Khóa luận Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lý lượng tử

Nội dung text: Khóa luận Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lý lượng tử

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== PHẠM THỊ HƯỜNG MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI - 2018
3. LỜI CẢM ƠN T ƣ ậ ố ệ ỏ ò ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng ê ứu, cung cấp nhữ ệ q ý á ậ ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện tốt nhất o o q á o oá ận tốt nghiệp. ờ ả ơ ả ê Vậ ý ý ế ƣờ ạ ọ sƣ ạ H N đã ợ ú đỡ o ờ ọ ậ ƣ ệ ậ Cuố ù xin cả ơ s đ ê ú đỡ c đ ạ è L s ê ầ đầ ê ê ứu khoa họ ê oá ận chắc chắn á ỏi s thiế s ậy rất mong nhậ đƣợc nhữ đ ý ến c a thầ ạ è để oá ậ đƣợ o ệ ơ T â ảm ơ ! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường
4. LỜI CAM ĐOAN Cù v i s ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo, ậ ố ệ ê Vậ ý ý ế đề M t số ơ sở oá ọ ƣờ ù o vậ ý ƣợng tử” đƣợ á â c hiện T o q á ê ứ o ả ận ảo m t số ệu c a m t số á ả đã trong phầ ệu tham khảo. T đo ững kết quả ê ứ o oá ậ o o trung th ƣ ừ đƣợ ố trong bấ o ọ o á . Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh Viên Phạm Thị Hường
5. MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ẦU 1 1. Lý o ọ đề 1 2. Mụ đ ê ứu 2 3. ối ƣợ ạ ê ứu 2 4. Nhiệm vụ ê ứu 2 5. P ƣơ á ê ứu 2 6. Cấ ú ận 2 PHẦN 2: NỘI DUNG 3 CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƢỢNG TỬ 3 1 1 K H e 3 1 1 1 K ế 3 1 1 K H e 5 1.1.3. S o 6 1.1.4. Hệ tr c chuẩn 7 1 Toá ử oá ử t ê ợp tuyế á é oá ê oá ử 8 1 1 Toá ử 8 1 Toá ử ê ợ ế oá ử Hermite) 10 1 Cá é oá ê oá ử 10 1 H ê ị ê oá ử 12 1 Lý ế ề ể ễ 14 1 1 Lý ết về 14 1 Lý ế ể ễ 17 CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 1 B oá ề H e 21 B oá ề ê ị ê oá ử 23 B oá ề ểu diễ 28
6. PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39
7. PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vậ ý ọ o ữ o ọ ê ứ á q ậ ậ đ ê ừ o đế T o s ố q á á ể ậ ý ầ đị ứ ệ ụ Vậ ý đ ể đã đe ạ ề ê ứ đạ ƣ: đị luậ q á định luậ ạ ậ ấp dẫ ƣ ừ ạ ê ứ ế ể ải đƣợc nhiều hiệ ƣợng trong t ê từ cấ đ đế o vậy, s đời c a vậ ý ệ đại nhằm giả t số hiệ ƣợ ật ý c đ ể ƣ đƣợ ng thời vậ ý ệ đạ đã ại m á sâ sắc c o ƣời về t ê ú đẩy s tiến b c o ƣờ N s á ể ậ ý ệ đạ o ƣờ đã đ sâ o ê ứ á á đ đ ể ấ ế Vậ ý ệ đạ - ò đƣợ ọ ậ ý ƣợ ử đƣợ e o ọ ơ ả ở á đị ậ ậ ý ố ầ ế á o ọ ê ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề ê ứ ê á ƣ: vậ ý s ọc, ọ ƣợng tử i hạn c a vậ ý Cá á ện m i trong vậ ý ƣờng giải ữ ơ ế ơ ản c á o ọ á đ ng thời mở ra nhữ ƣ ê ứu m i t o á ƣ oá ọc ho c triết học. Vậ ý oá ọ ố ê ệ ậ ế á ơ sở oá ọ ƣ: H e oá ử He e ê ị ê oá ử ữ ế ứ ề ả ơ ọ ƣợng tử ê ậ ý ƣợ ử V o ố mở ể ế ơ ề á ế ứ ê ọ đề M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t đề ậ ố ệ 1
8. 2. Mục đích nghiên cứu N ê ứu số ơ sở oá ọ sử ụ số ơ sở oá ọ o ọ ậ ê ứ 3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu K H e . Toá ử oá ử Hermite. H ê ị ê oá ử. Lý ế ểu diễ M t số ậ ê q 4. Nhiệm vụ nghiên cứu N ê ứ số ơ sở oá ọ ƣờ ù o ậ ý ƣợ ử 5. Phư ng ph p nghiên cứu Sử ụ ƣơ á đọ ệ Sử ụ oá ọ o ậ ý Sử ụ ƣơ á ả oá ọ 6. Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung Phần 3: Kết luận 2
9. PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1. Không gian Hilbert K H e t dạng t q á a E e ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N mở r ng c á ƣơ á đại số e ơ á oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều cho đến hữu hạn ho ạn chiều. M H e e ơ ƣ ng, hay đƣợc hiể o đ oả á đo đƣợc. K H e xuất hiện m á t ê ƣờ ê o oá ọ ậ ý ƣờ á ạn chiều Cá gian Hilbert s m nhấ đƣợ ê ứu trong thập kỷ đầ ê a thế kỷ 20 bởi David Hilbert, Erhard Schmidt F es R esz C ú ữ ụ ể thiế o á ý ết về á ƣơ â ừng phầ ơ họ ƣợng tử é ế đ i Fourier ý ết ergodic ơ sở oá ọc c a nhiệ đ ng l c học. Cá H e o é á tr á ọc ể đƣợ á dụ o t số ạn chiều. C ú ấp m t khung để hệ thố q á á ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ c á số tr c giao é biế đ i Fourier ữ á ệm â a giả K H e đ m t ò q ọng trong việ ứ oá ọc ơ ọ ƣợng tử. 1.1.1. Không gian tuyến tính M ế ậ o đ á đị é c a ầ ử é â ầ ử số é é â á ấ ƣờng c é e ơ ọc 3
10. é â e ơ ọc v i m t số. C á ơ m ậ X đƣợc gọi m t ế ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị é é á ầ ử X ệ x + y é â c á phần ử X số a (aT ,T ể ập số th c ho c phức, ệ ax ỏ ã á ê đề s : 1. T ấ o oá : v ầ ử ất kỳ x, y X ta x y y x. 2. T ất kết hợp: v i mọi x,, y z X (x y ) z x ( y z ). 3. T ạ ầ ử 0 X sao cho x 00 x x ọ x  e ơ 4. T ạ phần tử đơ ị 1.x x .1 x v i mọi xX . 5. a() bx ab x a, b T xX . x,. y X 6. a x y ax ay aT 7. a b x ax bx a, b T xX . 8. T ạ ầ ử đố () xX ầ ử xX sao cho x x 1 1 x 0. x 0. Ở ê ố q ệ ữ á ầ ử a X á số a,. b T Nế a số đị ế c. Nếu a số phứ ế ức [1,3]. Cho hệ n e ơ x12, x , , xnn x X , e ơ: yaxax 1 1 2 2 axyXaTn n , i . ƣợc gọ hợp tuyế á e ơ x12, x , , xn . Nếu a1 x 1 a 2 x 2 ann x 0 t n tạ ất m o á ệ số a12, a , , an á ệ xn đƣợc gọ ụ thu c tuyế T ƣờng hợp ƣợc lại nếu  ai 0 ệ e ơ ê đƣợc gọ đ c lập tuyế 4
11. N ƣờ đã ứ đƣợc rằng: a. T o X t n tạ ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến Cá ệ tố đ e ơ đ c lập tuyế o X đề số e ơ ằng p. b. Nế ê o ệ p e ơ đ c lập tuyế a m e ơ bấ xX ệ (p + 1 e ơ ụ thu c tuyế : a1 x 1 a 2 x 2 a p x p a p 1 x 0. V ất hệ số a p 1 c a x á : x a1 x 1 a 2 x 2 app x . c. T o X ể ều hệ ơ sở Cá ệ ơ sở c a X đều số e ơ ằ ằng p N ƣời ta gọi p số chiều c X ệu dimXp . d. Phần tử X’ c X thỏ ã 8 ê đề về ến e ơ đƣợc gọ o a X. N ƣời ta chứng minh rằng dimXX dim [1]. K ế ƣờ đƣợc gọi e ơ á phần tử c ọ á e ơ 1.1.2. Không gian Hilbert M ế th c X đƣợ ọ ề H e ế tro đ á định ế (x, y), gọ ƣ ng e ơ x, y X á ấ s [4,7]: 1. (,),.y x x y 2. x y,(,),. z x z y z 3. (xx , ) 0 (xx , ) 0 x 0. 4. (,),x ay a x y a số V ƣ đƣợ đị ở á ất từ 1– 4 ò t đị ề chuẩn x c a m e ơ x ê X. x x,. x 5
12. x t chuẩn ê X, gọ ẩn sinh bở ƣ ng tiề H e đƣợ đị ƣ ê định chuẩn [5]. Định nghĩa 1: M ế i chuẩn x x, x đƣợc gọi ền Hilbert [1]. V t ền Hilbert định chuẩ ê ọ á niệm về định chuẩ đề á ụ o M tiền H e ể đ đ . M ề H e đ gọ gian Hilbert. Định nghĩa 2: M ề H e t hệ ơ sở tr c chuẩ đ đƣợc gọ H e [1]. T o H e X e ơ x bấ ể khai triển theo hệ ơ sở tr c chuẩ đ en: x a1 e 1 a 2 e 2 ann e . N â ƣ ng hai vế v i ek , : akk e, x k 1,2, , n . n 2 Ta sẽ đ ứng minh:  ak 1 khi x 1. k 1 Thật vậy: 2 * ak  a k e k,, x  a k x e k k k k x, akk e x , x 1. k 1.1.3. Sự trực giao Định nghĩa Định nghĩa 3: Cho H e X á ầ ử x, y X ƣờ ta á e ơ x, y o ế xy ệ xy, 0. 6
