›

Khóa luận Phương trình vi phân cấp cao và ứng dụng trong vật lý

pdf 45 trang thiennha21 15/04/2022 3751
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Phương trình vi phân cấp cao và ứng dụng trong vật lý", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_phuong_trinh_vi_phan_cap_cao_va_ung_dung_trong_vat.pdf

Nội dung text: Khóa luận Phương trình vi phân cấp cao và ứng dụng trong vật lý

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
  2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2017
  3. LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo và cô giáo Khoa Vật lí trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ tôi trong suốt thời gian theo học tại trƣờng và đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Hà Thanh Hùng ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tôi đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ tôi hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhƣng do lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học cũng nhƣ hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh
  4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo Hà Thanh Hùng khóa luận của tôi đƣợc hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và trích dẫn rõ ràng. Tôi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về lời cam đoan này. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh
  5. MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Bố cục của khóa luận 2 PHẦN NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3 1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. 6 1.1.1. Hàm bù yxc 6 1.1.2. Nghiệm riêng yxp . 10 1.1.3. Cấu trúc nghiệm tổng quát 13 1.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. 14 1.2.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler. 15 1.2.2. Phƣơng trình vi phân chính xác 18 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp cao thuần nhất 20 1.3.1 Phƣơng trình thuần nhất đẳng cấp 20 1.3.2 Phƣơng trình thuần nhất chỉ với x hoặc chỉ với y 22 1.4. Phƣơng trình vi phân có nghiệm là hàm luỹ thừa 24 1.5. Phƣơng trình vi phân tổng quát 24 1.5.1. Phƣơng trình vi phân không có biến phụ thuộc. 25 1.5.2. Phƣơng trình vi phân không có biến độc lập. 26 CHƢƠNG 2. NG D NG C PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG V T L 29
  6. 2.1. Phép biến đổi Laplace 29 2.2. Hàm Green 32 2.3. Phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x hoặc y 34 2.4. Phƣơng trình vi phân có hệ số là hằng số 35 KẾT LU N 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39
  7. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý học vốn là một ngành khoa học tự nhiên tìm hiểu về cấu trúc và các quy luật vận động của thế giới vật chất trong tự nhiên và là một ngành khoa học thực nghiệm. Trong thực tiễn, Vật lý và Toán học luôn luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, Vật lý sử dụng những công cụ của Toán học có sẵn đồng thời sẽ đặt ra những yêu cầu mới đối với Toán học. Phƣơng trình vi phân trong Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong Vật lý. Tuy nhiên kiến thức về phƣơng trình vi phân cấp cao còn chƣa rõ ràng và khá khó hiểu đối với ngƣời học. Để giúp ngƣời học hiểu rõ hơn những kiến thức về phƣơng trình vi phân cấp cao cũng nhƣ vai trò của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý tôi đã quyết định chọn đề tài: “PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ”. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận bao gồm 2 chƣơng: chƣơng 1 của khóa luận tôi sẽ trình bày tổng quát về phƣơng trình vi phân cấp cao phân dạng và đƣa ra lời giải tổng quát cho một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt, còn chƣơng 2 sẽ trình bày về ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Giới thiệu tổng quát về phƣơng trình vi phân cấp cao. 2. Phân loại và đƣa ra phƣơng pháp giải các dạng phƣơng trình vi phân cấp cao. 3. ng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong vật lý. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đề tài này chủ yếu nghiên cứu về một số dạng phƣơng trình vi phân cấp cao và ứng dụng của nó trong Vật lý. 1
  8. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách và tham khảo tài liệu. - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp. - Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Bố cục của khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận bao gồm: Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân cấp cao Chƣơng 2: ng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý 2
