›

Khóa luận Định lí Ostrogradsky - Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

pdf 58 trang thiennha21 15/04/2022 6381
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Định lí Ostrogradsky - Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_dinh_li_ostrogradsky_gauss_trong_truong_vector_va.pdf

Nội dung text: Khóa luận Định lí Ostrogradsky - Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ANH ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN HÀ NỘI, 2018
  3. LỜI CẢM ƠN Luận văn này đƣợc hoàn thành tại khoa Vật lí, ngành Sƣ phạm Vật lí – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng Lan, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành công trình nghiên cứu này. Do những điều kiện chủ quan và khách quan chắc chắn luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh
  4. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan những gì viết trong khóa luận “Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí” là kết quả nghiên cứu của cá nhân dƣới sự hƣớng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị Phƣơng Lan. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh
  5. DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt Từ đầy đủ Rota Rotation Dive Divergence O – G Ostrogradsky – Gauss
  6. DANH MỤC HÌNH Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dƣới tác động của từ trƣờng tạo thành từ phổ và biểu đồ gió Hình 1.2: Điểm gốc Hình 1.3: Điểm uốn Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo Hình 1.5: Hình ảnh của của trƣờng lực f tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2); (-2,-4); (4,4) Hình 1.6: Minh họa chiều dƣơng của chu tuyến Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy Hình 1.8: Đƣờng sức trong điện trƣờng Hình 1.9: Đƣờng dòng của dòng nƣớc Hình 1.10: Ống dòng Hình 1.8: Mặt S và các vector vi phân diện tích dS ndS Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss
  7. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu 2 CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR 4 1.1 Trƣờng vector 4 1.1.1. Khái niệm trƣờng vector 4 1.1.2. Ví dụ cụ thể về trƣờng vector 5 1.2. Rotation 7 1.3. Đƣờng dòng 11 1.3.1. Trƣờng vận tốc 11 1.3.2. Đƣờng dòng 12 1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector 15 1.4.1. Thông lƣợng của một trƣờng vector 15 1.4.2. Divergence của trƣờng vector 16 1.4.3. Ý nghĩa của divergence 19 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR 20 2.1. Đinh lí Ostrogradsky- Gauss 20 2.2. Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trƣờng 21 2.3. Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trƣờng 26 Chƣơng 3. Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector vào giải các bài toán vật lí 30 3.1. Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ . 32 3.2. Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51
  8. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài tập vật lí có vai trò rất quan trọng trong nhận thức và phát triển tƣ duy cho ngƣời học. Nó giúp cho ngƣời học đào sâu và mở rộng kiến thức đã học, từ đó sẽ hình thành những kĩ năng kĩ xảo để giải từng lạo bài tập. Vì vậy việc đƣa ra các dạng và phƣơng pháp giải chung cho từng dạng đó là rất cần thiết. Vật lí lí thuyết là bộ môn khoa học nghiên cứu về các vấn đề nhƣ cơ học lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, cơ học lƣợng tử. Là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí . Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí , các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí .Thuyết vật lí là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lí nhất định. Dựa trên một mô hình vật lí tƣởng tƣợng, các nhà vật lí lí thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lí vật lí dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Sau khi tìm hiểu bộ môn tôi đã biết một số nguyên lí đặc trƣng và trong đó có định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector là một định lí quan trọng. Tôi nhận thấy đây là một phần khó phải biết đƣợc bản chất vật lí và phƣơng pháp toán học ( giải tích vector hay tính các loại tích phân, ) trong khi đó kiến thức toán học còn hạn chế. Do vậy việc giải các bài toán vật lí sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì lí do đó nên tôi chọn đề tài:“ Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí ” 2. Mục đích nghiên cứu 1
  9. Tìm hiểu về trƣờng vector Tìm hiểu về định lí Ostrogradsky- Gauss trong trƣờng vector ( điện trƣờng và trong từ trƣờng) Phƣơng pháp giải một số bài toán vật lí 3. Đối tƣợng nghiên cứu Trƣờng vector Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector (điện trƣờng và từ trƣờng) Một số bài toán vật lí 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về trƣờng vector Nghiên cứu về định lí Otragradsky – Gauss trong trƣờng vector (điện trƣờng và từ trƣờng) Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải các bài toán vật lí 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo Thống kê, lập luận, diễn giải 6.Cấu trúc của đề tài Chƣơng 1.Trƣờng véc tơ 1.1. Khái niệm trƣờng véc tơ 1.2. Rotation 1.3. Đƣờng dòng 1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector Chƣơng 2. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector 2.1. Định lí Ostrogradsky – Gauss 2.2. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong điện trƣờng 2.3. Định lí Ostrogradsky – Gauss trong từ trƣờng 2
  10. Chƣơng 3 . Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trƣờng vector vào giải các bài toán vật lí 3.1. Dạng 1 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ 3.2. Dạng 2 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu 3.3. Dạng 3 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng phẳng 3
  11. CHƢƠNG I: TRƢỜNG VECTOR 1.1 Trƣờng vector 1.1.1. Khái niệm trường vector Một số hình ảnh của trƣờng vector Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dưới tác động của từ trường tạo thành từ phổ và biểu đồ gió Trƣờng vector có thể hiểu đơn giản một sơ đồ cho biết chiều và độ lớn của vector ( nhƣ lực, vận tốc, ) ở mỗi điểm khác nhau trong không gian. Trƣờng vector là phần không gian mà tại mỗi điểm M(x, y, z) trong đó ứng với một vector xác định: A A()(,,) M A x y z Cho một trƣờng vector tức là cho hàm A(,,) x y z đƣợc xác định trên miền không gian cụ thể. Vì vậy để nghiên cứu các đặc trƣng của trƣờng ta chỉ cần nghiên cứu hàm vector A . Trong vật lí chúng ta bắt gặp rất nhiều đại lƣợng có hƣớng đƣợc mô tả thông qua trƣờng vector. 4
