọi tắt là công khả dĩ ( công ảo ) xác định như sau: NN δA  δAk F k δr k (2.19) k 1 k 1 Với ⃗ ⃗ ( q1, q2, , qn ), ta có n rk ⃗ ⃗ ( q1, q2, , qn )=  δqi (2.20) i1 qi Thế ( 2.20 ) vào ( 2. 9 ), ta được N n N n rrkk δA  (Fk  δq i  ( F k δq i ) k 1 i 1qqii k 1 i 1 n N n rk (  Fk )δq i  Q i δq i (2.21) i 1 k 1qi i 1 Với NN rk  x k  y k  x z Qi  F k ( F kx F ky F kz ) (2.22) k 1qi k 1  q i  q i  q i gọi là lực suy rộng thứ i của cơ hệ. 26
  33. Trong thực hành muốn tìm ta tính công ảo của lực rồi chia cho biến phân nghĩa là: δA Qi ( khi mọi , i j) δqi 27
  34. CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT 3.1 Bài tập về liên kết của vật với mặt tiếp xúc Bài tập 1: Hãy chứng minh rằng liên kết của một chất điểm chuyển động không ma sát trên một mặt phẳng nhẵn là liên kết lý tưởng? Giải: Một chất điểm chuyển động ⃗⃗⃗ trên một mặt nhẵn ( không ma sát ) thì 훿 ⃗ phản lực liên kết ⃗⃗⃗ vuông góc với dịch 훿 ⃗ chuyển ảo ⃗ nên ⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Bài tập 2: Hai vật rắn nối liên với nhau bằng một bản lề mà khối lượng và kích thước của bản lề có thể bỏ qua. Hãy chứng minh rằng liên kết của vật rắn là liên kết lý tưởng? Giải: Gọi ⃗ và ⃗ là những bán kính vectơ xác định vị trí tiếp xúc của vật thứ nhất và vật thứ hai đối với bản lề. Vì kích thước của bản lề bé nên có thể coi ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ Gọi ⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗ là những phản lực liên kết do bản lề tác dụng lên vật thứ nhất và vật thứ hai. O Theo định luật III Niuton vật thứ nhất và vật thứ hai tác dụng lên bản lề những lực ⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Phương trình chuyển động của bản lề có dạng: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Trong đó m là khối lượng của bản lề, vì m bỏ qua nên ⃗⃗ ⃗⃗ và ta có ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 28
  35. Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi di chuyển ảo bằng: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗ Bài tập 3: Hãy chứng minh rằng liên kết đặt lên vật rắn quay quanh một điểm cố định là liên kết lý tưởng? Giải: Vật rắn quay quanh một điểm cố định O. Vì điểm đặt của phản lực liên kết không dịch chuyển nên ⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Bài tập 4: Hãy chứng minh rằng liên kết đặt lên vật rắn lăn không trượt trên một vật rắn khác là liên kết lý tưởng? Giải : Một vật rắn lăn không trượt trên một vật rắn khác. Điểm tiếp xúc M giữa hai vật có vận tốc tương đối bằng không. ⃗⃗⃗ Điểm M chính là điểm đặt của phản lực 11 liên kết ⃗⃗⃗ do vật thứ hai tác dụng lên vật thứ nhất. M 2 f Đối với liên kết dừng α 0 thì những vectơ dịch chuyển có thể d ⃗ và t những vectơ dịch chuyển ảo ⃗ đều thỏa mãn phương trình: NN ffαα drii δr 0 ( ) i 1rrii i 1 Vậy đối với liên kết dừng thì dịch chuyển ảo ⃗ trùng với dịch chuyển có thể d ⃗ = ⃗⃗ d . Tại điểm tiếp xúc M ta có ⃗⃗ nên d ⃗ ⃗⃗d ⃗ Vậy ⃗⃗⃗ ⃗ . Bài tập 5: Một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên mặt phẳng AC của chiếc nêm A cố định ( trục của hình trụ luôn 29
