Khóa luận Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

75 trang thiennha21 16/04/2022 4131

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

khoa_luan_ly_thuyet_phuong_trinh_vi_phan_phi_tuyen_va_ung_du.pdf

Nội dung text: Khóa luận Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ [TOÁN - LÝ] MÃ SỐ SINH VIÊN: K40.102.077 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LƯƠNG LÊ HẢI TP. HCM – NĂM 2018
Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý, đặc biệt là các thầy cô tổ Toán - Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, là người những người thầy, người cô trong thời gian qua không những chỉ dạy bảo tôi tận tình về kiến thức chuyên môn mà còn truyền cho tôi cả niềm đam mê, sự nhiệt thành, tâm huyết với bộ môn toán học. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Lương Lê Hải, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 04 năm 2018 Nguyễn Phước Vĩnh Sơn 1
Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời mở đầu 4 Danh mục các kí hiệu 6 Danh mục hình vẽ, đô` thị 7 Chương 1: Tổng quan 8 Chương 2: Sóng và sóng xung kích phi tuyến 10 2.1 Sự lan truyền tuyến tính và đường đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Phương trình lan truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Mệnh đề 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Định luật bảo toàn và sóng xung kích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Mệnh đề 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.3 Sóng xung kích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 3: Sự khuếch tán phi tuyến - Phương trình Burger 25 Chương 4: Sự tán sắc và Soliton 28 4.1 Sự tán sắc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Phương trình Korteweg–deVries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 5: Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 35 5.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Bài toán vật lý dẫn đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến . . . . 36 5.3 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.4 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.5 Nghiệm mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.6 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến một chiều . . . . . . . . . . . . 45 5.6.1 Nghiệm mẫu cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6.3 Đánh giá các tham số của nghiệm mẫu . . . . . . . . . . . . . 58 5.7 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.7.2 Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.8 Xây dựng nghiệm dựa trên chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.9 Thảo luận về phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2
Kết luận 70 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 71 Tài liệu tham khảo 72 3
Lời mở đầu Toán học là ngôn ngữ của các ngành khoa học nói chung và nhất là với vật lý nói riêng. Những công thức, phương trình toán học được xây dựng nhằm mô tả những hiện tượng thực tế. Có thể nói phương trình được xây dựng và nghiên cứu sâu rộng chính là những phương trình vi phân đạo hàm riêng từ những dạng tuyến tính đơn giản đến các phương trình vi phân phi tuyến vô cùng phức tạp. Tuy nhiên những hiện tượng xảy ra trong tự nhiên lại rất đa dạng, phức tạp nên những phương trình được xây dựng để mô tả những hiện tượng này đa số là phương trình vi phân phi tuyến. Như ta đã biết, những phương trình vi phân tuyến tính có thể giải ra được nghiệm chính xác. Còn đối với những phương trình vi phân phi tuyến thì các nhà toán học cố gắng làm đơn giản hóa chúng bằng những phương pháp tuyến tính hóa và đã thành công trong việc giải ra nghiệm chính xác (nghiệm giải tích). Tuy nhiên đa số các phương trình vi phân phi tuyến lại rất phức tạp không thể giải ra được nghiệm chính xác mà đòi hỏi phải sử dụng đến những phương pháp xấp xỉ để giải ra nghiệm gần đúng. Vì thế mà đã có rất nhiều nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến. Những tài liệu trong nước điển hình về phương trình vi phân phi tuyến là những giáo trình và những luận văn [1], [2], [3], Bên cạnh đó là những tài liệu nước ngoài với những tác giả và những công trình nổi tiếng như [5], [6], [9], [10], [13], Đây là những tài liệu phù hợp cho người học nghiên cứu sâu về phương trình vi phân phi tuyến. Tùy vào mục đích khác nhau mà những tài liệu về phương trình vi phân phi tuyến được xây dựng khác nhau. Những luận văn, giáo trình trong nước trên thường dành cho những nghiên cứu sinh, học viên cao học, đã có nền tảng căn bản về phương trình vi phân phi tuyến nên những tài liệu này thường được xây dựng một cách hàn lâm và đôi khi quá tập trung vào việc giải toán mà lại ít đề cập đến thậm chí bỏ qua những tính chất vật lý của những nghiệm thu được. Còn những tài liệu bằng tiếng nước ngoài của các tác giả trong nước hay của các tác giả ngoại quốc có nhiều ứng dụng hơn, tuy nhiên vẫn có nhiều tài liệu vẫn tập trung nhiều về phần lý thuyết tính toán. Nhận thấy được điều đó, chúng tôi đã thực hiện luận văn này. Luận văn được xây dựng bằng những cách tiếp cận đơn giản dễ hiểu nhằm hướng tới đối tượng là những học sinh, sinh viên đã có những hiểu biết nền tảng về việc giải phương trình vi phân tuyến tính và có những bước tiếp cận đầu tiên về 4
phương trình vi phân phi tuyến. Luận văn giới thiệu những phương pháp giải cho những phương trình vi phân phi tuyến đơn giản từ cấp một đến cấp ba và ở phần cuối sẽ tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến, cụ thể hơn là hiện tượng truyền nhiệt trong chất bán dẫn. Trong quá trình xây dựng nội dung lý thuyết và ví dụ minh họa, luận văn luôn hướng đến việc phân tích triệt để những tính chất, ý nghĩa vật lý được thể hiện thông qua các tham số và các nghiệm thu được. Luận văn được lấy nền tảng chủ yếu từ năm tài liệu tham khảo [4], [7], [8], [11] và [12] và được chỉnh lí, bổ sung, sắp xếp lại một cách logic, khoa học nhằm đem lại cho người đọc một cách nhìn đơn giản và dễ hiểu nhất về phương trình vi phân phi tuyến. Vì kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những sai sót nên rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 5
Danh mục các kí hiệu N Tập các số tự nhiên N+ Tập các số tự nhiên dương R Tập các số thực R+ Tập các số thực dương n R Không gian n−chiều ∇ Toán tử Nabla ∆ Toán tử Laplace u− Giới hạn bên trái của hàm u u+ Giới hạn bên phải của hàm u u¯ Giá trị trung bình của hàm u O(xn) Phần dư dạng Peano trong khai triển Taylor-Maclaurin ∂u u˙ = u = Đạo hàm riêng của hàm u theo biến t t ∂t ∂u u0 = u = Đạo hàm riêng bậc một của hàm u theo biến x x ∂x ∂2u u00 = u = Đạo hàm riêng bậc hai của hàm u theo biến x xx ∂x2 ∂3u u000 = u = Đạo hàm riêng bậc ba của hàm u theo biến x xxx ∂x3 6
Danh mục hình vẽ, đô` thị Hình 2.1 Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . 11 Hình 2.2 Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm một nghiệm bất kì . . . . . 13 Hình 2.3 Hai nghiệm của phương trình ut + uux = 0 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Hình 2.4 Các đường đặc trưng của f (x) = sin (1.8x − 0.8) . . . . . . . . . . 16 4 Hình 2.5 Các đường đặc trưng của một sóng loãng khí . . . . . . . . . . . . 17 Hình 2.6 Hình dạng sóng loãng khí lan truyền theo thời gian . . . . . . . . 18 Hình 2.7 Những đường đặc trưng của một sóng xung kích . . . . . . . . . . 18 Hình 2.8 Đồ thị biểu diễn nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Hình 2.9 Sự bảo toàn khối lượng quanh một sóng xung kích . . . . . . . . . 23 Hình 3.1 Những nghiệm sóng lan truyền của phương trình Burger . . . . . 27 Hình 4.1 Hình dạng của một sóng đơn độc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Hình 4.2 Tương tác giữa hai soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Hình 5.1 Mạch điện có dòng điện chạy qua tấm bán dẫn . . . . . . . . . . . 37 Hình 5.2 Dạng đồ thị của hàm a (t) 47 Hình 5.3 Dạng đồ thị của hàm v (x) 50 Hình 5.4 Dạng đồ thị của hàm u (x, t) 51 Hình 5.5 Đồ thị của họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha {ha, bi : |a| 0} 54 Hình 5.6 Dạng đồ thị của hàm b (t) 56 7
Chương 1 Tổng quan Nếu ta không xét đến cơ học lượng tử, vốn vẫn giữ nguyên là một lý thuyết tuyến tính đến tận ngày hôm nay, thì đa số mọi hệ vật lý trong đời sống thực bao gồm khí động lực học, cơ học chất lưu, thuyết tương đối, sinh thái học, thần kinh học, nhiệt động lực học, đều được mô hình hóa bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến. Luận văn này chủ yếu khảo sát những mô hình một chiều đơn giản. Ngoài ra luận văn còn giới thiệu hướng giải cho phương trình truyền nhiệt hai chiều trong chất bán dẫn. Luận văn được sắp xếp theo thứ tự bậc tăng dần từ bậc nhất đến bậc ba của phương trình vi phân phi tuyến ở dạng đơn giản nhất và sau đó tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến. Về bố cục, nội dung chính của luận văn được trình bày theo năm chương: Chương 1 giới thiệu tổng quan nội dung nghiên cứu và đề ra những mục tiêu cụ thể cho từng chương. Chương 2 tập trung nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất. Phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến bậc nhất là mô hình của các sóng phi tuyến xuất hiện trong khí động lực học, các phản ứng hóa học, sự lan truyền khí thải, sóng nước trong các sông cũng như trong rất nhiều hệ sinh học và sinh thái học khác. Một trong những hiện tượng phi tuyến quan trọng nhất chính là sự gián đoạn của nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn, điều này là nguyên nhân dẫn đến sự hình thành của các sóng xung kích gián đoạn. Đối với phương trình sóng tuyến tính thì tín hiệu chỉ truyền theo dọc theo một đường đặc trưng, nhưng đối với phương trình phi tuyến thì các đường đặc trưng có thể giao nhau, kết quả là dẫn đến sự hình thành sóng xung kích. Việc biểu thị đặc tính của sóng xung kích vẫn dựa trên việc giải phương trình vi phân phi tuyến nhưng đòi hỏi thêm những điều kiện vật lý theo hình thức của định luật bảo toàn. Chương 3 xoay quanh việc nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến bậc hai. Các phương trình vi phân phi tuyến bậc hai dạng parabolic được dùng để khảo sát những quá trình khuếch tán phi tuyến, bao gồm nhiệt động lực học, các phản 8
ứng hóa học, sự khuếch tán khí thải, động lực học dân số, trong đó đơn giản nhất và được nghiên cứu nhiều nhất chính là phương trình Burger. Chương 4 trình bày về phương trình vi phân phi tuyến bậc ba. Phương trình đạo hàm riêng bậc ba xuất hiện trong những nghiên cứu về sự lan truyền của các sóng, bao gồm sóng nước, sóng plasma, sóng truyền trong các môi trường đàn hồi và những môi trường khác. Ta sẽ khảo sát mô hình lan truyền tuyến tính căn bản và phương trình nổi tiếng của Korteweg–deVries, một dạng mô hình cho sự lan truyền sóng ở các vùng nước nông, sóng plasma, Chương 5 tập trung khai thác sâu những khía cạnh của phương trình truyền nhiệt phi tuyến và cụ thể là hiện tượng nổ chất bán dẫn. Phương pháp chủ yếu được sử dụng là phương pháp tìm nghiệm mẫu dựa trên cơ sở của nguyên lý cực đại, trong đó có sử dụng các phương pháp tách biến và khai triển Taylor-Maclaurin để giải quyết bài toán truyền nhiệt phi tuyến phức tạp không thể tìm ra được nghiệm giải tích, từ đó đưa ra những phân tích, nhận xét và đánh giá những kết quả thu được. Cuối cùng luận văn sẽ đề cập đến hướng giải phương trình truyền nhiệt phi tuyến trong không gian hai chiều. 9
