›

Luận văn Phức Koszul và lý thuyết bội

pdf 53 trang phuongvu95 3760
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Phức Koszul và lý thuyết bội", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfluan_van_phuc_koszul_va_ly_thuyet_boi.pdf

Nội dung text: Luận văn Phức Koszul và lý thuyết bội

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2013
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM VĂN BẢN PHỨC KOSZUL VÀ LÝ THUYẾT BỘI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Dương Quốc Việt HÀ NỘI - 2013
  3. Lời nói đầu Lý thuyết Bội là một trong những lý thuyết quan trọng của cả Đại số giao hoán và Hình học đại số. Nó phát triển từ khái niệm bội của nghiệm của một đa thức và việc đếm số bội giao trong Hình học đại số. Trong khoảng một thế kỷ qua, nó đã được phát triển theo nhiều cách thức bởi các tên tuổi lớn của Toán học thế giới. Kết quả nổi bật nhất về Lý thuyết Bội được viết lên bởi Jean-Pierre Serre năm 1965 trong “Algèbre locale. Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặc trưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M và một dãy x trong R là một hệ bội của M. Gọi H•(x,M) là đồng điều Koszul của x với hệ số trong M và I = (x) là ideal của R. Khi đó, đặt X i χ(x,M) = (−1) l(Hi(x,M)) i thì theo định lý Serre ta có   e(I,M) nếu x là một hệ tham số của M, χ(x,M) =  0 với các trường hợp khác. Năm 1958, trong bài báo “Codimension and multiplicity”, M. Auslander và D. A. Buchsbaum đã chứng minh được một phiên bản của định lý Serre đối với mọi vành Noether, đồng thời đưa ra mô tả rõ ràng cho khái niệm bội. D. G. Northcott năm 1968 trong “Lessons on rings, modules, and multiplici- i
  4. ties” đã giới thiệu khái niệm “bội hình thức (multiplicity symbol)”, và phát triển một cách hệ thống lý thuyết bội từ những tính chất hình thức của khái niệm này. Liên quan đến đặc trưng Euler-Pointcaré, với mọi j ≥ 0, đặt X i−j χj(x,M) = (−1) l(Hi(x,M)) i≥j và gọi là đặc trưng Euler-Pointcaré từng phần. Ta có một kết quả khá quan trọng khi xem xét các đặc trưng này, là χj(x,M) ≥ 0 với j ≥ 0. Serre đã chứng minh χj(x,M) ≥ 0 với j > 1. Việc chứng minh mệnh đề này đúng trong trường hợp j = 1 (được trình bày trong “On the vanishing of Tor in regular local rings” của S. Lichtenbaum năm 1966) giúp ta đưa ra được tiêu chuẩn khác cho module Cohen-Macaulay. Mục đích chính của luận văn là hệ thống lại một cách chi tiết một số kết quả cơ bản của Lý thuyết bội, trong đó, nội dung chính là chứng minh định lý Serre. Để làm được điều này, luận văn được tiến hành theo 2 chương: Chương 1: Trình bày về phức Koszul, những tính chất của phức Koszul và đồng điều Koszul, chuẩn bị các kiến thức cần thiết để định nghĩa đặc trưng Euler-Pointcaré của phức Koszul. Chương 2: Trình bày về hàm Hilbert, bội hình thức và những tính chất của bội hình thức. Trong đó: Mục 2.1 trình bày hàm Hilbert, đa thức Hilbert của một module phân bậc cùng các tính chất liên quan. Mục 2.2 nói về bội của một module hữu hạn sinh, bội hình thức và một số kết quả chính của Lý thuyết bội, trong đó có định lý Serre và các hệ quả của nó. Đây là nội dung chính của luận văn. Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt ii
  5. tình, sâu sắc của PGS. TS Dương Quốc Việt. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến người thầy của tôi. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng phản biện đã đọc và cho tôi những ý kiến quý báu. Ngoài ra, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ môn Đại số, khoa Toán Tin cùng các thầy cô khác đã giảng dạy, hướng dẫn, tạo điều kiện để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 09 năm 2013 Người thực hiện Phạm Văn Bản iii
  6. Mục lục Lời nói đầu i Danh mục các ký hiệu v 1 Phức Koszul 1 1.1 Lũy thừa ngoài và đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2 Định nghĩa phức Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.3 Các tính chất của phức Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2 Lý thuyết bội 21 2.1 Hàm Hilbert - Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Lý thuyết bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Tài liệu tham khảo 44 iv
