Luận văn Tương tác tích cực của mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê

Nội dung text: Luận văn Tương tác tích cực của mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC TƯƠNG TÁC TÍCH CỰC CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG TRONG HỖ TRỢ HỌC SINH KIẾN TẠO TRI THỨC XÁC SUẤT THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Huế, Năm 2007
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC TƯƠNG TÁC TÍCH CỰC CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG TRONG HỖ TRỢ HỌC SINH KIẾN TẠO TRI THỨC XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T.S. TRẦN VUI Huế, Năm 2007
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Đăng Minh Phúc ii
4. LỜI CẢM ƠN Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo, TS. Trần Vui đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình chu đáo cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: + Khoa Toán, trường ĐHSP Huế + Phòng Đào tạo sau Đại học, trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. + Các thầy cô giáo tổ Toán trường THPT Hai Bà Trưng + Các thầy cô giáo tổ Tự nhiên trung tâm GDTX Huế + Giáo viên chủ nhiệm lớp 11A1, lớp 11B5 trường THPT Hai Bà Trưng, Giáo viên chủ nhiệm lớp 11/5 trung tâm GDTX Huế. + Các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớn Cao học khóa XIV chuyên ngành phương pháp giảng dạy Toán. + Bạn bè, đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý. Huế, tháng 11 năm 2007 iii
5. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục 1 GIỚI THIỆU 3 Chương 1: MỞ ĐẦU 4 1. Giới thiệu 4 1.1. Nhu cầu nghiên cứu 4 1.2. Đề tài nghiên cứu 4 2. Mục đích nghiên cứu 5 3. Câu hỏi nghiên cứu 5 4. Định nghĩa các thuật ngữ 5 5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu 6 6. Cấu trúc luận văn 6 Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 8 1. Giới thiệu 8 2. Nền tảng lịch sử 8 2.1. Lịch sử hình thành khái niệm xác suất 8 2.2. Các cách tiếp cận khái niệm xác suất 10 2.3. Lịch sử hình thành khái niệm thống kê 11 3. Khung lý thuyết 13 4. Các kết quả nghiên cứu có liên quan 14 5. Tóm tắt 17 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU 18 1. Giới thiệu 18 2. Thiết kế quá trình nghiên cứu 18 3. Đối tượng nghiên cứu 19 1
6. 4. Công cụ nghiên cứu 19 5. Phương pháp thu thập dữ liệu 19 6. Phương pháp phân tích dữ liệu 20 7. Các hạn chế 21 8. Tóm tắt 21 Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 22 1. Giới thiệu 22 2. Các kết quả 22 2.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 22 2.2.Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 30 2.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 33 2.4. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư 41 3. Tóm tắt 52 Chương 5: KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG 53 1. Giới thiệu 53 2. Kết luận 53 2.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 53 2.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 55 2.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 56 2.4. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư 59 3. Lý giải 60 3.1. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 60 3.2. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 61 3.3. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 61 3.4. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư 62 4. Ứng dụng 62 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 PHỤ LỤC P1 2
7. GIỚI THIỆU Nhiệm vụ của việc dạy học toán ở nhà trường là giúp người học kiến tạo các kiến thức toán qua mỗi giờ dạy của giáo viên. Do đó chúng ta cần quan tâm đến việc nâng cao hiệu quả của mỗi tiết dạy. Kết quả của việc học phụ thuộc nhiều vào phương pháp tổ chức các hoạt động học tập trong lớp của giáo viên cũng như sự tham gia tích cực của mỗi người học. “Con người học như thế nào?” là một câu hỏi cốt yếu mà lý thuyết kiến tạo trong giáo dục muốn trả lời. Thực tiễn cho thấy rằng, giáo viên không thể dạy học bằng cách làm đầy kiến thức cho học sinh như kiểu đổ đầy một chai nước mà chính mỗi học sinh phải tự kiến tạo tri thức theo cách của riêng mình với sự hỗ trợ của giáo viên. Việc dạy và học toán ở nước ta hiện nay không phải lúc nào cũng phát huy hết năng lực tự học và tính chủ động trong học tập của học sinh. Mỗi người giáo viên vẫn còn chịu nhiều áp lực, áp đặt từ trên xuống và mất đi tính chủ động và sáng tạo trong việc xây dựng những môi trường học tập phù hợp với đối tượng mà mình đang giảng dạy. Hơn nữa việc chưa nhất quán trong cách thi cử, ra đề thi, số lượng các kỳ thi đã làm học sinh và giáo viên lúng túng trong việc định hướng dạy học. Ngoài ra áp lực thi cử vẫn còn quá lớn khi chỉ khoảng 20% hoặc hơn thí sinh đỗ tốt nghiệp được vào đại học đã làm cho việc học trở nên thay đổi cho kịp thời vụ: chỉ học những gì có thể sẽ ra trong đề thi. Sẽ có nhiều sự thay đổi để việc dạy và học toán tập trung vào phát triển tư duy giải quyết vấn đề cho học sinh cùng với những kỹ năng cần thiết của một công dân trong tương lai. Mảng kiến thức xác suất thống kê bắt đầu được đưa vào chương trình dạy học trong đợt thay sách giáo khoa trung học phổ thông mới đây. Với luận văn này, trên nền tảng lý luận là lý thuyết kiến tạo, chúng tôi mong muốn thiết kế được những mô hình động tạo ra những tương tác tích cực để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán, đặc biệt là tri thức xác suất thống kê. 3
8. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu Trong thực tiễn, chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên. Đó là những hiện tượng (biến cố) mà chúng ta không thể dự báo một cách chắc chắn là nó xảy ra hay không xảy ra. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Năm 1812, nhà toán học Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Ngày nay, lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học Gần gũi với xác suất là bộ môn thống kê. Thống kê giúp ta phân tích các số liệu một cách khách quan và rút ra các tri thức, thông tin chứa đựng bên trong các số liệu đó. Trên cơ sở này, chúng ta mới có thể đưa ra được những dự báo và quyết định đúng đắn cho một hiện tượng cụ thể. Thống kê cần thiết cho mọi lực lượng lao động, đặc biệt rất cần cho các nhà quản lý, hoạch định chính sách. Ngay từ đầu thế kỷ XX, nhà khoa học người Anh, H. G. Well đã dự báo: “Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khả năng biết đọc, biết viết vậy.” 1.1. Nhu cầu nghiên cứu Xác suất và thống kê là hai mảng kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ thông. Khi giảng dạy, giáo viên thiếu các mô hình minh họa, đặc biệt là các mô hình động. Với sự hỗ trợ của máy tính và các phần mềm dạy học, các mảng kiến thức khác trong chương trình phổ thông đã được khai thác, giảng dạy và học tập có hiệu quả. Hơn nữa, trong xác suất, máy tính có thể cho phép thực hiện các phép thử nhiều lần ở tốc độ cao. Vì vậy cần ứng dụng các thế mạnh của công nghệ thông tin một cách khoa học trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 1.2. Đề tài nghiên cứu Các mô hình toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc kiến tạo tri thức toán học cho học sinh. Việc xây dựng các mô hình này cũng như áp dụng chúng vào giảng dạy đang ngày càng phổ biến trong xu thế đổi mới giáo dục hiện nay. Vấn đề quan trọng là phải xây dựng và sử dụng mô hình sao cho nó tạo ra được các tương tác 4
9. tích cực trong hỗ trợ học sinh trong kiến tạo tri thức. Chúng tôi chọn đề tài: Tương tác tích cực của mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích cực dựa trên hai phần mềm toán học phổ thông là The Geometer’s Sketchpad và Fathom, nhằm giúp cho học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 3. Câu hỏi nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích cực. Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời các câu hỏi sau đây: Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê sẽ có hiệu quả như thế nào? Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Phần mềm động tạo ra các tương tác như thế nào trong việc hỗ trợ học sinh lớp 10, lớp 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê? Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Sử dụng hàm ngẫu nhiên của máy tính như thế nào để tạo được các mô hình động có tính tương tác tích cực trong việc kiến tạo tri thức xác suất thống kê? Câu hỏi nghiên cứu thứ tư: Xây dựng những mô hình xác suất thống kê nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và học tập? 4. Định nghĩa các thuật ngữ Nghiên cứu trường hợp: Là nghiên cứu trong đó nhà nghiên cứu làm việc trên một nhóm nhỏ các đối tượng nghiên cứu, thậm chí chỉ trên một đối tượng. Nguyên bản tiếng Anh của nghiên cứu trường hợp là Case Study. Nghịch lý: Là những gì trái với tự nhiên hay những điều hiển nhiên đúng được công nhận. Trong toán học, đôi khi nghịch lý mang nghĩa “kết quả không trực quan” hơn là “mâu thuẫn dễ thấy”. Việc sử dụng nghịch lý trong dạy học xác suất được xem là một phương pháp có hiệu quả khi mà tạo ra được những mâu thuẫn để rồi giải quyết các mâu thuẫn đó sẽ giúp học sinh kiến tạo tri thức. Nguyên bản tiếng Anh: Paradox. 5
10. Chướng ngại: Một hay nhiều những khó khăn mà học sinh gặp phải khi tham gia các hoạt động học tập và mong muốn vượt qua. Chướng ngại cũng có thể là những kiến thức mà học sinh đã có, chúng làm cản trở việc tiếp nhận những kiến thức mới hơn. Đồng khả năng: Một thuật ngữ được dùng nhiều trong xác suất, nói về những kết quả, biến cố có cùng khả năng xảy ra. Mô hình động: Là những mô hình chủ yếu được xây dựng bằng các phần mềm trên máy tính nhằm mô phỏng những mô hình trong thực tế mà người sử dụng có thể thao tác, sửa đổi. Mô hình động về toán được xây dựng để hỗ trợ cho người học kiến tạo tri thức toán. Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa chủ thể và khách thể. Kiến tạo: Xây dựng một cách tích cực và chủ động. Kiến tạo cũng là một động từ dùng chỉ hoạt động của chủ thể tác động lên đối tượng nhằm thực hiện mục đích đề ra. Đồng hóa: Là quá trình khi chủ thể tiếp nhận thông tin mới từ khách thể và những thông tin này có thể kết hợp trực tiếp vào sơ đồ nhận thức đang tồn tại. Như thế, đồng hóa là một quá trình chủ thể sử dụng kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết tình huống mới. Điều ứng: Là quá trình điều chỉnh sự mất cân bằng về nhận thức khi chủ thể tiếp nhận thông tin từ khách thể. Khi quá trình này kết thúc là lúc mà chủ thể tạo nên sự cân bằng mới về nhận thức ở mức độ cao hơn. 5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu Các kết quả của nghiên cứu sẽ giúp cho học sinh tự kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho mình, từ đó biết cách áp dụng vào các bài toán thực tế, giải quyết vấn đề và ra quyết định. 6. Cấu trúc luận văn Phần này sẽ giới thiệu cấu trúc của luận văn, bao gồm 5 chương. Chương 1 - GIỚI THIỆU: Giới thiệu, nêu nhu cầu nghiên cứu, đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và đưa ra những câu hỏi nghiên cứu cho luận văn. Một số 6
11. thuật ngữ dùng trong luận văn cũng được định nghĩa. Ngoài ra trong chương này cũng trình bày ý nghĩa của việc nghiên cứu. Chương 2 - NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN: Sau khi trình bày lịch sử hình thành các khái niệm xác suất và thống kê, khung lý thuyết là lý thuyết kiến tạo, chương này sẽ giới thiệu những kết quả nghiên cứu liên quan đến luận văn. Chương 3 - PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU: Chương này giới thiệu thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng và công cụ nghiên cứu; phương pháp thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu làm định hướng và quy trình cho quá trình nghiên cứu. Chương 4 - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Nêu các kết quả nghiên cứu cho từng câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1. Với câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, chương này nêu lên các hiệu quả có thể khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất. Với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chương này nêu lên các tác động tích cực của phần mềm động trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Với câu hỏi nghiên cứu thứ ba, chương này trình bày cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên trong máy tính bắt đầu từ ý tưởng xây dựng đến kỹ thuật rồi những cải tiến trong quá trình tạo số ngẫu nhiên. Cách tạo số ngẫu nhiên đơn giản cũng được trình bày trong chương này trên hai phần mềm The Geometer’s Sketchpad và Fathom. Với câu hỏi nghiên cứu thứ tư, chương này giới thiệu các mô hình hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê trên cả hai phần mềm. Mỗi mô hình đều được trình bày chi tiết cách thiết kế và sử dụng. Các kết quả thực nghiệm sư phạm khi sử dụng một số mô hình đã xây dựng được trình bày ở cuối chương này. Chương 5 - KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG: Nêu các kết luận cho từng câu hỏi nghiên cứu dựa trên những kết quả nghiên cứu có được ở chương 4 rồi đưa ra những lý giải cho các kết quả nghiên cứu đó. Ứng dụng của luận văn bao gồm ứng dụng cho thực hành và cho các nghiên cứu sau này cũng được trình bày trong chương 5. 7