  12. Ví dụ: Khi xét chuyển động của chất lỏng, vận tốc v của phần tử chất lỏng tại M đƣợc biểu diễn nhƣ sau: v v()(,,) M v x y z . Nhƣ vậy trong chất lỏng có một trƣờng vận tốc . Ta đã biết gradient của một vô hƣớng là một vector, vì vậy khi cho một trƣờng vô hƣớng thì ta cũng có tƣơng ứng một trƣờng vector qua phép biến đổi gradient. Trƣờng vector biểu thị thông qua những phần sau: - Điểm gốc (nơi vector đi ra từ 1 điểm) - Điểm chìm (nơi vector biến mất trong một cái hố, nhƣ hiệu ứng lỗ đen vũ trụ) - Điểm uốn (nằm trên đƣờng có hình cong nhƣ yên ngựa) và điểm xoay (nơi vật thể xoay quanh 1 điểm nào đó, giống nhƣ hệ thống các hành tinh). Hình 1.2: Điểm gốc Hình 1.3: Điểm uốn Hình 1.4: Hình dạng lòng chảo 1.1.2. Ví dụ cụ thể về trường vector Giả sử D là tập hợp các điểm trong R2 (không gian hai chiều). Một trƣờng vector trên R2 là một hàm F cho tƣơng ứng mỗi điểm (x, y) trong tập D với vector hai chiều F(,) x y . Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần P,Q nhƣ sau: 5
  13. Fxy(,)(,)(,) Pxyi Qxyj với i , j là các vector đơn vị hƣớng theo trục x và y. Tại mỗi điểm trong trƣờng vector đều có 1 vector có chiều và độ lớn xác định. Ví dụ:Xét một trƣờng lực f có dạng: f( x , y ) yi 3 x j với ij, là vector đơn vị theo hƣớng trục x và y a) Tại gốc tọa độ (0,0) ta có lực f(0,0)= −0i+3.0j suy ra f( x , y ) 0 tức là không có lực nào ở gốc tọa độ. b) Tại điểm (1,1) ta có lực f(1,1)=−1i+3j, chiều hƣớng lên, lệch trái có độ lớn là √ . c) Tại điểm (−1,2) ta có lực f(-1,2)= −2i−3j hƣớng xuống, lệch trái và độ lớn là √ . d) Tại điểm (−2,−4) ta có lực f(−2,−4)=4i−6j có độ lớn là √ chỉ xuống, lệch phải. e) Điểm (4,4) ta có lực f(4,4)=−4i+12j hƣớng lên, lệch trái và độ lớn là √ Nhƣ vậy lực ở giữa trƣờng vector rất nhỏ và nó sẽ lớn hơn khi ta tính thêm nhiều vector hơn. Hình 1.5: Hình ảnh của của trường lực tại các điểm (0,0); (1,1); (-1,2); (-2,-4); (4,4) 6
  14. Giả sử E là tập hợp các điểm trong R3 (không gian ba chiều). Một trƣờng vector trên R3 là một hàm F cho tƣơng ứng mỗi điểm (x, y, z) trong tập E với vector ba chiều F(,,) x y z . Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần P, Q, R nhƣ sau: Fxyz(,,)(,,)(,,)(,,) Pxyzi Qxyzj Rxyzk với i,, j k lần lƣợt là các vector đơn vị theo hƣớng trục x, y, z 1.2. Rotation Rota của một vector là một toán tử vector mô tả độ xoáy của trƣờng vector và nó đƣợc biểu diễn bằng một vector. Các thuộc tính của rota nhƣ độ dài và hƣớng sẽ nói lên bản chất của độ xoáy tại điểm đó. Hƣớng của rota chính là trục xoay của nó và đƣợc xác định bởi quy tắc bàn tay phải và độ lớn của rota biểu thị mức độ xoáy của trƣờng. Nếu trƣờng vector tƣợng trƣng cho vận tốc dòng chảy của một chất lỏng đang lƣu chuyển thì rota chính là mật độ xoáy của chất lỏng đó. Một trƣờng vector E có rot = 0 đƣợc gọi là trƣờng không xoáy. Trong trƣờng vector A ta xét một vòng kín nhỏ L nằm trong mặt phẳng có pháp tuyến n ngƣời ta định nghĩa lƣu thông Q (hay lƣu số) của trƣờng vector dọc theo đƣờng cong kín L đƣợc tính theo tích phân đƣờng loại 2: Q Adl (1.1) ()L Với dl là vi phân của vector dịch chuyển trên L. 7
  15. Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến Lƣu thông không chỉ phụ thuộc vào A và L mà còn phụ thuộc vào hƣớng của L. Khi thay đổi chiều của L thì lƣu thông cũng đổi dấu. Nếu vuông góc với tiếp tuyến của L thì tại điểm đó Adl 0 . Trong trƣờng vector , xét một điểm M bất kì đƣợc bao quanh bằng một đƣờng cong kín L vô cùng bé và có diện tích giới hạn bởi L là S . Tỉ số Q/ là mật độ lƣu thông trung bình của trƣờng vector trên diện tích . Vậy định nghĩa rotation (viết tắt là rota) của tại M(x, y, z) đƣợc kí hiệu là rot A đặc trƣng cho độ xoáy tại M nhƣ sau: Adl ()L rotn A lim (1.2) S 0 S trong đó rotn A là hình chiếu của vector lên phƣơng pháp tuyến n của mặt S. Giả sử một điểm M(x, y, z) nằm trong trƣờng vector A đƣợc xác định bởi: A Ax i A y j A z k (với i,, j k là các vector đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz) Để tính rot A tại điểm M thì ta cần tính các hình chiếu của lên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz và chọn S là mặt tạo bởi hình hộp chữ nhật qua M có cạnh rất bé là x,, y z 8
  16. *Tính hình chiếu của rot A lên phƣơng z: Chọn chu tuyến (L) nằm trong mặt Oxy nhƣ hình (1.7) Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy Hình chiếu của A lên hƣớng đoạn 1 là Ax(x,y) nên ta có: Adl A() y x x 1 Hình chiếu của lên hƣớng đoạn 3 là -Ax(x,y+ y ) nên ta có: Adl A() y y x x 3 Adl A(x) y y Tƣơng tự ta có trên đoạn 4 và 2 là: 4 Adl A(x x) y y 2 Vậy lƣu thông của dọc theo đƣờng cong kín (L) là: AdlAyxAy ( ) ( yxA ) (x) yA (x xy ) x x y y ()L Chia biểu thức trên cho S x y và cho S tiến đến 0 ta đƣợc: Adl ()LA y()() x x A y x Axx()() y y A y rotz A lim lim [ ] lim [ ] S 0 S x 0 x y 0 y 9
  17. Ay Ax Hay rotz A xy A A rot A z y x yz Làm tƣơng tự ta có: A A rot A x z y zx Viết lại dƣới dạng vector ta có: i j k AAAAyyAA rot A ()()()zz i xx j k =    y  z  z  x  x  y x  y  z AAAx y z Nhƣ vậy điểm M(x, y, z) trong trƣờng vector A ta xét một vector mà có AAAAyyAA các thành phần {(zz );(xx );( ) } y  z  z  x  x  y thì vector đó gọi là vector rota (hay vector xoáy) của trƣờng vector A tại điểm M(x, y, z) và đƣợc kí hiệu là rot A() M là một vector. Lƣu số của trƣờng vector dọc theo chu tuyến L là: C A()() M dS rot A M dS (1.3) ()LS Kết luận: Vậy (1.3) là lƣu số của trƣờng vector A dọc theo đƣờng cong kín L thì đúng bằng thông lƣợng của trƣờng vector A qua mặt cong S nào đó đƣợc giới hạn bởi đƣờng cong kín L Nếu rot A( M ) 0 thì điểm M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm xoáy của trƣờng A Nếu rot A(M) 0 thì điểm M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm không xoáy của trƣờng A 10
  18. Một trƣờng vector mà tại mọi điểm của nó đều có rot A 0 thì từ trƣờng A này đƣợc gọi là trƣờng không xoáy hay trƣờng thế. Điều kiện cần và điều kiện đủ để trƣờng vector A là một trƣờng thế là rotV 0 q Ví dụ: Tính rotE E = r r3 qx qy qz EEEx ;; y z r3 r 3 r 3 Ta có: E qz3 qzy z ()() qz x2 y 2 z 2 y  y r35  y r Ey qy2 2 2 3 qzy ()()35 qy x y z z  z r  z r Từ kết quả trên ta thấy: Làm tƣơng tự ta có: : = 0. Từ đây suy ra trƣờng vector E là một trƣờng thế 1.3. Đƣờng dòng 1.3.1. Trường vận tốc Nhƣ đã tìm hiểu ở trên, chúng ta đã biết khái niệm của trƣờng vector. Một trong số trƣờng vector thƣờng gặp nhất đó là trƣờng vận tốc – đó là không gian tại mỗi điểm , vào mỗi thời gian vector vận tốc đƣợc xác định bởi: V ui v j pk 11
  19. Khi nghiên cứu về sự chuyển động ta đã đƣa ra nhiều cách phân loại . Trong đó có cách phân loại ra hai loại là chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định. Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố trong chuyển động phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là: h = h(x, y, z, t); k = k(x, y, z, t) v.v h k Hay 0 0 t t Còn chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động không phụ thuộc thời gian. h = h(x, y, z); k = k(x, y, z) v.v h k Hay 0 0 t t Tƣơng tự nhƣ vậy ta cũng có trƣờng vận tốc ( trƣờng vector) không ổn định là những trƣờng phụ thuộc vào thời gian. V V(,,,) t x y z Trƣờng vector ổn định là trƣờng vector dừng hay những trƣờng vector không phụ thuộc vào thời gian. V V(,,) x y z Đặc trƣng quan trọng của trƣờng vận tốc là khái niệm đƣờng dòng. 1.3.2. Đường dòng Ta đã biết quỹ đạo là đƣờng đi của một phần tử trong không gian. Ðƣờng dòng là đƣờng cong tại một thời điểm cho trƣớc– đó là đƣờng cong C trong trƣờng dòng chảy mà tại mỗi điểm trên đó vector tiếp tuyến có phƣơng trùng với phƣơng của vector vận tốc tại điểm đó. 12