  9. PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phƣơng trình vi phân cấp cao là phần đƣợc mở rộng nghiên cứu tiếp theo của các phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp một, việc giải các phƣơng trình vi phân cấp cao đƣợc dựa chủ yếu trên cơ sở từ các phƣơng trình vi phân cấp một. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao đƣợc tập trung với ba khía cạnh chính: i) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. ii) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. iii) Một số phƣơng pháp giải tổng quát các phƣơng trình vi phân tuyến tính và không tuyến tính. Sau đây, chúng ta bắt đầu với một số các khái niệm cơ bản của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao. Các phƣơng trình vi phân thông thƣờng là các phƣơng trình có chứa các đạo hàm toàn phần của hàm cần tìm y theo biến số x, mà không chứa các đạo hàm riêng phần. Phƣơng trình vi phân cấp cao là các phƣơng trình vi phân thông thƣờng có chứa các đạo hàm từ cấp hai trở lên của hàm y(x). Trong thực tế, để mô tả các hệ vật lý bằng ngôn ngữ toán học, chúng ta thƣờng gặp các phƣơng trình vi phân cấp cao một cách rất tự nhiên, đặc biệt là các phƣơng trình vi phân cấp hai. Do vậy, trƣớc tiên chúng ta quan tâm đến các phƣơng trình vi phân cấp hai trƣớc, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tiếp tục mở rộng với các phƣơng trình vi phân cấp n (n>2). Một phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp cao, đƣợc đƣa ra dƣới dạng tổng quát: 3
  10. dnn y d 1 y dy ax ax ax axyfx . (1) nndxnn 1 dx 1 1 dx 0 Nếu fx( ) 0, thì phƣơng trình vi phân trên gọi là thuần nhất, ngƣợc lại thì phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là không thuần nhất. Tƣơng tự với các phƣơng trình vi phân cấp một, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) sẽ chứa n tham số tùy ý và để xác định cụ thể n tham số này, chúng ta cần n điều kiện biên. Để giải phƣơng trình (1), chúng ta cần tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng, còn gọi là phƣơng trình bổ sung, tức là tìm nghiệm của phƣơng trình: dnn y d 1 y dy a x a x a x a x y 0 . (2) nndxnn 1 dx 1 1 dx 0 Nghiệm của phƣơng trình (2), đƣợc đƣa ra trên cơ sở chúng ta biết đƣợc n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2). Giả sử, chúng ta có n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2), ký hiệu là: y12( x ); y ( x ); ; yn ( x ), thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2) đƣợc viết nhƣ là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm riêng. yc( x ) c1 y 1 (x) c 2 y 2 (x) c n y n (x) , (3) Trong đó, ci , i 1, n là các hệ số Từ điều kiện các nghiệm riêng là độc lập tuyến tính nên hệ quả tất yếu là nếu: cy (x) c y (x) c y (x) 0 (4) 1 1 2 2 nn Thì kéo theo tất cả các hệ số bằng không, tức là: c12 c cn 0 (5) 4
  11. Đây là điều kiện để ràng buộc (2) không có nghiệm tầm thƣờng.Sử dụng điều kiện này và thay (2) vào (3), chúng ta có hệ phƣơng trình sau: c1y 1 (x) c 2 y 2 (x) cnn y (x) 0 c1y ' 1 (x) c 2 y ' 2 (x) cnn y ' (x) 0 (6) cy(n 1) (x) c y ( n 1) (x) c y ( n 1) (x) 0 1 1 2 2 nn Từ hệ phƣơng trình (6), ta thấy điều kiện để phƣơng trình (2) có nghiệm không tầm thƣờng, liên quan đến một định thức sau, gọi là Wronskian, kí hiệu là Wsn (y12 ,y , ,y ) : yy1 n W (y ,y , ,y ) (7) sn12 (n 1) (n 1) yy1 n Điều kiện để phƣơng trình (2) có nghiệm không tầm thƣờng thì Wronskian phải khác 0. Wsn (y12 ,y , ,y ) 0 (8) Trở lại với phƣơng trình vi phân cấp cao có vế phải khác 0, tức là phƣơng trình vi phân cấp cao không thuần nhất, khi đó nghiệm của tổng quát của phƣơng trình sẽ bao gồm hai phần: phần thứ nhất là nghiệm yc (x) xác định từ (3), phần thứ hai là yp (x) , gọi là nghiệm riêng của phƣơng trình (1). Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) bây giờ có dạng. y(x) ycp (x) y (x) , (9) Phƣơng trình (9), chính là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1), đây cũng là phƣơng pháp chung để sử dụng tìm nghiệm cho các phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao. Tuy nhiên, với các phƣơng trình vi phân phi tuyến tính cấp cao thì không thể áp dụng phƣơng pháp trên để tìm nghiệm tổng 5
  12. quát, việc tìm nghiệm còn phức tạp hơn nhiều và thông thƣờng, chúng ta phải dựa vào đặc điểm từng phƣơng trình cụ thể để tìm nghiệm tƣơng ứng. 1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. Phƣơng trình vi phân tuyến tính có hệ số là hằng số có dạng: dnn y d 1 y dy a a a a y f x . (1.1) nndxnn 1 dx 1 1 dx 0 Với các hệ số a01, a , , an là các hằng số thực. Phƣơng trình dạng này là rất phổ biến trong các ngành khoa học vật lý và kỹ thuật, và nghiệm của nó rơi vào hai phần nhƣ đã thảo luận trong phần trƣớc, nghĩa là hàm bù yxc và tích phân riêng yxp . Nếu trong (1.1) fx 0 thì chúng ta không cần phải tìm tích phân riêng, và hàm bù là một nghiệm tổng quát. 1.1.1. Hàm bù yxc Hàm bù phải thỏa mãn dnn y d 1 y dy a x a x a x a x y 0 (1.2) nndxnn 1 dx 1 1 dx 0 và chứa n hằng số tuỳ ý (3). Phƣơng pháp chuẩn để tìm hàm bù yxc là thế y Aex vào (1.2). Sau khi chia phƣơng trình kết quả cho Aex , ta thu đƣợc phƣơng trình đại số cấp n của λ; đây gọi là phƣơng trình đặc trƣng tƣơng ứng với (1.2) an n a n 1  n 1 a 1  a 0 0. (1.3) Các phƣơng trình đặc trƣng có n nghiệm là 12,  , , n có thể chia ra thành ba trƣờng hợp chính nhƣ sau: i. Toàn bộ nghiệm thực khác nhau. Trong trƣờng hợp này, n nghiệm riêng của (1.2) là expmx với mn 1, . Bằng cách tính Wronskian ta dễ dàng chứng minh đƣợc nếu tất cả các m là 6
