Khóa luận Một số bài tập về mạng đảo

Nội dung text: Khóa luận Một số bài tập về mạng đảo

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2017
3. LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Một số bài tập về mạng đảo” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô. Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hƣớng dẫn – Ts.Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm khóa luận. Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận này. Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè trong suốt quá trình làm khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày ,tháng ,năm 2017. Sinh viên Đinh Thị Huấn
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn của Ts.Phạm Thị Minh Hạnh. Các dữ liệu đƣa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác.
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đ ch nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc khóa luận 2 NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 3 1.1. Mạng tinh thể 3 1.1.1. Mạng tinh thể lý tƣởng 3 1.1.2. Ô cơ sở 3 1.1.3. Cấu trúc tinh thể 5 1.2. Các phép đối xứng của mạng tinh thể 5 1.2.1. Phép đối xứng tinh thể 5 1.2.2. Nhóm điểm trong mạng tinh thể 6 1.3. Các chỉ số Miller 6 1.3.1. Chỉ số nút 6 1.3.2. Chỉ số hƣớng 7 1.3.3. Chỉ số mặt phẳng 8 1.4. Mạng Bravais 10
6. 1.4.1. Mạng Bravais trong không gian ba chiều 10 1.4.2. Phân loại các mạng Bravais ba chiều 11 1.5. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản 12 1.5.1. Cấu trúc Natri Clorua 12 1.5.2. Cấu trúc Xêsi Clorua 13 1.5.3. Cấu trúc kim cƣơng 14 1.5.4. Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phƣơng (Sphalerite) và vuazit (wurtzite) 15 1.5.5. Cấu trúc xếp chặt các quả cầu 16 1.6. Mạng đảo 18 1.6.1. Định nghĩa mạng đảo 18 1.6.2. Một vài tính chất của mạng đảo 19 1.6.3. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo 20 Kết luận chƣơng 1 21 CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO 22 Kết luận chƣơng 2 33 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35
7. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý chất rắn nghiên cứu các tính chất và các quá trình vật lý xảy ra bên trong vật rắn. Các tính chất và quá trình đặc biệt này chỉ bộc lộ khi các nguyên tử hoặc các phân tử liên kết mạnh với nhau và sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong tinh thể. Mạng đảo là một khái niệm quan trọng trong vật lý chất rắn. Khái niệm về mạng đảo lần đầu tiên đƣợc nhà vật lý ngƣời Pháp Auguste Bravais đề xuất vào năm 1850 và nhà vật lý ngƣời Mỹ Josiah Willard Gibbs xây dựng vào năm 1881, nhƣng không đƣợc chú ý nhiều. Khái niệm này lại đƣợc Paul Peter Ewald và Max Theodor Felix von Laue Tái phát minh và phát triển trong thời gian từ 1911-1914 cùng với các phát hiện về sự nhiễu xạ tia X trên tinh thể. Khái niệm này tiếp tục đƣợc hoàn thiện bởi Paul Peter Ewald cho đến năm 1962. Mạng đảo giúp đơn giản hóa các bài toán tinh thể học và nhiễu xạ các sóng trên tinh thể. Chính vì các lí do trên tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài "Một số bài tập về mạng đảo". 2. Mục đ ch nghi n cứu Nghiên cứu cấu trúc tinh thể của vật rắn. Nghiên cứu về mạng đảo. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mạng tinh thể của vật rắn. Mạng đảo. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của vật rắn. Giải quyết một số bài tập về mạng đảo. 1
8. . Phư ng ph p nghi n cứu Vật lý lý thuyết và vật lý toán. Đọc, nghiên cứu tài liệu. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm hai chƣơng: CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO 2
9. NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1. Mạng tinh thể 1.1.1. Mạng tinh thể lý tưởng Trong vật rắn tinh thể, các nguyên tử và phân tử đƣợc sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Mạng tinh thể lý tƣởng: Tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lý tƣởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là ở mọi nơi, nó đều chứa những loại nguyên tử nhƣ nhau, đƣợc phân bố nhƣ nhau. Tinh thể lý tƣởng phải có k ch thƣớc trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hƣởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử. [4] 1.1.2. Ô cơ sở Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp hay ô cơ sở. Ở các tinh thể đơn giản nhƣ tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô cơ sở chỉ chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô cơ sở có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử.[4] Hình 1.1. Mạng tinh thể 3
