Khóa luận Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý

Nội dung text: Khóa luận Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HOÀN CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & Vật lý toán HÀ NỘI - 2017
2. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Hà Thanh Hùng đã tận tâm hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa. Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè thân thiết, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàn
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do bản thân thực hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này! Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàn
4. BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TỪ VIẾT TẮT NGHĨA CỦA TỪ VIẾT TẮT SH Schmidt - Hilbert SL Sturm - Liouville
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 3 NỘI DUNG 4 CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 4 1.1. Phương trình tích phân 4 1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân 4 1.1.2. Các khái niệm cơ bản 4 1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân 8 1.2 Các loại phương trình tích phân 9 1.3. Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân 10 1.3.1. Phương trình tích phân có nhân phân tách 10 1.3.2. Các phép biến đổi tích phân 12 1.3.3. Các phép biến đổi vi phân 16 1.4. Chuỗi Neumann 17 1.5. Lý thuyết Fredholm 19 1.6. Lý thuyết Schmidt–Hilbert 21 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ 24 2.1. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 1 24 2.2. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 2 24 2.2.1. Phương trình thuần nhất 24
6. 2.2.2. Phương trình không thuần nhất 26 2.3. Lý thuyết fredholm 31 2.4. Lý thuyết Hilbert-Schmidt. 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. 1
8. Bước đầu khám phá và đi sâu vào các phương trình tích phân cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý ” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các phương trình tích phân dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong vật lý. - Hiểu rõ bản chất của phép tính tích phân. - Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lý. - Ứng dụng của phép tính tích phân để giải một số bài toán vật lý. - Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh nghiệm nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính tích phân để giải một số bài toán. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: các phương trình tích phân. - Phạm vi nghiên cứu: đề tài này ta chủ yếu nghiên cứu về các phương trình tích phân và ứng dụng của nó trong vật lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu về các phương trình tích phân. - Phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng phương trình tích phân. - Ứng dụng của phương trình tích phân trong vật lý. 5. Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng các kiến thức về tích phân và các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi vi phân để nghiên cứu ứng dụng vào vật lý. 2
9. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận bao gồm: PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Các loại phương trình tích phân. Chương 2. Ứng dụng trong Vật lý PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 3
10. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1. Phương trình tích phân 1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân Khi nghiên cứu một hệ vật lý, chúng ta thường phải xác định các tính chất hoặc các đại lượng để thể hiện các quy luật vận động của hệ. Mỗi một tính chất hoặc đại lượng thường được biểu thị bằng một hàm y theo các các biến độc lập x. Như vậy hàm y(x) là các hàm cần tìm trong các hệ vật lý. Do các điều kiện liên kết trong các hệ vật lý hàm cần tìm y(x) thường xuất hiện trong các dấu tích phân, phương trình chứa các hàm cần tìm như vậy gọi là phương trình tích phân. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên một số phương pháp giải của phương trình vi phân. Cần phải nhấn mạnh là không phải tất cả các phương trình tích phân đều có thể giải một cách rõ ràng bằng phương pháp giải tích. Hầu hết các phương trình tích phân dạng phức tạp phải cần giải bằng phương pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng. Các phương pháp cơ bản được nêu ra ở đây được sử dụng cho các trường hợp đơn giản, tuy nhiên cũng có thể áp dụng để định hướng cho việc giải các phương trình phức tạp hơn. Các phương pháp được đưa ra ở đây bao gồm: i) Làm thế nào để đưa phương trình vi phân thành phương trình tích phân và nghiên cứu cách giải các dạng chung nhất của phương trình tích phân tuyến tính. ii) Tìm nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn của các phương trình tích phân với nhân có tính Hermite xác định từ đặc tính đối xứng của hệ vật lý. 1.1.2. Các khái niệm cơ bản - Phương trình tích phân tuyến tính 4
