Luận văn Định lý cơ bản thứ hai cartan của lý thuyết Nevanlinna

Nội dung text: Luận văn Định lý cơ bản thứ hai cartan của lý thuyết Nevanlinna

1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ THANH HUYỀN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
2. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ THANH HUYỀN ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN CỦA LÝ THUYẾT NEVANLINNA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
3. i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH. Trần Văn Tấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Hà Trần Phương và các thầy cô giáo trong tổ Giải tích trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSP Thái Nguyên và khoa Toán là nơi mà tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè là nguồn động viên lớn lao trong quá trình tôi làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011 Tác giả Hà Thị Thanh Huyền Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
4. ii Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Hàm đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hàm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 n 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP 4 1.1.4 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát . . . . . . . . . 5 1.2 Một số định lý và mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan 8 2.1 Công thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Bổ đề đạo hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Định lý cơ bản thứ hai Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình 19 3.1 Định lý Smiley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ các siêu phẳng . 21 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
5. 1 Mở đầu Năm 1925 Nevanlinna công bố một nghiên cứu về sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Kết quả này sau đó nhanh chóng được mở rộng sang trường hợp chiều cao và hình thành một Lý thuyết mang tên Nevanlinna. Trọng tâm của Lý thuyết Nevanlinna này là hai định lý cơ bản, thứ nhất và thứ hai. Trong khi Định lý cơ bản thứ nhất là một hệ quả trực tiếp của công thức Jensen thì Định lý cơ bản thứ hai còn được biết đến trong rất ít trường hợp. Năm 1933 Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức C sang không gian xạ ảnh phức n chiều n n CP : Với ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính f : C → CP và n q siêu phẳng H1, , Hq ở vị trí tổng quát trong CP , H. Cartan đã chứng minh: với mỗi r > 0 ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, q P [n] (q − n − 1) Tf (r) ≤ N (r) + o (Tf (r)). Hj(f) j=1 Định lý trên không chỉ là kết quả đầu tiên cho trường hợp chiều cao, mà chứng minh của nó còn có vai trò quan trọng trong việc chứng minh các Định lý cơ bản thứ hai trong nhiều trường hợp khác. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu cách chứng minh của kết quả có tính chất khơi đầu nói trên. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng tìm hiểu ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinnna trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
6. 2 Nội dung luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna. Chương 2: Chúng tôi trình bày Định lý cơ bản thứ hai Cartan. Chương 3: Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai Cartan trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