10. Vị trí của 1 hạt bất kì của mạng đƣợc xác định nhờ vectơ: ⃗⃗ = n1 + n2 ⃗ + n3 trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên ⃗ ⃗⃗ , ⃗ , là các vectơ cơ sở Hình hộp đƣợc tạo từ ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗ , ⃗ , đƣợc gọi là ô cơ sở. Tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng một hình dạng và thể tích. Tại tất cả các đỉnh của ô có các nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử nhƣ nhau gắn vào. Vì vậy tất cả các đỉnh của ô là tƣơng đƣơng nhau và đƣợc gọi là nút mạng. Về mặt nguyên tắc, để mô tả một ô cơ sở phải biết 6 đại lƣợng: 3 cạnh của ô (a, b, c) và ba góc giữa chúng (α, β, γ). Ô cơ sở mà chỉ chứa các hạt ở tại các đỉnh đƣợc gọi là ô đơn giản hay ô nguyên thủy. Với loại ô này chỉ có một hạt trên một ô cơ sở. Trong nhiều trƣờng hợp, để mô tả một cách đầy đủ hơn tính chất đối xứng của mạng, ô cơ sở đƣợc xây dựng bằng cách nó chứa các hạt không chỉ ở đỉnh mà còn ở các điểm khác. Ô cơ sở này gọi là ô phức tạp, ví dụ: ô lập phƣơng tâm khối, ô lập phƣơng tâm diện Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.2. Ô lập phƣơng đơn giản Hình 1.3. Ô lập phƣơng tâm khối Hình 1.4. Ô lập phƣơng tâm diện 4
11. 1.1.3. Cấu trúc tinh thể [4] Chuyển từ mạng không gian là mô hình toán học trừu tƣợng sang cấu trúc tinh thể. Ta có đƣợc cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng. Chẳng hạn có thể đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của chúng nằm ở các nút mạng không gian. Còn trong tinh thể hiđrô (ở thể rắn) tại mỗi nút mạng là một phân tử H2. Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân tử có chứa hàng chục, có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử nhƣ vậy đƣợc gọi là gốc. Do đó, ta có thể viết một cách tƣợng trƣng: Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể. Vì l do đó mà cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà mạng không gian không có, đó là các trục xoắn ốc và mặt phẳng trƣợt. 1.2. C c phép đối xứng của mạng tinh thể [1] 1.2.1. Phép đối xứng tinh thể Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến, ngoài ra, tùy vào các trƣờng hợp cụ thể chúng còn có thể có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể đƣợc định nghĩa chung nhƣ sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống nhƣ vị tr cũ (chỉ có sự đổi chỗ các nguyên tử cùng loại) thì phép biến đổi này đƣợc gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép đối xứng chủ yếu của mạng tinh thể là: + Tịnh tiến + Quay quanh một trục 5
12. + Phản xạ gƣơng (qua một mặt phẳng) và các tổ hợp khác nhau của chúng. Chú ý: Có những trƣờng hợp mà một phép biến đổi trên đây, nếu xét đơn lẻ thì không phải là một phép đối xứng, nhƣng nếu xét một tổ hợp nhất định nào đó của chúng với nhau thì lại là một phép đối xứng. 1.2.2. Nhóm điểm trong mạng tinh thể [1] Một tập hợp các biến đổi đối xứng đi kèm thêm với hai định nghĩa: định nghĩa t ch của hai yếu tố và định nghĩa yếu tố nghịch đảo sẽ lập thành một nhóm. Các thí dụ về nhóm trong tinh thể là: + Nhóm tịnh tiến T(R) + Nhóm quay quanh một trục bậc n (góc quay là bội của 2 /n, với n = 1, 2, 3, 4, 6): Cn + Nhóm quay - nghịch đảo: Sn + Nhóm quay - phản xạ gƣơng: Cnv, Cnh. + Nhóm quay quanh hai trục, một trục bậc n và một trục bậc hai vuông góc với trục bậc n: Dn. Đáng chú ý là tất cả các biến đổi thuộc nhiều nhóm đối xứng của tinh thể, thí dụ: Cn, Cnv, Cnh, Sn, Dn đều giữ cố định một điểm nào đó của tinh thể. Các nhóm có tính chất nhƣ vậy đƣợc gọi là các nhóm điểm. Tập hợp tất cả các phép đối xứng khác nhau của tinh thể lập thành một nhóm gọi là nhóm không gian của tinh thể. Có tất cả 230 nhóm không gian, tức là có 230 loại tinh thể có các tính chất đối xứng không gian khác nhau. 1.3. Các chỉ số Miller Để chỉ rõ các nút, các hƣớng và các mặt trong mạng tinh thể, ngƣời ta dùng các chỉ số Miller. 1.3.1. Chỉ số nút [3] Vị trí của nút đƣợc xác định bởi 3 tọa độ x, y, z. 6