Chương 2 Sóng và sóng xung kích phi tuyến Trước khi bước vào nghiên cứu sâu các phương trình phi tuyến thì đầu tiên ta sẽ khảo sát nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính bậc nhất đơn giản nhất. 2.1 Sự lan truyền tuyến tính và đường đặc trưng 2.1.1 Phương trình lan truyền Xét phương trình lan truyền ut + cux = 0. (2.1) Đây là mô hình để mô tả sự lan truyền của vật chất, ví dụ như chất hòa tan trong một dòng chảy chất lỏng đồng nhất. Đầu tiên cho vận tốc lan truyền sóng c là hằng số. Như ta đã biết thì tất cả các nghiệm đều là hằng số dọc theo đường đặc trưng của độ dốc dx = c (2.2) dt ⇒ x − ct = const. (2.3) Vì vậy, nghiệm của phương trình mô tả sóng lan truyền có dạng u (t, x) = p (x − ct) = p (ξ) , (2.4) với p (ξ) là một hàm bất kì theo biến số đặc trưng ξ = x − ct. Với một người quan sát đứng yên thì nghiệm (2.4) xuất hiện như một sóng có hình dạng không đổi lan truyền với vận tốc c. Nếu c > 0 thì sóng truyền sang bên phải (hình 2.1). Khi c < 0 thì sóng truyền sang bên trái, trong khi với trường hợp c = 0 tương ứng với sóng giữ nguyên hình dạng và đứng yên tại vị trí ban đầu. Trong trường hợp phức tạp hơn là phương trình sóng truyền không đồng nhất 10
Hình 2.1: Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian ut + c (x) ux = 0, (2.5) với vận tốc truyền sóng c (x) phụ thuộc vào vị trí trong không gian. Phương trình này mô hình hóa cho sóng lan truyền theo một chiều duy nhất trong môi trường không đồng nhất nhưng tĩnh tại. Từ phương trình (2.3), ta định nghĩa đường cong đặc trưng là nghiệm của phương trình vi phân thường dx = c (x) . (2.6) dt Do đó, khác với trường hợp sóng truyền với vận tốc không đổi thì đường đặc trưng trong trường hợp này không nhất thiết phải là đường thẳng. Vì vậy ta có mệnh đề sau. 2.1.2 Mệnh đề 1 Nghiệm của phương trình lan truyền tuyến tính (2.5) là hằng số trên đường cong đặc trưng của nó. Chứng minh. Giả sử x (t) là một đường cong đặc trưng, nghĩa là một nghiệm của phương trình (2.6), là một hàm phụ thuộc vào tham số t. Giả sử h (t) = u (t, x (t)) là giá trị của nghiệm tại điểm (t, x (t)) nằm trên đường cong đặc trưng đã chọn. Ta sẽ chứng minh h (t) là một hàm hằng theo t bằng cách chứng minh đạo hàm của hàm này bằng không. Ta có chuỗi đạo hàm sau: dh d ∂u dx ∂u = u (t, x (t)) = (t, x (t)) + (t, x (t)) . (2.7) dt dt ∂t dt ∂x dx Theo (2.6) ta có thể thay = c (x (t)) vì theo giả thiết x (t) là một đường cong dt đặc trưng, từ đó ta có dh ∂u ∂u = (t, x (t)) + c (x (t)) (t, x (t)) = 0. (2.8) dt ∂t ∂x dh Nhận thấy hàm u ở vế phải thỏa mãn phương trình truyền (2.5) nên = 0. dt 11
Vì đường cong đặc trưng của phương trình vi phân (2.5) là độc lập nên ta có Z dx b (x) ≡ = t + k, (2.9) c (x) với k là hằng số tích phân. Vì vậy những đường cong đặc trưng có dạng "song song" nhau. Mỗi đường sẽ được biểu diễn bởi hàm t = b (x) theo phương truyền trục t. Vì thế mà các đường cong đặc trưng được xác định bởi x = g (t + k), với g là hàm ngược của hàm b. Nhận thấy rằng các đường cong đặc trưng là các tập mức của biến số đặc trưng ξ = b (x) − t. Do đó hàm số nào không đổi dọc theo đường cong đặc trưng thì chỉ phụ thuộc vào biến đặc trưng tại mỗi điểm, và vì vậy sẽ có dạng u (x, t) = p (b (x) − t) . (2.10) Nói một cách khác, đường cong đặc trưng là những đường mức chung cho tất cả các nghiệm của phương trình truyền. Dễ dàng thấy rằng với hàm b (x) được xác định như phương trình (2.9) thì u (t, x) sẽ thỏa mãn phương trình (2.5) với hàm p (ξ) bất kì. Để tìm được nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu ta xét u (0, x) = f (x) . (2.11) Thay điều kiện (2.11) vào phương trình (2.10), ta có p (b (x)) = f (x) , (2.12) suy ra p (ξ) = f (g (ξ)) . (2.13) Công thức nghiệm trên có thể biểu diễn đơn giản bằng đồ thị: để tìm giá trị u (t, x) bất kì tại một điểm đã cho, ta sẽ tìm đường cong đặc trưng đi qua điểm (t, x). Nếu đường đặc trưng này giao với trục x tại điểm (0, y) thì kết hợp với mệnh đề 1 ta có u (t, x) = u (0, y) = f (y) (hình 2.2). Ngoài ra, nếu đường cong đặc trưng đi qua điểm (t, x) không giao với trục x thì nghiệm u (t, x) không được mô tả bởi điều kiện ban đầu. 12
Hình 2.2: Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm một nghiệm bất kì 2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến Dạng đơn giản nhất của phương trình vi phân phi tuyến là phương trình lan truyền phi tuyến bậc nhất có dạng ut + uux = 0. (2.14) Phương trình này xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng nên nó được biết đến dưới nhiều tên gọi bao gồm phương trình Riemann, phương trình Burger không nhớt, Phương trình này mô tả sự lan truyền của vật chất trong các mô hình của khí động lực học, luồng giao thông, sóng lũ ở các sông, phép ghi sắc, các phản ứng hóa học và nhiều lĩnh vực khác. Phương trình (2.14) có dạng phương trình lan truyền sóng, với vận tốc truyền sóng c = u phụ thuộc vào độ cao của sóng. Sóng cao hơn sẽ chuyển động nhanh hơn các sóng thấp. Những sóng dâng lên, với u > 0, sẽ chuyển động sang bên phải còn các sóng hạ xuống, với u < 0 sẽ chuyển động sang bên trái. Phương pháp sử dụng đường đặc trưng đối với phương trình lan truyền sóng tuyến tính có thể áp dụng được cho trường hợp phương trình phi tuyến này và kết quả sẽ cho nghiệm chính xác. Tương tự như biểu thức (2.6), ta định nghĩa đường cong đặc trưng của phương trình sóng phi tuyến (2.14) là nghiệm của phương trình vi phân thường 13
dx = u (t, x) . (2.15) dt Giả sử rằng x = x (t) biểu diễn một đường cong đặc trưng. Ta cần chứng minh nghiệm u (t, x) không thay đổi trên đường đặc trưng của nó, nghĩa là hàm h (t) = u (t, x (t)) là hằng số bằng cách lấy đạo hàm dh d ∂u dx ∂u = u (t, x (t)) = (t, x (t)) + (t, x (t)) . (2.16) dt dt ∂t dt ∂x dx Từ biểu thức (2.15), ta thay = u (t, x) vào phép biến đổi trên dt dh ∂u ∂u = (t, x (t)) + u (t, x (t)) (t, x (t)) = 0. (2.17) dt ∂t ∂x Nhận thấy ở vế phải hàm u thỏa mãn phương trình lan truyền (2.14) với mọi dh giá trị (t, x) nên = 0, nghĩa là hàm h (t) = const. Vì vậy, nghiệm u của phương dt trình truyền (2.14) không thay đổi trên đường cong đặc trưng. Trong trường hợp này, ta đi đến một kết luận quan trọng là đường cong đặc trưng phải là đường thẳng x = ut + k, (2.18) với độ dốc u cũng là nghiệm thu được từ phương trình lan truyền (2.14). Nếu u càng lớn thì đường đặc trưng càng dốc, sóng tương ứng sẽ truyền đi nhanh hơn và ngược lại. Biến số đặc trưng tương ứng là ξ = x − tu phụ thuộc vào nghiệm u. Nghiệm của phương trình (2.14) có thể được viết dưới dạng hàm ẩn u = f (x − tu) = f (ξ) , (2.19) với f (ξ) là hàm bất kì phụ thuộc vào biến số đặc trưng ξ. Nghiệm u (t, x) của phương trình có thể thu được bằng cách giải phương trình đại số (2.19). Ví dụ, nếu f (ξ) = αξ + β (2.20) là một hàm affine và α, β là hằng số, khi đó u = α (x − tu) + β. (2.21) Suy ra αx + β u (t, x) = (2.22) 1 + αt là nghiệm tương ứng của phương trình lan truyền phi tuyến (2.14). Tại mỗi thời điểm cố định t, đồ thị của nghiệm là một đường thẳng. Nếu α > 0, đồ thị của nghiệm 14
Hình 2.3: Hai nghiệm của phương trình ut + uux = 0 sẽ dàn phẳng nằm ngang khi t → ∞. Nếu α < 0, đường thẳng sẽ dựng lên theo phương thẳng đứng khi t tiến tới giá trị thời gian tới hạn t∗ = −1/α, tại đây nghiệm không tồn tại, lúc này nghiệm mô tả một sự "kịch phát". Hàng trên của hình 2.3 là đồ thị của nghiệm với α = 1, β = 0.5 tại các thời điểm t = 0, 1, 5, 20 còn hàng dưới tương ứng với α = −0.2, β = 0.1 tại các thời điểm t = 0, 3, 4, 4.9. Ở trường hợp thứ hai, nghiệm tiến đến đường thẳng đứng khi t → 5 và sau đó không tồn tại khi t = 5. Ta sẽ xây dựng nghiệm tổng quát u (t, x) từ điều kiện ban đầu u (0, x) = f (x) . (2.23) Nhận thấy tại thời điểm t = 0 dạng nghiệm của hàm ẩn (2.19) rút gọn lại thành u (0, x) = f (x). Vì vậy, hàm f (x) trùng với điều kiện ban đầu. Tuy nhiên vì (2.19) là một hàm ẩn nên ta chưa thể khẳng định rằng (1) có thể giải ra giá trị nghiệm u (t, x) hoàn toàn xác định hay không và (2) nếu có thể thì phải mô tả các tính chất động lực học của nghiệm như thế nào. Một phương pháp khác được xây dựng dựa trên cách xây dựng hình học giống như với trường hợp tuyến tính (hình 2.2). Qua từng điểm (0, y) trên trục x ta biểu diễn đường thẳng đặc trưng x = tf (y) + y, (2.24) với độ dốc của đường thẳng f (y) = u (0, y) là điều kiện ban đầu tại điểm đó. Dựa vào mệnh đề 1 ta có u (t, tf (y) + y) = f (y) . (2.25) Ví dụ, nếu f (y) = y thì u (t, x) = y mỗi khi x = ty + y; khử y ta sẽ thu được 15
1 Hình 2.4: Các đường đặc trưng của f (x) = sin (1.8x − 0.8) 4 u (t, x) = x/ (t + 1), điều này phù hợp với nghiệm là đường thẳng (2.22). Xét trong trường hợp phức tạp hơn khi hai đường đặc trưng bất kì cắt nhau (hình 2.4). Vì giá trị của nghiệm cũng là độ dốc của đường thẳng đặc trưng nên tại giao điểm của hai đường đặc trưng nghiệm phải thỏa mãn cả hai giá trị khác nhau, mỗi giá trị lại ứng với một đường đặc trưng. Về mặt toán học thì ta có thể nhận các nghiệm bội, nhưng xét về ý nghĩa vật lý thì nghiệm u (t, x) phải mô tả một đại lượng vật lý, ví dụ như mật độ, vận tốc, áp suất, và phải mang một giá trị duy nhất tại từng thời điểm. Có ba trường hợp có thể xảy ra, trường hợp đầu tiên đơn giản nhất là tất cả các đường đặc trưng đều song song với nhau và do đó nghịch lý trên sẽ không xảy ra. Trong trường hợp này, tất cả các đường thẳng đặc trưng đếu có cùng độ dốc c, nghĩa là nghiệm có cùng một giá trị u (t, x) ≡ c trên các đường đặc trưng, đây là nghiệm hằng số tầm thường. Trường hợp đơn giản tiếp theo là điều kiện ban đầu f (x) là hàm tăng tại mọi điểm, f (x) 6 f (y) , ∀x 6 y, nghĩa là đạo hàm của điều kiện ban đầu không âm f 0 (x) ≥ 0 (hình 2.5). Các đường đặc trưng tỏa ra từ trục x như hình rẻ quạt sang nửa mặt phẳng bên phải và không bao giờ cắt nhau với mọi thời điểm t ≥ 0. Mỗi điểm (t, x) với t > 0 chỉ nằm trên một đường đặc trưng duy nhất. Vì vậy nghiệm sẽ được xác định chính xác tại tất cả các thời điểm sau đó. Xét về mặt vật lý thì những nghiệm này mô tả các sóng loãng khí, những sóng này sẽ phân tán dần ra khi lan truyền. Một ví dụ điển hình tương ứng với điều kiện ban đầu 16
Hình 2.5: Các đường đặc trưng của một sóng loãng khí π u (0, x) = arctan (3x) + (2.26) 2 được biểu diễn trên hình 2.6 tại những thời điểm t = 0, 1, 2, 3. Độ dốc của nghiệm giảm dần khi sóng loãng khí lan truyền ra. Với trường hợp f 0 (x) 0 khi đó có hai đường đặc trưng đầu tiên cắt nhau. Sau thời điểm đó, một vùng hình nêm xuất hiện trong mặt phẳng (t, x) bao gồm tất cả những điểm giao của ba đường đặc trưng khác nhau với những độ dốc khác nhau, tại những điểm này nghiệm mang ba giá trị riêng biệt. Bên ngoài vùng hình nêm này, mỗi điểm chỉ nằm trên một đường thẳng đặc trưng duy nhất, nghiệm xác định đơn giá. Phần bao của vùng hình nêm bao gồm những giao điểm của chỉ hai đường thẳng đặc trưng. 17
Hình 2.6: Hình dạng sóng loãng khí lan truyền theo thời gian Hình 2.7: Những đường đặc trưng của một sóng xung kích 18
Hình 2.8: Đồ thị biểu diễn nghiệm bội Hình ảnh mô tả nghiệm bội tại những thời điểm liên tiếp nhau được biểu diễn qua hình 2.8. Vì điều kiện ban đầu f (x) > 0 nên tất cả các hệ số góc của đường đặc trưng đều dương. Tất cả các điểm trên đồ thị nghiệm sẽ di chuyển sang bên phải với vận tốc tương ứng với độ cao của chúng. Vì điều kiện ban đầu là hàm giảm nên những điểm nằm bên trái sẽ di chuyển nhanh hơn và dần vượt qua những điểm nằm bên phải. Vì vậy mà khi thời gian tăng thì đồ thị trở nên dốc hơn. Tại thời điểm tới hạn t∗ khi hai đường đặc trưng đầu tiên cắt nhau tại điểm x∗, đồ thị của đường cong biểu diễn nghiệm sẽ là thẳng đứng: ∂u t → t ⇒ (t, x ) → ∞. (2.28) ∗ ∂x ∗ Sau đó, đồ thị nghiệm sẽ không còn biểu diễn cho một hàm đơn giá mà là những điểm (t, x) mà tại đó nghiệm xếp chồng lên nhau như đã mô tả ở vùng hình nêm ở trên. Thời điểm tới hạn t∗ có thể xác định dựa trên công thức nghiệm ẩn (2.19). Thật vậy, nếu đạo hàm theo biến x thì ta có ∂u ∂ ∂u = f (x − tu) = f 0 (ξ) 1 − t , (2.29) ∂x ∂x ∂x với ξ = x − tu là biến số đặc trưng có giá trị không đổi dọc theo một đường thẳng đặc trưng, từ đây ta có 19
