›

Khóa luận Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác suất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán vật lý

pdf 91 trang thiennha21 15/04/2022 5610
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác suất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_he_thong_hoa_ly_thuyet_va_bai_tap_cua_mon_xac_suat.pdf

Nội dung text: Khóa luận Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác suất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán vật lý

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ PHAN THANH TRÀ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý TP. Hồ Chí Minh, năm 2020
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ Người thực hiện: Phan Thanh Trà Người hướng dẫn khoa học: ThS. Tô Thị Hoàng Lan TP. Hồ Chí Minh, năm 2020
  3. i LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành được khóa luận này, không chỉ có sự cố gắng, nỗ lực của bản thân tôi mà còn có sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của quý thầy cô. Trước hết, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Cô Tô Thị Hoàng Lan – người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ, đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình thực hiện đề tài khóa luận của tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô giảng viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã dạy dỗ, trang bị cho tôi kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài khóa luận. Cũng nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình 4 năm đại học và quá trình thực hiện đề tài khóa luận này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2020 Sinh viên Phan Thanh Trà
  4. ii DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 3.1. Dữ liệu thời gian rơi tự do từ độ cao 3 mét so với mặt đất 59 Bảng 3.2. Dữ liệu đo thời gian rơi của quả bóng ở độ cao 2 mét 60 Bảng 3.3. Dữ liệu điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý lớp 11A5 61 Bảng 3.4. Kết quả đo số hạt neutrino trong một ngày 71 Bảng 3.5. Dữ liệu thời gian thời gian ném quả bóng đến độ cao 2 mét 73 Bảng 3.6. Chiều dài của lò xo theo khối lượng quả nặng 76 Bảng 3.7. Dữ liệu lực phá hủy chất nổ theo tuổi chất nổ 78 Bảng 3.8. Dữ liệu mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ và mật độ thủy tinh 79 Bảng 3.9. Dữ liệu mối quan hệ giữa thời điểm và vận tốc chuyển động 80 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1. Mô tả trạng thái spin lượng tử [28] 15 Hình 3.1. Mô tả phân bố Maxwell – Boltzmann 30 Hình 3.2. Mô tả phân bố Bose – Einstein 31 Hình 3.3. Sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn ghép với nhau 35 Hình 3.4. Sơ đồ mạch điện gồm 5 linh kiện ghép với nhau 37 Hình 3.5. Hệ thống các thiết bị ghép nối với nhau 40
  5. iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC BẢNG BIỂU ii DANH MỤC HÌNH ẢNH ii MỤC LỤC iii PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Tổng quan tình hình nghiên cứu 2 3. Định hướng nghiên cứu của đề tài 5 4. Mục tiêu đề tài 6 5. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 6 6. Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu luận 6 7. Cấu trúc khóa luận 6 CHƯƠNG 1. NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ 7 1.1. Mục tiêu của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh viên ngành Vật lý. 7 1.2. Khái quát về nội dung XSTK sử dụng trong các học phần chuyên ngành Vật lý. 7 1.3. Cấu trúc nội dung kiến thức XSTK ứng dụng trong giải quyết các vấn đề Vật lý. 9 CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH 11 2.1. Phân tích chương 1: “Đại cương về xác suất” 12 2.2. Phân tích chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” 18 2.3. Phân tích chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng” 22
  6. iv 2.4. Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn” 23 2.5. Phân tích chương 5: “Lý thuyết mẫu” 25 2.6. Phân tích chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên” 25 2.7. Phân tích chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê” 26 2.8. Phân tích chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính” 27 CHƯƠNG 3. HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ. 29 3.1. Chương 1: “Đại cương về xác suất”. 29 3.2. Chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”. 41 3.3. Chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”. 50 3.4. Chương 4: “Các định lý giới hạn”. 56 3.5. Chương 5: “Lý thuyết mẫu”. 59 3.6. Chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”. 62 3.7. Chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”. 68 3.8. Chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”. 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84
  7. 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự hình thành và phát triển của lý thuyết xác suất luôn gắn liền với thực tiễn. Có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thế kỷ thứ III trước công nguyên với các trò chơi may rủi. Những con xúc xắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến phép thử ngẫu nhiên đã có từ rất lâu qua các trò chơi với xúc xắc rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, lý thuyết xác suất thống kê (XSTK) chỉ mới phát triển từ khoảng cuối thế kỉ XVII. Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên và có quan hệ mật thiết với thống kê – một công cụ để nghiên cứu thực nghiệm. Ngay từ đầu thế kỷ XX, nhà triết học người Anh H.G Wells đã dự báo: “Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu trong học vấn phổ thông của một công dân giống như khả năng biết đọc, biết viết vậy” [21]. Hiện nay, XSTK ngày càng được phát triển cả về mặt lý thuyết và thực tiễn, đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực từ các ngành khoa học, công nghệ đến các ngành kinh tế, chính trị. Do đó, XSTK đã trở thành một học phần thiết yếu trong các trường đại học nói chung và các trường đại học có đào tạo ngành Vật lý nói riêng. Trong lĩnh vực Vật lý, lý thuyết xác suất và thống kê mô tả các quá trình xảy ra ngẫu nhiên, tạo ra công cụ Toán học của các ngành khoa học như Vật lý thống kê, Cơ học lượng tử, Vật lý thực nghiệm, Thống kê được xem là một phương tiện để thu được thông tin có giá trị từ các dữ liệu thử nghiệm. Trong các nghiên cứu của lĩnh vực Vật lý hiện đại, ta thường không thể đo trực tiếp các đại lượng mà thông qua việc phân tích thống kê cho phép đưa ra kết luận đáng tin cậy từ các hiện tượng vật lý. Việc sử dụng thống kê trong xử lý kết quả trực tiếp là tìm giá trị trung bình và sai số của chúng, ước tính các tham số và kiểm tra giả thuyết đưa ra. XSTK có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý, tuy nhiên một số công trình nghiên cứu và giáo trình XSTK hiện nay chủ yếu nghiên cứu những ứng dụng của nó trong kinh tế, trong y học hoặc trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung mà chưa đi sâu vào các lĩnh vực nghiên cứu Vật lý. Bên cạnh đó, hiện nay tại khoa Vật lý – Trường Đại Học Sư Phạm TP. HCM vẫn sử dụng giáo trình môn XSTK dùng cho các trường kinh tế và khoa học kỹ thuật nên còn thiếu những vấn đề liên quan đến Vật lý. Việc này dẫn đến sinh viên khó thấy được sự cần thiết của bộ môn và sử
  8. 2 dụng nó trong chuyên môn của mình. Do đó, hệ thống hóa nội dung kiến thức và xây dựng hệ thống bài tập XSTK ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong Vật lý là rất cần thiết. Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ” cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP. HCM. 2. Tổng quan tình hình nghiên cứu 2.1. Các công trình của tác giả Việt Nam Trong khoảng 10 năm trở lại đây, trong nước đã có nhiều công trình nghiên cứu về chủ đề dạy học XSTK. Tiêu biểu có thể kể đến các luận án tiến sĩ nghiên cứu về ứng dụng của bộ môn XSTK, nhằm tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn, nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn XSTK ở các trường sư phạm, kinh tế, kỹ thuật, y học và quân đội, chẳng hạn: Phan Thị Tình (2011) trong luận án tiến sĩ với đề tài “Tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học môn XSTK và quy hoạch tuyến tính cho sinh viên Toán đại học sư phạm” [19] đã đề xuất được 6 biện pháp sư phạm nhằm tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học môn XSTK ở trường Đại học sư phạm: xây dựng cầu nối một số kiến thức và bài toán trong môn học với kiến thức toán phổ thông, tăng cường các tình huống xây dựng và củng cố kiến thức qua việc thâm nhập thực tiễn, tăng cường một số yếu tố lịch sử trong quá trình dạy học môn học, sử dụng hợp lý hệ thống bài toán thực tiễn trong môn học, luyện tập cho sinh viên một số hoạt động thành phần trong các bước vận dụng toán học vào thực tiễn, cho sinh viên tiếp cận với các hình thức đề và các dạng câu hỏi trong đề kiểm tra đánh giá năng lực toán học phổ thông của học sinh theo PISA. Các ví dụ minh hoạ trong luận án là tư liệu tham khảo cần thiết cho giảng viên và sinh viên toán Đại học sư phạm về dạy và học toán theo định hướng tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn. Ngô Tất Hoạt (2012) với đề tài luận án tiến sĩ “Nâng cao hiệu quả dạy học XSTK ở trường Đại học sư phạm kỹ thuật theo hướng bồi dưỡng một số thành tố năng lực kiến tạo kiến thức cho sinh viên” [10] đã nghiên cứu đặc điểm của kiến thức XSTK, thực tế dạy và học XSTK ở một số trường Đại học sư phạm kỹ thuật, đề xuất một số năng lực kiến tạo kiến thức từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học XSTK ở các trường Đại học sư phạm kỹ thuật: năng lực dự đoán, suy luận có lý – phát hiện vấn đề;
  9. 3 năng lực kiểm nghiệm – giải quyết vấn đề; năng lực biểu diễn, thu thập và xử lý số liệu thống kê. Với đề tài “Dạy học XSTK ở trường Đại học Y”, Đào Hồng Nam (2014) [16] đã trình bày vấn đề về mối quan hệ giữa XSTK với y học: từ toán học đến những nghiên cứu thực tiễn. Đồng thời, trong luận án của mình, tác giả cũng khẳng định sự quan trọng của kiểm định giả thuyết thống kê trong hoạt động nghề nghiệp và nghiên cứu của các bác sĩ. Luận án là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các trường xây dựng chương trình đào tạo ngành y, các tác giả viết giáo trình XSTK dành cho sinh viên y khoa và cho giảng viên góp phần nâng cao chất lượng đào tạo cán bộ y tế. Luận án của Nguyễn Thị Thu Hà (2014), “Dạy học XSTK theo hướng tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn cho sinh viên khối kinh tế, kỹ thuật” [6] đã đề xuất được những biện pháp dạy học XSTK theo định hướng tăng cường vận dụng XSTK vào các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật phù hợp với chương trình, nội dung học phần XSTK ở các trường đại học khối kinh tế, kỹ thuật hiện nay ở Việt Nam. Các biện pháp được đề xuất như: khai thác các tình huống thực tiễn để gợi động cơ, tạo hứng thú học tập cho sinh viên; tăng cường khai thác ví dụ, bài toán XSTK có nội dung, thuật ngữ liên quan đến ngành nghề cho sinh viên; tập luyện cho sinh viên một số kỹ thuật vận dụng quy trình giải một bài toán thực tiễn trong dạy học XSTK; khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi vận dụng XSTK vào một số tình huống thực tiễn; tập dượt cho sinh viên bước đầu nghiên cứu khoa học theo hướng vận dụng XSTK vào lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật từ những bài tập thực hành đơn giản đến những bài tập lớn, dự án. Phạm Thị Hồng Hạnh (2016) trong luận án tiến sĩ với đề tài “Dạy học XSTK cho sinh viên ngành kế toán của các trường cao đẳng công nghiệp theo hướng phát triển năng lực nghề nghiệp” [7] đã làm sáng tỏ ý nghĩa, vai trò của môn XSTK với thực tiễn nghề kế toán, từ đó đề xuất 5 biện pháp sư phạm và cách thực hiện các biện pháp này trong dạy học môn XSTK theo hướng phát triển năng lực nghề nghiệp cho sinh viên ngành kế toán ở các trường cao đẳng công nghiệp. Trong luận án tiến sĩ với đề tài “Dạy học XSTK ở các trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên” Lê Bình Dương (2019) [5] đã phân tích thực trạng dạy học XSTK ở một số trường đại học trong quân đội, từ đó làm rõ nhu cầu phát triển kỹ năng siêu nhận thức và xác định cơ hội rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên trong dạy học XSTK. Luận án đã đề xuất một số biện pháp sư phạm trong dạy học XSTK ở một số trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên như: rèn luyện khả năng dự đoán, lập kế hoạch thông qua hoạt động tìm hiểu vấn đề,
  10. 4 chuyển đổi ngôn ngữ, liên tưởng và huy động kiến thức đã có để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra; đặt câu hỏi góp phần định hướng, rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức; rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức thông qua hoạt động giải quyết nhiệm vụ học tập; thiết kế và tổ chức dạy học một số tình huống sai lầm; sử dụng hình thức dạy học theo dự án nhằm tạo cơ hội cho học viên thực hiện các hoạt động dự đoán, lập kế hoạch, giám sát và đánh giá khi vận dụng XSTK giải quyết các nhiệm vụ thực tế. Nhìn chung, các công trình nghiên cứu trong nước nói trên có đề cập đến lĩnh vực dạy học XSTK dành cho sinh viên các ngành sư phạm Toán, sinh viên sư phạm kỹ thuật, sinh viên ngành y, sinh viên ngành kinh tế, học viên các trường quân đội Việc khai thác những ứng dụng của XSTK trong lĩnh vực Vật lý vẫn chưa được nghiên cứu. Ngoài các công trình nghiên cứu là các luận án tiến sĩ kể trên thì trong nước có rất nhiều tài liệu tham khảo về bộ môn XSTK: “Xác suất thống kê” của Tô Văn Ban (2010) [1], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” của Nguyễn Quang Báu (2009) [2], “Giáo trình Xác suất thống kê” của Dương Ngọc Hảo (2011) [8], “Giáo trình Xác suất và thống kê” của Nguyễn Đình Huy (2019) [12], “Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên” của Nguyễn Chí Long (2008) [14], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” của Hoàng Ngọc Nhậm (2012) [17], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” của Nguyễn Cao Văn (2012) [22], Các giáo trình này dùng để giảng dạy và là nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên các trường đại học trong nước. Nội dung của các giáo trình được sắp xếp theo trình tự chặt chẽ nhằm giúp sinh viên hiểu được các khái niệm, công thức và các phương pháp của xác suất để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Ngoài ra các giáo trình còn trang bị những phương pháp cơ bản nhất của thống kê toán như: phương pháp mẫu để thu thập và xử lí thông tin, phương pháp ước lượng, phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê, Các giáo trình này được viết theo quan điểm thực hành, chú trọng việc áp dụng các phương pháp của xác suất, thống kê toán trong nghiên cứu kinh tế và khoa học kỹ thuật nhiều hơn trình bày thuần túy toán học. Nội dung kiến thức trong các giáo trình được minh họa bằng những ví dụ trong hầu hết các lĩnh vực từ các ngành khoa học, kỹ thuật, công nghệ đến các ngành kinh tế, chính trị. Ngoài phần bài giảng và ví dụ minh họa, các giáo trình có đưa ra số lượng lớn bài tập, những bài tập này giúp sinh viên dễ nắm bắt và hiểu sâu sắc nội dung bài giảng, rèn luyện kỹ năng vận dụng xác suất và thống kê toán trong các ngành khoa học kỹ thuật cũng như trong các vấn đề thực tiễn của kinh tế - xã hội. Như vậy, có thể thấy đa phần các giáo trình XSTK được sử dụng ở các trường đại học hiện nay đã xây dựng hệ thống kiến thức và bài tập XSTK dành cho sinh viên
  11. 5 các ngành kinh tế, sư phạm, kỹ thuật, mà vẫn chưa có giáo trình nào đề cập cụ thể đến những ứng dụng của XSTK trong giải quyết các bài toán Vật lý. 2.2. Các công trình của tác giả nước ngoài XSTK có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật, vì vậy lĩnh vực này cũng rất được quan tâm bởi các tác giả nước ngoài. Có rất nhiều giáo trình XSTK của nước ngoài dành cho sinh viên các ngành khoa học và kỹ thuật. Trong khuôn khổ giới hạn của khóa luận và từ nguồn tài liệu tham khảo sẵn có, chúng tôi nghiên cứu hai quyển giáo trình XSTK dành cho ngành khoa học kỹ thuật ứng dụng là “Probability & Statistics for Engineering and the Sciences” của Jay L. Devore (2012) [26] và “Probability & Statistics for Engineers & Scientists" của Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L.Myers, Keying E. Ye (2012) [27]. Bên cạnh các khái niệm cơ bản về XSTK; các định nghĩa, định lý được trình bày mang tính thực hành và giảm tính chất lý thuyết hàn lâm, nhiều ví dụ thực tế, bài tập cuối mỗi chương thuộc các lĩnh vực khác nhau liên quan đến khoa học, kỹ thuật, kinh tế, được đưa ra, trong đó phần lớn các bài tập thuộc lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Bên cạnh các giáo trình XSTK dành cho các ngành khoa học kỹ thuật nói chung, trong lĩnh vực Vật lý nói riêng có các giáo trình XSTK như “Probability and Statistics in Particle Physics” của A. G. Frodesen và O. Skjeggestad (1997) [23], “Probability in Physics: An Introductory Guide” của Andy Lawrence (2019) [24], “Probability and Statistics in Experimental Physics” của Byron P. Roe (2012) [25], “Probability for Physicists” của Simon Širca (2016) [28]. Các giáo trình này giới thiệu những ứng dụng của XSTK trong các lĩnh vực của Vật lý nói chung cũng như lĩnh vực Vật lý lý thuyết và Vật lý thực nghiệm nói riêng. Nhìn chung, các giáo trình XSTK ở nước ngoài đã trình bày những nội dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực Vật lý nhiều hơn các giáo trình trong nước. Tuy nhiên, các câu hỏi và bài tập liên quan đến lĩnh vực Vật lý vẫn còn hạn chế. 3. Định hướng nghiên cứu của đề tài Từ những phân tích trên, khoá luận này tập trung vào 4 câu hỏi: - XSTK có những ứng dụng nào trong việc học các môn chuyên ngành Vật lý và nghiên cứu những vấn đề Vật lý? - Những nội dung trọng tâm nào của XSTK được đề cập trong các giáo trình trong và ngoài nước, theo cách tiếp cận nào?
