Khóa luận Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng

48 trang thiennha21 15/04/2022 4860

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

khoa_luan_cac_dinh_luat_bao_toan_trong_co_ly_thuyet_va_mot_s.pdf

Nội dung text: Khóa luận Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ TRÀ MY CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn thành khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Trà My
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kì khóa luận tốt nghiệp khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017. Sinh viên Trần Thị Trà My
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 5 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6. Nội dung nghiên cứu 2 7. Đóng góp đề tài 2 NỘI DUNG 3 CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG 3 1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm 3 1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. 3 1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm 4 1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 5 1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm 5 1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 7 1.3. Một số bài toán ứng dụng 8 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13 2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. 13
2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. 13 2.1.2. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. 14 2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm. 15 2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. 15 2.2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm 18 2.3. Một số bài toán ứng dụng 18 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 27 3.1. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 27 3.1.1. Định luật biến thiên động năng của chất điểm 27 3.1.2. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm. 28 3.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. 30 3.2.1. Định lí biến thiên động năng của hệ chất điểm: 30 3.2.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. 32 3.3. Một số bài toán ứng dụng 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian,theo thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và xã hội. Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu một cách toàn diện các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng của các lực. Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơ bản của động lực học. Chúng là kết quả của hàng loạt các thí nghiệm và quan sát đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn. Các định lý này phản ánh mối liên hệ cụ thể khác nhau giữa lực với chuyển động . Trong giai đoạn phát triển hiện nay của Vật lý học, các định luật bảo toàn cho phép ta hiểu được sâu sắc thêm nhiều thông tin về chuyển động của vật thể và vận dụng có hiệu quả trong việc giải các bài toán cơ học phức tạp. Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp của phần động học trong các bài toán hệ vật là việc làm hết sức phức tạp. Hơn nữa trong phần lớn các bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát một cách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứu các hiện tượng theo từng mặt riêng biệt. Để giải quyết các bài toán như vậy, việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho quá trình giải đơn giản và nhanh chóng hơn. Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ” 1
2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết. - Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng và định luật bảo toàn cơ năng. - Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó để giải một số bài tập cơ lý thuyết. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích. 6. Nội dung nghiên cứu Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng. Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tập ứng dụng. Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng. 7. Đóng góp đề tài - Vận dụng các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết để giải một số bài tập về chuyển động phức tạp của vật rắn. - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý thuyết. 2
NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm. 1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. a. Xung lượng của chất điểm. Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc v⃗ của nó được gọi là xung lượng P⃗ của chất điểm P⃗ = mv⃗ (1.1) b. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động nên đạo hàm hai vế của (1.1) theo thời gian t, ta được: dP⃗ dv⃗ = m = mω⃗⃗ ( →ω là gia tốc của chất điểm ) dt dt →̇ → Hay P = F Đây là công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm của véc tơ xung lượng theo thời gian t bằng tổng các lực tác dụng lên chất điểm ” →̇ → P = F (1.2) Trong đó: P⃗ là xung lượng của chất điểm F⃗ là lực tác dụng lên chất điểm 3