11. Phương trình tích phân tuyến tính là phương trình biểu diễn được dưới dạng Lfy ( x ) ( x ) (1.1.1) Với L là toán tử tuyến tính theo hàm cần tìm y ( x ) . Ví dụ: b fK(x)(x,z) y(z)dz, a b y(x)(x)(x,z) fKdz y(z) a Trong đó axbazb ,,y(x) là hàm cần tìm, các hàm còn lại đã biết. - Nhân của phương trình tích phân Phương trình tích phân tuyến tính có dạng b g()() x y x f () x K (,)y(z)dz. x z (1.1.2) a Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm f(x), K(x,z) đã biết; yx() là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc tham số khác không. Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích phân. Nhân K(x,z) được gọi là L2 – nhân nếu nhân K(x,z) thỏa mãn các điều kiện sau: bb Với mỗi a x b,, a z b ta có K(x,z)2 dxdz , aa b Với mỗi a x b, ta có K(x,z)2 dz , a 5
12. b Với mỗi a z b , ta có Kdz(x,z),2 a - Phương trình tích phân thuần nhất và không thuần nhất.  Nếu cố định cận trên là b, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành b fK(x)(x,z)  y(z)dz0. (1.1.3) a Phương trình (1.1.3) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1. Nếu cố định cận trên b, g(x) = 1 thì (1.1.2) trở thành b y(x)()(x,z)y(z). fxKdz  (1.1.4) a Phương trình (1.1.4) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2. Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.1.4) trở thành b y(x)(x,z)  y(z).Kdz (1.1.5) a Phương trình (1.1.5) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.4)  Nếu cận trên là biến số x, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành b fK(x)(x,z)  y(z)dz0. (1.1.6) a Phương trình (1.1.6) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1. Nếu cận trên là biến số x, g(x)=1 thì (1.1.2) trở thành b y(x) f (x) K (x,z)y(z) dz (1.1.7) a 6
13. Phương trình (1.1.7) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2. Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.1.7) trở thành b y(x)(x,z)  y(z).Kdz (1.1.8) a Phương trình (1.1.8) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.7) Trong tất cả các trường hợp, nếu f (x) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất ( f ( x ) 0 ). - Hàm riêng và trị riêng của phương trình tích phân Số  thỏa mãn phương trình (1.1.5) với y ( x ) 0 được gọi là giá trị riêng của nhân K(x,z). Hàm yx() ứng với giá trị riêng của  thỏa mãn phương trình (1.1.5) được gọi là hàm riêng ứng với trị riêng  của nhân K(x,z). - Nhân phân ly biến số (Nhân suy biến) Nhân K(x,z) được gọi là nhân suy biến nếu K(x,z) là L2 – nhân và được viết dưới dạng n Kxzxz(,)()(). ii (1.1.9) i 1 Trong đó 1()x , , n()x và 1(), ,()zzn là các hàm trong Lab2 ,. Chú ý: Có thể giả sử các hàm ii(xz ), ( ) độc lập tuyến tính trong L2 a,. b Thật vậy, nếu các pi(x) không độc lập tuyến tính thì có một i (x) 0 n nào đó là tổ hợp tuyến tính của các  ()x khác, tức là  (x)(x).  i ii0 i  ii 1, i 0 Thay tổ hợp tuyến tính này vào K(x,z) ta có 7
14. nnn K(x,z)(x)(z)(x)(z)(x)*   (z). iii iiii 0 ii 1,1,1, iii iii000 i Lặp lại quá trình đó một số lần cần thiết, ta thu được một biểu thức có dạng (1.1.9), trong đó các hàm i ()x và i ()z đều độc lập tuyến tính. - Nhân dịch chuyển Nếu hạch của phương trình tích phân có thể được viết theo hàm của hiệu số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển. Ví dụ: yxfxKxzyzdz()()()(),  thì K x() z là nhân dịch chuyển. 1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân Phương trình tích phân xuất hiện trong nhiều trường hợp, bởi vì chúng ta luôn có thể đưa phương trình vi phân về dạng phương trình tích phân bằng các biến đổi đơn giản. Việc này có thể giúp chúng ta thuận tiện hơn trong việc tìm nghiệm của các phương trình tích phân. Khi đó, để có nghiệm cụ thể chúng ta chỉ cần áp dụng thêm điều kiện biên của bài toán. Để minh họa, chúng ta chọn một trường hợp đơn giản nhất là xem xét phương trình vi phân cấp hai: y x f x, y (1.1.10) trong đó f(x, y) có thể là hàm của x và y nhưng không phải của y’(x). Do đó phương trình (1.1.10) đại diện cho một lớp lớn của các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính cấp hai. Chúng ta có thể biến đổi (1.1.10) từ phương trình tích phân tương ứng bằng cách lấy tích phân bậc 1 đối với biến x x y'( x ) f ( z , y ( z )) dz c . 1 0 8
