›

Khóa luận Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin

pdf 57 trang thiennha21 15/04/2022 3750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_suc_cang_tai_mat_phan_cach_cua_ngung_tu_bose_einst.pdf

Nội dung text: Khóa luận Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VĂN THÚY HÀ SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 -
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VĂN THÚY HÀ SỨC CĂNG TẠI MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE –EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Văn Quyết HÀ NỘI, 2018
  3. LỜI CẢM ƠN Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Hoàng Văn Quyết ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận. Cuối cùng, tôi xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Văn Thúy Hà
  4. LỜI CAM ĐOAN Dƣới sự hƣớng dẫn của ThS. Hoàng Văn Quyết khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng với điều kiện biên Robin” đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. Trong khi nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Văn Thúy Hà
  5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 3 6. Đóng góp của đề tài 3 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN 4 1.1. Hệ hạt đồng nhất 4 1.2. Thống kê Bose – Einstein 5 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein 15 1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein 18 1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 18 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 20 1.4.3. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng 22 1.4.4. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion 24 1.4.5. Chất siêu dẫn mới 27 1.4.6. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose - Einstein 28 CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU 31 2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii 31 2.1.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 31 2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian 32
  6. 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 35 2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép 37 CHƢƠNG 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG TRONG GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP 42 3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài 42 3.2. Suất căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51
  7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào đầu thế kỉ XVII, các môn khoa học tự nhiên nổi lên nhƣ các ngành nghiên cứu riêng độc lập với nhau, vật lý học giao nhau với nhiều lĩnh vực nghiên cứu, các phát hiện mới trong vật lý thƣờng giải thích những cơ chế cơ bản của các môn khoa học khác đồng thời mở ra những hƣớng nghiên cứu mới trong đó có trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein (BEC). Xuất phát từ ý tƣởng của nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose về một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra năm 1924 để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của vật đen tuyệt đối. Năm 1925 nhà vật lí ngƣời Đức Albert Einstein đƣa ra dự đoán về BEC cho các nguyên tử với spin toàn phần có giá trị nguyên đó là: khi làm lạnh các nguyên tử, bƣớc sóng của chúng tăng lên đến mức có thể so sánh với kích thƣớc không gian giữa các nguyên tử, các bó sóng nguyên tử sẽ chồng chất lên nhau, các nguyên tử mất nhận dạng các nhân, tạo nên một trạng thái lƣợng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử tức là một BEC. BEC đƣợc đề xuất nhƣ một cơ chế chính để giải thích các hiện tƣợng lƣợng tử vĩ mô nhƣ siêu chảy và siêu dẫn. Mãi tới năm 1980 kỹ thuật laser phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện đƣợc và đến năm 1995 mới quan sát đƣợc bằng thực nghiệm, một loạt tính chất quan trọng chƣa từng biết đến trƣớc đây đã đƣợc phát hiện. Trạng thái vật chất này hoàn toàn mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, không giống với trạng thái vật chất nào mà con ngƣời đƣợc biết. BEC đƣợc tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lƣợng tử dựa trên thống kê Bose - Einstein vì thế nó đƣợc coi là vật chất lƣợng tử với các tính chất rất đặc biệt: là 1 chất lỏng lƣợng tử với tính kết hợp rất cao nhƣ các tia laser. Từ các tính chất cơ bản của BEC ngƣời ta có thể suy ra nhiều loại 1
  8. linh kiện thiết bị tinh vi, chế tạo các chíp nguyên tử, thực hiện các chức năng đa dạng trong giao thoa kế, máy kĩ thuật toàn ảnh, kính hiển vi đầu dò xét và xử lí thông tin lƣợng tử. Đây là lĩnh vực khoa học hay và có hƣớng phát triển mạnh mẽ, chúng ta có thể quan sát đƣợc nhiều hiệu ứng vật lý mà các dạng vật chất khác không có, nó mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật lý. Nhận thức đƣợc việc tìm hiểu về BEC đối với sinh viên là điều cần thiết, mặt khác muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích lũy kiến thức cho bản thân. Do điều kiện về thời gian, kinh phí và kiến thức còn hạn hẹp nên đối với sinh viên chỉ có thể tìm hiểu một khía cạnh nhỏ của BEC vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài “ Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tường cứng với điều kiện biên Robin”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở lý thuyết về ngƣng tụ Bose - Einstein nghiên cứu sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng với điều kiện biên robin. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê của hệ BEC hai thành phần. Phạm vi: chỉ nghiên cứu trƣờng hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan đƣợc các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BEC. Trình bày hệ phƣơng trình Gross – Pitaevskii. 2
  9. Trình bày về phƣơng pháp gần đúng Parabol kép. Áp dụng phƣơng pháp gần đúng Parabol kép để nghiên cứu sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc sách và tra cứu tài liệụ. Đàm thoại và trao đổi với giảng viên. Trong khuôn khổ lý thuyết Gross - Pitaevskii áp dụng phƣơng pháp gần đúng Parabol kép. 6. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. 3