1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm. Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác → dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F = 0 →̇ → Biểu thức P = F trở thành: P⃗ ̇ = 0 Hay P⃗ = P⃗⃗⃗0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó xung lượng của chất điểm được bảo toàn. Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn. Ví dụ: NếuF z = 0 thì Pz bảo toàn Pz = Pz0 = const Chú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bảo toàn. Ví dụ: Giả sử thành phần của lực trên trục ρ trong hệ toạ độ cực bằng 0 nhưng thành phần của xung lượng trên trục đó lại không bảo toàn. Thật vậy: mωρ = Fρ 2 m(ρ̈ − ρφ̇ ) = Fρ (1.3) Ta biết Pρ = mρ̇ là thành phần xung lượng trên trục ρ. Do đó (1.3) có thể viết dưới dạng: 2 Ṗρ − mρφ̇ = Fρ 2 Như vậy, nếu Fρ = 0 thì Ṗρ = mρφ̇ nghĩa là Pρ vẫn không bảo toàn. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo toàn. ” ̇ P⃗ = 0 hay P⃗ = P⃗⃗⃗0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1.4) 4
1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. 1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm. Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1, M2, , MN Lực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lực a) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau. Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là : N in → ⃗ in F = ∑ Fi i=1 ⃗ in Trong đó Fi là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i. b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểm trong hệ Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là : N e → ⃗ e F = ∑ Fi i=1 ⃗ e Trong đó Fi là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i. Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là P⃗ thì theo định nghĩa: N N P⃗ = ∑ P⃗ i = ∑ miv⃗ i i=1 i=1 Pmv Trong đó iii là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung lượng của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của các chất điểm trong hệ. Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta được: N dP⃗ dv⃗ = ∑ m i dt i dt i=1 N dP⃗ = ∑ m . ω⃗⃗ (1) dt i i i=1 5
Trong đó ω⃗⃗ i là gia tốc của chất điểm thứ i Lại có: N N ⃗ in ⃗ e ∑ mi. ω⃗⃗ i = ∑(Fi + Fi ) (2) i=1 i=1 Ta có: N N N ⃗ in ⃗ ∑ Fi = ∑ ∑ Fij i=1 i=1 j=1 j≠i N N N N N ⃗ in ⃗ ⃗ ∑ Fi = ∑ ∑ Fij + ∑ ∑ Fij i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 j i N N N N N ⃗ in ⃗ ⃗ ∑ Fi = ∑ ∑ Fij + ∑ ∑ Fji i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 j<i j<i Do đó: N N ⃗ in ⃗ ⃗ ∑ Fi = ∑(Fij + Fji) = 0 i=1 i.j=1 j<i Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0. Khi đó, (2) trở thành: N N ⃗ e ∑ mi. ω⃗⃗ i = ∑ Fi (3) i=1 i=1 Thay (3) vào (1) ta được: N dP⃗ = ∑ F⃗ e dt i i=1 dP⃗ = F⃗ e dt 6
Hay P⃗ ̇ = F⃗ e (1.5) Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.” P⃗ ̇ = F⃗ e Trong đó: P⃗ là xung lượng của hệ chất điểm F⃗ e là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữa gia tốc, lực và thời gian. Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khi biết hai đại lượng còn lại. Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lý thuyết va chạm. 1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của hệ trên trục đó bảo toàn e Ví dụ: Nếu Fz = 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz ở thời điểm ban đầu. Trong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F⃗ e = 0. Từ (1.5) suy ra: dP⃗ = F⃗ e = 0 dt P⃗ = P⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Như vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo toàn. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn ” 7
P⃗ = P⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1.6) 1.3. Một số bài toán ứng dụng. Bài 1: Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả cầu giống nhau, chuyển động gặp nhau với vận tốc v1 và v2. Giải: 푣⃗⃗⃗⃗1 푣⃗⃗⃗⃗2 O x Hình 1.1 Chọn trục Ox ( như hình vẽ ) ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗′ Giả sử sau va chạm vận tốc của hai quả cầu là v1 và v2 Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu : P⃗ trước = P⃗ sau ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗′ mv⃗⃗⃗1 + mv⃗⃗⃗⃗2 = mv1 + mv2 ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗′ → v⃗⃗⃗1 + v⃗⃗⃗⃗2 = v1 + v2 (1) Chiếu (1) lên Ox, ta được: ′ ′ v1 − v2 = −v 1 + v 2 (2) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai quả cầu: 1 1 1 2 1 2 m(v⃗⃗⃗ )2 + m(v⃗⃗⃗⃗ )2 = m (v⃗⃗⃗′ ) + m (v⃗⃗⃗⃗′ ) (3) 2 1 2 2 2 1 2 2 Chiếu (2) lên Ox, ta được: 1 1 1 1 mv2 + mv2 = mv′2 + mv′2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 → v1 + v2 = v′1 + v′2 (4) Từ (2) và (4), ta có hệ phương trình: 8
′ ′ v1 − v2 = −v 1 + v 2 { 2 2 2 2 v1 + v2 = v′1 + v′2 v′ = v → { 1 1 v′2 = v2 Vậy sau va chạm hai quả cầu trao đổi vận tốc cho nhau. Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v bằng nhau về độ lớn. Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng về bên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợp với đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ). Hãy tìm vận tốc của các quả cầu sau khi va chạm. v⃗ v⃗ 훼 O O 1 2 Hình 1.2 Giải: y v⃗ 훼 v⃗ x O 1 O2 Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Gọi vận tốc của quả cầu thứ nhất và thứ hai trước và sau va chạm lần lượt là ′ ′ v⃗ 1, v⃗ 2, v⃗ 1, v⃗ 2. Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hệ hai quả cầu trước và sau va chạm: P⃗ trước = P⃗ sau ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗′ mv⃗⃗⃗1 + mv⃗⃗⃗⃗2 = mv1 + mv2 (1) 9
