Khóa luận Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ lý thuyết

Nội dung text: Khóa luận Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ lý thuyết

1. TRƢỜNG Đ ẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ CHU THỊ HẰNG ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2017
2. LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa Vật lý và các thầy, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tôi trong những năm học tai Khoa Vật lý và tạo điều kiện cho tôi làm khóa luận này. Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình, chu đáo của cô giáo PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN, cùng các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Trong quá trình nghiên cứu, bản thân tôi là một sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy, tôi mong được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Chu Thị Hằng
3. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu, bên cạnh đó em nhận được sự quan tâm và tạo điều kiện của thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu có ghi trong phần Tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT” không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm ! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Chu Thị Hằng
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Bố cục của đề tài 2 CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4 1.1. Khái niệm về liên kết 4 1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết 4 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 9 1.2. Tọa độ suy rộng 11 1.3. Liên kết lí tưởng 13 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC 19 2.1. Phương trình tổng quát của động lực học 19 2.2. Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng . 19 2.3. Nguyên lý D’ Alambert 25 CHƢƠNG 3: ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT 26
5. 3.1. Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ học lý thuyết 26 3.2. Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập 38 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý, thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định. Bằng các phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học các nhà vật lý lý thuyết đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá các định luật, quy luật mới. Cơ học lý thuyết là một bộ phận của vật lý lý thuyết, nó nghiên cứu về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực. Thực tế một số lớn các lực là những đại lượng biến đổi và có thể phụ thuộc vào nhiều tham số. Quy luật chuyển động của vật thể phụ thuộc vào hình dáng, kích thước, khối lượng của vật và các lực tác dụng lên nó. Động lực học là một phần của cơ học nghiên cứu các quy luật chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực. Trong phần động lực học ta có thể sử dụng các phương trình tổng quát để tìm ra các định luật, các phương trình mới, . giúp người đọc có thêm kiến thức mới trong việc giaỉ quyết các bài tập. Việc vận dụng các phương trình tổng quát để giải bài tập trong cơ lý thuyết là một yếu tố quan trọng đối với người đọc. Nó giúp người đọc được hiểu sâu hơn về lý thuyết, các tính chất, bản chất của sự vật hiện tượng; phát triển khả năng tư duy, sáng tạo trong học tập. Với những lý do trên em đã quyết định và lựa chọn nghiên cứu đề tài “Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ lý thuyết”. 1
7. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các phương trình tổng quát của động lực học. - Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ lý thuyết 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết. - Các phương trình tổng quát viết cho cơ hệ có chịu liên kết. - Áp dụng phương trình tổng quát để giải quyết một số bài toán về cơ hệ có chịu liên kết. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các phương trình tổng quát của động lực học và áp dụng vào một số bài tập trong cơ học lý thuyết. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp của vật lý lý thuyết. - Phương pháp cơ học. - Phương phán giải tích. 6. Bố cục của đề tài Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản 1.1. Khái niệm về liên kết 1.2. Tọa độ suy rộng 1.3. Liên kết lý tưởng Chƣơng 2: Phƣơng trình tổng quát của động lực học 2.1. Phương trình tổng quát của động lực học 2.2. Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng 2.3. Nguyên lý D’ Alambert 2
