›

Khóa luận Phương trình schrodinger cho hệ nhiều hạt

pdf 50 trang thiennha21 15/04/2022 5240
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Phương trình schrodinger cho hệ nhiều hạt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_phuong_trinh_schrodinger_cho_he_nhieu_hat.pdf

Nội dung text: Khóa luận Phương trình schrodinger cho hệ nhiều hạt

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA V Ậ T LÝ ====== TRƢƠNG THỊ MINH HOA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ NHIỀU HẠT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trƣờng cũng nhƣ trong quá trình thực hiện khóa luận này. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh đã tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận đƣợc những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Minh Hoa
  3. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả. Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Minh Hoa
  4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 1 6. Cấu trúc đề tài 2 NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 3 1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt 3 1.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt 3 1.1.2. Hệ nhiều hạt cơ học 3 1.1.3. Hệ nhiều hạt nhiệt động 5 1.1.4. Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K 7 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 8 1.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử 8 1.2.2. Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất 9 1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt 12 1.3.1. Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt 12 1.3.2. Bảo toàn động lƣợng của hệ nhiều hạt 13 1.3.3. Bảo toàn mô men động lƣợng của hệ nhiều hạt 13 1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt .15 1.4.1. Biểu diễn Schodinger 15 1.4.2. Biểu diễn Heisenberg 15 1.4.3. Biểu diễn tƣơng tác 16 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 23
  5. CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ 24 CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ 24 2.1. Phƣơng trình schrodinger tổng quát cho hệ các electron và ion 24 2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình schrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion. 25 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 28 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ 29 CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU 29 3.1. Phƣơng trình Schrodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh. 30 3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣờng hợp liên kết yếu. 33 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 36 CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 37 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tính thể trong biểu diễn tọa độ. 37 4.2. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai. 38 KẾT LUẬN CHƢƠNG 4 43 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
  6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cơ học lƣợng tử. Phƣơng trình Schodinger là một phƣơng trình cơ bản của vật lý lƣợng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Niuton và biến đổi Galile trong cơ học cổ điển.Trong cơ học lƣợng tử, trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý đƣợc mô tả đầy đủ nhất bởi một vecto trạng thái thí dụ nhƣ hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phƣơng trình Schodinger. Nghiệm của phƣơng trình Schodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vi mô, thậm trí có thể là toàn bộ vũ trụ. Phƣơng trình này đƣợc đặt theo tên nhà vật lý ngƣời Áo Erwin Schrodinger, ngƣời đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926. Việc sử dụng phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt giúp giải quyết các bài toán đơn giản hơn. Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về các phƣơng pháp giải các bài tập trong vật lý, em lựa chọn đề tài “phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt“ làm đề tài tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phƣơng pháp giải bài tập khi áp dụng phƣơng trình Schrodinger Áp dụng để giải một số bài tập 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán 1
  7. - Đọc tài liệu và tra cứu - Tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn 6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo dề tài bao gồm 4 phần: Chƣơng 1: Các tính chất chung của hệ nhiều hạt 1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt 1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chƣơng 2:Phƣơng trình schodinger cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tính thể 2.1. Phƣơng trình Schodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion 2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion Chƣơng 3: Phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron trong liên kết mạnh và liên kết yếu 3.1. Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh 3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣơng hợp liên kết yếu Chƣơng 4: Dao động mạng tinh thể 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn tọa độ 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai 2
  8. NỘI DUNG CHƢƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt 1.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt Một cách chung nhất hệ nhiều hạt là hệ gồm từ hai hạt trở lên. Việc tăng thêm số hạt của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ. Trƣớc hết là vẫn đề giải hệ phƣơng trình Hamiton (cho hệ cổ điển) hoặc phƣơng trình Shrodinger (cho hệ lƣợng tử). Với hệ nhiều hạt số biến của hệ phƣơng trình Hamilton hoặc của phƣơng trình Shrodinger tăng lên so với trƣờng hợp một hạt. Hơn nữa một yếu tố quan trọng hơn, đó là việc có thêm thành phần thế năng tƣơng tác trong hàm Hamilton hoặc toán tử Hamilton làm cho việc giải chính xác các phƣơng trình Hamilton hoặc phƣơng trình Shrodinger thêm khó khăn.Với phƣơng pháp tính số nhờ máy tính, khó khăn có tính kĩ thuật này không phải là vấn đề nguyên tắc. Tuy nhiên vấn đề sẽ trở nên khác hoàn toàn khi số hạt trong hệ tăng đến mức làm thay đổi về chất các tính chất của hệ: các hạt trong hệ chuyển động hỗn loạn, trạng thái của các hạt không cho biết các tính chất chung của hệ. Với các hệ nhƣ vậy nhƣ chúng ta đã biết cần dùng đến phƣơng pháp của Vật lý Thống kê và các tính chất vĩ mô của hệ đƣợc đặc trƣng bởi các giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý . 1.1.2. Hệ nhiều hạt cơ học Hệ nhiều hạt cơ học là hệ có số hạt nhiều nhƣng chƣa làm thay đổi tính chất chuyển động của các hạt Trường hợp hệ gồm hạt cổ điển (hệ cổ điển): Tọa độ (1.1a) Và động lƣợng (1.1b) 3
