›

Khóa luận Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

pdf 57 trang thiennha21 15/04/2022 4712
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_mot_so_ung_dung_cua_phep_tinh_vi_phan_ham_so_nhieu.pdf

Nội dung text: Khóa luận Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

  1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  NGUYỄN THỊ HIỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI – 2017
  2. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. 2 5. Phương pháp nghiên cứu. 2 6. Cấu trúc của đề tài. 2 NỘI DUNG 3 Chương I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến. 3 I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số. 3 I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến. 3 I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản. 4 I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số. 7 I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số 8 I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số. 12 I.3.1 Tính chất. 12 I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. 13 I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1. 13 I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao. 14 I.5 Vi phân toàn phần. 15 I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần. 15 I.5.2 Vi phân cấp cao. 16 I.6 Đạo hàm hàm số ẩn. 17 I.6.1 Hàm ẩn một biến. 17 I.6.2 Hàm ẩn hai biến 18 I.7 Đạo hàm theo hướng. 19
  3. I.7.1 Định nghĩa. 19 I.7.2 Công thức tính. 20 I.7.3 Gradien. 21 I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số. 22 I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số. 23 I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị. 23 I.9.2 Điều kiện đủ của cực trị. 24 I.10 Cực trị có điều kiện. 25 I.10.1 Định nghĩa và điều kiện cần. 25 I.10.2 . Điều kiện đủ. 26 Chương II. Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến. 28 II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng. 28 II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện. 32 II.2.1. Cực trị. 33 II.2.2. Cực trị có điều kiện. 41 II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn. 41 II.2.2.2. Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số. 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
  4. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý Lí thuyết và Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành đề tài khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được. Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền
  5. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền
  6. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, do sự phát triển của ngành Giải tích toán học. Sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là ngành Giải tích hàm giúp cho những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật, được giải quyết nhanh gọn và chính xác. Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, .Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó, phép tính vi phân là một phần cơ bản của Giải tích. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷ XVII của Isaac Newton và Gottfried Wihelm Leibniz. Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học, công nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những cơ sở quan trọng trong học tập cũng như nghiên cứu vật lý. Engels đã viết: “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”. Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này, em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu. Tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ra những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức của bản thân. 1