7. 3 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna 1.1 Một số khái niệm cơ bản 1.1.1 Hàm đếm Cho ϕ là một hàm phân hình khác đồng nhất không trên C. Kí hiệu νϕ là divisor các không điểm của ϕ, có nghĩa là νϕ (a) = m nếu a là không điểm bội m của ϕ và νϕ (a) = 0 trong trường hợp còn lại. Với mỗi số nguyên dương ( hoặc +∞ ) k, đặt [k] X nϕ (t) = min {νϕ (z) , k}, |z| 0. Định nghĩa 1.1. Hàm đếm các không điểm của ϕ với bội ngắt bởi k được định nghĩa như sau r [k] [k] R nϕ (t) Nϕ (r) = t dt. 1 Trong trường hợp k = +∞, ta bỏ ký tự [k] trong hàm đếm và trong divisor. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
8. 4 1.1.2 Hàm xấp xỉ Định nghĩa 1.2. Hàm xấp xỉ của ϕ được định nghĩa bởi 1 R + m (r, ϕ) = 2π log |ϕ (z)| dθ. |z|=r Ở đây ta kí hiệu log+x = max {log x, 0}, với x ∈ (0, +∞). Ta để ý rằng + + 1 log x = log x − log x, + + 1 |log x| = log x + log x, n n + P P + log xj ≤ log xj + log n, j=1 j=1 n n + Q P + log xj ≤ log xj. j=1 j=1 Từ đó suy ra n ! n P P m r, ϕj ≤ m (r, ϕj) + O (1), j=1 j=1 n ! n Q P m r, ϕj ≤ m (r, ϕj). j=1 j=1 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP n n Định nghĩa 1.3. Ánh xạ chỉnh hình từ C vào CP hay còn gọi là đường n cong chỉnh hình, trong không gian xạ ảnh CP được định nghĩa là ánh xạ n f = (f0 : : fn): C → CP z 7→ (f0 (z): : fn (z)) trong đó fj, 0 ≤ j ≤ n, là các hàm nguyên trên C. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
9. 5 1.1.4 Hàm đặc trưng n Cho f : C → CP là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng với biểu diễn rút gọn f = (f0 : : fn). n Khi đó với mỗi siêu phẳng H : a0x0 + + anxn = 0 thuộc CP , đặt (f, H) = H (f) := a0f0 + + anfn. [k] Dễ dàng nhận thấy hàm đếm NH(f)(r) không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn của f và biểu diễn phương trình của H. q 2 2 Kí hiệu kfk = |f0| + + |fn| . Định nghĩa 1.4. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi 1 Z 1 Z T (r) = log kfk dθ − log kfk dθ, r > 1. f 2π 2π |z|=r |z|=1 1.1.5 Họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát n Định nghĩa 1.5. Họ các siêu phẳng H1, , Hq thuộc CP được gọi là ở vị trí tổng quát nếu với mỗi họ k siêu phẳng trong chúng ( k ≤ n + 1 ) thì giao của k siêu phẳng này là một phẳng có số chiều bằng n − k. Trong trường hợp q ≥ n + 1, thì họ các siêu phẳng nói trên ở vị trí tổng quát nếu và chỉ nếu giao của mỗi họ n + 1 siêu phẳng trong chúng bằng rỗng. 1.2 Một số định lý và mệnh đề n Mệnh đề 1.6. Cho n+1 siêu phẳng H0, , Hn ở vị trí tổng quát trong CP n và ánh xạ chỉnh hình khác hằng f : C → CP . Đặt F = (H0 (f): : Hn (f)). Khi đó Tf (r) = TF (r) + O (1) . Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
10. 6 Chú ý 1.7. Ta sử dụng kí hiệu kP để chỉ mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) trừ một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. Định lý 1.8. (Định lý Stoke) Cho D là một miền trong C với biên ∂D thuộc lớp C1. Xét η = P dz + Qdz¯ là 1− dạng thuộc lớp C1 trong một lân cận mở của D¯. Khi đó ta có Z Z Z  ∂P ∂Q dη = dη = − + dz ∧ dz.¯ ∂z¯ ∂z ∂D D D 2 Cho ϕ là một hàm khả vi trên C ( = R ), nhận giá trị phức. Biểu diễn ϕ = u (x, y) + iv (x, y). Kí hiệu ∂ϕ ∂u ∂v ∂x = ∂x + i∂x, ∂ϕ ∂u ∂v ∂y = ∂y + i∂y , ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ ∂z = 2 ∂x − i ∂y , ∂ϕ 1 ∂ϕ ∂ϕ ∂z¯ = 2 ∂x + i ∂y , dz = dx + idy, dz¯ = dx − idy, ∂ϕ ¯ ∂ϕ ∂ϕ = ∂z dz, ∂ϕ = ∂z¯ dz¯,   c i ¯
