Luận án Các phương pháp thích nghi trong lọc nhiễu tín hiệu điện tim

126 trang yendo 6761

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận án Các phương pháp thích nghi trong lọc nhiễu tín hiệu điện tim", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_an_cac_phuong_phap_thich_nghi_trong_loc_nhieu_tin_hieu.pdf

Nội dung text: Luận án Các phương pháp thích nghi trong lọc nhiễu tín hiệu điện tim

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẦO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HOÀNG MẠNH HÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI TRONG LỌC NHIỄU TÍN HIỆU ĐIỆN TIM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2011
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẦO TẠO VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HOÀNG MẠNH HÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI TRONG LỌC NHIỄU TÍN HIỆU ĐIỆN TIM Chuyên ngành: Đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số: 62 46 35 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. TSKH Phạm Trần Nhu, Viện Công nghệ thông tin 2. TS Nguyễn Thị Quỳnh Lan, Đại học Kinh tế Quốc dân HÀ NỘI – 2011
2 LỜI CAM ĐOAN Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TSKH Phạm Trần Nhu và TS Nguyễn Thị Quỳnh Lan. Các kết quả đó là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên của mình Tác giả Hoàng Mạnh Hà
3 LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện công nghệ thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam dưới sự hướng dẫn tận tình của TSKH Phạm Trần Nhu và TS Nguyễn Thị Quỳnh Lan. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các Thầy, Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, hội nghị và xêmina, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của GS TSKH Đinh Dũng, PGS TS Đặng Quang Á, PGS TSKH Phạm Huy Điển, TS Phạm Cảnh Dương, PGS TS Nguyễn Bường, GS TSKH Phạm Thượng Cát. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin cùng toàn thể các Thầy, các Cô và các anh chị em làm việc tại Viện Công nghệ thông tin đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu tại Viện. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Cao đẳng Kỹ thuật Thiết bị Y tế đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin được cảm ơn anh chị em học viên cao học, nghiên cứu sinh và bạn bè đồng nghiệp gần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình niềm vinh hạnh to lớn này. Tác giả
4 Mục lục ___ LỜI CAM ĐOAN 0 LỜI CẢM ƠN 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 6 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 7 MỞ ĐẦU 10 Chương 1 16 Đo tín hiệu điện tim và can nhiễu 16 1.1. Tín hiệu điện tim 16 1.1.1. Sự hình thành tín hiệu điện tim. 16 1.1.2. Can nhiễu ảnh hưởng đến chất lượng ghi tín hiệu điện tim 19 1.1.3. Nhiễu tần số 50Hz hoặc 60Hz từ mạng cung cấp điện 19 1.1.4. Nhiễu do run cơ 20 1.1.5. Nhiễu do tiếp xúc kém giữa điện cực và bệnh nhân 20 1.2. Thuật toán tối thiểu hoá trung bình của bình phương độ lệch 21 1.2.1. Tổ hợp thích nghi tuyến tính 23 1.2.2. Bài toán xác định ma trận trọng số tối ưu cho tổ hợp thích nghi tuyến tính. .24 1.3. Biến đổi sóng nhỏ với bài toán xác định điểm đột biến. 29 1.3.1. Tính đạo hàm bậc 1 và 2 thông qua biến đổi sóng nhỏ đa thang 29 1.3.2. Tìm điểm đột biến nhọn 33 Chương 2 36 Lọc nhiễu bằng các phương pháp thích nghi dựa trên thuật toán LMS và khả năng tăng hiệu quả bằng một giải pháp thay đổi kích thước bước 36 2.1. Cơ sở toán học của phương pháp thích nghi dựa trên thuật toán LMS trong lọc nhiễu. 36 2.1.1. Phát biểu bài toán 36 2.1.2. Cơ sở toán học của mô hình lọc nhiễu 38 2.1.3. Đánh giá sai số trung bình bình phương 39 2.1.4. Tín hiệu tham chiếu Widrow NR n trong thuật toán lọc LMS 39 2.1.5. Dãy trọng số lọc W() n  trong thuật toán LMS 41 2.2. Phương pháp thích nghi lọc nhiễu điện áp cho các tín hiệu y sinh 43 2.2.1. Kết quả lọc nhiễu đối với tín hiệu điện tim 44 2.2.2. Kết quả lọc nhiễu đối với tín hiệu điện não 50 2.3. Thuật toán LMS với kích thước bước thay đổi 57 2.3.1. Sự thay đổi kích thước bước dựa trên giá trị tuyệt đối của Gradient 57 2.3.2. Thực nghiệm và kết quả 63 Chương 3 75 Một giải pháp điều chỉnh thích nghi bộ lọc triệt tần với tiếp cận sóng nhỏ 75 3.1. Bài toán chọn các hệ số của bộ lọc 75 3.1.1. Hàm truyền trong lọc nhiễu đơn tần 76
5 3.1.2. Xấp xỉ hàm truyền trong lọc nhiễu thích nghi 78 3.2. Bài toán dò tần số của nhiễu 80 3.2.1. Kỹ thuật làm nổi bật đặc tính của nhiễu bằng biến đổi Fourier 80 3.2.2 Kỹ thuật xác định toạ độ điểm đột biến nhọn qua biến đổi sóng nhỏ 85 3.2.3. Chọn thang s cho biến đổi sóng nhỏ 87 3.3. Mô hình lọc nhiễu và thuật giải tìm tần số của nhiễu từ đường tải điện sử dụng biến đổi sóng nhỏ. 94 3.4. Đánh giá độ chính xác và mức độ phức tạp tính toán của giải thuật tìm tần số 0 của nhiễu 96 3.4.1. Đánh giá độ chính xác 96 3.4.2. Đánh giá mức độ phức tạp tính toán 99 3.5. Thực nghiệm và kết quả 101 3.6. Đánh giá thuật giải sử dụng biến đổi sóng nhỏ 110 KẾT LUẬN 111 KẾT LUẬN CHUNG 112 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 113 Tài liệu tham khảo 114 Phụ lục 120
6 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt LMS Least Mean Square (Tối thiểu hoá trung bình của bình phương) MSE Mean Square Error (Sai số trung bình bình phương) ECG ElectroCardioGraphy (Điện tâm đồ) EEG ElectroEncephaloGraphy (Điện não đồ) FIR Finite Impulse Response (Đáp ứng xung hữu hạn) FFT Fast Fourier Transform (Biến đổi Fourier nhanh) IIR InFinite Impulse Response (Đáp ứng xung không giới hạn) DWT Discrete Wavelet Transform (Biến đổi Wavelet rời rạc) Ký hiệu P, Q, R, S, T: Tên các đỉnh sóng trong một chu kỳ của nhịp tim  Gradient ˆ ước lượng của gradient  Sai số tại đầu ra  Kích thước bước thích nghi E Kỳ vọng toán học Wf s, x Biến đổi sóng nhỏ đối với hàm f x với thang s W1 f s, x Biến đổi sóng nhỏ mức 1 đối với hàm f x với thang s W2 f s, x Biến đổi Sóng nhỏ mức 2 đối với hàm f x với thang s * Phép nhân chập I Ma trận đơn vị 0 Vector mà tất cả các phần tử bằng 0  . Biến đổi Fourier  . Magnitude của biến đổi Fourier
7 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Dạng sóng điện tim: 18 Hình 1.2: Mô tả việc ghi tín hiệu điện tim 18 Hình 1.3: Ảnh hưởng của nhiễu từ mạng cung cấp điện 20 Hình 1.4: Tổ hợp thích nghi tuyến tính. 23 Hình 2.1: Mô hình thích nghi của bộ lọc nhiễu. 37 Hình 2.2:Bộ lọc triệt tần thích nghi 40 Hình 2.3: MSE trong trường hợp  0.05 và  0.5 44 Hình 2.4: So sánh S() n với  n trong đoạn n 1  465 45 Hình 2.5: So sánh S() n với  n trong đoạn n 466  930 46 Hình 2.6: So sánh S() n với  n trong đoạn n 931  1395 46 Hình 2.7: So sánh S() n với  n trong đoạn n 1396  1860 . 47 Hình 2.8: Với  0.5 , S() n và  n , trong đoạn n 1  465 48 Hình 2.9: Với  0.5, S() n và  n , trong đoạn n 466  930 49 Hình 2.10: Với  0.5 , S() n và  n , trong đoạn n 931  1395. 49 Hình 2.11: Với  0.5, S() n và  n , trong đoạn n 1396  1860 . 50  Hình 2.12: E S()()() n N n N n trong trường hợp 0.05 và  0.5. 51 Hình 2.13: MSE trong trường hợp  0.05 và  0.5 52 Hình 2.14: Với  0.05, EEG trước và sau lọc nhiễu,đoạn n 1  1000 52 Hình 2.15:EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1001  2000 . 53 Hình 2.16: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 2001  3000. 53 Hình 2.17: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 3001  4000. 54 Hình 2.18: Với  0.5 , EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1  1000 55 Hình 2.19: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1001  2000 . 55 Hình 2.20: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 2001  3000. 56 Hình 2.21: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 3001  4000 . 56 Hình 2.22: Sự hội tự của thuật toán LMS sử dụng công thức (2.22) 60 Hình 2.23: Sự hội tự của thuật toán LMS khi w1 0 , w 2 0 không phù hợp 60 Hình 2.24: Gradient của  trên mặt phẳng w1, w 2 62 Hình 2.25: MSE trường hợp  0.05,  0.5 và  thay đổi 65 Hình 2.26:  thay đổi, so sánh S() n với  n trong đoạn n 1  465 66 Hình 2.27:  thay đổi, so sánh S() n với  n trong đoạn n 466  930 66 Hình 2.28:  thay đổi, so sánh S() n với  n trong đoạn n 931  1395. 67 Hình 2.29:  thay đổi, so sánh S() n với n trong đoạnn 1396  1860 67
8 Hình 2.30: MSE trong trường hợp  0.05,  0.5 và  thay đổi 69 Hình 2.31: So sánh sai số trung bình bình phương trường hợp kích thước bước thay đổi với trường hợp kích thước bước cố định  0.05 và  0.5 70 Hình 2.32:  thay đổi,EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1  1000 . 71 Hình 2.33:  thay đổi,EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1001  2000 . 71 Hình 2.34:  thay đổi,EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 2001  3000. 72 Hình 2.35:  thay đổi,EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 3001  4000. 72 Hình 2.36: So sánh với phương pháp thay đổi kích thước bước trong [29] 73 Hình 3.1: Đáp ứng tần số của bộ lọc triệt tần với các giá trị  77 Hình 3.2: Phổ của nhiễu từ đường tải điện 81 Hình 3.3: Phổ của tín hiệu điện tim sạch 82 Hình 3.4: So sánh phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu( NoisyECG() ). 83 Hình 3.5: Phổ của tín hiệu điện tim sạch (a) và kết quả làm trơn phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu (b) 84 Hình 3.6: Phổ đã được làm trơn của tín hiệu điện tim có nhiễu hình (a) và kết quả phép biến đổi sóng nhỏ W1 f(,) s  hình (b), 85 Hình 3.7: Phổ đã được làm trơn của tín hiệu điện tim có nhiễu hình (a) và kết quả phép biến đổi sóng nhỏ W1f(,) s  hình (b). và W2f(,) s  hình (c) 86  Hình 3.8: So sánh Đáp ứng Biên độ - Tần số của Q1() và Q1() . 89 Hình 3.9: Phổ của đột biến không mang thông tin 90   Hình 3.10: So sánh Đáp ứng Biên độ - Tần số của Q2() và Q1() 91 Hình 3.11:So sánh kết quả phép biến đổi sóng nhỏ dùng s 21,s 22 . 91 Hình 3.12:So sánh kết quả phép biến đổi sóng nhỏ dùng s 21 , s 22 92 Hình 3.13: Mô hình lọc nhiễu từ nguồn cung cấp điện 94 Hình 3.14: Biểu diễn trong miền thời gian S() n , N() n và NoisyECG() n 102 Hình 3.15: Các kết quả chính khi thực hiện giải thuật tìm tần số của nhiễu 103 Hình 3.16: Kết quả ước lượng đạo hàm bậc I dùng biến đổi sóng nhỏ s 21 104 Hình 3.17: Biểu diễn điểm không và điểm cực của H() z trên đường tròn đơn vị 104 Hình 3.18: So sánh tín hiệu điện tim sau lọc với tín hiệu điện tim sạch 105 Hình 3.19: MSE giữa tín hiệu sau lọc ()n và tín hiệu điện tim sạch S() n 105 Hình 3.20: Biểu diễn S() n , N() n và NoisyEEG() n trong miền thời gian 106 Hình 3.21: Các kết quả chính khi thực hiện giải thuật tìm tần số của nhiễu 107 Hình 3.22: Kết quả ước lượng đạo hàm bậc I dùng biến đổi sóng nhỏ thang 21 107 Hình 3.23: Đáp ứng Biên độ - Tần số của bộ lọc với (3.4) và 0 1.5rad / s 108 Hình 3.24: Biểu diễn điểm không và điểm cực của H() z trên đường tròn đơn vị 108 Hình 3.25: MSE giữa tín hiệu sau lọc ()n và tín hiệu điện tim sạch S() n 109 Hình 3.26: So sánh tín hiệu điện não sau lọc với tín hiệu điện não sạch 109
9 DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1: Mối quan hệ giữa độ lệch chuẩn và số vòng lặp cần thiết 59 Bảng 3.1: Thống kê kết quả dò tìm tần số của nhiễu 0 . 99 Bảng 3.2: Mối quan hệ giữa độ phân giải trong không gian tần số với sai số tính toán và độ phức tạp tính toán 101
10 MỞ ĐẦU Xử lý thích nghi là một lĩnh vực có ý nghĩa học thuật và gắn liền với những ứng dụng thực tế sinh động trong xử lí tín hiệu. Ban đầu ứng dụng của xử lý tín hiệu thích nghi giới hạn trong các mô hình nhận dạng, sửa sóng, lọc nhiễu, và sử dụng các thuật toán Newton, Steepest Descent, LMS, RLS, Sự thay đổi của tập dữ liệu đầu vào và các điều kiện ràng buộc ngày càng phức tạp kéo theo đòi hỏi cải tiến thuật toán để có được hiệu năng xử lý cao hơn [9]. Ngoài ra việc giải quyết vấn đề nâng cao hiệu năng thuật toán còn đòi hỏi việc xây dựng các điều kiện đảm bảo thuật toán có thể sử dụng được. Mục tiêu của việc cải tiến thuật toán là tăng tốc độ hội tụ với yêu cầu về độ chính xác, độ ổn định và đã được giải quyết theo nhiều hướng: thay đổi cấu trúc bộ lọc mà tiêu biểu là các tác giả như Ju-Won Li, Gun-Ki Lee trong [20]; sử dụng kích thước bước thích nghi thay đổi của các tác giả như Daniel Onguín Onguín, Bouchereau, Sergio Martínez trong [29] hoặc Pedro Ramos, Roberto Torrubia, Ana Lopez, Ana Salinas, Enrique Masgrau trong [33]. Qua nghiên cứu và thử nghiệm chúng tôi nhận thấy độ phức tạp của thuật toán sẽ tăng lên đáng kể nếu cải tiến thuật toán sử dụng cấu trúc động như trong [20] và hiệu năng không được cải thiện nhiều như trong [29] hoặc [33]. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng các kết quả thu được trong việc nghiên cứu luật cập nhật cho kích thước bước trong những năm gần đây đều nhằm thoả mãn yêu cầu là kích thước nhận giá trị nhỏ khi ở gần vị trí tối ưu để đảm bảo tính ổn định và nhận giá trị lớn khi ở xa điểm tối ưu để đảm bảo tốc độ hội tụ của thuật toán. Các hướng nghiên cứu đều đi đến sử dụng công thức cập nhật kích thước bước có dạng  n 1  n  f q n , (0.1)
11 trong đó  n là kích thước bước tại thời điểm n ,  n 1 là kích thước bước tại thời điểm n 1, các hằng số ,  quyết định mức độ giống nhau giữa 2 lần điều chỉnh liên tiếp. Một số tác giả chọn f q n 2 n như trong [29], một số khác lại chọn là f q n  n  n 1 . Việc sử dụng (0.1) cho thay đổi giá trị kích thước bước đều được thực hiện với việc gán giá trị lớn cho kích thước bước khởi tạo  0 . Công thức (0.1) sẽ hiệu chỉnh kích thước bước giảm dần theo đúng luật cập nhật nêu trên. Tuy nhiên (0.1) sử dụng  n cho tính toán  n 1 với việc gán giá trị lớn cho  0 chỉ phù hợp khi giá trị tập các trọng số khởi tạo ở xa tập các trọng số tối ưu. Nếu một cách ngẫu nhiên tập các trọng số khởi tạo đã gần tập các trọng số tối ưu, thuật toán hội tụ chậm hoặc không hội tụ nếu ta chọn 1 vì phản ánh ảnh hưởng của  n tới  n 1 . Do vậy việc sử dụng (0.1) thường phải gắn với việc thực nghiệm để chọn lại  0 mỗi khi thay đổi môi trường. Như vậy để giải quyết bài toán nâng cao hiệu suất cho thuật toán thích nghi thông qua thay đổi kích thước bước cần giải quyết bài toán cải tiến (0.1) sao cho với tập dữ liệu đầu vào không xác định, mọi giá trị khởi tạo  0 đều cho phép thực hiện tốt luật cập nhật cho kích thước bước. Trong quá trình giải quyết vấn đề này, phân bố gradient đã cho chúng tôi gợi ý một cách heuristic về cách cập nhật kích thước bước. Ban đầu chúng tôi chọn công thức  n 1  n ˆ n (0.2)
12 trong đó được chọn rất nhỏ để hạn chế sự ảnh hưởng của trạng thái trước, làm giảm tốc độ điều chỉnh  n 1 . Việc lấy giá trị tuyệt đối nhằm tránh các giá trị âm của gradient. Sau đó chúng tôi nhận thấy là nếu chọn 0 ta sẽ giải quyết triệt để được vấn đề mà (0.1) chưa giải quyết được. Những kết quả chúng tôi đạt được ở chương II trong luận án này đã chứng minh cho nhận định trên. Không những cải tiến được thuật toán chúng tôi còn xác định các điều kiện để thuật toán có thể sử dụng được và đánh giá các phương pháp mới nhất trong việc nâng cao hiệu năng của thuật toán LMS dựa trên kích thước bước thay đổi. Những cải tiến này thích hợp với bài toán lọc nhiễu trong tín hiệu điện tim, khi mà đề xuất trong [29] không đề cập đến sự hội tụ. Đồng thời với giải pháp thay đổi kích thước bước, việc cải tiến thuật toán còn được kết hợp với các phương pháp xử lý tín hiệu dựa trên phép biến đổi sóng nhỏ. Ở Việt Nam, những tìm hiểu đầu tiên về ứng dụng Lý thuyết sóng nhỏ trong đo tín hiệu điện tim được Trường Cao đẳng nghề Thiết bị Y tế (nơi tác giả Luận án công tác) và Trường Đại học Bách Khoa quan tâm rất sớm (xem [46], [47]). Các kết quả tìm hiểu được định hướng vào việc xác định chính xác thời điểm của các đột biến của tín hiệu điện tim. Ý tưởng của tác giả luận án về việc áp dụng lý thuyết này trong dò tìm tần số của nhiễu dựa trên nhận xét của tác giả về việc có thể sử dụng kết hợp các đặc trưng của tín hiệu khi biểu diễn trong miền tần số với việc giải quyết bài toán xác định thời điểm đột biến để giải quyết bài toán xác định tần số của nhiễu. Trong khi giải quyết bài toán lọc nhiễu động, cộng tính. Tác giả luận án còn phát hiện ra rằng bài toán lọc thích nghi có thể được xem là bài toán xác định các hệ số của hàm truyền trong không gian z và có thể giải quyết dựa trên sự kết hợp giữa phương pháp xấp xỉ thông thường và phương pháp xác định tần số của nhiễu vừa nêu trên.
