›

Khóa luận Ứng dụng của kí hiệu christoffel trong vật lý

pdf 42 trang thiennha21 15/04/2022 3150
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Ứng dụng của kí hiệu christoffel trong vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_ung_dung_cua_ki_hieu_christoffel_trong_vat_ly.pdf

Nội dung text: Khóa luận Ứng dụng của kí hiệu christoffel trong vật lý

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THU LÝ ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Thanh Hùng HÀ NỘI, 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo: TS. Hà Thanh Hùng người đã tận tình hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như trong công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn hiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý
  3. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy: TS Hà Thanh Hùng. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Lý
  4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 2. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu: 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: 2 5. Phương pháp nghiên cứu: 2 6. Cấu trúc của khóa luận: 3 NỘI DUNG 4 CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 4 1.1. Kí hiệu Christoffel 4 1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: 4 1.1.2. Kí hiệu Christoffel 6 1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ 7 1.2.1. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát. 7 1.2.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ 8 1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel. 9 1.3.1. Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel loại 2 9 k 1.3.2. Kí hiệu Christoffel  ij đối xứng với các chỉ số i, j 9
  5. k 1.3.3. Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel  ij trong hệ tọa độ tổng quát. 10 1.3.4. Kí hiệu Christoffer không phải là tenxơ bậc ba. 10 1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel. 11 1.5 Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxo. 21 CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ 26 2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel 26 2.2. Phương trình trắc địa: 31 KẾT LUẬN CHUNG 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37
  6. MỞ ĐẦU 2. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý. Tính chất cơ bản của vật lý là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn đến một ngành vật lý mới: Vật lý lí thuyết. Từ lâu con người đã biết sử dụng toán học để giải những khúc mắc của vật lý. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân, đại số tuyến tính, Các kiến thức này không chỉ cung cấp cho các bạn học sinh, sinh viên để giải các bài tập mà còn dùng để nghiên cứu, thực hành đối với các môn học khác trong khi học tại trường, là công cụ toán hữu ích cho công việc của ta người học sau khi ra trường. Phương pháp toán học rất cần thiết cho tất cả lĩnh vực trong cuộc sống đặc biệt khi nghiên cứu trong vật lý, nó dùng để giải quyết hầu hết những khó khăn của vật lý. Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng, Để giải quyết những vấn đề này người ta sử dụng nhiều phương pháp khác nhau trong đó có sử dụng kí hiệu Christoffel. Do đó để tìm hiểu rõ hơn về kí hiệu này cũng như ứng dụng 1
  7. của nó trong vật lý, tôi chọn đề tài “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý”. Đây cũng là một trong số các công cụ, phương pháp toán học để nghiên cứu sâu hơn những đặc điểm của trường Tenxơ. Nó giúp chúng ta tìm hiểu và giải quyết những bài tập vật lý một cách đơn giản hơn, từ đó có thể tổng hợp các phương pháp toán học dùng trong vật lí nói chung cũng như vật lý lí thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu: - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong việc nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu kí hiệu Christoffel. - Tìm hiểu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Kí hiệu Christoffel và ứng dụng trong vật lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu các phương pháp toán học cho vật lý. - Nghiên cứu kí hiệu Christoffel. - Nghiên cứu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp toán học. - Vật lý lí thuyết. - Đọc, tham khảo và tra cứu tài liệu có liên quan. 2
  8. 6. Cấu trúc của khóa luận: Chương 1: Kí hiệu Christoffel 1.1. Kí hiệu Christoffel 1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ 1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel 1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel 1.5. Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxơ. Chương 2: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý 2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel 2.2. Phương trình trắc địa. 3
