›

Khóa luận Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh

pdf 56 trang thiennha21 15/04/2022 4220
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_su_dung_bai_toan_hai_vat_de_tim_lai_ba_dinh_luat_k.pdf

Nội dung text: Khóa luận Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN NHẬT LỆ SỬ DỤNG BÀI TOÁN HAI VẬT ĐỂ TÌM LẠI BA ĐỊNH LUẬT KEPLE VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC PHÁT HIỆN VẬT THỂ VÀ NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VỆ TINH Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN NHẬT LỆ SỬ DỤNG BÀI TOÁN HAI VẬT ĐỂ TÌM LẠI BA ĐỊNH LUẬT KEPLE VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC PHÁT HIỆN VẬT THỂ VÀ NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VỆ TINH Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HỮU TÌNH HÀ NỘI, 2018
  3. LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài này em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học. Đây cũng là kết quả phấn đấu trong suốt bố năm học tập và rèn luyện dưới giảng đường đại học của em và công sức giảng dạy của biết bao thấy cô trong suốt thời gian qua. Để có được kết quả và những thành công đó em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Hữu Tình người đã khuyến khích, chỉ bảo và giúp đỡ em hoàn thành công trình nghiên cứu này. Qua đây, em xin đựơc gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bạn bè, gia đình, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy cô trong khoa Vật Lý nói riêng. Xin kính chúc các thầy cô luôn mạnh khoẻ, thành công trong sự nghiệp và hạnh phúc trong cuộc sống. Chắc chắn rằng khóa luận này còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của Hội Đồng khoa học. Em xin chân thành cảm ơn! Xuân Hòa, tháng 5 năm 2018 Tác giả Trần Nhật Lệ
  4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng của TS. Nguyễn Hữu Tình, khóa luận tốt nghiệp “Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật Keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với bất kì luận văn nào khác. Xuân hòa, tháng 05 năm 2018 Tác giả Trần Nhật Lệ
  5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1.Lí do chọn đề tài 1 2.Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 CHƯƠNG 1: MẶT TRỜI TRONG VŨ TRỤ 3 1.1. Tổng quan về hệ mặt trời (Solar system) 3 1.1.1. Vị trí của hệ Mặt Trời trong dải Ngân Hà (Milky Way) 3 1.1.2. Sơ lược về hệ Mặt Trời 3 1.2. Đặc điểm chuyển động nhìn thấy của các thiên thể 5 1.3. Các mô hình cổ điển về vũ trụ và hệ mặt trời 5 1.3.1. Mô hình địa tâm 5 1.3.2. Mô hình nhật tâm 8 1.4. Các định luật Keple 13 1.5. Xây dựng biểu thức toán học của định luật vạn vật hấp dẫn 14 1.6. Định luật vạn vật hấp dẫn – xác định khối lượng trái đất 17 1.6.1. Định luật vạn vật hấp dẫn 17 1.6.2. Xác định khối lượng Trái Đất 18 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN HAI VẬT VÀ ỨNG DỤNG 20 2.1. Bài toán hai vật 20 2.1.1. Suy ra định luật 2 Kêple 21 2.1.2. Suy ra định luật 1 Kêple 22 2.1.3. Suy ra định luật 3 Kêple 25 2.2. Bài toán nhiều vật – lực nhiễu loạn 26 2.3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và trạm vũ trụ 29 2.3.1. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo 29 2.3.2. Chuyển động của các trạm vũ trụ 30 2.4. Ứng dụng bài toán nhiều vật trong việc phát hiện thiên thể 33 2.4.1. Phát hiện sao Hải Vương 33 2.4.2. Phát hiện sao diêm vương 36 CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 38 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
  6. DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1. 1: Mô hình thu nhỏ của hệ Mặt trời 3 Hình 1.2: Đám mây Oort “giới hạn” của hệ Mặt Trời 4 Hình 1.3: Hệ địa tâm Aristotle 6 Hình 1.4: Hệ địa tâm Ptolemy 7 Hình 1.5: Nhà thiên văn học Côpecnic 10 Hình 1.6: Hệ nhật tâm Côpecnic 10 Hình 1.7: Giải thích quỹ đạo hình nút của các hành tinh 11 Hình 1.8 –a: 13 Hình 1.8 –b: 13 Hình 2.1: Các yếu tố quỹ đạo 25 Hình 2.2: Gia tốc của Trái Đất 28
  7. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Sau Copernicus là thời kỳ tranh luận dữ dội về vị trí của Trái đất và Mặt trời. Tycho Brahe, một nhà Thiên văn giàu có xứ Đan mạch đã bỏ gần 30 năm trời quan sát và ghi chép rất kỹ về chuyển động của các hành tinh, hy vọng đó sẽ là cơ sở kiểm tra lý thuyết. Ông chết đi để lại toàn bộ số liệu cho cộng sự của mình là Kepler, một nhà thiên văn và toán học người Đức xử lý. Qua nhiều lần tính toán, thử đi thử lại, Kepler thấy nếu coi hành tinh chuyển động đều trên quỹ đạo tròn thì sẽ không khớp với số liệu. Ông cho là số liệu không thể sai được, mà hệ nhật tâm Copernicus là chưa chính xác. Johannes Kepler công bố hai định luật đầu tiên của ông vào năm 1609, sau khi phân tích các dữ liệu từ những quan sát lâu năm của Tycho Brahe. Một vài năm sau Kepler mới phát hiện ra định luật thứ ba và công bố nó vào năm 1619. Các định luật Kepler là những khám phá căn bản ở thời của ông, vì từ lâu các nhà thiên văn vẫn tin rằng quỹ đạo của các hành tinh có hình tròn hoàn hảo. Đa số các hành tinh được biết đến trong Hệ Mặt Trời ở thời đó có quỹ đạo xấp xỉ hình tròn, do đó nếu chỉ quan sát sơ lược thì sẽ khó phát hiện ra quỹ đạo hành tinh là hình elíp. Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kepler thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt Trời cũng phải có quỹ đạo elip. Ba định luật Kepler và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của Aristotle và Ptolemy đã được chấp thuận từ rất lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Nicolaus Copernicus (mặc dù quỹ đạo elip theo Kepler khác với các quỹ đạo tròn theo Copernicus), bằng chứng tỏ Trái Đất quay quanh Mặt Trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là biến đổi, và quỹ đạo có hình elip hơn là hình tròn. Khoảng tám thập kỷ sau, Isaac Newton chứng minh rằng các định luật Kepler có thể được áp dụng trong những điều kiện lý tưởng và là dạng xấp xỉ tốt cho quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, hay những định luật này là hệ quả của các định 1
  8. luật về chuyển động và định luật vạn vật hấp dẫn của ông. Bởi vì khối lượng của hành tinh khác không và sự ảnh hưởng nhiễu loạn của các hành tinh khác, ba định luật Kepler chỉ áp dụng một cách xấp xỉ và không miêu tả độ chính xác cao chuyển động của vật thể trong hệ Mặt Trời. Cuốn sách Eléments de la philosophie de Newton (Những nguyên lý của triết học Newton) của Voltaire xuất bản năm 1738 là cuốn đầu tiên gọi các định luật Kepler là "các định luật". Cùng với các lý thuyết của Newton, các định luật Kepler có vai trò quan trọng trong thiên văn học và vật lý học cũng như ứng dụng cho các vệ tinh nhân tạo. Vì vậy nên em chọn đề tài: “Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật Keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về việc sử dụng bài toán hai và nhiều vật để tìm lại ba định luật Keple, tìm hiểu ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh 3. Đối tượng nghiên cứu Bài toán hai và nhiều vật 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Giải bài toán hai để tìm lại ba định luật Keple. Tìm hiểu việc ứng dụng của bài toán 2 và nhiều vật trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh. Phân loại, đưa ra phương pháp giải các bài tập liên quan trong môn Thiên văn học. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu, tra cứu tài liệu và giải bài tập 2
  9. CHƯƠNG 1: MẶT TRỜI TRONG VŨ TRỤ 1.1. Tổng quan về hệ mặt trời (Solar system) 1.1.1. Vị trí của hệ Mặt Trời trong dải Ngân Hà (Milky Way) Hệ Mặt Trời là một phần của thiên hà có tên gọi là Ngân Hà, đây là một thiên hà xoắn ốc với đường kính khoảng 100000 năm ánh sáng chứa khoảng 200 tỷ ngôi sao, trong đó Mặt Trời của chúng ta là một ngôi sao thông thường điển hình. [1] Khoảng cách từ hệ Mặt Trời tới tâm của Ngân Hà khoảng từ 25000 đến 28000 năm ánh sáng. Vận tốc của hệ Mặt Trời trên quỹ đạo là khoảng 220 km/s, và nó hoàn thành một chu kỳ quay khoảng 226 triệu năm. Tại vị trí của hệ Mặt Trời trong dải Ngân Hà thì vận tốc vũ trụ Hình 1. 1: Mô hình thu nhỏ của hệ cấp bốn là khoảng 1000 Mặt trời km/s. [1] 1.1.2. Sơ lược về hệ Mặt Trời Hệ Mặt Trời là một hệ có Mặt Trời ở trung tâm và các thiên thể nằm trong phạm vi lực hấp dẫn của Mặt Trời gồm: - Tám hành tinh chính (planet) quay xung quanh, 6 trong số các hành tinh này có vệ tinh riêng của chúng, cùng một lượng lớn các vật thể khác gồm các hành tinh lùn, tiểu hành tinh, sao chổi, bụi và plasma. Từ trong ra ngoài, hệ Mặt Trời gồm Mặt Trời và các hành tinh là Thủy tinh, Kim tinh, Trái Đất, Hỏa tinh, Mộc tinh, Thổ tinh, Thiên Vương tinh, Hải Vương tinh. Các hành tinh còn có các vật thể bay quanh chúng như các vệ tinh tự nhiên, các vành đai của vài hành tinh lớn, các vệ tinh nhân tạo. Một vài tiểu hành tinh cũng có các vệ tinh của chúng. 3