  12. 6 - Những chủ đề chính được đề cập trong hệ thống các câu hỏi và bài tập như thế nào? Những câu hỏi nào liên quan đến lĩnh vực Vật lý đã được đề cập? - Có thể khai thác những chủ đề nào trong Vật lý được giải quyết thông qua XSTK? 4. Mục tiêu đề tài Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập môn XSTK ứng dụng vào trong giải những bài toán Vật lý. 5. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận của lý thuyết xác suất và thống kê toán. - Nghiên cứu ứng dụng của XSTK trong giải quyết các vấn đề Vật lý. 5.2. Phạm vi nghiên cứu - Nội dung môn XSTK theo chương trình đào tạo cử nhân ngành Vật lý của trường Đại học Sư phạm TP. HCM. - Những ứng dụng của môn XSTK trong chương trình đào tạo đại học cho sinh viên ngành Vật lý. 6. Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu luận - Nghiên cứu các luận án tiến sĩ chuyên ngành XSTK. - Nghiên cứu các giáo trình XSTK của các trường đại học. - Nghiên cứu sách bài tập ứng dụng XSTK trong Vật lý. 7. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương: Chương 1. Những vấn đề nghiên cứu Xác suất thống kê dành cho sinh viên ngành Vật lý. Chương 2. Phân tích nội dung kiến thức trọng tâm và những chủ đề bài tập Xác suất thống kê trong các giáo trình. Chương 3. Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng bài tập Xác suất thống kê ứng dụng giải những bài toán Vật lý.
  13. 7 CHƯƠNG 1. NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ Trong chương này chúng tôi sẽ nêu mục tiêu và vai trò của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Bên cạnh đó chúng tôi sẽ cấu trúc lại các nội dung mà XSTK ứng dụng trong Vật lý thành các chương cụ thể. 1.1. Mục tiêu của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh viên ngành Vật lý. Theo đề cương chi tiết học phần XSTK dành cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh ban hành năm 2018 đã đề ra các mục tiêu sau: 1.1.1. Về phẩm chất: Sau khi học xong học phần này, sinh viên - nắm được các khái niệm cơ bản: xác suất, phân phối xác suất, số đặc trưng và một số mô hình toán thống kê ; - nắm được tính chất, cách tính và quan hệ giữa các khái niệm nêu trên; - hiểu được ý nghĩa thực tế của các khái niệm đã học khi vận dụng các khái niệm toán học này để giải quyết một vấn đề thực tế nào đó. 1.1.2. Về năng lực chuyên môn: - Biết cách áp dụng các khái niệm đã học để giải quyết một số vấn đề trong thực tế cuộc sống; - Vận dụng được các công thức thống kê để giải quyết một số bài toán thực tế. 1.2. Khái quát về nội dung XSTK sử dụng trong các học phần chuyên ngành Vật lý. Xem xét nội dung các môn học trong chương trình đào tạo cử nhân của khoa Vật lý trường Đại học Sư Phạm TP. HCM, những lĩnh vực sau đây có sử dụng kiến thức XSTK để nghiên cứu. Trong học phần Cơ lượng tử, để giải quyết các bài toán liên quan đến việc chuẩn hóa hàm sóng, tìm xác suất để hạt có thể tồn tại trong vùng không gian nào đó hay tính xác suất để đo được trạng thái spin hướng lên, hướng xuống cần đến các kiến
  14. 8 thức về hàm mật độ phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. Ngoài ra, các kiến thức về các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như kỳ vọng toán, phương sai, độ lệch chuẩn cũng được sử dụng trong học phần để tính giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, độ bất định của các đại lượng Vật lý. Học phần Vật lý thống kê sử dụng các kiến thức của XSTK như tổ hợp, công thức tính xác suất gián đoạn hoặc liên tục, hàm mật độ xác suất, các công thức tính giá trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng. Ngoài ra, học phần còn sử dụng một số quy luật phân phối xác suất thông dụng trong XSTK như phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối mũ và phân phối chuẩn. Học phần Phương pháp thực nghiệm Vật lý cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để tiến hành một thí nghiệm vật lý, các kỹ năng và công cụ để xử lí số liệu thực nghiệm, phương pháp đánh giá số liệu cũng như các sai số thường gặp, xác định mối tương quan giữa các đại lượng. Tương tự với học phần Phương pháp thực nghiệm vật lý, học phần Xử lí số liệu hạt nhân mô tả ngắn gọn cấu trúc cơ bản của hệ đo bức xạ hiện đại, các nguồn sai số hệ thống trong bài toán đo hoạt độ bức xạ và các hiệu chính, phương pháp làm khớp hàm giữa hai phân bố thực nghiệm và lý thuyết. Nội dung của hai học phần này liên quan đến những khái niệm cơ bản của XSTK như biến cố ngẫu nhiên, xác suất, tần suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất. Bên cạnh đó, các hàm phân phối cơ bản trong XSTK cũng được ứng dụng trong xử lí số liệu thực nghiệm như hàm phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Chi bình phương, phân phối Student, Các phương pháp ước lượng tham số đặc trưng của tổng thể, kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, phép phân tích mối quan hệ tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên và phương trình hồi quy tuyến tính cũng được sử dụng trong học phần. Học phần Kiểm tra, đánh giá kết quả học tập môn Vật lý sử dụng các kiến thức thống kê thông dụng như: mẫu thống kê, các tham số đặc trưng của mẫu (trung bình mẫu, phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu), ước lượng và kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể. Như vậy, các nội dung cơ bản của XSTK được ứng dụng trong việc học các môn chuyên ngành đối với sinh viên khoa Vật lý gồm: biến cố ngẫu nhiên và các công thức tính xác suất; đại lượng ngẫu nhiên; các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn; các quy luật phân phối xác suất thông dụng; mẫu thống kê và các tham số đặc trưng của mẫu; ước lượng và kiểm định giả thuyết các tham số đặc trưng của tổng thể, kiểm định quy luật phân phối xác
  15. 9 suất; phân tích mối tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên và công thức hồi quy tuyến tính. 1.3. Cấu trúc nội dung kiến thức XSTK ứng dụng trong giải quyết các vấn đề Vật lý. Dựa trên những kiến thức của XSTK cần thiết trong việc học các học phần chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Vật lý đã nêu ở phần 1.2, chúng tôi đề xuất cấu trúc mạch kiến thức cần thiết cho sinh viên khoa Vật lý như sau: Chương 1: Đại cương về xác suất 1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 1.2 Phép thử và biến cố 1.3 Các định nghĩa về xác suất của biến cố 1.4 Các công thức tính xác suất 1.5 Công thức Bernoulli 1.6 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 2.2 Hàm phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất 2.3 Vectơ ngẫu nhiên 2.4 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 2.4.1 Kỳ vọng toán 2.4.2 Phương sai 2.4.3 Độ lệch chuẩn 2.4.4 Hiệp phương sai và hệ số tương quan Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 3.1 Các phân phối rời rạc 3.1.1 Phân phối nhị thức 3.1.2 Phân phối Poisson 3.2 Các phân phối liên tục 3.2.1 Phân phối chuẩn 3.2.2 Phân phối mũ 3.2.3 Phân phối Chi-bình phương 3.2.4 Phân phối Student Chương 4: Các định lý giới hạn
  16. 10 4.1 Định lý giới hạn Poisson 4.2 Định lý giới hạn Moirve – Laplace 4.3 Định lý giới hạn trung tâm 4.4 Bất đẳng thức Chebyshev. Luật số lớn Chương 5: Cơ sở lý thuyết mẫu 5.1 Một số khái niệm về mẫu 5.2 Các đặc trưng mẫu 5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu Chương 6: Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên 6.1 Ước lượng điểm 6.2 Ước lượng khoảng 6.2.1 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể 6.2.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể 6.2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê 7.1 Các khái niệm 7.2 Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể 7.3 Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể 7.4 Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể 7.5 Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Chương 8: Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính 8.1 Phân tích tương quan tuyến tính 8.2 Phân tích hồi quy tuyến tính
  17. 11 CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH Để tìm hiểu cách tiếp cận các khái niệm, cách xây dựng kiến thức và bài tập XSTK của các giáo trình trong và ngoài nước, chúng tôi lựa chọn các tài liệu sau: Nhóm các giáo trình trong nước: - [2] Nguyễn Quang Báu. (2009). Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Hà Nội: NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Giáo trình này được sử dụng giảng dạy cho sinh viên ngành Vật lý, khoa học vật liệu, khoa học và công nghệ hạt nhân, vô tuyến điện tử tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội. - [8] Dương Ngọc Hảo. (2011). Giáo trình Xác suất thống kê. TP. HCM: NXB Đại Học Quốc Gia TP. HCM. Đây là giáo trình được sử dụng cho việc giảng dạy và học tập ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM. - [12] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Đậu Thế Cấp, Lê Xuân Đại. (2019). Giáo trình Xác suất và Thống kê. TP. HCM: NXB Đại Học Quốc Gia TP. HCM. Giáo trình này được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên ở trường Đại học Bách khoa TP. HCM. - [17] Hoàng Ngọc Nhậm. (2012). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. TP. HCM: NXB Kinh Tế TP. HCM. Đây là quyển giáo trình chính được sử dụng giảng dạy cho sinh viên khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm TP. HCM. Nhóm các giáo trình nước ngoài - [26] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L.Myers, Keying E. Ye. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. London: Pearson Education International. - [28] Simon Širca. (2016). Probability for Physicists. USA: Springer. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ ký hiệu nhóm các giáo trình trong nước là GT1 và nhóm các giáo trình nước ngoài là GT2. Trong chương này chúng tôi sẽ phân tích nội dung kiến thức trọng tâm và những chủ đề bài tập XSTK được trình bày trong hai nhóm giáo trình GT1 Và GT2 theo cấu trúc các chương mà chúng tôi đã đưa ra trong phần 1.3.