    1 ∂ϕ ∂ϕ d ϕ = 4π ∂ϕ − ∂ϕ = 4π ∂x dy − ∂y dx , dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ¯ . c i ¯ i ∂2ϕ Ta có dd ∂ = 2π ∂∂ϕ = 2π ∂z∂z¯dz ∧ dz¯. Đối với toạ độ cực, z = reiθ, z¯ = re−iθ, ta có Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
11. 7 ∂ϕ ∂ϕ dϕ = ∂r dr + ∂θ dθ, dz = eiθdr + rieiθdθ, dz¯ = e−iθdr − rie−iθdθ, c 1  ∂ϕ 1 ∂ϕ  d ϕ = 4π r ∂r dθ − r ∂θ dr . Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
12. 8 Chương 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan 2.1 Công thức Jensen Cho ϕ là một hàm nhận giá trị thực( bao gồm cả ±∞) trên C sao cho Z = {z : ϕ (z) = ±∞} là một tập rời rạc. Giả sử ϕ thuộc lớp C2 trên 2 C\Z và tại mỗi điểm aν ∈ Z có một C − hàm ψν trên một lân cận của aν và tồn tại số thực λν thoả mãn ϕ (z) = λν. log |z − aν| + ψν (z). Ta có ¯ 1 ¯ ∂∂ log |z − aν| = 2∂∂ log (z − aν) (z − aν) 1 ∂2 = 2 ∂z∂z¯ log (z − aν) (z − aν)dz ∧ dz¯   = 1 ∂ z−aν dz ∧ dz¯ 2 ∂z (z−aν )(z−aν )   = 1 ∂ 1 dz ∧ dz¯ = 0. 2 ∂z z−aν ¯ Do đó (1, 1)− dạng ∂∂ϕ được thác triển liên tục tới aν bằng cách đặt ¯ ¯ ∂∂ϕ (aν) = ∂∂ψν (aν). Định lý 2.1. (Công thức Jensen) Cho ϕ là hàm thực trên C thoả mãn điều kiện nêu trên. Khi đó, với 0 ≤ s < r nếu ϕ (0) 6= ±∞ và với 0 < s < r cho trường hợp tổng Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
13. 9 quát ta có r r ! 1 R 1 R R dt R i ¯ R dt P 2π ϕ (z) dθ − 2π ϕ (z) dθ = 2 t 2π ∂∂ϕ + t λν . |z|=r |z|=s s ∆(t) s |aν |<t Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh công thức Jensen cho các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu {aν} = ∅. c 1 ∂ 1 ∂
    Ta có d log |z| = 4π r ∂r (log r) dθ − r ∂θ (log r) dr 1 = 4π dθ. Do đó 1 R 1 R 2π ϕ (z) dθ − 2π ϕ (z) dθ |z|=r |z|=s = 2 R ϕ (z) dc log |z| − 2 R ϕ (z) dc log |z| |z|=r |z|=s = 2 R d (ϕ.dc log |z|) (do công thức Stoke) ∆(r)\∆(s) = 2 R dϕ ∧ dc log |z| + 2 R ϕ ∧ ddc log |z| ∆(r)\∆(s) ∆(r)\∆(s) = 2 R dϕ ∧ dc log |z| ∆(r)\∆(s) = 2 R d log |z| ∧ dcϕ ∆(r)\∆(s) c ¯
    i ¯
    (do df ∧ d g = ∂f + ∂f ∧ 4π ∂g − ∂g i ¯ i ¯ = 4π ∂f ∧ ∂g − 4π ∂f ∧ ∂g i ¯ ¯
    = 4π ∂f ∧ ∂g + ∂g ∧ ∂f nên df ∧ dcg = dg ∧ dcf ). R ∂ ∂
    1 ∂ 1 ∂
    = 2 ∂t (log t) dt + ∂θ (log t) dθ ∧ 4π t∂tϕdθ − t ∂θ ϕdt [s,r]×[0,2π] R 1 ∂ = 2 4π ∂tϕdt ∧ dθ [s,r]×[0,2π] r  2π  R R 1 ∂
    = 2 4π ∂tϕ dθ dt s 0 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
14. 10 r ! t R 1 R c R dt R c = 2 t d ϕ dt = 2 t dd ϕ s |z|=t s ∆(t) (do công thức Stoke và để ý rằng 2π R 1 c R 1  1 ∂ϕ 1 ∂ϕ  R 1 ∂ϕ t d ϕ = t 4π t ∂t dθ − t ∂θ dt = 4π ∂t dθ ) |z|=t |z|=t 0 r R dt R i ¯ = 2 t 2π ∂∂ϕ. s ∆(t) Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp này. Trường hợp 2: Nếu {aν} = a và ϕ = λ log |z − a|, a ∈ ∆s,r. Khi đó r Z dt Z i 2 ∂∂ϕ¯ = 0. t 2π s ∆(t) Để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh điều sau 1 Z 1 Z λ log |z − a| − λ log |z − a| = λ (log r − log |a|) . (2.1) 2π 2π |z|=r |z|=s Ta có |a| > s nên hàm log |z − a| điều hoà trên ∆ s+|a| . 2 Do đó 1 Z λ log |z − a| = λ log |a| . (2.2) 2π |z|=s Vậy 2π 2π 1 R 1 R iθ 1 R −iθ 2π λ log |z − a| = 2π λ log re − a dθ + 2π λ log e dθ |z|=s 0 0 2π 1 R −iθ = 2π λ log r − ae dθ 0 2π 2π 1 R r −iθ 1 R = 2π λ log a − e dθ + 2π λ log |a| dθ 0 0 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