  20. Ví dụ : Các đƣờng sức trong điện trƣờng, từ trƣờng đều là các đƣờng dòng hoặc trên một dòng chảy ổn định thì đƣờng dòng của dòng nƣớc là đƣờng dòng của trƣờng vector vận tốc dòng nƣớc Hình 1.8: Đường sức trong điện trường Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước Có thể vẽ đƣờng dòng trong môi trƣờng nhƣ sau: Tại một thời điểm t phần tử M có tốc độ u, cũng tại thời điểm đó phần tử M1 ở sát phần tử chất lỏng M và nằm trên vector u có tốc độ u1, tƣơng tự nhƣ vậy cũng ở cùng thời điểm ta cũng có M2 có tốc độ u2 Mi có tốc độ ui. Đƣờng cong C nối tất cả các điểm M1, M2 Mi và lấy tốc độ u1, u2 ui làm tiếp tuyến chính là một đường dòng ở thời điểm t. Từ đây ta có ứng với những thời điểm khác nhau sẽ có những đƣờng dòng khác nhau. Và đƣờng dòng có liên quan mật thiết đến thời gian vì vận tốc có thể thay đổi theo thời gian. Trong không gian 3- chiều ( hệ tọa độ Đề - các) đƣờng dòng đƣợc xác đinh theo phƣơng trình sau: Ta thấy đƣờng dòng là một khái niệm động học mà nhờ đó chúng ta thuận tiện hơn trong việc xây dựng cấu trúc tức thời của trƣờng dòng chảy. Đối 13
  21. với dòng chảy không tĩnh đƣờng dòng không trùng với quỹ đạo của phần tử chất lỏng. Còn trong trƣờng hợp dòng chảy tĩnh ( hay dòng dừng) thì đƣờng dòng và quỹ đạo là một, điều này nghĩa là phần tử chuyển động dọc theo đƣờng dòng. Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng cong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dS, tất cả các đƣờng dòng đi qua các điểm trên đƣờng cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống dòng. Hình 1.10: Ống dòng Khối lƣợng chất lỏng chuyển động trong không gian của ống dòng đƣợc gọi là dòng nguyên tố. Vì tính chất không giao nhau của những đƣờng dòng nên chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên tố. Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đƣờng cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn bao gồm vô số diện tích dS vô cùng nhỏ, tạo nên vô số dòng nguyên tố. Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi là dòng chảy. Môi trƣờng chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trƣờng liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trƣờng đó có thể coi là môi trƣờng liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, môi trƣờng đó gọi là một dòng chảy. 14
  22. 1.4. Thông lƣợng và Divergence của trƣờng vector 1.4.1. Thông lượng của một trường vector Thông lƣợng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lƣợng chỉ lƣợng chảy qua bề mặt vuông góc với hƣớng chảy trong một đơn vị thời gian. Xét một mặt hữu hạn bất kì có diện tích S đƣợc đặt trong một trƣờng vector A liên tục. Chọn hƣớng xác định cho mặt và gọi là hƣớng dƣơng, khi đó hƣớng ngƣợc lại gọi là hƣớng âm. Nếu S là mặt kín thì ta thƣờng quy ƣớc hƣớng dƣơng là hƣớng từ trong ra ngoài. Mặt S đƣợc chọn nhƣ vậy là mặt định hƣớng. Chia S thành những phần có diện tích dS vô cùng nhỏ (gọi là vi phân diện tích) sao cho trƣờng vector là không đôit trên mỗi phần đó. Gọi n là vector đơn vị trên phƣơng pháp tuyến tại M nằm trong dS. Khi đó đại lƣợng: d AndS AdS (1.4) đƣợc gọi là thông lƣợng của trƣờng vector (không đổi) gửi qua vi phân diện tích dS, trong đó dS ndS là vi phân vector diện tích. Hình 1.11: Mặt S và các vector vi phân diện tích dS ndS Từ biểu thức (1.3) ta có thể mở rộng cho tính thông lƣợng của trƣờng vector gửi qua mặt S bất kì theo công thức: 15
  23.  d AdS (1.5) ()()SS Dựa vào tính chất vô hƣớng ta thấy chỉ có thành phần vuông góc với bề mặt S của A mới đóng góp vào thông lƣợng (1.5) Nhận xét: +) Thông lƣợng là một đại lƣợng vô hƣớng +) Thông lƣợng phụ thuộc vào hình dạng của S và hƣớng của vector trên toàn mặt đó. Khi hƣớng ra ngoài mặt S thì thông lƣợng dƣơng và ngƣợc lại. Chú ý: Nếu ta xét trong thể tích V đƣợc giới hạn bởi mặt S không có nguồn nào thì thông luộng vào sẽ bằng thông lƣợng ra tức là thông lƣợng tổng bị triệt tiêu. Nếu trong V có nguồn dƣơng sẽ dẫn đến  0 , còn nguồn âm thì  0 . 1.4.2. Divergence của trường vector Về mặt kỹ thuật, sự phân kỳ đại diện cho mật độ khối lƣợng của dòng chảy ra ngoài của một trƣờng vectơ từ một khối lƣợng cực nhỏ xung quanh một điểm nhất định. Về mặt vật lý, sự phân kỳ của trƣờng vectơ ba chiều là mức độ mà dòng trƣờng vector hoạt động nhƣ một nguồn tại một điểm nhất định. Đó là một thƣớc đo về "tính đi" của nó - mức độ mà có nhiều số lƣợng thoát ra khỏi một vùng không gian vô hạn hơn là đi vào nó. Nếu sự phân kỳ không đồng hóa tại một số điểm thì có nén hoặc mở rộng tại thời điểm đó. Một cách chặt chẽ hơn, sự phân kỳ của trƣờng vector tại điểm bất kì có thể đƣợc định nghĩa là giới hạn của lƣu lƣợng dòng của trƣờng vector trên ranh giới của một vùng ba chiều cho thể tích khi co lại thành điểm bất kì. 16
  24. Định nghĩa: Xét trong trƣờng vector A một điểm M đƣợc bao quanh bằng một mặt kín nhỏ có diện tích S ứng với thể tích V . Vậy thông lƣợng của trƣờng vector qua mặt kín là:  A dS AdS n (1.6) ()()SS Khi giảm dần ( V cũng giảm theo) thì kéo theo  cũng giảm. Lúc ấy tỉ số  / V khi tiến đến 0 (tức là tất cả các điểm trên S đều tiến về M) sẽ là một số nào đó phụ thuộc vào dáng điệu của vector ở lân cận nhỏ của điểm M và đặc trƣng cho mức độ “chảy” của trƣờng ra khỏi điểm lân cận này. Ta gọi con số này là divergence (viết tắt là dive) của trƣờng vector tại điểm M và kí hiệu là div : AdS  divA lim lim ()S (1.7) VV 00 VV Giả sử V là một trƣờng vector.V Vx i V y j V z k và S là mặt cong hai phía trong trƣờng vector thì thông lƣợng  của qua mặt cong S đƣợc tính nhƣ sau:  =∬ S là mặt cong kín và vector pháp tuyến của S hƣớng từ trong ra ngoài thì  V dydz V dxdz V dxdy V dS x y z n SS Vn là hình chiếu của theo vector pháp tuyến ngoài của mặt S Nếu G là miền đƣợc giới hạn bởi mặt ngoài đƣờng cong S đã cho thì theo công thức Oxtrogratxki ta có: 17
  25. V V V  V dydz V dxdz V dxdy ()x y z dxdydz divVdxdydz x y z SGGx  y  z Mà M(x, y, z) là điểm bất kì trong trƣờng vector V nên ta có: V V V x y z divV() M x  y  z * Nếu divV( M ) 0 thì suy ra f > 0; M(x, y, z) (thông lƣợng từ trong hƣớng ra ngoài sẽ lớn hơn thông lƣợng từ ngoài hƣớng vào trong) cho nên điểm M là điểm nguồn của trƣờng vector * Nếu divV( M ) 0 thì suy ra f < 0; M(x, y, z) đƣợc gọi là điểm rò của trƣờng vector *Một trƣờng vector mà tại mọi điểm của trƣờng divV( M ) 0thì trƣờng vector đƣợc gọi là trƣờng ống nghĩa là trƣờng không có điểm nguồn và điểm rò (tức là tổng thông lƣợng bằng không). Điều đó có nghĩa là, có bao nhiêu đƣờng dòng chảy vào bề mặt khảo sát, thì có bấy nhiêu chảy ra từ đó. Vì thế trƣờng vận tốc của chất lỏng không bị nén đƣợc gọi là hình ống hay là sôlênôit. q Ví dụ: Tính div E ; = r r3 qx qy qz EEEx ;; y z r3 r 3 r 3 2 2 2 3/2 Ex qx() x y z E qy() x2 y 2 z 2 3/2 y 2 2 2 3/2 Ez qz() x y z 18