13. C c tính chất 1. Nế xy yx . T xx x 0. 2. Nế x y12, y , , yn x a1 y 1 a 2 y 2 ann y . T ậ ậ xay,1 1 ayn n axy 1 , 1 axy n , n 0. 3. Nế xy n , yn y n xy . T ậ ậ x, y lim( x , y ) 0. n n 4. Nếu xx1, , n đ t tr o x x x22 x22 x x đị ý Pythagore). 1 2nn 1 2 1.1.4. Hệ trực chuẩn C o H e X. 1. Hệ e12, e ,  X ọ ệ ẩ ế : 0 eeij, ij 1 T o đ : eeij,0 nếu ij . eeij,1 nếu ij . N ƣ ậ e ệ ẩ ế e 1 n  n n eij e i j . 2. Nếu ệ ẩ ọ xX ,số  (,)xe ọ ệ số ii Fo e x đố ei iie ọ Fo e x eo ệ i 1 en. 3. M ệ ẩ en đƣợ ọ đầ đ e ơ giao ấ ả á ầ ử ệ: 7
14. x en ( n 1,2, ) x 0. 1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t N o ữ đạ ƣợng vậ ý đ ƣ ạ á ể đ ng c a hạt vi o ƣ tọ đ ƣợ ƣợng, ò ữ đại ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ ƣ ố ƣợ đ ệ spin, Trong ơ ọ ƣợng tử, m đạ ƣợng hay thu ậ ý đề đƣợc đ ƣ ởi m oá ử. 1.2.1. To n t Kh i niệm C o X, dim Xp Y, dimYq . a. M é oá o đ ến phần tử xX ần tử yY đƣợc gọ á ạ K ệ é oá Aˆ, é oá biến xy đƣợc viế ƣ s [1]: ˆ Ax y (,)x X y Y (1.1) Á ạ Aˆ đƣợc gọ ế ếu: ˆˆ A  ai x i a i Ax i , xii X, a T (1.2) ii M t s to n t Toán tử tuyến tính: T ê tuyế X, v i x, y X oá ử Aˆ đƣợc gọ oá ử tuyế ếu thỏ ã đ ng thời hai đ ều kiện sau: Aˆ x y Ax ˆ Ay ˆ v i (1.3) ˆˆ A() ax aAx v i a bấ xX (1.4) H 1 1 ƣơ đƣơ i nhau ể viết gọn lạ ƣ s : Aaxˆ ax ax aAx ˆ aAx ˆ aAx ˆ . 1 1 2 2k k 1 1 2 2 k k T o đ x12, x , xk X ; a12, a , , ak ững số th c ho c phức bấ 8
15. Toán tử đơn vị: T n tạ oá ử đơ ị oá ử á đ ng c ê s đ s ˆ (1.5) I . Toán tử ngược: Toá ử Aˆ 1 đƣợ ọ oá ử ƣợ Aˆ ế á đ ˆ ˆ ˆ 1 ƣợ oá ử A, ế Ax y x A y, x,. y X Toán tử Unita: Toá ử Aˆ ọ oá ử U e ế oá ử ị : AAˆˆ 1 hay AAˆ ˆ A ˆ A ˆ I. (1.6) Toán tử liên hợp oá ử oá ử ê ợ ằ AAˆˆ (1.7) Chứng minh Xé ƣ ng: ˆ xi,. Ax j A ij T ˆ Ta gọi Aij ần tử (i, j) c oá ử A. N ƣ ậy: * ˆˆ* Axi,,. x j x j Ax i A ji A ij ˆ Tƣơ ứ á ần tử c oá ử A . Phần tử Aij đƣợc bằ á vừa chuyển vị vừa lấ ê ợp phức c a phần tử đƣợc gọ ần tử ê ˆ hợp c a phần tử Aij . Tƣơ ứng v đ ề đ oá ử A đƣợc gọ oá ử ˆ ê ợp c oá ử A. Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite) Nếu xả đ ng thức AAij ij 9
16. Tứ ˆˆ xi,, Ax j Ax i x j Hay AAˆˆ ˆ oá ử A đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite [1]. 1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite ối v i m oá ử ế Aˆ đƣợc đị ê ến Ф, ƣờ đị m oá ử Aˆ ƣ s : Aˆˆ x,, y x Ay ọi x,. y X (1.8) Cá oá ử Aˆ đƣợc gọ á oá ử ê ợp oá ử oá ử ế oá ử AAˆˆ đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite. T o (1.8 đƣợc [4,5]: Axˆˆ,, y x Ay ọi (1.9) Xé oá ừ Hermite AAˆˆ BBˆˆ . M t số chất c oá ừ Hermite: 1. T ng c oá ử He e oá ử Hermite. ABABABˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. 2. T oá ử Hermite v i m t số oá ử Hermite nếu số đ c. kA,,.ˆ kA ˆ kAkAk ˆ ˆ kkR 3. T a hai oá ử He e oá ử He e oá ử đ o oá i nhau. ABˆˆ B ˆ A ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ. 1.2.3. C c phép to n trên to n t 10
17. Xé oá ử ABˆ, ˆ số f ấ á é sau: 1. P é oá ử: Aˆ Bˆˆ f Af ˆ Bf Cf ˆ hay CABˆˆ ˆ. 2. P é ừ oá ử: Aˆˆ Bˆ f Af Bf ˆ Df ˆ hay DABˆˆ ˆ . Vậ oá ử ậ ừ oá ử ằ é ừ P é ấ o oá ế ợ 3. P é â oá ử: ABˆˆˆˆ f A( Bf ). ˆˆˆˆ ˆ ˆ ˆˆˆˆ N chung AB BA, AB, o oá ƣợ ạ AB BA, o oá P é ấ oá ử ấ o oá ê ế ể ứ ầ ú ý ứ oá ử ƣ oá ử s d d Thí dụ 1: Aˆ ; Bxˆ ; Pˆˆ Aˆ B x dx dx Cho P á ụ ê  x ấ ˆˆˆ dddx PxABx .  . xx   xx 1 x  x dx dx dx d Vậ Pˆˆ Aˆ. B 1 x . dx T BAˆ. ˆ dd Bˆˆ Aˆˆ x x x B A x dx dx Dễ thấy rằ o ƣờng hợ ABˆˆˆˆ BA. N ƣ ậy, tứ oá tử Aˆ Bˆ o oá . Thí dụ 2: Cho Aˆ x2 ,, Bˆ x ta thấy ngay rằng: ˆˆˆˆ 3 AB BA x . 11