15. lấy tích phân một lần nữa, chúng ta được xu yxdufzyzdzc()(,()) xc . 12 00 Đây là nghiệm cần tìm ở dạng tích phân hai lớp, để chuyển về tích phân một lớp, chúng ta cần quan tâm tới miền lấy tích phân. Bằng việc đổi biến số thực hiện trên miền lấy tích phân, chúng ta có thể chuyển tích phân trên về xu dạng: yxfzyzducxc()(,())dz, 12 (1.1.11) 00 x ()(,()).xzfzyzdzcxc 12 (1.1.12) 0 Phương trình (1.1.12) vừa được đưa ra ở trên gọi là phương trình tích phân Volterra phi tuyến tính. Nghiệm (1.1.12) sẽ được tìm cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. Thông thường các điều kiện biên được cho ở dạng đơn giản: ví dụ, xác định giá trị của y(x) và y’(x) tại x=0, ta có điều kiện biên y(0) = a và y’(0) = b, từ đó chúng ta xác định c1 = b và c2 = a. 1.2 Các loại phương trình tích phân Từ (1.1.12), phương trình vi phân đơn giản như là (1.1.10) có thể dẫn đến phương trình tích phân tương ứng là phi tuyến tính. Tuy nhiên, phương trình tích phân tuyến tính, có dạng tổng quát: b g()() x y x f () x K (,)y(z)dz. x z (1.2.1) a Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm f(x), K(x,z) đã biết; yx() là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc tham số khác không. Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích phân. 9
16. Trong thực tế, được biết với các trường hợp đặc biệt của (1.2.1), được gọi bằng tên riêng. Thứ nhất, nếu g(x) = 0 thì không rõ hàm y(x), hàm y chỉ xuất hiện dưới dấu tích phân, và (1.2.1) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại một. Ngoài ra, nếu g(x) = 1, do đó hàm y xuất hiện hai lần, một lần bên trong tích phân và một lần bên ngoài thì (1.2.1) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại hai. Trong cả hai trường hợp, nếu f (x) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất. Phân biệt các loại phương trình tích phân khác nhau bằng dạng của phép lấy tích phân bởi giới hạn a và b. Nếu giới hạn này là hằng số thì phương trình được gọi là phương trình Fredholm. Tuy nhiên, nếu các giới hạn trên b = x (tức là nó là biến số) thì phương trình được gọi là phương trình Volterra; phương trình như vậy là tương tự với một với giới hạn cố định nhưng theo đó nhân K(x,z) = 0 cho z > x. Cuối cùng, lưu ý rằng bất kỳ phương trình mà một trong hai (hoặc cả hai) của giới hạn phép lấy tích phân là vô hạn, theo đó K(x,z) trở nên vô hạn trong khoảng biến thiên của phép lấy tích phân, được gọi là phương trình tích phân kỳ dị. 1.3. Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân 1.3.1. Phương trình tích phân có nhân phân tách Trong trường hợp chắc chắn, nó rất đặc biệt có thể là có thể để đạt được các nghiệm quen thuộc của phương trình tích phân. Tuy nhiên, người đọc nên nhận ra, khi đối mặt với phương trình tích phân, nói chung nó sẽ không giải được bằng phương pháp đơn giản giới thiệu trong phần này nhưng phải thay vào đó được giải bằng phương pháp lặp, như những phương pháp được nêu trong phần chuỗi Neumann. Để giải các phương trình tích phân đơn giản nhất là phương trình Fredholm với nhân phân ly được theo các biến số (hay suy biến). Một nhân có thể tách ra nếu nó có dạng 10
17. n Kxzxz(,)()(). ii (1.3.1) i 1 Trong đó i ()x là i ()z là các hàm tương ứng duy nhất của x và z, số số hạng trong tổng n là hữu hạn. Chúng ta hãy xem xét nghiệm của phương trình Fredholm (không đồng nhất) của loại thứ hai b yx()()(,)() fx Kxzyzdz (1.3.2) a Trong đó nhân được tách ở dạng (1.3.1). Viết nhân trong dạng tách của nó, hàm có thể được đem ra ngoài tích phân trên z để đạt được n b yxfxxzdz()()()().   ii a i 1 Từ đó phép lấy tích phân giới hạn a và b không đổi cho phương trình Fredholm, tích phân trên z trong mỗi một số hạng của tổng chỉ là một hằng số. Có nghĩa là hằng số này bằng: b czyzdz  ()() (1.3.3) ii a Nghiệm của (1.3.2) được tìm thấy n yxfxcx()()(),  ii (1.3.4) i 1 Trong đó hằng số ci có thể được tính bằng cách thay thế (1.3.4) vào (1.3.3) 11