  18. 12 2.1. Phân tích chương 1: “Đại cương về xác suất” 2.1.1. Phân tích nội dung kiến thức Nội dung trọng tâm của chương 1 là trình bày các khái niệm cơ bản của xác suất: các kiến thức về giải tích tổ hợp; khái niệm phép thử và biến cố, mối quan hệ và các phép tính giữa các biến cố; khái niệm xác suất, công thức tính xác suất; xác suất có điều kiện; công thức Bernoulli; công thức xác suất đầy đủ; công thức Bayes. Cả hai tài liệu GT1 và GT2 đều có đầy đủ các nội dung này. Tuy nhiên, giữa GT1 và GT2 có một số điểm khác nhau. Điểm khác nhau đầu tiên giữa hai tài liệu là về mạch sắp xếp nội dung các kiến thức. GT1 trình bày khái niệm đi kèm với quy tắc và định lý liên quan đến khái niệm đó, còn GT2 trình bày hết các khái niệm rồi mới đến các quy tắc và định lý. Do đó, mạch kiến thức của GT1 có tính liên kết hơn mạch kiến thức của GT2. Về cách tiếp cận lý thuyết xác suất, trong khi GT1 trình bày trực tiếp các khái niệm toán học thì GT2 có sự dẫn dắt mở đầu: Có lẽ sự khát khao vô tận của loài người đối với bài bạc đã dẫn đến sự phát triển ban đầu của lý thuyết xác suất. Trong việc nỗ lực tăng số tiền thắng cược của mình, các người chơi bài kêu gọi các nhà toán học cung cấp chiến lược cho các trò chơi may rủi khác nhau. Một số nhà toán học cung cấp các chiến lược này là Pascal, Leibniz, Fermat và James Bernoulli. Như một kết quả của sự phát triển lý thuyết xác suất, suy luận thống kê, với tất cả các dự đoán và khái quát hóa của nó đã phân nhánh vượt xa các trò chơi may rủi sang nhiều lĩnh vực có liên quan đến sự may rủi như chính trị, kinh doanh, dự báo thời tiết và nghiên cứu khoa học. Để những dự đoán và khái quát hóa được hợp lý chính xác thì sự hiểu biết về xác suất cơ bản là điều rất cần thiết. Chúng ta muốn nói gì khi chúng ta đưa ra tuyên bố “John có thể dành chiến thắng trong trận quần vợt” hoặc “Tôi có cơ hội 50-50 nhận được số chẵn khi gieo một con súc sắc” hoặc “Tôi không có khả năng thắng trong việc chơi lô tô tối nay” hoặc “Hầu hết lớp tốt nghiệp của chúng tôi sẽ kết hôn trong vòng 3 năm tới”? Trong mỗi trường hợp chúng ta đang thể hiện một kết quả mà chúng ta không chắc chắn, nhưng do thông tin trong quá khứ hoặc từ sự hiểu biết về cấu trúc của phép thử, chúng ta có mức độ tin cậy về tính hợp lệ của tuyên bố. [27, tr. 52-53] Việc dẫn dắt này cho thấy ý nghĩa của các kiến thức trong thực tiễn và kết nối với thực tiễn.
  19. 13 Bên cạnh đó, các GT1 đưa ra 3 định nghĩa xác suất: cổ điển, thống kê và hình học một cách chi tiết hơn GT2. Cụ thể, tác giả Nguyễn Quang Báu chỉ ra ưu, nhược điểm của định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển, nêu thêm ứng dụng của định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê và định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học như sau: Cách tính xác suất dựa trên định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển có ưu điểm là đơn giản và trực quan, nhưng có hạn chế là phạm vi sử dụng của nó không lớn, chỉ dành cho loại phép thử gồm một số hữu hạn các kết cục và mọi kết cục đều có cùng một khả năng xuất hiện mà thôi. Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê Ứng dụng Trong thực tế khi ứng dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê ta không thể thực hiện một phép thử lớn vô hạn được và không thể tính chính xác xác suất biến cố A theo công thức được mà người ta thường lấy giá trị của tần suất xuất hiện biến cố A trong một loạt khá lớn các phép thử làm giá trị gần đúng của xác suất PA( ) , phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống kê được áp dụng có hiệu quả trong việc tìm ra quy luật diễn biến phức tạp về thời tiết, về tỷ lệ phế phẩm, truyền tin qua các tầng điện ly, lập kích thước quần áo may sẵn, nghiên cứu công hiệu của thuốc men, trong nhân chủng học, xã hội học, Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê khắc phục được hạn chế của định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển về đòi hỏi các kết cục của phép thử phải đồng khả năng xuất hiện. Để khắc phục hạn chế của định nghĩa xác suất cổ điển về đòi hỏi số kết cục của phép thử xác định cụ thể và hữu hạn (đồng thời vẫn giả thiết các kết cục đồng khả năng) người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học. Xét một phép thử có vô hạn các kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu diễn tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học G nào đó (một đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian) và những kết cục thuận lợi cho biến cố A xuất hiện bởi một miền hình học con g thuộc G. Với giả thuyết trên, xác suất của biến cố A được tính như là tỉ số giữa “kích thước” miền g trên “kích thước” miền G, tức là:
  20. 14 g PA( ) . = G [2, tr. 7-11] Ngoài ra, các GT1 đề cập đến nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Giả sử có một hệ thống thiết bị gồm nhiều linh kiện ghép thành. Ta gọi xác suất để một linh kiện hoạt động tốt (không có sự cố) trong khoảng thời gian T (1 giờ, 24 giờ hay một đơn vị thời gian nào đó) là độ tin cậy của linh kiện ấy. Tương tự ta gọi độ tin cậy của một hệ thống là xác suất để hệ thống hoạt động tốt trong khoảng thời gian ấn định. Một vấn đề kỹ thuật đặt ra là: cho biết độ tin cậy của từng linh kiện, hãy tính độ tin cậy của hệ thống. [2, tr. 21] Bài toán đặt ra vấn đề tính xác suất để hệ có thể hoạt động tốt trong khoảng thời gian nào đó. Để giải bài toán này, ta cần biết được mối quan hệ giữa các linh kiện trong hệ (ghép nối tiếp, ghép song song hay ghép hỗn hợp) và số linh kiện có trong hệ thống. Để minh họa cụ thể cho dạng toán này, giáo trình [2] có đưa ra bài toán ví dụ như sau: Một hệ thống gồm 40 linh kiện loại A với độ tin cậy của mỗi chiếc pA = 0,99; 25 linh kiện loại B với độ tin cậy mỗi chiếc pB = 0,9 và 5 linh kiện loại C với độ tin cậy mỗi chiếc pC = 0,75. Giá thành mỗi linh kiện loại A, B, C tương ứng là 1, 1, 5 (đơn vị tiền). Hãy lập một hệ thống dự phòng toàn bộ, đánh giá độ tin cậy và giá thành rồi so sánh với một hệ thống dự phòng từng cụm theo kiểu không dùng loại A, lắp thêm một bộ loại B và hai bộ loại C (hình vẽ) [2, tr.24] Để minh họa cụ thể cho tính chất độc lập của các biến cố, GT2, cụ thể giáo trình [28] đã đưa ra một ví dụ minh họa cụ thể trong lĩnh vực cơ học lượng tử như sau:
  21. 15 1 Vòng quay trong một hệ lượng tử có thể có hai hình chiếu: + (spin “hướng 2 1 lên”,  ) hoặc − (spin “hướng xuống”,  ). Hướng của vòng được đo hai lần 2 liên tiếp. Chúng ta thực hiện phép gán các biến cố như sau: biến cố A là “spin  trong phép đo đầu tiên”, biến cố B là “spin  trong phép đo lần hai”, biến cố C là “cả hai phép đo đều hiển thị cùng một phép chiếu”. Không gian mẫu cho các cặp định hướng đo được là S = ,,,,  trong khi ba biến cố được chọn tương ứng với các tập con là: AB== ,,,   và C = ,  như hình 2.1. Hình 2.1. Mô tả trạng thái spin lượng tử [28] Khi đó, ta có xác suất: 21 PAPBPC( ) ===( ) ( ) , 42 cũng như 1 1 PABPACPBC( ) ===( ) ( ) và P( ABC) = . 4 4 Từ PAB( ) = PAPB( ) ( ) = PAC( ) = PAPC( ) ( ) = PBC( ) = PBPC( ) ( ), nên AB, và C là các cặp biến cố độc lập. Mặt khác, 11 P( ABC) = = P( A) P( B) P( C), 48 nên các biến cố không độc lập lẫn nhau. [28, tr. 15,16]
  22. 16 Ngoài ra, một vấn đề về các phân bố Maxwell – Boltzmann, phân bố Bose – Einstein và phân bố Fermi – Dirac trong Vật lý thống kê cũng được GT2 đặt ra để giải quyết trong chương này. Tưởng tượng một hệ gồm n hạt, trong đó trạng thái của mỗi hạt được mô tả bằng các giá trị p (thành phần của vectơ vị trí hoặc động lượng tuyến tính, số lượng tử quay, ). Mỗi trạng thái của hạt có thể được biểu diễn bằng một ô lượng tử p như vậy, đó là một điểm trong không gian p chiều. Trạng thái của toàn bộ hệ thống được chỉ định bởi n ô lượng tử của các điểm đó. Chúng ta phân chia không gian pha thành N ô ( Nn ) . Trạng thái của hệ thống được mô tả bằng cách chỉ định phân phối trạng thái giữa các ô. Chúng ta quan tâm đến xác suất của một ô đã cho bị chiếm bởi một số lượng hạt quy định. Ta xem xét ba bài toán: Các hạt có thể phân biệt được, mỗi ô có thể bị chiếm bởi một số lượng hạt tùy ý và tất cả các phân phối như vậy đều có thể xảy ra như nhau. Chúng ta nói rằng các hạt tuân theo thống kê Boltzmann: một ví dụ về một hệ thống như vậy là hệ các phân tử khí.  Các hạt không thể phân biệt được nhưng các ô vẫn có thể bị chiếm giữ bởi nhiều hạt tùy ý và tất cả các phân phối như vậy đều có khả năng xảy ra như nhau. Đây là nền tảng thống kê Bose của Einstein được tuân theo bởi các hạt có spin nguyên như các hạt photon.  Các hạt không thể phân biệt được, mỗi ô chỉ có thể chứa một hạt do tuân theo nguyên lý Pauli, tất cả các phân phối đều có khả năng xảy ra như nhau. Trường hợp này đề cập đến số liệu thống kê Dirac của Fermi áp dụng cho các hạt có spin bán nguyên, ví dụ như electron, proton và nơtron. [28, tr.18] Định lý Bayes là một định lý có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết xác suất. Để giúp người học hiểu rõ hơn về việc áp dụng định lý Bayes, GT1 có đưa ra một bài toán ví dụ liên quan đến ngành kỹ thuật vô tuyến điện tử như sau: Có một hệ thống truyền thông tin như hình vẽ. Tại máy phát có thể xảy ra một trong hai biến cố: phát tín hiệu (biến cố B) và không phát tín hiệu (biến cố B). Tại máy thu cũng có thể xảy ra một trong hai biến cố: nhận được tín hiệu (biến cố A) và không nhận được tín hiệu (biến cố A). Vì ảnh hưởng can nhiễu của tạp âm lên kênh truyền tin nên có thể xảy ra hiện tượng ở máy phát có tín hiệu phát đi mà máy thu không nhận được hoặc ngược lại máy phát không phát mà máy thu vẫn nhận được tín hiệu (tín hiệu giả do tạp âm gây ra).
