›

Khóa luận Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon

pdf 50 trang thiennha21 15/04/2022 3690
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_tim_hieu_qua_trinh_huy_cap_electron_thanh_hai_phot.pdf

Nội dung text: Khóa luận Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THÁI TÌM HIỂU QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON THÀNH HAI PHOTON KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THÁI TÌM HIỂU QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON THÀNH HAI PHOTON Chuyên ngành:Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Huy Thảo HÀ NỘI, 2017
  3. LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo, người đã chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành bản khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thái
  4. LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản thân, tôi đã hoàn thành bản khóa luận này. Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu khoa học do tôi thực hiện, không trùng lặp với bất kỳ công trình khoa học nào khác. Các thông tin trích dẫn trong khóa luận đều đã được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thái
  5. Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích chọn đề tài 2 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5 Phương pháp nghiên cứu 2 6 Cấu trúc khóa luận 3 NỘI DUNG 4 Chương 1: Cơ sở của lý thuyết tán xạ 4 1.1 Cách xây dựng phần đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tương tác không chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tương tác chứa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Quy tắc Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Các ngoại tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Hàm truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
  6. 1.2.4 Các thừa số đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Các biến Mandelstam . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt . . . . . . . . . 19 1.3.3 Trong hệ khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.4 Trong hệ phòng thí nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2: Quá trình hủy electron thành hai photon 28 2.1 Biên độ tán xạ kênh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Biên độ tán xạ kênh u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Tiết diện tán xạ toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
  7. MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Vật lý hạt ngày nay đã trở thành một trong những mũi nhọn hàng đầu của Vật lý hiện đại; là ngành khoa học nối những vật thể siêu nhỏ với thế giới vĩ mô. Một trong những mục tiêu của Vật lý hạt là tìm hiểu, phân loại, sắp xếp các thành phần sơ cấp của vật chất và những định luật cơ bản chi phối tương tác giữa chúng. Lĩnh vực này còn được gọi là Vật lý năng lượng cao bởi vì có rất nhiều hạt cơ bản không xuất hiện ở điều kiện môi trường tự nhiên mà chỉ được tạo ra trong các vụ va chạm giữa các hạt và máy gia tốc năng lượng cao. Khoa học luôn đặt nhiệm vụ cho mình là phải tìm hiểu thế giới vật chất được hình thành từ thứ gì và cái gì gắn kết chúng với nhau.Trong quá trình đi tìm lời giải đáp, cấu trúc của vật chất ngày càng được hiểu rõ hơn thông qua mô hình chuẩn. Theo mô hình này, vũ trụ cấu trúc từ 6 hạt quark và 6 hạt nhẹ (lepton), chia đều thành 3 nhóm, chúng kết nối với nhau nhờ 4 tương tác cơ bản: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ. Trong hơn 30 năm qua kể từ khi mô hình chuẩn ra đời đã thu được rất nhiều thành công nổi bật bao gồm những tiên đoán và cả các kết luận mới. Một loạt phép đo các thông số điện yếu được tiến hành trên các máy đo gia tốc lớn LHC với độ chính xác cao đã trở thành động lực to lớn cho 1
  8. ngành Vật lý hạt, bởi khoa học tin rằng có thể thu được một số nhân tố lý giải cách thức hình thành vũ trụ. Việc tìm hiểu quá trình hình thành hay tán xạ của các hạt cơ bản sẽ góp phần mở rộng hiểu biết, bước đầu tìm hiểu một vấn đề khoa học. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài: “Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2 Mục đích chọn đề tài - Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon. 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Tán xạ trong QED 4 Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa ra cơ sở của lý thuyết tán xạ. - Tìm hiểu quá trình hủy cặp electron thành hai photon. 5 Phương pháp nghiên cứu - Đọc, tra cứu tài liệu. - Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán. 2