  10. - Năm hành tinh lùn (dwarf planet) là Ceres, Sao Diêm Vương, Eris, Makemake và Haumea. Một số rất lớn các tiểu hành tinh phân bố chủ yếu trong khoảng giữa Hỏa tinh và Mộc tinh. Ngoài cùng là vòng đai Kuiper, đĩa phân tán và đám mây Oort. Xen kẽ giữa các hành tinh có các thiên thạch và bụi cùng các sao chổi. Sự ảnh hưởng của từ trường của Mặt Trời đối với không gian giữa các hành tinh tạo nên kết cấu lớn nhất trong hệ Mặt Trời, gọi là nhật quyển. Khoảng cách trong Hệ Mặt Trời thường được đo bằng các đơn vị thiên văn. Một đơn vị thiên văn (AU) là khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời, hay 149. 598. 000 kilômét. Đa số các vật thể chuyển động trên quỹ đạo quanh Mặt Trời đều nằm trong mặt phẳng quỹ đạo gần nhau, và gần mặt phẳng hoàng đạo. Các vật thể trong hệ Mặt Hình 1.2: Đám mây Oort “giới hạn” của hệ Trời được chia thành ba vùng. Mặt Trời Các hành tinh Thủy tinh, Sao Kim, Trái Đất, vành đai các tiểu hành tinh chính và Hỏa tinh lập thành các hành tinh vòng trong, gọi là vùng I. Các hành tinh còn lại cùng các vệ tinh của chúng tạo các hành tinh vòng ngoài, vùng II. Vùng III gồm vùng của các vật thể bên ngoài của Sao Hải Vương như vành đai Kuiper, đĩa phân tán và đám Oort. Mặt Trời, một sao thuộc dãy chính G2, chiếm 99,86% khối lượng hiện được biết đến của cả hệ. Hai vật thể có đường kính lớn nhất của hệ là Mộc tinh và Thổ tinh chiếm khoảng 91% phần vật chất còn lại. Đám Oort có thể chiếm một phần đáng kể, nhưng hiện nay còn chưa được xác định một các chính xác. 4
  11. 1.2. Đặc điểm chuyển động nhìn thấy của các thiên thể Toàn bộ thiên cầu sao nhật động đều quanh Trái Đất và vị trí tương đối giữa các sao không đổi. Nếu chú ý quan sát trong nhiều ngày thì ta có thể nhận thấy Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh từ từ thay đổi vị trí đối với các chòm sao. Sau đây là các kết luận về chuyển động nhìn thấy của Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh trên nền trời sao như sau: - Mặt Trời và Mặt Trăng từ từ dịch chuyển đối với các sao theo chiều ngược với chiều nhật động - tức là từ Tây sang Đông. Mặt Trời dịch chuyển trọn một vòng trong khoảng 365 ngày. Mặt Trăng dịch chuyển trọn một vòng mất khoảng trên 27 ngày. - Các hành tinh nói chung cũng dịch chuyển đối với các sao theo chiều ngược với chiều nhật động, nhưng cũng có những thời kì chúng dịch chuyển theo chiều ngược lại nên quỹ đạo của chúng trên nền trời sao có dạng hình nút. - Có 2 hành tinh (Thủy tinh và Kim tinh) luôn ở gần Mặt Trời. Theo thời gian Thủy tinh “dao động” quanh Mặt Trời với biên độ không quá 28o còn Kim tinh thì không quá 48o. Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh chuyển động đối với các sao theo quỹ đạo rất gần nhau. Từ những đặc điểm nhìn thấy trên và từ khoảng cách ước lượng đến chúng, người ta đã cho rằng Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh này tạo ra một hệ - hệ Mặt Trời. 1.3. Các mô hình cổ điển về vũ trụ và hệ mặt trời 1.3.1. Mô hình địa tâm Trong thiên văn học, mô hình địa tâm (geocentric model) của vũ trụ là lý thuyết cho rằng Trái Đất là trung tâm của vũ trụ và Mặt Trời cùng các thiên thể khác quay quanh nó. Hệ này được coi là hình mẫu tiêu chuẩn thời Hy Lạp cổ đại. Và nó được cả Aristotle và sau này là Ptolemy, cũng như đa số các nhà triết học Hy Lạp đều cho rằng Mặt Trời, Mặt Trăng, các ngôi sao, và những hành tinh có thể quan sát được bằng mắt thường đều bay quanh Trái Đất. Các ý tưởng tương tự cũng đã xuất hiện ở thời Trung Quốc cổ đại. Người Hy Lạp cổ đại và các nhà triết học 5
  12. thời Trung Cổ thường cho mô hình địa tâm thường đi cùng với Trái Đất hình cầu. Vì thế nó không giống với mô hình Trái Đất phẳng từng được đưa ra trong một số thần thoại. Người Hy Lạp cổ đại cũng tin rằng những sự chuyển động của Hình 1.3: Hệ địa tâm Aristotle các hành tinh đi theo đường tròn chứ không phải hình elíp, một quan điểm thống trị văn hoá phương Tây cho tới tận trước thế kỷ 17. [1] Mô hình địa tâm là quan điểm thống trị thời tiền hiện đại; từ cuối thế kỷ 16 trở về sau nó dần bị thay thế bởi hệ nhật tâm của Côpecnic, Galileo và Kepler. Mô hình địa tâm của Aristotle (384 - 322 TCN) Aristotle là một nhà triết học vĩ đại thời cổ. Những tư tưởng của ông có ảnh hưởng sâu sắc đến nhiều thế hệ. Mặc dù ở thời ông người ta không sử dụng toán học và tiến hành thí nghiệm nhưng ông vẫn được coi là cha đẻ của vật lý với tác phẩm “Vật lý học”. Theo ông: Vũ trụ được cấu thành bởi 4 yếu tố cơ bản là: đất, nước, không khí và lửa. Mỗi nguyên tố đều có vị trí tự nhiên trong vũ trụ. Vị trí tự nhiên của đất là địa cầu, trung tâm bất động của vũ trụ. Vị trí tự nhiên của nước là phần khối cầu bao bọc ngoài địa cầu. Vị trí tự nhiên của không khí và lửa là hai phần khối cầu bọc ngoài. Mặt cầu ngoài cùng là giới hạn vị trí của lửa, có gắn các sao bất động, đó là giới hạn của vũ trụ. Mỗi nguyên tố khi bị cưỡng bức rời khỏi vị trí tự nhiên đều có xu hướng trở về vị trí tự nhiên cũ. Thế giới từ Mặt Trăng trở lên là của trời, là thế giới linh thiêng. Chuyển động tự nhiên của các thiên thể ở đây là chuyển động tròn, vì đường tròn là hoàn thiện nhất. Thế giới dưới Mặt Trăng là thế giới trần tục nên chuyển động là đường thẳng, một đường không hoàn thiện. Tất cả các thiên thể đều có dạng hình cầu (một hình 6
  13. dạng hoàn thiện). Vũ trụ đã tồn tại và sẽ tồn tại mãi, vĩnh hằng, bất biến. Theo ông thì không có chân không và vật nặng rơi tự do nhanh hơn vật nhẹ. [1] Như vậy từ các truyền thuyết sơ khai về vũ trụ, thì đến Aristotle vũ trụ đã có tâm là Trái Đất với các định luật cơ học được hiểu một cách trực quan, thiếu chính xác. Mô hình địa tâm Ptolemy Vào thế kỉ thứ II nhà khoa học người Hy Lạp Ptolemy đã bằng trí tưởng tượng xây dựng nên mô hình vũ trụ địa tâm. Nhằm để giải thích hiện tượng nhật động và chuyển động nhìn thấy của Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh. Mô hình này có dạng như sau: - Trái Đất nằm yên ở trung tâm vũ trụ. Hình 1.4: Hệ địa tâm Ptolemy - Giới hạn của vũ trụ là một vòm trời trong suốt trên đó gắn chặt các sao. Toàn bộ vòm cầu này quay đều quanh một trục xuyên qua tâm Trái Đất. - Mặt Trăng, Mặt Trời chuyển động tròn đều quanh Trái Đất cùng chiều với chiều quay của vòm cầu sao nhưng có chu kì khác nhau nên chúng ta thấy chúng dịch chuyển từ từ đối với các sao. - Các hành tinh chuyển động đều theo những vòng tròn phụ mà tâm của các vòng tròn này chuyển động tròn đều quanh Trái Đất. Điều này được đưa ra để giải thích quỹ đạo hình nút của các hành tinh. - Trái Đất, Mặt Trời và các vòng tròn phụ của Kim tinh và Thủy tinh luôn luôn nằm trên một đường thẳng. Điều này giải thích cho sự “dao động” của hai hành tinh 7
  14. này quanh Mặt Trời. Về sau, bằng quan sát thiên văn chính xác hơn, người ta đã phát hiện ra các chuyển động nhìn thấy khác vượt ra ngoài khả năng giải thích của mô hình địa tâm Ptolemy. Vì vậy những người kế tục Ptolemy phải nghĩ ra thêm những vòng tròn khác. Mô hình địa tâm vốn đã phức tạp nay còn rắc rối hơn nữa. Tuy nhiên, mô hình địa tâm (Ptolemy) về hệ Mặt Trời vẫn thường được những người chế tạo các mô hình thiên văn học ưa chuộng vì về lý do kỹ thuật, cơ cấu chuyển động của các hành tinh kiểu Ptolemy có nhiều ưu thế hơn so với hệ Côpecnic. Các mặt cầu thiên thể, được sử dụng cho các mục đích giảng dạy và thỉnh thoảng cho cả mục đích hoa tiêu cũng vẫn dựa trên hệ địa tâm. Mô hình vũ trụ địa tâm giải thích cho những đặc điểm về chuyển động nhìn thấy của các thiên thể trên thiên cầu như đã trình bày ở trên. Mặc dù có nhiều phiền toái nhưng do được Giáo hội ủng hộ, mô hình hệ địa tâm Ptolemy vẫn tồn tại nhiều thế kỷ. Nó đã khiến khoa học dậm chân tại chỗ. Nhiều nhà khoa học đã nghi ngờ về tính xác thực của nó. Nhưng trước thế lực nhà thờ chưa ai dám nêu ra một giả thuyết khác. Mãi sau này khi kỹ thuật quan sát tiến bộ hơn cùng với sự dũng cảm của các nhà khoa học thì thuyết địa tâm mới bị bác bỏ. Thay vào đó là một thuyết tiến bộ hơn - thuyết nhật tâm. [1] 1.3.2. Mô hình nhật tâm Trong thiên văn học, mô hình nhật tâm là lý thuyết cho rằng Mặt Trời nằm ở trung tâm của vũ trụ hay của hệ Mặt Trời. (Sự phân biệt giữa hệ Mặt Trời và Vũ trụ là không rõ ràng cho tới tận thời hiện đại, nhưng đặc biệt quan trọng cho sự tranh cãi về vấn đề vũ trụ học và tôn giáo). Về mặt lịch sử, hệ nhật tâm đối lập với hệ địa tâm - cho rằng Trái Đất là trung tâm. Trong thế kỷ 16 và 17, khi lý thuyết này được Côpecnic, Galileo và Kepler đưa ra và ủng hộ, nó đã trở thành trung tâm của những cuộc tranh cãi rất lớn. Thuyết nhật tâm tiền Côpecnic Đối với bất kỳ một người nào đứng nhìn lên bầu trời, có vẻ rõ ràng rằng Trái Đất đứng yên vị trong khi mọi vật trên bầu trời mọc và lặn hay quay quanh nó hàng ngày. Quan sát trong một thời gian lâu hơn, họ sẽ thấy nhiều chuyển động phức tạp 8
