Luận án Phân tích kết cấu dàn chịu tải trọng tĩnh theo sơ đồ biến dạng

pdf

162 trang yendo 4940

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận án Phân tích kết cấu dàn chịu tải trọng tĩnh theo sơ đồ biến dạng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_an_phan_tich_ket_cau_dan_chiu_tai_trong_tinh_theo_so_do.pdf

Nội dung text: Luận án Phân tích kết cấu dàn chịu tải trọng tĩnh theo sơ đồ biến dạng

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O B QU C PHÒNG HC VI N K THU T QUÂN S PH M V ĂN ĐT PHÂN TÍCH K T C U DÀN CH U T I TR NG TĨNH THEO S Ơ Đ BI N D NG LU N ÁN TI N S Ĩ K THU T HÀ N I - NĂM 2015
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O B QU C PHÒNG HC VI N K THU T QUÂN S PH M V ĂN ĐT PHÂN TÍCH K T C U DÀN CH U T I TR NG TĨNH THEO S Ơ Đ BI N D NG Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình ñc bi t Mã s : 62 58 02 06 LU N ÁN TI N S Ĩ K THU T Ng ưi h ưng d n Khoa h c: 1. GS. TSKH. HÀ HUY C ƯƠ NG 2. PGS. TS. NGUY N PH ƯƠ NG THÀNH HÀ N I - NĂM 2015
I LI CAM ĐOAN Tôi xin cam ñoan, ñây là công trình nghiên c u c a riêng tôi. Các s li u, kt qu tính toán trong lu n án là chính xác, trung th c và ch ưa t ng ai công b bt k ỳ công trình nào khác. Hà n i, ngày 08 tháng 7 năm 2015 Ng ưi cam ñoan Ph m V ăn Đt
II LI C M ƠN Tác gi xin bày t lòng bi t ơn vô h n ñn GS. TSKH. Hà Huy C ươ ng nhà khoa h c chân chính. Thy ñã luôn ch bo, ñng viên t n tình h ưng d n giúp ñ tác gi nâng cao ki n th c khoa h c ñ hoàn thành lu n án này. Tác gi xin trân tr ng c m ơn PGS. TS. Nguy n Ph ươ ng Thành ñã giúp ñ cho tác gi nhi u ch dn khoa h c và t o m i ñiu ki n thu n l i ñ tác gi hoàn thành lu n án này. Tác gi xin trân tr ng c m ơn các th y cô, các b n ñng nghi p trong B môn S c b n – Cơ k t c u, trong Khoa Xây d ng và Khoa T i ch c, Trưng Đi h c Ki n trúc Hà N i ñã luôn quan tâm, giúp ñ và ñng viên tác gi hoàn thành lu n án. Tác gi xin trân tr ng cm ơn Ban giám ñc, Khoa sau ñi h c, Vi n các công trình ñc bi t và tp th các th y cô trong B môn C ơ s k thu t công trình Hc vi n K thu t Quân s ñã giúp ñ tác gi trong quá trình h c t p nghiên c u t i H c vi n. Tác gi xin c m ơn ñi v i ng ưi thân trong Gia ñình ñã ñng viên, khích l và không ng i v t v trong công vi c gia ñình ñ tác gi yên tâm hoàn thành lu n án. Tác gi lu n án Ph m V ăn Đt
III MC L C Trang Li cam ñoan I Li c m ơn II Mc l c III Danh m c các b ng VI Danh m c các hình v VIII Danh m c các ký hi u XII Danh m c các ch vi t t t XIV M ĐU 1 CH ƯƠ NG 1 TNG QUAN V PHÂN TÍCH TÍNH TOÁN K T C U DÀN 1.1 Đc ñim và ng d ng c a k t c u dàn 5 1.2 Nh ng ph ươ ng h ưng và tình hình nghiên c u tính toán k t c u 7 dàn hi n nay 1.3 Tình hình nghiên c u trong n ưc 17 1.4 Mt s vn ñ còn t n t i và lý do l a ch n ñ tài 18 1.5 M c tiêu nghiên c u c a lu n án 19 CH ƯƠ NG 2 CƠ S LÝ THUY T PHÂN TÍCH PHI TUY N HÌNH H C KT C U DÀN 2.1 Ph ươ ng pháp phân tích dàn phi tuy n hình h c d a trên ph ươ ng 21 pháp nguyên lý c c tr Gauss 2.1.1 Phân tích tuy n tính k t c u dàn theo cách th nh t 26 2.1.2 Phân tích tuy n tính k t c u dàn theo cách th hai 30 2.1.3 Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn theo cách th nh t 31 2.1.4 Phân tích phi tuy n hình h c kt cu dàn theo cách th hai 34 2.2 Ph ươ ng pháp xác ñnh các thành ph n chuy n v ti các nút dàn và 35 ni l c trong các thanh dàn ñi v i bài toán dàn phi tuy n hình h c 2.3 M t s kt qu nghiên c u bài toán k t c u dàn 37 2.3.1 Tính toán dàn theo cách th nh t 37 2.3.2 Tính toán dàn theo cách th hai 41 2.3.3 nh h ưng c a thông s vt li u ñn ñ chênh l ch k t qu phân 44 tích n i l c trong các thanh dàn gi a PTTT và PTPTHH 2.3.4 nh h ưng c a giá tr ti tr ng tác d ng ñn ñ chênh l ch k t 47 qu ni l c trong các thanh dàn gi a PTTT và PTPTHH 2.4 K t lu n ch ươ ng 51
IV CH ƯƠ NG 3 PHÂN TÍCH PHI TUY N HÌNH H C K T C U DÀN VÒM PH NG 3.1 Phân tích phi tuy n hình h c dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh 53 3.1.1 Tính toán dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh 53 3.1.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh ñn PTCL 60 chuy n v , n i l c gi a PTPTHH và PTTT 3.2 Phân tích phi tuy n hình h c dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh trong, siêu 64 tĩnh ngoài 3.2.1 Tính toán dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh ngoài 64 3.2.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh 68 ngoài ñn PTCL chuy n v , n i l c gi a PTPTHH và PTTT 3.3 Phân tích phi tuy n hình h c dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh 71 ñnh ngoài 3.3.1 Tính toán dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh ngoài 71 3.3.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh 76 ngoài ñn PTCL chuy n v , n i l c gi a PTPTHH và PTTT 3.4 Phân tích phi tuy n hình h c dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu 80 tĩnh ngoài 3.4.1 Tính toán dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu t ĩnh ngoài 80 3.4.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu 85 tĩnh ngoài ñn PTCL chuy n v , n i l c gi a PTPTHH và PTTT 3.5 K t lu n ch ươ ng 88 CH ƯƠ NG 4 PHÂN TÍCH PHI TUY N HÌNH H C K T C U DÀN KHÔNG GIAN 4.1 Phân tích phi tuy n hình h c dàn c u không gian m t l p 90 4.1.1 Tính toán phi tuy n hình h c dàn Kiewitt 8 91 4.1.2 So sánh k t qu tính toán chuy n v , n i l c gi a PTTT và 94 PTPTHH 4.1.3 nh h ưng ñ tho i c a dàn c u không gian K8 ñn PTCL 96 chuy n v , n i l c gi a PTTT và PTPTHH 4.2 Phân tích phi tuy n hình h c k t c u dàn vòm không gian m t l p 99 4.2.1 Tính toán dàn vòm không gian m t l p lo i 1 101 4.2.2 So sánh k t qu tính toán chuy n v , n i l c gi a PTTT và 104 PTPTHH 4.2.3 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm không gian m t l p lo i 1 ñn 106 PTCL chuy n v , n i l c gi a PTTT và PTPTHH 4.3 K t lu n ch ươ ng 109
V CH ƯƠ NG 5 TÍNH TOÁN N ĐNH PHI TUY N HÌNH H C KT C U DÀN VÒM PH NG 5.1 Ph ươ ng pháp chuy n v cưng b c ñ xác ñnh t i tr ng h n trong 111 bài toán nén d c tr c 5.1.1 Bài toán n ñnh thanh ch u nén 111 5.1.2 Ph ươ ng pháp chuy n v cưng b c 113 5.1.3 Ph ươ ng pháp ph n t hu h n ñ xác ñnh t i tr ng t i h n thanh 114 hai ñu kh p ch u nén d c tr c 5.2 Ph ươ ng pháp xác ñnh t i tr ng t i h n lên k t c u dàn có k ñn 118 tính phi tuy n hình h c 5.3 Xác ñnh t i tr ng t i h n lên dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh ch u t i 122 tr ng th ng ñng t i nút dàn vòm 5.3.1 Ví d phân tích 122 5.3.2 Nghiên c u nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh 125 ñn giá tr ti tr ng t i h n tác d ng lên dàn 5.4 Tính toán n ñnh dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh ngoài 125 ch u t i tr ng th ng ñng t i nút dàn 5.4.1 Ví d phân tích 125 5.4.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm phng t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh 127 ngoài ñn giá tr ti tr ng t i h n tác d ng lên dàn vòm 5.5 Tính toán n ñnh dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh ngoài 128 ch u t i tr ng th ng ñng t i nút dàn 5.5.1 Ví d phân tích 128 5.5.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh 130 ngoài ñn giá tr ti tr ng t i h n tác d ng lên dàn vòm 5.6 Tính toán n ñnh dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu t ĩnh ngoài 131 ch u t i tr ng th ng ñng t i nút dàn vòm 5.6.1 Ví d phân tích 131 5.6.2 nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu 133 tĩnh ngoài ñn giá tr ti tr ng t i h n tác d ng lên dàn vòm 5.7 K t lu n ch ươ ng 134 KT LU N 136 KI N NGH NH NG V N Đ CÓ TH NGHIÊN C U TI P 140 DANH M C CÁC CÔNG TRÌNH C A TÁC GI 141 DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O 142 PH LC (Quy n 2)
VI DANH M C CÁC B NG S hi u Ni dung b ng Trang Bng 2.1 Kt qu các thành ph n chuy n v ti các nút dàn PTTT 38 ví d 2.2 Bng 2.2 Kt qu ni l c trong các thanh dàn PTTT ví d 2.2 39 Bng 2.3 Kt qu các thành ph n chuy n v ti các nút dàn 40 PTPTHH ví d 2.2 Bng 2.4 Kt qu ni l c trong các thanh dàn PTPTHH ví d 2.2 40 Bng 2.5 Kt qu phân tích n i l c trong các thanh dàn ví d 2.4 46 Bng 3.1 Ta ñ các nút c a dàn vòm tr ưc khi ch u l c 54 Bng 3.2 Kt qu chuy n v theo hai ph ươ ng c a các nút dàn 57 Bng 3.3 Kt qu so sánh n i l c trong các thanh dàn gi a PTTT 59 và PTPTHH Bng 3.4 PTCL n i l c trong các thanh dàn ng v i các giá tr 62 k=f/l khác nhau Bng 3.5 Kt qu chuy n v theo hai ph ươ ng t i các nút dàn 66 Bng 3.6 Kt qu so sánh n i l c trong các thanh dàn gi a PTTT 67 và PTPTHH Bng 3.7 PTCL n i l c trong các thanh dàn ng v i các giá tr 70 k=f/l khác nhau Bng 3.8 Kt qu chuy n v theo hai ph ươ ng t i các nút dàn 73 Bng 3.9 Kt qu so sánh n i l c trong các thanh dàn gi a PTTT 74 và PTPTHH Bng 3.10 PTCL n i l c trong các thanh dàn ng v i các giá tr 78 k=f/l khác nhau Bng 3.11 Kt qu chuy n v theo hai ph ươ ng t i các nút dàn 82 Bng 3.12 Kt qu so sánh n i l c trong các thanh dàn gi a PTTT 83 và PTPTHH Bng 3.13 PTCL n i l c trong các thanh dàn ng v i các giá tr 86 k=f/l khác nhau Bng 4.1 Kt qu PTCL n i l c trong các thanh gi a PTTT và 97 PTPTHH c a dàn c u Kiewitt 8 ng v i các giá tr k=f/l khác nhau Bng 4.2 Kt qu PTCL n i l c trong các thanh gi a PTTT và 106 PTPTHH c a dàn vòm không gian m t l p lo i 1 ng
VII vi các giá tr k=f/l khác nhau Bng 5.1 Kt qu phân tích n ñnh dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh ng 125 vi các giá tr k khác nhau Bng 5.2 Kt qu phân tích n ñnh dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh 128 trong, siêu t ĩnh ngoài ng v i các giá tr k khác nhau Bng 5.3 Kt qu phân tích n ñnh dàn vòm ph ng siêu t ĩnh 131 trong, t ĩnh ñnh ngoài ng v i các giá tr k khác nhau Bng 5.4 Kt qu phân tích n ñnh dàn vòm ph ng siêu t ĩnh 133 trong và siêu t ĩnh ngoài ng v i các giá tr k khác nhau
VIII DANH M C CÁC HÌNH V S hi u Ni dung hình v Trang Hình 1.1 Sân v n ñng Astrodome 6 Hình 1.2 Nhà thi ñu Superdome 6 Hình 1.3 Nhà thi ñu Nagoya Dome 6 Hình 1.4 Nhà hát l n B c kinh 6 Hình 1.5 Kt c u STMFs 7 Hình 1.6 Đưng cân b ng tr ưc và sau khi m t n ñnh 11 Hình 2.1 Ví d 2.1 23 Hình 2.2 H so sánh ví d 2.1 23 Hình 2.3 Sơ ñ chuy n v ca nút thanh trong h ph ng PTTT 26 Hình 2.4 Sơ ñ chuy n v ca nút thanh trong h không gian 28 PTTT Hình 2.5 Sơ ñ chuy n v ca nút thanh trong h ph ng 31 PTPTHH Hình 2.6 Sơ ñ chuy n v ca nút thanh trong h không gian 33 PTPTHH Hình 2.7 Sơ ñ kh i ch ươ ng trình. 36 Hình 2.8 Dàn ví d 2.2 37 Hình 2.9 Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng ví d 2.2 41 Hình 2.10 Dàn ví d 2.3 41 Hình 2.11 Dàn ví d 2.4 45 Hình 2.12 Hình d ng dàn sau khi bi n d ng v i các giá tr mô 47 ñun khác nhau Hình 2.13 Dàn t ĩnh ñnh 47 Hình 2.14 Hình d ng dàn 47 Hình 2.15 Ni l c thanh 1, 2 48 Hình 2.16 Ni l c thanh 3, 4 48 Hình 2.17 Ni l c thanh 5 48
IX Hình 2.18 Chuy n v nút 3 48 Hình 2.19 Dàn siêu t ĩnh ngoài 49 Hình 2.20 Ni l c thanh 1, 2 50 Hình 2.21 Ni l c thanh 3, 4 50 Hình 2.22 Ni l c thanh 5 50 Hình 2.23 Hình d ng dàn 50 Hình 3.1 Dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh ch u t i tr ng th ng ñng t i 54 các nút dàn Hình 3.2 V trí các nút dàn vòm 54 Hình 3.3 Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng 57 Hinh 3.4 Chuy n v theo ph ươ ng tr c x 61 Hình 3.5 Chuy n v theo ph ươ ng tr c y 61 Hình 3.6 Dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh ngoài 64 Hình 3.7 Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng 65 Hinh 3.8 Chuy n v theo ph ươ ng tr c x 69 Hình 3.9 Chuy n v theo ph ươ ng tr c y 69 Hình 3.10 Dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh ngoài 72 Hình 3.11 Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng 73 Hinh 3.12 Chuy n v theo ph ươ ng tr c x 77 Hình 3.13 Chuy n v theo ph ươ ng tr c y 77 Hình 3.14 Dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu t ĩnh ngoài 80 Hình 3.15 Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng 81 Hinh 3.16 Chuy n v theo ph ươ ng tr c x 85 Hình 3.17 Chuy n v theo ph ươ ng tr c y 85 Hình 4.1 Mt s dng k t c u dàn c u không gian 90 Hình 4.2 Dàn c u không gian K8 91 Hình 4.3 S hi u nút c a dàn K8 91 Hình 4.4 S hi u thanh cho dàn K8 91 Hình 4.5 Chuy n v ti các nút dàn (cm) 93