  23. 17 Để xác định độ tin cậy của hệ thống truyền tin, cần tính các xác suất P B( A ) và P B( A ) (xác suất để thật sự có tín hiệu phát đi khi ở máy thu nhận được tín hiệu và xác suất để thật sự không có tín hiệu phát đi khi máy thu không nhận được tín hiệu). [2, tr.40, 41] Như vậy, về mạch kiến thức, cả GT1 và GT2 không khác nhau nhiều. Mặc dù GT1 thiếu dẫn dắt ban đầu nhưng có đề cập khá nhiều ví dụ trong lĩnh vực liên quan đến Vật lý kỹ thuật, còn GT2 đề cập đến những bài toán liên quan đến lĩnh vực Cơ học lượng tử và Vật lý thống kê. 2.1.2. Phân tích phần bài tập Phần lớn các chủ đề bài tập đại cương xác suất được đưa ra trong GT1 và GT2 thuộc lĩnh vực kinh tế và đời sống, các câu hỏi liên quan đến lĩnh vực Vật lý chỉ được đề cập rất ít. Cụ thể, chúng tôi chỉ tìm thấy 4 câu hỏi liên quan đến Vật lý trong các giáo trình như sau: Cho sơ đồ mạng điện như hình vẽ, kí hiệu Ai là biến cố bóng đèn thứ i bị hỏng, i =1,2,3. Hãy viết các biến cố sau theo Ai và Aii ,1,2,3.= a) Mạch có dòng điện chạy qua. b) Mạch mất điện. [8, tr.22]
  24. 18 Giả sử sơ đồ của một mạng điện như hình vẽ. Nếu các linh kiện hoạt động độc lập với nhau và xác suất hoạt động của mỗi linh kiện A, B , , C D lần lượt là 0,95;0,7;0,8;0,9. Tính xác suất để hệ thống hoạt động. [27, tr.71] Một trạm tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu A và B với xác suất tương ứng là 0 ,8 và 0 ,2 . Do có nhiễu trên đường truyền nên 1/6 tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B, còn 1/8 tín hiệu B bị méo thành tín hiệu A. a) Tìm xác suất thu được tín hiệu A. b) Giả sử thu được tín hiệu A, tìm xác suất thu được đúng tín hiệu lúc phát. [8, tr.45] Có một tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu (.) và (-). Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu (.) và 1/3 tín hiệu (-) bị méo. Biết rằng tỉ số các tín hiệu (.) và (-) trong tin tuyền đi là 5:3 . Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu: a) nhận được tín hiệu (.); b) nhận được tín hiệu (-). [12, tr.27] 2.2. Phân tích chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” 2.2.1. Phân tích nội dung kiến thức Trong chương này, cả GT1 và GT2 đều đề cập đến các khái niệm cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, vectơ ngẫu nhiên và các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên. Tuy nhiên GT1 xây dựng kiến thức theo hình thức diễn dịch nghĩa là xây dựng nội dung lý thuyết trước sau đó đưa ra các ví dụ minh họa, GT2 thì xây dựng kiến thức
  25. 19 theo hình thức quy nạp, nghĩa là dẫn dắt người học bằng một vấn đề hoặc một bài toán cụ thể sau đó mới đưa ra nội dung lý thuyết. Ví dụ: Giá trị trung bình mẫu là giá trị trung bình số học của dữ liệu. Bây giờ hãy xem xét những điều sau đây. Nếu tung 2 đồng xu 16 lần và X là số lần mặt ngửa xuất hiện sau mỗi lần ném, do đó các giá trị của X có thể là 0 ,1 và 2. Giả sử rằng kết quả phép thử không có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa lần lượt là 4 ,7 và 5. Giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném hai đồng xu là: (041725)( ) ++( )( ) ( )( ) =1,06. 16 Đây là giá trị trung bình của dữ liệu và tuy nhiên nó không phải là kết quả có thể có của 0 ,1,2 . Do đó, giá trị trung bình không nhất thiết là kết quả có thể xảy ra cho phép thử. Chẳng hạn như thu nhập trung bình hàng tháng của một nhân viên bán hàng dường như không bằng bất kỳ mức lương hàng tháng nào của anh ta. Bây giờ chúng ta sẽ viết lại biểu thức giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném của hai đồng xu như sau: 475 (0121,06.) ++=( ) ( ) 161616 47 5 Các số , và là các phân số của tổng số lần ném dẫn đến kết quả không 1 6 1 6 16 có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa tương ứng. Các phân số này cũng là tần số tương đối cho các giá trị khác nhau của X trong phép thử. Trên thực tế chúng ta có thể tính được giá trị trung bình hoặc trung bình của một tập hợp dữ liệu bằng cách biết các giá trị riêng biệt xảy ra và tần số tương đối của chúng mà không có bất kỳ hiểu biết nào về tổng số quan sát trong bộ dữ liệu. Do vậy, 4 7 nếu lần tung kết quả không có mặt ngửa, lần tung được 1 mặt ngửa và 16 16 5 lần tung được 2 mặt ngửa, số lượng trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi 16 lần ném sẽ là 1,06 cho dù tổng số lần ném là 16, 1000 hay thậm chí 10000. Phương pháp tần số này được sử dụng để tính trung bình số mặt ngửa xuất hiện trong mỗi lần tung hai đồng xu mà chúng ta có thể mong đợi. Chúng ta sẽ coi giá trị trung bình này là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X hoặc giá trị
  26. 20 trung bình của phân phối xác suất của X và viết nó là X hoặc đơn giản hơn là . Các nhà thống kê thường gọi ý nghĩa này là kỳ vọng toán học hoặc giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X và ký hiệu nó là EX( ). [27, tr.115,116] Cách tiếp cận quy nạp như GT2 cho thấy con đường dẫn đến khái niệm, còn cách tiếp cận diễn dịch như GT1 cho thấy ứng dụng của nó. Bên cạnh đó, GT2 có đề cập đến một ứng dụng của hàm mật độ xác suất trong lĩnh vực cơ học lượng tử: Là một nhà Vật lý, chúng tôi không ngừng tính toán các giá trị kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên trong bất kỳ lĩnh lực nào liên quan đến cơ học thống kê hoặc cơ học lượng tử. Chúng ta nói giá trị kỳ vọng của toán tử  ở trạng thái nhất định của hệ cơ học lượng tử (ví dụ, trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro) được mô tả bởi hàm sóng  là: = * (rrrdV) ( ) ( ) .  Toán tử  tác động vào phần bên phải của tích phân,  , sau đó kết quả được nhân từ bên trái bởi liên hợp phức  * và được tính trên toàn bộ miền không gian. Nếu  (rz) = , trong trường hợp này, chúng ta tính được giá trị kỳ vọng như sau: 2 = (r)  ( r) dV ,  (r) đây là tích phân của hai hàm vô hướng, hàm thứ hai, (r) , là hàm mật độ xác suất. Ví dụ: Một electron chuyển động trong điện trường của hạt nhân chì được mô tả bởi hàm: 1  (r) = r−32 e−rrB , B −13 trong đó rmB 6,46.10. Hạt nhân có thể xem như quả cầu tích điện dương bán kính 7.10−15 m . Các electron điện tử dành bao nhiêu thời gian trong hạt nhân, tức là xác suất mà nó tồn tại trong quả cầu bán kính R là bao nhiêu? Tất
  27. 21 cả những gì mà chúng ta đang tìm kiếm là giá trị kỳ vọng của toán tử  (r) =1. Do tính chất đối xứng góc, phần tử thể tích chỉ đơn giản là d V r= d r4, 2 do đó: R 2 Prrdr=  ( ) 41,67.10.26− 0 Một kết quả gần như giống hệt nhau thu được bằng cách giả sử rằng thực tế  không đổi trên khoảng 0 , ,R là hợp lý, vì RrB . Trong trường hợp này, −−336 3 chúng ta thu được PrRRr== (1434 ) BB 31,69.10.( ) ( )( ) [28, tr. 99-100] 2.2.2. Phân tích phần bài tập Cả GT1 và GT2 đều đề cập đầy đủ các câu hỏi trọng tâm của chương này: lập bảng phân phối xác suất, hàm mật xác suất, hàm phân phối xác suất hoặc mối quan hệ giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất , tính các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, hiệp phương sai và hệ số tương quan . Tuy nhiên phần lớn các câu hỏi đều xoay quanh các lĩnh vực về kinh tế và đời sống, có rất ít bài tập liên quan đến lĩnh vực Vật lý. Chúng tôi tìm thấy hai bài toán sau: Bài 1. Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt. Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn. Từ dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi: 3,1,xx−4 fx( ) = 0 ,1.x a) Chứng tỏ rằng đây là hàm mật độ xác suất. b) Tìm hàm phân phối Fx( ). c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4 micromet là bao nhiêu? Bài 2. Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các hệ thống khác. Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất nhiều thời gian để mô hình hóa các lỗi này. Giả sử sai số đo của một đại lượng vật lý X nhất định được quyết định bởi hàm mật độ
  28. 22 2 kxx(3,−− 11,) fx( ) = 0 , 1,1.x −  a) Xác định giá trị k để fx( ) là hàm mật độ xác suất. b) Tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn 0 ,5 . c) Đối với một phép đo cụ thể không mong muốn nếu độ lớn của sai số x vượt quá 0 ,8 . Xác suất mà điều này xảy ra là bao nhiêu? [27, tr.95] 2.3. Phân tích chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng” 2.3.1. Phân tích nội dung kiến thức Các quy luật phân phối xác suất gồm hai nhóm là quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc và quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục. Các quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc gồm: phân phối nhị thức và phân phối Poisson. Các quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục gồm: phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi-bình phương và phân phối Student. Đối với nội dung các quy luật phân phối xác suất trong chương này, chúng tôi nhận thấy GT1 và GT2 có sự tương đồng với nhau về nội dung kiến thức các quy luật phân phối. Bên cạnh việc trình bày nội dung lý thuyết, các giáo trình đều đưa ra các ví dụ minh họa và ứng dụng cụ thể cho từng quy luật phân phối. Tuy nhiên, những ví dụ và ứng dụng được đưa ra trong GT1 chưa tiếp cận đến các lĩnh vực của Vật lý. Với GT2, giáo trình [28] có đưa ra những ví dụ minh họa liên quan đến các lĩnh vực Vật lý tương ứng với những quy luật phân phối xác suất. Chẳng hạn, với quy luật phân phối Poisson, giáo trình [28] đưa ra bài toán ví dụ như sau: Trung bình trong một ngày, bề mặt Trái đất (bán kính R= 6400 km ) bị 25 thiên thạch đâm vào. Tính xác suất trong 10 năm có ít nhất một trong số N = 7.109 cư dân trên Trái đất sẽ bị thiên thạch đâm vào. Biết diện tích bề mặt trung bình của con người là 0,2m2 . [28, tr. 133] 2.3.2. Phân tích phần bài tập Các câu hỏi và bài tập về những quy luật phân phối xác suất liên quan đến lĩnh vực Vật lý trong cả hai hệ thống tài liệu vẫn chưa được đề cập đến nhiều. Cụ thể, chúng tôi chỉ tìm thấy ba câu hỏi liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau:
  29. 23 Một máy đếm để gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất để một hạt phát ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là 1 0 .−4 Giả sử rằng trong thời gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ. (a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt. (b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả. (c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0 ,9 4 5 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt. [12, tr.78] Sự nhiễu tín hiệu trong các mạch điện thường có bản chất là phân phối chuẩn. Giả sử rằng sự nhiễu tín hiệu (biến ngẫu nhiên X ) thường được phân phối với 282 − giá trị trung bình XV= 0 và phương sai  X =1 0 . V (1) Tính xác suất tín hiệu nhiễu vượt quá giá trị 10−4 V và xác suất giá trị của nó nằm trong khoảng giữa −2 . 1 0−4 V và 10−4V . (2) Xác suất mà giá trị nhiễu vượt quá 10−4V là bao nhiêu, biết rằng nó dương? (3) Tính giá trị kỳ vọng của X . [28, tr.119] Các hạt tích điện được đếm bằng một máy dò có hiệu suất không lý tưởng, xác suất máy phát hiện hạt là p 1. Giả sử X là số hạt đi qua máy dò trong khoảng thời gian cố định t có phân phối Poisson với giá trị trung bình  . Xác suất phát hiện r hạt trong khoảng thời gian t là bao nhiêu? [28, tr. 140] 2.4. Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn” 2.4.1. Phân tích nội dung kiến thức Các định lý giới hạn gồm: định lý giới hạn Poisson, định lý giới hạn Moivre – Laplace, định lý giới hạn trung tâm, định lý Chebyshev. Định lý Chebyshev cho ta thấy rằng mặc dù từng đại lượng ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị sai khác nhiều so với kỳ vọng toán của chúng nhưng trung bình số học của số lượng lớn các đại lượng ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học của các kỳ vọng toán của chúng với xác suất rất lớn. “Trong thực tế, định lý Chebyshev được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Chẳng hạn, trường hợp riêng của nó là cơ sở cho phép đo lường trong vật lý” [17, tr.140]. Với cơ sở là định lý
  30. 24 Chebyshev, trong các phép đo vật lý người ta sẽ tiến hành đo nhiều lần và lấy giá trị trung bình của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Bên cạnh đó, định lý Chebyshev còn là cơ sở cho phương pháp trong thống kê. Trong các bài toán thực nghiệm, ta thường gặp tình huống cần xác định khả năng xuất hiện của một biến cố trong nhiều phép thử và sử dụng phân phối nhị thức để tính xác suất. Tuy nhiên, phân phối nhị thức chỉ phù hợp trong trường hợp số lượng các phép thử tương đối nhỏ, còn khi số lượng phép thử quá lớn và xác suất quá nhỏ thì ta sẽ tính xác suất bằng phân phối Poisson thông qua định lý giới hạn Poisson. Định lý giới hạn trung tâm dùng để tính xấp xỉ các xác suất thông qua quy luật phân phối chuẩn: Giả sử XXX12, , ,n , là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân 2 phối xác suất. EX( i ) = , VarXi( i ) = ,. Khi đó: n F 2 XXNnn=⎯⎯⎯→ i n→ ( , ) i=1 Tức là: với n khá lớn thì tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối chuẩn với EXn( ) =  và VarXn( ) =  2. [17, tr.143] Trong thực hành người ta thường lấy giá trị n 30. Các định lý giới hạn trung tâm có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc áp dụng thống kê toán học trong thực tế. Chẳng hạn, các sai số của phép đo trong vật lý thường do tổng ảnh hưởng của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mà mỗi đại lượng ngẫu nhiên ảnh hưởng không đáng kể, nên sai số trong phép đo sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn. [17, tr.143,144] Cả GT1 và GT2 đều trình bày đầy đủ nội dung các định lý giới hạn trong xác suất. Tuy nhiên, đối với GT1, các định lý giới hạn được tách riêng thành một chương hoặc trong một nội dung riêng của chương. Còn đối với GT2, các định lý giới hạn được trình bày đan xen vào các quy luật phân phối. 2.4.2. Phân tích phần bài tập Các định lý giới hạn trong xác suất có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật. Nội dung các câu hỏi và bài tập về chủ đề này cũng có nét tương đồng với các câu hỏi chủ đề về các quy luật phân phối xác suất ở chương 3.