15. 11 r = λ log a + λ log |a| (do Định lý giá trị trung bình) = λ log |r|. (2.3) Từ (2.2) và (2.3) ta nhận được (2.1). Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp này. Trường hợp 3: Nếu ϕ (z) = λ log |z − a| + ψ (z) với s 1. Chứng minh. Gọi {aν} là tập các không điểm và cực điểm của f. Khi đó tại lân cận của aν ta có λν f (z) = (z − aν) g (z) , Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
16. 12 trong đó λν ∈ Z và g (z) chỉnh hình, không triệt tiêu tại aν. Ta có log |f (z)| = λν log |z − aν| + log |g (z)| . Do log |g (z)| thuộc lớp C2 nên hàm ϕ = log |f (z)| thoả mãn giả thiết của công thức Jensen. Vậy 1 R 1 R 2π log |f (z)| dθ − 2π log |f (z)| dθ |z|=r |z|=1 r r ! R dt R i ¯ R dt P = 2 t 2π ∂∂ log |f (z)| + t λν 1 ∆(t) 1 |aν | 0 ta có d 1+δ Φ(r) ≤ Φ(r) . dr d Chứng minh. Do Φ là đơn điệu tăng nên dr Φ(r) tồn tại hầu khắp nơi. Nếu Φ ≡ 0 thì ta hiển nhiên nhận được kết luận của bổ đề. Giả sử Φ 6≡ 0. Lấy r0 ≥ 1 sao cho Φ(r0) > 0. Đặt  d  E (δ) = r ≥ r : Φ(r) > Φ(r)1+δ . 0 dr Khi đó ta có dΦ(r) > dr Φ(r)1+δ trên E (δ). Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
17. 13 Vậy ∞ Z Z dΦ(r) Z dΦ(r) 1 dr ≤ 1+δ ≤ 1+δ ≤ δ . Φ(r) Φ(r) δΦ(r0) E(δ) E(δ) r0 Vậy E (δ) có độ đo Lebesgue hữu hạn. Ta nhận được điều phải chứng minh. Bổ đề 2.4. (Bổ đề đạo hàm logarit) Cho f là một hàm phân hình khác hằng. Khi đó với mỗi δ > 0, ta có !  f 0  (1 + δ)2 δ m r, ≤ 1 + log+T (r) + log r + O (1) . f 2 f 2 1 i Chứng minh. Xét (1, 1) − dạng Φ = 2 2 . 2 dω ∧ dω¯ trên b với (1+log |ω|)|ω| 4π C các điểm kỳ dị 0, ∞. Ta có Z Z 1 1 Φ = rdrdθ 1 + log2r
    r2 2π2 Cb C ∞ = R 1 1 rdr = 1. 1+log2r r2 π 0 ( ) Đặt r Z dt Z µ (r) = f ∗Φ. t 1 ∆(t) Ta có r Z dt Z |f 0|2 i µ (r) = dz ∧ dz¯ t 1 + log2 |f|
    |f 2| 4π2 1 ∆(t) r R R dt = t n (t, (f − ω)0)Φ(ω) ω∈C 1 R = Nf−ω (r)Φ(ω), ω∈C ở đó n (t, (f − ω)0) là tổng các bội của các không điểm của f − ω trên Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
18. 14 ∆ (t). Mặt khác, theo Định lý cơ bản thứ nhất, tồn tại hằng số c sao cho Nf−ω (r) ≤ Tf (r) + c. Do đó Z µ (r) ≤ (Tf (r) + c)Φ(ω) = Tf (r) + c. ω∈C Từ tính chất hàm lõm, ta có  0   0 2  m r, f = 1 R log+ |f | 1 + log2 |f|
    dθ f 4π (1+log2|f|)|f|2 |z|=r  0 2  ≤ 1 R log+ |f | dθ 4π (1+log2|f|)|f|2 |z|=r  2 1 R +  + + 1  +4π log 1 + log |f| + log |f| dθ |z|=r  0 2  ≤ 1 R log 1 + |f | dθ 4π (1+log2|f|)|f|2 |z|=r 1 R +  + + 1  1 +2π log log |f| + log |f| dθ + 2 log 2 |z|=r ! 0 2 ≤ 1 log 1 + 1 R |f | dθ 2 2π (1+log2|f|)|f|2 |z|=r 1 R  + + 1  1 +2 log 1 + log |f| + log |f| dθ + 2 log 2 |z|=r ! 0 2 ≤ 1 log 1 + 1 d R |f | 1 rdrdθ 2 r dr (1+log2|f|)|f|2 2π ∆(r)   1  1 + log 1 + m (r, f) + m r, f + 2 log 2 ! 1 π d R ∗ + ≤ 2 log 1 + r dr f Φ + log Tf (r) + O (1) ∆(r)  !1+δ 1 π R ∗ + ≤ 2 log 1 + r f Φ  + log Tf (r) + O (1) ∆(r) Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
19. 15  1+δ r ! 1 δ d R dt R ∗ + ≤ 2 log 1 + πr dr t f Φ  + log Tf (r) + O (1) 1 ∆(t) R ∗ r f Φ d R dt R ∗ ∆(r) (để ý rằng dr t f Φ = r ) 1 ∆(t) 2 1  δ (1+δ)  + ≤ 2 log 1 + πr µ(r) + log Tf (r) + O (1) 2  (1+δ)  + δ + ≤ 1 + 2 log Tf (r) + 2log r + O (1). Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.5. Cho f là hàm phân hình khác hằng. Khi đó  0  f m r, = o (Tf (r)) . f Bổ đề 2.6. (Bổ đề đạo hàm logarit cho đạo hàm bậc cao) Cho f là hàm phân hình khác hằng. Khi đó a) Tf (k) (r) ≤ (k + 1) Tf (r) + o (Tf (r)),  (k)  b) m r, f = o (T (r)), f f ở đó f (k) là đạo hàm cấp k của f. Chứng minh. Theo bổ đề đạo hàm logarit ta có các kết luận a), b) đúng với k = 0, 1. Giả sử a) đúng với mọi k ≤ n − 1 và b) đúng với mọi k ≤ n, trong đó n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh a), b) lần lượt đúng với k = n và k = n + 1. Ta có !   f (k) m r, f (k) ≤ m r, + m (r, f) + O (1) = m (r, f) + o (T (r)) , f f và N 1 (r) ≤ (k + 1) N 1 (r) . f(k) f Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