12. CHƯƠNG 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 1. Giới thiệu Trong chương này chúng tôi sẽ xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu; tổng quan nền tảng lịch sử của vấn đề cần nghiên cứu, khung lý thuyết cho đề tài nghiên cứu; xác định, nhận biết các mâu thuẫn, kẻ hở trong các tài liệu; tóm tắt sơ lược các nghiên cứu trước đây có liên quan đến đề tài và khẳng định rằng nghiên cứu này sẽ là bước đi hợp lôgíc tiếp theo trong việc tìm ra một lời giải tối ưu cho vấn đề cần nghiên cứu. 2. Nền tảng lịch sử Phân tích các tài liệu, bài báo, kết quả nghiên cứu toán học liên quan để đưa ra các bước hình thành và phát triển các khái niệm trong xác suất cũng như trong thống kê. 2.1. Lịch sử hình thành khái niệm xác suất Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi vừa qua. Chính việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến sự hình thành khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thế kỷ XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thế kỷ thứ III trước công nguyên, với các trò chơi may rủi. Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến phép thử ngẫu nhiên đã có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai cập cổ đại (tức thế kỷ III trước Công nguyên). Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban hành. Nhà thờ Thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng. Các trò chơi may rủi đã có những khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp. Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201 – 1260)), một tu sĩ uyên bác người Pháp, đã được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250) là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ mô tả trò chơi "tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được" (tức là tổng số chấm xuất hiện) trên mặt ba con súc sắc). Một trích đoạn của bài thơ cho thấy tác giả đã sử dụng đến 8
13. hoán vị khi nói rằng việc tung súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216 cách rơi 3 súc sắc. Vấn đề đồng khả năng của các kết quả của việc tung súc sắc cũng được Galilé dùng làm giả thiết trong tiểu luận về các trò chơi súc sắc của mình (nó còn có mặt trong trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat sau này nữa). Cho đến nửa đầu thế kỷ XVII, khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh cơ hội. Cũng như người ta đã nói "sự kiện này có cơ hội xảy ra lớn hơn sự kiện kia", hay "các sự kiện có cùng khả năng xảy ra". Nhưng cụ thể "độ đo" cơ hội xảy ra của một sự kiện là bao nhiêu? Được tính bằng cách nào? Một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác khi người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp của vài trò chơi may rủi. Tuy vậy, vẫn chưa có một câu trả lời tổng quát nào cho vấn đề đo cơ hội xảy ra của một sự kiện tùy ý. Và tất nhiên, cho đến lúc đó, chưa một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra. Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX, vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng đã được đề cập đến. Mùa hè 1651, Chevalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược. Bài toán này khiến Pascal phải suy nghĩ và ông đã viết thư cho nhà toán học Pierre de Fermat (1601-1665). Qua thư từ trao đổi, họ đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc. Với những nghiên cứu chính thức về tính toán "xác suất" của hai nhà toán học Pascal và Fermat, có thể nói các trò chơi ngẫu nhiên (jeu de hasard) đã chuyển thành đối tượng nghiên cứu của toán học và có mặt trong các bài toán tính "cơ hội" thắng cuộc. Đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy (L’art de penser) của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ "xác suất" mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay. Nhà toán học Jacques Bernoulli đã dành suốt hai mươi năm của đời mình để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán (Ars Conjectandi), nhưng năm 1713 (8 năm sau khi ông mất), tác phẩm này mới được người cháu là Nicolas Bernoulli xuất bản. Với Thuật suy đoán, lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang sử dụng công cụ giải tích. 9
14. Cho đến đầu thế kỷ XIX, ngoài định nghĩa theo kiểu mô tả của Bernoulli thì chưa có một định nghĩa toán học nào về khái niệm xác suất. Vấn đề này chỉ được giải quyết bởi Pierre Simon Marquis de Laplace trong Chuyên luận giải tích về xác suất (Traité analytique des probabilité) công bố năm 1812. Với chuyên luận này, Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất của mình. Một trong những khó khăn trong việc phát triển lý thuyết xác suất là đi đến một định nghĩa tổng quát, chính xác trong toán học. Cuối thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích, trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thay thế các hàm sin bởi một hàm số đặc trưng. Tiếp đó là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XX đã dẫn đến xu hướng xây dựng một lý thuyết xác suất hình thức hơn theo phương pháp tiên đề của Hilbert. Năm 1933, trong công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. 2.2. Các cách tiếp cận khái niệm xác suất Từ nghiên cứu lịch sử, các tác giả Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Michel Henry, Bernard Parzysz đều thống nhất rằng khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo ba cách sau đây: Tiếp cận theo Laplace (AL - Approche Laplacienne): Xác suất của một biến cố, theo Laplace, là “tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. Để tính xác suất theo Laplace, đòi hỏi phải có một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (đây chính là điểm hạn chế của tiếp cận). Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về các phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán xác suất. Chính vì thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là "tiếp cận đại số tổ hợp". Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính được xác suất mà không cần thực hiện phép thử. Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác suất theo định nghĩa của Laplace là xác suất chủ quan hay xác suất tiên nghiệm. 10
15. Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique): Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử. Xác suất theo quan điểm này còn được gọi là xác suất khách quan vì giá trị của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm. Đứng từ góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho phép giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace không thể vận hành được (ví dụ như việc ước tính xác suất để một đinh mũ rơi ngẫu nhiên chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng từ góc độ dạy- học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau: Trước hết, nó dựa trên sự "hội tụ" của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất), tức không phải là sự hội tụ thuần túy (của dãy số) mà học sinh gặp trong giải tích. Mặt khác, tiếp cận này có thể dẫn đến nguy cơ là "học sinh không thực hiện được bước nhảy khái niệm mà lại đồng hóa tần suất với xác suất" (tham khảo Parzysz, 2003, tr.31-32). Tiếp cận tiên đề (AA: Approche Axiomatique) Xác suất được định nghĩa như "một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên" và thỏa mãn một hệ tiên đề. Là một mô hình thuần túy toán học cao cấp nên tiếp cận này quá khó hiểu đối với học sinh PTTH và chỉ được cung cấp ở bậc đại học. 2.3. Lịch sử hình thành khái niệm thống kê Từ thống kê được xuất phát từ tiếng Latin statisticum collegium và một từ tiếng Ý statista. Từ statistik (tiếng Đức) lần đầu tiên đượ c giới thiệu bởi Gottfried Achenwall (1749) nhằm giới thiệu sự phân tích dữ liệu thống kê, biểu thị "khoa học của thống kê" (được gọi là số học mang tính chính trị (political arithmetic) trong tiếng Anh). Thống kê mang nghĩa thu thập và phân tích dữ liệu lần đầu tiên được đề cập vào đầu thế kỷ 19. Nó được giới thiệu bằng tiếng Anh bởi ông John Sinclair. Như thế, mục đích chính của thống kê ban đầu là dữ liệu được sử dụng bởi những người trong chính phủ và công việc hành chính. Việc thu thập dữ liệu về các tiểu bang và các địa phương được tiếp tục, được mở rộng thông qua các ban thống kê 11
16. quốc gia và quốc tế. Đặc biệt, các điều tra về dân số cung cấp một cách đều đặn thông tin về dân cư. Phương pháp toán học của thống kê xuất hiện từ lý thuyết xác suất, lý thuyết được bắt đầu từ bức thư của Pierre de Fermat và Blaise Pascal. Lý thuyết sai số (theory of errors) có lẽ được mô tả đầu tiên bởi Roger Cotes trong cuốn Opera Miscellanea (xuất bản sau khi tác giả mất, 1722) nhưng một hồi ký của Thomas Simpson vào năm 1755 (in năm 1756) lần đầu tiên đã ứng dụng lý thuyết đó cho thảo luận việc quan sát các sai số. Pierre-Simon Laplace (1774) đã làm những phép thử đầu tiên để xác định một quy luật của sự tổ hợp các quan sát nguồn gốc của lý thuyết xác suất. Ông ta trình bày luật sai số xác suất bởi một đường cong. Ông suy ra một công thức cho giá trị trung bình của 3 quan sát. Ông cũng đưa ra một công thức cho luật thuận lợi của sai số, nhưng đó là một điều dẫn đến các phương trình không kiểm soát được. Daniel Bernoulli (1778) giới thiệu nguyên tắc tích cực đại của xác suất trong một hệ thống các sai số xảy ra đồng thời. Phương pháp hình vuông tối tiểu (least squares), được sử dụng để cực tiểu các sai số trong đo lường dữ liệu, được xuất bản một cách độc lập bởi Andrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808) và Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss đã dùng phương pháp này trong lời tiên tri nổi tiếng năm 1801 về vị trí của sao lùn đỏ (dwarf planet Ceres). Các chứng minh tiếp theo được các nhà toán học đưa ra: Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826) Công thức cho r của Peter (1856) về sai số có thể xảy ra cho một quan sát đơn được nhiều người biết đến. Vào thế kỷ 19, các tác giả (Laplace, Dedekind, Morgan ) trong lý thuyết tổng quát đã cải tiến sự trình bày của lý thuyết thống kê. Adolphe Quetelet (1796-1874), một người sáng lập khác của lý thuyết thống kê, đã giới thiệu khái niệm số trung vị (average mean) như là một giá trị trung bình của việc hiểu các hiện tượng xã hội phức tạp như tỉ lệ tội phạm, tỉ lệ hôn nhân hoặc tỉ lệ tự tử. Trong suốt thế kỷ 20, việc tạo ra các dụng cụ chính xác cho những vấn đề liên quan đến y tế (dịch tễ học, thống kê sinh học ) và các mục đích kinh tế xã hội (tỉ lệ thất nghiệp, toán kinh tế (econometry) ) tạo nên một sự phát triển của thống kê trong 12
17. thực hành. Ngày nay việc sử dụng thống kê đã mở rộng hơn nhiều so với gốc của nó như là một dịch vụ cho một bang hoặc chính phủ. Các cá nhân và tổ chức sử dụng thống kê để phân tích dữ liệu và đưa ra quyết định ở khắp các khoa học tự nhiên và xã hội, y học, kinh doanh và những lĩnh vực khác. Thống kê nói chung không được xem như là một lĩnh vực con của toán học mà là một lĩnh vực riêng biệt mặc dầu chúng có quan hệ mật thiết. Nhiều trường đại học vẫn giữ việc phân chia các khoa toán học và khoa thống kê. Thống kê cũng được nhắc đến trong các khoa khác như là tâm lý học, giáo dục học và y tế. 3. Khung lý thuyết Hầu hết các nghiên cứu gần đây đề nghị rằng các lý thuyết văn hóa - xã hội kết hợp với các thành phần (elements) của lý thuyết kiến tạo sẽ cung cấp một mô hình có ích cho việc làm thế nào để học sinh học toán (theo Sashi Sharma, Đại học Waikato). Von Glasersfeld (1993) trong nghiên cứu của mình đã chỉ ra rằng lý thuyết kiến tạo, trong các dạng khác nhau của nó, đều dựa trên một quan điểm rằng người học phải tự kiến tạo tri thức cho chính họ bằng cách điều ứng các kinh nghiệm được giới thiệu với kiến thức có sẵn. Cobb (1989) đã khẳng định là những kiến tạo toán học của trẻ em được chi phối một cách đáng kể bởi những điều kiện xã hội và văn hóa. Vào năm 1994, ông nói rằng, học sinh không còn được xem như là những người được người lớn chuyển tải các kiến thức toán học một cách bị động mà chúng phải tự kiến tạo các ý nghĩa cho bản thân mình bằng cách kết nối với thông tin mới hoặc cấu trúc lại những kiến thức trước đó của chúng. Đây chính là hai quan điểm chính của lý thuyết kiến tạo: đồng hóa và điều ứng trong việc học. Một khái niệm khác của lý thuyết kiến tạo có được từ các nhà lý luận văn hóa - xã hội như là Vygotsky (1978) và Lave (1991). Họ đề nghị rằng việc học nên được xem là một tiến trình xã hội (social process) nhiều hơn là một hoạt động cá nhân (individual activity). Có một nhấn mạnh trong tương tác xã hội, ngôn ngữ, kinh nghiệm, sự đa dạng về văn hóa và ngữ cảnh để học trong tiến trình học hơn là chỉ chú ý vào khả năng nhận thức. Bodner (1986) đã khẳng định: " người học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự của sự vật trong thế giới khách quan dù thiếu những thông tin đầy đủ". 13