Chiếu (1) lên Ox: ′ ′ mv1 − mv2cosα = mv1x + mv2x ′ ′ → v1 − v2cosα = v1x + v2x Mà v1 = v2 = v ′ ′ → v − vcosα = v1x + v2x (2) Chiếu (1) lên Oy: ′ ′ mv2sinα = mv1y + mv2y Mà v2 = v ′ ′ → vsinα = v1y + v2y (3) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho các quả cầu trước và sau va chạm: 1 1 1 2 1 2 m(v⃗⃗⃗ )2 + m(v⃗⃗⃗⃗ )2 = m (v⃗⃗⃗′ ) + m (v⃗⃗⃗⃗′ ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 → v1 + v2 = v′1 + v′2 2 2 2 → 2v = v′1 + v′2 2 2 2 2 2 2 Mà v′1 = v′1x + v′1y ; v′2 = v′2x + v′2y 2 2 2 2 ′2 → 2v = v′1x + v′1y + v′2x + v 2y (4) ′ Giả sử sau va chạm quả cầu thứ nhất bật ngược trở lại. Khi đó v1y = 0, thay vào (3), ta được: ′ v2y = vsinα Từ (4): 2 2 2 2 2 → 2v = v′1x + v′2x + v sin α 2 2 2 2 2 → v′1x + v′2x = 2v − v sin α (5) ′ ′ Kết hợp với (2) → v1x = v − vcosα − v2x , thay vào (5), ta được phương trình: 2 ′ 2 v′2x − v(1 + cosα)v2x − v . cosα = 0 Suy ra: 10
′ v2x = −vcosα < 0 (loại) ′ v2x = v (thỏa mãn) ′ v1x = v − vcosα − v = −vcosα Vậy vận tốc của hai quả cầu sau va chạm là: 2 2 2 2 2 ′ v′1 = v′1x + v′1y = v cos α → v1 = vcosα 2 2 2 2 2 2 2 v′2 = v′2x + v′2y = v + v sin α → v′2 = v√1 + sin α 11
Kết luận chương 1 Các định luật bảo toàn mà chúng ta nhận được trong chương này đều xuất phát từ phương trình chuyển động của Niu Tơn. Vì thế các định luật đó liên hệ chặt chẽ với các tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổ điển. Định luật bảo toàn xung lượng liên hệ với tính đồng nhất của không gian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi với mọi dịch chuyển song song của hệ trong toàn bộ. Đối với một số bài tập cơ học thỏa mãn định luật bảo toàn thì có thể giải bằng các định luật bảo toàn và cũng có thể giải bằng phương trình tổng quát của động lực học nhưng giải bằng các định luật bảo toàn sẽ đưa kết quả nhanh chóng hơn. Khi áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và định luật biến thiên xung lượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau: - Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ), từ đó xác định hướng giải của bài toán sẽ áp dụng định luật bảo toàn xung lượng hay định luật biến thiên xung lượng của hệ. - Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. Chọn hệ trục tọa độ tương ứng. - Xác định xung lượng của cơ hệ - Áp dụng biểu thức của định luật, từ đó giải các phương trình vi phân để tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu của đề bài. 12
CHƯƠNG 2 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. 2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. Xét một chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng → của lực F . Theo định luật II Niu tơn, ta có: m. ω⃗⃗ = F⃗ ( ω⃗⃗ : gia tốc của chất điểm ) dv⃗ → m. = F⃗ dt Nhân hữu hướng với r về bên trái, ta được: dv⃗ [r . m. ] = [r . F⃗ ] dt Tích hữu hướng[ r . F⃗ ] được gọi là mô men lực của chất điểm, ký hiệu là L⃗ dv⃗ L⃗ = [r . m. ] dt d dr d → L⃗ = [r . m. v⃗ ] − [ . m. v⃗ ] = [r . m. v⃗ ] − [v⃗ . m. v⃗ ] (2.1) dt dt dt Vì [v⃗ . v⃗ ] = 0 nên có thể biến đổi vế trái của phương trình (2.1) thành dạng: dM⃗⃗⃗ = L⃗⃗ → M⃗⃗⃗ ̇ = L⃗ ( 2.2 ) dt Trong đó M⃗⃗⃗ = [r . m. v⃗ ] = [r . P⃗ ] được gọi là mô men xung lượng của chất điểm Biểu thức ( 2.2 ) biểu diễn định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm véc tơ của mô men xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng mô men lực tác dụng lên chất điểm đó ” 13
M⃗⃗⃗ ̇ = L⃗ Trong đó: M⃗⃗⃗ = [r . m. v⃗ ] = [r . P⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm L⃗ = [r . F⃗ ] : mô men lực của chất điểm 2.1.2. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. Nếu thành phần mô men lực trên một trục cố định nào đó tại mọi thời điểm bằng 0 thì thành phần của mômen xung lượng của chất điểm trên trục đó được bảo toàn. Ví dụ: Nếu Lz = 0 thì Mz bảo toàn Mz = Mz0 = const (2.3) Nhận xét: Mô men lực (hay các thành phần của nó trên các trục nào đó) bằng không khi lực tác dụng lên chất điểm bằng không. Nhưng cũng có thể xẩy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà mô men lực lại bằng không Ví dụ 1: Cho trước lực tác dụng lên chất điểm có hướng luôn cố định, ta chọn trục Oz thế nào để nó cộng tuyến với hướng của lực đó. Từ đây, ta có (hình 2.1a) Fx = Fy = 0 ; Fz ≠ 0 Lx ≠ 0 ; Ly ≠ 0 ; Lz = xFy − yFx = 0 Mà Lz = 0 thì Mz bảo toàn. ( ) Mz = m xẏ − yẋ = Mz0 (2.4) z z O y O y x x a) b) Hình 2.1 14
Ví dụ 2: Lực xuyên tâm, đó là lực có đường tác dụng luôn đi qua một điểm cố định – tâm của lực (đường tác dụng của lực là đường thẳng mà vectơ lực nằm trên đó). Trong trường hợp này mô men lực bằng không. Thật vậy: Chọn điểm cố định O làm gốc toạ độ (Hình 2.1 b) khi đó: F⃗ = Fγn⃗ γ ; L⃗ = 0 M⃗⃗⃗ = m[r . v⃗ ] = M⃗⃗⃗ 0 (2.5) Nghĩa là mô men xung lượng của chất điểm đối với tâm của lực bảo toàn. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 hoặc lực tổng hợp cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm thì mô men xung lượng của chất điểm bảo toàn ” M⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2.6) Trong đó: M⃗⃗⃗ = [r . m. v⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm M⃗⃗⃗ 0: mô men xung lượng ban đầu của chất điểm 2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm. 2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có dạng: ⃗ in ⃗ e mi. ω⃗⃗ i = Fi + Fi dv⃗ ↔ m . i = F⃗ in + F⃗ e ( i = 1̅̅,̅̅N̅ ) i dt i i Nhân hữu hướng với r i về bên trái: dv⃗ [r . m . i] = [r . F⃗ in] + [r . F⃗ e] i i dt i i i i 15