18. Ví dụ: Giải phương trình tích phân 1 yxxxzzyzdz()()().  2 (1.3.5) 0 Lời giải: Nhân của phương trình này là K x( z, ) x z z 2 , là rõ ràng có thể tách được, và dùng ký hiệu trong ( 1.3.1 ) chúng ta có: 2 121(),()1,()xxxzz và  2 ()zz . Từ (1.3.4) nghiệm của (1.3.5) có dạng yxxcxc()()  12 trong đó hằng số c1 và c2 được tính bằng cách lấy từ (1.3.3) như 1 111 cz zc zcdzcc  , 11212 0 332 1 111 czzc zcdzcc2  21212 0 443 Hai phương trình tuyến tính đồng thời này có thể được giải một cách đơn giản cho c1 và c2 là 24  18 c1 và c2 7248 2 7248 2 Trong ví dụ ở trên, chúng tôi thấy (1.3.5) có nghiệm duy nhất (hữu hạn) nếu λ thỏa mãn điều kiện để mẫu số của c1 và c2 khác không. 1.3.2. Các phép biến đổi tích phân Nếu nhân của phương trình tích phân có thể được viết là hàm của hiệu số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển. Phương trình tích phân có nhân như vậy, và mà cũng có phép lấy tích phân giới hạn - ∞ đến ∞, có thể giải bằng việc sử dụng biến đổi Fourier. Nếu chúng ta xét phương trình tích phân sau với phép thay thế nhân, 12
19. yxfxKxzyzdz()()()(),  (1.3.6) tích phân trên z rõ ràng ở dạng phép nhân chập. Do đó, biến đổi Fourier (1.3.6) và dùng định lý phép nhân chập, đạt được ykfkKkyk()()2()(),  có thể là sắp xếp lại fk() yk(). (1.3.7) 12() Kk Lấy biến đổi Fourier ngược, nghiệm (1.3.6) được tính bằng cách lấy 1()exp(ikx) fk yxdk(). 212()  Kk Có thể thực hiện phép biến đổi Fourier ngược này thì nghiệm có thể được tìm thấy rõ; cách khác nó phải được lấy dưới dạng tích phân. Thay vào đó, nếu phương trình tích phân (1.3.6) có giới hạn phép lấy tích phân 0 và x (phương trình Volterra) thì nghiệm của nó có thể được tìm thấy, trong đó bằng cách tương tự, sử dụng định lý phép nhân chập cho biến đổi Laplace. Ta thấy fs() ys() , 1() Ks trong đó s là biến số phép biến đổi Laplaxơ. Thường thì ta có thể sử dụng từ điển của biến đổi Laplace đưa ra trong bảng 1.1 để đảo ngược phương trình này và tìm ra nghiệm y(x). Tuy nhiên nói chung đánh giá về phép biến đổi tích phân Laplaxơ ngược là khó khăn, vì (theo nguyên tắc) nó đòi hỏi phép lấy tích phân chu tuyến. 13
20. f(t) fs() s0 c cs 0 ct n cn! sn 1 0 sinbt b s b()22 0 cosbt s s b()22 0 eat 1 ( )sa a ten a t n s! (a ) n 1 sinh at a s a()22 a cosh at s s a()22 a e bat ts i n 22 bsab () ebtat cos 22 ()()sasab 12 1 0 t () s312 2 t 12 () s 12 0 st ()tt 0 e 0 0 st s 1 tt 0 e 0 0 Htt() 0 nếu 0 tt 0 Bảng 1.1: Phép biến đổi Laplace tiêu chuẩn. Các phép biến đổi có giá trị (các phép biến đổi đang được công nhận) [3] 14
21. Một số ví dụ của việc sử dụng biến đổi Fourier trong giải phương trình tích phân, nói đến phương trình có giới hạn phép lấy tích phân - ∞ đến ∞ và dạng của nhân: Kxzz(,)exp(ix). Chẳng hạn ta xem xét phương trình Fredholm không đồng nhất y() x f () x  exp(ix)() z y z dz . (1.3.8) Các tích phân trên z rõ ràng là chỉ (bội số) biến đổi Fourier của y(z), vì vậy ta có thể viết yxfxyx()()2().  (1.3.9) Nếu chúng ta bây giờ lấy biến đổi Fourier của (1.3.9) nhưng tiếp tục biểu thị biến độc lập bởi x, ta được y( x ) f ( x ) 2  y ( x ). (1.3.10) Thế (1.3.10) vào (1.3.9) ta được y( xfxfxx )( )2( )2()   nhưng khi thay x → -x và thay lại cho y (-x), ta có 22 y( xf )( xf )2( xfxfxy ) 2()2() x   2(   ) . Do đó nghiệm của (1.3.8) được tính bằng cách lấy 1 y( xf )( xf ) xfxfx (2 )( ) 2() (2 )()   1 . 223 2 3 (1.3.11) 1 (2  )24 Rõ ràng, (1.3.8) có nghiệm duy nhất cung cấp  1/ 2 hoặc i /2 ;điều này dễ dàng chứng tỏ để được giá trị riêng của phương trình thuần nhất tương ứng (theo đó f (x) ≡ 0). Gần đúng tương tự với ở trên có thể là lấy để giải phương trình với nhân có dạng K(x,y) = cos(x, y) hoặc sinxy, hoặc bằng cách xét tích phân trên y trong mỗi một trường hợp như phần thực hay là phần ảo của biến đổi 15
22. Fourier tương ứng hay là bằng cách sử dụng Fourier cosin hay sin là biến đổi trực tiếp. 1.3.3. Các phép biến đổi vi phân Các nghiệm quen thuộc đến phương trình Volterra đôi khi được đạt được bằng lấy vi phân phương trình để đạt được phương trình vi phân tương ứng, có thể là dễ giải hơn. Ví dụ: Giải phương trình tích phân x yxxxzyzdz()(). 2 (1.3.12) 0 Lời giải: Chia cho x ta được yx() x 1(), zyzdz2 x 0 có thể lấy vi phân theo x để cho dy xy()() x x23 y() xx dxxx Phương trình này có thể là được lấy trực tiếp tích phân, và ta tìm yxx() 4 ln c x 4 trong đó c là một hằng số của tích phân. Do đó nghiệm của (1.3.12) có dạng x4 yxAx()exp (1.3.13) 4 trong đó A là hằng số tuỳ ý. Từ đó phương trình tích phân (1.3.12) không chứa hằng số tuỳ ý. Chúng ta có thể tính toán giá trị của hằng số, bằng cách thế nghiệm (1.3.13) vào (1.3.12), từ đó ta thấy A = 1. 16