  7. Danh mục các ký hiệu R Vành giao hoán, có đơn vị 1 6= 0 (R, m) Vành địa phương Noether với ideal cực đại là m N M Lũy thừa tensor của R−module M V M = (N M) /= Đại số ngoài của M x ∧ y Tích trong V M Vi M Lũy thừa ngoài thứ i của M K•(f) Phức Koszul của dạng tuyến tính f K•(f, M) = K•(f) ⊗R M Phức Koszul của f với hệ số trong M H•(f) Đồng điều Koszul của f H•(f, M) Đồng điều Koszul của f với hệ số trong M H•(f) = H•(K•(f)) Đối đồng điều Koszul của f H•(f, M) = H•(K•(f, M)) Đối đồng điều Koszul của f với hệ số trong M grade(I,M) Bậc của M trong I H(M, n) Hàm Hilbert của module phân bậc M HM (t) Chuỗi Hilbert của module phân bậc M ∆ Toán tử số gia PM (X) Đa thức Hilbert của module phân bậc M e(M) Bội của module phân bậc M grI (R) Vành phân bậc liên kết của R theo ideal I grI (M) Module phân bậc liên kết của M theo ideal I v
  8. I χM (n) Hàm Hilbert - Samuel của M theo ideal I e(I,M) Bội của M theo I L∞ i i R+(I) = i=0 I t Vành Rees L∞ i i R+(I,M) = i=0 I Mt λ(I,M) Độ trải giải tích của I theo M λ(I) = λ(I,R) Độ trải giải tích của I e(x,M) Bội hình thức χ(x,M) Đặc trưng Euler của đồng điều Koszul H•(x,M) Kq(R) Phạm trù các R−module hữu hạn sinh, mà có số chiều không quá q χj(x,M) Đặc trưng Euler từng phần của M theo x vi
  9. Chương 1 Phức Koszul Phức Koszul lần đầu xuất hiện trong "Uber¨ die Theorie der algebraischen Formen" (1890) của Hilbert: sau khi chứng minh định lý syzygy, Hilbert xác định một phép giải tự do của k[X1, ,Xn]−module k. Phức Koszul K•(x) là một công cụ hữu hiệu để tìm hiểu tính chất của một dãy x = x1, . . . , xn các phần tử trong vành R. Ta có thể tính grade(I,M) thông qua đồng điều của K•(x) ⊗ M trong đó I là ideal sinh bởi x. Hơn nữa, phức Koszul vừa có cấu trúc một phức, lại vừa có cấu trúc đại số. Để nhấn mạnh điều này, ta giới thiệu một cách tổng quát phức Koszul từ các dạng tuyến tính. Các kết quả chính về phức Koszul trong chương này được đưa ra từ [4]. Để thuận tiện cho bạn đọc, xin bắt đầu từ lũy thừa ngoài và đại số ngoài. 1.1 Lũy thừa ngoài và đại số ngoài Cho R là một vành, M là một R−module. Chúng ta xét R như một vành phân bậc với một phân bậc tầm thường. Đặt M ⊗i là lũy thừa tensor thứ i của 1
  10. M, nghĩa là tích tensor M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M của i nhân tử M, với i > 0, và R ứng với i = 0. Lũy thừa tensor có dạng một R−module phân bậc ∞ O M M = M ⊗i. i=0 Tương ứng ((x1, . . . , xm), (y1, . . . , yn)) 7→ x1 ⊗ · · · ⊗ xm ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yn sinh ra một ánh xạ R−song tuyến tính từ M ⊗m × M ⊗n → M ⊗(m+n), mở rộng của nó trong N M × N M làm cho N M có cấu trúc của một R−đại số phân bậc kết hợp. Đại số tensor này được đặc trưng bởi một tính phổ dụng: Cho một ánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → A với A là một R−đại số, tồn tại duy nhất một đồng cấu R−đại số φ : N M → A là mở rộng của ϕ, ở đây, chúng ta đồng nhất M và M ⊗1. Đại số ngoài V M là đại số các lớp thặng dư ^ O  M = M /= trong đó = là ideal sinh bởi phần tử x ⊗ x, x ∈ M. Do = là ideal sinh bởi các phần tử thuần nhất nên V M kế thừa cấu trúc của một R−đại số phân bậc. Tích trong V M được ký hiệu là x ∧ y. Nói chung, V M không giao hoán, tuy nhiên, nó có tính chất thay phiên: ^ x ∧ y = (−1)(deg x)(deg y)y ∧ x với mọi phần tử thuần nhất x, y ∈ M và x ∧ x = 0 với mọi phần tử thuần nhất x, deg x lẻ. Cho x1, . . . , xn ∈ M và π là một hoán vị của {1, 2, . . . , n}. Khi đó xπ(1) ∧ · · · ∧ xπ(n) = σ(π)x1 ∧ · · · ∧ xn 2
  11. trong đó σ(π) là dấu của π. Hơn nữa, x1 ∧ · · · ∧ xn = 0 nếu xi = xj với i 6= j nào đó. Cho một tập con I của {1, 2, . . . , n}, ta đặt xI = xi1 ∧ · · · ∧ xim ở đó I = {i1, . . . , im} với i1 k. Nếu J ∩K 6= ∅, đặt σ(J, K) = 0. Khi đó xJ ∧ xK = σ(J, K)xJ∪K. Ký hiệu xI có thể được mở rộng một cách tổng quát trong trường hợp (xg)g∈G là một họ các phần tử của M được đánh số mởi một tập sắp thứ tự tuyến tính G và I là một tập con hữu hạn của G. Thành phần bậc thứ i của V M được ký hiệu là Vi M và được gọi là lũy thừa ngoài của M. Từ định nghĩa của V M, dễ dàng suy ra có các đẳng cấu tự nhiên V0 M ∼= R, V1 M ∼= M, do đó, ta có thể đồng nhất R và V0 M, M và V1 M. Vj Cho (xg)g∈G là một hệ sinh của M. Khi đó, M được sinh bởi các tích ngoài xI với I ⊂ G và |I| = j. Đặc biệt, nếu M được sinh bởi x1, . . . , xn thì Vi M = 0 với mọi i > n. Đại số ngoài được đặc trưng bởi tính phổ dụng mà nó kế thừa từ thuộc tính này của đại số tensor: Cho một ánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → E từ M vào một R−đại số E thỏa ϕ(x)2 = 0 với mọi x ∈ M, tồn tại duy nhất một đồng cấu R−đại số ψ : V M → E là mở rộng của ϕ. Từ đây ta suy ra với mỗi ánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → N thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R−đại số ∧ϕ sao cho biểu đồ ϕ MN/ nat nat   ^ ^ M / N ∧ϕ 3