  9. NỘI DUNG CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL 1.1. Kí hiệu Christoffel 1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: Định nghĩa Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở các thành phần thay đổi theo một quy luật xác định. Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới. 푖 푖푗 Ví dụ như: 푒푖, 푒 , 푒푖푗, 푒 Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy các giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu 푒푖 nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử 푒1, 푒2, 푒3. 푒푖푗 biểu thị 1 trong 9 phần tử 푒11, 푒12, 푒13, 푒21, 푒22, 푒23, 푒31, 푒32, 푒33. Hạng của tenxơ Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như 푒푖 phụ thuộc vào một chỉ số nên 푒푖là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. 2 푒푖푗 phụ thuộc vào 2 chỉ số (i,j) nên 푒푖푗 là hệ thống hạng 2 bao gồm 3 =9 phần tử. Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3푛 phần tử. Quy ước về chỉ số Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó có thể thay bằng chữ khác. Ví dụ: 푖 푖 = 푗 푗 = 1 1 + 2 2 + 3 3 Tensor đối xứng 4
  10. Xét hệ thống hạng hai 푒푖푗 Nếu đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của tensor không thay đổi dấu giá trị thì tensor 푒푖푗 gọi là đối xứng. 푒푖푗 = 푒푗푖 Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của tensor chỉ thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống 푒푖푗 là phản đối xứng. 푒푖푗 = −푒푗푖 Ví dụ ký hiệu Kronecker: 1 , nếu 푖 = 푗 훿푖푗 = { là tensor đối xứng 0 , nếu 푖 ≠ 푗 Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Tensor đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau. Ví dụ: Nếu tensor 푖푗 đối xứng theo 2 chỉ số ( i,j ) thì 푖푗 = 푖푗 . Tensor Levi-Civita là một tensor phản đối xứng hạng 3 0, khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau 푒푖푗 = { 1, khi 푖, 푗, là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3. −1, khi 푖, 푗, là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3 Cụ thể: 푒123 = 푒231 = 푒312 = 1 푒132 = 푒213 = 푒321 = −1 Các thành phần còn lại của 푒푖푗 = 0. 5
  11. 1.1.2. Kí hiệu Christoffel Trong tọa độ Đề Các, các véctơ cơ sở ei là hằng số và do đó đạo hàm tương ứng của nó trong hệ tọa độ này triệt tiêu. Trong hệ tọa độ tổng quát, các i véctơ cơ sở ei và e lại là hàm của các tọa độ trong hệ cơ sở này. Việc tính đạo hàm của các tenxơ trong hệ tọa độ tổng quát có thể thực hiện bằng cách khảo sát đạo hàm của các véctơ cơ sở. Trước tiên ta khảo sát đạo hàm của véctơ cơ sở ei của hệ tọa độ Đề Các trong hệ tọa độ tổng quát có các véctơ cơ sở ui. 휕풆 Đạo hàm này được biểu diễn dưới dạng 푖 , đó là một tổ hợp tuyến tính của 휕풖푗 véctơ cơ sở ek , k = 1,2,3 và biến đổi như một véctơ. Nếu ta dùng  푖푗 để kí hiệu cho hệ số trong trường hợp này Ta có: 휕푒 푖 = 푒 (1.1) 휕 푗 푖푗 휕푒 Hệ số là thành phần thứ k của véctơ 푖 . 푖푗 휕 푗 Ta sử dụng hệ thức của các véctơ cơ sở: i 푖 k e .ej = 훿푗 , nhân hai vế của (1.1) với e ta đưa ra dạng của 푖푗 là: 휕푒 = ek. 푖 (1.2) 푖푗 휕 푗 i 푖 Sử dụng hệ thức e .ej = 훿푗 và biểu thức (1.2), chúng ta có thể đưa ra dạng của 푖푗 với đạo hàm của véctơ cơ sở phản biến, thật vậy: Ta có: 6
  12. 푖 푒 푒푖 = 3 (*) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (*) theo véctơ cơ sở của hệ tọa độ tổng quát: 휕푒 휕푒푖 푒푖 푖 + 푒 = 0 휕 푗 푖 휕 푗 Sử dụng công thức (1.1), ta có: 휕푒푖 푒 = −푒푖  푒 ( ) 푖 휕 푗 푖푗 푖 푖 푖 Mặt khác, 푒 푒 = 훿 , nên nhân hai vế của ( ) với 푒 ta có dạng đạo hàm của véctơ phản biến. 휕푒푖 = − 푖 푒 (1.3) 휕 푗 푗 Kí hiệu 푖푗 gọi là kí hiệu Christoffel và như đã chứng minh ở trên trước kí hiệu Christoffel mang dấu ngược nhau khi tính đạo hàm cho véctơ hiệp biến và véctơ phản biến. Rõ ràng từ (1.2) thấy trong hệ tọa độ Đề Các kí hiệu Christoffel 푖푗 = 0 với mọi giá trị của các chỉ số i, j và k. 1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ 1.2.1. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát. Để có biểu thức cho 푖푗 ta sử dụng 𝑔푖푗 = 푒푖. 푒푗 và lấy đạo hàm: 휕𝑔 휕푒 휕푒 푖푗 = 푖 푒 + 푒 푗 휕 휕 푗 푖 휕 푙 푙 = 푖 푒푙. 푒푗 + 푒푖 푗 푒푙 푙 푙 = 푖 𝑔푙푗 + 푗 𝑔푖푙 (1.4) 7