13. Nếu tọa độ của nút M là x = ma, y = nb, z = pc, thì chỉ số của nút M là [[mnp]]. Nếu nút có tọa độ âm thì ghi dấu “-“ ở phía trên chỉ số tọa độ đó, th dụ: tọa độ của nút N là x = ma, y = nb, z = -pc, chỉ số của nút N là [[mn ̅]]. pc M [[mnp]] ma nb -pc N [[mn ̅]] Hình 1.5. Chỉ số nút của điểm M và N 1.3.2. Chỉ số hướng [3] Để biểu thị một hƣớng ngƣời ta dựng đƣờng thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với hƣớng đó. Vị trí của đƣờng thẳng này (cũng là vị trí vủa hƣớng nói trên) đƣợc xác định bằng chỉ số nút [[mnp]] của nút đầu tiên mà đƣờng thẳng này đi qua và chỉ số hƣớng đó đƣợc kí hiệu là [mnp]. 7
14. [001] [011] [111] [[011]] [100] [[110]] [010] [110] Hình 1.6. Chỉ số của một số nút và một số hƣớng trong mạng lập phƣơng. Các hƣớng tƣơng đƣơng nhau về tính chất đối xứng tạo thành một họ hƣớng và đƣợc kí hiệu là . Thí dụ trong hệ lập phƣơng, họ hƣớng biểu thị các hƣớng [100], [ ̅00], [0 ̅0], [001], và [00 ̅]. 1.3.3. Chỉ số mặt phẳng [4] Trong mạng không gian, đƣờng thẳng đi qua vô số các nút mạng đƣợc gọi là đƣờng thẳng mạng. Có thể chứng minh đƣợc rằng đƣờng thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đƣờng thẳng mạng. Mặt phẳng có chứa vô số các nút mạng đƣợc gọi là mặt phẳng mạng. Mặt phẳng chứa ba nút mạng là mặt phẳng mạng. Để xác định đƣờng thẳng mạng và mặt phẳng mạng ta sử dụng hệ tọa độ xyz có các trục dựa trên ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ . Gốc O của hệ tọa độ đặt ở một nút mạng. 8
15. C (0, 0, n3a3) ⃗⃗⃗⃗ B (0, n a , 0) ⃗⃗⃗⃗ 2 2 O ⃗⃗⃗⃗ A (n1a1, 0, 0) Hình 1.7. Một mặt phẳng mạng cắt các trục tọa độ tại các nút có các tọa độ (n1a1, 0, 0), (0, n2a2, 0), (0, 0, n3a3) (hình 1.7). Để kí hiệu mặt phẳng này, ta dùng các chỉ số Miller đƣợc xác định nhƣ sau: Viết tọa độ của các giao điểm của mặt phẳng mạng với các trục tọa độ theo đơn vị a1, a2, a3, tức là n1, n2, n3. Lấy nghịch đảo của chúng , , Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho: h : k : l = : : Bộ ba số h, k, l đƣợc đặt trong dấu ngoặc (h k l) và đƣợc gọi là chỉ số Miller của mặt phẳng mạng. Ví dụ: n1 = 3, n2 = 4, n3 = 2, do đó: h : k : l = : : = : : = 4 : 3 : 6. Vậy chỉ số Miller của mặt phẳng đó là (4, 3, 6). Các mặt phẳng mạng song song nhau có cùng chỉ số Miller. Vì vậy chỉ số Miller (h k l) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các mặt phẳng song song với nhau. 9
16. Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ, thì coi nhƣ nó cắt trục đó ở vô cực, và chỉ số Miller tƣơng ứng với trục đó bằng 0. Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số Miller tƣơng ứng có dấu âm, và đƣợc kí hiệu bằng dấu “-“ bên trên chỉ số đó. Ví dụ (h ̅ l). 1.4. Mạng Bravais [3] 1.4.1. Mạng Bravais trong không gian ba chiều Trong tinh thể ba chiều, ta cũng luôn luôn chọn đƣợc ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ , sao cho khi dịch chuyển tinh thể theo vectơ: ⃗ = n1 ⃗⃗⃗ + n2 ⃗ + n3 với n1, n2, n3 là những số nguyên bất kì, thì tinh thể lại trùng với chính nó. 푅⃗ ⃗⃗ ⃗ Hình 1.8. Mạng không gian ba chiều. Vectơ tịnh tiến tinh thể ⃗ ⃗ Nói cách khác những điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ đƣợc xác định bằng biểu thức: ⃗⃗ = + ⃗ hoàn toàn tƣơng đƣơng với điểm có bán k nh vectơ . Phép dịch chuyển ⃗ nói trên gọi là phép tịnh tiến tinh thể. 10
17. Tập hợp các điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ tạo thành một mạng không gian gọi là mạng Bravais, còn ch nh các điểm đó gọi là các nút mạng. Ba vectơ ⃗ ⃗⃗ , ⃗ , gọi là các vectơ cơ sở, chiều dài của chúng gọi là hằng số mạng hay chu kì mạng, hình hộp tạo bởi các vectơ cơ sở gọi là ô đơn vị hay ô cơ sở. 1.4.2. Phân loại các mạng Bravais ba chiều Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, ngƣời ta chia chúng thành 7 hệ tinh thể, ứng với 14 loại mạng Bravais nhƣ sau: Bảng 1.1. Phân loại các mạng Bravais ba chiều Số Hệ tinh Đặc điểm của ô cơ sở 14 loại mạng Bravais thứ tự thể a # b # c 1 Tam tà Tam tà đơn giản α # β # γ a # b # c Đơn tà đơn giản 2 Đơn tà α = γ = Đơn tà tâm đáy β # Thoi đơn giản a # b # c Thoi tâm khối 3 Thoi α = β = γ = Thoi tâm đáy Thoi tâm mặt a = b # c Tứ giác đơn giản 4 Tứ giác α = β = γ = Tứ giác tâm khối a = b = c Tam 5 α = β = γ < Tam giác đơn giản giác α = β = γ # 6 Lập a = b = c Lập phƣơng đơn giản 11