  12. giao hoán (nat là đồng cấu nhúng tự nhiên), ∧ϕ là đồng cấu bậc 0 thỏa ∧ϕ(x1 ∧ · · · ∧ xn) = ϕ(x1) ∧ · · · ∧ ϕ(xn) với mọi x1, . . . , xn ∈ M. Nếu ϕ là một toàn cấu thì ∧ϕ cũng là một toàn cấu, và Ker ∧ϕ là ideal được sinh bởi Ker ϕ. Ánh xạ Vi M → Vi N cảm sinh từ ∧ϕ được ký hiệu là ∧iϕ. Giả sử ϕ là một toàn cấu, khi đó ∧iϕ cũng là toàn cấu, và từ mô tả của Ker ∧ϕ và tính chất thay phiên của V M ta dễ dàng suy ra dãy i−1 i i ^ ^ ∧iϕ ^ M ⊗ Ker ϕ → M −−→ N → 0 i−1 là khớp, trong đó, ánh xạ bên trái cảm sinh từ phép nhân ngoài V M ×Ker ϕ → i V M. Lũy thừa ngoài Vi M cũng được đặc trưng bởi thuộc tính phổ dụng: Với mọi ánh xạ i−tuyến tính thay phiên α : M i → N (N là một R−module), tồn tại duy nhất một ánh xạ R−tuyến tính λ : Vi M → N sao cho α(x1, . . . , xi) = λ(x1 ∧ · · · ∧ xi) với mọi x1, . . . , xi ∈ M. Một thuộc tính quan trọng của đại số ngoài là nó giao hoán với sự mở rộng cơ sở: Nếu R → S là một đồng cấu của các vành giao hoán, thì có một đẳng cấu tự nhiên ^  ∼ ^ M ⊗R S = (M ⊗R S) giữa các S−đại số phân bậc. V V Cho M1,M2 là các R−module. Trên ( M1) ⊗ ( M2) ta định nghĩa một phép nhân như sau 0 (x ⊗ y)(x0 ⊗ y0) = (−1)(deg y)(deg x )(x ∧ x0)(y ∧ y0) 0 V 0 V với mọi phần tử thuần nhất x, x ∈ M1, y, y ∈ M2. Dễ kiểm tra rằng V V ( M1) ⊗ ( M2) với phép nhân trên là một R−đại số phân bậc thay phiên. 4
  13. ∼ Thành phần bậc 1 của nó là (M1 ⊗ R) ⊕ (R ⊗ M2) = M1 ⊕ M2. Bởi thuộc tính V V phổ dụng của đại số ngoài, ánh xạ tự nhiên M1 ⊕ M2 → ( M1) ⊗ ( M2) mở V V V rộng thành một đồng cấu R−đại số φ : (M1 ⊕ M2) → ( M1) ⊗ ( M2). V V V Ta có nghịch đảo ψ :( M1) ⊗ ( M2) → (M1 ⊕ M2) của φ xác định bởi ψ(x ⊗ y) = ψ1(x) ∧ ψ2(y) V V trong đó ψi : Mi → (M1 ⊕ M2) là mở rộng của phép nhúng tự nhiên Mi → M1 ⊕ M2. Tích hợp thành φ ◦ ψ và ψ ◦ φ là những ánh xạ đồng nhất trên V V V ( M1) ⊗ ( M2) và (M1 ⊕ M2). Từ đó ta có đẳng cấu ^  ^  ∼ ^ M1 ⊗ M2 = (M1 ⊕ M2) giữa các R−đại số phân bậc thay phiên. Ta xét một trường hợp quan trọng nhất của M: một R−module tự do hữu hạn sinh F . Giả sử e1, . . . , en là cơ sở của F . Các phần tử có dạng eI với I ⊂ {1, 2, . . . , n} và |I| = i, Vi Vi n là một cơ sở của F . Trong trường hợp đặc biệt, F là tự do có hạng là i , bảng nhân trong V F liên kết với cơ sở này được cho bởi eI ∧ eJ = σ(I,J)eI∪J . L Giả sử R là một vành phân bậc, và M = Mi là một R−module phân i∈Z bậc. Khi đó ta có thể xác định trên V M một cách phân bậc duy nhất sao cho M ⊂ V M có sự phân bậc đã cho và V M là một đại số phân bậc trên R. Ta Ln hạn chế với trường hợp M = F = i=1 R(−ai). Đặt e1, . . . , en là cơ sở của F P tương ứng với sự phân tích này. Khi đó, ta gán cho eI có bậc là i∈I ai và dễ dàng thấy rằng sự phân bậc cảm sinh trên V F làm cho V F là một R−đại số phân bậc. 5
  14. 1.2 Định nghĩa phức Koszul Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là một dạng tuyến tính. Tương ứng n X i+1 (x1, . . . , xn) 7→ (−1) f(xi)x1 ∧ · · · ∧ xbi ∧ · · · ∧ xn i=1 n Vn−1 xác định một ánh xạ n−tuyến tính thay phiên từ L vào L (xbi chỉ ra rằng xi không có mặt trong biểu thức tích ngoài). Bởi thuộc tính phổ dụng của lũy (n) Vn Vn−1 thừa ngoài thứ n, tồn tại một ánh xạ R−tuyến tính df : L → L với n (n) X i+1 df (x1 ∧ · · · ∧ xn) = (−1) f(xi)x1 ∧ · · · ∧ xbi ∧ · · · ∧ xn i=1 (n) với mọi x1, . . . , xn ∈ L. Tập các ánh xạ df xác định một R−đồng cấu phân bậc ^ ^ df : L → L có bậc là −1. Bằng tính toán trực tiếp, ta kiểm tra được các tính chất sau deg x df ◦ df = 0 và df (x ∧ y) = df (x) ∧ y + (−1) x ∧ df (y) V với mọi phần tử thuần nhất x, y ∈ L. Do df ◦ df = 0 nên ta suy ra n n−1 2 ^ df ^ ^ df f · · · → L −→ L → · · · → L −→ L −→ R → 0 (1.1) là một phức. Tính chất thứ hai chứng tỏ rằng df là một vi phân ngoài. Định nghĩa 1.1. Phức (1.1) được gọi là phức Koszul của f, ký hiệu là K•(f). Tổng quát, nếu M là một R−module thì phức K•(f) ⊗R M được gọi là phức Koszul của f với hệ số trong M, ký hiệu là K•(f, M); vi phân của nó được ký hiệu là df,M . Mệnh đề 1.2. Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là một ánh xạ R−tuyến tính. 6