  9. Của tất cả các hạt trong hệ đƣợc xác định bởi hệ phƣơng trình Hamilton: ̇ = ; ̇ = - (1.2a) trong đó k = 1,2, .,3N; ̇ và ̇ lần lƣợt là đạo hàm theo thời gian t của thành phần tọa độ và động lƣợng; còn H là hàm Hamilton của hệ: = = + (1.2b) với là động năng và là thế năng của hệ .Nghiệm của hệ phƣơng trình (2.2): (t,q(0),p(0)) , (t,q(0),p(0)), , (t,q(0),p(0)) (1.3a) (t,q(0),p(0)) , (t, q(0),p(0)), ., (t,q(0),p(0)) (1.3b) xác định thái của hệ. Các kí hiệu q(0) và p(0) trong công thức (1.3) biểu thị hai tập các đại lƣợng tƣơng ứng : { } q(0) và { } (1.3c) xác định các trạng thái ban đầu cả hệ. Một cách tƣơng đƣơng trạng thái của hệ được mô tả bởi quỹ đạo của tất cả các hạt đƣợc xác định từ (1.3) Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) đối với hệ có s bậc tự do ,chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ được biểu diễn bằng một điểm pha. Với thời gian các đại lƣợng q ,p thay đổi và do đó điểm pha vẽ nên quĩ đạo pha. Nhƣ vậy quĩ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian . Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) đối với hệ có s bậc tự do, chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ đƣợc biểu diễn bằng một điểm pha. Với thời gian các đại lƣợng q, p thay đổi và do đó điểm pha vẽ nên quỹ đạo pha. Nhƣ vậy quỹ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử ( hệ lượng tử ): 4
  10. Trạng thái của hệ đƣợc xác định bởi hàm sóng trong trƣờng hợp năng lƣợng E của hệ không đổi: = (q)exp[-iEt / ] (1.4) trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ .Hàm sóng (1.4) là nghiệm của phƣơng trình Schrodinger. Trung bình của một đại lƣợng vật lý tƣơng ứng với toán tử ̂(q) khi đó đƣợc xác định bởi ̅ = ∫ (q,t) ̂(q) (q,t)dq (1.5) và là đại lƣợng không phụ thuộc thời gian. 1.1.3. Hệ nhiều hạt nhiệt động Khi số hạt của hệ tăng đến mức đáng kể , thƣờng bằng hoặc lớn hơn số các phần tử không khí ở điều kiện chuẩn (khoảng phân tử / ), tính chất chuyển động của các hạt trong hệ thay đổi: các hạt chuyển động hỗn loạn. Hệ trở thành hệ nhiệt động, chuyển động hỗn loạn của các hạt gọi là chuyển động nhiệt. Biểu hiện của chuyển động hỗn loạn không giống nhau đối với hệ cổ điển và đối với hệ lƣợng tử. Đối với hệ cổ điển, về nguyên tắc tọa độ và động lƣợng của các hạt có thể xác định đƣợc bằng việc giải hệ phƣơng trình Hamilton (1.2). Với một hệ nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H của hệ là xác định, do đó nghiệm của hệ phƣơng trình (1.2) cũng có dạng xác định. Tuy nhiên vì hệ phƣơng trình Hamilton là hệ các phƣơng trình vi phân nên nghiệm (1.3) của hệ phƣơng trình này phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều kiện ban đầu, ở mỗi thời điểm t chúng ta có các tập giá trị (1.3a) và (1.3b) khác nhau; mỗi tập ứng với với một điều kiện ban đầu và một điểm pha, tức là ứng với một trạng thái vi mô của hệ ở thời điểm t. Khi t biến thiên mỗi tập này vẽ nên một quỹ đạo pha. Do tính đơn trị của nghiệm của hệ phƣơng trình (1.2), các quỹ đạo pha ứng với các điều kiện ban đầu khác nhau không cắt 5
  11. nhau; nghĩa là ở mỗi thời điểm chúng ta có một tập các trạng thái vi mô khác nhau, số lƣợng các trạng thái vi mô không phụ thuộc vào số lƣợng các điều kiện ban đầu. Nhƣ vậy bằng cơ học Hamilton về nguyên tắc chúng ta có thể mô tả đƣợc hệ bằng cách xác định các tập trạng thái vi mô của nó. Tuy nhiên trên thực tế, vì các hạt tạo nên hệ chuyển động hỗn loạn không ngừng nên các điều kiện ban đầu (các giá trị tọa độ và động lƣợng của tất cả các hạt ở một thời điểm nào đó coi là ban đầu (t=0)) không thể xác định đƣợc cả về giá trị lẫn số lƣợng, nghĩa là các điều kiện ban đầu có tính ngẫu nhiên, và do đó số lƣợng tập các trạng thái vi mô của hệ (các tập giá trị tọa độ và động lƣợng của các hạt (1.3)) là vô cùng lớn và cũng có tính ngẫu nhiên. Điều đó có nghĩa là chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ đã dẫn đến tình trạng là chúng ta không thể mô tả hệ bằng các trạng thái vi mô của hệ (tức là tập các tọa độ và động lƣợng của các hạt) nhƣ trong trƣờng hợp hệ cơ học. Bây giờ chúng ta sẽ xem đối với hệ lƣợng tử tính chất chuyển động hỗn loạn của các hạt thể hiện nhƣ thế nào. Nhƣ đã biết do tính chất sóng của hạt, trạng thái của hạt không đƣợc mô tả bằng tọa độ và động lƣợng của nó, nên sự biểu hiện của tính chất chuyển động hỗn loạn của hạt lƣợng tử không thể hiện ở tính ngẫu nhiên của các giá trị tọa độ và động lƣợng của hạt nhƣ trong trƣờng hợp hệ cổ điển, vì bản thân tọa độ và động lƣợng của các hạt ngay trong hệ lƣợng tử cơ học đã không đặc trƣng cho trạng thái của hệ. Tƣơng ứng với tọa độ và động lƣợng của các hạt, trong hệ lƣợng tử cơ học ngƣời ta dùng hàm sóng. Vậy tính ngẫu nhiên của tọa độ và động lƣợng của các hạt trong hệ nhiệt động cổ điển sẽ thể hiện nhƣ thế nào trong hệ nhiệt động lƣợng tử? Có thể chứng minh đƣợc rằng số mức năng lƣợng của hệ nhiều hạt phụ thuộc vào số hạt N và tỷ lệ với , nghĩa là khoảng cách giữa hai mức năng lƣợng liền nhau cũng là một con số cực kì bé. Do tƣơng tác của hệ với môi trƣờng xung quanh (trên thực tế không thế nào có đƣợc một hệ 6
  12. tuyệt đối kín, cho dù năng lƣợng tƣơng tác của môi trƣờng với hệ khảo sát rất nhỏ tới mức không hề ảnh hƣởng đến các tính chất khác của hệ, năng lƣợng tƣơng tác này vẫn rất lớn so với khoảng cách giữa các mức năng lƣợng liền nhau của hệ), do đó hệ luôn luôn chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác ứng với các mức năng lƣợng và hàm sóng khác nhau, và chúng ta không thể nói chính xác rằng ở một thời điểm t nào đó hệ đang ở trạng thái nào. Nói một cách khác, những điều chúng ta biết về hệ không phù hợp với một tập đầy đủ các điều cần biết để thiết lập một hàm sóng cho hệ, tức là trạng thái của toàn hệ không thể mô tả bằng hàm sóng hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ. Tình hình tƣơng tự nhƣ đối với hệ nhiệt động cổ điển: do chúng ta không thể chú ý đầy đủ các điều kiện ban đầu vì chúng có tính ngẫu nhiên nên cũng không thể mô tả đơn thuần cơ học các trạng thái của toàn hệ, nghĩa là không thể mô tả trạng thái của toàn hệ bằng tập các tọa độ và động lượng của các hạt hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ. Trạng thái của toàn hệ nhiệt động đƣợc gọi là trạng thái vĩ mô để phân biệt với trạng thái vi mô xác định xác định bởi các tập (q,p) hoặc bằng hàm sóng. Qua những điều đã trình bày trên chúng ta thấy không thể chỉ dùng cơ học đơn thuần để mô tả hệ nhiều hạt nhiệt động, mà phải dùng phƣơng pháp của Vật lý Thống kê, nghĩa là kết hợp giữa mô tả cơ học với lý thuyết xác xuất sẽ đƣợc trình bày ở các phần sau. 1.1.4. Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K Đƣơng nhiên là đối với hệ nhiều hạt cơ học không có khái niệm nhiệt độ, vì nhiệt nhiệt độ là một đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho mức độ chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ, trong khi các hạt trong hệ cơ học không chuyển động hỗn loạn. Vấn đề đặt ra là với hệ nhiệt động ở nhiệt độ T = 0K 7