  13. khác biệt thì nghiệm này là độc lập tuyến tính do đó lập nên hệ nghiệm cơ bản của phƣơng trình (1.2). Nhƣ vậy nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: 12xx n x ycn x c12 e c e c e . (1.4) Ví dụ: Xét phƣơng trình d32 y d y dy 4 4y 0. dx32 dx dx Phƣơng trình đặc trƣng tƣơng ứng là: 32  4  4 0 Hay  1 2 4 0  1  2  2 0 Do đó phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm thực khác nhau:  1,  2,  2. Phƣơng trình vi phân đang xét có hệ nghiệm cơ bản là: x22 x x y1 e,,. y 2 e y 3 e Vì vậy nghiệm tổng quát có dạng: y y y y y c ex c e22 x c e x . 1 2 3 1 2 3 ii. Toàn bộ nghiệm khác nhau nhƣng có một số nghiệm phức. Nếu một trong những nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng (1.3) là  i , thì liên hợp phức  i của nó cũng là một nghiệm. Nhƣ vậy ứng với mỗi cặp nghiệm phức liên hợp này ta xây dựng đƣợc hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phƣơng trình (1.2) là e xxcos x , e sin x . Trong trƣờng hợp này, ta có thể viết đƣợc hệ nghiệm cơ bản của (1.2) nhƣ sau: i  x i  x xx sin ce1 ce 2 ed 1cos xd 2 sin  xAe   x (1.5) cos 7
  14. Ví dụ: Xét phƣơng trình d32 y d y dy 3 9 13y 0. dx32 dx dx Phƣơng trình đặc trƣng có dạng: 32 3  9  13 0 Hay  1 2 4  13 0 Do đó phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm là: 1 1,  2 2 3i,  3 2 3i. Theo lý luận trên ta đƣợc ba nghiệm thực độc lập tuyến tính của phƣơng trình đang xét là: x22 x x yceyce1 1, 2 2 cos3 xyce , 3 3 sin3 x Do đó nghiệm tổng quát có dạng: x22 x x y y1 y 2 y 3 y c1 e c 2 ecos3 x c 3 e sin3 x . iii. Phƣơng trình có một số nghiệm bội. Nếu nghiệm nào đó của phƣơng trình đặc trƣng có bội 2thì bằng cách xây dựng nghiệm nhƣ các phần i và ii ta không thể xây dựng đủ n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Cụ thể, chẳng hạn nghiệm 1 bội k , còn các nghiệm còn lại là đơn thì bằng cách xây dựng nhƣ trên ta chỉ đƣợc nk 1nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2). Do đó chúng ta phải tìm thêm k 1nghiệm là độc lập tuyến tính nữa. Thế trực tiếp vào ( 1.2) ta nhận thấy các hàm xe1x, x21 e  1 x , , xk e  1 x cũng là nghiệm, và bằng cách tính Wronskian dễ dàng thấy các nghiệm cùng một họ, và nó bổ sung vào k 1 nghiệm độc lập tuyến tính thiếu ở trên. Do đó hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy yxccx cxecek 1 1x k 12x ce  k x ce  n x. (1.6) c 1 2 k k 1 k 2 n 8
  15. Nếu 1 là nghiệm phức bội k của phƣơng trình đặc trƣng và,2 là nghiệm phức bội l ( kl 1, 1) thì từ lập luận bên trên, ta có hàm bù kl 1112xx ccx1 2 cxek c k 1 cx k 2 cxe k l yxc . (1.7) c ek l 12x c e  k l x c e  n x k l 12 k l n Ví dụ: Xét phƣơng trình d32 y d y dy 3 3 y 0. dx32 dx dx Phƣơng trình đặc trƣng có dạng: 32 3  3  1 0 Hay  10 3 Suy ra nghiệm  1 bội 3. Các hàm ex,, xe x x2 e x lập nên hệ nghiệm cơ bản. Vậy nghiệm tổng quát có dạng: x x2 x y c1 e c 2 xe c 3 x e . Ví dụ: Tìm hàm bù của phƣơng trình d2 y dy 2. ye x (1.8) dx2 dx Lời giải Đặt vế phải bằng 0, thế y Aex x Sau đó rút gọn phƣơng trình cho: Ae Ta thu đƣợc phƣơng trình đặc trƣng: 2  2 1 0 9
  16. 2 Hay  10 Nghiệm λ = 1 bội 2. Cho nên mặc dù ex là nghiệm của (1.8), chúng ta phải tìm một nghiệm nữa để cho phƣơng trình là độc lập tuyến tính với ex . Suy ra xex cũng là một nghiệm. Các hàm exx, xe lập nên hệ nghiệm cơ bản của phƣơng trình. Hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm y x c c x ex. c 12 Phƣơng pháp giải: Đặt vế phải của phƣơng trình vi phân bằng 0 (nếu vế phải chƣa bằng 0), và thế y Aex . Sau khi rút gọn phƣơng trình bằng cách chia cho Aex , ta đƣợc một phƣơng trình cấp n của λ (phƣơng trình đặc trƣng (1.3)). Giải các phƣơng trình đặc trƣng ta tìm đƣợc n nghiệm của phƣơng trình này là: 12,  , , n . Nếu tất cả các nghiệm này là các nghiệm thực khác nhau thì yxc đƣợc cho bởi (1.4). Tuy nhiên, nếu một số là nghiệm phức hoặc nghiệm bội thì yxc đƣợc cho bởi (1.5) hoặc (1.6), hoặc phần mở rộng (1.7). 1.1.2. Nghiệm riêng yxp . Không có phƣơng pháp nào nói chung để tìm nghiệm riêng yxp nhƣng khi cho phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số và vế phải đơn giản, yxp có thể đƣợc tìm thấy qua kiểm tra hay là bằng giả thiết dạng tham số hóa tƣơng tự với fx . Phƣơng pháp đó gọi là phƣơng pháp hệ số bất định. 10