  13. Ta sử dụng định nghĩa (1.1) rồi bằng cách hoán vị chỉ số dưới 푖, 푗, trong (1.4) ta được: 휕𝑔푗 푙 푙 =  𝑔 + 𝑔 휕 푖 푗푖 푙 푖 푗푙 (1.5) 휕𝑔 Và 푖 = 푙 𝑔 + 푙 𝑔 (1.6) 휕 푗 푗 푙푖 푖푗 푙 Nếu ta cộng (1.5) và (1.6) rồi trừ cho (1.4) ta được: 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 푗 + 푖 − 푖푗 = 푙 𝑔 + 푙 𝑔 + 푙 𝑔 + 푙 𝑔 − 푙 𝑔 − 휕 푖 휕 푗 휕 푗푖 푙 푖 푗푙 푗 푙푖 푖푗 푙 푖 푙푗 푙 푗 𝑔푖푙 푙 Ở đây ta sử dụng tính chất đối xứng của 푖푗 và 𝑔푖푗. Kết hợp với 𝑔 ta được tính chất của kí hiệu Christoffel trong số hạng của ten xo metric và đạo hàm: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 = 𝑔 ( 푗 + 푖 − 푖푗) (1.7) 푖푗 2 휕 푖 휕 푗 휕 1.2.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ Hệ tọa độ trụ là hệ tọa độ quen thuộc khi nghiên cứu các hệ vật lý trong không gian cong tổng quát. Tính cong của không gian thể hiện ở các thành phần của kí hiệu Christoffel. Sau đây, chúng ta sẽ tìm các thành phần của kí hiệu Christoffel trong tọa độ trụ Ta sử dụng (1.1) hoặc (1.7) tính 푖푗 trong hệ tọa độ trụ 1 2 3 Trong tọa độ trụ ( , , ) = (휌, 훷, ), với véctơ cơ sở 푒푖 Ta thấy rẳng đạo hàm của véctơ đối với tọa độ tương ứng là ≠ 0 휕푒 1 휕푒 1 휕푒 휌 = 푒 ; 훷 = 푒 ; 훷 = −휌푒 (1a) 휕훷 휌 훷 휕휌 휌 훷 휕훷 휌 1 Từ (1.1) có: 2 = 2 = và 1 = −휌 12 21 휌 22 Hơn nữa từ (1.7) ta thấy rằng: 2 𝑔11 = 1, 𝑔22 = 휌 , 𝑔33 = 1 8
  14. 2 2 Lúc này kí hiệu Christoffel được viết như sau:  12 = 21 1 Và 22 cho bởi: 2 2 1 휕𝑔22 1 휕 2 1 12 = 21 = 푙 = 2 (휌 ) = 2𝑔22 휕 2휌 휕휌 휌 Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu. 1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel. 1.3.1. Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel loại 2 Kí hiệu Christoffel loại 1: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 1 Γ = ( 푖 + 푖푗 − 푗 ) = (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) 푖푗 2 휕 푗 휕 휕 푖 2 푖 ,푗 푖푗, 푗 ,푖 Ở đây, kí hiệu dấu phẩy cho phép tính đạo hàm thông thường Kí hiệu Christoffel loại 2: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 1 Γ = 𝑔 ( 푖 + 푗 − 푖푗) = 𝑔 (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) 푖푗 2 휕 푗 휕 푖 휕 2 푖 ,푗 푗 ,푖 푖푗, Mối liên hệ giữa kí hiệu Christofell loại 1 và loại 2 được viết thông qua ten xơ metric: Γ = 𝑔 푖푗 푖푗 풌 1.3.2. Kí hiệu Christoffel 풊풋 đối xứng với các chỉ số i, j 푖푗 = 푗푖 Trước hết, từ phép biến đổi: 휕푒 휕2 휕2 휕푒 푖 = = = 푗 휕 푗 휕 푗휕 푖 휕 푖휕 푗 휕 푖 Lại có: 푖푗. 푒 = 푗푖푒 . 푙 푙 푙 Nhân vô hướng với 푒 sau đó sử dụng mối quan hệ tương hỗ: 푒 . 푒 = 훿 9
  15. 푙 푙 Ta có:  푖푗 = 푗푖 풌 1.3.2. Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel 풊풋 trong hệ tọa độ tổng quát. Trong một hệ tọa độ mới: 휕푒′ ′ = 푒′ . 푖 , 푖푗 휕 ′푗 Trong hệ tọa độ cũ (không có dấu phẩy) và hệ tọa độ mới (có dấu phẩy) các véctơ hiệp biến và phản biến liên hệ với nhau bằng các hệ thức sau: 휕 ′ 휕 푙 푒′ = 푒푛 và 푒′ = 푒 휕 푛 푖 휕 ′푖 푙 ′ Do đó trong hệ tọa độ mới, đại lượng 푖푗 biến đổi theo qui luật sau: 휕 ′ 휕 휕 푙 ′ = 푒푛. ( 푒 ) 푖푗 휕 푛 휕 ′푗 휕 ′푖 푙 휕 ′ 휕2 푙 휕 푙 휕푒 = 푒푛. ( 푒 + 푙 ) 휕 푛 휕 ′푗휕 ′푖. 푙 휕 ′푖 휕 ′푗 휕 ′ 휕2 푙 휕 ′ 휕 푙 휕 휕푒 = 푒푛. 푒 + 푒푛 푙 휕 푛 휕 ′푗휕 ′푖. 푙 휕 푛 휕 ′푖 휕 ′푗 휕 휕 ′ 휕2 푙 휕 ′ 휕 푙 휕 = + 푛 (1.8) 휕 푙 휕 ′푗휕 ′푖. 휕 푛 휕 ′푖 휕 ′푗 푙 Đây chính là phép biến đổi của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ tổng quát. 1.3.3. Kí hiệu Christoffer không phải là tenxơ bậc ba. Phép biến đổi của các loại Tenxơ được đưa ra như sau: Một Tenxo tổng quát hạng (k,l) là Tenxo gồm k thành phần phản biến và l thành phần hiệp biến với quy luật biến đổi tổng quát như sau: ′휇 1 휇 = 훬휇1 훬휇 훬훼1 훬훼푙 훽1 훽 푣1 푣푙 훽1 훽 푣1 푣푙 훼1 훼푙 휈 휕 휈 Trong đó: (Λ ) = 휇 휕 ′휇 10
  16. So sánh với kết quả từ (1.1) và sự hiện diện của số hạng đầu ở vế phải, ta kết luận ngay rằng  푖푗 không biến đổi như Tenxo bậc 3. Trong hệ tọa độ tổng quát, về nguyên tắc chúng ta có thể tính toán nhanh bằng cách sử dụng (1.2) hơn là sử dụng biểu thức khác. Với kí hiệu Christoffel trong số hạng của tenxo metric 𝑔푖푗và đạo hàm của nó với các tọa độ tương ứng. 1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel. Từ Tenxơ Đề Các, ta thấy đạo hàm của 1 vô hướng (hiệp biến) là 1 véctơ. Ta có thể biểu diễn bằng cách xét đạo hàm (vi phân) của 1 vô hướng: 휕휑 = 푖 휕 푖 Do 푖 là thành phần của 1 vectơ phản biến và là 1 vô hướng. 휕휑 Nên ta thấy rằng đại lượng là thành phần của 1 véctơ hiệp biến. 휕 푖 Giả sử thành phần phản biến trong tọa độ Đề Các của 1 vectơ 푣 là 푣푖 thì 휕푣푖 trong tọa độ Đề Các đại lượng là thành phần của Tenxơ bậc 2. Tuy nhiên 휕 푖 để đơn giản ta thấy rằng trong tọa độ Đề Các đạo hàm của các thành phần trong 1 Tenxơ chung khác với vô hướng trong tọa độ không gian so với các thành phần Tenxơ khác. 휕푣푖 Thấy rằng trong tọa độ tổng quát, đại lượng không được tạo ra từ các 휕 푗 thành phần của 1 Tenxơ. Lúc này, ta có thể biểu diễn trực tiếp: ′ 휕푣푖 휕푣′푖 휕 . 휕푣′푖 ( ) = = 휕 푗 휕 ′푗 휕 ′푗. 휕 휕 휕 휕 ′푖 = ( 푣푙) 휕 ′푗 휕 휕 푙 11