X Hình 4.6 Ni l c trong các thanh dàn (kN) 93 Hình 4.7 Hình d ng k t c u dàn tr ưc và sau bi n d ng khi 94 k=1/8 Hình 4.8 Chuy n v ca các nút dàn theo ph ươ ng x 95 Hình 4.9 Chuy n v ca các nút dàn theo ph ươ ng y 95 Hình 4.10 Chuy n v ca các nút dàn theo ph ươ ng z 95 Hình 4.11 Bi u ñ so sánh n i l c 95 Hình 4.12 Bi u ñ chuy n v theo ph ươ ng x 96 Hình 4.13 Bi u ñ chuy n v theo ph ươ ng y 96 Hình 4.14 Bi u ñ chuy n v theo ph ươ ng z 96 Hình 4.15 Kt c u dàn vòm không gian m t l p 99 Hình 4.16 Mt s dng k t c u dàn vòm không gian m t l p 100 Hình 4.17 Kt c u dàn vòm không gian m t l p lo i 1 101 Hình 4.18 Kt qu các thành ph n chuy n v ti các nút dàn (cm) 103 Hình 4.19 Kt qu ni l c trong các thanh dàn (kN) 103 Hình 4.20 Hình d ng k t c u dàn tr ưc và sau bi n d ng khi 104 k=1/3 Hình 4.21 Chuy n v ca nút dàn theo ph ươ ng x 105 Hình 4.22 Chuy n v ca nút dàn theo ph ươ ng y 105 Hình 4.23 Chuy n v ca nút dàn theo ph ươ ng z 105 Hình 4.24 Ni l c trong các thanh dàn 105 Hình 4.25 Bi u ñ chuy n v theo ph ươ ng x 108 Hình 4.26 Bi u ñ chuy n v theo ph ươ ng y 108 Hình 4.27 Bi u ñ chuy n v theo ph ươ ng z 108 Hình 5.1 Thanh ñu hai ñu kh p ch u nén ñúng tâm 112 Hình 5.2 Ph n t dm 114 Hình 5.3 n ñnh thanh hai ñu kh p 115 Hình 5.4 Ví d 5.1 121
XI Hình 5.5 Dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh 123 Hình 5.6 Dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh ngoài 125 Hình 5.7 Dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh ngoài 128 Hình 5.8 Dàn vòm ph ng siêu t ĩnh trong và siêu t ĩnh ngoài 131
XII DANH M C CÁC KÝ HI U Ký hi u Đi l ưng A Di n tích m t c t ngang c a thanh dàn B B rng c a dàn vòm không gian 1 l p c Hàm ràng bu c d ng b t ñng th c C S liên k t n i ñt ceq Hàm ràng bu c d ng ñng th c D Đưng kính ngoài c a m t c t hình vành khuyên d Đưng kính trong c a m t c t hình vành khuyên E Mô ñun ñàn h i c a v t li u EA Đ cng kéo (nén) ca thanh EI Đ cng ch ng u n c a thanh f Đ vng c a dàn vòm Tng hình chi u sai s theo ph ươ ng x ∑Fx Tng hình chi u sai s theo ph ươ ng y ∑Fy Tng hình chi u sai s theo ph ươ ng z ∑Fz G Mô ñun ñàn h i tr ưt g Hàm ràng bu c h Chi u cao dàn I Ma tr n ñơ n v k Đ tho i c a dàn [K] Ma tr n ñ cng kt c u l Nh p dàn, chi u dài c a dàn vòm không gian L Phi m hàm m rng Côsin ch ph ươ ng c a thanh (lij ,mij ,nij )
XIII (0) Chi u dài c a thanh tr ưc bi n d ng lij (s) Chi u dài c a thanh sau bi n d ng lij M Mô men N Lc d c trong thanh P Ti tr ng tác d ng Ti tr ng t i h n Pth Q Lc c t r Bán kính cong c a dàn u Thành ph n chuy n v theo ph ươ ng x v Thành ph n chuy n v theo ph ươ ng y w Thành ph n chuy n v theo ph ươ ng z y0 Chuy n v cưng b c Z Lưng ràng bu c α H s tp trung ng su t ti p Bi n d ng dài tuy t ñi c a thanh ∆lij {δ } Véc t ơ chuy n v nút σ ng su t ε Bi n d ng dài t ñi λ Th a s Largrage χ Bi n d ng u n θ1 Góc xoay ti nút th nh t ca ph n t thanh θ2 Góc xoay ti nút th hai ca ph n t thanh
XIV DANH M C CÁC CH VI T T T PTCL Ph n tr ăm chênh l ch PTPTHH Phân tích phi tuy n hình h c PTTT Phân tích tuy n tính
1 M ĐU Lý do l a ch n ñ tài: Kt c u dàn là m t trong nh ng d ng k t c u xu t hi n t rt s m và ngày càng ñưc s dng r ng rãi trong các công trình xây d ng Dân dng và Công nghi p, An ninh Qu c phòng. Ngay t xa x ưa, khi ngành công nghi p vt li u ch ưa phát tri n thì các v t li u nh ư g , tre v.v ñã ñưc s dng làm kt c u dàn cho các cây c u v ưt ñưc nh p 20-30m. Khi khoa h c v t li u phát tri n thì các vt li u này dn ñưc thay th bng các v t li u có kh năng ch u l c t t h ơn nh ư thép, composite v.v Do ñó k t c u dàn ngày càng v ưt ñưc kh u ñ ln hơn và các c t dàn cao h ơn. Kt c u dàn là kt c u có r t nhi u ưu ñim nh ư: ti t ki m v t li u, cho vưt kh u ñ ln, nh , kinh t và ñc bi t v ph ươ ng di n ki n trúc có th to ñưc nhi u hình dáng khác nhau nh ư: vòm c u, vòm tr , vòm yên ng a v.v mà hi n nay có r t nhi u công trình trên th gi i s dng các lo i hình dáng này. Vì v y, ngày nay k t c u dàn ñưc s dng r ng rãi trong các công trình cu, các c t truy n t i ñin, c t truy n thông, dàn khoan và làm mái che cho các công trình sân v n ñng, nhà thi ñu, cung th thao, trung tâm th ươ ng mi, x ưng s a ch a b o d ưng máy bay v.v Tr ưc ñây vi c tính toán phân tích n i l c cho k t c u dàn th ưng ñưc th c hi n tính toán b ng th công vi các ph ươ ng pháp ñơ n gi n nh ư: Ph ươ ng pháp tách m t, Ph ươ ng pháp m t c t ñơ n gi n, Ph ươ ng pháp m t c t ph i h p, Ph ươ ng pháp h a ñ - Gi n ñ Maxwell-Cremona v.v Hi n nay do s phát tri n c a công ngh tin h c ñin t nên vi c tính toán ñơ n gi n và thu n ti n hơn r t nhi u nh các ph n m m phân tích tính toán ng d ng ñưc vi t d a theo ph ươ ng pháp ph n t hu h n nh ư ph n m m Sap, Etabs v.v , ñc bi t các ph n m m này có th phân tích tính toán v i các kt c u siêu t ĩnh b c cao. Tuy nhiên khi áp d ng các ph ươ ng pháp này ñ tính toán k t c u dàn th c t
2 th ưng gi thi t chuy n v nút dàn là bé, tc là b qua s thay ñi góc c a các tr c thanh dàn gi a tr ưc và sau khi dàn bi n d ng. Do kt c u dàn ngày càng mng, vưt kh u ñ ln và v t li u có ñ bn cao, nên khi ch u l c làm cho góc c a các tr c thanh dàn gi a tr ưc và sau khi dàn bi n d ng thay ñi. Chính vì th , kt qu phân tích tuy n tính kt c u dàn hi n nay là ch ưa sát v i s làm vi c th c t ca k t c u do ch ưa k ñn nh h ưng c a s thay ñi góc các thanh dàn trong quá trình k t c u bi n d ng. Ngoài ra, khi tính toán n ñnh cho k t c u dàn hi n nay th ưng m i ch nghiên c u tính toán n ñnh tng th ho c tính toán n ñnh c c b tuy n tính cho k t c u dàn. Vi lý do trên, lu n án nghiên c u vi ñ tài: “Phân tích k t c u dàn ch u t i tr ng tĩnh theo s ơ ñ bi n d ng ”. Mc tiêu nghiên c u: - Phân tích tính toán chuy n v , n i l c c a k t c u dàn vòm ph ng và dàn không gian xét ñn tính phi tuy n hình h c do k ñn s thay góc c a các tr c thanh dàn gi a tr ưc và sau khi k t c u dàn bi n d ng. - Nghiên c u tính toán n ñnh c c b ca k t c u dàn có k ñn tính phi tuy n hình h c. Đi t ưng nghiên c u: Phân tích s làm vi c phi tuy n hình h c c a k t c u dàn vòm ph ng, dàn c u không gian m t l p và dàn vòm không gian m t l p vi các gi thi t sau: Gi ả thi ết 1: Nút c a dàn ph i n m t i giao ñim c a các tr c thanh và là kh p lý t ưng (các ñu thanh quy t nút có th xoay m t cách t do không ma sát). Gi ả thi ết 2: Ti tr ng ch tác d ng t i các nút dàn. Gi ả thi ết 3: Tr ng l ưng b n thân c a các thanh không ñáng k so v i ti tr ng t ng th tác d ng lên dàn.
3 Gi ả thi ết 4: Ti tr ng tác d ng lên k t c u dàn ñưc b o toàn v ph ươ ng, chi u và ñ ln trong quá trình k t c u bi n d ng. Ph ươ ng pháp nghiên c u: Da trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss do GS.TSKH. Hà Huy Cươ ng ñ xu t và k t h p v i các ph ươ ng pháp quy ho ch toán h c. Ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss có cách nhìn ñơ n gi n ñ phân tích các bài toán kt c u và ng ưi k sư có th d dàng áp d ng ñ tính toán trong các bài toán kt c u th c t . Ph m vi nghiên c u: Gi i thi u ph ươ ng pháp m i ñ tính toán n i l c, chuy n v và n ñnh cc b ca dàn vòm có xét ñn tính phi tuy n hình h c và v t li u làm vi c trong giai ñon ñàn h i ch u tác d ng c a ti tr ng t ĩnh ti các nút dàn. Ý ngh ĩa khoa h c ca lu n án: Xét ñưc tính phi tuy n hình h c c a k t c u dàn khi phân tích ni l c, chuy n v và n ñnh ch u t i trng t ĩnh là v n ñ rt khoa h c và có ý ngh ĩa th c ti n. B c c c a lu n án Ngoài ph n m ñu, ph n k t lu n, danh m c các công trình nghiên c u ca tác gi liên quan ñn n i dung lu n án, tài li u tham kh o và ph l c; n i dung chính c a lu n án ñưc b c c trong 5 ch ươ ng: - Ch ươ ng 1 Tng quan v phân tích tính toán kt c u dàn: Trình bày các ñc ñim, ng d ng c a k t c u dàn c ũng nh ư tng quan v tình hình nghiên cu k t c u dàn trong n ưc và trên th gi i. Đng th i trong ch ươ ng này trình bày m t s khái ni m v toán quy ho ch và n ñnh k t c u dàn. Cu i ch ươ ng tác gi ñư a ra các v n ñ c th gi i quy t c a lu n án. - Ch ươ ng 2 Cơ s lý thuy t phân tích phi tuy n hình h c k t c u dàn: Trình bày cơ s lý thuy t phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn da trên
4 ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss. Đng th i trong ch ươ ng còn kh o sát nh h ưng ca giá tr mô ñun ñàn h i vt li u và nh h ưng c a giá tr t i tr ng tác d ng ñn s chênh l ch n i l c gi a phân tích phi tuy n hình h c và phân tích tuy n tính kt c u dàn ch u t i tr ng t ĩnh. - Ch ươ ng 3 Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn vòm ph ng: Trình bày các k t qu kh o sát phân tích chuy n v và n i l c ca bài toán phi tuy n hình h c kt c u dàn vòm ph ng. - Ch ươ ng 4 Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn không gian: Trình bày các k t qu kh o sát phân tích chuy n v và n i l c ca bài toán phi tuy n hình h c kt c u dàn không gian m t l p. - Ch ươ ng 5 Tính toán n ñnh phi tuy n hình h c kt c u dàn vòm ph ng: Trình bày ph ươ ng pháp chuy n v c ưng bc ñ xác ñnh l c t i h n lên thanh ch u nén, ph ươ ng pháp xác ñnh t i tr ng t i h n trong bài toán n ñnh c c b phi tuy n hình h c kt c u dàn da trên ph ươ ng pháp nguyên lý cc tr Gauss và toán hc quy ho ch. Đng th i kh o sát nh h ưng tính siêu tĩnh c a k t c u dàn c ũng nh ư ñ tho i c a kt c u dàn ñn t i tr ng t i h n lên kt c u.
5 CH ƯƠ NG 1 TNG QUAN V PHÂN TÍCH TÍNH TOÁN K T C U DÀN 1.1 Đc ñim và ng d ng c a k t c u dàn Kt c u dàn là k t c u ñưc t o thành t các thanh liên k t vi nhau t i các nút dàn, nút dàn ph i n m t i giao ñim c a các tr c thanh. Khi l c ch ñt t i nút thì các thanh dàn ch yu làm vi c ch u kéo ho c nén, do ñó ta có th coi các nút dàn là kh p. Trong ph lc 5 c a lu n án tác gi cũng ñã phân tích cùng m t k t c u dàn cho hai tr ưng h p (khi coi nút dàn là kh p và khi coi nút dàn là liên k t c ng), k t qu qu cho th y l c d c trong các thanh dàn khi coi nút dàn là kh p lý t ưng th ưng nh hơn khi coi nút dàn là liên k t cng kho ng 5%. Do k t c u dàn khi ch u l c, các thanh ch yu ch ch u kéo ho c nén nên t n d ng h t ñưc kh năng làm vi c c a v t li u. Vì v y k t cu dàn là k t c u ti t ki m v t li u và v ph ươ ng di n ki n trúc có th to ñưc nhi u hình dáng khác nhau, nên k t c u dàn ñưc s dng nhiu trong các công trình c u, dàn khoan, c t truy n t i ñin và làm k t c u mái che cho các công trình nhà thi ñu, sân v n ñng, nhà hát, sân bay v.v [31], [33], [51], [64], [65]. Kt c u dàn ñu tiên trên th gi i ñưc xây d ng n ăm 1863 là công trình Schwedler Dome t i Berlin do k sư Schwedler ng ưi Đc thi t k , có dng k t c u vòm ñưc t o b i các l ưi ô tam giác và vưt ñưc kh u ñ 30m [62]. Đn n ăm 1889 t i Pari Pháp xây d ng tháp Eiffel n m c nh sông Seine có chi u cao 325 m tr thành bi u t ưng c a kinh ñô ánh sáng. N ăm 1898 t i Vi t Nam, các K sư ng ưi Pháp ñã thi t k và xây d ng cây c u Long Biên, cây c u dài 2.290m làm b ng dàn thép. Năm 1940 t i Berlin Max Mengeringhausen ñã nghiên c u ra h kt cu Mero (System of nodes and beams - MEngeringhausen ROhrbauweise),
6 t ñây tr ñi k t c u dàn không ng ng ñưc nghiên c u và ng d ng vào các công trình th c th c t [62]. Hình 1.1 Sân v n ñng Astrodome Hình 1.2 Nhà thi ñu Superdome Hình 1.3 Nhà thi ñu Nagoya Dome Hình 1.4 Nhà hát l n B c kinh Năm 1965 công trình sân v n ñng Astrodome ñưc xây d ng t i bang Texas n ưc M có s c ch a 42.217 ng ưi, chi u dài nh p dàn là 196m (hình 1.1). Năm 1975 c ũng t i M các nhà k sư ñã thi t k công trình Superdome là n ơi t ch c các s ki n th thao và tri n lãm có s c chúa 73.208 ng ưi, có chi u dài nh p dàn là: 207m (hình 1.2). Năm 2000 t i Nh t B n ñã thi t k ñưc dàn không gian cho công trình Nagoya Dome có s c ch a 40.500 ng ưi v i kích th ưc kh u ñ trên 180m (hình 1.3).