  13. W= năng lƣợng trung bình Lƣợng tử Cổ điển O T Hình 1.1 các hạt có chuyển động hỗn loạn không? Từ sự phụ thuộc của năng lƣợng trung bình W vào nhiệt độ tuyệt đối T trên hình 1.1 chúng ta thấy đối với hệ cổ điển khi T = 0K thì W = 0, có nghĩa là không có chuyển động hỗn loạn (trên thực tế không tồn tại hệ nhiệt động cổ điển ở 0K); trong khi đối với hệ lƣợng tử năng lƣợng của hệ đạt giá trị cực tiểu ở nhiệt độ T = 0K. Có thể chứng minh đƣợc rằng trạng thái của hệ ở T = 0K là trạng thái cơ bản và không suy biến, nghĩa là ứng với mức năng lƣợng cực tiểu chỉ có một trạng thái và trạng thái của hệ ở 0K hoàn toàn đƣợc xác định bằng hàm sóng, nghĩa là các hạt trong hệ không chuyển động hỗn loạn. Chúng ta có thể xem xét bài toán đơn thuần cơ học lƣợng tử. 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 1.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử Các hạt đồng nhất là các hạt giống hệt nhau về mọi phƣơng diện. Trong cơ học cổ điển có thể phân biệt đƣợc các hạt giống hệt nhau vì chúng chuyển động theo các quỹ đạo khác nhau. Trong cơ học lƣợng tử trạng thái của hạt không đặc trƣng bằng quỹ đạo mà bằng hàm sóng nên các hạt giống hệt nhau có cùng hàm sóng và chúng ta không thể phân biệt đƣợc chúng. 8
  14. Nghĩa là về nguyên tắc không thể phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất. Đó chính là nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử. 1.2.2. Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất 1.2.2.1. Tính đối xứng của hàm sóng Xét hệ N hạt đồng nhất. Trạng thái của hệ đặc trƣng bằng hàm sóng ), (i= 1,2, ,N) là tập các biến của hạt thứ i. Gọi ̂ là toán tử khi tác động lên ) sẽ làm hoán vị các biến thứ i và thứ j: ̂ ( ) = (1.6) Tác động lên (1.6) toán tử ̂ ta thấy rằng trị riêng của ̂ bằng . Thực vậy: ̂ ( ) = ̂ Ψ( ) = Ψ( ) suy ra trị riêng của ̂ bằng 1, do đó trị riêng của ̂ bằng . Hai hàm riêng tƣơng ứng là: ( ) = ( ) (1.7) Và ( ) = - ( ) (1.8) Hàm sóng xác định bởi (1.7) là hàm chẵn có tính đối xứng đối với sự hoán vị các biến và , còn hàm sóng xác định bởi (1.8) là hàm lẻ có tính phản đối xứng đối với sự hoán vị các biến và . 1.2.2.2. Đặc điểm tính đối xứng của hàm sóng - Một đặc điểm quan trọng của tính chất này là tính đối xứng là nhƣ nhau đối với tất cả các cặp biến, nghĩa là nếu hàm sóng là đối xứng đối với sự hoán vị của một cặp biến ( , ) thì cũng là đối xứng đối với sự hoán vị của tất cả các cặp biến khác, hoặc nếu hàm là phản đối xứng đối với sự hoán vị của một cặp biến , ) thì cũng là phản đối xứng đối với sự hoán vị của tất cả các cặp biến khác. Có thể chứng minh khẳng định này bằng phản chứng: giả dụ hàm sóng đối xứng đối với sự hoán vị các cặp biến (1;3) và (2;3), 9
  15. nhƣng phản đối xứng đối với cặp biến (1;2), dễ dàng chứng minh rằng hàm sóng này bằng 0: Ψ( a, b, c)= -Ψ( b, a, c )=-Ψ( a, c, b )= -Ψ( a, b, c )= 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Vì các hạt là giống hệt nhau nên cặp biến ở đây chỉ khác nhau ở vị trí của chúng, các vị trí này đƣợc đánh dấu bằng các dấu 1;2;3; còn sự hoán vị để dễ theo dõi đƣợc đánh dấu bằng các chữ a,b,c. Các chữ a,b,c ký hiệu tên các hạt đồng nhất trên thực tế là không phân biệt đƣợc, chúng ta dùng các chữ khác nhau chỉ để theo dõi sự hoán vị mà thôi. - Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin: Ngƣời ta đã chứng minh rằng spin của hạt xác định tính chẵn-lẻ của hàm sóng của hệ: Nếu hạt có spin nguyên (0;1;2; ) thì hàm sóng là chẵn và hệ hạt đồng nhất tuân theo phân bố Bose-Einstein. Nếu hạt có spin bán nguyên (1/2;3/2;5/2; ) thì hàm sóng là lẻ và hệ hạt đồng nhất tuân theo phân bố Fermi-Dirac - Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu: vì các hạt là đồng nhất nên toán tử Hamilton H của hệ là bất biến đối với tất cả các hoán vị (  ), có nghĩa là ̂ giao hoán với H và do đó phép hoán vị ứng với toán tử ̂ là bảo toàn, nói một cách khác nếu ̂ có trị riêng bằng 1 thì trị riêng này sẽ bằng mãi, hoặc nếu ̂ có trị riêng bằng -1 thì trị riêng này sẽ bằng -1 mãi. 1.2.2.3. Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác Để thiết lập dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tƣơng tác, chúng ta kí hiệu ( ) là hàm sóng một hạt mô tả trạng thái trong đó chỉ có một hạt thứ i tồn tại với tập các biến mô tả hạt i nào đó. Các hàm ) có dạng: ( ) = ( ⃗ ) ( ) (1.9) 10
  16. Trong đó ( ⃗ ) là hàm sóng phụ thuộc tọa độ xác định trạng thái một hạt ni trong đó có một hạt thứ i, còn ( ) là hàm sóng spin với spin ở trạng thái spin . Các biến lƣợng tử = ( ⃗ , ) xác định trạng thái = (ni , ) của hạt thứ i. Hàm sóng một hạt (1.9) là trực chuẩn, thỏa mãn công thức chuẩn hóa sau: ∫ ( ) ( )d =∫ ⃗ ∑ ( ⃗ ) ( ) ( ⃗ ) ( ) = = (1.10) trong đó: d ⃗ = d d d . Hàm sóng ( ) của toàn hệ là tổ hợp của các hàm sóng ( ). Về nguyên tắc hàm sóng của hệ gồm các hạt không tƣơng tác phải đƣợc tổ hợp từ tích của tất cả các hàm của từng hạt ( ) vì xác xuất hiện trạng thái của hệ chính là xác suất tồn tại đồng thời của tất cả các hạt trong hệ. Ngoài ra hàm sóng còn phải thỏa mãn tính chất chẵn lẻ nhƣ đã viết ở trên. Trƣờng hợp hệ các hạt boson, hàm sóng của hệ là hàm chẵn, nghĩa là không đổi khi hoán vị bất kì hai hạt nào. Do đó hàm sóng có dạng: ∑ ( ) = c ( ) ( ) ( ) (1.11a) tổng lấy theo tất cả hoán vị có thể có, hằng số c đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Với hệ có 2 hạt: ( ) = [ ( ) ( ) + ( ) ( )] (1.11b) √ Trƣờng hợp các hạt fermion hàm sóng của hệ là hàm lẻ, nghĩa là đổi dấu khi hoán vị bất kỳ hai hạt nào. Do đó hàm sóng có dạng định thức Slater: 11
  17. ( ) = | | (1.12a) √ | | Rõ ràng là việc hoán vị hai cột bất kỳ của định thức Slater đều làm đổi dấu định thức. Với hệ có 2 hạt: ( ) = [ ( ) ( )- ( ) ( )] (1.12b) √ Trạng thái của các hạt fermion xác định bằng định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli: nếu trong sô các có hai số nào đó giống nhau (định thức có hai hàng giống nhau) thì định thức bằng 0, do đó hàm sóng của hệ bằng 0. Định thức có hai hàng giống nhau có nghĩa là có hai hạt khác nhau trong một trạng thái ( ). Điều đó không thể xảy ra vì trái với nguyên lý loại trừ Pauli: không có quá một hạt trong một trạng thái. 1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt 1.3.1. Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt Xét hệ có N hạt. Toán tử Hamilton của hệ có dạng : ∑ ( ) ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃗ (1.13a) hoặc trong các biến của hệ tọa độ cầu: ∑ (∑ ) ( ) (1.13b) trong đó: ( ) ( ) Toán tử thế năng tƣơng tác trong biểu diễn tọa độ bằng chính nó: ( ̂ ⃑⃑⃑ ⃑⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃗ ⃑⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃗ ) 12