  10. CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất Chúng ta hãy nghiên cứu một hệ N hạt chuyển động phi tƣơng đối tính. Trong trƣờng hợp này toán tử Hamilton có thể viết dƣới dạng N ˆ 2 (1.1) ˆˆˆ Pi HV  r r r (12 , , ,N ) W, i 1 2mi trong đó Vˆ là toán tử thế năng tƣơng tác giữa các hạt, nó là hàm của tọa độ của tất cả các hạt,Wˆ là toán tử đặc trƣng cho tƣơng tác spin – quỹ đạo, tƣơng tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trƣờng ngoài Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái của hệ có dạng  ˆ (1.2) i H (1,2, , N , t ) 0, t với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1, 2, 3, , N. Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin, không phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ nhƣ thế, làm thế nào có thể phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lý học cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lƣợng của từng hạt. Nhƣng biện pháp này không thể áp dụng đƣợc trong cơ học lƣợng tử. Chẳng hạn hai electron ở thời điểm đầu có thể phân biệt đƣợc bằng cách đặt chúng ở hai hố thế khác nhau, cách nhau bởi một rào thế, thì do hiệu ứng đƣờng hầm, theo thời gian, các electron có thể trao đổi các trạng thái cho nhau và việc phân biệt hai electron với nhau sẽ mất hết ý nghĩa. 4
  11. Tính không phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học lƣợng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau. Dựa vào tính chất nội tại của các hạt ngƣời ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai nhóm cụ thể là: + Hệ fermion: hệ này bao gồm các hạt fermion, đó là các hạt có spin bán 13 nguyên ,, ; ví dụ nhƣ electron, các nucleon, Hệ này bị chi phối bởi 22 nguyên lý loại trừ Pauli: “Hai fermion cùng loại không bao giờ đƣợc tìm thấy ở tại cùng một vị trí”. Nguyên lý này đƣợc rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng trên các fermion. + Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt boson, đó là các hạt có spin nguyên; ví dụ nhƣ photon, - meson, K - meson Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli, các boson có thể tìm thấy ở cùng một vị trí. Do hệ boson tuân theo thống kê Bose – Einstein nên ngƣời ta đã áp dụng thống kê Bose – Einstein tìm đƣợc tính chất điển hình của boson là ngƣng tụ Bose – Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò nhƣ nhau nhƣ một hạt, điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm đƣợc. 1.2. Thống kê Bose – Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lƣợng tử 5
  12. 1  Ek (1.3) Wexp,kk g N!  trong đó gk là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có (1.4) Enk  l l , l 0 ở đây,  l là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ, nl là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lƣợng  l . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk trong (1.3) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lƣợng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng 1  (1.5) W( n01 , nN ) n exp g     l l k N! l 0 trong đó Nn  l ,  thế nhiệt động lớn,  là thế hóa. l 0 1 Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.5) là vì có kể đến tính N ! đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu đƣợc do hoán vị các hạt. Ta kí hiệu 6
  13. g (1.6) k G( n , n , ). N! 01 Khi đó (1.5) đƣợc viết lại nhƣ sau   nll() l 0 (1.7) W(n0 , nG 10 ) n 1 exp(n  , , ).   Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.7) nhƣ sau: Một là vế phải của (1.7) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0 ,nl hạt nằm trên mức  l , đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm trên các mức năng lƣợng nnl  n l W(n01 , , ) nn01  (1.8)  nll() l 0 nGl exp( n  n , , ). 01   nn01  Hai là đại lƣợng G( n01 , n , ) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đƣa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có 7
  14. 1 (1.9) G( n01 , n , ). n01!n ! Tìm gk Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phƣơng diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N!chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho nn01!! Khi đó N! (1.10) gk , nn01! ! thay giá trị của gk vào (1.6) ta thu đƣợc (1.9). Để tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn cho đại lƣợng  trong công thức (1.7) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học  mà ta có cả một tập hợp thế hóa học l . Và cuối phép tính ta cho l . Tiến hành phép thay thế nhƣ trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau  (1.11)  W(n01 , n , ) exp  Z 1, nn  01 với  nl() l l l 0 (1.12) Z exp  G ( n01 , n , ),   nn01  8
  15. nghĩa là   lnZ . (1.13) Khi đó đạo hàm của  theo l dựa vào (1.12) và (1.13)   nl() l l 1 Z l 0 (1.14  nGk .exp( n  n , , ). 01 Z   llnn01 )  Nếu trong biểu thức (1.14) ta đặt l thì theo (1.8) vế phải của công thức (1.14) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu đƣợc  (1.15) nl .  l Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ 0 ) và G( n01 , n , ) 1 do đó theo (1.11) ta có  nl() l l ll 0 l   Zn expexp     n01 nn l 0 0   (1.16) 1 ,   ll 0 1 l exp   khi đó ll   ln 1 exp  . l 0  (1.17) Theo (1.15) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình 9
  16. 1 nl ,  (1.18) exp1 l  ta có (1.18) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học  trong công thức (1.18) đƣợc xác định từ điều kiện (1.19) nNl . l 0 Đối với khí lí tƣởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng từ  d  bằng dN() dn( ),  (1.20) exp1   trong đó dN() là số các mức năng lƣợng trong khoảng  d . Tìm dN() Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem nhƣ các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định dN() bằng cách áp dụng công thức kV2 dN( kdk ), 2 2 cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ k từ k k dk k2 dk (1.21) dN(). k 2 V 2 Theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng p và véc tơ sóng k 10
  17. (1.22) pk . khi đó (1.21) có thể đƣợc viết dƣới dạng p2 dp (1.23) dN( pV ). 23 2 p2 Đối với các hạt phi tƣơng đối tính tức là hạt có vận tốc thì  2m suy ra pm2 2, p23 dpm d2. do đó (1.23) có dạng 2mV3 dNd( ).  2 23 Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt gs 2 1. Do đó, số các mức năng lƣợng trong khoảng  d  là 2m3 Vg (1.24) dNd( ).  23 2 Theo (1.20) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng  d  là 2m3 Vg d dn( ). 2 23  (1.25) exp  1  Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình sau 11
  18. 2m3 Vg  N dnd( ). (1.26) 2 23  00e kT 1 Phƣơng trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học  đối với khí Bose lí tƣởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng  0. (1.27) Thực vậy, số hạt trung bình dn() chỉ có thể là một số dƣơng, do đó, theo (1.25), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.25) luôn luôn dƣơng (nghĩa  là khi  0, để cho exp  luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của  ).  Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.26) ta có:     N d d T  T   0 kT 0 kT  Te 1 e 1 N T      d    d 0 kT  e 1 0 e kT 1     1 (  )ekT (   )e kT dd    2  22   00kT eekT 11 kT 1 (1.28) .  T   1 eekT kT dd     22   00kT eekT 11 kT 12