  9. 6 Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai nội dung chính sau: Chương 1: Cơ sở của lý thuyết tán xạ 1.1. Cách xây dựng phần đỉnh 1.2. Quy tắc Feynman 1.3. Tiết diện tán xạ Chương 2: Quá trình hủy cặp electron thành hai photon 2.1. Biên độ tán xạ kênh u 2.2. Biên độ tán xạ kênh t 2.3. Tiết diện tán xạ toàn phần 3
  10. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT TÁN XẠ 1.1 Cách xây dựng phần đỉnh Lagrangian của hệ gồm hai phần: Lagrangian tự do chứa các số hạng bậc hai theo toán tử trường và Lagrangian tương tác chứa các số hạng từ bậc ba trở lên theo toán tử trường. Tuy nhiên, điều kiện tái chuẩn hóa trong không thời gian bốn chiều không cho phép các số hạng có bậc lớn hơn bậc bốn theo toán tử trường. Do đó sử dụng phương pháp "bóc vỏ" sẽ giúp ta thu được phần đỉnh từ Lagrangian tương tác. 1.1.1 Tương tác không chứa đạo hàm Trong điện động lực học lượng tử Lagrangian tương tác: QED µ Lint = eψ(x)γµψ(x)A (x) η λ ν = eψ(x) (γν)η ψλ(x)A (x) (1.1) Vì Lagrangian chứa ba toán tử trường nên ta phải bóc vỏ (lấy đạo hàm) ba lần theo các toán tử trường. Với mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có thêm một đường tương ứng trong phần đỉnh. Cụ thể, Để có đường fermion ra với chỉ số α α 4
  11. ta lấy đạo hàm QED ∂Lint η λ ν α = eδ (γν) ψλ(x)A (x) ∂ψ α η λ ν = e(γν)η ψλ(x)A (x) (1.2) Để có thêm đường fermion vào với chỉ số β β α ta lấy đạo hàm 2 QED ∂ Lint β λ ν α = eδλ (γν)αA (x) ∂ψβ∂ψ λ ν = e(γν)αA (x) (1.3) Để có thêm đường photon với chỉ số µ µ β α ta lấy đạo hàm 3 QED ∂ Lint β ν = e(γν) δ µ α α µ ∂A ∂ψβ∂ψ λ = e(γν)α (1.4) Như vậy, tương tác photon-spinor (ψ) -spinor (ψ) tương ứng với yếu tố sau của giản đồ: β µ ie(γ )βα α µ α 5
  12. R 4 Trong đó thừa số i được đưa thêm vào do ma trận tán xạ S ∼ exp[i Lintd x] 1.1.2 Tương tác chứa đạo hàm Ta biết rằng, đạo hàm ∂µ ứng với −ikµ trong không gian xung lượng. Vì vậy trong tương tác chứa đạo hàm ta chuyển sang không gian xung lượng. Khi đó biến đổi Fourier của các toán tử trường: Z 4 −ikx ϕ(x) = Nϕ d ke ϕ(k) Z ∗ 4 ikx ∗ ϕ (x) = Nϕ d ke ϕ (k) Z − 4 −ikx − Wµ (x) = Nw d ke Wµ (k) Qui ước: Đối với ϕ(x), exponent với (−ikx) và xung lượng đi vào. ϕ∗(x), exponent với (ikx) và xung lượng đi ra. Ta xét trường hợp tương tác của trường vô hướng phức có điện tích e với photon có tác dụng như sau: Z SQED 4 SQED S = d xLint (x) Z 4 ∗ ∗ µ = ie d x[∂µϕ (x)ϕ(x) − ϕ (x)∂µϕ(x)]A (x) (1.5) 6
  13. Chuyển sang không gian xung lượng ta có: Z SQED 2 4 4 4 4 −ix(p1+q+p2) Sint (x) = ieNϕNA d xd p1d p2d qe ∗ ∗ µ .[ip2µϕ (p2)ϕ(p1) + ip1ϕ (p2)ϕ(p1)]A (q) Z 2 4 4 4 4 SQED = NϕNA d xd p1d p2d qLint (p1, p2, q) (1.6) Với: SQED ∗ µ 4 Lint (p1, p2, q) = −e(p1 + p2)µ[ϕ (p2)ϕ(p1)]A (q)δ (p1 + q − p2) (1.7) Exponent trong (1.7) cho ta hàm δ(p1 + q − p2) tương ứng với sự bảo toàn xung lượng tại mỗi đỉnh. Đây là hệ quả của tương tác định xứ - tương tác tại một điểm không - thời gian. 0 0 Để có đường vô hướng với xung lượng p (p 6= p2) đi ra p0 ta lấy đạo hàm ∂LSQED (p , p , k) int 1 2 = −e(p + p ) δ4(p − p0)ϕ(p )Aµδ4(p + q − p ) ∂ϕ∗(p0) 1 2 µ 2 1 1 2 0 4 0 µ = −e(p1 + p )µδ (p1 + q − p )ϕ(p1)A (q) (1.8) Để có đường vô hướng với xung lượng p đi vào p p0 ta lấy đạo hàm 7
  14. ∂2LSQED(p , p , k) int 1 2 = −e(p + p0) δ4(p − p)Aµ(q)δ4(p + q − p0) ∂ϕ(q)∂ϕ∗(p0) 1 µ 1 1 0 ν 4 0 = −e(p + p )νA (q)δ (p + q − p ) (1.9) Để có đường photon với xung lượng k đi vào hoặc đi ra k µ p p0 ta lấy đạo hàm theo Aµ(k) 3 SQED ∂ Lint (p1, p2, k) 0 µν 4 4 0 ∗ 0 = −e(p + p )νg δ (k − q)δ (p + q − p ) ∂Aµ(k)∂ϕ(p)∂ϕ (p ) = −e(p + p0)µδ4(p + k − p0) (1.10) Như vậy, tương tác photon-vô hướng-vô hướng ứng với phần đỉnh: p µ −ie(p + p0)µ p0 trong đó ta hiểu hàm delta của xung lượng 4 chiều ở mỗi đỉnh; i xuất hiện từ biểu thức S của ma trận. 8
  15. Do lí thuyết định xứ ta có sự bảo toàn năng xung lượng tại mỗi đỉnh: Z QED 4 QED S = d xLint (x) Z d4x = e ψ(p)e−ipxγ eiqxψ(q)Aµeikx (2π)4 µ Z d4x = e eix(q+k−p)ψ(p)γ ψ(q)A (k) (2π)4 µ µ 4 = eδ (q + k − p)ψ(p)γµψ(q)Aµ(k) (1.11) 1.2 Quy tắc Feynman Qui tắc Feynman cho điện động lực học lượng tử (spinor và vô hướng) được xây dựng trên Langrangian toàn phần sau: 1 1 LtQED = − F µν(x)F (x) − (∂ Aµ)2 + iψ(x)γ ∂µψ(x) − Mψ(x)ψ(x) 4 µν 2ξ µ µ ∗ µ 2 ∗ µ + ∂µϕ (x)∂ ϕ(x) − m ϕ (x)ϕ(x) + qψψ(x)γµA (x)ψ(x) ∗ ∗ µ 2 µ ∗ + iqϕ[∂µϕ (x)ϕ(x) − ϕ (x)∂µϕ(x)]A (x) + qϕA (x)Aµ(x)ϕ (x)ϕ(x) (1.12) trong đó qψ và qϕ là điện tích tương ứng của trường Fermion ψ và của trường vô hướng mang điện ϕ. Vì tương tác là định xứ nên tại mỗi đỉnh ta có hàm delta cho các xung lượng 4 chiều. Có 2 loại đường mô tả hạt thật (quan sát được) ở trạng thái đầu hoặc cuối. Các đường này chỉ nối một đầu với giản đồ và được gọi là đường ngoài. Các đường trong mô tả hạt ảo nối hai điểm của giản đồ. 9