  15. hơn như: Mặt Trời chuyển động chậm chạp theo hình tròn trong năm; các hành tinh có các chuyển động tương tự nhau, nhưng thỉnh thoảng chúng có chuyển động hình nút. Những dấu vết sớm nhất về một ý tưởng đi ngược trực giác cho rằng Trái Đất trên thực tế đang quay quanh Mặt Trời và Mặt Trời là trung tâm của hệ Mặt Trời đã được tìm thấy trong nhiều văn bản được viết trong thời Ấn Độ cổ đại. Yajnavalkya (khoảng thế kỷ 9–thế kỷ 8 TCN) ghi nhận rằng Trái Đất có hình cầu và rằng Mặt Trời là "trung tâm của vũ trụ". Trong bài viết về thiên văn học của mình Shatapatha Brahmana cho rằng: "Mặt Trời treo các thế giới như Trái Đất, các hành tinh, khí quyển vào mình bằng một sợi chỉ". Ông nhận rằng Mặt Trời lớn hơn nhiều so với Trái Đất, và đây là điều ảnh hưởng tới khái niệm thuyết nhật tâm sơ khai này. Ông cũng đã đo chính xác các khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và Mặt Trăng bằng 108 lần đường kính các thiên thể đó, khá gần với con số ngày nay là 107,6 với Mặt Trời và 110,6 với Mặt Trăng. Người đầu tiên đề xuất hệ nhật tâm là Aristarchus (khoảng 270 TCN). Không may những ghi chép của ông về hệ nhật tâm không còn nữa. Khi Aristarchus viết các tác phẩm của mình, kích thước Trái Đất đã được tính toán khá chính xác. Aristarchus cũng đo đạc kích thước Trái Đất, và kích thước cũng như khoảng cách của Mặt Trăng và Mặt Trời, chúng được ghi lại trong một bản luận văn may mắn còn tồn tại. Phương pháp hình học của ông là chính xác, nhưng nó đòi hỏi phải vượt qua khó khăn khi đo góc giữa Mặt Trời và Mặt Trăng khi Mặt Trăng nằm ở góc một phần tư thứ nhất và cuối cùng, hơi nhỏ hơn 90 độ. Aristarchus đã ước tính góc quá rộng và vì thế ước tính kích thước cũng như khoảng cách của Mặt Trời nhỏ hơn thực tế (dù các con số của ông về Mặt Trăng khá chính xác). Tuy nhiên, điều quan trọng là cách tiếp cận khoa học của Aristarchus, và kết luận rằng Mặt Trời lớn hơn nhiều so với Trái Đất. Có lẽ, như nhiều người đã từng đề xuất, khi xem xét những con số đó Aristarchus đã cho rằng có lẽ cho Trái Đất đang chuyển động thì đúng hơn là Mặt Trời vĩ đại chuyển động quanh Trái Đất. 9
  16. Côpecnic Côpecnic Nhà thiên văn học - toán học người Ấn Độ Aryabhata (476-550), trong một cuốn sách của mình đã đề xuất một mô hình nhật tâm theo đó Trái Đất quay quanh trục của nó và quỹ đạo của các hành tinh cũng được tính toán dựa trên mô hình Mặt Trời đứng yên. Ông cũng là người đầu tiên khám phá ra rằng ánh sáng từ Mặt Trăng và các hành tinh là sự phản xạ ánh sáng từ Mặt Trời, và rằng cách hành tinh chuyển động theo một quỹ đạo hình elíp quanh Mặt Trời, và vì thế đề xuất một mô hình quỹ đạo elíp lệch tâm của các hành tinh, dựa theo đó ông đã tính toán chính xác nhiều hằng số thiên văn học, như những khoảng thời gian nhật thực và nguyệt thực, chuyển động ở một thời điểm nào đó của Mặt Trăng. [1] Bhaskara (1114-1185) đã mở rộng mô hình nhật tâm của Aryabhata trong bản luận thiên văn học Siddhanta-Shiromani của mình, trong đó ông đã đề cập tới định luật hấp dẫn, khám phá ra rằng các hành tinh không quay quanh Mặt Trời với một tốc độ đồng nhất, và tính toán chính xác nhiều hằng số thiên văn học dựa trên mô hình đó, như nhật thực và nguyệt thực, các tốc độ và các chuyển động ở một thời điểm nào đó của các hành tinh. Bản dịch tiếng Ả Rập trong cuốn sách của Aryabhata đã có từ thế kỷ thứ 8, trong khi các bản dịch tiếng Latinh mãi tới thế kỷ 13 mới xuất hiện, trước khi Côpecnic viết cuốn Về chuyển động quay của các thiên thể, vì thế có lẽ tác phẩm của Aryabhata đã có ảnh hưởng trên ý tưởng của Côpecnic sau này. [1] 10
  17. Thuyết nhật tâm của Côpecnic Nicolaus Côpecnic (hình 1.5), đã mang lại những bước tiến bộ lớn cho mô hình nhật tâm. Nhưng cần lưu ý rằng nhờ có các thương gia, các nhà thám hiểm, các chiến binh thập tự chinh nên những ý tưởng về hệ nhật tâm tiền Côpecnic đã được người Châu Âu biết Hình 1.7: Giải thích quỹ đạo hình nút của các hành tinh đến (Côpecnic tất nhiên cũng biết điều này). Hơn nữa, một số nhà tư tưởng Châu Âu cũng đã tranh luận về thuyết nhật tâm từ thời Trung Cổ. Tuy nhiên, đối với đa số các học giả ở giai đoạn này, thuyết nhật tâm có một vấn đề lớn là khó nhận thấy: theo trực giác thông thường, nếu Trái Đất quay quanh trục và chuyển động quanh Mặt Trời, con người và đồ vật ở trên đó sẽ có xu hướng rơi hay bay vào vũ trụ; một vật thể rơi xuống từ trên tháp sẽ chạm đất ở đằng tây xa phía sau tháp bởi vì tháp đã quay đi cùng Trái Đất; và các ví dụ tương tự. Một câu trả lời cho những vấn đề đó đòi hỏi con người phải có hiểu biết sâu hơn về Vật lý. Dù có những vấn đề như vậy, ở thế kỷ XVI lý thuyết nhật tâm được Côpecnic làm sống lại, ở hình thức thích hợp với những quan sát thực tế thời đó. Lý thuyết này đã giải quyết các vấn đề về chuyển động nút của hành tinh bằng cách lập luận rằng chuyển động đó chỉ là cái quan sát thấy bên ngoài và là chuyển động biểu kiến, chứ không phải chuyển động thực tế: đó là một hiệu ứng thị sai, giống như khi ta vượt qua một chiếc xe thì ta có cảm giác chiếc xe đó đang chuyển động lùi về phía chân trời. Trong khi phát triển các lý thuyết của mình về chuyển động hành tinh, có lẽ Côpecnic đã lấy ý tưởng từ trong các công trình của nhà thiên văn học người Ấn 11
  18. Độ cho thuyết nhật tâm của mình, và các nhà khoa học - thiên văn học Hồi giáo để giải quyết các vấn đề quan trọng trong hệ thống Ptolemy. [1] Nội dung chính trong thuyết nhật tâm của Côpecnic như sau: - Mặt Trời, chứ không phải là Trái Đất ở trung tâm vũ trụ. - Các hành tinh chuyển động đều quanh Mặt Trời theo quỹ đạo tròn, cùng chiều và gần như trong một mặt phẳng. Càng ở xa Mặt Trời hành tinh có vận tốc càng lớn. - Trái Đất cũng là một hành tinh, ngoài chuyển động quanh Mặt Trời; Trái Đất còn tự quay quanh một trục xuyên tâm. - Mặt Trăng chuyển động tròn quanh Trái Đất. - Thủy tinh và Kim tinh có quỹ đạo chuyển động bé hơn quỹ đạo chuyển động của Trái Đất. Các hành tinh còn lại có quỹ đạo chuyển động lớn hơn quỹ đạo chuyển động của Trái Đất. Theo Côpecnic các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo thứ tự từ Mặt Trời ra xa là: Thủy tinh, Kim tinh, Trái Đất, Hỏa tinh, Mộc tinh, Thổ tinh Năm 1610, Galilê (Galilé) đã sáng chế kính thiên văn. Bằng kính thiên văn này ông đã nhìn rõ dạng cầu của nhiều hành tinh, nhìn rõ nhiều chi tiết trên Mặt Trăng, nhìn được vệ tinh của Mộc tinh Đây là những bằng chứng thực nghiệm quan trọng khẳng định sự đúng đắn trong học thuyết của Côpecnic. Vào cuối thế kỉ XVI, nhà triết học chân chính Bruno (Italia) cho rằng trong vũ trụ, mỗi sao là một Mặt Trời, xung quanh các sao cũng có các hành tinh và trong vũ trụ có thể có sự sống trên các thiên thể khác. Bruno đã bị kết án tội phản nghịch và đã bị giai cấp thống trị thiêu sống vào năm 1600 tại Rôma. Như vậy, về cơ bản hệ nhật tâm trên phù hợp với cấu tạo thực của hệ Mặt Trời. Mặc dù còn nhiều điểm thiếu chính xác cần phải hoàn thiện nhưng các nhà khoa học thời đó đã đưa ra một mô hình đúng đắn về hệ Mặt Trời. Cho đến nay người ta đã hoàn toàn công nhận nó. Tuy nhiên, để có được thành tựu này nhân loại đã phải vượt qua cuộc đấu tranh đầy khó khăn để khẳng định chân lý, kéo dài hàng chục năm cùng sự dũng cảm hy sinh của nhiều nhà khoa học thời bấy giờ. [2] 12
  19. 1.4. Các định luật Keple Kiên trì theo quan điểm của Côpecnic, nhà khoa học nước Đức Keple dựa trên các số liệu quan trắc Hoả tinh trong 20 năm của nhà thiên văn Đan Mạch Tycho Brahe và các số liệu quan trắc trong nhiều năm của chính mình, đã xây dựng nên ba định luật nổi tiếng sau: I. Các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo elip mà Mặt Trời nằm tại một trong hai tiêu điểm của elip quỹ đạo. II. Bán kính vectơ của mỗi hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. III. Bình phương chu kỳ chuyển động của hành tinh quanh Mặt Trời tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip. Trên hình 1.8 -a, F1 và F2 là hai tiêu điểm. VC = 2a là trục lớn, O là tâm của elip Giả sử Mặt Trời ở tiêu điểm F1. Theo định luật I thì hành tinh chuyển động trên quỹ đạo elip và như vậy khoảng cách từ hành tinh đến Mặt Trời biến thiên. Rõ ràng khi hành tinh ở điểm C thì có khoảng cách đến Mặt Trời bé nhất. Điểm C gọi là cận điểm. Khi hành tinh đến điểm V sẽ có khoảng cách đến Mặt Trời xa nhất. Điểm V gọi là viễn điểm. Khoảng cách từ Mặt Trời đến hàng tinh là r và được gọi là bán kính vectơ của hành tinh (r = F1H). Tại cận điểm rc = a (1-e) Tại viễn điểm rv = a (1+ e) 13