7 Năm 2007 Trung Qu c ñã xây d ng nhà hát l n t i B c Kinh d ng hình Elipsoid, v i kích th ưc m t chi u 144m và m t chi u 212m. Chi u cao c a công trình 46m và công trình có s c ch a 5.452 ng ưi (hình1.4). Ngoài ng d ng làm k t c u cho các công trình nh p l n nh ư ñã k trên, kt c u dàn còn có tác d ng gi m ch n cho các k t c u công trình ch u ñng ñt. Khi có ñng ñt Vïng tiªu t¸n n¨ng l−îng xy ra thì trên k t c u dàn STMFs (Special Truss moment frames) xu t Hình 1.5 K t c u STMFs hi n các v trí bi n d ng d o (vùng tiêu tán n ăng l ưng) nh ư hình 1.5, làm tăng kh năng gi m ch n cho công trình [28]. Ngoài ra, do cách tính ñơ n gi n c a dàn nên có th dùng s ơ ñ dàn o ñ mô t tính toán trong k t c u d m và b n bê tông (tr ng thái có v t n t): Khi tính toán thi t k các vùng liên t c theo tr ng thái gi i h n ñ bn và ñ thi t k cu t o chi ti t cho các vùng không liên t c theo tr ng thái gi i h n ñ bn, kim tra tr ng thái gi i h n s dng. Mô hình dàn o bao g m các thanh chéo ñi di n cho tr ưng ng su t nén, các thanh gi ng ñi di n cho c t thép và các nút liên k t có v trí, h ưng trùng v i c t thép [20]. 1.2 Nh ng ph ươ ng h ưng và tình hình nghiên c u tính toán k t c u dàn hi n nay Kt c u dàn phát tri n t rt s m, vì v y vi c nghiên c u tính toán k t cu dàn ñã ñưc r t nhi u các nhà khoa h c quan tâm. Đu tiên là nh ng ph ươ ng pháp tính toán ñơ n gi n nh ư: ph ươ ng pháp tách m t, ph ươ ng pháp ha ñ, ph ươ ng pháp m t c t ñơ n gi n [8], [9], [14], [58]. Cho ñn ngày nay các ph ươ ng pháp tính toán n i l c, chuy n v và n ñnh k t c u dàn ñã phát tri n m nh m [5], [12], [15], [36], [47], [55].
8 T nh ng k t qu nghiên c u c a các nhà khoa h c trên th gi i báo cáo ti các h i th o c ũng nh ư ñưc in trong các t p chí khoa h c, có th phân lo i nh ng ph ươ ng h ưng chính nghiên c u k t c u dàn nh ư sau: Ph ươ ng pháp phân tích kt c u dàn không gian: Kt c u dàn nói chung và kt c u dàn không gian nói riêng là k t c u th ưng có s n l n vì v y vi c xây d ng các ph ươ ng pháp tính toán cho kt c u dàn không gian là v n ñ rt có ý ngh ĩa th c ti n. Qua các tài li u tham kh o có th th y, hi n nay khi phân tích k t c u dàn không gian th ưng s dng m t trong các ph ươ ng pháp sau: phươ ng pháp cân b ng nút [14], [66]; phươ ng pháp m t c t ñơ n gi n [14], [66]; phươ ng pháp m t c t ph i h p [14], [66]; phươ ng pháp ph n t hu h n [12], [29], [66]; phươ ng pháp sai phân h u h n [66]; phươ ng pháp mô hình tm m ng tươ ng ñươ ng [66]. Phân tích phi tuy n kt c u dàn: Kt c u dàn th ưng nh , ngày càng m ng và v ưt kh u ñ ln nên khi phân tích kt c u dàn ñã có m t s nghiên c u xem xét nh h ưng c a tính phi tuy n hình h c c ũng nh ư phi tuy n v t li u ñn s làm vi c c a k t c u dàn: - Năm 2001 khi trình bày phân tích phi tuy n hình h c k t c u dàn Carlos A.Fellippa s dng ph ương pháp ph n t hu h n v i ph n t hu h n không tuy n tính, bi n dng dài t ñi c a thanh dàn ñưc xác ñnh : ()s 2 (0) 2 (lij) − ( l ij ) ε = (1.1) (0) 2 2()lij Da theo nguyên lý th năng bi n d ng c c ti u s xây d ng ñưc ph ươ ng trình cân b ng phi tuy n cho k t c u. Đ gi i các ph ươ ng trình phi tuy n này, tác gi ñã s dng ph ươ ng pháp chi u dài cung (Arc lenght Method). Trong trình bày phân tích phi tuy n hình h c ca k t c u dàn, tác gi ñã xác ñnh ñưc ñưng cân b ng và ti tr ng t i h n trong phân tích n ñnh t ng th ca k t c u dàn [23].
9 - Năm 2005 M.R.Pajand và c ng s da trên ph ươ ng pháp DRM (Dynamic relaxation Method) c a Frankle ñã xây d ng lên cách gi i m i cho bài toán phân tích k t c u dàn có k ñn chuy n v ln. Tuy nhiên ph ươ ng pháp này còn có m t s hn ch nh ư không cho k t qu hi t nu không thêm m t s ñiu ki n, trong quá trình l p v i t i tr ng là h ng thì th ưng d n ñn k t qu ti tr ng t i h n không chính xác và trong phân tích phi tuy n th ưng ph i l p nhi u h ơn ph ươ ng pháp Newton [41]. - Năm 2006 S.S.Ligarò cùng c ng s nghiên c u phân tích k t c u dàn tháp k ñn chuy n v ln, trong nghiên c u này bi n d ng dài t ñi c a các thanh dàn ñưc xác ñnh theo công th c (1.1) và các tác gi ñã xác ñnh ñưc ñưng cân b ng và t i tr ng t i h n tác d ng lên k t c u dàn tháp trong bài toán phi tuy n hình h c n ñnh t ng th ñàn h i [48]. - Năm 2009 L.Kwasniewski ñã nghiên c u nh h ưng c a t s chi u cao và nh p dàn Mises ñn t i tr ng ti h n tác d ng lên k t c u trong bài toán n ñnh t ng th phi tuy n hình h c ca dàn Mises ch u t i tr ng th ng ñng. Trong nghiên c u này, tác gi ñã s dng ph ươ ng pháp cân b ng nút ñ thi t lp ñưc ñưng cân b ng cho bài toán [34]. - Năm 2012 M.Greco và các c ng s ñã nghiên c u phân tích phi tuy n hình h c c a k t c u dàn theo hai cách: cách th nh t là xây d ng theo v trí nút d a trên nguyên lý công o; cách th hai phân bi n d ng c a k t c u dàn ra làm hai thành ph n là bi n d ng th tích t ươ ng ñi và bi n d ng quay c ng xung quanh ba tr c t a ñ. Trong c hai cách c a các tác gi là cu i cùng ñư a v dng các ph ươ ng trình cân b ng phi tuy n, ñ gi i các ph ươ ng trình này các tác gi ñã s dng ph ươ ng pháp l p chi u dài cung ñ gi i [38]. Ngoài các nghiên c u phân tích phi tuy n hình h c v a trình bày trên còn m t s các nghiên c u khác nh ư [27], [37], [45], [46] v.v và trong h u ht các nghiên c u này các tác gi th ưng s dng ph ươ ng pháp ph n t hu
10 hn trên c ơ s ph n t phi tuy n ñ ñư a ma tr n ñ cng c a k t c u ra làm hai thành ph n (ph n tuy n tính và ph n phi tuy n hình h c), sau ñó s dng các ph ươ ng pháp l p ñ gi i các bài toán này. Ti ưu hóa k t c u dàn: Kt c u dàn là k t c u có kh năng ch u l c t t ñ ti t ki m v t li u, v n ñ ti ưu hóa k t c u dàn c ũng ñã ñưc r t nhi u nhà khoa h c nghiên c u. Qua các nghiên c u t i ưu kt c u dàn, có th chia bài toán t i ưu dàn thành ba lo i chính: Bài toán t i ưu kích th ưc (Size optimization) [7], [25], [35], [42], [50], [53]; Bài toán t i ưu hình dáng (Shape optimization) [26], [42], [53] và Bài toán t i ưu c u trúc (Topology optimization) [21], [22], [32], [40], [42], [53]. n ñnh k t c u dàn: Vi c phân tích n ñnh cho k t c u là m t ph n b t bu c khi tính toán thi t k kt c u công trình nói chung và k t c u dàn nói riêng, nên v n ñ nghiên c u n ñnh k t c u dàn ñã ñưc nhi u nhà khoa h c quan tâm nghiên c u. Nh ư ñã trình bày trong ph n phân tích phi tuy n k t c u dàn, hi n nay các nghiên c u phân tích phi tuy n hình h c k t c u dàn th ưng là các nghiên cu v n ñnh t ng th kt c u dàn. Khi nghiên c u n ñnh ph n t phi tuy n, ta th ưng dùng các khái ni m sau [23]: - Đim c c tr (Limit point) là ñim mà ti p tuy n c a ñưng cân b ng ti ñim ñó có ph ươ ng n m ngang t c song song v i trc bi n d ng (hình 1.6a). - Đim phân nhánh (Bifurcation point) là ñim mà qua ñim ñó có th có hai ho c nhi u ñưng cân b ng (hình 1.6b). - Đim t i h n (Critical point) là ñim có ñc ñim ñc bi t v toán h c mà t i ñó quan h gi a t i tr ng và bi n d ng là không duy nh t.
11 (a) (b) 1 §iÓm cùc trÞ §iÓm ph©n nh¸nh T¶i träng T¶i T¶i träng 2 ChuyÓn vÞ ChuyÓn vÞ O O Hình 1.6 Đưng cân b ng tr ưc và sau khi m t n ñnh Nói ñn n ñnh c a c ơ h là nói ñn n ñnh c a tr ng thái cân b ng, mà tr ng thái cân b ng là nghi m c a ph ươ ng trình vi phân, cho nên nói ñn n ñnh c a c ơ h là nói ñn n ñnh nghi m c a các ph ươ ng trình vi phân. Khi gi i các bài toán n ñnh c a k t c u dàn nói riêng và k t c u nói chung th ưng d n v ph ươ ng trình vi phân thu n nh t không có v ph i ñưc vi t dưi d ng: A.X= 0 (1.2) Có th vi t d ưi d ng: A.X= λ .X hay (A-λ I) X = 0 (1.3) trong ñó: I - là ma tr n ñơ n v λ - là m t s T (1.3) ta ñưc: det( A− λ I) = 0 ho c X=0. Nghi m X=0 không cho ta ý ngh ĩa gì v mt c ơ h c và toán h c g i là nghi m t m th ưng. Nên t (1.3) suy ra: det( A− λ I) = 0 (1.4) Gi i ph ươ ng trình (1.4) s tìm ñưc λ và λ ñưc g i là tr riêng c a ma tr n A. Sau khi tìm ñưc λ thay vào ph ươ ng trình (1.3) s tìm ñưc nghi m X và ñây chính là véct ơ riêng c a ma tr n. Nh ư v y t ươ ng ng v i m i giá tr ca tr riêng s tìm ñưc m t véc t ơ riêng, các véc t ơ riêng này ñc l p v i
12 nhau và có tính ch t tr c giao. Đ gi i ph ươ ng trình (1.4) th ưng trong các ngôn ng lp trình có s n thu t toán tìm tr riêng. Trong tr ưng h p chung nh t là bài toán phân tích phi tuy n kt c u dàn thì ph ươ ng trình (1.4) là ph ươ ng trình phi tuy n, ñ gi i ph ươ ng trình phi tuy n th ưng dùng các thu t toán l p. Mt s nghiên c u v n ñnh k t c u dàn: - Năm 2002 M.Psotný cùng c ng s ñã nghiên c u nh h ưng c a góc trong dàn Mises ñn s chênh l ch k t qu ti tr ng t i h n trong bài toán n ñnh t ng th . Trong nghiên c u này, các tác gi ñã nghiên c u tính phi tuy n hình h c c a k t c u thông qua vi c mô t bi n d ng dài t ñi ñn b c 2 theo chuy n v [44]. - Năm 2006 V.V.Galishnikova ñã dùng ph n t hu h n phi tuy n ñ phân tích n ñnh t ng th cho k t c u dàn không gian có xét ñn tính phi tuy n hình h c. Trong ph ươ ng pháp này, ñ cng c a k t c u t i th i ñim t ñưc tác gi xây d ng Kt,s= K 0 + ∆λ K() 1 ∆λ , khi k t c u m t n ñnh thì det(K0+ ∆λ K 1 ) = 0 và nh ư v y s xác ñnh tr riêng c a bài toán [52]. - Năm 2009 S.H.Chun và các c ng s ñã nghiên c u n ñnh t ng th ca k t c u dàn, các tác gi ñã so sánh k t qu phân tích giá tr ti tr ng t i hn lên k t c u dàn gi a phân tích theo lý thuy t tr riêng và lý thuy t Eulerian tuy n tính ñ th y ñưc s chênh l ch k t qu gi a hai cách phân tích [49]. - Năm 2011 M.H.Tong và các cng s ñã phân tích n ñnh t ng th cho kt c u dàn trong công trình cu, kt qu phân tích cho th y t i tr ng t i h n khi phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn trong công trình cu th ưng nh hơn so v i phân tích tuy n tính [39]. - Năm 2013 C.Dou và các cng s nghiên c u n ñnh ngoài m t ph ng ca k t c u dàn vòm có k ñn nh h ưng c a bi n d ng tr ưt. Các tác gi ñã
13 ch ra r ng khi ñ tho i c a dàn vòm t ăng thì nh h ưng c a bi n d ng tr ưt trong k t c u dàn vòm t ĩnh ñnh ch u t i tr ng phân b là nh hơn so v i c t ch u nén, còn trong bài toán dàn vòm t ĩnh ñnh ch u u n thu n túy thì nh hưng c a bi n d ng tr ưt là không rõ ràng [24]. - Năm 2014 Y.L.Guo và các c ng s nghiên c u n ñnh ñàn h i ngoài mt ph ng c a k t c u dàn vòm hai ñu kh p có k ñn nh h ưng tính liên tc và không liên t c c a k t c u gi ng bên [54]. - Ngoài mt s nghiên c u n ñnh ñã gi i thi u trên, khi trình bày v ph ươ ng pháp phân tích n ñnh cho k t c u còn có tài li u c a Volmir [57], Timoshenko [59] và m t s tài li u khác [56], [60], [61], [63] v.v trình bày nh ng nghiên c u ñy ñ v kt c u h thanh làm vi c trong và ngoài gi i h n ñàn h i. Có th nói ñây là nh ng k t qu nghiên c u kinh ñin, tuy nhiên trong các tài li u này ca các tác gi cũng m i ch trình bày ph ươ ng pháp phân tích tuy n tính n ñnh c c b cho kt c u dàn. Trên ñây, lu n án v a t ng quan v nh ng ph ươ ng h ưng và tình hình nghiên c u k t c u dàn hi n nay. Đ phân tích kt c u dàn, các ph ươ ng pháp mà các tác gi th ưng s dng là: ph ươ ng pháp ph n t hu h n và các ph ươ ng pháp quy ho ch toán h c. Vì v y, sau ñây lu n án s gi i thi u sơ b ph ươ ng pháp ph n t hu h n c ũng nh ư các ph ươ ng pháp quy ho ch toán h c: Ph ươ ng pháp ph n t hu h n Ph ươ ng pháp ph n t hu h n là m t ph ươ ng pháp h u hi u dùng r ng rãi trong tính toán thi t k công trình xây d ng. Ph ươ ng pháp ph n t hu h n (Finite Element Method) ñưc Clough ñư a ra tên g i n ăm 1960. Tuy nhiên tr ưc ñó vào n ăm 1943 Courant ñã ñư a ra ph n t tuy n tính tam giác, ñây là ph n t ñơ n gi n ñu tiên và ñưc s dng cho ñn t n ngày nay. T năm 1960 tr ñi ph ươ ng pháp ph n t hu h n không ng ng phát tri n, ñn n ăm 1962 Gallagher ñư a ra ph n t t di n tuy n tính. Thông qua s dng h ta
14 ñ tam giác và t di n, tam giác và t di n pascal ñã làm ñiu ki n liên t c ca ph n t tam giác và ph n t t di n tr lên ñơ n gi n. N ăm 1966 Irons ñư a ra ph n t ñng tham s (isoparametric elements), có th nói ñây là cu c cách mng c a ph ươ ng pháp ph n t hu h n. Đn n ăm 1968 Zienkiewicz ñã gi i thi u ph n t có s nút thay ñi (variable-number-of-nodes elements). N ăm 1979 Cundall và Strack ñã ñư a ra ph ươ ng pháp ph n t hu h n gián ñon (discrete finite element method) là ý tưng k t h p gi a ht và ph n t hu hn. N ăm 1992 Nayroles ñã ñư a ra ph ươ ng pháp không l ưi (meshless methods) và ph ươ ng pháp này nhi u n ăm li n ñưc các nhà khoa h c tìm hi u và phát tri n [29], [30]. Ph ươ ng pháp không l ưi nh m gi i quy t s phát tri n các d ng hình hc c a các k t c u nh ư thân ô tô, thân máy bay v.v Các hàm n i suy trong ph ươ ng pháp không l ưi có th ñưc d a trên ña th c Bernstein polynomials ho c các ña th c ñc bi t khác nh ư hàm Wavelet. Trong s các ph ươ ng pháp không l ưi có th nh c ñn: Ph ươ ng pháp không ph n t Galerkin (Element - Free Galerkin Method), Ph ươ ng pháp Wavelet Galerkin (Wavelet Galerkin Method) v.v Ph ươ ng pháp không l ưi là m t ph n b sung cho ph ươ ng pháp có l ưi truy n th ng, nó có th xây d ng nh ng x p x bc cao b t k ỳ ngay c trong tr ưng h p ño hàm b c b n v i t m Kirchhoff-Love. Đc bi t trong bài toán t i ưu hình d ng k t c u, tránh ñưc s chia l i l ưi sau khi t i ưu ñưc hình d ng k t c u. Trong ph ươ ng pháp không l ưi, s ri r c hóa theo t p h p các nút và t ươ ng tác gi a các nút có th thay ñi theo th i gian và không gian. Do ñó các mô hình phát tri n v t n t, bi n d ng t do và ñưng cong tr lên ñơ n gi n [43]. Nh ư v y, ph ươ ng pháp ph n t hu h n là ph ươ ng pháp th ưng da trên ph ươ ng pháp chuy n v dùng ñ tính cho các bài toán tuy n tính và bài