  26. E  qx 3 x ( ) q ( x2 y 2 z 23/2 ) qx ( x 2 y 2 z 25/2 ) .2 x x x r3 2 13xq2 q( ) ( r22 3 x ) r3 r 5 r 5 Tƣơng tự ta có: E q y (ry22 3 ) yr5 E q z (rz22 3 ) zr5 Và do đó ta tính đƣợc: qq DivE (3 r2 3 x 2 3 y 2 3) z 2 .3( r 2 r 2 )0 rr55 Điều này chứng tỏ rằng trƣờng vector E là một trƣờng ống tại mọi điểm không trùng với điểm trên (điểm ta đặt) S là mặt cầu tâm O bán kính R trong trƣờng hợp này ta cũng coi pháp tuyến n hƣớng ra ngoài. Ta có En là hình chiếu của theo chiều dƣơng pháp tuyến n. Với En = Trong trƣờng hợp này thì: q q q E dS dS dS 44 R2 q n 2 2 2 SSSRRR Nghĩa là  của trƣờng qua mặt cầu S này không phụ thuộc vào bán kính của mặt cầu. Do đó điểm đặt điện tích q là điểm nguồn 1.4.3. Ý nghĩa của divergence Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lí nhƣ tính thông lƣợng của một trƣờng vector. Ngoài ra qua biến đổi tích phân khi tính thông lƣợng ngƣời ta còn dẫn đến các phƣơng trình Macxuen trong điện động lực học 19
  27. CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR 2.1. Đinh lí Ostrogradsky- Gauss Xét một yếu tố vi phân thể tích Vk chứa điểm Mk đƣợc bao bọc bởi mặt kín Sk nằm trong trƣờng vector A . Dựa trên định nghĩa của dive ta có: AdS ()Sk divA(Mk ) lim V 0 k Vk divA() M V AdS V  Mặt khác ta lại có: k k k k Sk Lấy tổng biểu thức trên theo tất cả các yếu tố vi phân thể tích: divA() M V AdS  V k k   k k k k k Sk limdivA (M ) V divAdV  kk Vk 0 k 1 ()V Cho tiến đên 0 và chú ý rằng :  AdS AdS k 1 ()()SS ta đƣợc công thức sau: divAdV AdS (2.1) ()()VS Biểu thức (2.1) là công thức định lí Ostrogradsky- Gauss. Biểu thức này cho biết mối liên hệ giữa tích phân theo thể tích V với tích phân mặt kín S bao quanh thể tích đó Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss 20
  28. 2.2. Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trƣờng Định nghĩa: Điện trƣờng là một dạng tồn tại vật chất trong không gian bao quanh các điện tích mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lực nên các điện tích đặt trong nó. Lực này đƣợc gọi là lực điện và đƣợc xác định bằng định luật Cu- lông Ta xét hai điện tích điểm q và qo, theo định luật Cu-lông lực điện tƣơng tác giữa hai điện tích điểm này là: 1 qq F o (2.2) 4  r 2 Vậy cƣờng độ điện trƣờng E gây bởi điện tích q ở một điểm cách nó một khoảng r là : 1 q E (2.3) 4  r 2 Vì lực F là một đại lƣợng vector nên cƣờng độ điện trƣờng là một đại lƣợng vector, nên ta có thể biểu diễn lại cƣờng độ điện trƣờng nhƣ sau: 11qqo E r r (2.4) 44 rr32  Trong đó r là bán kính vector hƣớng từ điện tích q đến điểm ta xét, r o là vector đơn vị theo phƣơng Biểu thức (2.4) là biểu thức xác định cƣờng độ điện trƣờng E ở mọi điểm trong không gian và qua đây thì ta cũng xác định đƣợc lực tác dụng lên một điện tích qo đặt trong điện trƣờng thông qua: F qo E (2.5) Biểu thức (2.5) là cách biểu diễn khác của định luật Cu-lông và nó có ý nghĩ tổng quát hơn công thức (2.2). Biểu thức (2.5) phù hợp với nguyên lí tác dụng gần nó đúng trong mọi trƣờng hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện trƣờng. 21
  29. Từ (2.4) ta suy ra đƣợc biểu thức vector cảm ứng điện: 1 q D  E ro (2.6) 42 r Đơn vị của cảm ứng điện qua biểu thức là Cu-lông trên mét vuông (C/m2) Một điện tích q gây ra xung quanh nó một điện trƣờng. Trong điện trƣờng này ta xét một diện tích dS đủ nhỏ để có thể coi nó là một mặt phẳng và cƣờng độ điện trƣờng E trong nó coi nhƣ đều. Vẽ vector pháp tuyến n cho dS, ta có dS ndS (2.7) Với dS là vector đặc trƣng cho nguyên tố diện tích dS. Điện thông (hay thông lƣợng điện trƣờng) qua nguyên tố diện tích là: d en E dS EdScos EdS (2.8) là góc hợp bởi E và dS , En là hình chiếu của lên phƣơng pháp tuyến của Muốn xác định điện thông  qua một mặt S hữu hạn ta phải chia nhỏ mặt đó ra thành những nguyên tố diện tích dS và tính điện thông qua mỗi yếu tố diện tích dS theo (2.8 ). Nhƣ vậy điện thông qua mặt S lúc này đƣợc tính nhƣ sau:  E dS EdS en (2.9) SS Hình 2.5 22
  30. Định lí Ostrogradsky – gauss cho điện trƣờng Việc tính toán điện trƣờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu ta sử dụng định lí Ostrogradsky – gauss. Để đƣa ra định lí tổng quát ta xét trƣờng hợp một điện tích q dƣơng, bao quanh nó là một mặt cầu S có bán kính r và có tâm là điểm đặt điện tích q. Quy ƣớc chiều dƣơng của pháp tuyến với mặt cầu là chiều hƣớng từ tâm ra ngoài. Trên mặt cầu cƣờng độ điện trƣờng E có giá trị nhƣ nhau tại mọi điểm, góc giữa đƣờng sức với pháp tuyến dƣơng của mặt cầu S luôn bằng 0 và cos Điện thông qua mặt cầu S là: (2.10) Vì q là điện tích điểm nên ta có: (2.11) Mà nên ta thu đƣợc kết Hình 2.2 quả cuối cùng là: (2.12) Ðiện thông không phụ thuộc vào bán kính mặt cầu và có giá trị bằng nhau đối với các mặt cầu đồng tâm với S ví dụ S1. Ðiều đó cho thấy là ở khoảng không gian giữa hai mặt cầu S và S1 nơi không có các điện tích các đƣờng sức là liên tục và đƣợc bảo toàn (tức là không thêm ra hoặc mất đi). Cũng chính vì thế, nên điện thông qua mặt kín S2 bất kì bao quanh điện tích q cũng bằng điện 23
  31. thông qua S và S1 và không phụ thuộc vào hình dạng của mặt S2 cũng nhƣ vị trí của q bên trong nó. Nếu có mặt kín S3 không bao quanh q thì do tính chất liên tục của các đƣờng sức có bao nhiêu đƣờng sức đi vào mặt S3 có bấy nhiêu đƣờng sức đi ra khỏi mặt S3. Ðiện thông do các đƣờng sức đi vào S3 gây ra mang giá trị âm vì góc giữa vector cƣờng độ điện trƣờng và pháp tuyến (hƣớng từ trong ra ngoài mặt) là góc tù, còn điện thông do các đƣờng sức đi ra khỏi S3 gây ra mang giá trị dƣơng. Chúng có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Do đó, điện thông toàn phần qua mặt kín S3 không bao quanh điện tích q có giá trị bằng không. Từ kết quả trên, ta thấy điện thông qua mặt kín không phụ thuộc vào vị trí của điện tích ở bên trong nó. Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trƣờng, ta thấy kết quả (2.12) cũng đúng cho cả trƣờng hợp bên trong mặt kín có nhiều điện tích phân bố bất kì, chỉ cần chú ý rằng q là tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt kín. Các kết luận trên đƣợc biểu thị qua định lí Ostrogradsky – Gauss: Điện thông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có bên trong mặt đó chia cho 1 EdS q q  i (2.13) S  i Chú ý rằng để đƣa đến định lí trên, chúng ta đã xuất phát từ định luật Coulomb. Nếu trong công thức của định luật Coulomb, số mũ của khoảng cách r không phải là 2 mà là một giá trị khác, thì ta sẽ không đi đến kết quả trên. Vì thế ta nói rằng định lí Ostrogradski - Gauss là hệ quả của định luật Coulomb. Trong các trƣờng hợp khác nhau đặc biệt là khi nghiên cứu trong trƣờng điện môi ngƣời ta dùng khái niệm về vector điện dịch hay vector cảm ứng điện D . Mặt khác theo (2.6) ta có: DE  24