18. Như thế, trong luận văn này, dựa trên lý thuyết kiến tạo, chúng tôi nghiên cứu để tạo nên các môi trường hỗ trợ cho người học tự phát triển trực giác xác suất và thống kê của chính mình, xây dựng các mối liên hệ cụ thể với các đối tượng toán học. Học sinh với sự trang bị đầy đủ các yếu tố cần thiết sẽ xây dựng nên một môi trường mà trong đó các em sẽ tự kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho mình. 4. Các kết quả nghiên cứu có liên quan Phần này bao gồm giới thiệu một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài ở trong cũng như ngoài nước. Các kết quả này được tìm thấy trong các khóa luận, tiểu luận, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ, các thông tin trên internet, các bài báo. Trong dự án “ Xác suất được liên kết ” (Connected Probability) thực hiện ở các năm 1993, 1994, Uri Wilensky và các cộng sự của mình đã đặt mục tiêu khám phá cách thức cho người học (cấp II và trước cấp II) phát triển các nhận thức trực giác của những khái niệm cốt lõi của xác suất. Họ đã kết luận rằng, công nghệ máy tính đóng một vai trò quan trọng trong việc cho phép người học xây dựng các khái niệm trực giác của xác suất. Thông qua việc xây dựng các mô hình tính toán hằng ngày và các hiện tượng khoa học, người học có thể tạo nên các mô hình tích cực dựa trên xác suất và thống kê. Cũng nằm trong dự án này, họ đã mở rộng ngôn ngữ mô hình song song StarLogo và biến đổi nó để xây dựng các mô hình xác suất. Trong các công trình nghiên cứu của Kahneman & Tversky (1982), Nisbett (1983), Knold (1991) đã chỉ ra rằng, việc hiểu xác suất của con người được xác định là khó khăn. Việc dạy học đã cung cấp quá ít những biện pháp khắc phục. Các nhà giáo dục đã đáp lại kết quả nghiên cứu trên bằng cách khuyên học sinh đừng tin tưởng tuyệt đối vào trực giác của mình khi trực giác đó dẫn đến xác suất và chỉ dựa độc nhất vào các thao tác hình thức. Tuy nhiên kết quả thu được là người học tạo nên các mô hình hình thức cho các khái niệm cốt lõi của xác suất và thất bại trong việc liên kết chúng với kiến thức hằng ngày. Wilensky (1993, 1994) khẳng định rằng trực giác xác suất có thể được kiến tạo bởi người học và môi trường máy tính cho phép người dùng tạo nên những sản phẩm đáng tin cậy (như phân bố chuẩn) bằng cách sử dụng các thành phần ngẫu nhiên. Môi trường giả lập dựa trên máy tính của các hiện tượng phức tạp đã và đang được mở rộng. Rucker (1993), Stanley (1989), Wright (1992) trong công trình nghiên cứu 14
19. của mình đã chỉ ra rằng, trong môi trường giả lập, người học được giới thiệu và khám phá một mô hình phức tạp (được tạo bởi các chuyên gia). Người dùng có thể thay đổi các biến của mô hình và khám phá những thay đổi tương ứng. Khả năng chạy các giả lập có tính tương tác là một cải tiến rất lớn so với việc học dựa trên các sách vở tĩnh với những nhấn mạnh về công thức và thao tác trên các kí hiệu toán học. Stanley (1992) đã giải thích rằng việc giảng dạy dựa trên sự giả lập của các hiện tượng xác suất là rất phù hợp cho học sinh trung học và giáo viên. Tuy nhiên, trong môi trường giả lập, người học không tiếp cận được cách làm việc của mô hình. Do đó người học chỉ có thể nhận được từ mô hình theo đúng dự định của người thiết kế và tính bị động vào mô hình trở nên rất cao. Để hỗ trợ cho người dùng có thể tạo nên các mô hình hữu dụng, một số lượng lớn các môi trường mô hình hóa đủ mạnh được thiết kế: Stella - Richmond & Peterson (1990), Roberts (1978); StarLogo - Resnick (1992), Wilensky (1993); Agensheets - Repenning (1993); KidSim - Smith, Cypher & Spohrer (1994). Trong bài báo “Học xác suất thông qua xây dựng các mô hình tính toán” (Learning probability through building computation models), Wilensky (1993) và các cộng sự của mình muốn người học tự mình tạo nên các mô hình và thiết kế các khảo sát cho chính họ. Khi phân tích những mô hình mà người học tạo được cũng như quan sát công việc khảo sát của họ, Wilensky nhận ra rằng thông qua việc tự xây dựng các mô hình cho chính bản thân mình, người học tự đưa ra được những câu hỏi, tự hình thành nên lý thuyết, thử nghiệm lý thuyết và nắm được một cách sâu sắc những khái niệm. Mặc khác, ông cũng kết luận rằng, môi trường mô hình hóa không giới hạn các hướng đòi hỏi của người sử dụng. Các nguyên tắc của xác suất và thống kê đã làm thay đổi một cách nền tảng cách chúng ta làm khoa học và cách mà chúng ta hiểu về thế giới xung quanh. Nhiều nhà nghiên cứu (Cohen, 1990; Gigerenzer, 1990; Hacking, 1990) đã chỉ rõ rằng một cuộc cách mạng xác suất đã xuất hiện trong thế kỷ này và rằng các khái niệm ngẫu nhiên và không chắc chắn đã mở ra một lĩnh vực mới của toán học và khoa học. Điều này đã làm người ta chú ý nhiều hơn đến các đề tài về sự phức tạp (complexity), hỗn loạn (chaos) và cuộc sống nhân tạo (artificial life). Các phương pháp thống kê hiện diện khắp nơi trong các đề tài khoa học. Các bài giảng về xác suất và thống kê là bắt buộc đối với tất cả học sinh theo các ngành khoa học tự 15
20. nhiên và xã hội. Tuy nhiên chúng ta có thể bắt gặp những tài liệu đáng tin cậy về các thiếu hụt lớn đối với việc hiểu ý nghĩa của thống kê (Gould, 1991; Knold, 1991; Phillip, 1998; Piaget, 1975; Tversky & Kahneman, 1971). Ngay cả những chuyên gia giáo dục cao cấp, những người sử dụng xác suất và thống kê trong công việc hằng ngày vẫn có những khó khăn lớn khi giải thích những thống kê mà họ đưa ra. (Kahneman & Tversky, 1982). Bên cạnh việc thiếu năng lực, học sinh biểu lộ sự chán ghét với các bài giảng về xác suất và thống kê, một ác cảm mà cả Mark Twain và Benjamin Disraeli đã nói: “Lời nói dối có 3 loại: lời nói dối (lies), lời nói dối tồi tệ (damn lies) và thống kê”. Hầu hết các học sinh thấy rằng, việc đầu tiên khi học xác suất ở các dạng bài tập trong trường là việc tính toán các tỉ số của tần số (ratios of frequencies) và các hệ số nhị phân (binomial coefficients). Và thế là, chủ đề chính của xác suất và thống kê được xem như là sự tập hợp các công thức để nhồi nhét cho bộ óc. Khi học sinh sai sót trong việc làm chủ các kỹ năng được dạy, phương pháp tốt nhất là cố gắng cải tiến khả năng tính toán và áp dụng các công thức. Nhưng các trường học rất ít khi cho học sinh khám phá ý tưởng cơ bản của xác suất hoặc trả lời cho các câu hỏi, chẳng hạn: “Cái gì là phân bố chuẩn và cái gì làm nó trở nên có ích?” hay là “một thứ gì đó có thể vừa ngẫu nhiên vừa được xây dựng như thế nào?” Một phần bởi vì ý nghĩa của các khái niệm xác suất cốt lõi vẫn đang còn được tranh cãi bởi các triết gia của toán học và khoa học (chẳng hạn, Chaitin, 1987; Kolmogorov, 1950; Savage, 1954, Suppes, 1984; Von Mises, 1957), họ nói rằng những ý nghĩa đó là quá khó để cho học sinh có thể hiểu được. Trong nghiên cứu “Nghịch lý, chương trình và học xác suất: một nghiên cứu trường hợp trong một khung toán học được liên kết ” (Paradox, Programming and Learing Probability: A Case Study in a Connected Mathematics Framework), Uri Wilensky đã nêu ra một quy trình nghiên cứu trường hợp thông qua một thử nghiệm với một học sinh của mình. Qua nghiên cứu trường hợp, ông đã kết luận rằng việc tự tạo nên các mô hình và tự khảo sát của người học sẽ giúp họ có được những hiểu biết sâu sắc hơn về các khái niệm của xác suất hơn là sử dụng các giả lập hoặc các mô hình máy tính đã dựng sẵn. 16
21. Ở Việt Nam, phần xác suất và thống kê được đưa vào chương trình phổ thông mới đây nên chưa có nhiều đề tài nghiên cứu giáo dục về nó. Các đề tài liên quan đến xác suất thống kê chủ yếu về nội dung phục vụ cho đại học. Thông qua tìm hiểu một số nghiên cứu trong và ngoài nước ở trên, chúng tôi thấy rằng các nghiên cứu, do tính lịch sử của mình, đã chưa tận dụng hết sức mạnh của công nghệ thông tin trong dạy học. Các mô hình về phép thử ngẫu nhiên với số lần thử lớn chưa được nghiên cứu xây dựng, việc vận dụng lý thuyết kiến tạo trong dạy học xác suất thống kê đang còn ít. Do đó, cần phải có một nghiên cứu về xác suất thống kê để giúp cho học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là thông qua việc xây dựng các mô hình động để tạo nên các tương tác tích cực đối với học sinh lớp 10, 11 ở Việt Nam. 5. Tóm tắt Qua chương 2, chúng tôi đã giới thiệu nền tảng lịch sử của đề tài, của các vấn đề liên quan; đưa ra khung lý thuyết là lý thuyết kiến tạo, làm nền tảng lý luận cho quá trình nghiên cứu; giới thiệu một số các kết quả thu được từ các đề tài đã nghiên cứu. Chúng tôi cũng đã định hướng cho nghiên cứu của mình sau khi có được một số kết quả từ các nghiên cứu liên quan. Từ cơ sở và các định hướng này, chúng tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, thực hiện việc nghiên cứu cũng như các vấn đề khác trong các chương tiếp theo. 17
22. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo nên các tương tác tích cực, nhằm giúp học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Chương này nhằm giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu của luận văn. Nó bao gồm các mục: thiết kế quy trình nghiên cứu, xác định các đối tượng nghiên cứu, đưa ra các công cụ nghiên cứu, trình bày phương pháp thu thập dữ liệu, phương pháp phân tích dữ liệu và nêu ra các hạn chế khi thực hiện theo phương pháp và quy trình nghiên cứu đó. 2. Thiết kế quy trình nghiên cứu Quy trình nghiên cứu được tiến hành theo các bước sau đây: • Thông qua các nghiên cứu, bài báo, các kết quả nghiên cứu đã có từ trước để nghiên cứu những hiệu quả khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học nhằm giúp học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê, nghiên cứu cách thức áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học để có được những hiệu quả ở trên. Nghiên cứu sẽ có sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp (Case Study) để củng cố những kết quả có được trong quá trình nghiên cứu lý thuyết. • Nghiên cứu các tác động tích cực của phần mềm động trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là phần xác suất thống kê. Quy trình nghiên cứu sẽ được hỗ trợ bởi các thống kê dựa trên các phiếu hỏi, các cuộc khảo sát với cả học sinh và giáo viên. • Nghiên cứu cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên và cách sử dụng hàm ngẫu nhiên trong các phần mềm dạy học để thiết kế các mô hình động giúp cho học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Nghiên cứu sẽ có sự hỗ trợ chủ yếu của các phần mềm: The Geometer’s Sketchpad và FathomTM. • Phân tích sách giáo khoa, thống kê các đơn vị kiến thức, các dạng bài tập để xây dựng các mô hình xác suất thống kê phù hợp trên hai phần mềm, tiến tới xây dựng nên các công cụ đủ mạnh giúp học sinh có thể tự tạo nên các mô hình để khảo sát nhằm kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho chính mình. 18