d dr ↔ [r . m . v⃗ ] − [ i . m . v⃗ ] = [r . F⃗ in] + [r . F⃗ e] dt i i i dt i i i i i i d dr → [r . m . v⃗ ] = [r . F⃗ in] + [r . F⃗ e] vì [ i . m . v⃗ ] = 0 dt i i i i i i i dt i i ⃗⃗⃗ ̇ ⃗ in ⃗ e Hay Mi = Li + Li (2.7) ⃗ in ⃗ in Trong đó : Li = [r i. Fi ]: mômen nội lực của chất điểm thứ i ⃗ e ⃗ e Li = [r i. Fi ]: mômen ngoại lực của chất điểm thứ i M⃗⃗⃗ i = [r i. mi. v⃗ i] = [r i. P⃗ i]: mômen xung lượng của chất điểm thứ i Lấy tổng biểu thức (2.7) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được: N N ⃗⃗⃗ ̇ ⃗ in ⃗ e M = ∑ Li + ∑ Li (2.8) i=1 i=1 Trong đó M⃗⃗⃗ là mô men xung lượng của hệ, bằng tổng mô men xung lượng của các chất điểm trong hệ. N M⃗⃗⃗ = ∑ M⃗⃗⃗ i i=1 Các lực tương tác giữa mỗi cặp các chất điểm theo định luật III Niu Tơn thì bằng nhau về độ lớn và hướng ngược chiều nhau trên đường thẳng nối các chất điểm tương tác. Do đó ta có thể biểu diễn mô men nội lực dưới dạng tổng các mô men lực theo tất cả các cặp chất điểm tương tác. i 퐹푖푗 푖 O 퐹 푗푖 푗 j 16
Chọn gốc O làm gốc tọa độ Vị trí của chất điểm Mi và Mj của hệ đối với gốc O được xác định bằng bán kính véc tơ ri và r j. Ta có : N N N N ⃗ in ⃗ ⃗ ⃗ ∑ Li = ∑ r i. ∑ Fji = ∑{[r i. Fji] + [r j. Fij]} i=1 i=1 i,j=1 i,j=0 [ i≠j ] i<j N ⃗ in ∑ Li = 0 (2.9) i=1 Bởi vì : [r i. F⃗ ji] + [r j. F⃗ ij] = [(r⃗⃗ i − r j). F⃗ ij] = 0 ( vì F⃗ ij cộng tuyến với r ji = r i − r j ) Do đó tổng mô men nội lực tác dụng lên chấtđiểm của hệ bằng 0. Từ biểu thức (2.8) và (2.9), ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm: M⃗⃗⃗ ̇ = L⃗ e (2.10) Trong đó L⃗ e là tổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ: N ⃗ e ⃗ e L = ∑ Li i=1 Định luật biến thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đạo hàm mô men xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ ” Ý nghĩa: định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm để nghiên cứu chuyển động của cơ hệ bao gồm cả chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến. 17
2.2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm Nếu thành phần của tổng mô men ngoại lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của mô men xung lượng của hệ trên trục đó được bảo toàn. Ví dụ: N N Le = ∑[r . F⃗ e] = 0 → M = ∑[r . m . v⃗ ] = M = const z i i z z i i i z z0 i=1 i=1 → Mômen xung lượng trên Oz được bảo toàn. ⃗ e Trong trường hợp cơ hệ kín, tất cả các lực Fi = 0 ( i = 1,2, , N) nên: N ⃗ e ⃗ e L = ∑[r i. Fi ] = 0 i=1 Do đó, mô men xung lượng của hệ kín bảo toàn N M⃗⃗⃗ = ∑ mi. [r i. v⃗ i] = M⃗⃗⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2.11) i=1 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, mômen xung lượng của hệ không thay đổi ” M⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ý nghĩa: định luật mômen xung lượng cho phép ta xác định vận tốc góc hay góc quay của một bộ phận nào đó của cơ hệ theo vận tốc góc hay góc quay của các bộ phận còn lại. 2.3. Một số bài toán ứng dụng. Bài 1: Một dây treo vật nặng có trọng lượng P1 quấn trên một tang quay hình trụ tròn đồng chất có trọng lượng P2 và bán kính R. Bỏ qua khối lượng của dây và ma sát, hãy xác định vận tốc của vật nặng rơi xuống theo phương thẳng đứng. 18
Giải: (B) ⃗ 푅 R 푃⃗ 2 (A) Hình 2.1 푃⃗ 1 Hệ khảo sát gồm tang quay, vật nặng và dây Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực P⃗ 1 của vật A, trọng lượng P⃗ 2 của tang quay, phản lực R⃗⃗ của ổ đỡ. Trục quay được chọn là trục Oz hướng ra phía sau của mặt giấy và vuông góc với tang quay. Áp dụng định lý biến thiên mô men xung lượng của hệ đối với trục Oz, ta có: dM z = L = L (P⃗ ) + L (P⃗ ) + L (R⃗⃗ ) dt z z 1 z 2 z Trong đó: P M = MA + MB = R. 1 . v + J . ω z z z g z Jz: mômen quán tính của tang quay. ω: gia tốc góc P v P J → M = R. 1 . v + J . = v. ( 1 . R + z) z g z R g R Lz(P⃗ 1) = R. P1 → Do P⃗ 2 và R đi qua O nên Lz(P⃗ 2) = 0 ; Lz(R⃗⃗ ) = 0 19
→ Lz = Lz(P⃗ 1) = R. P1 dM d P J z = L ↔ [v. ( 1 . R + z)] = R. P dt z dt g R 1 dv P J d P J → ( 1 . R + z) + ( 1 . R + z) . v = R. P dt g R dt g R 1 d P J dv P J ( 1 . R + z) . v = 0 → ( 1 . R + z) = R. P dt g R dt g R 1 Gia tốc: dv R. P ω = = 1 i P J dt 1 . R + z g R Vận tốc ban đầu của vật v0 = 0 R. P → v = 1 (1) P J 1 . R + z g R Xác định mô men quán tính Jz của hình trụ tròn đồng chất có mật độ ρ, bề dày h và bán kính R với trục Oz vuông góc với đĩa và đi qua tâm của nó. Gọi r là khoảng cách từ một điểm của hình trụ tròn đến trục quay Oz m là khối lượng của đĩa tròn. dm là khối lượng của phần đĩa nằm giữa hai mặt trụ có bán kính r và r+dr dm = ρ. V. dr = ρ. 2πr. h. dr R R R 2 2 3 → Jz = ∫ r . dm = ∫ r . ρ. 2πr. h. dr = ∫ r . ρ. 2π. h. dr 0 0 0 R r4 R4 π. R2. h. ρ. R2 ρ. V. R2 mR2 → J = 2πhρ | = 2πhρ = = = (2) z 4 4 2 2 2 0 Thay (2) vào (1) ta được: 2g. P . t v = 1 2P1 + P2 20
Bài 2: Một sợi dây vắt qua ròng rọc, khối lượng của nó có thể bỏ qua. Một người nắm vào dây tại điểm A, còn đầu kia tại điểm B treo vật nặng có cùng với khối lượng của người ( hình 2.3 ). Nếu người leo lên dây với vận tốc a tương đối với dây thì vật nặng sẽ chuyển động như thế nào ? Giải: R . 푛⃗ O 훽 ⃗ 훼 ⃗ (B) (A) 푃⃗ 푃⃗ Hình 2.3 Hệ khảo sát gồm người A và vật B → Ngoại lực tác dụng lên hệ: P⃗ A, T⃗⃗ A, P⃗ B , T B ( như hình vẽ ) Chọn trục tọa độ đi qua O và vuông góc với mặt ròng rọc, chiều dương hướng ra ngoài, véc tơ đơn vị là n⃗ Áp dụng định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ: dM⃗⃗⃗ = L⃗ = [r . F⃗ ] dt Hợp lực tác dụng lên cơ hệ là: → F⃗ = P⃗ A + T⃗⃗ A + P⃗ B + T B L⃗ = [r A. P⃗ A] + [r A. T⃗⃗ A] + [r B. P⃗ B] + [r B. T⃗⃗ B] L⃗ = rA. PA. sin(r A, P⃗ A). n⃗ + rA. TA. sin(r A, T⃗⃗ A). n⃗ + rB. PB. sin(r B, P⃗ B). n⃗ + rB. TB. sin(r B, T⃗⃗ B). n⃗ 21
