›

Khóa luận Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ bose-enstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ

pdf 47 trang thiennha21 15/04/2022 5492
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Khóa luận Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ bose-enstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfkhoa_luan_ap_dung_phuong_phap_gan_dung_hydrodynamics_tim_he.pdf

Nội dung text: Khóa luận Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ bose-enstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ NGỌC THÚY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS. HOÀNG VĂN QUYẾT HÀ NỘI, 2017
  2. LỜI CẢM ƠN Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết người đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau này. Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Thúy
  3. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S Hoàng Văn Quyết. Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Ngọc Thúy
  4. MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 NỘI DUNG 3 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển 3 1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein Condensates 10 1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý 10 1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng 12 1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận 15 1.3.1. Thống kê Bose – Einstein 15 1.3.2. Toán tử Hamilton 23 1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii 25 1.3.3.1. Hệ riêng biệt 25 1.4. Sơ lược về phương pháp hydrodynamics 30 CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ 37 KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
  5. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Ý tưởng ngưng tụ Bose- Einstein Condensates (BEC) là của Satyendra Nath Bose (Ấn Độ) và Albert Einstein (Mỹ) tiên đoán từ năm1924. Nhưng mãi tới năm 1980 kỹ thuật laze phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử đến nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được và đến năm 1995 mới quan sát được bằng thực nghiệm. BEC là trạng thái vật chất hết sức quan trọng trong phòng thí nghiệm để quan sát nhiều hiệu ứng vật lý mà các vật chất khác không có, nhất là đối với các hiệu ứng lượng tử. Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa hai thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các trạng thái ripplon, các đơn cực Ở Việt Nam BEC vẫn còn là một vấn đề mới mẻ, nhất là đối với học sinh và sinh viên. Vì vậy việc tìm hiểu BEC đối với sinh viên là hết sức cần thiết. Do điều kiện nghiên cứu thực nghiệm ở Việt Nam đối với sinh viên còn gặp nhiều khó khăn (thiết bị, kinh phí, ) nên để tìm hiểu về BEC chúng ta chỉ mới có thể tìm hiểu trên phương diện lí thuyết. Vì thời gian và kiến thức hạn hẹp nên đối với sinh viên chúng em chỉ có thể tìm hiểu về một khía cạnh nhỏ của BEC. Vì vậy em chọn và nghiên cứu đề tài: “ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ’’ làm đề tài nghiên cứu của mình. 1
  6. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hệ thức tán sắc của phonon trong hệ ngưng tụ Bose- Einstein bằng phương pháp Hydrodynamics 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính nhiệt động, tính thống kê của hệ BCE hai thành phần Phạm vi: chỉ nghiên cứu trường hợp hai chất lỏng không trộn lẫn nhau 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan được các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BCE Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii Xây dựng phương trình liên tục Áp dụng phương pháp gần đúng Hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của phonon trong hệ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ 5. Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii áp dụng phương pháp gần đúng Hydrodynamics 6. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. 2
  7. NỘI DUNG CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 1.1. Lịch sử hình thành và phát triển Albert Einstein (1897-1955) là một nhà vật lí lý thuyết sinh ra ở Đức. Khi bước vào sự nghiệp của mình, Eisntein đã nhận ra cơ học Newton không còn có thể thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trường điện từ. Từ đó ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt, với các bài báo đăng trong năm 1905. Tuy nhiên, ông thấy nguyên lý tương đối có thể mở rộng cho cả trường hấp dẫn, và đến năm 1916 ông đã xuất bản một bài báo cáo về thuyết tương đối tổng quát. Ông cũng là người đặt cơ sở cho lý thuyết lượng tử ánh sáng. Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ Một trong những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về ngưng tụ Bose-Einstein Condensates bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng của chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạng thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử - tức là một BEC Về mặt lý thuyết các hạt trong vật lý được chia làm hai lớp cơ bản: lớp các boson và lớp các fermion. Boson là những hạt có ''spin nguyên'' (0, 1, 2, ), fermion là những hạt có spin ''bán nguyên'' (1/2, 3/2 ). Các hạt boson tuân theo thống kê Bose- Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fecmi- Dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân theo nguyên lý ngoại trừ Pauli, ''hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng 3