8. Chƣơng 3: Áp dụng phƣơng trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ học lý thuyết 3.1. Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ học lý thuyết 3.2. Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập 3
9. CHƢƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Khái niệm về liên kết 1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết Ta hãy xét một cơ hệ gồm N chất điểm chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điểm trong không gian được xác định bởi bán kính véctơ ⃗⃗ hay ba tọa độ Đềcác . Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần xác định N bán kính véctơ ⃗⃗ , hay 3N tọa độ Đề- các . Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ được gọi là số bậc tự do của nó. Cơ hệ được gọi là cơ hệ tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ hệ có thể chiếm những vị trí bất kỳ trong không gian và có những vận tốc bất kỳ. Nói khác đi, cơ hệ tự do thì vị trí và vận tốc của những chất điểm của cơ hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện nào. Số bậc tự do của cơ hệ tự do của hệ gồm N chất điểm ở trên là 3N. Cơ hệ gồm Mặt trời và các hành tinh là một ví dụ về cơ hệ tự do. Trong thực tế ta thường gặp cả những cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm tạo thành nó bị hạn chế bởi những điều kiện nào đó. Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết. Những điều kiện này không phụ thuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động. Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm nối với nhau bằng một thanh có độ dài là một cơ hệ không tự do. Sáu tọa độ Đề-các xác định vị trí hai chất điểm phải thỏa mãn điều kiện: 4
10. Do đó những tọa độ Đề-các này không phải là những thông số độc lập vì giữa chúng có mối liên hệ với nhau bởi phương trình (1.1). Chỉ có 5 trong 6 tọa độ Đề-các này là độc lập. Vậy cơ hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi có 5 bậc tự do. Nếu cơ hệ gồm ba chất điểm không nằm trên một đường thẳng và khoảng cách giữa các chất điểm là không đổi thì 9 tọa độ Đề-các xác định vị trí của ba chất điểm phải thỏa mãn ba điều kiện: { Chín tọa độ Đề-các liên hệ với nhau bởi ba phương trình (1.2) nên chỉ có 6 trong 9 tọa độ Đề-các là độc lập. Số bậc tự do của cơ hệ gồm ba chất điểm không nằm trên một đường thẳng mà khoảng cách giữa các chất điểm không thay đổi là 6. Vị trí của vật rắn trong không gian được xac định bởi ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Ba điểm như vậy có 6 bậc tự do. Vì vậy vật rắn chuyển động bất kỳ trong không gian có 6 bậc tự do. Ta xét trường hợp đặc biệt khi vật rắn là quả cầu lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang (hình 1). Chọn gốc tọa độ là một điểm nằm trên mặt phẳng, trục Oz vuông góc với mặt phẳng và hướng từ dưới lên trên, là vị trí khối tâm của quả cầu đồng chất, là hai điểm bất kì của vật rắn. Chín tọa độ Đề-các xác định vị trí của ba điểm phải thỏa mãn ba phương trình (1.2) và phương trình: 5
11. trong đó a là bán kính quả cầu. Vậy số z bậc tự do của quả cầu là 5. Vì quả cầu lăn không trượt (vận tốc tại điểm tiếp xúc của quả cầu và mặt phẳng ngang bằng không) nên ngoài bốn phương a trình mô tả sự hạn chế vị trí của quả O x cầu, còn có thêm một phương trình mô Hình 1 tả sự hạn chế vận tốc khối tâm của nó: [ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] trong đó ⃗ là véctơ đơn vị hướng theo trục Oz và ⃗⃗ là vận tốc góc quay của quả cầu. Những phương trình (1.1) – (1.4) gọi là những phương trình liên kết. Nếu thay đổi theo thời gian thì phương trình liên kết phụ thuộc vào thời gian. Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi k phương trình (ta không kể đến các trường hợp bất phương trình): ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ hay viết dưới dạng tương đương: ̇ ̇ ̇ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ) 6