∂u f 0 (ξ) = . (2.30) ∂x 1 + tf 0 (ξ) 0 Vì hệ số góc f (ξ) → ∞ khi t → t∗ nên đồ thị là đường thẳng đứng 1 ∂u t → − ⇒ → ∞. (2.31) f 0 (ξ) ∂x Nói cách khác, nếu điều kiện ban đầu có hệ số góc âm tại vị trí x, f 0 (x) < 0, thì nghiệm dọc theo đường đặc trưng sẽ bị tách ra tại thời điểm −1/f 0 (ξ). Vì vậy thời gian tới hạn lần đầu tiên là 1 0 t∗ = − f (x) < 0 . (2.32) f 0 (x) Ví dụ, với dạng ban đầu (2.27) ta có 1 f 0 (x) = − . (2.33) 3 (1 + x2) Vì vậy thời điểm tới hạn lần đầu tiên là 2 t∗ = min 3 1 + x = 3. (2.34) Để mô hình toán học phù hợp với hiện tượng vật lý, ta cần chọn ra một trong những giá trị nghiệm tại điểm (t, x) bên trong vùng hình nêm thỏa mãn một ý nghĩa vật lý. Một ứng dụng đơn giản của phương trình lan truyền là mô hình cho dòng chảy chất lưu chịu nén trong biến không gian một chiều, ví dụ như chuyển động của dòng khí trong một ống dẫn dài. Nếu ta nén piston xuống thì khí sẽ chuyển động trong xy-lanh và bị nén. Tuy nhiên, nếu piston di chuyển quá đột ngột thì khí bị nén sẽ tạo ra sóng xung kích truyền dọc theo ống. Về mặt toán học, sóng xung kích được mô tả bởi sự gián đoạn mà tại đó nghiệm thay đổi giá trị đột ngột. 2.3 Định luật bảo toàn và sóng xung kích Một phương pháp để giải quyết bài toán toán học dựa trên phương trình vi phân mang dạng của một định luật bảo toàn mô tả một hiện tượng thực tế dựa theo định nghĩa sau. 2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn Định luật bảo toàn là một phương trình có dạng ∂T ∂X + = 0. (2.35) ∂t ∂x 20
Ở đây ta chỉ xét phương trình mô tả trường hợp một chiều. Các hàm T và X tương ứng là mật độ bảo toàn và thông lượng liên kết. Trong trường hợp đơn giản nhất, hàm mật độ bảo toàn T (t, x, u) và thông lượng liên kết X (t, x, u) phụ thuộc vào thời gian t, tọa độ x và nghiệm u (t, x) của hệ vật lý. (Dạng phức tạp hơn còn phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao hơn của u (t, x)). Rõ ràng ta có thể viết lại phương trình lan truyền phi tuyến (2.14) theo dạng của định luật bảo toàn: ∂u ∂ 1 + u2 = 0, (2.36) ∂t ∂x 2 với mật độ bảo toàn và thông lượng tương ứng trong trường hợp này là 1 T = u, X = u2. (2.37) 2 Phương trình (2.35) có tên gọi là định luật bảo toàn từ mệnh đề sau. 2.3.2 Mệnh đề 2 Một định luật bảo toàn được cho bởi b d Z T dx = − X|b . (2.38) dt x=a a Có thể chứng minh rằng từ phương trình (2.35) có thể đưa đến phương trình (2.38) một cách dễ dàng. Vì tích phân bên trong là theo vị trí còn bên ngoài là đạo hàm theo thời gian nên ta có thể đem đạo hàm theo thời gian vào bên trong tích phân theo vị trí, từ đó hoán đổi thứ tự của phép tính. Sau đó thay thế biểu thức (2.35) vào (2.38) ta có b b b d Z Z ∂T Z ∂X T dx = dx = − dx = − X|b . (2.39) dt ∂t ∂x x=a a a a Công thức (2.38) cho thấy tốc độ thay đổi của tích phân hàm mật độ trong một đơn vị thời gian chỉ phụ thuộc vào thông lượng chảy qua hai đầu giới hạn của nó. Cụ thể hơn, nếu không có dòng chảy nào đi vào hoặc đi ra trong một đơn vị thời gian thì tích phân hàm mật độ được bảo toàn, nghĩa là không đổi theo thời gian. Tất cả những định luật vật lý, từ khối lượng, động lượng đến năng lượng, cho các hệ được mô hình hóa bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng đều có dạng định luật bảo toàn. Với phương trình lan truyền (2.36) thì tích phân của định luật bảo toàn (2.38) có dạng như sau 21
b d Z 1 u (t, x) dx = u2 (t, a) − u2 (t, b) . (2.40) dt 2 a Phương trình trên được sử dụng như một mô hình mô tả dòng chảy của chất lưu chịu nén trong một ống dẫn, tích phân ở vế trái đại diện cho tổng khối lượng của chất lưu chứa trong khoảng giới hạn [a, b]. Vế phải đại diện cho thông lượng chất lưu chảy vào trong khoảng giới hạn qua hai biên giới hạn đó, và vì vậy phương trình bảo toàn (2.40) là một hình thức toán học của định luật bảo toàn khối lượng căn bản - khối lượng không thể tự nhiên được tạo ra thêm hay bị mất bớt đi mà chỉ có thể di chuyển vào trong một vùng qua biên của nó. Cụ thể hơn, nếu không có dòng chảy của lượng chất thì khối lượng bảo toàn. 2.3.3 Sóng xung kích Ta quay trở lại với tính chất vật lý của phương trình lan truyền phi tuyến. Theo định nghĩa, một sóng xung kích chính là bước nhảy gián đoạn của nghiệm u (t, x). Giả sử rằng định luật bảo toàn vẫn đúng ngay cả khi có sóng xung kích. Giả sử rằng tại thời điểm t, một sóng xung kích xuất hiện tại vị trí x = s (t). Ta xét thêm giới hạn bên trái và bên phải − u− (t) = u t, s(t) = lim u (t, x) , (2.41) x→s(t)− + u+ (t) = u t, s(t) = lim u (t, x) (2.42) x→s(t)+ của nghiệm ở cả hai bên điểm gián đoạn của sóng xung kích đều xác định. Giả sử thêm rằng sóng xung kích theo thời gian x = s (t) là một đường cong trơn C1. Theo hình 2.9, trong khoảng thời gian nhỏ từ t đến t + ∆t, sóng xung kích di chuyển từ vị trí a = s (t) đến vị trí b = s (t + ∆t). Tổng khối lượng được chứa trong khoảng giới hạn [a, b] tại thời điểm t trước khi sóng xung kích truyền qua là b Z m (t) = u (t, x) dx ≈ u¯+ (t)(b − a) =u ¯+ (t)[s (t + ∆t) − s (t)] , (2.43) a với u¯+ (t) là giá trị trung bình của u (t, x) trong khoảng giới hạn đang xét. Sau khi sóng xung kích truyền qua, khối lượng tổng cộng trở thành b Z m (t + ∆t) = u (t + ∆t, x) dx ≈ u¯− (t)(b − a) =u ¯− (t)[s (t + ∆t) − s (t)] , (2.44) a 22
Hình 2.9: Sự bảo toàn khối lượng quanh một sóng xung kích với u¯− (t) là giá trị trung bình của u (t + ∆t, x) trong cùng một khoảng giới hạn. Khi giới hạn ∆t → 0, điểm b = s (t + ∆t) → s (t) = a, và vì thế mà những giá trị trung bình lim u¯+ (t) = u+ (t) , (2.45) ∆t→0 lim u¯− (t) = u− (t) (2.46) ∆t→0 tiến về giới hạn của giá trị nghiệm bên phải và bên trái của điểm gián đoạn. Vì vậy, giới hạn của tốc độ thay đổi khối lượng khi một sóng xung kích truyền qua tại thời điểm t là dm m (t + ∆t) − m (t) = lim dt ∆t→0 ∆t s (t + ∆t) − s (t) ds = lim [¯u− (t) − u¯+ (t)] = [u− (t) − u+ (t)] (2.47) ∆t→0 ∆t dt bằng tích của vận tốc sóng xung kích với độ lớn bước nhảy gián đoạn của sóng xung kích. Mặt khác, tại thời điểm bất kì t < τ < t + ∆t theo vế phải của (2.40) thông lượng chất lưu trong khoảng giới hạn [a, b] là 1 1 ∆t → 0 ⇒ u2 (τ, a) − u2 (τ, b) → u2 (t) − u2 (t) . (2.48) 2 2 − + 23
Vì định luật bảo toàn khối lượng vẫn đúng khi sóng xung kích truyền qua nên giá trị giới hạn của tốc độ thay đổi khối lượng phải bằng với giới hạn của thông lượng chất ds 1 [u (t) − u (t)] = u2 (t) − u2 (t) , (2.49) − + dt 2 − + từ đó ta thu được điều kiện Rankine–Hugoniot ds 1 u2 (t) − u2 (t) u (t) + u (t) = − + = − + . (2.50) dt 2 u− (t) − u+ (t) 2 Vì vậy, để đảm bảo định luật bảo toàn thì vận tốc của sóng xung kích phải bằng giá trung trung bình của giá trị nghiệm ở hai bên điểm gián đoạn. Một sóng xung kích xuất hiện khi một hay nhiều đường đặc trưng giao nhau. Trong trường hợp này, các đường đặc trưng ở bên trái sóng xung kích phải có độ dốc (cũng chính là vận tốc) lớn hơn, trong khi những đường đặc trưng bên phải phải có hệ số góc nhỏ hơn. Vì vận tốc sóng xung kích bằng trung bình cộng độ dốc của hai đường đặc trưng, điều này nghĩa là ds u (t) + u (t) u (t) > = − + > u (t) . (2.51) − dt 2 + Trong khi theo lý thuyết thì có thể xây dựng một nghiệm sóng xung kích cho phương trình (2.14) thỏa mãn điều kiện Rankine–Hugoniot (2.50) nhưng lại không thỏa mãn (2.51) thì những nghiệm như vậy lại bị loại trừ nếu xét về mặt vật lý. Tính động lực học của các nghiệm sóng xung kích được giới hạn bởi điều kiện Rankine–Hugoniot (2.50) và điều kiện (2.51). 24
Chương 3 Sự khuếch tán phi tuyến - Phương trình Burger Phương trình khuếch tán phi tuyến đơn giản nhất là phương trình Burger ut + uux = γuxx (3.1) thu được bằng cách thêm một hàm khuếch tán tuyến tính vào phương trình lan truyền phi tuyến (2.14). Trong chất lỏng và chất khí thì vế phải của phương trình mô hình hóa cho các hiệu ứng nhớt, và vì vậy phương trình Burger đại diện cho một phiên bản rất đơn giản của các phương trình cơ học chất lưu có tính nhớt. Với phương trình truyền nhiệt thì hệ số khuếch tán phải dương, γ > 0, để phù hợp với các giá trị giả định ban đầu với khoảng thời gian trước đó. Vì phương trình Burger có dạng bậc nhất theo thời gian nên nghiệm được xác định một cách duy nhất từ điều kiện ban đầu u (0, x) = f (x) , −∞ < x < +∞. (3.2) Nghiệm tường minh đơn giản nhất là các sóng lan truyền có dạng u (t, x) = v (ξ) = v (x − ct) , (3.3) với ξ = x − ct. Ta có: ∂u = −cv0 (ξ) , (3.4) ∂t ∂u = v0 (ξ) , (3.5) ∂x ∂2u = v00 (ξ) . (3.6) ∂x2 Thay các biểu thức trên vào phương trình Burger (3.1), ta thấy rằng v (ξ) phải thỏa mãn phương trình vi phân thường bậc hai phi tuyến − cv0 + vv0 = γv00. (3.7) 25
Lấy tích phân cả hai vế của phương trình trên theo ξ, ta có 1 γv0 = k − cv + v2, (3.8) 2 với k là hằng số tích phân. Để thu được một nghiệm sóng lan truyền giới nội v (ξ) 1 thì đa thức bậc hai ở vế phải phải có hai nghiệm thực, nghĩa là k < c2. Với điều 2 kiện này ta có thể viết lại phương trình vi phân dưới dạng dv 2γ = (v − a)(v − b) . (3.9) dξ Để thu được các nghiệm giới nội, ta chỉ xét với trường hợp a < v < b. Lấy tích phân cả hai vế phương trình (3.9) ta thu được Z 2γdv 2γ b − v = log = ξ − δ, (3.10) (v − a)(v − b) b − a v − a với δ là hằng số tích phân, nên (b − a)(ξ − δ) a exp + b 2γ v (ξ) = . (3.11) (b − a)(ξ − δ) exp + 1 2γ Do đó, tất cả các nghiệm sóng lan truyền bị giới nội đều có dạng tường minh (b − a)(x − ct − δ) a exp + b 2γ u (t, x) = . (3.12) (b − a)(x − ct − δ) exp + 1 2γ Để ý rằng lim u (t, x) = b, (3.13) x→−∞ lim u (t, x) = a, (3.14) x→+∞ nên nghiệm của phương trình là một hàm giảm đơn điệu trong khoảng từ b đến a. Sóng lan truyền sang bên phải với hình dạng không đổi và với vận tốc bằng giá trị trung bình của những giá trị tiệm cận của nó. Hình 3.1 là đồ thị mẫu của nghiệm tương ứng với a = 0.1 và b = 1 cho ba trường hợp khác nhau của hệ số khuếch tán. Chú ý rằng với giá trị của γ càng nhỏ thì đoạn chuyển tiếp giữa hai giá trị tiệm cận của nghiệm càng dốc. Nếu giới hạn không nhớt γ → 0 thì các nghiệm hội tụ về nghiệm sóng xung kích của phương trình lan truyền phi tuyến, và vì vậy phương trình này được biết đến với tên gọi phương trình Burger không nhớt. 26
Hình 3.1: Những nghiệm sóng lan truyền của phương trình Burger 27
Chương 4 Sự tán sắc và Soliton Trong chương 4 ta sẽ nghiên cứu một phương trình vi phân bậc ba đáng chú ý xuất hiện trước tiên trong mô tả các mô hình của sóng mặt nước, một hiện tượng có thể được mô hình hóa bằng cả phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến. Phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc ba mô hình hóa cho sự tán sắc, trong đó những sóng có tần số khác nhau sẽ chuyển động với vận tốc khác nhau. Bằng việc kết hợp xét hệ tuyến tính và phi tuyến, ta đi đến một trong những phương trình đáng lưu ý nhất trong toán học có sức ảnh hưởng sâu rộng không những đối với cơ học chất lưu và những ứng dụng của nó mà còn đối với lý thuyết hàm phức và những ứng dụng quan trọng khác trong vật lý. 4.1 Sự tán sắc tuyến tính Phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính bậc ba đơn giản nhất là ut + uxxx = 0. (4.1) Đây là một mô hình đơn giản cho các sóng tán sắc. Trong trường hợp đơn giản xét phương trình trong không gian một chiều (x ∈ R). Nghiệm của phương trình được xác định một cách duy nhất từ điều kiện ban đầu u (0, x) = f (x) , −∞ < x < +∞. (4.2) Sử dụng phép biến đổi Fourier để giải bài toán giá trị ban đầu. Đặt +∞ 1 Z uˆ (t, k) = √ u (t, x) e−ikxdx (4.3) 2π −∞ là phép biến đổi không gian Fourier của nghiệm. Phép biến đổi Fourier có tác dụng làm chuyển đổi phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc ba (4.1) trở thành một phương trình vi phân thường tuyến tính bậc nhất 28