  18. Nếu thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong hệ V không chứa tƣờng minh thời gian, năng lƣợng E của hệ có giá trị xác định, chúng ta có thể xét các đại lƣợng bảo toàn. 1.3.2. Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt Toán tử động lƣợng của hệ N hạt có dạng: ⃑̂⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ∑ (1.14) ̂ do đó: ⃑⃗̇ ( ⃑̂⃗ ⃑̂⃗) ∑ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ∑ ⃑⃑⃑⃑ ⃗ ∑ ⃑⃑⃑⃑ ⃗ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ (1.15) Trong đó ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ là tổng các nội lực, còn ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ. dễ dàng chứng minh đƣợc rằng tổng các nội lực ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ triệt tiêu. Thực vậy, ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ ∑ ⃑⃑⃗ ∑ ∑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ ∑(⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗ ) ∑(⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗ ) ∑(⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗ ) ∑( ⃑⃑ ⃑⃗ ) ∑(⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗ ) ∑(⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗ ) Với ⃑⃑⃗ là tổng nội lực của các hạt khác tác dụng lên hạt i, còn ⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗ là lực của hạt j tác dụng lên hạt i. kết quả là trong trƣờng hợp không có ngoại lực tác ̂̇ dụng ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃗ , đạo hàm của tổng động lƣợng của hệ triệt tiêu ⃑⃗ , tức tổng động lƣợng của hệ nhiều hạt đƣợc bảo toàn. 1.3.3. Bảo toàn mô men động lượng của hệ nhiều hạt ̂ ⃑⃑̂⃑⃗ ⃑⃑̂⃑⃗ Toán tử mô men động lƣợng của hệ N hạt có dạng: ⃑⃗ ∑ , với là toán tử momen động lƣợng của hạt thứ k. Thành phần z của toán tử momen ̂ ̂ động lƣợng của hệ có dạng ̂ ∑ thay = , chúng ta đƣợc: 13
  19. ̂ ∑ (1.16) Mặt khác đạo hàm của thành phần z của toán tử momen động lƣợng của hệ đƣợc tính theo công thức ̂̇ ( ̂ ̂) Thay Hamilton H từ biểu thức (1.13b) và ̂ từ biểu thức (1.16), chúng ta đƣợc: ̂̇ ̂ ̂ ( ) ∑ ∑ + (1.17) với là thành phần z của momen lực tác dụng lên hạt thứ k, và tƣơng ứng là thành phần z của momen nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ, trong đó thành phần z của mô men nội lực triệt tiêu. Thực vậy, ⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃗ ∑[ ⃑⃑⃑ ⃗ ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑⃑ ⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃗] ∑ [ ⃑⃑⃑ ⃗ ∑ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃗] (⃑ ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗) (⃑ ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗) (⃑ ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗) ∑ ∑ ∑ ( ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗) ∑ ( ⃑⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗) ( ⃑⃑ ⃗ ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗) ∑ ∑ ∑[( ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ] Vì ( ⃑⃑⃑ ⃗ ⃑⃑ ⃗) ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃗, suy ra 14
  20. Nếu thế tƣơng tác V=0 hoặc có dạng đối xứng cầu ( tức ) thì do đó và từ (1.17) đƣợc bảo toàn. 1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt Biểu diễn của toán tử và hàm sóng là một vấn đề rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, đặc biệt là đối với hệ nhiều hạt. Trong cơ học lƣợng tử thƣờng sử dụng ba biểu diễn là biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tƣơng tác. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến các biểu diễn nói trên và tập trung chú ý nhiều đến biểu điễn tƣơng tác là biểu diễn đƣợc sử dụng trong nghiên cứu hệ nhiều hạt có tƣơng tác, đặc biệt là trong phƣơng pháp hàm Green lƣợng tử. 1.4.1. Biểu diễn Schrodinger Xét phƣơng trình Schrodinger theo thời gian (1.18) Nghiệm phƣơng trình (1.18) có thể viết một cách hình thức dƣới dạng sau: * + (1.19) trong đó là hàm sóng không phụ thuộc vào thời gian. Biểu thức (1.19) có thể suy ra đƣợc từ (1.18) vì toán tử Hamilton H không phụ thuộc vào thời gian. Đây chính là biểu diễn Schrodinger , là biểu diễn trong đó hàm sóng phụ thuộc vào thời gian, còn toán tử Haminlton không phụ thuộc vào thời gian. 1.4.2. Biểu diễn Heisenberg Thành phần ma trận của một toán tử ̂ đƣợc xác định bởi: 〈 ̂ 〉 thay hàm sóng (t) từ (1.19) chúng ta có: 〈 ̂ 〉 (1.20a) 15
  21. Đặt ̂ ̂ (1.21) chúng ta đƣợc: 〈 ̂ 〉 (1.20b) Chúng ta đã chuyển sang một biểu diễn mới, gọi là biểu diễn Heisenberg, trong đó toán tử ̂ phụ thuộc vào thời gian đƣợc xác định bởi công thức (1.21), còn hàm sóng không phụ thuộc thời gian và đƣợc xác định từ (1.19): [ ] (1.22) 1.4.1. Biểu diễn tƣơng tác Để đi đến biểu diễn tƣơng tác chúng ta viết toán tử Hamilton H dƣới dạng: ̂ (1.23) trong đó ̂ là phần tƣơng tác của toán tử Haminlton H. Chọn toán tử biến đổi là chúng ta có: [ ] (1.24) và ̂ ̂ (1.25) và ̂ lần lƣợt là hàm sóng và toán tử trong biểu diễn mới gọi là biểu diễn tƣơng tác, trong đó cả hàm sóng và toán tử đều phụ thuộc vào thời gian. Để thấy rõ biểu diễn có tên là biểu diễn tƣơng tác, chúng ta lấy đạo hàm 2 vế (1.24) : = [ ] chú ý (1.18) và (1.23) : =( ) * + ( ) [ ( ̂) ] Biểu thị qua theo (1.24) và (1.25) cuối cùng chúng ta đƣợc: ̂ (1.26) 16
  22. Trong đó ̂ là phần tƣơng tác của toán tử Hamilton trong biểu diễn tƣơng tác: ̂ ̂ (1.27) Biểu thức (1.26) cho biết sự biến đổi của hàm sóng theo thời gian trong biểu diễn tƣơng tác, có dang giống nhƣ biểu thức (1.18), là biểu thức cho biết sự biến đổi của hàm sóng trong biểu diễn Schrodinger, chỉ khác là trong biểu diễn tƣơng tác phần tƣơng tác của toán tử Hamilton thay thế toán tử Hamilton trong biểu diễn Schrodinger. Có nghĩa là sự biến thiên của hàm sóng trong biểu diễn tƣơng tác chỉ phụ thuộc vào phần tƣơng tác của toán tử Hamilton. Đó cũng là lý do biểu diễn đang xét có tên là biểu diễn tƣơng tác. Để thuận tiện cho các tính toán về sau, chúng ta viết lại phƣơng trình (1.26) dƣới 1 dạng khác bằng cách lấy tích phân hai vế phƣơng trình này từ đến t (t > ): ∫ ̂ (1.28) Nghiệm của phƣơng trình (1.28) có thể viết dƣới dạng chuỗi theo lũy thừa của ̂ : (1.29) trong đó gần đúng bậc không chọn hàm sóng tại t0 (1.30) Thay hàm sóng dƣới dấu tích phân trong (1.28) bằng hàm sóng bậc không xác định từ (1.30), chúng ta đƣợc gần đúng bậc một: ∫ ̂ (1.31) Thay hàm sóng dƣới dấu tích phân trong (1.28) bằng gần đúng bậc một xác định bằng vế phải của (1.31) chúng ta đƣợc gần đúng bậc hai: ( ) ∫ ̂ ∫ ̂ (1.32) và gần đúng bậc n: 17