12. Để tiện việc trình bày ta viết những phương trình này dưới dạng ngắn gọn: ̇ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) Trường hợp đặc biết, khi các phương trình liên kết không phụ thuộc vào vận tốc ⃗⃗ thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học. Đối với liên kết hình học ta có: ⃗⃗ Những phương trình liên kết (1.7) phụ thuộc vào vận tốc ⃗⃗ biểu diễn những liên kết động học đặt lên cơ hệ. Trong thực tế ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi n phương trình liên kết hình học (1.8) và m phương trình liên kết động học có dạng: ̇ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ∑( ̇ ̇ ̇ ) hay ( ⃗⃗ ⃗⃗ ̇ ) ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ trong đó là những hàm của ⃗⃗ và là ba hình ⃗⃗⃗⃗⃗ chiếu của véctơ trên các trục tọa độ Đề-các. Những phương trình (1.9) có thể viết dưới dạng tương đương: 7
13. ⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗ Vi phân đẳng thức (1.8) ta được: ∑ ⃗⃗ ⃗⃗ Phương trình (1.11) biểu diễn liên kết động học, tương đương với liên kết hình học (1.8) vì tích phân phương trình (1.11) cho ta: ⃗⃗ hay ⃗⃗ Trong đó C là hằng số tùy ý. Liên kết động học (1.11) gọi là liên kết động học tích phân được. Đối với liên kết động học tích phân được ta có thể dẫn nó về liên kết hình học. Tuy nhiên không phải mọi liên kết động học là những liên kết động học tích phân được. Nếu vế trái của phương trình (1.10) không thể biểu diễn qua vi phân toàn phần của một hàm nào đó của các biến số thì liên kết động học như vậy gọi là liên kết động học không tích phân được. Phương trình (1.4) là một ví dụ về phương trình liên kết động học không tích phân được, vì ⃗⃗ trong trường hợp tổng quát không phải là vi phân toàn phần của một tọa độ nào đó. Cơ hệ tự do, cơ hệ chịu liên kết hình học hay liên kết động học tích phân được gọi là cơ hệ Hôlônôm. Đối với cơ hệ Hôlônôm liên kết đặt lên nó luôn luôn có thể biểu diễn bằng những phương trình (1.8) 8
14. Cơ hệ chịu liên kết động học không tích phân được có thể biểu diễn bằng những phương trình (1.9) được gọi là cơ hệ không Hôlônôm. Xét cơ hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt lên cơ hệ được xác định bởi k phương trình (1.9) và m phương trình (1.8), trong 3N toạ độ xi, yi, zi (i=1,2, ,N) xác định vị trí của cơ hệ chỉ có toạ độ là độc lập. Số toạ độ độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do của cơ hệ. 1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo Một tập hợp những véctơ dịch chuyển vô cùng bé thỏa mãn các phương trình liên kết (1.10) và (1.11) gọi là những dịch chuyển khả dĩ hay những dịch chuyển có thể. Ví dụ: Chất điểm chuyển động trên một mặt bàn phẳng cho ⃗⃗ 푖 trước (hình 2). Mặt bàn là liên kết đặt M N lên chất điểm. Ở thời điểm t vị trí của chất điểm là M được xác định bởi bán ⃗⃗ 푖 ⃗⃗ 푖 ⃗⃗ 푖 kính véctơ ⃗⃗ . Ở thời điểm t + dt vị trí của chất điểm là N được xác định bởi bán kính véctơ O Hình 2 ⃗⃗ ⃗⃗ . Các vị trí M và N nằm trên mặt bàn đều là những vị trí có thể có của chất điểm M. Véctơ dịch chuyển ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ là véctơ dịch chuyển khả dĩ. Có thể tìm được nhiều điểm N nằm trong mặt phẳng của bàn cạnh điểm M cho nên qua điểm M trên mặt bàn ta xây dựng được nhiều véctơ dịch chuyển khả dĩ. 9
15. Các dịch chuyển thực ⃗⃗ của các chất điểm cũng thỏa mãn các phương trình liên kết (1.10) và (1.11).Vì vậy dịch chuyển thực ⃗⃗ của chất điểm là một trong những dịch chuyển khả dĩ. Giả sử tại thời điểm t ta lấy hai hệ thống véctơ dịch chuyển khả dĩ ⃗⃗⃗푖 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 훿 ⃗⃗ 푖 (hình 3).Hiệu hai véctơ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ là M N một véctơ vô cùng bé và được kí hiệu ⃗⃗ 푖 bằng ⃗⃗ . Tập hợp những véctơ Hình 3 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ gọi là những véctơ dịch chuyển ảo. Liên kết hình học và liên kết động học có thể viết chung dưới dạng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ (1.13) Trong đó ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ là những hàm của ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ Nếu ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ không phụ thuộc tường minh vào thời gian và hay (Hay f 0;g 0) thì liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng. t  Các véctơ dịch chuyển khả dĩ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ thỏa mãn những phương trình liên kết: ∑ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ 10