  7. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Đối tượng: - Phép tính vi phân hàm số nhiều biến. - Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến. Phạm vi: Hàm số nhiều biến. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm số nhiều biến và đưa ra một số bài toán về phép tính vi phân hàm số nhiều biến. Nghiên cứu những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến để tìm cực trị, tính gần đúng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu lí luận. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. 6. Cấu trúc của đề tài. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần: Chương I. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến. I.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến. I.2. Biểu diễn hình học của hàm số hai biến số. I.3. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số. I.4. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. I.5. Vi phân toàn phần. I.6. Đạo hàm của hàm số ẩn. I.7. Đạo hàm theo hướng. I.8. Công thức Taylor với hàm số hai biến. I.9. Cực trị của hàm số nhiều biến số. I.10. Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số. Chương II. Một số ứng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng. II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện. 2
  8. NỘI DUNG Chƣơng I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến. I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số. I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến. Xét không gian Euclid chiều . Gọi một phần tử là một bộ số thực là một tập hợp trong . Khi đó ánh xạ: xác định bởi: (1.1) được gọi là một hàm số của biến số xác định trên ; được gọi là miền xác định của hàm số được gọi là các biến số độc lập. Nếu xem là các tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ nào đó thì cũng có thế viết . ) a. Với 3
  9. b. Với Hình 1.1 Hình 1.1: Hình vẽ của hàm trong không gian chiều. I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản. Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vuông góc với nhau từng đôi một , mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị sao cho độ dài ba vector này bằng đơn vị. Vị trí của một điểm M trong không gian hoàn toàn xác định nếu ta biết được các thành phần toạ độ . ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . ⃗ 푖 푗 Hình 1.2 4
  10. Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần: + Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc (gốc cực) gọi là bán kính. + Góc tạo bởi đường thẳng với hướng gốc cho trước (trục cực). 휑 Hình 1. 3 Hệ tọa độ trụ: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc . Tọa độ trụ của điểm trong không gian là bộ ba được xác định như sau: là khoảng cách từ gốc tọa độ đến hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . là góc ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . là độ cao của điểm . Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc bởi biểu thức sau: { 푠푖푛 휑 푠푖푛 휑 표푠 휑 M 휑 Hình 1.4 Hệ tọa độ cầu: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc . Tọa độ cầu của điểm trong không gian là bộ ba số được xác định như sau: 5
  11. là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ . là góc ̅̅̅ ̅̅ . là góc , với là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng . Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc như sau: { e z r D θ eθ 표푠휃 / O A 휑 푡𝑔 / φ 표푠휑 푠푖푛휃 표푠휑 B C 푠푖푛휃푠푖푛휑 eφ 표푠휃 ⬚ y ⬚ Hình 1.5 Mối liên hệ giữa các hệ toạ độ: Từ Đề các Trụ Cầu (Cartesian) (Cylindrical) (Spherical) S Cart ang esian 6
  12. Cyli ndrical Sph erical I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số. Gọi và . Khi đó khoảng cách giữa và , kí hiệu là , được tính theo công thức: (1.2) Ta nói dãy điểm dần đến điểm , ký hiệu khi nếu hay là { Cho hàm xác định lân cận có thể trừ điểm . Ta nói hàm có giới hạn là khi dần đến nếu mọi dãy điểm thuộc lân cận dần đến ta đều có: . Ký hiệu: hay (1.3) Ví dụ 1: Tìm các giới hạn: a. b. Lời giải: 7
  13. a | | | | a Do . | | | | | | || Trị tuyệt đối của một số nhỏ hơn hoặc bằng không thì số đó phải bẳng không. b. Giả sử theo đường thẳng với là hằng số. khi đó Như vậy với mỗi giá trị khác nhau thì có kết quả khác nhau. Do giới hạn của hàm số nếu có phải là duy nhất nên không tồn tại giới hạn . I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số Trong không gian ba chiều đồ thị của hàm hai biến với thường là một mặt cong. Sau đây là một số mặt cong đặc biệt có nhiều ứng dụng trong vật lý: Mặt phẳng Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng có dạng: trong đó . Hình 1.6 Ellipsoid Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng: 8