  23. ( ) ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ ̂ (1.33) Chuỗi (1.33) có thể viết dƣới dạng: ̂ (1.34) trong đó ̂ ( ) ∫ ̂ ( ) ∫ ̂ ∫ ̂ +( ) ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ ̂ (1.35) đƣợc gọi là ma trận S Trong chuỗi (1.35) toán tử tƣơng tác ̂ ở thời điểm sớm hơn bao giờ cũng đứng sau toán tử tƣơng tác ̂ ở thời điểm muộn hơn, vì t >t1 > t2 > .> tn > t0 biểu thức (1.35) có thể viết dƣới dạng gọn hơn. Chẳng hạn chúng ta xét thành phần bậc hai: ̂ ( ) ∫ ∫ ̂ ̂ (1.36a) Sau khi thay đổi biến tích phân t1 t2 chúng ta đƣợc: ̂ ( ) ∫ ∫ ̂ ̂ (1.36b) Kí hiêu ̂ là toán tử có tác động làm cho các toán tử đứng sau nó đƣợc sắp xếp từ trái qua phải theo thứ tự thời gian giảm dần ,ví dụ ̂[ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ ̂ (1.37) Trong đó , khi x>0 ; , khi x<0 là hàm bậc thang. Chú ý từ (1.37) chúng ta có thể viết: ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ] 18
  24. ∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂ ∫ ∫ ̂ ̂ (1.38) Kết hợp (1.36) và (1.38) chúng ta nhận đƣợc: ̂ ( ) ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ] (1.39) Với thành phần bậc 3 chúng ta có 3 biến tích phân, có 3! = 6 cách thay đổi biến tích phân ti tj ; i,j=1,2,3, trong đó có 6 biểu thức loại (1.36) cho ̂ và 6 thành phần loại (1.38) trong biểu thức cho ∫ ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ̂ ] (1.40) Lập luận một cách tƣơng tự trong thành phần bậc n chúng ta thay đổi biến tích phân bằng cách thay đổi các kí hiệu t1 t2 ; ; ti tj ; , tất nhiên là giá trị tích phân không thay đổi. Thực hiện tất cả n! cách thay đổi biến có thể, chúng ta có đƣợc n! tích phân bằng nhau, cộng tất cả các tích phân đó lại rồi chia cho n! chúng ta đƣợc biểu thức cho thành phần bậc n của (1.35) sau khi mở rộng khoảng lấy tích phân cho tất cả các biến từ đến t bằng cách sử dụng toán tử sắp xếp thứ tự thời gian ̂. Kết quả là chúng ta có thể viết thành phần bậc n của (1.35) nhƣ sau: ̂ ( ) ∫ ∫ ∫ ̂[ ̂ ̂ ̂ ] (1.41) Cuối cùng (1.35) có thể viết dƣới dạng: ̂ ̂ ,( ∫ ̂ )- (1.42) Từ (1.42) có thể suy ra tính chất sau của toán tử ̂ : ̂ ̂ ̂ (1.43) Hệ thức (1.43) cho phép xác định quan hệ của các toán tử và hàm sóng của biểu diễn tƣơng tác với biểu diễn Heisenberg. Để tìm mối quan hệ này chúng ta làm nhƣ sau: 19
  25. Giả thiết ở thời điểm xác định không có tƣơng tác (V=0), sau đó tƣơng tác bắt đầu xuất hiện từ từ một cách đoạn nhiệt và đạt đƣợc giá trị của tƣơng tác của hệ khảo sát ở thời điểm coi là ban đầu, nghĩa là trạng thái của hệ ứng với hàm riêng của toán tử Hamilton toàn phần với H với . Ký hiệu ̂ ̂ (1.44) Công thức (1.43) khi thay t tV, t2 t1; t3 t2 có thể viết dƣới dạng: ̂ ̂ ̂ (1.45) Trong đó . Mặt khác từ (1.22) chúng ta có: [ ] (1.46) Do đó từ (1.24) suy ra [ ] [ ] (1.47) Thay trong (1.47) chúng ta đƣợc: (1.48) Thay trong (1.34) và chú ý (1.44) chúng ta có ̂ Suy ra: ̂ (1.49) ̂ ̂ ̂ ̂ (1.50) Các công thức (1.43), (1.45), (1.49), (1.50) sẽ đƣợc sử dụng để nghiên cứu hàm Green ở đoạn sau. Để chuẩn cho việc này chúng ta viết biểu thức tính giátrị trung bình M ở trạng thái cơ bản của một tích các toán tử sắp xếp theo trật tự thời gian giảm dần trong biểu diễn Heisenberg. Ký hiệu là hàm sóng ứng với trạng thái cơ bản trong biểu diễn Heisenberg chúng ta có: 〈 ̂[ ̂ ̂ ̂ ] 〉 (1.51) Giả thiết 20
  26. Công thức (1.51) có thể viết lại với các toán tử trong biểu diễn tƣơng tác: 〈 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 〉 (1.52) Từ công thức (1.45) có thể viết Nếu đặt ̂ ̂ ̂ (1.53a) Nếu đặt : ̂ ̂ ̂ (1.53b) Do đó 〈 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 〉 Sử dụng toán tử sắp xếp trật tự thời gian ̂, chúng ta có thể viết các toán tử ̂ liền nhau, sau đó áp dụng tính chất (1.43) và sử dụng kí hiệu (1.44) để viết lại biểu thức của M nhƣ sau: 〈 ̂ ̂[ ̂ ̂ ̂ ̂ ] 〉 (1.54) Cần xác định đại lƣợng ̂ [ ̂ ] . Vì ̂ nên trong biểu thức (2.49) thay , và chúng ta đƣợc và ̂ . Có nghĩa là là hàm sóng nhận đƣợc từ hàm sóng của trạng thái cơ bản dƣới tác dụng của ̂ , tức là nhƣ viết ở trên sau quá trình đƣa tƣơng tác vào hệ một cách đoạn nhiệt. Mặt khác, trạng thái cơ bản của hệ là trạng thái trong đó năng lƣợng cực tiểu, nhƣ đã biết từ cơ học lƣợng tử, là trạng thái không suy biến, và hệ ở trong trạng thái không suy biến này không thể chuyển sang trạng thái khác do tác động của nhiễu loạn chậm vô cùng. Từ đó suy ra là hàm ̂ chỉ có thể khác hàm một thừa số pha ̂ (1.55) suy ra ̂ [ ̂ ] Cuối cùng thay vào (1.54) chúng ta đƣợc biểu thức cho M xác định bởi biểu thức (1.51): 21
  27. 〈 ̂[ ̂ ̂ ̂ ̂ ] 〉 ̂ 〈 〉 Kết quả (1.56) nhận đƣợc vì từ (1.55): [ ̂ ] Để cận tích phân trong biểu thức ̂ là đối xứng thƣờng coi thời điểm thế năng là ở âm vô cùng . Khi đó từ (1.44) và (1.42) chúng ta có biểu thức cho ̂ : ̂ ̂ ̂ [( ) ∫ ̂ ] ̂ [∑ ∫ ̂ ∫ ̂ ∫ ̂ ] 22
  28. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Trong chƣơng 1, em đã trình bày về tính chất chung của hệ nhiều hạt trong cơ học lƣợng tử với các nội dung cụ thể là: khái niệm về hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt đồng nhất, các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt, các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt. Đây là cơ sở để em tiếp tục nghiên cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận. 23
  29. CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH SHRODINGER CHO HỆ CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ Trƣớc hết chúng ta viết phƣơng trình schrodinger ổng quát cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tinh thể. 2.1. Phƣơng trình shrodinger tổng quát cho hệ các electron và ion Kí hiệu và Ψ( ⃗ ⃑⃗) lần lƣợt là năng lƣợng, toán tử Hamilton và hàm sóng của hệ các electron và các ion, chúng ta có phƣơng trình shrodinger mô tả trạng thái của hệ: HΨ( ⃗, ⃑⃗) = ⃑⃑⃗ ⃑⃗) (2.1) trong đó ⃑⃗ kí hiệu tọa độ của các ion: ⃑⃗ ( ⃑⃑⃑⃑ ⃗, ⃑⃑⃑⃑ ⃗, , ⃑⃑⃑⃑ ⃗, ) (2.2) ⃗ ký hiệu tọa độ của các electron: ⃗ ( ⃑⃑⃑ ⃗ , ⃑⃑⃑ ⃗ , , ⃑⃑⃗ , ) (2.3) Ký hiệu m là khối lƣợng của một electron, là khối lƣợng của ion ở nút mạng thứ J, là hằng số Plank chia cho 2 , toán tử Hamilton H của hệ có thể viết dƣới dạng: ∑ ∑ ⃑⃗ H = - ⃗ - ⃑⃗ + V( ⃗, ) (2.4) Với thế năng tƣơng tác giữa các hạt: V( ⃗, ⃑⃗) = ( ⃗) + ( ⃑⃗) + ( ⃗, ⃑⃗) (2.5) trong đó: ( ⃗ , ⃑⃑⃑⃗)= ∑ (2.6a) | ⃑⃑⃗ ⃑⃑⃗ | là thế năng tƣơng tác giữa các electron: ( ⃑⃗ ⃑⃗ )= ∑ (2.6b) | ⃑⃑⃗ ⃑⃑⃗ | là thế năng tƣơng tác giữa các ion: 24