16. ∑ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ Trừ các phương trình (1.13) cho các phương trình (1.14), ta được: ∑ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ hay ∑ trong đó là ba hình chiếu của véctơ trên các trục x, y, z. 1.2. Tọa độ suy rộng Để đơn giản ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình: Nếu n phương trình liên kết này độc lập thì trong số 3N tọa độ Đề-các có tọa độ độc lập. Vậy muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập. Ta kí hiệu s thông số độc lập là . Những thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí củ cơ hệ được gọi là những tọa độ suy rộng. Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ. 11
17. Giữa tọa độ suy rộng và các bán kính véctơ có mối liên hệ được biểu diễn bởi các phương trình sau: ⃗⃗ (1.19) hay y Ví dụ: Ta xét chuyển động của một chất điểm trên đường tròn xác R M 휑 định có bán kính R. Đường tròn là liên O x kết đặt lên chất điểm được biểu diễn bằng phương trình liên kết: Hình 4 Số tọa độ độc lập là một. Ta có thể chọn hoặc x. hoặc y, hoặc góc làm tọa độ suy rộng. Nếu chọn góc làm tọa độ suy rộng thì ta có: Nói chung, với một bài toán cơ học nhất định, có nhiều cách chọn tọa độ suy rộng khác nhau. Tùy theo tính chất của bài toán mà ta cần chọn hệ tọa độ suy rộng thích hợp để giải bài toán được thuận lợi hơn. Chẳng hạn bài toán có tính đối xứng cầu thì chọn hệ tọa độ suy rộng là hệ tọa độ cầu là thích hợp nhất. Nếu bài toán có tính đối xứng trụ, thì chọn hệ tọa độ trụ làm hệ tọa độ suy rộng là thích hợp nhất. 12
18. 1.3. Liên kết lí tưởng Giải sử có chất điểm chuyển động dưới tác dụng của lực ⃗⃗ . Nếu chất điểm chuyển động tự do, thì theo định luật II Niutơn, ta có: ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (1.20) ⃗⃗⃗ Khi có liên kết đặt lên hệ thì gia tốc ⃗⃗⃗⃗ có thể không thỏa mãn các phương trình liên kết. Thật vậy, lấy đạo hàm bậc hai của phương trình (1.18) theo thời gian t, ta nhận được những phương trình mô tả sự hạn chế gia tốc của những chất điểm của cơ hệ: ∑ ⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Gia tốc ⃗⃗⃗⃗ có thể không thỏa mãn những phương trình (1.21). Điều ấy có nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm một lực nào đó gọi là phản lực liên kết. Kí hiệu phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm là ⃗⃗⃗ thì phương trình chuyển động của chất điểm không tự do có dạng: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Để phân biệt với phản lực ⃗⃗⃗ , ta gọi lực ⃗⃗ là hoạt lực hay lực hoạt động. Chiếu phương trình véctơ (1.23) lên các trục tọa độ Đề-các ta được: 13
19. ̈ { ̈ ̈ Nếu chưa biết được tính chất của các liên kết đặt lên cơ hệ thì từ 3N phương trình vô hướng (1.23) và k phương trình liên kết (1.18) ta chưa đủ để xác địn 6N đại lượng vô hướng vì số đại lượng vô hướng lớn hơn số phương trình vô hướng (6N > 3N + k). Để giải được bài toán động lực học của cơ hệ không tự do cần phải có them 6N đại lượng . Ta có thể nhận được hệ thức này nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết lý tưởng. Liên kết gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết dặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: ∑ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∑( ) Trong 3N đại lượng vô hướng có s đại lượng độc lập và 3N – s = k đại lượng phụ thuộc. Vì vậy trong đẳng thức (1.25) ta biểu diễn k đại lượng phụ thuộc này qua s đại lượng độc lập nói trên và đặt các hệ số của các đại lượng độc lập bằng không. Khi đó ta nhận được hệ thức giữa các đại lượng và như vạy bài toán về động lực học của cơ hệ không tự do về nguyên tắc đã được giải quyết. Những ví dụ về liên kết lý tưởng thường gặp trong thực tế ⃗⃗ Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động trên một mặt nhẵn (không ma 훿 ⃗⃗ sát) thì phản lực liên kết vuông góc Hình 5 14