  16. 1.2.1 Kí hiệu - Gán cho các xung lượng bốn chiều đi vào và đi ra là p1, p2, . . . , pn với các spin tương ứng là s1, s2, . . . , sn. - Các nội xung lượng bốn chiều là q1, q2, . . . , qn. - Đặt các dấu mũi tên cho các tuyến như sau: + Mũi tên ở các ngoại tuyến Fermion chỉ ra; nó là một electron hay positron. + Mũi tên ở các nội tuyến Fermion được gán sao cho hướng dòng qua sơ đồ được bảo toàn (tức là mọi đỉnh phải có một mũi tên đi vào và một mũi tên đi ra). + Mũi tên ở các ngoại tuyến photon hướng ra phía trước, với các nội tuyến photon thì sự lựa chọn là tùy ý. p1, s1 p4, s4 p3, s3 p2, s2 Hình 1.1: Sơ đồ Điện động lực học lượng tử điển hình với các ngoại tuyến. 1.2.2 Các ngoại tuyến Các ngoại tuyến đóng góp như sau: • Trường vô hướng (spin=0) : 1 cho các hạt ở trạng thái đầu và cuối. 10
  17. • Trường spin 1/2 + Hạt ở trạng thái đầu s, α uα(p, s) p + Phản hạt ở trạng thái đầu s, α vα(p, s) p + Hạt ở trạng thái cuối s, α uα(p, s) p + Phản hạt ở trạng thái cuối s, α vα(p, s) p • Trường ngoài Aext(k) k • Trường vector (spin 1) +Trường vector mang điện ở trạng thái đầu µ(k, λ) µ, λ~k +Trường vector mang điện ở trạng thái cuối ∗µ(k, λ) µ, λ~k 11
  18. 1.2.3 Hàm truyền Mỗi nội tuyến đóng góp một thừa số như sau: • Trường spin 0 i k2−m2+i k • Trường spin 1/2 i α 6p−m+i β α p β • Phản hạt 1/2 i α −6p−m+i β α p β • Trường chuẩn spin 1 −i  kµkν  k2−M 2+i gµν − (1 − ξ)k2−ξM 2 µ k ν • Trường vector khối lượng m −i  PµPν  p2−m2+i gµν − m2 µ p ν 1.2.4 Các thừa số đỉnh Mỗi đỉnh đóng góp một thừa số như sau: β µ β −iqψ(γµ)α α 12
  19. p k 0 µ µ −iqψ(p + p ) p0 p k0 ν 2 µν i2qψg µ p0 k Các qui tắc: - Sự bảo toàn năng xung lượng 4 4 + Với mỗi đỉnh ta viết một hàm delta dưới dạng (2π) δ (k1 + k2 + k3). + Trong đó k1, k2, k3 là xung lượng bốn chiều đi vào các đỉnh. Nếu các mũi tên hướng ra ngoài thì k sẽ là xung lượng bốn chiều của tuyến đó nhưng mang dấu trừ, ngoại trừ positron bên ngoài. Thừa số này buộc phải tuân theo sự bảo toàn của năng lượng và xung lượng tại đỉnh. d4q - Với mỗi nội tuyến, ta phải lấy tích phân theo xung lượng R . (2π)4 Nội tuyến xung lượng không bị giới hạn bởi định luật bảo toàn năng xung lượng có nghĩa là nó có thể tiến tới vô cùng. - Mỗi vòng Fermion (kể cả FP) khép kín nhân với (−1), trường hợp có l vòng ta nhân với (−1)l. - Chia cho hệ số đối xứng S: Mỗi vòng khép kín chứa n boson 13
  20. 1 giống nhau ta có thừa số . n! 1.3 Tiết diện tán xạ 1.3.1 Các biến Mandelstam Ta áp dụng cho quá trình tán xạ của hai hạt với hai hạt, mọi công thức sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta biểu diễn xung lượng của các hạt theo một tập hợp các biến được gọi là biến Mandelstam. Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau: 2 2 s = (p1 + p2) = (p3 + p4) (1.13) 2 2 t = (p1 − p3) = (p2 − p4) (1.14) 2 2 u = (p1 − p4) = (p2 − p3) (1.15) Ở đây: p1, p2 là xung lượng 4 chiều của hạt đi vào. p3, p4 là xung lượng 4 chiều của hạt đi ra. Do đó, s được hiểu là bình phương của năng khối lượng trung tâm (bất biến khối lượng). t được hiểu là bình phương moment xung lượng chuyển đổi. Trong giản đồ Feynman đối với tán xạ 2 − 2, s, t, u cũng được sử dụng dưới dạng kênh s, kênh t, kênh u. 14
  21. p t 3 p1 s u p 2 p4 Hình 1.2: Các biến Mandelstam. kênh s p1 + p2 = p3 + p4 kênh t p1 − p3 = p2 − p4 kênh u p1 − p4 = p3 − p2 Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau. Ở đây tương tác là sự trao đổi các lượng tử - các hạt giữa chúng, bình phương các xung lượng bốn chiều kể trên là biểu thức s, t, u tách ra theo thứ tự định sẵn. - Kênh s: Tương ứng với quá trình hai hạt 1, 2 tương tác kết hợp thành một hạt truyền tương tác trung gian, cuối cùng sinh ra hai hạt 3, 4. Chỉ có kênh s mới có thể chỉ ra sự xuất hiện của cộng hưởng và một hạt mới với điều kiện thời gian sống ở đây là đủ dài để có thể đo được trực tiếp. - Kênh t: Là quá trình hạt 1 phát ra một hạt tương tác và cuối cùng trở thành hạt 3 và hạt 2 hấp thụ hạt tương tác để trở thành hạt 4. 15
  22. - Kênh u: Thực chất là kênh t, ở đó ta đổi vị trí của hai hạt 3 và 4 cho nhau. Các biến Mandelstam được nhà Vật lý Stanley Mandelstam đưa ra vào năm 1938. Trong giới hạn năng lượng cao và trong tương đối tính, bỏ qua khối lượng nghỉ ta có: 2 2 2 s = (p1 + p2) = p1 + p2 + 2p1p2 ≈ 2p1p2 2 2 2 2 Vì p1 = m1; p2 = m2 nên s '2p1p2 ≈ 2p3p4 t ' − 2p1p3 ≈ −2p4p2 u ' − 2p1p4 ≈ −2p3p2 Đối với các biến s, t, u ta có: 2 2 2 2 s + t + u = m1 + m2 + m3 + m4 Chứng minh + Trong gần đúng tương đối tính, bình phương xung lượng bốn chiều của một hạt là khối lượng của nó. 2 2 pi = mi (1.16) + Bảo toàn xung lượng bốn chiều: p1 + p2 = p3 + p4 ⇒ p1 = −p2 + p3 + p4 (1.17) 16
