Khóa luận Sử dụng tiếng Anh cho Vật lí trong phân dạng bài tập phần dao động điều hòa

Nội dung text: Khóa luận Sử dụng tiếng Anh cho Vật lí trong phân dạng bài tập phần dao động điều hòa

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ  QUÁCH THỊ LAN HƢƠNG SỬ DỤNG TIẾNG ANH CHO VẬT LÍ TRONG PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lí đại cƣơng HÀ NỘI, 2018
2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  QUÁCH THỊ LAN HƢƠNG SỬ DỤNG TIẾNG ANH CHO VẬT LÍ TRONG PHÂN DẠNG BÀI TẬP PHẦN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý đại cƣơng Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. Hoàng Văng Quyết HÀ NỘI, 2018
3. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài khoá luận và kết thúc khoá học, với tình cảm chân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện cho em có môi trƣờng học tập tốt trong suốt thời gian nghiên cứu, học tập tại trƣờng. Em xin gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo - ThS. Hoàng Văn Quyết ngƣời đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hƣớng dẫn em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Đồng thời, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong khoa Sƣ phạm Vật lý, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt nghiệp lần này. “Sử dụng tiếng anh cho vật lý trong phân dạng bài tập phần dao động điều hoà” là một đề tài hay và hấp dẫn. Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây là những bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Quách Thị Lan Hƣơng
4. LỜI CAM ĐOAN Dƣới sự hƣớng dẫn của ThS. Hoàng Văn Quyết khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Vật lý đại cƣơng với đề tài “Sử dụng tiếng Anh cho Vật Lý trong phân dạng bài tập phần dao động điều hòa” đƣợc hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác. Trong khi nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sụ trân trọng, biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Quách Thị Lan Hƣơng
5. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu đề tài 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Khách thể nghiên cứu 2 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 7. Cấu trúc của khoá luận 2 NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC 3 1.1. Một số khái niệm mở đầu 3 1.2. Khái niệm về dao động điều hoà 4 1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn 6 1.4. Tổng hợp các dao động điều hòa 8 1.5. Nguyên nhân gây ra dao động điều hoà 11 1.6. Năng lƣợng của dao động điều hoà 18 CHƢƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC 22 2.1. Demonstrate harmonic oscillator system 22 2.2. Find the quantity characteristics of the harmonic oscillator 25 2.3. The energy of harmonic oscillation 30 2.4. Synthetic harmonic oscillator 35 2.5. Exercises on the graph of the harmonic oscillator 37 KẾT LUẬN 45
6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đất nƣớc ta đang bƣớc vào thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa; bên cạnh những thời cơ, thuận lợi cũng tạo ra nhiều khó khăn, thách thức đòi hỏi Ngành Giáo dục – Đào tạo phải có những đổi mới căn bản, mạnh mẽ, đồng bộ về mọi mặt. Trong đó đặc biệt chú trọng đổi mới phƣơng pháp và phƣơng tiện dạy học. Nghị quyết TW2 khóa VIII đã chỉ rõ “Đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp giáo dục – đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy sáng tạo của ngƣời học, từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và phƣơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ”. Trƣớc những yêu cầu đó, những năm gần đây Ngành Giáo dục – Đào tạo đã liên tục thực hiện nhiều chính sách đổi mới cải cách. Cụ thể từ năm 2010, việc dạy các môn khoa học tự nhiên bằng tiếng Anh đã đƣợc Chính phủ phê duyệt trong Đề án 959 về phát triển hệ thống trƣờng THPT chuyên giai đoạn 2010 - 2020 và dự kiến đến năm 2020 sách song ngữ sẽ đƣợc đƣa vào dạy đại trà. Trên thực tế giảng dạy ở trƣờng phổ thông, việc sử dụng tiếng Anh trong các môn khoa học tự nhiên nói chung và môn Vật lý nói riêng là điều cần thiết và càng trở nên cấp bách hơn bao giờ hết song còn gặp nhiều khó khăn, trong đó khó khăn lớn nhất chính là rào cản ngôn ngữ khi học sinh học các kiến thức khoa học với nhiều từ vựng chuyên ngành tiếng Anh. Vậy việc tìm ra những biện pháp giúp học sinh vƣợt qua những trở ngại khi học môn Vật lý bằng tiếng Anh là điều cần thiết. Từ những nhu cầu thực tế đó tôi quyết định chọn “Sử dụng tiếng anh cho Vật lý trong việc phân dạng bài tập phần dao động điều hòa” làm để tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 1
7. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Phân dạng bài tập phần dao động điều hòa trong cơ học bằng Tiếng Anh 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng: Các kiến thức phần dao động điều hòa và tiếng Anh cho chuyên ngành Vật lý - Phạm vi: Xét trong Vật lý cổ điển 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng hệ thống từ vựng phần dao động điều hòa. - Trình bày logic khoa học lý thuyết phần dao động điều hòa - Phân dạng các bài toán bằng tiếng Anh. 5. Khách thể nghiên cứu Quá trình sử dụng tiếng Anh cho Vật lý trong phân dạng bài tập phần dao động điều hoà 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu - Phƣơng pháp tổng hợp 7. Cấu trúc của khoá luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lí luận của dao động điều hoà trong cơ học. Chƣơng 2: Phân dạng bài tập dao động điều hòa trong cơ học. 2
8. NỘI DUNG CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC 1.1. Một số khái niệm mở đầu - Hiện tƣợng tuần hoàn là những hiện tƣợng diễn ra lặp đi lặp lại nhƣ cũ sau những khoảng thời gian xác định. - Quá trình tuần hoàn là những quá trình liên tục trong đó sự biến thiên của một số đại lƣợng nào đó đặc trƣng cho quá trình biến đổi nhƣ vận tốc, gia tốc, áp suất, nhiệt độ, khoảng cách, đƣợc lặp lại nhƣ cũ sau những khoảng thời gian xác định. - Dao động: Trong một số quá trình tuần hoàn, những đại lƣợng biến thiên đặc trƣng cho quá trình chỉ thay đổi giá trị xung quanh một giá trị trung bình xác định đƣợc gọi là một dao động tuần hoàn. Mỗi lần các đại lƣợng biến thiên của quá trình lặp lại những giá trị nhƣ cũ ta nói rằng nó đã thực hiện đƣợc một dao động. - Chu kì dao động: Chu kì dao động đƣợc kí hiệu bằng chữ T là khoảng thời gian xác định, không đổi để quá trình biến đổi thực hiện đƣợc một dao động. Nếu ff t T t là một đại lƣợng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì T thì ta luôn luôn có hệ thức: ff t T t Tuỳ theo bản chất của quá trình lặp lại, ngƣời ta phân biệt các loại dao động: dao động cơ, dao động điện từ, dao động điện cơ, v.v ,Ở đây, chúng ta chỉ nghiên cứu các dao động cơ. Lý thuyết về dao động cơ học có một ý nghĩa cơ bản nó sẽ đƣợc áp dụng và mở rộng trong các lĩnh vực khác của vật lý học. Tùy từng trƣờng hợp mà quá trình dao động có thể đóng vai trò tích cực cũng có thế đóng vai trò tiêu cực. 3
9. 1.2. Khái niệm về dao động điều hoà Chúng ta xét thí dụ sau: Một chất điểm P chuyển động trên một đƣờng tròn bán kính R với vận tốc góc không đổi bằng  . Trên đƣờng tròn chọn điểm C làm gốc tọa độ và chiều quay dƣơng là chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ. Tại thời điểm ban đầu t 0, điểm P ở vị trí Po Hình 1.1. đƣợc xác định bởi góc . Tại thời điểm t bất kì vị trí của P đƣợc xác định bởi góc  t . Ta chiếu chuyển động của điểm P xuống đƣờng kính đi qua C. Chọn gốc tọa độ trên đƣờng kính đó, là tâm O của đƣờng tròn. Tại thời điểm t bất kì vết chiếu của P là P‟. Đặt OP' x , ta có: x Rcos  t (1.1) Đó là phƣơng trình chuyển động của điểm P' trên đƣờng kính C 'C . Nếu ta chiếu chuyển động của điểm P xuống đƣờng kính vuông góc với ta đƣợc P'' . Phƣơng trình chuyển động của sẽ là: x Rsin  t (1.2) 2 Từ (1.1) ta có: x Rcos  t R cos  t  Căn cứ vào định nghĩa chu kì ta thấy chuyển động của trên đƣờng 2 kính là một dao động tuần hoàn với chu kì T . T cũng chính là  thời gian để P quay đƣợc một vòng trên đƣờng tròn và trở lại vị trí cũ trên đƣờng kính . Từ (1.1) ta có vận tốc và gia tốc của là: v x Rsin  t 4
10. 2 a x R xcos  t Tƣơng tự với (1.2) ta cũng đƣợc kết quả tƣơng tự, tọa độ, vận tốc, gia tốc của nó đều dƣợc biểu diễn bởi các phƣơng trình dạng sin hoặc cosin. Dao động tuần hoàn nhƣ vậy đƣợc gọi là dao động điều hoà. Một dao động tuần hoàn mà các đại lƣợng biến đổi đều đƣợc biểu diễn bởi các phƣơng trình dạng sin hoặc cosin đƣợc gọi là dao động điều hoà. - Tọa độ x của P' đƣợc gọi là li độ của dao động. - Lƣợng  t cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc của tại mỗi thời điểm t bất kì đƣợc gọi là pha của dao động điều hoà. - Lƣợng cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban đầu t = 0 (trạng thái ban đầu của dao động) đƣợc gọi là pha ban đầu của dao động điều hoà. - R là giá trị cực đại của li độ ứng với sin  t hoặc cos  t đƣợc gọi là biên độ của dao động điều hoà. Nhƣ vậy li độ biến thiên trong khoảng R x R. - Trong dao động điều hoà, li độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với 2 2 một chu kì chung T . Ngƣời ta gọi lƣợng T là chu kì của dao   động điều hoà. Nghịch đảo của chu kì T đƣợc gọi là tần số của dao động điều hoà. Thứ nguyên của tần số:   T 1 Đơn vị của tần số (trong hệ đơn vị SI) là Hec; kí hiệu: Hz . Hec là tần số bằng một dao động trong thời gian một giây. 1Hs z 1 1 Hai dao động đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình: x1 A 1cos  1 t 1 5
11. x2 A 2cos  2 t 2 Nếu 2t 2  1 t 1 2 k với k = 0, ±1, ±2, ±3, Tức hai dao động có pha bằng nhau hoặc khác nhau một bội số chẵn của đƣợc gọi là hai dao động cùng pha. Nếu 2t 2  1 t 1 21 k với k = 0, ±1, ±2, ±3, Tức hai dao động có độ lệch pha bằng hoặc bội số lẻ của , đƣợc gọi là hai dao động ngƣợc pha. Hai dao động có pha khác nhau một lƣợng bất kì đƣợc gọi là hai dao động lệch pha. * Chú ý: Trong thí dụ mà ta đã xét trên, pha, pha ban đầu, tần số góc là những góc cụ thể và ta có thể trực tiếp đo đƣợc. Nhƣng trong trƣờng hợp tổng quát, chúng chỉ là các đại lƣợng trung gian giúp ta xác định li độ, vận tốc, gia tốc, v.v của dao động mà không biểu diễn một góc cụ thể nào cả. 1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn Để biểu diễn dao động tuần hoàn, tuỳ từng trƣờng hợp cụ thể mà chúng ta có thể sử dụng một trong ba phƣơng pháp sau: phƣơng pháp lƣợng giác, phƣơng pháp số phức và phƣơng pháp hình học. 1.3.1. Phương pháp lượng giác Phƣơng pháp lƣợng giác là phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn bởi các phƣơng trình lƣợng giác dạng sin hoặc cosin mà trên đây ta đã sử dụng: x Asin  t Hoặc: x Acos  t 6
12. 1.3.2. Phương pháp hình học Phƣơng pháp hình học (hay còn đƣợc gọi là phƣơng pháp giản đồ vectơ quay hay phƣơng pháp Frexnen) áp dụng tính chất đã đƣợc nghiên cứu ở thí dụ vừa xét: Khi một chất điểm P chuyển động đều trên một đƣờng tròn thì chuyển động của vết chiếu P'của nó trên một đƣờng Hình 1.2. kính là một dao động điều hoà. Hình 1.2. Trên trục x ta chọn điểm O bất kì làm gốc. Từ O đặt một vectơ A tạo với Ox một góc bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ A. đƣợc gọi là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dƣơng (ngƣợc chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng  . Vết chiếu của điểm đầu mút vectơ biên độ trên trục Ox sẽ dao động xung quanh điểm O với biên độ bằng độ dài vectơ biên độ, với tần số vòng bằng vận tốc quay của vectơ biên độ, và với pha ban đầu bằng góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox tại thời điểm ban đầu theo phƣơng trình: x Acos  t Nhƣ vậy, một dao động điều hòa có thể đƣợc biểu diễn bằng một vectơ có độ dài bằng biên độ dao động, tại thời điểm ban đầu hƣớng của vectơ hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu của dao động. Chính vì lý do nhƣ vậy mà pha ban đầu còn đƣợc gọi là góc pha, và  còn đƣợc gọi là tần số vòng. 1.3.3. Phương pháp số phức Ta biết một số phức a có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng a Aei A (cos i sin ) A cos iAsin Trong đó: Acos là phần thực của số phức a 7
13. iAsin là phần ảo của số phức a Một dao động điều hòa x Acos  t có thể đƣợc biểu diễn bởi phần thực của số phức aA eit  hoặc số liên hợp phức a là aA*e it  . Hay có thể viết dƣới dạng: a Aexp i  t Hoặc a* A exp i  t . Phƣơng pháp hình học và phƣơng pháp số phức giúp chúng ta tổng hợp những dao động điều hòa một cách đơn giản. Nếu ta có một dao động dạng sin thì ta có thể chuyển sang biểu diễn dƣới dạng cosin bằng cách đổi pha ban đầu, và có thể áp dụng hai phƣơng pháp trên. 1.4. Tổng hợp các dao động điều hòa Trong thực tế, nhiều khi có những vật đồng thời tham gia vào hai hoặc nhiều chuyển động điều hòa, khi đó chuyển động tổng hợp của vật sẽ là chuyển động tổng hợp của hai hoặc nhiều chuyển động điều hòa thành phần. 1.4.1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số Xét một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hòa cùng phƣơng cùng tần số nhƣng có biên độ và pha ban đầu khác nhau: x Acos( t ) 1 1 1 (1.3) x Acos( t ) 2 2 2 (1.4) Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động nói trên. x x1 x 2 A 1cos  t 1 A 2 cos  t 2 Chúng ta dùng phƣơng pháp hình học để tổng hợp hai dao động đó. Tại thời điểm ban đầu t 0 hai vectơ biên độ A1 và A2 tạo với Ox những góc 1 và 2 . Cả hai vectơ biên độ cùng quay với vận tốc góc  nhƣ 8
14. nhau, vì thế tại thời điểm t bất kì góc giữa chúng là không đổi và bằng 21 . Hình bình hành tạo bởi hai vectơ cơ sở A1 và A2 không biến dạng theo thời gian. Do vậy, vectơ tổng A cũng quay với vận tốc góc  và có độ lớn không đổi. Vì tổng hình chiếu của hai vectơ lên một trục bằng hình chiếu của vectơ tổng Hình 1.3 lên trục đó. Nên dao động tổng hợp x có thể biểu diễn bằng vectơ biên độ A lả tổng hình học của hai vectơ biên độ A1 và A2 AAA 12 Vậy: x x x Acos  t 12 (1.5) Chúng ta cần xác định A và Theo hình vẽ ta có: 2 2 2 AAAAA 2 cos 1 2 1 2 2 1 (1.6) AA1sin 1 2 sin 2 tan AAcos cos (1.7) 1 1 2 2 Ta thấy A , , là các hằng số, do vậy tổng hợp của hai dao động điều hoà trên cũng là một dao động điều hoà cùng tần số, cùng phƣơng biểu diễn bởi (1.5). Theo (1.6) thì biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào góc lệch pha giữa hai dao động thành phần 21. 9
15. 1.4.2. Tổng hợp hai dao động điều hoà có phương vuông góc với nhau Trong quang học, vật lý vô tuyến, có những trƣờng hợp phải tổng hợp hai dao động điều hoà có phƣơng vuông góc với nhau. Trƣớc tiên, ta xét trƣờng hợp một vật đồng thời tham gia vào hai dao động điều hoà cùng tần số  , theo hai phƣơng vuông góc với nhau Ox và Oy. Để đơn giản, ta chọn thời điểm ban đầu t = 0 là lúc pha ban đầu của dao động theo phƣơng trục x bằng không. Khi đó phƣơng trình của hai dao động thành phần: xA cos t (1.8) 1 y Acos  t (1.9) 2 Ở đây, là pha ban đầu của dao động theo phƣơng trục y và cũng là độ lệch pha giữa hai dao động. Các phƣơng trình (1.8) và (1.9) là phƣơng trình quỹ đạo mà theo đó vật chuyển động tham gia vào cả hai dao động, cho dƣới dạng tham số. Để nhận đƣợc phƣơng trình quỹ đạo dƣới dạng thông thƣờng cần phải khử t trong hai phƣơng trình (1.8) và (1.9). Từ (1.8) và (1.9) ta có : x cos t (1.8a) A 1 y cos t cos  tcos sin  tsin (1.9a) A 2 Nhân (1.8a) với cos rồi trừ đi (1.9a) ta đƣợc: xy cos sin  tsin AA12 Nhân (1.8a) với sin đƣợc: x sin cos  tsin A1 Bình phƣơng hai vế hai phƣơng trình trên rồi cộng vế với vế và giản ƣớc ta đƣợc: 10
16. x22 y xy 2 cos sin2 AAAA22 1 2 1 2 (1.10) A1, A2, là những hằng số, phƣơng trình (1.10), nói chung, là phƣơng trình của một đƣờng elíp có các trục quay đối với các trục tọa độ Ox và Oy. Sự định hƣớng của elíp và độ lớn của các bán trục của nó phụ thuộc một cách khá phức tạp vào các biên độ A1 , A2 và hiệu số pha . 1.5. Nguyên nhân gây ra dao động điều hoà Ta xét xem khi một vật dao động điều hoà, nó chịu tác dụng của những lực nhƣ thế nào? Trƣớc hết chúng ta xét một số thí dụ sau: 1.5.1. Thí dụ 1 Một hòn bi khối lƣợng m có thể chuyển động không ma sát trên một mặt phẳng nằm ngang. Nó đƣợc gắn vào một đầu của lò xo có khối lƣợng không đáng kể, đầu kia của lò xo đƣợc gắn cố định. Khi nén lò xo lại rồi buông ra, hòn bi sẽ thực hiện một dao động. Ta xét dao động đó. Hình 1.4. Khi hòn bi ở vị trí cân bằng, hòn bi đứng tại O. Trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với phản lực của mặt phẳng và tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng không. Chọn O làm gốc toạ độ. Khi ta nén lò xo lại và đƣa nó tới vị trí có tọa độ x. Tổng hợp lực tác dụng lên hòn bi đúng bằng lực đàn hồi F của lò xo. Với F = - kx (k là hệ sổ cứng của lò xo), do đó phƣơng trình của định luật Niutơn thứ hai cho chuyển động của hòn bi có dạng nhƣ sau: mx kx Hay: k xx 0 (1.11) m 11
17. k Đặt  2 , ta viết đƣợc phƣơng trình trên thành: m 0 2 xx 0 0 (1.11a) Nghiệm của phƣơng trình trên có thể là: x Asin  0 t Hoặc: x Acos  0 t Trong đó: t là thời gian, A,  0 , là những hằng số. Nghiệm cùa phƣơng trình (1.11a) biểu diễn một dao động điều hòa. Vậy chuyển động của hòn bi dƣới tác dụng của lực đàn hồi là một dao động điều hòa với tần số vòng: k  (1.12) 0 m Chu kì của dao động: 2 m T 2 (1.13)  k 0 Biên độ A và pha ban đầu là . Giá trị của A và đƣợc xác định dựa vào ban đầu của bài toán. 1.5.2. Thí dụ 2: Con lắc lò xo * Định nghĩa: Một vật nặng có khối lƣợng m đƣợc treo dƣới một lò xo đàn hồi có hệ số cứng k và khối lƣợng không đáng kể Ở vị trí cân bằng lực đàn hồi F0 của lò xo cân bằng với trọng lực P tác dụng lên vật. Gọi l là Hình 1.5. 12
18. độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. Chọn vị trí cân bằng của vật làm gốc tọa độ O, trục Ox hƣớng từ trên xuống dƣới, tại vị trí cân bằng ta có: FPo 0 Hay: FP0 0 P F0 k. l Kéo vật nặng xuống phía dƣới một đoạn rồi buông ra, vật sẽ chuyển động dƣới tác dụng của lực đàn hồi F và trọng lực P . Xét chuyển động của vật tại vị trí có li độ x. Khi đó, độ dãn của lò xo là lx và lực đàn hồi bằng F k l x . Hình chiếu của hợp lực tác dụng lên vật trên phƣơng trục x là: P F P F P k l x kx x Phƣơng trình định luật Niutơn thứ hai cho chuyển động của vật là: mx kx (1.14) Phƣơng trình này giống nhƣ phƣơng trình (1.11). Vậy ta có thể kết luận rằng vật nặng sẽ dao động điều hoà với tần số vòng: k  (1.15) 0 m Và chu kì: m T 2 (1.16) k Chu kì dao động của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc khối lƣợng m của vật nặng và hệ số cứng k của lò xo mà không phụ thuộc trọng lực P . Tác dụng lên vật nặng. Do vậy, chu kì dao động của con lắc sẽ không thay đổi nếu ta dịch chuyển con lắc đến một nơi bất kì trên Trái Đất, hoặc đặt nó trên con tàu 13
19. vũ trụ ở cách xa trọng trƣờng của Trái đất. * ứng dụng: Ngƣời ta có thể dùng con lắc lò xo để so sánh khối lƣợng m1 , m2 của hai vật khác nhau, bằng cách treo lần lần lƣợt hai vật đó vào cùng một lò xo và đo các chu kì T1 , T2 tƣơng ứng. m Từ: T 2 k Ta có: mm TT 2 12 ; 2 12kk Do vậy: mT2 11 mT2 22 - Ngƣời ta cũng dùng con lắc lò xo để đo hệ số cứng của lò xo. Nếu biết m, bằng thực nghiệm xác định đƣợc chu kỉ dao động T của con lắc lò xo thì hệ số cứng k của lò xo là: 4 2m k T 2 1.5.3. Thí dụ 3: Con lắc toán học * Định nghĩa: Con lắc toán học là một hệ gồm một vật nặng có kích thƣớc không đáng kể, treo ở đầu một sợi dây không dãn có khối lƣợng không đáng kể. Ở vị trí cân bằng, sức căng T của dây cân bằng với trọng lực P tác dụng lên vật. Tổng hợp lực tác dụng lên vật nặng bằng không. PT 0 Khi kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng rồi Hình 1.6. 14
20. buông ra, con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng. Xét chuyển động của con lắc. Chọn hệ tọa độ có gốc O trùng với vị trí cân bằng của con lắc, đƣờng tọa độ s trùng với đƣờng quỹ đạo, có chiều dƣơng là chiều tăng của s. Tại vị trí ứng với góc lệch (vật nặng có độ dời s), lực tác dụng lên con lắc gồm trọng lực P và sức căng T . Áp dụng định luật Niutơn thứ hai ta có phƣơng trình chuyển động của con lắc: P T ma Chiếu lên phƣơng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta đƣợc: Ptt ma ms Trong đó PPt sin mg.sin s Khi góc lệch nhỏ ta có sin Thay vào phƣơng trình trên l mg đƣợc: mss l g ss 0 Hay: l (1.17) Phƣơng trình này có dạng nhƣ phƣơng trình (1.11). Vậy, ta có thể kết luận chuyển động của con lắc toán học (ứng với góc lệch nhỏ) là một dao động điều hòa có tần số vòng là: g 0 (1.18) l Và chu kì: 2 l T 2 (1.19)  g 0 * Khi <10° các kết quả trên (1.18), (1.19) chính xác tới 0,2%. Ta có thể nói rằng chu kì của con lắc toán học không phụ thuộc khối lƣợng và biên 15
21. độ dao động của nó. Chu kì dao động của con lắc toán học phụ thuộc gia tốc trọng trƣờng g tại vị trí đặt con lắc. Do vậy, ngƣời ta có thể dùng con lắc toán học để xác định gia tốc trọng trƣờng g tại mỗi điểm. 4 2l g T 2 1.5.4. Thí dụ 4: Con lắc vật lý * Định nghĩa: Con lắc vật lý là một vật nặng bất kì có thể dao động tự do xung quanh một trục nằm ngang. Gọi d là bán kính vectơ từ trục quay O tới khối tâm G của con lắc (Hình 1.7). Tại vị trí cân bằng O và G nằm trên cùng một đƣờng thẳng đứng. Khi kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân Hình 1.7. bằng một góc lệch  nhỏ rồi buông ra, con lắc sẽ dao động xung quanh trục nằm ngang O. Xét chuyển động của con lắc tại vị trí bất kì ứng với góc lệch  , mômen lực tác dụng lên con lắc đối với trục quay O là: M d  P d  mg Áp dụng phƣơng trình định luật II Niutơn cho chuyển động quay xung quanh trục cổ định O ta có: M md  g I (1.20) Suy ra: mgd.sin I  I  Ở đây: - Dấu “-” xuất hiện do mômen lực M luôn hƣớng theo chiều có tác dụng làm giảm góc lệch 0 (ngƣợc chiều trục quay). - I: Mômen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua O Khi góc 16
22. lệch  nhỏ ta có thể lấy sin Vậy ta có: mgd  0 (1.21) I Nghiệm phƣơng trình trên có dạng:  cos t 00 (1.22) Trong đó: mgd  : tần số góc 0 I : Pha ban đầu 0 : Biên độ của dao động Do vậy chu kì dao động của con lắc là: 2 I T 2 (1.23)  mgd 0 So sánh (1.22), (1.23) với (1.18), (1.19) ta thấy con lắc vật lý dao động nhƣ một con lắc toán học có chiều dài bằng: I L (1.24) md Do vậy, L đƣợc gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lý và ta có thể viết: L T 2 (1.25) g Con lắc thuận nghịch Trên đƣờng tròn, lấy điểm O‟ sao cho OO‟= L. Vậy ta có thể coi O‟ là điểm tƣởng tƣợng tại đó tập trung toàn bộ khối lƣợng của con lắc vật lý để nó dao động giống nhƣ một con lắc toán học có chiều dài L. Ta gọi O‟ là tâm dao 17
23. động của con lắc vật lý. Ta sẽ chứng minh rằng, khi con lắc dao động xung quanh trục O‟, chiều dải rút gọn của nó vẫn là L và do đó chu kì dao động của nó vẫn bằng T nhƣ khi nó dao động xung quanh trục O. Theo định lý Stenơ - Huyghen ta có: 2 I = Ic + md Trong đó, Ic: mômen quán tính của vật đối với trục quay đi qua khối tâm C. Thay I vào (1.23) đƣợc: Ic Ld (1.25) md từ (1.25) ta thấy L > d do đó O và O‟ nằm ở hai phía đối với khối tâm C. Cho con lắc dao động xung quanh trục đi qua O‟. Theo (1.25) chiều dài rút gọn của con lắc sẽ là: Ic Ld'' md ' Theo hình vẽ ta thấy d‟= L – d. Kết hợp với (1.25) ta có: I d' L d c md Thay vào biểu thức xác định L‟ ta có: I L' L d c L d d L I m c md 1.6. Năng lƣợng của dao động điều hoà Chúng ta xét sự biến đổi của năng lƣợng trong dao động điều hoà. Cho lực F tác dụng lên hòn bi gắn vào lò xo, nhƣ thí dụ 1. Để đƣa hòn bi dần ra xa vị trí cân bằng của nó, tại từng điểm trên đƣờng đi của hòn bi, ngoại lực 18
24. F có độ lớn bằng nhƣng ngƣợc chiều với lực hồi phục của lò xo. Do vậy: F Fhp kx Khi đạt tới li độ x, ngoại lực đã thực hiện 1 công: 1 2 Ak x 2 Công này tạo ra thế năng cùa hòn bi tại li độ x: 1 Uk x2 2 Nếu ngoại lực đƣa vật tới li độ cực đại x = A rồi ngừng tác dụng, nó đã cung cấp cho hòn bi năng lƣợng: 1 2 E Umax kx 2 Xét chuyển động của hòn bi tại vị trí có li độ x, thế năng của nó lúc đó là: 1 Uk x2 2 Vận tốc của nó lúc đó là vx do đó động năng của viên bi là: 1 2 Tm x 2 Nếu phƣơng trình dao động của viên bi có dạng: x Asin  t Với km 2 ta có: 1 U kA22sin  t 2 112 2 2 2 2 T mAcos (  t ) kA cos  t 22 19
25. 1 E T U kA2 Do vậy: 2 (1.26) Vậy tại mỗi vị trí bất kì của dao động, năng lƣợng toàn phần của dao động có giá trị không đổi và đúng bằng năng lƣợng mà ngoại lực đã cung cấp cho vật. Điều đó phù hợp với nguyên lý bảo toàn năng lƣợng. Khi vật dao động qua vị trí cân bằng: x = 0 do vậy U = 0 và T = Tmax= E. Khi vật tới li độ cực đại x = A thì U = Umax = E và T = 0 Nhƣ vậy trong một chu kì dao động, năng lƣợng toàn phần hai lần chuyển hoá thành động năng và hai lần chuyển hoá hoàn toàn thành thế năng. Vì vậy, ngƣời ta nói rằng năng lƣợng cũng “dao động” với T chu kì T ' . Nếu ta gọi sự dao 2 động của năng lƣợng trong trƣờng hợp này là sự chuyển hoá lần lƣợt Hình 1.8. của nó thành động năng và thế năng. Ta đã xét dao động điều hoà băng phƣơng pháp động lực học, tức là dựa trên tính chất của lực tác dụng lên vật, từ đó tìm ra quy luật chuyển động của vật. Dƣới đây, chúng ta cũng có thể xét dao động bằng phƣơng pháp năng lƣợng. Dao động điều hoà của vật đƣợc xem nhƣ chuyển động của vật trong một hố thế. Đƣờng thế năng ở đây là đƣờng parabol: 1 Uk x2 2 Và năng lƣợng toàn phần: 1 E kA2 2 20
26. Nhƣ vậy vật sẽ chuyển động khoảng từ xA đến xA động năng 1 2 của nó bằng: 1 T E U k() A22 x 2 1 Tại xA thì U U kA2 và T= 0 max 2 1 Tại vị trí x = 0 thì U= 0 và T T kA2 . max 2 Nhƣ vậy, bằng phƣơng pháp năng lƣợng, ta lại tìm đƣợc các kết quả trên. 21
27. CHƢƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC 2.1. Demonstrate harmonic oscillator system Exercise 2.1.1: Find the period of small vertical oscillations of a body with mass m in the system illustrated k1 shown in Fig. 2.1. The stiffness values of the springs are k1 and k2 , their masses are negligible. k Solution: During the vertical oscillation let us locate 2 the block at a vertical down distance x from its equilibrium position. At this moment if x1 and x2 are the additional or Fig. 2.1. further elongation of the upper & lower springs relative to the equilibrium position, then the net unbalanced force on the block will be kx22 directed in upward direction. Hence k x mx 22 (1) We also here x x12 x (2) As the springs are massless and initially the net force on the spring is also zero so for the spring k x k x 1 1 2 2 (3) Solving the Eqns (1), (2) and (3) simultaneously, we get kk 12 x mx kk12 kk Thus xx 12 k12 k m kk Hence the sought time period Tm 2 12. kk12 22
28. Exercise 2.1.2: Determine the period of small longitudinal oscillations of a body with mass k k m in the system shown in Fig. 1 2 2.2. The stiffness values of the springs are k1 and k2. The Fig. 2.2. friction and the masses of the springs are negligible. Solution: The net unbalanced force on the block m when it is at a small horizontal distance x from the equilibrium position becomes (k1+k2)x. From Fxx mw for the block: k() k12 k x mx kk12 Thus xx m m Hence the sought time period T 2 kk12 Alternate: Let us set the block m in motion to perform small oscillation. Let us locate the block when it is at a distance x from its equilibrium position. As the spring force is restoring conservative force and deformation of both the springs are same, so from the conservation of mechanical energy of oscillation of the spring-block system: 2 1 dx 122 1 m k12 x k x Constant 2 dt 2 2 Differentiating with respect to time 11 m2 xx ( k k )2 xx 0 2212 ()kk or, xx 12 m 23
29. m Hence the sought time period T 2 kk12 Exercise 2.1.3: Determine the period of oscillations of mercury of mass mg 200 poured into a bent tube (Fig. 2.3) whose right arm forms an angle  30o with the vertical. The cross-sectional area of the tube is S 0.50 cm2 . The viscosity of mercury is to be neglected. Fig. 2.3. m Answer: T 2 . gS 1 cos Exercise 2.1.4: A uniform rod is placed on two spinning wheels as shown in Fig. 2.4 The axes of the wheels are separated by a distance l 20 cm, the coefficient of friction between the rod and the wheels is k 0.18. Demonstrate that in this case the rod performs harmonic oscilla-tions. Find the period of these oscillations. Fig. 2.4. Answer: ll2 Ts 2 1.5 . 2kg kg 24
30. Exercise 2.1.5: In the arrangement shown in Fig. 2.5 the sleeve M of mass m 0.20 kg is fixed between two identical springs whose combined stiffness is equal to k 20 N / m . The sleeve can slide without friction over a horizontal bar AB. The arrangement rotates with a constant angular velocity  4.4rad / s about a vertical axis passing through the middle of the bar. Find the period of small oscillations of the sleeve. At what values of o will there be no oscillations of the sleeve? Fig. 2.5. 2 Answer: Ts 0.7 k  2 m The sleeve will not perform small oscillations if k  10rad / s m 2.2. Find the quantity characteristics of the harmonic oscillator Exercise 2.2.1: A block with a mass of 200 g is connecteed to a light spring for which the force constant is 5.00 N/m and is free to oscillate on a horizontal, Fig. 2.6. 25
31. frictionless surface. The lock is displaced 5.00 cm from equilibrium and released from rest, as shown in Fig. 2.6. a) Find the period of its motion. b) Determine the maximum speed of the block. c) What is the maximum acceleration of the block? d) Express the displacement, speed, and acceleration as functions of time. Solution: d2 x k dx2 a) From Equations x and  2 x , we know that the dt2 m dt 2 angular frequency of any block-spring system is k 5.00  5.00rad / s m 200 10 3 And the period is 22 Ts 1.26  5.00 2 b) vmax  A 5.00 5.00 10 0.250 m / s 22 2 2 c) amax  A 5.00 5.00 10 1.25 m / s d) This situation corresponds to Special Case 1, where our solution is x Acos t . Using this expression and the results from (a) , (b), and (c), we find that x Acos t 0.05cos5.00 t ( m ) v  Asin t 0.25 sin5.00 t (m/ s) a 22A cos t 1.25 cos5.00t m / s Exercise 2.2.2: An object oscillates with simple harmonic motion along the x axis. Its displacement from the origin varies with time according to the equation 26
32. x 4.00cos t m 4 Where t is in seconds and the angles in the parentheses are in radians. a) Determine the amplitude, frequency, and period of the motion. b) Calculate the velocity and acceleration of the object at any time t. c) Using the results of part (b), determine the position, velocity, and acceleration of the object at ts 1.00 . d) Determine the maximum speed and maximum acceleration of the object. e) Find the displacement of the object between t=0 and t=1.00s. Solution: a) The general equation for simple harmonic motion x Acos  t  we see that A= 4.00 m and  rad/s. Therefore, f 0.50 Hz 22 1 and Ts 2.00 . f b) dx dt v 4.00 m sin t dt 4 dt 4.00 sin t m / s 4 dv 22 a 4.00 cos t m / s dt 4 c) Noting that the angles in the trigonometric funotions are radians, we obtain, at t=1.00 s, 5 x 4.00cos m 4.00cos m tt 4.00 0.707 2.83m 27
33. 5 v 4.00 sin m / s 4.00 0.707 8.89 m / s t 2 5 2 2 2 a 4.00 cos m / s 4.00 m / s 0.707 t 27.9ms / 2 d) In the general expressions for v and a found in part (b), we use the fact that the maximum values of the sine and cosine functions are unity. Therefore, varies between 4.00 ms / , and varies between 4.00 2m / s 2 39.5 m / s 2 2 We obtain the same results using vAmax  and aAmax  , where A=4.00m and  rad/ s , e) The x coordinate at t=0 is xi 4.00cos 0 m 4.00 m 0.707 2.83 m 4 In part (c), we found that the x coordinate at t=1.00s is 2.83m; therefore, the displacement between t=0 and t=1.00s is x xfi x m 2.83 m 2.83 m 5.66 m Because the object‟s velocity changes sign during the first second, the magnitude of x is not the same as the distance traveled in the first second. (By the time the first second is over, the object has been through the point x=- 2.83m once, traveled to x=-4.00m, and come ack to x=-2.83m.) Exercise 2.2.3: The position of a particle is given by the expression xt (4.00m)cos(3.00 ) , where x is in meters and t is in seconds. Determine: a) The frequency and period of the motion, b) The amplitude of the motion, 28
34. c) The phase constant, and d) The position of the particle at t = 0.250s 1 Answer: a)  2 f 3.00 or f 1.50 Hz , Ts 0.667 f b) A=4.00m c)  rad d) x t 0.250 s 4.00 m cos 1.75 2.83 m Exercise 2.2.4: A block of unknown mass is attached to a spring of spring constant 6.50 N/m and undergoes simple harmonic motion with an amplitude of 10.0 cm. When the mass is halfway between its equilibrium position and the endpoint, its speedis measured to be + 30.0 cm/s. Calculate a) The mass of the block, b) The period of the motion c) The maximum acceleration of the block. Answer: a) m = 0.441kg b) T = 1.73s cm c) a 132 max s2 Exercise 2.2.5: In an engine, a piston oscillates with simple harmonic motion so that its position varies according to the expression where x is in centimeters and t is in seconds. At t = 0, find: a) The position of the piston, b) Its velocity, and c) Its acceleration. d) Find the period and amplitude of the motion Answer: a) x 4.33 cm b) v 5.00 cm / s 29
35. c) a 17.3 cm / s2 d) A 5.00 cm and Ts 3.14 2.3. The energy of harmonic oscillation Exercise 2.3.1: A body of mass m fell from a height h onto the pan of a spring balance (Fig. 2.7). The masses of the pan and the spring are negligible, the stiffness of the latter is x. Having stuck to the pan, the body starts performing harmonic oscillations in the vertical direction. Find the amplitude and the energy of these oscillations. Solution: As the pan is of negligible mass, there is no loss of kinetic energy through the collision is inelastic. The mechanical energy of the body m in the Fig. 2.7. field generated by the joint action of both the gravity force and the elastic force is conserved i.e. E 0 . During the motion of the body m from the initial to the final (position of maximum compression of the spring) position T 0, and therefore UUU gr sp 0 1 Or mg( h x ) kx2 0 2 On solving the quadratic equation: mg m22 g2 mgh x k k2 k As minus sign is not acceptable mg m22 g2 mgh x k k2 k If the body m were at rest on the spring, the corresponding position of m will be its equilibrium position and at this position the resultant force on the 30
36. body m will be zero. Therefore the equilibrium compression x (say) due to the body m will be given by mg k x mg or x k Therefore separation between the equilibrium position and one of the extreme position i.e. the sought amplitude m22 g2 mgh a x x kk2 The mechanical energy of oscillation which is conserved equals EU extreme , because at the extreme position kinetic energy becomes zero. Although the weight of body m is a conservative force, it is not restoring in this problem, hence Uextreme is only concerned with the spring force. Therefore 1 mg22 E U ka2 mgh . extreme 22k Exercise 2.3.2: A uniform rod of mass m = 1.5 kg suspended by two identical threads 1 = 90 cm in length (Fig 2.8.) was turned through a small angle about the vertical axis passing through its middle point C. The threads deviated in the process through an angle a = 5.0°. Then the rod was released to start performing small oscillations. Find: FigFig 2.8. 7 a) The oscillation period; b) The rod's oscillation energy. 31
37. Solution: a) Let us locate the system when the threads are deviated through an angle_, during the oscillations of the system (Fig). From the conservation of mechanical energy of the system: 1 mL2  2 mgl(1 cos ') constant (1) 2 12 Fig. 2.9. Where L is the length of the rod, is the angular deviation of the rod from its equilibrium position i.e.  0 . Differentiating Eqn. (1) w.r.t. time 1 mL2 2. .  mgl sin ' ' 0 2 12 L2 So,  gl ' ' 0 (for small ', sin ' ' ) 12 But from the Fig. L L  l ' or ' 2 2l L So, ' 2l d ' Putting these values of ' and in Eqn. (2) we get dt dg2 3  dt2 l Thus the sought time period 2 l T 2 o 3g b) The sought oscillation energy 32
38. 22mgl E U mgl(1 cos ) mgl 2sin2 mgl2 extreme 2 42 (because for small angle sin ) Exercise 2.3.3: A 0.50kg cube connected to a light spring for which the force constant is 20.0 N/m oscillates on a horizontal, frictionless track. a) Calculate the total energy of the system and the maximum speed of the cube if the amplitude of the motion is 3.00 cm. b) What is the velocity of the cube when the displacement is 2.00 cm? c) Compute the kinetic and potential energies of the system when the displacement is 2.00 cm. Solution: a) We obtain 11 2 E K U kA2 20.0 N / m 3.00 10 2 m 9.00 10 3 J 22 1 When the cube is at x=0, we know that U 0 and E mv2 ; 2 max therefoce; 1 mv23 9.00 10 J 2 max 18.0 10 3 J v 0.190 m / s max 0.500kg b) k v A22 x m 20.0Nm / 2 (0.030m)2 0.020m 0.500kg 0.141ms / The positive and negative signs indicate that the cube could be moving to cither the right or the left at this instant. 33
39. c) Using the result of (b), we find that 11 2 K mv23 0.500 kg 0.141 m / s 5.00 10 J 22 11 2 U kx23 20.0 N / m 0,020 m 4.00 10 J 22 Note that KUE . Exercise 2.3.4: A 1.15kg mass oscillates according to the equation x( t ) 0.65cos(7.4 t ). where x is in meters and t in seconds. Determine: a) The amplitude, b) The frequency, c) The total energy, d) The potential energies when x = 0.26 m. Answer: a) A = 0.650m b) F=1.18Hz c) E=13.3J d) U=2.1J Exercise 2.3.5: A 2.00-kg object is attached to a spring and placed on a horizontal, smooth surface. A horizontal force of 20.0 N is required to hold the object at rest when it is pulled 0.200 m from its equilibrium position (the origin of the x axis). The object is now released from rest with an initial position of xi = 0.200 m, and it subsequently undergoes simple harmonic oscillations. Find a) The force constant of the spring, b) The frequency of the oscillations 34
40. c) The maximum speed of the object. Where does this maximum speed occur? d) The maximum acceleration of the object. Where does it occur? e) The total energy of the oscillating system. Answer: F 20.0N k 100 N / m a. xm0.200 b.  50rad / s so f 1.13 Hz c. vmax 1.41 m / s at x 0 2 d. amax 10.0 m / s at xA e. EJ 2.00 2.4. Synthetic harmonic oscillator Exercise 2.4.1: Using graphical means, find an amplitude a of oscillations resulting from the superposition of the following oscillations of the same direction: (a) xt1 3.0cos  , xt2 8.0sin( ); 3 6 (b) xt1 3.0cos , xt2 5.0cos  , xt3 6.0sin . 4 Solution: a) We take a graph paper and choose an axis (x-axis) and an origin. Draw a vector of magnitude 3 inclined at an angle with the x-axis. Draw 3 another vector of magnitude 8 inclined at an angle (since 3 sin tt cos ) with the X-axis. The magnitude of the resultant 63 35
41. of both these vectors (drawn from the origin) obtained using paral-lelogram law is the resultant, amplitude 21 Clearly R2 3 2 8 2 2.3.8.cos 9 64 48 32 73 24 49 Thus R = 7 Units b) One can follow the same graphical method here but the rusult can be obtained more quickly by breaking into sines and cosines and adding : 55 Resultant x 3 cos t 6 sin t 22 Atcos  22 2 5 5 30 60 Then A 3 6 9 25 36 2 2 2 =70 15 2 70 21.2 So A= 6.985 7 units Note- In Using graphical method convert all oscillations to either sines or cosines but do not use both. Exercise 2.4.2: The superposition of two harmonic oscillations of the same direction results in the oscillation of a point according to the law x cos2.1 t cos50.0 t , where t is expressed in seconds. Find the angular frequencies of the constituent oscillations and the period with which they beat. Solution: We write: a Acos2.1 t cos50.0 t cos52.1t cos47.9t 2 36
42. Thus the angular frequencies of constituent oscillations are 52.1s 1 and 47.9s 1 To get the beat period note that the variable amplitude cos2.1t becomes maximum (positive or negative), when 2.1tn Thus the interval between two maxima is 1.5s nearly 2.1 Exercise 2.4.3: A point participates simultaneously in two harmonic oscillations of the same direction: xt1 acos and x2 a cos 2 t . Find the maximum velocity of the point. Answer: vamax 2.74  Exercise 2.4.4: Two points oscillate quality conditioner on the same axes coordinates Ox, considered during two points oscillate not bumping into each other. The equation of oscillations of a two-point x1 4cos 4 t cm; x2 4 2 cos 4 t cm turn is; . In the process, the 3 12 largest distance between two bodies is ? Answer: 4cm Exercise 2.4.5: Two harmonic motion, same frequency oscillator equation x11 Acos  t cm ; x22 Acos  t cm. Synthetic 3 2 oscillator equation of the two ranges is: xt 6cos  cm. Amplitude A1 be changed. A1 change to A2 large value. Find A2max ? Answer: 12cm 2.5. Exercises on the graph of the harmonic oscillator Exercise 2.5.1: The diagram below shows the velocity of a 2.00kg mass on a horizontal spring. What is the maximum amplitude of the object's displacement? What is 37
43. the maximum acceleration? Draw the reference circle. What is the phase constant? Write down the equation of the displacement as a function of time. What is the spring constant? What is the total energy? When exactly will the mass have maximum positive velocity (point A)? Fig. 2.10. Solution: The equation for the velocity of an object undergoing SHM 2 has the form v t vsin  t , where vA  and  . max 0 max T Examining the graph, we see that the period is T=0.1s, so  20 s 1 . Also the maximum velocity is 5 m/s. From this we determine that v 5 Am max 0.0796 . Furthermore, the maximum acceleration is  20 22 amax  A  v max 100 m / s . To draw the reference circle note that the t = 0 velocity is positive (moving to the right) which only occurs when the object is in quadrants III and IV. Next note that the given vt graph has the velocity going to a maximum, which occurs when the object passes through equilibrium. Thus the object is in the third quadrant. 38
44. Fig. 2.11. We use the velocity equation, v t vmaxsin  t 0 , at t=0 to find 1 the phase constant 0 . We already found  20 s . Again we look at the value of the graph at t = 0 which is v(0) = 2.40 m/s. So we have 2.40 5sin 0 , or sin 0 0.48 o There are two angles on the unit circle that satisfy this, 0 28.69 o and 0 151.31 . The second angle is in the third quadrant as is necessary. o As a positive angle this is 0 208.7 3.643rad Our equation is x(t) = (0.0796 m)cos(20πt + 3.643). K The spring constant is given by  2 , so m K (20 s 12 ) 2.00 kg 7896 N / m 1 The total energy is E kA2 25 J total 2 To find when the object is at point A, maximum velocity to the right, note that the object must be at point 4 of the reference circle. So the object needs to rotate to 270o from 208.7o . Since rotating 360o takes one period 61.3 which here is 0.1 s, t 0.1 s 0.0170 s A 360 39
45. Exercise 2.5.2: For the graph of a harmonic oscillator a) Feature: the amplitude, angular frequency, frequency, cycle. b) Initial phase c) Writen: equations fluctuate. d) The velocity equation. e) After the consecutive priod by each other and by how much, the kinetic energy back by potential energy Fig. 2.12. Solution: a) We have A 10 cm At t 0; x 5 cm ; x is decreasing x 1 xA cos cos   A 23 Use the relationship between harmonic oscillations and the circular motion Because is decreasing so we choose  3 Time away from x 5 come x 0 Fig. 2.13. 40
46. T 1 Was t s T 0.5 s 12 24 2  4 ; f 2 Hz T b) A ccording to a question I have  3 c) xt 10cos 4 3 .' d) v x 40 sin 2 t 3 e) The kinetic energy equals the potential energy at the position 11 A W W W 22 W kA22 kx x d t t 22 2 A Time away from x 1 2 A come x : 2 2 T 1 t s 0.125 s 48 Fig. 2.14. Exercise 2.5.3: Here (Fig. 2.15) is a displacement-time graph of an object moving with simple harmonic motion. What is the frequency of the SHM? 41
47. Fig. 2.15. Answer: f 0.40 Hz Exercise 2.5.4: For the graph of a harmonic oscillator. a) Feature: the amplitude, angular frequency, frequency, cycle. b) Initial phase c) Written: equations fluctuate. d) The velocity equation. e) Acceleration equation. f) After the consecutive period by each other and by how much, the kinetic energy back by potential energy. Fig. 2.16. Answer: 42
48. a) A 10 cm ; 2 ; f 1 Hz b)  3 c) xt 10cos 2 3 d) vt 20 sin 2 3 e) ax 2 f) ts 0.25 Exercise 2.5.5: Fig. 2.18 shows two examples of SHM, labeled A and B. For each, what is a) the amplitude, b) the frequency, and c) the period? d) Write the equations for both A and B Fig. 2.18 Answer: a) Am 2.5 Am 3.5 A B c) TA 4.0 Sec ; TB 2. Sec 1 1 b) fA 0.25 Hz ; fB 0.50 Hz TA TB d) xB 3.5cos t m xA 2.5cos t m 22 43
49. Exercise 2.5.6: The diagram below shows the motion of a 2.00−kg mass on a horizontal spring. Draw the reference circle. Find the phase constant. Write down the equation of the displacement as a function of time. Fig. 2.19 Answer: The reference circle looks like Fig. 2.20. The equation of the displacement is xt 0.10cos 10 3.864 44
50. KẾT LUẬN Khóa luận „„Sử dụng tiếng anh cho vật lý trong phân dạng bài tập phần dao động điều hòa” hoàn thành đã thu đƣợc kết quả sau: -Trình bày đƣợc cơ sở lí luận của dao động điều hoà trong cơ học một cách khoa học, logic, chặt chẽ để có kiến thức cơ bản từ đó giải các bài tập dao động điều hòa -Trình bày đƣợc phân dạng bài tập dao động điều hòa trong cơ học bằng tiếng Anh, gồm có 5 dạng trong đó có bài tập mẫu và bài tập tự giải có đáp số: + Dạng 1: Demonstrate harmonic oscillator system. + Dạng 2: Find the quantity characteristics of the harmonic oscillator. + Dạng 3: The energy of harmonic oscillation. + Dạng 4: Synthetic harmonic oscillator. + Dạng 5: Exercises on the graph of the harmonic oscillator. Do thời gian và hiểu biết còn hạn chế nên bài khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, rất mong nhận đƣợc sự đóng góp từ quý thầy cô và các bạn để để tài đƣợc hoàn thiện hơn. 45
51. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lê Đình Trọng, Dao động và sóng, Nhà xuất bản đại học sƣ phạm Hà Nội 2 – 2013. 2. Phạm Viết Trinh - Nguyễn Văn Khánh – Lê Văn, Bài tập Vật lý đại cương, tập 1, Nhà xuất bản giáo dục - 1982. 3. Hana Dobrovolny, Lecture note for Physics 10154: General Physics, Department of Physics & Astronomy, Texas Christian University, Fort Worth, TX, December 3 - 2012. 4. I.E.Irodov, Problems in General Physics, Mir Publishers Moscow - 1981. 5. Đặng Mộng Lân – Ngô Quốc Quýnh, đi n vật lý nh – Vi t, Nhà Xuất bản Khoa học và Kỹ thuật – 1991. 46