  36. hướng theo phương nằm ngang ) có hình tam giác vuông, góc A = α. Xác định hàm Lagrange của hệ và gia tốc chuyển động tịnh tiến của khối trụ. Giải: Khối trụ đồng chất chỉ chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng AC của nêm nên số bậc tự do của hệ là . Chọn trục tọa độ Ox song song với mặt nêm, hướng xuống. A O x 훼 B C Chọn tọa độ x là tọa độ suy rộng. Động năng của khối trụ bao gồm động năng tịnh tiến của khối tâm và động năng quay quanh điểm tiếp xúc với nêm: 11 T = mx22 Jω 22 1 2 J1 mr là momen quán tính của trụ đối với trục đi qua tâm của trụ. 2 Theo định lý Huyghen – Stainơ, momen quán tính của trụ đối với trục quay đi qua điểm tiếp xúc với nêm và song song với trục của trụ: 3 J = J + mr2 = mr2 1 2 v = ̇ = r 1 1 3 5 T = mx2 mr 2ω 2 mx 2 2 2 2 4 Chọn gốc thế năng là vị trí ban đầu của khối trụ. Thế năng của vật rắn: 30
  37. U = - mg Hàm Lagrange mô tả chuyển động của vật rắn: 5 L = T + U = ̇ + mg 4 Phương trình Lagrange: d L L 0 dt x x L5 d L 5 L ̇ , ̈ , = mg x2 dt x 2 x Thay vào phương trình Lagrange ta có: 5 ̈ mg = 0 2 2gsin α ̈ 5 2gsinα ̇ t x0 5 gsinα 2 t x00 t x 5 gsin α 2 Vì ̇ nên t 5 3.2 Bài tập về liên kết của các vật trong hệ với nhau Bài tập 1: Hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bởi một thanh có độ dài không đổi và khối lượng của thanh bỏ qua. Thanh là liên kết đặt lên hai chất điểm có phải là liên kết lý tưởng không? Giải: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ M1 M2 Gọi ⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗ là phản lực liên kết do thanh tác dụng lên chất điểm thứ nhất và thứ hai. ⃗ ⃗ O 31
  38. Theo định luật III Niuton, chất điểm M1 và M2 sẽ tác dụng lên thanh những lực ⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Khối tâm sẽ chuyển động theo phương trình: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Trong đó m là khối lượng của thanh, ⃗⃗⃗⃗ là gia tốc khối tâm của thanh. Vì khối lượng thanh bỏ qua nên ⃗⃗ ⃗⃗ và do đó ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi dịch chuyển ảo bằng: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ) Nếu ⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ), trong đó là hằng số thì: C 2 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ δ r r 0 vì ( ⃗ ⃗ ) const. 2 12 Những liên kết đặt lên vật rắn kiểu như vậy là liên kết lý tưởng. Bài tập 2: Hai vật A, có khối lượng mA, mB được nối với nhau bằng sợi dây không dãn, không khối lượng và vắt qua ròng rọc E khối lượng m và bán kính r. Hệ các vật A, , E được buộc vào đầu một lò xo có hệ số cũng là , đầu còn lại của lò xo buộc cố định. Giả sử mB > mA và ở thời điểm đầu hệ đứng yên ở trạng thái không dãn của lò xo. Xác định hàm Lagrange của hệ và gia tốc của các vật A, B. 32
  39. Giải: E B A Hệ gồm 3 vật E, A, B. Ba vật chỉ chuyển động lên xuống ( dọc theo trục x ). ác tọa độ y, z đều bằng 0, ta có 6 phương trình liên kết. Vật A, được nối với nhau bằng sợi dây không dãn nên khoảng cách giữa hai vật bằng không đổi. Ta có thêm một phương trình liên kết. Vậy số bậc tự do của cơ hệ: s = 3N – n = 3.3 – 7 = 2 Chọn x là quãng đường đi của A, B; y là độ dãn của lò xo làm tọa độ suy rộng. Theo giả sử mB > mA => PA > PB. So với ròng rọc E, vật B chuyển động đi xuống và vật A chuyển động đi lên. Động năng của cơ hệ bao gồm động năng tịnh tiến của A, , ròng rọc và động năng quay của ròng rọc: 122 1 1 1 T = myx mxy my22 Jω 2AB 2 2 2 33