18. â ƣờng hợ oá ử o oá ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4. Giao oá ử: A, B AB BA. Nế AB,0 AB, gọ o ˆ ˆ oá v i nhau, ƣợc lại AB,0 o oá i nhau. 1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t Định nghĩa ˆ ˆ Xé oá ử A á  x ,  x bấ C o oá ử A á dụ ê  x bấ đƣợc m á : Aˆ x x (1.10) Trong ƣờng hợp khi m oá ử á ụ ê  x , chuyể t hằng số λ â : Aˆ x  x (1.11) ˆ Trong ƣờng hợ ƣời ta gọi  x ê c oá ử A, ò λ đƣợc gọ á ị ê ị ê ƣơ ứng v ê  x c oá tử Aˆ. P ƣơ 1 11 đƣợc gọ ƣơ o á trị ê ê c oá ử. Giả ƣơ 1 11) ể đƣợ ê ị ê oá ử. M oá ử ể ề ê ê ại ứng v i m t trị riê ể viết lại (1.11 : ˆ An x  n n x n 1,2,3, (1.12) T o đ  n x ê ứng v i trị ê n (n 1,2,3, ). Tập hợp những trị ê oá ử đƣợc gọ c oá ử đ 12
19. Nếu trị ê λ ữ á trị rời rạc, ta gọi ph c oá ử Aˆ rời rạ ; ò ếu trị ê λ ữ á ị ê ục, ta gọi ph c oá ử Aˆ ê ục. Ph c oá ử vừ ể ê ục, vừ ể rời rạc. Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite T p ƣơ ê ị ê oá ử: ˆ A x  x . T eo đị oá ử Hermite: AAˆˆ,,,    (AAˆˆ ). Nếu oá ử Aˆ oá ử Hermite, á ê á ị ê nhữ ất sau: Cá á ị ê oá ử He e ững số th c. P ƣơ o ị ê oá ử Hermite o ƣờng hợ ị ê á đoạ : ˆ An  n  n V ˆˆ n,,AA  n  n  n ˆ ˆ ˆ ˆ V AAAA n,,,  n  n  n :  ,,     n n n n n n   ,0  nn n n ,0     V n n n n n c. Vậ á ị ê oá ử He e ững số th c. Cá ê ứng v á ị ê á oá ử Hermite tr c giao v i nhau. 13
20. T eo đị oá ử Hermite: ˆˆ 1,,AA  2  1  2 aa1  1,,  2 2  1  2 aa1 2  1, 2 0. V a1 a 2 a 1 a 2 0  1 , 2 0. Do đ  , tr c giao v i nhau. 1 2 Cá ê oá ử Hermite lậ t hệ đ . Nế fxbấ á ê ux c oá ử Hermite n ể â : fx cux1 1 cux 2 2 cux 3 3 f x  cnn u x . n 1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm 1.4.1. Lý thuyết về nhóm Định nghĩa M ậ G á ầ ử abc, , , đƣợ ọ ế oá ử é â ỏ ã ấ sau: Tính kín: V ọ a, b G ọ a b G Tính có đơn vị: T ê ậ ợ G ạ ầ ử đơ ị đƣợ ệ e, sao cho: a e e a a  aG. Tính có nghịch đảo: V m ầ ử o ậ G ầ ử ị đảo : 11 1 a., a a.a e ọ a,. a G Tính chất kết hợp: a b c a b c v ọ a,,. b c G 14
21. T o á ầ ử ấ o oá a b b a Nhóm Abel T o oá ọ A e ò đƣợ ọ o oá o đ ế q ả ệ á ụ á é â ầ ử ụ o ứ ú đƣợ ế N á ữ â theo ê đề ề o oá a b b a ọ a,. b G M á é oá o oá ả A e o oá Nhóm tuần hoàn Ký ệ x. x x xn p ầ ử xn gọ ừa bậc n c a x. M o đ á ần tử đề ững ừ á ù m t phần tử gọ ầ o M ầ o ấ ê o oá Nhóm hữu hạn, vô hạn, liên tục Số phần tử c a m ọ ấp c Nếu cấ t số gi i n ọ ữu hạ T o ƣờng hợ á ạ ọ ạn. M t ạ á ần tử biế ê ê ục gọ ê ục. Bảng nhân nhóm Bả â ả ể ệ q ắ â á ầ ử o đƣợ ể ệ o ả ƣ đâ : 15
22. e a b c e e a b c a a a.a a.b a.c b b b.a b.b b.c c c c.a c.b c.c Ví dụ 1: N đơ ả ấ ầ ử đơ ị e ị đảo e e ậ â e e e R ấ ằ ấ ả á ê đề đề đƣợ ỏ ã Ví dụ 2: Xé ầ ử o đ ầ ử đơ ị T ể ị ở ea,. Tù eo ấ e ả e. e e e a a e a Vậ òn a.a ầ đƣợ á đị C ể ả ƣờ ợ : a., a e o a a a K ả ứ ể ế â ả ế 1 a ẫ đế ae . T ệ C2. Luậ â đƣợc biểu thị qua bả ƣ đâ : e a e e a a a e Nhóm quay SO(2) - nhóm quay trong mặt phẳng Xé á é q xOy q ố ọ đ Cá é q ạo SO M é q đƣợ đ ƣ ở ậ S RRR( ),  ,  , á q ,  ,  , ệ T ệ ê ế á é q á q Th c hiệ é q ê ế đƣợc m é q a ú hay é q , é q  . 16