  15. a. Phức Koszul K•(f) mang cấu trúc của một đại số thay phiên phân bậc kết hợp, cụ thể là V L. b. Vi phân df của nó là một vi phân ngoài bậc −1. c. Với mọi R−module M, phức K•(f, M) là một K•(f)−module một cách tự nhiên. deg x d. Ta có df,M (x.y) = df (x).y + (−1) x.df,M (y) với mọi phần tử thuần nhất x ∈ K•(f) và y ∈ K•(f, M). Chứng minh: a. và b. được suy ra từ phần mô tả trước mệnh đề. c. là rõ ràng: nếu A là một R−đại số, thì A ⊗R M là một A−module với mọi R−module M. d. Xét y = w ⊗ z với w ∈ K•(f), z ∈ M, khi đó df,M (x.w ⊗ z) = df,M ((x ∧ w) ⊗ z) = df (x ∧ w) ⊗ z. Do df là một vi phân ngoài bậc −1 nên ta suy ra deg x df (x ∧ w) ⊗ z = (df (x) ∧ w + (−1) x ∧ df (w)) ⊗ z deg x = (df (x) ∧ w) ⊗ z + (−1) (x ∧ df (w)) ⊗ z deg x = df (x).(w ⊗ w) + (−1) x.(df,M (w ⊗ z)) = d (x).y + (−1)deg xx.d (y). f f,M  Cho tập con S của K•(f) và tập con U của K•(f, M), đặt S.U là R−module con của K•(f, M) sinh bởi các tích s.u với s ∈ S, u ∈ U. Đặt Z•(f) = Ker df ,Z•(f, M) = Ker df,M B•(f) = Im df ,B•(f, M) = Im df,M . 7
  16. Định nghĩa 1.3. Đồng điều H•(f) = Z•(f)/B•(f) được gọi là đồng điều Koszul của f. Với mọi R−module M, đồng điều H•(f, M) = Z•(f, M)/B•(f, M), được gọi là đồng điều Koszul của f với hệ số trong M. Theo Mệnh đề 1.2d. ta dễ dàng nhận được các quan hệ sau Z•(f).Z•(f, M) ⊂ Z•(f, M),Z•(f).B•(f, M) ⊂ B•(f, M), B•(f).Z•(f, M) ⊂ B•(f, M) ∼ Chúng ta có một đẳng cấu tự nhiên K•(f) = K•(f, R). Quan hệ đầu tiên kéo theo Z•(f) là một R−đại số con phân bậc của K•(f), quan hệ thứ hai và thứ ba chỉ ra rằng B•(f) là một ideal của Z•(f). Mệnh đề 1.4. Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là một ánh xạ R−tuyến tính. a. Đồng điều Koszul H•(f) mang cấu trúc của một R−đại số thay phiên phân bậc kết hợp. b. Với mọi R−module M, đồng điều H•(f, M) là một H•(f)−module một cách tự nhiên. Chứng minh: a. H•(f) là một R−đại số được suy ra từ phần mô tả trước mệnh đề. Những tính chất còn lại được kế thừa từ thương của R−đại số con phân bậc của K•(f) trên các ideal phân bậc. b. Quan hệ đầu tiên bên trên chứng tỏ rằng Z•(f, M) là một Z•(f)−module, quan hệ thứ hai chứng tỏ rằng B•(f, M) là một Z•(f)−module của Z•(f, M), và quan hệ thứ ba kéo theo Z•(f, M)/B•(f, M) bị triệt tiêu bởi B•(f).  8
  17. 1.3 Các tính chất của phức Koszul Ta đặt • • K (f) = HomR(K•(f),R),K (f, M) = HomR(K•(f),M) H•(f) = H•(K•(f)),H•(f, M) = H•(K•(f, M)). H•(f) (tương ứng, H•(f, M)) được gọi là đối đồng điều Koszul của f (tương ứng, đối đồng điều Koszul của f với hệ số trong M). Đặt I = Im f ⊂ R, bởi cách xây dựng trên ta được H0(f) = R/I và H0(f, M) = M/MI. Mệnh đề 1.5. Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là một ánh xạ R−tuyến tính. Đặt I = Im f. • • a. Với mọi a ∈ I, phép nhân bởi a trên K•(f), K•(f, M), K (f), K (f, M) là đồng luân rỗng. • • b. Đặc biệt, I làm triệt tiêu H•(f), H•(f, M), H (f), H (f, M). • • c. Nếu I = R thì các phức K•(f), K•(f, M), K (f), K (f, M) là các đồng luân rỗng. Đặc biệt, đồng điều và đối đồng điều của chúng biến mất. Chứng minh: a. Ta chọn x ∈ L và a = f(x). Đặt ϑa là phép nhân bởi a trên K•(f), và λx là phép nhân trái bởi x trên K•(f). Khi đó, dễ kiểm tra rằng ϑa = df ◦ λx + λx ◦ df . Khi đó, phép nhân bởi a trên K•(f) là một đồng luân rỗng. Do ϑa ⊗ M và • Hom(ϑa,M) là các phép nhân bởi a trên K•(f, M) và K (f, M) nên phần còn lại của a. được suy ra. b. Ta có nếu ϕ là một đồng cấu phức đồng luân rỗng thì ánh xạ cảm sinh bởi ϕ trên đồng điều là ánh xạ không. Khi đó từ a. ta suy được b. 9
  18. c. Ta chọn a = 1, sau đó áp dụng a. và b.  Cho L1,L2 là các R−module, f1 : L1 → R và f2 : L2 → R là các ánh xạ R−tuyến tính. Khi đó, f1 và f2 cảm sinh một dạng tuyến tính f : L1 ⊕ L2 → R xác định bởi f(x1 ⊕ x2) = f1(x1) + f2(x2). Mệnh đề 1.6. Với f1, f2 và f như giới thiệu trên, ta có một đẳng cấu giữa các phức ∼ K•(f1) ⊗R K•(f2) = K•(f). Chứng minh: R−đại số phân bậc nằm dưới K•(f1)⊗R K•(f2) và K•(f), cụ thể V V V V là L1 ⊗ L2 và L = (L1 ⊕ L2) là đẳng cấu nhau, nên ta có thể đồng nhất V chúng. Vi phân df là vi phân ngoài trên L, khi thu hẹp trên thành phần bậc nhất L = L1 ⊕ L2 thì trùng với df1 ⊗ df2 . Một vi phân ngoài trên đại số ngoài V L xác định duy nhất bởi các giá trị của nó trên L. Do vậy, ta chỉ cần chỉ ra rằng df1 ⊗ df2 cũng là một vi phân ngoài. Thật vậy, thành phần bậc thứ n của Ln Vi Vn−i  K•(f1) ⊗ K•(f2) là i=0 L1 ⊗ L2 , và i df1 ⊗ df2 (x ⊗ y) = df1 (x) ⊗ y + (−1) xdf2 (y) Vi Vn−i với mọi x ⊗ y ∈ L1 ⊗ L2. Khi đó ta dễ dàng suy ra df1 ⊗ df2 cũng là một vi phân ngoài.  Mệnh đề 1.7. Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là một ánh xạ R−tuyến tính. Giả sử ϕ : R → S là một đồng cấu vành. Khi đó, ∼ a. Ta có một đẳng cấu tự nhiên K•(f) ⊗R S = K•(f ⊗ S). ∼ b. Ngoài ra, nếu ϕ là phẳng thì H•(f, M) ⊗ S = H•(f ⊗ S, M ⊗ S) với mọi R−module M. 10