  31. 25 Đối với những câu hỏi về các quy luật phân phối xác suất ta sử dụng các định lý giới hạn như định lý giới hạn Poisson hoặc định lý giới hạn trung tâm để đưa các phân phối về dạng phân phối Poisson hoặc phân phối chuẩn để làm bài. Với những bài toán đề bài yêu cầu ước lượng hoặc đánh giá xác suất theo một điều kiện nào đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Chebyshev để giải quyết bài toán đó. Mặc dù định lý Chebyshev và định lý giới hạn trung tâm có ý nghĩa đối với các phép đo vật lý, tuy nhiên các câu hỏi và bài tập trong các giáo trình chưa đề cập đến những ứng dụng của các định lý giới hạn này trong các phép đo lường vật lý. 2.5. Phân tích chương 5: “Lý thuyết mẫu” 2.5.1. Phân tích nội dung kiến thức Chương “Lý thuyết mẫu” là chương đầu tiên chuyển sang phần thứ hai của môn học, là phần thống kê toán. Trong chương này, cả hai giáo trình GT1 và GT2 đều trình bày đầy đủ các nội dung: tổng thể và mẫu, cách chọn mẫu, các tham số đặc trưng của mẫu. Các ví dụ cũng được đưa ra đầy đủ để minh hoạ cho các công thức. 2.5.2. Phân tích phần bài tập Bài tập chủ yếu của chương này là các bài tập tính toán các tham số đặc trưng của mẫu như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn. Nội dung các câu hỏi và bài tập của GT1 và GT2 chỉ đề cập đến các lĩnh vực kinh tế, khoa học kỹ thuật nói chung. Những bài toán mẫu nghiên cứu liên quan đến các lĩnh vực Vật lý không được trình bày trong các giáo trình. 2.6. Phân tích chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên” 2.6.1. Phân tích nội dung kiến thức Nội dung kiến thức của chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên. Có hai phương pháp ước lượng được đề cập trong chương này là phương pháp ước lượng bằng hàm ước lượng, còn gọi là ước lượng điểm và phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy còn gọi là ước lượng khoảng. Với phương pháp ước lượng điểm, các tiêu chuẩn không chệch, hiệu quả, vững được nghiên cứu nhằm tìm ra hàm ước lượng tốt nhất. Nội dung trọng tâm của chương này là phương pháp ước lượng khoảng với độ tin cậy cho trước đối với các tham số cơ bản của biến ngẫu nhiên cũng là các tham số của tổng thể được nghiên cứu gồm trung bình tổng thể ( ), tỷ lệ tổng thể ( p) và phương sai của tổng thể (s 2 ) . Phương pháp ước lượng khoảng có nhiều ứng dụng trong các
  32. 26 ngành khoa học xử lý số liệu kinh tế, y học, sinh học, vật lý học, Cả hai GT1 và GT2 đều đa số đề cập đến các lĩnh vực kinh tế, y học, nhưng chưa đề cập đến lĩnh vực Vật lý, chỉ GT2 có đề cập đến một ví dụ: Phép đo khối lượng của một hạt nhỏ trong 11 lần đo mang lại giá trị trung bình là m= 4,180 GeV c2 và ước lượng không chệch cho độ lệch chuẩn 2 sGeVcm = 0,060. Xác định khoảng tin cậy cho khối lượng thực của hạt với độ tin cậy 1 0−= ,9 0 . [28, tr.190] 2.6.2. Phân tích phần bài tập Hệ thống các câu hỏi và bài tập về ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên được đưa ra trong GT1 và GT2 thuộc rất nhiều lĩnh vực khoa học. Tuy nhiên, các câu hỏi và bài tập ước lượng liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu trong Vật lý chưa được các giáo trình đề cập. 2.7. Phân tích chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê” 2.7.1. Phân tích nội dung kiến thức Trong chương này, cả GT1 và GT2 đều xây dựng nội dung một số phép kiểm định thống kê như sau: - Kiểm định giả thuyết trung bình của tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ. - Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai phương sai. - Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. - Kiểm định giả thuyết về tính độc lập. Trong khuôn khổ giới hạn của khóa luận, chúng tôi chỉ nghiên cứu phép kiểm định các tham số cơ bản là trung bình ( ), phương sai ( 2 ) của tổng thể phân phối chuẩn, tỷ lệ tổng thể ( p) trên các mẫu đã được cho thông tin và phép kiểm định về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. Thông qua việc tìm hiểu và phân tích phép kiểm định tham số thống kê và phép kiểm định phân phối xác suất trong các giáo trình, chúng tôi nhận thấy GT1 và GT2 có sự tương đồng với nhau trong việc nghiên cứu các phép kiểm định giả thuyết thống kê, từ việc xét bài toán kiểm định đến việc nêu các quy tắc kiểm định của từng tham
  33. 27 số. Với mỗi phép kiểm định, các giáo trình đều có đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa cho từng phép kiểm định giúp người học hiểu được cách vận dụng từng phép kiểm định vào các bài toán cụ thể. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy cả hai nhóm tài liệu chưa đưa ra những bài toán kiểm định liên quan đến lĩnh vực Vật lý, chỉ có tài liệu [28] đã đưa ra ví dụ bài toán kiểm định trung bình và phương sai tổng thể liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau: Bằng cách sử dụng 12 nhiệt kế hoàn toàn giống nhau để đo nhiệt độ, chúng tôi thu được số liệu như sau: x = 33,6;34,3;32,6;32,8;34,1;34,9;32,7;33,9;33,1;33,4 0C. Với mức ý nghĩa = 0 ,0 5 , chúng tôi có thể khẳng định rằng nhiệt độ thực 0 trong quá trình đo cao hơn 0 = 3 2 ,8 C không? [28, tr. 264] Để thiết kế một máy dò chúng ta cần nhiều dây điện cực có chiều dài cụ thể. 2 2 Dung sai độ dài cho phép lớn nhất là 0 =100( m) . Một phép đo chính xác chiều dài đòi hỏi rất khắt khe, do vậy chúng ta chỉ có thể chọn một mẫu nhỏ 2 2 n =10 điện cực, phương sai của phép đo smx =142.( ) Với mức ý nghĩa thống kê là 5%, kiểm tra xem chiều dài dây điện cực trong tổng thể có dao động quá mức không? [28, tr. 265] 2.7.2. Phân tích phần bài tập Các bài tập về kiểm định giả thuyết thống kê trong GT1 và GT2 xoay quanh nhiều vấn đề như kinh tế, giáo dục, y học, sinh học, khoa học kỹ thuật, Tuy nhiên, các bài toán kiểm định liên quan đến các lĩnh vực của Vật lý học chưa được trình bày trong các giáo trình. 2.8. Phân tích chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính” 2.8.1. Phân tích nội dung kiến thức Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp hai đại lượng ngẫu nhiên có mối quan hệ với nhau, trong đó có một đại lượng dễ khảo sát còn đại lượng kia khó khảo sát hơn. Khi đó ta cần tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên để từ đó dự đoán được đại lượng khó khảo sát. Nội dung chính của chương này nghiên cứu về mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên với hai phương pháp là phân tích tương quan với hệ
  34. 28 số tương quan Pearson và phương trình hồi quy tuyến tính. Cả GT1 và GT2 đều triển khai đầy đủ những nội dung này nhưng khác nhau về tiến trình xây dựng kiến thức. GT1 xây dựng kiến thức theo trình tự nhắc lại khái niệm hệ số tương quan đã được học ở chương trước sau đó đặt vấn đề để dẫn dắt đến khái niệm hệ số tương quan mẫu. Còn đối với GT2, trước tiên tác giả xây dựng khái niệm hệ số tương quan mẫu sau đó liên hệ với hệ số tương quan được xác định ở chương trước. 2.8.2. Phân tích phần bài tập Cả GT1 và GT2 đều đưa nhiều bài toán về tương quan và phương trình hồi quy tuyến tính trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật và trong kinh tế. Đối với lĩnh vực Vật lý, phương pháp hồi quy tuyến tính có ứng dụng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của một đại lượng theo đại lượng khác. Tuy nhiên các chủ đề bài tập trong cả GT1 và GT2 chưa đề cập đến các bài toán hồi quy trong lĩnh vực khoa học Vật lý.
  35. 29 CHƯƠNG 3. HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ Trong chương này chúng tôi sẽ hệ thống hóa lại các nội dung kiến thức, đề xuất cách tiếp cận và xây dựng bài tập XSTK ứng dụng giải quyết các vấn đề Vật lý. 3.1. Chương 1: Đại cương về xác suất 3.1.1. Nội dung kiến thức - Nhắc lại kiến thức về giải tích tổ hợp: quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp; - Các khái niệm cơ bản như: phép thử, kết cục, biến cố và xác suất; - Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp; - Công thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê; - Mối quan hệ giữa các biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập; - Các công thức tính xác suất: công thức nhân xác suất, công thức cộng xác suất, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bernoulli và công thức Bayes. 3.1.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại cương về xác suất” Để so sánh hoặc đánh giá một hoặc nhiều biến cố về khả năng xuất hiện trong một phép thử tương ứng, người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn, các biến cố có cùng khả năng xuất hiện thì gán cho cùng một con số. Con số được gán cho các biến cố được gọi là xác suất của biến cố. Ta xét bài toán tính xác suất của biến cố sau: Một mạch điện gồm hai bộ phận mắc nối tiếp, với khả năng làm việc tốt trong một khoảng thời gian nào đó của bộ phận thứ nhất và bộ phận thứ hai là 0,95 và 0,98. Ở một thời điểm trong khoảng thời gian trên người ta thấy mạch điện ngừng làm việc (do bộ phận nào đó bị hỏng). Tính xác suất mạch điện ngừng làm việc do bộ phận thứ hai hỏng.
  36. 30 Đối với bài toán tính xác suất trên, ta thấy rằng với các công cụ tính xác suất đã được học trong chương trình phổ thông sẽ không thể giải quyết được bài toán này một cách tường minh. Nội dung kiến thức trong chương này sẽ giúp chúng ta có thể giải quyết tường minh bài toán trên. 3.1.3. Xây dựng bài tập chương “Đại cương về xác suất” Trong lĩnh vực Vật lý thống kê, phân bố Maxwell – Boltzmann, phân bố Fermi – Dirac và phân bố Bose – Einstein là ba phân bố trọng tâm của lĩnh vực này. Để tính xác suất các hạt được tìm thấy trong các phân bố này, ta sử dụng công thức giải tích tổ hợp và công thức tính xác suất cổ điển. Xét bài toán sau: Bài 1.1. Xét mô hình một khối khí gồm n hạt (phân tử), thể tích của hệ được chia thành q hộp (qn ). Chúng ta đặt ngẫu nhiên n hạt vào q hộp. Tìm xác suất p để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước (mỗi hạt chỉ ở trong một hộp). Xét các trường hợp sau: a) M – B (Maxwell – Boltzmann) – các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng đều có thể được; b) F – D (Fermi – Dirac) – không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa nhiều nhất một hạt; c) B – E (Bose – Einstein) – không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả năng đều có thể được; Hướng dẫn giải a) Phân bố Maxwell – Boltzmann (các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng đều có thể được) n hạt q hộp Hình 3.1. Mô tả phân bố Maxwell – Boltzmann Tổng số cách đặt n hạt vào q hộp là: qn Số hoán vị n hạt trong n hộp đã chọn là: n!
  37. 31 n! Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là: p = . qn b) Phân bố Fermi – Dirac (không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa nhiều nhất một hạt) q! Số cách chọn n hộp trong q hộp để chứa n hạt là: C n = . q n q!!( n − ) Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là: 1 nqn!!( − ) p ==n . Cqq ! c) Phân bố Bose – Einstein (không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả năng đều có thể được) (q – 1) vách ngăn n hạt q hộp Hình 3.2. Mô tả phân bố Bose – Einstein Mỗi hộp có thể chứa nhiều hơn 1 hạt. (nq+−1!) Số cách chọn ra n hạt từ (nq+−1) phần tử: C n = nq+−1 nq!1!( − ) Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là: 1!(1)! nq− p ==n . Cnqnq+−1 (1)!+− Xét một bài toán tính xác suất điển hình trong phân bố Bose – Einstein như sau: Bài 1.2. Xét một hệ thống gồm hai chất rắn Einstein, A và B trao đổi năng lượng với nhau. Mỗi chất rắn chứa 1 nguyên tử. Giả sử hệ thống trao đổi tổng cộng 6 đơn vị năng lượng, các chất rắn được đưa đến gần và tương tác, tổng năng lượng được giữ cố định. Biết rằng mô hình chất rắn Einstein tuân theo phân bố Bose – Einstein, nghĩa là số trạng thái vi mô của mỗi chất rắn được tính theo công thức (nq+−1!)  =C n = . nq+−1 nq!( − 1) ! a) Có bao nhiêu trạng thái vi mô khác nhau của hệ thống này?