  17. Phƣơng pháp hệ số bất định: Nếu fx có dạng đặc biệt (chỉ chứa đa thức, số mũ, hay là số hạng sin và cosin) ta giả thiết hàm cơ sở cho yxp trong từng dạng của fx tuy nhiên trong yxp có chứa một số tham số bất định. Sau đó thế hàm cơ sở này vào (1.2), từ đây có thể tìm đƣợc tham số và suy ra yxp . Hàm fx có những dạng đặc biệt (khá thông dụng) nhƣ sau. i. Nếu f x aerx thì y x berx. p ii. Nếu f x a12sin rx a cos rx ( a1 hoặc a2 có thể bằng 0) thì yp x b12sin rx b cos rx . N iii. Nếu f x a01 a x aN x ( một vài am có thể bằng 0) thì N ypN x b01 b x b x . iv. Nếu fx không có dạng đặc biệt nhƣ trên nhƣng có thể viết f x f12 x f x hoặc f x f x f x 12 với f12 x , f x là các dạng đặc biệt trên thì yxp đƣợc tính nhƣ tổng hay là tích số của hàm cơ sở tƣơng ứng. Cần lƣu ý rằng phƣơng pháp này không thể thành công nếu số hạng bất kỳ trong hàm cơ sở cũng chứa trong hàm bù. Trong trƣờng hợp nhƣ vậy ta cần phải nhân hàm cơ sở với bội số nguyên bé nhất của x thì lúc này hàm cơ sở sẽ không chứa số hạng đã xuất hiện trong hàm bù. Hệ số bất định trong hàm cơ sở có thể đƣợc thay thế vào (1.1). 11
  18. Ba phƣơng pháp hữu ích hơn trong tìm nghiệm riêng yxp là sử dụng hàm Green, biến thiên hằng số, và thay đổi biến phụ thuộc dùng kiến thức về hàm bù. Tuy nhiên, vì phƣơng pháp này cũng đƣợc áp dụng cho các phƣơng trình với hệ số là biến số, ta sẽ thảo luận về chúng trong phần 1.2. Ví dụ: Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình d2 y dy 2. ye x dx2 dx Lời giải Ta thấy: f x ex Suy ra nghiệm riêng sẽ có dạng: x yp x be . Tuy nhiên, phƣơng trình này có hàm bù là: y x c c x ex c 12 x x Trong hàm bù có chứa e , xe . Ta cần nhân bex với bội số nguyên nhỏ nhất của x sao cho kết quả không xuất hiện trong yxc . Do đó ta có: 2 x yp x bx e . Thế vào phƣơng trình vi phân, ta đƣợc: b 12 Vậy nên nghiệm riêng có dạng: xe2 x yx . p 2 12
  19. Phƣơng pháp giải: Nếu vế phải của phƣơng trình vi phân chỉ chứa các hàm fx có dạng đặc biệt đã đề cập ở phần đầu của tiểu mục này thì thay thế các hàm cơ sở thích hợp cho yxp , từ đó cố định tham số bất định . Tuy nhiên, nếu vế phải của phƣơng trình không theo các dạng đặc biệt này thì một trong các phƣơng pháp tổng quát là phƣơng pháp biến thiên tham số. 1.1.3. Cấu trúc nghiệm tổng quát Nhƣ đã nói ở phần trƣớc, các nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân (1.1) đƣợc tìm thấy bằng cách lấy tổng hàm bù và bất kỳ nghiệm riêng nào. Để minh hoạ thêm các tài liệu thảo luận trong hai phần 1.1.1 và 1.1.2, ta sẽ bắt đầu từ việc tìm nghiệm tổng quát cho ví dụ mới. Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình dy2 4y x2 sin 2 x . (1.9) dx2 Lời giải Đặt vế phải bằng 0 và đặt y Aex. Thay vào (1.9) ta đƣợc phƣơng trình đặc trƣng 2  40  2i (1.10) Do đó hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy 22ix ix y c1 e c 2 e d 1cos2 x d 2 sin2 x . (1.11) Bây giờ ta đi tính nghiệm riêng yxp . 2 Do f x xsin 2 x f12 x . f x trong đó f x x2 1 f2 x sin 2 x 13
  20. Theo cách phân loại những dạng đặc biệt của hàm cơ sở trong phần 1.1.2 thì ta có: 2 y1 x b 0 b 1 x b 2 x , y2 x a 1sin2 x a 2 cos2 x . Nhƣ vậy n riêng sẽ có dạng: ax22 bx c sin2 x dx ex f cos2 x . (1.12) Tuy nhiên, ta thấy hàm cơ sở này chứa đựng số hạng sin2x và cos2x, cả hai số hạng này đều đã xuất hiện trong hàm bù (1.11). Do đó chúng ta phải nhân (1.12) với bội số nguyên nhỏ nhất của x để bảo đảm rằng không một số hạng nào xuất hiện trong yxc . Vậy nên ta nhân (1.12) với x, từ đó rút ra hàm cơ sở ax3 bx 2 cx sin2 x dx 3 ex 2 fx cos2 x . (1.13) Thay vào (1.9) để cố định các hằng số xuất hiện trong (1.13), ta tìm đƣợc nghiệm riêng x32 x x y x cos2 x sin 2 x cos2 x . (1.14) p 12 16 32 Vậy nghiệm tổng quát của (1.9) là y x ycp x y x x32 x x y x dcos2 x d sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x . 1212 16 32 1.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. Không có phƣơng pháp tổng quát để giải phƣơng trình có hệ số là biến số. Tuy nhiên, có một số trƣờng hợp phƣơng trình có nghiệm duy nhất là có thể. 14
  21. Một số phƣơng pháp thảo luận trong phần này cũng rất hữu ích trong việc tìm ra nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng cho các phƣơng trình có hệ số là hằng số đã đƣợc chứng minh không thể giải bằng các phƣơng pháp đã thảo luận ở trên. 1.2.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler. Phƣơng trình tuyến tính của Legendre có dạng n n d y dy a x  a x  a y f x . (1.2.1) n dxn 10 dx Trong đó , và an không đổi và có thể giải bằng phƣơng pháp thế xe t . Ta có: dy dt dy dy dx dx dt  x dt d2 y d dy 2 d 2 y dy 222 dx dx dx x dt dt Bởi vậy phƣơng trình cho đạo hàm cao hơn. Ta có thể viết (1.2.1) nhƣ sau dy dy x  , dx dt 2 2 d y2 d d xy  2 1, dx dt dt (1.2.2) n n d y d d d x  n 1 n 1 y . n dx dt dt dt Thế (1.2.2) vào (1.2.1), phƣơng trình trở thành phƣơng trình vi phân cấp cao với hệ số là hằng số t n d d d dy e  an 1 n 1 y a10 a y f , dt dt dt dt 15