  20. OF ab22 với e 1 OC a e là tâm sai của elip, a là bán trục lớn, còn b là bán trục bé của elip Ba định luật Kêple được biểu diễn dưới dạng toán học như sau: p Định luật I: r (1.1) 1 ec os Trong đó: p là thông số của elip, p = F1P là góc cận điểm thực tức là góc hợp bởi bán kính vectơ của hành tinh với bán kính vectơ tại cận điểm. rd2 Định luật II: C (1.2) dt Theo định luật II Kêple thì diện tích hình quạt H1F1H2 là diện tích mà bán kính vectơ của hành tinh quét được trong khoảng thời gian t đúng bằng diện tích hình quạt H3F1H4 mà bán kính vectơ của hành tinh quét được cũng trong kohảng thời gian ấy. Ta thấy cung H1H2 lớn hơn cung H3H4. Như vậy ở vùng cận điểm hành tinh có vận tốc chuyển động lớn hơn so với các vùng khác. 2 2 T1 T2 Định luật III: 3 3 h (hằng số) (1.3) a1 a2 Trong đó T1, T2 là chu kỳ chuyển động; a1, a2 là bán trục lớn quỹ đạo tương ứng của hai hành tinh một và hai. Rõ ràng theo định luật này thì hành tinh ở càng xa Mặt Trời có chu kì chuyển động càng lớn. Thí dụ chu kì của Trái Đất vào khoảng 365 ngày, chu kì của Hoả tinh là 686 ngày. Nhận xét: Như vậy Kepler đã hiệu chỉnh quỹ đạo chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời một cách khá đúng đắn. Tuy nhiên, cũng như Côpecnic ông không giải thích được nguyên nhân của các chuyển động trên. Điều này chỉ được giải thích khi Newton đưa ra định luật vạn vật hấp dẫn. 1.5. Xây dựng biểu thức toán học của định luật vạn vật hấp dẫn Dưới tác dụng của lực hấp dẫn các hành tinh chuyển động theo các định luật Kêple. Ngược lại, từ các định luật Kêple ta rút ra được biểu thức của lực hấp dẫn. Thật vậy, từ định luật I (1.1) và II (1.2): 14
  21. Và vận dụng thêm phương trình động lực học: mv2 d Fdr (1.4) 2 Trong đó m là khối lượng, v là vận tốc của hành tinh và F là lực hấp dẫn của Mặt Trời tác dụng lên hành tinh. Trong hệ tọa độ cực thì biểu thức của vận tốc v có dạng: 2 2 dr dr v 2 r 2 dt dt Và từ đó (1. 4) sẽ có dạng: 22 m dr 2 d d r Fdr (1.5) 2 dt dt 22 m d dr 2 d dr hay: rF (1.5a) 2dd dt dt dC Từ (1.2) ta có: (1.2a) dt r 2 dr dr d dr C d 1 Và chú ý thêm: 2 C dt d dtd r d r Thì (1.5a) sẽ có dạng: 2 m.C 2 d d 1 1  dr mC22  d 11  F 22  F (1.4b) 2 r d r r 2 d d r r  d  Từ (1.1) ta có: 11e cos (1.1a) r p p Lấy vi phân hai lần (1. 1a) ta được d 2 1 e cos (1.1b) d 2 r p Đến đây kết hợp (1.1b) với (1.5b) thì F có dạng: mC2 m F K (1.6) pr2 r 2 15
  22. C 2 với K = hằng số p Hằng số K có giá trị chung cho các hành tinh. Quả vậy từ diện tích elip là ab, 2 ab b2 hằng số C bằng 2 lần tốc độ diện tích và bằng thông số p ta rút ra: T a 23 Ca22 Kh 44 2 = hằng số pT Rõ ràng hằng số K không phụ thuộc vào bán trục lớn a và chu kì T của mỗi hành tinh mà chỉ phụ thuộc vào tỉ số giữa lập phương bán trục lớn và bình phương chu kì, một tỉ số có giá trị chung cho mọi hành tinh (theo định luật 3). Bây giờ ta hãy làm sáng tỏ thêm ý nghĩa của hằng số K. Theo định luật 3 Niutơn thì lực Mặt Trời tác dụng lên hành tinh (F) phải bằng và ngược chiều với lực hành tinh tác dụng lên Mặt Trời (F). Rõ ràng lực F’ có dạng: M F ' K ' r 2 trong đó M là khối lượng của Mặt Trời Như vậy từ: FF ' Km K' M ta có: rr22 K K ' hay: M m = G = hằng số. do đó: K = GM (1.7) Từ (1. 6) và (1. 7) ta đi đến biểu thức hoàn chỉnh của lực hấp dẫn giữa Mặt Trời (có khối lượng M) và hành tinh (có khối lượng m) là: Km F G r 2 (1.8) trong đó hằng số G được gọi là hằng số hấp dẫn. Rõ ràng lực hấp dẫn giữa hai vật tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. 16
  23. Nm2 kg 2 Trong hệ SI hằng số hấp dẫn G = 6, 67. 10-11 1.6. Định luật vạn vật hấp dẫn – xác định khối lượng trái đất 1.6.1. Định luật vạn vật hấp dẫn Ta đã biết các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời và các vệ tinh chuyển động quanh hành tinh. Vậy điều gì là nguyên nhân cho những chuyển động này? Câu hỏi này đã được Niutơn giải đáp một cách thỏa đáng. Ông giải thích lực tạo cho các hành tinh và các vệ tinh chuyển động quanh hành tinh có bản chất giống như trọng lực trên mặt đất, đó chính là lực hấp dẫn. Để chứng minh điều này ông vận dụng vào chuyển động của Mặt Trăng. Nếu lực giữ cho Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất là trọng lực thì gia tốc hướng tâm của Mặt Trăng chính là gia tốc hấp dẫn của Trái Đất lên Mặt Trăng. Tại mặt đất gia tốc trọng trường là g = 9, 8 m/s2. Biết Mặt Trăng nằm cách Trái Đất một khoảng bằng 60 lần bán kính Trái Đất, nên tại Mặt Trăng thì gia tốc trọng trường g phải bé hơn 602 lần, nghĩa là gia tốc trọng trường tại bề mặt của Mặt Trăng là: g 9,81 0,0027 g’ = 60 2 3600 m/s2 Mặt khác gia tốc hướng tâm g’ của Mặt Trăng cũng được tính trực tiếp theo công thức: 2 2 2 g’ = ω R = R T trong đó T là chu kì chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất (T = 27, 3 ngày), R là bán kính quỹ đạo của Mặt Trăng (R = 60. 6370km). Thay các giá trị vào công thức trên ta được g’ = 0, 0027 m/s2. Kết quả như nhau về trị số của g’ tính theo hai cách trên chứng tỏ lực buộc Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất chính là trọng lực. Theo đó suy luận thêm rằng lực buộc các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời cũng có bản chất giống như trọng lực. Từ đó Niutơn đã khái quát và phát biểu một định luật chung của tự nhiên - định luật vạn vật hấp dẫn: các vật trong vũ trụ đều hấp dẫn nhau. Lực hấp 17
  24. dẫn giữa hai vật tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. 1.6.2. Xác định khối lượng Trái Đất Sau khi xây dựng định luật vạn vật hấp dẫn, người ta có khả năng xác định được khối lượng của Trái Đất. Đã có nhiều phương pháp xác định khác nhau và sau đây là một trong các phương pháp ấy. Trên 2 đĩa của một cân chính xác định, người ta đặt hai quả cầu có khối lượng bằng nhau (m1) và cán cân nằm thăng bằng (hình 1.9). Người ta đặt dưới một đĩa cân (đĩa bên trái) một quả cầu nặng có khối lượng m. Do lực hấp dẫn của m lên quả cầu m1 (bên đĩa trái) mà cân lệch xuống. Để lấy lại thăng bằng người ta phải bỏ thêm một quả cân lên đĩa bên phải, giả dụ quả cân này có khối lượng m2. Lúc này lực hấp dẫn tác dụng lên các quả cân ở đĩa phải và đĩa trái sẽ phải bằng nhau: Fphải = Ftrái GMm GMm GMm Gm m 1 2 1 1 (1. 9) R2 R 2 R 2 d 2 trong đó M là khối lượng của Trái Đất, R là bán kính của Trái Đất, d là khoảng cách từ tâm quả cầu m đến quả cân m1 m m m bên đĩa trái. f f f GMm Gm m m Từ (1-9) ta có: 21 Rd22 m1 mR hay M 2 (1.10) md2 Trong 1 lần thí nghiệm người ta đã sử dụng: m1 = 5 kg d = 0, 57m -4 m= 6000kg m2 = 0, 6g = 6. 10 kg Thay các trị số của các đại lượng trên vào (1. 10) ta thu được khối lượng của Trái Đất M: M = 5, 98. 1024kg 6. 1024kg 18
  25. Đến đây ta cũng có thể tính được khối lượng riêng trung bình của Trái Đất: M D 5,5 kg / dm3 V 19
  26. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN HAI VẬT VÀ ỨNG DỤNG 2.1. Bài toán hai vật Giả sử có hai vật với khối lượng tương ứng mo và m1 được coi như hai chất điểm và cách nhau một khoảng r. Ta hãy khảo sát chuyển động của chúng dưới tác 2 dụng của lực hấp dẫn tương hỗ F = G (mo. m1)/r . Phương trình chuyển động của mỗi vật thành lập trong hệ toạ độ cố định (quán tính) OXYZ là: Đối với m0: d2 X X X 00 Gm dt23 r d2 Y Y Y 00 Gm (2.1) dt23 r d2 Z Z Z 00 Gm dt23 r Trong đó X0, Y0, Z0 và X, Y, Z là toạ độ của m0 và m ở thời điểm khảo sát. Cũng như vậy đối với vật m ta có: 2 d X X X o Gm0 dt2 r 3 2 d Y Y Yo Gm0 (2.2) dt2 r 3 2 d Z Z Zo Gm0 dt2 r 3 Đối với hệ hai vật này có 6 phương trình vi phân hạng hai. Muốn giải ta phải thực hiện 12 phép tính tích phân. Trong thực tế người ta thường xét chuyển động của một vật đối với vật kia được coi như nằm yên. Muốn vậy, ta sử dụng hệ toạ độ Oxyz gắn với một vật, ví dụ với vật m0. Trường hợp này thì toạ độ của vật m sẽ là x, y, z và ta có: 2 2 2 2 x = X – X0; y = Y – Y0; z = Z – Z0; r = x + y + z Vận dụng hệ phương trình (2.1) và (2.2) ta sẽ được hệ phương trình chuyển động tương đối của vật m đối với vật m0 20
  27. d2 x x G() m0 m dt23 r d2 y y G() m0 m dt23 r d2 z z G() m0 m dt23 r d2 x x Hay: K dt23 r d2 y y K (2.3) dt23 r d2 z z K dt23 r với: K = G (m0 +m) (2.4) Từ hệ phương trình (2.3) ta rút ra được quy luật chuyển động tương đối của vật m đối với m0. Cần biết rằng dưới tác dụng của lực hấp dẫn các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo 3 định luật Kêple. Dĩ nhiên việc ta giải bài toán hai vật này nhất định sẽ thu được các định luật ấy, song còn tổng quát hơn nữa. 2.1.1. Suy ra định luật 2 Kêple Trước hết cần biết bằng chuyển động của một vật trong trường lực xuyên tâm (bài toán 2 vật ta đang xét cũng là xét chuyển động của một vật (m) trong trường lực xuyên tâm có tâm của lực tại m0) diễn ra trong một mặt phẳng chứa tâm của lực. Như vậy đối với các hệ (2.1), (2.2), (2.3) ta chỉ cần hai toạ độ. Lần lượt nhân hai phương trình đầu của hệ (2.3) với –y và x rồi cộng hai phương trình ta thu được: d22 y d x xy 0 dt22 dt d dy dx hay: xy 0 dt dt dt dy dx do đó: xyC (hằng số) (2.5) dt dt Trong hệ toạ độ cực với x = rcos ; y = rsin thì (2.5) có dạng: 21