  23. 2 2 2 s = (p1 + p2) = p1 + p2 + 2p1p2 (1.18) 2 2 2 t = (p1 − p3) = p1 + p3 − 2p1p3 (1.19) 2 2 2 u = (p1 − p4) = p1 − p4 − 2p1p4 (1.20) +Thay (1.16) vào (1.18),(1.19), (1.20) 2 2 2 s = (p1 + p2) = m1 + m2 + 2p1p2 (1.21) 2 2 2 t = (p1 − p3) = m1 + m3 − 2p1p3 (1.22) 2 2 2 u = (p1 − p4) = m1 + m4 − 2p1p4 (1.23) + Cộng (1.21), (1.22), (1.23) ta được 2 2 2 2 s + t + u = 3m1 + m2 + m3 + m4 + 2p1p2 − 2p1p3 − 2p1p4 2 2 2 2 2 = m1 + m2 + m3 + m4 + 2[m1 + p1(p2 − p3 − p4)] (1.24) + Kết hợp (1.17), và (1.24) ta thu được mối quan hệ giữa các biến Mandelstam: 2 2 2 2 2 s + t + u = m1 + m2 + m3 + m4 + 2(m1 − p1p1) 2 2 2 2 2 2 = m1 + m2 + m3 + m4 + 2(m1 − m1) 2 2 2 2 = m1 + m2 + m3 + m4(đpcm) Trong trường hợp tán xạ hai hạt A + B → C + D, các biến Mandelstam 17
  24. được đưa vào có dạng: 2 s = (pA + pB) 2 t = (pA − pC) 2 u = (pA − pD) Ở đây p là các vector moment năng xung lượng bốn chiều và bình phương là một bất biến Lorentz. Ví dụ: p2 = gµνpµpν. Dựa vào xung lượng đi vào, ra của các hạt, ta có sự phân loại tổng quát về kênh tán xạ như sau: p3 p4 p1 p2 Hình 1.3.1: kênh s p3 p4 p1 p2 Hình 1.3.2: kênh t 18
  25. p3 p4 p1 p2 Hình 1.3.3: kênh u Ưu điểm của các biến Mandelstam là chúng bất biến đối với phép biến đổi Lorentz với một vài giá trị là quán tính của hệ. Hơn nữa, thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các biến Mandelstam là thông số giới hạn giữa năng lượng và góc tán xạ. 1.3.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt Xét quá trình tán xạ cho hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố R 4 ma trận được xác định bởi công thức: S = T exp( Lint(x)d x). Ở đây T là T -tích, Lint(x) là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa La- grangian tương tác tùy thuộc vào bài toán. Như vậy, để nghiên cứu bài toán tán xạ ta phải xác định yếu tố ma trận Si→f = (S- ma trận). Giả thiết rằng hằng số tương tác là nhỏ, các quá trình tính toán Vật lý tuân theo lí thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Sfi = = δfi + iTfi Tfi là ma trận chuyển dời (transition matrix) được định nghĩa như sau: 4 4 Tfi = (2π) δ (pf − pi)Mfi 19
  26. Ở đây pf ,pi là tổng năng xung lượng của trạng thái cuối và đầu tương ứng, Mfi là biên độ tán xạ hai hạt. a a0 b b0 Hình 1.4: Tán xạ hai hạt thành hai hạt. Đòi hỏi S là ma trận Unita dẫn tới ∗ P ∗ 4 4 Mfi − Mfi = i n MfnMin(2π) δ (pf − pi) trong đó n là các trạng thái Vật lý dẫn trạng thái đầu tới trạng thái cuối. Ta viết lại yếu tố ma trận của phép chuyển dời từ trạng thái đầu φi = |i > đến trạng thái cuối φf = |f >: Si→f = = δfi+ (1.25) Số hạng thứ hai ở vế phải tương ứng với tập hợp các giản đồ Feynman 4 = δ (pf − pi)Rfi. 0 0 Với pf = pa + pb, pi = pa + pb. Xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối do tương tác: 2 2 2 Wfi = | | = |Rfi| δ(pf − pi) (1.26) Theo định nghĩa hàm delta: Z T/2 Z 4 1 iqx δ (q) = 4 lim dx0 d~xe (1.27) (2π) T,V →∞ −T/2 V 20
  27. Trong đó q = pf − pi. Do đó ta có: Z Z Z 4 2 4 4 4 1 iqx 4 [δ (q)] dδ q = d qδ q[ 4 lim e ]d x (2π) T,V →∞ T,V Z 1 4 = 4 lim d x (2π) T,V →∞ T,V VT = lim (1.28) T,V →∞ (2π)4 Suy ra: VT [δ4(p − p )]2 = δ4(p − p ) lim f i f i T,V →∞ (2π)4 Biểu thức cho xác suất có dạng: 2 4 VT Wfi = |Rfi| δ (pf − pi) lim (1.29) T,V →∞ (2π)4 Thể tích V và khoảng thời gian T rất lớn nên V, T chính là thể tích và khoảng thời gian có thể xảy ra quá trình tương tác. Nhân (1.29) với các ~0 ~0 yếu tố thể tích dpa, dpb ta thu được xác suất để hạt trong chùm hạt tương tác với nhau và sinh ra các hạt a0, b0 với xung lượng nằm trong khoảng [ ~pa0 , ~pa0 + d ~pa0 ], [ ~pb0 , ~pb0 + d ~pb0 ] và hình chiếu spin đã cho: 2 4 VT dWfi = |Rfi| δ (pf − pi)d ~pa0 d ~pb0 lim (1.30) T,V →∞ (2π)4 Suy ra xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian, một đơn vị thể tích trong điều kiện thời gian và thể tích rất lớn: 2 4 dWfi = |Rfi| δ (pf − pi)d ~pa0 d ~pb0 Ta thấy rằng hai hạt tự do tương tác với nhau thì xác suất tỉ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa V . Mà V là tùy ý, do đó, để đặc trưng cho quá trình 21
  28. tán xạ không phụ thuộc vào V ta cần phải chia vi phân xác suất tán xạ dWfi cho mật độ dòng của hạt tương tác đầu mà nó tỉ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa. Đại lượng được xác định như vậy gọi là tiết diện ngang tán dW xạ vi phân và được kí hiệu là: dσ = fi J Trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm thì mật độ dòng J bằng tích mật độ dòng của các hạt a, b trong một đơn vị thể tích nhân với vận tốc tương đối của hai hạt đó. l l l J = ρaρbνa Trong cơ học tương đối tính, năng xung lượng của hạt được xác định bằng biểu thức: m~v mc2 ~p = r , p0 = E = r ~v2 ~v2 1 − 1 − c2 c2 Suy ra hệ thức liên hệ giữa năng lượng, xung lượng và vận tốc của hạt tự do: p ~v ~p = 0 c2 Hệ thức này đúng với mọi hệ qui chiếu. Ví dụ, trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm: l p 2 2 2 l |pa| (papb) + mamb va = l = (1.31) pa0 −papb Mật độ dòng của các hạt a, b trước va chạm có thể viết dưới dạng: p 2 2 2 (papb) + mamb J = (JaJb) (1.32) papb 22