  14. Hình 1.7 Paraboloid elliptic Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng: Hình 1.8 Mặt trụ bậc hai o Mặt trụ elliptic có phương trình chính tắc là: 9
  15. Hình 1.9 o Mặt trụ hyperbolic có phương trình chính tắc là: Hình 1.10 o Mặt trụ parabolic có phương trình chính tắc là: 10
  16. Hình 1.11 Mặt nón bậc hai Phương tình chính tắc của mặt nón có dạng: Hình 1.12 11
  17. I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số. Hàm số xác định trên miền và điểm . Ta nói rằng hàm số liên tục tại nếu . Nếu hàm số xác định trên miền thì ta nói rằng hàm số đó liên tục trên miền khi nó liên tục tại mọi điểm . Hàm số liên tục trên miền đóng nếu nó liên tục trên miền và liên tục tại mọi điểm theo nghĩa . Nếu đặt là số gia toàn phần của hàm số tại thì hàm số liên tục tại nếu khi { . Ví dụ 2: Khảo sát sự liên tục của hàm số sau: ( ) { Lời giải: ( ) { Ta có | | | ( )| Do đó khi và hàm số liên tục tại . Ta thấy liên tục tại mọi Vậy liên tục trên . I.3.1 Tính chất. Nếu liên tục trong miền đóng giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền tức là: để có bất đẳng thức kép: 12
  18. (1.4) Nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng bị chặn thì nó bị chặn trong miền đó và nó đạt giá trị lớn nhất, bé nhất trong miền ấy, đồng thời liên tục đều trong miền đó. I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1. Cho hàm số xác định trong miền và . Nếu cho , ta được hàm số một biến có đạo hàm tại . Khi đó đạo hàm này được gọi là đạo riêng của đối với tại và được ký hiệu: hay hay (1.5) Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với tại và ký hiệu: hay hay (1.6) Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng sau: a. b. Lời giải: a. Lấy đạo hàm theo biến , coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến , coi là hằng số b. Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số 13
  19. Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số ( ) I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao. Cho hàm số hai biến số . Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một của hàm số nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau: o ( ) o ( ) o ( ) o ( ) . Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số, nếu tồn tại được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, . Định lý 1.1 (Schwarz). Nếu trong một lân cận nào đó của điểm hàm số có đạo hàm riêng và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại thì: tại . (1.7) Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm: . Lời giải: 14
  20. Các đạo hàm riêng cấp 1: Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Lấy đạo hàm theo biến thì ta coi là hằng số Các đạo hàm riêng cấp 2: Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo biến I.5 Vi phân toàn phần. I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần. Cho hàm xác định trong miền . Lấy các điểm . Biểu thức: (1.8) được gọi là số gia toàn phần của tại . Trong đó là những số chỉ phụ thuộc vào , còn dần đến khi . Tức là khi thì ta nói rằng hàm số khả vi tại , còn biểu thức được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại và kí hiệu là hay . Vậy ta có biểu thức: (1.9) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi { . 15
  21. Lời giải: Ta có: { { { { { 푃 𝑆 √ ∫ (√ ) ( √ )| 푃 (đvdt) I.5.2 Vi phân cấp cao. Nếu cũng là một hàm số của , thì có thể xét vi phân của nó. Khi khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của hàm số và ký hiệu: ( ). Ta nói rằng khả vi đến cấp hai tại . Công thức vi phân cấp hai: ( ) ( ) ( ) ( ) Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có: Dùng ký hiệu lũy thừa để viết gọn như sau: ( ) Ví dụ 6: Tính vi phân của hàm ẩn được cho bởi phương trình: 16
  22. Lời giải: Ta coi phương trình đã cho là một đồng nhất thức: Lấy vi phân vế trái và vế phải của phương trình đã cho Lấy vi phân toàn phần của với là hằng số, Hay: là vi phâ của hàm. Lấy biểu thức thế vào ( biểu thức đầu tiên. ) I.6 Đạo hàm hàm số ẩn. I.6.1 Hàm ẩn một biến. Cho một hệ thức giữa hai biến dạng: (1.10) trong đó là hàm hai biến xác định trong miền mở chứa và . Giả sử sao cho ( ) và ( ) Hàm số gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (1.10). Định lý 1.2. Nếu thỏa mãn các điều kiện: o liên tục trong lân cận và . o Các đạo hàm riêng liên tục và trong lân cận thì phương trình (2.10) xác định bởi hàm và khả vi liên tục trong khoảng . Khi đó ta có: 17