23. 1.4. Chuỗi Neumann Phương trình tích phân cấp 1 gặp trong thực tế, nói chung, không thể tìm được các nghiệm quen thuộc. Trong trường hợp như vậy, chúng ta có thể có được nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn, như khi ta làm với phương trình vi phân. Chúng ta xét phương trình b yxfxKxzyzdz()()(,)(),  (1.4.1) a trong đó cả hai giới hạn trong phép lấy tích phân không đổi ( cho phương trình Fredholm ) hay giới hạn trên là biến số ( cho phương trình Volterra ). Rõ ràng, nếu λ nhỏ thì nghiệm gần đúng sẽ là y(x) ≈ y0(x) = f(x), trong đó y0(x) là viết tắt của ‘cấp 0’ các nghiệm gần đúng (và không được nhầm lẫn với hàm riêng ). Thay thế nghiệm gần đúng này dưới dấu tích phân trong phương trình ban đầu, ta có phép gần đúng: bb y( xf )( xKxzy )( , )( )( zdzf )( , ) xKxz ( ) f zdz 10 aa Là số hạng đầu tiên trong λ. Lặp lại một lần nữa dẫn đến phép gần đúng cấp hai b yx()()(,) fx Kxzyzdz 21 a b b b fx()  Kxzfz (,)()dz 2 dz KxzK (,)(z,)() zfzdz a1 1 1 a 1 a 1 1 2 2 2. Rõ ràng là ta có thể tiếp tục quá trình này để đạt được phép xấp xỉ cấp cao hơn dần đến nghiệm chính xác. Đưa vào hàm 17
24. KxzKxz1(,)(,) b KxzKxzKzdz(,)(,)(z ,), 2111 a bb KxzdzKxzKzzdz(,)(,)(z ,)K(z,), 3111222 aa tuân theo quan hệ phép truy toán b KxzKxzKzzdz(,)(,)(,), nn a 1111 chúng ta có thể viết nghiệm gần đúng thứ n như sau: n b yxfxKxzfzdz()()(,)(). m (1.4.2) nm a m 1 Nghiệm chính xác của phương trình tích phân ban đầu có thể được tính theo: yy( x) l im ( n) n với điều kiện là chuỗi vô hạn hội tụ. Dùng (1.4.2), n nghiệm này có thể là được viết là b y()()( xfxR ,;)( x zfz ), dz (1.4.3) a trong đó tìm R(x, z ; λ) được tính bằng cách lấy m R( x , z ; )  Km 1 ( x , z ). (1.4.4) m 0 Từ biểu thức nhân của nghiệm, ta thấy nhân của nghiệm sẽ hội tụ khi λ đủ nhỏ. Thực tế, chuỗi của nhân nghiệm sẽ hội tụ trong miền nào đó của |λ| nếu trong miền K( x, z ) bị chặn. Điều kiện đó tương ứng là: bb  22dx K( x , z ) dz 1. (1.3.5) aa Ví dụ: Dùng phương pháp chuỗi Neumann để giải phương trình tích phân 1 y()(). x x xzy z dz (1.4.6) 0 Lời giải: 18
25. Bằng phương pháp nêu trên, chúng tôi bắt đầu bằng phép lấy gần đúng y()(). x y0 x x Thế dưới dấu tích phân dấu trong (1.3.6), chúng thu được phép gần đúng tiếp theo 11x yxxxzyxzdzx()(z)dzx, 2 10 003 Lặp lại một lần nữa, ta có 1 yxxxzyzdz()()  21 0 1 z 2 xxzdzxx z. 0 339 Cho ví dụ đơn giản này, thật dễ dàng thấy là bằng cách tiếp tục quá trình này nghiệm (đáp án) cho (1.4.6) thu được là 23  y( xxx ) 333 Rõ ràng biểu thức trong dấu ngoặc là cấp số nhân vô hạn với số hạng thứ nhất λ/3 và tỷ số chung λ/3. Vì vậy, với điều kiện là |λ| < 3, chuỗi vô hạn này hội tụ đến giá trị λ/( 3 - λ ), và nghiệm của (1.4.6) là xx3 y(). x x (1.4.7) 33  Cuối cùng, lưu ý là điều kiện |λ| < 3 cũng có thể được suy ra rất dễ dàng từ điều kiện (1.4.5). 1.5. Lý thuyết Fredholm Chúng tôi nhận thấy rằng nghiệm của phương trình tích phân (1.4.1) có thể đạt được như chuỗi Neumann của dạng (1.4.3), trong đó nhân của nghiệm R(x, z ; λ) được viết như chuỗi luỹ thừa vô hạn trong λ. Nghiệm này là có giá trị cung cấp chuỗi vô hạn hội tụ. 19
26. Tương tự như vậy, nghiệm gần đúng của phương trình tích phân dùng chuỗi vô hạn được tìm thấy bằng Fredholm. Ở đây ta sẽ không sao chép lại bài giải của Fredholm, nhưng chỉ đơn thuần trình bày kết quả chúng ta cần. Thực chất, lý thuyết Fredholm cung cấp công thức giải cho nhân R(x, z ; λ) trong (1.4.3) theo quan điểm tỉ lệ hai chuỗi vô hạn : Dxz(,;)  Rxz(,;).  (1.5.1) d() Tử số và mẫu số trong (1.5.1) được tính bằng cách lấy n (1) n DxzDxz(,;)(,),  n (1.5.2) n 0 n! n (1) n dd(),  n (1.5.3) n 0 n! trong đó hàm Dn(x, z) và hằng số dn được tìm thấy từ quan hệ phép truy toán như sau. Ta bắt đầu với DxzKxz0(,)(,) và d0 =1 (1.5.4) trong đó K ( x, z ) là nhân của phương trình tích phân ban đầu (1.4.1). Hệ số bậc cao của λ trong (1.5.3) và (1.5.2) là thì đạt được từ hai phép quan hệ truy toán b dDxxdx (,), (1.5.5) nn a 1 b Dx( zK , )( x z, dnK)( ,)(, x ).z Dz z dz (1.5.6) nnn a 1111 Mặc dù công thức cho giải nhân xuất hiện phức tạp nhưng chúng thường đơn giản để áp dụng. Ngoài ra, cho lời giải chuỗi Fredholm luỹ thừa (1.5.2) và (1.5.3) đều là bảo đảm để hội tụ với mọi giá trị của λ, không giống Chuỗi Neumann, hội tụ chỉ khi thỏa mãn điều kiện (1.4.5). Do đó phương pháp Fredholm dẫn đến một nghiệm duy nhất, nghiệm không kì dị, với điều 20