  22. phƣơng trình này có thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp của 1.1. Trƣờng hợp đặc biệt của phƣơng trình tuyến tính Legendre, với 1 và  0 là phƣơng trình Euler : dn y dy a xn a x a y f x , (1.2.3) n dxn 10 dx Phƣơng trình này có thể giải bằng cách tƣơng tự nhƣ trên bằng cách thế xe t Nếu trong (1.2.3) có: fx 0. Thế yx  thì ta thu đƣợc phƣơng trình đặc trƣng. Phƣơng trình đặc trƣng này có thể giải đƣợc. Giả sử phƣơng trình đặc trƣng có n nghiệm thực khác nhau: 12,  , , n . thì phƣơng trình Euler có n nghiệm độc lập tuyến tính: m ym x, m 1, n . do đó nghiệm tổng quát có dạng: 12 n y c12 x c x cn x Nếu phƣơng trình đặc trƣng có nghiệm bội, giả sử nghiệm 1 bội k (k > 1) thì khi đó k nghiệm độc lập tuyến tính tƣơng ứng với nghiệm này là k 1 x1, x  1 ln x , , x  1 ln x . Ví dụ: Giải phƣơng trình d2 y dy x2 x 4 y 0. (1.2.4) dx2 dx bằng cả 2 phƣơng pháp trên. Lời giải 16
  23. Cách 1 Thế: xe t rồi rút gọn phƣơng trình cho et . Ta thu đƣợc phƣơng trình với hệ số là hằng số nhƣ sau: d d dy 1yy 4 0 dt dt dt dy2 40y (1.2.5) dt 2 Dùng các phƣơng pháp của phần 1.1 ta tìm đƣợc nghiệm tổng quát của (1.2.5). Do đó nghiệm của (1.2.4) tìm đƣợc là: 2tt 2 2 2 y c1 e c 2 e c 1 x c 2 x . Cách 2: Ta có vế phải của (1.2.4) bằng 0. Thay yx  vào (1.2.4) ta đƣợc:   1  2 4 x 0  2 4 x 0. Phƣơng trình trên có 2 nghiệm:  2, Vậy nên nghiệm tổng quát là: y c x22 c x . 12 Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình vi phân cấp cao dạng Legendre (1.2.1) thì thế xe t . Sau đó ta thu đƣợc phƣơng trình tƣơng tự với hệ số là hằng số có thể giải bằng phƣơng pháp của 1.1. Nếu phƣơng trình vi phân bậc cao dạng Euler (1.2.3) có vế phải khác 0 thì ta thế xe t từ đó thu đƣợc phƣơng trình tƣơng tự với hệ số là hằng số. 17
  24. Tuy nhiên, nếu fx 0 trong (1.2.3) thì ta có thể giải phƣơng trình bằng cách thế yx  . Từ đó suy ra phƣơng trình đại số có nghiệm trong giá trị cho phép của  , nghiệm tổng quát là đồng chất tuyến tính của hàm này. 1.2.2. Phƣơng trình vi phân chính xác Đôi khi một phƣơng trình vi phân có thể chỉ là đạo hàm đơn giản của phƣơng trình vi phân cấp thấp hơn. Nếu phƣơng trình thuộc trƣờng hợp này thì đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân chính xác. Phƣơng trình vi phân tuyến tính bậc n có dạng dn y dy a x a x a x y f x . (1.2.6) n dxn 10 dx là phƣơng trình vi phân chính xác nếu vế trái có thể viết nhƣ đạo hàm đơn giản: dnn y dy d d 1 y axnn nn ax1 axy 0 bx 1 1 bxy 0 . (1.2.7) dx dx dx dx Ta thấy để thỏa mãn (1.2.7) thì  n n a0 x a 1 x a 2 x 1 an x 0. (1.2.8) Trong đó dấu phẩy chỉ phép lấy vi phân với x .Nếu (1.2.8) thỏa mãn thì phép lấy tích phân dẫn đến phƣơng trình vi phân bậc thấp hơn. Nếu phƣơng trình này có thể giải thì ta có thể giải đƣợc phƣơng trình ban đầu. Nếu quá trình trên dẫn đến phƣơng trình chính xác thì việc phân tích có thể lặp đi lặp lại để hạ bậc phƣơng trình đó. Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 2 d y dy 1 x 2 3 x y 1. (1.2.9) dx dx Lời giải 18
  25. So sánh với (1.2.6) ta có 2 a2 1 x , a 1 3 x , a 0 1 Dễ thấy: a0 a 1 a 2 0. Bởi vậy (1.2.9) có thể viết dƣới dạng: d dy b10 x b x y 1. (1.2.10) dx dx Mở rộng vế trái của (1.2.10) ta tìm đƣợc d dy d2 y dy b1 b 0 y b 12 b 1 b 0 b 0 y. (1.2.11) dx dx dx dx 2 Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta có: bx1 1 b10 b 3 x b0 1 2 Lấy tích phân ta đƣợc: bx1 1 bx0 Nhƣ vậy (1.2.9) có thể viết nhƣ sau: d dy 11 x2 xy (1.2.12) dx dx Lấy tích phân (1.2.12) ta đƣợc phƣơng trình tuyến tính cấp một dy x x c1 22y , dx 11 x x Phƣơng trình này có thể giải và nghiệm thu đƣợc có dạng: ccsin 1 y 12x 1. 1 x2 Phƣơng pháp giải: Đối với phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao dạng (1.2.6) để kiểm tra xem nó có chính xác hay không ta sử dụng phƣơng trình (1.2.8). Nếu phƣơng trình chƣa chính xác thì nhân thêm một hàm bất kì 19