23. RRR   . T ấ o oá : RRRRRR     ơ ị: RRRRR 0 0 , eR 0. T ạ ầ ử ị đảo: RR 1 . Cá é q ấ o oá ê SO o oá [2,7]. Nhóm con Trong ý thuyế , ƣờ đƣ G v i m t é â . Nếu gọi H t tập con c a G H ể o T o ƣờng hợp H H đƣợc gọ o c a G. Định nghĩa 4: Cho m t G v i é â ập con H c a G. H đƣợc gọ o c a G nế H v é â c a G. M ậ o H G o G khi ỏ ã á đ ề ệ s : V ọ a H, b H a b H Tậ ợ o H ứ ầ ử đơ ị e G: eH . Nế a ầ ử H ầ ử ị đảo a a-1 c ần tử c a H. a H a 1 H. G o ọ ấ ữ o G o G. 1.4.2. Lý thuyết bi u di n nhóm Kh i niệm Xé G g m á ần tử a, b, c U á é ến đ i trong m tuyế n chiều Xn. Gọ U á é ến 17
24. đ o X t biểu diễn c G nế é đ ng cấu c G ê U, tứ ứng v i  a,, b c G é ế đ i U(a), U(b), U(c o U thỏ ã : a ()b c U a U b U c v i  a,,, b c G U a , U b U [2,7]. P é đ ng cấu: GU đƣợc gọ é ểu diễ G o gian Xn. T o đ Xn gọ ểu diễn, n ều biểu diễn. Nếu U ế đ i tuyế é ểu diễn c G é ểu diễn tuyế á ạ é ểu diễn gọ ến. T eo đị s đƣợ á ất sau: V i mọi a, b G U a , U b U : U a U b U a b (1.13) Ứng v i yếu tố đơ ị e c G é ế đ đ ng nhất trong X. U a U e U e U a U a hay Ue 1. (1.14) Yếu tố nghị đảo: 1 1 U a U a . (1.15) Nếu n G g m n phần tử a é â á ần tử trong : n aaa.  na . Una . UaUa . Ua Ua . Bi u di n khả quy và bi u di n t i giản Cho m t biểu diễn U c G o e ơ X. Nếu trong X o X1 bất biế đối v i tất cả á é ế đ i U(a) c a biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c G ằng U t biểu diễn khả q T o ƣờng hợ ƣợc lại, nế o X t o o ất biế đối v i tất cả á é ế đối v i tất cả á 18
25. é ế đ i U(a), trừ on tầ ƣờ X o ằ ằng U ểu diễn tối giản [2]. Bi u di n bất khả quy Cho U(G) ể ễ G ê e ơ Xn V s ọ e ơ ơ sở ê Xn o đ s o o ậ ể ễ U(G) ạ : Dg1 0 Dg 0Dg2 ( ) Trong đ Dg1 ậ mm ; Dg ậ n m n m ” ậ ữ ậ ấ m () n m (),n m n Dg ế Dg2 đƣợ ệ : D g  D12 g D g T U(G) ể ễ G ê e ơ Xn U(G) ấ ả q ế X ứ o ấ ế ầ ƣờ o U(G). N ƣợ ạ ể ễ ả q T o ƣờ ợ ế ầ ù o X1 o á e ơ o ọ e ơ o X1 ố e ơ ữ ạ ề ầ ù o X1 ạo o ọ X2 : XXX 12. M ể ễ o o ả q ế ƣơ đƣơ ể ễ á ậ ầ ử ạ : Dg 0 0Dg 19
26. o đ Dgj ấ ả q  jj 1,2,3 . â ọ ậ ạ éo ố M ể ễ ƣ ạ éo ố ế á ể ễ o Dg . T o ệ ế đ ể ễ ƣ ạ éo ố sẽ â ể ễ ố ế á ầ ấ ả q Vậ ể đị á ề ể ễ ấ ả q ƣ s : M ể ễ o o ả q ế ể â đƣợ ế á ể ễ ấ ả q ” [2,6]. Bi u di n unita B ể ễ U G trong L ọ ể ễ ế ấ ả á ế ố a G ấ ả á é ế đ U(a) đề V á ữ ạ ọ ể ễ đề ƣơ đƣơ ể ễ V á ậ ữ đ ê ê ú ầ ả ọ ễ ễ o ấ ả á ể ễ ƣơ đƣơ ố ữ ạ ữ ể ễ ƣơ đƣơ ể ễ V đế ể ễ á ữ ạ đ ể ễ unita [2,7]. Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita. Từ ấ ể ứ 1 15 đƣợ : U a U 11 a U a ọ aG . 20
27. CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 2.1. Bài to n về không gian Hilbert Bài 1: Chứ á oá ử s đâ oá ử Hermite. d d d a) piˆ , piˆ , piˆ x dx y dy z dz pppˆˆˆ222 b) Hˆ x y z U x,, y z ( ố ƣợng, U ế a hạt) 2m Lời giải d a) piˆ x dx ều kiệ để pˆ x oá ử Hermite: * * ˆˆ 1 x pxx  2 x dx  2 x p  1 dx Ta é : d  x pˆ  x dx i  2 dx 1x 2 1 dx * i 12 x d x : * * d 1 i1 x  2 x |  2 x i dx dx * ˆ * i1 x  2 x |  2 x px  1 dx Nếu 1 x  2 x khi x bằ : * ˆˆ* 1 x pxx  2 x dx  2 x p  1 dx d d d Vậy piˆ x oá ử Her e Tƣơ , piˆ y , piˆ z dx dy dz oá ử Hermite. pppˆˆˆ222 b) Hˆ x y z U x,, y z 2m 21