  32. Ta cũng đƣa ra đƣợc cách biểu diễn điện trƣờng bằng các đƣờng điện dịch hay các đƣờng cảm ứng từ. Đây là những đƣờng mà tiếp tuyến ở mỗi điểm trùng với vector cảm ứng điện ở điểm đó và có chiều trùng với vector D . Thông lƣợng điện dịch  qua một mặt đƣợc tính bằng số đƣờng dịch qua mặt đó:  DdS D dS Dn (2.14) SS Với khái niệm điện dịch công thức của định lí Ostrogradski – Gauss có dạng :  DdS EdS q q Di  (2.15) ()()SS i Ðịnh lí Ostrogradski - Gauss phát biểu: Thông lƣợng điện dịch qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt đó. Nếu ta có một hệ điện tích phân bố liên tục trong không gian ta có thể chia nó thành những nguyên tố điện tích vô cùng nhỏ dq dV và coi mỗi nguyên tố điện tích đó giống nhƣ một điện tích điểm. Mặt khác ta lại có q dq dV thay vào biểu thức (2.15) ta đƣợc: DdS dV (2.16) ()SV Trong đó V là thể tích do mặt S bao bọc. Dựa vào biểu thức Ostrogradski – Gauss trong toán học (biểu thức (2.1)) ta suy ra đƣợc: DdS divDdV (2.17) (S) V Đồng nhất hai biểu thức (2.16) và (2.17) ta có: divDdV dV VV Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kì nên các lƣợng trong dấu tích phân là bằng nhau: 25
  33. divD (2.18) Biểu thức (2.18) là biểu thức dạng vi phân của định lí Ostrogradski – Gauss cho điện trƣờng và cũng là một trong những phƣơng trình Macxuen. *Ý nghĩa định lí Ostrogradski – Gauss: Định lí Ostrogradski – Gauss dùng để tính toán điện thông, thông lƣợng điện trƣờng hay cƣờng độ điện trƣờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều khi ta sử dụng định luật Cu-lông và nguyên lí chồng chất điện trƣờng. 2.3. Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trƣờng Định nghĩa: Từ trƣờng là một dạng vật chất mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lực lên dòng điện hoặc nam châm đặt trong nó. Lực tƣơng tác đó gọi là lực từ và đƣợc xác định bằng định luật Amper. Xét hai dòng điện I1 và I2 chạy trong hai dây dẫn đặt trong một môi trƣờng đồng chất bất kì có độ từ thẩm là  . Lực tƣơng tác giữa hai dòng điện  I dl() I dl r lúc này đƣợc xác định bởi: dF o 2 2 1 1 (2.19) 4 r3  ()I dl r Từ biểu thức (2.19) ta xét riêng vector dB o 11 (2.20) 4 r3 Ta thấy biểu thức trên không chứa nguyên tố dòng điện I22 dl . Độ lớn của dBchỉ phụ thuộc vào I11 dl là phần tử dòng điện sinh ra từ trƣờng và vector r xác định vị trí đặt trong từ trƣờng của I11 dl . Vì vậy là vector đặc trƣng cho từ trƣờng tại điểm đang xét về phƣơng diện tác dụng lực. Ta nói là vector cảm ứng từ do phần tử dòng điện sinh ra tại điểm M. Ta có thế viết tổng quát lại nhƣ sau: Cảm ứng từ do phần tử dòng điện Idl gây ra tại một điểm đặt cách một bán kính vector là một vector: 26
  34. I dl. r o dB (2.21) 4 r3 Đây chính là nội dung của định luật Biot-Savart-Laplace về cảm ứng từ gây bởi một nguyên tố dòng điện. Từ (2.21 ), ta thấy độ lớn của cảm ứng từ dB là một vector có gốc tại điểm ta xét, có hƣớng sao cho r , , Idl lập thành một tam diện thuận và có đọ lớn đƣợc xác định bằng biểu thức: Idl sin dB o (2.22) 4 r 2 với  là góc hợp bởi dl và . Trong hệ đơn vị SI, đơn vị cảm ứng từ là Tesla và đƣợc kí hiệu là T Ta gọi  từ thông (hay thông lƣợng cảm ứng từ) qua một mặt nhỏ đặt vuông góc với đƣờng cảm ứng từ của từ trƣờng đều B và đƣợc xác định bằng biểu thức:  = B (2.23) Về mặt hình học  chính là số đƣờng cảm ứng từ đi qua diện tích . Nếu không vuông góc với đƣờng cảm ứng từ mà pháp tuyến của nó tạo với đƣờng cảm ứng từ một góc thì:  = B = Bn (2.24) với Bn là hình chiếu của lên phƣơng pháp tuyến dƣơng của Ta có vector diện tích S là vector có độ lớn bằng và hƣớng theo chiều dƣơng của pháp tuyến . Khi đó ta có: d B S (2.25) Muốn tính từ thông qua một mặt hữu hạn S ta chia mặt đó ra thành các phần tử diện tích nhỏ dS sao cho trên dS có thể coi là từ trƣờng đều. Từ thông qua dS là: d BdS (2.26) Lấy tích phân hai vế của biểu thức (2.26) ta đƣợc từ thông qua cả mặt S là:  d BdS B S n (2.27) 27
  35. Trong hệ đơn vị SI đơn vị của từ thông là Weber (Wb). Từ đây ta sẽ định nghĩ đƣợc đơn vị cảm ứng từ Tesla (T) “ Tesla là cảm ứng từ của một từ trƣờng đều có thừ thông là 1Wb xuyên vuông góc qua một mặt phẳng có diện tích bằng một mét vuông”. * Định lí Ostrogradsky – Gauss cho từ trƣờng Ta luôn biết rằng các đƣờng cảm ứng đều là những đƣờng cong kín, tính chất này đúng cho mọi từ trƣờng bất kì. Mặt khác ta cũng biết rằng những trƣờng có đƣờng vector trƣờng khép kín đƣợc gọi là những trƣờng xoáy vì thế từ trƣờng là một trƣờng xoáy. Từ tính chất xoáy của từ trƣờng, xét một mặt kín S trong từ trƣờng và quy ƣớc vẽ trên mặt kín pháp tuyến dƣơng hƣớng ra ngoài và tính từ thông của những đƣờng cảm ứng từ đi qua mặt kín S đó. Từ thông do những đƣờng cảm ứng từ đi vào mặt có dấu âm d = BdScos 0( vì Hình 2.3 Mặc khác các đƣờng cảm ứng từ là khép kín nên có bao nhiêu đƣờng đi vào trong mặt kín thì cũng có bấy nhiêu đƣờng ra khỏi mặt kín đó. Vậy độ lớn của từ thông do các đƣờng cảm ứng đi vào bằng độ lớn từ thông ứng với các đƣờng cảm ứng đi ra nhƣng trái dấu cho nên tổng của chúng là bằng không. BdS 0 (2.28) S 28
  36. Vậy nội dung của định luật Định lí Ostrogradsky – Gauss cho từ trƣờng là: Từ thông của vector cảm ứng từ qua một mặt kín S bất kì đặt trong từ trƣờng thì bằng 0 Theo định nghĩa của dive ta có : 1 divB lim Bd S V 0 V (2.29) Vì  = 0 với mọi mặt kín bất kì nên khi giới hạn thì mặt kín S sẽ thu về một điểm nên ta có : divB 0 (2.30) Biểu thức (2.30) là dạng vi phân của định lí Ostrogradsky – Gauss cho từ trƣờng và nó cũng là một trong những phƣơng trình Macxuen. 29
  37. CHƢƠNG 3. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS TRONG TRƢỜNG VECTOR VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÍ Để giải bài tập ở phần này một cách thuận lợi chúng ta cần ghi nhớ một số công thức và một số kiến thức có liên quan về trƣờng tĩnh điện và từ trƣờng: TRƢỜNG TĨNH ĐIỆN 1. Lực tƣơng tác Coulomb giữa hai điện tích điểm q1, q2 đặt cách nhau qq12 r 12 2 2 một khoảng r F 2 . Với o 8,86.10C / Nm gọi là hằng số điện 4 0rr môi, là hằng số điện môi tƣơng đối của môi trƣờng. F 2. Cƣờng độ điện trƣờng E với F là lực điện tƣờng tác dụng lên q điện tích q Cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một điện tích điểm q tại một điểm: qr E 2 4 orr 3. Vector cảm ứng điện DE  o 4. Cƣờng độ điện trƣờng gây bởi một sợi dây dài vô hạn mang điện đều  với mật độ điện dài tại một điểm cách dây một khoảng r: En 2 0r 5. Cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi mặt phẳng mang điện đều với mật độ  điện mặt : En 2 0 6. Định lí Gauss: Thông lƣợng cảm ứng điện gửi qua mặt kín (S) bất kì n n  DdS q Với q là tổng đại số các điện tích có trong mặt kín ei   i ()S i 1 i 1 7. Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích điểm qo từ điểm A đến điểm B trong điện trƣờng: A = qo (VA – VB), Với VA và VB là điện thế tại điểm A và điểm B trong điện trƣờng. 30
  38. 8. Tính chất thế của trƣờng tĩnh điện: Edl 0 A 9. Liên hệ giữa hai điểm A và B: VA – VB = - Edl B 10. Liên hệ giữa cƣờng độ điện trƣờng và điện thế E gradV Trong trƣờng hợp điện trƣờng đều E = và U = V – V là hiệu điện thế, 1 2 d là khoảng cách giữa hai mặt đẳng thế tƣơng ứng TỪ TRƢỜNG 1. Vector cảm ứng từ dB do phần tử dòng điện I dl gây ra tại một điểm  Idl^ r cách nó một đoạn r: dB o 4 r3 2. Nguyên lí chồng chất từ trƣờng: B d B B 3. Vector cƣờng độ từ trƣờng: H o 4. Từ thông gửi qua tiết diện dS: dm BdS trong đo stieets diện dS đủ nhỏ để xem nó nhƣ một điện trƣờng phẳng và cảm ứng từ B xuyên qua tiết diện đều đó  BdS Từ thông gửi qua tiết diện S bất kì: m S Nếu B đều và tiết diện S phẳng:  m BS BS cos với là góc hợp bởi và F . 5. Định lí Gauss: BdS 0 6. Công của lực từ: A = I  n 7. Định lí dòng điện toàn phần: Hd I I  i i 1 8. Lực từ do từ trƣờng tác dụng lên phần tử dòng điện: dF IdI^ B 31