3 uˆt − ik uˆ = 0, (4.4) được tham số hóa bởi giá trị k, thỏa mãn điều kiện ban đầu +∞ 1 Z u (0, k) = fˆ(k) = √ f (x) e−ikxdx (4.5) 2π −∞ sau khi qua phép biển đổi Fourier của (4.2). Tiến hành giải bài toán giá trị ban đầu (4.4, 4.5) ta tìm được 3 uˆ (t, k) = eik tfˆ(k) . (4.6) Sử dụng phép biến đổi Fourier ngược, ta thu được nghiệm tường minh +∞ 1 Z 3 u (t, x) = √ eik t+ikxf (x) dk (4.7) 2π −∞ cho bài toán giá trị ban đầu của phương trình sóng tán sắc (4.1, 4.2). Từ (4.1) ta thấy dấu tích phân trong nghiệm (4.7) biểu diễn sự chồng chất của các hàm số mũ thành phần, từ đó ta có một phương pháp khác để dự đoán nghiệm của phương trình (4.1) u (t, x) = eiωt+ikx. (4.8) Nghiệm có dạng hàm số mũ biểu diễn một sóng dao động phức có tần số ω theo thời gian và số sóng k tương ứng không gian. Vì ∂u ∂3u = iωeiωt+ikx, = −ik3eiωt+ikx, (4.9) ∂t ∂x3 nên (4.8) thỏa mãn (4.1) khi và chỉ khi ω = k3. (4.10) Biểu thức này cho thấy mối tương quan tán sắc của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong trường hợp tổng quát, bất kì phương trình vi phân đạo hàm riêng động lực học tuyến tính với hệ số hằng nào cũng có mối tương quan tán sắc theo dạng ω = ω (k) mà có thể thu được trực tiếp bằng cách thay nghiệm hàm mũ (4.8) vào phương trình (4.1) và đơn giản phần hàm mũ chung. Trong trường hợp đang xét thì nghiệm hàm mũ của số sóng thứ k có dạng ik3t+ikx uk (t, x) = e . (4.11) Với hàm a (k) bất kì phụ thuộc vào số sóng thì ta cũng có 29
+∞ 1 Z 3 u (t, x) = √ eik t+ikxa (k) dk (4.12) 2π −∞ là nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng (4.1). Nhận thấy rằng phép biến đổi nghiệm Fourier (4.7) cũng cho ta kết quả tương tự. 4.2 Phương trình Korteweg–deVries Xét phương trình Korteweg–deVries ut + uxxx + uux = 0. (4.13) Đây là phương trình sóng đơn giản nhất kết hợp sự tán sắc với tính phi tuyến. Phương trình này được coi như một mô hình để khảo sát sóng trên mặt nước hoặc mô hình của các chuỗi lò xo khối. Những nghiệm đặc biệt quan trọng nhất của phương trình Korteweg–deVries là các sóng chạy. Ta giả sử rằng nghiệm u = v (ξ) = v (x − ct) , (4.14) với ξ = x − ct là một sóng có hình dạng cố định lan truyền sang bên phải với vận tốc c. Thực hiện chuỗi tính toán ∂u = −cv0 (ξ) , (4.15) ∂t ∂u = v0 (ξ) , (4.16) ∂x ∂3u = v000 (ξ) . (4.17) ∂x3 Ta thấy rằng v (ξ) phải thỏa mãn phương trình vi phân thường bậc ba v000 + vv0 − cv0 = 0. (4.18) Giả sử rằng sóng truyền đi có định xứ, nghĩa là nghiệm và các đạo hàm của nó là nhỏ khi khoảng cách lớn ∂u ∂2u lim u (t, x) = lim (t, x) = lim (t, x) = 0. (4.19) x→±∞ x→±∞ ∂x x→±∞ ∂x2 Tại điểm kết thúc này, sử dụng các điều kiện biên lim v (ξ) = lim v0 (ξ) = lim v00 (ξ) = 0. (4.20) ξ→±∞ ξ→±∞ ξ→±∞ 30
Phương trình vi phân thường (4.18) có thể cho nghiệm chính xác. Từ phương trình (4.18) ta có d h 1 i v00 + v2 − cv = 0, (4.21) dξ 2 nên ta có 1 v00 + v2 − cv = k (4.22) 2 là tích phân đầu tiên, với k là hằng số tích phân. Tuy nhiên, điều kiện biên định xứ (4.20) cho ta k = 0. Nhân cả hai vế của phương trình trên với v0 và lấy tích phân lần thứ hai, ta có h 1 i d h1 2 1 1 i v0 v00 + v2 − cv = v0 + v3 − cv2 = 0. (4.23) 2 dξ 2 6 2 Suy ra 1 2 1 1 v0 + v3 − cv2 = l, (4.24) 2 6 2 với l là hằng số của tích phân lần thứ hai, và cũng từ điều kiện (4.20) suy ra l = 0. Vì vậy v (ξ) thỏa mãn phương trình vi phân thường phân ly bậc nhất r dv 1 = v c − v. (4.25) dξ 3 Ta thực hiện tính tích phân bằng phương pháp thông thường Z dv = ξ + δ. (4.26) q 1 v c − 3 v Để tính tích phân, ta đổi biến số z sao cho v = 3 c − z2 ⇒ dv = −6zdz, (4.27) từ đó ta có Z √ 2dt 1 c + z ξ + δ = − = −√ ln √ (4.28) c − z2 c c − z √ 1√ ⇒ z = − c tanh cξ + δ . (4.29) 2 Đổi biến z lại thành biến v suy ra h 1√ i v = 3 c − z2 = 3c 1 − tanh2 cξ + δ . (4.30) 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 31
Hình 4.1: Hình dạng của một sóng đơn độc h1√ i v (ξ) = 3c sech2 cξ + δ , (4.31) 2 với 1 2 sech y = = (4.32) cosh y ey + e−y là hàm sec hyperbolic. Nghiệm v (ξ) được biểu diễn trong hình 4.1; có một đỉnh cực đại 3c sech 0 tại điểm y = 0 và là một hàm chẵn, dạng hàm số mũ giảm dần đến 0 khi |ξ| → ∞. Các nghiệm sóng chạy định xứ của phương trình Korteweg–deVries là h1√ i u (t, x) = 3c sech2 c (x − ct) + δ , (4.33) 2 với c > 0 và δ là hằng số bất kì. Tham số c chính là vận tốc lan truyền của sóng, và cũng bằng một phần ba biên độ của nghiệm sóng, bởi vì giá trị cực đại của√ u (t, x) là 3c tại điểm x = ct, và cũng như là độ rộng của sóng có cùng bậc với c. Sóng đơn độc càng cao và càng rộng thì chuyển động càng nhanh và ngược lại. Nghiệm (4.33) được biết đến là một nghiệm sóng đơn độc bởi vì nó đại diện cho một sóng định xứ di chuyển với hình dạng không đổi. Ví dụ như khi chiếc thuyền do ngựa kéo đột ngột dừng lại, trên mặt nước của kênh có một sóng đơn độc truyền đi xa đến hơn cây số mà không thay đổi cả hình dạng lẫn vận tốc. 4.3 Soliton Những nghiệm sóng chạy phi tuyến được khảo sát ở phần trên còn có tên gọi đặc biệt - soliton. Khi kết hợp hai nghiệm của một phương trình phi tuyến có thể có nhiều trường hợp xảy ra. Nếu ta bắt đầu từ điều kiện ban đầu đại diện cho một sóng cao hơn ở phía bên trái của một sóng thấp hơn thì nghiệm của phương 32
trình Korteweg–deVries cho ta thấy sóng cao hơn sẽ di chuyển nhanh hơn và vì thế bắt kịp sóng thấp hơn. Hai sóng này sẽ tương tác phi tuyến với nhau và sau đó sẽ tách ra nguyên vẹn như cũ sau quá trình tương tác, tức là tiếp tục truyền dọc theo hướng cũ, với các sóng nhỏ hơn di chuyển chậm chạp ở phía sau các sóng cao chuyển động nhanh. Ảnh hưởng duy nhất từ sự tương tác giữa chúng là sự thay đổi pha, nghĩa là có sự thay đổi giá trị của tham số pha δ trong mỗi sóng (hình 4.2). Sau tương tác, chuyển động của soliton này không bị cản trở bởi soliton kia. Vì vậy chúng "hành xử" như những hạt va chạm, do đó mà hình thành tên gọi "soliton". 33
Hình 4.2: Tương tác giữa hai soliton 34
Chương 5 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.1 Giới thiệu Nhu cầu mô tả những quá trình vật lý trên cơ sở của phương trình truyền nhiệt phi tuyến, đặc biệt với sự có mặt của các nguồn nhiệt phân bố, kể cả đó là nguồn nhiệt bên ngoài và nguồn nhiệt bên trong biến thiên theo thời gian tương ứng với sự lan truyền nhiệt xuất hiện trong một số bài toán vật lý lý thuyết. Ví dụ như ta sẽ trích dẫn lý thuyết sự đánh thủng nhiệt qua tấm bán dẫn [5], [6] lý thuyết lan truyền lửa [11], [12] và sự lan truyền tạp chất kết tinh (chất kết tủa) trong sự lan truyền trong không gian hữu hạn, và cuối cùng là các bài toán sinh thái học liên quan đến sự phát triển rừng [11]. Trong các trường hợp tổng quát, kể cả khi có hoặc không có nguồn nhiệt, thì phương trình truyền nhiệt phi tuyến đối lập với phương trình truyền nhiệt tuyến tính ở chỗ không thể tìm ra dạng nghiệm giải tích chính xác. Vì vậy, những phương pháp gần đúng, cụ thể là phương pháp tiệm cận để tìm nghiệm trở nên vô cùng quan trọng [11]. Khi xây dựng những phương pháp nghiên cứu gần đúng thì điều quan trọng đầu tiên là sự xấp xỉ bậc không thu được phải phản ánh được những điểm đặc trưng bản chất chính yếu. Điều quan trọng thứ hai là có thể kiểm soát được độ chính xác của phép tính gần đúng. Những phép xấp xỉ gần đúng liên tiếp lí tưởng là phải đưa ra được nghiệm với bất kì độ chính xác nào. Đối với phương trình truyền nhiệt phi tuyến hay với phương trình vi phân cấp hai loại parabolic, việc áp dụng nguyên lý cực đại giúp ta nhận ra các đặc điểm định tính chung của nghiệm chính xác, và trong một vài trường hợp là để đánh giá các tham số của nghiệm chính xác trên cơ sở của các nghiệm phù hợp trong việc xấp xỉ bậc không, gọi là phương pháp nghiệm mẫu. Trong chương này ta sẽ xây dựng nghiệm mẫu cho các bài toán truyền nhiệt phi tuyến, từ đó suy ra những tính chất định lượng cũng như định tính của nghiệm chính xác. 35
5.2 Bài toán vật lý dẫn đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến Ta xét bài toán truyền nhiệt trong tấm bán dẫn có dòng điện chạy qua trong mạch điện (hình 5.1). Sự truyền nhiệt được thể hiện qua phương trình truyền nhiệt theo dạng sau cρT˙ = ∇ (χ (T ) ∇T ) + E2 (t) σ (T (~r, t)) , (5.1) với c là nhiệt dung riêng của tấm bán dẫn, ρ là khối lượng riêng chất bán dẫn, T (~r, t) là hàm phân bố nhiệt độ trong thể tích của tấm bán dẫn tại thời điểm tức thời, là giá trị nhiệt độ tại một điểm trong không gian với bán kính vector ~r, χ (T ) là hệ số dẫn nhiệt của chất bán dẫn tại thời điểm đang xét, σ (T ) là mật độ nguồn nhiệt phụ thuộc vào nhiệt độ T , E (t) là cường độ điện trường trong thể tích tấm bán dẫn, được giả định là độc lập với vị trí trong không gian vì bề dày của tấm bán dẫn rất nhỏ. Giá trị của đại lượng này có thể tính toán được nếu điều kiện của hàm dòng điện đã biết. Ví dụ như nếu biết được suất điện động của nguồn điện là hằng số thì theo định luật Kirchhoff ε = I (t) R + E (t) d, (5.2) với ε là suất điện động, I (t) là cường độ dòng điện chạy qua tấm bán dẫn, R là điện trở tấm bán dẫn, E (t) d là hiệu điện thế suy giảm với E = ε/d, d là bề dày của tấm bán dẫn, và theo định luật Ohm Z I (t) = E (t) σ (T (~r, t))d~r, (5.3) Σ ta tìm được  −1 Z −1 E (t) = E1 + (σS) σ (T (~r, t)) d~r . (5.4) Σ Thay vào phương trình (5.1) ta thu được E2σ (T (~r, t)) cρT˙ = ∇ (χ (T ) ∇T ) + , (5.5) 2 1 + (¯σS)−1 R σ (T (~r0, t)) d~r0 Σ với σ = d/RS là độ dẫn nhiệt hiệu dụng, S là diện tích của tấm bán dẫn. Dạng động lực học của phương trình (5.5) được rút gọn lại thành T (~r, t) = T (t) + T0U (~r, t) , (5.6) với U là một hàm vô cùng bé, U 1. Lúc này ta khai triển 36
Hình 5.1: Mạch điện có dòng điện chạy qua tấm bán dẫn 1 σ (T ) = σ (T (t)) + σ0 (T (t)) T U + σ00 (T (t)) T 2U 2 + (5.7) 0 2 0 1 χ (T ) = χ (T (t)) + χ0 (T (t)) T U + χ00 (T (t)) T 2U 2 + (5.8) 0 2 0 Thay những khai triển này vào (5.5) và chỉ giữ lại những số hạng đến bậc hai 2 cρT˙ (t) + cρT0U˙ (~r, t) = E (t) σ (T (t)) + χ (T (t)) T0∆U (~r, t) + 0 2 + χ (T (t)) T0 (∇,U (~r, t)) ∇U (~r, t) + h 1 i + E2 (t) σ0 (T (t)) T ∆U (~r, t) + σ00 (T (t)) T 2U 2 (~r, t) , (5.9) 0 2 0 với n h 1 io−1 E (t) = E 1 +σ ¯−1 σ (T (t)) + σ0 (T (t)) T U ~r0, t + σ00 (T (t)) T 2 U 2 ~r0, t , 0 2 0 (5.10) và phép tính trung bình 1 Z h · i = (·) ~r0, t d~r0. (5.11) S Σ Phép khai triển tiệm cận của nghiệm chưa biết của phương trình này được xây dựng trên cơ sở từ định nghĩa sự phụ thuộc T (t). Cho rằng phép xấp xỉ gần đúng bậc không và cρT˙ (t) = E2 (t) σ (T (t)) , (5.12) 37
0 cρU˙ (~r, t) = χ (T (t)) ∆U (~r, t) + χ (T (t)) T0 (∇,U (~r, t) ∇U (~r, t)) h 1 i + E2 (t) σ0 (T (t)) U (~r, t) + σ00 (T (t)) T U 2 (~r, t) . (5.13) 2 0 Phương trình thu được khá phức tạp. Vì thế, ta thay T (t) bằng T0 = T (0), và 0 00 0 một cách tương ứng σ (T0) , σ (T0) , σ (T0) , χ (T0) , χ (T0) bằng σ0, σ1, σ2, χ0, χ1. Đặt các kí hiệu 2 2 χ T E σ E T σ κ = 1 0 > 0, α = 1 , β = 0 2 > 0, (5.14) cρ cρ 2cρ U˙ = (χ/cρ) ∆U + κ (∇,U∆U) + αU + βU 2. (5.15) Việc thay thế trên là phù hợp khi ta sẽ xét một cơ chế động lực học mô tả sự bùng nổ chất bán dẫn. Cơ chế này phát triển trong khoảng thời gian nhỏ khi đó hàm T0 (t) hầu như không thay đổi trong quá trình khảo sát. 5.3 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến Phương trình truyền nhiệt phi tuyến trong trường hợp không gian một chiều là phương trình vi phân cấp hai dạng parabolic với hàm u (x, t) chưa biết, x ∈ R, t ∈ R+: ∂ ∂ ∂ u (x, t) = K (u) u (x, t) , (5.16) ∂t ∂x ∂x với K (·) là một hàm số không âm trơn tùy ý. Xét theo quan điểm vật lý thì phương trình truyền nhiệt phi tuyến mô tả một quá trình truyền nhiệt với hệ số khuếch tán nhiệt K (u) phụ thuộc vào nhiệt độ. Trong không gian đa chiều phương trình này có dạng tổng quát: ∂ u (~r, t) = [∇ (K (u) ∇u)] (~r, t) . (5.17) ∂t Hàm chưa biết u (~r, t) phụ thuộc vào vị trí trong không gian được xác định bằng n bán kính vector ~r ∈ R , n ∈ N+ trong không gian Euclid n−chiều, và theo tham số n thời gian t. Ở đây toán tử Nabla ∇ là toán tử đối với không gian n−chiều R n X ∂ ∇v (~r) = ~ej v (~r) . (5.18) ∂xj j=1 n Gradient cho hàm số v (~r) trơn bất kì và ~r ∈ R , với ~r = hx1, x2, , xni và ~ej, n j = 1 ÷ n là vector đơn vị trong không gian R . Trong những bài toán vật lý thì thông thường có thể cho rằng hàm số u đủ nhỏ, vì vậy sự xáo trộn trạng thái cân 38