  38. 32 b) Giả sử hệ thống này đang ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất tìm thấy tất cả năng lượng trong chất rắn A là bao nhiêu? c) Tính xác suất tìm thấy chính xác một nữa năng lượng trong chất rắn A. Hướng dẫn giải a) Số trạng thái vi mô khác nhau của hệ thống: Năng lượng của hệ: EEEnnnn=+=+=+=ABABAB  ( ) 6 nnAB + = 6 Mỗi nguyên tử có 3 dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều nên qqAB==3. n =C nA n =C nB  =  . A A nAA+− q 1 B B nBB+− q 1 AB 0 1 6 28 28 1 3 5 21 63 2 6 4 15 90 3 10 3 10 100 4 15 2 6 90 5 21 1 3 63 6 28 0 1 28 Vậy tổng số trạng thái vi mô của hệ thống là 462 trạng thái. b) Giả sử hệ thống này đang ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất tìm thấy tất cả năng lượng trong chất rắn A :  2 p == A .  11 c) Xác suất tìm thấy chính xác một nữa năng lượng trong chất rắn A : 100 p ==0,2165. 462 Trong Vật lý và trong kỹ thuật có nhiều bài toán sử dụng các công thức tính xác suất như: công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. Ta xét các bài toán sau: Bài 1.3. Bản tin điện báo gồm tín hiệu chấm (.) và tín hiệu vạch (-). Qua thống 2 1 kê cho thấy tín hiệu chấm khi truyền đi bị bóp méo thành tín hiệu vạch và tín 5 3 hiệu vạch khi truyền đi bị bóp méo thành tín hiệu chấm. Biết tỷ số giữa tín hiệu chấm
  39. 33 và vạch trong truyền đi là 5:3. Xác định xác suất tín hiệu truyền đi được nhận đúng nếu: a) Nhận được tín hiệu chấm (.); b) Nhận được tín hiệu vạch (-). Hướng dẫn giải Gọi T1 là biến cố truyền đi tín hiệu chấm (.); T2 là biến cố truyền đi tín hiệu vạch (-); 53 ==PTPT( ) ;.( ) 1288 a) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (.) Gọi A là biến cố nhận được tín hiệu chấm (.) 53311 PAPTPA( ) =+=+= TPTPA( 1122) ( T ) ( ) ( ) 85832 53 . P( TPA11) T( ) 85 3 P( TA1 ) === . PA( ) 1 4 2 b) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (-) Gọi B là biến cố nhận được tín hiệu vạch (-) 3 25 21 P( BPTP) =+=+=( BTPT2211) ( P) BT( ) ( ) 8 38 52 32 . P( TP22) B( T ) 83 1 P( TB2 ) === . PB( ) 1 2 2 Bài 1.4. Một nhóm các nhà khoa học đang nghiên cứu về nguy cơ xảy ra sự cố tại một nhà máy điện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ. Các nhà khoa học nhận thấy các sự cố chỉ có thể là do: hỏa hoạn, sự gãy đỗ của vật liệu hoặc sai lầm của con người. Biết rằng hai hay nhiều hơn hai sự cố không bao giờ cùng xảy ra. Nếu có hỏa hoạn thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 20% số lần. Nếu có sự gãy đổ của vật liệu thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 50% số lần và nếu có sự sai lầm của con người thì sự rò rỉ sẽ xảy ra khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu cũng tìm
  40. 34 được xác suất để hỏa hoạn và sự rò rỉ cùng xảy ra là 0,0010; sự gãy đổ vật liệu và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015; sai lầm của con người và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0012. Tính xác suất để: a) có hỏa hoạn; có gãy đổ vật liệu và có sai lầm của con người; b) có sự rò rỉ phóng xạ; c) có sự rò rỉ phóng xạ được gây ra bởi sự sai lầm của con người. Hướng dẫn giải a) Tính xác suất để có hỏa hoạn; có gãy đổ vật liệu và có sai lầm của con người: Gọi A là biến cố “xảy ra hỏa hoạn”; B là biến cố “xảy ra gãy đổ”; C là biến cố “xảy ra sai lầm của con người”; D là biến cố “có sự rò rỉ phóng xạ”; Ta có A,, B C là các biến cố xung khắc từng đôi một và PDA( ) = 0,2; PD( BPD) == C0,5;0,1.( ) Ngoài ra, PDA( ) = 0,001; PDB( ) = 0,0015; PDC( ) = 0,0012 . Theo công thức xác suất có điều kiện ta có: PDA( ) 0,001 Xác suất có hỏa hoạn là: PA( ) === 0,005; PD( A ) 0,2 PDB( ) 0,0015 Xác suất có gãy đổ vật liệu là: PB( ) === 0,003; PD( B ) 0,5 P( DC) 0,0012 Xác suất sai lầm của con người: PC( ) = = = 0,012. PDC( ) 0,1 b) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ: PD( ) = PDA( ) + PDB( ) + PDC( ) =0,0010 + 0,0015 + 0,0012 = 0,0037. c) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ được gây ra bởi sự sai lầm của con người:
  41. 35 PCD( ) 0,001212 PCD( ) === . PD( ) 0,003737 Bài 1.5. Có hai bóng đèn điện với xác suất hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2 và việc chúng hỏng là độc lập với nhau. Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu chúng mắc: a) nối tiếp; b) song song. Hướng dẫn giải Gọi xác suất để 2 bóng đèn hỏng lần lượt là P1 và P2 Ta có P1 = 0 ,1 và P2 = 0 ,2 và 2 biến cố đèn hỏng là 2 biến cố độc lập. a) Mạch nối tiếp: mạch không có dòng điện khi 1 trong 2 bóng đèn hỏng Xác suất đèn 1 không hỏng là PP11=−=−=110,10,9 Xác suất đèn 2 không hỏng là PP22=−=−=110,20,8 Xác suất để mạch có dòng điện tức là cả 2 đèn đều không hỏng là PP12==0,9.0,80,72 Vậy xác suất để mạch không có dòng điện là P =1 − 0,72 = 0,28. b) Mạch song song: mạch không có điện khi cả 2 đèn đều hỏng nên xác suất để mạch không có điện là PPP=12 =0,1.0,2 = 0,02. Bài 1.6. Cho sơ đồ mạch điện được mắc như hình 3.3 Hình 3.3. Sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn ghép với nhau Mạch điện gồm các bóng đèn Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 hoạt động độc lập với xác suất hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Tính xác suất để:
  42. 36 a) mạch BC bị hỏng; b) mạch AC bị hỏng. Hướng dẫn giải Gọi Ai là biến cố đèn Đi bị hỏng (i =1,4) ; D là biến cố mạch BC bị hỏng; Dj là biến cố mạch thứ j của BC bị hỏng ( j =1,2) ; E là biến cố mạch AC bị hỏng Theo đề ta có: PAPAPAPA( 1234) ===0,1;0,2;0,3;0,4.( ) ( ) ( ) a) Xác suất để mạch BC bị hỏng Mạch BC hỏng khi 2 nhánh mắc song song bị hỏng. Xác suất nhánh chứa đèn Đ1 hỏng: PDPA( 14) ==( ) 0,4; Xác suất nhánh chứa đèn Đ2 và Đ3 không bị hỏng: PDPAA( 2) = ( 2. 3 ) . Do AA23, là các biến cố độc lập nên: P( DP223) === AP( A ).0,8.0,70,56.( ) Xác suất nhánh chứa đèn Đ2 và Đ3 bị hỏng: P( DP22) =−=−= D110,560,44.( ) Xác suất để mạch BC bị hỏng là: PDPDDPDPD( ) =( 1. 2) =( 1) .( 2 ) = 0,4.0,44 = 0,176. b) Xác suất để mạch AC bị hỏng Xác suất mạch AC không bị hỏng: PEPADPAPD( ) =( 11.) =( ) .( ) = 0,9.0,824 = 0,7416. Xác suất để mạch AC bị hỏng là: P( EP) = E11 −= 0,7416( −=) 0,2584. Bài 1.7. Một mạch điện gồm có năm linh kiện, mỗi linh kiện hoạt động độc lập với xác suất để mỗi linh kiện bị hỏng trong khoảng thời gian bất kỳ lần lượt là: 0,01; 0,02; 0,02; 0,01; 0,04. Năm linh kiện đó được mắc vào một mạch điện theo sơ đồ
  43. 37 hình 3.4. Trong mỗi trường hợp, hãy tính xác suất để trong mạch điện có dòng điện chạy qua. Hình 3.4. Sơ đồ mạch điện gồm 5 linh kiện ghép với nhau Hướng dẫn giải Gọi Ai là biến cố linh kiện thứ i hoạt động tốt trong thời điểm được xét (i =1,5) Theo đề ta có: P( AP12345) === AP0,99;0,98;0,98;0,99;0,96 AP( AP) A ( ) ( ) ( ) Gọi A là biến cố trong mạch có dòng điện chạy qua, ta cần tính PA( ) trong mỗi trường hợp khác nhau. Trong hình a, ta thấy các linh kiện trong mạch mắc nối tiếp. Muốn mạch có dòng điện thì mọi linh kiện đều phải hoạt động tốt. Trong trường hợp này: AA= AAAA12345 cho nên PAPAAAAA( ) = ( 1 2 3 4 5 ) . Do AAAAA12345,,,, là các biến cố độc lập nên: PAPAPAPAPAPA( ) ===( 12345) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,99.0,98.0,98.0,99.0,96 0,904 . Trong hình b, ta thấy các linh kiện trong mạch được mắc song song với nhau. Muốn mạch chính có dòng điện thì chỉ cần có ít nhất 1 nhánh hoạt động. Ta xét trường hợp mạch không có dòng điện. Muốn mạch không có dòng điện thì mọi linh kiện đều phải hỏng nên: AAAAAA= 1 2 3 4 5 . Do AAAAA12345,,,, là các biến cố độc lập nên: PAPAPAPAPAPA( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5 ) . Xác suất để mạch có dòng điện chạy qua: PAPA( ) =1 −( ) = 1 − 0,01.0,02.0,02.0,01.0,04 1.
  44. 38 Trong hình c, ta thấy các nhánh trong mạch được mắc song song với nhau. Muốn mạch chính có dòng điện thì chỉ cần có ít nhất 1 nhánh hoạt động. Gọi Bj là biến cố nhánh thứ j có dòng điện ( j =1,3). PAPAPB( ) =−=−=−111 B( BPBPBPB) ( 123123 ) ( ) ( ) ( ) P( BP111212) =−=−=−=−= BPA11110,99.0,980,0298; APAPA( ) ( ) ( ) ( ) PBPA( 23) ==( ) 0,02; P( BP334545) =−=−=−=−= BPA11110,99.0,960,0496; APAPA( ) ( ) ( ) ( ) Vậy PA( ) =1 − 0,0298.0,02.0,0496 0,99997. Bài 1.8. Trên một bảng quảng cáo người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 15%, việc hỏng bóng đèn coi như độc lập. a) Tính xác suất để hệ thống I bị hỏng (được hiểu là hệ thống này không sáng nữa); b) Tính xác suất để hệ thống II không bị hỏng; c) Tính xác suất để hai hệ thống bị hỏng; d) Tính xác suất để chỉ có hệ thống I bị hỏng; e) Trong thực tế, khả năng hai hệ thống hỏng đồng thời là 5%. Tính xác suất để có hệ thống hỏng. Hướng dẫn giải a) Xác suất để hệ thống I bị hỏng: Gọi A1 là biến cố bóng thứ nhất của hệ thống I bị hỏng; A2 là biến cố bóng thứ hai của hệ thống I bị hỏng; A là biến cố hệ thống I bị hỏng. Khi đó hai biến cố A1 và A2 độc lập và PAPA( 12) ==( ) 0,15.
  45. 39 Vì hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên hệ thống I bị hỏng khi có ít nhất một bóng bị hỏng. Xác suất để hệ thống I không bị hỏng: 2 PAPA( ) === APAPA( 1212 ) ( ) ( ) 0,850,7225. Xác suất để hệ thống I bị hỏng: PAPA( ) =1 −( ) = 1 − 0,7225 = 0,2775. a) Xác suất để hệ thống II không bị hỏng: Gọi B1 là biến cố bóng thứ nhất của hệ thống II bị hỏng; B2 là biến cố bóng thứ hai của hệ thống II bị hỏng; B là biến cố hệ thống II bị hỏng. Khi đó hai biến cố B1 và B2 độc lập và PBPB( 12) ==( ) 0,15. Vì hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song nên hệ thống II bị hỏng khi cả 2 bóng bị hỏng. Xác suất để hệ thống II bị hỏng: 2 PBPBBPBPB( ) =( 1 2) =( 1) ( 2 ) =0,15 = 0,0225. Xác suất để hệ thống II không bị hỏng: P( BP) =−=−= B110,02250,9775.( ) c) Xác suất để hai hệ thống bị hỏng: Vì A là biến cố hệ thống I bị hỏng và B là biến cố hệ thống II bị hỏng nên AB là biến cố cả hai hệ thống bị hỏng. Vì hai biến cố AB, độc lập nên: P( AB) = P( A) P( B) =0,2775.0,0225 0,0062. d) Xác suất để chỉ có hệ thống I bị hỏng: Biến cố chỉ có hệ thống I bị hỏng là tích của hai biến cố: hệ thống I bị hỏng và hệ thống II không bị hỏng. Do đó AB là biến cố chỉ có hệ thống I bị hỏng. Vì hai biến cố AB, độc lập nên: P( AB) = P( A) P( B) =0,2775.0,9775 0,2713.
  46. 40 e) Xác suất để có hệ thống hỏng: Vì AB, là hai biến cố không xung khắc nên: P( A B) = P( A) + P( B) − P( AB) =0,2775 + 0,0225 − 0,05 = 0,25. Một ứng dụng phổ biến của xác suất chính là xác định độ tin cậy của một hệ thống thiết bị. Ta xét bài toán sau: Bài 1.9. Một hệ thống kỹ thuật gồm n bộ phận với xác suất hoạt động tốt của mỗi bộ phận là p. Hệ thống sẽ ngừng hoạt động khi có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng. Để nâng cao độ tin cậy của hệ thống ngừi ta dự trữ thêm n bộ phận nữa theo 2 phương án sau: Hình 3.5. Hệ thống các thiết bị ghép nối với nhau Hỏi phương thức dự trữ nào mang lại độ tin cậy cao hơn cho cả hệ thống? Hướng dẫn giải Sau khi bổ sung thêm n bộ phận thì ta có tổng tất cả là 2n bộ phận được bố trí theo 2 phương án a) và b). Khi n =1 thì hai hệ thống giống nhau hoàn toàn nên ta chỉ xét n 2. Ta đi tính xác suất để hệ thống hoạt động ở a) và b) là PPab,. Hệ thống a) gồm n ô vuông to, mỗi ô vuông có 2 bộ phận được mắc song song, xác suất để ô vuông to bị hỏng là (1− p)2 (cả 2 nhánh đều cùng hỏng). Do đó xác suất để ô vuông to hoạt động tốt là: 1−( 1 −p)2 = 2 p − p2 .