28. T eo â ) á oá ử pˆx,, p ˆ y p ˆ z ững oá ử Her e ê á oá ử pppˆˆˆ222,, oá ử Hermite. Suy ra pppˆˆˆ222 oá x y z x y z pppˆˆˆ222 tử Hecmite, x y z oá ử Hermite. 2m Thế U x, y ,z c c á ến x, y, z ê : * * 1(,,),,(,,),,x y z U  2 x y z dxdydz  2 x y z U  1 x y z dxdydz Suy ra oá ử Hecmite. Vậ oá ử: pppˆˆˆ222 Hˆ x y z U x,, y z 2m oá ử Hecmite. Bài 2: Cho á hệ tọ đ cong sau: y q1 2 x xy22 q2 42 qz3 Khảo sá s tr c giao c a hệ tọ đ o Lời giải ể m t hệ tọ đ o o ệ tọ đ o đ ần thỏ ã đ ều kiện sau: qqqqqq iiijjj 0 x  x  y  y  z  z Xé p tọ đ qq, 12 q  q  q  q  q  q 21 y x 1 2 1 2 1 2 y 0.0 0. (2.1) x  x  y  y  z  z x322 x Do đ q1 q2 i nhau. 22
29. Xé p tọ đ qq, 23 q  q  q  q  q  q x 2 3 2 3 2 3 .0 y .0 0.1 0. (2.2) x  x  y  y  z  z 2 Do đ q q i nhau. 2 3 Xé p tọ đ qq, 13 q  q  q  q  q  q 21 y 1 3 1 3 1 3 .0 .0 0.0 0. (2.3) x  x  y  y  z  z x32 x Do đ q1 i nhau. Từ (2.1), (2.2), (2.3) ta suy ra hệ tọ đ o ê tr c giao. Bài 3: Trạ á a hạ đƣợ ả bở s s : x2  x A.exp  ikx 2a 2 T o đ A, a, k ững hằng số. Từ đ ều kiện chuẩ s á định A. Lời giải ều kiện chuẩ s : * x  x dx 1 2 Hay  x dx 1 x2 A2 exp dx 1 2 a Aa22 1 1 A . a 1 x2 Vậ s ầ :  x .exp  2 ikx a 2a 2.2. Bài to n về hàm riêng và trị riêng của to n t 23
30. Bài 1: Toá ử H ơ Hˆ c a hạt ở trong giếng thế t chiề dạng: 22d Hˆ U x 2m dx2 trong đ : 0 khi0 x d Ux khi x d;0x T ê đã ẩ ị ê oá ử Hˆ . Lời giải 2 dx2 T Hˆ x E x khi 0. xd 2m dx2 Ở đâ  x ê E ị ê oá ử Hˆ . 2 2mE t k 2 , : dx2 kx2 0 dx2 Nghiệm t q á ƣơ â ạng: ikx ikx  x Ce1 Ce 2 A 1cos kxA 2 sin kx T o đ ACC1 1 2 , A2 i C 1 C 2 . t AA1 sin AA2 cos ể viế  x ƣ i dạng:  x Asin kx N o ếng thế á s ấ ấy hạt bằ ê  x 0khi x 0 xd . Từ đ ều kiệ ê ục c s  00  d 0. Từ đ ều kiện  0 A sin 0 suy ra 0 đ ều kiện: n  d Asin kd 0 đƣợc kd n n 0, 1, 2, hay k . d 24
31. T ƣờng hợp: T ƣờng hợp 1: n 0 k 0  x 0 trong khoảng 0, xd tứ á s ấ ấy hạt ở mọ đ ểm trong giếng thế bằ â ẫn v i đề oá o ạt ở trong giếng thế S ƣờng hợp n 0 ỏa ã nx T ƣờng hợp 2: n 0, s  xA sin d nx  xA sin ù ả m t trạ á a hạt. d Vậ ê á ị ê ầ : nx 2n 2 2  n xA sin , Enn 2 , 1,2,3 d 2md Bài 2: Trong Sˆ - biểu diễn, đ t Sˆ ˆ , Sˆ ˆ , Sˆ ˆ . T á oá x xx2 yy2 zz2 ˆ ˆ ˆ tử SSSx,, y z ê đã chuẩ a  z ứng v i trị ê -1. Lời giải ˆ Trong S x - biểu diễ á ị ê a ma trận  x 1 ƣơ ứng v á trị ê c a Sˆ . Muốn vậy,  phả ạng: 2 x x 10  x 01 ˆ ˆ ˆ T ệ thứ o oá a SSSx,,: y z Sˆ S ˆ S ˆ S ˆ i S ˆ x y y x z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Sy S z S z S y i S x Sˆ S ˆ S ˆ S ˆ i S ˆ z x x z y Từ hệ thứ o oá ận thấy: 25
32. ˆx  ˆ y  ˆ y  ˆ x2i  ˆ z ˆy  ˆ z  ˆ z  ˆ y2i  ˆ x ˆ  ˆ  ˆ  ˆ2i  ˆ z x x z y V á á ị ê  1 o ê á ị ê a  2 1. V ế á i i oá ử  2 ả ạng: i 2 10 2 10 2 10  x ,  y ,  z 01 01 01 Xé hợp 2i ˆx  ˆ y  ˆ y  ˆ x 2 i  ˆ x  ˆ y  ˆ y 2 i  ˆ x ˆy  ˆ z  ˆ z  ˆ y  ˆ y  ˆ y  ˆ y  ˆ z  ˆ z  ˆ y 22 ˆy  ˆ z  ˆ y  ˆ z  ˆ y  ˆ y  ˆ z  ˆ y  ˆ z  ˆ y 0 Suy ra ˆx  ˆ y  ˆ y  ˆ x.Tƣơ : ˆy  ˆ z  ˆ z  ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ z  x  x  z t aa11 12 bb11 12  y ,  z aa21 22 bb21 22 D o ệ thức ˆx  ˆ y  ˆ y  ˆ x t : a11 a 12 1 0 1 0 a 11 a 12 a21 a 22 0 1 0 1 a 21 a 22 a a a a 11 12 11 12 a a a a 21 22 21 22 Suy ra aa11 22 0 : 0 a  12 . y a 0 21 26