  28. d rC2 dt Nghĩa là ta đã rút ra được định luật 2 mà Kêple đã xây dựng, định luật tốc độ diện tích không đổi. 2.1.2. Suy ra định luật 1 Kêple dx dy Lần lượt nhân hai phương trình đầu trong hệ (2.3) với và rồi cộng hai dt dt phương trình này ta thu được: d22 x dx d y dy K dx dy 2 2 2 xy dt dt dt dt r dt dt 2 2 1 d dx dy K dr hay: 3 r 2 dt dt dt r dt 22 d dx dy 2 K dr 2 dt dt dt r dt d d 1 v 2 2K dt dt r 2K vB2 r (2.6) Chuyển sang hệ toạ độ cực, v có dạng: 22 22 dr d vr dt dt 2 2 2 d dr 2 hay: v r dt d dC Từ định luật 2 Kêple ta có: dt r 2 2 2 22C dr Và biểu thức của v sẽ là: vr 4 (2.7) r d dr r222 K C Từ (2.6) và (2.7) ta suy ra: B 2 d C r r 22
  29. dr hay: d r222 K C B 2 C r r C d r d 2KC2 B 2 rr C d r d 2 KCK2 2 B C r C CK d K rC Vì là hằng số, nên có thể viết: d 2 C KCK2 2 B C r C CK d rC K 2 B K 2 2 Chia tử và mẫu ở vế phải cho B ta được: d C 2 2 C CK rC 1 K 2 B C 2 CK arccos rC A K 2 2 B C CK hay : cos( A ) rC K 2 B C 2 C 2 từ đó: r K C 2 1 1 B c os( A ) K 23
  30. p ta được: r (2.8) 1 ec os( A ) Đây là phương trình đường cong bậc hai, trong đó có p là thông số C 2 p hằng số K C 2 Và tâm sai : eB 1 hằng số K 2 CB2 hay: e2 11 B P (2.9) KK2 Ta có nhận xét rằng (2.7) và (2.9) đều chứa hằng số tích phân B. Điều đó cho thấy có liên hệ giữa vận tốc v và tâm sai e, hay nói cách khác có mối liên hệ giữa vận tốc v với dạng của quỹ đạo. Như vậy ta có thể khảo sát chuyển động cụ thể của vật qua (2.7) và (2.9): 2K vB2 r B eP2 1 K 2.1.2.1. Quỹ đạo elip: e 1 và p = a (e2 – 1) K 2 21 thì: B và vKh (2.13) a ra 24
  31. Như vậy dạng cụ thể của quỹ đạo phụ thuộc vào vận tốc ban đầu và khoảng cách giữa hai vật tức là phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của hai vật (động năng + thế năng) Hình 2.1 mô phỏng họ các quỹ đạo của vật m ứng với các vận tốc ban đầu v0 khác nhau tính từ cận điểm (r lúc này có môđun cực tiểu). BẢNG TÓM TẮT v = v o Vận tốc ban Dạng quỹ đạo đầu v0 Parabol 2 K M m tròn vt G Tròn r r 2 21 elip Elip vKe ra 2K parabol v2 p r Hình 2.1: Các yếu tố quỹ đạo 2 21 hypebol vKh ra 2.1.3. Suy ra định luật 3 Kêple Từ (1.6*) và (2.4) ta rút ra được biểu thức của định luật III Kêple chính xác: T 2 M m 4 2 const (2.14) a3 G Định luật III Kêple chính xác được phát biểu như sau: Tỉ số giữa tích của bình phương chu kì chuyển động của một vật quanh một vật khác với tổng khối lượng của chúng và lập phương bán trục lớn là một đại lượng không đổi (bằng 4/ 2 G ). Tỉ số có giá trị chung cho mọi cặp vật. Ta hãy áp dụng định luật III Kêple chính xác (1. 22) để xét hai hành tinh có khối lượng tương ứng là m1 và m2 chuyển động quanh Mặt Trời có khối lượng M: T2 () M m 4 2 11 aG3 1 T2 () M m 4 2 22 aG3 2 (2.15) 25
  32. 23 T1() M m 1 a 1 Do đó: 23 (2.16) T2() M m 2 a 2 Vì khối lượng của hành tinh (m1 và m2) rất bé so với khối lượng của Mặt Trời M nên (1. 24) có biểu thức gần đúng: 23 Ta11 23 (2.17) Ta22 (2.17) là biểu thức của định luật III mà Kêple đã xác lập từ số liệu quan trắc. Định luật III Kêple chính xác (2.14) rất quan trọng trong thiên văn học vì từ định luật này người ta có khả năng xác định được khối lượng của các thiên thể mỗi khi biết được chu kì và bán trục lớn quỹ đạo chuyển động của thiên thể này quanh thiên thể khác (hai đại lượng chu kì và bán trục lớn có thể xác định được bằng quan trắc). 2.2. Bài toán nhiều vật – lực nhiễu loạn Bài toán hai vật đã xét là bài toán lí tưởng. Trong thực tế có rất nhiều vật tương tác lẫn nhau. Chẳng hạn khi xét chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất thì ngoài lực tác dụng của Trái Đất, Mặt Trăng còn chịu lực tác dụng của Mặt Trời, của các hành tinh khác. Do có quỹ đạo của Mặt Trăng không còn là một elip toán học mà bị biến dạng rất phức tạp. Việc giải bài toán nhiều vật, ngay cả bài toán ba vật là vô cùng khó khăn, chỉ có thể giải một cách gần đúng. Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp giải và từ đó hiểu được khái niệm được gọi là lực nhiễu loạn và những ứng dụng lí thú của bài toán nhiều vật. Thử khảo sát sự nhiễu loạn trong chuyển động của một hành tinh của hệ Mặt Trời. Gọi khối lượng của Mặt Trời và của các hành tinh theo thứ tự m0, m1, m2 , mn. Lực hấp dẫn tương hỗ giữa hai thiên thể số i và j có dạng: mm FG ij ij r 2 ij 26
  33. Trong hệ toạ độ tuyệt đối thì thành phần của tổng hợp lực (trên tạo độ X) của các thiên thể khác tác dụng lên vật số i là: F = m ix i Xi XXXX0 i n i = Gmi m0 33 Gm i m n rrio in n XX G m m ji =  ij 3 j 0 rij n XX X G' m ji hay: ij 3 (2.18) j 0 rij Dấu phẩy (, ) ở tổng  có nghĩa là j được lấy trị số từ 0 đến n trừ j = i. Đối với vật m0 ta cũng có biểu thức tương tự: n XX X G' m jo (2.19) 0  j r3 j 0 oj Nếu xét chuyển động tương đối của hành tinh đối với Mặt Trời (lấy gốc toạ độ trùng với Mặt Trời mo) thì: xi = Xi – Xo vv và (1. 26), (1. 27) sẽ có dạng: nnX X x x x j ii j i X0 G'' mj3 Gm o 3 G m j 3 jj 01rij r io r ij nnxxx jji X0 G'' mj3 Gm i 3 G m j 3 jj 01roj r oi r oj Do đó xi X i X o sẽ là: x n x x x x G()' m mi G m j i j i o i3 j 3 3 roi j 1 rij r oj x n x x x hay: x Ki G' m j i j (2.20) ij3 3 3 roi j 1 rij r oj Đối với 2 toạ độ Y và Z ta cũng có biểu thức tương tự. (2.20) là phương trình chuyển động của hành tinh thứ i đối với Mặt Trời trong trường hấp dẫn của hệ Mặt Trời (các thiên thể từ 0 đến n). Số hạng đầu của vế phải 27
  34. trong (2.20) là gia tốc hấp dẫn của Mặt Trời lên vật i (tương tự như bài toán 2 vật đã xét). Còn số hạng thứ hai biểu diễn tổng của lực hấp dẫn của các thiên thể khác lên vật khảo sát i và lên Mặt Trời được coi như nằm yên. Phép toán cho biết rằng số hạng thứ hai này có trị số rất bé so với trị số của số hạng đầu và do đó nó được gọi là gia tốc nhiễu loạn. Để thấy rõ hơn ý nghĩa của gia tốc nhiễu loạn ta hãy xét một hệ đơn giản gồm 3 vật, ví dụ hệ gồm Mặt Trời, Trái Đất và Hoả tinh với khối lượng tương ứng là m0, m1 và m2 Theo (2.20) thì phương trình chuyển động của Trái Đất (m1) đối với Mặt Trời là: m2 x1 x 2 x 2 x 2 x12 k Gm r3 r 3 r 3 01 12 02 Như vậy gia tốc của Trái Đất có 3 thành phần (hình 2.2): g20 Gia tốc chủ đạo: g12 r m1 Kx11 x mo g01 g01 G() m 0 m 1 g rr33 o2 01 01 do Mặt Trời tác dụng và hướng về Mặt Trời xx Gia tốc nhiễu loạn thứ nhất: g Gm 21 12 2 r3 12 Hình 2.2: Gia tốc của Trái Đất do Hoả tinh tác dụng và hướng về Hoả tinh x Gia tốc nhiễu loạn thứ hai: g g Gm 2 02 20 2 r3 02 Có gia tốc nhiễu loạn thứ hai này là do Mặt Trời còn bị tác dụng hấp dẫn của x2 Hoả tinh với gia tốc g20 Gm 2 3 nên phải tính đến gia tốc này. r02 Ta thấy rằng gia tốc nhiễu loạn phụ thuộc vào khối lượng của Hoả tinh và vào khoảng cách từ Hoả tinh đến Trái Đất và Mặt Trời. Rõ ràng các khoảng cách này đều thay đổi theo thời gian và do đó gia tốc nhiễu loạn có độ lớn và hướng luôn 28
  35. luôn biến thiên. Điều này cho ta thấy việc giải bài toán nhiều vật, ngay cả bài toán 3 vật là rất phức tạp. Tuy nhiên, việc giải bài toán nhiều vật có ý nghĩa rất quan trọng trong việc phát hiện ra các hành tinh mới trong hệ Mặt Trời (Thiên vương tinh và Hải vương tinh), cũng như các hành tinh ở các hệ sao khác. 2.3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và trạm vũ trụ 2.3.1. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo Ngày 4-10-1957, lần đầu tiên trong lịch sử, Liên xô cũ đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên của Trái Đất, mở đầu kỉ nguyên du hành vũ trụ. Cần biết rằng các thiên thể nhân tạo cũng chuyển động theo các định luật Kêple (quỹ đạo chuyển động của chúng phụ thuộc vào lực hấp dẫn và vận tốc ban đầu). Bằng tên lửa nhiều tầng, vật phóng được tăng tốc dần. Khi tầng cuối ngừng hoạt động và tách ra khỏi vật phóng thì vật phóng đã tới một điểm có độ cao xác định và có vận tốc xác định theo phương nằm ngang. Điểm này được gọi là điểm vào quỹ đạo. Nếu tại điểm vào quỹ đạo vận tốc của vật đạt vận tốc chuyển động tròn 2 vt G()/ m0 m r thì vật sẽ chuyển động tròn quanh Trái Đất. Nếu vận tốc bé hay lớn hơn vận tốc chuyển động tròn thì vật sẽ chuyển động theo quỹ đạo elip. Trong trường hợp bé hơn thì điểm lên quỹ đạo là viễn điểm, trường hợp ngược lại là cận điểm. Rõ ràng trong trường hợp thứ nhất vật sẽ lại rơi xuống mặt đất. Vì khối lượng của vật phóng m rất bé so với khối lượng của Trái Đất nên vận tốc chuyển động tròn của vệ tinh nhân tạo ở độ cao h trên mặt đất (cách tâm trái đất r = R +h, với R là bán kính của Trái Đất) được tính theo công thức: 2 GM vt Rh Một vệ tinh nhân tạo tưởng tượng chuyển động theo quỹ đạo tròn ở sát mặt đất (h=0) thì phải có vận tốc GM vI 7,91 km / s (2.21) R Vận tốc VI này được gọi là vận tốc vũ trụ cấp I của Trái Đất. 29