  29. Với ~pa ~pb  ρaρb(papb) (JaJb) = ρaρb − 1 = (1.33) pa0pb0 pa0pb0 Tóm lại, mật độ dòng trước va chạm: p 2 2 2 (papb) + mamb J = ρaρb (1.34) papb Bây giờ ta viết yếu tố ma trận dưới dạng 1 1 R = (2π)4M (1.35) fi 6 p 0 0 fi (2π) paopb0pa0pb0 1 1 Ta đã tách từng thừa số gắn liền với mỗi đường ngoài của 3/2 √ (2π) p0 giản đồ Feynman và thừa số (2π)4. Yếu tố ma trận là một vô hướng. Nếu ta chuẩn hóa vector trạng thái trong một đơn vị thể tích mật độ hạt ρa = 1 ρb thì biểu thức của tiết diện tán xạ vi phân được viết lại: p(2π)3 ~0 ~0 1 1 2 4 dpadpb dσfi = |Mfi| δ (pf − pi) (1.36) (2π)2 p 2 2 2 p p (papb) + mamb a0 b0 hay 2 2 dσ |M| |~p3 | d|~p3| = 2 (1.37) dΩ 64π F E3E4 d(E3 + E4) 2 ~2 2 2 ~2 2 Với E3 = p3 + m3,E4 = p4 + m4 Trong tán xạ đàn hồi A + B → A + B, hạt B đứng yên, khối lượng hạt bia là rất lớn (mB ≈ EA) sự giật lùi là không đáng kể. Sử dụng vế phải của (1.26) để xác định tiết diện vi phân tán xạ dσ/dΩ. Ở đây d3p = p2dpdΩ. Sử dụng các biến Mandelstam s ta có: 23
  30. 2 2 2 1/2 2 2 3/2 1/2 2 2 2[(p1p2) −m1m2] = {[s−(m1+m2) ][s−(m1−m2) ]} = λ (s, m1, m2) 1/2 2 2 trong đó λ (s, m1, m2) có dạng √ √ √ √ λ(a, b, c) = (a − b − c)2 − 4bc = [a − ( b + c)2][a − ( b − c)2] 1.3.3 Trong hệ khối tâm Nếu ta coi hệ hai hạt là một thể thống nhất thì hệ khối tâm là hệ qui chiếu gắn liền và chuyển động cùng vận tốc với hệ hạt. Xung lượng bốn chiều của hạt trong hệ khối tâm: p1 = (E1; ~p) p2 = (E2; −~p) 0 p3 = (E3; p~ ) 0 p4 = (E4; −p~ ) Ta có:  q q  2 ~0 2 2 ~0 2 d(E3 + E4) d m3 + |p | d m4 + |p | E3E4 = E3E4  +  d(~p3)  d|p~0| d|p~0|  0 = |p~ |(E3 + E4) 0 = |p~ |(E1 + E2) (1.38) 0 2 Thừa số dòng Fcm = |p~ |(E1 + E2), s = (E1 + E2) Biểu thức của tiết diện tán xạ trong hệ qui chiếu khối tâm:   ~0 dσ 1 |p | 2 = 2 |M| dΩ cm 64π s |~p| 24
  31. Biểu thức này phụ thuộc vào các biến độc lập vì: 1 |~p|2 = λ(s, m2, m2) 4s 1 2 1 |p~0|2 = λ(s, m2, m2) 4s 3 4 √ √ √ √ Trong đó λ(a, b, c) = (a−b−c)2 −4bc = [a−( b+ c)2][a−( b− c)2] Mặt khác 2 t = (p1 − p3) 2 2 = m1 + m3 − 2p1p3 2 2 = m1 + m3 − 2E1E3 + 2|~p1||~p3| cos θ 2 2 ~0 = m1 + m3 − 2E1E3 + 2|~p1||p | cos θ 0 Suy ra dt = 2|~p1||p~ |d cos θ Tiết diện tán xạ thông qua các biến Mandelstam s và t là dσ |M|2 |M|2 = 2 = 2 2 (1.39) dt cm 64πsp 16πλ(s, m1, m2) 1.3.4 Trong hệ phòng thí nghiệm Trong hệ phòng thí nghiệm ta coi một hạt đứng yên và hệ qui chiếu gắn với hạt này, hạt còn lại chuyển động đến và xảy ra tương tác. Khi đó các biến động lực của hệ phòng thí nghiệm: µ µ p1 = (E1, p) p2 = (m2, 0) µ 0 µ p3 = (E3, p ) p4 = (E4, p4) 25
  32. Trong đó: E4 = E1 + m2 − E3 2 0 2 2 02 0 p4 = (p − p ) = p + p − 2|p||p | cos θlab 0 0 Với mọi góc (ϕ, θ)lab cho trước ta có: p4dp4 = (p − p cos θlab)dp d(E + E ) Do đó E E 3 4 = p0(E + m ) − pE cos θ 3 4 dp0 1 2 3 lab 2 2 Thừa số dòng F = |p|m2, bình phương năng lượng s = m1 + m2 + 2E1E2 Trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm, tiết diện tán xạ vi phân:  dσ  |M|2|p0| 1 = 2 0 (1.40) dΩ lab 64π m2|p| E1 + m2 − (p/p )E3 cos θlab q p 2 2 02 2 Với E1 = p + m1,E3 = p + m3 góc tán xạ θlab là góc giữa vector xung lượng của electron đi vào p và electron đi ra p0, đồng thời theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: 1 E (E + m ) − pp0 cos θ = (s + m2 − m2) 3 1 2 lab 2 3 4 Trong các trường hợp còn lại, giả sử m3 = m1, m4 = m2 ta có: 0 2 E3(E1 + m2) − pp cos θlab = E1m2 + m1 Điều này cho thấy rằng moment bốn chiều q = p3 − p1 liên quan tới các 2 2 biến khác theo biểu thức q = (p3 − p1) = 2m2(E3 − E1), mối liên hệ giữa các đại lượng này được biểu thị qua biểu thức:  dσ  |M|2 1 ≈ 2 2 dΩ lab 64π m2 1 + (E1/m2)(1 − cos θlab) 26
  33. Do đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong phòng thí nghiệm được viết lại:  dσ  |M|2|p0|  q2 −1 = 1 − (m E − m2) (1.41) 2 2 02 2 3 1 dΩ lab 64π m2|p| 2m2p 0 Trong điều kiện tĩnh (p4 = 0) thì p = p , E1 = E3, và 0 E1 + m2 − (p/p )E3 cos θlab ≈ m2 + E1(1 − cos θlab) Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong phòng thí nghiệm được lấy xấp xỉ:  dσ  |M|2 1 ≈ 2 2 dΩ lab 64π m2 1 + (E1/m2)(1 − cos θlab) 0 Trong tương đối tính E1 ≈ p, E3 ≈ p thì vi phân tiết diện tán xạ có giá trị gần đúng:   2   dσ |M| E3 ≈ 2 2 dΩ lab 64π m2 E1 27