  19. Nhƣng do (1.26) nên 0, do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở vế  phải (1.28) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của  , vì vậy 0. Từ các tính T  chất  0 và 0của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá T trị âm tăng đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max 0). Xác định nhiệt độ T0 Chọn  0 vàTT 0 . Khi đó phƣơng trình (1.26) trở thành 2m3 Vg  N dn(). d 23  002 ekT0 1  Đặt x suy ra kT0 m3/2 Vgx N kT kT dx 23 00 x 2 0 e 1 (1.29) m3/2 Vg()() kT 3/23/2 x mkT Vg x 00dxdx . 22 2 32 3 eexx 11 00 x Mà ta biết dx 2.31, nên từ (1.29) và kT , ta đƣợc x 00 0 e 1 4 1/3 2 2/3  0 (2 ) N (1.30) T0 2/3 . k(2.31 g ) mk V Đối với tất cả các khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn nhƣ đối với 4He, ngay cả với khối lƣợng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 3 120kg/m ta đƣợc TK0 2,19 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T 0có ý nghĩa 13
  20. rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ0 TT0. Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học  tăng tới giá trị max 0, mà  0nên  không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0 TT thì T 0  0. Với nhiệt độ TT 0 số hạt có năng lƣợng là 2(mm33/2 VgkT )  Vg x Nddx( 0)'. N (1.31) 21 23  2 23 ex 00ekT 1 So sánh (1.29) và (1.31) ta thấy 3/23/2 TNT ' N( 0). N hay TNT00 Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi TT 0 thì NN' chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N 'có thể phân bố theo các mức năng lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.20), tức là m3/2 Vg d   N' d dn( ). 2 23    (2.31) 3/2 (1.32) exp  1  0 exp 1    Các hạt còn lại NN ', cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi, chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ. Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (năng lƣợng không) và các hạt còn lại sẽ 14
  21. 1 đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật . Hiện tƣợng mà ta vừa e/ 1 mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lƣợng không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T 0) tất cả các hạt boson sẽ nằm ở mức không. 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein Ngƣng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay - 2730C). Dƣới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lƣợng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này đƣợc gọi là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô. Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựu trên ý tƣởng về một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi Bose trƣớc đó một năm để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm photon cũng nhƣ các nguyên tử Heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng trạng thái lƣợng tử nhƣ nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngƣng tụ) trong trạng thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất. 15
  22. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC nhƣ là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của 4He cũng nhƣ tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu. Năm 1995, khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra đƣợc ngƣng tụ Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle đƣợc nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. Các hạt trong Vật lý đƣợc chia ra làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2, ), fermion là các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2, ). Các hạt boson tuân theo thống kê Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tử”. Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Maxwell - Boltzman (bởi cả thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac đều tiệm cận đến thống kê Maxwell - Boltzman). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí boson có tính chất khác hẳn khí fermi (chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong 16
  23. kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng  0, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E 0. Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ TK 0 các hạt lần lƣợt chiếm các trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lƣợng của cả hệ khác không E 0 . Việc áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, ) đƣợc gọi là các hạt boson hay khí boson. Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng. (Ảnh: Wikipedia) 17
  24. Ngƣng tụ Bose – Einstein theo quan điểm vĩ mô là tập hợp các hạt có spin nguyên (các boson) trong trạng thái cơ bản tại nhiệt độ thấp và mật độ cao, đã đƣợc quan sát trong một vài hệ Vật lý. Bao gồm khí nguyên tử lạnh và vật lý chất rắn chuẩn hạt. Tuy nhiên, đối với khí boson là phổ biến nhất. Bức xạ của vật đen (bức xạ trong trạng thái cân bằng nhiệt trong một hố thế) không diễn ra sự chuyển pha, bởi vì thế hóa của các photon bị triệt tiêu và khi nhiệt độ giảm, các photon không xuất hiện trong hố thế. Các nghiên cứu về mặt lý thuyết đã coi số photon bảo toàn trong các quá trình nhiệt, tiếp theo sử dụng tán xạ Compton cho khí điện tử, hoặc tán xạ photon – photon trong mô hình cộng hƣởng phi tuyến để tìm điều kiện tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein. Trong một số thí nghiệm gần đây, ngƣời ta đã tiến hành nghiên cứu với khí photon hai chiều trong trạng thái lấp đầy của các vi hốc. Ở đây, ngƣời ta đã mô tả lại ngƣng tụ Bose – Einstein cho các photon. Dạng của vi hốc quyết định cả thế giam cầm và sự không ảnh hƣởng bởi khối lƣợng các photon, làm cho hệ tƣơng đƣơng với một hệ khí hai chiều. Khi tăng mật độ của photon, ta thấy dấu hiệu của ngƣng tụ Bose – Einstein, năng lƣợng photon phân bố chủ yếu ở trạng thái cơ bản, chuyển pha xuất hiện phụ thuộc vào cả giá trị khả dĩ và dạng hình học của hốc thế đƣợc dự đoán từ trƣớc 1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose - Einstein 1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium Các chất khí lƣợng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng Vật lý cơ bản. Với việc chọn Erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật lý Thực Nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực Vật lý lƣợng tử. 18