  36. Trong thực tế, các vệ tinh nhân tạo được phóng lên khá cao (thường cao trên 100km) để tránh lớp khí quyển dày đặc, nhưng dù sao thì khí quyển vẫn còn và do ma sát mà quỹ đạo của chúng liên tục biến đổi, cụ thể bán trục lớn của quỹ đạo giảm dần. Vì càng ở gần mặt đất khí quyển càng dày đặc nên vận tốc của vệ tinh bị giảm nhanh khi chuyển động ở vùng cận điểm. Từ đó độ cao của viễn điểm giảm rõ rệt sau mỗi vòng chuyển động cho đến khi quỹ đạo có dạng tròn. Từ đây vệ tinh chịu lực ma sát đồng đều trên toàn quỹ đạo nên hạ thấp dần theo đường xoắn ốc đi vào lớp khí quyển dày đặc và bốc cháy. Cần chú ý rằng vì bán kính quỹ đạo của vệ tinh ngày càng giảm, tức là thế năng của nó ngày càng giảm và một phần của độ giảm thế năng này được chuyển sang động năng dẫn đến kết quả là vận tốc của vệ tinh không bị giảm mà ngược lại tăng lên và do đó chu kì chuyển động của nó cũng giảm dần (phù hợp với định luật 3 Keple). 2.3.2. Chuyển động của các trạm vũ trụ Ta gọi trạm vũ trụ là vật được phóng lên quỹ đạo với vận tốc lớn hơn vận tốc vũ trụ cấp I, đến mức có khả năng vượt ra khỏi phạm vi tác dụng của Trái Đất và tiến đến các thiên thể khác trong hệ Mặt Trời. Quỹ đạo của các trạm vũ trụ bao gồm hai phần chính: Phần hoạt động và phần thụ động. Trong phần hoạt động, trạm chuyển động nhờ sức đẩy của tên lửa. Phần thụ động bắt đầu từ lúc tên lửa ngừng hoạt động và từ đây trạm tiếp tục chuyển động trong trường hấp dẫn của Trái Đất và của các thiên thể khác của hệ Mặt Trời (Mặt Trăng, Mặt Trời, các hành tinh, ). Nếu vận tốc của trạm ở thời điểm bắt đầu phần thụ động bằng (hay lớn hơn) vận tốc parabol với Trái Đất thì trạm sẽ chuyển động trong theo quỹ đạo parabol (hay hipecbol) cho đến khi nó chưa vượt ra khỏi cầu tác dụng của Trái Đất hay chưa đi vào cầu tác dụng của một thiên thể khác nào đó. Cầu tác dụng của một thiên thể nào đó có khối lượng m so với một thiên thể khác có khối lượng m’ là khoảng không gian bao quanh nó mà ở trong khoảng không gian này thoả mãn điều kiện: 30
  37. gg' gg' Trong đó g và g’ là gia tốc trọng trường trong trường hấp dẫn của thiên thể m và m’, g và g’ là gia tốc nhiễu loạn từ phía m’ và m gây ra. Bán kính của cầu tác dụng được tính theo công thức: m r()2/5 (Trong đó r là khoảng cách giữa hai thiên thể đó) m' Từ công thức trên ta tính được bán kính cầu tác dụng của Trái Đất so với Mặt Trời bằng 930 000km, và bán kính cầu tác dụng của Mặt Trăng so với Trái Đất bằng 66.000km. Số liệu sau có nghĩa rằng một con tàu vũ trụ được phóng từ Trái Đất khi tiến đến cách Mặt Trăng 66.000km thì lực chủ yếu quyết định đặc điểm chuyển động tiếp theo của trạm là lực hấp dẫn của Mặt Trăng. Còn lực hấp dẫn của Trái Đất chỉ đóng vai trò phụ (lực nhiễu loạn). Tại biên giới này nếu vận tốc của trạm đối với Mặt Trăng bằng không thì trạm sẽ rơi tự do xuống Mặt Trăng, nếu lớn hơn không nhưng bé hơn vận tốc parabol đối với Mặt Trăng thì tuỳ theo phương chuyển động của trạm mà trạm có thể chuyển động quanh Mặt Trăng theo quỹ dạo elip hay tròn, nếu vận tốc bằng hay lớn hơn vận tốc parabol thì trạm có thể thoát li khỏi Mặt Trăng. Cần nhắc lại rằng một trạm vũ trụ muốn thoát li khỏi Trái Đất thì vận tốc của trạm lúc bắt đầu phần thụ động (tại điểm lên quỹ đạo) phải đạt vận tốc parabol đối với Trái Đất. Giả sử điểm lên quỹ đạo này ở độ h thì vận tốc parabol là: 2K 2GM v p (2.22) r R h Nếu điểm bắt đầu phần thụ động lấy ngay tại mặt đất (h = 0) thì: 2GM vp R Vận tốc này được gọi là vận tốc vũ trụ cấp II của trái đất. 2GM vII (2.23) R 31
  38. hay: vvII I 2 11,2km / s Bây giờ ta hãy tìm hiểu khái niệm gọi là vận tốc vũ trụ cấp III, vận tốc ban đầu cần thiết để cho trạm vũ trụ thoát li khỏi hệ Mặt Trời tiến vào khoảng không giữa các sao. Muốn cho một trạm vũ trụ vượt khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất tiến vào cầu tác dụng của Mặt Trời mà không rơi xuống Mặt Trời thì tại vùng giới hạn này phải có vận tốc v đối với Mặt Trời (vận tốc nhật tâm) khác không. Tuỳ theo trị số và hướng của vận tốc nhật tâm v này mà quỹ đạo chuyển động của trạm đối với Mặt Trời có dạng khác nhau. Cần biết rằng các trạm vũ trụ được phóng từ Trái Đất đang chuyển động quanh Mặt Trời và với vận tốc xác định vĐ. Hiệu số vận tốc bổ sung vBS của trạm - vận tốc của trạm đối với Trái Đất khi nó rời khỏi cầu tác dụng của Trái Đất so với Mặt Trời. Vận tốc ban đầu của trạm (tại điểm lên quỹ đạo ở độ cao h) được tính theo (1.9). 2 2GM GM v0 R h a Vận tốc của trạm ở khoảng cách r bằng bán kính cầu tác dụng của Trái Đất , chính là vận tốc bổ sung của trạm cũng được tính theo (2.9). 2 2GM GM vBS a 2 2 2GM 2GM Từ 2 phương trình trên ta có: v0 vBS R h 2GM hay: v2 v2 v2 v2 0 BS p p vì khá lớn so với R +h Như vậy vận tốc ban đầu của trạm được tính theo công thức: v v22 v (2.24) 0 p BS Ta biết Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo elip với tâm sai rất bé nên có thể coi như theo quỹ đạo tròn và vận tốc được tính theo (2.10) và bằng v0 32
  39. = vt = 29, 8km/s. Ở khoảng cách của Trái Đất thì vận tốc parabol đối với Mặt Trời vp = vt 2 42,1km / s Như vậy muốn thoát li khỏi Mặt Trời (khỏi hệ Mặt Trời) thì vận tốc nhật tâm của trạm phải bằng v = vp = 42, 1 km/s. Từ đó nếu trạm thoát ra khỏi cầu tác dụng của Trái Đất có chiều chuyển động cùng chiều chuyển động của Trái Đất thì vận tốc bổ sung của nó là: VBS = vp – vt = (42, 1 – 29, 8) km/s = 12, 3 km/s và nếu ngược chiều với chiều chuyển động của Trái Đất thì: VBS = vp + vt = (42, 1 + 29, 8) km/s = 71, 9 km/s Như vậy vận tốc cần thiết của trạm trong trường hợp thuận chiều sẽ là: v 11,22 12,32 16,6 km/s o và trong trường hợp ngược chiều sẽ là: v 11,22 71,92 72,8 km/s o Ta thấy rằng vận tốc ban đầu cần thiết của một trạm (được phóng từ mặt đất) để có thể thoát li khỏi hệ Mặt Trời phụ thuộc rõ rệt vào chiều chuyển động của trạm khi vượt ra khỏi cầu tác dụng của Trái Đất. Nó nằm trong giới hạn: 16, 6 km/s ≤ v0 ≤ 72, 8 km/s Vận tốc bé nhất bằng 16, 6 km/s được gọi là vận tốc vũ trụ cấp III của Trái Đất. 2.4. Ứng dụng bài toán nhiều vật trong việc phát hiện thiên thể 2.4.1. Phát hiện sao Hải Vương Sao Hải Vương là hành tinh thứ tám và xa nhất tính từ Mặt Trời trong Hệ Mặt Trời. Nó là hành tinh lớn thứ tư về đường kính và lớn thứ ba về khối lượng. Sao Hải Vương có khối lượng riêng lớn nhất trong số các hành tinh khí trong hệ Mặt trời. Sao Hải Vương có khối lượng gấp 17 lần khối lượng của Trái Đất và hơi lớn hơn khối lượng của Sao Thiên Vương(xấp xỉ bằng 15 lần của Trái Đất). Sao Hải Vương quay trên quỹ đạo quanh Mặt Trời ở khoảng cách trung bình 30,1 AU, bằng khoảng 30 lần khoảng cách Trái Đất - Mặt Trời. Sao Hải Vương được đặt tên 33
  40. theo vị thần biển cả của người La Mã (Neptune). Nó có ký hiệu thiên văn là ♆, là biểu tượng cách điệu cây đinh ba của thần Neptune. Sao Hải Vương là hành tinh đầu tiên được tìm thấy bằng tính toán lý thuyết. Dựa vào sự nhiễu loạn bất thường của quỹ đạo Sao Thiên Vương, nhà thiên văn Alexis Bouvard đã kết luận rằng quỹ đạo của nó bị nhiễu loạn do tương tác hấp dẫnvới một hành tinh nào đó. Vào ngày 23 tháng 9 năm 1846, nhà thiên văn Johann Galle đã phát hiện ra Sao Hải Vương ở vị trí lệch 1 độ so với tiên đoán của Urbain Le Verrier. Sau đó ít lâu, người ta cũng khám phá ra Triton, vệ tinh lớn nhất của sao Hải Vương, trong khi 13 vệ tinh còn lại của nó chỉ được phát hiện trong thế kỷ XX. Cho tới nay, tàu không gian Voyager 2 là tàu duy nhất bay qua Sao Hải Vương vào ngày 25 tháng 8 năm 1989. Các bản vẽ của Galileo Galilei cho thấy ông là người đầu tiên quan sát Sao Hải Vương qua kính viễn vọng vào ngày 28 tháng 12 năm 1612, và một lần nữa vào ngày 27 tháng 1 năm 1613. Trong cả hai lần, Galileo đã nhầm Sao Hải Vương là một ngôi sao cố định khi nó xuất hiện ở vị trí giao hội rất gần với Sao Mộc trên bầu trời. Vì vậy mà Galileo không được công nhận là người phát hiện ra Sao Hải Vương. Trong lúc quan sát đầu tiên của ông tháng 12 năm 1612, Sao Hải Vương gần như đứng yên trên nền trời bởi vì nó vừa mới di chuyển nghịch hành biểu kiến vào ngày đó. Chuyển động ngược biểu kiến xuất hiện khi Trái Đất vượt lên trước hành tinh vòng ngoài trên quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Do Sao Hải Vương vừa mới bắt đầu chuyển động nghịch hành, chuyển động này quá nhỏ để có thể nhận ra qua kính thiên văn nhỏ của Galileo. Tháng 7 năm 2009, nhà vật lý David Jamieson ở Đại học Melbourne nêu ra bằng chứng mới cho thấy Galileo có lẽ đã nhận ra "ngôi sao" mà ông quan sát có vẻ đã dịch chuyển so với những ngôi sao cố định. Năm 1821, nhà thiên văn Alexis Bouvard công bố tham số quỹ đạo của Sao Thiên Vương. Tuy nhiên, những quan sát ngay sau đó lại sai lệch so với dữ liệu công bố của ông. Bouvard giả thuyết rằng có một vật thể nào đó đã làm nhiễu loạnquỹ đạo Sao Thiên Vương bằng tương tác hấp dẫn. 34