  8. tử''. Ở nhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Mắcxoen- Bônxơman (bởi cả thống kê Bose-Einstein và thống kê Fecmi- Dirac đều tiệm cận đến thống kê Mắcxoen- Bônxơman ở nhiệt độ phòng). Có thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion (chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả đều có năng lượng  0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có E 0 . Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T 0oK các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do đó năng lượng của cả hệ khác không (E # 0). Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các electron và nucleon là chẵn, ) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose. Khi nhiệt độ hạ xuống thấp Tc nào đó thì theo nguyên lý bất định 2 1/2 Heisenberg các hạt boson có bước sóng Đơbrơi là B=(2 ħ /mkBT) do đó B tăng lên khi nhiệt độ giảm. Khi B có thể so sánh được với kich thước không gian giữa các nguyên tử thì các sóng Đơbrơi này sẽ chồng chất lên nhau tạo thành bó sóng và khi đó các hạt đều có cùng một trạng thái lượng tử ta gọi là trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (BEC). Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện khi nhiệt độ của hệ ở dưới nhiệt độ giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt không tương tác mà không có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi công thức: 푛 2/3 2πћ2 ћ2푛2/3 Tc= ( ) ≈ 3.3125 Ϛ(3/2) 4
  9. Tc là nhiệt độ giới hạn n là mật độ hạt m là khối lượng của từng boson ћ là hằng số Plăng thu gọn kB là hằng số Boltzmann ς là hàm Zeta Riemann; ς(3/2)≈ 2.6124 Về thực nghiệm các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn erbium, đội nghiêm cứu đứng đầu là Frencesca Ferlaino thuộc Viện Vật lí Thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử. "Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử", Ferlaino cho biết. Cùng nới nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose- Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng. " Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kết quả sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan mạnh và đặc biệt, chúng ta mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử lạnh", Franlaino nói. Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí ở Innsbbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu 5
  10. của ông hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số những kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một người nhận tài trợ START khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium hồi năm 2009. . Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố erbium. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu. Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. 6
  11. Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boson, trong trường hợp này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được gọi là "polariton". Mặc dù những khăng định tương tự đã từng được công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu ứng của trùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi ngờ bằng cách tích lũy polariton từ các chùm. Tuy nhiên, các polariton - các boson bao gồm một cặp điện tử - lỗ trống và một photon lại nhẹ hơn hàng ngàn lần so với nguyên tử rubidi, do đó có thể tạo ra trạng thái BEC ở tại nhiệt độ cao hơn nhiều. Khẳng định đầu tiên về sự ngưng tụ này được công bố vào năm 2006 khi mà Jacek Kasprzak (Đại học Tổng hợp Joseph Fourier, Grenoble, Pháp) cùng với các đồng nghiệp Thụy Sĩ và Anh sử dụng một chùm laser tăng một cách đều đặn mật độ của 7
  12. các polariton trong một vi cầu chất bán dẫn được giữ ở nhiệt đô khá cao 19 k. Họ quan sát thấy ở trên một mật độ tới hạn, các polarition bắt đầu biểu hiện thuộc tính kết hợp của trạng thái BEC. Một số nhà nghiên cứu khác trong lĩnh vực này lại nghi nghờ rằng các polarition dù ở trạng thái BEC thật, nhưng bởi vì thuộc tính này chỉ có thể quan sát thấy trong một vùng được kích thích bởi chùm laser mà vốn tự nó đã kết hợp rồi. Hình 1.2: Sơ đồ bố trí của hệ bẫy các polariton (Science 316, 1007) Và để giải quyết rắc rối này, nhóm của David Snoke ở Đại học Tổng hợp Pittsburgh và các cộng sự ở phòng thí nghiệm Bell (Mỹ) tạo ra một hệ tượng tự mà trong đó các polarition được tạo bởi các tia laser sau đó di chuyển khỏi vung kích thích của laser. Điều này được thực hiện nhờ một ghim nhỏ chiều ngang 50 micron, để tạo ra một ứng suất bất đồng trên vi cầu, có nghĩa là tạo ra như một cái bẫy để tích lũy các polariton. Và ở hệ này, trạng thái BEC vẫn chỉ đạt được ở nhiệt độ thấp tới 4,2 K. Mặc dù nhiệt độ này thấp hơn nhiều so với nhiệt độ 19 K mà nhóm của Kasprzak đã công bố, nhưng Snoke đã nói trên Physics Web rằng sau khi xuất bản công trình này nhóm đã tạo ra hiện tượng này ở nhiệt độ cao tới 32 K. 8
  13. Hơn nữa, các vi cầu (hay vi hốc-microcavity) được tạo ra bởi vật liệu bán dẫn phổ thông GaAs trong hệ bẫy tượng tự từng được dùng trong các khí nguyên tử mà có thể dễ dàng chế tạo cho các nhóm nghiên cứu khác. Hình 1.3: Phân bố xung lượng của các polariton (Science 316, 1007) Tuy nhiên, cũng vẫn còn một số nghi ngờ là liệu có phải hệ của nhóm Snoke là trạng thái BEC trong các xu hướng truyền thống hay không vì các polariton có thời gian sống khá ngắn đến nỗi các hệ chỉ có thể đạt được trạng thái chuẩn cân bằng. "Một số người muốn hạn chế việc sử dụng khái niệm BEC cho một hệ ở trong trạng thái cân bằng thực sự" - Snoke nói - "Mặt khác, lại có một số người khác muốn tổng quát hóa chung trong một loại hệ hỗn hợp bao gồm cả laser. Thực ra đó là một câu hỏi mang tính chất thuật ngữ thì đúng hơn" . 9
  14. 1.2. Tổng quan các nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein Condensates 1.2.1. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu. Hình 1.4: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein" Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt vì việc vừa làm lạnh ánh sáng vừa ngưng tụ cùng lúc điều bất khả thi. Do photon là các hạt không có khối lượng, chỉ mang năng lượng nên chúng đơn giản dễ bị hấp thụ vào môi trường xung quanh và biến mất, đặc biệt là khi chúng bị làm lạnh. 10