  23. (1.11) Ví dụ 7: Tính biết Lời giải: Ta có: Lấy đạo hàm toàn phần hai vế, coi Lấy đạo hàm toàn phần của đạo hàm toàn phần cấp 1 ( ) . I.6.2 Hàm ẩn hai biến. Định lý 1.3. Cho phương trình hàm ẩn và thỏa mãn các điều kiện: o liên tục trong hình cầu mở và o Các đạo hàm riêng liên tục và trong hình cầu . Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận đồng thời: (1.12) Ví dụ 8: Cho . Coi là hàm số ẩn, hãy tính . Lời giải: 18
  24. Ta có: Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn Ta có: [ ] Lấy đạo hàm riêng theo biến , , coi là hằng số. . Lấy đạo hàm riêng theo biến , coi là hằng số. I.7 Đạo hàm theo hƣớng. I.7.1 Định nghĩa. Cho xác định trên miền và , một ⃗⃗ hướng được đặc trưng bởi véc tơ có véc tơ đơn vị , tức là: ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Người ta gọi là các chỉ phương của . Rõ ràng ⃗⃗ Lấy sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , lập tỉ số: Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm theo hướng tại và kí hiệu là tức là: ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 19
  25. z γ α β O Hình 1.13 I.7.2 Công thức tính. Định lý 1.4: Nếu hàm số khả vi tại và bất kỳ có các cosin chỉ phương thì: (1.13) Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm tại điểm theo hướng của véc tơ , trong đó là điểm với tọa độ . Lời giải: Ta có: Vector đơn vị có hướng là hướng | | √ đã cho. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ | | √ √ là các vector đơn vị của các . trục tọa độ. √ √ √ Có: Lấy đạo hàm riêng cấp 1 theo biến tại điêm Dựa vào công thức: 20
  26. √ . √ √ I.7.3 Gradien. Cho có các đạo hàm riêng tại . Gọi vector là gradien của hàm tại và kí hiệu là grad . ( ) (1.14) trong đó là các véc tơ đơn vị của các trục . Đạo hàm của hàm theo hướng vector còn được xác định bởi: | | Ví dụ 10: Cho Tính và . Lời giải: Lấy đạo hàm riêng theo biến thì coi là hằng số Lấy đạo hàm riêng theo biến thì coi là hằng số Lấy đạo hàm riêng theo biến thì coi là hằng số Dựa vào công thức Gradien . ( ) ( ) Lấy đạo hàm của hàm theo 21
  27. ( ) I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số. Định lý 1.5. Giả sử hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp liên tục trong một lân cận nào đó của điểm . Nếu điểm cũng nằm trong lân cận đó thì ta có: | | * | | | + ( ) | (1.15) Trong đó là phần dư xác định bởi: ( ) | Công thức (1.15) gọi là công thức Taylor đối với hàm số Ví dụ 11: Khai triển hàm theo công thức Taylor tại lân cận điểm với . Lời giải: Công thức Taylor có dạng: Có: Lấy đạo hàm riêng 1 của hàm số theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến và Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm 22
  28. riêng cấp hai theo các biến , và . , , Giá trị của các đạo hàm riêng tại điểm Thế các giá trị của đạo hàm tại điểm vào phương trình , Taylor ban đầu. . Vậy: . I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số. I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị. Định nghĩa o Điểm gọi là điểm cực đại (địa phương) của hàm . Nếu có lân cận đủ bé của để trong lân cận đó ( trừ xảy ra bất đẳng thức (1.16) o Tương tự ta có khái niệm cực tiểu (địa phương) của hàm số . o Điểm trong các trường hợp trên gọi chung là điểm cực trị. Điều kiện cần Định lý 1.6. Nếu đạt cực đại tại và có các đạo hàm riêng tại đó thì các đạo hàm riêng đó bằng 0. 23