L⃗ = rA. PA. sinα. n⃗ − rA. TA. sinα. n⃗ + rB. T2. sinβ. n⃗ − r2. P2. sinβ. n⃗ Mặt khác: rA. sinα = rB. sinβ = R → L⃗ = (PA − TA + TB − PB). R. n⃗ Mà mA = mB → PA = PB Vì ròng rọc có khối lượng và dây không dãn nên TA = TB L⃗ = (PA − TA + TB − PB). R. n⃗ = 0 dM⃗⃗⃗ → = 0 dt Mômen xung lượng của hệ được bảo toàn. Đối với hệ quy chiếu gắn với tâm ròng rọc thì M⃗⃗⃗ = 0 M⃗⃗⃗ = [r A. mA. v⃗ A] + [r B. mB. v⃗ B] = 0 M⃗⃗⃗ = m[r A. v⃗ A] + m[r B. v⃗ B] = 0 M⃗⃗⃗ = [r A. v⃗ A] + [r B. v⃗ B] = −rA. vA. sinα. n⃗ + rB. vB. sinβ. n⃗ = 0 Mặt khác: rA. sinα = rB. sinβ = R M⃗⃗⃗ = R. m(−vA + vB)n⃗ = 0 → vA = vB (1) Gọi vận tốc của người so với đất là v⃗ A , vận tốc của người so với dây là a⃗ , vận tốc của dây đối với đất là v⃗ B Ta có: v⃗ A = a⃗ + v⃗ B (2) Chọn chiều dương là chiều chuyển động của người A. → vA = a − vB (3) Từ (1) và (3), suy ra: a v = v = A B 2 Vậy khi người leo lên dây với vận tốc a tương đối với dây thì vật nặng kéo lên dây với vận tốc : 22
a v = B 2 Bài 3: Hãy chứng minh rằng khi chất điểm chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm thì quỹ đạo của nó nằm trong mặt phẳng đi qua tâm của lực. Giải: Chất điểm chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm nên chất điểm chịu tác dụng của lực thế: F⃗ = f(r ). r Mômen lực của chất điểm: L⃗ = [r . F⃗ ] = [r . f(r ). r ] = 0 Áp dụng định lí biến thiên mômen xung lượng của chất điểm: dM⃗⃗⃗ dM⃗⃗⃗ = L⃗ → = 0 dt dt Do đó, khi chất điểm chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm thì mômen xung lượng của chất điểm được bảo toàn. M⃗⃗⃗ = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → M⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0 Ta có: M⃗⃗⃗ . r = [r . m. v⃗ ]. r = 0, mà M⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0 → M⃗⃗⃗ 0. r = [r 0. m. v⃗ 0]. r = 0 → r 0, r , v⃗ 0 cùng nằm trong một mặt phẳng. Vì mặt phẳng này chứa r 0và r nên nó là mặt phẳng quỹ đạo. Mặt phẳng này chứa r nên chứa tâm của trường lực. Vậy khi chất điểm chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm thì quỹ đạo của nó nằm trong mặt phẳng đi qua tâm của lực. Bài 4: Chất điểm chuyển động trong trường hợp đối xứng xuyên tâm khi có lực ma sát F⃗ = −γv⃗ . Chất điểm này có chuyển động trong mặt phẳng đi qua tâm của lực hay không ? 23
Giải: Vì chất điểm chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, lực xuyên tâm tác dụng lên chất điểm có dạng F⃗ xt = f(r ). r Hợp lực tác dụng lên chất điểm là: F⃗ = F⃗ xt + F⃗ ms = f(r ). r − γv⃗⃗ (1) Nhân hữu hướng hai vế của (1) với r ,ta có: [r . F⃗ ] = [r . f(r ). r ] − [r . γ. v⃗ ] = −γ[r . v⃗ ] Áp dụng định lí biến thiên mômen xung lượng của chất điểm: dM⃗⃗⃗ γ γ = L⃗ = [r . F⃗ ] = −γ[r . v⃗ ] = − . [r . m. v⃗ ] = − . M⃗⃗⃗ dt m m dM⃗⃗⃗ γ γ → = − dt ↔ M⃗⃗⃗ ̇ + . M⃗⃗⃗ = 0 (2) dt m m γ − t (2) có nghiệm dạng M⃗⃗⃗ = C. e m Tại t = 0 thì M⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0 = C. Do đó: γ − t M⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0. e m (3) Nhân vô hướng hai vế của (3) với r , ta được: γ − t M⃗⃗⃗ . r = M⃗⃗⃗ 0. e m . r = [r . m. v⃗ ]. r = 0 → M⃗⃗⃗ 0. r = 0 hay [r 0. m. v⃗ 0]. r = 0 → r 0, r , v⃗ 0 cùng nằm trong một mặt phẳng. Vì mặt phẳng này chứa r 0và r nên nó là mặt phẳng quỹ đạo. Mặt phẳng này chứa r nên chứa tâm của trường lực. Vậy chất điểm này có chuyển động trong mặt phẳng đi qua tâm của lực. Bài 5: Một hạt có điện tích e chuyển động trong từ trường đồng nhất không đổi với cảm ứng từ B⃗⃗ . Hãy chứng minh rằng đối với mô men xung lượng L của hạt tồn tại tích phân chuyển động: 24
e 2 M⃗⃗⃗ . B⃗⃗ + . [r × B⃗⃗ ] = C 2 Giải: Áp dụng định lí biến thiên mômen xung lượng của chất điểm: dM⃗⃗⃗ = L⃗ = [r . F⃗ ] dt Lực tác dụng lên chất điểm e khi chuyển động trong từ trường đồng nhất không đổi với cảm ứng từ B⃗⃗ là F⃗ = e. [v⃗ × B⃗⃗ ] dM⃗⃗⃗ = e. [r × [v⃗ × B⃗⃗ ]] = e. {v⃗ . (r . B⃗⃗ ) − B⃗⃗ . (r . v⃗ )} dt Nhân vô hướng của hai vế phương trình này với B⃗⃗ , thu được : d (M⃗⃗⃗ . B⃗⃗ ) = e. {(B⃗⃗ . v⃗ ). (B⃗⃗ . r ) − B2. r . v⃗ } (1) dt Xét: d 2 (B⃗⃗ . r ) = 2. (B⃗⃗ . r ̇). (B⃗⃗ . r ) = 2(B⃗⃗ . v⃗ ). (B⃗⃗ . r ) dt d {B2. (r )2} = 2. B2. r ̇. r = 2B2. v⃗ . r = 2B2. (r . v⃗ ) dt d 2 → {(B⃗⃗ . r ) − B2(r )2} = 2{(B⃗⃗ . v⃗ ). (B⃗⃗ . r ) − B2. (r . v⃗ )} (2) dt 2 2 Mặt khác: [a⃗ × b⃗ ] = a2b2 − (a⃗ . b⃗ ) d 2 d 2 → [B⃗⃗ × r ] = − {(B⃗⃗ . r ) − B2(r )2} (3) dt dt Từ (1), (2), (3), suy ra: d e d 2 (M⃗⃗⃗ . B⃗⃗ ) = − . [B⃗⃗ × r ] (4) dt 3 dt Tích phân hai vế phương trình (4), ta được: e 2 M⃗⃗⃗ . B⃗⃗ + . [r × B⃗⃗ ] = C 2 25