  26. thích hợp để nó trở thành phƣơng trình chính xác. Hàm có tính chất nhƣ vậy gọi là thừa số tích phân. Một phƣơng trình là chính xác có vế trái nhƣ đạo hàm (1.2.7) và bằng cách mở rộng lấy đạo hàm này và so sánh với vế trái của phƣơng trình vi phân cấp cao, xác định hàm bxm trong (1.2.7). Sau đó lấy tích phân phƣơng trình để rút ra phƣơng trình vi phân khác có cấp thấp hơn có thể giải đƣợc hoặc rút gọn hơn nữa nếu phƣơng trình vi phân chính xác hoặc có thể thực hiện nhƣ vậy. 1.3. Phƣơng trình vi phân cấp cao thuần nhất 1.3.1 Phƣơng trình thuần nhất đẳng cấp Từ việc nghiên cứu phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp một ta có thể khái quát hóa đến phƣơng trình vi phân tổng quát cấp n. Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp n là phƣơng trình trong đó mỗi số hạng có số chiều nhƣ nhau khi cho y và dy một trọng số m, x và dx trọng số 1 thì đạo hàm thứ n của y đối với x sẽ có trọng số m trong y và -n trong x. Với số chiều của mỗi số hạng bằng tổng trọng số của các biến phụ thuộc, biến độc lập và các trọng số vi phân. Trong trƣờng hợp đặc biệt m=1, số chiều của các số hạng trong phƣơng trình vi phân là nhƣ nhau khi đó phƣơng trình trở thành phƣơng trình vi phân thuần nhất (tránh nhầm lẫn với phƣơng trình vi phân tuyến tính có vế phải bằng 0). Nếu phƣơng trình là phƣơng trình vi phân đẳng cấp thì ta thay thế biến phụ thuộc y v. mx (nếu phƣơng trình là phƣơng trình vi phân thuần nhất thì thế y vx ). Sau đó ta thay biến độc lập xe t thì thu đƣợc phƣơng trình mới chỉ chứa biến độc lập t dƣới dạng d/dt. 20
  27. Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 3d y 2 dy 2 x2 x xy y xy 0. (1.3.1) dx dx Lời giải Chọn y và dy trọng số m, x và dx trọng số 1. Trọng số của 5 số hạng trên vế trái của (1.3.1) từ trái qua phải là: 3 mm 2,2 1,1 m m 1,2m,1 m m 1, m 1,2 m ,2 m , m 1. Để những trọng số này bằng nhau ta có m=1, do đó (1.3.1) là phƣơng trình thuần nhất. Vì phƣơng trình này là phƣơng trình vi phân thuần nhất nên ta thế: y vx. Sau đó chia phƣơng trình cho x3 ta thu đƣợc phƣơng trình sau: d2 v dv xv 1 0. (1.3.2) dx2 dx Thế xe t vào (1.3.2) ta thu đƣợc d2 v dv v 0, (1.3.3) dt2 dt Ta có thể lấy tích phân trực tiếp của: dv 1 vc2 (1.3.4) dt 2 1 Phƣơng trình (1.3.4) có thể tách đƣợc và lấy tích phân để cho 11dv v td tan 1 2 22 2 v d1 d 1 d 1 Thế: xe t y vx Ta có nghiệm của (1.3.1) có dạng: 21
  28. 1 y d1 xtan d 1 ln x d 1 d 2 . 2 Phƣơng pháp giải: Giả sử y và dy có trọng số m, x và dx có trọng số 1 và từ đó ta tìm đƣợc số chiều của mỗi số hạng trong phƣơng trình vi phân. Nếu các số chiều này là nhƣ nhau với mỗi số hạng của phƣơng trình vi phân này thì phƣơng trình đó là phƣơng trình vi phân đẳng cấp (hay phƣơng trình đó là phƣơng trình vi phân thuần nhất nếu m=1). Thế biến phụ thuộc y v. mx với phƣơng trình là phƣơng trình vi phân đẳng cấp (phƣơng trình là phƣơng trình vi phân thuần nhất thì thế y vx ). Sau đó thế xe t ta thu đƣợc phƣơng trình trong đó biến độc lập t chỉ xuất hiện dƣới dạng d/dt. Từ việc giải phƣơng trình này ta rút ra đƣợc nghiệm của phƣơng trình vi phân ban đầu. 1.3.2 Phƣơng trình thuần nhất chỉ với x hoặc chỉ với y Ta thấy phƣơng trình trung gian (1.3.2) trong phần trƣớc đã đƣợc rút gọn bằng cách thay thế xe t từ đó ta thu đƣợc phƣơng trình với biến độc lập t chỉ xuất hiện dƣới dạng d/dt trong phƣơng trình (1.3.3). Xét phƣơng trình (1.3.2) là phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x khi trọng số của x là nhƣ nhau trong mỗi số hạng và số chiều của mỗi số hạng chỉ bằng nhau khi m=0. Đối với bất kì phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x, thế xe t ta thu đƣợc phƣơng trình trong đó biến độc lập t chỉ xuất hiện dƣới dạng d/dt. Lƣu ý, phƣơng trình Euler của phần 1.2.1 là trƣờng hợp đặc biệt của phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x. Tƣơng tự, nếu phƣơng trình là phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với y ta thế ye v từ đó thu đƣợc phƣơng trình có biến phụ thuộc v chỉ xuất hiện dƣới dạng d/dv. 22
  29. Ví dụ: Giải phƣơng trình d2 y dy 2 xx2 0. dx23 dx y Lời giải Đây là phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x. Thế xe t ta đƣợc dy2 2 0. dt23 y Phƣơng trình này chỉ chứa biến độc lập t dƣới dạng d/dt. Ta có thể lấy tích phân trục tiếp : dy 1 2, c1 2 dt y Phƣơng trình này có thể tách ra và ta tìm đƣợc: dy tc2 , 2 21 cy1 Nhân cả tử và mẫu của vế trái với y sau đó tính tích phân, ta tìm đƣợc: 2 cy1 1 tc2. 2c1 Vì tx ln nên ta có: 2 cy1 1 lnxc2 . 2c1 Phƣơng pháp giải: Nếu trọng số của x là nhƣ nhau trong mỗi số hạng của phƣơng trình vi phân thì ta thế xe t ta thu đƣợc phƣơng trình mới chỉ chứa biến số t dƣới dạng d/dt. 23
  30. Nếu trọng số của y là nhƣ nhau trong mỗi số hạng của phƣơng trình vi phân thì ta thế ye v ta thu đƣợc phƣơng trình mới chỉ chứa biến độc lập v dƣới dạng d/dv. 1.4. Phƣơng trình vi phân có nghiệm là hàm luỹ thừa Nếu bất kỳ phƣơng trình vi phân cấp n (tuyến tính hoặc phi tuyến tính ) nào thỏa mãn giả thiết dy dn y y. (1.4.1) dx dxn thì sẽ có nghiệm là: y Aex. Vì y Aex là hàm khác 0 thỏa mãn (1.4.1). Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 2 22dy d y dy dy x x 2 x y x 0. (1.4.2) dx dx dx dx Lời giải dy dn y Thay y vào (1.4.2) ta đƣợc dx dxn x2 x y 2 x 2 y 2 xy 2 0. thỏa mãn một cách đồng nhất. Do đó y Aex là nghiệm của (1.4.2). Điều này có thể dễ dàng thử lại bằng cách thay trực tiếp y Aex vào (1.4.2). Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình thỏa mãn bằng cách thế dy dn y y . dx dxn thì y Aex là nghiệm của phƣơng trình. 1.5. Phƣơng trình vi phân tổng quát 24