  39. Ðịnh lí Ostrogradski - Gauss đƣợc áp dụng để tính toán điện trƣờng, từ trƣờng trong nhiều trƣờng hợp, đặc biệt ở những trƣờng hợp điện tích của hệ đƣợc phân bố đối xứng (thƣờng là đối xứng cầu, trụ và phẳng). Khi vận dụng định lí này, ta nên làm theo các bƣớc sau Bƣớc 1: Xác định những yếu tố đối xứng của hệ điện tích, từ đó ta có thể suy ra đƣợc một số đặc điểm của điện trƣờng và từ trƣờng. Chẳng hạn ta có thể đoán đƣợc hƣớng của vector E ở mỗi điểm và sự biến thiên độ lớn của nó trong không gian. Bƣớc 2. Chọn một mặt kín đƣợc gọi là mặt Gauss chứa điểm mà ở đó ta cần xác định vector (đối với điện trƣờng) và vector H (đối với từ trƣờng). Mặt Gauss phải đƣợc chọn sao cho điện thông hoặc từ thông qua nó đƣợc tính toán dễ dàng muốn vậy nói phải chứa những yếu tố đối xứng của hệ. Bƣớc 3. Tính điện thông hoặc từ thông qua mặt Gauss. Sau đó áp dụng công thức của định lí Ostrogradsky – Gauss. Biểu thức cuối cùng thu đƣợc cho ta mối liên hệ giữa cƣờng độ điện trƣờng với điện tích của hệ hoặc mối liên hệ giữa cƣờng độ từ trƣờng H với điện tích của hệ. Chúng ta sẽ đi đến một số bài tập cụ thể 3.1. Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ Để giải bài toán này ta cần chọn mặt Gauss bao kín đối tƣợng hoặc nằm trong đối tƣợng. Mặt Gauss đƣợc chọn sao cho việc tính toán phải đơn giản nhất . Thông thƣờng chúng ta sẽ chọn mặt Gauss sao cho tại các phần của đối tƣợng phải cùng phƣơng hoặc vuông góc với vector pháp tuyến của mặt Gauss. Đối với bài toán đối xứng trụ, thông thƣờng ta sẽ chọn mặt Gauss là một mặt trụ đồng trục. 32
  40. Ví dụ 1: Dùng định lí O – G tính điện trƣờng ở trong và ngoài một hình trụ vô tận bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích = const. Hằng số điện môi là . Giải: Bên trong hình trụ: divD  Theo định lí O – G ta có:  divE DE    Trong hệ tọa độ trụ ta có: 1 E divE { ( r . E ) ( r . E )} r rrz z Do tính chất đối xứng của hình trụ và hình trụ dài vô hạn nên E cùng phƣơng với vector bán kính r . Nên chỉ phụ thuộc vào : Ta có: 1  divE (.) r E Trrr 1  (.)rEr rr  divE   1 (.)r E r rE r2 C r rr2 1 C Er 2 T 2  r Do tính chất đối xứng của điện tích quanh gốc O nên điện trƣờng tại r = 0 phải bằng 0, do đó ECTr( 0) 0. Từ đây ta có : 1 Er T 2  33
  41. E chỉ phụ thuộc vào r , có phƣơng của nên ta có cƣờng độ điện 1 trƣờng trong quả cầu dƣới dạng vector là: ErT 2  Bên ngoài hình trụ Ta xét một mặt trụ kín S bao quanh hình trụ, có trục trùng với trục hình trụ, có bán kính r > 0, chọn vector pháp tuyến n có chiều dƣơng hƣớng từ trong hình trụ đi ra. Theo định lí O – G: thông lƣợng của cảm ứng từ D qua mặt kín S bất kì với dS là nguyên tố diện tích trên mặt S, chiều dƣơng dS là từ trong ra ngoài mặt S. q DdS là toàn bộ điện tích trong mặt S. ()S DdS DdS DdS q dq dV 12 xq SSSV12 xq Tại hai mặt đáy ta có: Dd S D. dS cos 0 11 SS11 Dd S D. dS cos 0 22 SS22 (vì vuông góc với n ) DdS dV DdS xq SVSxq () Tại mọi điểm của mặt bên = const nên ta có: RR221 D2 rh R2 h D E 22rrN  1 R2 Vậy cƣờng độ điện trƣờng bên ngoài hình trụ: ErN 2  r 2 34
  42. Ví dụ 2: Một dòng điện I = 10A chạy dọc theo thành một ống dây mỏng hình trụ bán kính R2 = 5 cm, sau đó chạy ngƣợc lại qua một dây dẫn đặc bán kính R1 =1 mm đặt trùng với ống dây. Tìm: a. Cảm ứng từ tại các điểm cách trục ống dây r1 =6cm và r2 = 2 cm b. Từ thông gây ra bởi một đơn vị chiều dài của hệ thống. coi toàn bộ hệ thống là dài vô hạn và bỏ qua từ trƣờng bên ngoài kim loại Tóm tắt: Ống trụ: R2 = 5 cm Dây trụ đặc: R1 =1 mm trùng với trục ống dây I = 10 A r1 =6cm và r2 = 2 cm Xác định B1, B2,  Hƣớng dẫn: Hình 3.1 Bài toán đối xứng trụ cần chọn đƣờng cong kín là đƣờng tròn có bán kính r, dl và dH có cùng phƣơng cùng chiều. H = const Áp dụng định lý Amper ta có: H2 r  Iir I i Bây giờ ta sẽ xét từng trƣờng hợp: Tại trƣờng hợp r1 = 6 cm dễ thấy vị trí này nằm ngoài ống trụ. Số dòng điện bị bao bọc bởi đƣờng tròn bán kính r1 là 2 (một trên ống dây, một trên 35
  43. dây). Dễ thấy một dòng đóng góp dƣơng, một dòng đóng góp âm. Vì hai dòng này có cƣờng độ nhƣ nhau Ir = 0 suy ra H1 = 0 và cuối cùng ta suy ra đƣợc B1 =0. Tại trƣờng hợp r2 =2 cm, vị trí nằm ở giữa ống dây và dây trụ. Nên dòng trong ống dây không đi qua đƣờng tròn bán kính r2 nên chỉ còn một dòng trên dây hình trụ chạy bên trong, suy ra Ir = I. Ta tính đƣợc cảm ứng từ tại vị trí này là: 0I 4 BT2 10 2 x b) Ở đây ta có hai khu vực cần quan tâm bên ngoài ống trụ và bên trong ống trụ. Theo kết quả ở câu trên cảm ứng từ bên ngoài ống bằng 0 nên từ thông sẽ chỉ tập trung trong lòng ống trụ. Xét tiết diện dọc của ống có diện tích dS. Gọi B là cảm ứng từ qua đơn vị diện tích dS. Vậy từ thông qua đơn vị diện tích dS là: d = BdS =Bdx Lấy tích phân từ vị trí R1 đến vị trí R2 ta sẽ xác định đƣợc từ thông cần tính: RR22 ooIIR2 6  BdS dx ln 7,8.10 22 xR RR11 1 Ví dụ 3: Dây thẳng dài vô hạn tích điện đều: Một sợi dây hình trụ, thẳng, dài vô hạn, tích điện đều với mật độ điện dài . Xác định cƣờng độ điện trƣờng do sợi dây gây ra ở cách trục của nó một khoảng r. Hƣớng dẫn: Sự phân bố điện tích có tính đối xứng trụ. Do đó ở mọi điểm trên một mặt trụ đồng chất với dây, vector cƣờng độ điện trƣờng có cùng độ lớn và có phƣơng vuông góc với mặt trụ. Vì vậy ta chọn mặt Gauss là một mặt hình trụ đồng chất với dây có bán kính r, có độ dài bằng l (Hình 3.2) 36
  44. Điện thông qua hai mặt đáy hình trụ bằng 0 vì vector cƣờng độ điện trƣờng song song với đáy. Điện phân toàn phần qua mặt Gauss bằng điện thông qua mặt bên hình trụ và bằng  Điện tích bên trong mặt Gauss là điện tích trên đoạn dây nằm giữa hai đáy hình trụ: q =l Do đó cƣờng độ điện trƣờng ở cách trục dây khoảng r có độ lớn:  Hình 3.2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Hình bên cho thấy một đoạn của hai ống trụ dài đồng trục với bán kính là a và b ( a<b). Các ống trụ có điện tích bằng và tái dấu trên một đơn vị dài . Dùng định luật Gauss chứng minh a. E = 0 với r <a 1 b. E = với a < r < b 휀 Bài 2. Một sợi dây thẳng dài có điện tích âm cố định với mật độ điện tích dài 3,6nC/m. Sợi dây đƣợc bao bởi mặt trụ mỏng không dẫn điện có bán kính ngoài là 1,5cm đồng trục với dây. Ống trụ phải có một điện tích dƣơng bên mặt 37