  29. I.9.2 Điều kiện đủ của cực trị. Trong thực tế thường gặp hàm hai biến và để tìm cực trị của nó, người ta thường sử dụng định lí sau đây, coi như là điều kiện đủ để hàm đạt cực trị. Định lý 1.7. Giả sử có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân cận điểm dừng và gọi: và (1.17) o Nếu thì hàm số không đạt cực trị tại o Nếu thì chưa kết luận gì được về o Nếu thì hàm số đạt cực trị tại Vậy hàm số đạt cực đại nếu , đạt cực tiểu nếu . Ví dụ 12: Tìm cực trị địa phương của hàm . Lời giải: Miền xác định của hàm là toàn mặt phẳng . Tìm các đạo hàm riêng: Lấy đạo hàm riêng của hàm theo biến thì coi là hằng số. Lấy đạo hàm riêng của hàm theo biến thì coi là hằng số. { Từ hai biểu thức đạo hàm riêng ta thu được hệ phương trình √ √ Giải hệ phương trình ta tìm được ba { , , , , √ √ điểm tới hạn Có: Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 theo ta coi y là hằng số Lấy đạo hàm theo biến Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng 24
  30. cấp 1 theo ta coi x là hằng số Tại điểm các điểm tới hạn: o Tại o Tại ( √ √ ) o Tại ( √ √ ) Tại điểm ta có: | | | | . Vậy dựa vào dấu hiệu đủ ta chưa biết được kết quả. Ta thấy trong lân cận bất kỳ của điểm tồn tại những điểm mà và những điểm mà . Chẳng hạn dọc theo trục ta có: | Tại những điểm đủ gần và dọc theo phương thẳng | Như vậy tại những điểm khác nhau của một lân cận nào đó của điểm số gia toàn phần không có cùng một dấu và do đó tại hàm không có cực trị địa phương. Tại điểm √ √ ta có: | | | | Và nên tại √ √ hàm có cực tiểu địa phương và . Tại điểm (√ √ ) ta có và nên tại đó hàm có cực tiểu địa phương và . I.10 Cực trị có điều kiện. I.10.1 Định nghĩa và điều kiện cần. Định nghĩa o Điểm gọi là điểm cực đại của hàm số với ràng buộc (hoặc có điều kiện) , trong lân cận đó có bất đẳng thức 25
  31. (1.18) o Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu của hàm số với ràng buộc o Để đơn giản bài toàn tìm cực trị của hàm hai biến với điều kiện được kí hiệu như sau: (1.19) { (1.20) Trong đó là viết tắt của từ extremum nghĩa là cực trị. Điều kiện cần Định lý 1.8. Giả sử là điểm cực trị có điều kiện của hàm số với điều kiện (1.20) và thỏa mãn: o Các hàm và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận của của đường cong ràng buộc (1.20). o không phải là điểm dừng của hàm . Khi đó tồn tại số thực thỏa mãn hệ phương trình: (1.21) { I.10.2 . Điều kiện đủ. Định lý 1.9. Giả sử và có đạo hàm riêng cấp hai liên tục ở lân cận và là điểm dừng của hàm Lagrange. Khi đó: o Nếu: xác định dấu đối với trong miền thỏa mãn ràng buộc: thì đạt cực trị có ràng buộc tại . Đạt cực đại nếu và đạt cực tiểu nếu . o Nếu không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm không đạt cực trị ràng buộc tại . 26
  32. Ví dụ 13: Tìm cực trị của hàm số với ràng buộc Lời giải: Đây là bài toàn tìm cực trị của bình phương khoảng cách từ gốc tọa độ đến các điểm trên đường thẳng. Vậy bài toán có duy nhất cực tiểu là đường vuông góc tới đường thẳng. Hình 1.14 Lập hàm Lagrange: Các điểm dừng: Lấy đạo hàm cấp 1 theo các biến { Thay vào phương tình (3) Thay ngược lại vào Vậy điểm dừng duy nhất: ( ) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu bằng: 27
  33. Chƣơng II. Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến. Ứng dụng của phép tính vi phân trong Toán học cũng như trong thực tiễn là rất rộng lớn, phép tính vi phân được ứng dụng vào giải các bài toán tìm phương án tối ưu trong các bài toán kinh tế, các bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong, chiều dài của đường cong, hay các bài toán về tìm gia tốc, vận tốc của vật tại các điểm tức thời trong vật lý, vv. Tuy nhiên ở đây tôi chỉ đề cập đến phạm vi ứng dụng của phép tính vi phân ở một góc độ hẹp hơn đó là ứng dụng của phép tính vi phân để tính gần đúng và tìm cực trị. II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng. * Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng. Nếu hàm số khả vi tại thì rõ ràng: Vì: | | | | | | khi . Nên khác số gia toàn phần một vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé khi . Vậy với | | | | khá bé sẽ nhận được: (2.1) Công thức (2.1) thường được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số. * Quy tắc: - Chọn hàm phù hợp (Chỗ có số xấu thì đặt là biến). - Chọn là những số đẹp sao cho có giá trị đẹp và có giá trị đủ nhỏ. * Một số ví dụ: + Ví dụ 1: Sử dụng vi phân toàn phần tính gần đúng giá trị: Lời giải:  Xét hàm Có 1 số xấu là nên ta chọn hàm có 1 28