  31. Trong phần này, chúng ta thảo luận các phƣơng pháp khác nhau để rút gọn các phƣơng trình vi phân. Các phƣơng pháp này áp dụng cho cả phƣơng trình tuyến tính và phi tuyến và trong một số trƣờng hợp có thể rút ra nghiệm. Tuy nhiên không thể tìm ra phƣơng pháp giải tổng quát cho một phƣơng trình vi phân phi tuyến tính. 1.5.1. Phƣơng trình vi phân không có biến phụ thuộc. Nếu phƣơng trình vi phân không chứa biến phụ thuộc y mà chỉ các biến thể của nó, ta sẽ đặt p dy dx để thu đƣợc phƣơng trình vi phân có cấp thấp hơn. Giải phƣơng trình này ta thu đƣợc nghiệm của phƣơng trình. Ví dụ: Giải phƣơng trình d2 y dy 2 4x . (1.5.1) dx2 dx Lời giải dy Thế: p , dx Ta thu đƣợc phƣơng trình cấp một dp 2px 4 . (1.5.2) dx Nghiệm của (1.5.2) có dạng: dy p a. e 2 2 x 1. dx Trong đó a là hằng số. Nhƣ vậy bằng phép lấy tích phân ta đƣợc nghiệm của (1.5.1) là: 22x y x c12 e x x c Mở rộng: phƣơng pháp ở trên thích hợp nếu phƣơng trình vi phân chứa đạo hàm cấp m của y và đạo hàm cấp cao hơn. 25
  32. dym Thay thế p thì ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp m. Giải dxm phƣơng trình vi phân này ta thu đƣợc nghiệm của phƣơng trình cần tìm. Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình vi phân chứa đạo hàm cấp m của y và các đạo hàm cao hơn. dym Thế p thì phƣơng trình vi phân có cấp m. Giải phƣơng trình vi dxm phân này ta thu đƣợc nghiệm của phƣơng trình cần tìm. 1.5.2. Phƣơng trình vi phân không có biến độc lập. Là phƣơng trình vi phân không chứa biến độc lập x một cách rõ ràng, dd2 ngoại trừ trong , , và có dạng dx dx2 dy dn y Fy , , ,n 0. (1.5.3) dx dx dy Thì nhƣ ở phần 1.5.1 ta thế p và coi p nhƣ hàm số mới. dx Ta có các đạo hàm của nó nhƣ sau: d2 y dp dy dp dp p , dx2 dx dx dy dy 322 d y d dp dy d dp 2 d p dp 32 p p p p , dx dx dy dx dy dy dy dy (1.5.4) dnn y dp d 1 p nn  p,,,. 1 dx dy dy Thế (1.5.4) vào (1.5.3) ta thu đƣợc phƣơng trình dạng: dp dn 1 p  yp, , , ,n 1 0. dy dy 26
  33. Đây là phƣơng trình vi phân cấp n-1. Giả sử ta giải đƣợc nó và nghiệm tổng quát là p  y, c1 , c 2 , , cn 1 . Tích phân phƣơng trình vi phân cấp một sau cùng ta đƣợc nghiệm tổng quát hoặc tích phân tổng quát của phƣơng trình (1.5.1) Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 d2 y dy 1 y 2 0. (1.5.5) dx dx Lời giải dy d2 y dp Thế p và p dx 2 dx dy Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp một dp 10 yp p2 dy dy p 2 dp yp 1 2 2dy dp 1 yp2 1 Từ đây suy ra: 22 lny ln p 1 ln c1 22 Hay: 1. p y c1 dy Vì p , ta có: dx dy c22 y p 1 . dx y2 27
  34. Lấy tích phân ta đƣợc nghiệm tổng quát của (1.5.5), sau khi bình phƣơng ta đƣợc x c2 y22 c . 21 Trƣờng hợp z 0 cho ta yc cũng là nghiệm của phƣng trình vi phân. Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình vi phân không chứa biến độc lập dy x ta thế p . Từ các biếu thức của (1.5.4) ta thu đƣợc phƣơng trình cấp dx thấp hơn để dễ giải hơn. 28
  35. CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG VẬT LÝ 2.1. Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace đƣợc định nghĩa nhƣ sau: f s e sx f x dx. (2.1.1) 0 Với fs là ảnh Laplace của biến fx . Ta có phép biến đổi Laplace của đạo hàm thứ n của fx là : f n s sn f s s n 1 f 0 s n 2 f 0 sf n 2 0 sf n 1 0 . (2.1.2) trong đó dấu phẩy và chỉ số trên chỉ phép lấy vi phân đối với x. Kết hợp với việc sử dụng bảng biến đổi dƣới đây ta có thể giải các phƣơng trình vi phân. 29
  36. Bảng 1 : Bảng biến đổi Laplace tiêu chuẩn ss 0 ft fs s0 c cs 0 ct n cn! sn 1 0 sinbt b s22 b 0 cosbt s s22 b 0 eat 1 sa a n 1 ten at n! s a a sinh at a s22 a a cosh at s s22 a a 2 at b s a b2 e sinbt a 2 at s a s a b2 ecos bt a 1 12 t12 s3 0 2 12 t 12 s 0 st0  tt 0 e 0 1 tt 0 st0 H t t0 es 0 0 tt 0 30
  37. Bài toán 1: Giải phƣơng trình 2 d y dy x 2 3 2ye 2 . (2.1.2) dx dx Với điều kiện biên là yy 0 2, 0 1. Lời giải Sử dụng phép biến đổi Laplace cho phƣơng trình (2.1.2) và áp dụng công thức của bảng 1 ta có: 2 syssy2 0 y 0 3 sysy 0 2 ys , s 1 2 s2 3 s 2 y s 2 s 5 s 1 2ss2 3 3 ys s 1 s 1 s 2 Dùng phƣơng pháp đại số phân tích sau đó cân bằng hệ số 2 vế ta thu đƣợc: 1 2 1 ys , 3 s 1 s 1 3 s 2 Sử dụng phép biến đổi Laplace ngƣợc ta thu đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.1.2) là: 11 y x e x 2. e x e2 x 33 Bài toán 2: Tìm số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t Nt . Biết phƣơng trình biểu diễn sự phân rã của một chất đồng vị phóng xạ là: dN N (1) dt trong đó: N N t và là hằng số phân rã. Lời giải 31