  19. V ∼ V Chứng minh: Có một đẳng cấu tự nhiên ( L) ⊗ S = (L ⊗ S), và df ⊗ S và df⊗S đều là các vi phân ngoài trùng nhau ở thành phần bậc 1. Do đó, chúng ta có thể lập luận như trong chứng minh của Mệnh đề 1.6 và điều này suy ra a. b. lập tức được suy ra từ tính chất H•(C• ⊗ S) = H•(C•) ⊗ S với mọi phức C• trên R nếu S là một R−module phẳng.  Giả sử L, L0 là các R−module với các dạng tuyến tính f : L → R và f 0 : L0 → R. Mỗi R−đồng cấu ϕ : L → L0 mở rộng thành một đồng cấu ∧ϕ : V L → V L0 của các R−đại số. Khi đó 0 0 Mệnh đề 1.8. Nếu f = f ◦ ϕ thì ∧ϕ : K•(f) → K•(f ) là một đồng cấu giữa các phức. Cho L là một R−module tự do hữu hạn sinh với cơ sở e1, . . . , en. Khi đó, một dạng tuyến tính f trên L xác định duy nhất bởi các giá trị xi = f(ei), i = 1, . . . , n. Ngược lại, cho một dãy x = x1, . . . , xn thì tồn tại một dạng tuyến tính trên L thỏa f(ei) = xi. Ta đặt K•(x) = K•(f) và gọi là phức Koszul của dãy x. Từ đây, chúng ta chỉ xem xét các phức Koszul K•(x). Từ f có thể xem là tổng trực tiếp của các dạng tuyến tính fi : R → R, fi(1) = xi, từ Mệnh đề 1.6 ta suy ra đẳng cấu ∼ 0 ∼ K•(x) = K•(x ) ⊗ K•(xn) = K•(x1) ⊗ · · · ⊗ K•(xn), 0 trong đó x = x1, . . . , xn−1. Khi đó, ta thấy rằng K•(x) là một bất biến dưới hoán vị của x. Đặt ideal I = (x). Cho F• là một phép giải xạ ảnh của R/I. Khi đó, H0(x) = R/I, tồn tại một đồng cấu giữa các phức ϕ : K•(x) → F• mà là đồng nhất trên R/I; chú ý rằng ϕ là đồng luân duy nhất. 11
  20. Mệnh đề 1.9. Cho R là một vành, x = x1, . . . , xn là một dãy trong R và I = (x). Với mọi i, tồn tại đồng cấu tự nhiên R i i Hi(x,M) → Tori (R/I, M) và ExtR(R/I, M) → H (x,M). Chứng minh: Đồng cấu ϕ ở trên sinh ra các đồng cấu giữa các phức ϕ ⊗ M : • K•(f, M) → F• ⊗ M và HomR(ϕ, M) → K (f, M).  Cho L là một R−module tự do với cơ sở e1, . . . , en, khi đó e1 ∧ · · · ∧ en là Vn Vn một cơ sở của L, và tồn tại duy nhất một R−đẳng cấu ωn : L → R thỏa Vn ∼ ωn(e1 ∧ · · · ∧ en) = 1 (một đẳng cấu L = R thường được gọi là một định ∗ Vi Vn−i  hướng trên L). Chúng ta định nghĩa ωi : L → L xác định bởi i n−i ^ ^ (ωi(x))(y) = ωn(x ∧ y), với mọi x ∈ L, y ∈ L. (Cách xác định này không gây mơ hồ nếu ta đồng nhất R và R∗ thông qua đẳng cấu tự nhiên.) Nó ngay lập tức kéo theo  0 nếu I ∩ J 6= ∅, (ωi(eI ))(eJ ) = (1.2) σ(I,J) nếu I ∩ J = ∅. Điều này chứng tỏ rằng ωi là một đẳng cấu. Nếu chúng ta ký hiệu cơ sở liên ∗ hợp của (eI ) là (eI ), thì (1.2) cho ta ∗ ωi(eI ) = σ(I, I)eI trong đó I = {1, 2, . . . , n}\I. Ta xét biểu đồ sau n d n−1 d d d / ^ / ^ / / / / K•(x) : 0 L L ··· LR 0 ω1 ω0   ωn ωn−1 ∗ ∗   n−1 ! n ! d∗ d∗ d∗ ^ d∗ ^ K•(x) : 0 / R / L∗ / ··· / L / L / 0 ∗ ∗ trong đó d = dx và d = (dx ) . 12
  21. Mệnh đề 1.10. Cho x = x1, . . . , xn là một dãy trong vành R. a. Với các ký hiệu như vừa giới thiệu trên, ta có i−1 ∗ ωi−1 ◦ di = (−1) dn−i+1 ◦ ωi với mọi i. • ∗ b. Các phức K•(x) và K (x) = (K•(x)) là đẳng cấu nhau (ta nói K•(x) tự liên hợp). • c. Tổng quát hơn, với mọi R−module M thì phức K•(x,M) và K (x,M) là đẳng cấu, và ∼ n−i d. Hi(x,M) = H (x,M), với mọi i = 0, 1, . . . , n. Chứng minh: a. Với mọi i = 1, . . . , n, xét eI với I ⊂ {1, . . . , n}, |I| = i. Khi đó, ta có i−1 ∗ ωi−1 ◦ di(eI ) = (−1) dn−i+1 ◦ ωi(eI ), ∀I. Vn Mà {eI } là cơ sở của L nên ta suy ra i−1 ∗ ωi−1 ◦ di = (−1) dn−i+1 ◦ ωi. i(i−1) b. Từ ωi là đẳng cấu nên ta suy ra ánh xạ τ = (−1) 2 ωi xác định một đẳng ∼ • ∗ cấu K•(x) = K (x) = (K•(x)) . ∗ c. Ta chú ý rằng: có một đồng cấu tự nhiên N ⊗ M → HomR(N, M) với R−module M, N. Nếu N là R−module tự do hữu hạn sinh thì đồng cấu trên • ∼ là một đẳng cấu, và nó cảm sinh ra đẳng cấu K (x)⊗M = HomR(K•(x),M). Áp dụng b. ta suy ra c. d. là một kết quả tầm thường thu được từ c.  13