13 Luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1: Chương này gồm 3 phần và được biên soạn nhằm cung cấp các kiến thức bổ trợ cho chương 2 và chương 3. Đo tín hiệu điện tim và can nhiễu là nội dung sẽ được trình bày trong phần đầu như một giới thiệu chung về vấn đề sẽ được giải quyết sau này. Phần tiếp theo của chương 1 trình bày về tổ hợp thích nghi tuyến tính và thuật toán LMS để chuẩn bị cho việc trình bày các đóng góp mới trong chương 2. Phần cuối của chương 1 sẽ trình bày về cơ sở của phép tính xấp xỉ đạo hàm sử dụng biến đổi sóng nhỏ và ứng dụng để xác định toạ độ đột biến nhọn. Chương 2: Chương này trình bày cơ sở toán học cho bộ lọc nhiễu thích nghi, xác định điều kiện để thuật toán LMS hội tụ trong mô hình lọc nhiễu. Tiếp theo, chúng tôi trình bày đề xuất mới cho việc điều chỉnh kích thước bước của thuật toán LMS, nhằm nâng cao hiệu năng cho bộ lọc nhiễu thích nghi. Khả năng hội tụ của thuật toán LMS khi sử dụng phương pháp điều chỉnh kích thước bước nêu trên đã được chứng minh. Các kết quả thực nghiệm trên tín hiệu điện tim và điện não được trình bày xen kẽ nhằm minh hoạ cho việc trình bày. Chương 3: Chương này trình bày về các kết quả đạt được với đề xuất mô hình lọc nhiễu từ đường tải điện và giải thuật tìm tần số của nhiễu đơn tần. Chương 3 được chia làm 6 phần. Phần đầu, trình bày phát hiện của chúng tôi về khả năng phân chia bài toán lọc nhiễu từ đường tải điện thành 2 bài toán khả giải với cơ sở của cách giải đã được trình bày ở mục 1.3 chương 1. Phần 3.1 và 3.2 sẽ trình bày chi tiết về phương pháp giải đối với 2 bài toán nêu trên. Phần 3.3 sẽ trình bày đề xuất của chúng tôi về mô hình lọc nhiễu từ đường tải điện, đồng thời trình bày giải thuật đề xuất cho việc tìm tần số của nhiễu. Phần 3.4 dành cho đánh giá độ chính xác và độ phức tạp của giải thuật dò tần số của nhiễu. Các kết quả thực nghiệm trên tín hiệu điện tim và điện não được
14 trình bày trong phần 3.5. Phần 3.6 dành cho việc đánh giá tổng quan về mô hình và thuật toán đề xuất. Những đóng góp mới của luận án: 1. Xác định điều kiện để thuật toán LMS hội tụ khi áp dụng thuật toán này trong mô hình lọc nhiễu thích nghi. 2. Đề xuất phương pháp thay đổi kích thước bước của thuật toán LMS nhằm nâng cao hiệu năng cho mô hình lọc nhiễu thích nghi và ứng dụng các kết quả trên để giải quyết vấn đề lọc nhiễu từ đường tải điện ra khỏi tín hiệu điện tim và điện não. 3. Đề xuất giải thuật tìm tần số của tín hiệu nhiễu từ đường tải điện dựa trên biến đổi Fourier và biến đổi sóng nhỏ thông qua việc hiểu và chọn được thang phù hợp để thực hiện biến đổi sóng nhỏ cho bài toán tìm tần số của nhiễu đơn tần. 4. Đề xuất mô hình lọc nhiễu đơn tần ra khỏi tín hiệu hữu ích, trong đó sử dụng giải thuật tìm tần số của nhiễu và ứng dụng mô hình lọc nhiễu đề xuất cho bài toán loại bỏ nhiễu từ đường tải điện. Các kết quả của luận án được công bố trong 3 tạp chí chuyên ngành, liệt kê trong Danh mục công trình (trang 113) và được báo cáo tại: 1. Hoang Manh Ha, “Variable Step size LMS Filter for ECG signals”, The second International Conference on the development of BioMedical Engineering in Vietnam, Hanoi University of Technology, July 25th-27th 2007, p88-96 2. Pham Tran Nhu, Hoang Manh Ha, “Adaptive Noise Cancellation Implementaion with a Variable Step-Size LMS Algorithm”, Proceeding of the Japan-Vietnam WorkShop on SoftWare Engineering, p71-80, 2007
15 3. Pham Tran Nhu, Hoang Manh Ha, “Adjustment in central frequency of Adaptive Notch Filter base on Wavelet Transform in frequency Domain” Proceeding of the Second International Conference on Communications and Electronics (HUTICCE), Hoian, Vietnam, June 2008. 4. Phạm Trần Nhu, Hoàng Mạnh Hà, “ Phân tích và mô phỏng tín hiệu điện tim”, Kỷ yêu Hội thảo Khoa học toàn quốc, Đại học Thái Nguyên-Đại học Bách Khoa Hà Nội, trang 217-224,2005. 5. Phạm Trần Nhu, Hoàng Mạnh Hà, “Thiết kế bộ lọc thích nghi với câu trúc động cho xử lý tín hiệu điện tâm đồ”, Kỷ yếu hội nghị Khoa học lần thứ 20, Đại học Bách khoa Hà nội, trang 103-107, 2006. 6. Phạm Trần Nhu, Hoàng Mạnh Hà, “Sử dụng mô phỏng tín hiệu điện tim và nhiễu đường tải điện trong bộ lọc triệt tần lọc nhiễu bằng thuật toán LMS với kích thước bước thích nghi thay đổi”, Đại hội Toán học Viet Nam lần thứ 7, Quy nhơn 8/2008
16 Chương 1. Đo tín hiệu điện tim và can nhiễu Trong cơ thể con người, tim và hoạt động của tim phản ánh các thông tin quan trọng của sức khoẻ, do vậy việc theo dõi, chẩn đoán các bệnh về tim yêu cầu độ chính xác, tin cậy cao. Nhiều chẩn đoán được thực hiện dựa trên việc ghi sóng điện tim trong khi thực tế dạng sóng điện tim trong quá trình ghi luôn bị ảnh hưởng bởi nhiễu, cả nhiễu xác định lẫn nhiễu ngẫu nhiên. Việc nâng cao chất lượng ghi sóng điện tim yêu cầu những hiểu biết căn bản về bản chất của sóng điện tim và can nhiễu. Yêu cầu này là quan trọng trong quá trình nghiên cứu luận án và những kết luận căn bản sẽ được trình bày trong chương này. Phần 1 giới thiệu các đặc điểm của tín hiệu điện tim và các loại nhiễu có liên quan, làm cơ sở cho việc xây dựng các hàm mục tiêu trong các thuật toán lọc nhiễu. Những kiến thức toán học liên quan đến các kết quả nghiên cứu trình bày trong 2 chương sau của luận án sẽ được nêu tóm tắt trong hai phần còn lại của chương này. Nội dung phần 2 bao gồm thuật toán tối thiểu hoá trung bình của bình phương (Tên tiếng Anh là: Least Mean Square, viết tắt tiếng Anh là LMS) và mô hình lọc nhiễu thích nghi sử dụng thuật toán LMS. Phần 3 trình bày cơ sở toán học của phương pháp xác định điểm đột biến thông qua biến đổi sóng nhỏ. Đây là nội dung bổ trợ cho việc trình bày kết quả đạt được trong chương 3. Kết quả này dựa trên phát hiện sự tương đương giữa bài toán lọc nhiễu từ mạng điện công nghiệp bằng bộ lọc thích nghi với bài toán dò điểm đột biến đã được S. Mallat và H. W. Hwang giải quyết trong [23]. 1.1. Tín hiệu điện tim 1.1.1. Sự hình thành tín hiệu điện tim.
17 Tim là tổ chức cơ rỗng, tại đó sự co bóp một cách có thứ tự các cơ sẽ tạo ra áp lực đẩy máu đi qua các bộ phận trên cơ thể. Mỗi nhịp tim được kích thích bởi xung điện từ các tế bào nút xoang tại tâm nhĩ. Các xung điện truyền đến các bộ phận khác của tim và làm cho tim co bóp. Việc ghi tín hiệu điện tâm đồ là việc ghi lại các tín hiệu điện này. Tín hiệu điện tâm đồ mô tả hoạt động điện của tim, và có thể được phân tích thành các thành phần đặc tính có tên là sóng: P, Q, R, S, T. Mỗi thành phần này có đặc trưng riêng, đáp ứng riêng, dấu hiệu của nhịp tim riêng nhưng có chung nguồn gốc là các hiện tượng điện sinh vật (xem [3]). Hiện tượng điện sinh vật là quá trình hoá lý, hoá sinh phức tạp xảy ra bên trong và ngoài màng tế bào. Quá trình này được mô tả bằng công thức Nerst như sau ct[][] K o K o E ln 0.0615lg , (1.1) k nF[][] K i K i trong đó: Ek : Suất điện động tương đương, được tạo ra do sự chênh lệch nồng độ ion giữa trong và ngoài màng tế bào. n : Hoá trị của ion K+, n 1. K i và K o : Nồng độ của ion K+ ở trong và ngoài màng tế bào (tính bằng mol/l ). c : Hằng số khí (c 8.31 jul / mol ). t : Nhiệt độ tuyệt đối (tính theo nhiệt độ Kelvil, ở nhiệt độ 370C có t 3 1 0 0 K ). F : Hằng số Faraday (96500 Culong/ đương lượng); Đương lượng = mol/hoá trị.
18 Tổng hợp tất cả các thành phần suất điện động từ mọi tế bào trong tim đã tạo ra một tín hiệu phản ánh hoạt động của cơ tim, người ta gọi là tín hiệu điện tim. Tín hiệu điện tim có độ lớn thay đổi theo thời gian và khác nhau tại các điểm trên cơ thể người. Bằng cách đo một số điểm trên cơ thể và theo dõi hình dạng sóng thay đổi theo thời gian, người ta có thể giúp nhận biết được một số tình trạng bệnh lý, hoặc chấn thương. Các nghiên cứu về tim trong [3] đã chỉ ra rằng tín hiệu điện tim có thể được coi như tổ hợp của các sóng có dải tần từ 0  . Tuy nhiên để lấy đủ thông tin cho việc chẩn đoán của bác sỹ, thông thường dải tần được chọn là 0.05Hz 80 Hz . Sóng điện tim có biên độ nhỏ, đỉnh lớn nhất cũng chỉ cỡ 1.5mV 2 mV . Q S Q S Hình 1.1 Dạng sóng điện tim: Việc đo tín hiệu điện tim được mô tả trong hình 1.2 dưới đây. Hình 1.2: Mô tả việc ghi tín hiệu điện tim.
19 1.1.2. Can nhiễu ảnh hưởng đến chất lượng ghi tín hiệu điện tim Như đã nói ở trên, sóng điện tim có biên độ nhỏ, cho nên rất dễ bị ảnh hưởng bởi nhiễu. Các can nhiễu chính ảnh hưởng đến chất lượng ghi tín hiệu điện tim là: - Nhiễu từ mạng cung cấp điện có tần số thay đổi ngẫu nhiên. - Nhiễu sóng cơ do bệnh nhân mất bình tĩnh khi đo gây ra. - Nhiễu do tiếp xúc không tốt giữa điện cực và bệnh nhân gây ra. - Nhiễu tần số thấp gây trôi đường nền. - Nhiễu do tồn tại 2 nguồn tạo tín hiệu điện tim trong cùng một cơ thể như ghép tim hoặc do mang thai. Tuy nhiên qua khảo sát các loại nhiễu ảnh hưởng đến chất lượng ghi tín hiệu điện tim, M. Akay đã chỉ rõ trong [3] rằng lọc nhiễu từ mạng cung cấp điện là cấp bách nhất vì tính chất phổ biến và khó kiểm soát của loại nhiễu này. Các loại can nhiễu còn lại do có dải tần ổn định nên có thể giải quyết triệt để bằng các bộ lọc cố định 1.1.3. Nhiễu tần số 50Hz hoặc 60Hz từ mạng cung cấp điện. Như đã nói ở trên, thông tin hữu ích nằm trong dải tần thấp, 0.05Hz 100 Hz , trong khi mạng cung cấp điện có tần số 50Hz hoặc 60Hz có mặt khắp mọi nơi trong bệnh viện, phòng khám, do đó lưới điện có thể tác động lên thiết bị ghi sóng điện tim Nếu tiến hành đo điện tim ở những nơi có từ trường mạnh của mạng cung cấp điện thì nhiễu 50Hz hoặc 60Hz sẽ gây ảnh hưởng. Ta có thể giải thích ảnh hưởng của mạng cung cấp điện như sau: Theo định luật cảm ứng điện từ d t V t , (1.2) m dt trong đó
20 Vm t : Điện thế sinh ra do biến thiên từ thông.  t : Hàm mô tả biến thiên từ thông qua diện tích S.  Giả sử từ trường B t vuông góc với mặt S thì: dB t V t S , (1.3) m dt trong đó diện tích bề mặt cơ thể bệnh nhân S là một đại lượng thay đổi ngẫu nhiên tuỳ thuộc vào tư thế, hình dạng và chuyển động của cơ thể. Nếu từ trường do động cơ hoặc nguồn cung cấp điện tần số f sinh ra, có dạng Bsin 2 ft thì Vm t BS2 fcos 2 tf , (1.4) trong đó f là tần số của mạng cung cấp điện, cũng là đại lượng thay đổi ngẫu nhiên. Hình 1.3: Ảnh hưởng của nhiễu từ mạng cung cấp điện 1.1.4. Nhiễu do run cơ Khi bệnh nhân bị căng thẳng, lo sợ hoặc mất bình tĩnh sẽ gây run cơ, tạo nhiễu sóng cơ. Dải tần của loại nhiễu này luôn nằm trong dải 20Hz 30 Hz nên có thể được lọc bằng bộ lọc chắn dải cố định (xem [3]). 1.1.5. Nhiễu do tiếp xúc kém giữa điện cực và bệnh nhân Nguyên nhân tạo ra can nhiễu loại này là do tiếp xúc kém giữa điện cực và da. Quá trình được mô tả như sau. Bề ngoài của da rất gồ ghề. Lớp biểu bì có cả những tế bào già chết, bụi Ngoài ra còn có những sợi lông mọc từ
21 dưới da. Mồ hôi luôn được bài tiết ra ngoài qua lỗ chân lông. Thành phần của mồ hôi cũng rất phức tạp với những ion chính là K+, Na+ và Cl-. Dựa vào công thức (1.1) có thể dễ dàng thấy rằng lớp tiếp xúc này tạo ra điện thế tiếp xúc. Ngoài ra độ dẫn điện của các tổ chức dưới da cũng gây ra hiện tượng quá thế khi có dòng điện chạy qua. Lớp tiếp xúc này cũng được phân cực và xuất hiện 2 lớp điện tích trái dấu ở 2 bên tiếp xúc. Khi điện cực chuyển động tương đối với da dẫn đến các điện tích bị xáo trộn cả ở lớp tiếp xúc điện cực – dung dịch và đặc biệt là cả ở lớp tiếp xúc dung dịch – da. Từ đó điện tích sẽ có sự phân bố lại và quá trình này chỉ dừng khi có cân bằng. Thêm vào đó phải tính đến sự thay đổi điện thế nếu như đang có dòng điện chạy qua. Điện thế chênh lệch khi có sự chuyển dịch cơ học tương đối giữa da và điện cực gọi là artifact. Các điện cực được làm bằng vật liệu có điện thế bán pin càng cao thì điện thế artifact càng mạnh và điện thế này thường rất lớn so với tín hiệu điện tim Qua các mô tả trên của các loại can nhiễu, rõ ràng việc nâng cao chất lượng ghi tín hiệu điện tim phụ thuộc rất nhiều vào chất lượng lọc nhiễu từ mạng cung cấp điện (xem [3]). Luận án sẽ tập trung xây dựng cơ sở của phương pháp lọc loại nhiễu này và thiết kế các thực nghiệm để đánh giá các đề xuất mới. 1.2. Thuật toán tối thiểu hoá trung bình của bình phương độ lệch. Các công bố trong [3] đã chỉ ra ảnh hưởng của nhiễu từ mạng điện công nghiệp là đại lượng thay đổi ngẫu nhiên. Qua công thức 1.4 ta thấy rằng sự thay đổi của Vm() t chịu ảnh hưởng bởi 2 đại lượng ngẫu nhiên là diện tích tiếp xúc của bệnh nhân S và tần số của mạng điện f . Theo các nghiên cứu trong [3], S phụ thuộc vào hình dáng và sự chuyển động của bệnh nhân trong khi đo. Tuy nhiên sự ảnh hưởng do S thay đổi đã được giảm thiểu đến mức không đáng kể bằng các giải pháp kỹ thuật chuẩn hoá quy trình đo. Do vậy
22 vấn đề còn lại là loại bỏ sự ảnh hưởng của nhiễu từ mạng điện công nghiệp với f thay đổi. Nhiễu từ mạng điện công nghiệp, với đặc tính dừng đã thoả mãn điều kiện sử dụng mô hình bộ lọc thích nghi để lọc nhiễu. Do vậy hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả trong suốt hơn 30 năm qua. Ngay từ năm 1975, B. Widrow đã công bố giải pháp sử dụng thuật toán tối thiểu hoá trung bình của bình phương độ lệch (Tên tiếng Anh: Least Mean Square, viết tắt là LMS) cho bộ lọc nhiễu thích nghi để giải quyết vấn đề trên. Tuy nhiên, theo như B. Widrow đã đề cập trong [44], vấn đề còn chưa giải quyết được là không thể đồng thời vừa rút ngắn thời gian thích nghi vừa giữ nguyên độ chính xác. Các yêu cầu ngày càng tăng về chất lượng chẩn đoán y học đã là động lực thúc đẩy việc cải tiến các mô hình lọc nhiễu thích nghi nhằm đồng thời: - Rút ngắn thời gian thích nghi. - Cải thiện độ chính xác và độ ổn định của mô hình. - Có khả năng giải quyết được thêm một số bài toán lọc nhiễu tín hiệu y sinh khác. Các mô hình lọc nhiễu sử dụng thuật toán LMS với kích thước bước thay đổi được đánh giá là hướng đi triển vọng vì có độ phức tạp tính toán ở mức thấp, đồng thời vẫn thoả mãn được các yêu cầu về thời gian hội tụ và độ chính xác. Những công bố gần đây trong [8], [10], [12], [18], [29], [33], [39], [40] và [41] đã khẳng định điều này. Các kết quả trên đã khích lệ chúng tôi đi theo và đã thu được một số kết quả nhất định, được trình bày trong chương 2 và 3. Luận án sẽ trình bày 2 đề xuất và các thực nghiệm khẳng định các kết quả đạt được có tiến bộ hơn về rút ngắn thời gian thích nghi và tăng độ chính xác. Hơn thế nữa, các kết quả này đều có thể sử dụng cho cả bài toán lọc nhiễu tín hiệu điện tim và điện não. Để đảm bảo tính hệ thống của việc trình
23 bày, trong mục 1.2 này luận án sẽ tóm tắt một số điểm chính của thuật toán LMS, có liên quan tới các kết quả của chúng tôi. 1.2.1. Tổ hợp thích nghi tuyến tính. Trong các hệ thống xử lý tín hiệu thích nghi, tổ hợp thich nghi tuyên tính (Hình 1.4) là phần tử cơ bản, đóng vai trò quan trọng. d(n) + x(n) + y(n) (n) w0   + - Delay + x(n-1) w1 . . . Delay x(n-L) wL Hình 1.4: Tổ hợp thích nghi tuyến tính. Các mô hình thích nghi được ứng dụng nhiều trên thực tế như: dự đoán, sửa sóng, nhận dạng và lọc nhiễu đều sử dụng các phiên bản của tổ hợp thích nghi tuyến tính. Thuật toán LMS cũng được xây dựng để làm việc trên tổ hợp thích nghi tuyến tính. Cấu tạo chính bao gồm: Tín hiệu đầu vào với các phần tử x( n ), x n 1 , x n L trong đó n Z là biến thời gian rời rạc. x() n thường được mô tả qua hàm xung Dirac như sau: x()() n A n , trong đó:
24 1n 0 ()n , 0n 0 AR là độ lớn, hoặc biên độ của x() n . Với LZ , có thể coi x n L là tín hiệu được làm trễ L lần của x() n . Các trọng số có thể điều chỉnh được w0, w1, wL . Bộ lấy tổng số học. Một đầu lấy tín hiệu ra với L y()() n  x n k wk . (1.5) k 0 Các trọng số là các số thực và được điều chỉnh sao cho y() n giống nhất với d() n (xem hình 1.4). Việc điều chỉnh các trọng số được coi là thủ tục thích nghi cho tổ hợp. Theo công thức 1.5, đầu ra là kêt quả tổ hợp tuyến tính từ các thành phần tín hiệu đầu vào. 1.2.2. Bài toán xác định ma trận trọng số tối ưu cho tổ hợp thích nghi tuyến tính. Để mô hình hoá thủ tục thích nghi, ta sử dụng các ký hiệu sau: W là vector trọng số của tổ hợp thích nghi tuyến tính, với T W  w0 w 1 w 2 wL  , (1.6) W là vector có độ dài L 1. d n là tín hiệu huấn luyện mà ta biết trước, trong đó n Z là biến thời gian rời rạc. X n là vector tín hiệu đầu vào tại thời điểm n , với T Xnxnxn 1 xn 2 xnL , (1.7)
25 trong đó: x n : Tín hiệu đầu vào tại thời điểm n , x n 1 : Tín hiệu được làm trễ 1 lần từ tín hiệu x n , x n L : Tín hiệu được làm trễ L lần từ tín hiệu x n . X n là vector có độ dài L 1. Bài toán đặt ra là ta muốn nhận được y() n với y()() n XT n W sao cho y() n giống nhất với tín hiệu huấn luyện d n theo nghĩa ()()()n d n y n đạt được một cực tiểu. Việc điều chỉnh các trọng số được coi như là bài toán xác định các phần tử wk với k 1,2, , L , sao cho khi sử dụng công thức (1.5), đầu ra y() n giống nhất với d() n . Lời giải cho bài toán này dựa trên giả thiết rằng tín hiệu X n và d() n là tín hiệu dừng theo nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.1. Dãy dừng là dãy ngẫu nhiên có phân phối xác suất không thay đổi theo thời gian. Nếu dãy N() t là dừng và có FN( t0 ),  N ( tL )( n ( t 0 ),  n ( t L )) biểu diễn hàm phân phối của N() t tại thời điểm t0 , t1, , tL thì ta có : FN(),()0 t0  N tLL((), n t  n ()) t L F N (),()0 t 0     N t  ((), n t    n ()) t L , với LZ, . Trong xử lý tín hiệu, tín hiệu dừng được coi như dạng yếu của dãy dừng (xem [1]). Ta có định nghĩa tín hiệu dừng như sau: Định nghĩa 1.2. Tín hiệu dừng là tín hiệu ngẫu nhiên có moment bậc 1 và 2 không thay đổi theo thời gian. Nếu tín hiệu S() n là tín hiệu dừng thì E[ S ( n )] ms ( n ) m s ( n  ), với  Z .
26 ESnSn[()()]1 2 Rnns (,) 1 2 Rn s ( 1  , n 2  ) Rnn s ( 1 2 ,0), với  Z . Bài toán xác định ma trận trọng số tối ưu cho tổ hợp thích nghi tuyến tính trong [45] yêu cầu X n và d n là tín hiệu dừng theo định nghĩa 1.2 và tìm W * sao cho ()n đạt cực tiểu. Nếu mỗi khi moment bậc 1 và moment bậc 2 của chúng chuyển thành giá trị cố định khác, ta phải tìm lại ma trận trọng số tối ưu W * khác, sao cho tại đó ()n lại đạt cực tiểu. Sau khi tính được W * , nếu các thông số của X n không thay đổi thì W * cũng không thay đổi. Các kết quả đạt được trong [45] được trình bày như sau : Các kết quả ban đầu được N. Wiener đưa ra trong [45]. Tuy chưa giải quyết hoàn toàn được yêu đầu đặt ra nhưng đã là cơ sở quan trọng để những tác giả sau đó phát triển đúng hướng. Lời giải như sau: Nếu hàm để cực tiểu hóa được chọn là  E[ 2 ( n )], thì  Edn 2() WEXnXnTTT ()() W 2()() EdnXn  W . Ma trận trọng số W * được tính như sau: WRP* 1 , (1.8) trong đó W * là ma trận trọng số tối ưu, tại đó  đạt giá trị cực tiểu, R E[] X n XT n , (1.9) và P E[ d ( n ) X ( n )]. (1.10) Với giả thiết X n và d n là tín hiệu dừng như trên, các phần tử của R và P đều là hằng số.
27 Tuy nhiên, lời giải trên của N. Wiener chưa giải quyết được trường hợp sau: Mỗi khi các thông số thống kê của của tín hiệuX n hoặc tín hiệu huấn luyện d n thay đổi, dẫn đến các phần tử của ma trận R và P thay đổi, chuyển thành các hằng số khác. Do vậy, một cách tự động W * phải được tính lại theo các công thức (1.9), (1.10) và (1.8) (xem [32], [35], [36], [44]). Nhưng trong thực tế, ta chỉ có được X n bằng cách đo tín hiệu đầu vào dưới dạng số thực tại những thời điểm n chứ không xác định được tín hiệu X n dưới dạng hàm số nào đó. Do vậy không thể biết được khi nào R thay đổi để tính lại W * . Vậy lời giải Wiener trong công thức (1.8) chưa đủ để thực hiện bộ lọc thích nghi. 1.2.3. Thuật toán thích nghi của B. Widrow. Để giải quyết vấn đề nêu trên, B. Widrow đã đề xuất thay đổi cách tiếp cận, chuyển từ tính trực tiếp W * thành tìm kiếm ngẫu nhiên W * bằng phương pháp lặp [44]. Khi đó bài toán được mô tả tương đương: Cho công thức lặp tính ma trận trọng số tối ưu như sau : W n 1 W ( n ) W ( n ), trong đó W n 1 : Ma trận trọng số tại thời điểm n 1 . W() n : Ma trận trọng số tại thời điểm n , W() n : Tham số hiệu chỉnh tại thời điểm n . Bài toán đặt ra là : Tìm Biểu thức tính W() n sao cho mỗi khi W n 1 đạt đến W * , thì tham sô hiệu chỉnh W( n ) 0 và không thay đổi nếu tính chất
28 dừng của X n và d() n cũng không thay đổi. Nếu tính chất dừng thay đổi, W( n ) 0 để bắt đầu lại các bước lặp tìm ma trận tối ưu khác. Xác định điều kiện để W n 1 có khả năng hội tụ đến W * . Các kết quả đạt được trong [44] được trình bày như sau: Tham số hiệu chỉnh W() n được B. Widrow và học trò của ông là T. Hoff đề xuất cho thuật toán LMS : W( n ) 2 ( n ) X ( n ) , trong đó  : Kích thước bước, quyết định tốc độ hội tụ và độ ổn định của thuật toán. Dải ổn định của thuật toán được xác định trong công thức sau 1 0  L . (1.11) x2() n i i 0 Thuật toán LMS có ưu điểm nổi bật về tính đơn giản trong tính toán vì W() n được tính chỉ từ đầu vào X n và đầu ra  n của tổ hợp tuyến tính (Hình 1.4). Từ các kết quả trên, thuật toán LMS được tóm tắt như sau : Nạp tín hiệu huấn luyện d . Gán n L 1. Gán giá trị khởi tạo cho các phần tử của W() n . Chọn  để thuật toán ổn định. Lặp o GánXn( ) :  xnxn ( ) 1 xn 2 xnL T . o Tính ():()()()n d n X nT W n .
29 o Tính W( n 1) W ( n ) 2 ( n ) X ( n ). o n: n 1 o Cho đến khi hết dãy tín hiệu thì dừng lại. Với việc chuyển thành bài toán tìm kiếm ngẫu nhiên như trên, thuật toán LMS có khả năng tìm được W * đối với lớp bài toán X n không phải là tín hiệu dừng, khi đó  không còn dạng bậc 2, là trường hợp không áp dụng được lời giải Wiener. Tuy nhiên điều kiện ổn định trong công thức (1.11) chưa chính xác khi sử dụng thuật toán LMS trong các mô hình được phát triển từ tổ hợp thích nghi tuyến tính như bộ lọc nhiễu Adaptive FIR, đặc biệt là Adaptive IIR. Cần phải xác định thêm điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của thuật toán LMS. Đây cũng là vấn đề được giải quyết trong chương II. 1.3. Biến đổi sóng nhỏ với bài toán xác định điểm đột biến. 1.3.1. Tính đạo hàm bậc 1 và 2 thông qua biến đổi sóng nhỏ đa thang. Hàm  x được gọi là sóng nhỏ nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:  x dx 0, (1.12) và ( (x ))2 dx 1. Ta có định nghĩa phép biến đổi sóng nhỏ đối với f()() x L2 R như sau : 1 x  F ,() s f x  dx , (1.13) s s trong đó:
30 F , s : Ký hiệu phép biến đổi sóng nhỏ đối với f()() x L2 R tại tham số trượt  và tham số thang s . Sóng nhỏ s()x là kết quả của phép dãn tại thang s đối với sóng nhỏ  x , nghĩa là : 1 x  x  . (1.14) s s s Sóng nhỏ  x được gọi là có n moment triệt tiêu nếu và chỉ nếu với mọi số nguyên dương k n thoả mãn xk ( x ) dx 0. (1.15) Theo [4], [6], [11], [23], [24], [25] biến đổi sóng nhỏ tại thang s đối 2 với hàm f()() x L R bằng s()x có thể được thực hiện qua phép tích chập: Wf(,)*() s x fs x , (1.16) trong đó Wf(,) s x : Ký hiệu phép biến đổi sóng nhỏ thông qua phép tích chập đối với hàm f x tại thangs . Qua công thức 1.16, ta thấy rằng Wf(,) s x là hàm của thang s và vị trí không gian x . s()x : Sóng nhỏ  x được dãn tại thang s (công thức 1.14). Dấu * là ký hiệu của phép tích chập, được định nghĩa trong công thức sau: f*()()() x f   x  d  s s . (1.17) S. Mallat đã đề cập đến trong [14], tại một số trường hợp, có thể hoán vị giữa toán tử tính đạo hàm và toán tử tính tích chập. Tính chất này cho phép
31 tính trực tiếp đạo hàm bậc n bất kỳ chỉ qua một phép biến đổi sóng nhỏ và có thể sử dụng các thang s khác nhau. Do vậy, cho phép chọn được thang s sao cho phù hợp nhất với từng bài toán có yêu cầu riêng về tính đạo hàm. Tính chất giao hoán giữa toán tử tính đạo hàm với toán tử tính tích chập được mô tả như sau: Nếu hàm f() x và ()x khả vi thì d d f*()*() x f  x . dx dx Để tính đạo hàm bậc 1 và 2, ta đưa vào hai hàm số 1()x và 2()x được định nghĩa như sau: d() x 1()x , (1.18) dx d2() x và 2()x , (1.19) dx 2 trong đó  x là hàm khả vi và suy giảm nhanh. S.Mallat và W. L. Hwang đề x2 1 nghị chọn ()x e 2 , hàm  x được gọi là sóng nhỏ cơ sở Gaussian 2 [43], và được chúng tôi sử dụng để giải quyết bài toán xác định toạ độ điểm đột biến trong chương 3 của luận án. 1 2 1 2 s ()x và s ()x tương ứng  ()x và  ()x được dãn tại thang s theo công thức sau : 11 1 x  x  , s s s 1 x 2()s  2 , s s s 1 2 s ()x và s ()x được gọi là sóng nhỏ Gauss1 và Gauss2, là 2 sóng nhỏ đã được sử dụng nhiều trong các ứng dụng dò biên của xử lý ảnh. Qua công
32 1 2 thức (1.15) ta thấy rằng s ()x có moment triệt tiêu bậc 1, s ()x có moment triệt tiêu bậc 2. Sử dụng các công thức (1.14), (1.16), (1.17), (1.18) và (1.19) để thực 1 hiện biến đổi sóng nhỏ tại thang s đối với f x bằng s x ta có d x 1 1 s W f s, x fs x f s dx d s f*  x , (1.20) dx s trong đó W1 f s, x : Biến đổi Sóng nhỏ đối với f x tại thang s , sử dụng sóng nhỏ Gauss1. 1 s ()x : Sóng nhỏ Gauss1. 1 x  x  : Sóng nhỏ cơ sở Gauss được dãn ở thang s . s s s f()*() xs x : Được coi là phép làm trơn f() x bằng s()x . Tương tự, thực hiện biến đổi sóng tại thang s đối với f x bằng 2 s x ta có 2 ds x W2 f s, x f 2 x f s 2 s 2 dx d2 s2 f*  x (1.21) dx 2 s Công thức (1.20) và (1.21) có ý nghĩa rằng: Thực hiện biến đổi sóng nhỏ đối với f x bởi các hàm sóng nhỏ có moment triệt tiêu bậc 1 và 2 tại
33 thang s sẽ tương đương với việc tính đạo hàm bậc 1 và 2 của hàm f x đã được làm trơn bằng s x . 1.3.2. Tìm điểm đột biến nhọn. Để tìm toạ độ của điểm đột biến, hướng tiếp cận sử dụng các toán tử tính xấp xỉ hàm đã tỏ rõ ưu điểm về độ chính xác cao và độ phức tạp tính toán thấp. Nếu các đột biến đồng nhất về dạng, ta có thể sử dụng các toán tử giả đạo hàm như Canny, Sobel, Robert để tính đạo hàm bậc 1 và 2. Tuy nhiên, trong trường hợp, khi phải tìm toạ độ của 1 loại đột biến nằm xen lẫn với nhiều dạng đột biến khác. Khi đó không thể sử dụng các kỹ thuật trên. Bài toán này dẫn đến việc tìm kỹ thuật mà cho phép chỉ xác định toạ độ của đột biến mang thông tin mà ta quan tâm, đồng thời bỏ qua các đột biến không cần thiết. Để giải quyết vấn đề này, từ năm 1992, S. Mallat đã đề xuất sử dụng công thức 1.20 và 1.21 làm cơ sở cho toán tử giả đạo hàm sử dụng biến đổi sóng nhỏ đa thang. Điều này cho phép loại bỏ các đột biến không mang thông tin cần tìm nếu chọn được thang phù hợp. Tiếp tục nghiên cứu theo hướng này, năm 1994, CuiWei Li trong [21] đã công bố các kết quả đạt được trong việc chọn thang cho một số dạng đột biến đặc trưng, trong đó có dạng mà chúng tôi gặp phải khi giải quyết bài toán dò tần số của nhiễu tại chương 3 trong luận án này. Các kết quả trên được tóm tắt như sau: Định nghĩa 1.3. Cho hàm số f() x xác định trên [,]a b . Hàm 1 g( x ) W f 2, x xác định trên [,]a b . Đoạn [,]a1 b 1 thoả mãn a a1 b 1 b . Điểm x0 [,] a 1 b 1 được gọi là toạ độ đỉnh của đột biến nhọn trên f() x , tồn tại trong đoạn [,]a1 b 1 nếu với bất kỳ t [0,1] ta có: gta(1 (1 tx )) 0 tga ()(1 1 tgx )() 0
34 gtx(0 (1 tb )) 1 tgx ()(1 0 tgb )() 1 g( x0 ) 0 Trong [14] và [23], S. Mallat đã chỉ ra rằng : Nếu f() x có đột biến nhọn tại x0 , phép làm trơn f() x sử dụng tích chập f()*() xs x sẽ bảo tồn tính đột biến của f() x tại x0 . Do vậy việc xác định toạ độ điểm đột biến nhọn trên f() x sẽ tương đương với việc dò điểm đột biến trên kết quả của phép tích chập giữa f() x và s()x . Qua công thức (1.20) và (1.21), ta thấy rằng đối với thang s cố định, W1 f s, x và W2 f s, x tương ứng là toán tử giả đạo hàm 1 bậc 1 và 2 đối với f()*() xs x . Do vậy W f s, x sẽ đi qua không và đổi dấu tại x 0 . Dò tìm các điểm qua không giữa cặp cực đại dương và cực tiểu âm liên tiếp trên W1 f s, x là các thủ tục dò tìm toạ độ điểm đột biến nhọn trên f() x . Bộ ba cực đại dương, cực tiểu âm, cực đại dương của W2 f s, x được sử dụng để kiểm chứng độ chính xác của kết quả dò tìm. Ngay sau đó 2 năm, CuiWei Li đã công bố trong [21] kết quả đạt được về chọn thang s cho bài toán tìm toạ độ các đột biến có dạng đỉnh nhọn, là dạng đột biến tương đồng với đột biến trong bài toán của chúng tôi. Các kết quả trên đã cho chúng tôi những kỹ thuật cần thiết để giải quyết bài toán lọc nhiễu từ mạng điện. Trong đó phần khó khăn nhất là yêu cầu độ chính xác cao khi xác định tần số của nhiễu, tránh bị nhầm với tần số của thông tin khác nằm lân cận đó. Với đặc điểm đơn tần của nhiễu, chỉ tập trung tại 1 tần số nên có thể biểu diễn nhiễu như là điểm đột biến mà vị trí của điểm đột biến này có thể được xác định chính xác qua phép biến đổi sóng nhỏ với thang s được chọn phù hợp.
35 KẾT LUẬN Trong chương này, bộ lọc nhiễu thích nghi sử dụng thuật toán LMS đối với bài toán lọc nhiễu tín hiệu y sinh đã được mô tả cùng với các công cụ toán học sử dụng trong các chương sau. Việc xây dựng cơ sở toán học cho các bài toán lọc nhiễu sẽ được giải quyết trong chương 2 của luận án . Chương 3 giới thiệu một tiếp cận khác cho phép giải quyết bài toán lọc nhiễu với dữ liệu đầu vào không dừng.
36 Chương 2 Lọc nhiễu bằng các phương pháp thích nghi dựa trên thuật toán LMS và khả năng tăng hiệu quả bằng một giải pháp thay đổi kích thước bước. Chương này trình bày mô hình toán của bộ lọc nhiễu thích nghi và đề xuất phương pháp nâng cao hiệu năng của bộ lọc nhiễu thích nghi trên cơ sở điều chỉnh kích thước bước thích nghi cho thuật toán LMS. Toàn chương được chia làm ba phần chính. Phần 1 trình bày mô hình toán của bộ lọc nhiễu thích nghi. Phần 2 mô tả phần mềm nhúng trong bộ lọc thích nghi xử lý nhiễu điện áp trên tín hiệu điện tim và điện não. Phần 3 trình bày thuật toán LMS với kích thước bước thích nghi thay đổi và so sánh với trường hợp thuật toán LMS với kích thước bước thích nghi cố định. Các kết quả của chương này được lấy trong các bài báo [1-5] và [7] trong Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án. 2.1. Cơ sở toán học của phương pháp thích nghi dựa trên thuật toán LMS trong lọc nhiễu. 2.1.1. Phát biểu bài toán Mô hình lọc nhiễu cộng tính trong tín hiệu y sinh (xem [3],[7],[8],[17], [18], [20], [29] và [34]) được mô tả trong hình 2.1. Trong mô hình này ECG n là dãy tín hiệu y sinh bị nhiễu tại đầu vào và đã rời rạc hoá. S n là dãy tín hiệu y sinh sạch và N n là dãy tín hiệu nhiễu. W() n wk (), n k 1, , L là dãy trọng số,
37 NRR( n ) N n , k , k 1, , L  là dãy tín hiệu tham chiếu giúp tạo thành tổ hợp tuyến tính bậc L . Trong bài toán này, NR() n tương đương X() n của công thức 1.7. L  N()(), n  wl n N R n l . (2.1) l 1 N() n tương đương y() n trong công thức (1.5). + ECG n S n N n  - S()() n S n N n N n w n + R 1  + Z-1 + w2 n . . . Thuật toán LMS Z-1 wL n Hình 2.1: Mô hình thích nghi của bộ lọc nhiễu. Ký hiệu: S() n tương đương ()n trong bài toán xác định W * , trong mô hình lọc nhiễu này S()()()() n S n N n N n , (2.2) mục tiêu đặt ra là có được dãy W n  và dãy NR n để
38  2 limE N n N n 0 , (2.3) n từ dãy W n và dãy NR n thoả mãn điều kiện 2 limE S n 0 (2.4) n của thuật toán LMS đối với tín hiệu cộng tính S n N n . 2.1.2. Cơ sở toán học của mô hình lọc nhiễu Định lý: Giả sử dãy W n  và NR n  thoả mãn điều kiện (2.4). Khi ấy điều kiện cần và đủ để chúng thoả mãn điều kiện (2.3) là limE S ( n ) N ( n ) N ( n ) 0. (2.5) n Chứng minh: Điều kiện cần: Từ bất đẳng thức   ESnNn ()()()()()() Nn ESnNn Nn 2  2 E S()()() n E N n N n , suy ra rằng nếu  2  limE N n N n 0 thì limE S n N n N n 0 đối n n với dãy tín hiệu S n có E S2 n giới nội.  Để áp dụng kết luận này cho việc chứng minh từ (2.3)-(2.4) suy ra (2.5), để ý rằng 2 2 ESn  () ESn 2 ()2 ESnNn ()() Nn () ENn () Nn () (2.6)
39 và điều kiện (2.4) là trường hợp riêng của dãy tín hiệu có moment bậc II giới nội nên S n cũng là dãy có moment giới nội. Áp dụng kết luận trên cho S n và (2.3) suy ra (2.5) đúng và điều kiện cần được chứng minh. Điều kiện đủ: Giả sử W n và NR n thoả mãn điều kiện (2.4) và (2.5). Khi đó (2.6) kéo theo (2.3) dựa trên bất đẳng thức  2  2  limENnNn lim Sn 2 lim ESnNnNn  n n n 0 và do đó điều kiện đủ được chứng minh 2.1.3. Đánh giá sai số trung bình bình phương. Kết quả lọc được đánh giá bằng sai số trung bình bình phương sau Q bước Q 1 2 MSE  S()() n S n . (2.7) Q n 1 Ở đây S n là giá trị của tín hiệu y sinh sạch thứ n  S n là tín hiệu y sinh sau lọc thứ n . Tốc độ hội tụ của thuật toán được phản ánh qua tốc độ hội tụ về xấp xỉ 0 của MSE. Độ ổn định của thuật toán được phản ánh thông qua sự thay đổi của MSE sau khi thuật toán đã hội tụ (xem [22], [39]). 2.1.4. Tín hiệu tham chiếu Widrow NR n trong thuật toán lọc LMS. Dãy tín hiệu tham chiếu NR n được chọn từ bộ lọc triệt tần thích nghi mô tả trong hình dưới đây.
40 Đầu ra của bộ lọc triệt tần thích nghi Đầu vào S()() n N n + chính  - ()n y() n w1() n x1() n Đầu vào tham + w2() n +  chiếu Dịch x2() n pha 900 Thuật toán LMS Hình 2.2:Bộ lọc triệt tần thích nghi. Tín hiệu tham chiếu được xác định là thuần cos ([13], [44]), với L 2 sẽ là NR n,1 x1 n C cos n 0 , (2.8) NR n,2 x2 n C sin n 0 , (2.9) trong đó 0 là tần số của nhiễu N() n , n Z . Dễ thấy rằng x2 n là tín hiệu 0 x1 n được làm trễ pha 90 . Trong [44], B. Widrow đã chỉ ra rằng : Mô hình lọc được mô tả qua hình 2.2 sẽ tương đương với bộ lọc triệt tất cả tín hiệu đầu vào có tần số 0 mỗi khi thuật toán LMS trong mô hình đó hội tụ. Tần số 0 chính là tần số của nhiễu, khi đó tín hiệu nhiễu sẽ được khử tại đầu ra. Khi tần số 0 của nhiễu thay đổi một cách ngẫu nhiên, 2 trọng số w1 và w2 được chỉnh dần sao cho sau khi thuật toán tái hội tụ, bộ lọc với cấu trúc mới lại tiếp tục triệt các tín hiệu có tần số trùng với tần số mới của nhiễu. Ngoài ưu điểm tự điều chỉnh, thích nghi với sự thay đổi của nhiễu, bộ lọc triệt tần thích nghi được đánh giá cao nhờ có khả năng giảm nhỏ sự suy giảm, ảnh hưởng đến các tín hiệu hữu ích có tần số lân cận 0 . Các tần số nằm trong phạm vi ảnh hưởng
41 2 2 được xác định nằm trong dải [,]0 CC  0  , trong đó  là kích thước bước của thuật toán LMS (xem công thức 1.11), C là biên độ của nhiễu tại đầu vào tham chiếu (xem công thức 2.8 và 2.9). Do vậy, nếu ta chọn  nhỏ, thuật toán LMS chắc chắn sẽ hội tụ, nhiễu sẽ bị khử tại đầu ra. Đồng thời các tín hiệu hữu ích ít bị ảnh hưởng suy giảm, nhưng sẽ cần nhiều thời gian cho thuật toán LMS hội tụ. 2.1.5. Dãy trọng số lọc W() n  trong thuật toán LMS Dãy trọng số lọc W n sử dụng trong lọc tín hiệu S n N n được Widrow (xem [44]) và các tác giả khác (xem [2], [3], [10], [17]) đưa ra dưới dạng phương trình sai phân W n 1 W ( n ) 2 ( n ) NR n k , k 1, , L , (2.10) trong đó  là kích thước bước. Dãy W n  hội tụ khi kích thước bước 1 thoả mãn điều kiện trong công thức (1.11) hoặc 0  . Ở đây max là max   T giá trị riêng lớn nhất của ma trận tự tương quan E[()()] NRR n N n tại đầu vào tham chiếu. Hoặc thoả mãn điều kiện trong công thức (1.11). Trong mô hình bộ lọc triệt tần với dãy tín hiệu tham chiếu ˆ x1 n , x 2 n , tín hiệu ra S n sẽ được ký hiệu thay thế bởi  n . Bộ trọng số lọc w1 n , w 2 n được xác định bởi hệ phương trình sai phân w1 n 1 w 1 n 2 n x 1 n , (2.11) w2 n 1 w 2 n 2 n x 2 n . (2.12) Trong trường hợp nhiễu từ đường tải điện ảnh hưởng lên tín hiệu y sinh, tín hiệu tham chiếu được chọn ở dạng các hàm số sin và cos (xem công thức (2.8)-(2.9):
42 2 n x n Ccos n C cos2 f n C cos (2.13) 1 0 0 N 2 n x n Csin n C sin 2 f n C sin (2.14) 2 0 0 N Ở đây N là số lượng mẫu trong một chu kỳ của tín hiệu tham chiếu của các hàm số sin và cos với các phần tử của ma trận tự tương quan . N 21 2 2 k 2 k 1 2 E x2( n ) C sin sin C , (2.15) NNNk 1 2 N 21 2 2 k 2 k 1 2 E x1 ( n ) C cos cos C , (2.16) NNNk 1 2 1N 2 n 2 n 2 . E x1 n x 2 n C  cos sin 0 (2.17) NNNn 1 Theo (1.9) ta có 1 2 x2 n x n x n C 0 1 1 2 2 RE , (2.18) x n x n x2 n 1 2 1 2 0 C 2 2 với các giá trị riêng (xem [44]) là nghiệm của phương trình det RI  0 , (2.19) trong đó I là ma trận đơn vị. Do vậy ta có: CC2 2  ,  (2.20) 02 1 2 1 Thay các giá trị riêng vừa tìm được vào 0  (xem [44]) ta có max thể xác định điều kiện để dãy W n  hội tụ là : 2 0  (2.21) C 2
43 2.2. Phương pháp thích nghi lọc nhiễu điện áp cho các tín hiệu y sinh Các mô tả toán học ở phần đảm bảo toán học cho phép áp dụng mô hình lọc nhiễu cho các tín hiệu y sinh có biên độ nhỏ để xây dựng các phần mềm nhúng trong lọc nhiễu điện áp đối với các tín hiệu y sinh. Chẳng hạn sóng điện tim có biên độ có biên độ nhỏ, đỉnh lớn nhất cũng chỉ cỡ 1.5 2mV (xem[37]). Các phần mềm nhúng được viết trên Matlab và có thể mô tả tóm lược như sau. Phần mềm nhúng được xây dựng dựa trên mô hình bộ lọc triệt tần thích nghi để thực hiện lọc nhiễu N n ra khỏi dãy tín hiệu y sinh thu nhận được S()() n N n . Việc lọc nhiễu thực hiện bằng cách ước lượng N n thông L   2 qua tính N()(), n wk n N R n k sao cho limE N ( n ) N ( n ) 0.  n k 1 Thuật toán lọc được thực hiện thông qua các hàm, do vậy có thể dễ dàng thay đổi giá trị của kích thước bước cho phù hợp với yêu cầu của người sử dụng về tốc độ hội tụ, độ ổn định. Hiện nay chúng tôi gợi ý chọn giá trị kích thước bước  0.05 trong trường hợp môi trường nhiễu thay đổi chậm và yêu cầu cao về chất lượng tín hiệu sau lọc cũng như độ ổn định. Khi môi trường nhiễu luôn thay đổi kích thước bước  0.5 tỏ ra phù hợp nhất, thuật toán có khả năng hội tụ rất nhanh. Nhưng độ ổn định và chất lượng tín hiệu sau lọc không tốt bằng trường hợp  0.05. Trường hợp kích thước bước thay đổi dành cho nhiễu phát sinh từ nguồn điện của máy phát với tần số của nhiễu có dải thay đổi rộng và tốc độ thay đổi lớn. Với ưu điểm thuật toán đơn giản, phần mềm nhúng lọc nhiễu cho tín hiệu y sinh có thể được sử dụng cho cả mục đích đào tạo.
44 Kết quả thử nghiệm hoạt động của các phần mềm nhúng cho phép tìm ra các tham số phù hợp và được minh hoạ trong các thực nghiệm trình bày ở mục tiếp sau. 2.2.1. Kết quả lọc nhiễu đối với tín hiệu điện tim 2.2.1.1.Trường hợp 1: Kích thước bước thích nghi được chọn cố định  0.05 Như ta thấy trên hình 2.3 (a), trong trường hợp  0.05, thuật toán hội tụ chậm nhưng có độ ổn định tốt, phản ánh qua các dao động của MSE. MSE trong trường hợp  0.05 MSE trong trường hợp  0.5  trường hợp  0.05 E S()()() n N n N n  trường hợp  0.5 E S()()() n N n N n Hình 2.3: MSE trong trường hợp 0.05 và  0.5.  Kết quả của phép tính E S()()() n N n N n tương ứng với  0.05 được phản ánh trong hình 2.3(b), qua đó ta thấy rằng điều kiện cần và đủ trong công thức (2.5) là limE S ( n ) N ( n ) N ( n ) 0 được thoả mãn. n
45 Tốc độ hội tụ và độ ổn định cũng được thấy rõ qua lượng nhiễu còn lại nhiều trong tín hiệu sau lọc trên hình 2.4. Tại các pha sau đó (Hình 2.5, 2.6 và 2.7) lượng nhiễu còn lại trong tín hiệu sau lọc giảm nhanh chóng và sự ổn định của thuật toán phản ánh qua độ mấp mô của MSE và tín hiệu sau lọc thể hiện trong các hình trên. Có thể nhận thấy tốc độ hội tụ của thuật toán trên hình 2.4 và hình 2.5 có sự giảm dần đều đối với lượng nhiễu còn lại trong tín hiệu sau lọc. Điều này hoàn toàn phù hợp với kết quả rút ra từ hình 2.3. Bắt đầu lọc Tại đây, nhiễu đã giảm nhiễu Hình 2.4: So sánh S() n với  n trong đoạn n 1  465. Nếu so sánh tín hiệu điện tim sạch (hình giữa) và tín hiệu điện tim thu được bị nhiễm nhiễu (hình dưới cùng). Ta có thể thấy rằng tại đầu thu được của tín hiệu điện tim, nhiễu đã làm mất đi các thông tin vốn hữu ích cho việc chẩn đoán tại các đỉnh sóng P, Q, S và T. Trong pha tiếp theo của hình 2.6, ta thấy trong tín hiệu sau lọc, lượng nhiễu còn lại rất nhỏ và ta có thể nhận ra hình dạng của các đỉnh sóng P, Q, S, T.
46 Hình 2.5: So sánh S() n với  n trong đoạn n 466  930. Hình 2.6: So sánh S() n với  n trong đoạn n 931  1395
47 Hình 2.7: So sánh S() n với  n trong đoạn n 1396  1860. Trong hình 2.7 tiếp theo, qua so sánh tín hiệu điện tim sau lọc với tín hiệu điện tim sạch tương ứng (hình giữa) có thể thấy rằng tín hiệu điện tim sau lọc giống hệt tín hiệu điện tim sạch tương ứng. Điều này hoàn toàn phù hợp với đường biểu diễn các giá trị của sai số trung bình bình phương trong hình 2.3, khi các giá trị MSE tiến rất gần 0 sau 1800 vòng lặp. Ta có thể nói rằng tín hiệu sau lọc ()n tiến đến xấp xỉ tín hiệu điện tim sạch S n sau một số hữu hạn các vòng lặp. Có thể thấy việc chọn kích thước bước cố định  0.05 cho ta tín hiệu sau lọc có chất lượng rất cao, nhưng số bước lặp để thuật toán hội tụ cũng tăng theo. Điều này khiến yêu cầu giảm thời gian hội tụ cho thuật toán không đạt được. 2.2.1.2. Trường hợp 2: Kích thước bước thích nghi đươc chọn cố định  0.5 Trên hình 2.3(a), trường hợp  0.5 MSE cho ta thấy thuật toán có tốc độ hội tụ rất nhanh. Điều này được phản ánh qua tốc độ giảm về không
48 của MSE nhưng có độ ổn định không tốt, phản ánh qua trạng thái dao động của MSE sau vòng lặp thứ 180 và lượng nhiễu còn lại trong tín hiệu sau lọc trên các hình từ 2.8 đến 2.11. Đồng thời, qua hình 2.3(c) ta cũng thấy rằng điều kiện trong công thức (2.5) không được thoả mãn khi limE S ( n ) N ( n ) N ( n ) 0. Điều này cho phép giải thích lý do của n tình trạng không ổn định của thuật toán LMS dùng kích thước bước lớn cho các ứng dụng lọc nhiễu. Trong trường hợp 1, khi kích thước bước thích nghi được chọn cố định  0.05, sau khi hội tụ, nếu nhiễu không thay đổi thì kết quả lọc rất ổn định. Trong trường hợp 2,  0.5, sau khi hội tụ, thuật toán vẫn không ổn định. Điều này cũng được phản ánh qua quan sát thấy lượng nhiễu còn lại trong tín hiệu sau lọc qua việc so sánh tín hiệu điện tim sau lọc (đường trên cùng) với tín hiệu điện tim sạch tương ứng (đường giữa). Bắt đầu Tại đây, nhiễu đã giảm đáng kể lọc Hình 2.8: Với 0.5, S() n và  n , trong đoạn n 1  465.
49 Hình 2.9: Với  0.5, S() n và  n , trong đoạn n 466  930. Hình 2.10: Với  0.5, S() n và  n , trong đoạn n 931  1395.
50 Hình 2.11: Với 0.5, S() n và  n , trong đoạn n 1396  1860. 2.2.2. Kết quả lọc nhiễu đối với tín hiệu điện não 2.2.2.1.Trường hợp 1: Kích thước bước thích nghi được chọn cố định  0.05. Trong trường hợp 0.05 trên hình 2.12(a) cho thấy thuật toán hội tụ chậm (sau khoảng 2000 vòng lặp). Tính ổn định không cao, được phản ánh qua các dao động của MSE. Để tránh bị che lấp bởi đường cong mô tả MSE trong trường hợp  0.5, ta có thể quan sát hình 2.13 với MSE trong hai trường hợp được biểu diễn tách rời trên cùng trên một hàng ngang. Với hình 2.13 ta thấy rằng trong trường hợp  0.5, MSE có độ dao động bất thường cao hơn trong trường hợp  0.05. Điều này cũng được thể hiện qua lượng nhiễu còn lại giảm dần trong tín hiệu sau lọc trên hình 2.14. Tại pha sau đó (Hình 2.15) lượng nhiễu vẫn tiếp tục giảm và khi ta so sánh tín hiệu điện não sau lọc (Hình trên đỉnh) với tín hiệu điện não sạch (hình giữa) trong các pha sau tại hình 2.16 và 2.17 có
51 thể thấy lượng nhiễu còn lại trong tín hiệu sau lọc là khá lớn, tín hiệu sau lọc ()n chưa ổn định quanh tín hiệu điện não (EEG) sạch S n . MSE trong trường hợp  0.05 MSE trong trường hợp  0.5 E S()()() n N n N n trường hợp  0.05  trường hợp  0.5 E S()()() n N n N n  Hình 2.12: E S()()() n N n N n trong trường hợp 0.05 và  0.5. Thuật toán LMS hội tụ nhưng chưa ổn định không những được phản ánh qua độ mấp mô của MSE và tín hiệu sau lọc trong các hình 2.12(a) mà còn được đánh giá qua điều kiện cần và đủ trong công thức (2.5). Qua hình  2.12(b) và 2.12(c), ta thấy rằng E S()()() n N n N n đều không tiến đến 0 khi n , do đó không thoả mãn điều kiện cần và đủ được đề xuất tại công thức 2.5 trong chương 2. Trên hình 2.14, ta thấy tín hiệu điện não sau lọc tiếp tục tiến gần đến tín hiệu điện não sạch nhiễu. Tại hình 2.16 và hình 2.17, ta thấy tín hiệu điện não sau lọc đã tiến gần đến tín hiệu điện não sạch, tuy nhiên vẫn tồn tại các điểm mất ổn định.
52 Hình 2.13: MSE trong trường hợp 0.05 và  0.5. Hình 2.14: Với 0.05, EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1  1000.
53 Hình 2.15:EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1001  2000 . Hình 2.16: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 2001  3000 .
54 Hình 2.17: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 3001  4000. Như vậy, trong trường hợp kích thước thích nghi được chọn cố định tại 0.05 lọc nhiễu của đường tải điện khỏi tín hiệu điện não có tốc độ hội tụ chậm và độ ổn định chưa đủ tốt. 2.2.2.2.Trường hợp 2: Kích thước bước thích nghi được chọn cố định  0.5 Khi kích thước bước thích nghi được chọn cố định  0.5, MSE trong hình 2.12 cho thấy tốc độ hội tụ của thuật toán tăng lên rõ rệt. Thuật toán hội tụ sau khoảng 200 vòng lặp. Độ ổn định của thuật toán được phản ánh rõ rệt hơn qua đường cong biểu diễn sai số trung bình bình phương tại hình 2.13 so với trường hợp bộ lọc có kích thước bước cố định  0.05. Một lần nữa ta thấy rằng trong bài toán lọc nhiễu động, khi tăng giá trị của kích thước bước thích nghi, độ ổn định của thuật toán LMS giảm xuống.
55 Hình 2.18: Với  0.5, EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1  1000. Hình 2.19: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1001  2000 .
56 Hình 2.20: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 2001  3000 . Hình 2.21: EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 3001  4000.
57 So sánh tín hiệu điện não sau lọc (trên cùng) với tín hiệu điện não sạch (giữa) trong pha tiếp theo trên hình 2.19 cho thấy tín hiệu sau lọc ()n chưa đạt đến tín hiệu điện não sạch nhiễu S n . Điều này cũng được phản ánh qua sai số trung bình bình phương tại hình 2.12 và hình 2.13. Độ nhấp nhô của MSE tăng lên khi kích thước bước thích nghi tăng từ  0.05 đến  0.5. 2.3. Thuật toán LMS với kích thước bước thay đổi Các kết quả thực nghiệm trình bày ở mục trên cho thấy một phân lớp sơ bộ đối với kích thước bước trong sử dụng thuật toán LMS và gợi ý về các mô hình “trộn” (xem [29]), sử dụng các lớp khác nhau của kích thước bước để khai thác tốt ưu điểm của từng lớp. Tuy nhiên đề xuất trong [29] mới giải quyết được trường hợp tín hiệu điện não với giả thiết mạnh về giá trị trọng số khởi tạo. Đây là kết quả quan trọng nhưng không áp dụng trực tiếp được cho trường hợp lọc nhiễu điện tim do bản chất khác nhau khá xa của hai lớp tín hiệu này. Phân bố về độ lớn của gradient đã cung cấp ý tưởng và là cơ sở cho đề xuất của luận án về cách thay đổi giá trị kích thước bước thích nghi để tạo ra mô hình “trộn” áp dụng cho nhiều lớp lọc nhiễu khác nhau trong lọc nhiễu tín hiệu của điện tâm đồ và điện não đồ. Phần này giới thiệu cơ sở toán học của phương pháp và các kết quả thực nghiệm trong việc sử dụng cách tính mới để cập nhật kích thước bước thích nghi để lọc nhiễu trong quá trình ghi tín hiệu điện tim và điện não. Các kết quả thực nghiệm minh hoạ và so sánh hiệu năng giữa thuật toán đề xuất với thuật toán LMS với kích thước bước thích nghi cố định. 2.3.1. Sự thay đổi kích thước bước dựa trên giá trị tuyệt đối của Gradient Để tăng tốc độ hội tụ của thuật toán LMS, Daniel Olguín Olguín trong [29] đề xuất việc thay đổi kích thước bước thích nghi theo công thức:
58  n 1  n 2 n , (2.22) trong đó : Yếu tố quên, có giá trị nằm trong dải: 0 1, thường được chọn 0.98  : Tham số kích thước bước thích nghi của  , thường được chọn thoả mãn điều kiện  0 Đề xuất trên xuất phát từ bài toán lọc nhiễu cho tín hiệu điện não đồ (EEG) với đóng góp chính thể hiện ở công thức (2.22), đó là phương pháp thay đổi kích thước bước thích nghi. Tuy nhiên (2.22) chỉ phù hợp đối với bài toán lọc nhiễu cho tín hiệu điện não đồ do đặc tính biến đổi đều của lớp tín hiệu này với giá trị biên của tín hiệu nằm trong khoảng 0.15 max 0.15 (xem [5], [29]). Độ rộng khe triệt của bộ lọc triệt tần phản ánh mức độ suy giảm đến các tín hiệu có tần số lân cận tần số triệt tại 0 (xem [44]). Độ rộng khe triệt được tính như sau: BW 2 C 2 , Trong đó: BW : Độ rộng khe triệt. : Kích thước bước thích nghi. C : Biên độ của tín hiệu nhiễu tham chiếu (xem công thức 2.8 và 2.9). Do vậy khi thuật toán hội tụ  có thể nhận giá trị đủ nhỏ để độ rộng khe triệt đủ hẹp. Trong tín hiệu điện tâm đồ (hình 1.1), đỉnh R tại mỗi chu kỳ hoạt động có đặc tính biến đổi đột ngột. Do vậy phép tính 2 n trong (2.22) có thể dẫn đến việc không thoả mãn điều kiện ổn định của thuật toán và làm mất các thông tin hữu ích khi độ rộng khe triệt quá lớn. Hơn thế nữa tác giả trong [29] gán giá trị  lớn khi khởi tạo và sử dụng công thức (2.22) để làm
59  giảm dần đến giá trị tốt nhất. Điều này có thể làm cho thuật toán không hội tụ hoặc hội tụ chậm nếu ngẫu nhiên ta chọn điểm khởi tạo của ma trận trọng số gần điểm cực tiểu. Theo [3], [27], [30] nhiễu cũng bị biến đổi trong quá trình lan truyền từ nguồn nhiễu đến đầu thu tham chiếu. Sự sai lệch này được mô hình hoá bằng 1 đại lượng ngãu nhiên có phân phối Gaussian. Và được mô tả trong công thức sau: N n x1 n normrnd meansigma, . Độ lệch chuẩn sigma phản ánh khoảng cách từ điểm cực tiểu đến điểm khởi tạo của ma trận trọng số. Mối quan hệ giữa độ lệch chuẩn với số vòng lặp được mô tả trong bảng 2.1 và trong hình (2.22) và (2.23). Bảng 2.1: Mối quan hệ giữa độ lệch chuẩn và số vòng lặp cần thiết cho thuật toán hội tụ. Số vòng lặp cần thiết để thuật toán hội tụ Độ lệch TT Thay đổi kích thước bước Thay đổi kích thước bước chuẩn dùng công thức 2.20 dùng công thức 2.21 1 0.01 500 450 2 0.005 500 400 3 0.0001 520 370 4 0.00005 520 350 5 0.000001 530 300 Qua đó dễ dàng thấy rằng nếu không thoả mãn giả thiết ngặt nghèo về chọn giá trị trọng số khởi tạo, thuật toán sẽ hội tụ chậm. Không may là trong nhiều thực nghiệm giả thiết này không được thoả mãn. Đề xuất của luận án
60 dựa trên sự khai thác thông tin về sự thay đổi độ lớn của véc tơ gradient trong thuật toán LMS. Hình 2.22: Sự hội tự của thuật toán LMS sử dụng công thức (2.22) cho điều chỉnh  n , với điều kiện toạ độ w1 0 , w 2 0 được chọn phù hợp Hình 2.23: Sự hội tự của thuật toán LMS sử dụng công thức (2.22) cho điều chỉnh  n , khi w1 0 , w 2 0 không phù hợp. Đối với hàm bậc II xác định dương thì Gradient có giá trị lớn khi ở xa điểm cực tiểu, và có giá trị nhỏ khi ở gần điểm cực tiểu (Hình 2.24). Ý tưởng
61 của luận án có thể mô tả trên mặt phẳng w1, w 2 (xem [44]). Tại thời điểm k, kích thước bước thích nghi nên nhận giá trị lớn khi toạ độ w1 n , w 2 n cách xa tọa độ w1, w 2 của điểm cực tiểu của bề mặt hiệu năng bậc II (xem [44]). Ngược lại kích thước bước thích nghi nên nhận giá trị nhỏ khi w1 n , w 2 n gần toạ độ của điểm cực tiểu. Sự lựa chọn kích thước bước thích nghi như vậy sẽ giúp thuật toán lọc thoả mãn các điều kiện về tốc độ hội tụ và độ ổn định của thuật toán. Chúng tôi nhận thấy rằng phân bố độ lớn của Gradient () trên mặt phẳng w1, w 2 có tính chất gần như đáp ứng được ý tưởng trên (xem [38]), và công thức cập nhật bước thích nghi được đề nghị như sau:  n 1 x n  n 1 2 maxx n m m 1, , n N 1  , (2.23) trong đó: N là số mẫu trong 1 chu kỳ của tín hiệu tham chiếu,  : Độ rộng lý tưởng cho dải triệt (Xem [3] [29], [44]) 2 2 max x1 n m m 1, , n N  trả lại giá trị C tại thời điểm n  n : Kích thước bước cho việc điều chỉnh trọng số tại thời điểm n . Chú ý rằng, số hạng thứ nhất của vế phải của (2.23) 1 x()()() n  n  n phản ánh việc phân bố độ lớn của Gradient ( ) 1 2 trên mặt phẳng w1, w 2 , x1() n : Nhiễu thu được ở đầu vào tham chiếu tại thời điểm n , ()n : Đầu ra của bộ lọc nhiễu tại thời điểm n ,
62 Hình 2.24: Gradient của  trên mặt phẳng (,)w1 w 2 . Chúng tôi đã xác định điều kiện hội tụ của bộ lọc triệt tần sử dụng công thức (2.23) và được cho trong bổ đề sau: 1 Bổ đề. Với  các dãy (2.11) và (2.12) với  cho bởi (2.23) sẽ hội tụ. 2 Chứng minh. Từ công thức (2.8), (2.11) và (2.23) ta có 2 ()()()()n S n  wi n x i n , (2.24) i 1 và w1 n 1 w 1 n 2 ( n 1)  n x 1 n ;  2 1 2x1 ( n ) w 1 n Fn , (2.25) C 2 trong đó Fn bị chặn bởi hằng số M độc lập với n
63 Sự hội tụ của công thức trên được phản ánh qua kỳ vọng của v1 n của hệ thống tuyến tính. Xét hệ tuyến tính xấp xỉ v1() n  cho bởi  2 v1 n 1 1 2 x 1 ( n ) v 1 n . (2.26) C 2 Kỳ vọng của v1 n 1 được tính dựa trên (2.16) và được xác định bằng công thức n   E v( n 1) 1 2 E x2 ( l )  E v ; 1  2 1 0 l 1 C  n 1  E v0 (2.27) 1 Giả thiết  đảm bảo sự hội tụ của hệ thống tuyến tính. Chứng minh sự 2 hội tụ của kỳ vọng của dãy (2.11) với  cho bởi (2.23) dựa trên đánh giá (2.27) và ước lượng k 2 E 1 x2 ( l ) F M (1  )k .  2 1 n k l 1 C Chứng minh hội tụ đối với dãy w2 n được thực hiện tương tự. 2.3.2. Thực nghiệm và kết quả Để đánh giá kết quả ta dùng công thức (2.7). Tốc độ hội tụ của thuật toán được phản ánh qua tốc độ hội tụ về giá trị 0 hoặc xấp xỉ 0 của MSE. Độ ổn định của thuật toán được phản ánh thông qua sự thay đổi của MSE sau khi thuật toán đã hội tụ. 2.3.2.1. Đối với tín hiệu điện tim Trong hình vẽ 2.25 chúng tôi biểu diễn MSE trong ba trường hợp
64 Kích thước bước cố định  0.05. Kích thước bước cố định  0.5. Kích thước bước thay đổi. Như ta thấy trên hình 2.25, trong trường hợp kích thước bước cố định  0.05, sai số trung bình bình phương phản ánh tốc độ hội tụ của thuật toán là chậm, nhưng có độ ổn định tốt. Trong trường hợp  0.5 MSE phản ánh tốc độ hội tụ cao và độ ổn định thấp của thuật toán. Trong trường hợp kích thước bước thích nghi thay đổi, chỉ số MSE cho thấy tốc độ hội tụ của thuật toán đạt gần xấp xỉ tốc độ hội tụ trong trường hợp kích thước bước cố định  0.5 lại có độ ổn định cao hơn. Không những thế, độ ổn định trong trường hợp này còn cao hơn cả trường hợp kích thước bước cố định  0.05. Có thể đánh giá cụ thể tốc độ hội tụ và độ ổn định qua so sánh tín hiệu sau lọc trong các trường hợp trên. Như đã nhận xét ở trên, trong trường hợp kích thước bước cố định tại  0.05 thuật toán hội tụ sau xấp xỉ 1800 vòng lặp (xem hình 2.25 và 2.26), tín hiệu sau lọc hết nhiễu sau xấp xỉ 1800 mẫu (xem hình 2.4, 2.5, 2.6 và 2.7). tụ sau xấp xỉ 200 vòng lặp (xem hình 2.25), tín hiệu sau lọc hết nhiễu sau xấp xỉ 200 mẫu (xem hình 2.8). Sau đó thuật toán không ổn định, phản ánh qua các dao động của sai số trung bình bình phương sau thời điểm 200 trên hình 2.25 và lượng nhiễu còn lại sau lọc sau thời điểm n 200 (Xem các hình 2.8, 2.9, 2.10 và 2.11). Trong trường hợp ta dùng kích thước bước thay đổi, thuật toán hội tụ sau xấp xỉ 350 vòng lặp, chậm hơn so với trường hợp kích thước bước cố định  0.5 (hội tụ sau 200 vòng lặp), nhưng nhanh hơn trường hợp dùng kích thước bước cố định  0.05 (hội tụ sau xấp xỉ 1800 vòng lặp). Khi ta dùng kích thước bước thay đổi (Xem hình vẽ 2.26 và 2.27), lượng nhiễu còn lại
65 trong tín hiệu sau lọc giảm xuống xấp xỉ giá trị không sau 350 mẫu, chậm hơn nhưng ổn định hơn trường hợp ta dùng kích thước bước cố định  0.5. Sau thời điểm thuật toán hội tụ (sau 350 mẫu) lượng nhiễu còn lại trong tín hiệu sau lọc luôn ổn định ở mức xấp xỉ không, tín hiệu sau lọc xấp xỉ tín hiệu sạch (xem hình 2.24, 2.25 và 2.26). Trong trường hợp này thuật toán ổn định hơn trường hợp kích thước bước thích nghi cố định  0.5, thậm chí ổn định hơn cả trường hợp kích thước bước cố định  0.05. Các kết quả này cũng phù hợp với điều kiện trong (2.5), trong trường hợp thuật toán LMS dùng kích  thước bước thay đổi theo đề xuất của chúng tôi, E S()()() n N n N n hội tụ về 0 nhanh hơn trường hợp kích thước bước được chọn cố định  0.05. E S()()() n N n N n  E S()()() n N n N n  E S()()() n N n N n Hình 2.25: MSE trường hợp  0.05,  0.5 và  thay đổi.
66 Bắt Thuật toán hội tụ đầu lọc nhiễu Hình 2.26:  thay đổi, so sánh S() n với  n trong đoạn n 1  465. Hình 2.27:  thay đổi, so sánh S() n với  n trong đoạn n 466  930.
67 Hình 2.28:  thay đổi, so sánh S() n với  n trong đoạn n 931  1395. Hình 2.29:  thay đổi, so sánhS() n với n trong đoạn n 1396  1860 .
68 Kết quả thưc nghiệm trên minh hoạ cho nhận định của chúng tôi là: Kích thước bước nên lấy giá trị lớn khi tập giá trị W xa tập giá trị tối ưu W * để có được tốc độ hội tụ cao và kích thước bước lấy giá trị nhỏ khi tập giá trị W gần W * để có được độ ổn định cao. 2.3.2.2. Đối với tín hiệu điện não Trong hình vẽ 2.30 và 2.31 chúng tôi biểu diễn cùng một số liệu về MSE trong ba trường hợp lọc nhiễu cho tín hiệu điện não (EEG). Hình 2.30 phản ánh rõ hơn thông tin về tốc độ hội tụ. Hình 2.31 phản ánh rõ hơn thông tin về độ ổn định. Ba trường hợp được được chọn để minh hoạ, đó là: Kích thước bước cố định  0.05. Kích thước bước cố định  0.5. Kích thước bước thay đổi được. Như ta thấy trên hình 2.30, trong trường hợp kích thước bước cố định  0.05 sai số trung bình bình phương phản ánh tốc độ hội tụ chậm của thuật toán. Hình 2.31 phản ánh , nhưng có độ ổn định tốt. Trường hợp kích thước bước cố định 0.5, thuật toán có tốc độ hội tụ cao, nhưng độ ổn định thấp. Trong trường hợp kích thước bước thích nghi thay đổi, thông qua MSE, Các kết quả này cũng phù hợp với điều kiện trong (2.5), trong trường hợp thuật toán LMS dùng kích thước bước thay đổi theo đề xuất của chúng tôi  trong (2.23), E S()()() n N n N n hội tụ về 0 nhanh hơn trường hợp kích thước bước được chọn cố định  0.05.
69  E S()()() n N n N n  E S()()() n N n N n  E S()()() n N n N n Hình 2.30: MSE trong trường hợp  0.05,  0.5 và  thay đổi. Ta thấy rằng tốc độ hội tụ của thuật toán đạt xấp xỉ tốc độ hội tụ trong trường hợp khi ta chọn kích thước bước cố định  0.5 Nhưng có độ ổn định cao hơn. Không những thế, thậm chí độ ổn định còn cao hơn cả trường hợp kích thước bước cố định 0.05. Ta có thể quan sát thấy rõ điều này trên hình 2.31.
70 Hình 2.31: So sánh sai số trung bình bình phương trường hợp kích thước bước thay đổi với trường hợp kích thước bước cố định  0.05 và  0.5. Trong trường hợp kích thước bước cố định  0.05 thuật toán hội tụ sau xấp xỉ 2000 vòng lặp (xem hình 2.13 và 2.15). Tốc độ hội tụ và độ ổn định cũng được đánh giá qua so sánh tín hiệu điện não sau lọc, trong đó tín hiệu sau lọc hết nhiễu sau xấp xỉ 2000 mẫu (xem hình 2.15). Để so sánh độ ổn định của thuật toán sau khi đạt đến hội tụ, ta so sánh hình 2.16 và hình 2.17 với hình 2.34, hình 2.35. Ta thấy rằng tín hiệu điện não sau lọc được phục hồi giống tín hiệu điện não đồ nhất trong trường hợp ta dùng kích thước bước thay đổi.Trong khi đó, trường hợp kích thước bước cố định tại  0.5 thuật toán có thể coi như đạt đến hội tụ sau 250 mẫu (xem hình 2.18). Trường hợp kích thước bước thay đổi, thuật toán hội tụ sau 450 mẫu (xem hình 3.32). Tại các pha tiếp theo có thể nhận thấy tại hai trường hợp kích thước bước cố định, tín hiệu sau lọc vẫn khó đạt đến tín hiệu điện não sạch. Trong khi nếu sử dụng kích thước buớc thay đổi theo công thức 2.23, tín hiệu sau lọc ()n đã tiến đến xấp xỉ tín hiệu điện não sạch S() n , đồng thời kết quả này được duy trì ổn định.
71 Hình 2.32:  thay đổi,EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1  1000. Hình 2.33:  thay đổi, EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 1001  2000 .
72 Hình 2.34:  thay đổi, EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 2001  3000 . Hình 2.35:  thay đổi, EEG trước và sau lọc nhiễu, đoạn n 3001  4000 .
73 Kết quả của luận án có thể so sánh đựoc với các kết quả tiêu biểu trong các nghiên cứu gần đây về nâng cao hiệu năng của thuật toán LMS trong lĩnh vực xử lý tín hiệu điện não: sử dụng trường hợp kích thước bước thay đổi trong [29] thuật toán hội tụ, MSE đạt đến 5.10 6 sau xấp xỉ 400 vòng lặp, trong khi đề xuất của chúng tôi cho phép thuật toán hội tụ sau 450 vòng lặp với độ ổn định tốt. Để minh hoạ cho việc so sánh, chúng tôi đã làm thực nghiệm lại phương pháp trong [29], kết quả thu được hoàn toàn giống như các kết quả trong [29]. Do vậy chúng tôi sẽ sử dụng các kết quả mô phỏng này để làm căn cứ so sánh 2 phương pháp trong hình 2.36. Qua hình 2.36 ta thấy rằng: Nếu sử dụng công thức 2.23 để điều chỉnh kích thước bước thích nghi, thuật toán LMS sẽ hội tụ nhanh hơn và có độ ổn định tốt hơn. Hình 2.36: So sánh với phương pháp thay đổi kích thước bước trong [29].
74 KẾT LUẬN Trong chương này chúng tôi đã xây dựng một số cơ sở toán học cần thiết cho các phương pháp thích nghi trong lọc nhiễu: xác định các điều kiện cần, đủ để các thuật toán hội tụ và xây dựng phần mềm nhúng thực hiện các thuật toán này. Các đánh giá về phương pháp của luận án được tiến hành thông qua việc so sánh với các phương pháp mới nhất của các tác giả khác về nâng cao hiệu năng của thuật toán LMS dựa trên kích thước bước thay đổi. Trong phạm vi luận án chúng tôi chỉ trình bày một số kết quả thực nghiệm tiêu biểu để minh hoạ những ưu việt của phương pháp thích nghi của chúng tôi trong việc cho phép thuật toán LMS tuy hội tụ chỉ nhanh hơn 50 vòng lặp so với phương pháp được nêu trong [29] đối với bài toán lọc nhiễu trong tín hiệu điện não nhưng độ ổn định thực nghiệm lại cao hơn. Không những thế phương pháp đề xuất bằng công thức 2.23 còn có thể được áp dụng cho bài toán lọc nhiễu trong tín hiệu điện tim trong khi thuật toán đề xuất trong [29] không đảm bảo để thuật toán hội tụ.
75 Chương 3 Một giải pháp điều chỉnh thích nghi bộ lọc triệt tần với tiếp cận sóng nhỏ. Trong bài toán lọc nhiễu ra khỏi tín hiệu điện tim, nguồn gây nhiễu là đường tải điện, nhiễu có đặc điểm là chỉ tồn tại trên 1 tần số, do vậy giải pháp phù hợp là sử dụng bộ lọc triệt tần có tần số triệt trùng với tần số của nhiễu. Tuy nhiên, khi tần số của nhiễu thay đổi ngẫu nhiên xung quanh tần số của các tín hiệu cần bảo tồn thì bài toán lọc nhiễu có thể coi như bài toán điều chỉnh tần số triệt của bộ lọc triệt tần với dải triệt đủ hẹp sao cho chỉ loại bỏ nhiễu 1 tần số mà không làm suy giảm đến các tín hiệu có tần số lân cận. Bộ lọc triệt tần thích nghi được xem là một trong số giải pháp tốt nhất cho vấn đề này (xem [8], [12], [19], [29]). Đặc biệt, việc sử dụng thuật toán LMS với kích thước bước thay đổi đã đáp ứng được 2 yêu cầu trên, đồng thời cải thiện đáng kể hiệu năng của bộ lọc cả về tốc độ hội tụ lẫn độ ổn định trong quá trình tìm kiếm ma trận trọng số tối ưu W * . Các kết quả đạt được theo hướng tiếp cận này đã được tác giả trình bày trong chương II của luận án. Phần đầu của chương III trình bày ý tưởng của tác giả về việc tách bài toán lọc nhiễu thích nghi nêu trên thành 2 bài toán đơn giản hơn. Đó là bài toán dò tìm tần số của nhiễu và bài toán chọn các hệ số của bộ lọc để giảm thiểu ảnh hưởng suy giảm đến lượng thông tin hữu ích. Các phần tiếp sau của chương sẽ giới thiệu lý do lựa chọn cách tiếp cận mới này, phương pháp giải các bài toán sau khi tách và các kết quả đạt được sau khi tích hợp. Các kết quả của chương này được lấy ở [6] trong Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án. 3.1. Bài toán chọn các hệ số của bộ lọc.
76 3.1.1. Hàm truyền trong lọc nhiễu đơn tần. Định nghĩa 3.1. Cho x() n là tín hiệu rời rạc, X() z được gọi là biến đổi z của x() n nếu: X()() z  x n z n , n trong đó z là biến phức. Định nghĩa 3.2. Gọi x() n là dãy tín hiệu đầu vào của bộ lọc, X() z là biến đổi z của x() n theo định nghĩa 3.1. Gọi y() n là dãy tín hiệu đầu ra của bộ lọc, Y() z là biến đổi z của y() n theo định nghĩa 3.1. Hàm truyền H() z của bộ lọc được xác định như sau: Y() z H() z . X() z Nếu thay z ei , vào 2 vế của hàm truyền của bộ lọc, ta có Y() ei H() ei , trong đó i2 1,  R1 hoặc được viết dưới dạng: X() ei Y() H() là đáp ứng tần số của bộ lọc có hàm truyền H() z . Đây là 1 kỹ X() thuật dùng để khảo sát đáp ứng của bộ lọc đó đối với các tần số khác nhau. Phần thực của H() phản ánh đáp ứng của bộ lọc về mặt biên độ đối với các tần số của tín hiệu đầu vào, hay còn gọi là Đáp ứng Biên độ - Tần số. Phần ảo của H() phản ánh đáp ứng của bộ lọc về pha đối với các tần số của tín hiệu đầu vào, hay còn gọi là đáp ứng Pha - Tần số (xem [42]). Trong xử lý tín hiệu, bài toán lọc nhiễu đơn tần được coi như đã được giải quyết nếu ta tìm được hàm truyền H() z của bộ lọc. Trong [31], hàm truyền H() z của bộ lọc triệt tần đã được xác định trong công thức sau:
77 2 1 z 2 z cos1 1 H() z 2 2 1 , (3.1) z 2  z cos 1 1 trong đó 1: Tần số triệt của bộ lọc triệt tần. Bộ lọc có hàm truyền là công thức 3.1 sẽ chặn bất kỳ tín hiệu có tần số 1 . Nếu ta đặt 1  0 , trong đó 0 là tần số của nhiễu (Xem công thức 2.8 và 2.9), thì bộ lọc có hàm truyền cho bởi 3.1 sẽ lọc được nhiễu.  : Tham số, quyết định độ rộng dải triệt của bộ lọc triệt tần. Độ rộng dải triệt tỷ lệ với độ ảnh hưởng suy giảm tới các tín hiệu hữu ích có tần số lân cận tần số trung tâm 1. Độ rộng dải triệt được giải thich như sau: Qua công thức 3.1 ta thấy i0 rằng z1,2 e được gọi là 2 điểm không (Zero) của hàm truyền H() z vì i0 tại 2 điểm đó thì H( z ) 0. Hai điểm p1,2  e được gọi là 2 điểm cực của H() z , vì tại đó H() z . Độ rộng dải triệt là tổng khoảng cách giữa 2 i0 cặp điểm không và điểm cực trên mặt phẳng phức. z1,2 e do đó điểm không nằm trên đường tròn đơn vị, tại góc 0 , vậy ta có công thức tính độ rộng dải triệt của bộ lọc triệt tần như sau: BW 2(1  ).  0.7  0.8  0.985 Hình 3.1: Đáp ứng tần số của bộ lọc triệt tần với các giá trị  .
78 Hình 3.1 minh hoạ sự thay đổi của độ rộng dải triệt trong các trường hợp khác nhau về độ lớn của  , độ rộng dải triệt rộng nhất khi  0.7 , khi đó bộ lọc sẽ làm suy giảm đáng kể các tín hiệu có tần số lân cận 1. Dựa trên kỹ thuật dò tìm điểm đột biến bằng biến đổi sóng nhỏ và các phương pháp đạt được độ rộng dải triệt tốt nhất chúng tôi đề xuất lời giải mới cho trường hợp tần số 0 của nhiễu thay đổi liên tục, phải điều chỉnh các trọng số của bộ lọc thích nghi sao cho tần số 1 tiến gần đến tần số 0 của nhiễu với độ rộng dải triệt đủ nhỏ để tránh mất mát các thông tin hữu ích. Chúng tôi đã rời rạc hoá quá trình điều chỉnh trọng số bằng cách coi mỗi điểm rời rạc là một bộ hệ số của lọc triệt tần cố định với hàm truyền có dạng như trong công thức (3.1). Bây giờ bài toán lọc nhiễu đưa về việc tìm 0 tại những thời điểm rời rạc và xác định  sao cho độ rộng dải triệt là đủ tốt. 3.1.2. Xấp xỉ hàm truyền trong lọc nhiễu thích nghi Để giải quyết bài toán xác định tham số  sao cho độ rộng dải triệt là đủ tốt, chúng tôi đề xuất việc xác định độ rộng dải triệt của mô hình lọc nhiễu đơn tần xấp xỉ mô hình lọc thích nghi. Khi thuật toán LMS dùng cho mô hình lọc nhiễu hội tụ, B. Widrow đã chứng minh trong [44] rằng bộ lọc thích nghi có hàm truyền được mô tả theo công thức z 2 2cos z 1 1 H z 0 , (3.2) 2 2 2 1 1 2C z 2 1  C cos 0  z 1 trong đó : Kích thước bước thích nghi. 0 : Tần số của nhiễu (xem [26], [28]). Với độ rộng dải triệt cho bởi công thức sau:
79 BW 2 C 2 , (3.3) trong đó BW : Độ rộng dải triệt (BandWidth). : Kích thước bước thích nghi. C : Biên độ của nhiễu (xem công thức 2.8 và 2.9). Khi biểu diễn lại (3.2) dưới dạng z 2 2 cos z 1 1 H z 0 2 2 2 1 1 2C z 2 1  C cos 0  z 1 z 2 2 cos z 1 1 0 22 2 2 1 1 C z 2 1  C cos 0  z 1 2 4 2 2 1 C z z 2 cos 0 z 1 2 12 C2 z 2 21  C 2 cos  z 1 11  C 2 z 2 21  C 2 cos  z 1 1  0  0  Chúng tôi nhận thấy rằng, nếu tần số của nhiễu 0 không thay đổi và  cố định, đủ nhỏ để 2 xấp xỉ 0, hàm truyền của bộ lọc triệt tần thích nghi sẽ xấp xỉ hàm truyền của bộ lọc triệt tần cố định (3.1) với  1 C 2 . Trong các thực nghiệm với giá trị =0,05 được coi là đủ nhỏ để đảm bảo hàm truyền lọc nhiễu đơn tần thích hợp với việc xấp xỉ hàm truyền bộ lọc thích nghi và với C 0.5477 , giá trị  = 0,985 < 1 vừa đảm bảo vị trí điểm cực nằm trong đường tròn đơn vị vừa cho ta độ rộng dải triệt đủ tốt. Từ kết quả thu được ở trên với  , ta có hàm truyền của bộ lọc triệt tần cố định trong công thức (3.4). z 2 2 z 1 cos 1 H z 0 , (3.4) 2 1 0.97z 1.97 z cos0 1 với bộ hệ số của bộ lọc triệt tần cố định
80 a0 1 b0 1 a1 2cos 0 b1 1.97cos 0 a2 1 b2 0.97 3.2. Bài toán dò tần số của nhiễu Bài toán dò tần số của nhiễu được giải quyết dựa trên cơ sở kết hợp giữa kỹ thuật làm nổi bật đặc tính của nhiễu bằng biến đổi Fourier và kỹ thuật xác định điểm đột biến qua biến đổi sóng nhỏ. 3.2.1. Kỹ thuật làm nổi bật đặc tính của nhiễu bằng biến đổi Fourier. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày về mối liên quan giữa tần số 0 của nhiễu với điểm đột biến trên phổ của tín hiệu thu nhận. Trong xử lý tín hiệu, nếu x() n là tín hiệu rời rạc, thoả mãn điều kiện:  x() n , n phép biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc x() n được định nghĩa như sau: X()()  x n e i n , (3.5) n Trong đó x() n : Tín hiệu rời rạc, n Z . X() : Kết quả phép biến đổi Fourier đối với x() n . i : số ảo, với i2 1. Ta ký hiệu x() n  là toán tử thực hiện phép biến đổi Fourier đối với x() n , được định nghĩa theo công thức 3.5. Vì biến đổi Fourier có tính chất tuyến tính nên: x1()()()() n x 2 n  x 1 n  x 2 n . (3.6)
81 Định nghĩa 3.3. Nếu ta có X() là kết quả của phép biến đổi Fourier đối với x() n theo công thức (3.5) thì X() được gọi là phổ Biên độ - Tần số của tín hiệu x() n . Theo [31], XX( ) (  2k ) với k Z . Trong đoạn 0 2 , X() lại có tính chất đối xứng qua , do vậy phổ của x() n thường được biểu diễn trong quãng Nyquyst 0  . Trong xử lý tín hiệu, phổ Biên độ - Tần số của x() n được gọi tắt là phổ của x() n . Trong bài toán lọc nhiễu từ đường tải điện, nhiễu cần loại bỏ được ký hiệu là N n , có phổ là N() , trong đó N()()() N n  N n e i n . n Theo định nghĩa 3.3, ta có N() là phổ Biên độ - Tần số của tín hiệu N n . Mô hình của nhiễu từ đường tải điện đã được xác định, trong đó nhiễu chỉ có một tần số duy nhất là 0 . Do vậy N( ) 0 duy nhất tại 0 và N( ) 0 với  0 , điều này được minh hoạ trong hình 3.2. Hình 3.2: Phổ của nhiễu từ đường tải điện.
82 Với tần sô lấy mẫu là 166 sample/s, hình 3.2, hình a là phổ của nhiễu có tần số f0 50.15 Hz tương ứng với 0 1.89rad / s . Hình b là phổ của nhiễu có tần số f0 42.5 Hz tương ứng với 0 1.60rad / s . Hình c là phổ của nhiễu có tần số f0 33 Hz tương ứng với 0 1.25rad / s . Ta có thể thấy rằng, N() có dạng đột biến tại 0 . Ta ký hiệu NoisyECG n là tín hiệu điện tim bị nhiễm nhiễu mà ta thu được : NoisyECGn Sn N n , (3.6) trong đó N n là nhiễu cộng tính từ đường tải điện ảnh hưởng lên tín hiệu điện tim và S n là tín hiệu điện tim sạch. Biến đổi Fourier đối với S n ta được S()()() S n  S n e i n . Khi đó S() , là phổ của S n n được biểu diễn trong hình (3.3). Hình 3.3: Phổ của tín hiệu điện tim sạch.
83 Theo công thức 3.6  S n N n  S n  N n ; (3.7) NoisyECG()()() S  N  . (3.8) trong đó NoisyECG() là kết quả biến đổi Fourier của NoisyECG n . Do vậy điểm đột biến nhọn tại 0 trong N() vẫn bảo tồn được các đặc điểm tại 0 trong NoisyECG() . Xem hình (3.4), Hình 3.4: So sánh phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu( NoisyECG() ). Trong hình 3.4 (a) là N() , phổ của nhiễu từ đường tải điện. Hình 3.4 (b): S() , phổ của tín hiệu điện tim sạch. Hình 3.4 (c): NoisyECG() là phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu từ đường tải điện, trong đó phổ của nhiễu được phản ánh qua điểm đột biến tại 0 . Trong xử lý tín hiệu, hàm cửa sổ chữ nhật đối với biến  được định nghĩa như sau:
84 1 0  L Rect ( ) . L 0 [0,L ] Định nghĩa 3.4. Cho tín hiệu y() xác định trong khoảng a, b , với LR, 1 , tín hiệu smoothed_() y  được gọi là kết quả làm trơn đối với y() nếu 1 Smoothedy_() y ()Rect( L   ) d  . (3.9) L Phổ của tín hiệu điện tim sạch hoặc các tín hiệu y sinh sạch không có đỉnh đột biến (xem [3]). Do vậy, để giảm mức độ phức tạp của giải thuật khi phải phân biệt điểm đột biến cần tìm duy nhất với các đột biến không phản ánh 0 . Chúng tôi đề xuất tiền xử lý bằng cách làm trơn NoisyECG() theo định nghĩa 3.4. Sau khi làm trơn, chỉ còn lại duy nhất điểm đột biến có toạ độ 0 cần tìm (xem hình 3.5). Đột biến giả, không mang Đột biến mang thông tin thông tin về 0 về 0 Hình 3.5:Phổ của tín hiệu điện tim sạch (a) và kết quả làm trơn phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu (b) Như vậy phép biến đổi Fourier cho phép biểu diễn mối liên quan giữa tần số riêng của nhiễu 0 với toạ độ của đột biến trong NoisyECG() và
85 phép làm trơn NoisyECG() vẫn duy trì điểm đột biến tại 0 trong f() . Bài toán dò tần số của nhiễu có thể đưa về bài toán xác định toạ độ của điểm đột biến trong phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu hoặc kết quả sau làm trơn của nó. 3.2.2 Kỹ thuật xác định toạ độ điểm đột biến nhọn qua biến đổi sóng nhỏ. Phần này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật xác định toạ độ điểm đột biến đã được trình bày tại phần 1.3 của luận án để giải bài toán xác định tần số 0 của nhiễu. Phép biến đổi sóng nhỏ được thực hiện với thang s 21 cho việc dò tìm đột biến nhọn, thang s 22 được sử dụng để tìm các đột biến giả có dạng gần giống đột biến cần tìm. f() là kết quả làm trơn đối với NoisyECG() theo công thức (3.9), do vậy qua công thức (1.20) ta có thể thấy rằng toạ độ điểm đột biến trên NoisyECG() sẽ tương ứng với toạ độ điểm qua không giữa 2 cực đại, cực tiểu cục bộ liên tiếp trên W1f(,) s  (xem hình 3.6), Điểm qua không giữa cực đại dương và cực tiểu âm liên tiếp Hình 3.6: Phổ đã được làm trơn của tín hiệu điện tim có nhiễu hình (a) và kết quả phép biến đổi sóng nhỏ W1 f(,) s  hình (b),
86 trong đó W1f(,) s  là phép biến đổi sóng nhỏ sử dụng thang s đối với f() , được định nghĩa trong công thức (1.20). Đồng thời, cặp cực đại - cực tiểu cục bộ liên tiếp này cũng tương ứng với bộ 3 cực đại - cực tiểu - cực đại cục bộ liên tiếp trên W2f(,) s  (xem hình 3.7). Điều này đã được CuiWei Li khẳng định trong [21] và mở rộng áp dụng sang lớp bài toán phân biệt các đột biến khác nhau. Để giảm thiểu mức độ phức tạp tính toán, các tác giả trong [15], [16], [21] và [23] đều thực hiện biến đổi sóng nhỏ một cách tương đương qua sử dụng các bộ lọc số. Hình 3.7: Phổ đã được làm trơn của tín hiệu điện tim có nhiễu hình (a) và kết quả phép biến đổi sóng nhỏ W1f(,) s  hình (b). và W2f(,) s  hình (c)
87 3.2.3. Chọn thang s cho biến đổi sóng nhỏ Khi sử dụng phép tính xấp xỉ đạo hàm để tìm toạ độ điểm đột biến trên hàm số, độ chính xác có thể giảm nếu đột biến cần tìm nằm xen lẫn với các đột biến có dạng khác mà sự khác biệt không quá lớn. Do vậy, yêu cầu nâng cao độ chính xác đã sớm thu hút được sự chú ý của các nhà khoa học, trong đó các kết quả được CuiWei Li và các đồng sự công bố trong [21] đã tỏ ra phù hợp để giải quyết bài toán xác định toạ độ điểm đột biến trên f() , là phổ của tín hiệu nhiễm nhiễu nêu trên. Lời giải này dựa trên đề xuất một tiếp cận cho việc chọn được thang phù hợp cho biến đổi sóng nhỏ để giải quyết vấn đề vừa nêu. Các kết quả trong [21] có thể được tóm tắt như sau. Từ định nghĩa của phép biến đổi sóng nhỏ (công thức 1.13), độ phân giải của phép phân tích x  phụ thuộc vào tham số s của hàm  . Do vậy, nếu ta chọn được s x  thang s sao cho độ rộng của  gần nhất với độ rộng của đột biến s mang thông tin hữu ích thì có thể loại bỏ các đột biến không mang thông tin thông qua phép biến đổi sóng nhỏ. Quan sát dạng của đột biến cần tìm toạ độ trong hình 3.7(a), Chúng tôi nhận thấy rằng bài toán xác định toạ độ điểm đột biến trong phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu tương đương với bài toán xác định toạ độ đỉnh R của dãy tín hiệu điện tim mà CuiWei Li đã giải quyết trong [21]. Do vậy chúng tôi có ý định sử dụng các kết quả đã đạt được trong việc chọn thang của CuiWei Li cho bài toán của mình. Các kết quả thực nghiệm sau đó đạt được khá tốt, đáp ứng yêu cầu về độ chính xác, đồng thời có độ phức tạp tính toán thấp. Vì các kết quả nghiên cứu trong [21] đều nhằm đạt đến các thủ tục tính toán trên tín hiệu rời rạc, do vậy một số định nghĩa về xử lí tín hiệu rời rạc được nhắc tới sau đây: Định nghĩa 3.5. Gọi x() n và y() n tương ứng là tín hiệu đầu vào và đầu ra của bộ lọc số, bk với k 0,1 L là các hệ số của bộ lọc. Nếu
88 L y()() n  bk x n k , với LZ thì bộ lọc được gọi là bộ lọc đáp ứng k 0 xung hữu hạn bậc L . 1n 0 Định nghĩa 3.6. ()n được gọi là xung Dirac nếu: ()n 0n 0 Định nghĩa 3.7 Cho bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn bậc L , nếu x()() n  n L thì h()() n  bk n k được gọi là đáp ứng xung của bộ lọc. k 0 Trong bài toán xác định toạ độ đỉnh sóng R trên biến n (xem hình 1.1), vấn đề chọn thang được giải quyết dựa trên tiếp cận như sau : Phép biến đổi sóng nhỏ trên 1 dãy số tương đương với việc thực hiện nhân chập dãy số đó với đáp ứng xung của 1 bộ lọc số (công thức 1.17). Do vậy phép biến đổi sóng nhỏ sẽ mang tính chọn lọc thông tin hữu ích nếu bộ lọc số nêu trên có đáp ứng Biên độ - Tần số trùng với phổ của thông tin hữu ích. Trong [21], CuiWei Li đã đạt được kết quả như sau: Với việc sử dụng thang nhị thức s 2k với k 1,2, , mối quan hệ giữa k với đáp ứng Biên độ - Tần số của bộ lọc được xác định gián tiếp qua công thức sau: G() k 1 Qk ( ) G (2  ) H (  ) k 2 , GHH(2k 1 ) (2 k 2  ) (  ) k 2 trong đó: Qk () : Hàm biểu diễn đáp ứng tần số của bộ lọc thực hiện phép biến đổi sóng nhỏ sử dụng thang s 2k . Đáp ứng Biên độ - Tần số của bộ lọc được phản ánh qua Qk () . i  G( ) 4 ie 2 sin , (3.10) 2 i  3 H( ) e 2 cos . (3.11) 2
89 Với đột biến có dạng như sóng R của tín hiệu điện tim, có tốc độ biến đổi nhanh nhất so với các sóng còn lại (xem hình 1.1), sóng R có phổ phân bố ở vùng tần số cao. Đáp ứng tần số Qk () được xác định dựa vào công thức (3.9) cho thấy rằng tại k 1, đáp ứng Biên độ - Tần số của Q1() cũng có phân bố tập trung tại vùng tần số cao, trùng với phân bố phổ của sóng R. Do vậy s 21 được chọn để giải bài toán tìm toạ độ đỉnh sóng R trên dãy tín hiệu điện tim [21]. Theo CuiWei Li và các đồng sự, khi k 1, Q1() có thể được thay thế tương đương bởi Q1() với: 1 Q1( ) (1 e i ). 2 trong đó Q1() là đáp ứng tần số của bộ lọc số thực hiện phép biến đổi sóng nhỏ W1 f(,) s  tại thang s 21 (xem công thức 1.20). Q1() là đáp ứng tần số tương đương của Q1() . Hình 3.8 minh hoạ cho sự sai khác giữa Q1() và Q1() . Hình 3.8: So sánh Đáp ứng Biên độ - Tần số của Q1() và Q1() .
90 Trong đó: hình (a) phản ánh Q1() là Đáp ứng Biên độ - Tần số của Q1() . Hình (b) phản ánh Q1() là Đáp ứng Biên độ - Tần số của Q1() . Hình (c) phản ánh sai số tương ứng. Theo đó, sai số lớn nhất là: 1.33 10 15 . Đáp ứng xung tương ứng trong miền thời gian rời rạc hay là biến n là: 1 h1( n ) ( ( n )  ( n 1)). (3.12) 2 Với mục đích nâng cao độ chính xác cho bài toán dò tần số của nhiễu, chúng tôi cần đánh dấu các đột biến có khả năng gây nhầm lẫn do có dạng gần giống với đột biến mang thông tin về 0 . Do điểm đột biến cần đánh dấu nêu trên có đặc điểm là có tốc độ biến đổi chậm hơn đột biến tại 0 (xem hình 3.5). Dạng đột biến này có phổ trong hình 3.9, trong đó phổ có thông tin tập trung chủ yếu tại 0  0.75 . Do vậy chúng tôi đề xuất sử dụng thang s 22 cho việc thực hiện biến đổi sóng nhỏ để giải quyết yêu cầu đánh dấu các đột biến không mang thông tin hữu ích nhưng có dạng gần giống với đột biến cần quan tâm. Khi chọn thang s 22 , phổ Q2() của đáp ứng tần số Q2() được biểu diễn trong hình 3.10(a), qua đó ta thấy rằng Q2() lớn nhất lân cận xung quanh tần số  0.75 . Do vậy chọn thang s 22 sẽ tốt hơn thang s 21 trong việc xác định các đột biến không mang thông tin. Hình 3.9: Phổ của đột biến không mang thông tin
91 Mặt khác, điểm qua không trên kết quả phép biến đổi sóng nhỏ bậc 1 1 k 1 W f(,) s  sẽ bị trễ so với toạ độ điểm 0 là 1 2 điểm (xem [21]). Do vậy, sử dụng thang s 22 để thực hiện biến đổi sóng nhỏ sẽ không phản ánh chính xác toạ độ của 0 . Với mục đích xác định các đột biến không mang thông tin, Q2() được sử dụng vì có đáp ứng Biên độ - Tần số Q2() tập trung tại tần số thấp hơn so với Q1() (xem hình 3.10). Hình 3.10: So sánh Đáp ứng Biên độ - Tần số của Q2() và Q1() . Do đó sử dụng thang s 22 sẽ giúp phản ánh rõ hơn thông tin về điểm đột biến có dạng gần giống điểm đột biến mang thông tin về 0 . Ta có thể thấy rõ hơn khi qua sát trên hình 3.11. Hình 3.11:So sánh kết quả phép biến đổi sóng nhỏ dùng các thangs 21 và s 22 .
92 Bộ lọc tương đương trong trường hợp s 22 có đáp ứng tần số như sau: Q2( ) 0.256 e 3i 0.6 e 2 i  0.28 e i  0.28 0.6 e i  0.256 e 2 i  , trong đó Q2() là đáp ứng tần số của bộ lọc số tương đương dùng để thực hiện phép biến đổi sóng nhỏ W1 f(,) s  sử dụng thang s 22 (xem công thức 1.20). Qua hình 3.12 ta thấy rằng sai số lớn nhất giữa Q2() và Q2() là: 1.77 10 15 . Hình 3.12:So sánh kết quả phép biến đổi sóng nhỏ dùng các thangs 21 và s 22 . Đáp ứng xung tương ứng trong miền thời gian rời rạc hay biến n là: h2( n ) 0.256 ( n 3) 0.6  ( n 2) 0.28  ( n 1) (3.13) 0.28 (n ) 0.6  ( n 1) 0.256  ( n 2)
93 Tương tự, sử dụng thang s 21 cho việc tính W2f(,) s  , được thực hiện thông qua bộ lọc có đáp ứng tần số như sau: 1 2i i  i  U( )=g1 e +g 2 e g 3 + g 4 e , (3.14) với W2f(,) s  : Phép biến đổi sóng nhỏ trên f() , với thang s . g1 g 4 : Các hệ số của bộ lọc thực hiện phép biến đổi sóng nhỏ, với g1 =0.4829629131. g2 -0.8365163037 . g3 0.2241438680. g4 0.1294095226. Như đã trình bày ở trên, để lấy thông tin về phổ của tín hiệu, chỉ cần biểu diễn NoisyECG() trong quãng  0  . Khi đó ta có thể coi NoisyECG() là hàm số với biến  , và có đột biến tại 0 . Với mục đích chuẩn bị cho việc sử dụng các kỹ thuật tính toán với biến rời rạc để xác định toạ độ điểm đột biến ở các phần trình bày sau, chúng tôi đã rời rạc hoá đoạn 0  của  . Khi đó, nếu khoảng cách giữa các điểm rời rạc là S , phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu là hàm rời rạc NoisyECG()nS với n Z , xác định tại những điểm là bội của S . Tương tự như cách biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian rời rạc, phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu được biểu diễn thành NoisyECG()n , do đó thủ tục tìm 0 được chuyển thành tìm n0 với yêu cầu: 0 n 0 s là nhỏ nhất. Do vậy việc chọn độ lớn của S quyết định độ phân giải của phổ của tín hiệu và có ảnh hưởng đến độ chính xác của thủ tục xác định toạ độ của điểm đột biến. Vấn đề này sẽ được chúng tôi đề cập đến trong mục 3.4.1 của luận án. Việc rời rạc hoá  tương đương với với việc đổi từ biến  sang biến n , do đó cho phép sử dụng các kết quả của CuiWei Li trong các công thức (3.12), (3.13) và (3.14) để tìm toạ độ điểm đột biến trong phổ của tín hiệu điện tim nhiễm nhiễu.