  47. 41 Ta có hệ thống n ô vuông to mắc nối tiếp, do đó xác suất để hệ thống hoạt động tốt là: 2 n n n Pppppa =−=−(22) ( ) ( n ô vuông to cùng hoạt động tốt). Hệ thống b) được chia làm 2 nhánh, mỗi nhánh là n bộ phận mắc song song. Ta có xác suất để 1 nhánh hoạt động tốt là pn nên xác suất để 1 nhánh không hoạt động là 1.− pn 2 Do đó xác suất để hệ thống hỏng là (1− pn ) (cả 2 nhánh đều hỏng). Từ đó suy ra xác suất để hệ thống b) hoạt động là: n2 n2 n n n Pb =1 −( 1 − p) = 2 p − p = p( 2 − p ) . Để xem phương thức nào mang lại độ tin cậy cho hệ thống cao hơn ta sẽ so sánh Pa và Pb . Ta sẽ chứng minh rằng PPab với mọi n 2 và 01. P Đặt qpq=− 1(0) ta có: nnnn nnnn PPppppppqqab − − − (2222112 − ) ++( − ) ( ) ( ) ( ) . Thật vậy, theo nhị thức Newton ta có: n n1 2 2nn 1 2 2 n (1++−q) ( 1 q) =+ 1 CqCqn + n +++− q 1 CqCq n + n ++− ( 1) q 2244 =+++ 222 2Cnn qC q . Vậy phương thức dự trữ a) mang lại độ tin cậy hơn phương thức dự trữ b). 3.2. Chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”. 3.2.1. Nội dung kiến thức - Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên; - Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên (rời rạc và liên tục): bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất; - Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn;
  48. 42 - Khái niệm, phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều. 3.2.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” Khi tiến hành một phép thử ngẫu nhiên, các kết quả của phép thử thường là các đặc trưng định tính (biến cố ngẫu nhiên). Tuy nhiên, trong nhiều phép thử mỗi một kết quả của phép thử thường được gán tương ứng với một giá trị định lượng nào đó. Ta xét một bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau: Một nhà vật lý hạt sử dụng 3 máy đo để đếm số phân rã alpha phát ra từ 3 nguồn 222 phóng xạ Radon 86 Rn trong khoảng thời gian T. Biết rằng 3 máy đếm này hoạt động độc lập với nhau, xác suất mỗi máy đếm bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3. Yêu cầu của bài toán là lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T, tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. Với kiến thức được trang bị ở chương 1, ta có thể dễ dàng lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. Tuy nhiên, để tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T thì với kiến thức được học trong chương 1 chưa đủ để giải quyết được câu hỏi này. Nội dung của chương 2 sẽ giúp ta có thể giải quyết câu hỏi trên. Tính ngẫu nhiên của các đại lượng ngẫu nhiên một chiều và nhiều chiều được thể hiện đầy đủ thông qua quy luật phân phối xác suất, đo lường thông qua bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên là một cách nhìn tổng quát, ngắn gọn hơn về đại lượng ngẫu nhiên, chứa đựng những thông tin quan trọng nhất của đại lượng ngẫu nhiên. Những tham số đặc trưng như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn là những tham số thường xuyên được sử dụng để đánh giá, so sánh khi phân tích các vấn đề định lượng và cả định tính trong thực tế. 3.2.3. Xây dựng bài tập chương “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” Đầu tiên, ta xét bài toán về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc như sau:
  49. 43 Bài 2.1. Một nhà vật lý hạt sử dụng 3 máy đo để đếm số phân rã alpha phát ra 222 từ nguồn 3 nguồn phóng xạ Radon 86 Rn trong khoảng thời gian T. Biết rằng 3 máy đếm này hoạt động độc lập với nhau, xác suất mỗi máy đếm bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3. a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T; b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. Hướng dẫn giải a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. X = 0 ,1 ,2 ,3 . Gọi Ai là biến cố máy đếm thứ i hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. PAPAPA( 123) ===0,9;0,8;0,7( ) ( ) PXPAAAPA( ===0.) .0,1.0,2.0,3( 1 2 PA 3123) 0,006; PA( ) ( ) ( ) PXPAPA( =10,092;) =++=( 123123123) PAPAPA( ) ( ) ( PAPAPA) ( ) ( ) PA( ) ( ) ( ) PXPAPAPAPAPAPAPAPAPA( =2) =( 1) ( 2) ( 3) +( 1) ( 2) ( 3) +( 1) ( 2) ( 3 ) = 0,398; PXPAAAPA( ===30,9.0,8.0,7) ( 1 2 PA 3123) 0,504; PA( ) ( ) ( ) Bảng phân phối xác suất của X : X 0 1 2 3 PX( ) 0,006 0,092 0,398 0,504 b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. Trung bình số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T là: E( X) = xii p =0.0,006 + 1.0,092 + 2.0,398 + 3.0,504 = 2,4. Độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T:
  50. 44 222222 EXxp( ) ==+++= ii 0 .0,0061 .0,0922 .0,3983 .0,5046,22; 222 VarXEXEX( ) =−=−=( ) ( ) 6,222,40,46;  ==VarX( ) 0,6782 . Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hạt được sẽ được mô tả bằng hàm sóng. Bình phương modul hàm sóng chính là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian. Ta xét các bài toán liên quan đến hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục sau: Bài 2.2. Hàm sóng của hạt bị nhốt trong một giếng thế vô hạn và ở trạng thái năng lượng thấp nhất được cho bởi hàm sóng: x  ( xA) = sin với 0; xL L 2 Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng, chứng minh rằng: A = , biết rằng L 2 bình phương modul hàm sóng  (x) là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian và điều kiện chuẩn hóa hàm sóng là xác suất tìm thấy hạt trong toàn miền không gian phải bằng một. Hướng dẫn giải 2 Do  (x) là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: + 2  ( xdx) =1 − L 2 2 x =Adx sin1 0 L L 2 112 x −=Adx cos1 0 22 L L 2 12Lx −=Ax sin1 24 L 0 2 L 2 =AA = 1. 2 L Bài 2.3. Một hạt bị nhốt giữa hai bức tường rắn cách nhau một khoảng L. Biết rằng hạt ở trong trạng thái có năng lượng thấp nhất và có hàm sóng:
  51. 45 2 x  ( x) = sin với 0; xL LL 2 Bình phương modul hàm sóng  (x) là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian. Sử dụng hàm sóng này, hãy tính xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm: L a) x = 0 và x = ; 3 L 2L b) x = và x = ; 3 3 2L c) x = và xL= . 3 Hướng dẫn giải L a) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm x = 0 và x = 3 LL 33 Lx2 2 2 Pxxdxdx 0sin ==  ( ) 3 00LL L 21123 x =− cos dx LL0 22 L 22 x L x 3 =−sin LL 24 0 = 0,1955 . L 2L b) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm x = và x = 3 3 22LL 33 LLx 222 2 Pxx dxdx ==  ( ) sin 33LLLL 33 2L 23 1 1 2 x =− cos dx LLL 22 3
  52. 46 2L 22 xLx 3 =− sin LL 24 L 3 = 0 ,6 0 9 . 2L c) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm x = và xL= 3 LL 22Lx2 2 PxLxdxdx ==  ( ) sin 3 22LLLL 33 2112L x =− cos dx LL2L 22 3 L 22 xLx =− sin LL 24 2L 3 = 0,1955 . Bài 2.4. Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng có dạng: x2  ( xAikxA) =−=.exp;,, k aconst 2 . 2a 2 Biết rằng bình phương modul hàm sóng  (x) là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian. a) Chuẩn hóa hàm sóng trên biết rằng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng là xác suất tìm thấy hạt trong toàn miền không gian phải bằng một. b) Tìm vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy hạt là lớn nhất. c) Tìm xác suất để hạt nằm trong khoảng (-a,a). Hướng dẫn giải a) Tìm hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng. 2 Do  (x) là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: + 2  ( x) dx =1 −
  53. 47 +¥ æ x2 ö æ x2 ö Þ A2 exp ikx - exp -ikx - dx = 1 ò çè 2a2 ÷ø çè 2a2 ÷ø -¥ +¥ æ x2 ö Þ A2 exp - dx = 1. ò ç 2 ÷ -¥ è a ø Sử dụng tích phân Gauss, ta thu được: 1 AaA2.1. = = 4 a2 b) Tìm vị trí mà xác suất tìm thấy hạt là lớn nhất. 2 2 2 x Hàm mật độ xác suất: fxxA( ) ==− ( ) exp 2 . a Điều kiện để hàm mật độ xác suất cực đại là: 2 f2 2 x x =0 Ax −22 exp − = 0 = 0 . x a a Vậy x = 0 là vị trí có xác suất tìm thấy hạt lớn nhất. c) Xác suất để hạt nằm trong khoảng (−aa;:) +a + a22 + a 2 xx 2 P− a x a = x dx = A2 exp − dx = exp − dx ( ) ( ) 22 −−aa aa a 0 2 a == 10,3413.( ) a 2 Ta xét một số bài toán kỹ thuật sử dụng đến các tính chất của hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục sau: Bài 2.5. Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt. Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn. Từ dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi: 3xx−4 , 1, fx( ) = 0 ,x 1. a) Chứng tỏ rằng đây là hàm mật độ xác suất. b) Tìm hàm phân phối Fx( ).
  54. 48 c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4 micromet là bao nhiêu? Hướng dẫn giải a) Chứng tỏ rằng fx( ) là hàm mật độ xác suất Để chứng minh fx( ) là hàm mật độ xác suất hợp lệ, ta sẽ xét tích phân sau: + + + 1 + fx( dxfx) =+=+= dxfx dxxdxx( −=) −− −= ( ) 03011. −−43 ( ) 1 − − 11 + Do f( x) dx =1 nên fx( ) là hàm mật độ xác suất. − b) Tìm hàm phân phối Fx( ) x Hàm phân phối xác suất FxPXxftdt( ) = =( ) ( ) − 0 , x1 0 , x1, x F( xP) = == Xx( ) −4 −3 3t , 1 dtx 1 − ,xx 1. 1 c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4 micromet: P( XP =4141411 XF) − = −=( 44 −−= . ) ( ) ( −−33) Bài 2.6. Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các hệ thống khác. Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất nhiều thời gian để mô hình hóa các lỗi này. Giả sử sai số đo của một đại lượng vật lý X nhất định được quyết định bởi hàm mật độ 2 kxx(3,−− 11,) fx( ) = 0 , 1,1x − .  a) Xác định giá trị k để fx( ) là hàm mật độ xác suất. b) Tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn 0,5. c) Tìm hàm phân phối xác suất Fx( ) của đại lượng vật lý X.
  55. 49 d) Đối với một phép đo cụ thể không mong muốn nếu độ lớn của sai số x vượt quá 0 ,8 . Xác suất mà điều này xảy ra là bao nhiêu? Hướng dẫn giải a) Xác định giá trị k để fx( ) là hàm mật độ xác suất + Để fx( ) là hàm mật độ xác suất thì f x( dx) =1 − 1 1 3 2 x 16 k(33 − x) dx = k x − = k 33 −1 −1 3 =k . 16 3 2 (3,−− 11,xx) Vậy hàm mật xác suất của X là fx( ) = 16 0 , x1,1. −  b) Tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn 0 ,5 11 PXPX =− 1 22 1 1 2 2 33199 23 =−=−= (33xdxxx) . −116163128 −1 c) Tìm hàm phân phối xác suất Fx( ) của đại lượng vật lý X; x f( t) dt , x − 1, − xx −1 FxPXx( ) =( ) = ftdt( ) = ftdt( ) + ftdt( ) , − 1 x 1, − − −1 −11x ftdt( ) + ftdt( ) + ftdt( ) , x 1, − −11 0 , x − 1, 19 x3 = +xx − , − 1 1, 2 16 16 1 , x 1.
  56. 50 d) Xác suất đối với một phép đo cụ thể không mong muốn nếu độ lớn của sai số x vượt quá 0 ,8 . PXPX( =− 0,810,8) ( ) =1 −PX( − 0,8 0,8) =1 − FF( 0,8) −( − 0,8) =1 −FF( 0,8) +( − 0,8) 3 1 9 0,83 1 9 (−0,8) =1 − + .0,8 − + +( − 0,8) − 2 16 16 2 16 16 41 = . 250 Thông qua bài toán này, chúng ta có thể thấy rằng việc tính xác suất có thể dựa trên cả hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất. 3.3. Chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”. 3.3.1. Nội dung kiến thức - Các phân phối xác suất rời rạc (phân phối nhị thức, phân phối Poisson): khái niệm, công thức tính xác suất, các tham số đặc trưng; - Các phân phối xác suất liên tục (phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối chi-bình phương, phân phối Student): khái niệm, công thức tính xác suất, các tham số đặc trưng. 3.3.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”. Trong các ngành khoa học kỹ thuật nói chung hay trong lĩnh vực Vật lý nói riêng, khi đo đạc các đại lượng bất kỳ sẽ luôn có một thăng giáng thống kê nào đó gây ra sai số chủ yếu trong các thí nghiệm. Các sai số ngẫu nhiên luôn tuân theo một quy luật phân phối xác suất. Các hàm phân phối cơ bản được ứng dụng trong xử lý số liệu thực nghiệm bao gồm: phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi bình phương và phân phối Student. Phân phối nhị thức có ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý khi đo hiệu suất của máy đếm các hạt trong kính viễn vọng. Phân phối Poisson là phân phối thường được sử dụng trong trường hợp mà sự kiện xảy ra có xác suất nhỏ và không đổi. Một trường hợp điển hình tuân theo phân
  57. 51 phối Poisson là hiện tượng phân rã phóng xạ. Nếu chúng ta đo số phân rã beta (hoặc alpha) phát ra từ một nguồn phóng xạ nào đó trong cùng một khoảng thời gian nhất định thì số hạt ghi nhận được trong mỗi lần sẽ tuân theo phân phối Poisson. Phân phối chuẩn có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý. Chẳng hạn, phân bố vận tốc của các phân tử khí lý tưởng hay vận tốc chuyển động của các nguyên tử, phân tử trong bất kỳ một hệ cân bằng nhiệt nào đều tuân theo phân phối chuẩn. Ngoài ra, sai số ngẫu nhiên trong vật lý thực nghiệm cũng thường có phân phối chuẩn. Các quy luật phân phối xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý. Những quy luật và các tham số đặc trưng của những quy luật phân phối này giúp ta có thể giải quyết được nhiều bài toán trong vật lý học thực nghiệm. 3.3.3. Xây dựng bài tập chương “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”. Mở đầu là bài toán về ứng dụng của phân phối nhị thức trong Vật lý: Bài 3.1. Một nhà vật lý hạt tiến hành làm thí nghiệm tán xạ K-meson và nucleon, sau đó đo xác xuất tán xạ ngược bằng thùng Hydrogen lỏng. Tiến hành đo 1000 va chạm, thu được kết quả có 472 tán xạ xuyên qua, và 528 tán xạ ngược. Hỏi độ sai số bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi X là số tán xạ xuyên qua sau va chạm thì XBnp ( ; ) với n =1000; p = 0,472. Độ sai số (độ lệch chuẩn):  == npq 1000.0,472.0,52816 hạt. Vậy kết quả tán xạ thu được là: số hạt tán xạ xuyên qua là 4 7 2 1 6 hạt; số hạt tán xạ ngược là 5 2 8 1 6 hạt Ứng dụng của phân phối Poisson trong Vật lý được thể hiện qua các bài toán sau: Bài 3.2. Một nhà vật lý thấy rằng mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình 1,5 hạt/ phút. a) Nếu ông ta đếm số hạt trong khoảng thời gian 10 phút, giá trị trung bình nhận giá trị bao nhiêu? b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian 2 phút, quan sát được 0, 1, 2, 3, 4 hạt và nhiều hơn 5 hạt.