33. Sử dụ He e a  : yy * 0 a12 0 a21 * . a21 0 a12 0 * Ta phả aa12 21 : 0 a12  y * . a12 0 0 ei t ae i v i số th c bấ 12  y i . e 0 Tƣơ , suy ra: 0 ei ˆ v i l số th c bấ .  z i  e 0 Sử dụng hệ thức phản o oá : ˆy  ˆ z i  ˆ x , eeii   . Ta đƣợc:  . 2 Chọn 0  đ : 2 01 0 i ˆ ˆ  y ,  z 10 i 0 Vậy dạng c a á oá ử SSSˆ,, ˆ ˆ trong S - biểu diễ : x y z x ˆ 10 ˆ 01 ˆ 0 i Sx , S y , Sz . 2 01 2 10 2 i 0 ˆ a Nếu gọi e ơ ê a Sz trong Sx - biểu diễ ạ X b ˆ ƣơ ị ê a Sz trong Sx - biểu diễ : 27
34. 0 i a a i0 b b 22 ib a 22 ia b i a ib X b 1 1 Sử dụ đ ều kiện chuẩ s đƣợc b . 2 1 i N ƣ ậ ê c a Sˆ cầ X , ứng v i trị ê  1. z z 2 1 2.3. Bài to n về nhóm và bi u di n nhóm Bài 1: Trong tậ Q đị é oá * : a*, b a b ab mọi ab, Q. a) Hỏ Q * ậ ? Tại sao? b) Chứng minh rằng (Q\ 1 ,*) lậ Lời giải a) Dễ ấ ần tử đơ ị c a Q,* . Giả sử Q,* lậ Xé ần tử 1 Q,* ần tử ần tử nghị đảo b K đ 0 1 *b ( 1) b ( 1) b 1 ý . Vậy Q,* ậ b) Chứng minh rằng (Q\ lậ . Gọi abc, , Q \ 1, : (*) .ab c a b ab c a b ab c ac bc abc a*(*)*. bc a b cbc a b cbc ab ac abc 28
35. Suy ra a . b c a b c Vậ é oá ết hợp. a V i a Q \1  ọi phần tử nghị đảo c b 1 a a a a a b a a a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a2 11 aa a a22 a a 1 a 0. Tƣơ , ba 0. N ƣ ậy, Q \ 1 ,* lậ  Bài 2: Xâ ng bả â Gi 1,  v é â ƣờng. Lời giải N G g m bốn phần tử 1, 1,ii ,  T : 1.1 1. 1.i i .1 i . 1 . 1 1. 1 . i i . 1 i . i. i i . i i2 1. 1. 1 1 .1 1. 1. i i .1 i . 1 .i i . 1 i . i. i i2 1. i . i i2 1. 29
36. T đƣợc bả â a G: 1 -1 i - i 1 1 -1 i - i -1 -1 1 - i i i i - i -1 1 - i - i i 1 -1 Bài 3: Cho X i phần tử đơ ị e. Chứng minh rằng nếu mọi aX ae2 X A e Lời giải T ọi a,,. b X ab 2 ea22 eb e Do đ ab 2 a22 b e. M ab 2 a22 b ab = ba. Vậy X A e Bài 4: Giả sử A t b phậ á ng c X. Chứng minh rằng A o a X khi AAA 1 Lời giải T A 11 a|. a A Khi A o a X AA 1  . V AA 1  ê AAA 1  M á ọi aA a a e 11 A A ê AAA 1 Vậy AAA 1 Do đ ọi a,, b A a b 11 A A A Suy ra A o a X. Bài 5: Chứng tỏ rằng tập hợp á ậ ấ định thứ á v é â ận â ả o oá ? Lời giải T eo đị ể á ấ s : Tính kín 30
37.  ab  ab11 Giả sử: MN ,  cd cd   11 V i mọi MNA,, : ab ab11 MN. cd cd11 aa1 bc 1 ab 1 bd 1 A a1 c c 1 d b 1 c dd 1 Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã Tính chất kết hợp  ab a1 b 1  a 2 b 2  Gọi MNP ,,   cd c d c d  1 1  2 2  V i mọi MNPA,, : ab a1 b 1 a 2 b 2 MNP cd c d c d 1 1 2 2 a( aa +c b )+ c ( ab + bd ) b ( aa + bc )+( ab + bd ) d 211211211 112 aaccd(+ )+(+ cbcdd ) baccd (+ )+(+ bcddd ) 211 211 211 1 12 ab a1 b 1 a 2 b 2 . cd c1 d 1 c 2 d 2 MNP Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế ợ Tồn tại phần tử đơn vị V i mọi MA : 1 0 a b 1 0 a b MM. 0 1 c d 0 1 c d Nê 31
38. 10 A t n tại phần tử đơ ị: e . 01 Tồn tại phần tử đối V i mọi MA : ab det M ad bc 0. cd C o ê ọi ma trận MA đề ận nghị đảo 1 1 db MA . ad bc ca N ƣ ậy tập hợp A v é â ậ V i mọi MNA, : ab a1 b 1 aa 1 bc 1 ab 1 bd 1 MN. cd c1 d 1 a 1 c c 1 d b 1 c dd 1 ab11 ab cd11 cd NM. Ta kết luậ A o oá .  1 0 0 0 x 1 0 0 Bài 6: Chứng tỏ rằng tập hợ á ận A  ,, x y R 0 0 1 0  0 0y 1 é â ậ â ả o oá ? Lời giải T eo đị ể á ất sau: Tính kín 32