  30. Và ( ⃗ ⃑⃗ ) = ∑ ( 2.6c) | ⃗ ⃑⃑⃑⃑ ⃗| là thế năng tƣơng tác giữa các electron và ion. Phƣơng trình (2.1) là quá phức tạp và thƣờng phải dùng các phƣơng pháp gần đúng để giải. Một trong các phƣơng pháp để giải phƣơng trình (2.1) là phƣơng pháp gần đúng đoạn nhiệt, dùng để tách phƣơng trình (2.1) thành hai phƣơng trình, một phƣơng trình mô tả trạng thái của các electron, một phƣơng trình mô tả chuyển động của các ion. 2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình schrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion. Phƣơng pháp gần đúng đoạn nhiệt xuất phát từ thực tế là khối lƣợng của electron nhỏ hơn rất nhiều khối lƣợng của ion (m ), chẳng hạn đối với silic /m = 2,5. . Ở trạng thái cân bằng nhiệt động nhiệt độ của hệ các electron bằng nhiệt độ của hệ các ion. Vì có giá trị cỡ /k,còn có giá trị cỡ m /k( là vận tốc của ion ở nút mạng J, là vận tốc của electron, k là hằng số Boltzmann), dễ dàng suy ra , nghĩa là khi xét chuyển động của các electron có thể bỏ qua chuyển động của các ion ( ⃑⃗ biến thiên chậm hơn rất nhiều so với ⃗ ). Đó chính là ý tƣởng của phƣơng pháp gần đúng đoạn nhiệt. Chúng ta xét chi tiết hơn việc áp dụng phƣơng pháp gần đúng đoạn nhiệt để tách phƣơng trình (2.1) thành hai phƣơng trình nhƣ đã nêu ở trên. Viết hàm sóng dƣới dạng ⃗, ⃑⃗) = ( ⃗ ⃑⃗) ⃑⃗ (2.7) chú ý (2.4) và (2.5) phƣơng trình (2.1) có dạng sau: [-∑ ( ⃑⃑⃗ ⃑⃗)] ( ⃗, ⃑⃗) ⃑⃗) – ⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ [∑ ⃑⃗ ( )] ⃗ ) ) = E ⃗ ) ) (2.8) 25
  31. trong đó: ( ⃗, ⃑⃗) = ⃗ ⃗, ⃑⃗) (2.9a) và: ⃑⃗) = ⃑⃗) (2.9b) Chia hai vế của phƣơng trình (2.8) từ phía trái cho ( ⃗, ⃑⃗) ( ⃑⃗) chúng ta đƣợc: ∑ ⃑⃗ ∑ ⃑⃗ [- ⃗ ⃗, )] - [ ⃑⃗ - )] = E (2.10) Vì ⃑⃗ biến thiên chậm hơn nhiều so với ⃗, do đó trong ( ⃗, ⃑⃗) có thể bỏ qua sự biến thiên của ⃑⃗ so với ⃗, nghĩa là có thể coi [ ( ⃑⃑⃗ ⃑⃗)] 0, với =( ) là thành phần của ⃑⃑⃑⃑ ⃗, ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ do đó ∑ ⃑⃗ [ ⃗, ) ( )] ( ⃗, )∑ ⃑⃗ ( ) Mặt khác dễ thấy rằng: ( ⃗, ⃑⃗) ( ⃑⃗) ⃑⃗ ( ⃗, ⃑⃗) ( ⃑⃗) ( ⃗, ⃑⃗)= ( ⃗, ⃑⃗) ( ⃑⃗) và : ∑ ( ⃑⃗)= ( ⃑⃗)∑ ⃗ ⃗ Từ đó (2.10) có thể viết dƣới dạng: ∑ ⃑⃗ ⃑⃗ [- ⃗ ( ⃗, )] ( ⃗, )+ ⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ [-∑ ⃑⃗ ( )] (2.11) ⃑ ⃑⃑⃗ Thành phần thứ hai của vế trái của (2.11) không phụ thuộc vào ⃗, do đó khi cho ⃗ biến thiên thành phần này không đổi. vì vế phải của (2.11) là một hằng số (E=const) nên thành phần thứ nhất của vế trái cũng không biến đổi khi cho ⃗ thay đổi, nói một cách khác thành phần thứ nhất của vế trái của (2.11) chỉ phụ thuộc vào ⃑⃗; ký hiệu thành phần này bằng ε( ⃑⃗), chúng ta có: [-∑ ⃗, ⃑⃗)] ( ⃗, ⃑⃗) = ε( ⃑⃗) ( ⃗, ⃑⃗) (2.12a) ⃗ ∑ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ Hay - [- ⃗ + ( ⃑⃑⃗ )] ( ⃗, )=ε( ) (2.12b) ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃗ 26
  32. Từ (2.12b) và chú ý (2.9a) chúng ta thấy ε( ⃑⃗) chính là năng lƣợng của hệ các electron bao gồm cả tƣơng tác giữa các electron với các ion. Phƣơng trình (2.12b) là phƣơng trình mô tả trạng thái của hệ các electron lớp ngoài cùng của nguyên tử hoặc phân tử của vật rắn. Trong trƣờng hợp bỏ qua chuyển động của các ion so với chuyển động của các electron chúng ta có thể viết lại (2.12b) dƣới dạng: [-∑ + ⃗)] ⃗)=ε ( ⃗) (2.12c) ⃗ Trong đó ⃑⃗ ( ⃗) là thế năng tƣơng tác giữa các electron với nhau và giữa các electron và các ion đứng yên. Kết hợp (2.11) với (2.12a) chúng ta đƣợc: ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ [-∑ ⃑⃗ + ( ) + ε( )] ( ) =E ( ) (2.13a) Ký hiệu ( ⃑⃗) = ε( ⃑⃗) - (2.14a) Trong đó là năng lƣợng của các electron không có tƣơng tác với các ion. Phƣơng trình (2.13a) có thể viết dƣới dạng: ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ [-∑ ⃑⃗ + ( )+ )] ( )=W ( ) (2.13b) Với W = Ε - (2.14b) Là năng lƣợng của các ion gồm cả tƣơng tác giữa các ion và tƣơng tác của các ion với các electron. Phƣơng trình (2.13b) là phƣơng trình mô tả trạng thái của hệ các ion của vật rắn. thế năng tƣơng tác gồm hai thành phần: thế năng tƣơng tác ( ⃑⃗) giữa các ion với nhau, và thế năng ( ⃑⃗) của các ion trong trƣờng hiệu dụng của các elecron. 27
  33. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Trong chƣơng 2, em đã trình bày về phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tinh thể bao gồm các nội dung : phƣơng trình schodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion, gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình schodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion . Nội dung của chƣơng 2 cũng chính là 1 trong những nội dung chính mà em muốn đề cập đến trong khóa luận này. 28
  34. CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU Để giải phƣơng trình : [-∑ ⃗, ⃑⃗)] ( ⃗, ⃑⃗) = ε( ⃑⃗) ( ⃗, ⃑⃗) ⃗ cho hệ các eletron trong mạng tinh thể chúng ta có thể sử dụng phƣơng pháp trƣờng trung bình để đƣa bài toán hệ nhiều hạt về bài toán một hạt. phƣơng trình trên có thể đƣa về dạng phƣơng trình cho một electron: [- + ( ⃗ )] ( ⃗ )= φ( ⃗ ) 3.1) ⃗ Với i là tên của electron thứ i; φ( ⃗ ) là hàm sóng của một hạt chỉ phụ thuộc vào biến của một hạt, hàm sóng của hệ electron ( ⃗)= ( ⃗ ⃗ ⃗ ) đƣợc xây dựng từ hàm các sóng một hạt φ( ⃗ ) dƣới dạng định thức Slate; là năng lƣợng của electron thứ i(ε=∑ ); ( ⃗ ) là thế hiệu dụng của hệ electron tác dụng lên electron thứ i, xác định bởi biểu thức sau: ( ⃗ )= ( ⃗ ) + ( ⃗ , ⃑⃗ ) + ( ⃗ ⃑⃗ (3.2) Trong đó ⃗ ) là thế hiệu dụng của hệ electron tác dụng lên electron thứ i, xác định từ phƣơng pháp trƣơng trunng bình: ⃗ ∑ ∑ ∫ ( ⃗ ) ( ) ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ) ( ) ⃗ ∑ ∑ ∫ ( ⃗ ) ( ) ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ) ( ) ⃗ (3.3) (dấu ‘ bên cạnh dấu tổng để chỉ lấy tổng với các thành phần j khác i) ( ⃗ ⃗ ) (3.4a) | ⃑⃑⃗ ⃑⃑⃗ | là thế tƣơng tác của hai electron i và j; ( ⃗ ⃑⃗ ) (3.4b) ⃑⃑⃗ | ⃑⃑⃗ | là thế tƣơng tác của elctron thứ I với ion nguyên tử hoặc phân tử của nó (nguyên tử hoặc phân tử có nút mạng thứ I); 29
  35. ⃗ ⃑⃗ = - ∑ (3.4c) ⃑⃑⃗ | ⃑⃑⃗ | là thế tƣơng tác của electron thứ i với các ion của các nguyên tử hoặc phân tử khác (J ). Phƣơng trình (3.1) xác định năng lƣợng và trạng thái một hạt của electron có thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp gần đúng liên tiếp và phụ thuộc vào việc chọn nghiệm ban đầu với các gần đúng khác nhau. Chẳng hạn chúng ta có thể nhận đƣợc kết quả của thuyết miền năng lƣợng với việc xét hai trƣờng hợp gần đúng ứng với hai giới hạn khác nhau là trƣờng hợp electron tƣơng tác mạnh với nguyên tử của nó (liên kết mạnh) và trƣờng hợp electron tƣơng tác yếu với nguyên tử của nó (mô hình electron tự do). Dƣới đây chúng ta sẽ xem xét chi tiết hơn hai trƣờng hợp này để đi đến những kết quả chủ yếu của thuyết miền năng lƣợng. 3.1. Phƣơng trình Schrodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh. Trong thế tƣơng tác (3.2): ( ⃗ )= ( ⃗ ) + ( ⃗ , ⃑⃗ ) + ( ⃗ ⃑⃗ ) của phƣơng trình (3.1): [- + ( ⃗ )] ( ⃗ )= φ( ⃗ ) ⃗ thành phần ⃗ ⃑⃗ đóng vai trò chủ yếu và lớn hơn nhiều so với động năng của electron, các thành phần khác chỉ coi nhƣ nhiễu loạn, phù hợp với giả thiết là electron tƣơng tác mạnh với nguyên tử của nó. Khi chƣa chú ý đến các thành phần nhiễu loạn, đây là bài toán electron trong nguyên tử cô lập mà chúng ta đã có lời giải. Nhƣ đã biết trạng thái của electron trong nguyên tử cô lập đƣợc xác định bởi 4 số lƣợng tử n,l,m,s; còn năng lƣợng chỉ phụ thuộc vào n và l. vì thế ứng với một mức năng lƣợng của electron trong nguyên tử cô lập có 2(2l+1) trạng thái, tức là có 2(2l+1) electron. Khi chú ý các thành phần nhiễu loạn, tức 30