bằng là có ý nghĩa, và sẽ hợp lý khi giới hạn khai triển của hệ số K (u) đến bậc một. Để giữ nguyên dạng bậc hai nhưng ở bên vế phải của (12) thì ta có K (u) = k0 +k1u và phương trình (5.17) viết lại dưới dạng ∂ u (~r, t) = k [∆t](~r, t) + k [∇ (u∇u)] (~r, t) , k > 0. (5.19) ∂t 0 1 n Với nguồn nhiệt phân bố trong không gian R , trong trường hợp tổng quát, phương trình (5.17) có dạng ∂ u (~r, t) = [∇K (u) ∇u](~r, t) + F (~r, t) . (5.20) ∂t Trong vật lý ta thường khảo sát trường hợp độc lập của nguồn nhiệt vào thời gian F (~r, t) = F (~r). Trong trường hợp này phương trình (5.20) có thể được viết lại dưới dạng ∂ u (~r, t) = [∇ (K (u) ∇u)] (~r, t) + G (u (~r, t)) . (5.21) ∂t Đối với hàm u đủ nhỏ thì ta giới hạn khai triển vế phải của u đến bậc hai, ta có ∂ u (~r, t) = k ∆u + k ∇ (u∇u) + g + g u + g u2 (~r, t) , k > 0. (5.22) ∂t 0 1 0 1 2 1 Phương trình này có thể được đơn giản hóa bằng việc thay hàm u (~r, t) bằng g0t u (~r, t) e , phương trình (5.22) sẽ không còn chứa hệ số g0 ∂ u (~r, t) = k ∆u + k ∇ (u∇u) + g u + g u2 (~r, t) . (5.23) ∂t 0 1 1 2 Trong vật lý ứng dụng, phương pháp xấp xỉ cho việc giải những bài toán với điều kiện biên và điều kiện ban đầu (ở đây là với phương trình (5.23)). Nếu hệ số g2 > 0, với những điều kiện ban đầu đối với hàm u đủ lớn, thì nghiệm của phương trình (5.23) mô tả cơ chế bùng phát của sự truyền nhiệt [12] khi mà nhiệt độ tăng lên một cách đột ngột không giới hạn. Để khảo sát những nghiệm này nếu ta bỏ qua phần tuyến tính u ở vế phải phương trình (5.23) thì ta có phương trình ∂ u (~r, t) = k ∇ (u∇u) + g u2 (~r, t) , k > 0. (5.24) ∂t 1 2 1 1/2 Bằng cách thay đổi biến tọa độ không gian ~r bằng ~r(k1/g2) và thời gian t bằng t/g2, phương trình (5.24) được thu gọn lại thành dạng chính tắc ∂ u (~r, t) = ∇ (u∇u) + u2 (~r, t) (5.25) ∂t mà trong đó không có xuất hiện hằng số vật lý nào. Trong chương này chỉ tập trung khảo sát những phương trình một chiều. Ta giả sử rằng tấm bán dẫn được dát mỏng sao cho có thể bỏ qua độ dày và bề rộng của nó. Ta sẽ xét sự truyền nhiệt trên thanh bán dẫn, vì vậy phương trình (5.25) có thể được viết lại thành 39
∂ ∂ ∂ u (x, t) = u u (x, t) + u2 (x, t) . (5.26) ∂t ∂x ∂x Đơn giản hóa những kí hiệu, phương trình (5.26) được viết lại dưới dạng h 0 i u˙ (x, t) = uu0 + u2 (x, t) . (5.27) 5.4 Nguyên lý cực đại Phương trình truyền nhiệt phi tuyến là một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân phi tuyến bậc hai dạng parabolic. Vì vậy phương trình trên sẽ thỏa mãn nguyên lý cực đại. Giả sử u1 (~r, t) và u2 (~r, t) là hai nghiệm của phương trình (5.17). Khi đó tại thời n điểm t0 bất kì nếu bất đẳng thức u1 (~r, t0) 6 u2 (~r, t0) với ~r ∈ R được thỏa mãn thì tại mọi thời điểm t > t0 bất đẳng thức u1 (~r, t) 6 u2 (~r, t) cũng được thỏa mãn với n ~r ∈ R . Để chứng minh khẳng định trên thì ta có thể dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử bất đẳng thức u1 (~r, t) 6 u2 (~r, t) không thỏa mãn thì tồn tại 0 một thời điểm t mà tại đó các nghiệm u1 (~r, t) và u2 (~r, t) giao nhau. Khi đó tại một điểm ~r0 xác định trong không gian, hai nghiệm này bằng nhau, nghĩa là 0 0 0 0 0 0 0 0 u1 ~r , t = u2 ~r , t , ∇u1 ~r , t = ∇u2 ~r , t . (5.28) 0 0 Ngoài ra, độ cong của hàm nhiệt u2 ~r, t tại điểm ~r không nhỏ hơn độ cong 0 của hàm nhiệt u1 ~r, t tại cùng điểm đó. Nói cách khác, tính chất này đảm bảo sự đúng đắn của bất thẳng thức n n X X ξiξj[∇i∇ju2 (~r, t)]~r=~r0 > ξiξj[∇i∇ju1 (~r, t)]~r=~r0 . (5.29) i,j=1 i,j=1 Trong trường hợp này thì 0 0 0 0 ∆u2 ~r , t > ∆u1 ~r , t . (5.30) Lấy đạo hàm hai vế của bất đẳng thức trên theo thời gian, ta có ∂ ∂ u (~r, t) − u (~r, t) = Ku ~r0, t0 ∆u ~r, t0 − ∆u ~r, t0 0, 2 1 2 1 ~r=~r0 > ∂t ∂t t=t0, ~r=~r0 (5.31) 40
từ đó ta có thể suy ra được rằng với bất kì số gia đủ nhỏ của t thì bất đẳng thức 0 0 0 0 u2 ~r , t + ε − u ~r , t + ε > 0 (5.32) đều được thỏa mãn. Điều này có nghĩa là các nghiệm của hàm nhiệt không thể giao nhau tại một điểm ~r0 nào. 5.5 Nghiệm mẫu Bằng cách sử dụng nguyên lý cực đại, phương pháp nghiệm mẫu được sử dụng trong việc khảo sát nghiệm của bài toán điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho phương trình (5.17). Phương pháp này có thể được trình bày như sau: Giả sử ta đã tìm được một họ nghiệm của phương trình (5.17) phụ thuộc vào một bộ các tham số nào đó mà ta gọi là các thông số định mức. Giả sử rằng họ nghiệm này có tính chất sao cho ta có thể tìm được nghiệm u1 (~r, t) bằng cách chọn những giá trị tham số phù hợp mà với nghiệm này tại thời điểm t0 ta có thể xấp xỉ điều kiện ban đầu u (~r, t0) với độ chính xác thích hợp. Ngoài ra, bất đẳng thức u (~r, t0) > u1 (~r, t0) cũng được thỏa mãn. Khi đó, nguyên lý cực đại cho thấy bất đẳng thức này giữa nghiệm mẫu dưới và nghiệm thu được từ bài toán giá trị biên ban đầu vẫn giữ nguyên theo thời gian, u (~r, t) > u (~r, t0). Trong trường hợp này, ta chọn nghiệm mẫu u1 (~r, t) như một xấp xỉ bậc không trong việc tính toán gần đúng giá trị của nghiệm u (~r, t). Điều tương tự vẫn đúng cho trường hợp khi nghiệm mẫu u2 (~r, t) được chọn, nghiệm mà ta gọi là giới hạn trên. Có thể nhận thấy rằng trong họ các nghiệm mẫu thu được từ cách tính này thì bất đẳng thức đối với điều kiện ban đầu u (~r, t0) 6 u2 (~r, t0) và giá trị cực đại của độ lệch (u2 (~r, t0) − u (~r, t0)) có thể nhỏ hơn. Khi đó bất đẳng thức u (~r, t) 6 u2 (~r, t) cũng không thay đổi theo thời gian. Nghiệm mẫu phía trên cũng có thể được chọn như một xấp xỉ bậc không trong việc xây dựng các nghiệm gần đúng u (~r, t). Ngoài ra, nếu các bất đẳng thức u2 (~r, t) > u (~r, t) > u1 (~r, t) (5.33) được thỏa mãn với các nghiệm mẫu trên và dưới được chọn một cách hợp lý thì ta có thể đi đến kết luận định tính quan trọng về giá trị nghiệm chính xác u (~r, t) của bài toán với điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Ta sẽ xét ví dụ phương trình truyền nhiệt phi tuyến với những họ nghiệm đã biết. Đầu tiên ta xét phương trình ∂ω ∂ ∂ω = a ωm + bωm+1, a > 0, (5.34) ∂t ∂x ∂x 41
với các hằng số a > 0 và b được chọn tùy ý. Bằng cách thay hàm cần tìm ω bằng |b|1/(m+1)ω, biến không gian x bằng (|b| /a)1/2x và biến thời gian t bằng |b|1/(m+1)t, phương trình (5.34) được thu gọn lại thành hai dạng phương trình chính tắc với các hệ số được chọn tùy ý. Với b > 0 ta thu được phương trình thứ nhất của (5.34) ứng với các hệ số a = b = 1: ∂ω ∂ ∂ω = ωm + ωm+1. (5.35) ∂t ∂x ∂x Với b < 0, ta có phương trình thứ hai của (5.34) ứng với các hệ số a = 1, b = −1: ∂ω ∂ ∂ω = ωm − ωm+1. (5.36) ∂t ∂x ∂x Ta sẽ chỉ xét phương trình (5.35) bởi vì nó mô tả một cơ chế kịch phát của nghiệm. Bằng cách đổi biến ω = v1/m thực hiện các tính toán đạo hàm, ta có: ∂ω 1 1 ω˙ = = v m−1 v˙ (5.37) ∂t m 0 ∂ω 1 1 0 ω = = v m−1 v , (5.38) ∂x m 2 00 ∂ ω 1 1 00 1 1 1 02 ω = = v m−1 v + − 1 v m−2 v . (5.39) ∂x2 m m m Thay các biểu thức trên vào phương trình (5.35), ta đi đến dạng chính tắc của phương trình vi phân phi tuyến v02 v˙ = vv00 + + mv2, (5.40) m phương trình này chỉ chứa những phần phi tuyến có bậc lớn nhất bằng hai. Ta nhận thấy vế trái chỉ chứa các đạo hàm theo thời gian, vế phải chỉ chứa các đạo hàm theo không gian. Điều này chứng tỏ các biến số thời gian t và không gian x là độc lập với nhau. Vì vậy để xây dựng nghiệm mẫu của phương trình (5.40), ta sẽ áp dụng phương pháp tách biến để tìm nghiệm dưới dạng v (x, t) = a (t) z (x) . (5.41) Phương trình (5.40) trở thành z02 az˙ = a2 zz00 + + mz2 , (5.42) m và thỏa mãn điều kiện ban đầu a (0) = a0. Ta chỉ quan tâm đến nghiệm mô tả sự biến thiên của nhiệt độ theo không gian và thời gian, nghĩa là a (t) 6= 0 và z (x) 6= 0. Ta có 42
a˙ z02 = z−1 zz00 + + mz2 = λ, ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t 0, (5.43) a m > từ đây ta thu được a˙ = λ, ∀t 0, (5.44) a > z02 z−1 zz00 + + mz2 = λ, ∀x ∈ (−∞; +∞) . (5.45) m Giải phương trình (5.44) ta tìm được nghiệm tổng quát thỏa điều kiện ban đầu a a (t) = 0 . (5.46) 1 − a0λt Đối với phương trình (5.45), đặt z0 (x) = u (z) (5.47) ⇒ z00 (x) = u0 (z) z0 (x) = u0 (z) u (z) , (5.48) phương trình (5.45) trở thành u2 zuu0 + + mz2 = λz. (5.49) m Nhân hai vế của phương trình với z2/m−1 ta có u2 1 d (λ − mz) z2/m = z2/muu0 + z2/m−1 = z2/mu2 . (5.50) m 2 dz Lấy tích phân hai vế z 1 Z z2/mu2 = (λ − mz) z2/mdz 2 0 mλ m2 = z2/m+1 − z2/m+2 (5.51) m + 1 2 (m + 1) m2 2λ (m + 1) ⇒ u2 = z − z . (5.52) m + 1 m (m + 2) 0 Vì u (zmax) = z (0) nên u (zmax) = 0 khi x = 0, ta có 2λ (m + 1) z = ≡ A. (5.53) max m (m + 2) Ta thu được phương trình vi phân bậc nhất 43
dz m p u = = ±√ z (A − z). (5.54) dx m + 1 Lấy tích phân hai vế ta được z x Z dz Z m = − √ dx. (5.55) pz (A − z) m + 1 zmax 0 Dấu trừ được chọn ở vế phải từ giả thiết hàm z (x) là hàm giảm khi x > 0. Lấy tích phân hai vế z−A/2 Z dz m q = −√ x (5.56) 2 2 m + 1 A/2 (A/2) − z 2z π m ⇒ arcsin − 1 − = −√ x (5.57) A 2 m + 1 2z m ⇒ − 1 = cos √ x (5.58) A m + 1 A m ⇒ z = 1 + cos √ x . (5.59) 2 m + 1 Khi đó 2λ (m + 1) mx z = · cos2 √ . (5.60) m (m + 2) m + 1 Đặt đại lượng mới √ 2π m + 1 L = (5.61) m gọi là độ dài cơ bản, suy ra 2λ (m + 1) πx z = · cos2 . (5.62) m (m + 2) L L Xét hàm v (x, t) bị giới hạn bởi điều kiện biên trong khoảng |x| : 6 2 2 (m + 1) cos2 (πx/L) v (x, t) = · , (5.63) m (m + 2) t0 − t −1 với t0 = (a0λ) là thời gian tới hạn của nghiệm mẫu đang xét. Nghiệm mẫu ω (x, t) được cho bởi 44
 2 1/m  2 (m + 1) cos (πx/L) L  · , với |x| 6 , ω (x, t) = m (m + 2) t0 − t 2 (5.64)  L 0, với |x| > . 2 Nghiệm thu được mô tả trạng thái tới hạn và chỉ tồn tại trong khoảng thời gian L t ∈ [0; t ) và nghiệm chỉ định xứ trong vùng |x| . 0 6 2 5.6 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến một chiều Trong phần này ta sẽ xây dựng nghiệm mẫu cho phương trình (5.27) h 2 i u˙ (x, t) = uu00 + u0 + u2 (x, t) . (5.65) Giả sử rằng nghiệm của phương trình này thỏa mãn định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Định lý 1. Giả sử hàm u0 (x) có đạo hàm bậc hai liên tục trên R sao cho u0 (x) → ∞ khi |x| → ∞. Khi đó phương trình (5.65) có một nghiệm duy nhất với mọi t > 0 sao cho u (x, 0) = u0 (x). Từ định lý này, ta rút ra nhận định sau Nếu hàm ban đầu u0 (x) là hàm chẵn thì nghiệm u (x, t) thu được cũng là hàm chẵn với mọi t > 0. 5.6.1 Nghiệm mẫu cho trước Ta tìm nghiệm của phương trình (5.65) bằng cách phân ly biến số u (x, t) = a (t) v (x) . (5.66) Thế vào (5.65) ta được av˙ = a2 vv00 + v02 + v2 , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0. (5.67) Các nghiệm a (t) = 0 , ∀t ≥ 0 hay v (x) = 0 , ∀x ∈ (−∞; +∞) đều dẫn đến nghiệm tầm thường u (x, t) = 0 , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0. Ta không xét nghiệm a (t) = 0 và v (x) = 0 vì nghiệm này không có ý nghĩa vật lý. Từ phương trình (5.67) suy ra a˙ = v−1 v02 + vv00 + v2 = λ, ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.68) a2 45