  34. biến tương ứng với vị trí của  Khi đó ta có: Lấy đạo hàm riêng theo biến  Tại  Ta có: Áp dụng công thức: Vậy + Ví dụ 2: Áp dụng vi phân để gần đúng các giá trị: Lời giải:  Có: ( ) Đổi về độ radian Có 1 số xấu là nên ta chọn  Xét hàm: hàm có 1 biến tương ứng với vị trí của số xấu Lấy đạo hàm riêng theo biến  Ta có:  Tại √ ( ) ( ) Áp dụng công thức:  Có: ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( ) √ Vậy: + Ví dụ 3: Áp dụng vi phân để gần đúng các giá trị: 29
  35. Lời giải:  Xét hàm: Có 2 số xấu là và nên ta chọn hàm có 2 biến tương ứng với 2 vị trí xấu đó.  Khi đó ta có: Lấy đạo hàm riêng theo biến coi y là hằng số Lấy đạo hàm riêng theo biến coi x là hằng số  Tại Áp dụng công thức:  Ta có: Vậy + Ví dụ 4: Áp dụng vi phân để gần đúng các giá trị: a. b. ( ) Lời giải: a. Tính  Xét hàm Số cần tính là giá trị của hàm khi 30
  36. và .  Ta có: Lấy đạo hàm riêng theo biến , coi là hằng số tại | | Lấy đạo hàm riêng theo biến , coi là hằng số tại  Ta lấy . Khi đó Áp dụng công thức: b. Tính ( )  Xét hàm: ( ) tại điểm  Ta có: Lấy đạo hàm riêng theo biến , ( ) coi là hằng số. Lấy đạo hàm riêng theo biến , coi là hằng số.  Ta lấy: Khi đó: Giá trị của đạo hàm riêng theo tại điểm 31
  37. Giá trị của đạo hàm riêng theo ( ) tại điểm ( ) Áp dụng công thức: + Ví dụ 5: Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao và bán kính đáy . Khi nóng lên và nở thêm các đoạn . Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên. Lời giải:  Ta có: Lấy đạo hàm theo biến và Áp dụng công thức xấp xỉ:  Chứng tỏ sai số tuyệt đối không quá và sia số tương đối không quá / . II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện. + Vấn đề xác định hàm cực đại hoặc cực tiểu thường được gặp trong hình học, cơ học, vật lý, và các lĩnh vực khác, đồng thời cũng là một trong những yếu tố thúc đẩy sự phát triển của tích phân trong thế kỷ mười bảy. + Sau đây ta sẽ xét ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị và cực trị có điều kiện của một hàm số. 32
  38. II.2.1. Cực trị. * Điểm tới hạn: - Đối với một hàm của một biến duy nhất, một điểm tới hạn là một điểm tại đó . - Đối với một hàm của n biến nó là một điểm mà tại đó: + Trong trường hợp một hàm của hai biến, điểm tới hạn tương ứng với một điểm trên bề mặt mà tại đó mặt phẳng tiếp tuyến nằm ngang. + Đối với một hàm của hai biến, điểm tới hạn có thể là điểm cực đại, điểm cực tiểu hoặc điểm yên ngựa. Hình 2.1 - Vì vector của mặt phẳng tiếp tuyến tại được cho bởi: - Các mặt phẳng tiếp tuyến là mặt phẳng nằm ngang nếu vector tiếp tuyến của nó theo hướng trục . Do đó, điểm tới hạn là các nghiệm của hệ phương trình: 33
  39. { (2.2) * Cách xác định xem điểm tới hạn được tìm thấy là cực đại, cực tiểu hay điểm yên ngựa: - Cho là một điểm tới hạn và xác định: [ ] (2.3) - Có các trường hợp sau:  Nếu và thì có một giá trị cực đại tương đối tại .  Nếu và thì có một giá trị cực tiểu tương đối tại .  Nếu thì có một điểm yên tại .  Nếu thì không thể rút ra kết luận. * Một số ví dụ: + Ví dụ 6: Tìm những điểm tới hạn và xác định vị trí của điểm cực đại, điểm cực tiểu và điểm yên ngựa của hàm số: Lời giải:  Đạo hàm lần một và lần hai của hàm số là:  Để tìm điểm tới hạn chúng ta cần giải hệ phương trình: { { { Vậy có 1 điểm tới hạn:  Bây giờ chúng ta xác định xem điểm tới hạn vừa tìm được là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm yên.  Ta có: Do đó, điểm là một điểm cực đại hoặc cực tiểu. 34
  40.  Lại có: và Vậy điểm là một điểm cực tiểu.  Vậy hàm số có 1 điểm tới hạn và điểm đó là điểm cực tiểu. a b Hình 2.2 + Ví dụ 7: Tìm những điểm tới hạn và xác định vị trí của điểm cực đại, điểm cực tiểu và điểm yên ngựa của hàm số: ( ) Lời giải:  Đạo hàm lần một và lần hai của hàm số là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .  Để tìm điểm tới hạn chúng ta cần giải hệ phương trình: ( ) { , { ( ) Vậy có một điểm tới hạn  Thay vào biểu thức của , ta được: 35
  41. Suy ra: Do đó, điểm là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu.  Lại có: nên điểm phải là điểm cực đại. Hình 2.3 + Ví dụ 8: Tìm những điểm tới hạn và xác định vị trí của điểm cực đại, điểm cực tiểu và điểm yên ngựa của hàm số: Lời giải:  Đạo hàm lần một và lần hai của hàm số là:  Để tìm điểm tới hạn chúng ta cần giải hệ phương trình: { { { Vậy hoặc hoặc Nếu thì phương trình (1) trở thành: Vậy ta có hai điểm tới hạn: và . 36