  40. Trong đó: là momen quán tính của ròng rọc E x r Thế năng của cơ hệ bao gồm thế năng hấp dẫn của hệ A, và thế năng đàn hồi của lò xo: 1 ( ) Cy2 2 Hàm Lagrange của hệ: ̇ ( ̇ ̇) ( ̇ ̇) ̇ ( ) ̇ ̇ ( ̇ ̇ ̇) ( ̇ ̇ ̇) ( ) Phương trình Lagrange mô tả chuyển động của hệ: d L L 0 (1) dt x x d L L 0 dt y y (2) ̇ ̇ ( ̇ ̇) ( ̇ ̇) ( ̇ ̇) ( ̇ ̇) ̇ d ̇ ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) d ̇ } x Từ (1): ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) PP r2 BA 34
  41. 1 Thay J mr2 ( trụ đặc ) 2 1 ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) m x P P (1’) 2 BA ( ̇ ̇) ( ̇ ̇) ̇ ̇ d ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) ̈ d ̇ } ’ Từ (2): ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) ̈ (2 ) Giải hệ phương trình: ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) ̈ { ( ̈ ̈) ( ̈ ̈) ̈ ( ) ̈ ( ) ̈ ( ) { ( ) ̈ ( ) ̈ ( ) Rút ̈ từ ( ’): ( ) ( ) ̈ ̈ Thay vào (2”) ta có: ( )( ) ( ) ̈ ( ) ̈ 35
  42. 1 Đặt m 2 ( ) ( ) ̈ ̈ [ ( ) ] ̈ ( ) ( ) ̈ ( ) ( ) Đặt ( ) ( ) ( ) Ta có: ̈ Nếu ở thời điểm t = 0, và ̇ , nghiệm là: a 1 coskt k2 a ̇ sin kt k ̈ Thay vào ( ”): ̈ ( ) ( ) ( ) ̈ Sau khi buông tay, ròng rọc chuyển động đi xuống do lò xo dãn một đoạn . Sau đó ròng rọc E ở trạng thái đứng yên do tổng các lực do 36
  43. dây treo và lò xo tác dụng lên ròng rọc cân bằng nên phản lực liên kết . ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ là các phản lực liên kết do dây treo tác dụng lên A, . Dây treo không dãn, không khối lượng nên . ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Gọi ⃗ , ⃗ là dịch chuyển ảo của A, B. Dây treo không dãn nên quãng đường dịch chuyển của 2 vật bằng nhau. ⃗ ⃗ Vậy tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi dịch chuyển ảo bằng: ∑ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ Vậy hệ liên kết lý tưởng. Bài tập 3: Hãy tìm trọng lực của hai tải trọng được giữ cân bằng nhờ tải trọng P trên các mặt phẳng nghiêng những góc và so với phương ngang. Biết rằng tải trọng buộc vào hai đầu dây cáp, dây này đi từ tải trọng luồn qua ròng rọc O1 đặt trên trục nằm ngang rồi lồng vào ròng rọc động mang tải trọng P, sau đó luồn qua ròng rọc O2 cùng nằm trên trục của ròng rọc O1 và cuối cùng buộc vào tải trọng Bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây cáp. Giải: 37
  44. + O1 O2 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + O ⃗⃗ ⃗⃗ ∝ 훽 ⃗⃗ ác lực tác dụng lên cơ hệ là: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ là các lực chủ động tác dụng lên hệ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là các lực liên kết ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là các phản lực liên kết Gọi ⃗ ⃗ ⃗ là dịch chuyển ảo của cơ hệ. ( trong cơ hệ lực căng sẽ triệt tiêu hết ) Để hệ thống cân bằng theo nguyên lý dịch chuyển ảo thì ta có: ∑ ⃗⃗ ⃗  ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ Giả sử P2 đi xuống một đoạn P1 đi lên một đoạn ó: Chọn chiều dương là chiều dịch chuyển ảo theo m2 xuống dưới. Ta có: 38
  45. δr21 δr  P1 sin αδr 1 P 2 sinβδr 2 P 0 2 Vì , nên { Vậy: { Bài tập 4: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên một mặt phẳng nằm ngang dao động. Hãy tìm vị trí của chất điểm và phản lực liên kết như những hàm của thời gian, biết rằng mặt phẳng dao động theo phương ngang vuông góc với nó với biên độ a và tần số và khi t = 0 điểm có tọa độ ⃗( ) ( ) và ⃗⃗( ) ( ̇ ̇ ̇ ). Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ z 푅⃗⃗ 푃⃗⃗ O y x 39