23. 3. Đối tượng nghiên cứu Các đối tượng trong nghiên cứu này bao gồm: học sinh lớp 10 và 11; giáo viên lớp 10, 11. Học sinh sẽ được nghiên cứu trong từng nhóm hoặc một lớp học được chọn trong một số trường THPT ở thành phố Huế. Để phục vụ cho nghiên cứu trường hợp, một vài học sinh sẽ được chọn để thực hiện quá trình nghiên cứu. Đối với giáo viên, việc nghiên cứu sẽ được thực hiện thông qua quan sát quá trình dạy học, vấn đáp. 4. Công cụ nghiên cứu Công cụ nghiên cứu của luận văn bao gồm các mô hình xác suất thống kê được thiết kế trên hai phần mềm The Geometer’s Sketchpad và Fathom, kế hoạch bài học, phiếu trắc nghiệm, các bảng hỏi, câu hỏi vấn đáp, bảng đánh dấu kiểm. Các mô hình sẽ được giới thiệu đầu tiên, phiếu trắc nghiệm sẽ được sử dụng trước và sau khi thực hiện các thực nghiệm dạy - học. Bảng hỏi sẽ được dùng chủ yếu trong nghiên cứu trường hợp và tiền thực nghiệm. Các câu hỏi vấn đáp được sử dụng cho nghiên cứu trường hợp riêng còn bảng ‘‘đánh dấu kiểm’’ sẽ dùng trong quá trình quan sát, thu thập dữ liệu. Tất cả các phiếu trắc nghiệm, bảng hỏi, bảng đánh dấu kiểm sẽ được trình bày trong phần phụ lục của luận văn. Các câu hỏi vấn đáp được trình bày trong quá trình nghiên cứu trường hợp hoặc ở phần phụ lục. 5. Phương pháp thu thập dữ liệu Phương pháp thu thập dữ liệu của nghiên cứu được thực hiện như sau: • Chuẩn bị một mô hình dạy học về xác suất, mục đích cho học sinh hiểu khái niệm ngẫu nhiên, các bảng hỏi, phiếu trắc nghiệm, hệ thống các câu hỏi vấn đáp dùng cho nghiên cứu trường hợp. Tiến hành chọn hai nhóm học sinh, mỗi nhóm từ 3 đến 4 người ở hai mức độ toán học khác nhau để thực nghiệm lần lượt. Người nghiên cứu sẽ tiến hành giới thiệu mô hình dạy học với từng học sinh, học sinh sẽ tiến hành trả lời các phiếu trắc nghiệm, thực hành khảo sát trên mô hình với quá trình quan sát, tương tác và vấn đáp để thu thập dữ liệu. Nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu thông qua quan sát, vấn đáp và các phiếu trắc nghiệm, phiếu hỏi. Phương pháp này cũng được áp dụng cho nhóm học sinh lớp 10 ở mô hình dạy học về thống kê. Các diễn biến chính trong quá trình thực nghiệm sư phạm sẽ được ghi lại thành các đoạn phim. 19
24. • Thông qua các phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm cho cả giáo viên và học sinh, nhà nghiên cứu tiến hành thu thập dữ liệu từ phía học sinh ở một số trường THPT trong thành phố Huế ở cả 3 lớp 10, 11, 12. Mục đích của việc nghiên cứu là có được các thông tin, dữ liệu về những tác động tích cực của phần mềm động trong việc học toán của học sinh. Đối với giáo viên, nhà nghiên cứu sẽ tiến hành phỏng vấn một số giáo viên THPT. • Tiến hành nghiên cứu hoạt động: thông qua các hoạt động dạy - học của giáo viên và học sinh, chúng tôi nghiên cứu để trả lời cho các câu hỏi: Bằng cách nào để học sinh hình thành nên kiến thức? Làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy học xác suất thống kê? Học sinh hiểu như thế nào về các khái niệm “ngẫu nhiên”, “thống kê” và các yếu tố khác? • Tiến hành quá trình phân tích sách giáo khoa lớp 10 phần thống kê và lớp 11 phần xác suất để có dữ liệu về các đơn vị kiến thức được truyền đạt, thống kê các dạng nhiệm vụ, các kỹ thuật và công nghệ giải quyết, mức độ kiến thức đưa vào so với kiến thức hàn lâm, các chủ ý của tác giả, những điểm mạnh, hạn chế • Thu thập dữ liệu của các phần mềm The Geometer’s Sketchpad, Fathom thông qua phần hướng dẫn, hỗ trợ để tạo nên các mô hình, công cụ giúp cho học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Chúng tôi sẽ tiến hành cùng với các giáo viên phổ thông dạy một tiết thực nghiệm phần xác suất lớp 11 trong học kỳ I. 6. Phương pháp phân tích dữ liệu • Từ các dữ liệu thu được qua nghiên cứu trường hợp đối với các nhóm học sinh, chúng tôi tiến hành thống kê các kết quả, phân tích quá trình kiến tạo tri thức của hai học sinh góp phần trả lời các câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ hai. • Với dữ liệu thu được từ học sinh và từ giáo viên, chúng tôi thống kê các tác động tích cực của phần mềm động trong việc học toán của học sinh, các mức độ ưu tiên của các tác động, các thế mạnh và các hạn chế, góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ hai. 20
25. • Với các dữ liệu thu được từ việc tìm hiểu các phần mềm, chúng tôi nghiên cứu tìm cách sử dụng hiệu quả hàm ngẫu nhiên của máy tính để tạo các mô hình động có tính tương tác tích cực trong việc kiến tạo tri thức cho học sinh, góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ ba. • Với quá trình phân tích SGK cùng các dữ liệu thu được, chúng tôi tiến hành thống kê các đơn vị kiến thức đưa vào, mức độ của chúng; phân tích các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật và công nghệ, mức độ và yêu cầu của các kiểu nhiệm vụ. Từ đó chúng tôi rút ra kết luận để xây dựng một số mô hình xác suất thống kê để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và học tập. 7. Các hạn chế Việc tiến hành dạy thực nghiệm hiện tại có thể gặp nhiều khó khăn, các thông tin thu thập từ các phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm có thể độ chính xác chưa cao do tính địa phương của cuộc khảo sát. Khi thiết kế các phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm, chúng tôi giả định rằng đối tượng nghiên cứu hiểu nội dung các câu hỏi và trả lời theo đúng chứng kiến của mình. Tuy nhiên điều đó trong thực tế không hoàn toàn đúng. Việc nghiên cứu trường hợp có thể mức độ chính xác chưa cao trong các kết luận vì nghiên cứu không chỉ qua quan sát, vấn đáp mà có thể cần đến các kết quả về tâm lý học, thần kinh học 8. Tóm tắt Trong chương 3, chúng tôi đã đề ra phương pháp nghiên cứu cho luận văn, thiết kế quy trình nghiên cứu một cách chi tiết, nêu lên phương pháp thu thập dữ liệu và phân tích chúng. Thông qua các quy trình thu thập và phân tích dữ liệu này, chúng tôi sẽ đưa ra các kết quả nghiên cứu cho luận văn. Chúng được đề cập ở chương 4. 21
26. CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1. Giới thiệu Chúng tôi tiến hành nghiên cứu theo đúng phương pháp và quy trình đã được trình bày ở chương 3 để thu được những kết quả. Chương này sẽ nêu các kết quả thu được, mục đích nhằm lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra ở chương 1. 2. Các kết quả 2.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Nêu ra các hiệu quả có thể khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê. Một số kết quả có thể được bổ sung các số liệu thống kê có được thông qua quá trình nghiên cứu. 2.1.1. Học sinh thật sự tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức Lý thuyết kiến tạo được gọi là lý thuyết của nhận thức hơn là lý thuyết của tri thức. Theo Ernst Von Glasersfeld [18], kiến thức luôn là kết quả của hoạt động kiến tạo và từ đó nó không thể thâm nhập vào một người học thụ động. Nó phải được xây dựng một cách tích cực bởi chính mỗi người học. Tuy nhiên, giáo viên có thể định hướng cho người học theo một cách tổng quát và sự hướng dẫn đó sẽ giúp người học không phải kiến tạo tri thức theo những hướng mà giáo viên không mong muốn. Theo Siegfried M. Holzer [34], trong môi trường học tập tích cực, người học được trực tiếp thực nghiệm, kiến tạo, hoạt động hay kiểm tra kiến thức. Câu hỏi đặt ra là chúng ta thiết kế một môi trường học tập sáng tạo như thế nào để đẩy mạnh việc học một cách tích cực? Jacqueline Grennon Brooks [40] (2004) cho rằng, trong một lớp học kiến tạo, học sinh nhận được từ giáo viên những thông tin chưa định hình (amorphous information) và những vấn đề chưa được xác định rõ ràng. Học sinh phải hợp tác làm việc nhằm tìm ra cách làm thế nào để tiến đến lời giải cho vấn đề. Giáo viên trở thành người dàn xếp cho quá trình hình thành ý nghĩa. Các nhà kiến tạo đều thống nhất rằng, tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, chứ không phải được tiếp nhận một cách thụ động từ môi trường bên ngoài. Và rằng, nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của 22
27. chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. Cần bác bỏ việc áp đặt và truyền thụ một chiều thụ động đến người học bởi vì việc học mang tính chủ động. Hơn nữa việc học mang tính cá nhân. Trong một môi trường học tập kiến tạo, học sinh được học nhiều hơn khi các em thật sự bị cuốn hút vào việc học, thay vì chỉ là những người lắng nghe thụ động. Đối với giáo viên, chúng ta giúp học sinh kiến tạo tri thức như thế nào? Bằng cách để cho học sinh vật lộn với những vấn đề mà bản thân các em chọn hoặc những vấn đề mà các em gặp phải trong quá trình khám phá tri thức, giúp đỡ chỉ khi các em mong muốn. Tốt nhất, giáo viên có thể định hướng quá trình kiến tạo của học sinh, nhưng không bắt ép các em. Điều này, dĩ nhiên là tốn kém thời gian, nhưng sau khi các em đã một hoặc hai lần có được niềm vui trong việc tìm lời giải chính bởi suy nghĩ của mình, các em sẽ sẵng sàng làm việc với những vấn đề giáo viên đưa ra. Thực nghiệm sư phạm Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm với chủ đề “Khái niệm không gian mẫu, tiếp cận khái niệm xác suất” cho 3 nhóm học sinh. Hai nhóm đầu tiên đến từ các trường: Hai Bà Trưng, Quốc Học và nhóm thứ ba ở Trung Tâm GDTX Huế. Khi chúng tôi trình bày xong mục đích của trò chơi bốc bi (xem phụ lục), các em đều hăng say, hứng thú tham gia trò chơi với nhiều cảm xúc: lạ lẫm, ngạc nhiên và thú vị. Các em thật sự chủ động trong việc kiến tạo tri thức cho chính mình thông qua việc đối mặt với vấn đề, khảo sát để tìm hiểu và giải quyết vấn đề mà chúng tôi đưa ra. Những thao tác bốc bi, ghi kết quả, xóc đều lon đựng bi làm cho các em thực sự cuốn hút vào quá trình kiến tạo tri thức. Việc thao tác trên các đối tượng thật, tận mắt chứng kiến các kết quả bốc bi sẽ giúp cho các em đưa ra những lý luận đáng tin cậy cho bản thân mình. Một kết quả bốc bi Khi thực hiện xong trường hợp bốc bi đầu tiên với hai bi cam và một bi xanh, các em nhận được một kết quả thắng thua rất chênh lệch. Với gợi ý của giáo viên rằng các em có thể cho thêm một trái bi nữa, một cuộc tranh luận nổ ra giữa các em về việc nên thêm trái bi màu gì. Kết quả lần hai với 2 bi xanh và 2 bi cam thật sự làm 23
28. một số em khá thất vọng. Trường hợp thứ 3 với 1 bi cam và 3 bi xanh được đưa ra và các em có vẻ chắc chắn rằng phần thắng sẽ nghiêng nhiều về phía học sinh. Khi đã thực hiện xong 3 trường hợp bốc bi, học sinh đã có những kết quả cho bản thân và đã có những lý giải ban đầu cho các kết quả. Với một gợi ý nhỏ rằng các em cần giải thích cặn kẽ về các kết quả, các em đã bắt tay vào công việc. Và thật sự, một số em đã gặp khó khăn do lý giải theo cảm tính của mình và chưa dẫn tới kết quả, các em khác lý giải theo cơ hội thắng cuộc của mỗi bên và bước đầu thành công. Học sinh gặp khó khăn trong phân tích Học sinh lý giải các cơ hội thắng cuộc 2.1.2. Học sinh có nhiều cơ hội hơn để trình bày những quan điểm của mình Theo Papert, S. A., và I. Harel, Eds, [34] việc xây dựng cấu trúc tri thức xảy ra đặc biệt phù hợp khi mà người học có chủ ý tham gia vào những hoạt động có ý nghĩa và có thể chia sẻ với bạn học của mình. Lý thuyết kiến tạo ảnh hưởng tới giải quyết vấn đề như thế nào? Bằng cách để cho người học phát hiện rằng giải quyết vấn đề là thú vị. Nó sẽ không thú vị nếu giáo viên không ngừng nhắc nhở các em phải đi theo con đường “đúng” để có lời giải “đúng”. Người học thường hay có những con đường bất ngờ hoặc khác thường để tiếp cận lời giải mà các em thấy hợp lý. Người giáo viên phải tôn trọng những con đường đó và giúp cho các em chọn con đường đúng theo cách của riêng mình. Trong mảng kiến thức xác suất thống kê, học sinh có thể tham gia vào những hoạt động đích thực với các môi trường học tập hiệu quả: học thực nghiệm (experiential learning), học hợp tác (collaborative learning), học theo ngữ cảnh (contex-based learning) và học với sự hỗ trợ của máy tính (computer-based learning). Chúng ta cần phải tìm kiếm và đánh giá những quan điểm của học sinh vì chúng phản ánh 24
29. kiến thức và những lý giải của các em. Wagener, U. E., trong bài báo “Thay đổi văn hóa dạy học: Changing the Culture of Teaching” đã phát biểu rằng, những môi trường dạy học mới dựa trên những hoạt động học tập tích cực đang được phát triển ở nhiều nơi. Chúng phản ánh một thay đổi trong văn hóa giáo dục từ “lấy giáo viên làm trung tâm” (teacher-centered) sang “lấy người học làm trung tâm” (learner-centered). Thực nghiệm sư phạm Với mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm với 3 nhóm. Sau khi quan sát mô hình máy tính với số lần gieo 10.000 lần, các em đã có một cuộc tranh luận, hợp tác khá sôi nổi để lý giải kết quả của đồ thị tương quan giữa tổng số lần gieo và số lần gieo có tổng số chấm bằng 2, 3, 12 mà các em quan sát được. Sau đây là một số cuộc đối thoại giữa các em trong nhóm với nhau. Bưởi: Tổng bằng 10 là 5-5. Diệm: 6-4 nữa. Bưởi: 5-5, 6-4, 9-1. A, làm gì có 9-1! Ngang số 6 là hết đát. Vậy chỉ có hai (trường hợp) thôi. Diệm: Tổng bằng 11 là 5-6. Bưởi 5-6, 5-6 thôi, chỉ có một trường hợp. làm gì có 9-1! Quang: 5 cộng 6 bằng 11 Nam: 5 cộng 7 là 12 nữa Quang: Ừ, 5 cộng 7 là 12 (Quang ghi vào bảng kết quả của nhóm) Quang: làm chi có 7, súc sắc làm gì có 7. (Quang và Nam đã nhất trí xóa đi trường hợp 5 cộng 7 trong bảng kết quả của mình). Xóa trường hợp 5 cộng 7 25