27. kiện d( ) 0 . Thực vậy, vì ta có thể nghi ngờ, nghiệm của d(λ ) = 0 cho giá trị riêng của phương trình thuần nhất phù hợp với (1.4.1), nghĩa là với f(x) ≡0. trong đó, như mong đợi, cũng giống như các nghiệm của (1.4.7) được tìm thấy bằng cách xây dựng một chuỗi Neumann. 1.6. Lý thuyết Schmidt–Hilbert Lý thuyết Schmidt - Hilbert (SH) của phương trình tích phân có thể được coi là tương tự với lý thuyết Sturm - Liouville (SL) của phương trình vi phân, Và có liên quan đến tính chất của phương trình tích phân với nhân Hermitian. Nhân Hermitian có tính chất KxzKzx(,)*(,). (1.6.1) Và rõ ràng là trường hợp đặc biệt của (1.6.1) xuất hiện cho nhân thực cũng đối xứng đối với hai đối số của nó. Chúng ta hãy bắt đầu bằng cách xét phương trình tích phân thuần nhất yKy  , trong đó K toán tử tích phân có nhân Hermitian. Khi được thảo luận trong phần trên, nói chung phương trình này sẽ có nghiệm duy nhất cho λ = λi, trong đó λi là trị riêng của phương trình tích phân, yi nghiệm tương ứng với hàm riêng của phương trình. Trị riêng λi của nhân Hermitian là thực và hàm riêng yi tương ứng thuộc về trị riêng khác nhau là trực giao và tạo thành tập hợp đầy đủ. Nếu tiêu chuẩn hóa hàm riêng một cách phù hợp, ta có b y yy x y* x( dx )( ).  (1.6.2) ijij a ij Nếu trị riêng là suy biến thì hàm riêng phù hợp với trị riêng có thể trực giao bằng phương pháp Gram – Schmidt. Giống như lý thuyết SL, lý thuyết SH không cung cấp phương pháp đạt được trị riêng và hàm riêng của bất kỳ phương trình tích phân thuần nhất 21
28. riêng với nhân Hermitian. Thay vào đó, lý thuyết SH có liên quan đến tính chất chung của nghiệm cho phương trình như vậy. Trong đó lý thuyết SH được áp dụng, tuy nhiên các giải pháp của phương trình tích phân không đồng nhất với nhân Hermitian theo đó trị riêng và hàm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng đã được biết đến. Ta hãy xét phương trình không đồng nhất y f Ky, (1.6.3) trong đó K = K † và theo đó ta biết trị riêng λi và tiêu chuẩn hóa hàm riêng yi của bài toán thuần nhất tương ứng. Hàm f có thể có hoặc không được diễn đạt theo quan điểm hàm riêng yi, và trong trường hợp này, ta ghi các nghiệm chưa biết y là y= f ai yi , trong đó ai là hệ số mở rộng được xác định. i Thay vào (1.6.3), ta đạt được ayii f  aii y f  Kf , (1.6.4) iii trong đó ta đã dùng yKyiii  . Nhân cả 2 vế (1.6.4) với yj, ta tìm ai ayyyyyKfijijij . (1.6.5) iii Từ đó hàm riêng là trực chuẩn và K là toán tử Hermitian,ta có 1 yyji ij và yfyfyfjjjj Do đó hệ số aj được tính bằng cách lấy 1 jy j f  y j f a j 1 , (1.6.6) 1  j j Và nghiệm là yfi y f  ai y i f y i. (1.6.7) iii 22
29. Một cách ngẫu nhiên cũng chứng tỏ, dạng của phép biểu diễn cho phương pháp giải nhân là y()() x y z R(,;). x z   ii (1.6.8) i i Nếu f có thể biểu thị như chồng chất tuyến tính của yi, nghĩa là f b y , thì b y f và nghiệm có thể được viết ngắn gọn hơn i ii ii b i (1.6.9) yy  1 i. i 1 i Từ (1.6.7) phương trình không đồng nhất (1.6.3) điều kiện có nghiệm duy nhất  i , nghĩa là khi λ không bằng một trong những trị riêng của phương trình thuần nhất tương ứng. Tuy nhiên, nếu λ làm một trong những trị riêng λj thì, nói chung, hệ số aj trở nên kỳ dị và nghiệm không tồn tại (hữu hạn). Quay về (1.6.6), ta chú ý dù là λ = λj nghiệm không kỳ dị đến phương trình tích phân vẫn còn có thể, là khi hàm f là trực giao để mỗi hàm riêng phù hợp với trị riêng λj, nghĩa là b yfyxdx ()0. jj a 23
30. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ 2.1. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 1 Bài 1: Giải phương trình tích phân Volterra loại 1 s s est ( t ) dt 0 (1) 0 b So sánh phương trình (1) với phương trình fK(x)(x,z)  y(z)dz0. a Ta có fsKe(x),(x,z). st Ta chuyển phương trình (1) về phương trình tích phân Volterra loại 2. Ta có phương trình tích phân Volterra loại 2 s ()1(setdt ). st (2) 0 s Nghiệm của phương trình (2) là ()11.sdts 0 Vậy nghiệm của phương trình (1) là ()1ss 2.2. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 2 2.2.1. Phương trình thuần nhất Bài 1: Giải phương trình tích phân 1 f()(,)() s K s t t dt (1) 0 stst(1),, Trong đó: K(,) s t (1) ,.s t st Lời giải: Phương trình (1) có nhân đối xứng, Với điều kiện biên được biến đổi lại là: dy2 y 0, y (0) y (1) 0, (2) ds2 24