  22. Mệnh đề 1.11. Cho R là một vành, x = x1, . . . , xn là một dãy trong R, các 0 → U → M → N → 0 là một dãy khớp các R−module. Khi đó dãy cảm sinh 0 → K•(x,U) → K•(x,M) → K•(x,N) → 0 là một dãy khớp các phức. Đặc biệt, ta có một dãy khớp dài các module đồng điều · · · → Hi(x,U) → Hi(x,M) → Hi(x,N) → Hi−1(x,U) → · · · . Chứng minh: Các thành phần của K•(x) là những module tự do, nên là những R−module phẳng. Nên suy ra nó bảo toàn các dãy khớp.  Mệnh đề 1.12. Cho R là một vành và x ∈ R. a. Với mọi phức C• các R−module ta có dãy khớp 0 → C• → C• ⊗ K•(x) → C•(−1) → 0. b. Dãy khớp cảm sinh của các đồng điều là ±x · · · → Hi(C•) → Hi(C• ⊗ K•(x)) → Hi−1(C•) −→ Hi−1(C•) → · · · . c. Hơn nữa, nếu x là C•−chính quy thì ta có đẳng cấu ∼ H•(C• ⊗ K•(x)) = H•(C•/xC•). (Ta quy ước module phân bậc C•(−1) là phức C• với tất cả các bậc giảm đi 1). x Chứng minh: Phức Koszul K•(x) đơn giản là 0 → R −→ R → 0, thành phần bậc thứ i của K•(x) ⊗ C• là (R ⊗ Ci) ⊕ (R ⊗ Ci−1) = Ci ⊕ Ci−1. Do đó, với mỗi bậc ta có một dãy khớp ı π 0 → Ci −→ Ci ⊕ Ci−1 −→ Ci−1 → 0 14
  23. trong đó ı và π là các phép nhúng và phép chiếu tự nhiên. Nếu ∂ là vi phân của C• thì vi phân d trên Ci ⊕ Ci−1 được cho bởi ma trận   ∂ (−1)i−1x   0 ∂ phù hợp với định nghĩa tích tensor của các phức và ta có được a. Đồng cấu nối trong dãy khớp cảm sinh được xác định bởi tương ứng sau: Với z ∈ Ci−1 sao cho ∂(z) = 0 −1 −1 z 7−→π (0, z) 7−→d ((−1)i−1xz, 0) 7−→ı (−1)i−1xz. Do đó, đồng cấu nối Hi(C•(−1)) = Hi−1(C•) → Hi−1(C•) là đồng cấu nhân bởi (−1)i−1x. Từ đó ta có b. Các ánh xạ tự nhiên Ci ⊕ Ci−1 → Ci → Ci/xCi tạo ra đồng cấu phức C• ⊗ K•(x) → C•/xC•. Cho z ∈ Ci sao cho ∂(z) ∈ xCi−1, khi đó tồn tại 0 0 i 0 i 0 z ∈ Ci−1 sao cho ∂(z) = xz , và d(z, (−1) z ) = (0, (−1) ∂(z )). Tiếp theo ta có x∂(z0) = ∂(∂(z)) = 0, do đó ∂(z0) = 0 do phép nhân bởi x là một đơn cấu trong i 0 C•: (z, (−1) z ) là tạo ảnh của z ∈ Ci/xCi. Khi đó ta được ánh xạ liên kết của đồng điều là một đẳng cấu, hay ∼ H•(C• ⊗ K•(x)) = H•(C•/xC•). Hệ quả 1.13. Cho R là một vành, x = x1, . . . , xn là một dãy trong R và M là một R−module. 0 a. Đặt x = x1, . . . , xn−1, ta có một dãy khớp ±xn 0 0 ±xn 0 ··· −−→ Hi(x ,M) → Hi(x,M) → Hi−1(x ,M) −−→ Hi−1(x ,M) → · · · . 0 00 0 b. Cho p ≤ n, x = x1, . . . , xp và x = xp+1, . . . , xn. Nếu x là dãy M−chính quy ∼ 00 0 yếu thì ta có một đẳng cấu H•(x,M) = H•(x , M/x M). 15
  24. Chứng minh: a. là trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 1.12.b. khi ta cho C• = 0 K•(x ,M) và sử dụng đẳng cấu 0 ∼ 0 ∼ K•(x ,M) ⊗ K•(xn) = K•(x ) ⊗ M ⊗ K•(xn) = K•(x,M). Với b., ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p = 1, trường hợp tổng quát được suy ra bằng quy nạp. Ta hoán vị dãy x thành x2, . . . , xn, x1 và áp dụng Mệnh đề 1.12.c.  Hệ quả 1.14. Cho R là một vành, x là một dãy trong R và M là một R−module. a. Nếu x là một M−dãy thì K•(x,M) là một cyclic. b. Nếu x là một R−dãy thì K•(x) là một phép giải tự do của R/(x). Nhận xét 1.15. Cho R là một vành phân bậc và x = x1, . . . , xn là một dãy các phần tử thuần nhất. Khi đó x cảm sinh một dạng tuyến tính bậc 0 trên Ln F = i=1 R(− deg xi). Phức Koszul K•(x) là một phức phân bậc với một vi phân bậc 0 nếu ta xác định trên V F một sự phân bậc như phần mô tả trên. Vn ∼ Pn Đặc biệt, ta có F = R(− i=1 deg xi). Sự quan trọng của phức Koszul xuất phát từ việc H•(x,M) có độ dài là grade(I,M) nếu M là một module hữu hạn sinh trên một vành Noether R và I = (x). Giả sử sự hữu hạn trong phát biểu trên là cần thiết để làm rõ ràng sự tồn tại của M−dãy trong I từ sự triệt tiêu của module đồng điều Hi(x,M). Định lý sau được phát biểu mà không có giả sử này: Định lý 1.16. Cho R là một vành, x = x1, . . . , xn là một dãy trong R và M là một R−module. Nếu I = (x) chứa một M−dãy yếu y = y1, . . . , ym thì Hn+1−i(x,M) = 0 với i = 1, . . . , m và ∼ ∼ m Hn−m(x,M) = HomR(R/I, yM) = ExtR (R/I, M). 16
  25. Chứng minh: Đẳng cấu cuối được chứng minh trong [2]. Ta chứng minh ý còn lại bằng quy nạp theo m. Với m = 0 ta cần chỉ ra rằng ∼ Hn(x,M) = HomR(R/I, M). ∼ 0 0 Từ Mệnh đề 1.10 ta có Hn(x,M) = H (x,M) và H (x,M) đẳng cấu với Vn HomR(R/I, M) một cách tự nhiên. Một cách rõ ràng, nếu ta đồng nhất R⊗M ∼ n với R ⊗ M = M thông qua một định hướng ωn của R , thì Hn(x,M) trở thành R−module con {y ∈ M|Iy = 0} của M. Cho m ≥ 1, đặt M = M/y1M. Dãy khớp ngắn y 0 → M −→1 M → M → 0 cảm sinh dãy khớp y1 y1 · · · → Hi(x,M) −→ Hi(x,M) → Hi(x, M) → Hi−1(x,M) −→· · · Do y1 triệt tiêu Hi(x,M) với mọi i nên dãy khớp dài này tách thành các dãy khớp ngắn 0 → Hi(x,M) → Hi(x, M) → Hi−1(x,M) → 0. Thực hiện quy nạp tương tự, ta thu được điều cần chứng minh.  Định lý 1.17. Cho R là một vành Noether và M là một R−module hữu hạn sinh. Giả sử I là một ideal của R sinh bởi x = x1, . . . , xn. a. Tất cả các module Hi(x,M), i = 1, . . . , n triệt tiêu nếu và chỉ nếu M = IM. b. Giả sử rằng Hi(x,M) 6= 0 với i nào đó, và đặt h = max{i : Hi(x,M) 6= 0}. Thì mọi M−dãy cực đại trong I đều có độ dài là g = n−h, hay grade(I,M) = n − h. 17