18. phƣơng α = β = γ = Lập phƣơng tâm khối Lập phƣơng tâm mặt a = b # c Lục 7 α = β = Lục giác đơn giản giác γ = 1.5. Một số cấu trúc tinh thể đ n giản [3] 1.5.1. Cấu trúc Natri Clorua Hình 1.9. Cấu trúc NaCl Mạng không gian Bravais là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử: nguyên tử Cl nằm tại vị trí 0 0 0, nguyên tử Na nằm tại vị trí . Trong một ô cơ sở có 4 nguyên tử Cl và 4 nguyên tử Na nằm tại các vị trí sau: Cl: 0 0 0 0 0 0 Na: 0 0 0 0 0 0 12
19. Mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất, do đó số phối vị là 6. Một số tinh thể có cấu trúc NaCl đƣợc dẫn ra trong bảng 1.2 trong đó a là hằng số mạng. Bảng 1.2. Các tinh thể có cấu trúc NaCl Tinh thể a (Å) Tinh thể a (Å) LiH 4,08 AgBr 5,77 MgO 4,20 PbS 5,92 MnO 4,43 KCl 6,29 NaCl 5,63 KBr 6,59 1.5.2. Cấu trúc Xêsi Clorua Hình 1.10. Cấu trúc CsCl Mạng không gian là mạng lập phƣơng, gốc mạng gồm hai nguyên tử: nguyên tử Cs nằm tại vị trí 0 0 0 nguyên tử Cl nằm tại vị trí . 13
20. Bảng 1.3. Các tinh thể có cấu trúc CsCl Tinh thể a (Å) Tinh thể a (Å) BeCu 2,70 LiHg 3,29 AlNi 2,88 NH4Cl 3,87 CuZn 2,94 TlBr 3,97 CuPd 2,99 CsCl 4,11 Trong một ô cơ sở có 1 nguyên tử Cs và một nguyên tử Cl nằm ở vị trí nhƣ trên. Mỗi nguyên tử có 8 nguyên tử khác loại ở vị trí lân cận gần nhất, vì thế số phối vị bằng 8. Một số tinh thể có cấu trúc tƣơng tự CsCl đƣợc dẫn ra trong bảng 1.3. 1.5.3. Cấu trúc kim cương Hình 1.11. Cấu trúc kim cƣơng. Mạng không gian của cấu trúc kim cƣơng là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại các vị trí: 0 0 0; . 14
21. Mỗi ô cơ sở gồm 8 nguyên tử nằm ở các vị trí sau 0 0 0 0 0 Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất và 12 nguyên tử ở vị trí lân cận thứ hai. Các tinh thể của các nguyên tố thuộc nhóm 4 trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học nhƣ Cacbon (C), Silic (Si), Giecmani (Ge), và thiếc (Sn) có cấu trúc kim cƣơng với các hằng số mạng tƣơng ứng là: 3,56; 5,43; 5,65; và 6,64 Å. 1.5.4. Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phương (Sphalerite) và vuazit (wurtzite) Hình 1.12. Cấu trúc ZnS. Cấu trúc kẽm sunfua lập phƣơng, ZnS, gần giống cấu trúc kim cƣơng. Mạng không gian là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử khác loại: nguyên tử Zn nằm tại vị trí 0 0 0, nguyên tử S nằm ở vị trí . Trong một ô cơ sở có 4 nguyên tử Zn và 4 nguyên tử S nằm ở các vị trí sau: 15
22. Zn: 0 S: Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất và có 12 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận thứ hai. Các tinh thể có cấu trúc tƣơng tự ZnS đƣợc dẫn ra trong bảng 1.4. Bảng 1.4. Các tinh thể có cấu trúc ZnS lập phƣơng. Tinh thể a (Å) Tinh thể a (Å) SiC 4,36 ZnSe 5,65 CuCl 5,41 GaAs 5,65 ZnS 5,41 AlAs 5,66 AlP 5,45 CdS 5,82 GaP 5,45 InSb 6,46 ZnS và nhiều hợp chất A2B6 khác có thể kết tinh theo kiểu vuazit. Mạng không gian của cấu trúc loại này là mạng lục giác. Trong một ô cơ sở có 2 nguyên tử Zn và 2 nguyên tử S nằm ở các vị trí sau: Zn: 0 0 0 1/3 2/3 1/2 S: 0 0 u 1/3 2/3 1/2 + u với u 3/8 Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử nằm ở lân cận gần nhất và có 12 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận thứ hai. 1.5.5. Cấu trúc xếp chặt các quả cầu Các loại nguyên tử có tính chất đối xứng cầu nhƣ các nguyên tử kh trơ hay các nguyên tử mà sự liên kết giữa chúng không có phƣơng hƣớng rõ rệt nhƣ liên kết kim loại, thƣờng có cấu trúc nhƣ các quả cầu xếp chặt sao cho phần thể tích còn lại giữa chúng là bé nhất. 16