  15. Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm được cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để duy trì số lượng hạt photon, những nhà nghiên cứu này đã sáng chế ra một thùng chứa làm bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1 micromet. Giữa các gương, nhóm nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó được tái tạo. Các tấm gương đã "tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến - lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt photon trao đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Mặc dù không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nhiệt độ phòng thôi, cũng đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một hạt khổng lồ, hay trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein. Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc trường Đại học Kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là "một thành tựu mang tính bước ngoặt". Ứng dụng phát kiến này vào thực tế, chúng ta có thể tạo các loại laser mới có bước sóng cực ngắn, trong dải tia cực tím, hoặc tia X. Ví dụ ứng dụng quan trọng của laze nguyên tử: Là in hôlôgraf (“in ba chiều”). Giống như hôlôgraf quang học nhưng nó có thể phân giải mịn gấp 70 ngàn lần ánh sáng. Làm các gia tốc kế siêu nhạy. Làm chip: Bằng cách rọi một chùm laze nguyên tử qua nột mặt nạ hôlôgraf các nhà sản xuất có thể xây dựng các mạch với các đường dẫn mảnh đúng bằng nguyên tử. Tương tự, kĩ thuật hôlôgraf có thể dùng vào việc chế tạo ra các chi tiết linh kiện nano khác. Du hành: Các con quay dùng dùng laze nguyên tử có thể gắn vào các hệ 11
  16. thống dẫn đường quán tính, hoặc tương tự. Có thể dùng cho máy bay, tầu ngầm và các loại tầu thuyền khác với tính năng định vị chính xác mà không cần tham chiếu bất kỳ trạm bên ngoài nào, không như các hệ định vị vệ tinh GPS thường làm. Đo lường và phát hiện: Các giao thoa kế dùng các laze nguyên tử sẽ đủ nhạy để phát hiện được cả những biến đổi nhỏ của trường hấp dẫn đến từ các trầm tích dầu mỏ, các đường hầm hoặc các mắcma sâu trong lòng đất 1.2.2. Kỹ thuật lưu trữ và khôi phục ánh sáng Các nhà vật lý Mỹ giờ đây đã có thể ghi một xung ánh sáng đồng bộ vào một tập hợp các nguyên tử siêu lạnh - và sau đó khôi phục lại nguyên dạng xung sáng đó từ một tập hợp các nguyên tử thứ hai ở cách đó một khoảng cách nào đó. Thí nghiệm đã chứng tỏ rằng các hạt vĩ mô là khó có thể phân biệt một cách rạch ròi như cơ học lượng tử đã nói mặc dù chúng có thể tách biệt về mặt vật lý. Thí nghiệm được tiến hành bằng cách sử dụng các nguyên tử ngưng tụ Bose Einstein được làm lạnh tới nhiệt độ mà tất cả chúng ở cùng một trạng thái lượng tử (Theo bài báo đăng trên tạp chí Nature). Để bắt ánh sáng "nhảy" từ chỗ này sang chỗ khác, Lene Hau và các đồng nghiệp ở Đại học Harvard đã khai thác một kỹ thuật được họ phát triển từ năm 2001 để giữ các xung ánh sáng trong trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein, có thể làm cho ánh sáng laser đi chậm đến mức gần như đứng lại. Kỹ thuật này bao gồm việc chiếu một xung từ một đầu phát laser vào các nguyên tử Na ở trạng thái BEC, làm cảm ứng đến việc phân bố các dao động nhỏ của điện tích trong nguyên tử. Nhà vật lý Lene Vestergaard Hau sử dụng những tia laser và các đám mây cực nhỏ để che nguyên tử siêu lạnh làm cho ánh sáng đi chậm đến mức gần như đứng lại. Thông thường các lưỡng cực sẽ phát xạ và nhanh tróng bị 12
  17. phân rã, nhưng khi chiếu một chùm laser có điều khiển vào các chuyên tử, chúng sẽ chuyển các dao động trong điện tử thành các dao động của spin mà dao động này ổn định hơn. Vì thế, khi mà xung laser này tắt đi, thông tin của đầu phát laser sẽ được ghi lại trên dao động của lưỡng cực spin của nguyên tử. Đảo tia laser điều khiển để giải phóng ánh sáng, cho phép các nguyên tử bức xạ lại kết hợp (ví dụ như đồng pha với xung dò ban đầu). Điểm khác biệt trong kỹ thuật mới là xung được làm chậm để tái hiện lại tại vị trí BEC cách đó khoảng 1,6 mm. "Thủ đoạn đánh lừa" ở đây là hàm sóng của lưỡng cực spin thực ra là một sự chồng chập của các nguyên tử trong trạng thái cơ bản và trong trạng thái kích thích spin. Nhờ có nguyên lý bảo toàn xung lượng mà các nguyên tử ở trạng thái kích thích spin sẽ di chuyển khỏi BCE ban đầu khi nguyên tử hấp thụ photon từ xung laser, trong khi nguyên tử ở trạng thái cơ bản thì đứng yên tại vị trí đó. Nội dung thông tin của xung đầu dò đã được "in dấu" trên dao động quay tròn các lưỡng cực của nguyên tử BEC đầu tiên (trên). Trong thí nghiệm mới này xung cản trở được làm để xuất hiện BEC thứ 2 cách xa khoảng 160 µm (dưới). 13
  18. Một điểm sáng tạo là nhóm ở Harvard đã quyết định đợi cho đến khi nguyên tử kích thích spin đi đến vị trí ngưng tụ thứ hai trước khi tác dụng lại các laser điều khiển. Và họ nhận ra rằng tập hợp các nguyên tử tách biệt một cách vật lý này sau đó có thể phát xạ lại ánh sáng ban đầu. Xung ánh sáng được khôi phục này lan truyền một cách chậm rãi khỏi vị trí BEC thứ hai trước khi đạt vận tốc 300000 km/s như vốn có của ánh sáng. Vì hai vị trí BEC được tạo ra hoàn toàn độc lập, nên ta có thể hy vọng sự gửi đi các bó sóng từ vị trí đầu tiên đến một vị trí xa lạ BEC thứ hai. Thực tế không hẳn là hàm sóng ở trạng thái cơ bản có một thành phần trên cả hai vị trí BEC trong cùng một thời điểm để có thể tổ hợp với thành phần bị kích thích spin khi nó đến vị trí thứ hai. Thí nghiệm là một minh chứng hùng hồn của việc không phân biệt lượng tử. "Bằng cách thao tác cho vật chất sao chép lại nguyên bản ánh sáng ban đầu, chúng ta có thể sử dụng trong việc xử lý thông tin quang" - 14