Kết luận chương 2 Điều kiện áp dụng định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm: hệ đang khảo sát là hệ kín ( F⃗ e = 0 ) Định luật bảo toàn mô men xung lượng liên hệ với tính đẳng hướng của không gian, do tính chất này mà những tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi đối với mọi phép quay của hệ trong toàn bộ. Định luật bảo toàn mômen xung lượng và định luật biến thiên mômen xung lượng được áp dụng vào các bài toán khi xác định các yếu tố ( gia tốc, gia tốc góc ) của cơ hệ khi biết tổng mômen các ngoại lực đối với trục quay khi khảo sát chuyển động quay của một vật rắn quay quanh một trục cố định hay quay quanh một tâm cố định. Khi áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng và định luật biến thiên mômen xung lượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau: - Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ), phân tích đặc điểm chuyển động của từng vật thuộc cơ hệ. - Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. - Xác định các đặc điểm của tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ ( có tính được hay không, có bằng không hay không ) - Áp dụng biểu thức của định luật rồi từ đó tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu đề bài. 26
CHƯƠNG 3 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 3.1. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 3.1.1. Định luật biến thiên động năng của chất điểm Xét chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động tự do dưới tác dụng của lực F⃗ . Theo định luật II Niu tơn, ta có: m. ω⃗⃗ = F⃗⃗ (ω⃗⃗ là gia tốc của chất điểm) dv⃗ hay m. = F⃗ dt Nhân cả hai vế với dr , ta được: dv⃗ m. . dr = F⃗ dr dt Đại lượng F⃗ dr được gọi là công nguyên tố của lực F⃗ trên dịch chuyển dr và được ký hiệu bằng dA: dA = F⃗ dr Ta biến đổi vế trái của phương trình trên: dv⃗ m(v⃗ 2) mv2 m. . dr = m. v⃗ . dv⃗ = d ( ) = d ( ) dt 2 2 Gọi T là động năng của chất điểm: mv2 T = 2 Ta nhận được biểu thức của định lý biến thiên động năng: dT = dA (3.1) Định lý biến thiên động năng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Vi phân động năng của chất điểm bằng công nguyên tố của lực tác dụng lên chất điểm ” 27
Biểu thức (3.1) có thể viết dưới dạng dT dA = Ṫ = (3.2) dt dt dA Trong đó ,tỉ số dt được gọi là công suất của lực. Như vậy, đạo hàm động năng của chất điểm theo thời gian bằng công suất của lực tác dụng lên chất điểm. Lấy tích phân hai vế phương trình (3.1) từ r o đến r 1 ta nhận được: mv2 mv2 (⃗r 1) 1 − 0 = ∫ F⃗ dr = A (3.3) 2 2 (⃗r 0) 3.1.2. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm. Từ phương trình (3.3) ta thấy rằng, nếu không biết định luật chuyển động của chất điểm, nghĩa là không biết hàm r (t) thì ta sẽ không tính được công trên một dịch chuyển hữu hạn của chất điểm và đồng thời cũng không thể tính được độ biến thiên hữu hạn của động năng của nó. Tuy nhiên đối với một số lực không biết phương trình chuyển động r (t) ta vẫn có thể xác định được độ biến thiên hữu hạn của động năng. Đó là những lực thế. Lực thế là lực mà ta có thể biểu diễn dưới dạng: F⃗ = −grandU(r ) (3.4) Trong đó U(r ) là một hàm vô hướng chỉ phụ thuộc vào vị trí của chất điểm được gọi là thế năng của chất điểm. Công nguyên tố của lực thế là một vi phân toàn phần. Thật vậy: dA = F⃗ dr = −grandU(r ). dr = −dU (3.5) Bởi vì: ∂U ∂U ∂U gradU(r ) = n⃗ + n⃗ + n⃗ ∂x x ∂y y ∂z z 28
Từ (3.5) suy ra: Công thực hiện một dịch chuyển hữu hạn của chất điểm từ vị trír 0 đến vị trír 1 bằng tích phân xác định: (r⃗ 1) A = − ∫ dU = U(r 0) − U(r 1) (3.6) (r⃗ 0) Nghĩa là công của lực thế bằng hiệu các giá trị của thế năng ở vị trí đầu và vị trí cuối của chất điểm và không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo mà chất điểm chuyển động trên đó. Từ (3.4) suy ra công thức tính thế năng của lực đã cho: U = − ∫ F⃗ dr + C (3.7) Trong đó C là hằng số tích phân xác định “mức không” của thế năng, chọn mức này tuỳ ý mà không ảnh hưởng đến giá trị của lực và công của lực đó. Nếu chỉ có lực thế tác dụng lên chất điểm và thế năng là dừng U 0 t thì cơ năng của chất điểm bảo toàn. Thật vậy theo định nghĩa cơ năng của chất điểm bằng tổng động năng và thế năng của nó: E = T + U (3.8) Lấy vi phân hai vế phương trình (3.8) theo thời gian t, ta nhận được: dE dT dU = + dT dt dt Từ định lý biến thiên động năng và biểu thức (3.5), ta có: dT dA dA dU = ; = − dt dt dt dt Suy ra: dE = 0 dt Hay mv2 E = + U(r ) = const = E (3.9) 2 0 29
Định luật bảo toàn cơ năng (3.9) cho ta một tích phân đầu của chuyển động. Tích phân này cho phép xác định độ lớn của vận tốc là một hàm của vị trí mà không phải tìm nghiệm của phương trình chuyển động. Khối chất điểm cô lập thì cơ năng của chất điểm cũng không đổi cho nên định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm có thể phát biểu như sau: “ Các lực tác dụng lên chất điểm đều là những lực thế hoặc không có lực tác dụng lên chất điểm thì cơ năng của chất điểm không đổi ” E = E0 = const 3.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. 3.2.1. Định lí biến thiên động năng của hệ chất điểm: Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm: ⃗ in ⃗ e mi. ω⃗⃗ i = Fi + Fi dr Nhân hai vế của phương trình trên với dịch chuyển tương ứng i của chất điểm thứ i: dv⃗ m . i . dr = (F⃗ in + F⃗ e). dr ( i = 1̅̅,̅̅N̅ ) i dt i i i i Biến đổi vế trái: dv⃗ d(v⃗ )2 d(m . v⃗ 2) m . i . dr = m . v⃗ . dv⃗ = m . i = i i = dT i dt i i i i i 2 2 i Biến đổi vế phải: ⃗ in ⃗ e ⃗ in ⃗ e in e (Fi + Fi ). dr i = Fi . dr i + Fi . dr i = dAi + dAi Ta nhận được biểu thức xác định sự biến thiên động năng của chất điểm thứ i: in e dTi = dAi + dAi (3.10) Trong đó: 2 mvii Ti 2 là động năng của chất điểm thứ i 30