  41. Năm 1843, nhà thiên văn John Couch Adams bắt đầu nghiên cứu quỹ đạo của Thiên Vương Tinh dựa trên những dữ liệu hiện có. Adams đã nhờ giám đốc Đài quan sát Cambridge James Challis yêu cầu Sir George Airy, một nhà thiên văn Hoàng gia Anh, gửi thêm cho ông số liệu. Adams tiếp tục công trình của mình trong 1845–46 và đưa ra một vài kết quả về ước lượng vị trí hành tinh mới này. Cũng trong năm 1845–46, Urbain Le Verrier cũng tiến hành tính toán tham số quỹ đạo độc lập với Adams. Ông cũng gặp phải khó khăn trong việc thu hút sự quan tâm từ những người cùng ngành trong nước. Tháng 6 năm 1846, dựa trên công trình khoa học của Le Verrier và Adams về ước lượng vị trí của hành tinh mới, Airy đã đề nghị Challis sử dụng kính thiên văn tìm kiếm hành tinh này. Challis đã quan sát các vị trí trên bầu trời trong toàn bộ tháng 8 và tháng 9 nhưng không có kết quả. Trong thời gian này, Le Verrier đã gửi thư đến Johann Galle, giám đốc Đài quan sát Berlin, để thuyết phục tìm kiếm hành tinh mới bằng kính thiên văn phản xạ. Heinrich d'Arrest, một sinh viên thực tập tại đài thiên văn, đã đề xuất với Galle rằng họ nên so sánh bản đồ bầu trời vẽ gần đây trong vùng của vị trí mà Le Verrier tiên đoán với vùng bầu trời quan sát qua kính thiên văn, và tìm xem có vật thể nào di chuyển so với những ngôi sao cố định không. Vào đêm của ngày nhận được lá thư của Le Verrier, ngày 23 tháng 9 năm 1846, Galle và d'Arrest đã phát hiện ra Sao Hải Vương ở vị trí lệch 1° so với tính toán của Le Verrier, và lệch khoảng 12° so với tính toán của Adams. Challis sau đó nói rằng ông đã hai lần quan sát thấy Sao Hải Vương vào ngày 8 và 12 tháng 8 năm đó, nhưng do Challis không có bản đồ sao mới nhất nên đã không nhận ra đó là một hành tinh. Ngay sau khi công bố phát hiện ra hành tinh mới, đã có tranh cãi giữa Anh và Pháp về việc ai nên được công nhận là người phát hiện. Cộng đồng khoa học lúc đó cho rằng cả hai nhà thiên văn Le Verrier và Adams đều xứng đáng được công nhận. Từ 1966 Dennis Rawlins nêu ra vấn đề về sự công nhận cho Adams là người đồng khám phá hành tinh, và vấn đề này đã được đánh giá lại bởi các nhà lịch sử khoa học trong hội nghị về "Lịch sử khám phá Sao Hải Vương" năm 1998 tổ chức tại Đài quan sát Hoàng gia, Greenwich. Sau khi đánh giá lại các ghi chép và bài báo trong 35
  42. lịch sử, họ cho rằng "Adams không xứng đáng khi được công nhận bình đẳng với Le Verrier về tính toán khám phá Sao Hải Vương. Sự công nhận chỉ thuộc về người không những tiên đoán đúng vị trí hành tinh mà còn thành công trong thuyết phục các nhà thiên văn thực hiện quan sát nhằm tìm kiếm nó." (Adams không hề thuyết phục nhà thiên văn nào tìm kiếm mà là do Airy khuyến nghị, xem ở trên) 2.4.2. Phát hiện sao diêm vương Trong thập niên 1840, sử dụng cơ học Newton, Urbain Le Verrier đã dự đoán vị trí của Sao Hải Vương khi ấy vẫn chưa được khám phá sau khi phân tích những nhiễu loạn trong quỹ đạo của Sao Thiên Vương. Giả thiết rằng những sự nhiễu loạn bị gây ra bởi lực hút hấp dẫn của hành tinh khác, Le Verrier đã gửi những tính toán của mình cho nhà thiên văn học Đức Johann Gottfried Galle. Ngày 23 tháng 9 năm 1846, buổi tối sau khi nhận được bức thư, Galle và sinh viên của mình Heinrich d'Arrest đã tìm thấy Sao Hải Vương ở chính xác nơi Le Verrier đã dự đoán. Những quan sát Sao Hải Vương ở cuối thế kỷ 19 đã khiến các nhà thiên văn học phải cho rằng quỹ đạo của Sao Thiên Vương đang bị nhiễu loạn bởi một hành tinh khác nữa ngoài Sao Hải Vương. Năm 1906, Percival Lowell, một người Boston giàu có từng thành lập Đài quan sát Lowell tại Flagstaff, Arizona năm 1894, đã khởi động một dự án lớn để tìm kiếm một hành tinh có thể có thứ 9, hành tinh mà ông gọi tên là "Hành tinh X". Tới năm 1909, Lowell và William H. Pickering đã đề xuất nhiều tọa độ có thể của một hành tinh như vậy. Lowell và đài quan sát của mình đã tìm kiếm từ năm 1905 tới khi ông qua đời năm 1916, nhưng không hề có kết quả. Việc tìm kiếm Hành tinh X của đài thiên văn mãi tới năm 1929, mới được bắt đầu trở lại khi ông giám đốc Vesto Melvin Sliphergiao vai trò định vị Hành tinh X cho Clyde Tombaugh, một chàng trai xuất thân nông dân 22 tuổi đến từ Kansas, người mới chỉ tới Đài quan sát Lowell sau khi Slipher cảm thấy ấn tượng bởi một mẫu các bản vẽ thiên văn học của anh. Nhiệm vụ của Tombaugh là vẽ hình một cách có hệ thống bầu trời đêm bằng những bức ảnh đúp được chụp từ hai tuần trước đó, sau đó xem xét các cặp và xác 36
  43. định xem có bất kỳ một vật thể nào thay đổi vị trí hay không. Sử dụng một máy được gọi là máy so sánh ánh sáng nhấp nháy, anh nhanh chóng di chuyển tới lui các quang cảnh của mỗi đĩa, để tạo ra sự phản chiếu di động của bất kỳ vật thể nào đã thay đổi vị trí hay xuất hiện giữa các bức ảnh. Ngày 18 tháng 2 năm 1930, sau gần một năm tìm kiếm, Tombaugh đã phát hiện một vật thể có thể di động trên những đĩa ảnh được chụp ngày 23 tháng 1 và 29 tháng 1 năm ấy. Một bức ảnh chất lượng kém hơn được chụp ngày 20 tháng 1 đã giúp anh xác nhận sự chuyển động. Sau khi đài quan sát có được những bức ảnh xác nhận thêm nữa, tin tức về khám phá được gửi tới Đài quan sát Đại học Harvard ngày 13 tháng 3 năm 1930. Vật thể mới sau này đã được thấy trong những bức ảnh được chụp từ ngày 19 tháng 3 năm 1915. 37
  44. CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 3.1. Giải thích hiện tượng sao Hôm và sao Mai (là hai hiện tượng nhìn thấy của Kim Tinh). Giải: Vì Kim Tinh ở gần Mặt Trời hơn, có chu kì chuyển động ngắn hơn so với Trái Đất, nên ta thấy Kim Tinh khi ở phía Đông khi lại ở phía Tây đối với Mặt Trời Khi Kim Tinh ở phía Đông. Khi Kim Tinh ở phía Tây. Khi Mặt Trời lặn xuống dưới đường Do chu kì ngắn nên khi nó đi dược một chân trời, Kim Tinh vẫn ở trên đường vòng nữa và sáng hôm sau Kim Tinh sẽ xuất chân trời, lúc này nó được gọi là sao Hôm. hiện trước Mặt Trời, lúc này nó được gọi là sao Mai. s.Mai s.Hôm Đ T Đ T M.Trời M.Trời 3.2. Một vệ tinh nhân tạo chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo elíp có tâm sai e, bán trục lớn a và chu kỳ T. a) Tính vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm và ở viễn điểm. So sánh độ lớn 2 vận tốc ấy? b) Cho e = 0,2; a = 10.000km; R = 6370km. Tính khoảng cách gần nhất và xa nhất từ vệ tinh đến mặt đất? Giải: a, Vì vệ tinh nhân tạo chuyển động với quỹ đạo elíp, nên Trái Đất phải nằm 1 trong 2 tiêu điểm. Giả sử Trái Đất ở F. c a 2 b2 OC= a ; e= = a a rc= a(1- e) 38
  45. rv= a(1+ e) vì vệ tinh chuyển có quỹ đạo là (E) 2.k k v2= - (1) r a T 2 4. 2 4. 2 Mặt khác: = = a 3 G m M k 4. 2 k= a3. (2) T 2 2a3.4 2 4 2 .a 2 Thay (2) vào (1): v2= - r.T 2 T 2 (1 đ) 3 2 2 2 2 2 2 2.a .4 4. a 4. a 1 e Tại cận điểm: v c = - = a 1 e .T 2 T 2 T 2 1 e 2 .a 1 e vc= (3) T 1 e 2 3 2 2 2 2 2 4. .2a 4. .a 4. .a 1 e Tại viễn điểm: v v = - = a 1 e .T 2 T 2 T 2 1 e 2 .a 1 e vv= (4) T 1 e So sánh 2 giái trị vận tốc : 3 vc 1 e = = F F 4 vv 1 e (1 đ) B V C b, thay các giá trị để tính A O c e= OF= c.a= 2.000 km a R= AF= 6370 km Khoảng cách ngắn nhất tới Trái Đất: AC= (10000-2000)- 6370= 1630 km Khoảng cách xa nhất tới Trái Đất: BV= FV- FB= OF+ a- R 39
  46. = 2000+ 10000- 6370= 5630 km(1 đ) 3.3. Hãy tính độ cao và vận tốc ngang của 1 vệ tinh liên lạc địa tĩnh chuyển động tròn quanh Trái Đất (có chu kỳ bằng chu kỳ tự quay của Trái Đất) (cho biết diện tích elíp πab = πa2 1 e 2 ). Giải: Ta có diện tích của elíp là: .a.b= .a2. 1 e 2 b= a. 1 e 2 b b 2 a 2 b2 = 1 e 2 = 1- e2 e2= a a 2 a 2 Với elíp có bán trục lớn là a, bán trục nhỏ là b và tâm sai e= a 2 b 2 Vệ tinh liên lạc tĩnh có chu kỳ T bằng chu kỳ tự quay của Trái Đất nên: Tv= 24.3600= 86400(s) k Với quỹ đạo tròn thì vệ tinh có vận tốc dài v= r k m M G.M k Vì m M nên v2= = G. = = r r r a (1 đ) T 2 4. 2 G.M áp dụng định luật III Keple: = a 3 = .T 2 a 3 G.M v 2 v G.M.T 2 6,67.10 11.6.10 24 86400 2 3 v 3 av= = 3 42,3.10 km 4. 2 4 2 3 3 Mà: av= R+ h h= av- R= 42,3.10 - 6,37.10 = 36400 km Vậy vận tốc ngang của vệ tinh là: G.M 6,67.10 3.6.10 24 V= = = 3 km 3 s av 42,3.10 (1 đ) 3.4. Tính gần đúng khối lượng của Mộc tinh, biết: với Mộc tinh a = 5,2 AU; T = -3 -2 11,9 năm; với vệ tinh Ganimet của Mộc tinh a1 = 7,14.10 AU, T1 = 1,0.10 năm. Giải: Gọi a và a1 lần lượt là bán trục lớn vủa quỹ đạo của mộc tinh và vệ tinh Gammet. 40
  47. T và T1 là cu kỳ dao động của chúng Theo định luật III Keple áp dụng cho Mộc Tinh và Mặt Trời: T 2 4. 2 = (1) a 3 G m M 2 2 T1 4. 3 = (2) a1 G m0 m 2 2 2 3 T . m M T1 . m0 m T m M .a1 Tờ (1) và (2) ta có : 3 = 3 2 3 = 1 (3) a a1 T1 m0 m a Do m M và m0 m nên ta có yhể bỏ qua m so với M, và m0 so với m 2 3 2 3 2 3 3 T M.a T .M.a 11,9 . 7,14.10 24 5 27 (3) 1 = 1 m = 1 = 6.10 .3,3.10 = 2.10 kg 2 3 2 3 2 2 3 T1 m.a T1 a 1,9.10 5,2 Vậy khối lượng của Mộc Tinh là m = 2.1027kg 3.5. Tính vận tốc vũ trụ cấp I và cấp II của Mặt Trăng? Giải: Vận tốc vũ trụ cấp I và cấp II của Mặt Trăng là: R= 1738km M= 7,3.1022kg 11 22 G.M 6,67.10 .7,3.10 3 VI= = = 1,67.10 (m/s) R 1738.10 3 3 VII= 2 .vI= 2,36.10 (m/s) 3.6. Tính vận tốc của vệ tinh nhân tạo bay theo quỹ đạo tròn ở độ cao 250 km quanh Trái Đất, quanh Hoả tinh và quanh Mặt Trăng? Giải: Vì quỹ đạo chuyển động là quỹ đạo tròn nên có: k k G.M V2= = = r R h R h 11 24 G.M  6,67.10 .6.10 3 Vận tốc quanh Trái Đất là: vđ= = = 7,76.10 m/s R h 6370 250 .10 3 41