  19. Hau phát biểu. Bài phát biểu trên Physics Web rằng thí nghiệm này có thể sẽ đưa đến kỹ thuật xử lý thông tin quang trong viễn thông quang và mạng thông tin lượng tử. Một ứng dụng khác có thể là cảm biến quay siêu nhạy hoặc detetor trọng trường. Ngoài vài ứng dụng đã kể trên thì còn rất nhiều ứng dụng khác nữa và khả năng tiềm tàng của BEC còn rất lớn và đang tiếp tục được khám phá. 1.3. Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết của ngưng tụ Bose-Einstein có liên quan đến khóa luận 1.3.1. Thống kê Bose – Einstein Trong mục này chúng ta cần chỉ ra rằng khi nhiệt độ xuống thấp hơn nhiệt độ Tc nào đó thì xuất hiện một số hạt nằm ở cùng một mức năng lượng thấp nhất hay còn gọi là cùng trạng thái lượng tử. Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử : 1  E w exp k g , (1.1) kkN!  Trong đó gk là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hoạt động tương tác thì ta có ∞ = ∑ 푛 휀 , 푙 푙 (1.2) 푙=0 Ở đây  l là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chưa đầy tức là số có cùng năng lượng . Số hạt trong hệ có thể nhận các giá trị từ 0 với xác suất khác nhau. Độ suy biến gk trong (1.1) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị Ek đó chính là số mới vì 15
  20. số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cố điển thay thế cho phân số chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân số chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lượng tử có dạng ∞ 1 푊(푛 , 푛 , ) = 푒 {훺 + 휇 − ∑ 푛 휀 } 0 1 ! 푙 푙 (1.3) 푙=0 ∞ Trong đó = ∑ 푛푙 , Ω là thế nhiệt động lớn,  là thế hóa. 푙=0 1 Sở dĩ có thừa số xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính N! đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt cuả các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. Ta kí hiệu g k G( n , n , ) . (1.4) N! 01 Khi đó (1.3) được viết lại như sau:    nll() l 0 W n0, n 1 , exp  G ( n 0 , n 1 , ) . (1.5)   Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.5) như sau Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đón nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức  0 ,nl hạt 16
  21. nằm trên mức  l , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do dó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng   n ()  ll n n l 0 G ( n , n , ) . (1.6) ll  01 nn01  Hai là đại lượng G( n01 , n , ) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ bonson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàn sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc dổi dấu nhĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có 1 G( n01 , n , ) . (1.7) nn01! ! Trong phân số Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng  l . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho nn01! ! Khi đó N! gk , (1.8) nn01! ! thay giá trị của gk vào (1.4) ta được (1.7). Để tính trị trung bình của các số chưa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho dại lượng  trong công thức (1.5) chỉ số l , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học mà ta có cả một tập hợp thể hóa học l . Và cuối phép tính ta cho l . 17
  22. Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau  WZ exp  1 , (1.9)  (nn01 , , )  nn01   n ()  1 ll với Z exp l 0 G ( n , n , ) , (1.10)   01 nn01  nghĩa là   ln Z . (1.11) Khi đó đạo hàm của  theo l dựa vào (1.10) và (1.11)   n ()  1 Z  ll  n exp l 0 G ( n , n , ) (1.12) Z  k  01 llnn01  Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt l thì theo (1.6) vế phải của công thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nl tức là ta thu được  nl  . (1.13) l Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ 0 ) và G( n01 , n , ) 1 do đó theo (1.9) ta có  n1()ll l 0  ( l l Zn exp  exp    n01 n l 00 n   1 , (1.14)   l 0 1 exp ll  khi đó 18
  23. ll   ln 1 exp  . (1.15) l 0  Theo (1.13) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình 1 n (1.16) l  exp l 1  ta có (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thể hóa học  trong công thức (1.16) được xác định từ điều kiện ∞ ∑ 푛̅ = 푙 (1.17) 푙=0 Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ  d  bằng dN() dn() (1.18)  exp  1  trong đó dN() là số các mức năng lượng trong khoảng Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể xem như các sóng dừng Broglie. Vì vậy có thể xác định bằng cách áp dụng công thức k2 dk dN() k V (1.19) 2 2 Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và véctơ sóng k 푃⃗ = ћ ⃗ (1.20) khi đó (1.19) có thể được viết dưới dạng p2 dp dN() p V (1.21) 2 23h 19
  24. 2 Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vân tốc v≪c thì ɛ= 2 suy ra pm2 2  2 = √2 3ɛ dɛ Do đó (1.21) có dạng 2mV3 dN()  d  2 23h Vì các hạt có thể có xác định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g = 2s+1. Do đó, số các mức năng lượng trong khoảng  d  là 2m3 Vg dN()  d  (1.22) 2 23h Theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng là 2m3 Vg d dn() (1.23) 2 23h  exp  1  Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau 1 2m3 Vg  2 N dn() d (1.24) 2 23h  00e KT 1 Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thể hóa học  . Ta xét một số tính chất tổng quát của thể hóa học  đối với khí bose lí tưởng. Đầu tiên là chúng ta chứng minh rằng  0 (1.25) Thật vậy, số hạt trung bình dn() chỉ có thể là một số dương, trong đó, theo (1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luân luôn dương 20
  25.  (nghĩa là khi 0 , để cho exp  luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của   ). Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng,  giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta có:     N e  d  d T 1 T  0 KT 0 KT Te e 1 N T     d    1   d 0 KT e 0 e KT 1   1 ( )e KT  e KT dd    2  22   00kT eeKT 11 KT 1 , (1.26)  T   1 eeKT KT dd     22   00kT eeKT 11 KT Nhưng do (1.24) nên  0 , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế  phải (1.26) luôn luôn dương với mọi giá trị của  , vì vậy 0 . Từ các tính T  chất  0 và 0 của hàm  ta thấy khi nhiệt độ giảm thì  tăng (từ giá T trị âm tăng lên đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T0 nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng không ( max 0). Xác định nhiệt độ T0 Chọn  0và TT 0 . Khi đó phương trình 1 2m3 Vg e 2 N dn() d 2 h3  00e KT 1 21