  36. là chú ý đến tƣơng tác với các ion và electron của các nguyên tử khác, năng lƣợng của electron thay đổi; sự thay đổi này phụ thuộc vào trạng thái của từng electron; do đó trƣớc đây trên mỗi mức năng lƣợng có 2(2l+1) electron thì nay có 2(2l+1) mức khác nhau và trên mỗi mức có một electron. Tuy nhiên vì số lƣợng tử spin ảnh hƣởng ít đến việc tách mức nên trên thực tế số mức sau khi bị tách ra chỉ có (2l+1) và trên mỗi mức có 2 electron có spin ngƣợc chiều nhau. Đồng thời nếu chú ý rằng trong vật rắn có N nguyên tử (hoặc phân tử) giống nhau, số mức năng lƣợng sẽ là (2l+1)N. Nguyên tử cô lập Tinh thể f l=3 7N d l=2 5N p l=1 3N S l=0 1N a) b) Hình 3.1: Các mức năng lƣợng của electron a) Trong nguyên tử cô lập b) Trong tinh thể 31
  37. Xuất phát từ giả thiết là năng lƣợng tƣơng tác của electron với nguyên tử của nó lớn hơn nhiều so với động năng của nó, dễ dàng thấy đƣợc rằng các mức năng lƣợng mới tách ra từ một mức trong nguyên tử cô lập có giá trị rất gần nhau (vào cỡ eV) và hợp thành một miền gọi là miền cho phép. Các miền cho phép tách ra từ các mức trong nguyên tử cô lập cách nhau một khoảng trống mà các giá trị năng lƣợng trong đó electron không thể có đƣợc. Khoảng trống này tạo thành miền cấm. Để chuyển từ miền cho phép này sang miền cho phép khác electron phải có năng lƣợng đủ để vƣợt qua miền cấm. Độ rộng của các miền cho phép vào cỡ eV và phụ thuộc vào giá trị của sô lƣợng tử n của các trạng thái trong nguyên tử cô lập. 4s 3p Hình 3.2: Hiện tƣợng chồng miền. Ở các lớp càng xa hạt nhân, n càng lớn, các miền năng lƣợng cho phép có độ rộng lớn, vì thế chúng có thể trùng lên nhau, chẳng hạn 2 miền tạo nên từ mức 3p và 4s (hình 3.2). Hàm sóng của electron trong nguyên tử cô lập chỉ khác không ở lân cận nguyên tử (hoặc phân tử), nghĩa là eletron chủ yếu chỉ chuyển động trong vùng gần nguyên tử của nó. Sự chú ý các thành phần khác trong (3.2) dẫn đến sự thay đổi hàm sóng, hàm sóng trở nên khác không cả ở vùng các nguyên tử lân cận, thời gian của electron ở cố định ở một nút mạng 32
  38. từ s khi ở nguyên tử cô lập có thể giảm tới s là quá nhỏ, nên có thể nói electron đã bị tập thể hóa, nghĩa là electron có thể chuyển từ nguyên tử này sang nguyên tử khác. Nói cách khác, trong nguyên tử cô lập eletron không thể chuyển từ mức năng lƣợng nọ sang mức năng lƣợng kia vì các mức cách nhau xa; nhƣng khi tạo thành mạng tinh thể các mức năng lƣợng của electron chỉ cách nhau khoảng eV, trong khi năng lƣợng nhiệt vào cỡ eV nên electron dễ dàng chuyển từ mức nọ sang mức kia. 3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣờng hợp liên kết yếu. Trong trƣờng hợp động năng của electron lớn hơn thế năng tƣơng tác của electron với nguyên tử của nó (liên kết yếu) electron tách khỏi nguyên tử của nó, chuyển động hầu nhƣ tự do trong mạng tinh thể và chỉ bị tác dụng khi đến gần các nút mạng. Trong trƣờng hợp này thành phần đầu tiên của vế phải của biểu thức thế năng (3.2) ( ⃗ của electron đóng vai trò chủ yếu. Biểu thức cho ⃗ ) xác định bởi (3.3), trong đó tổng theo chỉ khác 0 khi spin của hai electron cùng chiều nhau ( ). Về nguyên tắc hàm sóng một hạt ⃗ ) phải đƣợc xác định một cách tự hợp từ phƣơng trình schodinger (3.1) và phƣơng trình (3.3). Kết quả cho thấy trong trƣờng hợp này hàm sóng có dạng hàm Bloch: ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃗ ⃑⃗ )exp(i ⃗) (3.5) trong đó ⃑⃗ ( ⃗) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng hằng số mạng a: ⃑⃗ ⃑⃗ ( ⃗ ⃗) = ⃑⃗ ( ) (3.6) Từ (3.5) và (3.6) ta thấy rằng thế năng (3.3) có tính chất tuần hoàn. Thông thƣờng thành phần thứ hai của (3.3) chỉ chiếm khoảng 10% đến 20% của thế hiệu dụng ⃗) (ngoại trừ trƣờng hợp sắt linh động), vì thế năng của electron trong trƣờng hợp này có dấu dƣơng ⃗) >0 và là một thế 33
  39. đẩy. Kronig và Penney đƣa ra mô hình đơn giản hóa để giải quyết bài toán trong trƣờng hợp này gọi là mô hình Kronig-Penney. V b c x O a Hình 3.3: sơ đồ thế năng của mô hình Kronig-Penney Mô hình Kronig-Penney xét hệ electron một chiều, trong đó electron chuyển động tự do với thế năng bằng 0 trong khoảng giữa các nút mạng. Chuyển động của electron chỉ bị cản trở bởi thế năng khác 0 ở gần nút mạng ( ⃗ ⃑⃗). Điều đó có nghĩa là thế năng tƣơng tác của các nguyên tử có dạng tuần hoàn theo phƣơng X (hình 3.3): ( ) (3.7) Với a=b+c; b là khoảng cách giữa hai nút mạng, c là độ rộng ở lân cận nút mạng tại đó thế năng khác 0. Kronig và Penney giả thiết ở ngoài c, và rất lớn trong khoảng c, còn c tiến tới 0 sao cho c =const. Nói cách khác, thế ⃗)>0 có dạng: ( ) ∑ (3.8) Trong đó ( là hàm delta, J, n, là tên của nút mạng thứ J, n và có các giá trị nguyên (dƣơng và âm), hằng sô trƣớc dấu tổng bằng: = (3.9) 34
  40. Phƣơng trình (3.1) cho electron trong mạng tinh thể trong trƣờng hợp này có thể viết dƣới dạng: [- ( )] (3.10) Với các giả thiết trên của mô hình Kronig-Penney phƣơng trình (3.10) có thể giải dễ dàng và cho kết quả giống trƣờng hợp electron tƣơng tác mạnh với nguyên tử của nó; nghĩa là năng lƣợng của electron cũng tách thành các miền cho phép và miền cấm, và cũng có hiện tƣợng chồng các miền cho phép. Cả hai trƣờng hợp giới hạn (electron tƣơng tác mạnh và tƣơng tác yếu với nguyên tử của nó) đều cho kết quả nhƣ nhau là sự tạo thành các miền năng luợng cho phép và các miền năng lƣợng cấm. Bằng cách nội suy có thể coi kết quả này đúng cho cả các trƣờng hợp trung gian khác. Đó chính là lý thuyết các miền năng lƣợng của electron trong mạng tinh thể. Lý thuyết miền năng lƣợng trên thực tế phù hợp khá tốt với thực nghiệm. 35
  41. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 Trong chƣơng 3, em đã trình bày về phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trong từng trƣờng hợp liên kết mạnh và liên kết yếu. Đây là một trong những nội dung quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện khóa luận. 36
  42. CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tính thể trong biểu diễn tọa độ. Phƣơng trình ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ [-∑ ⃑⃗ + ( )+ )] ( )=W ( ) mô tả dao động mạng tinh thể. Trong đó, thế năng trong phƣơng trình trên: ( ⃑⃗) ( ⃑⃗) ⃑⃗ (4.1) Chính là thế năng tƣơng tác của các nguyên tử (hoặc phân tử) ở các nút mạng.Ở trạng trạng thái cân bằng của mạng tinh thể, thế năng tƣơng tác này có tác dụng nhƣ một thế đàn hồi, và chỉ tạo nên lực khác 0 tác dụng lên các nguyên tử (hoặc phân tử) rời khỏi vị trí cân bằng ở nút mạng. Do tính chất tuần hoàn của mạng tinh thể, thế (4.1) cũng có tính chất tuần hoàn và chúng có thể không cần quan tâm đến sự phụ thuộc của thế năng vào vị trí các nút mạng mà chỉ cần quan tâm đến sự phụ thuộc của thế năng vào độ lệch của nguyên tử (hoặc phân tử) khỏi vị trí cân bằng ở nút mạng. Ký hiệu độ lệch của nguyên tử (hoặc phân tử) khỏi vị trí cân bằng ở nút mạng thứ n là ⃑⃗ , thế năng (4.1) có thể khai triển theo lũy thừa của ⃑⃗ : ⃑⃗)= ⃑⃗ ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ (4.2) trong đó ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ; ký hiệu chỉ các giá trị trong dấu ( ) đƣợc xác định với các . 37