30. Sau khi thảo luận luận hai người, cả bốn học sinh tiến hành thảo luận nhóm. Các ý kiến của 4 học sinh được đưa ra thảo luận. Các ý kiến thảo luận đều nhất trí rằng tổng bằng 7 xảy ra nhiều nhất. Mặc dù vậy, khả năng lập luận của các em còn nhiều hạn chế, do đó mức độ thuyết Quang trình bày quan điểm của mình phục chưa cao. 2.1.3. Học sinh tạo ra và tiếp nhận những tương tác tích cực Jacqueline Grennon Brooks [40], một nhà lý luận giáo dục, theo lý thuyết kiến tạo đã nói rằng học sinh không phải là một phiến đá trống (blank slates) mà chúng ta có thể khắc (etch) kiến thức vào. Các em học qua các tình huống mà kiến thức, ý tưởng, hiểu biết đã được định sẵn. Các hoạt động học tập đòi hỏi học sinh phải thật sự tham gia vào đó. Một phần quan trọng trong tiến trình học là học sinh phải có phản ánh, phải nói về những hoạt động của các em. Điều này giúp cho giáo viên có phương tiện để đánh giá việc học của học sinh. Lớp học kiến tạo dựa chủ yếu vào sự hợp tác giữa các học sinh. Có nhiều lý do tại sao hợp tác lại chi phối việc học. Lý do chính là học sinh không chỉ tự học mà còn học từ bạn của mình. Khi học sinh xem lại và phản ánh những tiến Học hợp tác trình học tập của các em với nhau, các em có thể tìm ra chiến lược và phương pháp từ bạn của mình. Môi trường kiến tạo sẽ thúc đẩy những kỹ năng thông tin và xã hội bằng cách tạo ta một môi trường học tập đề cao tính hợp tác và trao đổi ý tưởng. Học sinh phải học cách làm thế nào để liên kết (articulate) những ý tưởng của mình một cách rõ ràng giống như là hợp tác ở các nhiệm vụ một cách hiệu quả bởi việc chia sẻ trong các thành viên của nhóm. Từ đó học sinh phải trao đổi và vì vậy, phải học cách “đàm phán” với học sinh khác, đồng thời để ước lượng những đóng góp của các em cho nhóm. Đây là một điểm cốt yếu cho thành công trong cuộc sống thực tiễn. Thực nghiệm sư phạm 26
31. Với mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc, đến công đoạn phân tích các khả năng xảy ra của tổng số chấm, chúng tôi đã cho các em phân tích theo ý mình mà không đưa ra mẫu sẵn để điền kết quả. Hai nhóm học sinh ở trường Hai Bà Trưng đã có những cách làm khác nhau trong việc mô tả không gian mẫu. Có nhóm phân tích khá dài dòng đến hơn cả một trang giấy nhưng có nhóm phân tích gọn hơn, thể hiện dạng đồ thị mà các em quan sát được trên máy tính. Sau khi thảo luận hai người, cả nhóm tiến hành thảo luận. Các em được xem và phản ánh những tiến trình làm việc với nhau. Các cách làm việc được đưa ra để so so sánh và cách làm việc hiệu quả hơn được công nhận. Trước đó, với công việc tính tần số cho các khả năng xảy ra của 100 lần gieo súc sắc, việc làm thế nào để khỏi đếm thiếu, thừa cũng được các em thảo luận. Như thế các em đã làm việc trong môi trường học tập đề cao tính hợp tác, trao đổi ý tưởng. Làm thế này gọn hơn Một phân tích tốt 2.1.4. Giáo viên biết được quan điểm của học sinh Lý thuyết kiến tạo cho rằng, người giáo viên nên tìm kiếm và coi trọng những quan điểm của học sinh bởi vì chúng là cánh cửa mở đến những tri thức, những lý giải của học sinh. Biết những quan điểm của học sinh sẽ giúp giáo viên thuận tiện cho việc dạy học. Jacqueline Grennon Brooks [40] cho rằng học là một lộ trình chứ không phải là điểm đến. Mỗi quan điểm của học sinh là một điểm dừng tạm thời trên con đường kiến thức của các em. Những quan điểm của học sinh có thể tiếp cận được thông qua những câu hỏi kết thúc mở (open-ended questions) và khuyến khích với ít phê bình những phản hồi của học sinh. Ngược lại những câu chỉ đòi hỏi câu trả lời có hoặc không sẽ làm giảm khả năng hoạt động và sáng tạo của học sinh. 27
32. Thực nghiệm sư phạm Với hoạt động nhóm, giáo viên có thể biết được những quan điểm của học sinh thông qua quan sát các trao đổi, phân tích của các em với nhau. Trong quá trình thực nghiệm chúng tôi thấy rằng, khi trao đổi, các em đã bộc lộ các quan điểm của mình, lắng nghe quan điểm của bạn, tranh luận để thống nhất. Trong các cuộc tranh luận như vậy, chúng tôi đóng vai trò là người cố vấn cho các em. Khi thực nghiệm với các học sinh lớp 10 trường THPT Cao Thắng về mô hình “khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn”, chúng tôi đã cho các em thảo luận sau khi tính điểm trung bình cho hai bạn An và Bình. Quan điểm của các em đã được thể hiện khi thảo luận và ý kiến thống nhất của nhóm được trình bày trên giấy. Nhóm gồm 2 học sinh Trương Minh Khánh, Ngô Thị Minh Trang có nhận xét rằng “kết quả điểm của An bằng kết quả của Bình, điểm của An học đều các môn, điểm của Bình có 3 môn dưới 5”. Với nhận xét trên, chúng ta thấy mặc dù ý của các em rằng An học đều các môn nhưng việc thể hiện ý đó ra giấy lại chưa ổn. Nhóm gồm hai học sinh Trần Hồng Thắng và Nguyễn Thị Kim Dung có nhận xét đáng lưu ý: ”An học đều các môn, Bình có môn điểm cao, có môn điểm thấp”. Việc biết được quan điểm của các em đã giúp chúng tôi định hướng quá trình tiếp theo cho thực nghiệm. Nhận xét trên đưa ra một nhu cầu: cần đánh giá độ sai lệch Ghi các nhận xét sau khi thảo luận của điểm từng môn so với điểm trung bình. 2.1.4. Giáo viên có những đánh giá đích thực Theo quan điểm kiến tạo, việc đánh giá học sinh sẽ mang tính ngữ cảnh nhiều hơn và dựa vào cách giải quyết vấn đề mà học sinh đối mặt. Những bài tập có ý nghĩa cho việc đánh giá theo ngữ cảnh không dễ để tạo nên, tuy nhiên chúng lại cung cấp nhiều lợi ích: Việc học là liên tục vì giải quyết những vấn đề phức tạp đòi hỏi phải biết ứng dụng và điều ứng tri thức cho các tình huống mới, do đó, giáo viên có thể phân biệt giữa học thuộc lòng với học kiến tạo và nhiều lời giải cho bài toán là có thể. Thực nghiệm sư phạm 28
33. Trong quá trình thực nghiệm đối với hai nhóm học sinh trường THPT Hai Bà Trưng, Nguyễn Huệ, Quốc Học, chúng tôi nhận thấy rằng các em đã quen với làm việc theo nhóm. Sau khi được phân công nhiệm vụ, mỗi em đều tìm được công việc của mình, theo sự phân công của giáo viên hoặc của nhóm. Hơn nữa, trong phần thực nghiệm gieo súc sắc 100 lần, các em đã phân công nhiệm vụ rõ ràng: một người gieo một người ghi kết quả, sau đó lại đổi vai trò cho nhau. Khi quan sát quá trình thực hiện của các em, cả trực tiếp và thông qua video ghi lại, chúng tôi thấy rằng tất cả các em đều làm việc một cách tích cực. Việc đánh giá các em không chỉ dừng lại ở kết quả cuối cùng được trình bày trên giấy mà thật sự phải đánh giá cả quá trình làm việc. Với trình độ không quá chênh lệch, chúng tôi thấy rằng mỗi người trong các em đều có những đóng góp nhất định cho kết quả của cả nhóm. Bên cạnh đó, những em học sinh nổi bật vẫn thể hiện được mình. Từ trái qua: Trâm-Hải-Minh-Bảo Hơn nữa, qua quan sát, chúng tôi nhận thấy rằng việc tạo lập mối quan hệ bạn bè gắn kết đã làm công việc của các em nhanh chóng, hiệu quả hơn. Sự ganh đua đã nhường chỗ cho sự hợp tác để hoàn thành công việc được giao. Với vai trò người dẫn dắt, cố vấn, chúng tôi thấy rằng các em ít cần sự giúp đỡ từ giáo viên. Đối với nhóm học sinh Trung tâm GDTX, việc tham gia các hoạt động nhóm trong lớp học chưa nhiều nên trong quá trình thực nghiệm các em còn lúng túng. Sau khi tiến hành trò chơi bốc bi, giáo viên yêu cầu các em lý giải các kết quả và trao mỗi người một tờ giấy trắng để ghi chép. Cả 4 học sinh đã làm việc cá nhân trong vòng 2 phút, sau đó từng nhóm 2 người thảo luận. Chúng tôi nhận thấy rằng ở nhóm Quang – Nam, Quang luôn sôi nổi trong khi Nam có vẻ dè dặt, chưa quen với làm việc theo nhóm mặc dù Nam vẫn có những phân tích khá tốt. Nam chưa cảm thấy tự tin về bản thân và có những biểu hiện bị động vào Quang. 29
34. Ngược lại với nhóm Bưởi – Diệm, cả hai thảo luận một cách rất sôi nổi, hợp tác. Ý kiến của mỗi người được tôn trọng và cả hai đều cố gắng đưa ra những lập luận chặt chẽ và hợp lý. Tuy nhiên, do còn nhiều hạn chế nên việc đi đến kết quả gặp nhiều khó khăn. Với vai trò cố vấn, chúng tôi đã gợi mở vấn Nam còn chưa quen với hoạt động nhóm đề, giúp các em hoàn thành nhiệm vụ. Trường hợp của Nam cũng tương tự với trường hợp của Khánh trong nhóm thực nghiệm lớp 10. Khánh cũng chưa quen với hoạt động nhóm và còn bị động. Đôi lúc công việc của nhóm Trang – Khánh lại chủ yếu do Trang làm. 2.2. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Nêu ra các tác động tích cực của phần mềm động trong việc hỗ trợ học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 2.2.1. Tăng cường khả năng quan sát của học sinh Quan sát tình huống: Các đối tượng trong một tình huống sẽ được xem xét ở nhiều góc độ khác nhau, ở nhiều vị trí tương đối khác nhau. Những tác động của các giả thiết trong tình huống sẽ được quan sát đầy đủ hơn. Quan sát mối liên hệ: Học sinh sẽ quan sát mối liên hệ, ràng buộc giữa các đối tượng dễ dàng hơn thông qua những ứng xử của đối tượng đó trong một tổng thể, từ đó học sinh có thể đưa ra những dự đoán, giả thuyết để rồi kiểm chứng và kiến tạo tri thức thông qua hoạt động. Quan sát khám phá: Với thế mạnh của phần mềm động, có thể định lượng các yếu tố để có những kết luận. Từ các định lượng đó và với tính chất “động” của giá trị, học sinh có thể phát hiện những bất biến, các quy luật của các đối tượng được quan sát. Thực nghiệm sư phạm Sau khi cho các nhóm thực hiện gieo súc sắc 100 lần, chúng tôi giới thiệu một mô hình gieo súc sắc trên Fathom. Sau một số lần gieo, các em đã tin rằng việc gieo súc sắc trong thực tế có thể được minh họa thông qua mô hình vì nó vẫn thể hiện được 30
35. sự ngẫu nhiên trong kết quả: các em không thể dự đoán đúng trong hầu hết các lần gieo. Việc định lượng các yếu tố được phần mềm hoàn thành một cách nhanh chóng và chính xác, giúp các em có ngay những kết luận cho mình. Nhấn nút Rerandomize để gieo hai súc sắc Đồ thị sẽ giúp các em nhanh có những kết luận 2.2.2. Làm những thực nghiệm nhanh, chính xác, ít tốn kém Thực nghiệm nhanh chóng: Học sinh có thể tiến hành thực nghiệm những ý tưởng của mình thông qua những công cụ dựng sẵn của phần mềm động. Những thực nghiệm này rất nhanh chóng và với số lượng lớn tùy ý. Điều kiện thực nghiệm ổn định: Với những thực nghiệm mang tính vật lý, các điều kiện về các đối tượng phải được bảo đảm trong suốt quá trình thực nghiệm. Đối với thực nghiệm trên phần mềm động, điều đó là hiển nhiên có được. Nhờ đó tính chính xác trong thực nghiệm được đảm bảo từ đầu đến cuối quá trình thực nghiệm. Thực nghiệm có độ chính xác cao: Những thực nghiệm mà học sinh tiến hành có độ chính xác rất cao do dựa trên những công cụ đã được kiểm nghiệm và tính chính xác của các phép tính trên máy tính. Tính chính xác cao còn được thể hiện ở chỗ, một lượng lớn dữ liệu được tạo ra trong quá trình thực nghiệm và được thống kê một cách đầy đủ và chính xác. Thực nghiệm ít tốn kém: Với phần mềm động, những chi phí tốn kém cho thực nghiệm sẽ được giảm thiểu nhưng vẫn bảo đảm tính khách quan, chính xác. Thời gian cũng là một vấn đề trong thực nghiệm: phần mềm động giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian và một hoạt động thực nghiệm có thể gói gọn trong một hoạt động của một tiết học. Thực nghiệm sư phạm 31
36. Những con súc sắc trong quá trình thực nghiệm được chọn lựa sau khi kiểm tra kỹ lưỡng về cấu tạo, chất liệu súc sắc để đảm bảo sự cân đối và kết quả ngẫu nhiên khi gieo. Tuy nhiên, độ chính xác của nó vẫn chưa phải tốt nhất khi mà mỗi mặt từ 1 đến 6 đều có những khác biệt riêng do mỗi chấm tương ứng với một lỗ được khoét sâu 4 con súc sắc trong thực nghiệm vào thân của súc sắc. Hơn nữa, công việc gieo súc sắc muốn đảm bảo có những kết quả chính xác phải thực hiện gieo rất nhiều lần. Điều này đôi lúc đem lại sự nhàm chán và làm mất hiệu quả trong hoạt động kiến tạo tri thức của học sinh. Sử dụng phần mềm chuyên dụng như GSP và Fathom, giáo viên có thể giúp học sinh tiến hành những thực nghiệm với số lượng lớn một cách nhanh chóng trong những điều kiện đảm bảo. Hơn nữa, với khả năng chèn hình ảnh, những con súc sắc ảo vẫn đủ sức hấp dẫn học sinh. Các lá bài tú lơ khơ được dùng trong một số bài toán xác suất vẫn có thể được thể hiện một cách sinh động trên GSP. 2.2.3. Làm việc trên một số lượng lớn các kết quả Khả năng xử lý một số lượng lớn dữ liệu: Với một tập hợp lớn các dữ liệu thu thập được, học sinh có thể nhanh chóng có ngay các kết quả cần thiết của mình dưới sự hỗ trợ của phần mềm động. Cả hai phần mềm GSP và Fathom đề u cho phép thực hiện một số lượng Với thao tác nhấp chuột, một số lượng lớn các phép thử lớn các phép thử với tốc độ xử lý sẽ được tiến hành ngay lập tức nhanh. 32