  42. Nếu thì , do đó phương trình đầu tiên trở thành: Vậy ta có hai điểm tới hạn nữa là: .  Như vậy ta có bốn điểm tới hạn: , và .  Bây giờ ta phải đi xác định các điểm tới hạn vừa tìm được là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm yên. Xét điểm: . Với điểm tới hạn này, ta có: . Do đó, điểm là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu. Mà Vậy điểm là điểm cực tiểu. Xét điểm: . Với điểm tới hạn này, ta có: . Do đó, điểm là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu. Mà Vậy điểm là điểm cực đại. Xét điểm: . Với điểm tới hạn này, ta có: . Vậy điểm là điểm yên ngựa. Xét điểm: . Với điểm tới hạn này, ta có: . Vậy điểm là điểm yên ngựa.  Như vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại , một điểm cực tiểu và hai điểm yên ngựa và . 37
  43. a b Hình 2.4 + Ví dụ 9: Tìm những điểm tới hạn và xác định vị trí của điểm cực đại, điểm cực tiểu và điểm yên ngựa của hàm số: e ( ) Lời giải:  Các đạo hàm lần một của hàm số là: e ( ) e ( ) , Do đó: { { Vậy có hai điểm tới hạn: và .  Ta có : e ( ) e ( ) e ( ) 38
  44.  Với thì e ( ) với: e ( ) . Do đó là điểm cực đại tương đối.  Với thì e ( ) . Do đó (-1;0) là một điểm yên ngựa. Hình 2.5 Ví dụ 10: Xác định điểm tới hạn và xác định vị trí các điểm cực tiểu, điểm cực đại và điểm yên của hàm được cho bởi hàm số: Lời giải:  Tìm các đạo hàm riêng lần một và :  Các điểm tới hạn thỏa mãn các phương trình và đồng thời. Do đó: { Hệ phương trình trên có một nghiệm 39
  45.  Đạo hàm riêng lần hai ta được: Suy ra:  Vì dương và cũng dương nên có cực tiểu cục bộ ở .  Vậy hàm có cực tiểu cục bộ tại điểm ( ) a b Hình 2.6  Đồ thị trên là biểu đồ ba chiều của hàm cho thấy có cực tiểu cục bộ tại điểm ( ) Khi dương và cũng dương thì có cực tiểu địa phương tại 40
  46. II.2.2. Cực trị có điều kiện. II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn. * Định nghĩa:  là điểm cực tiểu cục bộ (giá trị nhỏ nhất) của trên nếu là điểm thấp nhất của trên , nghĩa là:  là điểm cực đại cục bộ (giá trị lớn nhất) của trên nếu là điểm cao nhất của trên , nghĩa là: * Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền dóng bị chặn ta làm như sau:  Tìm tất cả các điểm dừng của chúng trong miền .  Tính giá trị của hàm tại những điểm này.  So sánh giá trị của chúng với giá trị của hàm trên biên của . Hình 2.7 * Một số ví dụ: 41
  47. + Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Trong miền đóng xác định bởi: . Lời giải:  Ta có: Hàm số liên tục với mọi nên nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền .  Có: { { { Suy ra: : hoặc , hoặc √ √ Vậy ta có năm điểm tới hạn là: ( ) ( ) ( ) ( ) cả năm đều √ √ √ √ nằm trên miền .  Tính tại các điểm trên, ta được:  Xét giá trị của trên miền . Trên biên của miền : Do đó:  Tìm giá trị của hàm số trong đoạn: : - Hàm số bằng 0 khi và đạt giá trị lớn nhất khi: ; giá trị lớn nhất băng . √  So sánh tất cả các giá trị đã tính, ta thấy rằng hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại và đạt giá trị lớn nhất tại các điểm 42
  48. a b Hình 2.8 + Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Trong hình vuông . Lời giải:  Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình: { { { Từ hệ phương trình trên kết hợp với điều kiện trong hình vuông ta có các điểm dừng: ( ) ( ).  Giá trị của hàm số trên biên của hình vuông đều bằng . √ √ Vậy trong hình vuông nói trên hàm có giá trị lớn nhất là √ đạt được tại ( ), có giá trị nhỏ nhất là √ đạt được tại ( ). 43
  49. a b Hình 2.9 + Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) Trong miền xác định bởi . Lời giải:  Hàm ( ) liên tục .  Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình: ( ) , , ( ) Giải hệ phương trình ta được các nghiệm: .  Các điểm nằm trên biên của miền . Do đó chỉ cần so sánh giá trị của ở trên biên của miền Ta có: và biên của miền có phương trình Trên biên đó, ta có: ( ) .  Với đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại và đạt giá trị lớn nhất bằng tại . 44