20. 16 Do đó theo Định lý cơ bản thứ nhất, ta có  (k) Tf (k) (r) = N 1 (r) + m r, f ≤ (k + 1) Tf (r) + o (Tf (r)) , f(k) và ! 0 ! ! f (k+1) f (k)
    f (k) m r, ≤ m r, + m r, f f (k) f
    ≤ o Tf (k) (r) + o (Tf (r)) = o (Tf (r)). Ta nhận được điều phải chứng minh. Bổ đề 2.7. (Bổ đề đạo hàm logarit cho trường hợp chiều cao) n Cho f : C → CP là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính. Khi n đó với mỗi bộ n+1 siêu phẳng H0, , Hn ở vị trí tổng quát trong CP ta có   W (f0, , fn) m r, = o (Tf (r)) , H0 (f) Hn (f) ở đó (f0 : : fn) là biểu diễn rút gọn của f. Chứng minh. Ta có W (f0, , fn) = c.W (H0 (f) , , Hn (f)), với c là một hằng số. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng H0 (f) 6≡ 0. Khi đó    W 1, H1(f) , , Hn(f)   W (f0, ,fn)  H0(f) H0(f) m r, = m r, H (f) H (f) + O (1) H0(f) Hn(f) 1 n H0(f) H0(f)  (k)   (f,Hi)  (f,H ) ≤ O P m r, 0 + O (1)   (f,Hi)  1≤i,k≤n (f,H0)  n  P = o T(f,Hi) (r) + O (1) = o (Tf (r)). i=1 (f,H0) n Bổ đề 2.8. Cho f : C → CP là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến n tính. Giả sử H1, , Hn là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP . Khi đó q q X X  νHj(f) − νW (f) ≤ min νHj(f), n . j=1 j=1 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
21. 17 Chứng minh. Lấy a bất kì thuộc C. Do H1, , Hn ở vị trí tổng quát nên tồn tại không quá n chỉ số j sao cho Hj (f (a)) = 0. Không mất tính tổng quát, giả sử νH1(f) (a) ≥ ≥ νHn(f) (a) ≥ 0 = νHn+1(f) (a) = = νHq(f) (a) . Ta có q n+1 P P νHj(f) (a) − νW (f) (a) = νHj(f) (a) − νW (H1(f), ,Hn+1(f)) (a) j=1 j=1 n+1 n+1 P P  ≤ νHj(f) (a) − max νHj(f) (a) − n, 0 j=1 j=1 n+1 P  = min νHj(f) (a) , n j=1 q P  = min νHj(f) (a) , n . j=1 2.3 Định lý cơ bản thứ hai Cartan Định lý 2.9. (Định lý cơ bản thứ hai Cartan) n Cho f : C → CP là ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử n H1, , Hn là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP . Khi đó q X [n] (q − n − 1) Tf (r) ≤ N (r) + o (Tf (r)) . Hj(f) j=1 Chứng minh. Do các siêu phẳng H1, , Hn ở vị trí tổng quát nên q Q |Hj(f)| j=1 Q log |W (f)| = max log |Hj (f)| J⊂{1, ,q},#J=q−n−1 j∈J |W (f)| − max log Q |Hi(f)| I⊂{1, ,q},#I=n+1 i∈I P + |W (f)| ≥ (q − n − 1) log kfk − log Q . |Hi(f)| I⊂{1, ,q},#I=n+1 i∈I Lấy tích phân hai vế trên đường tròn |z| = r, áp dụng công thức Jensen, Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
22. 18 Bổ đề đạo hàm logarit và Bổ đề 2.8 ta có q Q q |Hj(f)| P [n] 1 R j=1 N (r) ≥ log dθ + O (1) Hj(f) 2π W (f) j=1 |z|=r 1 R P R |W (f)| ≥ (q − n − 1) log kfk dθ − Q dθ + O (1) 2π |Hi(f)| |z|=r I |z|=r i∈I = (q − n − 1) Tf (r) − o (Tf (r)). Ta nhận được điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