  26. ∼ Chứng minh: a. Chiều ⇒ là tầm thường: Nếu M = IM ⇔ H0(x,M) = M/IM = 0. ⇐: Ta chọn một ideal nguyên tố p. Do Mệnh đề 1.7 và tính phẳng của địa ∼ phương hóa nên ta có (Hi(x,M))p = Hi(x,Mp) trong đó x được xem như một dãy trong Rp của vế phải. Nếu I 6⊂ p thì Hi(x,Mp) = 0 theo Mệnh đề 1.5. Nếu I ⊂ p thì Mp = 0 theo bổ đề Nakayama, và ta lại có Hi(x,Mp) = 0. Vậy, Hi(x,M) = 0, với mọi i = 0, . . . , n. b. Do a. nên ta suy ra M 6= IM. Đặt y là M−dãy cực đại trong I, khi đó, y có chiều dài là g = grade(I,M). Khi đó, theo Định lý 1.16 thì Hi(x,M) = 0 ∼ g với mọi i = n − g + 1, . . . , n và Hn−g(x,M) = ExtR(R/I, M) 6= 0. Cho y là một M−dãy cực đại trong I, giả sử y có chiều dài là g. Khi đó Hi(x,M) = 0 với mọi i = n − g + 1, . . . , n do Định lý 1.16 và hơn nữa, ∼ Hn−g(x,M) = HomR(R/I, M/yM). Do I chứa ước của không của M/yM nên module này khác không.  Hệ quả 1.14 có thể đảo ngược cho vành địa phương. Chúng ta cần bổ đề sau để khẳng định điều này: Bổ đề 1.18. Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, M là một R−module 0 hữu hạn sinh và x = x1, . . . , xn là một dãy trong m. Đặt x = x1, . . . , xn−1. Nếu 0 Hi(x,M) = 0 thì Hi(x ,M) = 0. ∼ 0 Chứng minh: Theo Mệnh đề 1.6 ta có K•(x) = K•(x ) ⊗ K•(xn), do đó, Hệ quả 1.13 cho ta dãy khớp 0 ±xn 0 Hi(x ,M) −−→ Hi(x ,M) −→ Hi(x,M). Các module này là hữu hạn sinh. Nếu Hi(x,M) = 0 thì phép nhân bởi 18
  27. 0 0 xn trên Hi(x ,M) là một toàn cấu, từ đó suy ra Hi(x ,M) = 0 theo bổ đề Nakayama.  Hệ quả 1.19. Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, M 6= 0 là một R−module hữu hạn sinh và I ⊂ m là ideal sinh bởi x = x1, . . . , xn. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: a. grade(I,M) = n; b. Hi(x,M) = 0 với mọi i > 0; c. H1(x,M) = 0; d. x là một M−dãy. Chứng minh: Tính tương đương của a. và b. kéo theo từ Định lý 1.17, từ b. ⇒ c. và d. ⇒ a. là tầm thường. c. ⇒ d. được chứng minh bằng quy nạp theo Bổ đề 1.18 và Hệ quả 1.13.  Từ Mệnh đề 1.8 ta có phức Koszul của một dãy x và của mọi hoán vị của x là đẳng cấu nhau. Do đó, Hệ quả 1.19 là một chứng minh khác cho mệnh đề "Mọi hoán vị của một M−dãy cũng là một M−dãy". Nhận xét 1.20. Với một vành bất kỳ R và module M bất kỳ thì từ H1(x,M) = 0 trong đó x là một M−dãy bán chính quy cho ta xM 6= M. Cho R là một vành địa phương Noether, I là một ideal, x = x1, . . . , xn và y = y1, . . . , yn là các hệ sinh tối tiểu của I. Khi đó, với mọi ma trận A = (aij) vuông cấp n sao cho n X xj = aijyi, j = 1, . . . , n i=1 19
  28. là khả nghịch do lớp các thặng dư của x và y là các cơ sở của R/m−không gian vector I/mI. Nếu f và f 0 là các dạng tuyến tính trên Rn xác định bởi x và y một cách tương ứng, thì tồn tại một R−tự đồng cấu ϕ trên Rn (xác định bởi ma trận A) sao cho f = f 0 ◦ ϕ, khi đó, từ Mệnh đề 1.8 thì ta suy ra các phức Koszul K•(x) và K•(y) đẳng cấu. Điều này rõ ràng không đúng nếu x và y không có cùng độ dài. Tuy nhiên, K•(x) và K•(y) thì liên hệ chặt chẽ với nhau. Mệnh đề sau chỉ ra cách so sánh mỗi phức này với K•(x, y). Mệnh đề 1.21. Cho R là một vành, x = x1, . . . , xn là một dãy trong R và 0 x = x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xm với xn+1, . . . , xm ∈ (x). Khi đó 0 ∼ ^ m−n K•(x ) = K•(x) ⊗ R như những R−đại số phân bậc, ở đây V Rm−n được xem như phức với các vi phân 0. Đặc biệt, với mọi R−module M ta có 0 ∼ ^ m−n H•(x ,M) = H•(x,M) ⊗ R . Chứng minh: Do Vk+1 R ∼= Vk R ⊗V R nên ta chỉ cần chứng minh cho trường n P hợp m = n + 1. Khi đó, viết xn+1 = ajxj. Cho f là một dạng tuyến tính trên j=1 Rn+1 xác định bởi x 0 và f 0 là dạng tuyến tính xác định bởi x 00 = x, 0. Tương n P ứng ei 7→ ei với mọi i = 1, . . . , n và en+1 7→ ajej +en+1 cảm sinh một tự đồng j=1 n+1 0 0 ∼ 00 cấu ϕ của R thỏa f = f ◦ ϕ. Do đó ta suy ra K•(x ) = K•(x ). Trong trường hợp đặc biệt chúng ta đang chứng minh, phần đầu của mệnh đề là kết quả tầm thường của Mệnh đề 1.6. Phần còn lại thì dễ dàng để kiểm tra.  Hệ quả 1.22. Cho R là một vành, I là một ideal hữu hạn sinh, và M là một R−module. Giả sử x = x1, . . . , xm và y = y1, . . . , yn là các hệ sinh của I, và cho g ∈ N. Khi đó, Hi(x,M) = 0 với i = m − g + 1, . . . , m nếu và chỉ nếu Hj(y,M) = 0 với j = n − g + 1, . . . , n. 20