  45. ngoài của nó với mật độ điện tích mặt là bao nhiêu để cho điện trƣờng tổng cộng trong ống dây bằng 0. Tính Bài 3. Một thanh trụ rất dài dẫn diện có chiều dài L với điện tích tổng cộng +q đƣợc bao quanh bởi một vỏ hình trụ dẫn điện cũng dài L với điện tích tổng cộng là -2q nhƣ hình vẽ. Dùng định luật Gauss để tìm a. Điện trƣờng ở các điểm ở ngoài vỏ dẫn b. Sự phân bố điện tích trên vỏ dẫn điện c. Điện trƣờng nằm giữa trong miền giữa vỏ và thanh Bài 4. Hình bên cho thấy tiết diện của một ống mỏng dài bán kính R một điện tích trên một đơn vị dài ở trên mặt của nó. Suy ra biểu thức tinhE theo khoảng cách r đến trục ống với: a. R r b. Biểu diễn bằng đồ thị kết quả của bạn 8 với r = 0, r = 5cm biết = 2.10 C/m. Cho biết R = 3cm. Bài 5. Một Positron có điện tích 1,6.10-19 C quay theo quỹ đạo tròn bán kính r đồng tâm và ở giữa các trụ của bài toán 4. Động năng K của nó đƣợc tính bàng bao nhiêu. Giả sử a = 2cm, b = 3cm và = 30nC/m. Bài 6. Điên tích đƣợc phân bố đều trong hình trụ dài vô hạn bán kính R a. Chứng tỏ rằng E ở khoảng cách r đến trục của hình trụ đƣợc cho bởi: E = Trong đó là mật độ điện tích thể tích và r R Bài 7. Hình dƣới thể hiện mặt cắt vuông góc của hai dòng điện phẳng song song dài vô hạn ngƣợc chiều nhau. Khoảng cách giữa hai dòng điện AB = 38
  46. 10 cm. Cƣờng độ các dòng điện lần lƣợt là I1 = 20A, I2 = 30A. Xác đinh vector cƣờng độ từ trƣờng tổng hợp tại hai điểm M1, M2, M3. Biết M1A = 2cm, M2A = 4cm, BM3 =3cm (Hai dòng điện đặt trong không khí) Bài 8. Ngƣời ta đặt một hiệu điện thế U = 450V giữa hai hình trụ dài đồng trục bằng kim loại mỏng bán kính r1 =3cm, r2 = 10 cm. Tính a. Điện tích trên đơn vị dài của hình trụ b. Mật độ điện mặt trên hình trụ c. Cƣờng độ điện trƣờng tại điểm gần sát mặt trong, mặt ngoài, ở giữa (trung điểm) mặt trong và mặt ngoài. Bài 9. Tính cƣờng độ điện trƣờng do một hình trụ đặc, bán kính R dài vô hạn tích điện đều với mật độ điện khối tại điểm cách trục chính một đoạn r Bài 10. Hai dây dẫn dài song song xuyên qua và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ . Khoảng cách giữa hai dây là 32cm, khoảng cách từ dòng điện I1 đến điểm M là 8cm, khoảng cách từ dòng điện I2 đến N là 8cm. Dòng điện I2 có chiều nhƣ hình vẽ và có cƣờng độ là 5A a. Hỏi dòng I1 phải có chiều nhƣ thế nào và có cƣờng độ là bao nhiêu 39
  47. để cảm ứng từ tại N bằng 0? b. Xác định vector cảm ứng từ tại điểm M trong trƣờng hợp dòng điện I1 vừa tìm đƣợc ở trên. Bài 11. Giữa hai dây dẫn hình trụ song song cách nhau một khoảng l = 15 cm. Ngƣời ta dặt một hiệu điện thế U = 1500V. Bán kính mỗi dây là r = 0.1 cm. Hãy xác định cƣờng độ điện trƣờng tại trung điểm của khoảng cách giữa hai sợi dây. Biết sợi dây đặt trong không khí. 3.2. Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu Cũng tƣơng tự nhƣ bài toán đối xứng trụ thì đối với bài toán đối xứng cầu ta cũng giải tƣơng tự. Đầu tiên là ta cũng chọn mặt Gauss sao cho phù hợp, ở đây ta thƣờng nên chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm. Tiếp đó là ta sẽ áp dụng các công thức liên quan để giải bài toán. Ví dụ 3: Quả cầu tích điện đều: Một quả cầu bán kính R tích điện đều với mật độ điện khối Xác định cƣờng độ điện trƣờng E do điện tích quả cầu gây ra ở các điểm bên trong và bên ngoài quả cầu. Biết hằng số điện môi là . Giải: Xét trong tọa độ cầu, gốc O trùng tâm quả cầu bán kính R. 1  E divE { sin . ( r2 . E ) r. ( E sin ) r }. rr2 sinr    Do điện tích phân bố đều trên mặt cầu với mật độ nên chỉ phụ thuộc vào r hay EE ()r nên 11 divE { sin . ( r22 . E )}= . .( r E ) r22sin  rrr r r 40
  48. divD  Mặt khác theo định lí O – G ta có:  divE DE    Bên trong quả cầu ta có điện trƣờng: 1  ()()r2 E r 2 E r 2 r2  rTT r 11 C r23 E r C E r TT33r2 Do tính chất đối xứng của điện tích quanh gốc O nên điện trƣờng tại r = 0 phải bằng 0, do đó ECTr( 0) 0. Từ đây ta có : 1 Er T 3  E chỉ phụ thuộc vào r , có phƣơng của nên ta có cƣờng độ điện 1 trƣờng trong quả cầu dƣới dạng vector là: ErT 3  Bên ngoài quả cầu Chọn mặt Gauss S2 là mặt tròn đồng tâm cách tâm một khoảng r Do D cùng phƣơng với vector pháp tuyến của mặt Gauss nên xác định hay = const Áp dụng định lí O – G cho mặt Gauss ta có: Dd S q dV D dS dV V 4 D4 r23 R 3 trong đó: r là bán kính mặt Gauss, R là bán kính quả cầu. DR3 3r 2 41
  49. 3 DR 3 mà D  E E R EN r N 3 rr23 3.  . Ở ngoài quả cầu, cƣờng độ điện trƣờng giảm dần, tỉ lệ nghịch với bình phƣơng khoảng cách đến tâm quả cầu. Kết quả này cho thấy điện trƣờng ở bên ngoài quả cầu tích điện đều có tính chất giống nhƣ điện trƣờng của một điện tích điểm đặt ở tâm quả cầu. Ví dụ 4: Tìm cƣờng độ điên trƣờng do một mặt cầu bán kính R tích điện đều, mật độ điện mặt gây ra tại điểm cách tâm của mặt cầu một đoạn r. Giải: Vì lí do đối xứng nên các vector cƣờng độ điện trƣờng tại các điểm khác nhau có phƣơng đi qua tâm. Tại những điểm cách đều mặt cầu thì có độ lớn của cƣờng độ điện trƣờng bằng nhau. Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với mặt cầu tích điện. Khi đó xét một vi phân diện tích dS: d EndSE EdScos0 EdS 2 Vậy trên cả mặt kín ta có:  d  EdS E4 r 42
  50. n qi 2 i 1 Theo định lí O-G:  Er4 o Nếu r =R : 2 2 R  q 4  R E 2 r 0 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho quả cầu tích điện đều với mật độ điện khối bán kính a. Tính hiệu điện thế giữa hai điểm cách tâm lần lƣợt là a/2 và a Chú ý: Các công thức cần nhớ Điện trƣờng tại một điểm nằm trong mặt cầu tích điện khối Mối liên hệ giữa điện thế và cƣờng độ điện trƣờng Bài 2. Hai mặt cầu đồng tâm tích điện có bán kính 10cm và 15cm. Điện tích trên mặt cầu ở trong là 4.10-8C và trên mặt cầu ở ngoài là 2.10-8C. Tìm điện trƣờng ở: a. r = 12cm b. r = 20cm Bài 3. Một vỏ cầu kim loại mỏng với bán kính a và điện tích là qa và một vỏ cầu kim loại khác cùng tâm với vỏ cầu trên và có bán kính là b (b > a) và tích điện qb. Tìm điện trƣờng ở các điểm r nằm dọc theo bán kính với a. r b b. Thảo luận về tiêu chuẩn mà ta dùng để xác định xem các điện tích đƣợc phân bố nhƣ thế nào ở các mặt trong và mặt ngoài của nó. Bài 4. Trong một bài báo viết năm 1911 Emest Rutherford đã nói: “ Để có một ý niệm về lực cần để làm lệch một hạt đi một góc lớn, hãy xét một nguyên tử chứa một điện tích điểm dƣơng Ze ở tâm nó và đƣợc bao quanh bởi 43
  51. sự phân bố điện tích âm -Ze đƣợc phân bố đều trong một hình cầu bán kính R. Điện trƣờng E ở một điểm nằm trong nguyên tử cách tâm một khoảng r: Ze 11 E ()23 Hãy kiểm nghiệm phƣơng trình đó 4  o rR Bài 5. Dựa vào phƣơng trình điện trƣờng ở các điểm gần một mặt dẫn điện tích điện. Áp dụng phƣơng trình đó cho một quả cầu bằng điện trƣờng của một điện tích điểm nằm ở tâm quả cầu. Bài 6. Một vỏ kim loại mỏng hình cầu, không tích ddienj có một điện tích điểm q nằm ở trên nó. Suy ra các biểu thức cho điện trƣờng: a. ở trong vỏ b. ở ngoài vỏ c. Vỏ có ảnh hƣởng gì lên điện trƣờng do điện tích q không? d. Sự có mặt của q có ảnh hƣởng gì lên sự phân bố điện tích ở vỏ không? e. Nếu một điện tích điểm thứ hai đƣợc giữ ở ngoài vỏ, điện tích ngoài này có chịu tác dụng của lực không? f. Điện tích trong có chịu tác dụng của lực không? g. Có mâu thuẫn với định luật III Niu- tơn ở đây không? Tại sao? Bài 7. Ở hình bên là hình ảnh một quả cầu có bán kính a và đƣợc tích điện +q đƣợc phân bố đều trong thể tích của nó đƣợc đặt đồng tâm với một vỏ dẫn điện hình cầu có bán kính trong là b và bán kính ngoài là c. Vỏ này đƣợc tích điện toàn phần là -q. Tìm các biểu thức của điện trƣờng dƣới dạng hàm bán kính r: a. Ở trong quả cầu (r < a) b. Giữa quả cầu và vỏ (a < r < b) 44