23. 19 Chương 3 Ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình Một trong những ứng dụng đẹp đẽ của Lý thuyết Nevanlinna là bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Được lần đầu nghiên cứu bởi Nevanlinna cho trường hợp hàm phân hình, ngày nay bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình thu được nhiều kết quả thú vị bởi đông đảo các nhà toán học. Chúng tôi đưa ra một trong các kết quả đầu tiên về chủ đề này cho trường hợp chiều cao đạt được bởi Smiley và một kết quả mở rộng nó gần đây của Dethloff-Quang-Tan. 3.1 Định lý Smiley Định lý 3.1. (Định lý Smiley) Cho f và g là hai ánh xạ chỉnh hình không n suy biến tuyến tính từ C vào CP . Giả sử H1, , H3n+2 là các siêu phẳng n ở vị trí tổng quát trong CP . Giả sử các điều sau thoả mãn −1 −1 i) f (Hj) = g (Hj) , j = 1, , 3n + 2, −1 −1 ii) f (Hi) ∩ f (Hj) = ∅, với mọi 1 ≤ i 6= j ≤ 3n + 2, Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
24. 20 3n+2 S −1 iii) f = g trên f (Hj). j=1 Khi đó f ≡ g Chứng minh. Giả sử trái lại f 6≡ g. −1 −1 Lấy siêu phẳng H sao cho f (H) ∩ f (Hj) = ∅, ∀j = 1, , 3n + 2. Khi đó tồn tại chỉ số i, chẳng hạn i = 1 sao cho H (f) H (g) 1 6≡ 1 . H (f) H (g) Thật vậy, nếu trái lại suy ra H (f) H (g) j ≡ j , H (f) H (g) với mọi j = 1, , 3n + 2. Khi đó H (f) H (g) j ≡ j , H1 (f) H1 (g) với mọi j = 1, , 3n + 2. Vậy f ≡ g. Điều này mâu thuẫn. Do đó H (f) H (g) 1 6≡ 1 . H (f) H (g)   3n+2 H1(f) H1(g) S −1 Từ iii) suy ra H(f) − H(g) = 0 trên f (Hj). j=1 Kết hợp với ii) ta có 3n+2 P [1] N (r) ≤ N H1(f) H1(g) (r) Hj(f) − j=1 H(f) H(g) ≤ T H1(f) H1(g) (r) + O (1) H(f) − H(g) ≤ T H1(f) (r) + T H1(g) (r) + O (1) H(f) H(g) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O (1). Tương tự 3n+2 X [1] N (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O (1) . Hj(g) j=1 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
25. 21 Do đó 3n+2 3n+2 X [1] X [1] 2 (Tf (r) + Tg (r)) ≥ N (r) + N (r) + O (1) . Hj(f) Hj(g) j=1 j=1 Mặt khác theo Định lý cơ bản thứ hai ta có 3n+2 3n+2 X [1] 1 X [n] 2n + 1 N (r) ≥ N (r) ≥ Tf (r) − o (Tf (r)) , Hj(f) n Hj(f) n j=1 j=1 và 3n+2 X [1] 2n + 1 N (r) ≥ Tg (r) − o (Tg (r)) . Hj(g) n j=1 Do đó ta có 2n + 1 2 (T (r) + T (r)) ≥ (T (r) + T (r)) + o (T (r) + T (r)) . f g n f g f g Điều này mâu thuẫn. Vậy ta nhận được điều phải chứng minh. 3.2 Mở rộng Định lý Smiley tới trường hợp họ các siêu phẳng Gần đây Dethloff-Quang-Tan đã mở rộng kết quả trên tới trường hợp hai họ các siêu phẳng, số lượng siêu phẳng giảm, ánh xạ chỉnh hình khác hằng. Để tiện trong việc trình bày, chúng tôi phát biểu và chứng minh một kết quả của Dethloff-Quang-Tan trong trường hợp đặc biệt ánh xạ không suy biến tuyến tính. Định lý 3.2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính n 2n+3 2n+3 từ C vào CP . Cho {Hj}j=1 và {Lj}j=1 là hai họ siêu phẳng ở vị trí n tổng quát trong CP . Giả sử −1 −1 a) f (Hj) = g (Lj) với mọi 1 ≤ j ≤ 2n + 3 , −1 −1 b) f (Hi) ∩ f (Hj) = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ 2n + 3 , Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
26. 22 (f,Hi) (f,Hj) S2n+3 −1 c) (g,L ) = (g,L ) trên k=1 f (Hk) với mọi 1 ≤ i < j ≤ 2n + 3 . i j k6=i,j Khi đó (f, H ) (f, H ) 1 ≡ · · · ≡ 2n+3 . (g, L1) (g, L2n+3) n Hơn nữa tồn tại một biến đổi xạ ảnh L của CP sao cho L(f) ≡ g và L(Hj) = Lj với mọi j ∈ {1, , 2n + 3}. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh (f, H ) (f, H ) 1 ≡ · · · ≡ 2n+3 . (3.1) (g, L1) (g, L2n+3) Ta chia làm hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Tồn tại J := {j0, . . . , jn} ⊂ {1, , 2n + 3} sao cho (f, H ) (f, H ) định nghĩa j0 ≡ · · · ≡ jn ≡ u . (g, Lj0 ) (g, Ljn ) Ta có u là hàm chỉnh hình không triệt tiêu.