  48. 11 24 G.M H 6,67.10 .0,64.10 3 Vận tốc quanh Hoả Tinh là: vH= = = 3,31.10 m/s R h 3386 250 .10 3 11 22 G.M HT 6,67.10 .7,3.10 3 Vận tốc quanh Mặt Trăng là: vMT= = = 1,57.10 m/s R h 1738 250 10 3 3.7. Người ta phóng 1 trạm vũ trụ chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo tròn trong mặt phẳng hoàng đạo. Các trạm quan sát từ mặt đất thấy trạm này dao động quanh Mặt Trời với biên độ xác định bằng 450. a, Tính bán kính quỹ đạo a1 và chu kỳ chuyển động T1 của trạm (coi Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo tròn với bán kính bằng 1 AU và chu kỳ 1 năm.) b, Giả sử tại điểm O trên quỹ đạo tròn của trạm (hình vẽ) người ta tăng tốc parabol (trạm bắt đầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận điểm O làm đỉnh). Hãy tính thời gian trạm chuyển từ điểm O đến điểm T. Cho biết phương trình parabol trong hệ xOy là y2 = 2px trong đó p là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn. Chú ý thêm rằng định luật II y Keple cũng đúng đối với chuyển động parabol. T Giải: a, Theo hình vẽ: V Trạm vũ trụ x Đ Trái Đất O M M Mặt đất T 2 Áp dụng định luật III Keple: =1 a3 0 2 a1= MV= OĐ.sin45 = đvtv 2 3 / 2 2 T 2 = a 3 T = a 3 / 2 = = 0,6 năm 1 1 1 1 2 b. Gọi t là khoảng thời gian trạm bay từ O T 42
  49. S t= OMT với : vận tốc diện tích  a a1 2 3 2 3 S= = 2.p.xdx = . 2 p.x 2 a1 = 2 p.a 2 y.dx o 1 0 0 3 3 1 1 Trong hệ toạ độ cực:  = .r.v  = .r.v 2 II 2 II 1 2 G.M = . 2.vI .r = . .a1 2 2 a1 2 2 2 3 T1 4. 4. .a1 Mặt khác theo định luật III Keple, ta có: 3 = G.M= 2 a1 G.M T1 p r = với parabol thì e= 1 và = 0 1 e.cos p r = p = 2.r = 2.a 2 1 2 3 4 S = . 2.2a . a 2 = .a 2 3 1 1 3 1 . 2 2  = .a1 T1 4 T 2 2.T T = .a 2 . 1 = 1 = 0,18 năm 1 2 3 . 2.a1 3. 3.8. Người ta muốn phóng 1 vệ tinh nhân tạo theo phương án sau: a) Từ mặt đất cung cấp cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng. b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h có vận tốc bằng không, người ta lại cung cấp cho nó vận tốc v1 theo phương ngang (v1v0) để vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elíp có tâm sai e và thông số p được xác định trước. Bỏ qua sức cản của không khí hãy tính các vận tốc v0 và v1. Cho biết bán kính Trái Đất là R và gia tốc trọng trường tại mặt đất là g (g = G M ; M là khối lượng Trái 0 0 0 R 2 Đất). Giải: Vì vệ tinh chuyển động trong trường xuyên tâm nên ta có thể áp dụng ĐLBT mômen xung lượng và cơ năng. 43
  50. Cơ năng của vệ tinh tại mặt đất là E0 m.v 2 Động năng: 0 2 M.m Thế năng tương tác hấp dẫn giữa vệ tinh và Trái Đất: - G. R0 2 m.v0 m.M E0= - G. 2 R0 Khi vệ tinh lên đếm độ cao h nó đạt vận tốc v và cơ năng E m.v 2 Động năng là: 2 m.M Thế năng là: - G. với r = R0+ h r m.M Tại h thì v= 0 nên E = - G. R0 h áp dụng ĐLBT cơ năng ta áo: E0= E - G. = - G. = G. - G. 2 v0 G.M G.M.h = . R0 h R0 = 2 R0 . R0 h R0 . R0 h 2.G.M.h. v0 = R R h 0 0 (1 đ) M 2g 0 h.R0 Với g0 = G. 2 v0= R0 R0 h . xét trường hợp H là cận điểm p p rc= = vì = 0 1 e.cos 1 e 2 1 2 sử dụng phương trình năng lượng ta có: v c = G.M rc a 44
  51. p với rc = 1 e p a = 1 e 2 2 2 2 2 1 e 1 e R ta có: v = g .R = g 0 2 c 0 0 0 . 1 e p p p g 0 v1= vc= R0 1 e p . xét trường hợp H là viễn điểm p rv= vì = 1 e g 0 v1= vv= R0 1 e . p 3.9. Một vệ tinh nhân tạo đang chuyển động theo quỹ đạo elíp với tâm sai e và thông số p. Khi vệ tinh bay đến viễn điểm thì người ta giảm vận tốc của nó để quỹ đạo mới có khoảng cách cận điểm bằng bán kính R0 của Trái Đất ( nghĩa là để đưa vệ tinh về Trái Đất). Hãy tính độ giảm vận tốc đó? Giải: Gọi O là tâm của quỹ đạo lúc đầu khi có vv ' O’ là tâm của quỹ đạo sau khi có v v vv O1 là Trái Đất O C O’ 1 V 1 C C ' p Ta có: rv= r = O1V= v 1 e O1C1= R0 45
  52. Gọi a’ là bán trục lớn của quỹ đạo mới 1 1 a’= O1V O1C1 = r' R0 2 2 (1 đ) g 0 Ta đã biết: vv= R0 1 e p ' 2 1 v v = g0.R0 r' a' '2 2 1 2 2 1 e 2 v v = g0R0 = g0R 0 . p p p 1 p R R0 0 1 e 2 1 e 1 e 2 1 e 2 1 e 2 1 e 2 2 3 = g0R 0 = g0R 0 p R0 1 e p p p R0 1 e ' g 0 2Ro v v = R0. 1 e p R0 1 e p 2R ' g0 0 v= vv- v = R0. 1 e 1 v p R0 1 e p 3.10. Một nhà du hành vũ trụ ở trên một tiểu hành tinh có khối lượng riêng D = 5200kg/m3. Ông ta thấy rằng nếu anh ta bước nhanh hơn thì sẽ cảm thấy mình nhẹ hơn. Khi đi với vận tốc 2m/s thì thấy mình ở trạng thái không trọng lượng và bắt đầu quay xung quanh tiểu hành tinh đó như một vệ tinh. a) Giả sử tiểu hành tinh không quay. Hãy xác định bán kính của nó. b) Xác định vận tốc vũ trụ cấp II đối với tiểu hành tinh đó. c) Giả sử tiểu hành tinh đó quay quanh trục với chu kỳ 12h. Xác định vận tốc chạy tối thiểu của nhà du hành để quay quanh tiểu hành tinh. Đáp án: 46
  53. 1/ Lực hấp dẫn của tiểu hành tinh tác dụng lên nhà du hành đóng vai tro là lực hướng tâm. Ta có: 푴 풗 푮 = 푹 푹 ퟒ ퟒ 풗 M = 흅푹 흆 => G. 흅푹 흆 = => R = v√ 푹 푹 ퟒ흅푮흆 R = 2√ = ퟒ흅. , . − . 2/ Cơ năng của nhà du hành là: 풗 푴 E = 푰푰 − 푮 Điều kiện để nhà du hành thoát ra khỏi tiểu hành tinh là E t 푹 t 푮 푴 ≥ 0 => 풗 ≥ √ = 풗√ 푰푰 푹 Vậy vận tốc vũ trụ cấp 2 của nhà du hành với tiểu hành tinh là: 풗푰푰 ≥ √ = , /풔 3/ Vận tốc quay của tiểu hành tinh là: 흅푹 흅. V = = = , ퟒ /풔 0 푻 . . Vận tốc chạy tối thiểu của nhà du hành với tiểu hành tinh khi nhà du hành chạy ngược chiều với chiều quay của tiểu hành tinh là: Vmin = v – v0 = 2 – 0,24 = 1,76 m/s 47
  54. KẾT LUẬN Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp, em đã hoàn thành được các nội dung sau: - Tìm hiểu về hệ Mặt Trời trong vũ trụ: Hệ Mặt Trời là một phần của thiên hà có tên gọi là Ngân Hà, đây là một thiên hà xoắn ốc với đường kính khoảng 100000 năm ánh sáng chứa khoảng 200 tỷ ngôi sao, trong đó Mặt Trời của chúng ta là một ngôi sao thông thường điển hình. - Ba định luật Kepler và xây dựng biểu thức toán học của định luật vạn vật hấp dẫn- xác định khối lượng của Trái Đất. Các định luật Kepler là: 1. Các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo các quỹ đạo hình elíp với Mặt trời nằm ở một tiêu điểm. 2. Đường nối một hành tinh với Mặt trời quét qua những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. 3. Bình phương chu kỳ quỹ đạo của một hành tinh tỷ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip của hành tinh đó. - Sử dụng bài toán hai và nhiều vật để tìm lại 3 định luật Kepler Bài toán hai vật là bài toán lí tưởng. Trong thực tế có rất nhiều vật tương tác lẫn nhau. Chẳng hạn khi xét chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất thì ngoài lực tác dụng của Trái Đất, Mặt Trăng còn chịu lực tác dụng của Mặt Trời, của các hành tinh khác. Do có quỹ đạo của Mặt Trăng không còn là một elip toán học mà bị biến dạng rất phức tạp. Việc giải bài toán nhiều vật có ý nghĩa rất quan trọng trong việc phát hiện ra các hành tinh mới trong hệ Mặt Trời (Thiên vương tinh và Hải vương tinh), cũng như các hành tinh ở các hệ sao khác. - Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và trạm vũ trụ 48
  55. - Ứng dụng của bài toán hai và nhiều vật trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vê tinh và một số bài tập áp dụng. 49
  56. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Abell, Morrison, Wolff, Realm of the Universe, Saunders College Publishing, 1994. 2. D. Halliday , Fundamentals of Physics, John Willey & Sons, Inc, 1993 3. Dương Trọng Bái , Vật lý 10, Nxb Giáo dục, 1996. 4. Dương Trọng Bái , Tài liệu giáo khoa chuyên Vật lý 10, Nxb Giáo dục, 1994 5. Đào Văn Phúc , Lịch sử Vật lý học, Nxb Giáo dục, 1986 6. Fabienne Casoli , l’astronomie, Minerva, 1998. 7. J.Pasachoff,Astronomy, Sunnders College Publishing, 1995. 8. Lê Thành Lân, Lịch hai thế kỷ , Nxb Thuận hóa – Huế, 1995 9. Lương Duyên Bình , Vật lý đại cương (tập 1, 2, 3), Nxb Giáo dục, 1996. 10.M.Alonso , Physics, Addison – Wisley Publishing Company, 1992. 11. M.Marcelin, Ciel & Astronomie, Hachettle, 1996. 12. Nguyễn Chung Tú, Trần Thượng Thủ, Hè vũ trụ năm nhuần, Nxb Đồng nai, 1982. 13. Nguyễn Hữu Danh, Tìm hiểu hệ mặt trời, Nxb Giáo dục, 1998. 14. Nguyễn Lân Dũng , Mười vạn câu hỏi vì sao về thiên văn học (tập 1, 2), Nxb KH&KT, 1996. 15. Nguyễn Quang Riệu, Vũ trụ, phòng thí nghiệm thiên nhiên vĩ đại, Nxb Giáo dục, 1995. 16. Phạm Duy Hiển, Vật lý nguyên tử và hạt nhân, Nxb Giáo dục, 1983 17. Phạm Viết Trinh, Nguyễn Đình Noãn, Giáo trình thiên văn, Nxb Giáo dục, 1995. 18. Phạm Viết Trinh, Thiên văn phổ thông, Nxb Giáo dục, 1998. 19. R.Baker, Astronomy, D.Van. Nostrand Company, Inc, 1959. 20. Zelik, Gregory, Smith, Astronomy and Astrophysics, Saunders College Publishing, 1992. 50