  26. Trở thành 1 3 2m3 Vg e2 (2m )2 Vg x N dn() d kT dx 3  23 0 x 002 h 21 he0 e KT0 1 33 (2m )22 Vg ( kT ) x 0 dx 1 ex 1 22 23h 0 3 ()mkT2 Vg x 0 dx 1 ex 1 22 23h 0 (1.27) x Mà ta đã biết dx 2.31, nên từ (1.27) và  kT , ta được x 00 0 e 1 1 2 423 2 h 3 0 N T0 2 (1.28) kV 2,31g 3 mk Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn như đối với 4 He [1], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào 3 0 cỡ 120kg / m ta được TK0 2,19 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T0 0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0<T≤ 0  thì thể hóa học  tăng tới giá trị  0, mà 0 nên  không thể giản max T nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0<T≤ 0 thì  0 22
  27. Với nhiệt độ T<T0 số hạt có năng lượng là : 33 (2m )22 Vg x ( mkT ) Vg x N  0 dx dx N ' 2123he  1 x (1.29) 00ehKT 122 23 So sánh (1.27) và (1.29) ta thấy 3 T 2 NN( 0) hay 3 T ′ 0 = ( )2 0 Vì số hạt toàn phần trong hệ không đổi, nên kết quả trên phải được đoán ′ nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi T < T0 thì N < chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N' có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.18), tức là : 3 m2 Vg d  N'  d  dm() 13    (1.30) 222 23h exp  1 2,31 exp  1  0  Các hạt N< N’ còn lại cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ. Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 một phần của các hạt khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lương không) và các hạt còn lại sẽ 1 được phân bố trên các mức khác theo định luật  , hiện tượng mà ta vừa e 1 mô tả, trong đó một số hạt khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khi bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose-Einstein. Ở nhiệt độ tuyệt đối T=0 Tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không. 1.3.2. Toán tử Hamilton Dựa vào hệ tiên đề của cơ học lượng tử ta thấy, để nghiên cứu năng 23
  28. lượng của hệ chúng ta cần phải biết toán tử Hamilton, toán tử Hamilton tương ứng với hàm Hamilton trong cổ điển. N . Hàm Hamilton H  pkk q L là hàm tọa độ suy rộng và thời gian. k1 Qua một số biến đổi ta được các phương trình của Hamilton: 휕 휕 ̇ = - , 푞 ̇ = (1.31) 휕푞 휕 Cơ học cổ điển bị hạn chế, có những hiện tượng mà không giải thích được bằng lý thuyết cổ điển. Do đó dẫn đến hình thành môn cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử người ta dùng toán tử để mô tả biến số động lực. Toán tử Hamilton là toán tử quan trọng vào bậc nhất của cơ học lượng tử. Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử Hamilton của một hạt gồm toán tử động năng và hàm lực Hˆ = Kˆ +Uˆ (1.32) Ở đây toán tử động năng ̂2 ћ2 퐾̂= = − 훻2 (1.33) 2 2 Còn hàm lực Û= U( , t) phụ thuộc vào tọa độ r và thời gian t, thành thử ћ2 Ĥ= − 훻2 + Û( , t) (1.34) 2 Nếu không phụ thuộc vào t, thì Û( ) được gọi là thế năng. Trong trường hợp ấy: ћ2 Ĥ= − 훻2 + Û( ) (1.35) 2 Trường hợp tổng quát, nết hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc , thì: ћ2 Ĥ= − 훻2 + Ŵ (1.36) 2 24
  29. Ở đây Wˆ là thành phần mô tả cho chuyển động trong trường lực tổng quát. Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamilton là: 푛 ћ2 ̂ = ∑(− 훻 2) + Ŵ 2 =1 (1.37) Trong đó Ŵ là thành phần viết cho trường lực tổng quát nào đó mô tả tương tác của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian 1.3.3. Phương trình Gross-Pitaevskii Ở trạng thái ngưng tụ tính chất hạt của vật chất cổ điển không còn thể hiện rõ nữa mà thể hiện chủ yếu của nó là tính chất sóng như tính chất các photon vì vậy các phương trình động học cổ điển không dùng được nữa khi nghiên cứu chuyển đông của nó. Vì vậy nghiên cứu chuyển động của nó ta cần phải dùng những phương trình chuyển động cho cơ học lượng tử. Một trong những phương trình quan trọng kinh điển đó là phương trình Gross- Pitaevskii. Sau đây ta tìm hiểu về nó cho hệ riêng biệt và hệ hai thành phần ngưng tụ. 1.3.3.1. Hệ riêng biệt Chúng ta đã biết rằng sự tương tác hiệu dụng giữa hai hạt ở năng lượng 4 2a thấp là một hằng số trong biểu diễn động lượng U . Trong biểu diễn 0 m tọa độ, năng lượng tương ứng tới một tương tác tiếp xúc U0δ rr ' , trong đó r và r ' là bán kính véctơ xác định vị trí của hai hạt. Trong trạng thái ngưng tụ hoàn toàn, tất cả các hạt bose có trạng thái như nhau, hàm sóng của 1 hạt là  r và do đó chúng ta có thể viết hàm sóng của hệ N hạt như sau: N  r1, r 2, rN = (ri ) (1.38) i 1 25
  30. Hàm sóng của một hạt  ri là hàm sóng chuẩn hóa theo cách thông thường 2  (r )dr 1 (1.39) Hàm Hamiltonian cho hệ N hạt có thể được viết là: N p 2 H i V(r ) U ( r r ) (1.40)  2m i0 i j i 1 i j Với Vr()i là thế bên ngoài tác dụng lên hạt thứ i. Năng lượng của hệ các hạt có hàm Hamiltonian (1.40) được xác định bằng: 2 2 2N 1 4 E N ()()()() r V r  r U  r 0 d (1.41) 22m NN( 1) 4 Trong đó là số hạng năng lượng tương tác, U() r dr là 2 0 năng lượng tương tác của hai hạt với hàm sóng ()r . Xét hệ gồm rất lớn số hạt Boson ở nhiệt độ rất thấp, khi này động năng có thể bỏ qua. Xét hệ không tương tác với bên ngoài (Vr() =0). Năng lượng tương ứng của hệ là: ( −1) 1 E = 푈 = 푛2푈 (1.42) 2 0 2 0 N Với n là mật độ các hạt của hệ. V Quy ước đưa vào khái niệm hàm sóng  ()r của không gian ngưng tụ định nghĩa bởi: ()()r N1/2 r (1.43) Mật độ các hạt lúc này được cho bởi: n()() r  r 2 (1.44) 26