  58. 52 Hướng dẫn giải a) Mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình 1,5 hạt/ phút. Vậy trong khoảng thời gian 10 phút, mẫu phóng xạ này sẽ phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình là 15 hạt/ 10 phút. b) Trong khoảng thời gian 2 phút, mẫu phóng xạ sẽ phân rã với tốc độ trung bình là 3 hạt/ 2 phút. Gọi X là số hạt thu được trong khoảng thời gian 2 phút thì XP() với  = 3. 30 31 PXe( ===00,0498) −3 ; PXe( ===10,1494) −3 . 0! 1! 32 33 PXe( ===20,2240) −3 ; PXe( ===30,2240) −3 . 2! 3! 34 35 PXe( ===40,1680) −3 ; PXe( ===50,1008) −3 . 4! 5! P( XPXP =5105101 5) − = XP XP( −=+= X +) += ( ) ( ) ( ) =10,0498 −+++++( 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008 ) = 0,0840 . Bài 3.3. Khi đo hoạt độ của một nguồn phóng xạ, detector cho số đếm trung bình là 6 xung/ phút. a) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút. b) Tính xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/ phút. c) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút. Hướng dẫn giải Gọi X là số xung đếm được trong khoảng thời gian 1 phút thì XP() với  = 6. a) Xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút: 88 kk6 P( X ==+=++==9) P( X 0) P( X 1) P( X 8)  e−− = e 6 = 0,8472. kk==00kk!! b) Xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/ phút:
  59. 53 11 6k PXPXPXPXe(911910110,1327 ==+=+===) ( ) ( ) ( )  −6 . k=9 k! c) Xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút: PXPXPXPX( 11) = 1 −( 11) = 1 −( 9) −( 9 11) =−−=10,84720,13270,0201 . Bài 3.4. Một mẫu chất phóng xạ chứa 5.1019 nguyên tử, mỗi nguyên tử có xác suất phân rã p = 3 .1 0−20 trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào đó. a) Số trung bình dự kiến  của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây là bao nhiêu? b) Tính xác suất P ( ) quan sát được  phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào, với  = 0 ,1,2 ,3 . c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây là bao nhiêu? Hướng dẫn giải a) Số trung bình dự kiến  của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây  ===np 5.10.3.101,51920 − phân rã/ 5 giây. b) Xác suất P ( ) quan sát được  phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào, với  = 0,1,2,3.  v Xác suất trong phân bố Poisson: Pve( ) = − .  v! 1,50 1,51 Pe(00,2231;) ==−1.5 Pe(10,3347;) ==−1.5  0!  1! 2 3 1,5 −1.5 1,5 -1.5 Pe (2) == 0,2510; Pl (3) = e = 0,1255. 2! 3! c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây: P( v 41) = − P ( v 41) = − P ( 0) − P ( 1) − P ( 2) − P  ( 30,0657) = . Phân phối chuẩn được ứng dụng trong các bài toán sau:
  60. 54 Bài 3.5. Một dây chuyền sản xuất điện trở 1000  được phép xê dịch 10%. Ký hiệu X là trị số của điện trở. Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình 1000 và phương sai 2500. Tìm xác suất một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ. Hướng dẫn giải Theo đề bài ta có: X ~ N (; 2 ) với ==1 0 0 0 ; 5 0 . Trị số của điện trở được phép xê dịch 10% = R 1000100 ( ) 110010009001000−− PX(9001100 = −  ) 5050 = F 2 - F -2 = F 2 - é-F 2 ù = 2F 2 ( ) ( ) ( ) ë ( )û ( ) = 0,9544. Vậy xác suất để một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ là: 190011000,0456− =PX( ) . Bài 3.6. Giả sử cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn được tuân theo quy luật phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 10 mili-ampe (mA) và phương sai là 4 (mA). Người ta sử dụng một đồng hồ đo thích hợp để đo cường độ dòng điện trong dây dẫn. a) Tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dây dẫn vượt quá 13 (mA); b) Tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dẫn nằm trong khoảng từ 9 đến 11 (mA). Hướng dẫn giải Gọi X là giá trị cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn. Theo đề bài ta có: X ~ N (; 2 ) với ==10; 2. a) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dây dẫn vượt quá 13 (mA) 13− 10 PX( 13) = ( + ) −  2
  61. 55 = + −( ) =−(1,50,50,4332) = 0,0668. b) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dẫn nằm trong khoảng từ 9 đến 11 (mA). 1110910−− PX(911 = − ) 22 = F(0,5) - F(-0,5) = 2.F(0,5) = 2.0,1915 = 0,383. Bài 3.7. Gọi X là lượng điện (tính bằng kwh) mà mỗi hộ tiêu thụ hàng tháng. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với lượng điện tiêu thụ trung bình của các hộ là 60 kwh và độ lệch chuẩn là 40 kwh. Giá tiền điện là 1000 đồng/kwh nếu dùng chưa đến 70kwh. Nếu dùng quá 70 kwh thì phải trả 3000 đồng cho mỗi kwh. Gọi Y là số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân (nghìn đồng). Hãy tính các khả năng sau: a) Số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 100 đến 130 nghìn đồng; b) Số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân trên 70 nghìn đồng; c) Số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 40 đến 130 nghìn đồng; d) Nếu thành phố có 300.000 hộ thì ước tính sẽ có bao nhiêu hộ dùng điện quá quy định. Hướng dẫn giải Theo đề bài ta có: X ~ N (; 2 ) với ==60; 40. ì ï x.1 khi x £ 70; Khi đó, số tiền điện phải trả là y = í x - 70 .3+ 70.1 khi x > 70. ïî ( ) a) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 100 đến 130 nghìn đồng là: P(100 < Y < 130) = P(100 < 3X -140 < 130) = P(80 < X < 90) æ 90 - 60ö æ 80 - 60ö æ 3ö æ 1ö = F - F = F - F çè 40 ÷ø çè 40 ÷ø çè 4÷ø çè 2÷ø = 0,2734 - 0,1915 = 0,0819.
  62. 56 b) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân trên 70 nghìn đồng là: 7060− P( YPX = =70700,25) + −( = + −) (  ) ( ) ( ) 40 =0,5 − 0,0987 = 0,4013. c) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 40 đến 130 nghìn đồng là: ( 4013040 = + YYY 7070130) ()( ) = + − ()40 70703140130XX( ) = (40 707090XX) + ( ) = (4090X . ) 90604060−− PYPX(4013 04) = ( 0 90) = −  440 0 31 = −  −=+= 0,20740,19150,3224 . 42 d) Số hộ dân dùng điện vượt quá quy định là: PY( ==70). 3000000,4013.300000120390 (hộ). Như vậy, nếu thành phố có 300.000 hộ thì ước tính sẽ có 120 390 hộ dùng điện quá quy định. 3.4. Chương 4: “Các định lý giới hạn”. 3.4.1. Nội dung kiến thức - Định lý giới hạn Poisson; - Định lý giới hạn Moirve – Laplace; - Định lý giới hạn trung tâm; - Bất đẳng thức Chebyshev. Luật số lớn. 3.4.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Các định lý giới hạn”. Trong các bài toán thực hành, ta thường bắt gặp tình huống cần xác định khả năng xuất hiện k lần biến cố A trong n phép thử, biết trước được xác suất p của việc xảy ra biến cố A trong một phép thử. Lúc đó, ta có ta có thể dùng công thức của phân phối nhị thức để tính toán. Tuy nhiên, công thức của phân phối nhị thức chỉ thích hợp cho trường hợp số lượng các phép thử tương đối nhỏ, còn khi số lượng phép
  63. 57 thử lớn và xác suất xảy ra biến cố rất nhỏ chẳng hạn trong trường hợp để một hạt phát ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm sẽ có xác suất rất thấp thì lúc này ta có thể áp dụng định lý Poisson để tính gần đúng xác suất. Ngoài định lý giới hạn Poisson giúp ta có thể tính xấp xỉ xác suất của quy luật phân phối nhị thức với số lượng phép thử lớn thông qua quy luật phân phối Poisson. Các định lý giới hạn trung tâm sẽ cung cấp một công cụ khác để tính được xấp xỉ các xác suất thông qua quy luật phân phối chuẩn. Chẳng hạn, các sai số của phép đo trong vật lý thường do tổng ảnh hưởng của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mà mỗi đại lượng ngẫu nhiên ảnh hưởng không đáng kể, nên sai số trong phép đo sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn. Ngoài ra, các định lý giới hạn trung tâm còn có ý nghĩa trong quá trình tiến hành các phép kiểm định thống kê. 3.4.3. Xây dựng bài tập chương “Các định lý giới hạn”. Dưới đây là một dạng bài tập áp dụng định lý giới hạn Poisson để tính xác suất. Bài 4.1. Một máy đếm để gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất để một hạt phát ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là 1 0 .−4 Giả sử rằng trong thời gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ. a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt. b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả. c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0 ,9 4 5 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt. Hướng dẫn giải Nếu coi việc quan sát một hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là một phép thử. Theo giả thuyết, trong thời gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ nên ta có 40000 phép thử độc lập. Xác suất trong mỗi phép thử biến cố hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm xảy ra với xác suất là p = 0,0001. Nếu gọi X là số hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm trong thời gian quan sát thì XB(40000;0,0001) . Vì n = 40000 rất lớn, p = 0,0001 rất nhỏ và tích  ===np 40000.0,00014 không đổi nên ta có thể coi X (2) . a) Xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt
  64. 58 PXPXPPPPPPP( =− =−++++++61061) ( ) ( 0123456 ) . 66kk  −− 4 4 Ta có: PPPPPPPee0123456++++++=== 0,8893. kk==00kk!! PXPX( =− =−=610610,88930,1107.) ( ) b) Xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả 40 PXe( ===00,0183.) −4 0! c) Số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0 ,9 4 5 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt. PXPX( − 40,9451040,945) ( ) PX(040,055 ) =+=+=+= PXPXPXPX( 01230,055) ( ) ( ) ( ) 1123− +++ 10,055 e 26  −1,57 npn 7,6176100 .  7,61 Vậy nguồn phóng xạ cần phát ra ít nhất 76100 hạt thì với xác suất lớn hơn 0 ,9 4 5 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt. Bài 4.2. Trong một thí nghiệm, người ta bắn vào một lá vàng mỏng (xem như chỉ gồm một lớp nguyên tử) bằng một chùm tia alpha chứa một số lượng rất lớn các hạt. Thống kê cho thấy, trung bình có hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn. a) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào; b) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện. Hướng dẫn giải Phép thử bắn trúng hạt nhân vàng là một phép thử độc lập, do vậy xác suất bắn trúng hạt nhân vàng tuân theo phân phối nhị thức. Khi số hạt rất lớn và xác suất bắn trúng là rất nhỏ thì phân phối nhị thức trở thành phân phối Poisson. Do đó, xác suất để hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân trong 1 lần bắn tuân theo quy luật phân phối Poisson.
  65. 59 Gọi X là số hạt alpha va chạm vào hạt nhân vàng. Theo đề bài, trung bình hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn nên ta có  k  = ==2.PXke( ) − k! a) Xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào: 20 PXee( === 00,135.) −−22 0! b) Xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện: 22 PXee( === 220,27.) −−22 2! 3.5. Chương 5: “Lý thuyết mẫu”. 3.5.1. Nội dung kiến thức - Khái niệm tổng thể; - Các tham số của tổng thể; - Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể; - Thống kê đặc trưng mẫu: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, tỉ lệ. 3.5.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Lý thuyết mẫu”. Trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, để nghiên cứu một hay nhiều tính chất nào đó của một tập hợp nhiều vật thể (tổng thể), ít khi người ta có thể mang tất cả các vật thể ra để nghiên cứu vì nghiên cứu số lượng lớn vật thể sẽ mất nhiều thời gian và có khi thí nghiệm sẽ làm hư hao vật thể. Vì vậy, người ta sẽ tìm cách lấy ra một số trong tất cả các vật thể nói trên (mẫu) để nghiên cứu rồi từ đó kết luận về các tính chất cần thiết của của tất cả các vật thể ban đầu. Ta xét một ví dụ sau: Khi nghiên cứu về sự rơi tự do của một quả cầu bằng thép, người ta quan sát thời gian rơi của quả cầu ở độ cao 3 mét so với mặt đất tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2. Sau 30 lần quan sát, người ta thu được các số liệu cho ở bảng sau: Bảng 3.1. Dữ liệu thời gian rơi tự do từ độ cao 3 mét so với mặt đất Khoảng thời 0,75 - 0,76 0,76 - 0,77 0,77 - 0,78 0,78 - 0,79 0,79 - 0,80 gian (s) Tần số 4 6 10 15 5