  50. Vậy trong miền hàm số đạt giá trị bé nhất bằng 0 tại , đạt giá trị lớn nhất bằng tại các điểm a b Hình 2.10 II.2.2.2. Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số. * Định nghĩa: + Đối với cực trị có điều kiện, trong trường hợp đơn giản nhất thì cực trị có điều kiện của một hàm là cực đại hoặc cực tiểu của hàm đó đạt được với điều kiện các biến và thỏa mãn phương trình (phương trình ràng buộc). Hình 2.11 45
  51. + Để tìm cực trị có điều kiện với điều kiện ràng buộc ta lập hàm Lagrange: , trong đó là hằng số nhân chưa được xác định và đi tìm cực trị thông thường của hàm bổ trợ này. Đây là phương pháp thừa số bất định Lagranger. - Tìm điều kiện cần để tồn tại cực trị có điều bằng cách giải hệ phương trình: { (2.4) - Từ hệ này ta có thể xác định . - Vấn đề tồn tại và đặc tính của cực trị địa phương được minh định trên cơ sở xét dấu của vi phân cấp hai của hàm bổ trợ: - Có các trường hợp sau:  Nếu thì hàm có cực đại có điều kiện.  Nếu thì hàm có cực tiểu có điều kiện.  Nếu thì hàm cần phải khảo sát thêm. * Một số ví dụ: + Ví dụ 14: Tìm cực trị của hàm số: với điều kiện . Lời giải:  Từ điều kiện trên rút ra: . Thế vào biều thức của ta được: √ Đây là hàm một biến xác định khi tức là khi .  Ta có: √ √ Vậy đạt cực đại có điều kiện tại ( ) và √ . 46
  52. a b Hình 2.12 + Ví dụ 15: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện và liên hệ với nhau bởi phương trình . Lời giải:  Sử dụng phương pháp nhân tử Lagranger để tìm cực trị của hàm số với điều kiện , ta chỉ cần tìm cực trị của hàm số:  Giải hệ phương trình: { Ta được:  Vì Nên . 47
  53.  Với thì nên tại điểm ( ) hàm có cực tiểu có điều kiện.  Với thì nên tại điểm ( ) hàm có cực đại có điều kiện. Vậy . Điểm cực Điểm cực Hình 2.13 + Ví dụ 16: Tìm cực trị của hàm số với điều kiện Lời giải:  Theo phương pháp nhân tử Lagranger, để tìm cực trị của hàm số với điều kiện: , ta chỉ việc tìm cực trị của hàm số: ( ) Trong đó là nhân tử Lagranger. Ta có: 48
  54.  Cho đồng thời triệt tiêu, ta được . Thế các giá trị này vào điều kiện , ta được: √ Vậy ta được hai điểm tới hạn: ( √ √ ) √ √  Để xét xem có điểm cực trị không, ta xét dấu của số gia của tại . Ta có: ( √ √ ) √ √  Tại điểm Do đó theo công thức Taylor, khi các số gia rất bé, dấu của được xác định bởi dấu của: Nhưng:  Tại , ta có: , do đó: Vậy số gia cùng dấu với biểu thức , tức là với khá bé. Do đó là điểm cực đại √ . Tương tự như vậy, ta có: là điểm cực tiểu √ . 49
  55. Hình 2.14 50
  56. KẾT LUẬN Khóa luận đã giải quyết về cơ bản những mục đích đã đặt ra, theo hướng tìm hiểu chi tiết về ứng dụng phép tính vi phân để tính gần đúng và tìm cực trị của hàm số hai biến số, khóa luận thu được một số kết quả sau:  Trình bày tổng quan được các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân hàm nhiều biến.  Giới thiệu được các kiến thức về cực trị và cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số.  Đưa ra được các bài tập ứng dụng phép tính vi phân để tính gần đúng và tìm cực trị của hàm số hai biến: - Tính gần đúng - Cực trị của hàm số hai biến - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn. - Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến Ngoài ra, khóa luận còn sử dụng phần mềm toán học “ Wolfram Mathematica” để vẽ đồ thị của các hàm số. Hy vọng rằng, với các nội dung đã được trình bày trong khóa luận, khóa luận sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, góp phần giúp cho việc học, nghiên cứu các bài toán về tìm cực trị của hàm số hai biến sẽ được thuận lợi. 51
  57. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2006. 2. Nguyễn Đình Trí ( chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán cao cấp, tập 3, NXBGD, 2000. 3. Nguyễn Thủy Thanh, toán học cao cấp, tập 2, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2005. 4. Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp, tập 2, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2007. 5. University of Glasgow: 6. The OSU Math department wed Study Guide: dyGuides/vcalc/min_max/min_max.html 7. Wolfram Mathematica: 52