  34. CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON THÀNH HAI PHOTON Ta xét quá trình hủy cặp e+e− thành hai photon: − + e (p1, s1) + e (p2, s2) → γ(ka, a) + γ(kb, b) Trong khuôn khổ điện động lực học lượng tử, lí thuyết về tương tác của các hạt mang điện với photon (QED), trong gần đúng bậc thấp nhất - gần đúng cây, có 2 giản đồ Feynman cho đóng góp: e− γ p −ieγµ 1 k µ µ a a p1 − ka ν p2 ν −ieγν kbb γ e+ µ e− kaa p1 −ieγν ν γ p1 − kb µ γ p 2 −ieγµ ν kbb e+ Hình 2.1.2: Giản đồ cho sự hủy cặp e+e→γγ 28
  35. Ta sẽ phân tích trong hệ qui chiếu electron đứng yên (hay trong phạm vi hệ qui chiếu CM của cặp electron-positron). Thực tế, chúng di chuyển khá chậm, với mục đích đi tính biên độ nên ta sẽ giả sử chúng đứng yên. Nói cách khác, trường hợp này ta không thể tính trung bình trên các spin ban đầu do các hệ tổ hợp đều có cấu hình đơn nhất (singlet) -các spin đối song-hoặc theo cấu hình tam đẳng (triplet) -các spin song song và công thức tính tiết diện va chạm là hoàn toàn khác nhau trong hai trường hợp. 2.1 Biên độ tán xạ kênh t - Giản đồ Feynman cho quá trình e− γ −ieγ p µ 1 µ ka µ a p1 − ka ν p2 ν −ieγν kbb γ e+ Hình 2.2: kênh t 29
  36. ∗ ∗ i(6 p1− 6 ka + m) Mt = bav2(−ieγν) 2 2 (−ieγµ)u1 (p1 − ka) − m 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ = −ie v26 b 2 2 6 au1 (2.42) (p1 − ka) − m 2 ∗ |Mt| = MtMt    ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 −ie v2 6 b 2 2 6 au1 (p1 − ka) − m (p1 − ka) − m     2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 6 p1− 6 ka + m = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 −ie u1 6 a 2 2 6 bv2 (p1 − ka) − m (p1 − ka) − m (2.43) Cho rằng tất cả Fermion đều không bị phân cực, lấy tổng theo tất cả các spin rồi chia cho spin của các trạng thái ban đầu thì thu được spin trung bình của bình phương ma trận. Hay nói cách khác, ban đầu ta có 2 hạt , mỗi hạt này lại có 2 cách định hướng spin nên: 1 X |M |2 = |M |2 t 4 t λ1,λ2     1 X 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 6 p1− 6 ka + m = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 ie u1 6 a 2 2 6 bv2 4 (p1 − ka) − m (p1 − ka) − m 4 ∗ ∗ e T r(6 p2 − m) 6 b (6 p1− 6 ka + m) 6 a(6 p1 + m) 6 a(6 p1− 6 ka + m) 6 b = 2 2 2 (2.44) 4[(p1 − ka) − m ] Biểu thức này ta thấy giống như vết của một tích gồm 8 ma trận. Nếu ta lấy tổng toàn bộ độ xoắn của photon ở trạng thái cuối và sử dụng X µ ν∗ µν a(λ1) a(λ1) = −g λ1 X µ ν∗ µν b(λ2) b(λ2) = −g λ2 30
  37. Khi đó vết trở thành: ∗ ∗ U = T r(6 p2 − m) 6 b(6 p1− 6 ka + m) 6 a(6 p1 + m) 6 a(6 p1− 6 ka + m) 6 b µ ν = T r(6 p2 − m)γ (6 p1− 6 ka + m)γ (6 p1 + m)γν(6 p1− 6 ka + m)γµ (2.45) Sử dụng một số định lí thu gọn µ γµ(6 p2 − m)γ = −2 6 p2 − 4m (2.46) ν γ (6 p1 + m)γν = −2 6 p1 + 4m (2.47) Áp dụng cho vết: E = T r(−2 6 p2 − 4m)(6 p1− 6 ka + m)(−2 6 p1 + 4m)(6 p1− 6 ka + m)  2 = T r −2 6 p2(6 p1− 6 ka)(−2m 6 p2 − 4m)(6 p1− 6 ka) − 4m  2 .T r −2 6 p1(6 p1− 6 ka) − 2m 6 p1 + 4m(6 p1− 6 ka) + 4m 2 2 = 4T r 6 p2(6 p1− 6 ka) 6 p1(6 p1− 6 ka) − 8m T r 6 p2(6 p1− 6 ka) + 4m T r 6 p2 6 p1 2 2 2 − 8m T r 6 p2(6 p1− 6 ka) + 8m T r(6 p1− 6 ka) 6 p1 − 16m T r(6 p1− 6 ka)(6 p1− 6 ka) 2 4 + 8m T r 6 p1(6 p1− 6 ka) − 16m T r(I) 2 = 4T r 6 p2(6 p1− 6 ka) 6 p1(6 p1− 6 ka) + 4m .4T r(6 p1+ 6 p2− 6 ka) 6 ka 2 4 − 12m T r 6 p2 6 p1 − 16m T r(I) (2.48) Ở đây ta đã bỏ qua thành phần vết của một tích một số lẻ các ma trận, đồng thời sử dụng: 2 6 p1 6 p1 = p1.p1 = m 6 ka 6 ka = ka.ka = 0 31
  38. Khi đó: U = 4T r 6 p2 6 ka 6 p1 6 ka 2 4 + 4m [4T r 6 p1 6 ka + 2T r 6 p2 6 ka − 2T r 6 p2 6 p1] − 16m T r(I) = 4.4[p2.kap1.ka − p2.p1ka.ka + p2.kaka.p1] 2 4 + 4m [4.4p1.ka + 2.4p2.ka − 2.4p1p2] − 16m .4 2 4 = 4.4[2p1.kap2.ka] + 16m [4p1.ka + 2p2.ka − 2p1p2] − 16.4m 2 4 = 32[p1.kap2.ka + m (2p1.ka + p2.ka − p1.p2) − 2m ] (2.49) Vậy 4 2 32e 2 4 |Mt| = 2 2 2 [p1.kap2.ka + m (2p1.ka + p2.ka − p1p2) − 2m ] 4[(p1 − ka) − m ] (2.50) 32
  39. 2.2 Biên độ tán xạ kênh u - Giản đồ Feynman cho quá trình µ e− kaa p1 −ieγν ν γ p1 − kb µ γ p 2 −ieγµ ν kbb e+ Hình 2.3: kênh u ∗ ∗ i(6 p1− 6 kb + m) Mu = bav2(−ieγν) 2 2 (−ieγµ)u1 (p1 − kb) − m 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ = −ie v26 a 2 2 6 bu1 (2.51) (p1 − kb) − m 2 ∗ |Mu| = MuMu    ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ = −ie v2 6 a 2 2 6 bu1 −ie v2 6 a 2 2 6 bu1 (p1 − kb) − m (p1 − kb) − m     2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ 2 6 p1− 6 kb + m = −ie v2 6 a 2 2 6 bu1 −ie u1 6 b 2 2 6 av2 (p1 − kb) − m (p1 − kb) − m (2.52) Cho rằng tất cả Fermion đều không bị phân cực, lấy tổng theo tất cả các spin rồi chia cho spin của các trạng thái ban đầu thì thu được spin trung 33
