Đề tài Rút gọn biểu thức đại số

Nội dung text: Đề tài Rút gọn biểu thức đại số

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TIN  ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM Tên đề tài: “RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ” Người hướng dẫn : ThS. Phạm Hoàng Hà Cán bộ giảng viên khoa Toán –Tin, ĐHSP Hà Nội. Người thực hiện : Trần Văn Trung Số báo danh, ngày sinh : 29-03-1980 Trường: PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu Phú Thọ, 6-2012
2. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” MỤC LỤC TT Nội dung Trang 1. PHẦN I: MỞ ĐẦU 4 2. 1. Lý do chọn đề tài 4 3. 1.1. Lý do khách quan 5 4. 1.2. Lý do chủ quan 5 5. 2. Mục đích nghiên cứu 6 6. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 6 7. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 6 8. 5. Phương pháp nghiên cứu 6 9. PHẦN II: NỘI DUNG 7 10. Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 7 11. 1. Cơ sở lý luận 7 12. 2. Cơ sở thực tiễn 8 13. 3. Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ năng 9 14. 4. Thực trạng 10 15. Chương 2: Các giải pháp chính 11 16. I. Lý thuyết áp dụng 11 17. II. Các biện pháp chính để thực hiện 12 18. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 41 19. 1. Mục đích thực nghiệm 41 20. 2. Nội dung thực nghiệm 41 21. 3. Kết quả thực nghiệm 49 22. PHẦN III: KẾT LUẬN 50 23. TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 2
3. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” CÁC TỪ VÀ CỤM TỪ ĐƯỢC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 1. GDTHCS: Giáo dục trung học cơ sở 2. THCS: Trung học cơ sở 3. THPT: Trung học phổ thông 4. GV: Giáo viên 5. HS: Học sinh 6. BGDĐT: Bộ Giáo dục và Đào tạo 7. SGK: Sách giáo khoa 8. SGV: Sách giáo viên 9. SBT: Sách bài tập 10. KHTN: Khoa học tự nhiên 11. ĐKXĐ: Điều kiện xác định Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 3
4. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Lý do khách quan: Như chúng ta đã biết giáo dục nói chung và giáo dục bậc THCS nói riêng nhằm giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản để học sinh tiếp tục học lên. Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì Bộ giáo dục đã xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" và tiếp tục khẳng định "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nền nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''. Môn toán là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc THCS. Các kiến thức kĩ năng của môn toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng rất cần cho người lao động, rất cần thiết để học các môn học khác ở THCS và các lớp trên. Môn toán giúp học sinh nhận biết các mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, và đang giúp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên của khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra. Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại, đa dạng và phong phú, nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 4
5. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp cho chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. Do đã trang bị cho học sinh những kiến thức toán học không chỉ gồm các khái niệm, định nghĩa, quy tắc, tổng quan, Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh được làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT. 1.2. Lý do chủ quan: Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn đại số hẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí thú của nó mà không bao giờ vơi cạn. Rút gọn biểu thức đại số là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán của trường THCS. Việc rút gọn được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thông thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lô gic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có ý nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân môn đại số - chương trình toán các lớp 7,8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán rút gọn biểu thức đại số đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán. Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu bài này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm sao đạt hiệu quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài này. Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược. Đặc biệt rất nhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu thức đại số và vô tình đã quên đi các ứng dụng quan trọng và là chìa khóa, nền tảng để giải quyết các vấn đề toán học trong trường THCS. Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp. Đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức có các dạng toán: Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên Vì vậy, phần trên mà không rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo cần có kết quả rút gọn biểu thức. Vậy cách trình bày một bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phương pháp giải bài toán đã cho ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục. Vì Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 5
6. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức đại số. Trước tình hình trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên. Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về phương pháp dạy kiểu bài “Rút gọn biểu thức đại số" đối với học sinh lớp 8,9 THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài toán rút gọn biểu thức. Trên cơ sở đã phát hiện những khó khăn đồng thời đề ra những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tập tại trường PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái) 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh trường PT DTBTTH và THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái về việc dạy và học "Rút gọn biểu thức đại số".) - Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học. - Từ đã đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học về rút gọn biểu thức đại số - Thực nghiệm những giải pháp đã ở trường và đánh giá kết quả đạt được. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu - Đối tượng: Học sinh các khối 8,9 và đặc biệt là học sinh giỏi các khối. - Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số lớp 7, 8, 9 ở trường THCS. 5. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phương pháp dạy có hiệu quả về rút gọn biểu thức đại số. Tôi đã sử dụng các phương pháp sau: - Phương pháp điều tra, phỏng vấn: Nghiên cứu nắm tình hình của lớp, từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp. - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn Toán, mục tiêu dạy học các bài về rút gọn biểu thức đại số. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 6
7. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn bị kĩ cho từng tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy,thực hiện kiểm tra đánh giá từ đã nắm tình hình học tập của học sinh để từ đã điều chỉnh quá trình dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém. Tham khảo tài liệu của các đồng nghiệp, dự giờ một số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập các tư liệu cho bài dạy như tranh ảnh, bài toán, bài đố vui, trò chơi, sách báo có liên quan PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 1. Cơ sở lý luận: - Căn cứ Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu của giáo dục phổ thông: Điều 27. Mục tiêu của giáo dục phổ thông, cụ thể như sau: Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. - Xuất phát từ mục tiêu chung của giáo dục trung học cơ sở: Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu về kĩ thuật và hướng nghiệp học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. - Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau: + Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào chủ nghĩa xã hội. + Có kiến thức phổ thông cơ bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm nền tảng từ đã có thể chiếm lĩnh những nội dung khác của KHTN. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 7
8. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” + Có kỹ năng bước đầu vận dụng vào những kiến thức và kinh nghiệm thu được của bản thân. + Hình thành và phát triển các năng lực chủ yếu. - Xuất phát từ mục tiêu môn toán trung học cơ sở: Đào tạo con người mà xã hội cần: + Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông cơ bản thiết thực. + Có kĩ năng thực hành toán. + Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và các kĩ năng cần thiết như mục tiêu giáo dục THCS đã đề ra. Ngoài việc cung cấp cho học sinh 1 số kiến thức Toán và dạy cho học sinh biết tính toán, mục tiêu của môn Toán còn đề cập đến phương pháp, kĩ năng phát triển các năng lực trí tuệ của học sinh ở phẩm chất đạo đức. - Căn cứ Chỉ thị 3398/CT-BGDĐT, ngày 12/8/2011 của Bộ GD&ĐT về nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục mầm non, giáo dục phổ thông, giáo dục thường xuyên và giáo dục chuyên nghiệp năm học 2011 - 2012; - Căn cứ Công văn số 5358/BGDĐT-GDTrH, ngày 12/8/2011 của Bộ GD&ĐT về hướng dẫn nhiệm vụ giáo dục trung học. 2. Cơ sở thực tiễn: 2.1. Nội dung về rút gọn biểu thức đại số a) Khái niệm về biểu thức đại số: - Ở lớp 5, lớp 6 học sinh đã được biết đến khái niệm biểu thức: Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) làm thành một biểu thức. Ví dụ: 5+3-2 ; 12:6.2 ; 153.47 ; 4.32- 5.6 ; 13.(3+4) ; là những biểu thức. Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số. - Khái niệm biểu thức đại số ở lớp 7: Trong toán học, vật lý ta thường gặp những biểu thức mà trong đã ngồi các số, các ký hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 8
9. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Ví dụ: Các biểu thức: 4x ; 2.(5+a) ; 3.(x+y) ; x2 ; xy ; 150 ; 1 ; là t x 0,5 những biểu thức đại số. b) Các mạch kiến thức có liên quan đến việc rút gọn biểu thức đại số trong chương trình toán THCS: * Ở lớp 7: Đơn thức -> Đơn thức đồng dạng (cộng, trừ các đơn thức đồng dạng) -> Đa thức (cộng, trừ đa thức; đa thức 1 biến và cộng, trừ đa thức 1 biến). * Ở lớp 8: Cóhẳn 1 chương về phân thức đại số, bao gồm: Phân thức đại số-> tính chất cơ bản của phân thức-> Rút gọn phân thức-> Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức-> Phép cộng, trừ các phân thức đại số-> Phép nhân, chia các phân thức đại số-> Biến đổi các biểu thức hữu tỉ (tìm giá trị của phân thức). Giáo viên cần chú ý đến những vấn đề sau: 3. Yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ năng - Trên vành số nguyên ¢ có hai phép toán: cộng và nhân. Đối với phép cộng, ¢ là một nhóm aben. Do đã với phép trừ khi biết hai số nguyên a và b ta tìm được một số nguyên x sao cho b+x = a; x được gọi là hiệu của a đối với b và kí hiệu x=a-b. Phép tìm hiệu được gọi là phép trừ. Trong khi đó, nếu biết hai số nguyên a và b, b ≠ 0, không phải bao giờ ta cũng tìm được một số nguyên x sao cho bx= a. Nói cách khác, trên vành số nguyên chưa có phép chia cho một số khác 0. Để tìm một tập hợp số trong đó có thể chia cho một số khác 0 bất kì ta đã mở rộng vành số nguyên thành trường số hữu tỉ. Ở đã mỗi số nguyên a được đồng nhất với số hữu tỉ dạng a và nếu a ≠0 thì có số hữu tỉ 1 , ký hiệu là a -1, gọi 1 a là nghịch đảo của a, mà a.a -1=a .1 =1. Nhờ khái niệm này, với hai số nguyên 1 a tùy ý a và b, b ≠ 0, ta có: a:b =a :b = a .(b )-1 = a .1 = a . 1 1 1 1 1 b b Bây giờ với hai số nguyên a và b tùy ý, b ≠ 0, ta tìm được một số hữu tỷ x sao cho bx = a. Đó là x = a.b-1 =a .(b )-1 = a .1 = a . 1 1 1 b b Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 9
10. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” - Đối với tập các đa thức trên trường số, tình hình cũng tương tự. Đối với phép cộng nó là một nhóm aben. Do đó cũng có phép trừ đa thức. Phép nhân các đa thức có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng. Vì vậy trên tập các đa thức trên trường số cũng có một cấu trúc vành. Song với hai đa thức tùy ý A và B, B ≠ 0, không phải bao giờ cũng tìm được một đa thức C để A= BC. Nên ta lại phải mở rộng vành này thành trường các phân thức hữu tỉ bằng một phương pháp tương tự như khi mở rộng vành số nguyên ¢ thành trường số hữu tỉ. Vì vậy việc cốt lõi là yêu cầu giáo viên phải cho học sinh nắm được: Định nghĩa khái niệm phân thức đại số và khái niệm phân thức đại số bằng nhau; định nghĩa phép cộng và phép nhân phân thức, định nghĩa phân thức đối, phân thức nghịch đảo và từ đó định nghĩa phép trừ và phép chia các phân thức. 4. Thực trạng: - Việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa phương là học sinh miền núi, trình độ nhận thức chậm, chưa nỗ lực trong học tập. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án hoặc hướng dẫn giải để tham khảo, nên khi gặp bài tập có dạng khác các em thường lúng túng chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt nhất. - Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để. - Phụ huynh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập ở nhà. - Phương pháp chung để giải bài toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho học sinh, để học sinh tự suy nghĩ tìm ra lời giải. Trước khi giải một bài toán phải tìm hiểu kĩ nội dung yêu cầu của đề bài: Đâu là cái cần tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm thỏa mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Tìm ra cách giải hợp lí nhất. - Việc rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại số. Học sinh phải tìm hiểu kỹ các dạng biểu thức khi đưa ra nó ở dạng nào, Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 10
11. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” tính giá trị của biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức . . . Học sinh lúng túng khi rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán, học sinh hay nhầm lẫn. Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ năng trình bày lời giải cho các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết được các dạng bài tập rút gọn biểu thức đại số và khắc phục những vướng mắc trên. Tôi đưa ra một đề tài về các bài tập rút gọn biểu thức đại số mà Tôi đã tìm hiểu, tập hợp được thông qua thực tế giảng dạy. Chương 2: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lượng dạy học các bài rút gọn biểu thức đại số Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số. Tôi đề cập ba vấn đề qua ba dạng toán như sau: + Dạng 1: Rèn luyện nhuần nhuyễn những bài toán cơ bản ở SGK, SBT để tìm hướng giải quyết + Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh những dạng toán tổng hợp để phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh. + Dạng 3: Trên cơ sở đã cần tận dụng thời gian để rèn luyện kỹ năng giải các bài tập nâng cao ở THCS đối với học sinh khá giỏi. I. Lý thuyết áp dụng 1. Khái niệm biểu thức đại số: Tính giá trị của một biểu thức đại số, đơn thức, đa thức. 2. Tính chất các biểu thức đại số - Nhớ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. - Cộng trừ nhân chia đa thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc đổi dấu. - Rút gọn phân thức. - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức. - Cộng trừ các phân thức đại số. - Nhân chia các phân thức đại số. - Biến đổi các phân thức hữu tỉ. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 11
12. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 3. Hiểu được thế nào là căn bậc hai. - Các phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai. - Căn bậc ba. II. Các biện pháp chính để thực hiện Phương pháp giải: Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện như sau: - Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (mà ta gọi tắt là tìm điều kiện xác định cho những biểu thức chứa chữ); - Quy đồng mẫu số chung (nếu có); - Đưa bớt thừa số chung ra khỏi căn thức (nếu có); - Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn; - Cộng trừ các số hạng đồng dạng; - Với điều kiện xác định đã tìm được trả lời kết qủa rút gọn biểu thức. Dạng 1: Các bài tập minh hoạ Rèn tính nhuần nhuyễn: Yêu cầu với dạng này phải khai thác triệt để kết hợp với những kiến thức đã học để tìm lời giải. Đầu tiên giúp các em làm quen với biểu thức đại số rồi đến rút gọn biểu thức đại số. Tôi chọn những bài toán đơn giản có ở SGK và SBT phù hợp với mọi đối tượng học sinh. Bài 1.1: Tính giá trị biểu thức đại số sau tại x = 1; y = -1; z = 3 2x2y a) (x2y - 2x - 2z)xy b) xyz + y2 + 1 Hướng suy nghĩ: - Đây là bài toán tính giá trị của biểu thức được làm quen ở lớp 7. Đầu bài cho biểu thức và cho biết giá trị x, y, z. Do đã học sinh chỉ thay giá trị x, y, z vào biểu thức rồi thực hiện phép tính, trong quá trình thực hiện luơn để ý đến dấu và luỹ thừa Giải tóm tắt. a) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức (x2y - 2x - 2z)xy ta được: [12(-1) - 2.1 - 2.3].1.(-1) = [ -1 - 2 - 6].(-1) = (-9).(-1) = 9 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 12
13. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 2x2y b) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức xyz + ta được: y2 + 1 2.12.( - 1) -2 1.(-1).3 + = -3 + = -3 - 1 = -4 ( - 1)2 + 1 2 Học sinh hay mắc sai lầm là biến đổi luỹ thừa và dấu của nó Bài 1.2 Rút gọn phân thức: 36(x - 2)2 7x2 + 14x + 7 a) b) 32 - 16x 3x2 + 3x Hướng suy nghĩ: - Để giải bài toán này học sinh cần phải nắm được các bước rút gọn phân thức; - Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ cho phù hợp; - Vận dụng quy tắc đổi dấu. Giải tóm tắt: 36(x - 2)3 36(x - 2)3 36(x - 2)3 -9(x - 2)2 a) = = = 32 - 16x 16(2 - x) -16(x - 2) 4 7x2 + 14x + 7 7(x + 1)2 7(x + 1) b) = = 3x2 + 3x 3x(x + 1) 3x Lưu ý học sinh hay nhầm lẫn biến đổi ý a hay viết -9(x - 2)2 9(2 - x)2 = 4 4 Bài 1.3 Cho hai biểu thức: 1 1 x - 5 3 A = + + B = x x + 5 x(x + 5) x + 5 Chứng tỏ A = B Hướng suy nghĩ: - Học sinh nhận thấy biểu thức A là phép cộng 3 phân thức, muốn chứng tỏ A = B ta phải làm như thế nào ? - Rút gọn biểu thức A rồi so sánh với biểu thức B, kết luận Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 13
14. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Giải tóm tắt: 1 1 x - 5 A = + + x x + 5 x(x + 5) x + 5 + x + x - 5 = x(x + 5) 3x 3 = = = B => đpcm x(x + 5) x + 5 Bài 1.4: Rút gọn biểu thức: x + 3 x + 1 A = - x2 - 1 x2 - x Hướng suy nghĩ: - Muốn rút gọn biểu thức này thì nhớ dạng tổng quát A C A C - = + (- ) B D B D - Phải nhớ được quy tắc trừ hai phân thức - Quy đồng mẫu hai phân thức Cách giải: x + 3 x + 1 x + 3 x + 1 A = - = - (1) x2 - 1 x2 - x (x - 1)(x + 1) x(x - 1) MTC: x(x + 1)(x - 1) Ta có: x(x + 3) (x + 1)(x + 1) A = - (x - 1)(x + 1) x(x - 1) x(x + 3) -(x + 1)2 = + (x - 1)(x + 1) x(x - 1) x2 + 3x - x2 - 2x - 1 = x(x + 1)(x - 1) x - 1 1 = = x(x + 1)(x - 1) x(x + 1) Bài 1.5: Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 14
15. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Rút gọn biểu thức: 2x2 - 20x + 50 x2 - 1 x + 3 a) . b) . 3x + 3 4(x - 5)3 x2 - 4 8 - 12x + 6x2 - x3 9x + 27 Hướng suy nghĩ: A C AC - Nhớ tổng quát: . = B D BD - Quy tắc đổi dấu. - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức; - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (cónhân tử chung để rút gọn). Cách giải: 2x2 - 20x + 50 x2 - 1 2(x2 - 10x + 25)(x - 1)(x + 1) a) . = 3x + 3 4(x - 5)3 3(x + 1)4(x - 5)3 2(x - 5)2(x - 1) = 3.4(x - 5)3 x - 1 = 6(x - 5) x + 3 8 - 12x + 6x2 - x3 (x + 3)(2 - x)3 b) . = x2 - 4 9x + 27 (x - 2)(x + 2)9(x + 3) (2 - x)3 = -2(2 - x)(x + 2).9 -(2 - x)2 = 9(x + 2) Học sinh mắc phải: Không nắm được hằng đẳng thức, hoặc nắm được hằng đẳng thức nhưng không biết vận dụng hay quên không nhớ nổi. Bài 1.6: x2 + x 3x + 3 Rút gọn biểu thức sau: : 5x2 - 10x + 5 5x + 5 Hướng suy nghĩ : Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 15
16. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” A C A D - Nhớ tổng quát: : = . B D B C - Vận dụng hằng đẳng thức; - Phân tích tử mẫu thành nhân tử, rút gọn. Cách giải: x2 + x 3x + 3 x2 + x 5x + 5 : = . 5x2 - 10x + 5 5x + 5 5x2 - 10x + 5 3x + 3 x(x + 1).5(x - 1) = 5(x - 1)2.3(x + 1) x = 3(x - 1) Học sinh đa số biến đổi được dạng này. Bài 1.7: - 2 Biến đổi biểu thức thành phân thức Đây là biểu thức không khó lắm đối với học sinh lớp 8 muốn biến đổi nó thành một phân thức thì phải viết chúng về dưới dạng phép tính ngang sau đã thực hiện phép tính, ta cóthể viết như sau: - 2 2x 3 A = = ( - 2) : ( ) x - 1 x2 - 1 2 (x - 1)(x + 1) 2.(x + 1) = . = x - 1 3 3 Bài 1.8: Rút gọn biểu thức cóchứa dấu căn bậc hai: 5 + 5 - 1 a) + b) 5. + . 20 + 5 5 - 5 + 2 Hướng suy nghĩ: - Ta cần thực hiện các phép biến đổi nào ? - Học sinh nhớ lại các phép biến đổi căn bậc hai - Phối hợp để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Cách giải: Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 16
17. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 5 + 5 - (5 + )2 + (5 - )2 a) + = 5 - 5 + (5 - )(5 + ) 25 + 10 + 5 + 25 - 10 + 5 60 = = = 3 25 - 5 20 1 1 b) 5. + . 20 + 5 = 5. + . 4.5 + 5 2 2 5 2 = 5 + 5 + 5 = 3 5 5 2 Bài 1.9: 1 Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm a để P 0 và a ≠ 1 a 1 a 1 a 1 P ( )2 .( ) 2 2 a a 1 a 1 a a 1 ( a 1)2 ( a 1)2 P ( )2 . 2 a ( a 1)( a 1) a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 P ( )2 . 2 a a 1 (a 1)4 a 1 a P 4a a 1 a Vậy P = vì a > 0 và a ≠ 1 a Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 17
18. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” b) Tìm a để P 0 và a ≠ 1 nên a > 0 1 - a  P = 1 ( TMĐK) Bài 1.10: Rút gọn: a) 3 8a3 - 5a b) 3 Hướng suy nghĩ: - Vận dụng quy tắc khai căn bậc ba của một tích khai triển; - Thực hiện phép tính đưa ra khỏi căn bậc ba. Cách giải: a) 3 8a3 - 5a = 3 8. 3 a3 - 5a = 2.a - 5a = 3a 1 b) 3 = 3 ()3 = 5 Dạng 2: Rèn cho học sinh những dạng toán cơ bản về rút gọn biểu thức, những dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh cókĩ năng giải toán rút gọn, phát huy tính tích cực sáng tạo. Bài 2.1: Rút gọn biểu thức: 3x x - 1 A = + x3 - 1 x2 + x + 1 Hướng suy nghĩ: - Học sinh nhớ được quy tắc cộng 2 phân thức không cùng mẫu. - Nắm được ba bước quy đồng. - Vận dụng hằng đẳng thức thứ 7 phân tích tử mẫu thành nhân tử. Giải tóm tắt 3x x - 1 A = + x3 - 1 x2 + x + 1 3x x - 1 = + (x - 1)(x2 + x + 1) x2 + x + 1 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 18
19. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 3x + (x - 1)2 = (x - 1)(x2 + x + 1) 3x + x2 - 2x + 1 = (x - 1)(x2 + x + 1) x2 + x + 1 1 = = (x - 1)(x2 + x + 1) x - 1 Bài 2.2: Rút gọn biểu thức: x - 2 x2 - 2x - 3 B = . x + 1 x2 - 5x + 6 Hướng suy nghĩ: - Muốn rút gọn được phải nhớ lại cách tách hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử Giải tóm tắt x - 2 x2 - 2x - 3 B = . x + 1 x2 - 5x + 6 x - 2 x2 - 3x + x - 3 = . x + 1 x2 - 2x - 3x + 6 x - 2 x(x - 3) + (x - 3) = . x + 1 x(x - 2) - 3(x - 2) (x - 2)(x - 3)(x + 1) = = 1 (x + 1)(x - 2)(x - 3) Học sinh hay mắc phải: không nhận ra cách tách hạng tử để phân tích thành nhân tử. Bài 2.3: Rút gọn biểu thức 1 2 - x 1 C = ( - ) : ( + x - 2) x2 + x x + 1 x Hướng suy nghĩ: - Xem về thứ tự thực hiện các phép toán trong biểu thức; - Phải quy đồng mẫu và làm phép toán trong ngoặc trước, ngồi ngoặc sau. Cách giải: Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 19
20. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 1 2 - x 1 C = ( - ) : ( + x - 2) x2 + x x + 1 x 1 2 - x 1 + x2 - 2x = [ - ] : x(x + 1) x + 1 x 1 - x(2 - x) x = . x(x + 1) (1 - x)2 (1 - x)2.x 1 = = x(x + 1).(1 - x)2 x + 1 Học sinh chiếm phần đa biết rút biểu thức dạng này. Một số ít học sinh thường nhân đơn thức với đa thức còn sai dấu, không nhớ hằng đẳng thức. Bài 2.4: (x + 2)2 x2 x2 + 6x + 4 Cho biểu thức Q = . (1 - ) - x x + 2 x a) Tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức xác định. b) Rút gọn Q. c) Chứng minh rằng Q xác định thì Q luơn cógiá trị âm. d) Tìm giá trị lớn nhất của Q. Hướng suy nghĩ: Học sinh nhận biết được cách tìm điều kiện để Q xác định. Cách rút gọn biểu thức Q. Hiểu được cách chứng minh để Q cógiá trị âm, cónghĩa là Q < 0 với mọi x. Hiểu được cách tìm giá trị lớn nhất của Q, Q < 0 với mọi x. Đây là dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng vận dụng kiến thức đã học để trình bày lời giải. Cách giải: a) Điều kiện của biến là x ≠ 0 và x ≠ - 2 b) Rút gọn Q (x + 2)2 x2 x2 + 6x + 4 Q = . (1 - ) - x x + 2 x Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 20
21. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” (x + 2)(x + 2 - x2) - (x2 + 6x + 4) = x x2 + 2x - x3 + 2x + 4 - 2x2 - x2 - 6x - 4 = x -x3 - 2x2 - 2x -x(x2 + 2x + 2) = = x x = - (x2 + 2x + 2) Q = - (x2 + 2x + 2) Học sinh tách hạng tử tự do sau đã đưa về dạng hằng đẳng thức Q = - (x2 + 2x + 1 + 1) = - (x + 1)2 - 1 Có: -(x + 1)2 Q = -(x + 1)2 - 1 < 0 với mọi x d) Ta có: -(x + 1)2 ≤ 0 Với mọi x Q = - (x + 1)2 - 1 ≤ - 1 với mọi x  GTLN của Q = -1 khi x = -1 (TMĐK) Học sinh thường hạn chế về ý c,d 3(x + 1) Bài 2.5: Cho biểu thức P = x3 + x2 + x + 1 Tìm x để P có giá trị nguyên Hướng suy nghĩ: - Học sinh phải rút gọn - Tìm x để P có giá tri nguyên Cách giải: 3(x + 1) 3(x + 1) P = = x3 + x2 + x + 1 (x3 + x2) + (x + 1) 3(x + 1) = x2(x + 1) + (x + 1) 3(x + 1) 3 = = (x + 1)(x2 + 1) x2 + 1 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 21
22. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x2 + 1 = Ư(3) = {±1; ±3} Với x2 + 1 = 1 => x = 0 Với x2 + 1 = -1 => Không có giá trị nào của x thoả mãn Với x2 + 1 = 3 => x2 = 2 => x = ± 2 Z Với x2 + 1 = -3 => Không có giá trị nào của x thoả mãn Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên. Bài 2.6: Cho biểu thức: 1 1 + 1 M = ( + ) : a - - 1 a - 2 + 1 Rút gọn rồi so sánh giá trị M với 1 Hướng suy nghĩ: - Đây là một biểu thức tổng hợp, rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc hai là tương đối khó với học sinh. - Phải thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi đến phép chia. - So sánh M với 1 nghĩa là xét M – 1. Cách giải: *Rút gọn: 1 1 + 1 M = ( + ) : a - - 1 a - 2 + 1 1 + ( - 1)2 - 1 = . = ( - 1) + 1 - 1 Vậy M = ( với a > 0, a ≠ 1) *So sánh M với 1 - 1 1 1 Ta có M = = - = 1 - 1 Do a > 0 => a > 0 => > 0 1 Nên 1 - < 1 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 22
23. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Vậy M < 1 * Học sinh phần đa còn hạn chế khi giải một bài toán dạng này, kĩ năng biến đổi các phép tính cần lưu ý hơn cho học sinh ở phần này. Bài 2.7: Cho biểu thức: a a b Q = - ( 1 + ) : a - a) Rút gọn Q. b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b. Hướng suy nghĩ: - Biểu thức này tương đối tổng hợp cócác phép tính cộng, trừ, nhân, chia và cóchứa căn bậc hai; - Học sinh phải biết thực hiện các phép tính trong ngoặc trước sau đã tiếp đến phép nhân và phép trừ; - Biết thay giá trị của a vào biểu thức rồi thực hiện phép tính. Cách giải: a) Rút gọn: a a b Q = - ( 1 + ) : a - a + a a - = - . b a b a - b = - = ()2 = = b) Khi cóa = 3b ta có: Q = = = Nhược điểm đa số học sinh thực hiện biểu thức dạng này còn hạn chế khi thực hiện phép tính. Thay giá trị a vào biểu thức chứa căn. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 23
24. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Bài 2.8 Chứng minh đẳng thức 1 - a 1 - ( + a)( )2 = 1 1 - 1 - a Hướng suy nghĩ: - Đây là dạng bài chứng minh biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho kết quả bằng vế phải - Xét xem vế trái của đẳng thức có dạng hằng đẳng thức nào? - Thực hiện các phép tính trong ngoặc, rút gọn. Cách giải: 1 - a 1 - Ta có: VT = ( + a)( )2 1 - 1 - a 1 - ()3 1 - = ( + a)( )2 1 - (1 - )(1 + ) (1 - )(1 + + a) 1 = ( + a)( )2 1 - 1 + 1 = (1 + a)2( )2 = 1 = VP => đpcm 1 + Bài 2.9: Cho biểu thức: 1 1 + 1 + 2 Q = ( - ): ( - ) - 1 - 2 - 1 a) Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4 b) Tìm a để Q = -1 c) Tìm a để Q > 0 Hướng suy nghĩ: - Học sinh phải hiểu được yêu cầu của đề bài, biết cách tìm tập xác định biểu thức cónghĩa; - Biết cách tìm a để Q = -1, tìm a để Q > 0. Cách giải: Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 24
25. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” a) Rút gọn: 1 1 + 1 + 2 Q = ( - ): ( - ) - 1 - 2 - 1 - ( - 1) (a - 1) - (a - 4) = : ( - 1) ( - 2)( - 1) - + 1 a - 1 - a + 4 = : ( - 1) ( - 2)( - 1) 1 ( - 2)( - 1) = . ( - 1) 3 - 2 = 3 b) Q = -1 - 2  = -1 với a > 0 và a ≠1; a ≠ 4 3  a - 2 = -3 a  4 a = 2 1  a = (TMĐK) 2 c) Q > 0 - 2  > 0 3 Vì a > 0 và a ≠1; a ≠ 4  3 a > 0 - 2 Vậy > 0  a - 2 > 0 3  a > 2  a > 4 (TMĐK) Bài toán này tương đối khó với học sinh vì rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc hai, đa số học sinh còn hạn chế cách biến đổi các phép toán trong căn để rút gọn. Bài 2.10: Cho biểu thức Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 25
26. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 1 1 + 1 + 2 P = - ): ( - ) - 1 - 2 - 1 a) Tìm điều kiện để p xác định b) Rút gọn P 1 c) Tìm x để P = 4 Hướng dẫn cách giải: - Đây là biểu thức có chứa căn bậc hai, học sinh phải biết tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa. - Biết cách rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai. 1 Biết cách tìm x để P = 4 Cách giải: a) Điều kiển của x để P xác định là: x > 0 , x ≠ 1; x ≠ 4 b) Rút gọn: 1 1 + 1 + 2 P = ( - ): ( - ) - 1 - 2 - 1 - ( - 1) ( + 1)( - 1) - ( - 2)( + 2) = : ( - 1) ( - 2)( - 1) - - 1 x - 1 - x + 4 = : ( - 1) ( - 2)( - 1) 1 ( - 2)( - 1) = . ( - 1) 3 - 2 = 3 1 a) P = 4 - 2 1  = ( với x > 0 ; x ≠1; x ≠4) 3 4  4 x - 8 = 3 x  x = 8 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 26
27. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”  x = 64 (TMĐK) 1 Kết luận: P =  x = 64 4 Bài 2.11 3 2 Cho biểu thức B = 2x 7x 12x 45 3x3 19x2 33x 9 a) Rút gọn B b) Tìm x để B > 0 Hướng dẫn cách giải: - Đây là một phân thức, học sinh phải biết phân tích mẫu thức trước khi tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa. - Biết cách tìm x để B > 0 Cách giải: a) Phân tích mẫu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) = (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1) 1 Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 và x 3 b) Phân tích tử, ta có: 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15) = (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5) 1 Với x 3 và x 3 2x3 7x2 12x 45 (x - 3)2 (2x + 5) 2x + 5 Thì B = = 3x3 19x2 33x 9 (x - 3)2 (3x - 1) 3x - 1 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 27
28. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 1 x 3 3x 1 0 5 1 x x 2x + 5 2x 5 0 2 3 c) B > 0 > 0 3x - 1 3x 1 0 1 5 x x 2x 5 0 3 2 5 x 2 Vầy với x > 1 hoặc x 0 3 2 Khi giải bài toán này học sinh cần vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giải bất phương trình. Bài 2.12 3 2 Cho biểu thức D = x x 2x x x 2 x2 4 a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên c) Tìm giá trị của D khi x = 6 Hướng dẫn cách giải: - Đây là một phân thức có chứa giá trị tuyệt đối, học sinh phải biết xét giá trị tuyệt đối trước khi tìm điều kiện để biểu thức cónghĩa. - Biết cách tìm x nguyên để D nguyên. Cách giải: a) Nếu x + 2 > 0 thì x 2 = x + 2 nên ta có: x3 x2 2x x3 x2 2x x(x 1)(x 2) x2 x D = = x x 2 x2 4 x(x 2) x2 4 x(x 2) (x 2)(x 2) 2 Nếu x + 2 < 0 thì x 2 = - (x + 2) nên ta có: x3 x2 2x x3 x2 2x x(x 1)(x 2) x D = = x x 2 x2 4 x(x 2) x2 4 x(x 2) (x 2)(x 2) 2 Nếu x + 2 = 0 x = - 2 thì biểu thức D không xác định Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 28
29. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 2 b) Để D có giá trị nguyên thì x x hoặc x có giá trị nguyên 2 2 x2 x x2 - x  2 x(x - 1)  2 +) có giá trị nguyên 2 x > - 2 x > - 2 Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2 x x  2 x = 2k +) có giá trị nguyên x 2k (k Z; k 0 , y > 0 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 a) A . : 3 3 x y x y x y x y xy x y 2 x y x y x xy y xy x y . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y : xy xy xy x y 2 x y xy x y . . xy x y xy Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 29
30. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 2 b) Ta có x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . x y 2 xy 2 16 Do đó A 1 ( vì xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 Học sinh có thể lúng túng trong khi vận dụng bất đẳng thức Cauchy. Bài 2.14 Cho biểu thức 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 . Hướng dẫn cách giải: Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc trước. Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không. Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp. Ta đã trục căn thức ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng. Cách giải x 0 x 1 0 a) Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 30
31. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” b) Đkxđ : x 1;x 2;x 3 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c) Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta có: x 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Bài 2.15: Cho biểu thức: 4 x 8x x 1 2 P = ( ) : ( ) 2 x 4 x x 2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = -1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x 3)P x 1 Hướng dẫn cách giải: - Trước khi tìm đkxđ cần phân tích mẫu thức thành nhân tử trước, trong quá trình rút gọn cần đặt thêm đk cho x , lưu ý cách giải phương trình bạc hai, giải bất phương trình. Cách giải a) Ta có: x 2 x x( x 2) Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 31
32. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” x 0 x 0 x 0 ĐKXĐ: 4 x 0 x 4 x 2 0 Với x > 0 và x 4ta có: 4 x 8x x 1 2 P = ( ) : ( ) 2 x x 4 x ( x 2) x 4 x ( x 2) 8x x 1 2( x 2) : ( x 2)( x 2) x ( x 2 ) 4x 8x 8x x 1 2 x 4 : ( x 2)( x 2) x ( x 2) 4 x 8 x x 3 : ( Đk: x 9) ( x 2 )( x 2 ) x ( x 2 ) 4 x( x 2) x( x 2) 4 x. x( x 2) . ( x 2)( x 2) 3 x (3 x)( x 2) 4x x 3 4x Với x > 0 , x 4, x 9 thì P = x 3 b) P = - 1 4x 1( ĐK: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 4x 3 x 4x 3 x 0 Đặt x y đk y > 0 Ta có phương trình: 4y2 y 3 0 Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0 y1 1 ( không thoả mãn đk y > 0) Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 32
33. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 3 y ( thoả mãn đk y > 0) 2 4 3 9 Với y x thì x = ( thoả mãn đkxđ) 4 16 9 Vậy với x = thì P = - 1 16 c) m( x 3)P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 ) 4 x m ( x 3) x 1 x 3 m.4 x x 1 x 1 m 4 x ( do 4x > 0) x 1 x 1 1 1 Xét 4 x 4 x 4 x 4 4 x Có x > 9 (thoả mãn đkxđ) 1 1 ( hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì x 9 nhỏ hơn) 1 1 4 x 36 1 1 1 1 4 4 x 4 36 1 1 5 4 4 x 18 5 x 1 18 4x 5 Theo kết quả phần trên ta có : m x 1 18 m 4x 5 Kết luận: với m , x 9 thì m( x 3)P x 1 18 Học sinh thường gặp khó khăn ở phần c Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 33
34. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Dạng bài toán tổng hợp nên khi rút gọn học sinh còn hay nhầm lẫn khi thực hiện phép tính nên một số học sinh với dạng toán này còn hạn chế. Dạng 3: Các dạng bài toán rèn luyện cho học sinh khá, giỏi về rút gọn biểu thức đại số, rút gọn biểu thức chứa căn. Bài 3.1 Rút gọn biểu thức x2 - y2 - z2 + 2yz x + y - z A = : x2 + xz - y2 - yz x + y + z Hướng suy nghĩ - Để rút gọn được biểu thức này gợi ý cho học sinh phân tích tử, mẫu của biểu thức bị chia thành nhân, được bao nhiêu đem chia cho biểu thức chia => A = ? Cách giải x2 - y2 - z2 + 2yz x + y - z A = : x2 + xz - y2 - yz x + y + z Ta có: x2 - y2 - z2 + 2yz = x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y +z) x2 + xz - y2 - yz = (x - y)(x + y) + z(x - y) = (x - y)(x + y + z) (x + y - z)(x - y + z) (x + y + z) x - y + z  A = . = (x - y)(x + y + z) (x + y - z) x - y Bài 3.2: Rút gọn biểu thức 2 x2 x2 - y2 y2 x + y P = - ( - - )( ) x x2 + xy xy xy + y2 x2 + xy + y2 Hướng suy nghĩ: - Học sinh nắm chắc các ước rút gọn của biểu thức; - Thực hiện phép tính trong noặc trước, trong quá trình thực hiện biết phân tích mẫu thành nhân tử, để xuất hiện tử mẫu có nhân tử chung để rút gọn. Cách giải: 2 x2 x2 - y2 y2 x + y P = - ( - - )( ) x x2 + xy xy xy + y2 x2 + xy + y2 2 x2y - (x2 - y2)(x + y) - y2x x + y = - [ ]. x xy(x + y) x2 + xy + y2 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 34
35. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 2 xy(x - y) - (x - y)(x + y)2 x + y = - [ ]. x xy(x + y) x2 + xy + y2 2 (x - y)(xy - x2 - 2xy - y2) x + y = - [ ]. x xy(x + y) x2 + xy + y2 2 (x - y)(x2 + 2xy + y2) x + y = + . x xy(x + y) x2 + xy + y2 2 x + y = + x xy Bài 3.3 Rút gọn biểu thức 1 + b2 + c2 - (b - c)2 M = . 1 - a + b + c Đây là dạng bài tập không phải là mới đối với học sinh lớp 8,9 xong để làm được đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng rút gọn biểu thức. Cách giải: b2 + c2 - a2 1 + b2 + c2 - (b - c)2 M = 1 + . . 2bc 1 - a + b + c 2ab + b2 + c2 - a2 b2 + c2 - b2 + 2bc - c2 = . . 2bc a + b + c (b + c)2 - a2 a + b + c 2bc = . . 2bc b + c - a a + b + c (b + c + a)(b + c - a) a + b + c 2bc = . . 2bc b + c - a a + b + c = a + b + c Bài 3.4: Rút gọn biểu thức 1 1 1 1 Q= ( + + . - ) . 2 Hướng suy nghĩ: - Ta biến đổi các phép tính trong căn thức Cách giải: Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 35
36. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 5 1 5 5 - 2 ( - )2 Xét - = - = = 12 12 6 12 12 1 1 -  . - = = 6 1 1 - 1 Q = ( + + ) . 2 6 - 1 = ( + + ). 3 6 6 3 1 1 = . = 6 2 Bài 3.5 Tính giá trị của biểu thức m + n m + n n m P = : ( + - ) + m - + n Với m = 2 + 3, n = 2 - 3 - Đây là một biểu thức chứa chứ, trước hết ta phải rút gọn biểu thức sau đã mới thay giá trị m, n vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính. Cách giải: Ta rút gọn phần nằm trong ngoặc đơn: m + n n m m + n n m + - = + - m - + n ( - ) ( + ) (m + n)(m - n) + n( + ) + m( - ) = (m - n) n + m (m + n) m + n = = = (m - n) (m - n) m - n m + n m + n m - n  B = : = m - n + m - n Thay m = 2 + 3, n = 2 - 3 vào biểu thức B ta có: B = 2 + - 2 - = - Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 36
37. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” + 1 - 1 = - = 2 Vậy B = 2 Bài 3.6 m 1 m 2 2 1 1 1 1 1 A Cho A = ; B = . Tính 1 2 m 2 n 1 2 3 4 n B A, B là hai biểu thức có tính quy luật , để tính A ta cần rút gọn A & B. B Ta có n n n n 1 1 1 1 A = 1 1 .  1 n (n 1) 1 2 n 2 n 1 n 1 1 2 n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 A = n 1 n nB = n 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 B MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC 6 2 Bài 1:Chứng minh rằng 2 3 . 2 2 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau : 3 11 6 2 5 2 6 a) 11 2 10 b) 9 2 14 c) 2 6 2 5 7 2 10 Bài 3: Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5) x 4(x 1) x 4(x 1) 1 Bài 4: Rút gọn biểu thức : A = . 1 . x2 4(x 1) x 1 Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau : a b b a 1 a) : a b (a, b > 0 ; a ≠ b) ab a b Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 37
38. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 14 7 15 5 1 b) : 2 1 2 1 3 7 5 a a a a c) 1 1 1 a a 1 a 1 Bài 6: Cho hằng đẳng thức : a a 2 b a a 2 b a b (a, b > 0 và a2 – b > 0). 2 2 Áp dụng kết quả để rút gọn : 2 3 2 3 a) 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 b) 17 12 2 17 12 2 2 10 30 2 2 6 2 c) : 2 10 2 2 3 1 b ab a b a b Bài 7: Rút gọn : a : a b ab b ab a ab 1 a a 1 a a Bài 8: Cho A 1 a 2 : a a 1 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A với a = 9. c) Với giá trị nào của a thì | A | = A. Bài 9: Cho biểu thức : a b 1 a b b b B . a ab 2 ab a ab a ab a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B nếu a 6 2 5 . c) So sánh B với -1. Bài 10: Cho biểu thức: Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 38
39. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 1 1 a b A : 1 a a b a a b a b a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm b biết | A | = -A. c) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2 . Bài 11: Cho biểu thức: a 1 a 1 1 A 4 a a a 1 a 1 a a) Rút gọn biểu thức A. 6 b) Tìm giá trị của A nếu a . 2 6 c) Tìm giá trị của a để A A . Bài 12: Cho biểu thức: a 1 a a a a A . 2 2 a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A để A = - 4 Bài 13: Thực hiện phép tính : 1 a 1 a 1 a 1 a A : 1 a 1 a 1 a 1 a Bài 14: Rút gọn các biểu thức sau : x y 1 1 1 2 1 1 a) A : . . 3 xy xy x y x y 2 xy x y x y với x 2 3 ; y 2 3 . x x2 y2 x x2 y2 b) B với x > y > 0 2(x y) 2a 1 x2 1 1 a a c) C với x ; 0 < a < 1 1 x2 x 2 a 1 a Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 39
40. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” a 2 1 b2 1 d) D (a b) với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 c2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 e) E . 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 x x2 2x x x2 2x Bài 15: Cho biểu thức : A . x x2 2x x x2 2x a) Tìm giá trị của x để biểu thức A cónghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A 0 ; a ≠ 1 a 2 a 1 a 1 a Bài 18: Cho biểu thức c ac 1 B a . a c a c a c ac c ac a ac a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0. Bài 19: Cho biểu thức : Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 40
41. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 2mn 2mn 1 A= m+ 2 m 2 1 2 với m ≥ 0 ; n ≥ 1 1+n 1 n n a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 20: Rút gọn biểu thức 1 x 1 x 1 1 x x D 2 1 1 x 1 x 1 x2 1 x x x 1 x 1 x2 Bài 21: Xét biểu thức: x2 x 2x x y 1 . x x 1 x a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ? Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích thực nghiệm: Là đánh giá nhận thức học tập của học sinh trong việc tiếp cận bài giải toán rút gọn biểu thức đại số, từ đã giáo viên mới cócách điều chỉnh giúp học sinh khắc phục những tồn tại. 2. Nội dung thực nghiệm: Chủ đề Kiến thức Kĩ năng Rút gọn phân Học sinh nắm vững và Học sinh bước đầu nhận biết thức vận dụng được quy tắc được những trường hợp cần rút gọn phân thức đổi dấu và biết cách đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung của tử và mẫu. Rèn kỹ năng rút gọn phân thức. Luyện tập Học sinh nắm vững và Cókỹ năng trong việc phân Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 41
42. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” biết vận dụng được tính tích thành nhân tử để rút chất cơ bản để rút gọn gọn phân thức. phân thức, biết sử dụng Học sinh cóthái độ chính trong trường hợp đổi xác trong tính toán và linh dấu hoạt trong áp dụng. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 42
43. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” MỘT SỐ GIÁO ÁN MINH HỌA Giáo án 1: Ngày soạn :9/11/2011 Ngày dạy : 10/11 2011 Lớp 8A Lớp 8B Tuần 11 – Tiết 23 : Bài 3: RÚT GỌN PHÂN THỨC I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức :- Học sinh nắm vững quy tắc rút gọn phân thức. Cókỹ năng rút gọn phân thức, hiểu được cơ sở lý thuyết của rút gọn phân thức là tính chất cơ bản của phân thức. - HS bước đầu nhận biết được những trường hợp cần đổi dấu và biết cách đổi dấu trong quá trình rút gọn phân thức. 2. Kỹ Năng :- Tiếp tục củng cố các kỹ năng PTĐT thành nhân tử, kỹ năng trình bày, kỹ năng nhân (chia) đơn đa thức, đổi dấu các số hạng trong BTĐS. 3. Thái độ :-HS cóthái độ cẩn thận, yêu thích môn học . II. CHUẨN BỊ GV : SGK , SGV Bảng phụ, phấn màu ,phiếu học tập HS : SGK, Gỉai các bài tập ở nhà . III. CÁC HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP 1. Ổn định lớp Kiểm tra sĩ số hs: Lớp: 8A: Lý do: Lớp 8B: Lý do: 2. Kiểm tra bài cũ HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG GV HS1 : Phát biểu tính chất HS trả lời : Bài 6 : cơ bản của phân thức , viết Bài 6 : dạng tổng quát ? Chia x5 -1 cho x – 1 được Chia x5 -1 cho x – 1 được Chữa bài 6 Tr 38 SGK thương là x4+x3+x2+x + 1 thương là x4+x3+x2+x + 1 x5 – 1 = ( x -1 ) x5 – 1 = ( x -1 ) (x4+x3+x2+x + 1 ) (x4+x3+x2+x + 1 ) HS 2 : Phát biểu quy tắc x5 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) x5 1 2 đổi dấu x 1 (x 1)(x 1) x2 1 Chữa bài 5 ( b ) SBT 4 3 2 x x x x 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) x 1 (x 1)(x 1) GV nhận xét cho điểm : HS 2 : Trả lời x4 x3 x2 x 1 Chữa bài tập 5 ( b) SBT x 1 Chữa bài tập 5 ( b) SBT Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 43
44. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 8x 2 8x 2 8x 2 8x 2 (4x 2)(15 x) (4x 2)(15 x) 2(4x 2 4x 1) 2(4x 2 4x 1) 2(2x 1)(15 x) 2(2x 1)(15 x) 2(2x 1)2 2(2x 1)2 2(2x 1)(15 x) 2(2x 1)(15 x) 2x 1 1 2x 2x 1 1 2x 15 x x 15 15 x x 15 HS nhận xét bài làm của bạn 3. Bài mới Ở đẳng thức a bằng cách chia cả tử và mẫu cho 1 đa thức ta được một phân thức gọn hơn. Làm như thế gọi là rút gọn phân thức. Ta xem cách rút gọn phân thức có giống cách rút gọn phân số hay không ? HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG GV Nhờ tính chất cơ bản 1/ Rút gọn phân thức : của phân số , mọi phân số đều có thể rút gọn . Phân thức cũng có tính chất ?* Nhân tử chung : 2x2 giống như tính chất cơ chia tử mẫu cho 2x2 . bản của phân số . Ta xét 4x 3 4x 3 : 2x 2 2x a. xem có thể rút gọn phân HS : Nhân tử chung của tử và 10x 2 y 10x 2 y : 2x 2 5y thức như thế nào ? mẫu là 2x2 GV : Qua bài tập các bạn 4x3 4x3 : 2x2 2x 5x 10 1 2 2 2 b. đã sửa trên bảng ta thấy 10x y 10x y : 2x 5y 25x 2 100 5x nếu cả tử và mẫu của HS : Tử và mẫu của phân thức phân thức có nhân tử tìm được có hệ số nhỏ hơn , số Muốn rút gọn phân thức ta chung thì sau khi chia cả mũ thấp hơn so với hệ số và số có thể : tử và mẫu cho nhân tử mũ tương ứng của phân thức đã Phân tích tử và mẩu thành chung ta sẽ được một cho . nhân tử (nếu cần) tìm phân thức đơn giản hơn . nhân tử chung GV cho HS làm ?1 tr 38 Chia tử và mẩu cho nhân SGK tử chung Hỏi : Em có nhận xét gì HS hoạt động nhóm VD: về hệ số và số mũ của Bài làm của các nhóm : 14x3 y2 14x3 y2 : 7xy2 2x2 a) phân thức tìm được so với 14x3 y2 14x3 y2 : 7xy2 2x2 21xy5 21xy5 : 7xy2 3y3 a) hệ số và số mũ tương ứng 5 5 2 3 15x2 y4 15x2 y4 :5xy4 3x 21xy 21xy : 7xy 3y b) của phân thức đã cho ? 20xy5 20xy5 :5xy4 4y GV : Cách biến đổi như 15x2 y4 15x2 y4 :5xy4 3x 6x3y 6x3y:6x2 y x x c) trên gọi là rút gọn phân b) 5 5 4 2 2 2 20xy 20xy :5xy 4y 12x y 12x y:6x y 2 2 thức GV Chia lớp thành 4 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 44
45. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” nhóm . 6x3y 6x3y:6x2 y x x 2 2 c) 8x y 14x3 y2 2 2 2 12x y 12x y:6x y 2 2 d) 3 3 a) 5 21xy 8x2 y2 8x2 y2 : 2x2 y2 4 10x y d) 15x2 y4 10x3 y3 10x3 y3 : 2x2 y2 5xy 8x2 y2 : 2x2 y2 4 b) 5 20xy Đại diện các nhóm trình bày lời 3 3 2 2 6x3 y giải 10x y : 2x y 5xy c) 12x2 y HS làm bài vào vở , một HS 2 2 lên bảng làm 8x y d) 10x3 y3 GV cho HS làm việc cá nhân ?2 GV hướng dẫn các bước HS hoạt động nhóm làm : 2 2 2 2 x 2x 1 (x 1) x 1 x 2x 1 (x 1) x 1 -Phan tích tử và mẫu a) a) 5x3 5x2 5x2 (x 1) 5x2 5x3 5x2 5x2 (x 1) 5x2 thành nhân tử rồi tìm x2 4x 4 (x 2)2 x 2 x2 4x 4 (x 2)2 x 2 nhân tử chung b) b) -Chia cả tử và mẫu cho 3x 6 3(x 2) 3 3x 6 3(x 2) 3 4x 10 2(2x 5) 2 4x 10 2(2x 5) 2 nhân tử chung c) c) Tương tự các em hãy rút 2x2 5x x(2x 5) x 2x2 5x x(2x 5) x gọn phân thức sau x(x 3)2 x(x 3)2 x(x 3) x(x 3)2 x(x 3)2 x(x 3) d) d) ( HS hoạt động nhóm , x2 9 (x 3)(x 3) x 3 x2 9 (x 3)(x 3) x 3 mỗi nhóm làm một câu ) HS nhận xét x2 2x 1 a) HS : Muốn rút gọn một phân 5x3 5x2 thức ta có thể : x2 4x 4 b) -Phân tích tử và mẫu thành 3x 6 nhân tử để tìm nhân tử chung 4x 10 c) -Chia cả tử và mẫu cho nhân tử 2x2 5x chung x(x 3)2 Hai HS Trả lời d) x2 9 HS đọc ví dụ Hỏi : Qua các VD trên em HS suy nghĩ tìm cách rút gọn hãy rút ra nhận xét : x 3 (3 x) 1 3(y x) a) 3 Muốn rút gọn một phân 2(3 x) 2(3 x) 2 y x thức ta làm như thế nào ? HS đọc ví dụ 3(x 2) 3(2 x) 3 b) (2 x)(2 x) (2 x)(2 x) 2 x GV yêu cầu HS nhắc lại HS hoạt động nhóm x(x 1) x(1 x) c) x các bước làm ? 1 x 1 x GV em hãy đọc VD 1 (1 x) 1 d) SGK Tr39 (1 x)3 (1 x)2 Rút gọn phân thức sau : x 3 2(3 x) GV nêu chú ý SGK Yêu cầu HS đọc VD 2 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 45
46. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” SGK 3(y x) a) 3 GV cho HS hoạt động y x nhóm rút gọn các phân 3(x 2) 3(2 x) 3 b) thức sau : (2 x)(2 x) (2 x)(2 x) 2 x 3(x y) x(x 1) x(1 x) a) c) x y x 1 x 1 x 3x 6 b) (1 x) 1 2 d) 4 x (1 x)3 (1 x)2 x2 x c) 1 x x 1 d) (1 x)3 4. Vận dụng - Củng cố HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG Bài 7 Tr 39 SGK HS làm bài vào vở 6x2 y5 3x a) GV yêu cầu HS làm 4 HS lên bảng 8xy5 4 2 5 vào vở , gọi 4 HS lên 6x y 3x 10xy2 (x y) 2y HS1 : a) 5 b) bảng trình bày 8xy 4 15xy(x y)3 3(x y)2 2 10xy (x y) 2y 2x2 2x 2x(x 1) HS2 : b) 3 2 c) 2x 15xy(x y) 3(x y) x 1 x 1 2x2 2x 2x(x 1) 2 HS3 : c) 2x x xy x y x 1 x 1 d) 2 HS4 : x xy x y x2 xy x y x(x y) (x y) x(x y) (x y) d) x2 xy x y x(x y) (x y) Hỏi : Nêu các bước x(x y) (x y) (x y)(x 1) x y rút gọn phân thức (x y)(x 1) x y (x y)(x 1) x y Cơ sở cuả việc rút (x y)(x 1) x y gọn phân thức là gì ? HS : Cơ sở của việc rút gọn phân thức là tính chất cơ bản của phân thức 5.Hướng dẫn về nhà. Làm bài tập trang 40/sgk và sách BT Ôn tập quy đồng mẫu số nhiều phân số Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 46
47. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” Giáo án 2: Ngày soạn :9/11/2011 Ngày dạy : 10/11/2011 Lớp 8A Lớp 8B Tuần 11 – Tiết 24 : LUYỆN TẬP I. MỤC TIÊU 1 Kiến thức :- Củng cố để học sinh nắm chắc các khái niệm chung về phân thức: định nghĩa – tính chất cơ bản của phân thức, cách rút gọn phân thức. 2 Kỹ năng:- Rèn kỹ năng rút gọn phân thức; kỹ năng PTĐT thành nhân tử; kỹ năng trình bày các bài tập toán đúng thể loại. 3 Thái độ :-HS có thái độ cẩn thận, yêu thích môn học II. CHUẨN BỊ GV : SGK, SGV , Bảng phụ, phấn màu , giải các bài tập mẫu . HS : SGK, Nắm vững lí thuyết ,chuẩn bị các bài tập về nhà III. CÁC HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP 1. Ổn định lớp Kiểm tra sĩ số hs: Lớp: 8A: Lý do: Lớp 8B: Lý do: 2. Kiểm tra bài cũ HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG GV HS1 : 1 ) Muốn rút gọn HS 1 : Trả lời và làm bài tập Chữa bài 9 tr 40 SGK phân thức ta làm thế nào ? Bài 9 : Chữa bài 9 tr 40 SGK 36(x 2)3 36(x 2)3 36(x 2)3 a) GV lưu ý HS không biến 32 16x 16(2 x) 16(x 2) đổi nhầm 9(x 2)2 9(x 2)2 9(2 x)2 4 4 4 x 2 x y b ) HS2 : Phát biểu tính chất 5 y 2 5 x y cơ bản của phân thức . x ( x y ) x ( y x ) Viết công thức tổng quát 5 y ( y x ) 5 y ( y x ) x 5 y Chữa bài 11tr40 SGK HS2 : Trả lời Chữa bài 11tr40 SGK GV nhận xét cho điểm HS Bài 11 Tr40 12x3 y2 6xy2.2x2 2x2 a) 18xy5 6xy2.3y3 3y3 GV kiểm tra một số bài 15x(x 5)3 3(x 5)2 b) dưới lớp 20x2 (x 5) 4x GV nhận xét cho điểm HS nhận xét sửa bài Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 47
48. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 3. Dạy bài mới HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG HOẠT ĐỘNG GV Bài 12 Tr 40 SGK HS : Ta phải phân tích tử và mẫu thức Bài 12 SGK Tr 40 SGK Hỏi : Muốn rút gọn thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho 3x2 12x 12 a = phân thức nhân tử chung x4 8x 3x2 12x 12 HS lên bảng thực hiện 2 ta làm 3(x 4x 4) 4 2 x 8x a3x 12x 12 = x(x3 8) thế nào ? x4 8x 2 Em hãy thực hiện 3(x2 4x 4) 3(x 2)2 3(x 2) điều đó ? x(x3 8) x(x 2)(x2 2x 4) x(x 2)(x2 2x 4) GV gọi 2 HS lên 3(x 2) 3(x 2) bảng thực hiện hai 2 x(x 2x 4) x(x2 2x 4) câu a , b 7x2 14x 7 7(x2 2x 1) b) 7x2 14x 7 3x2 3x 3x(x 1) b) 3x2 3x 7(x 1)2 7(x 1) HS2 : 7(x2 2x 1) 3x(x 1) 3x 3x(x 1) HS nhận xét 7(x 1)2 7(x 1) HS hoạt động nhóm 3x(x 1) 3x Sau 5 phút đại diện nhóm trình bày lời GV cho HS làm thêm giải 4 câu theo nhóm Nhóm 1 : 80x3 125x c) 3(x 3) (x 3)(8 4x) HS làm bài , Hai HS lên bảng làm 45x(3 x) 45x(x 3) 3 a) 15x(x 3)3 15x(x 3)3 (x 3)2 Nhóm 2 : 2 2 Bài 13 Tr 40 SGK 2 y x (y x)(y x) 9 (x 5) 3 2 2 3 3 a) d) 2 x 3x y 3xy y (x y) x 4x 4 b) 45x(3 x) Nhóm 3 : (x y)(x y) (x y) 3 3 2 15x(x 3) 32x 8x2 2x3 (x y) (x y) e) 3 45x(x 3) 3 x 64 3 2 Nhóm 4 : f) 15x(x 3) (x 3) 2 2 x2 5x 6 y x 3 2 2 3 x2 4x 4 x 3x y 3xy y Bài 13 Tr 40 SGK HS : Muốn chứng minh một đẳng thức (y x)(y x) GV yêu cầu HS làm ta có thể biến đổi một trong hai vế của (x y)3 b) bài vào vở đẳng thức để bằng vế còn lại (x y)(x y) Hoặc là ta có thể biến đổi lần lượt hai (x y)3 vế để cùng bằng một biểu thức nào đấy GV theo dõi HS làm (x y) HS : Đối với câu a ta có thể biến đổi vế dưới lớp (x y)2 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 48
49. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” trái rồi so sánh với vế phải 1 HS lên bảng , HS khác làm vào vở Bài 10 Tr17 SBT x2 y 2xy2 y3 y(x2 2xy y2 ) 2 2 2 2 2 x 2 y 2 xy 2 y 3 2x xy y (x xy) (x y ) 2 x 2 xy y 2 y(x y)2 y(x y)2 y ( x 2 2 xy y 2 ) x(x y) (x y)(x y) (x y)(x x y) ( x 2 xy ) ( x 2 y 2 ) Bài 10 Tr17 SBT 2 y(x y) xy y y ( x y ) 2 Hỏi : muốn chúng minh một đẳng thức 2x y 2x y x ( x y ) ( x y )( x y ) Vế trái = vế phải y ( x y ) 2 ta làm thế nào ? Vậy đẳng thức được chứng minh ( x y )( x x y ) HS 2 : y ( x y ) xy y 2 GV cụ thể đối với Biến đổi vế trái : 2 x y 2 x y x2 3xy 2y2 x2 2xy xy 2y2 câu a ta làm thế nào ? x3 2x2 y xy2 2y3 x2(x 2y) y2(x 2y) x2 3xy 2y2 x(x 2y) y(x 2y) (x 2y)(x y) 3 2 2 3 GV : Em hãy thực x 2x y xy 2y (x 2y)(x2 y2) (x 2y)(x y)(x y) hiện điều đó ? x2 2xy xy 2y2 1 x2 (x 2y) y2 (x 2y) xy Sau khi biến đổi vế trái bằng vế phải . x(x 2y) y(x 2y) 2 2 Vậy đẳng thức được chứng minh (x 2y)(x y ) (x 2y)(x y) (x 2y)(x y)(x y) 1 GV : cách làm tương xy tự câu a em hãy làm câu b GV gọi HS nhận xét 4. Vận dụng – Củng cố HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS NỘI DUNG GV yêu cầu HS nhắc lại tính chất HS nhắc lại tính chất cơ bản cơ bản của phân thức. của phân thức, quy tắc đổi Quy tắc đổi dấu, nhận xét về cách dấu, nhận xét về cách rút gọn rút gọn phân thức phân thức. 5. Hướng dẫn về nhà Học thuộc các tính chất , quy tắc đổi dấu , cách rút gọn phân thức ; Bài tập : 11, 13 Tr17 , 18 SBT ; Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 49
50. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” 3. Kết quả thực nghiệm Qua kết quả nghiên cứu và giảng dạy Tôi nhận thấy : - Học sinh rèn được phương pháp tự học, tự phát hiện vấn đề, biết nhận dạng một số bài toán, nắm vững cách giải. Kĩ năng trình bày một bài toán khoa học, rõ ràng. Đa số các em đã yêu thích giờ học Toán học, nhiều học sinh tích cực xây dựng bài. - Học sinh rất có hứng thú để giải bài tập phần rút gọn biểu thức và Toán học nói chung. - Trước đây kết quả giảng dạy trên lớp đạt 80% đến 85% trên trung bình, khi sử dụng các kinh nghiệm trên. kết quả giảng dạy tăng lên từ 96% đến 98% từ trung bình trở lên. Kết quả cụ thể: So sánh kết quả 02 năm học trên những đối tượng lớp và học sinh tương đương + Năm học: 2010-2011 TT Khối Số Giỏi Khá TB Yếu lớp HS SL % SL % SL % SL % 1 8 A,B 70 10 14,2 20 28,5 35 50 5 7,14 2 9 A,B 68 9 13,2 24 35,2 32 47,0 3 4,41 + Năm học: 2011-2012 TT Khối Số Giỏi Khá TB Yếu lớp HS SL % SL % SL % SL % 1 8 A,B 67 12 17,9 25 37,3 28 41,7 2 3,0 2 9 A,B 69 12 17,3 28 40.5 26 37,6 3 4,3 Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 50
51. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” PHẦN 3. KẾT LUẬN Việc hệ thống "Rút gọn biểu thức đại số" không thể dạy một tiết, hai tiết, mà là cả một quá trình dạy toán. Chẳng hạn các em học sinh ở lớp 7 các em mới được học khái niệm về biểu thức đại số, mà mỗi khi học dến vấn đề nào người giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh trong phạm vi đó, từ đó học sinh dần dần lĩnh hội kiến thức một cách có hệ thống và vận dụng hợp lí các dạng bài tập. Trong thực tế các dạng bài toán, mỗi vấn đề thường có nhiều phương án giải quyết, mỗi phương pháp có nhiều ưu điểm, nhược điểm riêng của nó. Đối với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên nên khuyến khích tìm tòi nhiều cách khác nhau để qua đã các em được củng cố kiến thức, rèn kĩ năng, phát triển tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo, vận dụng kiến thức đã học vào việc rút gọn. Với học sinh trung bình có thể làm được những bài tập điểm hình đơn giản. Với học sinh khá giỏi các em có thói quen tư duy sâu hơn. Tìm ra hướng suy nghĩ để giải bài tập, có kĩ năng đơn giản hóa các vấn đề phức tạp. Đặc biệt nhiều học sinh rất hứng thú học toán, có học sinh đã tìm các bài tập để làm và đề nghị giáo viên ra những bài tập khó hơn. *Những kinh nghiệm rút ra: Thực tiễn đã được thực hiện ở trường Trạm Tấu, trong nhiều năm với hai khối 8,9 đạt kết quả 70% học sinh biết suy nghĩ và tìm cách rút gọn.Trong đó 50% học sinh giải quyết tốt các bài tập có liên quan đến rút gọn. Trong quá trình thực hiện đề tài, Tôi nhận thấy để làm tốt đề tài này yêu cầu giáo viên và học sinh phải thực hiện tốt một số nội dung sau: - Đối với giáo viên: + Nghiên cứu SGK, SBT và các tài liệu tham khảo, nâng cao; + Tránh một số sai lầm mà học sinh hay vướng mắc; + Giúp học sinh suy nghĩ để giải bài tập là chủ yếu + Trong quá trình làm bài tập bao giờ cũng rèn luyện cho học sinh làm thành thạo các bài tập cơ bản ở SGK để các em nắm chắc lí thuyết, sau đó nâng dần bài tập lên giúp các em tư duy cao hơn; Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 51
52. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” + Trước khi làm bài tập giáo viên phải nghiên cứu thật kĩ và giải bằng nhiều phương pháp; + Khi đưa ra một bài toán bao giờ cũng yêu cầu học sinh giải bằng nhiều cách (nếu có thể) sau đã tìm ra lời giải hay nhất. - Đối với học sinh: + Học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản, bằng cách học lí thuyết trước khi làm bài tập; + Rèn thói quen không phụ thuộc nhiều vào sách vở; + Đứng trước một bài toán rút gọn phải đọc kĩ đề bài, tìm hiểu xem vận dụng phương pháp nào đã học cho phù hợp; + Với mỗi bài toán phải rút ra bài học cho bản thân. Trên đây là đề tài Tôi đưa ra với mục đích nghiên cứu hiểu sâu bản chất của việc rút gọn biểu thức đại số là rất quan trọng trong quá trình học toán ở trường THCS. Do vậy khi nghiên cứu đề tài này Tôi đã có thêm những hiểu biết của mình, gióp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân trong những năm tiếp theo. Đề tài "Rút gọn biểu thức đại số" đối với chương trình toán THCS tổng hợp kiến thức từ lớp 7 đến lớp 9, có nhiều dạng bài tập được trình bày logic. Ngoài SGK và SBT Tôi còn tham khảo thêm bài tập nâng cao, bên cạnh đó Tôi tham khảo thêm đồng nghiệp đã cùng Tôi giảng dạy nghiên cứu về toán THCS. Tuy nhiên trong nội dung đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự giúp đỡ của thầy giáo và sự góp ý của các đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn. Phú Thọ, ngày 20 tháng 6 năm 2012 Trần Văn Trung Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 52
53. Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số” PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nâng cao và phát triển Toán 7- (Hai tập), Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục. 2. Nâng cao và phát triển Toán 8- (Hai tập), Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục. 3. Nâng cao và phát triển Toán 9- (Hai tập), Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục. 4. Ôn tập Đại số 9, Vũ Hữu Bình ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục. 5. Ôn tập và tự kiểm tra đánh giá Toán 9, Trần Phương Dung ( Chủ biên)- nhà xuất bản Giáo dục. 6. Luyện tập Đại số 9, Nguyễn Bá Hịa - nhà xuất bản Giáo dục. 7. Toán cơ bản và nâng cao 9 –(Hai tập), TS. Vũ Thế Hựu - nhà xuất bản Giáo dục. 8. 400 bài toán cơ bản và mở rộng lớp 7, Dương Đức Kim – Đỗ Duy Đồng - nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội. 9. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 9, TS. Nguyễn Văn Lộc - nhà xuất bản Giáo dục. 10. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số 9, Nguyễn Đức Tấn - nhà xuất bản Giáo dục. 11. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số, Nguyễn Vũ Thanh - nhà xuất bản Giáo dục. 12. Luyện giải và ơn tập Toán 7- (Hai tập), Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục. 13. Luyện giải và ơn tập Toán 8- (Hai tập), Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục. 14. Sổ tay kiến thức Toán THCS, Vũ Dương Thụy ( Chủ biên), Tơn Thân - Vũ Hữu Bình - nhà xuất bản Giáo dục. 15. Luyện giải và ơn tập Toán 8- (Hai tập), Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) - nhà xuất bản Giáo dục. 16. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 9 –(Hai tập) Tơn Thân ( Chủ biên)- Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên - nhà xuất bản Giáo dục. 17. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 8, Tơn Thân - Vũ Hữu Bình – Đỗ Quang Thiều - nhà xuất bản Giáo dục. 18. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9, Tơn Thân - Vũ Hữu Bình – Đỗ Quang Thiều - nhà xuất bản Giáo dục. Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội) 53