37. Trích xuất các kết quả dưới những dạng khác nhau: Dựa trên những số liệu thu được, học sinh có thể có được những kết quả được thể hiện ở những dạng khác nhau, chứa đựng nhiều thông tin cần thiết theo thế mạnh của những dạng đó. Với GSP, có thể sử dụng tính năng vẽ hình để có các bảng kết quả. Với Fathom, biểu đồ và xử lý trên biểu đồ là thế Chỉ một thao tác rê và thả chuột, ta có mạnh của phần mềm này. ngay mối tương quan giữa nhiệt độ và thời gian Những thay đổi tương ứng: Với dữ liệu đầu vào thay đổi, những kết quả đã có cũng thay đổi theo một cách tương ứng, giúp cho học sinh có ngay những kết luận cho mình. 2.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba Nêu lên kết quả nghiên cứu về cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên trong máy tính; giới thiệu một số mô hình động đã xây dựng được trong xác suất và thống kê có sử dụng hàm ngẫu nhiên, thông qua phần mềm GSP và Fathom, mục đích tạo ra các tương tác tích cực giúp học sinh kiến tạo tri thức. 2.3.1. Ý tưởng tạo số ngẫu nhiên Theo Measut Gunes [29], hai tính chất thống kê quan trọng của số ngẫu nhiên là đồng khả năng và độc lập. Ông nói rằng, có thể tạo ra các số ngẫu nhiên giả (pseudo random numbers), bởi vì tạo ra các số bằng cách sử dụng một phương pháp đã biết sẽ làm mất đi khả năng cho sự ngẫu nhiên thực sự. Mục tiêu là tạo ra một dãy các số trong [0; 1] sao cho giả lập và mô phỏng được những tính chất cốt lõi của số ngẫu nhiên thật sự. Khi tạo số ngẫu nhiên giả, chúng ta cần phải chú ý đến các đặc tính sau của máy tạo số ngẫu nhiên: • Nhanh, tạo được một loạt các số ngẫu nhiên trong thời gian ngắn; • Tiện lợi cho các máy tính khác nhau; • Có chu trình đủ dài một cách hiệu quả (have sufficiently long cycle); • Tái tạo được (Replicable); 33
38. • Xấp xỉ tốt nhất đến tính chất thống kê lý tưởng của đồng khả năng và độc lập. Một số vấn đề xảy ra khi tạo ra số ngẫu nhiên giả: • Số được tạo ra có thể không có phân bố chuẩn. Điều này không bảo đảm tính đồng khả năng của các số ngẫu nhiên; • Số được tạo ra có thể bị mang giá trị rời rạc thay vì giá trị liên tục. Điều này làm cho nhiều số không xuất hiện bao giờ; • Trung bình của các số được tạo ra có thể quá cao hoặc quá thấp. 2.3.2. Kỹ thuật tạo số ngẫu nhiên Measut Gunes (2005) đưa ra một phương pháp tạo số ngẫu nhiên, đó là phương pháp Đồng dư tuyến tính (Linear Congruential Method). Ý tưởng của phương pháp đồng dư tuyến tính là tạo một dãy các số nguyên X1, X2, giữa 0 và m – 1 bởi mối liên hệ đệ quy sau: Xi+1 = (aXi + c) mod m, i = 1, 2, Trong đó a là hệ số nhân (multiplier), c là số gia (increment) và m là môđun. Từ công thức trên, chúng ta có nhận xét • Việc chọn lựa các giá trị cho a, c, m và X0 ảnh hưởng mạnh đến tính chất thống kê và độ dài của chu kỳ. • Số nguyên ngẫu nhiên được tạo trên [0; m – 1] theo cách trên, và để biến những số nguyên đó thành những số ngẫu nhiên trong [0; 1] thì Ri = , i = 1, 2, Ví dụ: Sử dụng X0 = 27, a = 17, c = 43 và m = 100: X1 = (17*27 + 43)mod 100 = 502 mod 100 = 2, R1 = 0.02; X2 = (17*2 + 43)mod 100 = 77, R2 = 0.77; X1 = (17*77 + 43)mod 100 = 52, R3 = 0.52; X1 = (17*52 + 43)mod 100 = 27, R4 = 0.27; 34
39. Chẳng hạn, với a = 13; c = 0 và m = 64, sử dụng The Geometer’s Sketchpad với tính năng lặp, ta có bảng sau: Xi Xi Xi Xi i (X0 = 1) (X0 = 2) (X0 = 3) (X0 = 4) 1 13 26 39 52 2 41 18 59 36 3 21 42 63 20 4 17 34 51 4 5 29 58 23 6 57 50 43 7 37 10 47 8 33 2 35 9 45 7 10 9 27 11 53 31 12 49 19 13 61 55 14 25 11 15 5 15 16 1 Các trường hợp này có chu kỳ đều rất thấp. Chúng ta cần có máy tạo số ngẫu nhiên tốt hơn với các đặc điểm: • Độ trù mật cực đại + Sao cho giá trị Ri tạo ít khoảng trống rộng trên [0; 1] + Vấn đề: Thay vì liên tục, mỗi Ri là rời rạc. + Giải quyết: Một số nguyên rất lớn cho m. • Chu kỳ cực đại + Để đạt được độ trù mật cực đại và tránh lặp lại. + Đạt được bằng cách chọn thích hợp các số a, c, m và X0. • Hầu hết máy tính sử dụng biểu diễn nhị phân cho các số + Tốc độ và hiệu quả được giúp đỡ bởi một môđun m, là một số mũ của 2. 35
40. Đối với máy tính, theo thời gian, khả năng tính toán của nó ngày càng lớn với phạm vi các số ngày càng mở rộng. Ta có thể sử dụng hệ số nhân a = 25214903917, số gia c = 11 và môđun m = 291474976710655. Tuy nhiên, Measut Gunes nói rằng cần phải tổ hợp các máy đồng dư tuyến tính trên để có được chu kỳ dài hơn, tận dụng sức mạnh của máy tính với cách tiếp cận là kết hợp hai hay nhiều máy tạo đồng dư. 2.3.3. Tạo số ngẫu nhiên trên máy tính Ion Saliu [21] nói rằng tính năng tạo số ngẫu nhiên đã có sẵn ở những máy tính cá nhân đời đầu. Nó được tích hợp với ngôn ngữ lập trình BASIC theo máy tính. Ngôn ngữ này không nằm trên đĩa (software-based) mà được tích hợp trên chip nhớ ROM (hardware-based). Hàm ngẫu nhiên khi đó thông tin trực tiếp với chip thạch anh, nó đọc trực tiếp tần số của chip và sử dụng nó như là số khởi tạo cho số ngẫu nhiên. Lợi ích của kỹ thuật này là có được một số lượng lớn các giá trị khởi tạo khác nhau. Microsoft vào những năm 80 đã tạo nên ngôn ngữ Microsoft BASIC trong các máy IBM PC. Chương trình không còn ở ROM nữa mà ở ổ đĩa (disk), đây là một nền tảng lập trình chắc chắn cho đến ngày nay. Tại thời điểm đó, số ngẫu nhiên được tạo ra đôi khi được gọi là số ngẫu nhiên giả (pseudo-random numbers) bởi vì phần mềm tạo các số ngẫu nhiên dựa trên một số khởi tạo (seed) nhờ bộ đếm thời gian. David W. Deley [16], trong nghiên cứu về việc tạo số ngẫu nhiên trên máy tính của mình, ông đã phân tích nhiều giải thuật tạo số ngẫu nhiên trên máy tính thông qua các ngôn ngữ lập trình như Fortran, C, ANSI C, Microsoft C và Turbo Pascal. Nền tảng lý luận cho nghiên cứu của ông là lý thuyết xác suất và phương pháp kiểm tra các giải thuật là kiểm tra dựa trên phân bố chi bình phương (Chi-square) và phân bố Kolmogorov-Smirnov. David nhận thấy rằng, các cách tạo số ngẫu nhiên ở trên đều sử dụng phương pháp đồng dư tuyến tính đã trình bày ở trên và với mỗi ngôn ngữ có một thế mạnh riêng trong việc tạo các số ngẫu nhiên. David cũng nhận xét rằng, việc xác định chính xác ngôn ngữ nào để tạo số ngẫu nhiên phụ thuộc vào ứng dụng mà chúng ta thiết kế. Có một sự cân bằng giữa độ phân giải (resolution) và số lượng (quantity) các số ngẫu nhiên được tạo ra. Với độ phân giải cao, không quá nhiều các số ngẫu nhiên được tạo ra trước khi tìm ra một vài số không ngẫu nhiên. Với độ phân giải thấp, sẽ có đủ nhiều các số ngẫu nhiên 36
41. được tạo ra trước khi tìm ra một vài số không ngẫu nhiên. Theo ông, các ngôn ngữ lập trình như Fortran, C, Microsoft C là đủ để tạo các số ngẫu nhiên. 2.3.4. Số ngẫu nhiên giả và số ngẫu nhiên thật Theo Mads Haahr [41], một nhà nghiên cứu về ngẫu nhiên và các trò chơi cờ bạc (gambling), có hai cách tiếp cận chính trong việc sử dụng máy tính để tạo các số ngẫu nhiên, đó là máy tạo số ngẫu nhiên giả (Pseudo-Random Number Generators) và máy tạo số ngẫu nhiên thật (True Random Number Generators). Các tiếp cận này có những đặc điểm hoàn toàn khác nhau. Có nhiều ý kiến tán thành cũng như phản đối cho mỗi tiếp cận. Một trang web tạo số ngẫu nhiên trực tuyến Máy tạo số ngẫu nhiên giả (PRNGs) Số ngẫu nhiên giả không phải ngẫu nhiên, chí ít là nếu chúng ta đã biết phép rơi ngẫu nhiên súc sắc hay là cách xổ số của các công ty xổ số. Về cơ bản, máy tạo số ngẫu nhiên giả sử dụng một công thức toán học đệ quy để tạo một dãy các số xuất hiện ngẫu nhiên. Một thuật toán tốt là phương pháp đồng dư tuyến tính (đã nêu ở trên). Những thuật toán hiện đại để tạo số ngẫu nhiên giả trở nên quá tốt đến nỗi mà những số được tạo ra trông như là thật sự ngẫu nhiên. PRNGs là hiệu quả, theo nghĩa chúng có thể tạo ra nhiều số trong một thời gian ngắn, và xác định được, theo nghĩa một dãy các số cho sẵn có thể tái tạo (tại một thời điểm khác) nếu biết được điểm đầu trong dãy đó. Hiệu quả là tính chất tốt nếu ứng dụng cần nhiều số, và tính xác định được thuận tiện để lặp lại cùng một dãy số ở những thời điểm khác. PRNGs cũng có tính tuần hoàn (periodic). Cho dù tính tuần hoàn hầu như không phải là một đặc tính đáng mong muốn nhưng những máy tạo số ngẫu nhiên giả hiện đại có những chu kỳ dài đến độ có thể bỏ qua cho những 37
42. mục đích mang tính thực hành. Theo Mads Haahr, PRNGs là đủ cho những ứng dụng cần nhiều số và những ứng dụng tạo mô hình. PRNGs không phù hợp cho những ứng dụng đòi hỏi số phải không được xác định trước như là bảo mật dữ liệu hay các trò cờ bạc. Máy tạo số ngẫu nhiên thật (TRNGs) Nếu so sánh với PRNGs, TRNGs trích xuất sự ngẫu nhiên từ các hiện tượng vật lý và đưa vào máy tính. Chúng ta có thể hình dung giống như một con súc sắc kết nối với máy tính vậy. Tuy nhiên, sử dụng hiện tượng vật lý dễ kết nối với máy tính hơn nhiều so với súc sắc. Hiện tượng vật lý có thể là sự nhấp môi của ai đó hay khoảng thời gian giữa hai lần nhấn phím, hoặc có thể là tiếng động Có một số cách để tạo ra sự ngẫu nhiên thực sự trên máy tính. Một hiện tượng vật lý thật sự tốt cho sự ngẫu nhiên là nguồn phóng xạ. Điểm quan trọng ở đây là sự phân rã của một chất phóng xạ là không đoán trước được và chúng có thể dễ dàng đưa vào máy tính. Một hiện tượng vật lý khác cũng thích hợp là tiếng ồn của khí quyển (atmospheric noise), dễ dàng tìm thấy trong một cái radio bình thường. Một thiết bị tạo số ngẫu nhiên thật Máy tạo số ngẫu nhiên thật Đặc tính của TRNGs hoàn toàn khác với PRNGs. Trước hết, TRNGs không hiệu quả bằng PRNGs khi xem xét đến thời gian tạo các số. Chúng có đặc tính không xác định trước được, theo nghĩa các dãy số không bị lặp lại và TRNGs không có chu kỳ. Máy tạo số ngẫu nhiên thật đặc biệt cần cho việc bảo mật dữ liệu, các trò cờ bạc và xổ số. 2.3.5. Tạo số ngẫu nhiên trên GSP và Fathom The Geometer’s Sketchpad và Fathom đều là những phần mềm có nền đôi (dual – platforms). Chúng được viết chính cho nền Macintosh và có một phiên bản dành cho nền Windows. Theo Nick Jackiw, người viết phần mềm GSP và tham gia viết 38
43. phần mềm Fathom, cả hai phần mềm trên đều sử dụng ngôn ngữ ISO C để lập trình trên Macintosh và C++ trên Windows. Như thế, hàm ngẫu nhiên được dùng cho hai phần mềm đều sử dụng kỹ thuật đồng dư tuyến tính và tạo ra các số ngẫu nhiên giả (pseudo-random numbers), hoàn toàn phù hợp với phần mềm tạo mô hình như GSP và Fathom. Một cách tạo số nguyên ngẫu nhiên trên GSP Trên phần mềm GSP, việc tạo số ngẫu nhiên phải thông qua hoạt động (Animation). Một đối tượng này có thể di chuyển ngẫu nhiên trên một đối tượng khác. Chẳng hạn, một điểm tùy ý trên đoạn thẳng có thể di chuyển ngẫu nhiên trên đoạn thẳng đó. Bằng cách đo khoảng cách của điểm đó đến một điểm cố định cho trước, giá trị khoảng cách sẽ là giá trị ngẫu nhiên. 1. Dựng một đoạn thẳng AB tùy ý, lấy một điểm M tùy ý trên AB. 2. Chọn điểm M, áp dụng Edit | Action Buttons | Animation, trong hộp thoại hiện ra chọn thẻ Animate, phần Direction chọn random, chọn thẻ Label và nhập tên Random. 3. Đo độ dài đoạn thẳng AM, nhấn nút Random để độ dài thay đổi ngẫu nhiên Tạo số ngẫu nhiên trên GSP từ 0 đến độ dài đoạn AB. Nếu thay đoạn thẳng AB bởi một đường tròn và điểm M trở thành một điểm tự do trên đường tròn đó thì M có thể ở những vị trí ngẫu nhiên. Với một điểm N cố định trên đường tròn, việc vị trí M là ngẫu nhiên sẽ làm cho độ dài đoạn thẳng MN là một giá trị ngẫu nhiên. Lấy phần nguyên của giá trị đó sau khi chia nó cho chu vi của đường tròn rồi nhân thêm một hệ số nguyên, ta có thể tạo ra một dãy các số nguyên ngẫu nhiên trong một đoạn nào đó. Một cách tạo số nguyên ngẫu nhiên trên Fathom Fathom là phần mềm chuyên về thống kê và xác suất nên có sẵn các hàm ngẫu nhiên để sử dụng. Với tính năng tạo thanh trượt (Sliders), Fathom cho phép người dùng tạo thanh trượt ngẫu nhiên. 39
44. 1. Ở trang hình Fathom, nhấp chuột vào biểu tượng thanh trượt (Sliders) rồi kéo vào trang hình để tạo một thanh trượt. 2. Áp dụng Edit | Edit Fomula để tạo công thức cho thanh trượt random. 3. Trong ô công thức, chọn randomPick, nhập 1, 2, 3, 4, 5, 6 rồi nhấn nút OK để kết thúc. 4. Nhấn nút hình tam giác ở thanh trượt để có các số ngẫu nhiên từ 1 đến 6. Tạo số ngẫu nhiên trên Fathom Thực nghiệm sư phạm Trong quá trình thực nghiệm với 3 nhóm học sinh lớp 11, chúng tôi đã lập biểu mẫu thống kê 100 lần gieo súc sắc để cho các em ghi kết quả. Thống kê các kết quả được cho ở bảng sau: Kết quả tổng số chấm của hai súc sắc Tên nhóm Tổng 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Trinh + Nga 1 4 11 13 12 19 12 9 10 5 4 100 Minh + Bảo 3 4 13 13 9 13 18 11 8 5 3 100 Hải + Trâm 4 4 6 5 17 12 13 18 8 6 7 100 Linh + Ngân 4 6 11 10 15 15 17 9 8 5 0 100 Quang + Nam 3 3 9 12 13 7 11 17 7 13 5 100 Bưởi + Diệm 2 1 7 17 18 15 13 10 9 4 4 100 Tổng 17 22 57 70 84 81 84 74 50 38 23 600 Ta có biểu đồ thống kê giữa các kết quả tổng số chấm và tần số của chúng sau 600 lần gieo súc sắc ở bên. Việc thể hiện đúng hình tháp của biểu đồ chưa hoàn toàn được như mong đợi. Điều này cũng dễ hiểu do số lần gieo súc sắc chưa đủ lớn. Biểu đồ thống kê 600 lần gieo súc sắc 40