  17. 휕 휕 ′푖 휕푣푙 휕 휕2 ′푖 = + 푣푙 (1.9) 휕 ′푗 휕 푙 휕 휕 ′푗 휕 .휕 푙 휕푣푖 Từ biểu thức (1.9) ta thấy rằng không được tạo ra từ các thành phần của 휕 푖 Tenxơ bậc hai 휕 ′푖 Các số hạng này là do biến đổi ma trận [ ] bằng cách thay đổi vị trí trong 휕 푗 không gian. 휕푣푖 Và là Tenxơ bậc 2. 휕 푖 Tuy nhiên ta có thể sử dụng kí hiệu Christoffel ở phần trước để xác định đạo hàm hiệp biến mới của thành phần véctơ mà không làm thay đổi thành phần của Tenxơ khác. Trước tiên ta xét đạo hàm của véctơ đối với các tọa độ: 푖 푣 = 푣 푒푖 휕푣 휕푣푖 휕푒 Ta thấy: = 푒푖 + 푣푖 푖 (1.10) 휕 푗 휕 푗 휕 푗 Trong số hạng thứ 2 ta thấy vec tơ cơ sở 푒푖không thay đổi Sử dụng (1.1) ta viết lại: 푖 휕푣 휕푣 = 푒푖 + 푣푖  푒 휕 푗 휕 푗 푖푗 푖 Với 푖 và là hệ số đánh giá trong số hạng cuối. Khi đó, ta có thể thay đổi: 휕푣 휕푣푖 = 푒푖 + 푣푖 푒 휕 푗 휕 푗 푖푗 푖 휕푣푖 = ( + 푣 ) 푒 (1.11) 휕 푗 푖푗 푖 Do việc thay đổi chỉ số giả như trong (1.11), ta có hệ số khác: 푒푖 Đại lượng trong dấu ngoặc người ta gọi là “Đạo hàm hiệp biến”. 12
  18. 푖 휕푣 푖 Kí hiệu: 푣푖 = +  푣 (1.12) nó biểu thị vi phân hiệp biến. 푖푗 휕 푗 푗 Tương tự, kí hiệu này cũng được sử dụng vào đạo hàm riêng còn dấu phẩy (,) được sử dụng thay thế cho dấu chấm phẩy(;). 휕푣푖 Ví dụ: được kí hiệu 푣푖 휕 푗 ,푗 푖 Trong tọa độ Đề Các các 푗 = 0 và đạo hàm hiệp biến không thể phân 휕푣푖 tích thành từng phần của đạo hàm . 휕 푗 Lúc này ta sử dụng dấu chấm phẩy (;) để viết tắt, khi đó đạo hàm của 1 véctơ có thể viết rút gọn: 휕푣 = 푣푖 휕 푗 ;푗푒푖 푖 Từ đây dễ thấy 푣;푗 là tenxo hỗn hợp của các thành phần tenxơ bậc hai. Điều 휕푣푖 này có thể chứng minh trực tiếp khi sử dụng những tính chất biến đổi của 휕 푗 푖 và 푗. 푖 Nếu như ta coi 푣;푗 như một thành phần hỗn hợp của tenxơ bậc hai thì được gọi là đạo hàm hiệp biến của 푣 và kí hiệu: Dμ푣. 휕푣푖 Trong tọa độ Đềcác thành phần của tenxo là: 휕 푗 푖 Ví dụ: Tính 푣;푗 trong tọa độ trụ. 푖 휕푣 푖 Từ (1.12) ta được: 푣푖 = +  푣 ;푗 휕 푖 푖 1 Từ (1a) ta có: 푖 = 1 = 2 = 3 = 1푖 11 12 13 휌 푖 1 2 3 2푖 = 21 = 22 = 23 = 0 푖 1 2 3 3푖 = 31 = 32 = 33 = 0 13
  19. 휕푣휌 휕푣∅ 휕푣 1 Và: 푣푖 = + + + 푣휌 ;푗 휕휌 휕∅ 휕 휌 1 휕 휕푣∅ 휕푣 = (휌푣휌) + + 휌 휕휌 휕∅ 휕 Từ đây, ta có thể xét đạo hàm hiệp biến của thành phần hiệp biến 푣푖. Các kết quả này ứng với thành phần hiệp biến 푣푖có thể tìm thấy bằng việc đạo hàm 푖 của 푣 = 푣푖. 푒 ta được: 휕푣푖 푣 = −  푣 (1.13) 푖;푗 휕 푗 푖푗 Sử dụng (1.12) và (1.13) ta thấy đạo hàm hiệp biến và các thành phần hiệp biến của một véctơ tương ứng có một số điểm tương đồng và khác biệt. Nó giúp ta nhớ đến các chỉ số liên quan đến đạo hàm hiệp biến. Tương tự ta có biểu thức đạo hàm hiệp biến của Tenxơ bậc hai. Bằng việc xét đạo hàm của Tenxơ bậc hai ta được: 휕 휕 푖푗 = ( 푒  푒 ) 휕 휕 푖 푗 휕 푖푗 휕푒 휕푒 = 푒 푒 + 푖푗 푖 푒 + 푖푗푒 푖 휕 푖 푗 휕 푗 푖 휕 Sử dụng (1.1) ta có thể viết đạo hàm của véctơ cơ sở trong kí hiệu Christoffel: 푖푗 휕 휕 푙 푙 = 푒 푒 + 푖푗  푒 푒 + 푖푗푒 푒 휕 휕 푖 푗 푖 푖 푗 푖 푗 푙 푖푗 푙 푖푗 푙 Thay đổi chỉ số giả i và l trong 푖 푒푖 푒푗 và j và l trong 푒푖 푗 푒푙 ta được: 휕 휕 푖푗 = ( + 푖 푙푗 + 푖 푖푙) 푒 푒 휕 휕 푙 푙 푖 푗 Biểu thức trong dấu ngoặc đơn là đạo hàm hiệp biến: 푖푗 휕 푖푗 = + 푖 푙푗 + 푖 푖푙 (1.14) ; 휕 푙 푙 14
  20. Hơn nữa, đạo hàm của Tenxơ T có thể viết dưới dạng các thành phần phản biến bằng cách sử dụng (1.14) 휕 푖푗 = 푒  푒 휕 ; 푖 푗 Kết quả này tương tự (1.14) thì ta thu được đạo hàm hiệp biến của Tenxơ bậc hai. Kết hợp các kết quả ta thu được: 푖푗 푖푗 푖 푙푗 푗 푖푙 ; = , +  푙 + 푙 푖푗 푖 푖 푙 푙 푖 ; = 푗, + 푙 푗 − 푖 푙 푙 푙 푖푗; = 푖푗, − 푖 푙푗 − 푗 푖푙 Chúng ta sử dụng dấu phẩy cho hàm riêng. 푖푗 푖 푖푗 Lưu ý: Đại lương ; , 푗; và 푖푗; là thành phần của tenxo bậc ba Dμ với các hệ véctơ cơ sở khác nhau 푖푗 푖푗 푖 푗 푖 푗 Dμ = ; 푒푖 푒푗 푒 = 푗; 푒푖 푒 푒 = 푖푗; 푒 푒 푒 Đạo hàm hiệp biến của vectơ cơ sở là: 휕푒 푖 = 푒 = 휕 푗 푖,푗 ,푖푗 Ta biểu thị 푒푖,푗 qua các véctơ cơ sở như sau : 푠 푠 푒푖,푗 = Γ푖푗푒 = Γ푖푗푠푒 = Γ푖푗푠푒 푒 (1.15) Vậy : Γ푖푗 = Γ푖푗 𝑔 . (1.16) Các đại lượng Γ푖푗, Γ푖푗푠 là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2. Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ cơ sở. 1 2 3 Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với hệ véctơ cơ sở (푒⃗1, 푒⃗2, 푒⃗3) Ta có: 15
  21. 1 1 푒⃗ = [푒⃗2 × 푒⃗3] = 푒⃗1 √푒 2 Trong đó √푒 = 푒⃗1. [푒⃗2 × 푒⃗3] = 푒⃗1 = |푒⃗1| = 1 휕 ⃗⃗ 휕 ⃗⃗ 휕 휕 푒⃗ = = = 𝑔⃗ . 푖 휕 푖 휕 휕 푖 휕 푖 Xét 휕 1 휕 2 휕 3 푒⃗ = 𝑔⃗ + 𝑔⃗ + 𝑔⃗ 1 휕 1 1 휕 1 2 휕 1 3 = 훼𝑔⃗1 + 훽𝑔⃗2 + 훾𝑔⃗3 (1.17) 2 3 Nhân 2 vế của (1.41) với 𝑔⃗1. Do hệ cong trực giao nên 𝑔⃗1. 𝑔⃗ = 𝑔⃗1. 𝑔⃗ = 0, nên 1 𝑔⃗1푒⃗1 = 훼𝑔⃗ 𝑔⃗1 = 훼 Suy ra: 휕푅⃗⃗ 훼 = 𝑔⃗ 푒⃗ = 푒⃗ 1 1 휕 1 1 휕푅⃗⃗ 휕 1 휕푅⃗⃗ 휕 2 휕푅⃗⃗ 휕 3 = ( ∙ + ∙ + ∙ ) 푒⃗ 휕 1 휕 1 휕 2 휕 1 휕 3 휕 1 1 휕 1 휕 2 휕 3 = ( 푒⃗ + 푒⃗ + 푒⃗ ) 푒⃗ 휕 1 1 휕 1 2 휕 1 3 1 휕 1 휕 1 = 푒⃗ 2 = , 휕 1 1 휕 1 Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với 𝑔⃗2, 𝑔⃗3 sẽ thu được 휕 1 훽 = 𝑔⃗ . 푒⃗ = , 2 1 휕 2 휕 1 훾 = 𝑔⃗ . 푒⃗ = . 3 1 휕 3 Suy ra: 휕 1 휕 1 휕 1 푒⃗ = 𝑔⃗1 + 𝑔⃗2 + 𝑔⃗3 ∙ 1 휕 1 휕 2 휕 3 16