in ⃗ in e ⃗ e dAi = Fi . dr i và dAi = Fi . dr i là các công nguyên tố của nội lực và ngoại lực trên dịch chuyển 푖 của chất điểm thứ i. Lấy tổng (3.10) theo tất cả các chất điểm trong hệ ta nhận được: dT = dAin + dAe (3.11) Trong đó T là động năng của hệ bằng tổng động năng các chất điểm trong hệ: N T = ∑ Ti N i=1 inin dA F dr  ii i 1 là công nguyên tố của tất cả nội lực. N ee dA F d r ii i 1 là công nguyên tố của tất cả ngoại lực. Định lí biến hiênt động năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Vi phân động năng của hệ chất điểm bằng công nguyên tố của tất cả nội lực và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ ” dT = dAin + dAe Khác với định lý biến thiên xung lượng và mô men xung lượng của hệ, định lý biến thiên động năng của hệ phụ thuộc cả vào các nội lực và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Để làm sáng tỏ điều này, ta biểu diễn công của nội lực dưới dạng: N N in dA = ∑[F⃗ jidr i + F⃗ ijdr j] = ∑ F⃗ ij(dr i − dr j) (3.12) i,j=1 i,j=1 (j<i) (j<i) Bởi vì các dịch chuyển của các chất điểm dưới tác dụng của các lực giống nhau đi nữa cũng đều khác nhau nghĩa là: dr i ≠ dr j (i, j = 1,2, , N; i ≠ j) nên dAin ≠ 0 (3.13) 31
Ý nghĩa: định lí biến thiên động năng cho ta biết quan hệ giữa vận tốc, lực và độ dịch chuyển. Nó giúp xác định được một trong ba đại lượng khi biết các đại lượng còn lại. 3.2.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. Giả sử ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i của hệ là lực thế là ⃗ e e Fi = −gradiUi Khi đó công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm: N N N N e ⃗ e e e e A = ∑ Fi . dr i = − ∑ gradiUi dr i = − ∑ dUi = −d (∑ Ui ) i=1 i=1 i=1 i=1 dAe = −dUe (3.14) Trong đó Ue là ngoại thế năng của chất điểm: N e e U = ∑ Ui i=1 Đối với nội lực ta cũng giả thiết rằng đó là lực thế và thế năng tương tác của mỗi cặp chất điểm bất kỳ được xác định bởi hàm sau đây: Uij = Uij(|r i − r j|) (3.15) Khi đó ta có thể viết các biểu thức của lực thế tương tác của các chất điểm dưới dạng: F⃗ ji = −gradiUij ; F⃗ ij = −gradjUij (3.16) Dễ dàng chứng minh rằng : F⃗ jidr i + F⃗ ijdr j = −dUij (3.17) Lấy tổng (3.17) theo tất cả các cặp chất điểm của hệ ta nhận được công của tất cả nội lực dưới dạng: N N N in in ⃗ in ⃗ ⃗ in dA = ∑ dAi = ∑ Fi dr i = ∑(Fjidr i + Fijdr j) = −dU (3.18) i=1 i=1 i=1 (i<j) 32
Trong đó Uin là nội thế năng của hệ chất điểm: N in U = ∑ Uij i,j=1 i≠j Từ (3.14) và (3.18),ta có thể định nghĩa thế năng của hệ như tổng ngoại thế năng và nội thế năng: U = Ue + Uin (3.19) Hoặc N N 1 U = ∑ Ue(r ) + ∑ U (|r − r |) (3.20) i i 2 ij i j i=1 i,j=1 (i≠j) Đặt (3.14) và (3.18) vào biểu thức (3.11) ta có: dT = −dU (3.21) Tương tự như khi chứng minh định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm ta gọi cơ năng của hệ chất điểm là E thì nó được xác định bởi phương trình: E = T + U (3.22) Như vậy cơ năng của hệ chất điểm bằng tổng động năng và thế năng của hệ chất điểm. Lấy vi phân (3.22) theo thời gian ta nhận được: dE dT dU = + = 0 (3.23) dt dt dt dTdU (Vì dtdt theo (3.21) ). Từ (3.23) suy ra cơ năng của hệ chất điểm bảo toàn: N N N m v2 1 E = ∑ i i + ∑ Ue(r ) + ∑ U (|r − r |) = E (3.24) 2 i i 2 ij i j 0 i=1 i=1 i,j=1 (i≠j) 33
Đối với hệ kín thì cơ năng cũng không đổi nên định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Khi cơ hệ là kín hoặc các lực tác dụng lên cơ hệ đều là những lực thế thì cơ năng của hệ bảo toàn ” E = E0 = const 3.3. Một số bài toán ứng dụng. Bài 1: Toa goòng được xem như là một chất điểm có khối lượng m lăn theo ray đặt trên đường AB. Sau đó theo vòng lộn lại dưới dạng đường tròn BC, bán kính a. Hỏi rằng ta phải thả goòng không có vận tốc ban đầu từ độ cao h bằng bao nhiêu để goòng có thể đi hết đường tròn mà không tách khỏi nó. Xác định áp lực R⃗⃗ của goòng lên đường tròn tại điểm M với góc MOB̂ = φ Giải: A C M ⃗⃗ h O 푃⃗ 휑 B Hình 3.1 Xét tại vị trí điểm M: xe goòng đi lên lộn được một góc φ. Khi đó, các lực tác dụng lên xe là trọng lực P⃗ , phản lực N⃗⃗ Theo định luật II Niu tơn, ta có: P⃗ + N⃗⃗ = mω⃗⃗ ( ω⃗⃗ : gia tốc của xe goòng ) Chiếu lên phương hướng tâm, ta được: 34
v2 P. sin(φ − 900) + N = m. ω = m. N n a v2 → −mgcosφ + N = m. M (1) a Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và M ( bỏ qua ma sát ), ta có: EA = EM 1 mgh = mv2 + mgh 2 M 1 0 ( với h1 = a + a. sin(φ − 90 ) = a(1 − cosφ) ) 1 → mgh = . m. v2 + mga. (1 − cosφ) 2 M 2 Do đó: vM = 2gh − 2ga(1 − cosφ) = 2g(h − a + acosφ) (2) Từ (1) suy ra: v2 N = m. ( M + gcosφ) a Thay (2) vào biểu thức trên, ta được: 2h N = mg. ( + 3cosφ − 2) a Do đó, áp lực lên xe goòng lên vòng lộn tại M là: 2h R = N = mg. ( + 3cosφ − 2) a Để xe có thể trượt hết cả đường tròn mà không tách khỏi nó thì tại điểm cao nhất của vòng tròn ( nghĩa là φ = π → cosφ = −1), áp lực R lên đường tròn R ≥ 0 Tại C, ta có RCmin → R ≥ 0 nên: 2h mg. ( − 3 − 2) ≥ 0 ↔ h ≥ 2,5a a Khi h ≥ 2,5a thì xe goòng có thể đi hết đường tròn. 35
Bài 2: Toa goòng bắt đầu trượt từ điểm A theo con đường có lôn vòng dưới dạng đường tròn hở, bán kính r, góc BOĈ = BOD̂ = α. Hãy tìm xem xe gòng phải trượt không có vận tốc ban đầu từ độ cao h bằng bao nhiêu để nó có thể đi hết đường tròn và xác định giá trị góc α để độ cao h cực tiểu. Giải: y A 푣 0 B x C ≡ 훼 훼 r r h Hình 3.2 Khi xe goòng ra khỏi P chỉ chịu tác dụng của trọng lực P⃗ Chọn trục Oxy ( như hình vẽ ) Khi đó, chuyển động của xe được coi như chuyển động của vật ném xiên với 0 vận tốc ban đầu là v0 hợp với phương ngang góc α ( 0 ≤ α ≤ 90 ) Ta có: v0 = v0cosα { x v0y = v0sinα − gt Phương trình chuyển động của xe: x = v0cosα. t (1) { 1 (I) y = v sinα. t − gt (2) 0 2 Để xe goòng có thể đi hết đường tròn thì tại vị trí C, vận tốc và li độ của chuyển động thỏa mãn hệ (I). 36