45. 2.4. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư Nêu ra và phân tích các mô hình xác suất thống kê, mỗi mô hình đặt trong một mục. Trong từng mô hình, nêu cách tạo (sơ lược), ứng dụng của mô hình và các số liệu thống kê (nếu có) thông qua việc sử dụng mô hình của học sinh và giáo viên. Giáo dục toán dựa trên nền tảng máy tính điện tử (Computer-Based Mathematics Education – CBME) là một phương pháp giáo dục toán với sự hỗ trợ của máy tính, cụ thể hơn là thông qua các phần mềm giáo dục. Phạm vi của CBME là phần giao của 3 miền: toán học, giáo dục và máy tính. Tuy là phần giao nhưng CBME lại có những đặc trưng riêng, giống như nước hoàn toàn khác với cả Máy tính và giáo dục toán Oxi và Hidro. Theo Uri Wilensky [36], việc hiểu các khái niệm cốt lõi của xác suất và thống kê của học sinh có thể hiệu quả bằng cách tạo các mô hình (hoặc giúp học sinh tạo các mô hình) để khảo sát, kiến tạo tri thức. Ông nói rằng, thông qua việc xây dựng các mô hình, học sinh sẽ tiếp cận được các khái niệm cốt lõi của xác suất và thống kê. Hơn nữa, qua việc nghiên cứu quá trình xây dựng mô hình của học sinh và những thao tác mà học sinh thực hiện trên mô hình, giáo viên có thể hiểu tốt hơn những tiến triển trong việc kiến tạo tri thức của học sinh. Qua phân tích sách giáo khoa phần thống kê ở lớp 10, phần xác suất ở lớp 11, chúng tôi đưa ra một số mô hình nhằm hỗ trợ cho học sinh kiến tạo tri thức thông qua khảo sát trên các mô hình đó. Đối với phần thống kê lớp 10, chúng tôi giúp học sinh tiếp cận với các khái niệm: số liệu thống kê, tần số, tần suất; các giá trị đặc trưng của mẫu số liệu, phương sai và độ lệch chuẩn. Đối với phần xác suất lớp 11, chúng tôi xây dựng các mô hình giúp học sinh tiếp cận với các khái niệm: ngẫu nhiên, biến cố, xác suất của biến cố. Một số mô hình ở phần xác suất được thiết kế dưới dạng các trò chơi nhỏ, có thể sử dụng như là một hoạt động trong tiết học. 2.4.1. Mô hình số liệu thống kê, tần số, tần suất * Mô hình số liệu thống kê, tần số 41
46. Tình huống: Có 20 bạn tham dự một kỳ thi học sinh giỏi. Kết quả điểm (theo thang điểm 10 của các bạn được cho bởi một bảng điểm. Hãy thống kê số các bạn có cùng một điểm số. Cách tạo mô hình: + Lập một danh sách kết quả điểm trên GSP với các giá trị điểm là các tham số với giá trị thay đổi được. + Dùng công cụ sắp thứ tự các số, sắp thứ tự các kết quả điểm trên rồi lấy giá trị nhỏ nhất (min) và lớn nhất (max). Công cụ sắp thứ tự các số được chúng tôi xây dựng dựa trên giải thuật nổi bọt cổ điển. + Lập hàm để xác định tần số cho từng giá trị điểm khác nhau. Chẳng hạn tạo họ hàm số fi(x) = . Với i = 2, f2(x) chỉ bằng 1 khi x = 2, các giá trị x khác đều cho giá trị 0. Như thế với x là các điểm số ta có thể thống kê được số các thí sinh có điểm 2 bằng cách lấy , với x chạy khắp các giá trị điểm của thí sinh. + Tạo một đồ thị thể hiện mối tương quan giữa điểm các thí sinh và tần số của nó. Ý tưởng mà chúng tôi thực hiện trong mô hình này như sau: Lập một dãy các đoạn thẳng nằm ngang cách nhau một đơn vị. Với một giá trị tần số, chẳng hạn giá trị 7 thể hiện cho số điểm 5 của các thí sinh, ta vẽ điểm có tọa độ (5; 7). Tiếp theo ta dựng đoạn thẳng nối điểm (5; 0) đến điểm (5; 7) rồi dựng giao điểm của đường thẳng này với các đường thẳng nằm ngang ở trên. Tại mỗi giao điểm ta dựng một đường tròn có bán kính nhỏ (chẳng hạn 0.2cm) rồi tô màu cho đường tròn. Để dựng nhanh các đường tròn, chúng ta có thể tạo thành một công cụ. Sử dụng mô hình: 1. Giới thiệu tình huống. 2. Yêu cầu học sinh phân nhóm và đếm các giá trị để điền vào bảng. 3. Kiểm tra kết quả của nhóm và hiển thị kết quả. 4. Đánh giá kết quả thu được thông qua bảng và thông qua đồ thị. Đồ thị tương quan giữa Điểm và Tần Số File tham khảo: tktsts.gsp 42
47. * Mô hình về số liệu thống kê, tần số, tần suất Tình huống: Một bảng số liệu các điểm kiểm tra môn toán của một nhóm học sinh. Học sinh biết cách thu thập các thông tin qua bảng số liệu. Cách tạo mô hình: + Sử dụng bảng điểm đã nhập sẵn trong file bangdiem.ftm. Những giá trị trong bảng điểm này cũng như số lượng các thí sinh hoàn toàn có thể thay đổi được + Sử dụng bảng biểu (Table), đồ thị (Graph) để phân tích mẫu số liệu. 1. Mở file bangdiem.ftm có trên CD kèm theo luận văn này. 2. Nhấp vào biểu tượng Danh sách HS để chọn danh sách Biểu tượng tạo bảng biểu và này, kéo các góc của biểu tượng để mở rộng danh sách. tạo đồ thị trong Fathom 3. Vẫn chọn danh sách, nhấp đè vào biểu tượng tạo bảng biểu rồi kéo vào phần trống của trang hình. Lập tức một bảng biểu xuất hiện thể hiện các kết quả điểm của học sinh. 4. Nhấp và kéo biểu tượng đồ thị vào phần trống của trang hình. 5. Đặt con trỏ ở tiêu đề của cột để con trỏ trở thành bàn tay. Kéo các cột của bảng điểm vào hàng hoặc cột của đồ thị rồi thả chuột. Kéo thông tin ở cột Vong_1 vào đồ thị 6. Dựa vào đồ thị để phân tích. Sử dụng mô hình: 1. Giới thiệu tình huống, cung cấp cho học sinh số liệu, nêu lên các yêu cầu cần đạt và chia nhóm học sinh để làm việc. 2. Phân tích các kết luận có được của học sinh thông qua xử lý số liệu. 3. Sử dụng phần mềm Fathom để kiểm tra các kết luận có được. File tham khảo: bangdiem.ftm. 2.4.2. Mô hình các giá trị đặc trưng của mẫu số liệu Mô hình này giúp học sinh tiếp cận với các giá trị đặc trưng cho mẫu số liệu, các giá trị này xuất hiện một cách tự nhiên khi học sinh làm việc với số liệu. 43
48. Tình huống: Với mô hình ở trên, tính điểm trung bình của cả nhóm và số trung vị. Cách tạo mô hình: Tạo công thức tính điểm trung bình dạng thô (cộng tất cả các giá trị rồi chia trung bình) và dạng dựa vào bảng phân bố tần số. Đối với số trung vị, sắp xếp dãy số (điểm) theo thứ tự tăng dần sử dụng công cụ sắp xếp các số rồi xác định giá trị trung vị. Sử dụng mô hình: 1. Nêu tình huống, phân nhóm học sinh để tính giá trị trung bình. 2. Thảo luận để đưa ra công thức tính giá trị trung bình thông qua bảng phân bố tần số. Minh họa số trung vị 3. Học sinh thảo luận để sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. 4. Nêu khái niệm trung vị và giúp học sinh tìm giá trị trung vị, tìm được công thức tính số trung vị với các mẫu số liệu khác nhau. File tham khảo: tktsts.gsp 2.4.3. Mô hình khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn Mô hình này giúp học sinh tiếp cận với hai khái niệm: phương sai và độ lệch chuẩn. Chúng xuất phát từ nhu cầu phân biệt độ lệch khi mà số trung bình chưa nói lên được nhiều thông tin. Tình huống: Điểm trung bình của từng môn học của hai học sinh An và Bình cuối năm được cho bởi một bảng. Nhiệm vụ của học sinh là tính điểm trung bình (không kể hệ số) của tất cả các môn học của An và Bình, kiểm tra xem bạn nào học khá hơn và nhận xét về sự chênh lệch, biến động giữa các điểm số của hai bạn. Cách tạo mô hình: 1. Sử dụng The Geometer’s Sketchpad với các công cụ dựng đoạn thẳng, tạo sẵn một bảng điểm trung bình các môn của hai bạn An và Bình. 2. Sử dụng tính năng vẽ đồ thị, vẽ đồ thị tương ứng giữa môn và điểm môn đó. 3. Tính điểm trung bình của hai bạn và tính các độ lệch của từng môn so với điểm trung bình. 44
49. 4. Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Sử dụng mô hình: 1. Giới thiệu bài toán. 2. Học sinh tiến hành tính điểm trung bình rồi rút ra nhận xét. 3. Giới thiệu đồ thị biểu điểm của hai học sinh, học sinh nhận xét. 4. Giới thiệu vấn đề: Mặc dù hai bạn điểm trung bình giống nhau nhưng bạn này học lệch, bạn kia học đều. Cần phải đo Đồ thị tương quan giữa các môn và điểm trung bình các môn độ lệch để có thêm thông tin. 5. Cùng học sinh tính độ lệch, giới thiệu khái niệm độ lệch chuẩn và phương sai, cách tính chúng dựa vào máy tính bỏ túi. 6. Thay đổi bảng điểm của An và Bình bởi điểm của hai bạn khác. Tính điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn. File tham khảo: Phuongsai-Dolechchuan.gsp. 2.4.4. Mô hình khái niệm ngẫu nhiên Mô hình này giới thiệu phép thử gieo súc sắc với một số lượng lớn các lần gieo. Học sinh sẽ được thực nghiệm trên máy tính với sự hỗ trợ của phần mềm The Geometer’s Sketchpad. Tình huống: Học sinh gặp các hiện tượng ngẫu nhiên và nắm bắt khái niệm ngẫu nhiên thông qua khảo sát trên mô hình. Cách tạo mô hình: 1. Sử dụng công cụ tạo số nguyên ngẫu nhiên có trong file ngaunhien.gsp để tạo một biến nguyên ngẫu nhiên lấy giá trị trong đoạn [1; 6]. 2. Tạo một hình lập phương 3 chiều với mỗi mặt ứng với số Mô hình súc sắc chấm của con súc sắc. 3. Ứng với mỗi lần gieo ngẫu nhiên một số, hình lập phương sẽ quay đến mặt có số chấm đúng với số ngẫu nhiên vừa gieo. 45
50. Vì ý tưởng tạo súc sắc khá phức tạp nên chúng tôi đã tạo nó trở thành một công cụ, khi cần chúng ta có thể có ngay một con súc sắc 6 mặt với một nút gieo súc sắc, một nút ẩn hiện, một điểm thay đổi kích thước súc sắc và một giá trị bằng số thể hiện số chấm xuất hiện trên mặt súc sắc. Trong quá trình xây dựng công cụ súc sắc, chúng tôi cần các điều kiện để xác định mặt nào của súc sắc sẽ xuất hiện. Do đó, để súc sắc thể hiện đúng, chúng ta cần thiết lập môi trường cho giá trị góc là định hướng ở trang hình hiện thời: Áp dụng Edit | Preferences, trong hộp thoại Preferences hiện ra, chọn đơn vị (Unit) cho góc (Angle) là giá trị độ có định Tùy chọn directed degrees hướng (directed degrees). Sử dụng mô hình: 1. Giới thiệu các tình huống ngẫu nhiên trong thực tế, dẫn dắt đến khảo sát tình huống gieo súc sắc. 2. Nêu vấn đề: Liệu có đoán được kết quả của phép gieo súc sắc hay không, học sinh trực tiếp khảo sát bằng cách gieo súc sắc và khảo sát trên mô hình. 3. Học sinh khảo sát mô hình để có được những đặc tính của sự ngẫu nhiên, đặc biệt cho trường hợp gieo súc sắc (tính đồng khả năng). File tham khảo: ngaunhien.gsp 2.4.5. Mô hình tính xác suất của biến cố thông qua thống kê Mô hình này giúp học sinh tiếp cận khái niệm xác suất của biến cố thông qua việc gieo súc sắc 6 mặt. Là sự mở rộng của mô hình trên, chúng ta sẽ xây dựng thêm đồ thị để thống kê số tổng số lần gieo súc sắc, tổng số lần xuất hiện mỗi mặt của súc sắc. Tình huống: Gieo một con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố Ai: “Súc sắc xuất hiện mặt i chấm”. Cách tạo mô hình: 1. Tạo mô hình gieo súc sắc ngẫu nhiên như mô hình ở trên. Có thể dùng công cụ tạo súc sắc để có nhanh mô hình con súc sắc. 46
51. 2. Tạo một nút hoạt động để đếm số lần gieo súc sắc, nút này di chuyển (move) một điểm đầu theo hướng ngang 1đơn vị (1cm chẳng hạn). Với mỗi lần nhấn, khoảng cách từ điểm ngọn đến điểm đầu tăng thêm 1cm (tức tăng 1 lần gieo). 3. Tạo 6 hàm số, f1 đến f6, trong đó fi = 1 nếu mặt thứ i xuất hiện, ngược lại thì bằng 0. Chẳng hạn, xét họ hàm gi = sgn(x – i). Lúc đó, fi = , với socham là số chấm của mặt súc sắc hiện ra. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt số 4 (socham = 4) thì chỉ có g4 = 0 và do đó, f4 = 1. 4. Tạo 6 nút di chuyển (move) tương ứng với 6 hàm số ở trên, mục đích tính số lần xuất hiện cho mỗi mặt. Nút này sẽ di chuyển điểm đầu đi một đơn vị nếu hàm số tương ứng với nó nhận giá trị 1, ngược lại thì nó di chuyển 0 đơn vị. 5. Tạo một nút trình diễn, kết hợp các nút: gieo súc sắc, nút tính số lần gieo, 6 nút tính tổng số lần xuất hiện của 6 mặt. 6. Tạo một nút để thiết lập lại trạng thái ban đầu khi súc sắc chưa gieo lần nào. 7. Sử dụng giá trị đầu vào là 6 giá trị kết quả của 6 nút di chuyển ở trên để tạo đồ thị thống kê tổng số lần gieo và tổng số lần xuất hiện các mặt của súc sắc. Sử dụng mô hình: 1. Giới thiệu bài toán: Gieo một con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố Ai: “Súc sắc xuất hiện mặt i chấm”. 2. Học sinh tiến hành thiết lập không gian mẫu, tính các kết quả thuận lợi cho từng biến cố để từ đó tính được xác suất cho các biến cố Ai. 3. Nêu vấn đề: Các kết quả trên lý thuyết có đúng với thực tế hay không? Có thể thực nghiệm để khẳng định kết quả không? 4. Giới thiệu mô hình gieo súc sắc 6 mặt, học sinh cùng giáo viên tiến hành gieo súc sắc và thống kê các kết quả. 5. Thực nghiệm với số lượng lớn các phép thử để kiểm chứng. 6. Tiến hành thực nghiệm nhiều lần để khẳng định Biểu đồ quạt trong phép gieo kết quả. súc sắc 6 mặt 47