  22. Công thức tổng quát là 휕 휕 푖 푒⃗ = 𝑔⃗ = 𝑔⃗푠 = 푒⃗푖 (1.18) 푖 휕 푖 휕 푠 Suy ra 휕 푗 휕 푗 𝑔⃗ = 푒⃗ , 𝑔⃗푗 = 푒⃗푖 . (1.19) 푖 휕 푖 푗 휕 푖 푗 Đạo hàm 𝑔⃗푖 theo biến 휕𝑔⃗ 휕2 𝑔⃗ = 푖 = 푒⃗ (1.20) 푖,푗 휕 푗 휕 푖휕 푗 휕 Ta thay 푒⃗ = ∙ 𝑔⃗푠 từ (1.4.11) vào (1.4.13) 휕 푠 휕2 휕 𝑔⃗ = ∙ ∙ 𝑔⃗푠 (1.21) 푖,푗 휕 푖휕 푗 휕 푠 Ta đi xác định các thành phần của kí hiệu Christoffel thông qua Tenxơ metric và véctơ cơ sở. 푠 Theo biểu thức (1.15): 𝑔⃗푖,푗 = Γ푖푗푠𝑔⃗ Ta đồng nhất (1.21) và (1.15) rút ra được: 휕2 휕 Γ = ∙ . (1.22) 푖푗푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 a. Xác định biểu thức Γ푖푗푠 quaTenxơ metric 𝑔푖푗 . 휕 휕 휕 휕 Ta có: 𝑔 = ∙ nên 𝑔 = ∙ . 푖푗 휕 푖 휕 푗 푖푠 휕 푖 휕 푠 Suy ra: 휕 휕 휕 휕2 휕 휕2 휕 𝑔 = ( ∙ ) = ∙ + ∙ 푖푠,푗 휕 푗 휕 푖 휕 푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 휕 푗휕 푠 휕 푖 Tương tự ta tính được : 휕 휕 휕 휕2 휕 휕2 휕 𝑔 = ( ∙ ) = ∙ + ∙ 푖푗,푠 휕 푠 휕 푖 휕 푗 휕 푖휕 푠 휕 푗 휕 푗휕 푠 휕 푖 휕 휕 휕 휕2 휕 휕2 휕 𝑔 = ( ∙ ) = ∙ + ∙ 푗푠,푖 휕 푖 휕 푗 휕 푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 휕 푖휕 푠 휕 푗 17
  23. Vậy có 휕2 휕 𝑔 + 𝑔 − 𝑔 = 2 ∙ = 2Γ 푖푠,푗 푗푠,푖 푖푗,푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 푖푗푠 Suy ra: 1 Γ = (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) . (1.23) 푖푗푠 2 푖푠,푗 푗푠,푖 푖푗,푠 Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức: 푖 푖 𝑔⃗ = 𝑔 𝑔⃗ suy ra 푖 푖 푖 𝑔⃗,푗 = 𝑔,푗 . 𝑔⃗ + 𝑔 . 𝑔⃗ ,푗 (1.24) 푠 푠 Trong đó: 𝑔⃗ = 𝑔 푠𝑔⃗ ; 𝑔⃗ ,푗 = Γ 푗푠. 𝑔⃗ (1.25) Thay (1.25) vào (1.24), (1.24) trở thành: 푖 푖 푠 푖 푠 𝑔⃗,푗 = 𝑔,푗 . 𝑔 푠𝑔⃗ + 𝑔 . Γ 푗푠. 𝑔⃗ 푠 푖 푖 = 𝑔⃗ (𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . Γ 푗푠) (1.26) 푖 푖 푖 푖 푖 푖 Xét tổng 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . Γ 푗푠 + Γ푗푠 = 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . Γ 푗푠 + 𝑔 Γ푗푠 푖 푖 = 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 (Γ 푗푠 + Γ푗푠 ) (1.27) Với: 휕2 휕 휕2 휕 Γ + Γ = ∙ + ∙ 푗푠 푗푠 휕 휕 푗 휕 푠 휕 푗휕 푠 휕 휕 휕 휕 휕 휕 휕 = ( ) ∙ + ( ) ∙ 휕 푗 휕 휕 푠 휕 푗 휕 푠 휕 휕 휕 휕 휕 = ( ∙ ) = (𝑔 ) = 𝑔 . (1.28) 휕 푗 휕 휕 푠 휕 푗 푠 푠,푗 Thay (1.4.21) vào (1.4.20) cho kết quả 푖 푖 푖 푖 푖 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . Γ 푗푠 + Γ푗푠 = 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . 𝑔 푠,푗 = (𝑔푖 . 𝑔 ) = (𝑔푖 ) . 푠 ,푗 푠 ,푗 Lại có: 18
  24. 0 (푖 ≠ 푠) 𝑔푖 . 𝑔 = 훿푖 = { 푠 푠 1 (푖 = 푠) ⇒ (𝑔푖 ) = 0. 푠 ,푗 푖 푖 푖 Vậy 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . Γ 푗푠 + Γ푗푠 = 0 푖 푖 푖 Hay: −Γ푗푠 = 𝑔,푗 . 𝑔 푠 + 𝑔 . Γ 푗푠 (1.29) Thay (1.29) vào (1.26) ta nhận được: 푖 푠 푖 𝑔⃗,푗 = −𝑔⃗ Γ푗푠 (1.30) Biểu thức (1.30) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản biến. b. Biểu thức liên hệ giữa các thành phần 횪 và đạo hàm của véctơ cơ sở Do ta đã xác định được biểu thức 휕2 휕 𝑔⃗ = ∙ 푒⃗ = 𝑔⃗ ; 𝑔⃗ = ∙ 푒⃗ 푖,푗 휕 푖휕 푗 푗,푖 푠 휕 푠 휕2 휕 휕2 휕 ⇒ 𝑔⃗ . 𝑔⃗ = ∙ ∙ 푒⃗ ∙ 푒⃗ = ∙ 푖,푗 푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 = Γ푖푗푠 = Γ푗푖푠 . Để xét 𝑔⃗푖,푗. 𝑔⃗ ta thay 𝑔⃗푖,푗 ở biểu thức (1.21) vào tích 𝑔⃗ . 𝑔⃗푖,푗 sẽ có 휕2 휕 휕2 휕 𝑔⃗ . 𝑔⃗ = 𝑔⃗ ∙ 𝑔⃗푠 = (𝑔⃗ . 𝑔⃗푠) ( ∙ ) 푖,푗 휕 푖휕 푗 휕 푠 휕 푖휕 푗 휕 푠 푠 = 𝑔 . Γ푖푗푠 = Γ푖푗 = Γ푗푖 . 휕2 휕 휕2 휕 휕 휕 휕 Γ + Γ = ∙ + ∙ = ( ∙ ) 푖푠푗 푗푠푖 휕 푖휕 푠 휕 푗 휕 푗휕 푠 휕 푖 휕 푠 휕 푖 휕 푗 휕 = (𝑔 ) = 𝑔 . 휕 푠 푖푗 푖푗,푠 Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau: 19
  25. Γ푖푗푠 = Γ푗푖푠 = 𝑔⃗푖,푗. 𝑔⃗푠 = 𝑔⃗푗,푖. 𝑔⃗푠 , Γ푖푗 = Γ푗푖 = 𝑔⃗ . 𝑔⃗푖,푗 = 𝑔⃗ . 𝑔⃗푗,푖 , (1.31) Γ푖푠푗 + Γ푗푠푖 = 𝑔푖푗,푠 . 푖 푖 Trong hệ tọa độ Đề Các vuông góc các véctơ cơ sở 푒⃗푖 không đổi, ≡ Suy ra: 휕2 휕 ∙ = 0 휕 푖휕 푗 휕 푠 Hay Γ푖푗푠 = 0. (∀푖, 푗, 푠) (1.32) Trong hệ tọa độ cong trực giao, với 푖 ≠ 푗 ≠ 푠 thì 𝑔⃗푖 ⊥ 𝑔⃗푗 ⊥ 𝑔⃗푠 Suy ra 𝑔푖푗 = 𝑔푗푠 = 𝑔푖푠 = 0 (푖 ≠ 푗 ≠ 푠). Thay vào công thức (1.23) suy ra: Γ푖푗푠 = 0 (푖 ≠ 푗 ≠ 푠 ≠ 푖) (1.33) 푠 Thay Γ푖푗푠 = 0 vào biểu thức (1.16) suy ra Γ푖푗 = 0. (푖 ≠ 푗 ≠ 푠 ≠ 푖) Sử dụng biểu thức (1.23) tính được các hạng tử 1 1 Γ = (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) = (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) 푖푖푠 2 푖푠,푗 푗푠,푖 푖푗,푠 2 푖푠,푗 푖푠,푖 푖푖,푠 1 = − 𝑔 ( 𝑔 = 0), 2 푖푖,푠 푖푠 1 Γ푠 = Γ . 𝑔 푠 = Γ . 𝑔푠푠 = − 𝑔 . 𝑔푠푠 푖푖 푖푖 푖푖푠 2 푖푖,푠 1 = − 𝑔푖푖,푠 , ( ≠ 푖) 2𝑔푠푠 1 1 Γ = (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) = 𝑔 , (1.34) 푖푠푖 2 푖푖,푠 푠푖,푖 푖푠,푖 2 푖푖,푠 1 1 Γ = (𝑔 + 𝑔 − 𝑔 ) = 𝑔 , 푠푖푖 2 푠푖,푖 푖푖,푠 푖푠,푖 2 푖푖,푠 푖 푖푠 푖푖 1 1 1 Γ푖푠 = Γ푖 푠. 𝑔 = Γ푖 푖. 𝑔 = 𝑔푖푖, ∙ = ∙ 𝑔푖푖, , 2 𝑔푖푖 2𝑔푖푖 푖 푖 푖푖 1 1 1 Γ푠푖 = Γ푠푖 . 𝑔 = Γ푠푖푖. 𝑔 = 𝑔푖푖,푠 ∙ = ∙ 𝑔푖푖,푠 . 2 𝑔푖푖 2𝑔푖푖 20
  26. 1.5 Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxơ. Trong phần trước ta đã sử dụng phương pháp tính véctơ để tìm biểu thức của toán tử véctơ, chẳng hạn như: grad, div, curl và laplce trong toạ độ cong trực giao nói chung hay tọa độ trụ, tọa độ cầu ở các ví dụ đã biết. Trong phần này ta sẽ sử dụng hệ qui chiếu của Tenxơ chung, mà chúng ta có thể khai triển được ở dạng Tenxơ. Các biểu thức này áp dụng cho tất cả các loại tọa độ cho dù là trực giao hay không . Để so sánh các kết quả thu được với những kết quả phần trước ta chọn hệ tọa độ trực giao. 휕 푖 푖 푒푖 = hoặc 푒 = ∇ 휕 푖 푖 Do đó các thành phần của 1 véctơ: 푣 = 푣 푒푖 không giống với các thành phần 푖 푣 của véctơ cơ sở đơn vị tương ứng 푒푖. 푖 푖 푣̂ Trong thực tế, nếu các hệ số trong hệ tọa độ là: ℎ푖 có i= 1,2,3 và 푣 = ℎ푖 Đới với hệ tọa độ trực giao với ℎ푖 ta có: 2 𝑔푖푗 = ℎ푖 푛ế 푖 = 푗 0 nếu i≠ 푗 Và 1 𝑔푖푗 = 2 nếu i=j ℎ푖 0 nếu i≠ 푗 2 2 2 Với xác định g của ma trận [𝑔푖푗] cho bởi 𝑔 = ℎ1ℎ2ℎ3 Grad: 휕훷 Gradien: 훷 푒푖 = 푒푖 (1.35) ;푖 휕 푖 Đạo hàm hiệp biến của vô hướng cũng giống như đạo hàm riêng của nó. 21