với λ là hằng số bất kì, từ đây ta có hai phương trình: a˙ = λ, ∀t ≥ 0 (5.69) a2 v−1 v02 + vv00 + v2 = λ, ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.70) Giải phương trình vi phân (5.69): a˙ = λ, ∀t ≥ 0 (5.71) a2 da ⇒ = λdt (5.72) a2 Z da Z ⇒ = λdt (5.73) a2 1 ⇒ − = λt + C , ∀t ≥ 0 (5.74) a 1 −1 −C ⇒ a (t) = , ∀t ≥ 0, t 6= 1 , (5.75) λt + C1 λ với C1 là hằng số tích phân. Để tìm giá trị của hằng số C1 ta sử dụng điều kiện ban đầu: a (0) = a0 (5.76) −1 ⇒ a0 = (5.77) C1 −1 ⇒ C1 = , (5.78) a0 từ đó ta có: a 1 a (t) = 0 , ∀t ≥ 0, t 6= . (5.79) 1 − a0λt a0λ Dạng đồ thị của hàm a (t) được biểu diễn trên hình 5.2. Giải phương trình (5.70): Đặt v0 (x) = y (v). Khi đó v00 (x) = y0 (v) v0 (x) = y0 (v) y (x), thay vào phương trình (5.70) ta được phương trình: y2 + vyy0 + v2 = λv. (5.80) Nhân hai vế cho v ta được: 46
Hình 5.2: Dạng đồ thị của hàm a (t) vy2 + v2yy0 + v3 = λv2 (5.81) 1 0 ⇒ v2y2 = λv2 − v3 (5.82) 2 ⇒ d v2y2 = 2 λv2 − v3 dv (5.83) Z Z ⇒ d v2y2 = 2 λv2 − v3 dv (5.84) 2λ 1 ⇒ v2y2 = v3 − v4 + C (5.85) 3 2 2 2λ 1 ⇒ v2 (x) v02 (x) = v3 (x) − v4 (x) + C , ∀x ∈ (−∞; +∞) . (5.86) 3 2 2 Ta qua tâm đến nghiệm mẫu u (x, t) có điểm tiếp xúc x∗ với mức u = 0. Những nghiệm này (với cấu trúc đặc biệt của phương trình (5.67)) cho ta thành lập nghiệm 0 bằng 0 trong khoảng dương của hàm u (x, t), nghĩa là v (x∗) = 0, v (x∗) = 0, từ đó ta có: 2λ 1 v2 (x ) v02 (x ) = v3 (x ) − v4 (x ) + C (5.87) ∗ ∗ 3 ∗ 2 ∗ 2 ⇒ C2 = 0 (5.88) 2λ 1 ⇒ v2 (x) v02 (x) = v3 (x) − v4 (x) , ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.89) 3 2 47
2λ 1 ⇒ v02 (x) = v (x) − v2 (x) , ∀x ∈ (−∞; +∞) . (5.90) 3 2 Nếu như nghiệm u (x, t) là nghiệm của phương trình (5.67) với biến số phân ly x và t thì điều kiện tồn tại của v (x) và các đạo hàm của nó cũng là điều kiện tồn tại của u (x, t): 2λ 1 v02 (x) = v (x) − v2 (x) > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.91) 3 2 4 ⇒ 0 0. Từ phương trình (5.90) lấy đạo hàm hai vế theo x ta có: 2 2v00 (x) v0 (x) = λv0 (x) − v0 (x) v (x) , ∀x ∈ (−∞; +∞) (5.93) 3 1 1 ⇒ v00 (x) = λ − v (x) (5.94) 3 2 1 1 1 ⇒ v00 (x ) = λ − v (x ) = λ > 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) . (5.95) ∗ 3 2 ∗ 3 00 Vì λ > 0 nên v (x) > 0, nghĩa là hàm v (x) đạt cực tiểu tại x = x∗. 4 Giải phương trình vi phân (5.90), với 0 < v (x) < λ: 3 r 2λ 1 v0 = ± v − v2 (5.96) 3 2 dv ⇒ r = ±dx (5.97) 2λ 1 v − v2 3 2 √ v 2 d √ − √ Z 2 3 Z ⇒ 2 = ± dx (5.98) s √ 2 √ 2 λ 2 v λ 2 − √ − 3 2 3 3 1 π ⇒ arcsin v − 1 = ±√ x + C2 + (5.99) 2λ 2 2 √ 2 1 4 2 x 2 ⇒ v = λ cos √ x + C2 + 1 = λcos + C2 . (5.100) 3 2 3 4 Với hàm số chính tắc ta chọn nghiệm chẵn v (x), nghĩa là v (−x) = v (x). Suy ra v (x) có dạng: 48
√ 4 x 2 v (x) = λcos2 , ∀x ∈ (−∞; +∞) , (5.101) 3 4 với λ là hằng số dương bất kì xác định biên độ của nghiệm mẫu khi t = 0. Ta tìm giá trị của điểm x∗: √ 4 x 2 v (x ) = λcos2 ∗ = 0 (5.102) ∗ 3 4 √ ⇒ x∗ = 2 (π ± 2kπ) k = 0, 1, 2, 3, (5.103) Vậy điểm x∗ là hằng số không phụ thuộc vào biên độ của nghiệm mẫu. Để phù hợp với ý nghĩa vật lý của phương trình truyền nhiệt, nhiệt độ chỉ có thể lan truyền trong một không gian giới hạn và khi càng ra xa nguồn nhiệt thì sự ảnh hưởng của nguồn nhiệt sẽ càng giảm xuống, nghĩa là u (x, t) → 0 khi x → ∞. Điều này cho phép ta xác định miền không gian xảy ra hiện tượng truyền nhiệt trong đó có sự kịch phát của nghiệm là miền được giới hạn giữa hai√ biên√ là những vị trí đạt giá trị không lần đầu tiên của (5.102), tức là miền − 2π; 2π. Với những vị trí nằm ngoài miền không gian này thì u (x, t) = 0 với mọi t > 0.  √ 4 x 2 √ √  λcos2 , x ∈ − 2π; 2π , v (x) = 3 4 (5.104) √ √ 0, x∈ / − 2π; 2π . 3 Dạng đồ thị của hàm v (x) được biểu diễn trên hình 5.3 với λ = . 4 Vậy dạng tổng quát của nghiệm mẫu của phương trình: √  √ √ u0 2 x 2  cos , x ∈ − 2π; 2π ,  3u0 4 4 u (x, t) = 1 − t ∀t > 0, t 6= . (5.105)  4 √ √ 3u0 0, x∈ / − 2π; 2π , 4λa Với u = 0 - biên độ của nghiệm khi t = 0. 0 3 4 Tại thời điểm t∗ = nghiệm sẽ tiến tới vô cùng, thời điểm này gọi là thời 3u0 điểm xảy ra trạng thái kịch phát. Vậy nghiệm mẫu mô tả hiện tượng kịch phát, ở thời điểm này nhiệt độ tăng lên rất nhanh trong thời gian ngắn dẫn đến sự bùng nổ chất bán dẫn. Vì vậy ta chỉ quan tâm nghiệm trong khoảng thời gian t ∈ [0; t∗): 49
Hình 5.3: Dạng đồ thị của hàm v (x) √  √ √ u0 2 x 2  cos , x ∈ − 2π; 2π ,  3u0 4 u (x, t) = 1 − t t ∈ [0; t∗) . (5.106)  4 √ √ 0, x∈ / − 2π; 2π , Dạng đồ thị của hàm u (x, t) được biểu diễn trên hình 5.4 từ thời điểm ban đầu t = 0 đến thời điểm xảy ra hiện tượng kịch phát t∗, với u0 = 1. 50
Hình 5.4: Dạng đồ thị của hàm u (x, t) 5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần Xét phương trình: h 00 i u˙ (x, t) = u2 + u2 (x, t) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.107) được suy ra từ phương trình (5.25) trong không gian hai chiều trong hệ tọa độ Descartes đối với trường hợp đối xứng khi cho y = x. Hàm u (x, t) có dạng mẫu: u (x, t) = a (t) + b (t) cos (xL) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.108) với L là một tham số. Ta xác định hàm a (t), b (t) và dạng ban đầu của hàm mẫu u (x, t) với các điều kiện ban đầu a (0) = a0, b (0) = b0 của a (t) và b (t). 00 0 Ta có: u2 = 2uu0 = 2u02 + 2uu00, phương trình (5.107) trở thành: h i u˙ (x, t) = 2u02 + 2uu0 + u2 (x, t) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.109) với các đạo hàm: u˙ (x, t) =a ˙ (t) + b˙ (t) cos (xL) , (5.110) u0 (x, t) = Lb (t) sin (xL) , (5.111) u00 (x, t) = −L2b (t) cos (xL) . (5.112) 51
Thay các biểu thức trên vào phương trình (5.108): a˙ (t) + b˙ (t) cos (xL) = 2L2b2 (t) sin2 (xL) − 2L2a (t) b (t) cos (xL) − L2b2 (t) cos2 (xL) +a2 (t) + 2a (t) b (t) cos (xL) + b2 (t) cos2 (xL) (5.113) ⇒ a˙ (t) − a2 (t) − 2L2b2 (t) + 4L2 − 1 b2 (t) cos2 (xL) 2 + b˙ (t) − 2 1 − L a (t) b (t) cos (xL) = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t > 0. (5.114) Ta nhận thấy phương trình trên có dạng f (t) + g (t) cos2 (xL) + h (t) cos (xL) = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, (5.115) với f (t) =a ˙ (t) − a2 (t) − 2L2b2 (t) , (5.116) g (t) = 4L2 − 1 b2 (t) , (5.117) h (t) = b˙ (t) − 2 1 − L2 a (t) b (t) (5.118) là những hàm chỉ phụ thuộc vào biến t. Vì các hàm cos2 (xL) và cos (xL) độc lập với nhau nên để vế trái bằng không với mọi giá trị x ∈ (−∞; +∞) thì các hàm f (t), g (t), h (t) đều phải triệt tiêu, nghĩa là:     2 2 2  f (t) = 0  a˙ (t) − a (t) − 2L b (t) = 0     g (t) = 0 ∀t ≥ 0 ⇒ 4L2 − 1 b2 (t) = 0 ∀t ≥ 0. (5.119)       ˙ 2  h (t) = 0  b (t) − 2 1 − L a (t) b (t) = 0 Khi b (t) = 0 , ∀t ≥ 0 thì u (x, t) = a (t) , ∀x ∈ (−∞; +∞) , ∀t ≥ 0, nghĩa là nhiệt độ là như nhau tại mọi vị trí, nghiệm này không mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong không gian. Vì vậy ta tiến hành giải hệ phương trình trên với b (t) 6= 0.    a˙ (t) = a2 (t) + 2L2b2 (t) = 0    1 L2 = ∀t > 0. (5.120)  4   ˙ 2  b (t) = 2 1 − L a (t) b (t) 52
Ta nhận thấy tham số L không thể chọn một cách tùy ý mà bị ràng buộc bởi 1 điều kiện L2 = để phương trình vi phân (5.108) có nghiệm, từ đó ta có 4   2 1 2  a˙ (t) = a (t) + b (t) 2 ∀t ≥ 0. (5.121)  3  b˙ (t) = a (t) b (t) 2 Giải hệ (5.121) ta sẽ tìm được các hàm a (t) và b (t) xác định bởi các điều kiện ban đầu a (0) và b (0), từ đó ta sẽ nhận được nghiệm mẫu u (x, t). Từ hệ (5.121) ta có da 2a2 + b2 2 a 1 b = = + . (5.122) db 3ab 3 b 3 a Phương trình (5.122) xác định sự phụ thuộc "quỹ đạo" a = a (b) trên mặt phẳng pha {ha; bi : a, b ∈ R}. Đặt: a da z (b) = ⇒ a = bz ⇒ = z + bz0 (5.123) b db và thay vào phương trình (5.122), ta có 2 1 z + bz0 = z + (5.124) 3 3z 1 − z ⇒ bz0 = (5.125) 3z 3z db ⇒ dz = . (5.126) 1 − z2 b Lấy tích phân hai vế ta có 2 3 Z d 1 − z Z db − = (5.127) 2 1 − z2 b 3 3 ⇒ − ln 1 − z2 = ln |b| − ln C , với C > 0. (5.128) 2 2 1 1 Phương trình (5.128) xác định dạng tổng quát của họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha {hz, bi : z, b ∈ R}. Để xây dựng nghiệm mẫu dương u (x, t) (ít nhất là trong một đoạn nào đó của x chứa điểm 0), thì b (t) > 0 . Ngoài ra nghiệm mẫu cần tìm phải có những điểm giao nhau với lớp không (mức "0"). Ta phải có: a (t) − b (t) 0, |a| hay |a (t)| < b (t) ⇒ |z| = < 1. Ta chỉ khảo sát những quỹ đạo trên mặt phẳng b ha, bi thỏa mãn điều kiện |z| < 1. 53
Hình 5.5: Đồ thị của họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha {ha, bi : |a| 0} Nhận thấy rằng một phần của mặt phẳng {ha, bi : |a| 0} không thay đổi đối với sự dịch chuyển của hệ (5.121). Vì các đường thẳng a (t) = b (t) và a (t) = −b (t) là những quỹ đạo của hệ, từ đây ta có: 23 2 3 1 − z b = C1 (5.129) 3 a2 ⇒ 1 − b2 = C3 (5.130) b2 1 b2 − a2 ⇒ C1 = . (5.131) b4/3 Từ (5.131) ta thu được họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha {ha, bi : |a| 0} 2 2 4/3 a = b − C1b (5.132) p 2 4/3 ⇒ a = ± b − C1b . (5.133) Đồ thị của họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha {ha, bi : |a| 0} được biểu diễn trên hình 5.5 với C1 = 0, 1, 2, 3, 4. Ta sẽ xác định sự phụ thuộc vào thời gian của các biên độ a (t) và b (t). Từ phương trình thứ hai của hệ (5.121) suy ra 2b˙ p a = = ± b2 − C b4/3 (5.134) 3b 1 54
2 Z db Z ⇒ ± = dt (5.135) 3 p 2 4/3 b b − C1b 2 Z b−2db ⇒ ± = t + C2. (5.136) 3 p −2/3 1 − C1b −1 Đặt m = C1/2b−1/3 ⇒ dm = C1/2b−4/3db. Ta có: 1 3 1 2 Z m2dm ⇒ t + C2 = ∓ √ . (5.137) 3/2 1 − m2 C1 Z m2dm Tính nguyên hàm √ : 1 − m2 Z m2dm Z m2 − 1 Z 1 √ = √ dm + √ dm 1 − m2 1 − m2 1 − m2 Z p = − 1 − m2dm + arcsin (m) mp 1 = − 1 − m2 − arcsin (m) + arcsin (m) 2 2 Z m2dm 1 h p i ⇒ √ = arcsin (m) − m 1 − m2 , (5.138) 1 − m2 2 từ đây ta thu được sự phụ thuộc vào thời gian của biên độ b (t): " 1/2 ! 1/2 # 1 C1 C1 p 2/3 t + C2 = ∓ arcsin − b − C1 , (5.139) 3/2 b1/3 b2/3 C1 trong đó C2 là hằng số bất định. Dạng đồ thị của hàm b (t) được biểu diễn trên hình 5.6 với C1 = C2 = 1. Tại vị trí ban đầu ta cần nhận được nghiệm mẫu u(x, 0) có giá trị nhỏ tùy ý. Để điều này có thể xảy ra thì a(0) = a0 0. Điểm đầu tiên của nửa quỹ đạo này được biểu diễn bằng điểm M0 (a0, b0) với a0 = a(0) 0 vào thời điểm T0. Nửa quỹ đạo tiếp theo nằm trong góc phần tư {ha, bi : a > 0, b > 0}. Trong trường hợp này trong biểu thức (5.133) sẽ nhận dấu (+), còn trong công thức (5.139) sẽ mang dấu (−). 55
Hình 5.6: Dạng đồ thị của hàm b (t) Vì vậy, đối với nửa quỹ đạo đầu tiên trong công thức (5.139) cần phải chọn dấu (+) và đối với việc xác định C1 theo công thức (5.131) cần phải đặt a(0) = a0, (−) b(0) = b0. Hằng số này ta sẽ kí hiệu là C1 , để nhấn mạnh rằng hằng số này tương ứng với nửa quỹ đạo đầu tiên. Ta có 2 2 (−) b0 − a0 C1 = 4/3 . (5.140) b0 (−) Để xác định hằng số C2, mà đối với nửa quỹ đạo thứ nhất ta sẽ kí hiệu là C2 , trong công thức (5.139) cần phải đặt t = 0, từ đó ta có: ! 2 p 2 2 q (−) b0 b0 − a0 | a0| 2 2 C2 = arcsin − 2 b0 − a0 . (5.141) 2 2 3/2 b0 b (b0 − a0) 0 Ta đã xác định được phần quỹ đạo phụ thuộc vào thời gian ha(t), b(t)i, bắt đầu vào thời điểm t = 0 với a0 < 0 và kết thúc vào thời điểm T0, mà tại đó quỹ đạo dịch chuyển trong mặt phẳng pha đến gần gốc tọa độ tới khoảng cách ngắn nhất ρ. Khi đó thời gian T0 được xác định từ điều kiện a(T0) = 0. Từ công thức (5.131) ta có (−)3/2 b(T0) = C1 . (5.142) Mặt khác, theo định nghĩa, b(T0) = ρ, ta sẽ thu được biểu thức đối với khoảng cách ρ có chứa a0, b0 56