  31. 1 Bỏ qua số hạng của bậc , năng lượng của hệ có thể được tìm thấy từ N việc thay (1.43) vào (1.41) ta được: ћ2 1 (휓) = ∫ [ |∇휓( )|2 + ( )|휓( )|2 + 푈 |휓( )|4] (1.45) 2 2 0 Tìm trạng thái cơ bản của hàm sóng  bằng cách cực tiểu hóa năng lượng (1.45) với biến phân độc lập tương ứng của  ()r và liên hợp phức của nó  *()r với điều kiện là tổng số hạt N  () r2 dr (1.46) là không đổi. Ta có phương trình cực tiểu năng lượng Lagrange EN  0 (1.47) với thế hóa học  là hằng số tùy ý. Phương pháp này là tương đương với việc cực tiểu hóa năng lượng EN  khi cố định . Tương đương với biến phân không của tương ứng tới  *()r bằng cách thế (1.45) và (1.46) vào (1.47) ta được: 2 2()()()()()()r V r  r U  r2  r  r (1.48) 2m 0 Phương trình (1.48) là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. Xét một hệ khí bose đồng nhất ở trạng thái ngưng tụ có Vr( ) 0 , phương trình Gross-Pitaevskii (1.48) tương ứng là:  U(r) 2 U n (1.49) 00 E Với  là thế hóa học từ năng lượng của trạng thái đồng nhất. N 1.3.3.2. Hệ hai thành phần 1.3.3.2.1. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 27
  32. Chúng ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng mj t hế năng Vj chỉ số j = 1, 2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần 2. Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử boson khác nhau. Ta có hàm sóng Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và hai tương ứng với N1và N2 hạt là: 1 2 휓( , . . . , ; ′ . . . ′ ) = ∏ 휑 ( ) ∏ 휑 ( ′) 1 1 1 2 1 푖 2 푗 푖=1 푗=1 (1.50) Ở đây trạng thái 1 được biểu diễn bởi 푖 và trạng thái 2 biểu thị bởi 푗 Các hàm sóng đơn tương ứng là 휑1và 휑2 đối với hệ đồng nhất năng lượng cho bởi phương trình tổng quát ( −1) ( −1) E= 1 1 11 + 1 2 12 + 2 2 22 (1.51) 2 2 Nếu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với 1/2 1/2 ψ1= 1 휑1 và ψ2= 2 휑2 Thì năng lượng tương ứng cho hệ hai thành phần là như sau: 2 2 ћ 2 2 ћ 2 = ∫( |훻휓1| + 1|휓1| + |훻휓12| 2 1 2 2 (1.52) 2 + 2|휓2| 1 1 + |휓 |4 + |휓 |4 + |휓 |2|휓 |2) 2 11 1 2 22 2 12 1 2 Tại đó bỏ qua ảnh hưởng của 1/N1 và 1/N2, hai giá trị này nhỏ nếu N1 và N2 lớn. mi là khối lượng của hạt thứ i, Vi là thế năng bên ngoài. Các hằng số g11, g22, g12 = g21 được xác định bởi độ dài tán xạ a11, a22, a12 = a21, với 푖푗 = 2 ħ 푖푗/ 푖푗 , (푖, 푗 = 1,2) và 푖푗 = 푖 푗/( 푖 + 푗) là khối lượng rút gọn của nguyên tử i và nguyên tử j. 28
  33. Từ (1.51) và (1.52) ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc và thời gian như sau: 휕휓 ћ2 iћ 1 = (− ∇2 + + |휓 |2 + |휓 |2)휓 (1.53) 휕푡 2 1 11 1 12 2 1 1 2 휕휓2 ћ 2 2 2 iћ = (− ∇ + 2 + 22|휓2| + 12|휓1| )휓2 (1.54) 휕푡 2 2 Như vậy, ta đã thu được phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo hình thức luận Hamilton. Sự tiến triển của hệ theo thời gian có thể xác định bằng cách giải số các phương trình (1.53) và (1.54) theo phương pháp giải phổ với các điều kiện biên xác định. 1.3.3.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian Để tìm phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian ta đặt: −푖휇1푡/ћ 휓1 = 휓10( )푒 −푖휇2푡/ћ 휓2 = 휓20( )푒 (1.55) trong đó ψ10 và ψ20 là hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các thành phần. Thay lần lượt (1.55) vào (1.53) ta được: 휕(휓 ( )푒−푖휇1푡/ћ ћ2 2 10 2 −푖휇1푡/ћ 푖ћ = − ∇ + 1 + 11|휓10( )푒 | 휕푡 2 1 −푖휇2푡/ћ 2 −푖휇1푡/ћ + 12|휓20( )푒 | )휓10( )푒 −푖휇 푡/ћ 2 푖휇2푡 2 휕(휓20( )푒 2 ) ћ 2 − 푖ћ = (− ∇ + 2 + 22 |휓20( )푒 ћ | 휕푡 2 2 −푖휇1푡/ћ 2 −푖휇2푡/ћ + 12|휓10( )푒 | )휓20( )푒 Thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian thu được 2 (1.56) ћ 2 2 2 − ∇ 휓1 − 휇1휓1 + 1휓1 + 11|휓1| 휓1 + 12|휓1| 휓2 = 0 2 1 29
  34. 2 (1.57) ћ 2 2 2 − ∇ 휓2 − 휇2휓2 + 2휓2 + 22|휓2| 휓2 + 12|휓2| 휓1 = 0 2 2 Phương trình (1.56) và (1.57) được gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian. 1.4. Sơ lược về phương pháp hydrodynamics Phương pháp này chúng ta coi chuyển động của các hạt trong trạng thái ngưng tụ như là những chuyển động của các dòng chảy chất lỏng. Mục đích của ta là cần tìm ra những phương trình cho chuyển động của dòng như những phương trình thủy động học có dạng tương tự cổ điển như phương trình Bernoulli, phương trình Euler, phương trình liên tục từ đó nghiên cứu các tính chất động học của hệ BEC. Chúng ta đã thấy rằng cấu trúc cân bằng của thế ngưng tụ được mô tả bởi phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian với đóng góp phi tuyến của thế năng để tính đến sự tương tác qua lại giữa các hạt. Để nghiên cứu các vấn đề động lực học chúng ta sử dụng phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian 2  rt, 2 i 2 rtVrrtUrt,,,,    rt (1.58) tm2 0 đây là cơ sở để nghiên cứu động lực học ngưng tụ. Đảm bảo tính thống nhất giữa phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian và phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian thì với it điều kiện dừng  rt, là phụ thuộc thời gian dưới dạng exp . Hệ số pha phản xạ của toán tử sinh 휓̂| › là bằng với phần tử ma trận của toán tử hủy ‹N-1|ˆ giữa trạng thái cơ bản có N hạt và trạng thái có N-1 hạt, được xác định bằng phương trình: t 휓( , 푡) = ⟨ − 1|휓̂| ⟩ ~ exp [−푖( − ) ] (1.59) −1 ћ 30
  35. Trạng thái N và N 1 phụ thuộc vào thời gian lần lượt có dạng là iEN t iEN 1 t exp và exp . Đối với N lớn thì sự khác nhau trong các năng E lượng trạng thái cơ bản EE là bằng với (đây là thế hóa học). Do đó NN 1 N kết quả này về cơ bản là hệ thức Josephson cho khai triển của pha  của hàm sóng ngưng tụ d  Φ (1.60) dt Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian (1.58) có thể được suy ra từ nguyên lý tác dụng tối thiểu 푡2 훿 ∫ 퐿 푡 = 0 (1.61) 푡1 Ở đây Lagrangian L được cho bởi 푖ћ 휕휓 휕휓∗ 퐿 = ∫ [ (휓∗ − 휓 ) − ] 2 휕푡 휕푡 푖ћ 휕휓 휕휓∗ = ∫ [ (휓∗ − 휓 ) − 휀] ⃗⃗ (1.62) 2 휕푡 휕푡 Trong đó E là năng lượng, ε là mật độ năng lượng và ε được cho bởi 2 2 2U 4    Vr  0  (1.63) 22m Trong nguyên lý biến phân (1.61) biến phân của  (hoặc  * ) là tùy ý, ngoài các yêu cầu triệt tiêu tại tt 1 , tt 2 và trên bất kì biên không gian nào với mọi thời gian t. Ta có thể sử dụng thay thế phương trình (1.58) cho mật độ và gradient của pha. Để hiểu bản chất của vận tốc của ngưng tụ chúng ta đi xây dựng phương trình liên tục. Nếu nhân Phương trình Gross-Pitaevskii phụ 31