23. Thƣờng có hai cách xếp các quả cầu: cách một dẫn đến cấu trúc lập phƣơng xếp chặt, cách hai dẫn đến cấu trúc lục giác xếp chặt. Hãy xét hai cách xếp chặt này. Ta lần lƣợt xếp các quả cầu thành từng lớp. Lớp thứ nhất (gọi là lớp A) nằm trên một mặt phẳng, mỗi quả cầu tiếp xúc với 6 quả cầu khác tạo thành 6 hốc rỗng (ký hiệu là B và C) ở xung quanh. Ở lớp thứ 2 các quả cầu đƣợc đặt vào những hốc B (gọi là lớp B). A A A A A B B B B + + + + . . . . . C C C C A A A A A A B + B + + BC + B + B . . . C . C A C C A A A A Hình 1.13. Sự sắp xếp các quả cầu lớp A và các hốc rỗng B và C. Lớp thứ 3 có hai cách xếp: nếu các quả cầu của lớp này đƣợc xếp vào những chỗ ngay phía trên các hốc rỗng C của lớp thứ nhất, rồi tiếp đó lớp thứ tƣ lại trùng với lớp thứ nhất, sao cho trình tự các lớp là ABCABCABC thì ta nhận đƣợc cấu trúc lập phƣơng tâm mặt. Tinh thể các loại khí trơ nhƣ Ne, Ar các kim loại nhƣ Ag, Au, Pt có cấu trúc loại này. Nếu các quả cầu của lớp thứ 3 đƣợc xếp ngay phía trên tâm của các quả cầu của lớp thứ nhất, sao cho trình tự các lớp là ABABAB thì ta nhận đƣợc cấu trúc lục giác. Cấu trúc lục giác có mạng không gian là mạng lục giác, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2 17
24. a b a b Hình 1.14. Hình 1.15. Hình 1.14a. Ô cơ sở của cấu trúc lập phƣơng xếp chặt Hình 1.14b. Cấu trúc lập phƣơng xếp chặt Hình 1.15a. Ô cơ sở của cấu trúc lục giác xếp chặt Hình 1.15b. Cấu trúc lục giác xếp chặt Mỗi ô cơ sở có hai nguyên tử nằm ở các vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2. Mỗi nguyên tử đƣợc bao quanh bởi 12 nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất. Ô cơ sở của mạng lục giác xếp chặt có trị số c/a có giá trị bằng (8/3)1/2 = 1,633. Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt đƣợc dẫn ra trong bảng 1.5. Bảng 1.5. Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt Tinh thể c/a Tinh thể c/a Cd 1,886 Zr 1,594 Zn 1,861 Gd 1,592 He 1,633 Lu 1,586 Mg 1,623 Ti 1,586 Co 1,622 Be 1,581 1.6. Mạng đảo 1.6.1. Định nghĩa mạng đảo [4] Mạng thuận: là mạng không gian đƣợc xây dựng từ ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , vị trí của mỗi nút mạng đƣợc xác định nhờ vectơ: = n1 ⃗⃗⃗⃗ + n2 ⃗⃗⃗⃗ + n3 ⃗⃗⃗⃗ với n1, n2, n3 Z 18
25. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Mạng đảo: là mạng đƣợc xây dựng từ ba vectơ , , đƣợc xác ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ định nhƣ sau: = 2 [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 2 [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , là các vectơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí của nút mạng đảo đƣợc xác định bởi vectơ mạng đảo : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = m1 + m2 + m3 với m1, m2, m3 Z ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ta có thể chứng minh đƣợc rằng: vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ , vuông ⃗⃗⃗⃗ góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ , vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ . Độ lớn của vectơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo của chiều dài. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Hình hộp tạo thành từ 3 vectơ , là ô cơ sở hay ô sơ cấp của ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ mạng đảo, có thể t ch là V’= Có thể tính ra rằng thể tích V của ô cơ sở của mạng Bravais và thể tích V’ của ô cơ sở của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức: 1.6.2. Một vài tính chất của mạng đảo [3] Mỗi nút có tọa độ h k l trong mạng đảo tƣơng ứng với một mặt phẳng (h k l) trong mạng thuận. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vectơ mạng đảo = h + k + l vuông góc với mặt phẳng (h k l) trong mạng thuận. Chiều dài của vectơ mạng đảo | ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = ( )n trong đó là khoảng cách giữa hai mặt phẳng mạng liên tiếp trong họ mặt phẳng (hkl), n là số nguyên. 19
26. 1.6.3. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo [3] Mạng đảo là khung của không gian chuyển động. Cấu trúc của tinh thể cho ta thấy rằng không gian vị trí (biểu diễn qua r) trong tinh thể không phải là một không gian đồng nhất, mà là một không gian có tính chất tuần hoàn tịnh tiến, thể hiện thông qua sự tồn tại của mạng Bravais R. Nhƣ vậy một cách hình tƣợng có thể nói rằng mạng thuận R là khung của không gian vị trí trong tinh thể. Nếu dùng kí hiệu k để biểu diễn các vectơ khai triển Fourier của một hàm nào đó phụ thuộc vào vị trí (r) trong tinh thể thì ý nghĩa vật lý của k là chúng là các vectơ sóng biểu diễn chuyển động xảy ra trong tinh thể, hay nói cách khác, không gian mà k biểu diễn là không gian chuyển động. Quan hệ giữa k và G giống nhƣ quan hệ giữa r và R, nên có thể nói rằng mạng đảo G là khung của không gian chuyển động trong tinh thể. Nói tóm lại: Không gian vị trí (r) Không gian chuyển động (k) (Bức tranh tĩnh) (Bức tranh động) Mạng thuận (R) Mạng đảo (G) (Khung của không gian vị trí) (Khung của không gian chuyển động) Mạng đảo thể hiện tính chất: tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn. Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phƣơng pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu đƣợc chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta phải suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực). 20
27. Kết luận chư ng 1 Trong chƣơng 1, tôi đã trình bày về: - Khái niệm mạng tinh thể - Các phép đối xứng của mạng tinh thể - Các chỉ số Miller - Mạng Bravais - Một số cấu trúc tinh thể đơn giản - Mạng đảo 21
28. CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO ⃗⃗⃗ Bài 1: Chứng minh: vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ . trong đó: ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ là ba vectơ cơ sở của mạng thuận. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , , là ba vectơ cơ sở của mạng đảo. Bài 2: Chứng minh ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ trong đó: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , [ ]. ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ là ba vectơ cơ sở của mạng thuận. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , , là ba vectơ cơ sở của mạng đảo. V là thể t ch ô sơ cấp mạng thuận. V’ là thể t ch ô sơ cấp mạng đảo. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Bài 3: Chứng minh vectơ mạng đảo = h + k + l vuông góc với mặt phẳng (h k l) của mạng thuận. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ trong đó: , , là ba vectơ cơ sở của mạng đảo. (h k l) là chỉ số Miller của mặt phẳng mạng. Bài 4: Hãy chỉ ra rằng độ lớn của vectơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo của chiều dài. Bài 5: Chứng minh rằng: Khoảng cách dhkl giữa hai mặt phẳng mạng liên tiếp nhau thuộc họ mặt phẳng (h k l) bằng nghịch đảo của độ dài vectơ mạng đảo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ nhân với 2 : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Bài 6: Chứng minh: 22
29. a) Mạng đảo của mạng lập phƣơng đơn giản là mạng lập phƣơng đơn giản. b) Mạng đảo của mạng lập phƣơng tâm mặt là mạng lập phƣơng tâm khối. c) Mạng đảo của mạng lập phƣơng tâm khối là mạng lập phƣơng tâm mặt. Lời giải: Bài 1: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vô hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (1) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vô hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ = 0. ⃗⃗⃗ Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Kết hợp với (1) ta có: ⃗⃗⃗ trong đó: 1 khi i = j 훿 = 푖푗 0 khi i # j ⃗⃗⃗ Vậy vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ (điều phải chứng minh). Bài 2: Thể t ch ô sơ cấp mạng thuận là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Vectơ cơ sở của mạng đảo đƣợc xác định nhƣ sau: 23
30. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 (i, j, k = 1, 2, 3) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ta có: [ ] ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Theo đồng nhất thức [ [ ⃗ ]] = ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ) Ta có: [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ } Số hạng thứ hai của vế phải bằng 0 (vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = 0. Do đó: [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ Ta có: ⃗ ⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Dễ dàng chứng minh đƣợc ⃗⃗⃗⃗ Suy ra: (điều phải chứng minh). 24
31. Bài 3: 푛 ⃗⃗⃗⃗ 푛 ⃗⃗⃗⃗ 푛 ⃗⃗⃗⃗ 푛 ⃗⃗⃗⃗ O 푛 ⃗⃗⃗⃗ 푛 ⃗⃗⃗⃗ 푛 ⃗⃗⃗⃗ Hình 2.1. Mặt phẳng (h k l) cắt các trục tọa độ ở các điểm có tọa độ lần lƣợt trên ba trục là n1a1, n2a2, n3a3 (hình 2.1). Vectơ vuông góc với mặt phẳng (h k l) nếu ta chứng minh đƣợc nó vuông góc với hai vectơ không song song với nhau và cùng nằm trên mặt phẳng (h k l). Ta chọn hai vectơ đó là ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ) . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗ với: 1 khi i = j 훿 = 푖푗 0 khi i # j Và từ cách xác định chỉ số Miller của mặt phẳng (h k l) ta có: Tƣơng tự ta có: 25
32. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ) . ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = 0. Vậy ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) = 0 và ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) = 0. Suy ra vuông góc với mặt phẳng (h k l) (điều phải chứng minh). Bài 4: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vô hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (2) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vô hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ vuông góc với ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ = 0. ⃗⃗⃗ Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Kết hợp với (2) ta có: ⃗⃗⃗ trong đó: 1 khi i = j = 훿푖푗 0 khi i # j ⃗⃗⃗ Mà ⃗⃗⃗ có thứ nguyên chiều dài có thứ nguyên nghịch đảo của chiều dài (điều phải chứng minh). Bài 5: 26
33. P Qhkl hkl ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푙 O 푅⃗ 푅⃗⃗⃗ Hình 2.2. Trên hình 2.2 biểu diễn một số mặt phẳng mạng song song nhau thuộc họ mặt phẳng (h k l). Theo bài tập 3 ta có vectơ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ vuông góc với các mặt phẳng đó. Từ gốc O ta vẽ vectơ mạng ⃗ của một nút mạng nằm trên mặt Phkl. Hình chiếu của nó lên phƣơng vectơ là đoạn OH. Mọi vectơ mạng có điểm cuối nằm trên mặt phẳng mạng Phkl đều có hình chiếu lên phƣơng là đoạn OH. ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ trong đó là vectơ đơn vị theo phƣơng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ đồng thời là vectơ pháp ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ tuyến đơn vị của mặt phẳng (h k l). ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ với là một số nguyên. ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Nhƣ vậy, mặt phẳng Phkl cách gốc O một số nguyên lần ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Mặt phẳng Qhkl nằm kề sát với Phkl (hình 2.2) ứng với hình chiếu ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (h k l) liên tiếp nhau là: 27
34. (điều phải chứng minh). ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Bài 6: Trƣớc khi giải bài tập, ta sẽ tìm hiểu về hệ lập phƣơng. Hệ lập phƣơng bao gồm các mạng Bravais sau đây: Lập phƣơng đơn, lập phƣơng tâm khối hay còn gọi là tâm thể, lập phƣơng tâm mặt hay còn gọi là tâm diện. a) b) c) Hình 2.3. a) Mạng lập phƣơng đơn b) Mạng lập phƣơng tâm khối c) Mạng lập phƣơng tâm mặt Đây là một hệ hết sức quan trọng, nhất là các mạng lập phƣơng tâm mặt và lập phƣơng tâm khối, vì rất nhiều chất rắn kết tinh dƣới dạng các mạng này, do đó sau đây ta sẽ xét hệ này cụ thể hơn. [1] Cấu trúc lập phư ng đ n [1] Cách thƣờng làm nhất để chọn các vectơ cơ sở cho mạng lập phƣơng đơn là chọn luôn các cạnh của hình lập phƣơng. ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ Trong công thức này và các công thức sau đây , ⃗⃗⃗ là các vectơ đơn vị trực giao nhau song song với các cạnh của hình lập phƣơng. 28
35. Hình 2.4. Ô cơ sở lập phƣơng, trong đó chỉ rõ ô nguyên tố. Thể tích của ô cơ sở này là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ô cơ sở của mạng lập phƣơng đơn cũng là một hình lập phƣơng. Cấu trúc lập phư ng tâm khối [1] Một cách chọn các vectơ cơ sở là chọn hai cạnh của hình lập phƣơng và một nửa đƣờng chéo không gian của hình lập phƣơng. ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ Một cách chọn khác là: Nối một đỉnh của hình lập phƣơng với ba tâm của ba hình lập phƣơng khác liền kề với nó, lấy các đoạn thẳng này làm vectơ cơ sở. Khi đó một cách chọn ô cơ sở là chọn hình khối đƣợc tạo nên bởi 3 vectơ cơ sở này: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; Hình 2.5. Ô cơ sở lập phƣơng tâm khối, trong đó chỉ rõ ô nguyên tố. Thể tích của ô cơ sở này là: . Thật vậy: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 29