2 2 3/2 (−)3/2 (b0 − a0) ρ = C1 = 2 . (5.143) b0 Khi đó, thời gian T0 được xác định bởi π T + C(−) = , (5.144) 0 2 3/2 2C1 do đó  s  2 p 2 2 2 b0 π b0 − a0 | a0| a0 T0 =  − arcsin + 1 −  , (5.145) 2 2 3/2 2 b0 b0 b0 (b0 − a0) hoặc, ta cho rằng a0 < 0  1/3 1/3 s 2/3  1 π ρ ρ ρ T0 =  − arcsin + 1 −  . (5.146) ρ 2 b0 b0 b0 Dựa vào (5.141), C2 được biễu diễn qua hằng số ρ:  s  1/3 1/3 2/3 (−) 1 ρ ρ ρ C2 = arcsin − 1 −  . (5.147) ρ b0 b0 b0 Từ biểu thức (5.139) và (5.143), ta sẽ có biểu thức đối với nửa quỹ đạo đầu tiên (nửa quỹ đạo âm) phụ thuộc vào tham số ρ " r # 1 ρ1/3 ρ1/3 ρ2/3 t + C(−) = arcsin − 1 − . (5.148) 2 ρ b b b (−) 2/3 Từ công thức (5.143) suy ra C1 = ρ , và từ (5.131) khi b(T0) = ρ, a(T0) = 0 (+) 2/3 (−) (−) suy ra rằng C1 = ρ . Nhận thấy rằng các tham số C1 và C2 giống nhau, vì đại lượng ρ đặc trưng cho toàn bộ quỹ đạo mà không phụ thuộc vào phần quỹ đạo (âm hoặc dương) mà hệ chuyển động. Vì vậy, ta sẽ sử dụng dấu kí hiệu (±) để kí hiệu C1 trên cả hai nửa quỹ đạo. Xét công thức (5.139) đối với một nửa quỹ đạo dương bắt đầu từ thời điểm T0: ! 1/2 q 1/2 (+) 1 C1 2/3 C1 t + C = b − C1 − arcsin . (5.149) 2 3/2 b2/3 b1/3 C1 Ta có thể biểu diễn biểu thức trên theo tham số ρ: 57
" r # 1 ρ1/3 ρ2/3 ρ1/3 t + C(+) = 1 − − arcsin . (5.150) 2 ρ b b b (+) Hằng số C được xác định từ phương trình bằng cách đổi biến số t = T0, 2 π b(T ) = ρ. Khi đó ta có C(+) + T = − , từ đó suy ra 0 2 0 2ρ π C(+) = − − T , (5.151) 2 2ρ 0  s  1/3 1/3 2/3 (+) π 1 ρ ρ ρ C2 = − + arcsin − 1 −  , (5.152) ρ ρ b0 b0 b0 từ đó phương trình xác định chuyển động theo quỹ đạo dương " r # π + D 1 ρ1/3 ρ2/3 ρ1/3 t = + 1 − − arcsin , (5.153) ρ ρ b b b với hằng số D được xác định bằng điều kiện ban đầu  1/3 s 2/3 1/3  ρ ρ ρ D =  1 − − arcsin  . (5.154) b0 b0 b0 Dựa trên phương trình (5.153) ta sẽ xác định thời gian "kịch phát" t∞. Theo định nghĩa, thời gian này là thời gian mà hệ đi ra xa vô cùng, nghĩa là b → ∞ khi t → t∞. Lấy giới hạn trong biểu thức (5.153), ta có π + D t = . (5.155) ∞ ρ 5.6.3 Đánh giá các tham số của nghiệm mẫu Trong phần này ta sẽ khảo sát trường hợp riêng khi b0 là đại lượng có giá trị rất lớn. Nhiệm vụ của ta là phải nhận được công thức gần đúng thỏa mãn với độ chính xác tiệm cận với điều kiện b0 → ∞, đối với các hàm a (t) và b (t) của nghiệm mẫu và trong trường hợp riêng đối với các tham số đặc trưng cơ bản có liên quan đến các hàm này – thời gian kịch phát của quá trình và miền khảo sát của nghiệm. Đối với việc khảo sát tiệm cận ta sẽ cho b0 → ∞ và ρ/b0 → 0. Đối với nghiệm mẫu u (x, t), được biểu diễn qua công thức (5.108), điều này có nghĩa max u (x, 0) là đại lượng rất nhỏ, tức là tiến về 0 trong giới hạn đã cho, vì khi b0 → ∞ thì 58
a0 → −∞ và ρ = const. 1/3 p 2 Đặt z = (ρ/b0) và khai triển biểu thức z 1 − z − arcsin z trong công thức (5.155) theo lũy thừa của z, ta có p z2 z3 1 − z2 = 1 − + O z4 , arcsin z = z + + O z6 , (5.156) 2 6 từ đó ta có " 5 # " 5 # 2ρ ρ 3 π 2 1 ρ 3 D = − + O , t∞ = − + O . (5.157) 3b0 b0 ρ 3b0 ρ b0 Tương tự như trong độ gần đúng đã cho, xét phương trình chuyển động theo nửa quỹ đạo dương dựa trên công thức (5.153) trong giai đoạn cuối của quá trình, khi b (t) ρ. Đặt z = [ρ/b (t)]1/3 trong (5.153) và sử dụng khai triển (5.156) theo lũy thừa của z, ta tìm được 5 2 ρ 3 t = ρ−1 (π + D) − + O , (5.158) 3b b từ đây ta có 2 b = ρ(π + D − ρt)−1 (5.159) 3 Vì 2 2b˙ b˙ = ρ2(π + D − ρt)−2, a = , (5.160) 3 3b nên 2 a = ρ(π + D − ρt)−1. (5.161) 3 Ta sẽ xác định miền định xứ của nghiệm mẫu u (x, t) trong giai đoạn cuối của quá trình, khi ρ/b (t) 1. Miền định xứ này là một miền kín {x : u (x, t) > 0}. Vì u (x, t) đối xứng qua gốc O, nên miền định xứ là đoạn [−x∗ (t) , x∗ (t)], với x∗ (t) là nghiệm cực tiểu của phương trình u (x∗, t) = 0. Vì u (x, t) = a (t) + b (t) · cos (xL) nên a (t) + b (t) · cos (x∗L) = 0, (5.162) và vì vậy 1 a x = arccos − . (5.163) ∗ L b p 2 4/3 Vì a = b − C1b nên khi b (t) → ∞ thì ta có 59
p a b2 − C b4/3 lim = lim 1 = 1. (5.164) t→t∞ b b→∞ b Suy ra a (t) 1 π lim x∗ (t) = lim arccos − = arccos (−1) = . (5.165) t→t∞ t→t∞ b (t) L L Cho L = 1/2, ta tìm được x∗ = 2π. Như vậy [−2π; 2π] chính là đoạn giới hạn mà nghiệm mẫu xác định. Ta sẽ tính độ điều chỉnh (độ sai lệch) biểu thức đối với các hàm a (t) và b (t) trong xấp xỉ thứ nhất (xem các công thức (5.159) và (5.161)). Với mục đích này ta sẽ tìm các hạng tử của khai triển tiệm cận của biểu thức ẩn chứa hàm b (t) trên nửa quỹ đạo dương được cho bởi công thức (5.153). Vì p 1 1 1 3 1 − z2 → 1 − z2 − z4 + O z6 , arcsin z → z + z3 − z5 + O z7 (5.166) 2 8 6 40 khi z → 0 nên đặt z = [ρ/b (t)]1/3, ta có 5 7 2 1 ρ 3 ρ 3 t = t − − + O . (5.167) ∞ 3b 5ρ b b Xét biểu thức (5.159) đối với hàm số b (t) trong xấp xỉ thứ nhất, ta sẽ kí hiệu (0) (0) −1 là b (t), với b (t) = 2(t∞ − t) /3, còn độ điều chỉnh đối với số hạng tử chính của khai triển tiệm cận sẽ được kí hiệu là b(1) (t). Khi đó b (t) = b(0) (t) + b(1) (t). Để nhấn mạnh rằng sự điều chỉnh này có liên quan đến hạng tử cuối cùng của khai triển (5.167), đưa vào tham số nhỏ "hình thức" ε, khai triển (5.167) trở thành 5 2 ε ρ 3 t = t − − + O ε2 , (5.168) ∞ 3b 5ρ b và khai triển đối với b (t) là b (t) = b(0) (t) + εb(1) (t) . (5.169) Khi đó, đối với việc tìm sự điều chỉnh của xấp xỉ thứ nhất, ta cần phải giải phương trình (5.150) với độ chính xác đến bậc nhất theo ε. Khai triển hình thức theo lũy thừa của ε: (1) 1 1 1 b 2 = = − ε 2 + O ε , (5.170) b b(0) + εb(1) b(0) b(0) 5 " (1) # 5 2 ε ρ 3 2 1 b ε ρ 3 t = t∞ − − = t∞ − − ε 2 − (5.171) 3 b(0) + εb(1) 5ρ b(0) 3 b(0) b(0) 5ρ b(0) 60
5 (1) 2 ε ρ 3 2ε b ⇒ t − t∞ + + = 2 . (5.172) 3b(0) 5ρ b(0) 3 b(0) Từ biểu thức này ta tìm được hàm b(1) (t) và đặt ε – "tham số hình thức" - bằng 1, ta có 2 2 (1) 3 (0) 2 1 ρ 3 b = b t − t∞ + + . (5.173) 2 3b(0) 5b(0) b(0) 2 Từ công thức (5.159) suy ra b(0) = (t − t)−1, và từ đó ta có t − t = 3 ∞ ∞ 2 −1 − b(0) . Thay biểu thức vừa tìm được vào b(1), ta có 3 1 (1) 3 2 (0) 3 b = ρ 3 b . (5.174) 10 Suy ra, độ sai lệch (độ điều chỉnh) thực tế sẽ có bậc nhỏ cao hơn so với b(0), vì (1) − 2 2 b 3 2 (0) 3 3 3 3 = ρ 3 b = ρ (t − t∞) . (5.175) b(0) 10 10 2 Vì vậy hàm b (t) với độ chính xác vừa tìm được có dạng 2 3 3 3 b (t) = b(0) (t) 1 + ρ (t − t) . (5.176) 10 2 ∞ Lấy vi phân biểu thức nhận được đối với b (t) 2 1 ρ 3 b˙ = b˙(0) 1 − , (5.177) 10 b(0) với 2 3 2 b˙(0) = (t − t)−2 = b(0) , (5.178) 3 ∞ 2 ta thu được 2 2 3 1 ρ 3 b˙(0) = b(0) 1 − . (5.179) 2 10 b(0) Khi đó, theo công thức tổng quát (5.134) ta có 2 2 −1 2b˙ 1 ρ 3 3 ρ 3 a = = b(0) 1 − · 1 + (5.180) 3b 10 b(0) 10 b(0) 2 2 1 ρ 3 3 ρ 3 ⇒ a = b(0) 1 − · 1 − , (5.181) 10 b(0) 10 b(0) 61
từ đó ta tìm được biểu thức cuối cùng 2 23 3 ⇒ a (t) = b(0) (t) 1 − ρ (t − t) . (5.182) 5 2 ∞ 5.7 Trường hợp hai chiều Ta sẽ xây dựng nghiệm mẫu gần đúng đối với phương trình truyền nhiệt phi tuyến hai chiều. Ta sẽ tìm các nghiệm gần đúng phía trên và phía dưới bằng cách sử dụng nguyên lý cực đại để đưa phương trình về dạng một chiều. 5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm Xét phương trình một chiều h1 00 1 0 i u˙(x, t) = u2 + u2 + u2 (x, t), (5.183) 2 2x biểu diễn quá trình sinh ra các nghiệm đối xứng tâm của phương trình (5.25) trong không gian hai chiều trong hệ tọa độ cực khi thay r = x và xét trường hợp đơn giản nhất khi góc cực không thay đổi. Đối với phương trình này, cũng như phương trình (5.25) định lí tồn tại và duy nhất của nghiệm sẽ được thỏa mãn. Định lí 2. Cho u0 (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R sao cho u0 (x) → 0 khi |x| → ∞. Khi đó phương trình (5.183) có nghiệm duy nhất với mọi t > 0 sao cho u (x, 0) = u0 (x). Tương tự đối với phương trình (5.25) ta có khẳng định sau: Nếu như hàm số u0 (x) là hàm chẵn, thì nghiệm u(x, t) của bài toán Cauchy của phương trình (5.25) với hàm ban đầu u(x, 0) = u0(x) cũng là hàm chẵn theo biến x với mọi t > 0. Sự đúng đắn của khẳng định này được suy ra từ u (−x, t) là nghiệm của phương trình (5.25) (khi thực hiện đổi biến x → −x thì hàm không thay đổi). Khi đó u (−x, 0) = u0 (−x) = u0 (x). Theo nguyên lí tồn tại và duy nhất của nghiệm với điều kiện ban đầu ta có u (−x, t) = u (x, t). Ta sẽ chứng minh một nhận định quan trọng giúp ta so sánh nghiệm của bài toán hai chiều với nghiệm của bài toán một chiều. Giả sử u1 (x, t) là một nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (5.183) với hàm ban đầu u1 (x, 0) = u1 (−x, 0) là hàm chẵn và u2 (x, t) là một nghiệm của bài 62
toán Cauchy của phương trình (5.65) với hàm ban đầu u2 (x, 0) = u2 (−x, 0) cũng là hàm chẵn, và bất đẳng thức u2 (x, 0) > u1 (x, 0) > 0. (5.184) được thỏa mãn. Khi đó với mọi t > 0 sẽ tồn tại nghiệm u1 (x, t) của phương trình (5.25) sao cho bất đẳng thức sau được thỏa mãn u2 (x, t) > u1 (x, t) . (5.185) Chứng minh: Giả sử s là thời gian tối thiểu mà bất đẳng thức (5.185) vẫn còn được thỏa mãn, nghĩa là tồn tại ít nhất một điểm y sao cho 0 0 u1 (y, s) = u2 (y, s) , u1 (y, s) = u2 (y, s) , (5.186) và với một số gia nhỏ bất kì δ > 0 thì u1 (x, s + δ) > u2 (x, s + δ) , (5.187) với x ∈ (y − ε, y + ε) và ε là một số đủ nhỏ phụ thuộc vào δ. Ngoài ra, để bất đẳng thức (5.187) được thỏa mãn thì đòi hỏi bất đẳng thức sau đây phải thỏa mãn: 00 00 u2 (y, s) > u1 (y, s) . (5.188) Bởi vì các hàm u1 và u2 đều là các hàm chẵn nên các biểu thức (5.186), (5.187), (5.188) cũng thỏa mãn tại điểm −y, nghĩa là điểm −y cũng là một giao điểm của hai đồ thị u1 và u2. Lưu ý rằng theo như phương trình (5.183), hàm u1 phải thỏa mãn mối liên hệ 1 00 1 0 u˙ (y, s) = u2 + u2 + u2 (y, s) , (5.189) 1 2 1 2y 1 1 và trên cơ sở của phương trình (5.25), hàm u1 phải thỏa mãn mối liên hệ h1 00 i u˙ (y, s) = u2 + u2 (y, s) . (5.190) 1 2 2 1 Mối liên hệ tương tự cũng thỏa mãn đối với điểm −y. Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được ∂ 1 h 00 00i 1 0 (u − u )(y, s) = u2 − u2 − u2 + u2 − u2 (y, s) , (5.191) ∂t 2 1 2 2 1 2y 1 2 1 Đẳng thức tương tự vẫn đúng đối với điểm −y. Với tính chất của bất đẳng thức (5.186) và đẳng thức tương tự đối với điểm −y thì ta có ∂ 1 00 (u − u )(y, s) = u u00 − u00 (y, s) − u2 (y, s) , (5.192) ∂t 2 1 2 2 1 2y 1 63
0 và đẳng thức trên vẫn đúng đối với điểm −y. Vì hàm u1 là hàm chẵn nên u1 (y, s) điều này mâu thuẫn với giả định rằng các hàm u1 (x, t) và u1 (x, t) giao nhau tại điểm y (hoặc tại điểm −y). Sự mâu thuẫn này chứng minh rằng bất đẳng thức (5.185) luôn đúng với mọi giá trị của t. Một cách tương tự như trên, ta sẽ chứng minh được nhận định sau. Giả sử u1 (x, t) là một nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (5.183) với hàm ban đầu u1 (x, 0) = u1 (−x, 0) là hàm chẵn và u2 (x, t) là một nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (5.65) với hàm ban đầu u2 (x, 0) = u2 (−x, 0) cũng là hàm chẵn, và bất đẳng thức 0 6 u2 (x, 0) 6 u1 (x, 0) . (5.194) được thỏa mãn. Khi đó với mọi t > 0 sẽ tồn tại một nghiệm u2 (x, t) của phương trình (5.185) sao cho bất đẳng thức sau được thỏa mãn u2 (x, t) 6 u1 (x, t) . (5.195) Hệ quả của nhận định này là Nếu u (x, t) là một nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (5.183) với điều kiện ban đầu u (x, 0) là hàm chẵn và các hàm u± (x, t) là nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (5.25) với các hàm ban đầu u± (x, 0) là các hàm chẵn sao cho u− (x, 0) 6 u (x, 0) 6 u+ (x, 0) , (5.196) khi đó với mọi giá trị của thời gian t mà tại đó hàm u (x, t) hữu hạn thì bất đẳng thức sau được thỏa mãn: u− (x, t) 6 u (x, t) 6 u+ (x, t) . (5.197) 5.7.2 Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều Với cơ sở của những nhận định được chứng minh ở trên thì ta có thể xây dựng những nghiệm mẫu cho trường hợp hai chiều tương ứng của phương trình (5.65), ta sẽ tiến hành đánh giá nghiệm của bài toán này với nghiệm mẫu tương ứng của phương trình một chiều được suy ra từ phương trình (5.25). Theo định nghĩa, những nghiệm mẫu này là nghiệm của phương trình (5.183), với biến số x được thay thế bằng bán kính r 64