    Do Hj0 , , Hjn ở vị trí tổng quát nên F := (f, Hj0 ): ··· :(f, Hjn ) là m n một biểu diễn rút gọn của ánh xạ chỉnh hình F từ C vào CP . Ta có TF (r) = Tf (r) + O(1). Giả sử (3.1) không đúng. Khi đó tồn tại i0 ∈ {1, , 2n+3}\{j0, . . . , jn} sao cho (f, H ) i0 6≡ u. (3.2) (g, Li0 ) 2n+3 2n+3 i0 Do các họ {Hj}j=1 và {Lj}j=1 ở vị trí tổng quát, nên tồn tại H : i n a0ω0 + ··· + anωn = 0,L 0 : b0ω0 + ··· + bnωn = 0 trong CP sao cho i0 i0 (F,L ) (f, Hi0 ) ≡ (F, H ), và (g, Li0 ) ≡ b0(g, Lj0 ) + ··· + bn(g, Ljn ) ≡ u . Khi đó do (3.2) ta có (F, Hi0 ) (f, H ) ≡ i0 6≡ 1. i0 (F, L ) u(g, Li0 ) Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
27. 23 Vậy i0 (f,Hj0 ) (f,Hi0 ) (F,H ) S2n+3 −1 u = (g,L ) = (g,L ) = u i0 trên k=1 f (Hk), j0 i0 (F,L ) k6=i,j i0 (f,Hj1 ) (f,Hi0 ) (F,H ) S2n+3 −1 và u = (g,L ) = (g,L ) = u i0 trên k=1 f (Hk). j1 i0 (F,L ) k6=i,j Do đó (F,Hi0 ) S2n+3 −1 i0 = 1 trên k=1 f (Hk). (F,L ) k6=i,j Suy ra q X [1] N (r) ≤ N (F,Hi0 ) (r) (f,Hk) −1 (F,Li0 ) k=1,k6=i0 ≤ T (F,Hi0 ) (r) + O(1) ≤ TF (r) + O(1) = Tf (r) + O(1). (F,Li0 ) Do đó, theo Định lý cơ bản thứ hai Cartan ta có 2n+3 2n+3 X [1] X 1 [n] Tf (r) + O(1) ≥ N (r) ≥ N (r) (f,Hk) n (f,Hk) k=1,k6=i0 k=1,k6=i0 n + 1 ≥ T (r) − o(T (r)). n f f Mâu thuẫn. Vậy ta nhận được (3.1) trong trường hợp này. Trường hợp 2: Với mỗi J ⊂ {1, , 2n + 3} với #J = n + 1, tồn tại cặp i, j ∈ J sao cho (f, H ) (f, H ) i 6≡ j . (g, Li) (g, Lj) Xét quan hệ tương đương trên L := {1, ··· , 2n + 3} như sau: i ∼ j nếu và chỉ nếu   (f, Hi)(f, Hj)   det   = 0. (g, Li)(g, Lj) Đặt {L1, ··· ,Ls} = L/ ∼. Khi đó, #Lk ≤ n với mọi k ∈ {1, ··· , s}. Không mất tính tổng quát giả sử Lk := {ik−1+1, ··· , ik} (k ∈ {1, ··· , s}), ở đó 0 = i0 < ··· < is = 2n + 3. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
28. 24 Xét ánh xạ σ : {1, ··· , q} → {1, ··· , 2n + 3} cho bởi  i + n nếu i ≤ n + 3, σ(i) = i + n − q nếu i > n + 3. Dễ ràng nhận thấy σ là đơn ánh và | σ(i) − i |≥ n. Do đó i và σ(i) thuộc hai tập phân biệt trong {L1, ··· ,Ls}. Suy ra với mọi i ∈ {1, . . . , q}, ta có   (f, Hi)(f, Hσ(i))   Pi := det   6= 0. (g, Li)(g, Lσ(i)) Ta có 2n+3 X [1] νP ≥ min{ν , ν } + min{ν , ν } + ν (3.3) i (f,Hi) (g,Li) (f,Hσ(i)) (g,Lσ(i)) (f,Hj) j=1 j6=i,σ(i) −1 −1 Mặt khác từ f (Hk) = g (Lk) ta có min{ν(f,Hk), ν(g,Lk)} ≥ min{ν(f,Hk), n} + min{ν(g,Lk), n} − n min{ν(f,Hk), 1} = ν[n] + ν[n] − nν[1] , (f,Hk) (g,Lk) (f,Hk) với mọi k ∈ {i, σ(i)}. Do đó từ (3.3) ta có [n] [n] [n] [n] νP ≥ ν + ν + ν + ν i (f,Hi) (g,Li) (f,Hσ(i)) (g,Lσ(i)) 2n+3 [1] [1] X [1] − nν − nν + ν . (f,Hi) (f,Hσ(i)) (f,Hj) j=1 j6=i,σ(i) Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
29. 25 Vậy với mỗi i ∈ {1, , 2n + 3} ta có [p] [n] [n] [n] NP (r) ≥ N (r) + N (r) + N (r) + N (r) i (f,Hi) (g,Li) (f,Hσ(i)) (g,Lσ(i)) 2n+3 [1] [1] X [1] − nN (r) − nN (r) + N (r). (f,Hi) (f,Hσ(i)) (f,Hj) j=1 j6=i,σ(i) (3.4) Từ công thức Jensen ta có Z NPi (r) = log |Pi|σ + O(1) S(r) Z 2 2 1 ≤ log(|(f, Hi)| + |(f, Hσ(i))| ) 2 σ S(r) Z 2 2 1 + log(|(g, Li)| + |(g, Lσ(i))| ) 2 σ + O(1) S(r) ≤ Tf (r) + Tg(r) + O(1). Vì vậy từ (3.4) với mọi i ∈ {1, . . . , q} ta có N [n] (r) + N [n] (r) + N [n] (r) + N [n] (r) (f,Hi) (g,Li) (f,Hσ(i)) (g,Lσ(i)) 2n+3 [1] [1] X [1] − nN (r) − nN (r) + N (r) (f,Hi) (f,Hσ(i)) (f,Hj) j=1 j6=i,σ(i) ≤ Tf (r) + Tg(r) + O(1). (3.5) Do đó 2n+3 2n+3 X [n] [n] X [1] 2 N (r) + N (r)