  52. c. Ở trong vỏ (b d) e. Hỏi các điện tích trên các mặt trong và mặt ngoài của vỏ Bài 8. Hình bên cho thấy một vỏ quả cầu với mật độ điện tích đều. Biểu diễn bằng đồ thị E do vỏ tạo ra ở khoảng cách r cách tâm của nó từ 0 đến 30cm. Giả thiết = 10-6C/m3, a = 10cm, b = 20cm Bài 9. Hình bên cho thấy một điện tích điểm q = 10-7C có tâm nằm ở hốc cầu bán kính 3cm trong một mẩu kim loại. Dùng định lí O-G để tìm điện thông ở: a. Điểm P1 chính giữa đoạn từ tâm đến mặt hốc b. Điểm P2 Bài 10. Một proton với vân tốc v = 3.105m/s quay theo quỹ đạo ở sát ngay phía ngoài của một quả cầu bán kính r = 1cm tích điện. Hỏi điện tích trên quả cầu. Bài 11. Một quả cầu rắn không dẫn điện có bán kính r có sự phân bố điệ tích không đều với mật độ điện tích thể tích orR/ trong đó o là một hằng số và r là khoảng cách tính từ tâm quả cầu. Chứng minh rằng: 3 a. Điện tích trên quả cầu QR o 1 Q 2 b. Điện trƣờng trong quả cầu có độ lớn Er 4 4  o R 45
  53. Bài 12. Hình bên mô tả một quả cầu không dẫn điện với bán kính trong lad a và bán kính ngoài là b có mật độ điện thể tích là 휌 = A/r trong đó A là một hằng số còn r là khoảng cách tính từ tâm đến vỏ. Ngoài ra còn một điện tích điểm q đƣợc đặt ở tâm. Hỏi A phải có giá trị là bao nhiêu nếu điện trƣờng trong vỏ là đều? Bài 13. Một quả cầu không dẫn điện có mật độ điện tích thể tích là 휌 đều. Gọi r là vector từ tâm quả cầu đến một điểm P nào đó trong quả cầu: a. Chứng minh điện trƣờng ở P đƣợc cho bởi ( chú ý là kết quả không phụ thuộc vào bán kính mặt cầu) b. Một hốc cầu đƣợc khoét trong quả cầu nhƣ hình bên . Dùng khái niệm chồng chất chứng tỏ rằng điện trƣờng trong tất cả các điểm trong hốc bằng ( điện trƣờng đều) trong đó a là vector có gốc ở tâm quả cầu và có ngọn ở tâm của hốc Bài 14. Hãy chứng minh rằng sự cân bằng bền dƣới tác dụng của các lực tĩnh điện là không thể có( Gợi ý: giả sử một điện tich +q nằm trong trạng tái cân bằng bền nếu nó chỉ đặt ở một điểm P nào đó trong điện trƣờng E. Vẽ một mặt Gauss hình cầu quanh P, tƣởng tƣợng E phải hƣớng nhƣ thế nào và áp dụng định luật Gauss để chứng minh điều đó) 46
  54. 3.3. Dạng 3: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng phẳng Các bƣớc làm cũng tƣơng tự nhƣ hai dạng trên. Ở phần nầy chúng ta sẽ chọn mặt Gauss là một mặt trụ. Ví dụ 5: Tĩnh điện trƣờng của một mặt phẳng tích điện đều: Ta xét một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt lớn hơn 0. Xác định cƣờng độ điện trƣờng do mắt tích điện đó gây ra tại một điểm A cách mặt phẳng một khoảng h. Giải: Mặt phẳng tích điện chia không gian có điện trƣờng thành hai nửa đối xứng nhau. Vì mặt phẳng rộng vô hạn nên bất kì đƣờng thẳng nào vuông góc với mặt cũng có thể coi là trục đối xứng của hệ điện tích. Do đó vector cƣờng độ điện trƣờng E ở mọi điểm ngoài mặt phẳng đêuù song song với nhau và vuông góc với mặt phẳng, hƣớng ra xa nếu mặt tích điện dƣơng và có độ lớn bằng nhau. Ta chọn mặt Gauss là mặt của một hình trụ có đƣờng sinh vuông góc với mặt phẳng, hai đáy song song cách đều mặt phẳng một khoảng h và có diện tích S. Với mặt Gauss nhƣ vậy việc tính tích phân là đơn giản nhất. Ta chọn chiều dƣơng của pháp truyến hƣớng ra ngoài mặt Gauss. Vì pháp tuyến của mặt xung quanh hình trụ vuông góc với đƣờng sức nên điện thông qua mặt bên bằng 0. Điện thông toàn phần qua mặt Gauss bằng điện thông hai đáy:E 2ES Nhƣ vậy ở mỗi nửa không gian hai bên mặt phẳng tích điện đều, điện trƣờng đều 47
  55. Điện tích q có ở bên trong mặt Gauss là điện tích trong phần mặt phẳng có diện tích S giới hạn bởi mặt trụ và có giá trị: qS  Do đó theo định lí O-G ta có: E 2ES  S /  o E  / 2  o Ta thấy điện trƣờng gây bởi mặt phẳng vô hạn tích điện dều là một điện trƣờng đều. Vector cƣờng độ điện trƣờng E tại một điểm song song và vuông góc với mặt phẳng có chiều hƣớng ra xa mặt phẳng nếu mặt phẳng tích điện dƣơng. 48
  56. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Một electron đƣợc bắn thẳng đến tâm của một bản kim loại rộng có điện tích âm dƣ với mật độ điện tích mặt 2,0.10-6C/m2. Nếu động năng ban đầu của electron bằng 100eV và nếu nó dừng (do lực đẩy tĩnh điện) ngay khi đạt đến bản thì phải đƣợc bắn cách bản bao nhiêu? Bài 2. Hai bản kim loại có diện tích 1m2 nằm đối diện nhau, cách nhau 5cm và có điện tích bằng nhau nhƣng trái dấu ở trên các mặt cong của chúng. Nếu E ở giữa các bản bằng 55N/C thì độ lớn các điện tích trên bản bằng bao nhiêu? Bỏ qua các hiệu ứng mép. Bài 3. Trong một thí nghiệm, trọng lƣợng của một electron đƣợc cân bởi lực của điện trƣờng tác dụng lên nó. Nếu điện trƣờng gây ra do các điện tích ở trên hai bản không dẫn điện, đặt song song tích điện trái dấu và cách nhau 2,3cm a. Độ lớn của mật độ điện tích b. Điện trƣờng hƣớng theo chiều nào? 49
  57. KẾT LUẬN Khóa luận đƣợc hình thành dựa trên cơ sở lý thuyết của điện động lực học và một số kiến thức về giải tích có liên qua thông qua việc tìm hiểu qua sách, tài liệu tham khảo. Nội dung trình bày cơ sở lý thuyết một cách khái quát, hệ thống phân loại cụ thể các dạng bài toán và các bài tập ứng dụng đƣợc chọn lọc kỹ lƣỡng và sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp theo từng loại bài toán phù hợp với mức độ của sinh viên. Cuối cùng đề xuất tiến trình giải chung nhất để sinh viên có thể áp dụng và giải quyết các bài toán độc lập. Khóa luận đề cập đến định lí Ostrogradsky – Gauss cho điện trƣờng và từ trƣờng ở cả dạng tích phân và vi phân. Nội dung định lí đƣợc đƣa ra một cách căn bản nhất với hi vọng cung cấp cho sinh viên kiến thức nhất định trƣớc khi áp dụng vào các bài toán cụ thể. Với bố cục luận văn đƣợc trình bày gồm ba phần, hai phần đầu đƣa ra những kiến thức trọng tâm về định lí Ostrogradsky – Gauss và phần cuối là áp dụng định luật này vào giải các bài tập cụ thể từ đó đƣa ra phƣơng pháp giải chung nhất cho từng dạng bài. 50
  58. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lƣơng Duyên Bình, Nguyễn Quang Hậu (2000), Giải bài tập và bài toán cơ sở vật lí, Nhà xuất bản Giáo dục. 2. Nguyễn Chính Cƣơng ( Tái bản lần thứ nhất), Bài tập phương pháp toán lí, Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm. 3. Nguyễn Văn Hùng ( Tái bản lần 2), Điện động lực hoc, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. 4. Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi, Vũ Ngọc Hồng (1982), Điện đại cương (tập 1+ 2), Nhà xuất bản Giáo dục. 5. Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Huy Băng, Phương pháp toán lí, Nhà xuất bản Đại học Vinh. 6. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hƣớng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tƣởng (1983), Bài tập vật lí lí thuyết, Nhà xuất bản Đại học Giáo dục. 7. Đào Văn Phúc (1976), Điện động lực, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội 8. Đỗ Đình Thành (Tái bản lần 1), Phương pháp Toán lí, Nhà xuất bản Giáo dục 51