1 ∂ ∂u u˙ (r, t) = r (r, t) + u2 (r, t) , (5.198) 2r ∂r ∂r với điều kiện ban đầu có dạng một hàm số trơn chẵn bất kì u0 (r). Theo bất đẳng thức trên thì u− (r, t) 6 u (r, t) 6 u+ (r, t) , (5.199) với các hàm u± (r, t) được xác định bởi công thức (5.108), với biến số x được thay thế bằng bán kính r u± (r, t) = a± (t) + b± (t) · cos (rL±) . (5.200) Trong trường hợp này các hàm a− (t), b− (t) và tham số L− định nghĩa cho hàm u− (r, t) được cho bởi biểu thức (5.106), và các hàm a+ (t), b+ (t) và tham số L+ định nghĩa cho hàm u+ (x, t) được xác định bởi công thức (5.159) cũng như các biểu thức (5.176) và (5.182). 5.8 Xây dựng nghiệm dựa trên chuỗi lũy thừa Việc thu được nghiệm mẫu tường minh trong phần trước là khả thi do tính đơn giản của bài toán. Trong những trường hợp tổng quát hơn, ví dụ như khi xây dựng các nghiệm của phương trình truyền nhiệt phi tuyến trong trường hợp hai chiều và ba chiều thì phương trình của các hàm xác định sự phụ thuộc của nghiệm mẫu vào các tọa độ không gian không còn có nghiệm tường minh trong các phép toàn phương. Vì thế việc phát triển một phương pháp xấp xỉ để xác định nghiệm mẫu và thành lập các tính chất định lượng của nghiệm trên cơ sở của nó là điều rất quan trọng. Một cách tiếp cận tự nhiên theo hướng này là phương pháp khai triển nghiệm theo dạng các chuỗi lũy thừa. Trong phần này ta sẽ chứng minh rằng có thể tiếp cận bài toán xác định nghiệm mẫu trên cơ sở chuỗi lũy thừa. Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (5.27) theo dạng ∞ X n u (x, t) = an (t) x . (5.201) n=0 Khi đó ∞ n 2 X n X u (x, t) = x ak (t) an−k (t), (5.202) n=0 k=0 ∞ n+2 d2 X X ⇒ u2 (x, t) = xn (n + 2) (n + 1) a (t) a (t). (5.203) dx2 k n+2−k n=0 k=0 65
Thay những khai triển này vào phương trình (5.27), ta thu được ∞ ∞ n+2 ∞ n X 1 X X X X xna˙ (t) = xn (n + 1) (n + 2) a (t) a (t) + xn a (t) a (t). n 2 k n+2−k k n−k n=0 n=0 k=0 n=0 k=0 (5.204) So sánh các hệ số của các số hạng x có cùng số mũ ở hai vế của phương trình, ta sẽ tìm được rằng các hệ số an (t) với n = 0, 1, 2, phải thỏa mãn một hệ thống vô hạn các phương trình vi phân thường n+2 n 1 X X a˙ (t) = (n + 1) (n + 2) a (t) a (t) + a (t) a (t). (5.205) n 2 k n+2−k k n−k k=0 k=0 Chú ý rằng mỗi phương trình thứ n của hệ đều bao gồm các số (n + 1) và (n + 2): 2 2 a˙ 0 (t) = 2a0 (t) a2 (t) + a0 (t) + a1 (t) , (5.206) a˙ 1 (t) = 6 [a0 (t) a3 (t) + a1 (t) a2 (t)] + 2a0 (t) a1 (t) , (5.207) a˙ n (t) = (n + 1) (n + 2) [a0 (t) an+2 (t) + a1 (t) an+1 (t)] + n n 1 X X + (n + 1) (n + 2) a (t) a (t) + a (t) a (t), n = 1, 2, 3, 2 k n+2−k k n−k k=2 k=0 (5.208) Vì thế, ta chỉ cần chọn một cách tùy ý hai hàm đầu tiên a0 (t) và a1 (t), còn tất cả những hàm còn lại đều được xác định bằng hệ thức truy hồi 1 2 2 a2 = a˙ 0 − a0 − a1 , (5.209) 2a0 ( n 1 X an+2 = a˙ n − akan−1 (n + 1) (n + 2) a0 k=0 (5.210) " n #) 1 X − (n + 1) (n + 2) a a + a a . 2 1 n+1 k n+2−k k=2 Điều này giúp ta biểu diễn tất cả các hệ số an (t) , n ∈ R qua a0 (t) cho trước. Với hàm a0 (t) đã biết này thì ta có thể tìm được tất cả các hệ số an (t) , n ∈ R và từ đó ta có thể xây dựng một nghiệm của phương trình (5.27) theo dạng của chuỗi lũy thừa (5.201), miễn là chuỗi này hội tụ. Tất cả các nghiệm trơn của phương 66
trình (5.27) và cụ thể là những nghiệm mẫu với các tính chất đã cho có thể thu được bằng phương pháp này. Để thu được một nghiệm thỏa mãn điều kiện tồn tại 0 của điểm x∗ (t) sao cho u (x∗ (t) , t) = 0, u (x∗ (t) , t) = 0 với các hệ số an (t) được xác định theo biểu thức (5.210) sao cho đồng nhất thức sau thỏa mãn ∞ ∞ X n X n an (t) x∗ (t) = 0, (n + 1) an+1 (t) x∗ (t) = 0. (5.211) n=0 n=0 Nghiệm của bài toán này rất phức tạp và việc tìm nghiệm cũng rất khó khăn. Thay vào đó, trong luận văn này ta sẽ giải một bài toán đơn giản hơn - làm cách nào mà việc giải một hệ các phương trình (5.201) có thể tìm được một nghiệm mẫu theo dạng (5.106). Để giải quyết bài toán này thì theo (5.106) ta cần giả thiết rằng tất cả các hệ số an (t) đều tỉ lệ với hệ số a0 (t), điều này nghĩa là an (t) = µna0 (t) , n ∈ N, a˙ 0 (t) = λa0 (t) . (5.212) Thay các biểu thức này vào phương trình (5.210) ta có 2 2 a˙ 0 = 2µ2 + µ1 + 1 a0 (t) , (5.213) 2 µ1a˙ 0 = [6 (µ3 + µ1µ2) + 2µ1] a0 (t) , (5.214) " µna˙ 0 = (n + 1) (n + 2) (µn+2 + µn+1µ1) + n n # 1 X X + (n + 1) (n + 2) µ µ + µ µ a2 (t) , n = 1, 2, 3, . 2 n+2−k k n−k k 0 k=2 k=2 So sánh các hệ số của tất cả các phương trình của hệ, ta thu được hệ các phương trình cho một bộ các hệ số tỷ lệ với nhau như sau 2 λ = 2µ2 + µ1 + 1, (5.215) λµ1 = 6 (µ3 + µ1µ2) + 2µ1, (5.216) λµn = (n + 1) (n + 2) (µn+2 + µn+1µ1) + n n 1 X X + (n + 1) (n + 2) µ µ + µ µ , n = 1, 2, 3, (5.217) 2 n+2−k k n−k k k=2 k=2 Trong hệ phương trình này, hai đại lượng λ và µ1 có thể được chọn một cách tùy ý. Dựa vào hệ phương trình này, ta có thể xác định tất cả các hệ số µn, n = 1, 2, 3, Cuối cùng, giá trị của µ1 được chọn từ điều kiện tiếp xúc của nghiệm mức không bởi nghiệm (5.201). 67
5.9 Thảo luận về phương pháp giải Tiếp theo, ta sẽ khái quát hóa phương pháp xây dựng nghiệm mẫu áp dụng cho những bài toán về giá trị biên và giá trị ban đầu trong trường hợp hai chiều và ba chiều liên quan đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến với nguồn nhiệt phân bố, vì bài toán này được quan tâm nhiều trong các ứng dụng của vật lý lý thuyết. Ta sẽ xét, ví dụ như một phương trình hai chiều tương tự như phương trình (5.27): 1 ∂ ∂U 1 ∂2U 2 1 ∂ U˙ = Ur + U 2 = + U 2 + U 2, (5.218) r ∂r ∂r 2 ∂r2 2r ∂r với r là bán kính vector trong hệ tọa độ cực. Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này theo dạng của khai triển lũy thừa theo biến r ∞ X n U (r, t) = an (t) r , (5.219) n=0 với a1 (t) ≡ 0, khi đó ∞ n 2 X n X U (r, t) = r ak (t)an−k (t) , (5.220) n=0 k=0 và từ đó ∞ n ∞ n+1 ∂ X X X X U 2 (r, t) = nrn−1 a (t)a (t) = (n + 1) rn a (t)a (t) , ∂r k n−k k n+1−k n=0 k=0 n=0 k=0 (5.221) ∞ n ∂2 X X U 2 (r, t) = n (n − 1) rn−2 a (t)a (t) ∂r2 k n−k n=2 k=0 ∞ n+2 X n X = (n + 1) (n + 2) r ak (t)an+2−k (t) , (5.222) n=0 k=0 ∞ n+2 1 ∂ X X ⇒ U 2 (r, t) = (n + 2) rn a (t)a (t) . (5.223) r ∂r k n+2−k n=0 k=0 Thay những khai triển trên vào phương trình (5.218) và so sánh các hệ số của cùng số mũ của rn, ta tìm được 68
n+2 n+2 n 1 X 1 X X a˙ = (n + 1) (n + 2) a a + (n + 2) a a + a a n 2 k n+2−k 2 k n+2−k k n−k k=0 k=0 k=0 n+2 n 1 X X = (n + 2)2 a a + a a , (5.224) 2 k n+2−k k n−k k=0 k=0 với n ∈ N+. Giống như đối với trường hợp một chiều thì trong hệ phương trình này, mỗi phương trình thứ n đều chứa các số hạng (n + 2). Ví dụ như 2 a˙ 0 (t) = 2a0 (t) a2 (t) + a0 (t) . (5.225) Để cho hệ số a˙ 1 bằng không thì ta cần phải đặt a3 (t) = 0. Với n = 2 ta thu được 2 a˙ 2 (t) = 8 2a0 (t) a4 (t) + a2 (t) + 2a0 (t) a2 (t) . (5.226) Bằng việc giải hệ phương trình này, ta thu được tất cả các hệ số của lũy thừa lẻ của r đều bằng không, và hàm a2(n+1) (t) sẽ xuất hiện trong vế phải của phương trình vi phân đối với a2n (t), mà số hạng này lại có thể được biểu diễn theo những hàm đã được xây dựng trước đó a2 (t) , , a2n (t). Vì thế, việc xây dựng nghiệm mẫu theo dạng chuỗi lũy thừa có thể được thực hiện một cách tương tự. Với một hàm a0 (t) bất kì, ta có thể tìm tất cả các hàm an (t) , n ∈ N bậc cao hơn bằng cách sử dụng hệ thức truy hồi ở dạng đại số. Phương pháp xây dựng nghiệm theo dạng chuỗi lũy thừa được trình bày ở trên có thể được sử dụng để xây dựng và nghiên cứu những nghiệm mẫu cho phương trình truyền nhiệt phi tuyến hai chiều. 69
Kết luận Về nội dung, luận văn đã trình bày một cách khái quát về các dạng phương trình vi phân phi tuyến đơn giản khác nhau từ bậc nhất đến bậc ba cùng với việc nghiên cứu sâu phương trình truyền nhiệt phi tuyến cho bài toán bùng nổ trong chất bán dẫn, từ đó luận văn đã giới thiệu những phương pháp được sử dụng một cách hiệu quả để giải những dạng phương trình vi phân phi tuyến này. Bên cạnh đó, luận văn còn tập trung khai thác những tính chất được thể hiện qua những tham số và các nghiệm thu được thông qua những nhận xét, hình biểu diễn, đồ thị nhằm làm bật lên ý nghĩa vật lý của những hiện tượng xảy ra trong tự nhiên. Cuối cùng, luận văn giới thiệu phương trình truyền nhiệt hai chiều và đưa ra hướng giải mà chúng tôi sẽ cố gắng thực hiện trong những nghiên cứu tiếp theo. Về hình thức, luận văn đã trình bày một hệ thống lý thuyết logic, khoa học cùng với những ví dụ minh họa một cách đơn giản, dễ hiểu với người đọc, nhất là đối với những người bước đầu tiếp cận với phương trình vi phân phi tuyến. Vì vậy nên những kết quả mà luận văn thu được phù hợp với các nhiệm vụ và mục tiêu ban đầu đã đề ra. 70
Kiến nghị cho những nghiên cứu tiếp theo Với mục tiêu ban đầu đã đề ra, luận văn chỉ mới giới thiệu những phương trình vi phân phi tuyến đơn giản cùng với những phương pháp giải truyền thống. Vì thế nên những nghiên cứu kế tiếp sẽ tiếp cận với những dạng phương trình vi phân phi tuyến phức tạp hơn đòi hỏi phải sử dụng đến những phương pháp giải mới được đề ra những năm gần đây như phương pháp sử dụng lý thuyết điểm bất động trong hình nón, phương pháp sử dụng đến máy tính điện tử, hay phương pháp tham biến bé, Do giới hạn về phạm vi nghiên cứu nên luận văn chỉ mới tập trung trình bày các phương trình vi phân phi tuyến một chiều. Vì vậy mà hướng phát triển tiếp theo của luận văn là khai thác những phương trình vi phân phi tuyến hai chiều, ba chiều, Ngoài ra, những nghiên cứu tiếp theo của luận văn vẫn sẽ hướng đến việc đưa ra những ví dụ mô tả những hiện tượng tự nhiên quen thuộc cùng với việc phân tích những tính chất và ý nghĩa vật lý tương ứng. 71
Tài liệu tham khảo [1] Lê Viết Chiến (2009). Điều kiện đủ để ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian. Đại học Vinh. [2] Phạm Thanh Sơn (2010). Phương trình sóng phi tuyến tính chứa số hạng nhớt phi tuyến. Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. [3] Nguyễn Thị Thanh (2014). Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến. Đại học Sư phạm Hà Nội 2. [4] Tran Duc Van, Nguyen Duy Thai Son, M.Tsuji (2000). The Characteristic Method and Its Generalizations for First-order Nonlinear Partial Differential Equations. Boca Raton, New York: Chapman & Hall/CRC. [5] Bertsch M., Kersner R., Peletier L.A (1985). Positivity versus localization in degenerate diffusion equations, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 9, pp.987-1008. [6] Galaktionov V. A., S. A. Posashkov (1989). On New Exact Solutions of Parabolic Equations with Quadratic Nonlinearities. Zhurnal Vychislitel’noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, 29 (4), pp.497–506. [7] Haberman R. (2004). Elementary Applied Partial Differential Equations with Fourier Theory and Boundary Value Problems. Englewood Ciffs, N.J.: Pear- son/Prentice Hall. [8] Ladyzhenskaya O. (1985). The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. New York: Springer. [9] Polyanin A.D., Zaitsev V.F (2004). Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations / A.D. Polyanin. Boca Raton, New York: Chapman & Hall/CRC. [10] Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P (1995). Blow up in Problems for Quasilinear Parabolic Equations. Berlin, Germany: Walter de Gruyter. [11] Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A (1996). Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation. I. Gen- eral theory. Functional Materials, 3 (1), pp.5-11. 72
[12] Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A (1996). Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation. II. One- dimensional model analysis. Functional Materials, 3 (3), pp.312-319. [13] Zaitsev V.F., Polyanin A.D (1996). Handbook of Partial Differential Equa- tions: Exact Solutions. Moscow, Russia: Mezhdunarodnaya Obrazovaniya. 73