31. Tương đương với phương trình 1  (s)(,)(). Ksttdt (3) 0 Bài toán (2) có các giá trị riêng là 2222    12 ,2, ,, n n (4) Và các hàm riêng trực chuẩn tương ứng là 12()2ssssss sin,()2 sin 2, ,()2 sinn, n (5) Do đó K(s,t) có các giá trị riêng là (4) và hàm riêng trực chuẩn là (5). 1 Ta có aftktdt 2()sin. Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi k 0 4 4 2 chuỗi kak hội tụ. Lúc đó, nghiệm của (1) là k 1 n 442  (sk )lim2sin. ans k n  k 1 Bài 2: Tìm trị riêng và hàm riêng tương ứng của phương trình Fredholm thuần nhất. yxxzyz()sin()().  dz (1) 0 Lời giải: Nhân của phương trình tích phân này có thể được viết dưới dạng tách ra như sau: K( x , z ) sin( x z ) sin xcos z cos x sin z , Nên, so sánh với (1.3.1) ta có 1(x ) sinx,  2 ( x ) cosx,  1 ( z ) cos z và  2(zz ) sin . Do đó, từ (1.3.4), nghiệm của (1) có dạng : y( xccx )(  sinxcos12 ), trong đó hằng số c1 và c2 được tính bằng cách 25
32.  czczczdzc  cos(sincos), (2) 1122 0 2  czczczdzc  sin(sincos). (3) 2121 0 2 2 Kết hợp hai phương trình chúng ta tìm thấy cc11, ( 2 ) và giả thiết như c1 0,  2, điều này cho hai trị riêng của phương trình tích phân (1). Bằng thế mỗi một giá trị riêng trở lại (2) và (3), chúng tôi nhận thấy rằng hàm riêng phù hợp với trị riêng   12 2,2 được cho lần lượt bằng yxAx1()(sinxcos) và yxBx2()(sinx-cos). (4) Trong đó A và B là các hằng số tùy ý. 2.2.2. Phương trình không thuần nhất Bài 1: Giải phương trình tích phân Fredholm 1 y()()(). xxxzx zy z dz22 (1) 0 Lời giải: Ta có Kxzxzxz(,) 22 là nhân suy biến với 2 2 12(x)x,() xx và 12(),().zzzz 1 1 Đặt  zyzdz2 () và  zyzdz(). Khi đó phương trình (1) trở thành 1 0 2 0 2 yxx(x)x. 12 (2) Ta có: 11 1 1 1 1 a ()(),()(),()(), zzdz  a  zzdz  a  zzdz  11 0 114 12 0 12 5 21 0 21 3 111 111 az z dz( )  bz( ),( f ) z dz ( ),(z) bf ( ). z dz 222 000 21122 443 Phương trình (2) dẫn đến hệ phương trình tuyến tính 26
33. 3 1 1  4 5 412 2 1 1  3 4 312 61 80 Nghiệm của hệ phương trình  ,. 12119 119 Do đó nghiệm của phương trình (1) là 618018080 yxxxxxx() 22 119119119119 Bài 2 : Giải phương trình tích phân 1 yfxxzyzdz(x)()(13)().  (1) 0 Lời giải: Ta có K(x,z)=1 - 3xz là nhân suy biến với 12()1,()3xxx và 12(z ) 1, ( z ) z . 113 a ()() z  z dz 1, a  ()() z  z dz , 11 00 1 1 12 1 2 2 111 Ta có a ()() z  z dz , a  ()() z  z dz 1, 21 00 2 12 22 2 2 1 1 1 1 b  (z)f (z)dz f ( z ) dz , b ( z ) f ( z ) dz 3 zf ( z ) dz . 1 0 1 0 2 0 2 0 1 1 Đặt  y(z)dz và  zy(). z dz Khi đó hệ phương trình tuyến tính 1 0 2 0 tương ứng với phương trình (1) là 3 (1),   b 121 2 (2) 1  (1). b 2 122 27
34. 3 1  2 1 2 Ta có D()(4). 1 4 1 2 Nếu  2 thì D( ) 0 . Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4(1)6 bb12 4(1)2 bb21 1 và  2 4 2 4 2 Khi đó phương trình (1) có nghiệm là 4(1)64(1)2 bbbb yxfx()3() 1221 44 22 Khi  2 hoặc  2, xét phương trình liên hợp thuần nhất của (1) là 1 ()(13)().xxzzdz (3) 0 Hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phương trình (3) là 1 (1)0   122 (4) 3  (1)0 2 12 Với hệ (4) trở thành 12 . Khi đó phương trình (3) có nghiệm  ()(1).xcx Do đó phương trình 1 1 y()()2(13)() xfxxz y z dz có nghiệm khi (1 x ) f ( x ) dx 0. 0 0 28
35. Bài 3: Giải phương trình tích phân  (s)1sin(s)(t)dt.  t  (1) 0 Lời giải: Ta thiết lập dãy nhân lặp Kn(s,t) như sau 1 KKtK(s,t)(s,t)sin(s),K s x K x tst (s,t)( ,)( , )dxcos(), 12 0 2 23 11 KK324(s,t)( s x Kx ,)( t , dxstKs )sin(),( tst , )cos(), 0 22 4 1 2 Kstst5(,)sin(), và Kstdsdt sin(). 2 00 2 22 Điều kiện  K 1 trở thành  . nghiệm của phương trình (1) là 2 1123   (ss ) 1sin()cos()sin() t dts t dts t dt 000 22 11 1 2   [1 ()() ]cos2 24 s 4 22 118 cos4sin  ss 2 +[122   ()() 24 4 1 22 4  22 Bài 4: Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 s  ()1()(ssstt ).dt 0 Lời giải : Dãy nhân lặp được xác định như sau : s (s t )3 Kst( , ) stKst , ( , ) KsxK ( , ) (x,t)dx 12 t 3! s (s t )5 K( s , t ) K ( s , x ) K (x,t)dx , 32 t 3! Tiếp tục như vậy, ta nhận được dạng nghiệm của phương trình là 29
36. ssss2345 ()1()() ss 2!3!4!5! s Nếu  1 thì nghiệm của phương trình là ( )se . Bài 5: Giải phương trình tích phân x2 yxzyzdz()expexp(ix)(),  (1) 2 Trong đó λ là hằng số thực. Cho thấy rằng nghiệm là duy nhất trừ khi λ có một trong hai giá trị riêng. Có nghiệm tồn tại cho 1 trong hai giá trị của λ? Lời giải: Theo lập luận đã đưa ở trên, lời giải cho (1) được tính bằng cách lấy (1.3.11) với fxx()exp(2). 2 Tuy nhiên để viết rõ nghiệm, ta phải tính toán biến đổi Fourier của f(x). Sử dụng phương trình 22 1  2 f ()exp, tìm fkk()exp(2) , từ đó lưu ý là f(x) có tính 2 2 chất đặc biệt dạng hàm của nó giống y hệt biến đổi Fourier. Do đó, lời giải cho (1) được tính bằng cách lấy 1 x2 yx( )1 (2 )2(2 )exp   1 223 2 3 (2) 24 1 (2  ) 2 Vì λ bị giới hạn nên phương pháp giải cho (1) sẽ là duy nhất trừ khi  12, mà tại đó điểm (2) trở nên vô hạn. Để tìm nghiệm tồn tại cho hai giá trị này của λ ta phải quay về phương trình (1.3.9) và (1.3.10). Đầu tiên xét các trường hợp  12 . Đưa giá trị này vào (1.3.9) và (1.3.10), ta có 30