36. ; ; nên: Vậy 1 1 1 -1 -1 1 V= ; ; (1, 1, -1) -1 1 1 1 1 -1 = (2, 2, 0).(1, 1, -1) = Ô cơ sở của mạng lập phƣơng tâm khối là một hình khối 14 mặt, trong đó 8 mặt là hình lục giác đều và 6 mặt là hình vuông, với các hình lục giác đều to hơn hẳn các hình vuông, và nhƣ vậy hình khối 14 mặt này có thể coi là hình khối 8 mặt bị cắt ở các góc. Cấu trúc lập phư ng tâm mặt [1] Cách thƣờng dùng nhất là chọn các vectơ nối một đỉnh của hình lập phƣơng với tâm của ba mặt bên xung quanh đỉnh này làm các vectơ cơ sở. Khi đó một cách chọn ô cơ sở là dùng hình khối đƣợc tạo nên bởi ba vectơ cơ sở này. ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; Hình 2.6. Ô cơ sở lập phƣơng tâm mặt, trong đó chỉ rõ ô nguyên tố. Thể tích của ô cơ sở này là: . Thật vậy, ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ [ ] 30
37. ; ; nên: ; ; 0) Vậy 1 1 ; 1 0 ; 0 1 V= (1, 1, 0) 0 1 1 1 1 0 = (1, 1, -1).(1, 1, 0) = Ô cơ sở của mạng lập phƣơng tâm mặt là một hình khối 12 mặt đều, mỗi mặt là một hình thoi. a) Chứng minh: Mạng đảo của mạng lập phƣơng đơn giản là mạng lập phƣơng đơn giản. Thực vậy, các vectơ tịnh tiến cơ sở của mạng lập phƣơng là: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ (3) trong đó: , , là các vectơ đơn vị vuông góc với nhau. Thể tích ô nguyên tố này là: Sử dụng công thức định nghĩa ta tìm đƣợc các vectơ cơ sở trong mạng đảo nhƣ sau: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Các vectơ cơ sở của mạng đảo có dạng giống nhƣ các vectơ cơ sở của mạng thuận trong (3). Điều đó chứng tỏ mạng đảo cũng là mạng lập phƣơng, chỉ có điều khác là hằng số mạng bây giờ là 31
38. Thể tích của ô cơ sở trong mạng đảo là: b) Chứng minh mạng đảo của mạng lập phƣơng tâm mặt là mạng lập phƣơng tâm khối. Các vectơ tịnh tiến cơ sở của mạng lập phƣơng tâm mặt là: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; : , , là các vectơ đơn vị vuông góc với nhau. Thể tích của ô nguyên tố này là: Sử dụng công thức định nghĩa ta tìm đƣợc các vectơ cơ sở trong mạng đảo nhƣ sau: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Các vectơ cơ sở của mạng đảo có dạng giống nhƣ các vectơ cơ sở của mạng lập phƣơng tâm khối. Điều đó chứng tỏ mạng đảo là mạng lập phƣơng tâm khối. Hằng số mạng là Thể tích của ô cơ sở trong mạng đảo là: c) Chứng minh mạng đảo của mạng lập phƣơng tâm khối là mạng lập phƣơng tâm mặt. Các vectơ tịnh tiến cơ sở của mạng lập phƣơng tâm khối là: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; đó: , , là các vectơ đơn vị vuông góc với nhau. 32
39. Thể tích của ô nguyên tố này là: Sử dụng công thức định nghĩa ta tìm đƣợc các vectơ cơ sở trong mạng đảo nhƣ sau: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Các vectơ cơ sở của mạng đảo có dạng giống nhƣ vectơ cơ sở của mạng lập phƣơng tâm mặt. Điều đó chứng tỏ mạng đảo là mạng lập phƣơng tâm mặt. Hằng số mạng là Thể tích của ô cơ sở trong mạng đảo là: Kết luận chư ng 2 Trong chƣơng 2, tôi đã trình bày về: - Một số bài tập về mạng đảo - Lời giải một số bài tập về mạng đảo 33
40. KẾT LUẬN Trong cuốn luận văn này tôi đã trình bày các vấn đề sau: - Cấu trúc tinh thể của vật rắn - Mạng đảo - Một số bài tập về mạng đảo Qua việc nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi nâng cao trình độ kiến thức về môn Vật lý chất rắn, đặc biệt là về vấn đề mạng đảo và một số bài tập về mạng đảo. Tuy nhiên, với t nh chất là cuốn luận văn tốt nghiệp, nên cuốn luận văn này không đi sâu vào t nh toán chi tiết, mà chỉ tập trung làm nổi bật t nh chất và ý nghĩa vật lý của nội dung trình bày, chỉ dừng lại ở cách nhìn tổng thể. Do trình độ, kinh nghiệm, và thời gian còn nhiều hạn chế nên cuốn luận văn này còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để cuốn luận văn này đƣợc hoàn thiện hơn. 34
41. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đào Trần Cao (2007), “Cơ sở vật lý chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [2]. Nguyễn Hữu Mình (1998), “Vật lý chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [3]. Nguyễn Ngọc Long (2007), “Vật lý chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [4]. Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1998), “ Vật lý chất rắn”, NXB Giáo dục. [5]. Nguyễn Văn Hùng (2000), “Lý thuyết chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 35