    + N (r) (f,Hj) (g,Lj) (f,Hj) j=1 j=1
    ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg(r) + O(1). (3.6) −1 −1 Mặt khác từ f (Hj) = g (Lj) ta có 2n+3 2n+3 X [n] [n] 1 X [1] [1] 2 N (r) + N (r)
    + N (r) + N (r)
    (f,Hj) (g,Lj) 2 (f,Hj) (g,Lj) j=1 j=1
    ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg(r) + O(1). (3.7) Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
30. 26 Do đó 2n+3 1
    X [n] [n]
    
    2 + N (r) + N (r) ≤ (2n + 3) Tf (r) + Tg(r) + O(1). 2n (f,Hj) (g,Lj) j=1 (3.8) Từ (3.8) và Định lý cơ bản thứ hai cho f và các siêu phẳng Hj và cho g và các siêu phẳng Lj ta có 1 (n + 2)(2 + )T (r) + T (r)
    ≤ (2n + 3)T (r) + T (r)
    2n f g f g
    +o Tf (r) + Tg(r) . Mâu thuẫn. Vậy ta cũng nhận được (3.1) trong trường hợp này. Giả sử Hj : aj0ω0 + ··· + ajnωn = 0, Lj : bj0ω0 + ··· + bjnωn = 0 (j = 1, , 2n + 3). Đặt     a10 . . . a1n b10 . . . b1n      a20 . . . a2n   b20 . . . b2n  A :=  . . .  ,B :=  . . .  ,  . .   . .      a(n+1)0 . . . a(n+1)n b(n+1)0 . . . b(n+1)n và L = B−1 · A. Từ (3.1), ta có A(f) ≡ B(g). Vậy L(f) ≡ g. Đặt ∗ n+1 Hj = (aj0, . . . , ajn) ∈ C , ∗ n+1 Lj = (bj0, . . . , bjn) ∈ C . Ta viết ∗ ∗ ∗ Hj = αj1H1 + ··· + αj(n+1)Hn+1 và ∗ ∗ ∗ Lj = βj1L1 + ··· + βj(n+1)Ln+1. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
31. 27 Từ (3.1) ta có α (f, H ) + ··· + α (f, H ) (f, H ) (f, H ) j1 1 j(n+1) n+1 ≡ 1 ≡ · · · ≡ n+1 , βj1(g, L1) + ··· + βj(n+1)(g, Ln+1) (g, L1) (g, Ln+1) với mọi j ∈ {1, , 2n + 3}. Kéo theo (αj1 − βj1)(f, H1) + ··· + (αj(n+1) − βj(n+1))(f, Hn+1) ≡ 0, (3.9) với mọi j ∈ {1, . . . , q}. n+1 Mặt khác f không suy biến tuyến tính và {Hj}j=1 ở vị trí tổng quát trong n CP . Do đó từ (3.9) ta có (αj1 − βj1)(ω, H1) + ··· + (αj(n+1) − βj(n+1))(ω, Hn+1) = 0, (3.10) với mọi ω và mọi j ∈ {1, , 2n + 3}. Xét các siêu phẳng αj : αj1ω0 + ··· + αj(n+1)ωn = 0 và βj : βj1ω0 + ··· + βj(n+1)ωn = 0 (j = 1, , 2n + 3). Từ (3.10) ta có (A(ω), αj) = (A(ω), βj) (3.11) với mọi ω và mọi j ∈ {1, , 2n + 3}. Với mỗi j ∈ {1, , 2n + 3} và mỗi ω ta có (ω, Hj) = αj1(ω, H1) + ··· + αj(n+1)(ω, Hn+1) = (A(ω), αj) (3.11) = (A(ω), βj) = (B ·L(ω), βj) = βj1(L(ω),L1) + ··· + βj(n+1)(L(ω),Ln+1) = (L(ω),Lj). Do đó L(Hj) = Lj với mọi j ∈ {1, , 2n + 3}. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
32. 28 Kết luận Luận văn đã đạt được một số kết quả sau: 1. Trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna. 2. Trình bày một cách tường minh phép chứng minh Định lý cơ bản thứ hai Cartan của Lý thuyết Nevanlinna. 3. Trình bày một ứng dụng của Định lý cơ bản thứ hai Cartan trong bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên
33. 29 Tài liệu tham khảo [1] Gerd Dethloff and Sy Duc Quang and Tran Van Tan (2011), A unique- ness theorem for meromorphic mappings with two families of hyper- planes, Proc. Amer. Math. Soc. [2] Hirotaka Fujimoto (1993), Value Distribution Theory of the Gauss Map m of Minimal Surfaces in R , Aspects of Math. E 21. [3] Noguchi (March 2004), Nevanlinna Theory in Several Complex Vari- ables and Diophantine Approximation. [4] Smiley (1983), Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp. Math. 25, pp. 149-154. Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên