Khóa luận Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học

Nội dung text: Khóa luận Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ LÊ NGỌC DƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ CÁC NGUYÊN LÝ TRONG CƠ HỌC Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN HÀ NỘI, 2018
2. LỜI CẢM ƠN Với tấm lòng tri ân và biết ơn chân thành, em xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Phương Lan đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và tạo điều kiện thuận lợi để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong khoa Vật Lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng, em xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện vật chất và tinh thần để em hoàn thiện được khóa luận của mình. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất, song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin trân trọng cảm ơn! Sinh viên Lê Ngọc Dương i
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận là kết quả của sự cố gắng và nỗ lực nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của Th.S Nguyễn Thị Phương Lan không trùng khớp với bất kì tài liệu nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lê Ngọc Dương ii
4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Cấu trúc của luận văn 2 NỘI DUNG 3 Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 3 1.1 Cơ sở lý thuyết. 3 1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do 3 1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ 3 1.1.1.2 Số bậc tự do 4 1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng. 4 1.1.2.1 Tọa độ suy rộng 4 1.1.2.2 Lực suy rộng 4 1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 5 1.1.3.1 Liên kết lý tưởng. 5 1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 5 1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do. 7 1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ 7 Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 14 2.1 Cơ sở lý thuyết. 14 2.1.1 Nguyên lý Đalămbe. 14 2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm. 14 2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ. 14 iii
5. 2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn. 16 2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến. 16 2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng. 17 2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. 18 2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe 18 Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 24 3.1 Cơ sở lý thuyết. 24 3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 25 Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30 4.1 Cơ sở lý thuyết. 30 4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30 4.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu 31 4.2 Một số bài tập về nguyên lý tác dụng tối thiểu. 33 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iv
6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý học là bộ môn khoa học tự nhiên, tập trung nghiên cứu vật chất và chuyển động của nó trong không gian và thời gian. Vật lý học phát triển không ngừng với nhiều chuyên ngành vật lý khác nhau, trong đó có chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” – diễn tả các quy luật, những học thuyết, suy luận logic để tìm ra những nguyên lý mới chưa tìm được bằng thực nghiệm. Để nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật và sự tác dụng tương hỗ giữa chúng – bộ môn Cơ học lý thuyết ra đời. Trong cơ học lý thuyết chúng ta cần chú ý bốn nguyên lý quan trọng. Đó là “Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; “Nguyên lý Đalămbe”; “Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng”. Các nguyên lý trong cơ học cho phép ta thành lập được các phương trình vi phân chuyển động và điều kiện cân bằng của cơ hệ. Và việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập Cơ học lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với chúng ta, qua đó giúp hiểu sâu về lý thuyết đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng học tập. Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài: “Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học” để hiểu rõ hơn về các nguyên lý và áp dụng các nguyên lý đó vào giải các dạng bài tập. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về một số nguyên lý trong cơ học: + Nguyên lý di chuyển khả dĩ. + Nguyên lý Đalămbe. + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng. + Nguyên lý tác dụng tối thiểu. - Áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bài toán cơ học. 1
7. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các nguyên lý: + Nguyên lý di chuyển khả dĩ. + Nguyên lý Đalămbe. + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng. + Nguyên lý tác dụng tối thiểu. - Dạng bài tập về các nguyên lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về các nguyên lý trong cơ học. - Nghiên cứu dạng bài tập về các nguyên lý đó. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo. - Thống kê, lập luận, diễn giải. 6. Cấu trúc của luận văn Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.2 Các dạng bài tập Chương 2: Nguyên lý Đalămbe. 2.1. Cơ sở lý thuyết 2.2. Các dạng bài tập Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng. 3.1. Cơ sở lý thuyết 3.2. Các dạng bài tập Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu. 4.1 Cơ sở lý thuyết 4.2 Một số bài tập 2
8. NỘI DUNG Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 1.1 Cơ sở lý thuyết. 1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do 1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ. Cơ hệ không tự do là cơ hệ tập hợp nhiều chất điểm mà chuyển động của chúng không những phụ thuộc vào các lực tác động mà còn phụ thuộc vào một số điều kiện ràng buộc về hình học và động học. Ngược lại thì ta có cơ hệ tự do. Di chuyển khả dĩ của cơ hệ không tự do là tập hợp di chuyển vô cùng nhỏ của các chất điểm tại vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà cơ hệ có thể thực hiện phù hợp với liên kết đặt lên hệ. Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất điểm là rxyz(,,) (với r là vectơ định vị của chất điểm), để phân biệt được với di chuyển thật drdxdydz(,,) . Xét cơ hệ gồm N chất điểm, điều kiện để rk (kN=1, ) là di chuyển khả f dĩ nếu thỏa mãn r = 0 hay trong dạng:  r fff xyzkkk++= 0 (1.1) xyzkkk Ta có thể dễ dàng nhận thấy di chuyển thực là một trong những di chuyển khả dĩ. Do vậy di chuyển khả dĩ là di chuyển do ta tưởng tượng ở một thời điểm cố định còn di chuyển thực thì được thực hiện theo thời gian. Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng và điều kiện đầu và liên kết đặt lên hệ còn đối với di chuyển khả dĩ thì nó chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên nó do vậy di chuyển thực chỉ có một còn di chuyển khả dĩ có một hoặc nhiều di chuyển. 3
9. 1.1.1.2 Số bậc tự do Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến tính của cơ hệ, nghĩa là bằng số biến phân độc lập của các toạ độ. Cách xác định số bậc tự do: Giả sử cơ hệ có n chất điểm và chịu m phương trình liên kết độc lập với nhau trong cơ hệ thì số bậc tự do của hệ sẽ là S=−3 n m Phương trình liên kết: là các phương trình hay bất phương trình biểu thị về mặt toán học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất điểm thuộc cơ hệ. Dạng của phương trình liên kết là: ftxyz (,1 , 1 , 1 , , xyzxyzn , n , n , 1 , 1 , 1 , , xyz n , n , n ) 0 ( =1, m) (1.2) 1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng. 1.1.2.1 Tọa độ suy rộng Tọa độ suy rộng là các tham số có thứ nguyên nào đó xác định một cách đơn trị vị trí của cơ hệ tại một thời điểm đó. Số các tọa độ suy rộng bằng số bậc tự do của cơ hệ. Tọa độ suy rộng thường được kí hiệu là qi (i=1,2, ), có thể đại diện cho đơn vị độ dài, góc quay, diện tích, điện lượng Tọa độ suy rộng đủ là số các tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ. Tọa độ dư thừa là vượt quá số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hệ. 1.1.2.2 Lực suy rộng Xét cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của lực FkNk (1)= tác dụng vào chất điểm Mxyzkkkk(,,) , từ biểu thức tính công nguyên tố của công khả dĩ ta được: NN   Akk= F rk (1.3) kk==11 s rk Trong đó: rqk =  i : di chuyển khả dĩ  rk trong tọa độ suy rộng. i=1 qi 4
10. Thế vào biểu thức trên ta được: NNs r sN r k = F k AFqqkkki= i  (1.4) kk==11i=1 qi ik==11 qi N r Q = k Ta gọi đại lượng jkF là lực suy rộng tương ứng với tọa độ k=1 qi suy rộng qi. Vậy lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy rộng qi là đại lượng vô hướng biểu thị bằng hệ số của biến phân tương ứng trong biểu thức tổng công của các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kì nào của cơ hệ đó. 1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 1.1.3.1 Liên kết lý tưởng. Định nghĩa: Liên kết của cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công nguyên tố của phản lực liên kết tác dụng lên cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ đều bằng không. N Biểu thức: ANrkkk==0 Trong đó Nk là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk,  rk là véc tơ di chuyển khả dĩ của chất điểm đó. Nếu các liên kết không phụ thuộc vào thời gian, các lực ma sát trượt và ngẫu lực ma sát lăn không sinh công trong di chuyển có thể của hệ thì cơ hệ đó chịu liên kết lý tưởng. 1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ. Phát biểu nguyên lý: khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tưởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công của lực chủ động tác dụng lên hệ trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ tại vị trí đang xét bằng không. N A== F r 0  k k k (k=1 N) (1.5) k=1 5
11. Chứng minh: Giả sử chất điểm thứ k của hệ chịu tác dụng của hợp lực của các lực chủ động Fk và của hợp lực của các phản lực liên kết Nk + Điều kiện cần: Hệ ở trạng thái cân bằng thì các phản lực phải thỏa mãn điều kiện: FNkk+=0 (k=1 N) Ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ thì chất điểm thứ k có di chuyển khả dĩ là rk Do đó: Fk r k+= N k r k 0 NN Viết cho cơ hệ ta sẽ thu được: FrNrkkkk+=0 kk==11 N N Do cơ hệ chịu liên kết lý tưởng nên  Nrkk = 0 nên  Frkk 0 k=1 k=1 + Điều kiện đủ: Giả sử hệ thỏa mãn (1.5) ta phải đi chứng minh rằng điều kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Nếu hệ không cân bằng nghĩa là hệ di chuyển suy ra dT >0 NN Theo định lý động năng dTFrNr=+ kkkk0 kk==11 N Mà do hệ chịu liên kết lý tưởng nên  Frkk 0 điều này trái k=1 với giả thiết. Vậy hệ cơ hệ không thể di chuyển được hay hệ cân bằng mãi mãi. Ý nghĩa: Ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát, trong khi đó các phương pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ. Lưu ý: Nếu hệ có liên kết lý tưởng thì chỉ cần tính đến các lực chủ động còn các phản lực liên kết có thể bỏ qua. 6
12. Hệ có bao nhiêu bậc tự do phải có bấy nhiêu điều kiện cân bằng thỏa mãn hệ thức (1.5) 1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do. + Trong tọa độ Đề các Gọi X Ykkk,, Z là hình chiếu của các lực chủ động Fk và  x kkk,,yzlà hình chiếu của di chuyển có thể  rk của chất điểm thứ k xuống các trục tọa độ. N Fr = Theo (1.5) ta có:AXxYyZzkkkkk=++= k ( kkk ) 0 (1.6) k=1 Đây là điều kiện cân bằng của hệ trong hệ tọa độ Đề các. + Trong tọa độ suy rộng q1, ,qm NN s Theo (1.5) ta có AFrQqkkk=== jj0 . Do  q j biến thiên kk==11 một cách độc lập nên ta sẽ có điều kiện cân bằng sau: QQQ12===0,0, ,0 M . Đây chính là điều kiện cân bằng của hệ trong tọa độ suy rộng. 1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ. Từ những cơ sở lý thuyết được nêu trên ta có thể phân chia một số dạng bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau: Dạng 1: Bài toán liên hệ giữa các lực chủ động để hệ cân bằng. Dạng 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng. Dạng 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ. Bài tập tương ứng Bài 1.1: Cho 2 tải trọng A và B trên các mặt nghiêng với những góc 훼 và β so với phương nằm ngang, được giữ cân bằng nhờ tải trọng C như hình 1.1. 7
13. Tìm trọng lượng PA và PB của 2 tải trọng A, O1 B, bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc và dây A B cáp. O2  Bài giải: C Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng. Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có 2 bậc tự do. H×nh1. Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ O q12 x== q y , và xác định vị trí các vật A, B trên mặt nghiêng. O1 Chọn trục 0xx12 như hình vẽ, chiều x1 x2 A xc B dương hướng xuống dưới. O2  Do dây không giãn nên chiều dài dây không đổi nên ta có P xxxconst12++= 2 c 1 Suy ra: xxx++= 20 hay xxx= −+ 12 c c 2 ( 12) Để tìm lực suy rộng ta cho hệ di chuyển khả dĩ 1 xxxx = =0;0 − 121 c 2 Tổng công khả dĩ của các lực chủ động trong di chuyển khả dĩ trên là: 1  AFPxPx()sin=+ =− AFPx()sin P  xck A 1  x1 k A 1 1 2  AFx ()k P = ==−QP 1 sin x1 A  x1 2  AFx ( k ) P Tương tự ta có: QP= 2 =sin  − x2 B  x2 2 8
14. P PA = Qx = 0 2sin Theo điều kiện cân bằng ta có: 1 P Qx2 = 0 PB = 2sin  Bài 1.2 Cho cơ hệ được biểu A x diễn trên hình vẽ. Dây mềm C E Q mảnh, nhẹ và không giãn được buộc vào vật A, vòng qua ròng B rọc cố định C, ròng rọc động D y và ròng rọc cố định E, cuối cùng buộc vào vật nặng B. Tại trục K Hinh 1.2 ròng rọc động D có treo vật K có trọng lượng Q. Cho biết hai vật A, B có cùng trọng lượng P. Xác định P theo Q và xác định hệ số ma sát trượt giữa vật A và mặt phẳng ngang để hệ cân bằng. Bài giải: Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng. Cơ hệ có 2 bậc tự do. Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ q12== x, q y . Chọn trục tọa độ như hình vẽ. Các lực chủ động tác động lên cơ hệ Fms Q,, P Cho hệ một di chuyển khả dĩ xyy,,0 1 Khi đó ta có:  AFF()k =− msx++ P  y Q  y1 yx− Suy ra A( FP )()= x −++ P y − Q  k 2 yx− Với  y =− di chuyển khả dĩ của vật K;  là hệ số ma sát. 1 2 Khai triển phương trình trên ta thu được: QQ AFPP()k = − + xy+ − 22 9
15. Kết hợp với điều kiện cân bằng của công khả dĩ  AF()k =0 Q −+=P 0 Q 2 P = Suy ra hay 2 Q P −=0  =1 2 Bài 1.3 Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ dài 21 trọng lượng bằng nhau P12 P== P được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp ở O (hình 1.3). Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở các khớp nối. Tìm các góc 12, lập giữa OA, AB với phương thẳng đứng khi hệ cân bằng. Bài giải Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB. Với giả thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2 tọa độ đủ: q1122== ,q . Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm trọng lượng PP12, và lực Q . Hình 1.3 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta cho hệ một di chuyển khả dĩ OA quay góc  1 , AB quay góc  2 . Theo (1.6) tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ trên một di chuyển khả dĩ là: N Fr = +P y += P y 0 AXkkkkkB=++= x Yk y( Z zxkkk ) Q 1 1 2 2 k=1 x=2 l sin + 2 l sin  x = 2 l cos  + cos  BB1 2( 1 1 2 2 ) Trong đó: y1= lcos 1  y 1 = − l sin 1  1 y=2 l cos + l cos  y = − l 2sin  + sin  2 1 2 2( 1 1 2 2 ) 10
16. N    AlQPlQPk =−+−(2cos3sin2cossin111222 ) ( ) = 0 k=1 Các di chuyển góc  12 , độc lập với nhau thì để phương trình trên thỏa mãn với mọi thì các hệ số của các di chuyển phải đồng thời bằng 0. lQP(2cos3sin0 11−=) lQP2cossin0 −= ( 22) 2Q tg = 1 3P Giải hệ phương trình trên ta thu được: 2Q tg = 2 P Bài 1.4 Trên hình 1.4 ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang. Tay quay OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách giữa hai trục O và C là d. Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc quay . Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cần lắc chịu tác dụng của lực ngang F tại B hướng từ trái sang phải. Bỏ qua ma sát và trọng lượng bản thân của các khâu. Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu tại vị trí đó. Bài giải Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào ngang. B Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và A lý tưởng. Cơ hệ có 1 bậc tự do. M O Các lực chủ động gồm F và ngẫu lực có mômen M. Chọn hệ toạ độ suy rộng đủ q = là l1 góc quay của tay quay OA C Hình 1.4 Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ  0 ngược chiều kim đồng hồ. Khi đó CB quay quanh C một góc  . 11
17. Gọi VA là vận tốc tuyệt đối của A. Vt là vận tốc tương đối do A chạy trên CB. Vk là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C. Khi đó V VA V=+k t được biểu diễn như hình vẽ. Ta có VA == OAVCB, k với và lần lượt là vận tốc quay của OA và vận tốc góc của CB. CB Mà VV=−cos() suy ra =−cos() K A OA a Hay   =−cos() l1 Tổng công khả dĩ của các lực chủ động là: a    A()coscoscos() FMFaMFlk =−=−−  l1 Vậy lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng :  AF ()k a QMFl ==−− cos.cos().  l1 a Để hệ cân bằng thì Q = 0 tức là M=− Fl cos( )cos . l1 Từ các bài tập ở trên ta có thể khái quát được tiến trình giải một bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau: Bước 1: Xác định số bậc tự do của hệ, kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng. Bước 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ thông qua bậc tự do Đặt các lực chủ động lên cơ hệ. Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết và thay thế phản lực cần tìm – coi nó như một lực hoạt động. 12
18. Bước 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự chọn phù hợp với bậc tự do. Viết biểu thức tính công khả dĩ. Từ điều kiện cân bằng ta tìm được các giá trị cần xác định. Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán được áp dụng là các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau. 13
19. Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết. 2.1.1 Nguyên lý Đalămbe. 2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm. Xét chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc w dưới tác dụng qt của các lực F12 F,, F , n và lực quán tính của chất điểm là Fm=− w Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm: N mFFFFw =+++=12 n  i i=1 N N qt Hay Fmi +( −w0) = suy ra FFi +=0 i=1 i=1 N Các lực Fi và Fqt đồng quy tại chất điểm nên có thể viết lại i=1 qt (FFFF12, , ,n ,) = 0 (1.6) Đây là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm và được phát biểu như sau: Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng lên chất điểm và lực quán tính của nó lập thành một hệ cân bằng. 2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ. 14
20. Xét cơ hệ có n chất điểm, chất điểm thứ k có khối lượng mk, chịu tác i e dụng của tổng các nội lực Fk và tổng các ngoại lực Fk (k=1, ,n). Nếu chất điểm chuyển động với gia tốc w thì lực quán tính tác dụng lên chất điểm là qt Fmk =− w và chất điểm chịu tác dụng của hệ lực cân bằng: ieqt Fkkk F+ F + = 0 (k=1, ,n) (1.7) Biểu thức (1.7) là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ và được phát biểu như sau: Khi hệ chuyển động, tại mỗi điểm chịu tác dụng của các lực (gồm cả nội lực và ngoại lực) cùng với lực quán tính tương ứng thì hệ sẽ tạo thành một hệ lực cân bằng. Điều kiện cân bằng của hệ thức (1.7) được viết như sau n ieqt  (FFFk+ k + k ) = 0 (1.8) ki,1= n ieqt ++= mFmFmF000()()()0kkk ki,1= n n i i Theo tính chất của nội lực ta có  Fk = 0 và  mF0 ()0k = ki,1= ki,1= n e qt  (FFkk+=) 0 ki,1= Biểu thức (1.8) tương đương n m( Fe )+= m ( F qt ) 0  00kk ki,1= n qt qt Đặt RF=  k : véctơ chính của các lực quán tính ki,1= n qtqt MmF00=  ()k : véctơ mômen chính của các lực quán tính. ki,1= 15
21. n e qt  FRk +=0 ki,1= Ta thu được n (1.9) mFM()0e +=qt  00k ki,1= Chiếu (1.9) lên tọa độ Đề các ta thu được các phương trình cân bằng tĩnh học e qt  XRk +=x 0 e qt YRk +=y 0 e qt ZRk +=z 0 (1.10) e qt mFMxx()0k += e qt mFMyy()0k += e qt mFMzz()0k += eee qtqtqt Trong đó XYZRRRkkk,,,,, xyz là thành phần hình chiếu của các ngoại e qt lực F k và véc tơ chính của lực quán tính R lên các trục tọa độ Đề các. eee qtqtqt mFmFmFMMMxyzxyz(),(),(),,,kkk là thành phần hình chiếu của mô men của ngoại lực và mô men chính của lực quán tính lên các trục tọa độ. Lưu ý: Nguyên lý Đalămbe chỉ áp dụng được trong hệ quy chiếu quán tính, các lực quán tính được tìm qua các gia tốc tuyệt đối. Nguyên lý Đalămbe cho ta phương pháp giải các bài toán động học một cách đơn giản (phương pháp tĩnh học vật rắn). 2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn. Vật rắn là là tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất kì luôn không đổi. 2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến. 16
22. Xét vật chuyển động tịnh tiến ta có gia tốc bằng với gia tốc khối tâm WWkc= Khi đưa các lực quán tính về khối tâm C ta được: qtqt RFmMccc==−= −kkw w; qtqt MmFrmMrcccc=== −()wkkkk w qt Do vật rắn không quay quanh khối tâm C nên Mc = 0 Vậy trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của lực quán tính bằng véc tơ chính và đi qua khối tâm C. 2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng. (Chuyển động song phẳng là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy chiếu đã chọn trước) Xét vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng. Ta đưa các lực quán tính về khối tâm C ta thu được: 17
23. RMqt =− w ; cc qt MJcc=−  Trong đó JC là momen quán tính của vật đối với trục quay,  là gia tốc qt qt góc.Dấu “ – “ chứng tỏ Rc và M c ngược chiều với Wc và  . 2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. Xét vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định. Ta có vécto chính của các lực quán tính và vecto momen chính của các lực quán tính trong trường hợp này là: qtqtqt  n RRRMMcncc=+= −+ − (w )(w ) Và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng và có momen bằng qt MJcc=−  Dấu “–“ cũng thể hiện rõ chiều của ngẫu lực ngược chiều với chiều của gia tốc góc. 2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe Nguyên lý Đalămbe giúp ta đưa việc giải một bài toán động lực về việc thành lập các phương trình cân bằng tĩnh học. Đặc biệt nguyên lý này được sử 18
24. dụng rất thuận tiện trong việc xác định các phản lực liên kết nếu ta đã biết chuyển động. Việc sử dụng nguyên lý Đalămbe để giải các bài toán, cụ thể là áp dụng phương pháp tĩnh hình học đưa ta đến hai loại bài toán: Dạng 1: Khi đã biết chuyển động của cơ hệ, tìm các lực tác dụng lên cơ hệ. Dạng 2: Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, đặc biệt là các phương trình vi phân chuyển động của vật rắn. Các bài tập tương ứng: Bài 2.1 Hai vật A, B có trọng lượng P1, P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây không giãn có khối lượng không đáng kể (hình 2.1). Hai vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát µ nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phương ngang. Xác định gia tốc của hai vật và lực căng dây. Bài giải Xét cơ hệ gồm cả 2 vật, các lực tác dụng lên cơ hệ gồm có PNFQ,,, mst Hình 2.1 qtqt Gọi các lực quán tính đặt lên 2 vật A, B là FF12, P P Ta có: Fmqt = −ww = − 1 và Fmqt = −ww = − 2 1 1 1g 1 2 2 2g 2 Với gia tốc w12== w w do dây không giãn và khối lượng không đáng kể. ieqt Theo nguyên lý Đalambe: FFFkkk++= 0 19
25. qtqt Ta có phương trình chuyển động của vật:QFFFF−−−−=1212 0 PP+ Hay Q=w0−−+=21 PP g ( 21) Q Suy ra w =− g PP12+ Q Để cơ hệ chuyển động thì  PP12+ qt Xét vật B có các lực tác dụng PNFQTF2222,,,,, ieqt Áp dụng nguyên lý Đalămbe: Fkkk F+ F + = 0 Phương trình chuyển động của vật B: qt QTFF−−−= 220 qt P2 QP1 Với FPF222== ;w Suy ra T= g PP12+ Bài 2.2 Hai vật nặng có trọng lượng P1, P2 quấn  vào hai tầng của ròng rọc có trọng lượng Q, có bán R kính quán tính đối với trục quay là . Tầng một có r O bán kính tang là r, tầng hai là R (hình 2.2). Tìm gia Mqt tốc của ròng rọc và phản lực của trục quay. Biết tải trọng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Bài giải Khảo sát cơ hệ gồm hai vật nặng P1, P2 và ròng rọc trọng lượng Q. Lực tác dụng lên hệ là các trọng lực và phản lực R0 của trục. Hình 2.2 qt qt Đặt vào 2 vật nặng 2 lực quán tính FF12; . Ta giả xử vật nặng P1 đi xuống và vật P2 đi lên. Ta có hệ lực quán tính thu thành một 20
26. qt Q 2 ngẫu lực có chiều âm, về trị số mômen MJ==.  ( là gia tốc của g  ròng rọc) Áp dụng nguyên lý Đalămbe cho cơ hệ: qt (PPQRF120,,,,0  ) = Ta lấy momen của hệ lực cân bằng đối với O được: qtqtqt mFPRP01212()0 =−−−−= rFRFrM PPQ −−−−=PRP rRRrr 12  2 0 12ggg  −−++=PRP rPRP rQ()0 222 1212 g PR12− P r = g 2 2 2 PR12++ P r Q Dễ dàng nhận thấy R0 là lực có phương thẳng đứng. qtqt Ta có phương trình: PFPFR11220++++= 0 Chiếu lên trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên ta được: qt qt −PPFFR1 − 2 + 1 − 2 + 0 = 0 PP R = P + P + Fqt − F qt = P + P −12 R + r 0 1 2 2 1 1 2 gg 2  ()PR12− P r =P1 + P 2 −() PR 1 − P 2 r = P 1 + P 2 − 2 2 2 g PR12++ P r Q 2 2 2 2 2 2 2 2 PR1+ PPR 1 2 + PPr 1 2 + Pr 2 +()() PPQ 1 + 2 − PRPr 1 − 2 = 2 2 2 PR12++ P r Q 22 PP1 2()() R+ r + P 1 + P 2 Q =R0 2 22 PRP12+ rQ+ Bài 2.3 Hai vật nặng A và B có trọng lượng P1 và P2 buộc vào một sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc không trọng lượng và ròng rọc này quay quanh trục cố định O. Những vật A, B có thể trượt trên hai cạnh của lăng trụ tam 21
27. giác mà hệ số ma sát của vật lăng trụ là  . Tìm gia tốc w của các vật nặng và sức căng của sợi dây, nếu những góc , đã biết. (hình 2.3) Bài giải y2 y1 Khảo sát hệ gồm 2 vật A và B chuyển động tịnh tiến. Các ngoại lực tác dụng lên cơ O hệ gồm B msms A PPNNFF121212,,,,, và  lực căng ở 2 đầu dây nối vật x2 x1 TT, 12 Hình 2.3 Do dây có khối lượng không TTT== đáng kể và không giãn nên 12 www12== P Đặt tại A và B các lực quán tính có độ lớn lần lượt là F qt = 1 w và 1 g P F qt = 2 w 2 g Theo nguyên lý Đalămbe hệ lực cân bằng nên ta có phương trình cân bằng đối ms qr PNFTF1111++++= 0 với vật A, B là: ms qt PNFTF2222++++= 0 Chiếu các phương trình cân bằng lên chiều chuyển động xx12, ta được: P PPwsincos0 T−−−  = 1 ms qt 11 PFFT11sin − −1 − = 0 g PFFTsin +ms +qt − = 0 P 222 PPwsincos0 T++−  = 2 2 2 g Giải hệ phương trình ta được 22
28. PP(sincos)(sincos)  −−+ w = g 12 PP+ 12 P TPPP=−−−−+(sincos)(sincos)(sincos)    1 112 PP12+ PP sinsin(coscos)  +−+ Hay T = 12 PP12+ Từ việc giải một số bài toán ở trên, chúng ta có thể rút ra được tiến trình chung trong việc giải một bài toán bằng nguyên lý Đalămbe là: Bước 1: Chọn vật hay hệ vật khảo sát và giả thiết các yếu tố động lực a, . Bước 2: Đặt ngoại lực tác dụng lên hệ. Bước 3: Đặt lên hệ vật các lực quán tính. e qt FRk +=0 Bước 4: Thiết lập các phương trình: dưới dạng hình e qt mFM00()0k += chiếu và giải các phương trình ấy, rút ra đại lượng cần tìm. 23
29. Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết. Như chúng ta đã tìm hiểu ở trên thì nguyên lý Đalămbe cho phép chúng ta giải bài toán động lực học bằng phương pháp tĩnh học, còn nguyên lý di chuyển khả dĩ cho phép ta giải bài toán cân bằng tĩnh học bằng phương pháp tổng quát. Kết hợp 2 phương pháp giải này cho ta phương pháp tổng quát giải các bài tập động lực học. Xét cơ hệ gồm n chất điểm có liên kết lý tưởng chịu tác dụng của các lực a chủ động Fk và phản lực liên kết Nk . Áp dụng nguyên lý Đalămbe ta thu được hệ lực cân bằng. qt ()~0FFNkkk++ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ sau khi cho hệ một di chuyển khả dĩ  rk ta được: qt (FFNrkkkk++= ) 0 qt (1.11) ++=(FFrNrkkkkk )0 Do hệ liên kết lý tưởng nên Nrkk = 0 qt (1.12) (1.11) (Fk + F k) r k = 0 Phương trình (1.12) là phương trình tổng quát động lực học hay nguyên lý Đalămbe – Lagrăng. Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng được phát biểu: Khi cơ hệ liên kết lý tưởng thì tại mỗi điểm tổng công nguyên tố của các lực chủ động và lực quán tính đặt vào cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ đều bằng không. Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng có thể được viết dưới dạng giải tích sau: F+ Fqt x + F + F qt  y + F + F qt  z = 0  ( kx kx) k( ky ky) k( kz kz) k 24
30. Trong đó: Fk F x k,, F y k z là hình chiếu của các lực chủ động Fk lên các trục tọa độ. qtqtqt qt FFFkxkykz,, là hình chiếu của các lực quán tính Fk lên các trục tọa độ. 3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng cho ta phương pháp tổng quát nhất để có thể giải các bài toán động lực học. Đặc biệt là bài toán xác định gia tốc của các điểm và các vật hoặc bài toán xác định điều kiện cân bằng tương đối của hệ. Những bài toán áp dụng phương trình Lagrăng thường là những bài toán thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ hay xác định những gia tốc trong trường hợp hệ có một bậc tự do. Các bài tập tương ứng Bài 3.1 Cho cơ hệ như hình vẽ. Các phần dây nằm trên trục ròng rọc theo phương thẳng đứng. Các vật A, B, C lần lượt có khối lượng tương ứng A B m1=2kg, m2=3kg, m=4kg. Hãy xác x1 x2 định khối lượng, gia tốc của 3 vật nặng. Bỏ qua ma sát ròng rọc, khối lượng ròng rọc và dây nối không C đáng kể. Bài giải Hình 3.1 Khảo sát cơ hệ gồm 3 vật, dây, ròng rọc, liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết lý tưởng và cơ hệ có hai bậc tự do. 25
31. Gọi gia tốc của 3 vật nặng lần lượt là w12 ,w ,w . Các ngoại lực đặt lên cơ qtqtqt hệ là P12 P,, P và có các lực quán tính FFF12,,. Giả sử cơ hệ chuyển động như hình vẽ. Ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ vật A di chuyển khả dĩ  x1 , vật B di chuyển khả dĩ  x2 vật C sẽ có di xx+ chuyển khả dĩ là:  x =− 12 3 2 3 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học (w)0Fmxiiii−= i=1 Suy ra (wPmxPmxPmx−+−+−= )(w)(w)0 1111223 22 Khai triển phương trình trên ta được: PmPm−−ww (w)(w)0PmxPmx−−+−−=  11112222 22 xx+ ww+ Ta có  x =− 12nên w =− 12 3 2 2 Pm− w Pm111−−=w0 Và  x độc lập với  x nghĩa là 2 1 2 Pm− w Pm−−=w0 222 2 ()ww0mmgmm121122−−+= Giải 2 phương trình trên ta được: m2 mm ()()ww0mgm−−+−= 1112 244 1 w1 =− g 11 3 Thay số vào ta thu được kết quả: w2 = g 11 1 w= − g 11 Bài 3.2 Máy chuyển vật liệu chuyển động nhờ ngẫu lực có mômen không đổi M tác dụng lên puli B. Xác định gia tốc chuyển động của băng chuyền. Biết trọng lượng của vật A được nâng là P, các puli B, C có cùng trọng lượng Q, 26
32. bán kính r và được xem là các đĩa tròn đổng chất. Băng chuyền hợp với phương ngang một góc α và trọng lượng của nó có thể bỏ qua, ngoài ra không có sự trượt giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các băng chuyền với các puli. Bỏ qua ma sát ở các ổ trục. Bài giải Gọi gia tốc chuyển động băng truyền là w Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, C chịu tác dụng của các lực hoạt động: trọng lượng Q của puli B, C Hình 3.2 và trọng lượng P của vật A, ngẫu lực M. Các lực quán tính tác dụng qtqtqt lên hệ gồm FMMAC,,B Do hệ bỏ qua ma sát nên cơ hệ chịu liên kết lý tưởng, hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay của 2 puli. Ta cho hệ một di chuyển khả dĩ  , khi đó vật A di chuyển lên trên một đoạn sr=  . Từ phương trình tổng quát động học (1.12) ta có: PFsMM+++=qtqtqt 0 ( AC) ( B ) Khai triển theo cơ hệ dịch chuyển khả dĩ qtqtqt MPsMMFs   −−−−=sin0 B C A qt qt qt Khi s= r  ( M − Pr sin − MB − MCA − rF )  = 0 qtqtqt Do  độc lập nên M−−−−= PrMMrFsin0 B CA w Qr P Trong đó: Mqt= M qt = J = J =w, F qt = m w = w B CAr2 g g Qr Pr M− Prsin M − Prsin − w − w = 0hay w = g gg ()P+ Q r 27
33. Bài 3.3 Một con lăn A trọng lượng Q trong khi lăn không trượt xuống dưới theo mặt phẳng nghiêng với góc phương ngang một góc α, đã nâng vật C trọng lượng P nhờ một sợi dây không giãn, không trọng lượng vắt qua ròng rọc cố định B. Khi đó ròng rọc B quay quanh trục cố định đi qua tâm 0 của nó và trực giao với mặt phẳng của ròng rọc. Con lăn A và ròng rọc B là những đĩa tròn đồng nhất có cùng bán kính và trọng lượng.Tìm gia tốc của trục con lăn? Bài giải Khảo sát cơ hệ gồm con lăn A, ròng rọc B, vật nặng C và dây. Các lực chủ động và phản lực liên kết tác dụng lên cơ hệ gồm QPNR,,, 0 Các lực quán tính tác Hình 3.3 dụng lên hệ có độ lớn là: PQ Q FFqtqt==w ;w ;MJRqt ==2 và ww= . ccggAAz 2g C A Hệ có một bậc tự do. Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ là góc . Ta cho hệ một di chuyển khả dĩ  , khi đó độ dịch chuyển của vật A là  sR= . Áp dụng phương trình tổng quát động lực học (1.12) và chiếu lên chiều dịch chuyển di chuyển khả dĩ ta được: qt qt qt (Qsin − FAC)  s − 2 M  −( P + F)  s = 0 Q Q2  s P Qsin − w  s − 2 R  − P + w  s = 0 g 2 g R g QPsin − =w 2QP+ 28
34. Từ việc giải một số bài tập ở trên chúng ta có thể rút ra được tiến trình giải bài toán áp dụng nguyên lý Đalămbe - Lagrăng: Bước 1: Xác định cơ hệ khảo sát và số bậc tự do, kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng, giả thuyết về chiều gia tốc a,  . Bước 2 : Xác định các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ. Bước 3 : Đặt các lực quán tính lên cơ hệ. Bước 4 : Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý theo toạ độ suy rộng rồi viết phương trình tổng quát động lực học. Tiến hành biến đổi toán học, rút ra kết quả. 29
35. Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 4.1 Cơ sở lý thuyết. 4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu Có thể nói nguyên lý tác dụng tối thiểu là tiền đề của cơ học lý thuyết. Ta xét cơ hệ hôlônôm (Cơ hệ với liên kết hôlônôm thì được gọi là cơ hệ hôlônôm. Nếu trong phương trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc có chứa các yếu tố vận tốc nhưng nhờ các phép tính tích phân đưa được về dạng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết ấy được gọi là liên kết hôlônôm), N chất điểm với s bậc tự do. Vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết được xác định bởi tọa độ qtk ( , ) ( 1,ks= ) với t là thởi gian, α là tham số thực. Khi α thay đổi: →+  thì qttkk(,)q(,)  →+. q Đại lượng:   qq=+−= ( ,)(tqt ,) k được gọi là biến phân kkk  qk Giả sử với = 0 thì qtk ( , ) sẽ diễn tả chuyển động thực của cơ hệ trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 (t2 rất gần so với t1). Với 0 thì qtk ( , ) sẽ mô tả chuyển động khả dĩ từ t1 đến t2. Chúng ta chỉ hạn chế khảo sát những chuyển động khả dĩ của cơ hệ và chuyển động thực có chung điểm đầu và điểm cuối. Tại thời điểm tt12, các hàm qk trùng nhau nên ta có: 30
36. qtqtkk()0,()012== Giả sử hàm Lagrăng của hệ: L= L(,,) qkk q t ()k =1, s (L=T-U). Lực vô hướng Ldt được gọi là tác dụng nguyên tố theo Haminton. t2 Ta có tích phân: SLqqtdt= (,,)kk gọi là tác dụng theo Haminton trong t1 khoảng thời gian tt12→ . Đặt qkk t q( , ) = và qkk t q( , ) = ta được: t 2 SLqtqttdt= kk(,),(,), t1 S t2 Suy ra biến phân của tác dụng S là:  SLdt==  t1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với cơ hệ Hôlônôm chịu liên kết lý tưởng và dưới tác dụng của các lực thế, chuyển động thực đưa cơ hệ từ trạng thái A sang trạng thái B là chuyển động tương ứng với giá trị cực trị của hàm tác dụng S, hay nói các khác chuyển động thực của cơ hệ, biến phân cấp một của hàm S bị triệt tiêu. S Nghĩa là: = 0 hay S = 0  =0 4.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu + Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu N Sử dụng định nghĩa hàm Haminton HHqp= (,)kkvà HpqL=− kk ta có k=1 thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dưới dạng: N t2 Sp=−= dqHdt 0 t  kk 1 k=1 Thay đổi thứ tự phép tính tích phân và phép tính biến phân ở vế trái ta được: NN tt22 HH S= qk −  p k −  q k dt + p k d()  q k tt11 pq kk==11 kk 31
37. Áp dụng tích phân từng phần và điều kiện qtqtkk()()012==ta được: NNtt 22pdqpqdt()=−  ttkkkk kk==1111 H qk = p Vì qp, độc lập nhau nên k kk H p =− k qk Đây được gọi là phương trình Haminton. + Nguyên lý tác dụng tối thiểu và phương trình chuyển động của hệ Cùng với chuyển động thực ta biểu diễn các chuyển động bằng các phương trình thông số: qtqtq*kkk()()=+ . Trong đó biến phân  qk là hàm khả vi vô cùng bé bất kì, thỏa mãn các điều kiện ở hai đầu mút qtqtkk()()012==. Với độ chính xác đến các số hạng bé bậc nhất với qqkk, ta có: NNLL LLqqqqtLqqt=(,,)(,,)k +  k k +  k − k k =  q k +  q k kk==11qqkk N tt22 LL Ta lại có: S=  Ldt =  q +  q = 0 tt kk 11k=1 qqkk N t2 LdL LdL =−=Sq dt k 0 −= 0 t1 qdtq qdtq k=1 kk kk Đây là phương trình Lagrăng loại 2, nó đặc trưng cho chuyển động của hệ. + Phương trình Lagrăng loại 2 chứng minh được nguyên lý tác dụng tối thiểu. LdL Từ phương trình −= 0ta nhân với q và lấy tổng ta được: k qdtqkk 32
38. N dLL  −= q 0  dtqq  k k=1 kk NNdLL  −= qq0 dtqq kk kk==11 kk NNNdLLL  −+= qqq 0  kkk kkk===111dtqqq kkk N dL  −=Lq 0  k k=1 dtq  k Nhân 2 vế với dt và tính tích phân từ giới hạn t1, t2 ta có: NN tttt2222 dLL t LdtqLdtqLdt−=−== 2 0 tttt  kkt1 1111 kk==11dtqq kk Hay S = 0 4.2 Một số bài tập về nguyên lý tác dụng tối thiểu. Bài 4.1 Xác định biểu thức của tác dụng của một dao động tử điều hòa một chiều có khối lượng m. Bài giải Chọn hệ tọa độ suy rộng là qxk = . Ta có động năng và thế năng của dao động tử điều hòa là: 11 Tmvmx==22 22 ( = const ) 11 Ukxmx==222  22 Hàm Lagrăng của dao động tử điều hòa: 11 L= T − U = mx2 − m 2 x 2 22 d  L L Từ phương trình −=0 ta có phương trình cho tọa dộ x: dt  qkk q x+= m2 x 0 và phương trình này có nghiệm xa=+sin( t ). 33
39. =+xat cos() Thế vào hàm Lagrăng, sau đó đưa vào biểu thức tác dụng S và tính tích phân ta thu được: t 1 m Scos2==+−−2 Ldtxxttx x 22  t ( 122112 ) ( ) 1 2 sin() tt21− Bài 4.2 Xác định biểu thức của tác dụng của hạt có khối lượng m, chuyển động tự do. Bài giải: Chọn tọa độ suy rộng là qxk = 11 Ta có hàm Lagrăng cho hạt chuyển động tự do là: Lxxtmvmx(,,) ==22 22 d  L L Từ phương trình −=0 ta có phương trình cho tọa dộ x: mx = 0 dt  qkk q xx21− xconstv=== ta có tt21− xvt= 2 t2 1 m (xx21− ) Thế vào tác dụng S: S= mx2 suy ra S = t 1 2 2 tt21− L Bài 4.3 Trong chuyển động một chiều của hạt tự do, xung lượng p = , x S chứng minh rằng ở điểm bất kì x1 trên quỹ đạo, xung lượng có dạng p = . x1 Bài giải t Từ công thức nguyên SLdt= 2 t1 t2 LdLL t2 Suy ra Sxxdt=−− xdtxx t1 t1 34
40. L S Theo đề bài ta có p c== o n s t và Sx= x x t2 dLL  SL Mặt khác  xdt − ~0 suy ra ==p t1 dtxx xx xxxx==11 Bài 4.4 Biểu thức năng lượng của chất điểm có dạng E L=+ x p . Chứng minh S rằng ở điểm bất kì x2 trên quỹ đạo, năng lượng có dạng E = ; t2 thời điểm t2 ứng với tọa độ x2. Bài giải Xét chất điểm chuyển động trong quỹ đạo từ xx12→ trong thời gian từ t1 đến t2. t Ta có tác dụng S: SLxxtdtSt==2 (,,)() 0 2 SLxLxLt2 =++ dt txtxtt 0 2 Suy ra 2222 SLt2 =+ x() tdtL 22 0 tx2 x (do = 0vì nguyên lý tác dụng tối thiểu chỉ áp dụng cho hệ kín) t2 Từ phương trình Lagrăng mô tả chuyển động của chất điểm: dLLdLLLL  −= = =0 dt dtxxdtxxxx  LLL tt22 == dtdt22 xxx t1 0 tt= 2 S Thế vào phương trình ta được: t2 SL L S =+x()() t22 L t mà p = nên =( xp + L) = E tx x t tt= 2 2 tt= 2 2 35
41. S Vì t2 tùy ý nên E = t2 Từ việc giải những bài tập ở trên chúng ta có thể rút ra phương pháp giải chung cho các bài tập về nguyên lý tác dụng thiểu. Bước 1: Xác định cơ hệ khảo sát. Xác định số bậc tự do của cơ hệ và chọn toạ độ suy rộng, xác định điều kiện liên kết của hệ. Bước 2: Tính động năng và thế năng của hệ và biểu diễn hàm Lagrăng qua các toạ độ suy rộng qj và các vận tốc suy rộng qj. T  d T T Bước 3: Tính các đạo hàm ,, rồi thay các đại lượng này q  dtjjj q q vào các phương trình Lagrăng. Tiến hành biến đổi toán học và rút ra kết quả. 36
42. KẾT LUẬN Đề tài “Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học” sau khi hoàn thiện đã thu được những kết quả sau: Khóa luận đề cập đến bốn nguyên lý cơ bản của cơ học cụ thể là các cơ sở lý thuyết, nội dung của các nguyên lý. Đặc biệt khóa luận đã đưa ra cách phân loại các dạng bài tập ứng với từng nguyên lý, sau đó đã đưa ra các bài tập với lời giải cụ thể cho mỗi dạng bài tập. Khóa luận đã đề xuất tiến trình giải chung nhất để sinh viên có thể áp dụng và giải quyết các bài toán độc lập. 37
43. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chu Tạo Đoan (1996), Cơ học lý thuyết, Trường đại học Giao thông vận tải. 2. Chu Tạo Đoan (2007), Cơ học lý thuyết (tập 1), Nhà xuất bản Giao thông vận tải. 3. Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia. 4. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1998), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. 5. Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất bản Giáo Dục. 6. Đỗ Sanh (1996), Cơ học (tập 2), Nhà xuất bản Giáo Dục. 7. Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng (2003), Bài tập cơ học (tập 2), Nhà xuất bản Giáo Dục. 38