15 toán phi tuy n. Ph ươ ng pháp ph n t hu h n ñã phát tri n t ph n t có l ưi ñn ph n t không l ưi. Các ph ươ ng pháp c a quy ho ch toán h c Trong tr ưng h p t ng quát bài toán quy ho ch có th trình bày d ưi dng tìm x ñ min ( f ( x ) ) vi các ràng bu c g( x )≤ 0 . Trong ñó: f( x ) là hàm m c tiêu (objective functions); x là không gian véct ơ n chi u T x= { xxx1, 2 , 3 , , x n} ñưc g i là bi n s (variables). Bài toán nh ư trên ñưc gi là bài toán quy ho ch toán h c (Mathematical programming) [7], [42], [53]. Bài toán quy ho ch toán h c th ưng vi t d ưi d ng sau: - Hàm m c tiêu: min( f ( x ) ) (1.5a)  g1( x )≤ 0   g( x )≤ 0 - Các ràng bu c:  2 (1.5b)  M  gm ( x )≤ 0 Th c t các bài toán quy ho ch có th vi t d ưi d ng khác nh ưng có th ñư a v dng (1.5) ñưc nh ư: max( f ( x ) ) ↔ min(− f ( x ) ) và g( x )≥ 0 ↔ −g( x ) ≤ 0 (1.6) Da trên các nguyên lý bi n phân n ăng l ưng, t t c các bài toán c ơ h c công trình ñu có th ñư a v dng bài toán quy ho ch toán h c. Ví d da trên nguyên lý n ăng l ưng bi n d ng (Π(σ ij ) ) ti thi u ñi v i bài toán c ơ h c môi tr ưng liên t c, ñàn h i và tuy n tính có th ñưc vi t nh ư d ưi d ng sau: Π(σ ij ) → min vi các ñiu ki n là các ph ươ ng trình cân b ng. Đây là bài toán quy ho ch toán h c, trong ñó Π(σ ij ) (n ăng l ưng bi n dng) là hàm m c tiêu còn các ph ươ ng trình cân b ng là các ràng bu c c a
16 bài toán. Không nh ng ñi v i bài toán v a trình bày mà còn ñi v i các bài toán n ñnh, ñc bi t là các bài toán t i ưu k t c u th ưng ñưc ñư a v dưi dng các bài toán quy ho ch toán h c. Ta có th phân lo i các bài toán quy ho ch toán h c nh ư sau: Bài toán quy ho ạch tuy ến tính: là bài toán quy ho ch mà t t c các ràng bu c và hàm m c tiêu ñu là các hàm tuy n tính theo các bi n. Bài toán quy ho ch tuy n tính ñưc vi t d ưi d ng chu n (standard form) nh ư sau: Hàm m c tiêu: minfxx (12 , , , xn )= cxcx 11 + 22 ++ cx n n (1.7a) Các ràng bu c:  axax111+ 122 ++ ax 1n n = b 1  axax+ ++ ax = b  211 222 2n n 2  (1.7b) axax+ ++ ax = b  m11 m 22 mnnm  x1≥0; x 2 ≥ 0; ; x n ≥ 0; trong ñó: cj, b i và aiij ( =1,2, mj ; = 1,2, , n ) là các h s ñã bi t, còn x j là các bi n. Bài toán quy ho ạch phi tuy ến: là bài toán quy ho ch mà hàm m c tiêu ho c mt trong nh ng ràng bu c là phi tuy n, trong tr ưng h p t ng quát c hàm mc tiêu và các ràng bu c là nh ng hàm phi tuy n. Các ph ươ ng pháp quy ho ch toán h c là nh m gi i các bài toán quy ho ch toán h c trên. N u nh ư t năm 1984 v tr ưc khi tính toán bài toán quy ho ch toán h c phi tuy n th ưng ph i ñư a v bài toán quy ho ch toán h c tuy n tính ñ s dng ph ươ ng pháp ñơ n hình (Simplex Method) và có th nói ph ươ ng pháp ñơn hình là m t thành t u toán h c c a th k 20 do Dantzig ñư a ra n ăm 1947. Nh ưng tình hình khác h n t sau n ăm 1984 v i s xu t hi n ca ph ươ ng pháp ñim trong (The Interior-Point Method) khi nhà toán h c ng ưi M N.K.Karmarkar ñư a ra. Ph ươ ng pháp này khi áp d ng vào th c t
17 cho th y nó r t hi u qu vi nh ng bài toán có quy mô l n (nhi u bi n và s ràng bu c nhi u). B i vì khác h n v i ph ươ ng pháp ñơ n hình xây d ng dãy các ñim biên (là ñnh) c a mi n ch p nh n ñưc, còn ph ươ ng pháp ñim trong xây d ng các ñim trong b t ñu t ñim trung tâm sao cho h i t v ñim biên là nghi m t i ưu. Ngoài hai ph ươ ng pháp trên, còn ph i k thêm m t s ph ươ ng pháp khác nh ư: phươ ng pháp di chuy n ti m c n (The Method of Moving Asymptotes), phươ ng pháp tuy n tính hóa t ng bưc (Sequential Linear Programming), phươ ng pháp bình ph ươ ng t ng b ưc (Sequential Quadratic Programming) [42]. Vi các ph ươ ng pháp trên, hi n nay ñã ñưc ñư a vào trong các ngôn ng lp trình nh ư Mathematica, Matlab v.v d ưi d ng các hàm ñ ng ưi k sư d dàng s dng, nên trong các tính toán sau c a lu n án tác gi s dng các hàm có s n trong mc optimization toolbox c a ph n m m Matlab7.0 ñ gi i các bài toán quy ho ch toán h c. 1.3 Tình hình nghiên c u k t c u dàn trong n ưc Ti Vi t Nam k t c u dàn ñã ñưc ng d ng trong các công trình xây dng r t nhi u. Tuy nhiên các nghiên c u phân tích k t c u dàn ch ưa nhi u. Khi trình bày các ph ươ ng pháp tính toán cho k t c u dàn, tác gi Lu Th Trình [14], [15] ñã gi i thi u r t nhi u ph ươ ng pháp dùng ñ tính toán, nh ưng các ph ươ ng pháp tính toán này c ũng th ưng ch áp d ng tính toán cho các bài toán PTTT kt c u dàn có b c siêu t ĩnh th p. Còn các bài toán có b c siêu t ĩnh cao ho c phi tuy n hình h c thì khi áp d ng các ph ươ ng pháp này ñ gi i là r t khó kh ăn. V ph ươ ng pháp tính toán dàn còn có tài li u [12] c a tác gi Chu Qu c Th ng ñã gi i thi u ph ươ ng pháp ph n t hu h n ñ gi i bài toán dàn, trong tài li u tác gi cũng ch mi gi i thi u cách xây d ng ñưc v i bài toán phân tích tuy n tính k t c u dàn.
18 Trong tài li u [16], tác gi Lu Th Trình và c ng s khi trình bày v tính toán n ñnh cho kt c u dàn c ũng ch dng l i gi i thi u khái ni m tr ng thái t i h n c a k t c u dàn. 1.4 M t s vn ñ còn tn t i và lý do l a ch n ñ tài Qua các nghiên c u ñã trình bày trên có th th y: - Kt c u dàn là k t c u ñưc s dng r ng rãi trong các công trình xây dng, c ũng nh ư làm k t c u gi m ch n (k t c u khung dàn) cho các công trình. - Các phân tích phi tuy n k t c u dàn hi n nay th ưng s dng ph ươ ng pháp ph n t hu h n vi các ph n t phi tuy n và bi n d ng dài t ñi c a các thanh th ưng ñưc tính vi gi thuy t bi n d ng bé theo công th c (1.1) [10], ho c có th xây d ng theo hai cách khác là: cách th nh t là xây d ng theo v trí nút d a trên nguyên lý công o; cách th hai phân tích bi n d ng ca k t c u dàn ra làm hai thành ph n là bi n d ng th tích t ươ ng ñi và bi n dng quay c ng xung quanh ba tr c t a ñ [38]. Các ph ươ ng pháp này, th ưng cui cùng ñư a các ph ươ ng trình cân b ng v dng :   ([K] + Kg  ){ δ} = { P } (1.8)   trong ñó: [K] là ma tr n ñ cng không ñi (thành ph n tuy n tính); Kg  là ma tr n thay ñi (thành ph n phi tuy n hình h c). Gii ph ươ ng trình (1.8), th ưng s dng thu t toán l p Newton Raphson, lp Newton Raphson c i ti n ho c phươ ng pháp chi u dài cung (Arc lenght Method). Các ph ươ ng pháp lp này th ưng s dng cách chia ti tr ng thành n b ưc gia t i, khi tính chuy n v và n i l c t i bưc t i ñu tiên thì coi   Kg  = 0 và mu n tính ñưc chuy n v ni l c t i b ưc gia t i th i thì ph i bi t ñưc tr ng thái kt c u ti b ưc gia t i th (i-1). Nh ư v y các nghiên c u phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn th ưng là nh ng nghiên c u v n
19 ñnh t ng th kt c u dàn hay là các bài toán xác ñnh ñưng cân b ng t i các nút dàn. - Các nghiên c u n ñnh cc b cho k t c u dàn ch yu m i ch nghiên cu phân tích tuy n tính n ñnh c c b cho kt c u dàn, còn nghiên c u v phân tích phi tuy n hình h c n ñnh c c b cho k t c u dàn thì h u nh ư ch ưa có m t nghiên c u nào. Nh m làm phong phú thêm ph ươ ng pháp gi i cho bài toán phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn, c ũng nh ư có m t ph ươ ng pháp gi i ñơ n gi n mà các k sư và các nhà nghiên c u có th d dàng áp d ng ñ tính toán phi tuy n hình h c k t c u dàn khi thi t k cũng nh ư trong nghiên c u. Tác gi la ch n ñ tài: “Phân tích k t c u dàn ch u t i tr ng t ĩnh theo s ơ ñ bi n dng ”, s dng ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss ca GS. TSKH. Hà Huy C ươ ng và kt h p các ph ươ ng pháp quy ho ch toán h c ñ gi i. Ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss cho ñn nay ñã ñưc nhi u nghiên c u sinh áp dng và b o v thành công lu n án ti n s ĩ [2], [3], [6], [11], [13], [17], [18], [19]. 1.5 Mc tiêu nghiên c u c th ca lu n án: Qua tng quan tình hình v các nghiên c u phân tích kt c u dàn hi n nay, tác gi ñư a ra các v n ñ c th gi i quy t ca lu n án nh ư sau: 1. D a trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss xây d ng ñưc các ph ươ ng trình cân b ng cho bài toán phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn. Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn là khi phân tích coi bi n d ng c a các thanh dàn hu h n do ñó sau khi bi n d ng, góc c a các thanh dàn thay ñi. Phân tích tuy n tính k t c u dàn là khi phân tích coi bi n d ng ca các thanh dàn và chuy n v ca các nút dàn vô cùng bé, nên góc c a thanh dàn tr ưc và sau khi bi n d ng coi là không ñi. Đng th i xây d ng ñưc hai cách ti p c n gi i bài toán kt c u dàn là:
20 - Cách ch n n s là các thành ph n chuy n v ti các nút. - Cách ch n n s là n i l c trong các thanh dàn. 2. Mt s ví d kh o sát nghiên c u nh h ưng c a thông s vt li u ñn s phân ph i l i n i l c trong các thanh dàn ca bài toán dàn phi tuy n hình hc, c ũng nh ư nghiên c u nh h ưng c a giá tr ti tr ng tác d ng lên dàn ñn s chênh l ch kt qu gi a phân tích tuy n tính và phân tích phi tuy n hình h c. 3. Kh o sát phân tích phi tuy n hình h c cho k t c u dàn vòm ph ng trong m t s tr ưng h p: K t c u dàn t ĩnh ñnh; K t c u dàn t ĩnh ñnh trong, siêu t ĩnh ngoài; K t c u dàn siêu t ĩnh trong, t ĩnh ñnh ngoài; K t c u dàn siêu tĩnh trong và siêu t ĩnh ngoài ch u l c tác d ng th ng ñng t i các nút dàn. Đng th i nghiên cu nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm ph ng ñn ñ chênh lch n i lc trong các thanh dàn, ñ chênh l ch các thành ph n chuy n v ti các nút dàn gi a phân tích phi tuy n hình h c và phân tích tuy n tính. 4. Kh o sát phân tích phi tuy n hình h c cho bài toán k t c u dàn c u không gian m t l p, k t c u dàn vòm không gian mt l p ch u l c tác d ng th ng ñng t i các nút dàn. Đng th i nghiên cu nh h ưng ñ tho i c a các dàn cu không gian, dàn vòm không gian này ñn ñ chênh l ch n i l c c a các thanh dàn, ñ chênh l ch các thành ph n chuy n v ti các nút dàn gi a phân tích tuy n tính và phân tích phi tuy n hình h c. 5. Nghiên c u tính toán l c t i h n c a thanh ch u nén d c tr c d a trên ph ươ ng pháp chuy n v cưng b c. Đng th i xây d ng ph ươ ng pháp xác ñnh t i tr ng t i h n cho bài toán phân tích phi tuy n hình h c n ñnh c c b kt c u dàn. 6. Kh o sát ti tr ng t i h n tác d ng lên mt s kt c u dàn vòm ph ng và nghiên c u nh h ưng ñ tho i c a dàn vòm, tính siêu t ĩnh c a k t c u ñn giá tr ti tr ng t i h n tác d ng lên k t c u dàn vòm ph ng cũng nh ư s chênh l ch giá tr ti tr ng ti h n gi a phân tích tuy n tính và phân tích phi tuy n hình h c.
21 CH ƯƠ NG 2 CƠ S LÝ THUY T PHÂN TÍCH PHI TUY N HÌNH H C KT C U DÀN Trong ch ươ ng này ca lu n án trình bày ph ươ ng pháp phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn ch u tác d ng c a t i tr ng t ĩnh d a trên phươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss theo hai cách: chn n s chính c a bài toán là các thành ph n chuy n v ti các nút dàn; chn n s chính c a bài toán là n i lc trong các thanh dàn. Ngoài ra ch ươ ng 2 còn trình bày nghiên c u nh hưng c a thông s vt li u, cũng nh ư nh h ưng c a giá tr ti tr ng ñn s chênh l ch kt qu gi a PTTT và PTPTHH. 2.1 Ph ươ ng pháp phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn da trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss Nhà toán h c ng ưi Đc K.F.Gauss n ăm 1829 ñã ñư a ra nguyên lý sau ñây ñi v i các c ơ h ch t ñim: “Chuy n ñng c a h ch t ñim có liên k t tùy ý ch u tác ñng b t k ỳ mi th i ñim s xy ra m t cách phù h p nh t mt cách có th vi chuy n ñng c a h ñó khi hoàn toàn t do, ngh ĩa là chuy n ñng x y ra v i l ưng ràng bu c t i thi u n u nh ư s ño l ưng ràng bu c l y b ng t ng các tích kh i l ưng ch t ñim v i bình ph ươ ng ñ lch v trí ch t ñim so v i v trí khi chúng hoàn toàn t do.” Gi mi là kh i l ưng ch t ñim, Ai là v trí c a nó, Bi là v trí sau th i ñon vô cùng bé do tác ñng l c ngoài và v n t c ñu th i ñim gây ra, C i là v trí có th (ràng bu c b i liên k t) thì l ưng ràng bu c ñưc vi t nh ư sau: 2 Z=∑ mBCi( i i ) → min (2.1) i Do h cn tính và h hoàn toàn t do ñu ch u l c gi ng nhau, nên trong bi u th c l ưng c ưng b c không xu t hi n l c tác d ng. L ưng ràng bu c có dng bình ph ươ ng t i thi u là ph ươ ng pháp toán do Gauss ñư a ra [1].