  27. Div: Thay các đạo hàm riêng trong tọa độ ĐêCác bằng các đạo hàm hiệp biến, thì Div của 1 véctơ trong hệ tọa độ chung được xác định bởi: 푖 휕푣 푖 ∇푣 = 푣푖 = +  푣 ;푖 휕 푖 푖 Từ biểu thức (1.7), kí hiệu Christoffel trong số hạng của Tenxơ Metric ta có: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 1 휕𝑔 푖 = 𝑔푖푙 ( 푖푙 + 푙 + 푖) = 𝑔푖푙 푖푙 (1.36) 푖 2 푖 푙 2 Hai số hạng này cuối cùng cũng bị triệt tiêu vì: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 𝑔푖푙 푙 = 𝑔푙푖 푖 = 𝑔푖푙 푖 2 푖 푙 푙 Ở đây đẳng thức đầu tiên có thể thay đổi chỉ số i và l, còn trong biểu thức 2 sử dụng tính đối xứng của Tenxơ metric. Ta có thể đơn giản hóa biểu thức (1.36) bằng cách sử dụng kết quả có liên quan đến đạo hàm của 1 ma trận mà các phần tử là hàm của tọa độ. Ví dụ: Chứng minh 푖푗 −1 Giả sử: = [ 푖푗] ; = [ ] và = Giải: Bằng cách xét = | |, ta thấy rằng: 휕 휕 푖푗 = 푖푗 휕 휕 푖푗 Nếu ta chỉ rõ các yếu tố của thành phần 푖푗 bằng ∆ là thành phần của Tenxơ metric cho bởi: 1 푖푗 = ∆푗푖 (1.37) 푖푗 Với = ∑푗 푖푗 ∆ Ở đây ta đã cố định i và viết tổng của j là tường minh và rõ ràng Lấy vi phân của 2 vế với 푖푗 ta được: 22
  28. 휕 = ∆푖푗 (1.38) 휕 푖푗 푖푗 Trong đó 푖푗 không là trường hợp trong của ∆ Bây giờ, nếu 푖푗 phụ thuộc vào hệ tọa độ và xác định a bằng chuỗi qui tắc thì ta có: 휕 휕 휕 푖푗 푖푗 휕 푖푗 푗푖 휕 푖푗 = = ∆ = (1.39) 휕 휕 푖푗 휕 휕 휕 푖 푖 Áp dụng kết quả (1.39) cho thành phần 𝑔 của tenxo metric và 𝑔 . 𝑔 푗 = 훿푗 và tính đối xứng của 𝑔푖푗 có: 휕𝑔 휕𝑔 = 𝑔. 𝑔푖푗 푖푗 (1.40) 휕 휕 Thay (1.40) vào (1.36) ta thấy rằng biểu thức của kí hiệu Christoffel có thể đơn giản hóa: 푖 1 휕𝑔 1 휕√𝑔  = = 푖 2𝑔 휕 √𝑔 휕 Cuối cùng ta được biểu thức Div của trường véctơ trong hệ tọa độ chung. 푖 1 휕 푗 ∇. 푣 = 푣;푖 = (√𝑔 푣 ) (1.41) √𝑔 휕 푗 Laplacian: Nếu ta thay 푣 bằng ∇훷 trong ∇푣 ta được ∇2훷 Từ (1.35) có: 휕훷 푣 푒푖 = 푣 = ∇훷 = 푒푖 푖 휕 푖 휕훷 Và thành phần hiệp biến của 푣 cho bởi 푣 = 푖 휕 푖 Trong (1.41) ta có thành phần phản biến 푣푖. Ta có thể thu được bằng cách sử dụng Tenxơ metric. 휕훷 푣푗 = 𝑔푖 푣 = 𝑔푗 휕 23
  29. Thay vào (1.41) ta được : 1 휕 휕훷 ∇2Φ = (√𝑔. 𝑔푗 ) (1.42) √𝑔 휕 푗 휕 2 Sử dụng (1.42) để diễn tả ∇ φ trong hệ tọa độ trực giao với ℎ푖 ; 푖 = 1,2,3 푖푗 1 푖푗 Đối với 1 hệ trực giao √𝑔 = ℎ1ℎ2ℎ3 , hơn nữa 𝑔 = 2 nếu i=j và 𝑔 = 0 ℎ푖 nếu i,j khác nhau Tuy nhiên từ (1.42) có: 2 1 휕 ℎ1ℎ2ℎ3 휕훷 ∇ 훷 = 푗 ( 2 푗) ℎ1ℎ2ℎ3 휕 ℎ푗 휕 Curl : Các dạng véctơ của Curl của trường véctơ chỉ tồn tại trong 2 chiều. Vì vậy ta xét không gian 3 chiều: Trong 1 không gian chung curl 푣 được xác định bởi: ( 푙 푣)푖푗 = 푣푖;푗 − 푣푗;푖 Đây là 1 tenxo hiệp biến phản đối xứng. Trong thực tế, sự khác biệt của các đạo hàm có thể đơn giản từ: 휕푣푖 푙 휕푣푗 푙 푣 − 푣 = −  푣 − + 푣 푖;푗 푗;푖 휕 푗 푖푗 푙 휕 푖 푗푖 푙 휕푣 휕푣푗 = 푖 − 휕 푗 휕 푖 Ở đây kí hiệu Christoffel đã bị biến mất bởi tính chất đối xứng. Như vậy 푣 có thể viết trong đạo hàm từng phần: 휕푣 휕푣푗 ( 푙 푣) = 푖 − 푖푗 휕 푗 휕 푖 của tenxo bậc 2 với thành phần phản biến. 푖 1 푖푗 (∇ × 푣) = − 휀 ( 푙 푣)푗 2√𝑔 24
  30. 1 휕푣푗 휕푣 1 휕푣 = − 휀푖푗 ( − ) = 휀푖푗 2√𝑔 휕 휕 푗 √𝑔 휕 푗 Nó tương tự như biểu thức trong tọa độ Đề Các. 25
  31. CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÍ 2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel Trong phần trước ta đã giới thiệu cách lấy vi phân Tenxơ chung với các hệ tọa độ và giới thiệu đạo hàm hiệp biến. Ở phần này chúng ta đi tìm hiểu một số vấn đề khác là đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel thông qua một số ứng dụng trong việc nghiên cứu các hệ vật lý. Bài 1: Kí hiệu Christoffel viết ở dạng thứ nhất 푙 г푖푗 = 𝑔푖푙г푖 Chỉ ra mối liên hệ của các thành phần của kí hiệu Christoffel dạng thứ nhất với tensor metric phải có dạng sau: 1 휕𝑔 휕𝑔푗 휕𝑔푖푗 г = ( 푖 + − ) 푖푗 2 휕 푗 휕 푖 휕 Bằng cách hoán vị chỉ số, chỉ ra rằng: 휕𝑔푖푗 = г + г 휕 푖푗 푗푖 푙 푙 Sử dụng tính chất г푗 = г 푗, chứng tỏ rằng 𝑔푖푗, = 0 Tức là đạo hàm hiệp biến của tensor metric luôn bằng không trong mọi hệ tọa độ. Bài giải: Kí hiệu Christoffel viết ở dạng thứ hai liên hệ với tensor metric theo dạng sau: 1 휕𝑔푗 휕𝑔 휕𝑔푗 г푙 = 𝑔푙 ( + − ) 푗 2 휕 푗 휕 휕 Chuyển sang kí hiệu Christoffel viết ở dạng thứ nhất, ta có: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 Г = 𝑔 г푙 = 𝑔 𝑔푙 ( 푗 + − 푗 ) 푖푗 푖푙 푗 2 푖푙 휕 휕 푗 휕 26