20. với dịch chuyển ảo nên ⃗⃗ (Hình 5). Ví dụ 2: Hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bởi một thanh có độ dài không đổi và khối lượng của thanh bỏ qua(Hình 16.2) thanh là liên kết đặt lên hai chất điểm. ⃗⃗ ⃗⃗ Gọi ⃗⃗ ⃗⃗ là phản lực liên M1 M2 kết do thanh tác dụng lên chất điểm thứ nhất và thứ hai. Theo định luật III NiuTơn, chất điểm M1 và M2 sẽ tác dụng lên thanh O những lực ⃗⃗ ⃗⃗ Hình 6 Khối tâm của thanh sẽ chuyển động theo phương trình: ⃗⃗ Trong đó m là khối lượng của thanh, ⃗⃗ là gia tốc khối tâm của thanh. Vì khối lượng của thanh bỏ qua nên và do đó ⃗⃗ ⃗⃗ Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi dịch chuyển ảo bằng: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ Nếu ⃗⃗ , trong đó C là hằng số thì: ⃗⃗ ⃗⃗ .Những liên kết đặt lên vật rắn kiểu như vậy là liên kết lý tưởng. Ví dụ 3: Hai vật rắn nối liền với nhau bằng một bản lề mà khối lượng và kích thước của bản lề có thể bỏ qua. 15
21. Gọi ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là những bán kính vectơ xác định vị trí tiếp xúc của vật thứ nhất và vật thứ hai đối với bản lề (Hình 16.3). Vì kích thước của bản lề bé nên có thể coi ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1 2 Gọi ⃗⃗ ⃗⃗ là những phản lực liên kết do bản lề tác dụng lên vật thứ O Hình 7 nhất và vật thứ hai. O Theo định luật III NiuTơn vật thứ nhất và vật thứ hai tác dụng lên bản lề những lực: ⃗⃗ ⃗⃗ Phương rình chuyển động của bane lề có dạng: ⃗⃗ Trong đó m là khối lượng của bản lề. Vì m bỏ qua nên , và ta có ⃗⃗ ⃗⃗ Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi di chuyển ảo bằng: ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) Ví dụ 4: Vật rắn quay quanh một điểm cố định O. Vì điểm đặt của phản lực liên kết không dịch chuyển nên ⃗⃗ Ví dụ 5: Một vật rắn lăn không trượt trên mặt một vật rắn khác (hình 8). Điểm tiếp xúc M giữa hai vật có vận tốc tương đối bằng không. Điểm M chính là điểm đặt của phản lực liên 16
22. ⃗⃗ kết do vật thứ hai tác dụng lên vật ⃗⃗ thứ nhất. Đối với liên kết dừng 1 f 0 thì những vectơ dịch chuyển t M có thể và những vectơ dịch 2 chuyển ảo đều thỏa mãn những phương trình: Hình 8 ∑ ∑ Vậy đối với liên kết dừng thì dịch chuyển ảo trùng với dịch chuyển có thể ⃗⃗⃗ . Tại điểm tiếp xúc M ta có nên ⃗⃗⃗ . Vậy ⃗⃗ Trong thực tế, một máy dù phức tạp đến đâu cũng cấu tạo từ những cặp vật rắn theo các kiểu sau đây. Hoặc hai vật rắn liên kết với nhau bằng thanh rắn, hoặc chuyển động quanh một điểm cố định, hoặc tiếp xúc với nhau bằng bề mặt của chúng. Một máy phức tạp như vậy có thẻ khảo sát như một cơ hệ chịu những liên kết lý tưởng đặt lên nó. Chú ý: Trong thực tế không phải ⃗⃗ mọi liên kết đều là liên kết lý tưởng. 푅⃗ Ví dụ một vật rắn trượt trên mặt một vật rắn khác có ma sát. 훿 Trong trường hợp này phản lực liên 퐹⃗⃗⃗ 푠⃗⃗⃗ kết ⃗ không vuông góc với dịch hình 9 chuyển ảo (hình 9). 17
23. Ta có thể phân tích phản lực ⃗ thành hai thành phần ⃗⃗ và ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . Thành phần ⃗⃗ vuông góc với dịch chuyển ảo nên ⃗⃗ , còn thành phần song song với dịch chuyển ảo chính là lực ma sát ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , giá trị của lực ma sát tỉ lệ, ta có thể coi lực ma sát như lực chủ động đã biết. Như vậy tác dugnj liên kết không lý tưởng bất kỳ lên cơ hệ tương đương với tác dụng của liên kết lý tưởng và một lực chủ động bằng lực ma sát. 18
24. CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC 2.1. Phƣơng trình tổng quát của động lực học Chúng ta xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lý tưởng đặt lên nó. Phương trình chuyển động của chất điểm I của cơ hệ có dạng: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ hay ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Từ điều kiện: ∑ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∑( ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ Phương trình (2.2) được gọi là phương trình tổng quát của động lực học. 2.2. Phƣơng trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng còn được gọi là phương trình Lagrangiơ loại II. Xuất phát từ phương trình tổng quát của động lực học (2.2) ta thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong hệ toạ độ suy rộng. 19
25. Trước hết ta biểu diễn dịch chuyển ảo qua biến thiên của toạ độ suy rộng. Giả sử có toạ độ suy rộng, trong đó t là biến số thời gian, là thông số. Khi thì xác định vị trí thực của cơ hệ trong không gian. Khi thì toạ độ suy rộng xác định vị trí có thể có của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó. Ứng với những giá trị α khác nhau ta có những vị trí có thể có khác nhau của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó. Dạng của hàm q thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số α thay đổi được xác định bằng: (2.3) Đại lượng  qt gọi là biến thiên của toạ độ suy rộng qt . Dễ dàng thấy rằng: (2.4) ( ) ̇ Và ⃗⃗ ⃗⃗ ∑ ∑ (2.5) Đặt biểu thức từ (2.5) vào phương trình (2.2) ta nhận được: ∑ (2.6) Trong đó: ∑ ⃗⃗ (2.7) 20
26. ∑ ⃗⃗ (2.8) Công nguyên tố của những lực chủ động đối với mọi di chuyển ảo bằng: ∑ ⃗⃗ ∑ (2.9) Từ hệ thức (2.9) ta thấy rõ ý nghĩa vật lý của đại lượng Qk . Đại lương là lực suy rộng tương ứng với toạ độ suy rộng qk . Muốn tìm ta tính công ảo  A của lực rồi chia cho biến thiên  qk , nghĩa là: (2.10) (Tất cả q j 0 chỉ trừ qk 0 ) Ta biến đổi đại lượng về dạng thuận tiện hơn ⃗⃗ ∑ ⃗⃗ ∑ ̇ ̇ ∑ ∑ ⃗⃗ (2.11) Ta có thể viết ̇ ⃗⃗ ∑ ̇ (2.12) Từ công thức (2.15) suy ra 21
27. ̇ ( ) (2.13) ̇ Dùng hệ thức (2.13) suy ra ̇ ∑ ̇ (2.14) Chú ý đến hệ thức (2.13) và (2.14) ta có thể viết biểu thức của như sau: ̇ ̇ ̇ ̇ ∑ ∑ ̇ (2.15) ̇ Trong đó T là động năng của cơ hệ ∑ ( ̇ ) (2.16) Vì biến thiên là tuỳ ý và khác không cho nên đẳng thức (2.16) chỉ thoả mãn khi tất cả các hệ số của trong phương trình (2.16) bằng không. (2.17) Hệ S phương trình (2.17) tương đương với phương trình tổng quát của động lực học (2.16). Đặt hệ thức của từ (2.15) vào phương trình (2.17) ta nhận được 22
28. (2.18) ̇ Phương trình (2.18) gọi là phương trình Lagrăngiơ loại hai, hay là phương trình Lagrăngiơ trong toạ độ suy rộng. dqk Đại lượng qk gọi là vận tốc suy rộng. dt dq2 Đại lượng q k gọi là gia tốc suy rộng k dt 2 ̇ Vận tốc của chất điểm của cơ hệ được biểu diễn qua ̇ nhờ công thức (2.12). Lực suy rộng Qk là hàm của t,, qjj q ̇ ( ) (2.19 Tích phân phương trình Lagrăngiơ (2.18) tìm được qk t k 1,2, , S . ̇ ̇ ̇ Biết hàm qtk ta xác định được ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗ ( ) .Phản lực liên kết Ni được xác định từ công thức: (2.20) ⃗⃗ ⃗⃗ Từ việc giải phương trình Lagrăngiơ loại hai ta tìm được toạ độ suy rộng qk từ đó tính được phản lực liên kết ⃗⃗ mà phản lực liên kết lại không chứa trong phương trình Lagrăngiơ đây là một ưu điểm lớn của phương trình Lagrăngiơ. Phương trình Lagrăngiơ loại hai là phương trình vi phân hạng hai đối với toạ độ suy rộng qk . 23
29. Thật vậy: Động năng của cơ hệ bằng: ∑ ̇ ̇ Trong đó: ̇ ̇ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ∑ ̇ ) ( ∑ ̇ ) Biểu thức của động năng T có thể viết: Ở đây ⃗⃗ ∑ ( ) (2.22) ∑ ̇ (2.23) ∑ ∑ ̇ ̇ Với ⃗⃗ ⃗⃗ ∑ (2.25) ⃗⃗ ⃗⃗ ∑ (2.26) 24
30. T S dT Vì ajk q j b k cho nên chứa đạo hàm bậc hai của toạ độ qk j 1 dt qk suy rộng. Vậy phương trình Lagrăngiơ loại hai là phương trình vi phân hạng hai đối với toạ độ suy rộng. 2.3. Nguyên lý D’ Alambert Phương trình (2.2) được gọi là phương trình tổng quát của động lực học hay nguyên lý Đalămbe – Lagrănggiơ. Đó là một trong những nguyên lý quan trọng nhất của động lực học cơ hệ. Trường hợp riêng khi hệ ở trạng thái cân bằng thì ⃗⃗⃗⃗ và ta được nguyên lý quan trọng sau của tĩnh học: ∑ ⃗⃗ ⃗⃗ hay ∑( ) Phương trình (2.27) hay (2.28) gọi là nguyên lý dịch chuyển ảo 25
31. CHƢƠNG 3 ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT 3.1. Áp dụng phƣơng trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ học lý thuyết Bài 1: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang dao động. Hãy tìm vị trí của chất điểm và phản lực liên kết như những hàm của thời gian, biết rằng mặt phẳng dao động theo phương vuông góc với nó với biên độ a và tần số , và khi điểm có tọa độ và vận tốc ̇ ̇ . Bài giảng z ⃗⃗ Gọi (P) là mặt phẳng nhẵn nằm ngang dao động. Vì chất điểm chuyển m động trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang PP 푃⃗ bỏ qua ma sát nên suy ra phản lực liên kết ⃗⃗ hướng lên trên. m Chọn hệ trục tọa độ suy rộng Oxyz P (hình 5). O y Ta có phương trình định luật II Niu-tơn và phương trình dao động của Hình 10 x chất điểm là: ⃗ ⃗⃗ { ⃗⃗⃗⃗ 26
32. Chiếu (1) lên các trục tọa độ ta có: { Do đó ta được: ̇ ̇ (3) { ̇ { ̇ Tại thời điểm thì chất điểm có tọa độ thay vào (2) ta được: (4) ̈ thay (4) vào (3) ta được: Kết luận: + Vị trí của chất điểm là: ̇ { ̇ + Phản lực liên kết là: Bài 2: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên một mặt trụ thẳng đứng có bán kính tang dần với vận tốc không đổi . Hãy tìm quy luật chuyển 27
33. động của chất điểm, biết rằng khi , ̇ ̇ ̇ . Bài giảng z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (hình 6) Chất điểm chịu hai lực tác dụng: ⃗ ⃗⃗ (vuông góc với thành trụ). 푛⃗ 푛⃗ 휑 Ta có phương trình định luật II Niu-tơn ⃗⃗ và phương trình liên kết của chất điểm: 푛⃗ 휌 푃⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ , ̇ y (do bán kính trụ tang với vận tốc không O 휌 đổi ) x Chiếu (1) lên các trục tọa độ trụ Hình 11 ta có: + Lên phương : ( ̈ ̇ ) + Lên phương : ̇ ̇ ̈ + Lên phương z: ̈ Từ (2) ̇ ̇ ̈ . Thay ̇ ̈ vào (4) ta được: ̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇ 28
34. ̇ ̇ ̇ ̇ ∫ ̇ ∫ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ̇ ̇ ̇ Tích phân hai vế ta được: ̇ ∫ ̇ ̇ ̇ Thay vào (3) ta được: ̇ * ̇ + ̇ ̇ ̇ Phương trình (6) chính là phản lực liên kết. Từ (5) ta có: ̈ ̇ Tại ̇ ̇ ̇ ̇ Vậy quy luật chuyển động của chất điểm là: 29
35. ̇ ̇ ̇ ̇ { Bài 3: Một dây xích nhỏ đồng chất với độ dài vắt qua mặt phẳng ngang phía trên có một lăng trụ cố định tiết diện của nó là một hình thang với các góc nhọn và ở dưới đáy. Vị trí cân bằng của dây xích trên lăng trụ với các mặt nhẵn được xác địn như thế nào nếu a là độ dài cạnh bên ? Bài giảng 훿 Giả sử đoạn dây xích nằm dọc theo mặt bên trái của lăng trụ có độ dài là s suy ra độ dài dây xích nằm dọc theo mặt bên phải của lăng trụ là 푃 ⃗ 훼 푃 푃⃗ 훽 Hình 12 Gọi là các lực chủ động tác dụng lên dây xích ở trong mặt là độ dịch chuyển ảo tương ứng Ta có phương trình tổng quát của động lực học: ∑( ⃗⃗ ) Hệ ở trong trạng thái cân bằng khi: ⃗⃗ Do đó: 30
36. ∑ Các phản lực ⃗⃗ do các mặt tác dụng lên dây xích là các phản lực liên kết, suy ra ⃗ là các lực chủ động nên (1) trở thành: ⃗ ⃗ ⃗ Khi đoạn dây bên trái thực hiện một dịch chuyển ảo thì đoạn dây bên phải cũng dịch chuyển ảo một đoạn như vậy, suy ra: | | | | | | | | Chọn chiều dương là chiều của dịch chuyển ảo thì ta có: Gọi là mật độ khối dài của dây xích, ta có: { Thay vào (2) ta được: Vậy để dây xích cân bằng thì chiều dài của đoạn dây xích ở mặt bên trái là: 31
37. Bài 4: Hãy tìm trọng lượng và của hai tải trọng được giữ cân bằng nhờ tải trọng P trên các mặt phẳng nghiêng những góc và so với Phuong nằm ngang: biết rằng tải trọng và buộc vào hai đầu dây cáp, dây này đi từ tải trọng P luồn qua ròng rọc đặt trên trục nằm ngang rồi lồng vào ròng rọc động mang tải trọng P, sau đó luồn qua ròng rọc cũng nằm trên trục của ròng rọc và cuối cùng buộc vào tải trọng . Bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây cáp. Bài giảng Chọn chiều dương là chiều của các dịch chuyển của . Các lực tác dụng lên các vật như hình vẽ: ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗⃗ ⃗⃗ là các phản lực liên kết 훿 + ⃗ ⃗ ⃗ là các lực liên kết ⃗ Các lực chủ động tác dụng lên cơ hệ là 훼 푃 훽 푃⃗ các trọng lực ⃗ ⃗ ⃗ hay các ⃗ . Gọi là các lực chủ động tác dụng 푃⃗ lên cơ hệ. Hình 13 Để hệ thong cân bằng thì : ∑ ⃗ ⃗ ⃗ Mặt khác ta có: 32
38. Chọn chiều dương là chiều dịch chuyển ảo . Từ (1) ta có: ( ) ( ) ( ) Để phương trình (*) thỏa mãn thì : { { Bài 5: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên mặt phẳng nhẵn cố định. Mặt phẳng này hợp với phườn nằm ngang một góc . Hãy tìm quy luật chuyển động của chất điểm và phản lực liên kết của mặt phẳng, biết rằng khi ̇ ̇ . Bài giảng Chọn hệ trục tọa độ như (hình 14) z y Oz hướng thẳng đứng lên trên, Oy nằm trong mặt phẳng chuyển động. Do vật chuyển động xuống dưới, dưới ⃗⃗ P N tác dụng của thành phần nên m ⃗⃗ khi x giảm thì z cũng giảm. 푛⃗ Để dảm bảo cho chất điểm nằm trong 푃⃗ mặt phẳng chuyển động thì ta phải có α O x phương trình liên kết Hình 14 33
39. Do đó, ta được: (1) Phương trình định luật II Niu-tơn: ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ (*) Chiếu (*) lên các trục tọa độ ta được: ̈ (2) { ̈ (3) ̈ (4) Từ (1), ta có: ̈ ̈ (5) thay (5) vào (4): (6) ̈ thay (6) vào (2), ta có: ( ) (7) Thay (7) vào (2), ta được: ̈ ̈ 34
40. ̈ ̇ Từ các điều kiện ban đầu khi ̇ ̇ ̇ Từ (3) suy ra: ̈ ̇ (8) Mà tại t = 0 thì: ̇ ̇ (9) Từ (8) và (9), suy ra: ̇ Từ phương trình (1): ( ̇ ) ̇ Vậy phương trình chuyển động có dạng: 35