22 Trên c ơ s phát bi u c a Gauss, năm 1984 GS. TSKH. Hà Huy C ươ ng ñã ñ xu t ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss ñ gi i các bài toán c ơ h c môi tr ưng liên t c và c ơ h c k t c u nh ư sau: Thay vì vi c tính toán trên h cn tính, ta tính toán trên h so sánh (h so sánh là h ch u l c tác d ng gi ng vi h cn tính nh ưng vi c xác ñnh n i l c trên h so sánh ñơ n gi n h ơn h cn tính). Sau ñó mu n xác ñnh n i l c, chuy n v trong h cn tính b ng cách cho l ưng ràng bu c ca bài toán ñt cc tr . Lưng ràng bu c vi t cho bài toán c ơ hc k t cu h thanh ch u t i tr ng tĩnh, trong ph lc 8 ca lu n án ñã thi t l p theo (8.22b) và ñưc vi t: 2 ( 0 ) (i) (i) 2 ( 0 ) (i) (i) ( 0 ) (i) (i) 2 n li n li n l i (MMx− 0x ) (My− M 0 y ) ( MMz− 0z ) Z=∑∫(i) dz + ∑ ∫(i) dz + ∑ ∫ (i) dz + i= 1 E .Ii= 1 E .Ii= 1 G .I 0 i x 0 i y 0 i ρ (2.2) 2 ( 0 ) (i) (i) 2 ( 0 ) (i) (i) ( 0 ) 2 n li n li n l i α()QQx − 0x α()Qy − Q 0 y () NNi− 0i +∑∫dz + ∑ ∫ dz + ∑ ∫ dz → min i= 1 i= 1 i= 1 0 GAi i 0 GAii0 EA ii (i) trong ñó: α là h s tp trung ng su t ti p do l c c t gây ra ti tr c d m; Mx , (i) (i) M y là mô men u n trong thanh th i; Mz là mô men xo n trong thanh th i; (i) (i) Qx , Qy là l c c t trong thanh th i; Ni là l c d c trong thanh th i; n i l c có ch s “0” chân là n i l c trong h so sánh; n i l c không có ch s “0” chân là n i l c trong h ñang xét (ph i th a mãn ñiu ki n biên); E là mô ñun ñàn h i; G là mô ñun ñàn h i tr ưt; Ix , Iy là mô men quán tính c a m t c t ngang ñi v i h tr c quán tính chính trung tâm x, y; Iρ là mô men quán tính ly tâm ñi v i tr ng tâm m t c t ngang c a thanh; A là di n tích m t c t (0) ngang c a thanh; li là chi u dài c a thanh th i tr ưc khi k t c u bi n d ng; n là tng s thanh c a k t c u. Trong kt c u dàn các thanh ch ch u kéo ho c ch u nén. Nh ư v y, t công th c (2.2) suy ra lưng ràng bu c vi t cho kt c u dàn bao g m n thanh dàn:
23 l( 0 ) n i (N− N ) 2 Z=∑ ∫ i 0i dz → min (2.3) i= 1 0 Ei A i Ví d 2.1: Cho k t c u dàn ch u l c nh ư hình 2.1, bi t t i tr ng P=30 (kN) và cng EA= 2.104 (kN) . Xác ñnh n i l c trong các thanh dàn theo PTTT. 2P y y 2P P D P=30(kN) D 2EA EA 2EA EA 1 EA 2 3 1 3 ABC x AC x Hình 2.1 Ví d 2.1 Hình 2.2 H so sánh ví d 2.1 Li gi i: Ch n h so sánh nh ư hình 2.2, b ng ph ươ ng pháp tách m t d dàng xác ñnh n i l c trong các thanh dàn ca h so sánh: N02 = 0(kN) ; N01 =− 5P / 7 =− 21,4286(kN) ; N03 =− 11 2P / 7 =− 66,6701(kN) . Lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.3) ñưc vi t nh ư sau: (N− N)2 (N) 2 (N − N) 2 Z=1 01 l(0) ++ 2 l (0) 3 03 lmin (0) → (2.4) 2EA1 EA 2 EA 3 Ngoài ra, c n có các ñiu ki n ràng bu c v mt liên t c là chuy n v ti nút D c a các thanh 1, 2, 3 b ng nhau và ñiu ki n biên là không có chuy n v ti nút A, B, C có th vi t: N 4 3 1 500− (u + v) = 0 ; (2.5a) 2EA 5D 5 D   N2 10 3 10 100 10−− uD + v D  = 0 ; (2.5b) EA 10 10  N 2 2 3 3002(−− u + v)0 = ; (2.5c) EA 2D 2 D
24 T ñiu ki n c c tr (2.4) v i các ràng bu c (2.5), có th vi t ñưc phi m hàm m rng Largrange ca bài toán: (NN)−2 (N) 2 (NN) − 2  N 4 3  L=1 01 l(0) + 2 l (0) + 3 03 l (0) +λ 1 500(uv) −++  2EA1 EA 2 EA 31 2EA 5 DD 5  N 10310   N 22  +λ2 10010 −− u + v  +λ3 3002( −−+ u v) → min (2.6) 2 D D   3 D D  EA 10 10   EA 2 2  trong ñó: λ là th a s Largrange và có th nguyên là [l c]. Điu ki n c c tr ca phi m hàm m rng (2.6) theo các n s là n i l c trong các thanh dàn, chuy n v ti nút D và các th a s λ s thi t l p ñưc h ph ươ ng trình tuy n tính, gi i h ph ươ ng trình này s xác ñnh ñưc n i l c trong các thanh dàn: NAD = − 3,8051(kN) ; NBD = − 39,0112(kN) ; NAD = − 29,2851(kN) và các thành ph n chuy n v ti nút D: uD = 0,3425(cm) ; vD = − 0,5360(cm) . Đ ki m tra ñ tin c y c a k t qu phân tích, lun án ki m tra ñiu ki n −5 cân b ng t i nút D c a dàn và k t qu nh ư sau: ∑Fx = 0,23774.10 (kN) ; −5 ∑Fy = − 0,65784.10 (kN) . Nh ư v y v i k t qu ki m tra cân b ng t i nút dàn cho th y, k t qu PTTT d a trên ph ươ ng pháp c c tr Gauss là tin c y. Khi h kt c u dàn so sánh không liên k t, ti tr ng tác d ng lên nút th ica (i) (i) (i) dàn là Px ,P y ,P z . Đ ñư a v h so sánh có liên k t ta có th ñt lo xo t i các (i) nút dàn, có ñ cng theo các ph ươ ng x, ph ươ ng y và ph ươ ng z l n l ưt là kx , (i) (i) k y và kz lên h so sánh mà không làm thay ñi chuy n ñng c a nút v i: (i) (i) (i) (i) Px (i) Py (i) Pz kx = lim ; ky = lim ; kz = lim (2.7) u →∞ v →∞ w →∞ 0i u0i 0i v0i 0i w0i trong ñó: u0i ;v 0i ;w 0i là các thành ph n chuy n v ti nút ica h so sánh. Ta (i) (i) (i) th y: khi u0i → ∞ , v0i → ∞ và w0i → ∞ thì kx → 0 , ky → 0 và kz → 0 .
25 Nh ư v y, có th ñt lo xo vào h so sánh không liên k t mà không làm thay ñi chuy n ñng c a h so sánh. Bây gi lưng ràng bu c cho k t c u dàn bao gm n thanh và có r nút ca h so sánh không liên k t ñưc vi t nh ư sau: n2 (0) r r r N− 0 l 2 2 2 ()k k (i) (i) (i) (2.8) Z=∑ + ∑ k.uuxi0i()()() −+ ∑ k.vv yi0i −+ ∑ k.ww z i −→ 0i min k1=Ek A k i1 = i1 = i1 = n N2 l (0) Trong bi u th c (2.8) ñi l ưng ∑ k k luôn d ươ ng, nên ta tính riêng k= 1 Ek A k ph n cu i nh ư sau: r r r (i)2 (i) 2 (i) 2 Zk=∑ k.uu xi0i()()() −+ ∑ k.vv yi0i −+ ∑ k.ww z i −→ 0i min (2.9) i1= i1 = i1 = hay: r (i) r (i) r (i) P 2 P 2 P 2 x y z (2.10) Zk=∑ lim .uu() i0i −+ ∑ lim .vv() i0i −+ ∑ lim .ww() i0i −→ min u →∞v →∞w →∞ i1= 0i u0i i1= 0i v 0i i1= 0i w 0i Gi i h n c a (2.10) là: r r r (i) (i) (i) (2.11) Zk=−∑ 2P.u xi − ∑ 2P.v yi − ∑ 2P.w zi → min i1= i1 = i1 = Đư a bi u th c (2.11) vào bi u th c (2.8), ta có: n2 (0) r r r Nk l k (i) (i) (i) Z=∑ − ∑ 2P.uxi − ∑ 2P.v yi − ∑ 2P.w zi → min (2.12a) k1=Ek A k i1 = i1 = i1 = ho c vi t d ưi d ng: n2 r r r EA(k k∆ l) k (i) (i) (i) Z=∑(0) −−− ∑ 2P.uxi ∑ 2P.v yi ∑ 2P.w zi → min (2.12b) k1=lk i1 = i1 = i1 = (i) (i) (i) trong ñó: Px ,P y ,P z là các thành ph n t i tr ng tác d ng t i nút i theo ph ươ ng tr c x, ph ươ ng tr c y và phươ ng tr c z; ui ,v i ,w i là các thành ph n chuy n v ti nút i theo ph ươ ng tr c x, ph ươ ng tr c y và ph ươ ng tr c z.
26 Lu n án s vn d ng phươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss (2.12) ñ gi i quy t bài toán tuy n tính c ũng nh ư bài toán phi tuy n hình h c k t c u dàn theo hai cách ti p c n nh ư sau: - Cách th nh t: ch n các n s chính là các thành ph n chuy n v ti các nút dàn. - Cách th hai: ch n các n s chính là lc dc trong các thanh dàn. Chú ý khi gi i theo cách th nh t thì ñiu ki n liên t c v chuy n v ti các nút dàn t ñng th a mãn, nh ưng n u gi i theo cách th hai thì c n ph i ñư a thêm ñiu ki n liên t c v chuy n v ti các nút dàn. Trong n i dung ch ươ ng 2 c a lu n án s trình bày chi ti t t ng cách ñ gi i bài toán k t c u dàn ch u t i tr ng t p trung t i các nút, da trên nguyên lý c c tr Gauss và cách ñm b o ñiu ki n liên t c v chuy n v ti các nút dàn. 2.1.1 Phân tích tuy n tính kt c u dàn theo cách th nh t 2.1.1.1 Kt c u dàn ph ng Xét thanh ij trong dàn ph ng. y v Gi t a ñ ban ñu c a các nút l n j uj j(x j,y j ) lưt là i( xi ,y i ) , j( xj ,y j ) . Sau khi vi dàn ch u l c, nút i có chuy n v : i(x ,y ) α i i ui o x ii'= ui + v i ; nút j có chuy n v: jj'= u + v (hình 2.3) j j Hình 2.3 Sơ ñ chuy n v ca nút ñt: thanh trong h ph ng x− x y− y l= cos α = j i ; m= sin α = j i (2.13) ij 2 2 ij 2 2 ()()xxji− + yy ji − ()()xxji− + yy ji − Chi u dài c a thanh dàn tr ưc khi bi n d ng: 2 2 l(0) = xx − +− yy (2.14) ij ()()ij ij
27 Bi n dng dài tuy t ñi c a thanh dàn: ∆=l (l.u + m.v) − (l.u + m.v) (2.15) ij ijj ijj iji iji Nh ư v y n u h dàn bao g m n thanh và có r nút ch u t i tr ng tác d ng, lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.12b) ñưc vi t nh ư sau: 2 nEA.∆ l r r k k ( k ) (i) (i) Z=∑(0) − ∑ 2Pxi .u − ∑ 2P yi .v → min (2.16) k1=lk i1 = i1 = hay 2 n r r EAkk( (l.u ijj+ m.v) ijj − (l.u iji + m.v) iji ) Z = −2P(i) .u − 2P (i) .v → min (2.17) ∑2 2 ∑xi ∑ yi k= 1 i1= i1 = ()()xxij− + yy ij − Xét t i nút i ca dàn có m thanh quy t , ñiu ki n c c tr ca bài toán ti ∂Z ∂Z nút i là: = 0; = 0 (2.18a) ∂ui ∂vi Suy ra:  m 2EAijij( (l.u ijj+ m.v) ijj −+ (l.u iji m.v)( iji) − l) ij  −2P(i) = 0 ∑ 2 2 x  j= 1  ()()xxij− + yy ij −  (2.18b) m  2EAijij() (l.u ijj+ m.v) ijj −+ (l.u iji m.v)( iji − m) ij −2P(i) = 0 ∑ 2 2 y  j= 1  ()()xxij− + yy ij − Ni l c c a các thanh dàn ñưc tính theo công th c sau: ∆l .E A EA.(l.u+ m.v) − (l.u + m.v) ij ij ij ij ij( ij j ij j ij i ij i ) Nij = = (2.19) l(0) 2 2 ij ()()xxij− + yy ij − Các ph ươ ng trình (2.18b) chính là các ph ươ ng trình cân b ng t i các nút dàn có chuy n v và có th vi t d ưi d ng rút g n l i nh ư sau: m m (i) (i) ∑ Nij .l ij+ P x = 0; ∑ Nij .m ij+ P y = 0 (2.20) j= 1 j= 1
28 Nu bài toán có C liên k t n i ñt và Sn nút thì theo ñiu ki n (2.18) s thi t l p ñưc h ph ươ ng trình bao g m (2Sn − C ) ph ươ ng trình tuy n tính và có (2Sn − C ) n s là các thành ph n chuy n v u, v. Gi i h ph ươ ng trình (2.18) s xác ñnh ñưc các thành ph n chuy n v u, v ti các nút dàn. Thay các thành ph n chuy n v tìm ñưc vào (2.15) s tìm ñưc bi n dng dài tuy t ñi c a các thanh dàn. Ni l c trong các thanh dàn ñưc tính theo (2.19). 2.1.1.2 Kt c u dàn không gian Xét thanh ij trong dàn không y gian. G i t a ñ ban ñu c a các vj v uj i j(x j,y j ,z j) nút l n l ưt là i( xi ,y,z i i ) , i(x ,y,z ) i i i wi ui j( xj ,y j ,z j ) . Sau khi dàn ch u l c, w i o x nút i có chuy n v : z ii'= ui + v i + w i ; nút j có chuy n Hình 2.4 Sơ ñ chuy n v ca nút v: jj'= u + v + w (hình 2.4) j j j thanh trong h không gian x− x Đt: l = j i ; (2.21a) ij 2 2 2 ()()()xxji− +− yy ji +− zz ji y− y m = j i ; (2.21b) ij 2 2 2 ()()()xxji− +− yy ji +− zz ji z− z n = j i . (2.21c) ij 2 2 2 ()()()xxji− +− yy ji +− zz ji (lij ,m ij ,n ij ) g i là côsin ch ph ươ ng c a thanh ij Chi u dài c a thanh dàn tr ưc khi bi n d ng:
29 2 2 2 l(0) = xx − +− yy +− zz (2.22) ij ()()()ji ji ji Bi n d ng dài tuy t ñi c a thanh dàn: ∆=l (l.u + m.v + n.w) − (l.u + m.v + n.w) (2.23) ij ijj ijj ij j iji iji ij i Nh ư v y n u h dàn bao g m n thanh và r nút ch u t i tr ng tác d ng thì lưng ràng bu c ca bài toán theo (2.12b) ñưc vi t nh ư sau: 2 nEA.∆ l rrr k k ( k ) (i) (i) (i) Z=∑(0) −−− ∑∑∑ 2P.uxi 2P.v yi 2P.w zi → min (2.24a) k1=lk i1 = i1 == i1 hay n E A 2 Z = k k (l.u++ m.v n.w) −++ (l.u m.v n.w) + ∑ 2 2 2 ( ijj ijj ij j iji iji ij i ) k= 1 ()()()xxij− +− yy ij +− zz ij r r r (i) (i) (i) −∑2Pxi .u − ∑ 2P yi .v − ∑ 2P zi .w → min (2.24 b) i1= i1 = i1 = Xét t i nút i ca dàn có m thanh quy t , ñiu ki n c c tr ca bài toán ti ∂Z ∂ Z ∂ Z nút dàn i : =0; = 0; = 0; (2.25a) ∂ui ∂ v i ∂ w i  m  2EA(ijij− l)(l.u ij( ijj ++ m.v ijj n.w) ij j −++ (l.u iji m.v iji n.w) ij i ) −2P(i) = 0  ∑ 2 2 2 x j= 1  ()()()xxij− +− yy ij +− zz ij  hay: m (2.25b)  2EA(ijij− m)(l.u ij( ijj ++ m.v ijj n.w) ij j −++ (l.u iji m.v iji n.w) ij i )  −2P(i) = 0 ∑ 2 2 2 y  j= 1 ()()()xxij− +− yy ij +− zz ij   m 2EA(ij ij− n ij )( (l i jj.u+ m ijj .v + n ij .w j ) −+ (l iji .u m iji .v + n ij .w i ) )  −2P(i) = 0 ∑ 2 2 2 z  j= 1 xx− +− yy +− zz  ()()()ij ij ij Các ph ươ ng trình (2.25b) chính là các ph ươ ng trình cân b ng t i các nút có chuy n v và có th vi t d ưi d ng rút g n l i nh ư sau: m m m (i) (i) (i) ∑ Nij .l ij+ P x = 0; ∑ Nij .m ij+ P y = 0; ∑ Nij .n ij+ P z = 0 (2.25c) j= 1 j= 1 j= 1
30 Nu bài toán có C liên k t n i ñt và Sn nút dàn thì theo (2.25) s có ñưc h ph ươ ng trình bao g m (3Sn − C ) ph ươ ng trình tuy n tính và có (3Sn − C ) n s là các thành ph n chuy n v u, v, w. Gi i h ph ươ ng trình (2.25) s tìm ñưc các thành ph n chuy n v u, v, w ti các nút c a dàn. Sau khi tìm ñưc các thành ph n chuy n v ti các nút dàn thay vào ph ươ ng trình (2.23) và (2.19) s tính ñưc bi n d ng dài tuy t ñi và n i l c trong các thanh dàn. 2.1.2 Phân tích tuy n tính kt c u dàn theo cách th hai Xét dàn g m n thanh, r nút ch u t i tr ng tác d ng và gi Ni là n i l c trong thanh dàn th i . L ưng ràng bu c c a dàn theo (2.12a) ñưc vi t nh ư sau: n2 (0) r r r Nk l k (i) (i) (i) Z=∑ − ∑ 2Pxi .u − ∑ 2P yi .v − ∑ 2P zi .w → min (2.26) k1=Ek A k i1 = i1 = i1 = Nu ch th a mãn (2.26) thì dàn ch ưa ñm b o ñiu ki n liên t c v mt chuy n v ti các nút dàn. Vì v y c n ph i b sung ñiu ki n liên t c là các thanh ñng quy t i nút thì chuy n v ti nút ñó c a các thanh ph i b ng nhau. Các ph ươ ng trình b sung ñ dàn th a mãn ñiu ki n liên t c v chuy n v (0) Ni l i ñưc vi t nh ư sau: gi= −∆= l0i1n i () =÷ (2.27) Ei A i trong ñó: ∆li là bi n d ng dài tuy t ñi c a thanh dàn ñưc xác ñnh theo (2.15) ho c (2.23). Nh ư v y bài toán phân tích, tính toán dàn tr thành bài toán tìm c c tr ca phi m hàm (2.26) v i các ràng bu c (2.27). Bài toán này có th gi i b ng ph ươ ng pháp th a s Largrange v i phi m hàm m rng L nh ư sau: n L= Z +∑ λi g i → min (2.28) i= 1
31 trong ñó: λi là th a s Largrange và c ũng là n s ca bài toán. Điu ki n c c tr ca (2.28) là: ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L  i= 1 ÷ n = 0 ; = 0; = 0 ; = 0 ; = 0  (2.29) ∂Ni ∂u j ∂v j ∂w j ∂λ i j= 1 ÷() 3Sn − C Gi i h ph ươ ng trình tuy n tính (2.29) s tìm ñưc các thành ph n chuy n v ti các nút dàn và ni l c trong các thanh. 2.1.3 Phân tích phi tuy n hình hc kt c u dàn theo cách th nh t 2.1.3.1. Kt c u dàn ph ng Xét thanh ij trong dàn ph ng. y j(x ,y ) Gi t a ñ ban ñu c a các nút l n j j lưt là i( xi ,y i ) , j( xj ,y j ) . Sau khi i(x ,y ) i i vj vi i'(x ,y ) i' i' dàn ch u l c, các nút chuy n sang v u i j'(x ,y ) j' j' u o j x trí m i là i'( xi' ,y i' ) , j'( xj' ,y j' ) nh ư hình 2.5. Hình 2.5 Sơ ñ chuy n v ca nút thanh trong h ph ng x=+ x u;y =+ y v Ta có:  i' i i i' i i (2.30) xj'=+ x j u;y j j' =+ y j u j trong ñó: ii'= ui + v i :chuy n v ca ñim i; jj'= uj + v j : chuy n v ca ñim j. Chi u dài c a thanh tr ưc khi bi n d ng tính theo công th c (2.14). Chi u dài c a thanh sau khi bi n d ng là: 2 2 l(s) = xuxu +−− ++−− yvyv (2.31) ij ()()iijj iijj Bi n d ng dài tuy t ñi c a thanh là: 2 2 22 ∆=l xuxu +−− ++−− yvyv − xx − +− yy (2.32) ij ()()iijj iijj()() ij ij
32 Nh ư v y n u h dàn bao g m n thanh và r nút ch u t i tr ng tác d ng thì lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.12b) ñưc vi t nh ư sau: 2 nEA.∆ l r r k k ( k ) (i) (i) Z=∑(0) − ∑ 2Pxi .u − ∑ 2P yi .v → min (2.33a) k1=lk i1 = i1 = hay: 2  2 2   ()()xuxuiijj+−− + yvyv iijj +−− +  Ek A k   2 2 n  − − +−   ()()xxij yy ij  Z = + (2.33b) ∑ 2 2 k= 1 ()()xxij− + yy ij − r r (i) (i) −∑2Pxi .u − ∑ 2P yi .v → min i1= i1 = Xét t i nút i c a dàn có m thanh quy t , ñiu ki n c c tr ca bài toán ti ∂Z ∂Z nút i : = 0; = 0 (2.34a) ∂ui ∂vi T ñiu ki n (2.34a) ñưc h ph ươ ng trình:  m 2EA .∆ l (xi+ u i − x j − u j )  ij ij ij (i) ∑ (0) (0) −2Px = 0  j= 1 lij (l ij+ ∆ l) ij  (2.34b) m  2EA.ij ij∆ l ij ()yi+ v i − y j − v j (i) ∑ (0) (0) −2Py = 0  j= 1 lij (l ij+ ∆ l) ij H ph ươ ng trình (2.24b) chính là các ph ươ ng trình cân b ng các nút dàn có chuy n v ti th i ñim k t c u dàn sau khi bi n d ng. Nu bài toán có C liên k t n i ñt và Sn nút thì theo ñiu ki n (2.34) ñưc h ph ươ ng trình bao g m (2Sn − C ) ph ươ ng trình phi tuy n và có (2Sn − C ) n s là các thành ph n chuy n v u, v. Gi i h ph ươ ng trình (2.34) s tìm ñưc các thành ph n chuy n v u, v ti các nút dàn.
33 Thay các thành ph n chuy n v tìm ñưc vào ph ươ ng trình (2.32) s tìm ñưc bi n d ng dài tuy t ñi c a các thanh dàn. Ni l c trong các thanh dàn ñưc tính theo công th c (2.19). 2.1.3.2. Kt c u dàn không gian Xét thanh ij trong dàn y j(x j,y j ,z j) không gian. G i t a ñ ban ñu ca các nút l n l ưt là i(x ,y,z ) i i i vj vi i'(x ,y ,z ) w i' i' i' i x ,y,z , j x ,y ,z . Sau khi i u ( i i i ) ( j j j ) i j'(x ,y ,z ) w j' j' j' i u o j x dàn ch u l c, các nút chuy n z sang v trí m i là i'( x ,y ,z ) , i' i' i' Hình 2.6 Sơ ñ chuy n v ca nút thanh trong h không gian j'( xj' ,y j' ,z i' ) (hình 2.6). x=+ xu;y =+ yv;z =+ zw Ta có:  i' i i i' i i i'i i (2.35) xj'=+ xu;y j j j' =+ yu;z j j j' =+ zw j j Trong ñó: ii'= ui + v i + w i : chuy n v ca ñim i jj'= uj + v j + w j : chuy n v ca ñim j Chi u dài c a thanh dàn tr ưc khi bi n d ng ñưc tính theo (2.22). Chi u dài c a các thanh dàn sau khi bi n d ng: 2 2 2 l(s) = xuxu +−− ++−− yvyv ++−− zwzw (2.36) ij ()()()iijj iijj iijj Bi n d ng dài tuy t ñi c a thanh là: ∆l = l(s) − l (0) (2.37) ij ij ij Nh ư v y n u k t c u dàn gm n thanh và r nút ch u t i tr ng tác d ng thì lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.12b) ñưc vi t nh ư sau: 2 nEA.∆ l rrr k k ( k ) (i) (i) (i) Z=∑(0) −−− ∑∑∑ 2Pxi .u 2P yi .v 2P zi .w → min (2.38a) k1=lk i1 = i1 = i1 =
34 2  2 2   ()()xuxuiijj+−− + yvyv iijj +−− +  n + E A  2  Z = k k +z + w − z − w + ∑ 2 2 2  ()i i j j  k= 1 xx− +− yy +− zz   ()()()ij ij ij 2 2 2 − − +− +−   ()()()xxij yy ij zz ij  r r r (i) (i) (i) −∑2Pxi .u − ∑ 2P yi .v − ∑ 2P zi .w → min (2.38b) i1= i1 = i1 = Xét t i nút i ca dàn có m là s thanh quy t , ñiu ki n c c tr ca bài ∂Z ∂ Z ∂ Z toán ti nút i: =0; = 0; = 0 (2.39a) ∂ui ∂ u i ∂ v i T ñiu ki n (2.39a) suy ra h ph ươ ng trình sau:  m 2EAij ij .∆ l ij (xi+ u i − x j − u j )  (i) ∑ (0) (0) −2Px = 0  j= 1 lij (l ij+ ∆ l) ij   m 2EA .∆ l y+ v − y − v ij ij ij ()i i j j (i) (2.39b)  ∑ (0) (0) −2Py = 0  j= 1 lij (l ij+ ∆ l) ij  m 2EAij ij .∆ l ij ()zi+ w i − z j − w j  −2P(i) = 0 ∑ (0) (0) z  j= 1 lij (l ij+ ∆ l) ij Các ph ươ ng trình (2.39b) chính là các ph ươ ng trình cân b ng các nút có chuy n v ti th i ñim k t c u sau khi bi n dng. Nu bài toán có C liên k t n i ñt và Sn nút dàn thì theo ñiu ki n (2.39) s có ñưc h ph ươ ng trình bao g m (3Sn − C ) ph ươ ng trình phi tuy n và có (3Sn − C ) n s là các thành ph n chuy n v u, v, w. Gi i h ph ươ ng trình (2.39) s tìm ñưc các thành ph n chuy n v u, v, w ti các nút dàn. Thay các thành ph n chuy n v va tìm ñưc vào ph ươ ng trình (2.37) và (2.19) s tính ñưc bi n d ng dài tuy t ñi và n i l c trong các thanh dàn. 2.1.4 Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn theo cách th hai Xét dàn g m n thanh, r nút ch u t i tr ng tác d ng và gi Ni là n i l c trong thanh dàn th i . Lưng ràng bu c c a bài toán dàn ñưc vi t theo
35 (2.26). Nu ch th a mãn (2.26) thì dàn ch ưa ñm b o ñiu ki n liên t c v mt chuy n v ti các nút dàn. Vì v y c n ph i b sung ñiu ki n liên t c là các thanh ñng quy t i nút thì chuy n v ti nút ñó c a các thanh ph i b ng nhau. Các ph ươ ng trình b sung ñ dàn tha mãn ñiu ki n liên t c v mt chuy n v ñưc vi t nh ư (2.27), nh ưng bi n d ng dài tuy t ñi c a các thanh dàn ñưc xác ñnh theo (2.32) ho c (2.37). Nh ư v y bài toán phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn tr thành bài toán tìm c c tr ca phi m hàm lưng ràng bu c vi các ràng bu c liên t c v chuy n v ti các nút dàn. Tươ ng t nh ư (m c 2.1.2), d a vào ñiu ki n c c tr ca phi m hàm m rng s xây d ng ñưc h ph ươ ng trình phi tuy n. Gi i h ph ươ ng trình phi tuy n này s xác ñnh ñưc các thành ph n chuy n v ti các nút dàn và ni l c trong các thanh dàn. 2.2 Ph ươ ng pháp xác ñnh các thành ph n chuy n v ti các nút dàn và ni l c trong các thanh dàn ñi v i bài toán dàn phi tuy n hình h c Theo ph ươ ng pháp phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn d a trên nguyên lý c c tr Gauss là cu i cùng ñư a v gi i h ph ươ ng trình (2.34) ho c (2.39) các ph ươ ng trình trong các h này là các ph ươ ng trình phi tuy n. Đ gi i h ph ươ ng trình phi tuy n có rt nhi u ph ươ ng pháp khác nhau, lu n án s dng hàm fsolve trong Optimization Toolbox c a ph n m m Matlab 7.0 ñ gi i h các ph ươ ng trình phi tuy n vi các b ưc th c hi n nh ư sau: Bưc 1: Đánh s th t các nút, s th t các thanh cho k t c u dàn. Bưc 2: Xác ñnh l ưng ràng bu c cho k t c u áp d ng ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss v i các công th c (2.33), (2.38). Bưc 3: T ñiu ki n c c tr ca phi m hàm ràng bu c ta nh n ñưc h ph ươ ng trình ño hàm riêng theo công th c (2.34a) ho c (2.39a). Bưc 4: Gi i h ph ươ ng trình phi tuy n (2.34b) ho c (2.39b) bng cách s dng hàm fsolve trong Optimization toolbox c a ph n m m Matlab s xác
36 ñnh ñưc nghi m c a h là các thành ph n chuy n v ti các nút c a k t c u dàn ñi v i bài toán gi i theo cách ch n n s chính là chuy n v , ho c n i l c trong các thanh dàn và các thành ph n chuy n v ca các nút dàn theo cách ch n n s chính là n i l c. Bưc 5: Sau khi xác ñnh ñưc các thành ph n chuy n v ti các nút dàn ta s tính ñưc bi n d ng dài tuy t ñi và n i l c các thanh theo công th c (2.32) ho c (2.37) và (2.19). B¾t ®Çu NhËp: th«ng sè h×nh häc, vËt liÖu cña kÕt cÊu v t¶i träng ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh l ; l ThiÕt lËp phiÕm hm Z(u,v, λ ,N) ThiÕt lËp hm Myfun chuyÓn c¸c biÕn u, v, λ, N sang biÕn x Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn b»ng hm [x,fval,exitflag]=fsolve(@myfun,x0 ,options) Thay ®æi maxfunevals + flag =0 - XuÊt kÕt qu¶ KÕt thóc Hình 2.7 Sơ ñ kh i ch ươ ng trình.
37 Nh ư v y, cách gi i ch n n s chính là chuy n v thì ph i ti p t c làm thêm b ưc 5. Còn cách gi i ch n n s chính là n i l c thì ñn b ưc 4 là ñã xác ñnh ñưc ni l c trong các thanh dàn và các thành ph n chuy n v ti các nút dàn. Sơ ñ gi i thu t ñ gi i bài toán dàn phi tuy n hình h c d a trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss bng cách s dng ngôn ng lp trình Matlab 7.0 ñưc th hi n nh ư hình 2.7. Khi áp d ng ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss ñ gi i bài toán dàn phi tuy n hình h c là cu i cùng ñư a v bài toán gi i h các ph ươ ng trình cân bng phi tuy n t i các nút dàn có chuy n v . Vi c gi i h các ph ươ ng trình phi tuy n này có th th c hi n d dàng b ng các hàm có s n trong ph n m m toán hc nh ư Matlab. Nh ư v y, các k sư và các nhà nghiên c u có th d dàng áp dng ñ tính toán phi tuy n hình h c k t c u dàn khi thi t k cũng nh ư nghiên cu 2.3 Mt s kt qu nghiên c u bài toán k t c u dàn 2.3.1 Tính toán dàn theo cách th nh t Ví d 2.2: Xác ñnh n i l c trong các thanh dàn ch u l c nh ư hình 2.8 theo cách ch n n s chính là các thành ph n chuy n v ti các nút dàn. Bi t ñ kN cng kéo (nén) c a các thanh dàn EA= 100000( .cm2 ) và t i tr ng tác cm 2 dng nút P=40(kN). y P P P P P P P 14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 8 8 20 21 22 23 24 25 7 14 2615 27 16 28 17 29 18 30 19 31 1 1 2 3 4 5 6 7 x 2 3 4 5 6 Hình 2.8 Dàn ví d 2.2
38 Li gi i Bài toán k t c u dàn có 31 thanh và 14 nút ñưc ñánh s hi u nh ư trong hình 2.8. Điu ki n biên c a bài toán là t i nút 1 không có chuy n v theo ph ươ ng x và ph ươ ng y, t i nút 7 không có chuy n v theo ph ươ ng y nên: u1= v 1 = v 7 = 0 . Nh ư v y, n u ch n các chuy n v ch ưa bi t là n s thì bài toán s có 25 n s : u;v;u;v;u;v;u;v;u;v;u;u;v;u;v;u2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9 10 ;v 10 ;u 11 ;v 11 ;u 12 ; v 12 ; v13 ;u 14 ;v 14 . 2.3.1.1 Phân tích tuy n tính kt c u dàn Lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.17) ñưc vi t nh ư sau: 31 14 E A 2 k k (2.40) Z=∑(0) ×∆−() lk ∑ 2P.v i i → min k1=l i8 = k trong (2.40) các bi n d ng dài tuy t ñi c a các thanh dàn ñưc tính toán theo (2.15). Điu ki n c c tr ca lưng ràng bu c Z (2.40) theo các chuy n v ch ưa bi t: ∂Z ∂Z  j= 2 ÷ 6 =0 (i = 2 ÷ 14) ; = 0  (2.41) ∂ui ∂v j j= 8 ÷ 14 Theo ñiu ki n (2.41) l p ñưc h ph ươ ng trình g m 25 ph ươ ng trình tuy n tính. Gi i h ph ươ ng trình tuy n tính tìm ñưc 25 n s là các thành ph n chuy n v ch ưa bi t và k t qu ñưc l p trong bng 2.1. Bng 2.1 Kt qu các thành ph n chuy n v ti các nút dàn PTTT ví d 2.2 Nút 1 2 3 4 5 6 7 u (cm) 0,0000 0,0378 0,1258 0,2406 0,3554 0,4434 0,4812 v (cm) 0,0000 -0,6781 -1,1471 -1,3156 -1,1471 -0,6781 0,0000 Nút 8 9 10 11 12 13 14 u (cm) 0,0146 0,0434 0,1288 0,2406 0,3525 0,4378 0,4667 v (cm) -0,0312 -0,6823 -1,1530 -1,3214 -1,1530 -0,6823 -0,0312
39 Thay các chuy n v (b ng 2.2) vào (2.15) và (2.19) s xác ñnh ñưc n i lc trong các thanh dàn. K t qu ni l c c a các thanh dàn ñưc l p trong bng 2.2. Bng 2.2 Kt qu ni l c trong các thanh dàn PTTT ví d 2.2 Thanh 1 2 3 4 5 6 7 N (kN) 75,672 175,917 229,652 229,652 175,917 75,672 -83,246 Thanh 8 9 10 11 12 13 14 N (kN) -57,662 -170,749 -223,681 -223,681 -170,749 -57,662 -83,246 Thanh 15 16 17 18 19 20 21 N (kN) -11,308 -15,823 -15,522 -15,823 -11,308 72,077 46,770 Thanh 22 23 24 25 26 27 28 N (kN) 12,935 -20,398 -53,230 -94,590 -94,590 -53,230 -20,398 Thanh 29 30 31 N (kN) 12,935 46,770 72,077 Đ ki m tra ñ chính xác kt qu PTTT dàn ví d 2.2 da trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss. Lu n án ti n hành ki m tra ñiu ki n cân b ng ti tt c các nút dàn. Sai s tng hình chi u các thành ph n n i l c c a các thanh quy t ti nút và t i tr ng tác d ng lên nút theo ph ươ ng x là ∑Fx , theo ph ươ ng y là ∑Fy . K t qu ki m tra cân b ng ti các nút dàn ñưc t p h p và lp thành b ng 6.1 trong ph lc. Vi s li u ki m tra cân b ng t i các nút (bng 6.1 trong ph lc) cho th y t t c các nút ñu th a mãn ñiu ki n cân b ng. Nh ư v y kt qu tính toán là tin c y. 2.3.1.2 Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn Lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.33) ñưc vi t nh ư sau: 31 14 E A 2 k k (2.42) Z=∑(0) ×∆−() lk ∑ 2P.v i i → min k1=l i8 = k
40 trong (2.42) các bi n d ng dài tuy t ñi c a các thanh dàn ñưc tính toán theo (2.32). Điu ki n c c tr ca lưng ràng ràng bu c Z (2.42) theo các chuy n v ∂Z ∂Z  j= 2 ÷ 6 ch ưa bi t: =0 (i = 2 ÷ 14) ; = 0  (2.43) ∂ui ∂v j j= 8 ÷ 14 T ñiu ki n (2.43) l p ñưc h ph ươ ng trình gm 25 ph ươ ng trình phi tuy n. Gi i h ph ươ ng trình phi tuy n tìm ñưc 25 n s là các thành ph n chuy n v ch ưa bi t và k t qu ñưc l p trong bng 2.3. Bng 2.3 Kt qu các thành ph n chuy n v ti các nút dàn PTPTHH ví d 2.2 Nút 1 2 3 4 5 6 7 u (cm) 0,0000 0,2719 0,9647 1,8883 2,8119 3,5047 3,7766 v (cm) 0,0000 -5,4645 -9,2458 -10,6047 -9,2458 -5,4645 0,0000 Nút 8 9 10 11 12 13 14 u (cm) 0,0141 0,2817 0,9866 1,8883 2,7900 3,4949 3,7625 v (cm) -0,2735 -5,5173 -9,3018 -10,6549 -9,3018 -5,5173 -0,2735 Thay các chuy n v (b ng 2.4) vào (2.32) và (2.19) s xác ñnh ñưc n i lc trong các thanh dàn. K t qu ni l c trong các thanh dàn ñưc l p trong bng 2.4. Bng 2.4 Kt qu ni l c trong các thanh dàn PTPTHH ví d 2.2 Thanh 1 2 3 4 5 6 7 N (kN) 77,305 177,663 231,469 231,469 177,663 77,305 -83,300 Thanh 8 9 10 11 12 13 14 N (kN) -58,292 -171,735 -224,859 -224,859 -171,735 -58,292 -83,300 Thanh 15 16 17 18 19 20 21 N (kN) -11,807 -16,814 -16,727 -16,814 -11,807 72,234 46,643 Thanh 22 23 24 25 26 27 28 N (kN) 12,578 -20,758 -53,372 -94,400 -94,400 -53,372 -20,758 Thanh 29 30 31 N (kN) 12,578 46,643 72,234
41 Đ ki m tra ñ chính xác kt qu PTPTHH dàn ví d 2.2 da trên phươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss. Lu n án ti n hành ki m tra ñiu ki n cân b ng t t c các nút dàn ti th i ñim k t c u sau khi bi n d ng. K t qu ki m tra cân b ng nút ñưc t p h p và l p thành b ng 6.2 trong ph lc. Vi s li u ki m tra cân b ng t i các nút (bng 6.2 trong ph lc) cho th y t t c các nút ñu th a mãn ñiu ki n cân b ng. Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng ñưc th hin nh ư hình 2.9: 400 cm 200 0 Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng -200 0 500 1000 1500 2000 2500 cm Hình 2.9 Hình d ng dàn tr ưc và sau khi bi n d ng 2.3.2 Tính toán dàn theo cách th hai 2P Ví d 2.3: Xác ñnh n i l c trong y các thanh dàn chu l c nh ư hình P D 2.10, theo cách ch n các n s 2EA EA chính là n i l c trong các thanh 1 EA 2 3 dàn. Bi t P= 200 (kN), ABC x EA= 103 (kN) . Li gi i: Hình 2.10 Dàn ví d 2.3 Các thanh và các nút ñưc ñánh s hi u nh ư (hình 2.10). Gi Ni (i= 1,2,3 ) là n i l c trong các thanh dàn; u,v là chuy n v ca nút D. 2.3.2.1 Phân tích tuy n tính k t c u dàn Lưng ràng bu c ca bài toán dàn theo (2.26) ñưc vi t nh ư sau:
42 Nl2(0) Nl 2(0) Nl 2(0) Z=11 + 22 + 33 −+→ 2Pu4Pvmin (2.44) 2EA EA EA Điu ki n liên t c v chuy n v ti các nút dàn: Nl(0) (4u+ 3v) Nl(0) (u− + 3v) Nl(0) (3u− + 3v) 1 1 − = 0; 2 2 − = 0; 3 3 (2.45) (0) (0) −(0) = 0 2EA l 1 EA l 2 EA l 3 Bài toán c c tr ca phi m hàm Z (2.44) vi các ràng bu c v ñiu ki n liên t c chuy n v ti nút D (2.45) ñưc vi t d ưi d ng bài toán c c tr phi m hàm m rng: 2(0) 2(0) 2(0) (0)  Nl1 1 Nl 2 2 Nl 3 3 Nl1 1 (4u3v)+ L= + + −++λ 2Pu4Pv 1  −  + 2EA EA EA 2EA l (0)  1 (2.46) (0)  (0)  Nl2 2 (u−+ 3v) Nl3 3 (3u −+ 3v) +λ2  −(0)  +λ3  −(0)  → min EA l2   EA l 3  Điu ki n c c tr ca phi m hàm m rng (2.46): (0) (0) (0) (0) (0) (0) ∂LNl1 1 l 1 ∂L 2Nl2 2 l 2 ∂L 2Nl3 3 l 3 = +λ1 = 0; = +λ2 = 0 ; = +λ3 = 0 ; ∂N1 EA 2EA ∂N2 EA EA ∂N3 EA EA (0) (0) ∂L Nl1 1 (4u + 3v) ∂L Nl2 2 (u − + 3v) = −(0) = 0; = −(0) = 0 ; ∂λ 12EA l 1 ∂λ 2EA l 2 (0) ∂L N3 l 3 ( − 3u + 3v) ∂L 4 λλλ 3 = − = 0; 1 2 3 ; (0) =−−2P(0) + (0) + (0) = 0 ∂λ 3EA l 3 ∂u lll1 2 3 ∂L 333 λλλ 1 2 3 =−4P(0) − (0) − (0) = 0 ∂v lll1 2 3 Điu ki n c c tr ca phi m hàm m rng theo các n s là n i l c trong các thanh dàn, các thành ph n chuy n v ti các nút dàn ch ưa bi t và các th a s Largrange ñưc h 6 ph ươ ng trình tuy n tính, cha 6 n s (ni l c trong các thanh dàn, các thành ph n chuy n v ti nút dàn ch ưa bi t và các th a s Largrange). Gi i h ph ươ ng trình xác ñnh ñưc n i l c trong các thanh dàn: N1 = 25,3674(kN) ; N2 = 260,0746(kN) ; N3 = 195,2338(kN)
43 Chuy n v ti nút D: u= 4,5673(cm) ; v= 7,1467(cm) Giá tr ca các th a s Largrange: λ1 = 50,7348 ; λ2 = 520,1492 ; λ3 = 390,4675 . Các th a s Largrage có th nguyên là [l c] và các tr s ca λi bng hai l n giá tr ni l c c a thanh th i. Đ ki m tra ñ tin c y c a k t qu tính toán. Lu n án ki m tra ñiu ki n -12 -12 cân b ng t i nút D: ∑Fx = -0,1765.10 (kN); ∑Fy = -0,2505.10 (kN) nh ư vy kt qu phân tích, tích toán tin c y. 2.3.2.2 Phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn Lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.26) ñưc vi t nh ư sau: Nl2(0) Nl 2(0) Nl 2(0) Z=11 + 22 + 33 −+→ 2Pu4Pvmin (2.47) 2EA EA EA Theo ñiu ki n liên t c v chuy n v ti các nút dàn: (0) (0) N l 2 2 N l 2 2 1 1 −l(0) −()() 4u +++ 3v = 0 ; 2 2 −l(0) −()() 1u − ++ 3v = 0 2EA ( 1 ) EA ( 2 ) (0) N l 2 2 3 3 −l(0) −()() 3u −++ 3v = 0 (2.48) EA ( 3 ) Nh ư v y bài toán c c tr ca phi m hàm Z (2.47) vi các ràng bu c liên tc v chuy n v (2.48) ñưc vi t d ưi dng bài toán cc tr ca phi m hàm m rng: 2(0) 2(0) 2(0) (0) NlNlNl1 1 2 2 3 3  Nl1 1 (0) 2 2  L= + + −++λ 2Pu4Pv1 −−+++ l 1 ()() 4u3v  + 2EA EA EA 2EA ( )  (2.49) (0) (0) Nl2 2 (0) 2 2  Nl3 3 (0) 2 2  +λ2 −−−++l 2 ()() 1u3v  +λ3 −−−++ l 3 ()() 3u3v  → min EA( )  EA ( )  Điu ki n c c tr ca phi m hàm m rng (2.49) : (0) (0) (0) (0) (0) (0) ∂LNl1 1 l 1 ∂L 2Nl2 2 l 2 ∂L 2Nl3 3 l 3 = +λ1 = 0; = +λ2 = 0 ; = +λ3 = 0 ; ∂N1 EA 2EA ∂N2 EA EA ∂N3 EA EA (0) ∂L N l 2 2 =1 1 −−l(0) 4u +++ 3v = 0 ; ( 1 ()() ) ∂λ 1 2EA
44 (0) ∂L N l 2 2 =2 2 −−−++l(0) 1u 3v = 0 ; ( 2 ()() ) ∂λ 2 EA (0) ∂L N l 2 2 =3 3 −−−++l(0) 3u 3v = 0 ; ( 3 ()() ) ∂λ 3 EA ∂L (4u+) ( u1 −) ( u3 − ) =−+λ2P 1 +λ2 +λ3 = 0 ∂u ()()4u+++22 3v()() 1u −++ 22 3v()() 3u −++ 22 3v ∂L (3v+) ( 3v +) ( 3v + ) =+λ4P 1 +λ2 +λ3 = 0 ∂v ()()4u+++22 3v()() 1u −++ 22 3v()() 3u −++ 22 3v Theo ñiu ki n c c tr ca phi m hàm m rng ñưc h 6 ph ươ ng trình phi tuy n, ch a 6 n s . Gi i h ph ươ ng trình phi tuy n này xác ñnh ñưc n i lc trong các thanh dàn: N1 = 18,7942(kN) ; N2 = 271,5303(kN) ; N3 = 196,6594(kN) Chuy n v ti nút D: u= 42,2567(cm) ; v= 76,9921(cm) Giá tr ca các th a s Largrange: λ1 = 37,5884 ; λ2 = 543,0607 ; λ3 = 393,3187 . Các th a s Largrage có th nguyên là [l c] và các tr s ca λi bng hai l n giá tr ni l c c a thanh th i. Đ ki m tra ñ tin c y c a k t qu tính toán. Lu n án ki m tra ñiu ki n −9 −9 cân b ng t i nút D: ∑Fx = − 0,1438.10 (kN); ∑Fy = − 0,1043.10 (kN) nh ư vy k t qu phân tích, tích toán là tin c y. 2.3.3 nh h ưng ca thông s vt li u ñn ñ chênh l ch k t qu phân tích ni l c trong các thanh dàn gi a PTTT và PTPTHH Khi các thanh dàn ñưc ch to cùng m t lo i v t li u, nu thay ñi giá tr mô ñun ñàn hi vt li u c a k t c u thì n i l c trong các thanh dàn trong PTTT không thay ñi. Đ nghiên c u nh h ưng mô ñun ñàn h i vt li u ca kt c u ñn s phân ph i l i n i l c trong các thanh dàn khi PTPTHH, lu n án xét ví d phân tích sau:
45 Ví d 2.4: Xác ñnh n i l c trong các thanh dàn ch u l c tác d ng P=20(kN) nh ư hình 2.11, khi k ñn tính phi tuy n hình h c. Bi t các thanh cùng ti t di n A= 5(cm2 ) . V i các giá tr mô ñun ñàn h i khác nhau 2 2 2 E1 = 20000(kN / cm ) ; E2 = 2000(kN / cm ) ; E3 = 200(kN / cm ) . So sánh k t qu PTPTHH vi k t qu PTTT trong t ng tr ưng h p. y P P P P 9 7 8 6 7 5 6 812 9 13 10 14 11 15 1 1 2 3 4 5 x 2 3 4 Hình 2.11 Dàn ví d 2.4 Li gi i Lưng ràng bu c c a bài toán theo (2.33a) ñưc vi t nh ư sau: 15 9 E A 2 k k (2.50) Z=∑(0) ×∆−() lk ∑ 2P.v i i → min k1=l i6 = k Theo cách gi i ch n các n s chính là các thành ph n chuy n v ti nút dàn. Điu ki n c c tr ca lưng ràng bu c Z (2.50) s tìm ñưc h ph ươ ng trình ch a các n s là các thành ph n chuy n v ch ưa bi t: ∂Z ∂Z j= 2 ÷ 4 =0 (i = 2 ÷ 9) ; = 0  (2.51) ∂ui ∂v j  j= 6 ÷ 9 Gi i h ph ươ ng trình (2.51) tìm ñưc các thành ph n chuy n v ti các nút dàn. Thay các thành ph n chuy n v này vào (2.15), (2.19) ho c (2.32), (2.19) s xác ñnh ñưc n i l c c a các thanh dàn. Kt qu PTPTHH ni l c trong các thanh v i các giá tr mô ñun ñàn hi khác nhau ñưc so sánh v i k t qu PTTT và lp trong bng 2.5.
46 Bng 2.5 Kt qu phân tích n i l c trong các thanh dàn ví d 2.4 S PTTT PTPTHH 2 2 2 hi u E=2 0000 (kN/cm ) E=2000(kN/cm ) E=200(kN/cm ) N PTCL PTCL PTCL thanh i Ni (kN) Ni (kN) Ni (kN) (kN) (%) (%) (%) 1 30 30,11001 0,36670 31,10774 3,69248 41,60706 38,69019 2 60 60,11759 0,19598 61,18647 1,97745 73,18350 21,97250 3 60 60,11759 0,19598 61,18647 1,97745 73,18350 21,97250 4 30 30,11001 0,36670 31,10774 3,69248 41,60706 38,69019 5 -45 -45,04700 0,10451 -45,46290 1,02862 -48,59338 7,98528 6 -60 -60,06520 0,10871 -60,64970 1,08285 -66,02370 10,03950 7 -45 -45,04700 0,10451 -45,46290 1,02862 -48,59338 7,98528 8 -50 -49,99300 0,01394 -49,91420 0,17160 -47,14683 5,70634 9 -25 -25,06630 0,26501 -25,68420 2,73674 -34,56047 38,24190 10 0 -0,08725 -0,89294 -11,53619 11 25 24,96890 0,12440 24,67446 1,30214 20,31921 18,72314 12 25 24,96890 0,12440 24,67446 1,30214 20,31921 18,72314 13 0 -0,08725 -0,89294 -11,53619 14 -25 -25,06630 0,26501 -25,68420 2,73674 -34,56047 38,24190 15 -50 -49,99300 0,01394 -49,91420 0,17160 -47,14683 5,70634 Theo k t qu phân tích (b ng 2.5 và hình 2.10) cho th y: các thành ph n chuy n v ti các nút dàn ph thu c r t l n vào giá tr mô ñun ñàn h i c a v t li u. Khi giá tr mô ñun ñàn h i v t li u l n thì hình d ng k t c u tr ưc và sau khi bi n d ng thay ñi không nhi u, do ñó k t qu chênh l ch n i l c c a các thanh gi a PTTT và PTPTHH nh . Khi giá tr mô ñun ñàn h i v t li u nh thì hình d ng k t c u tr ưc và sau khi bi n d ng thay ñi nhi u làm n i l c trong các thanh dàn phân ph i l i, vì v y PTCL n i l c gi a PTTT và PTPTHH tăng lên r t nhanh. Đc bi t k t qu ni l c trong m t s thanh dàn khi PTTT bng không nh ưng PTPTHH v n có n i l c.
47 Hình d ng kt c u dàn sau khi bi n d ng ng vi các giá tr mô ñun ñàn hi khác nhau ñưc th hi n nh ư hình 2.12: 400 (cm) 200 0 2 -200 E=20000 (kN/cm ) E=2000 (kN/cm2 ) E=200 (kN/cm2 ) -400 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) Hình 2.12 Hình d ng dàn sau khi bi n d ng vi các giá tr mô ñun khác nhau 2.3.4 nh h ưng giá tr ti tr ng tác d ng ñn ñ chênh l ch k t qu ni lc trong các thanh dàn gi a PTTT và PTPTHH Theo PTTT thì n i l c trong các thanh và chuy n v ti các nút dàn t l thu n v i giá tr ca ngo i lc tác d ng. Do ñó, ñ xét nh h ưng ca giá tr ti tr ng ñn s phân ph i l i n i l c trong các thanh c ũng nh ư ñ chênh l ch kt qu ni l c gi a PTTT và PTPTHH kt c u dàn, lu n án kh o sát hai ví d phân tích hai kt c u dàn ph ng sau: 2.3.4.1 Dàn ph ng tĩnh ñnh cm y 4 4 3 5 1 1 2 2 3 x P cm Hình 2.13 Dàn t ĩnh ñnh Hình 2.14 Hình d ng dàn
48 Ví d 2.5: Phân tích, tính toán n i l c h kt c u dàn t ĩnh ñnh các thanh có kN cùng ñ cng EA= 2000( .cm2 ) và ch u l c P tác d ng ti nút 2 nh ư hình cm 2 2.13. Kt qu ni lc c a các thanh dàn theo PTTT và PTPTHH ñưc th hi n trong các hình 2.15, hình 2.16 và hình 2.17. 4000 0 3500 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh 500 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 3000 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 2500 1000 2000 1500 1500 2000 1000 2500 500 Néi lùc Néi 1, 2 (kN) thanh Néi lùc thanh sè 3, Néi(kN) thanh sè3, 4 lùc 3000 0 500 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 T¶i träng t¸c dông (KN) T¶i träng t¸c dông (kN) Hình 2.15 Ni l c thanh 1, 2 Hình 2.16 Ni l c thanh 3, 4 3000 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh 2500 2500 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 2000 2000 1500 1000 1500 500 0 1000 500 chuyÓn vÞ nót 3 khi PTPTHH 1000 500 Néi(kN) thanh lùc 5 1500 (kN) dông t¸cT¶i träng 2000 0 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 80 60 40 20 0 20 T¶i träng t¸c dông (kN) ChuyÓn vÞ nót 3 (cm) Hình 2.17 Ni l c thanh 5 Hình 2.18 Chuy n v nút 3 Hình 2.15 th hi n k t qu ni l c c a thanh 1, 2 gi a PTTT và PTPTHH. Ta th y k t qu ni l c ca thanh 1, 2 trong PTTT và PTPTHH các thanh ñu ch u kéo. Khi P 1500(kN) thì k t qu ni l c PTPTHH li l n h ơn và khi P>2000(kN) khi t ăng P thì ñ chênh l ch n i l c PTPTHH và PTTT tăng lên r t nhanh.
49 Hình 2.16 th hi n n i l c c a thanh 3, 4. Ta th y trong c hai PTTT và PTPTHH các thanh ñu ch u nén, k t qu PTPTHH th ưng nh hơn PTTT và ñ chênh l ch này càng t ăng khi giá tr ti tr ng t ăng. Hình 2.17 th hi n n i l c c a thanh 5. Đi v i PTTT thanh 5 luôn ch u kéo. Đi v i PTPTHH, khi t i tr ng P 1000(kN) thì n i l c l c thanh 5 gi m khi P t ăng và khi P>1800(kN) thì lúc này thanh 5 chuy n sang ch u nén. Hình 2.14, hình 2.18 th hi n hình d ng k t c u và ñ dch chuy n c a gi 3 v i các giá tr ti tr ng khác nhau khi PTPTHH. Ta th y P 1000(kN) khi giá tr P t ăng thì g i 3 l i d ch chuy n sang bên trái. Điu này không xu t hi n PTTT. 2.3.4.2 Dàn ph ng siêu t ĩnh ngoài và tĩnh ñnh trong Ví d 2. 6: Xét dàn bi t các y 4 thanh có cùng ñ cng 4 3 5 kN 1 2 2 x EA= 2000( .cm2 ) và ch u tác 1 3 cm 2 P dng l c P t i nút 2 nh ư hình 2.19. Hình 2.19 Dàn siêu t ĩnh ngoài Kt qu chênh l ch n i l c gi a PTTT và PTPTHH hình h c ñi v i t ng giá tr ti tr ng tác d ng ñưc th hi n hình 2.20, hình 2.21 và hình 2.22. Hình 2.20 trình bày giá tr ni l c ca thanh 1, 2 khi PTTT và khi PTPTHH vi các giá tr P khác nhau. Ta th y khi PTTT thì các thanh luôn ch u nén và ñ ln l c nén s tăng khi t ăng P. Đi v i PTPTHH, khi P<300(kN) thì n i l c c a thanh 1, 2 theo hai các phân tích là chênh l ch
50 không nhi u và các thanh này ñu ch u nén. Nh ưng khi t ăng P>300(kN) theo PTPTHH thì n i l c c a các thanh 1, 2 l i gi m d n và khi t ăng P>400(kN) thì các thanh này chuy n sang ch u kéo và n i l c trong thanh s tăng lên. Nh ư v y khi t i tr ng l n thì n i l c c a thanh 1, 2 theo hai cách phân tích là trái ng ưc nhau. 3000 0 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh 2500 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 500 2000 1000 1500 1500 1000 2000 500 2500 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Néi lùc thanh 1, Néi thanh lùc 2 (kN) 1, Néilùc (kN) 4 thanh 3, 0 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 3000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 T¶i träng t¸c dông (kN) T¶i träng t¸c dông (kN) Hình 2.20 Ni l c thanh 1, 2 Hình 2.21 Ni l c thanh 3, 4 2500 (cm) Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh 2000 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 1500 1000 500 0 Néi lùc thanh sè 5 (kN) Néi 5thanh lùc sè 500 0 500 1000 1500 2000 2500 T¶i träng t¸c dông (kN) (cm) Hình 2.22 Ni l c thanh 5 Hình 2.23 Hình d ng dàn Hình 2.21 th hi n n i l c c a thanh 3, 4 v i các giá tr ti tr ng khác nhau gi a hai cách phân tích. Ta th y, trong c hai cách phân tích thì các thanh này luôn ch u nén, khi P 1200(kN) thì n i l c c a các thanh theo PTPTHH li có xu h ưng gi m khi t ăng P và khi P=2000(kN) thì ñ ln n i l c PTTT trong thanh 3, 4 l n h ơn PTPTHH.
51 Hình 2.22 th hi n n i l c c a thanh 5 v i các giá tr ti tr ng khác nhau gi a hai cách phân tích. Khi P 1200(kN) thì n i l c ca thanh 5 PTPTHH li có xu h ưng gi m khi P t ăng và P>2500(kN) thì thanh 5 chuy n sang ch u nén. Trong khi ñó theo PTTT thanh 5 luôn ch u kéo và giá tr ni l c thanh 5 s tăng n u t ăng P. Hình 2.23 th hi n hình d ng c a k t c u sau khi b bi n d ng ng v i các giá tr ti tr ng khác nhau. Qua hai ví d phân tích trên có th th y: Khi t i tr ng nh thì hình d ng kt c u tr ưc và sau khi ch u l c thay ñi không nhi u do ñó k t qu PTPTHH g n sát v i k t qu PTTT. Khi t i tr ng l n thì hình d ng k t c u tr ưc và sau khi bi n d ng thay ñi nhi u vì v y n i l c trong các thanh dàn có s phân ph i l i, do ñó các thành ph n chuy n v ti nút dàn và n i l c trong các thanh dàn theo hai cách phân tích chênh lch nhi u. Trong nhi u tr ưng h p có s thay ñi d u n i l c trong thanh dàn và thành ph n chuy n v ti nút dàn gi a phân tích tuy n tính và phân tích phi tuy n hình h c. 2.4 Kt lu n ch ươ ng Các nghiên c u ñã trình bày t mc 2.1 ñn 2.3 trong ch ươ ng 2 c a lu n án, tác gi ñư a ra các k t lu n sau ñây: 1. Da trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss ñã xây d ng ñưc bài toán phân tích tuy n tính và phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn theo hai cách gi i khác nhau: Cách gi i th nh t ch n các n s chính là các thành ph n chuy n v ti các nút dàn; Cách gi i th hai ch n các n s chính là n i lc trong các thanh dàn. Kt qu phân tích tuy n tính và phân tích phi tuy n hình h c kt c u dàn theo hai cách gi i d a trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss ñu cho ñ tin c y.
52 2. Khi vi t ph ươ ng trình cân b ng cho các nút dàn, ch cn vit ph ươ ng trình cân b ng cho các nút có b c t do. M rng ra, trong c ơ h c môi tr ưng liên t c ch cn vi t ph ươ ng trình cân b ng cho các ñim trong c a v t th , không c n vi t ph ươ ng trình cân b ng cho các ñim biên. 3. Bng nh ng suy lu n logic c ũng nh ư các ví d tính toán tuy còn ít, có th ñi ñn nh n xét: Nu mô ñun ñàn h i vt li u c a kt c u nh ho c giá tr ti tr ng tác d ng l n thì chuy n v ca nút dàn là ln làm góc c a các tr c thanh dàn tr ưc và sau khi dàn bi n d ng thay ñi nhi u, do ñó n i l c trong các thanh dàn s b phân ph i l i làm cho k t qu gi a PTTT và PTPTHH chênh l ch nhi u, trong nhi u tr ưng h p ni l c trong mt s thanh ho c m t s thành ph n chuy n v ti nút dàn nào ñó gi a PTTT và PTPTHH có th trái du. Và ng ưc l i n u mô ñun ñàn h i vt li u c a kt c u l n ho c giá tr ti tr ng tác d ng nh thì hình d ng k t c u dàn tr ưc và sau khi bi n d ng thay ñi không nhi u, do ñó kt qu PTPTHH s gn sát v i k t qu PTTT. Nh ư vy bài toán phân tích tuy n tính là tr ưng h p ñc bi t c a bài toán phân tích phi tuy n hình h c khi chuy n v ca các nút dàn nh .
53 CH ƯƠ NG 3 PHÂN TÍCH PHI TUY N HÌNH H C KT C U DÀN VÒM PH NG Kt c u dàn vòm so v i k t c u dàn d m ti t ki m v t li u h ơn [4,tr.97], nên dàn vòm là m t trong nh ng dng kt c u th ưng ñưc l a ch n dùng cho kt c u mái che c a các công trình nh ư: nhà tri n lãm, cung v ăn hóa, b bơi v.v Chi u cao h c a dàn vòm th ưng trong kho ng (1/ 30÷ 1/ 60 ) nh p dàn [4,tr.99], ñ tho i k=f/l ca dàn vòm th ưng trong kho ng (1/3÷ 1/8 ) [64,tr.132]. Trong ch ươ ng này ca lu n án trình bày tính toán phi tuy n hình hc ca mt s bài toán dàn vòm ph ng ch u l c tác d ng th ng ñng ti các nút dàn da trên ph ươ ng pháp nguyên lý c c tr Gauss, kt qu phân tích phi tuy n hình h c (PTPTHH) ñưc so sánh vi k t qu khi phân tích tuy n tính (PTTT) ca dàn vòm ph ng. Chươ ng này ca lu n án còn nghiên c u nh hưng ñ tho i ca dàn vòm ph ng ñn ñ chênh l ch k t qu các thành ph n chuy n v ti nút dàn, ni l c trong các thanh dàn gi a PTTT và PTPTHH. 3.1 Phân tích phi tuy n hình h c dàn vòm ph ng tĩnh ñnh 3.1.1 Tính toán dàn vòm ph ng t ĩnh ñnh Xét dàn vòm ph ng tĩnh ñnh ch u l c nh ư hình 3.1, bi t các thanh dàn có mô ñun ñàn h i E=2.10 4(kN/cm 2). Ti t di n thanh cánh trên và thanh cánh dưi dàn là φ180x6(mm) , các thanh b ng dàn là φ121x3,5(mm) . Nh p dàn l=48(m), ñ tho i c a dàn k=f/l=1/8 và chi u cao dàn h=0,8(m). T i tr ng P=10(kN) tác d ng ti các nút dàn theo ph ươ ng th ng ñng. Xây d ng t a ñ ca các nút dàn Dàn vòm có nhp dàn l, ñ tho i c a dàn k=f/l và chiu cao c a dàn là h (xem hình 3.1 và hình 3.2). Bán kính cong c a dàn tính theo công th c: l×( 1 + 4k 2 ) r = (3.1) 8k