  32. 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 = ( 푖푗 + 푖 − 푗) (1) 2 휕 휕 푗 휕 푖 Tương tự, ta có: 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 Г = 𝑔 г푙 = 𝑔 𝑔푙 ( 푗 + − 푖 ) 푗푖 푗푙 푖 2 푗푙 휕 휕 푖 휕 1 휕𝑔 휕𝑔 휕𝑔 = ( 푗푖 + 푗 − 푖) (2) 2 휕 휕 푖 휕 푗 Rõ ràng từ (1) và (2), ta được: 휕𝑔 푖푗 = Г + Г 휕 푖푗 푗푖 Đạo hàm hiệp biến của tensor metric là: 휕𝑔푖푗 𝑔 = ( − Г − Г ) 푒푖  푒푗 ≡ 0 푖푗; 휕 푖푗 푗푖 Đạo hàm hiệp biến của tensor metric luôn bằng không trong mọi hệ tọa độ. Bài 2: Hệ tọa độ cầu thường được sử dụng để nghiên cứu các hệ vật lý vì có các đặc tính tốt so với các hệ tọa độ khác. Hãy tính các đại lượng sau trong hệ tọa độ cầu. 1. Các thành phần của 𝑔푖푗 của tensor metric. 2. Các thành phần của ký hiệu Christoffel 3. Divergence của vector vận tốc của một vật chuyển động. Bài giải: 1. Trong hệ tọa độ cầu, các vector cơ sở được kí hiệu 푖 = ( , 휃, 휑). Vi phân dịch chuyển của đường đi được xác định bằng công thức: 푠⃗ = 푒⃗⃗⃗ ⃗ + 휃푒⃗⃗⃗⃗휃⃗ + sin 휃 휑푒⃗⃗⃗휑⃗⃗ Để xác định các thành phần của tenxơ metric, chúng ta sử dụng công thức: 27
  33. 2 푖 푗 2 2 2 2 2 2 푠 = 𝑔푖푗 = + 휃 + 푠푖푛 휃 휑 Từ đó, ta có các thành phần của tensor metric. 1 0 0 gr 002 ij 22 0 0r sin  2. Để tính các thành phần của ký hiệu Christoffel một cách đơn giản, chúng ta làm việc thông qua hệ tọa độ Đề các. Trong hệ tọa độ Đề các, bán kính vector để xác định vị trí của vật chuyển động là: ⃗⃗⃗ = sin 휃 cos 휑 푖⃗ + sin 휃 sin 휑푗⃗ + cos 휃 ⃗⃗⃗⃗ 휕 Chuyển sang hệ cơ sở mới 푒푖 = ,tương ứng ta có: 휕 푖 r e sin cos i sin  sin j cos  k 1 u1 r e2 2 rcos cos i r cos  sin j r sin  k u r e rsin sin i r sin  cos j 3 3 u Lấy đạo hàm theo các thành phần trong hệ tọa độ cầu ta có: e 1 0 u1 e1 2 cos cos i cos  sin j sin  k u e 1 sin sin ij sin  cos 3 u e 2 cos cos i cos  sin j sin  k u1 e2 2 rsin cos i r sin  sin j r cos  k u e 2 rcos sin i r cos  cos j 3 u 28
  34. e 3 sin sin ij sin  cos u1 e3 2 rcos sin i r cos  cos j u e 3 rsin cos i r sin  sin j 3 u Từ đó, các thành phần của ký hiệu Christoffel được tính theo công thức: 휕푒 г푖 = 푒 푖 푗 휕 푗 Kết quả là: 1 2 3 1 1      11 11 110; 12 21 sin cos  sin  cos  ; 2 2 2 2 3 3 12  21 r(cos sin );  12  21 0; 1 2 3 1 1 2 2 22 r; 22  22 0;     13 31 13 31 0; 1 1 2 2 3 3 2 23  32  32  23 0;   13 31 r sin ; 32  33 r sin cos 3. Để tính Divergence vận tốc của một vật chuyển động, ta sử dụng công thức: 1  .v vij ( g v ) ;i g u j Trong hệ tọa độ cầu, ta có: g r4sin 2 r 2 sin 1 2 vr v v Do đó, .v 2 2 r sin vr r cos v rrsin     Bài 3: Cho biết đạo hàm hiệp biến cấp hai là: 푣 = (푣 ) 푖;푗 푖;푗 ; Và tensor Riemann được định nghĩa như sau: 푙 푣푖;푗 − 푣푖; 푗 = 푅푖푗 푣푙 29
  35. Chứng minh rằng trong các hệ tọa độ tổng quát, các thành phần này được viết là: 푙 푙 휕  휕 푅푙 푣 = 푖 − 푖푗 + 푙 − 푙 푖푗 푙 휕 푗 휕 푖 푗 푖푗 Trong hệ tọa độ Đề các chỉ ra rằng tất cả các thành phần của tensor Riemann bằng không, và kết quả này đúng cho mọi không gian Euclide ba chiều. Bài giải: Sử dụng định nghĩa của đạo hàm hiệp biến, ta có: 푣푖;푗 = 푣푖,푗 − 푖푗 푣 Đạo hàm hiệp biến cấp hai là: (푣 ) = (푣 ) − 푙 푣 − 푙 푣 푖;푗 ; 푖;푗 , 푖 푙;푗 푗 푖;푙 푙 푙 = (푣푖;푗 − 푣 ) − (푣푙,푗 − 푣 ) − (푣푖,푗 − 푖푗 , 푖 푙푗 푗 푖푗 푣 ) (1) Tương tự: (푣 ) = (푣 ) − 푙 푣 − 푙 푣 푖; ;푗 푖; ,푗 푖푗 푙; 푗 푖;푙 = (푣 − 푣 ) − 푙 (푣 − 푣 ) − 푙 (푣 − 푖; 푖 ,푗 푖푗 푙, 푙 푗 푖,푙 푖푙 푣 ) (2) Từ (1) và (2), ta có: 푙 푙 휕 휕 푣 − 푣 = ( 푖 − 푖푗 + 푙 − 푙 ) 푣 = 푅푙 푣 푖;푗 푖; 푗 휕 푗 휕 푖 푗 푖푗 푙 푖푗 푙 Vậy tensor cong Riemann là: 푙 푙 휕 휕 푅푙 푣 = 푖 − 푖푗 + 푙 − 푙 푖푗 푙 휕 푗 휕 푖 푗 푖푗 30
  36. Trong hệ tọa độ đề các, tensor metric 𝑔푖푗 = 푖 𝑔(1,1,1), do đó các thành phần của kí hiệu Christoffel đều bằng không nên tất cả các thành phần của tensor Riemann đều bằng không. Kết quả này đúng cho mọi không gian Euclide ba chiều, vì các không gian này là phẳng và có tensor metric không đổi. 2.2. Phương trình trắc địa: Trong không gian 3 chiều, quỹ đạo chuyển động của một hạt được xác định từ nguyên lí tối thiểu. Trong không gian N chiều, quỹ đạo chuyển động của một hạt được xác định theo 2 phương pháp: sử dụng nguyên lí tác dụng tối thiểu và phép dịch chuyển song song của một véctơ. Phương trình mô tả tọa độ trong không gian N chiều phụ thuộc vào thời gian ta gọi là đường trắc địa. Trong phần này ta sẽ xây dựng phương trình trắc địa dựa vào phương pháp dịch chuyển song song của một véctơ. Như 1 ví dụ về việc sử dụng đạo hàm tuyệt đối – ta cũng tìm hiểu về phương trình trăc địa: Một trắc địa trong không gian 2 chiều là 1 đường thẳng, trong đó có 2 định nghĩa tương đương - Thứ nhất nó là đường cong ngắn giữa 2 điểm - Thứ hai nó là đường cong mà véctơ tiếp tuyến luôn luôn cùng hướng Mặc dù trong chương này ta xét đến không gian 3 chiều Có nhiều phương pháp toán học để phát triển không gian 3 chiều (thứ nguyên) trong đó những ý tưởng quen thuộc của hình học Euclide không còn giá trị, nó thường được dùng để tìm đường cong, phương trình trắc địa trong không gian bằng cách sử dụng các tính chất của phương trình đường thẳng trong không gian Euclide. 31