  25. “Erbium tƣơng đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lƣỡng cực cực độ của các hệ lƣợng tử”, Ferlaino cho biết. Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phƣơng pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phƣơng tiện laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngƣng tụ Bose – Einstein từ tính. Trong một ngƣng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. “Những thí nghiệm với Erbium cho phép chúng tôi thu đƣợc kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tƣơng tác phức tạp của những hệ tƣơng quan mạnh và đặc biệt chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lƣợng tử với những nguyên tử lạnh”, Ferancesca Ferlaino nói. Cesium, Strontium và Erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà Vật lý ở Innsbruck đã cho ngƣng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá quan trọng đã đƣợc thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông hồi năm 2002 khi họ thu đƣợc sự ngƣng tụ của Sesium, dẫn tới vô số những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một ngƣời nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, là ngƣời đầu tiên hiện thực hóa một ngƣng tụ của Strontium hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố Erbium. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm cho ngƣng tụ. Mƣời trong số những ngƣng tụ này đã đƣợc tạo ra bởi mƣời nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl Wieman đã giành giải Nobel Vật lý cho việc tạo ra ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên. Ngƣng tụ mới của Erbium, lần đầu tiên đƣợc tạo ra 19
  26. ở Innsbruck, là một mẫu tuyệt vời để bắt chƣớc những hiệu ứng phát sinh từ sự tƣơng tác tầm xa. Loại tƣơng tác này là cơ sở của cơ chế động lực học phức tạp có trong tự nhiên, ví dụ nhƣ xảy ra trong các xoáy địa Vật lý, trong các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi gấp nếp. 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bƣớc đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu. Cũng giống nhƣ các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng thái của vật chất. Với tên gọi “trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein”, nó từng đƣợc tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhƣng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt photon (quang tử) – những đơn vị cơ bản của ánh sáng. Hình 1.2: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein" (Ảnh: LiveScience) 20
  27. Tuy nhiên, bốn nhà Vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành “nhiệm vụ bất khả thi” trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là “các siêu photon”. Các hạt trong một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein truyền thống đƣợc làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên không thể phân biệt đƣợc, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho rằng, các photon sẽ không thể đạt đƣợc trạng thái này vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngƣng tụ nó cùng lúc dƣờng nhƣ là bất khả thi. Do photon là các hạt không có khối lƣợng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi trƣờng xung quanh và biến mất – điều thƣờng xảy ra khi chúng bị làm lạnh. Theo trang LiveScience, bốn nhà Vật lý Đức cuối cùng đã tìm đƣợc cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lƣợng của chúng. Để nhốt giữ các photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những tấm gƣơng đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng một phần triệu của một mét (1 micrô). Giữa các gƣơng, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử “thuốc nhuộm” (về cơ bản chỉ có một lƣợng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thu và sau đó đƣợc tái phát. Các tấm gƣơng đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến – lùi trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao đổi nhiệt lƣợng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới nhiệt độ phòng. Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhƣng nó đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein. 21
  28. Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà Vật lý James Anglin thuộc trƣờng Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Các tác giả của nghiên cứu này cho biết thêm rằng, công trình của họ có thể giúp mang tới những ứng dụng trong việc chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bƣớc sóng vô cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím. 1.4.3. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng Các nhà vật lý Mỹ giờ đây đã có thể ghi một xung ánh sáng đồng bộ vào một tập hợp các nguyên tử siêu lạnh - và sau đó khôi phục lại nguyên dạng xung sáng đó từ một tập hợp các nguyên tử thứ hai ở cách đó một khoảng cách nào đó. Thí nghiệm đã chứng tỏ rằng các hạt vĩ mô là khó có thể phân biệt một cách rạch ròi nhƣ cơ học lƣợng tử đã nói mặc dù chúng có thể tách biệt về mặt vật lý. Thí nghiệm đƣợc tiến hành bằng cách sử dụng các nguyên tử ngƣng tụ Bose Einstein đƣợc làm lạnh tới nhiệt độ mà tất cả chúng ở cùng một trạng thái lƣợng tử (Theo bài báo đăng trên tạp chí Nature) Để bắt ánh sáng "nhảy" từ chỗ này sang chỗ khác, Lene Hau và các đồng nghiệp ở Đại học Harvard đã khai thác một kỹ thuật đƣợc họ phát triển từ năm 2001 để giữ các xung ánh sáng trong trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein, có thể làm cho ánh sáng laser đi chậm đến mức gần nhƣ đứng lại. Kỹ thuật này bao gồm việc chiếu một xung từ một đầu phát laser vào các nguyên tử Na ở trạng thái BEC, làm cảm ứng đến việc phân bố các dao động nhỏ của điện tích trong nguyên tử. Nhà vật lý Lene Vestergaard Hau sử dụng những tia laser và các đám mây cực nhỏ để che nguyên tử siêu lạnh làm cho ánh sáng đi chậm đến mức gần 22
  29. nhƣ đứng lại. Thông thƣờng các lƣỡng cực sẽ phát xạ và nhanh chóng bị phân rã, nhƣng khi chiếu một chùm laser có điều khiển vào các nguyên tử, chúng sẽ chuyển các dao động trong điện tử thành các dao động của spin mà dao động này ổn định hơn. Vì thế, khi mà xung laser này tắt đi, thông tin của đầu phát laser sẽ đƣợc ghi lại trên dao động của lƣỡng cực spin của nguyên tử. Đảo tia laser điều khiển để giải phóng ánh sáng, cho phép các nguyên tử bức xạ lại kết hợp (ví dụ nhƣ đồng pha với xung dò ban đầu). Điểm khác biệt trong kỹ thuật mới là xung đƣợc làm chậm để tái hiện lại tại vị trí BEC cách đó khoảng 1,6 mm. "Thủ đoạn đánh lừa" ở đây là hàm sóng của lƣỡng cực spin thực ra là một sự chồng chập của các nguyên tử trong trạng thái cơ bản và trong trạng thái kích thích spin. Nhờ có nguyên lý bảo toàn xung lƣợng mà các nguyên tử ở trạng thái kích thích spin sẽ di chuyển khỏi BCE ban đầu khi nguyên tử hấp thụ photon từ xung laser, trong khi nguyên tử ở trạng thái cơ bản thì đứng yên tại vị trí đó. Nội dung thông tin của xung đầu dò đã đƣợc "in dấu" trên dao động quay tròn các lƣỡng cực của nguyên tử BEC đầu tiên (trên). Trong thí nghiệm mới này xung cản trở đƣợc làm để xuất hiện BEC thứ 2 cách xa khoảng 160 µm (dưới). Hình 1.3 23
  30. Một điểm sáng tạo là nhóm ở Harvard đã quyết định đợi cho đến khi nguyên tử kích thích spin đi đến vị trí ngƣng tụ thứ hai trƣớc khi tác dụng lại các laser điều khiển. Và họ nhận ra rằng tập hợp các nguyên tử tách biệt một cách vật lý này sau đó có thể phát xạ lại ánh sáng ban đầu. Xung ánh sáng đƣợc khôi phục này lan truyền một cách chậm rãi khỏi vị trí BEC thứ hai trƣớc khi đạt vận tốc 300000 km/s nhƣ vốn có của ánh sáng. Vì hai vị trí BEC đƣợc tạo ra hoàn toàn độc lập, nên ta có thể hy vọng sự gửi đi các bó sóng từ vị trí đầu tiên đến một vị trí xa lạ BEC thứ hai. Thực tế không hẳn là hàm sóng ở trạng thái cơ bản có một thành phần trên cả hai vị trí BEC trong cùng một thời điểm để có thể tổ hợp với thành phần bị kích thích spin khi nó đến vị trí thứ hai. Thí nghiệm là một minh chứng hùng hồn của việc không phân biệt lƣợng tử. "Bằng cách thao tác cho vật chất sao chép lại nguyên bản ánh sáng ban đầu, chúng ta có thể sử dụng trong việc xử lý thông tin quang" - Hau phát biểu. Bà phát biểu trên Physics Web rằng thí nghiệm này có thể sẽ đƣa đến kỹ thuật xử lý thông tin quang trong viễn thông quang và mạng thông tin lƣợng tử. Một ứng dụng khác có thể là cảm biến quay siêu nhạy hoặc detetor trọng trƣờng. Ngoài vài ứng dụng đã kể trên thì còn rất nhiều ứng dụng khác nữa và khả năng tiềm tàng của BEC còn rất lớn và đang tiếp tục đƣợc khám phá. 1.4.4. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion Các nhà Vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein trong một hệ các giả hạt đƣợc làm lạnh đƣợc gọi là polarition. Mặc dù những khẳng định tƣơng tự đã từng đƣợc 24
  31. công bố trƣớc đó, nhƣng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của chùm laser đƣợc dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngƣng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polartion từ các chùm. Lần đầu tiên đƣợc tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tử Rubidi, trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó một số lƣợng lớn các hạt boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản giống nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển ngẫu nhiên của chúng và dịch chuyển nhƣ một trạng thái kết hợp, và rất có ý nghĩa cho các nghiên cứu về hiệu ứng lƣợng tử ví dụ nhƣ siêu chảy trong một hệ vĩ mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thƣờng chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất thấp, gần không độ tuyệt đối. Tuy nhiên, các polariton – các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngƣng tụ này đƣợc công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp Joseph Fourier. Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn đƣợc giữ ở nhiệt độ khá cao là 19K. Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này lại nghi ngờ rằng các polariton dù ở trạng thái BEC thật, nhƣng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng đƣợc kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp đƣợc rồi. 25
  32. Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp Pittsburgh và các cộng sự ở Phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tƣơng tự mà trong đó các polartion đƣợc tạo ra bởi các tia laser sau đó di chuyển khỏi vùng kích thích của laser. Điều này đƣợc thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều ngang 50 micrô, để tạo ra một ứng suất bất đồng nhất trên vi cầu, có nghĩa là tạo ra nhƣ một bẫy để tích lũy các polartion. Và ở hệ này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt đƣợc ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Hình 1.4: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007). Mặc dù ở nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhƣng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này, nhóm đã tạo ra hiện tƣợng này ở nhiệt độ cao tới 32 K: “Có hàng trăm nguyên nhân để hi vọng chúng tôi có thể đạt tới nhiệt độ cao hơn, cao hơn nữa dù không thể giả thiết có thể đạt tới nhiệt độ phòng nhưng trên 100K không phải là không thể đạt được trong khả năng của chúng tôi”. Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc – microcavity) đƣợc tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tƣơng tự từng đƣợc dùng trong các khí nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác. 26
  33. Hình 1.5: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007). Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm Snoke là trạng thái BEC trong các xu hƣớng truyền thống hay không vì các polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt đƣợc trạng thái chuẩn cân bằng. “Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trạng thái cân bằng thực sự” – Snoke nói – “Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa cùng trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn”. 1.4.5. Chất siêu dẫn mới Mới đây, các nhà khoa học thuộc Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc gia cùng phối hợp với trƣờng đại học Colorado (Mỹ) đã thành công trong việc tạo ra một loại chất mới. Loại vật chất này là một dạng cô đặc của các hạt cơ bản: electron, proton và neutron. Đó còn là dạng vật chất thứ sáu đƣợc con ngƣời khám phá sau những dạng: chất khí, chất rắn, chất lỏng, khí plasma và Bose – Einstein cô đặc đã đƣợc tạo ra từ năm 1995. Deborah Jin (đại học Colorado) cho biết, loại vật 27
  34. chất mà các đồng nghiệp của bà vừa tạo ra là đột phá khoa học trong việc cung cấp một kiểu mới cho hoạt động của cơ học lƣợng tử. Loại vật chất mới này có khả năng tạo ra một mối liên kết giữa hai lĩnh vực hoạt động khoa học là chất siêu dẫn và Bose – Einstein, tạo cơ sở phát triển những ứng dụng thiết thực khác. Hiện nay, theo ƣớc tính có khoảng 10% lƣợng điện ta sản xuất ra bị tiêu hao trên đƣờng chuyển tải, làm nóng đƣờng dây. Nếu ứng dụng vật liệu chất siêu dẫn vào làm dây dẫn điện thì quá trình chuyển tải điện không còn bị hao hụt bởi điện trở nữa. Ngoài ra, chất siêu dẫn còn cho phép sáng chế ra những loại xe lửa bay trên đệm từ trƣờng dựa trên cơ sở nguồn năng lƣợng hiện đang đƣợc sử dụng. Do đƣợc giải phóng khỏi ma sát, đoàn tàu sẽ lƣớt đi theo đƣờng từ trƣờng ở tốc độ cao hơn. Jin cùng với hai đồng nghiệp Eric Cornell và Carl Wieman đã đoạt giải Nobel Vật lý năm 2001 cho phát minh ra vật chất Bose – Einstein cô đặc. Loại vật chất này đƣợc tạo ra từ tập hợp của hàng nghìn phần tử cực lạnh tạo thành trạng thái lƣợng tử đơn, tƣơng tự một siêu nguyên tử. Còn loại vật chất mới mà nhóm nghiên cứu của bà vừa tạo ra khác với Bose – Einstein. Nó đƣợc tạo thành từ những khối hạt vật chất là proton, electron và neutron trong môi trƣờng chân không đƣợc làm lạnh xuống gần tới độ không tuyệt đối. Tại nhiệt độ đó, các phần tử vật chất ngừng hoạt động. Sau đó, từ trƣờng và tia laser điều khiển để những nguyên tử kết đôi lại với nhau. Loại nguyên tử mới này có sức hút mạnh hơn những nguyên tử thông thƣờng, đem đến cho thế giới nhiều ứng dụng mới thiết thực cho cuộc sống hàng ngày của con ngƣời. 1.4.6. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose - Einstein 28