41. ̇ ̇ ̇ { Các phản lực liên kết trên các trục là: { Bài 6: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên đường giao nhau của một hình cầu nhẵn cố định bán kính u và một mặt phẳng nằm ngang nhẵn chuyển động theo phương thẳng đứng với quy luật . Hãy tìm quy luật chuyển động của chất điểm và các phản lực liên kết đối với , biết rằng khi ̇ ̇ là các thông số trong hệ tọa độ trụ). Bài giảng z Chọn hệ trục tọa độ như (hình 15) 푅⃗ ADĐL II Niu-tơn, ta có: Phương trình liên kết của chất điểm: 푅⃗ y (2) { (3) ⃗ Chiếu (1) lên các trục của hệ tọa độ 푃 x trụ: Hình 15 36
42. { ̈ ̇ (4) ̇ (5) (6) { Xét trong hệ trụ có: , (7) thay (7) vào (3), ta có: Mà lại có: Từ (5), ta có: ̇ ̇ ̇ ̇ (8) Tại thời điểm ban đầu: ̇ Vậy quy luật chuyển động của chất điểm là: ̇ { 37
43. Ta có: ̇ ̈ (9) thay (9) vào (4), ta được: ̇ ( ) ̇ ( ) có ̇ ̈ (10) thay (10) vào (6), ta được: Vậy các phản lực liên kết là: { ̇ ( ) 3.2. Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập Bài 1: Sử dụng phương trình trình tổng quát của cơ học (phương trình Lagrange – D’Alembert) hãy dẫn ra định lý biến thiên động năng của chất điểm. Bài giảng Ta có phương trình tổng quát của cơ học: 38
44. ∑( ⃗⃗ ) (1) Thay các dịch chuyển ảo thành các dịch chuyển thực ta có: ∑( ⃗⃗ ) (2) ∑ ∑ ⃗⃗ ta có: ∑ ⃗⃗ ∑ ∑ ∑ ∑ ⃗⃗ ∑ ( ) Do 39
45. ∑ ⃗⃗ ∑ (∑ ) Đặt ∑ ∑ ⃗⃗ (3) Mặt khác ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (∑ ) (∑ ) Đặt ∑ ∑ 40
46. ∑ (4) Thay (3) vào (4) ta có: Phương trình (5) chính là định lý biến thiên động năng của hệ chất điểm Bài 2: Các vật nặng A và B được nối với nhau bằng sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc D. Khi vật nặng A có trọng lượng hạ xuống dưới, ròng rọc D có trọng lượng quay xung quanh trục cố định của nó, còn vật nặng B có trọng lượng được nâng lên dọc theo mặt phẳng nghiêng với phương ngang một góc . Hãy xác định gia tốc của các vật A và B bằng phương trình Lagrange – D’Alembert, biết rằng hệ số ma sát trượt của vật B vào mặt phẳng nghiêng bằng f, ròng rọc D được xem như đĩa tròn đồng chất. Bỏ qua khối lượng của dây cũng như ma sát. Bài giảng Các lực tác dụng vào A và B như hình vẽ. Vì dây không giãn nên vật A, B chuyển động với cùng một gia tốc: ⃗ . ⃗ Chọn chiều chuyển động như hình vẽ Khi vât A dịch chuyển một dịch 훼 chuyển ảo lên trên thì vật B cũng 푃⃗ 푃⃗ Hình 16 41
47. thực hiện một dịch chuyển ảo xuống dưới, còn ròng rọc D quay một góc với: R là bán kính ròng rọc Áp dụng phương trình tổng quát của cơ học: ∑( ⃗⃗ ) ( ) ( ) với là mômen quay của ròng rọc D I là mômen quán tính của ròng rọc, Vì ròng rọc được coi là đĩa tròn đồng chất nên: là gia tốc góc: Từ (1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 42
48. Vậy gia tốc của các vật A và B là: Bài 3: Hãy xác định hàm Lagrange của chất điểm chuyển động tự do trong các hệ tọa độ Đề-các, trụ và cầu. Bài giảng Vì chất điểm chuyển động tự do nên ta có thế năng tương tác Do đó hàm Lagrange của chất điểm chuyển động tự do là: - Trong tọa độ Đề-các: ̇ Mà { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ - Trong hệ tọa độ trụ: 43
49. ̇ Mà { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ - Trong hệ tọa độ cầu ̇ Mà { ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ 44
50. KẾT LUẬN Với đề tài “ÁP DỤNG PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT” tôi đã hoàn thành cơ bản việc nghiên cứu các vấn đề sau: - Lý thuyết về các khái niệm cơ bản, phương trình tổng quát của động lực học và nguyên lý D’ Alambert. - Vận dụng các phương pháp đó để giải một số bài tập tổng hợp phần bài này giúp củng cố sâu sắc hơn cho phần lý thuyết ở trên và nắm vững hơn các phương pháp giải bài tập cơ học lý thuyết. Do vậy, đề tài này có thể bổ sung thêm vào kho tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh, sinh viên trong quá trình tìm hiểu về phương trình tổng quá của động lực học và nguyên lý D’ Alambert. Hà Nội, tháng 2017 Sinh viên Chu Thị Hằng 45
51. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Hữu Mình. 1997. Cơ học lý thuyết – NXB ĐHQG Hà Nội. 324 trang. 2. Nguyễn Hữu Mình. 1996. Bài tập vật lý lý thuyết tập 1. NXB ĐHQG Hà Nội. 288 trang. 3. Nguyễn Hoàng Phương. 1997. Vật lý lý thuyết, cơ học – NXB ĐH & THCN Hà Nội. 424 trang. 4. Nguyễn Đình Dũng. 2004. Cơ học lý thuyết. NXB ĐHQG Hà Nội. 5. Galubêva. Cơ lý thuyêt tập 1, 2, 3. (Đặng Quy Khang dịch). NXB KHKT. 46