  37. Ta không những xét những không gian phức tạp mà còn xét phương trình trắc địa trong không gian 3 chiều Euclide Xét 1 đường cong r(s) và chọn bất kì 1 tiếp tuyến của 1 trắc địa ta thấy nó là véctơ 푡 = luôn luôn chỉ về 1 hướng 푠 푡 = 0 (2.1) 푠 Ngoài ra chúng ta khai thác các tính chất giữa 2 điểm của phương trình trắc địa và sử dụng cách tính toán của sự biến đổi ta thấy các kết quả như sau: 푖 Chúng ta giới thiệu hệ tọa độ tùy ý với vecto cơ sở 푒푖, 푖 = 1,2,3 có thể 푖 viết 푡 = 푡 푒푖 và từ (2.1) có: 푡 = 푡푖, 푒 = 0 푠 푡 푖 Viết từ đạo hàm hiệp biến, ta được: 푖 푡 푖 ( +  푡푗 ) 푒 = 0 푠 푗 푠 푖 푗 Nhưng từ 푡푗 = ta thấy nó thỏa mãn phương trình trắc địa: 푠 2 푖 푗 + 푖 = 0 (2.2) 푠2 푗 푠 푠 Ví dụ: Tìm phương trình trắc địa trong tọa độ trụ 1 Ta có: 1 = −휌 và 2 = 2 = 22 21 12 휌 Ta được phương trình trắc địa: 2 1 2 2 2휌 훷 2 + 1 = 0 → − 휌 ( ) = 0 푠2 22 푠 푠 푠2 푠 2 2 1 2 2훷 2 휌 훷 + 2 1 = 0 → + = 0 푠2 12 푠 푠 푠2 휌 푠 푠 2 3 2 = 0 → = 0 푠2 푠2 32
  38. Khảo sát đường cong trong không gian N chiều. Gọi s và s+ds là giá trị ứng 2 điểm gần nhau P và P’ trên C. Nếu 푖 là tọa độ của điểm P thì 푖 sẽ là hàm của s. Tức là: 푖 = 푖(푠) Khảo sát véctơ đơn vị tiếp tuyến trên đường cong, véctơ tiếp tuyến xác định 푖(푠) bởi . Độ lớn của véctơ tiếp tuyến: 푠 2 푖 푗 (𝑔 ) (2.3) 푖푗 푠 푠 푖 Giả sử là véctơ tiếp tuyến trên đường cong P. Giả sử trên đường cong C 푠 các véctơ tiếp tuyến tại mọi điểm luôn song với nhau. Tức là hướng của không gian là như nhau tại mọi điểm. Trong không gian 3 chiều, đường cong thỏa mãn tính chất này là đường thẳng. Trong không gian 4 chiều hoặc N chiều, đường cong này gọi là đường trắc địa. Xét hai điểm P và 푃′ là hai điểm lân cận có tọa độ 푖 và 푖 + 푖 trên đường trắc địa. Nếu véc to tiếp tuyến tại P được dịch chuyển song song tới điểm 푃′thì véc tơ sau khi dịch chuyển lại trùng với véctơ tiếp tuyến tại điểm đó. Theo dịch chuyển song song, ta có: 푖 푖 푖 푖 푖 + 훿 ( ) = −  (2.4) 푠 푠 푠 푗 푠 Mặc khác, khai triển véctơ tiếp tuyến 푃′theo vec tơ tiếp tuyến tại P 푖 푖 푖 ( ) = 2 푠 (2.5) 푠 푠+ 푠 푠 푠 Từ phương trình (2.4) và (2.5) ta có: 푖 푗 + 푖 = 0 (2.6) 푠2 푗 푠 푠 33
  39. Phương trình này đúng cho mọi điểm trên đường trắc địa nên ta gọi là phương trình trắc địa. Tham số s chưa có ý nghĩa vật lí. Sau này ta sẽ thấy tham số này liên quan tới thời gian riêng (proper time) Bài 4: Trong không gian cho đường cong r(t) bất kỳ. Chỉ ra rằng độ dài giữa hai điểm A & B trên đường cong được tính theo công thức. 푖 푗 퐿 = ∫ √𝑔 푡 푖푗 푡 푡 Từ đó chỉ ra rằng, L là cực tiểu nếu thỏa mãn phương trình: 2 푖 푗 푠̈ 푖 + г푖 = 푡2 푗 푡 푡 푠̇ 푡 푠 2푠 Với s là độ dài đường cong L và 푠̇ = , 푠̈ = 푡 푡2 Đồng thời có thể liên hệ nếu phương trình chuyển động có dạng đơn giản 푡 = 푠 + , a và b là hằng số, thì chúng ta có phương trình trắc địa. 2 푖 푗 + г푖 = 0 푠2 푗 푠 푠 Bài giải: Giữa hai điểm rất gần nhau trên đường cong bất kỳ, khoảng cách được xác định bằng công thức: 2 푖 푗 푠 = 𝑔푖푗 1 1 푖 푗 2 do đó: 푠 = (𝑔 푖 푗)2 = (𝑔 ) 푡 푖푗 푖푗 푡 푡 Khoảng cách giữa hai điểm trên đường cong. 1 푖 푗 2 퐿 = 푠 = (𝑔 ) 푡 (1) ∫ ∫ 푖푗 푡 푡 Điều kiện để L xác định ở biểu thức (1) là cực tiểu, được xác định từ lý thuyết cực tiểu của hàm đa biến. 34
  40. 휕퐹 = với k là hằng số và ′ = 휕 ′ 푡 1 푖 푗 Và 퐹 = (1 + ′2) ⁄2, ′2 = 1 − 𝑔 푖푗 푡 푡 Áp dụng các điều kiện đó, ta được: 2 푖 푗 푠̈ 푖 + г푖 = (2) 푡2 푗 푡 푡 푠̇ 푡 푠 2푠 Với s là độ dài đường cong L và 푠̇ = , 푠̈ = 푡 푡2 Khi t phụ thuộc vào s theo dạng đơn giản 푡 = 푠 + , a và b là hằng số, thì 2푠 푠 1 chúng ta có: 푠̈ = = ( ) = ( ) 푡2 푡 푡 푡 Do đó, thay 푡 = 푠 vào (2), chúng ta có phương trình trắc địa. 2 푖 푗 + г푖 = 0 푠2 푗 푠 푠 Từ phương trình trắc địa, chúng ta có thể nghiên cứu được nhiều hiện tượng vật lý khác như: tọa độ hốc định xứ, tọa độ Robinson-Walker, nghiệm Schwarzschild và rất nhiều ứng dụng khác trong vũ trụ học. 35
  41. KẾT LUẬN CHUNG Với đề tài: “Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý” em đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau: - Tìm hiểu sơ lược lí thuyết về kí hiệu Christoffel. - Vận dụng kí hiệu Christoffel để nghiên cứu và giải các bài tập Vật lý. Do vây, đề tài này có thể bổ sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong quá trình tìm hiểu về kí hiệu Christoffel và ứng dụng của nó trong Vật lý. 36
  42. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering. [2] Nguyễn Hữu Mình, Cơ học lí thuyết – Nhà xuất bản Đại học quốc gia- 1998 [3] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật Lý lý thuyết - Nhà xuất bản Đại học quốc gia-1998 [4] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lí – Nhà xuất bản giáo dục [5] Hoàng Ngọc Long, Đỗ Thị Hương, Bài giảng về thuyết tương đối và vũ trụ học - (2012) 37