  40. bình của bình phương ma trận. Hay nói cách khác, ban đầu ta có 2 hạt , mỗi hạt này lại có 2 cách định hướng spin nên: 1 X |M |2 = |M |2 u 4 u λ1,λ2     1 X 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ 2 6 p1− 6 kb + m = −ie v2 6 a 2 2 6 b u1 ie u1 6 b 2 2 6 av2 4 (p1 − kb) − m (p1 − kb) − m 4 ∗ ∗ e .T r(6 p2 − m) 6  a(6 p1− 6 kb + m) 6 b (6 p1 + m) 6 b(6 p1− 6 kb + m) 6 a = 2 2 2 (2.53) 4[(p1 − kb) − m ] Biểu thức này ta thấy giống như vết của một tích gồm 8 ma trận. Nếu ta lấy tổng toàn bộ độ xoắn của photon ở trạng thái cuối và sử dụng X µ ν∗ µν b(λ1) b(λ1) = −g λ1 X µ ν∗ µν a(λ2) a(λ2) = −g λ2 Khi đó vết trở thành: ∗ ∗ U = T r(6 p2 − m) 6 a(6 p1− 6 kb + m) 6 b(6 p1 + m) 6 b(6 p1− 6 kb + m) 6 a µ ν = T r(6 p2 − m)γ (6 p1− 6 kb + m)γ (6 p1 + m)γν(6 p1− 6 kb + m)γµ (2.54) Sử dụng một số định lí thu gọn: µ γµ(6 p2 − m)γ = −2 6 p2 − 4m (2.55) ν γ (6 p1 + m)γν = −2 6 p1 + 4m (2.56) 34
  41. Áp dụng cho vết: I = T r(−2 6 p2 − 4m)(6 p1− 6 kb + m)(−2 6 p1 + 4m)(6 p1− 6 kb + m)  2 = T r −2 6 p2(6 p1− 6 kb)(−2m 6 p2 − 4m))(6 p1− 6 kb) − 4m  2 .T r −2 6 p1(6 p1− 6 kb) − 2m 6 p1 + 4m(6 p1− 6 kb) + 4m 2 2 = 4T r 6 p2(6 p1− 6 kb) 6 p1(6 p1− 6 kb) − 8m T r 6 p2(6 p1− 6 kb) + 4m T r 6 p2 6 p1 2 2 2 − 8m T r 6 p2(6 p1− 6 kb) + 8m T r(6 p1− 6 kb) 6 p1 − 16m T r(6 p1− 6 kb)(6 p1− 6 kb) 2 4 + 8m T r 6 p1(6 p1− 6 kb) − 16m T r(I) 2 = 4T r 6 p2(6 p1− 6 kb) 6 p1(6 p1− 6 kb) + 4m .4T r(6 p1+ 6 p2− 6 kb) 6 kb 2 4 − 12m T r 6 p2 6 p1 − 16m T r(I) (2.57) Ở đây ta đã bỏ qua thành phần vết của một tích một số lẻ các ma trận, đồng thời sử dụng: 2 6 p1 6 p1 = p1.p1 = m 6 kb 6 kb = kb.kb = 0 Khi đó: U = 4T r 6 p2 6 kb 6 p1 6 kb 2 4 + 4m [4T r 6 p1 6 kb + 2T r 6 p2 6 kb − 2T r 6 p2 6 p1] − 16m T r(I) = 4.4[p2.kbp1.kb − p2.p1kb.kb + p2.kbkb.p1] 2 4 + 4m [4.4p1.kb + 2.4p2.kb − 2.4p1p2] − 16m .4 2 4 = 4.4[2p1.kbp2.kb] + 16m [4p1.kb + 2p2.kb − 2p1p2] − 16.4m 2 4 = 32[p1.kbp2.kb + m (2p1.kb + p2.kb − p1.p2) − 2m ] (2.58) 35
  42. Vậy: 4 2 32e 2 4 |Mu| = 2 2 2 [p1.kbp2.kb + m (2p1.kb + p2.kb − p1p2) − 2m ] 4[(p1 − kb) − m ] (2.59) 2.3 Tiết diện tán xạ toàn phần Tính  ∗   ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ Mt .Mu = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 −ie v2 6 a 2 2 6 b u1 (2.60) (p1 − ka) − m (p1 − kb) − m     2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ = ie u1 6 a 2 2 6 b v2 −ie v2 6 a 2 2 6 b u1 (p1 − ka) − m (p1 − kb) − m 1 X M ∗.M = M ∗.M (2.61) t u 4 t u     1 X 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ = ie u1 6 a 2 2 6 b v2 −ie v2 6 a 2 2 6 b u1 4 (p1 − ka) − m (p1 − kb) − m 4 ∗ ∗ e .T r(6 p1 + m) 6 a(6 p1− 6 ka + m) 6 b(6 p2 − m) 6 a(6 p1− 6 kb + m) 6 b = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] Trong chuẩn Feynman ta có: X u ∗ν µν a a = −g (2.62) X u ∗ν µν b  b = −g Do đó: 4 µ ν ∗ e .T r(6 p1 + m)γµ(6 p1− 6 ka + m)γν(6 p2 − m)γ (6 p1− 6 kb + m)γ Mt .Mu = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] (2.63) 36
  43. Sử dụng định lí thu gọn: µ γµ(6 p1− 6 ka + m)γν(6 p2 − m)γ = −2(6 p2 − m)γν(6 p1− 6 ka + m) (2.64) 4 ν ∗ e .T r(6 p1 + m)(−2)(6 p2 − m)γν(6 p1− 6 ka + m)(6 p1− 6 kb + m)γ Mt .Mu = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] (2.65) Có: ν γν(6 p1− 6 ka + m)(6 p1− 6 kb + m)γ = γν [6 p1 6 p1− 6 p1 6 kb + m 6 p1− 6 ka 6 p1 (2.66) 2 ν + 6 ka 6 kb − m 6 ka + m 6 p1 − m 6 kb + m ]γ program@epstopdf 2 = 4(8m − p1kb + kakb − kap1) Vậy: 4 2 ∗ −2e .(8m − p1kb + kakb − kap1) Mt .Mu = 2 2 2 2 T r(6 p2 − m)(6 p1 + m) 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] (2.67) 4 2 −2e .(8m − p1kb + kakb − kap1) 2 = 2 2 2 2 T r(6 p1 6 p2 − m 6 p1 + m 6 p2 − m ) 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] 4 2 2 −2e .(8m − p1kb + kakb − kap1).4(p1p2 − m ) = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] Tính    ∗ ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 ∗ 6 p1− 6 kb + m ∗ Mt.Mu = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 −ie v2 6 a 2 2 6 b u1 (2.68) (p1 − ka) − m (p1 − kb) − m     2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 6 p1− 6 kb + m = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 ie u1 6 b 2 2 6 av2 (p1 − ka) − m (p1 − kb) − m 37
  44. 1 X M .M ∗ = M .M ∗ (2.69) t u 4 t u     1 X 2 ∗ 6 p1− 6 ka + m ∗ 2 6 p1− 6 kb + m = −ie v2 6 b 2 2 6 au1 ie u1 6 b 2 2 6 av2 4 (p1 − ka) − m (p1 − kb) − m 4 ∗ e .T r(6 p2 − m) 6 ∗b(6 p1− 6 ka + m) 6 a(6 p1 + m) 6 b(6 p1− 6 kb + m) 6 a = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] Trong chuẩn Feynman ta có: X µ ∗ν µν a a = −g (2.70) X µ ∗ν µν b  b = −g Do đó: 4 ν µ ∗ e .T r(6 p2 − m)γ (6 p1− 6 ka + m)γ (6 p1 + m)γν(6 p1− 6 kb + m)γµ Mt.Mu = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] (2.71) Sử dụng định lí thu gọn: ν µ µ γ (6 p1− 6 ka + m)γ (6 p1 − m)γν = −2(6 p1 + m)γ (6 p1− 6 ka + m) (2.72) 4 µ ∗ e .T r(6 p2 − m)(−2)(6 p1 + m)γ (6 p1− 6 ka + m)(6 p1− 6 kb + m)γµ Mt.Mu = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] (2.73) 38