52. File tham khảo: ngaunhien.gsp. 2.4.6. Mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc Với mô hình này, học sinh được tham gia vào trò chơi đoán tổng số chấm khi gieo hai con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Học sinh sẽ học được cách lập luận để có khả năng chiến thắng cao trong trò chơi, lập không gian mẫu cho phép thử và tính xác suất thắng cuộc. Tình huống: Gieo hai con súc sắc ngẫu nhiên, giá trị nào của tổng số chấm có xác suất xảy ra cao nhất? Cách tạo mô hình: 1. Mở phần mềm Fathom, tạo một tập hợp (Collection) mới bằng cách nhấp chuột vào biểu tượng Collection rồi kéo vào trang hình, đặt tên cho nó là Gieo2sucsac. 2. Áp dụng Collection | New Cases để tạo hai đối tượng mới, mỗi đối tượng là kết quả gieo của một súc sắc. 3. Áp dụng Object | Inspect Collection để tạo thuộc tính cho hai súc sắc. Trong hộp thoại hiện ra, phần Attribute nhập suc_sac, nhấp đôi vào phần Fomula, nhập hàm randomInter(1, 6), nhấn OK để tạo hàm. Hàm này sẽ tạo các số nguyên ngẫu nhiên từ 1 đến 6. Tạo giá trị ngẫu nhiên cho súc sắc ảo Tạo công thức tính tổng số chấm 4. Làm tương tự, vào phần Measure nhập Tong, nhấp đôi vào phần Fomula và nhập hàm sum (suc_sac). Hàm này sẽ tính tổng giá trị số chấm xuất hiện trên mặt của hai súc sắc. 5. Để tạo biểu tượng cho hai súc sắc, nhấp chọn Display ở hộp thoại trên, ở phần Image, nhấp đôi vào phần Fomula rồi nhập hàm switch (hàm rẽ nhánh) như hình dưới. 48
53. Hàm switch tạo biểu tượng cho súc sắc Nhập công thức cho width, height, caption Với mỗi lần nhấn nút Rerandomize, số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc sẽ thay đổi một cách ngẫu nhiên. Với hàm Tong tạo ở trên, chúng ta sẽ đưa các giá trị Tong sau mỗi lần gieo vào một tập hợp (Collection) mới. Trong file tham khảo cho mô hình này, chúng tôi đã xây dựng sẵn các bước được trình bày ở trên. Tuy nhiên việc trình bày cũng cần thiết vì nó giúp ta hiểu rõ cách tạo mô hình. Hơn nữa các thao tác trên cũng có thể sử dụng khi xây dựng các mô hình khác trên Fathom. Sử dụng mô hình: 1. Giáo viên giới thiệu tình huống, mô hình. Giáo viên tiến hành gieo hai súc sắc (bằng cách nhấn nút Rerandomize). Học sinh đưa ra dự đoán của mình về tổng số chấm. 2. Tiến hành gieo 2 súc sắc nhiều lần, học sinh thống kê xem giá trị nào của tổng số chấm có xác suất xảy ra nhiều nhất. 3. Giáo viên nêu tình huống: cần phải gieo nhiều lần để biết được giá trị nào có xác suất xảy ra cao nhất. 4. Trong khi tập hợp hai con súc sắc được chọn, áp dụng Collection | Colect Measures, một hoạt hình diễn ra cho phép ta thấy quá trình chọn của Fathom. Mặc định, Fathom sẽ chọn 5 lần, tức là 5 lần gieo hai súc sắc và có 5 giá trị tổng số chấm xuất hiện. 5. Chọn biểu tượng Measure from Gieo2sucsac, nhấp vào biểu tượng Table (bảng biểu) rồi kéo vào trang hình, một bảng biểu thống kê Tong cho 5 lần gieo hai súc sắc sẽ xuất hiện. 49
54. Thay đổi thông số cho tập các giá trị Tong Bảng biểu và đồ thị của Tong 6. Chọn biểu tượng Graph rồi kéo xuống trang hình để tạo một đồ thị rỗng. Kéo (Drag) cột Tong (có 5 giá trị xếp hàng dọc) vào trục hoành của đồ thị rồi thả (Drop), chúng ta có một đồ thị tương quan giữa các giá trị của Tong và tần số của nó. 7. Chọn biểu tượng Measure from Gieo2sucsac, áp dụng Collection | Collect More Measures để tăng thêm 5 lần gieo hai súc sắc. Làm tương tự để tăng số lần gieo (có thể nhấn tổ hợp phím Ctrl + Y liên tục để tăng số lần gieo nhanh hơn). 8. Áp dụng Object | Inspect Collection, trong phần measures nhập 1000, đánh dấu kiểm vào ô vuông Replace existing cases (thay thế các trường hợp hiện có) rồi nhấn nút Collect More Measures để tiến hành gieo 1000 lần. Quan sát đồ thị thu được, ta nhận thấy rằng nó có dạng tháp, giá trị 7 ở giữa có nhiều khả năng xảy ra nhất và giảm đều về hai phía. 9. Học sinh liệt kê các kết quả gieo hai súc sắc có tổng số chấm bằng 7 và bằng những kết quả khác ra giấy. 10. Học sinh kết luận giá trị tổng Đồ thị tần số của giá trị Tong sau 1000 lần gieo súc sắc số chấm bằng 7 có xác suất cao nhất. File tham khảo: Gieo2sucsac.ftm. 50
55. Thực nghiệm sư phạm Với kế hoạch bài học dùng để thực nghiệm sư phạm “Khái niệm không gian mẫu, tiếp cận khái niệm xác suất”, chúng tôi đã thực nghiệm trên 2 nhóm học sinh. Quá trình thực hiện như đã nêu trong kế hoạch bài học và các kết quả bốc bi của nhóm thứ nhất được cho bởi bảng sau: Số lượng bi Số lần Điểm của Thắng Tên nhóm cam xanh bốc Học sinh Giáo viên cuộc 7 2 5 GV Minh+Bảo 8 3 5 GV 2 1 6 1 5 GV 8 3 5 GV Hải+Trâm 6 1 5 GV 6 1 5 GV 7 2 5 GV Minh+Bảo 6 1 5 GV 2 2 7 2 5 GV 7 2 5 GV Hải+Trâm 7 2 5 GV 6 1 5 GV 5 5 0 HS Minh+Bảo 8 5 3 HS 3 1 8 3 5 GV 9 4 5 GV Hải+Trâm 7 2 5 GV 7 2 5 GV Đối với nhóm thực nghiệm thứ hai, các kết quả như sau: Số lượng bi Tên nhóm Số lần Điểm của Thắng cam xanh bốc Học sinh Máy tính cuộc 6 1 5 MT 2 1 8 5 3 HS Quang+Nam 7 2 5 MT 7 2 5 MT 7 2 5 MT Bưởi+Diệm 6 1 5 MT 9 4 5 MT 7 2 5 MT 8 3 5 MT 51
56. 7 2 5 MT 7 5 2 HS 6 1 5 MT Quang+Nam 5 0 5 MT 6 1 5 MT 2 2 7 5 2 HS 8 5 3 HS 8 3 5 MT Bưởi+Diệm 9 4 5 MT 6 1 5 MT 7 2 5 MT 7 2 5 MT 9 5 4 HS Quang+Nam 8 5 3 HS 9 4 5 MT 3 1 9 4 5 MT 8 5 3 HS 6 1 5 MT Bưởi+Diệm 7 5 2 HS 9 5 4 HS 9 5 4 HS Qua hai lần thực nghiệm, chúng ta có bảng tổng hợp: Số lượng bi Số lần chơi Số lần thắng cuộc Tỉ lệ thắng cam xanh Học sinh GV&MT của HS 2 1 16 1 15 6,0% 2 2 16 3 13 19,0% 3 1 16 8 8 50,0% 3. Tóm tắt Với các phương pháp và quy trình nghiên cứu đưa ra ở chương 3, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu và có được những kết quả, mục đích trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra ở chương 1. Các kết quả chính bao gồm những hiệu quả khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê và những tác động tích cực của phần mềm động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán. Hơn nữa, chúng tôi đã xây dựng được một số mô hình dựa trên các phần mềm động để hỗ trợ cho dạy học. 52
57. CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG 1. Giới thiệu Chương này nêu ra các kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu của luận văn. Các kết luận dựa trên những kết quả nghiên cứu cho các câu hỏi đã được trình bày ở chương 4. Ngoài ra, chương 5 cũng nêu các lý giải cho các kết quả nghiên cứu có được. Phần ứng dụng của luận văn cũng được trình bày trong chương này. 2. Kết luận Phần này giới thiệu các kết luận cho từng câu hỏi nghiên cứu. Các kết luận này dựa trên các kết quả nghiên cứu đã được trình bày ở chương 4. 2.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Nêu ra các kết luận về các hiệu quả khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê thông qua nghiên cứu lý luận và thực tiễn. Với thay đổi từ lấy giáo viên làm trung tâm thành lấy học sinh làm trung tâm, các nhà giáo dục đều muốn rằng học sinh thật sự là những người chủ động trong học tập, thật sự tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức cho riêng mình. Khi đóng vai trò là người chủ động, việc tiếp nhận tri thức của học sinh trở nên dễ dàng hơn bởi vì chính các em có nhu cầu hiểu biết, có nhu cầu tiếp nhận, khám phá tri thức. Lý thuyết kiến tạo cho rằng việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố: sơ đồ tri thức của người học và những tri thức mới. Nếu gặp một tri thức mới, nhưng tương tự với cái đã biết thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới. Đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với những sơ đồ nhận thức đang có, những sơ đồ hiện có sẽ được thay đổi để tương hợp với những thông tin trái ngược đó và kiến thức đã có không bao giờ bị xóa đi. Trong xác suất thống kê, các em sẽ thật sự đối mặt với một lĩnh vực toán học vừa quen thuộc vừa khác lạ. Quen thuộc là bởi vì chúng tồn tại hiện hữu chung quanh các em và lạ bởi vì những kết luận có được sau khi các em khám phá chúng. Đối với thống kê, khi mà các vấn đề của nó mang tính thực tiễn cao và gần gũi cuộc sống của các em thì sự chủ động của các em là rất cần thiết và hiệu quả. Việc để cho các em có những kết quả thống kê của riêng mình như là các bài tập nhỏ và kết quả của nó được chính em trình bày trước nhóm, trước lớp sẽ kích thích hoạt động kiến 53
58. tạo tri thức của các em cũng như bạn học. Ngoài ra nó còn bồi dưỡng những kỹ năng cần thiết cho một công dân trong tương lai: kỹ năng trình bày quan điểm của mình, kỹ năng diễn thuyết, kỹ năng làm việc hợp tác Đối với xác suất, khi các em làm việc trên các đối tượng như: súc sắc, các quả bóng, rồi các thao tác bốc bi, gieo súc sắc thì những thao tác, hành động này sẽ được lưu giữ một cách sâu sắc trong trí óc các em và nó tạo nên cơ sở vững chắc cho những lý luận, lý giải về những điều mà các em rút ra được. Với cách làm việc theo nhóm, mỗi học sinh tích cực đều có những đóng góp nhất định của mình cho kết quả chung. Những ý kiến đưa ra thảo luận, những góp ý, đề xuất, hợp tác làm việc chính là những tương tác mà mỗi các em tạo ra trong quá trình hoàn thành công việc được giao. Tiếp nhận và tạo ra các tương tác tích cực Thông qua quan sát quá trình làm việc của học sinh, giáo viên sẽ thật sự hiểu rõ học sinh hơn, nắm được những quan điểm của học sinh về vấn đề đang thảo luận, đánh giá được đóng góp của từng em cho kết quả của nhóm. Trên cơ sở đó, cùng với những kết quả kiểm tra trên giấy và những thành phẩm mà học sinh có được, giáo viên sẽ đưa ra những đánh giá đích thực về từng học sinh. Mặt khác, thông qua quá trình làm việc, học sinh bộc lộ những thế mạnh, điểm yếu, cách thức làm việc Nhờ đó giáo viên có thể có những điều chỉnh sao cho học sinh làm việc tốt hơn, hiệu quả hơn. Việc đánh giá học sinh dựa trên một bài kiểm tra là chưa toàn diện do trong một khoảng thời gian cố định, học sinh có thể chưa thể hiện hết mình hoặc vấp phải những sai sót do áp lực kiểm tra. Đóng vai trò là người cố vấn nhưng không vì thế mà vai trò của giáo viên trở nên mờ nhạt đi trong quá trình dạy học. Ngược lại, giáo viên phải làm việc hết sức tích cực bằng tâm huyết dạy học của mình. Mỗi giáo viên phải là một nhà nghiên cứu để tạo ra được những môi trường học tập tích cực phù hợp với đối tượng để học sinh thật sự bị cuốn hút vào và mong muốn học tập. Trong tiến trình kiến tạo tri thức của học sinh, giáo viên phải tích cực theo dõi, có ngay những điều chỉnh để học sinh đi đúng hướng và có những kết quả như mong muốn. 54
59. Những điều chỉnh của giáo viên phải kịp thời, hiệu quả theo nghĩa giúp học sinh giải quyết được chướng ngại mà các em đang cố gắng vượt qua. Những dự đoán tình huống, dự đoán các thuận lợi, khó khăn có thể gặp phải cần có sẵn trước khi giáo viên thực hiện bất kỳ một hoạt động học tập nào. Giáo viên giúp học sinh giải quyết chướng ngại Thông qua nghiên cứu lý luận và thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy rằng, việc áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê thật sự có hiệu quả. Trong một lớp học kiến tạo:  Học sinh thật sự tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức  Học sinh có nhiều cơ hội hơn để trình bày quan điểm của mình  Học sinh tiếp nhận và tạo ra những tương tác tích cực  Giáo viên biết được quan điểm của học sinh  Giáo viên có những đánh giá đích thực 2.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai Nêu các kết luận sau khi phân tích các kết quả có được khi trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ hai. Thuật ngữ “dynamic geometry” hay hình học động (hoặc hình học cơ hoạt) đã được thừa nhận một cách rộng rãi đối với các nhà toán học và các nhà giáo dục toán. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, những hình động được lưu giữ một cách bền vững trong não bộ và mang nhiều ý nghĩa hơn là hình tĩnh. Khi quan sát các mô hình động trên máy tính, học sinh thật sự tiếp xúc với những ứng xử của các đối tượng hình học trên màn hình trong một mối tương quan nhất định. Qua những ứng xử đó và qua quá trình phân tích, tìm hiểu, khám phá, học sinh có thể có được những kết luận, những tri thức mang tính bền vững cao. Đối với thống kê, học sinh sẽ có cơ hội quan sát những tình huống xảy ra ở nhiều góc độ khác nhau. Chẳng hạn việc thay đổi các dữ liệu đầu vào sẽ làm thay đổi hình dáng của những biểu đồ, đồ thị và giúp cho các em nhanh chóng có những kết 55