Tại C, yC = 0 , từ (2) suy ra: 2. v sinα y = 0 g Thay vào (1), ta được: sin2α x = DC = v2. C 0 g Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và D ( bỏ qua ma sát ) EA = ED 1 mgh = mv2 + mgh 2 0 1 ( với h1 = r + rcosα = r. (1 + cosα) ) 1 → mgh = . m. v2 + mgr(1 + cosα) 2 0 2 v0 = 2gh − 2gr(1 + cosα) = 2g(h − r − rcosα) Thay vào xC, ta được: xC = 2sin2α. (h − r − rcosα) Mà DC = 2rsinα = xC nên: 2rsinα = 4sinαcosα. (h − r − rcosα) r → h = + r + rcosα 2cosα Để xe goòng đi hết đường tròn thì phải thả xe gòng từ độ cao h: 1 h = r. ( + 1 + cosα) 2cosα 0 hmin nên α = 45 → hmin = r. (√2 + 1) Bài 3: Một chất điểm nặng được đặt trên mặt phẳng nghiêng I với góc nghiêng α1 và chuyển động xuống dưới với vận tốc ban đầu bằng không. Sau khi đi đến vị trí thấp nhất nó lại chuyển động ngược lên theo mặt phẳng nghiêng II với góc nghiêng α2 (hình 3.4). Cho biết thời gian đi xuống bằng t1, hãy xác định thời gian đi lên t2. Bỏ qua ma sát. 37
⃗⃗ Giải: A B 푃⃗ ℎ ℎ1 2 (II) (I) 훼1 훼2 O Hình 3.3 Vì bỏ qua ma sát nên chất điểm chỉ chịu tác dụng của trọng lực P⃗ và phản lực N⃗⃗ nên cơ năng của hệ được bảo toàn. Chọn gốc thế năng tại O. Tại vị trí A trên mặt phẳng nghiêng (I) vật chuyển động xuống dưới với vận tốc ban đầu bằng không, cơ năng tại A là : EA = mgh1 Khi đi hết mặt phẳng nghiêng (I) trong thời gian t1, vật chuyển động với vận tốc v. Khi lên đến mặt phẳng nghiêng (II) thì chất điểm dừng tại B với vận tốc tại B là vB = 0. Cơ năng tại B là: EB = mgh2 Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và B: EA = EB → h1 = h2 ↔ S1. sinα1 = S2. sinα2 (1) Chất điểm chuyển động từ A tới O là chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a1. v = a1t1 { 2 v = 2a1S1 38
vt → S = 1 (2) 1 2 Chất điểm chuyển động từ O tới B là chuyển động chậm dần đều với gia tốc a2. 0 = v − a2t1 v = a2t2 { 2 2 ↔ { 2 0 − v = −2a2. S1 v = 2a2S2 vt → S = 2 (3) 2 2 Thay (2), (3) vào (1), ta được: sinα1 t2 = t1 sinα2 Bài 4: Khẩu súng được đặt trên một mô đất ở độ cao h. Vận tốc ban đầu của viên đạn là 푣 표 hợp với phương nằm ngang một góc 훼. Với 훼 bằng bao nhiêu thì tầm bay xa của đạn là cực đại. Bỏ qua sức cản của không khí. Giải: y 푣 0 훼 A x O L Hình 3.4 Khẩu súng được đặt trên một mô đất cao OA = h. Phương trình chuyển động của đạn là: = 푣0 표푠훼. 푡 { 1 = − 𝑔푡2 + 푣 푠𝑖푛훼. 푡 + ℎ 2 0 39
Khi vật rơi chạm đất: x = S và y = 0 = 푣0 표푠훼. 푡1 푆 = 푣0. 표푠훼. 푡1 (1) { 1 ↔ { 2푣0푠𝑖푛훼 2ℎ − 𝑔푡 2 + 푣 푠𝑖푛훼. 푡 + ℎ = 0 푡2 − 푡 − = 0 (2) 2 1 0 1 1 𝑔 1 𝑔 Từ (2), suy ra: 푣 푠𝑖푛훼 √푣2푠𝑖푛2훼 + 2𝑔ℎ 푡 = 0 + 0 (∗) 1 𝑔 𝑔 Thay (*) vào = 푣0 표푠훼. 푡, ta được: 푣 푠𝑖푛2훼 푣 . 표푠훼. √푣2. 푠𝑖푛2훼 + 2𝑔ℎ = 0 + 0 0 (3) 퐿 2𝑔 𝑔 Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng đối với A và L: = 퐿 1 1 𝑔ℎ + 푣2 = 푣2 2 0 2 퐿 2 2 → 푣퐿 − 2𝑔ℎ − 푣0 = 0 2 2 ↔ ̇퐿 − 2𝑔ℎ − 푣0 = 0 (4) Thay (3) vào (4), ta nhận được: 2 2 2 2 2𝑔ℎ. 푠𝑖푛 훼 + 2푣0 푠𝑖푛 훼 − 푣0 = 0 푣 1 푠𝑖푛훼 = 0 = 2 √2(푣0 + 𝑔ℎ) ℎ √2 (1 + 2) 푣0 40
Kết luận chương 3 Điều kiện áp dụng định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm là cơ hệ đang khảo sát chuyển động trong trường thế hoặc đối với hệ kín Định luật bảo toàn cơ năng liên hệ với tính đồng nhất của thời gian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi đối với mọi “dịch chuyển” của hệ theo thời gian. Khi áp dụng định luật bảo toàn cơ năng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau: - Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín - Xác định tổng cơ năng của hệ ban đầu - Xác định tổng cơ năng của hệ khi có sự thay đổi - Áp dụng biểu thức của định luật bảo toàn cơ năng rồi từ đó tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu đề bài. 41
KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng, đối chiếu với nhiệm vụ nghiên cứu, đề tài đã cơ bản hoàn thành được nhiệm vụ đề ra. Trong khóa luận này, chúng tôi đã nghiên cứu về định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn khi khảo sát các bài toán động lực học. Trong phần trọng tâm của khóa luận, chúng tôi đã áp dụng những lý thuyết trên để giải các bài tập tiêu biểu trong cơ lý thuyết. Việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho quá trình giải đơn giản, nhanh chóng hơn. Chúng tôi hy vọng khóa luận này làm tài liệu tham khảo có ích cho những bạn sinh viên đam mê nghiên cứu vật lý lý thuyết, đặc biệt là cơ học lý thuyết – học phần có tính chất cơ sở của toàn bộ chương trình vật lý lý thuyết. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Đình Dũng (2004), Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội. [2]. Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội. [3]. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hưởng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập vật lý lý thuyết, Nxb Giáo dục, Hà Nội. [4]. Giáo trình Cơ lý thuyết ( dành cho sinh viên khoa vật lí ), Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội. [5]. Bài giảng của PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan về cơ học lý thuyết. 43