39.  1 0 0 0  1 0 0 0 x 1 0 0 x 1 0 0 1 Gọi M ;,,;, x y R  N x11 y R  0 0 1 0 0 0 1 0  0 0y 1  0 0y1 1 V i mọi MNA, : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x 1 0 0 x1 0 0 x x 1 0 0 MNA. 11 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0y 1 0 0y11 1 0 0 y y 1 Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã Tính chất kết hợp  1 0 0 0  1 0 0 0 x 1 0 0 x 1 0 0 1 Gọi: M ;,, x y R N ;,, x11 y R 0 0 1 0 0 0 1 0  0 0y 1  0 0y1 1  1 0 0 0 x 1 0 0 2 P ;, x22 y R 0 0 1 0  0 0y2 1 V i mọi MNPA,, : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x 1 0 0 xx1 0 0 1 0 0 MNP 12 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0y 1 0 0yy12 1 0 0 1 33
40. 1 0 0 0 x x x 1 0 0 12 0 0 1 0 0 0y y12 y 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x 1 0 0 xx1 0 0 1 0 0 12 . 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0y 1 0 0yy12 1 0 0 1 MNP Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế ợ Tồn tại phần tử đơn vị V i mọi MA : 1000 10001000 1000 0100 xx 1000100 100 MM. 0010 00100010 0010 0001 00yy 10001 00 1 1 0 0 0 0 1 0 0 Nê A n tại phần tử đơ ị: e . 0 0 1 0 0 0 0 1 Tồn tại phần tử đối V i mọi MA : 1 0 0 0 x 1 0 0 det M 1 0. 0 0 1 0 0 0y 1 C o ê ọi ma trận MA đề ận nghị đảo. 34
41. 1 0 0 0 x 1 0 0 MA 1 . 0 0 1 0 0 0 y 1 N ƣ ậy tập hợp A v é â ậ V i mọi MNA, : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 x 1 0 0 x1 0 0 x x 1 0 0 MN 11 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0y 1 0 0y11 1 0 0 y y 1 1 0 0 0 1 0 0 0 x 1 0 0 x 1 0 0 1 NM 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0y 1 0 0y 1 1 Ta kết luậ A o oá . Bài 7: Xâ ng bảng â S3 : a. (12)(23)(321)4. b. (123)(23)(12)11. Lời giải S3 oá ị 3 phần tử. Bả â đƣợ á đị ƣ s : 123 (12) 213  12 123. Do đ : 12 12 e . Tiế ƣơ ta thu đƣợc bảng : 35
42. e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) T 12 23 321 4 12 23 321 42 123 321 321 321 e . b. T 123 23 12 11 (123) 23 12 11 12 .ee . 12 . Bài 8: T ận D((12)) trong biểu diễ q S3. Lời giải N S3 ả â : e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123) Trong biểu diễ q o i phần tử ƣơ ứng v i m t e ơ ơ sở tr c chuẩn trong e ơ e e, 12  g , 13  g , 31  g , 123  g , 132  g 2 3 4 5 6 T : 36
43. D g1 g 2 g 1 g 2 D g e D g e ij ij Từ đ đƣợc: 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 D 12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 37
44. PHẦN 3: KẾT LUẬN ối chiếu v i mụ đ ê ứu, về ơ ả ậ đã đƣợ o đạ đƣợc mụ ê đã đề ra. T o q á c hiệ ận, ú đã đạ đƣợ á ết quả sau: C ú đã i i thiệu, t ng kết m t số ý ết về H e oá ử oá ử He e ê ị ê oá ử, ý ết về ểu diễ C ú đã ng hợ đƣ đƣợc m t số dạng về H e ê ị ê oá ử ý ết về ểu diễ Do ý ế oá ọ ạ ậy, k ận sẽ đƣợ o ệ ơ khi m t số oá ê q đến vậ ý đƣợc b s ƣ ý ết phứ ý ế á s ất V o ờ ê ứ ạ ê ê cứ đề ắc chắ á ỏi thiế s ậy, rất mong nhận đƣợc những ý, ch dẫn c a thầ á ạn để oá ậ đƣợ o thiệ ơ . 38
45. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trầ T á Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i. [2] Nguyễ Ho P ƣơ Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lượng tử, NXB Khoa họ K ậ H N i. [3] Ho Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm NXB HQG [4] Phạ Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sƣ ạm H N i. Tiếng Anh [5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, NXB World Scientific. [6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific. [7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World Scientific. 39