  43. Không làm mất tính tổng quát, có thể thay đổi gốc tính năng lƣợng để coi . Mặt khác trạng thái cân bằng ứng với các nên đạo hàm bậc nhất của thế năng cũng bằng 0 khi : ( ) =0 (4.3) Thành phần thứ ba trong khai triển (4.2) ứng với lực đàn hồi và dẫn đến dao động điều hòa của mạng tinh thể, trong đó thành phần thứ 4 cũng bằng 0, thành phần tiếp theo ứng với các dao động tử phi điều hòa. 4.2. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai. Các dao động mạng tinh thể từ góc độ lƣợng tử có thể coi nhƣ hệ các phonon. Để thấy rõ điều này dƣới đây cúng ta sẽ viết lại phƣơng trình ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ [-∑ ⃑⃗ + ( )+ )] ( )=W ( ) bằng cách đƣa vào các toán tử sinh hủy của phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần hai. Để đơn giản, chúng ta xét trƣờng hợp các dao động điều hòa một chiều, thế năng (4.2) có thể viết dƣới dạng: ⃑⃗ ( ) ∑ (4.4a) chú ý (4.3), có thể viết lại (4.4a) nhƣ sau: ( ⃑⃗) ∑ (4.5a) Toán tử Hamilton của các dao động mạng tinh thể có thể viết dƣới dạng: ∑ [ ̂ ̂ /2]=∑ (4.6a) ̂ trong đó ̂ (4.7a) Bài toán quy về bài toàn hệ các dao từ điều hòa, mỗi dao tử với toán tử Hamilton bằng . Để đơn giản, chúng ta xét trƣờng hợp các dao động điều hòa một chiều (giả dụ theo phƣơng x), thế năng (4.4a) có thể viết dƣới dạng: 38
  44. ⃑⃗ ( ) ∑ (4.4b) chú ý (4.3), có thể viết lại (4.4b) nhƣ sau: ( ⃑⃗) ∑ (4.5b) Toán tử Hamilton của các dao động mạng tinh thể có thể viết dƣới dạng: =∑ (4.6b) ̂ Trong đó ̂ (4.7b) Là toán tử Hamilton của một dao tử điều hòa một chiều với tần số dao động bằng . Để đơn giản dƣới đây chúng ta sẽ không viết chỉ số n. Đƣa vào toán tử sinh hủy và toán tử hủy: ̂ √ ̂ – i(1/√ ) ̂ (4.8a) ̂ = √ ̂ √ ) ̂ (4.8b) chú ý hệ thức Heisenberg ̂ ̂ - ̂ ̂ = -iħ chúng ta có hệ thức giao hoán ̂ ̂ ̂ ̂ = ħ (4.9) Khi đó toán tử Hamilton (4.7b) có dạng: H = ( ) ̂ ̂ (4.10) Để thấy rõ ý nghĩa của các toán tử sinh hủy định nghĩa theo công thức (4.8) chúng ta ký hiệu hàm riêng của toán tử H là , tức là (4.11) và làm nhƣ sau: ( ̂ ̂ ) ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ̂ = ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ̂ ̂ suy ra: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (4.12) 39
  45. Kết quả trên cho thấy ̂ là hàm sóng ứng với năng lƣợng bằng , tức là tác động của toán tử ̂ lên hàm sóng cho ta một hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng giảm đi một lƣợng bằng . Một cách tƣơng ứng chúng ta đƣợc: ̂ ̂ (4.13) Tức là tác động của toán tử ̂ lên hàm sóng cho ta một hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng tăng thêm một lƣợng bằng . Điều đó nghĩa là các toán tử ̂ và ̂ tƣơng ứng là các toán tử sinh và hủy một hạt với năng lƣợng bằng . Đó là hạt phonon. Để tìm biểu thức năng lƣợng của phonon chúng ta ký hiệu là hàm sóng ứng với trạng thái cơ bản, là trạng thái có năng lƣợng nhỏ nhất. Khi đó ̂ (4.14) Vì không có trạng thái với năng lƣợng nhỏ hơn năng lƣợng tối thiểu. Năng lƣợng tối thiểu có thể xác điịnh từ phƣơng trình trị riêng của toán tử H xác định bởi (4.10): Chúng ta đƣợc : ( ) ̂ ̂ ( ) suy ra: (4.15) Theo tính chất của toán tử ̂ từ (4.13) chúng ta có: ̂ ̂ Vì ̂ , với là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng bằng : (4.16a) Một cách tƣơng tự, từ (4.13) chúng ta đƣợc ̂ ̂ 40
  46. Vì ̂ , với là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng bằng , từ (4.11) chúng ta đƣợc: (4.16b) Tiếp tuc làm tƣơng tự chúng ta nhận đƣợc kết quả: (4.17) Cho hàm sóng ứng với trạng thái có năng lƣợng bằng , chú ý (4.12): (4.18) với n=0,1,2,3, Để tìm hàm sóng chúng ta viết: ̂ (4.19) suy ra: | | ̂ | ̂ | | ̂ ̂ | > (4.20) chú ý (4.9) có thể biến đổi vế phải của (4.20) nhƣ sau: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ chú ý (4.14) cuối cùng ta đƣợc: | | | ̂ ̂ | | | | | Từ (4.19): ̂ , suy ra do đó | | Và | | √ (4.21) 41
  47. ̂ Cuối cùng: (4.22) √ √ với toán tử ̂ xác định từ công thức (4.8a). Để xác định hàm sóng ở trạng thái cơ bản , chúng ta viết dạng tƣờng minh của (4.14) : [√ ̂ ̂] √ Hay [√ ( ) ( )] (4.23) √ Phƣơng trình (4.23) là phƣơng trình vi phân quen biết, có nghiệm: [ ] (4.24) hằng số xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm : | | , kết ∫ quả là , do đó: [ ] (4.25) Thay từ (4.25) vào (4.22) và sử dụng biểu thức (4.8a), dễ dàng tìm đƣợc hàm sóng ở bất kỳ trạng thái nào. 42
  48. KẾT LUẬN CHƢƠNG 4 Trong chƣơng 4, em đã trình bày về dao động mạng tinh thể với các nội dung: phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn tọa độ, phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng hóa lần hai. Đây là vấn đề quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu giải bài toán về phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt. 43
  49. KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt ”. Sau một thời gian nghiên cứu tìm tòi, em đã thu đƣợc một số kết quả sau: Giới thiệu đƣợc về tính chất chung của hệ nhiều hạt: khái niệm về hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt đồng nhất, các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt, các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt Trình bày đƣợc phƣơng trình Schodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tinh thể. Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh và liên kết yếu Nghiên cứu phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn tọa độ, phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ 2. Do thời gian có hạn, lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học, khả năng và vốn kiến thức của bản thân còn nhiều thiếu sót. Em hy vong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc. Hy vọng với các nội dung đã đƣợc trình bày trong khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đọc, góp phần nghiên cứu các bài toán về hệ nhiều hạt trong vật lí. Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! 44
  50. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thái Hoa, Cơ học lƣợng tử ,NXBĐHSPHN II 2014 [2] Phạm Quý Tƣ, Đỗ Đình Thanh . Cơ học lƣợng tử , NXBGD Hà Nội 1995 [3] Đỗ Trần Cát, Lý thuyết hệ nhiều hạt , NXB ĐH Bách Khoa Hà Nội 2009 [4] Phan Đình Kiến, Giáo trình cơ học lƣợng tử, NXB ĐH Sƣ Phạm 45