  36. thuộc thời gian (1.58) với  * rt, và trừ đi số liên hợp phức của phương trình cuối ta có 2          0 (1.64) t 2 mi Nó giống như kết quả thu được từ phương trình Schrodinger thông thường (tuyến tính), suy ra thế phi tuyến trong Phương trình Gross-Pitaevskii là thực. Phương trình (1.64) có dạng phương trình liên tục cho mật độ hạt n  2 và nó có thể được viết là n .0 nv (1.65) t Trong đó vận tốc của ngưng tụ được xác định bằng       v (1.66) 2mi  2 Mật độ xung lượng J được cho bởi J       (1.67) 2i Do đó hệ thức (3.9) tương đương với kết quả J mnv (1.68) Biểu thức đơn giản cho mật độ và vận tốc có thể thu được nếu chúng ta viết hàm sóng  của ngưng tụ có dạng  Ae. i (1.69) Với A là biên độ,  là pha. Trong đó mật độ được cho bởi nA 2 (1.70) Và vận tốc v là 32
  37. v  (1.71) m Từ phương trình (1.71) chúng ta kết luận rằng chuyển động của ngưng tụ phù hợp với dòng thế, do đó vận tốc là gradient của một đại lượng vô hướng. Nếu  không kì dị thì chúng ta có thể kết luận rằng chuyển động của ngưng tụ không xoáy  v   0 (1.72) m Chuyển động có thể của ngưng tụ hạn chế hơn nhiều so với các chất lỏng cổ điển. Phương trình chuyển động cho biên độ A và pha  có thể tìm thấy bằng cách thế (1.69) vào trong (1.58) và tách phần thực và phần ảo ra từ đó ta có  A i i ei (1.73) tt Và 2 2  2A  A  i 2 A 2. i  A ei (1.74) Chúng ta thu được hai phương trình  A2 A2  (1.75) tm Và  2 1 2A mv 2 V r U A 2 (1.76) t22 mA 0 Phương trình (1.75) và (1.76) cũng có thể bắt nguồn trực tiếp từ nguyên lý tác dụng tối thiểu (1.61) với hàm Lagrangian (1.62). 33
  38. Phương trình (1.75) là phương trình liên tục như (1.65) nhưng được biểu thị với biến số mới. Để tìm phương trình chuyển động cho vận tốc được cho bởi phương trình (1.71) thì chúng ta đưa vào gradient của phương trình (1.76) và thu được kết quả là v 1 2 m   mv (1.77) t 2 Ở đây 2  V nU  n (1.78) 0 2mn  E Phương trình (3.19) có thể biểu diễn theo  n  rt, 1  E (1.79) t n r  E Đại lượng là năng lượng cần để thêm một hạt ở điểm r, do đó nr kết quả này là sự khái quát hóa của hệ thức Josephson (1.60) đến hệ không 1 gian ở trong trạng thái cơ bản của nó. Ở trạng thái dừng  mv2 là không 2 đổi và nếu trong phép cộng vận tốc là không thì pha  không phụ thuộc vào vị trí,  là một hằng số từ đó suy ra Phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian (1.68) Đại lượng nU0 trong phương trình (1.78) là biểu thức cho thế hóa học của khí bose đều, bỏ qua đóng góp từ thế ngoại lực. Ở nhiệt độ không, sự thay đổi trong thế hóa do có sự liên quan đến việc thay đổi trong áp suất p bằng hệ thức Gibbs-Duhem dp nd , kết quả dễ dàng xác nhận cho khí bose 2 E nU0 pha loãng đồng đều, vì  nU0 và p (theo (1.49) và (1.42)) V 2 Phương trình (1.77) có thể viết lại dưới dạng 34
  39. 22 vv1 1 2 1 p    n  V (1.80) t mn 2 m 2mn m Phương trình (1.65) và (1.80) rất giống với phương trình thủy động lực cho chất lỏng lý tưởng. Nếu chúng ta kí hiệu vận tốc của chất lỏng là v , phương trình liên tục (1.65) là chính xác như dạng của chất lỏng lý tưởng, trong khi phương trình (1.80) tương tự như phương trình Euler v 11 v.  v  p  V (1.81) t mn m Hoặc vv11 2  v v   p  V (1.82) t mn 2 m Ở đây áp suất p là áp suất của chất lỏng, thường có dạng khác với áp suất ngưng tụ. Có hai sự khác nhau giữa các phương trình (1.80) và (1.82). Đầu tiên là phương trình Euler chứa số hạng vv  . Tuy nhiên vì trường vận tốc của chất siêu lỏng tương ứng với dòng thế  v 0 , số hạng vv  không đóng góp vào trong phương trình Euler. Sự khác nhau duy nhất giữa hai phương trình cho dòng thế là do số hạng thứ ba bên phải của phương trình (1.80) và được gọi là số hạng áp lực lượng tử. Mô tả các lực này do biến phân không gian trong độ lớn của hàm sóng cho trạng thái ngưng tụ giống như số 2 2 2 2 v2  mnv2 A hạng  , gốc của nó là số hạng động năng trong 2 2mm 2 2 mật độ năng lượng, nhưng hai đóng góp tương ứng với tác dụng vật lý khác : Đầu tiên là động năng của chuyển động các hạt, trong khi đóng góp sau phù hợp với “chuyển động điểm không” không tạo nên dòng hạt. Nếu thang đo không gian của hàm sóng ngưng tụ là l, số hạng áp suất của phương trình 35
  40. nU 2 (1.80) là 0 , trong khi số hạng áp suất lượng tử là . Do số hạng áp suất ml ml23 lượng tử chiếm ưu thế với số hạng áp suất thường nếu biến phân không gian của mật độ xuất hiện trên thang dài là ít hơn bậc của thang kết hợp ξ = ћ 1/2 và nó trở nên ít quan trọng trên thang dài lớn hơn. ( 푛푈0) Như chúng ta thấy, chuyển động của ngưng tụ có thể xác định trong số hạng của mật độ địa phương và vận tốc địa phương. Đây là bậc tự do duy nhất của hàm sóng ngưng tụ, nó có độ lớn và pha xác định. Bình thường chất lỏng và chất khí có nhiều bậc tự do hơn, nó cần thiết để sử dụng mô tả vi mô, ví dụ như sử dụng trong số hạng của hàm phân bố các hạt. Ta có thể dùng mô tả thủy động lực cho chất khí và chất lỏng thông thường nếu va chạm giữa các hạt thỏa mãn cân bằng nhiệt động. Trạng thái của chất lỏng có thể được bổ sung trong số hạng của mật độ địa phương, vận tốc địa phương và nhiệt độ địa phương. Ở nhiệt độ không thì nhiệt độ không còn là biến số liên quan và chuyển động có thể được mô tả trong số hạng của mật độ địa phương, vận tốc chất lỏng địa phương cũng như cho ngưng tụ. Vì phương trình của chuyển động cho ngưng tụ và cho chất lỏng lý tưởng là tương tự nhau, nó là biểu thức của định luật bảo toàn cho số hạt và cho động lượng toàn phần. Tuy nhiên với hai trạng thái chất lỏng và ngưng tụ thì lý thuyết để mô tả số hạng của mật độ địa phương và vận tốc địa phương có thể hoàn toàn khác nhau. 36