  35. Các nhà nghiên cứu ở Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc gia Mỹ vừa lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một chất khí gồm những nguyên tử cực lạnh. Hiệu ứng Hall là một tƣơng tác quan trọng của từ trƣờng và dòng điện thƣờng xảy ra với kim loại và chất bán dẫn. Các biến tấu của hiệu ứng Hall đã đƣợc sử dụng trong kĩ thuật và trong Vật lý với các ứng dụng đa dạng từ những hệ thống tự đánh lửa tự động cho đến những phép đo cơ bản của điện học. Khám phá mới có thể giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về cơ sở Vật lý của các hiện tƣợng lƣợng tử ví dụ nhƣ sự siêu chảy và hiệu ứng Hall lƣợng tử. Đƣợc Edwin Hall phát hiện ra vào năm 1879, hiệu ứng Hall dễ hình dung nhất ở một chất dẫn điện hình chữ nhật nhƣ một tấm đồng khi có một dòng điện chạy dọc theo chiều dài của nó. Một từ trƣờng đặt vuông góc với dòng điện (vuông góc với tấm đồng) làm lệch đƣờng đi của các hạt mang điện trong dòng điện (electron chẳng hạn) bằng cách gây cảm ứng một lực theo chiều thứ ba vuông góc với cả từ trƣờng và dòng điện. Lực này đẩy các hạt mang điện về một phía của tấm kim loại và gây ra một điện thế, hay “hiệu điện thế Hall”. Hiệu điện thế Hall có thể dùng để đo những tính chất tiềm ẩn bên trong các hệ thống điện, ví dụ nhƣ nồng độ hạt mang điện và dấu điện tích của chúng. “Các hệ nguyên tử lạnh là một nền tảng quan trọng để nghiên cứu nền Vật lý phức tạp vì chúng gần nhƣ không có tạp chất gây cản trở, các nguyên tử chuyển động chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ cũng đơn giản hơn nhiều”, phát biểu của nhà nghiên cứu NIST Lindsay LeBlanc. “Thủ thuật là tạo dựng những điều kiện sẽ khiến các nguyên tử hành xử theo kiểu thích hợp”. 29
  36. Việc đo hiệu ứng Hall ở một ngƣng tụ Bose – Einstein xây dựng dựa trên công trình NIST trƣớc đây tạo ra điện trƣờng và từ trƣờng nhân tạo. Trƣớc tiên, nhóm nghiên cứu sử dụng laser buộc năng lƣợng của các nguyên tử với xung lƣợng của chúng, đƣa hai trạng thái nội vào một liên hệ gọi là sự chồng chất. Việc này làm cho các nguyên tử trung hòa điện tác dụng nhƣ thể chúng là những hạt tích điện. Với đám mây gồm khoảng 20.000 nguyên tử tập trung thành một quả cầu loãng, sau đó các nhà nghiên cứu cho lực bắt giữ biến thiên tuần hoàn – đẩy các nguyên tử trong đám mây lại với nhau và rồi hút chúng ra xa – để mô phỏng chuyển động của các hạt mang điện trong một dòng xoay chiều. Đáp lại, các nguyên tử bắt đầu chuyển động theo kiểu giống hệt về mặt toán học với cách các hạt tích điện chịu hiệu ứng Hall sẽ chuyển động, tức là vuông góc với cả chiều của dòng “điện” và từ trƣờng nhân tạo. Theo LeBlanc, việc đo hiệu ứng Hall đó mang lại một công cụ nữa dành cho nghiên cứu cơ sở Vật lý của sự siêu chảy, một điều kiện lƣợng tử nhiệt độ thấp trong đó các chất lỏng chảy mà không có ma sát, cũng nhƣ cái gọi là hiệu ứng Hall lƣợng tử, trong đó tỉ số của hiệu điện thế Hall và dòng điện chạy qua chất liệu bị lƣợng tử hóa, cho phép xác định các hằng số cơ bản. 30
  37. CHƢƠNG 2. TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH YẾU 2.1. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii 2.1.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian Xét hệ ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần, hàm tác dụng S có dạng SdtL,, dtdrL (2.1)  1 21 với mật độ hàm Lagrangian trong phƣơng trình Gross-Pitaevskii là 2  j Li1( 1 ,  21 )( 2 , ), j    j 1 t (2.2) trong đó hàm Hamilton có dạng 2 2 2 g jj 4 22 (2.3) (  ,  ),     g   1 212 1 2 22m j j j j 1 j ở đây, hạt j , j (,)rtlà hàm sóng ở trạng thái cơ bản; mj là khối lƣợng hạt; ggjj , 12 là các hằng số tƣơng tác dƣơng, chúng đƣợc xác định qua độ dài tán xạ sóng s theo công thức 11 ga 2. 2 jjjj'' (2.4) mmjj' Bằng cách cực tiểu hóa hàm tác dụng S theo  j  S 0, (2.5)  j 31
  38. ta thu đƣợc phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 2 1 2 22 iU g g  1 11 1 12  2  1, tm2 1 (2.6) 2  22 iU2 g g 2    , 2 22 2 12 1 2 (2.7) tm 2 2 với UU12, là thế năng tƣơng tác ngoài. 2.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta giả sử sự tự phân tách diễn ra dọc theo trục Oz và gọi ngƣng tụ bên phải mặt phân cách là “1” ( z 0) và ngƣng tụ bên trái mặt phân cách là “2” (z < 0)   (z )e i j t/ h , (2.8) jj với  j là hàm sóng ở trạng thái cơ bản,  j là thế hóa. Thay (2.8) vào (2.6) và (2.7), thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian ta thu đƣợc 22 d  22 1    (U )0, g g 2m dz2 1 11 111 1 122 1 1 (2.9) 22 d 2 22 2    (U2 22 )0. g 222 2 g 121 2 2m2 dz (2.10) Phƣơng trình (2.9) và (2.10) đƣợc gọi là phƣơng trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. 32
  39. Nếu UU12 0 thì (2.9) và (2.10) trở thành 22 d  22  1   gg   0, 2m dz2 1 1 11 1 1 12 2 1 1 (2.11) 22 d 2 22 2 2  2 gg 22  2  2 12  1  2 0. 2m2 dz (2.12) Nhƣ vậy thế tƣơng tác trong lý thuyết Gross-Pitaevskii có dạng 24g jj 22 Vg  j  j  j 12  1  2  2 j 1,2 2 2gg 4 4 2 2    11  22  g  . (2.13) 1 1 2 222 1 2 12 1 2 Sử dụng chiều dài tƣơng quan  j , 2m jj (2.14) và mật độ khối của hạt thứ j làngjj0  jj / và đƣa vào các đại lƣợng không thứ nguyên zz 1,   j g (2.15)  212, ,,K  j 1 nj0 g 11 g 22 thì ta có d d dz1 d , dz dz dz dz 1 dd221 2 2 2 . dz1 dz 33
  40. Do đó 2dd 222 1 1  n . 22 2 1 10 22m11 dzm 1 dz  Thay biểu thức của 1 vào biểu thức trên ta đƣợc: 2 22 dd11 22g11 n 10 n 10 . 2m1 dzdz (2.16) Ta có: 1 1g 11 n 10 n 10 , 22 (2.17) gg11 n 1  n 1 11 10 10 1 1, 22 gg12 n 2  n 1 12 20 10 2 1. Thay (2.16) và (2.17) vào (2.11) ta đƣợc: 2 d 1 32 1  1 K  2  1 0. dz2 (2.18) Ta có: 2 dd2 2  2 2  n . 22 2 20 (2.19) 22m2 dz m 2  2 dz Thay biểu thức của 2 vào biểu thức trên ta đƣợc: 2 2 2 dd222  22  g22 n 20 n 20 . 2m2 dz dz (2.20) Ta có: 34
  41. 2 2g 22 n 20 n 20 , 22 (2.21) gg22 n 2  n 2 22 20 20 2 2 , 22 gg12 n 1  n 2 12 10 20 1 2. Thay (2.20) và (2.21) vào (2.12) ta đƣợc 2 2d 2 3 2  2  2 K  1  2 0. dz2 (2.22) Lƣu ý rằng ở đây ta đang xét hệ trong trạng thái cân bằng pha nên áp suất của hai thành phần phải bằng nhau, tức là PP , 12 2 trong đó Pgjjj n j 0 /2 2.2. Gần đúng parabol kép (Double parabola approximation - DPA) Để hiểu về phép gần đúng parabol kép ta đi xét ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần. Thế tƣơng tác trong phƣơng trình Gross-Pitaevskii theo (2.12) có dạng g (2.22) V  24  . GP 2 Bằng cách đƣa vào các đại lƣợng không thứ nguyên nhƣ ở (2.15), thế tƣơng tác (2.22) có thể viết dƣới dạng 1 (2.23) V 24 . GP 2 Ở gần mặt phân cách tham số trật tự  giảm dần từ 1 nên ta đặt  1,a (2.24) với a là số thực và nhỏ. 35