37. yxfx()()y(x), (3) yxfx()()y(x). (4) Thay (4) vào (3) ta có yxfxfxyx()()()() Nhưng khi thay đổi x → -x và thay thế lại cho y (-x), điều này cho yxfxfxfxfxyx()()()()()(). Do đó, để nghiệm tồn tại, đòi hỏi hàm f(x) tuân theo fxfxfxfx()()()()0. điều này thoả mãn nếu f x( f ) x ( ) nghĩa là nếu dạng hàm của f(x) là dấu trừ của Biến đổi Fourier. Ta có thể lặp lại phân tích này đối với trường hợp  12 và tương tự, ta thấy rằng thời gian này, ta yêu cầu fxfx()() . Trong trường hợp fxx()exp(2) 2 , theo đó, ở trên ta đề cập đến fxfx()() . Do đó, (1) vô nghiệm khi  12nhưng có nhiều nghiệm khi  12. 2.3. Lý thuyết fredholm Sử dụng lý thuyết Fredholm để giải các phương trình tích phân 1 y()(). x x xzy z dz (1.4.6) 0 Lời giải: Dùng (1.4.3) và (1.5.1), nghiệm (1.4.6) có thể được viết trong dạng 11D(,;) x z  y( x )( , xR ;  x ). z zdz xzdz (1) 00d() Để tìm dạng của hạt nhân R(x, z; λ), chúng tôi bắt đầu bằng cách thiết lập D0(x, z) = K(x, z) = xz và d0 = 1 Và dùng quan hệ phép truy toán (1.5.5) và (1.5.6) để có được 31
38. 111 dDxxdxxdx (,), 2 10 003 3 1 xz1 2 xz z D( x , z ) xz zdz xz 1 0. 13 0 1 1 3 3 0 Ứng dụng quan hệ phép truy toán 1 lần nữa ta nhận thấy là dn = 0 và Dn (x, z) = 0 cho n > 1. Do đó, từ (1.5.2) và (1.5.3), tử số và mẫu số của giải thức lần lượt được tính bằng cách lấy  D x( , z ; x) z  và d( ) 1 . 3 Thế biểu thức này vào (1), chúng tôi nhận thấy rằng giải pháp cho (1.4.6) được tính bằng cách lấy 1 xz2 yxxdz()  0 13  1 xzxx 3  3 xx . 13  333 0 2.4. Lý thuyết Hilbert-Schmidt. Bài 1: Giải phương trình tích phân 1 (sssts )(1)()( tt ).dt22 2 (1) 1 Lời giải: 35 Nhân K(s , t ) st s22 t có giá trị riêng là  , và hàm trực chuẩn 1222 610ss2 lần lượt tương ứng là (ss ),( ). 1222 116tt 2 6 102 8 6 Ta có: a (21) t22 t dt , a (t21) t dt . 12 112 3 2 15 32
39. Do  1 không là giá trị riêng của K(s,t) nên nghiệm của phương trình (1) là 25 ()61.sss 2 9 Bài 2: Dùng lý thuyết Schmidt-Hilbert để giải phương trình tích phân yxxxzyzdz()sin()sin()().  (1) 0 Lời giải: Rõ ràng là nhân K(x, z) = sin (x + z) là thực và đối xứng trong x và z và là Hermitian. Để giải phương trình không đồng nhất này dùng lý thuyết SH, tuy nhiên trước tiên phải tìm trị riêng và hàm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng. Thực vậy, xét nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng y( x )  sin( x z ) y ( z ) dz , trong đó ta nhận thấy rằng nó có hai trị riêng λ1 0 = 2/π và λ2 = - 2/π, với hàm riêng đã cho yxAx1()(sinxcos) và yxBx2()(sinx-cos). Tiêu chuẩn hóa hàm riêng: 1 1 yx()(sin x+cosx) và yx( ) (sin x-cosx) (2) 1 2 Và dễ dàng chứng tỏ để tuân theo điều kiện trực giao (1.6.2) Dùng (1.6.7), nghiệm của phương trình không đồng nhất (1) có dạng yxa()()(), yxayx 1122 (3) trong đó hệ số a1 và a2 được tính bằng cách lấy (1.6.6) với f (x) = sin(x + α). Do đó, dùng (2), 11 a (sin z cos z )sin( z ) dz (cos sin ), 1 1  2 0 2  11 a (sin z cos z )sin( z ) dz (cos sin ). 2 1  2 0 2  33
40. Dùng biểu thức này thay thế cho a1 và a2 vào (3) và rút gọn, ta nhận thấy rằng nghiệm của (1) được tính bằng cách lấy 1 y( x )  sin( x ) (  2)cos(x ) . 1 (  2)2 KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung của đề tài “Các phương trình tích phân và ứng dụng trong Vật lý” trên cơ sở tổng hợp, phân tích các tài liệu tham khảo, khóa luận đạt được một số kết quả sau đây Thứ nhất, khóa luận hệ thống được các loại phương trình tích phân, đưa ra phương pháp giải các dạng phương trình tích phân. Thứ hai, khóa luận xây dựng một số ứng dụng đơn giản của phương trình tích phân trong Vật lý. Qua khóa luận này tôi cũng học tập được phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp làm việc nhóm. Những kiến thức, kinh nghiệm đạt được trong quá trình nghiên cứu là rất quý báu đối với bản thân tôi. Tuy nhiên, do năng lực, kiến thức còn hạn chế và một phần đây là đầu tiên thực hiện khóa luận nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa. 34
41. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh 1. Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1, Cambridge University Press 1988. 2. Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 2, Cambridge University Press 1988. 3. K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006 36