  41. CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HYDRODYNAMICS TÌM HỆ THỨC TÁN SẮC CỦA HỆ BOSE- EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN BỊ GIỚI HẠN BỞI CẤU TRÚC TRỤ Xét hệ BEC hai thành phần. Ta bắt đầu thư phương trình Lagrangian cho hệ: 2 2 £ = ∫ (푃1 + 푃2 − 12|휓1| |휓2| ) , (2.1) 2 ∗ 휕휓푗 ћ 2 푗푗 4 trong đó: 푃푗 = 푖ћ휓푗 + |훻휓푗| − |휓푗| , (2.2) 휕푡 2 푗 2 휓푗, 푗 (j = 1, 2) là hàm sóng,là khối lượng nguyên tử và các hằng số tương tác được định nghĩa là −1 −1 푗 = 2 ħ2 푗 ( 푗 + ) . . Ở đây ajk là chiều dài phân tán giữa các nguyên tử trong các thành phần thứ j và k. Từ (1) suy ra: 2 휕휓1 ћ 2 2 2 푖ћ = (− ∇ + 11|휓1| + 12|휓2| )휓1 (2.3) 휕푡 2 1 2 휕휓2 ћ 2 2 2 푖ћ = (− ∇ + 22|휓2| + 12|휓1| ) 휓2. (2.4) 휕푡 2 2 Đối với cấu trúc hình trụ chúng ta giả định thành phần đầu tiên (thứ hai) thành phần bên trong (bên ngoài) hình trụ có basb kính R và mặt phân cách giữa chúng nằm tại r=R(z,t), có độ dày rất nhỏ có thể bỏ qua. Phương trình Lagrangian có biểu thức gần đúng: 푅 +∞ £ . = 2 ∫ (∫−∞ 푃2 + ∫푅 푃1) − 훼푆 Trong đó là suất căng bề mặt ngoài và S là diện tích mặt phân cách từ phương trình (2.1) chúng ta có: 37
  42. 1 1 푃1(푅, , 푡) − 푃2(푅, , 푡) = 훼 ( + ) (2.5) 푅1 푅2 trong đó R1 và R2 là bán kính mặt phân cách. Áp dụng phương pháp hydrodynamics trong xấp xỉ tuyến tính dưới dạng 푖Ф푗( , ,푡) 휓푗( , , 푡) = √푛푗( , , 푡)푒 , (2.6) trong đó: 푛푗( , , 푡) = 푛푗0 + 훿푛푗( , , 푡) , 푛 휓 ( , , 푡) = − 푗푗 푗0 푡 + 훿Ф . (2.7) 푗 ћ 푗 Thay (2.6) vào (2.7) vào phương trình Gross- Pitaevskii (2.3) và (2.4) chỉ giữ lại những số hạng đầu tiên của 훿휑푗, 훿푛푗 ta được các phương trình ∇푣 푗 = 0, (2.8) 휕 ћ (훿휙 ) + 훿푛 = 0 , (2.9) 휕푡 푗 푗푗 푗 ћ với vân tốc 푣 푗 = ∇⃗⃗ 훿휙푗 , (2.10) 푗 Dựa trên các phương trình gần đúng (2.8) (2.9) và (2.10) thay vào (2.2) ta được áp suất có dạng [1]: 1 P = 푛2 + 푛 훿푛 . (2.11) j 2 푗푗 푗0 푗푗 푗0 푗 Chúng ta giả thiết: 훿Ф푗( , , 푡) = 푅푗( )휒푗(휎) , 휎 = . − 휔푡. (2.12) Đi từ phương trình (7) và (9) dẫn đến ( + 2) 휒 = 0 , (2.13) 2 푗 2푅 1 푅 푗 + . 푗 − 푅 = 0 . (2.14) 2 푗 Chúng ta xem xét kệ trong trường hợp k2 >0, phương trình (2.13) có nghiệm: 38
  43. 휒푗 = 푗0 표푠휎 + 푗표 . (2.15) Phương trình (10b) cho nghiệm là: 푅1( ) = 표푛푠푡. 0( ), (2.16) 푅2( ) = 표푛푠푡. 퐾0( ). (2.17) Trong đó I0 và K0 là hai Bessel lần đầu tiên và thứ hai. Kết hợp (2.15) và (2.16), (2.17) ta được: 훿휙1 = 0( )[ 1 표푠휎 + 1푠푖푛휎], 훿Ф2 = 퐾0( )[ 2 표푠휎 + 2푠푖푛휎. Để đơn giản ta chọn: 훿Ф1 = 1 0( ) 표푠휎 , (2.18) 훿Ф2 = 2퐾0( ) 표푠휎 . (2.19) Thay (2.16), (2.17) vào (2.9) 11훿푛1 = − 1ћ휔 0( )푠푖푛휎, (2.20) 22훿푛2 = − 2ћ휔퐾0( )푠푖푛휎. (2.21) Các điều kiện biên cho hệ tại mặt phân cách 휕푅 ћ 휕훿Ф ћ 휕훿Ф = ( 1) = ( 2) , (2.22) 휕푡 휕 휕 1 =푅0 2 =푅0 Vị trí của mặt phẳng tiếp xúc được xác định theo biểu thức: R=R0+ղ= R0+ εsinσ , ղ=εsinσ, 휀 ≪ 1 (2.23) Thay (2.23) vào (2.22) ta có: 휕푅 휕푅 휕𝜎 ћ퐾 ћ퐾 = ∗ = - ω. ε cosσ = − 1 1( 푅0) 표푠휎= 2 퐾1( 푅0) 표푠휎 휕푡 휕𝜎 휕푡 1 2 휔휀 휔휀 → 1 = ћ ; 2 = − ћ (2.24) 1( 푅0) 퐾1( 푅0) 1 2 Thế (2.24) vào (2.20), (2.21): 2 −휔 휀 0( )푠푖푛𝜎 11훿푛1 = 1 (2.25) ( 푅0) 1 39
  44. 2 휔 휀퐾0( )푠푖푛𝜎 22훿푛2 = 퐾1 (2.26) ( 푅0) 2 Kết hợp (2.11), (2.23) và (2.5) chúng ta có [2]: 훼휀 2 2 11푛10훿푛1 − 22푛20훿푛2 = − 2 ( 푅0 − 1)푠푖푛휎 (2.27) 푅0 2 2 휔 휀 0( )푠푖푛𝜎 휔 휀퐾0( )푠푖푛𝜎 훼휀 2 2 ↔ 푛10 1 + 푛20 퐾1 = 2 ( 푅0 − 1)푠푖푛휎 ( 푅0) ( 푅0) 푅0 1 2 Cuối cùng ta rút ra được: 훼 2 2 2( 푅0−1) 2 푅0 휔 = 0( ) 퐾0( ) . (2.28) 1푛10 + 2푛20 1( 푅0) 퐾1( 푅0) Trong đó ta có 휌1 = 1푛10, 휌2 = 2푛20 훼 ( 2푅2−1) Vậy 휔2 = 0 (2.29) 2 0( )푠푖푛휎 퐾0( )푠푖푛휎 푅0(𝜌1 +𝜌2 ) 1( 푅0) 퐾1( 푅0) Phương trình (2.29) cho thấy sự không ổn định mao mạch xảy ra khi −1 < 푅0 . Bây giờ chúng ta hãy mở rộng đến các trường hợp khi thành phần đầu tiên chảy theo hướng dương của trục z với vận tốc V, trong khi thành phần 2 không hoạt động. Các trạng thái cơ bản có dạng: 푛 Ф = − 11 10 푡 + 1 + 훿Ф , 1 ћ ћ 1 푛 Ф = − 22 20 푡 + 훿Ф . 2 ћ 2 Các điều kiện biên được sửa đổi như sau: 휕 휕 ( ) ћ 휕훿Ф1 ( + ) 푅 휎 = ( ) =푅0 , (2.30) 휕푡 휕 1 휕 휕 ( ) ћ 휕훿Ф2 푅 휎 = ( ) =푅0 , (2.31) 휕푡 2 휕 trong đó R(σ) được xác định trong (2.23) Thay (2.23) vào (2.30) (2.31) ta được: ћ 휀. 표푠휎( −휔 + ) = 1 1( 푅0) 표푠휎 1 40
  45. ћ −휀. 휔. 표푠휎 = − 2퐾1( 푅0) 표푠휎 2 휀. 1(−휔+ ) 휀휔 2 Từ đó rút ra được: 1 = 2 = (2.32) ћ 1( 푅0) ћ 퐾1( 푅0) Thay (2.32) vào (2.20), (2.21): 2 1.휀.휔(휔− ) 0( )푠푖푛𝜎 휀휔 2퐾0( )푠푖푛𝜎 11훿푛10 = , 22훿푛20 = − (2.33) 1( 푅0) 퐾1( 푅0) Mặt khác ta đã có: 1 1 푛2 + 푛 훿푛 − 푛2 − 푛 훿푛 2 11 10 11 10 1 2 22 20 22 20 2 훼휀 2 2 = − 2 ( 푅0 − 1)푠푖푛휎 (2.34) 푅0 훼휀 2 2 hay 11푛10훿푛1 − 22푛20훿푛2 = − 2 ( 푅0 − 1)푠푖푛휎 (2.35) 푅0 Thay (2.33) vào (2.31): 2 푛10 1.휀.휔(휔− ) 0( )푠푖푛𝜎 푛20휀휔 2퐾0( )푠푖푛𝜎 훼휀 2 2 + = − 2 ( 푅0 − 1)푠푖푛휎 (2.36) 1( 푅0) 퐾1( 푅0) 푅0 Cuối cùng ta được phương trình: 0( ) 퐾0( ) 2 0( ) ( 1푛10 + 2푛20 ) 휔 − 1푛10 휔 + 1( 푅0) 퐾1( 푅0) 1( 푅0) 훼 2 2 2 ( 푅0 − 1) = 0 (2.37) 푅0 0( ) 0( ) 퐾0( ) Đặt 1푛10 = và 1푛10 + 2푛20 = 1( 푅0) 1( 푅0) 퐾1( 푅0) Phương trình (2.37) có nghiệm: 2 2 2 4 훼 2 2 ±√ − 2 ( 푅0−1) 휔±= 푅0 (2.38) 2 Biểu thức (2.38) chính là hệ thức tán sắc của phonon khi ta xét là sóng dài. Mặt khác phương trình (2.38) cho thấy sự không ổn định mao mạch cũng xảy 1 ra khi < , không phụ thuộc vào V. Khi V = 0 chúng ta lại thu được kết 푅0 quả (2.29) 41
  46. KẾT LUẬN VÀ THẢO LUẬN Về cơ bản khóa luận đã hoàn thành được những mục đích đề ra đó là: - Tìm hiểu được tổng quan những nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ BEC. - Tìm hiểu được tổng quan những nghiên cứu lý thuyết về ngưng tụ BEC. - Dẫn ra chi tiết phương trình GP, hệ phương trình GP - Trình bày phương pháp hydrodynamics - Áp dụng được phương pháp hydrodynamics để tìm hệ thức tán sắc của hai ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ Do mới làm quen với công việc nghiên cứu nên khi hoàn thành khóa luận em không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các thầy, cô và các bạn sinh viên góp ý để em hoàn thiện khóa luận và vốn kiến thức của bản thân. Em chân thành cảm ơn 42
  47. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Kazuki Sasaki, Naoya Suzuki, and Hiroki Saito, Capillary instability in a two-component Bose-Einstein condensate, Physicalreviewa 83, 053606 (2011), [2] Hoang Van Quyet , Tran Huu Phat, Ripplon modes of two segregated Bose- Einstein Condensates in confined geometry, Communications in Physics, Vol. 26, No. 1 (2016), pp. 11-18 DOI:10.15625/0868- 3166/26/1/7790 43