  38. Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với dN N 0 dt Biến đổi Laplace cả 2 vế ta đƣợc: sN s N 00  N s Với NN 0 0 : Số nguyên tử ban đầu Nhƣ vậy ta có: N Ns 0 s  Sử dụng bảng 1 lấy biến đổi Laplace ngƣợc ta thu đƣợc: t N t N0 e . Ta có thể áp dụng phép biến đổi Laplace vào bài toán trong Vật lý hạt nhân nguyên tử hoặc trong bài toán giải mạch bằng cách biến đổi các yếu tố của mạch từ miền thời gian (t) sang miền tần số (s). Trong các bài toán giải mạch phƣơng trình đạo hàm đƣợc chuyển từ đại số sang dạng biến đổi Laplace. Các đại lƣợng chƣa biết sẽ đƣợc tính trong miền tần số (s). Sử dụng biến đổi Laplace ngƣợc để suy ra giá trị trong miền thời gian. 2.2. Hàm Green Bài toán: Sử dụng hàm Green để giải phƣơng trình: dy2 2 y f x . (2.2.1) dx Biết điều kiện biên yy 0 0 0. Lời giải Ta có hàm Green G(x, z) thỏa mãn d2 G x, z 2 G x,. z  x z (2.2.2) dx 32
  39. Với x=z ta có vế phải của (2.2.2) bằng 0, nhiệm vụ của chúng ta là tìm nghiệm của phƣơng trình thuần nhất tức là tìm hàm bù. Hàm bù là tổ hợp tuyến tính của sinx và cosx và phải bao gồm giới hạn hai bên của x=z. Vì đạo hàm thứ (n-1) (nghĩa là đạo hàm thứ nhất trong trƣờng hợp này) bị gián đoạn tại x=z. Do đó hàm Green đƣợc viết dƣới dạng: A z sinx B z cos x x z G x,, z C z sinx D z cos x x z Tuy nhiên, áp dụng điều kiện biên G 0, z G 0, z 0 ta đƣợc A z B z 0. Vì vậy: 0 xz G x,, z C zsinx D z cos x x z Áp dụng các điều kiện liên tục trên G x, z suy ra C z sinx D z cosx=0, C z sinx D z cosx=1. Từ đó ta thu đƣợc: C z cos x D z sin x Vì vậy hàm Green đuộc viết nhƣ sau: 0 xz G x,. z sin x z x z Và nghiệm tổng quát của (2.2.1) thỏa mãn các điều kiện biên yy 0 0 0 là: 33
  40. x yx Gxzfzdz , sin xzfzdz . 00 Ta có thể sử dụng phƣơng pháp này vào một số bài toán vật lý ví dụ nhƣ các bài toán truyền nhiệt. Tuy nhiên nó chỉ giúp chúng ta giải các bài toán đơn giản hơn, ngắn gọn hơn vì nó không giải trực tiếp đƣợc phƣơng trình vi phân không thuần nhất. 2.3. Phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x hoặc y Bài toán: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình d2 y dy x2 x y x. (2.3.1) dx2 dx biết y 1 1, y e 2 e . Lời giải Đặt xe t rồi rút gọn ta thu đƣợc phƣơng trình d d dy t 1 y y e dt dt dt d2 y dy 2. ye t dt2 dt Trƣớc tiên ta tính ytc . Đặt et 0 và y Aet . Suy ra phƣơng trình đặc trƣng là: 2 2 1 0  1 2 0. Phƣơng trình có nghiệm  1 bội 2. 2 nghiệm ett, te là hệ nghiệm của phƣơng trình. t Do đó: yc t c12 c t e . 34
  41. Tính ytp . Ta thấy f t et . t Giả sử đặt yp t be . Hàm bù xuất hiện ett, te nên ta phải nhân thêm bội số nhỏ nhất của t để tích phân riêng khác hàm bù 2 t yp t bt e . Thế vào phƣơng trình vi phân ta thu đƣợc: 1 b . 2 1 Do đó: y t t2 et . p 2 Nghiệm tổng quát là: te2 t y y t y t c c t et . (2.3.2) cp 12 2 Do y 1 1, y e 2 e thay vào (2.3.2) ta thu đƣợc 1 cc 1, . 122 1 Thay xe t và cc 1, vào (2.3.2) ta đƣợc nghiệm tổng quát của 122 phƣơng trình đã cho là: xln x 1 ln x yx . 2 2.4. Phƣơng trình vi phân có hệ số là biến số Bài toán: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình: 2 2 d y dy x 1 3 x 1 y x 2 . dx2 dx Lời giải 35
  42. Thế xe 1 t . Ta có dy dy x 1, dx dt 2 2 d y d d xy 1 2 1 . dx dt dt d d dy t 2 11y y e dt dt dt 2 dy t 2 2 ye 1. dx 2 Đặt et 10 và y Aet . Phƣơng trình đặc trƣng có dạng:  2 10  i. Nhƣ vậy hàm bù sẽ có dạng: it it ycecedtdtdc 1 2 1cos 2 sin 1 cos ln x 1 d 2 sin ln x 1 . Tính nghiệm riêng ytp . Ta thấy: 2 f t et 1 e2 t 2 e t 1. Giả sử đặt: 2tt yp t b0 e b 1 e b 2. Thế vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc: b0 15 b1 1 b2 1 36
  43. Do đó: 112 y e2tt e 1 x 1 x . p 55 Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình có dạng: 1 2 y y y dcos ln x 1 d sin ln x 1 x 1 x . cp12 5 Phƣơng pháp giải của các phần 2.3, 2.4 ta có thể áp dụng vào việc giải các bài toán Vật lí có chứa các phƣơng trình vi phân có dạng giống nhƣ vậy. 37
  44. KẾT LUẬN Trên đây là toàn bộ nội dung của đề tài “Phƣơng trình vi phân cấp cao và ứng dụng trong Vật lí”. Trong khóa luận tốt nghiệp này tôi đã trình bày những hiểu biết của mình một cách có hệ thống, rõ ràng về: Khái niệm cơ bản của phƣơng trình vi phân cấp cao. Một số dạng phƣơng trình vi phân cấp cao thƣờng gặp và phƣơng pháp giải. ng dụng của nó trong Vật lí. Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu còn hạn chế và một phần đây là lần đầu tiên thực hiện khóa luận nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận dƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn nữa. 38
  45. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1, Cambridge University Press 1988. 2. Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 2, Cambridge University Press 1988. 3. K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006 4. Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam 39