  46. Trục z có hướng song song với vectơ ⃗⃗ ác lực tác dụng lên chất điểm: trọng lực ⃗⃗, phản lực liên kết của mặt phẳng tác dụng lên chất điểm ⃗⃗⃗ Theo định luật II Niuton ta có: ⃗⃗ + ⃗⃗⃗ = m ⃗⃗⃗ Chiếu phương trình lên các trục tọa độ ta có: m ̈ = 0 (1.1) m ̈ = 0 (1.2) m ̈ (1.3) Vì mặt phẳng nhẵn nên các thành phần phản lực liên kết và Theo bài mặt phẳng dao động theo phương vuông góc với nó với biên độ a và tần số nên phương trình chuyển động của chất điểm là: (1.4) Từ (1.1)  ̇  x = t + ̇ ̇ ̇ Tại t = 0 thì { => { => x = ̇ Từ (1.2)  ̇  y = t + ̇ ̇ ̇ Tại t = 0 thì { => { => y = ̇ Từ (1.4) => ̇  ̈ thay vào ( .3) ta có: ( )  ( ) Vậy vị trí của chất điểm được xác định bởi: ̇ { ̇ Bài tập 5: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên một mặt phẳng nhẵn cố định. Mặt phẳng này hợp với phương nằm ngang một góc . Hãy tìm quy 40
  47. luật chuyển động của chất điểm và phản lực liên kết của mặt phẳng, biết rằng khi t = 0 điểm có tọa độ ⃗( ) ( ) và ⃗⃗( ) ( ̇ ̇ ̇ ). Giải: Chọn hệ quy chiếu gồm: hệ trục tọa độ Oxyz z Oz thẳng đứng hướng lên ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Ox nằm ngang x ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Oy là giao tuyến của mặt phẳng O Oxz và mặt phẳng nghiêng nhẵn chứa chất điểm. y ác lực tác dụng lên chất điểm: trọng lực ⃗⃗, phản lực liên kết do mặt phẳng tác dụng lên chất điểm ⃗⃗⃗. Để cho vật luôn nằm trên mặt phẳng nghiêng thì: x tan + z = 0 (2.1) Theo định luật II Niuton ta có; ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Chiếu phương trình lên các trục tọa độ ta có: m ̈ (2.2) m ̈ (2.3) m ̈ (2.4) Từ (2. ) ta có: z =  ̇ ̇  ̈ ̈ ̈ ̈ Chia hai vế của (2.4) cho (2.2) ta được: ̈ ̈ 41
  48.   Phản lực liên kết: { Từ (2.2) ta có: ̈  ̈  ̇ ( ) 1  x ( ) 2 Từ (2.3) ta có: ̈ ̇ Tại thời điểm t = 0 ta có: ̇ ⃗⃗( ) ( ̇ ̇ ̇ ) nên { ̇ ⃗( ) ( ) nên { Phương trình chuyển động của chất điểm: ( ) ̇ ̇ ( ̇ ) { 42
  49. KẾT LUẬN Trong khóa luận này, tôi đã trình bày các vấn đề sau: - Những khái niệm cơ bản: phương trình chuyển động, xung lượng, momen xung lượng, năng lượng, tọa độ suy rộng, số bậc tự do. - Liên kết - Một số bài tập về liên kết Qua việc nghiên cứu đề tài này, đối chiếu với nhiệm vụ nghiên cứu, đề tài cơ bản được hoàn thành được nhiệm vụ đề ra. Trong phần trọng tâm của khóa luận, tôi đã áp dụng những lý thuyết trên để giải quyết các bài tập về liên kết không tự do. Tuy nhiên do trình độ và thời gian còn nhiều hạn chế nên cuốn khóa luận này còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các thầy cô và các bạn để cuốn khóa luận này được hoàn thiện hơn. 43
  50. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Hữu Mình ( 997), ơ học lý thuyết, NXB ĐHQG Hà Nội. 2. Nguyễn Đình Dũng (2004), ơ học lý thuyết, NXB ĐHQG Hà Nội. 3. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khăc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường ( 983), ài tập vật lý lý thuyết tập , NX Giáo Dục. 4. Galubeva, ơ học lý thuyết tập 1, 2, 3, NXB Khoa Học - Kỹ Thuật ( sách dịch ). 5. ài giảng ơ học lý thuyết của các thầy cô ở tổ Vật Lý Lý Thuyết, khoa Lý, ĐHSP Hà Nội 2. 44