  45. Có: µ µ  2 γ (6 p1− 6 ka + m)(6 p1− 6 kb + m)γµ = γ 2m − 6 p1 6 kb + m 6 p1− 6 ka 6 p1 ν + 6 ka 6 kb − m 6 ka + m 6 p1 − m 6 kb]γ program@epstopdf 2 = 4(8m − p1kb + kakb − kap1) Vậy: 4 2 ∗ −2e .(8m − p1kb + kakb − kap1) Mt.Mu = 2 2 2 2 T r(6 p2 − m)(6 p1 + m) 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] (2.74) 4 2 2 −2e .(8m − p1kb + kakb − kap1)T r(6 p2 6 p1 + m 6 p2 − m 6 p1 − m ) = 2 2 2 2 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] 4 2 −2e .4(p2p1 − m ) 2 = 2 2 2 2 (8m − p1kb + kakb − kap1) 4[(p1 − ka) − m ][(p1 − kb) − m ] ∗ ∗ Lấy me ≈ 0 thì 2 thành phần Mt .Mu và Mt.Mu đều bằng 0. Khi đó: 2 2 2 |M | = |Mt | + |Mu| (2.75) 4 p1.kap2.ka 4 p1.kbp2.kb = 8e 2 + 8e 2 4(p1.ka) 4(p1.kb) p .k p .k = 2e4 2 a + 2e4 2 b p1.ka p1.kb Mặt khác p1 + p2 = ka + kb (2.76) ↔ p2 − ka = kb − p1 2 2 ↔ (p2 − ka) = [−(p1 − kb)] ↔ p2.ka = p1.kb 39
  46. p1 + p2 = ka + kb (2.77) ↔ p2 − kb = ka − p1 2 2 ↔ (p2 − kb) = [−(p1 − ka)] ↔ p2.kb = p1.ka h i −→ |M 2| = 2e4 p1.kb + p1.ka p1.ka p1.kb Xét sự va chạm của một electron và một pozitron trong hệ qui chiếu khối tâm: 2 2 2 p1.p2 = E + E = 2E (2.78) 2 2 p1.ka = E − EP cos θ = E (1 − β. cos θ) 2 2 p1.kb = E + EP cos θ = E (1 + β. cos θ) P Với β = E : Vận tốc của γ Kết hợp e2 = 4πα (α: Hằng số cấu trúc) thì |M 2| trở thành E2(1 + β. cos θ) E2(1 − β. cos θ) |M 2| = 2(4πα)2 + (2.79) E2(1 − β. cos θ) E2(1 + β. cos θ) 1 + β. cos θ 1 − β. cos θ = 2(4πα)2 + 1 − β.cosθ 1 + β.cosθ Sử dụng công thức tính tiết diện tán xạ trong hệ qui chiếu khối tâm: dσ |P~ 0| = |M 2| (2.80) dω 64π2s|P~ | P 1 + β. cos θ 1 − β. cos θ = .2(4πα)2 + 64π2sE 1 − β.cosθ 1 + β.cosθ α2 1 + β. cos θ 1 − β. cos θ = .β + 2s 1 − β.cosθ 1 + β.cosθ 40
  47. Lấy tích phân theo toàn bộ góc dω = 2πd cos θ, tiết diện tán xạ toàn phần: α2 1 + β. cos θ 1 − β. cos θ dσ = .β + .2π.d cos θ (2.81) 2s 1 − β.cosθ 1 + β.cosθ Z θ α2 1 + β. cos θ 1 − β. cos θ σ = .β + .2π.d cos θ 0 2s 1 − β.cosθ 1 + β.cosθ Quan sát tại một điểm ta thấy tiết diện tán xạ toàn phần chỉ đo được đối − + với các dòng e e ở gần, nghĩa là góc θ nhỏ, khi đó θm ≈ cos θmin Z θ 2   2   α 1 + β. cos θ 1 − β. cos θ 2πα 1 + θm σ = .β + .2π.d cos θ ≈ ln − θm (2.82) 0 2s 1 − β.cosθ 1 + β.cosθ s 1 − θm Quá trình hủy cặp electron thành hai photon có liên quan đến tán xạ Compton bởi vì tính đối xứng là giao nhau. Trong trường hợp không phân cực, tiết diện tán xạ toàn phần được viết lại: 8πα2.3  1 1 + ω 2(1 + ω)2 1 + 3ω σ = 2 − 3 ln(1 + 2ω) + 2 − 2 (2.83) 3me.4 2ω ω ω (1 + 2ω) (1 + 2ω) dσ |P~ 0| = |M 2| dΩ 64π2s.|P~ | 1 P 1 + βcosθ 1 − βcosθ = 2(4πα)2 +  64π2s E 1 − βcosθ 1 + βcosθ α2β 1 + βcosθ 1 − βcosθ =  +  (2.84) 2s 1 − βcosθ 1 + βcosθ Lấy tích phân theo toàn bộ góc khối dΩ = 2πdcosθ, tiết diện tán xạ toàn phần: α2β 1 + βcosθ 1 − βcosθ dσ =  + .2πdcosθ 2s 1 − βcosθ 1 + βcosθ Z π α2β 1 + βcosθ 1 − βcosθ σ =  + .2πdcosθ (2.85) 0 2s 1 − βcosθ 1 + βcosθ 41
  48. Sử dụng phần mềm Wolfram Mathematica tính giá trị của biểu thức (2.85) và vẽ đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa tiết diện tán xạ toàn phần √ với s thu được kết quả: 2πα2β σ = s .2, 04444 20 15 10 5 s figure 80 100 120 140 160 180 Hình 2.4: Sự phụ thuộc giữa tiết diện tán xạ toàn phần theo xung lượng √ s 42
  49. KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, về cơ bản đề tài đã hoàn thành những mục tiêu đặt ra. Những kết quả chính của khóa luận bao gồm: - Giới thiệu được cơ sở của lý thuyết tán xạ. Qua đó trình bày chi tiết cách xây dựng phần đỉnh trong tương tác không chứa đạo hàm và tương tác không chứa đạo hàm; qui tắc Feynman và tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm . - Tính chi tiết biên độ tán xạ quá trình hủy cặp electron thành hai photon theo các kênh t và u. - Sử dụng phần mềm Woldfram Mathematica tính số giá trị của biên độ tán xạ toàn phần. Kết quả cho thấy, tiết diện tán xạ toàn phần giảm theo √ xung lượng vào s và đạt được một số giá trị phù hợp với thực nghiệm. 43
  50. Tài liệu [1] Hoàng Ngọc Long, 2006. Cơ sở Vật lý hạt. Hà Nội, Nhà xuất bản thống kê. [2] Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, 2003. Introduction to Quan- tum Field Theory, Addison – Wesley Publishing Company. [3] Michio Kaku, 1993. Quantum field theory. USA, Oxford University Press. [4] Roy Pike and Pierre Sabatier, 2002. Scattering.Japan, Academic Press. 44