  42. Thay (2.24) vào (2.23) ta đƣợc 1 4 Vaa (1 )12 GP 2 1 1 2(1a aa 422 6 a 3 4 a 4 a ) 2 11 2a2 2. a 3 a 4 22 Khai triển VGP giữ đến gần đúng bậc hai ta đƣợc 2 112 VaDPA 22 1,  22 (2.25) trong đó VDPA là thế gần đúng trong parabol kép. Ta có đồ thị của hai thế VGP và VDPA nhƣ sau Đƣờng màu xanh là đồ thị của thế VGP , đƣờng màu đỏ là đồ thị của thế VDPA. Ta thấy VGP có hai cực tiểu nhƣ hình vẽ và khi thay vào phƣơng trình Gross-Pitaevskii thì ta không giải trực tiếp đƣợc phƣơng trình. Do đó ta thay bằng thế VDPA là hai parabol ghép với nhau và đƣợc gọi là parabol kép. Khi thay thế VDPA vào phƣơng trình Gross-Pitaevskii ta có thể giải đƣợc phƣơng trình. 36
  43. 2.3. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép Với sự có mặt của hai tƣờng cứng tại zh 2 và zh 1 Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng DPA để tìm trạng thái cơ bản của hệ. Giả sử rằng mặt phân cách của hệ nằm tại vị trí z điều kiện biên cho các thành phần có dạng sau Với z 1'(hC 11 )( 1 ) 1h . 21(h ) 0 (2.26) Với z 12( h ) 0 . 2'( h 2 ) C 2 2 ( h 2 ) (2.27) Ta khai triển tham số trật tự  j quanh giá trị đƣợc chuẩn hóa theo mật độ khối n j0 tức là jj 1 j  j,, ''  với jj, ' (1,2) khi z và (jj , ') (2,1) khi z . Cần chú ý rằng  j và  j là các số thực, nhỏ và ta đã bỏ qua thừa số pha trong các khai triển này. • Ở miền z ( là vị trí biên) ta đặt  1 a , b ,( a , b 1). (2.28) 12 Thay vào (2.18) và (2.22) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta đƣợc hệ phƣơng trình 37
  44. aa'' 2 0 2 .  b'' (K 1)b 0 (2.29) Thay (2.28) vào (2.29) và đặt  2,1 K , ta đƣợc phƣơng trình Gross-Pitaevskii trong DPA 2 11''( 1)  0 . 22 (2.30)  22''0   • Ở miền z ta đặt 12 ba, a 1b ,( , 1). (2.31) Thay vào (2.18) và (2.22) và chú ý chỉ giữ lại bậc 1 của a và b ta đƣợc hệ phƣơng trình b'' ( K 1) b 0 2 .  aa'' 2 0 (2.32) Do đó 2 11''   0 . 22 (2.33)  22'' (  1) 0 Trong miền z , nghiệm của phƣơng trình (2.30) có dạng 2z2hh 2 2 2 z 2 z e CACCA e11 2 e 2 e 1 e 1 1 1 1 1 1 , 2 C1 h1 (2.34)  hz1  21 2B e sinh .  Trong miền z , nghiệm của phƣơng trình (2.33) có dạng 38
  45.  22h22 z h z 1 A2e 1 e , 2 22h 2 zh z 2h 22 2 e 2eB C BBC e 2 (2.35) 2 2 2 22 2 1. 2 C2 với A1, A2,B1,B2 là các hằng số. Trong DPA, các tác giả đã chứng minh đƣợc rằng các tham số trật tự và đạo hàm bậc nhất của chúng phải liên tục tại mặt phân cách jj , dd (2.36) jj . dzdz Thay (2.34) và (2.35) vào (2.36) ta tìm đƣợc A11 A1 , AA12 13 (2.37) với 2 22 hh 2h ACC 2 e 1 e22 e1 2  e 2  , 11 1 1 22h 2h2 2 2 A e1 2 CCC 2  2  e 2 2 2  , 12 1 1 1 A e2 2hh12 2  2 2 CC 2  e22 2 2  2  . 13 11 A A 21 , (2.38) 2 AA 22 23 với 39
  46. 2h  22hh22 A e2 e11 e 2 2CC e 2 2 e , 21 11 22h 2h 2 2 2 ACC e1 2 C 2  2  e 2 2 2 , 2211 1 ACC e2 2hh1 2 2  2 2 2  e22 2  2 2 . 231 1 B11 B1 , (2.39) 2 2 C  (BB ) 2 12 13 với h  22 hh 1 22 B=e 1e  22 CCC22 e  22  42  , 112 2 2 22 h2 h   1 BCC12 2 2  e 2 2  cosh ,  22 h2 h   1 BCC13 2 2 2 e 2 2 2 sinh .  h  1  ()BB21 22 cosh B23  B , (2.40) 2 BBB() 24 25 26 với 2h2 2 3h2 2  B21 CCC2e 2 2 2  2 e  2 2C 2  , 2 2hh22 2 4 3 BC 2e 2 CC22 e 2 2  4 2  , 22 2 2 2 40
  47. 2h 2 3h 2 2 2 h   1 B23 2 CCC 222 e 2 e 2 sinh ,  22 h2  B24 2 2 CC 22 e 2 2 , 22h 2 h   1 B25 2 CC 22  e 2 cosh ,  22 h2 h   1 B2622 2 2 CC e 2 2 sinh .  Dựa vào hàm sóng đã tìm đƣợc, chúng ta có thể biểu diễn hàm sóng trên hình 2.1 1.0 0.8 0.6 2 , 1 0.4 0.2 0.0 10 5 0 5 10 z Hình 2.1: Biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự theo z tại  2, 0, 1,C 1, C 1, h 10, h 10 1 2 1 2 Đường nét liền và đường nét đứt tương ứng với thành phần thứ 1 và thứ 2. 41
  48. CHƢƠNG 3. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI HAI TƢỜNG CỨNG TRONG GẦN ĐÚNG PARABOL KÉP 3.1. Khái niệm về sức căng mặt ngoài Trƣớc tiên ta xét khái niệm sức căng mặt ngoài của chất lỏng. Ta tƣởng tƣợng tách riêng đƣợc một phần tử A nào đó trong khối chất lỏng và nghiên cứu tác dụng của tất cả các phần tử khác lên nó. Ta hãy vẽ một hình cầu bán kính r có tâm là tâm phân tử A. Ta chỉ cần nghiên cứu tất cả các phân tử có tâm nằm trong hình cầu bán kính r lên phân tử A. Khoảng cách r gọi là bán kính tác dụng phân tử . Phân tử A nằm trong lòng khối chất lỏng nên lực hút giữa các phân tử trong hình cầu tác dụng của phân tử A lên phân tử A hƣớng theo mọi phía và tính trung bình thì chúng cân bằng nhau (hình 3.1), do đó lực tƣơng tác tổng hợp của các phân tử chất lỏng lên phân tử A bằng 0. 42
  49. Đối với phân tử nằm gần mặt thoáng thì lại khác. Ta hãy xét phân tử B (hình 3.1) nằm cách mặt thoáng một khoảng nhỏ hơn r. Một phần của hình cầu bán kính r nằm ngoài khối chất lỏng. Giả sử phần trên của khối chất lỏng là thể khí ( ví dụ hơi của chất lỏng đó). Vì số phân tử ở pha hơi nằm trong hình cầu tác dụng của phân tử B là ít nên tác dụng của chúng lên B là rất nhỏ ta không cần chú ý tới. Ta chỉ cần chú ý tới tác dụng của các phân tử thuộc khối chất lỏng nằm trong hình cầu. Rõ ràng là các lực hỗ trợ tác dụng lên B theo mọi hƣớng không thể cân bằng nhau và phân tử B chịu tác dụng của một hợp lực f hƣớng vào trong khối lỏng . Độ lớn của lực này càng tăng lên khi phân tử B càng gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Tuy nhiên cần chú ý rằng tuy có lực f tác dụng lên nhƣng phân tử B không chuyển động vào trong lòng chất lỏng mà vẫn thực hiện dao động nhiệt xung quanh vị trí cân bằng đó. Đó là vì khi phân tử B dƣới tác dụng của lực f tiến theo hƣớng đi vào trong lòng chất lỏng để lại gần các phân tử khác hơn thì sẽ xuất hiện lực đẩy chống lại lực f . Đối với các phân tử khác nằm trong lớp mặt ngoài có chiều dày dr cũng chịu tác dụng của những lực f hƣớng vào trong khối chất lỏng tƣơng tự nhƣ phân tử B. Hình ảnh chuyển động nhiệt của các phân tử nằm ở lớp mặt ngoài cũng nhƣ đối với các phân tử ở trong lòng chất lỏng nghĩa là dao động hỗn loạn chung quanh các vị trí cân bằng một thời gian nào đó và sau đó do sự tƣơng tác với các phân tử chung quanh thỉnh thoảng lại thay đổi vị trí cân bằng. Nói cách khác nếu bỏ qua dao động nhiệt thì tuy chịu tác dụng của lực f nhƣng phân tử nằm ở lớp ngoài vẫn đƣợc coi nhƣ nằm tại vị trí cân bằng. 43
  50. Ta biết, hợp lực f vuông góc với mặt thoáng chất lỏng không dịch chuyển phân tử B theo phƣơng vuông góc cũng nhƣ phƣơng nằm ngang đối với mặt thoáng. Bây giờ, chúng ta chú ý đến các thành phần theo phƣơng nằm ngang (tức theo phƣơng tiếp tuyến với mặt thoáng) của lực tƣơng tác của phân tử chất lỏng lên phân tử B. Dĩ nhiên các thành phần này của lực theo hai chiều ngƣợc nhau phải có độ lớn bằng nhau f1 = f2 (hình 3.1) vì vậy chúng cân bằng nhau. Khác với trƣờng hợp của lực f đã nhận xét ở trên, độ lớn của lực f1 hoặc f2 sẽ càng giảm khi phân tử B càng đến gần mặt giới hạn (mặt thoáng). Nếu giả sử vì một lý do nào đó một phía của phân tử B không có chất lỏng nữa thì dƣới tác dụng của lực thành phần theo phƣơng tiếp tuyến với mặt thoáng ( f1 hoặc f2 ) phân tử B sẽ chuyển động ngang. Ta tƣởng tƣợng các phân tử nằm trong lớp mặt ngoài tạo thành một đoạn cong nguyên tố l thì tổng hợp tất cả các lực thành phần lên phân tử này theo phƣơng tiếp tuyến với mặt phân cách và ở về một phía xác định của đoạn cong l đƣợc gọi là lực căng mặt ngoài kí hiệu là f . Vì l đủ nhỏ nên có thể coi lực căng mặt ngoài f vuông góc với l . Vậy rõ ràng dƣới tác dụng của lực căng mặt ngoài f , lớp mặt ngoài luôn luôn muốn co về diện tích nhỏ nhất. Tính chất này làm cho lớp mặt ngoài của chất lỏng gần giống nhƣ một màng căng (chẳng hạn màng cao su), vì vậy hiện tƣợng mà ta đang xét đƣợc gọi là hiện tƣợng căng mặt ngoài. Ta cần chú ý sự khác nhau căn bản giữa lớp mặt ngoài chất lỏng với màng cao su. Lớp mặt ngoài khối chất lỏng tăng diện tích là do có những phân tử đi từ trong lòng khối chất lỏng ra mặt ngoài và do đó bề dày của nó không đổi 44
  51. dr , còn đối với màng cao su thì sự tăng diện tích là nhờ có sự giảm bề dày của màng. Việc di chuyển phân tử trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài đòi hỏi phải tiêu thụ một công để thắng lực cản nói trên. Trong trƣờng hợp khối lỏng không trao đổi năng lƣợng với ngoại vật thì công này đƣợc thực hiện do sự giảm động năng của phân tử đó mà thế năng phân tử sẽ tăng lên, tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp công đƣợc thực hiện khi một vật đƣợc chuyển động trong trọng trƣờng từ dƣới lên trên ( động năng của vật giảm, thế năng của vật tăng). Ngƣợc lại khi phân tử đi từ lớp mặt ngoài vào trong lòng chất lỏng, nó sẽ thực hiện một công do sự giảm thế năng của phân tử. Vậy mỗi phân tử ở lớp mặt ngoài khác với phân tử ở trong lòng ở trong lòng khối lỏng là một thế năng phụ. Tổng thế năng phụ của các phân tử ở lớp mặt ngoài đƣợc gọi là năng lƣợng tự do. Năng lƣợng tự do chính là một phần nội năng của khối lỏng. Khi có nhiều phân tử di chuyển từ trong lòng chất lỏng ra lớp mặt ngoài (tức diện tích mặt ngoài khối lỏng tăng ) thì năng lƣợng tự do tăng. Sự tăng năng lƣợng này hoặc do sự giảm động năng của các phân tử hoặc do công của ngoại vật thực hiện lên chất lỏng hoặc do cả hai nguyên nhân vừa nêu. Ngƣợc lại khi chất lỏng giảm diện tích mặt ngoài, năng lƣợng tự do giảm đi làm cho chất lỏng hoặc sẽ nóng lên hoặc sẽ sinh công cho ngoại vật hoặc sẽ đồng thời xảy ra cả hai hiện tƣợng vừa kể. Và ngƣời ta định nghĩa: “ Độ tăng năng lƣợng tự do mặt ngoài trên một đơn vị diện tích là sức căng mặt ngoài” 45
  52.  (3.1)  . A Trong đó:  là năng lƣợng tự do mặt ngoài, A là diện tích mặt phân cách 3.2. Suất căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose-Einstenin hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng Chúng ta xét hệ BEC trong trƣờng hợp số hạt của hệ xác định n h1 Ndz j0  2 . jj2mg (3.2) j jj h2 Năng lƣợng trên bề mặt ngƣng tụ đƣợc thiết lập bởi P. Ao và S.T. Chiu  2ggjjjj 2 4 2 2 E dr  nj00 j   j n j 0  jj j g 12102012 n n   n 0 N .  2m 22 (3.3) jj 1,21,2 j Từ đây xác định đƣợc sức căng mặt phân cách giữa hai ngƣng tụ dƣới dạng không thứ nguyên h1 E 2 2 2 12 P  1 dz  1 zz  1   2   2 A (3.4) h2 h1 2 2 2 2 2 2 P1 dz  1 z 1 2  z 2 P  1 dz  1  z 1 2  z 2 . h2 PII () 1 1 2 Thay phƣơng trình (2.34) và (2.35) vào (3.4) ta đƣợc 2 (3.5) IIIIII1 11( 12 2(BIIIB2 13 14 15) 2 (I 16 17 18 )) 19, với 2 2 3h 2 1  I11 2 e , 2 2 C2 46
  53. 22 hh22 I CCCe 1 e 2 2  e 4 2  , 12 2 2 2 32h2 24 h2 22 ICCC13 2e 2 2 2  2e 2 2  , 2 5h2 2  2 I14 C 2e 4 2 h 2 4 2 6 4 C 2 h 2  2 C 2  , 3 2 2h2 ICC e 2 2  4 2 , 15 2 2 2 2 2h2  2 Ih16 8e 2 2 C 2 1 C 2 h 2  , 22h2 ICC e  2 2  4 2  , 17 2 2 2 2 3h2 2 ICC e  2 2  4 2  , 18 2 2 2 2h2 I19 A 2e 2 h 2  sinh 2 h 2  . 2 2 h1 (3.5) IIAIIIIIIIII2 21(2 1 ( 22 23 24 ) e ( 25 26 ) 27 ( 28 29 ) 30 ), với 1 22 h1 I21 2 e , 22 C1 I 2 2 e2 4hh11 3 e 2 2 , 22 2 254 h1 243 h 1 22 h 1 232 h 1 IC23 11( 2e 2e 2e e 2 4h 4 ), I 2Che2 5h1 4 2e 2 2 h 1 e 2 3 h 1 2 3 2 2 2 2 , 24 11 ICC 1 e22 hh11 4 2 1 e , 25 1 1 2h1 22 2 IBCC26 4 1 2 2e 2 1 1 h 1  . 47
  54. 2 2 2 2h1 I27 2eA1 , I 4C 22 h C22 h 4 cosh C 2 2 Ch , 28 1 1 1 1 1 11 I 2 2 C 2 sinh 2 2h , 29 11 2h  22 h 1 221  2 h1  IC30 2BC1 2 2 2 1 1 esinh.   Hình 3.2 và 3.3 biểu diễn sức căng tại mặt phân cách giữa 2 thành phần phụ thuộc vào lần lƣợt 1/ K và h 2.2 2.0 1.8 12 1.6 1.4 1.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 K Hình 3.2: Sự phụ thuộc của sức căng tại mặt phân cách vào giá trị 1/ K tại  1 Từ hình vẽ 3.2 chúng tôi thấy: - Sức căng tại mặt phân cách phụ thuộc rất mạnh vào K. - Trong miền K 1, thay đổi K tức là thay đổi hằng số tƣơng tác giữa hai thành phần với nhau, khi tƣơng tác này càng mạnh (1/K càng nhỏ) thì sức căng tại mặt phân cách càng lớn. 48
  55. - Khi K 1hai thành phần tƣơng tác yếu, sức căng tại mặt phân cách giảm dần. - Sức căng mặt phân cách khác 0 tại K =1. Hình 3.3: Sự phụ thuộc của sức căng tại mặt phân cách vào giá trị h tại K 3, 1 Từ hình vẽ 3.3 chúng tôi thấy: - Khi h nhỏ tức khoảng cách giữa hai tƣờng cứng gần nhau, sức căng tại mặt phân cách phụ thuộc vào h rất mạnh. - Khi h lớn tức khoảng cách giữa hai tƣờng cứng xa nhau, sức căng tại mặt phân cách phụ thuộc vào h rất yếu. 49
  56. KẾT LUẬN Khóa luận “ Sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ BOSE - EINSTEIN hai thành phần bị giới hạn bởi hai tƣờng cứng với điều kiện biên Robin” hoàn thành đã thu đƣợc các kết quả sau: - Tổng quan về ngƣng tụ Bose – Einstein: xây dựng thống kê Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đó đƣa ra ngƣng tụ Bose – Einstein đối với khí boson lý tƣởng. - Phƣơng trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian. - Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách yếu trong gần đúng parabol kép với điều kiện biên Robin. - Sức căng tại mặt phân cách của ngƣng tụ Bose – Einstein hai thành phần trong giới hạn bởi 2 tƣờng cứng với điều kiện bên Robin. 50
  57. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hoang Van Quyet, Phan Thi Oanh Location of interface boseeinstein condensate mixtures in semi-infinite space under robin boundary condition, Journal of Science (HPU2), to be published (2017). 2. Nguyen Van Thu, Tran Huu Phat, Pham The Song, J. Low Temp. Phys. 186, 127 (2017). 3. C.J. Pethick, H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press, 2008. 51