  29. Chương 2 Lý thuyết bội Hàm Hilbert H(M, n) cho biết độ dài của thành phần thuần nhất thứ n của một module phân bậc M. Trong phần đầu của chương này, ta sẽ chứng minh rằng hàm Hilbert là một đa thức khi n đủ lớn, và giới thiệu về chuỗi Hilbert và bội của một module phân bậc. Ở phần tiếp theo, với khái niệm vành phân bậc liên kết theo một lọc, chúng ta mở rộng những khái niệm trên cho những module không phân bậc và dẫn đến khái niệm "hàm Hilbert - Samuel" và "bội" của một module hữu hạn sinh theo một ideal xác định. Cuối cùng, ta chứng minh định lý Serre, định lý giải thích bội như một đặc trưng Euler của một đồng điều Koszul xác định. 2.1 Hàm Hilbert - Samuel Trước hết, ta nói về hàm Hilbert của một module phân bậc trên một vành L phân bậc. Giả sử R = n≥0 Rn là một vành phân bậc có R0 là một vành địa L phương Artin và R là một R0−đại số hữu hạn sinh, M = Mn là một n∈Z R−module phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó, mỗi thành phần thuần nhất Mn của 21
  30. M là một R0−module hữu hạn sinh. Do đó lR0 (Mn) hữu hạn. Định nghĩa 2.1. Cho M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh. Một hàm số học H(M, −): Z → Z với H(M, n) = lR0 (Mn) (hay l(Mn) nếu không nhầm P n lẫn) với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert, và HM (t) = n∈Z H(M, n)t được gọi là chuỗi Hilbert của M. Trong phần còn lại của chương này, ta giả sử R được sinh bởi các phần tử thuần nhất bậc 1 trên R0, hay R = R0[R1]. Một hàm số học F : Z → Z được gọi là có kiểu đa thức (bậc d) nếu tồn tại một đa thức P (X) ∈ Q[X] (bậc d) sao cho F (n) = P (n) với mọi n đủ lớn. Ta quy ước đa thức 0 có bậc là −1. Ta định nghĩa toán tử số gia ∆ trên tập các hàm số học xác định bởi (∆F )(n) = F (n + 1) − F (n) với mọi n ∈ Z. Khi đó, ∆ biến một hàm đa thức thành một hàm đa thức, giảm bậc của các đa thức khác 0 đi 1. Thực hiện toán tử ∆ d lần liên tiếp được ký hiệu là ∆d. Ta quy ước ∆0F = F . Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.2. Cho F : Z → Z là một hàm số học, và một số nguyên d ≥ 0. Các điều kiện sau là tương đương: a. ∆dF (n) = c, c 6= 0, với mọi n đủ lớn; b. F có kiểu đa thức bậc d. Chứng minh: Chiều b. ⇒ a. là tầm thường. Ta chứng minh a. ⇒ b. bằng quy nạp theo d. Nếu d = 0 thì ta suy ra F là đa thức hằng có deg F = 0 = d. Nếu d > 0, ∆dF (n) = ∆d−1(F (n + 1) − F (n)) = c, c 6= 0 với mọi n đủ lớn. Bởi giả thiết quy nạp nên tồn tại n0 và một đa thức P (X) ∈ Q[X] bậc d − 1 sao 22
  31. cho F (n + 1) − F (n) = P (n) với mọi n ≥ n0. Khi đó, n X F (n + 1) = F (n0) + P (k) k=n0 và vế phải là một đa thức bậc d của n.  Định lý 2.3 (Định lý Hilbert). Cho M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Khi đó, H(M, n) có kiểu đa thức bậc d − 1. Chứng minh: Ta giả sử M 6= 0, khi đó, tồn tại một dãy 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ · · · ⊂ Nn = M ∼ các module con của M sao cho với mỗi i ta có Ni+1/Ni = (R/pi)(ai), trong đó pi là một ideal nguyên tố phân bậc. Do hàm Hilbert (hàm độ dài của module) có tính chất cộng tính trên các dãy khớp ngắn nên ta có X H(M, n) = H((R/pi)(ai), n). i Do d = dim M nên d là cận trên đúng của các giá trị dim R/pi. Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp M = R/p với p là một ideal nguyên tố phân bậc. L Nếu d = dim R/p = 0 thì p = m0 ⊕ Rn là ideal tối đại phân bậc duy nhất n>0 của R, trong đó m0 là ideal tối đại của R0. Nó kéo theo rằng H(R/p, n) = 0 với mọi n. Hay H(M, n) là một đa thức có bậc −1 = d − 1. Nếu d = dim R/p > 0, ta có thể chọn phần tử thuần nhất bậc 1 x ∈ R/p, x 6= 0. Dãy khớp ngắn 0 −→ (R/p)(−1) −→x R/p −→ R/(x, p) −→ 0 23
  32. cho ta phương trình ∆H(R/p, n) = H(R/p, n + 1) − H(R/p, n) = H(R/(x, p), n + 1). Do dim R/(x, p) = d − 1 nên ta chứng minh bằng quy nạp theo d như sau: Nếu d = 1 thì n X ∆d−1H(R/p, n) = H(R/p, n) = H(R/p, 0) + H(R/(x, p), i) i=1 là một hằng số do H(R/(x, p), i) = 0 với i đủ lớn và hằng số này khác 0 do H(R/p, 0) 6= 0. Hay H(R/p, n) là có kiểu đa thức bậc 0 = d − 1. Nếu d > 1 thì ∆d−1H(R/p, n) = ∆d−2(∆H(R/p, n)) = ∆d−2(H(R/(x, p), n + 1)) là một hằng số khác 0 (theo Bổ đề 2.2) nên suy ra H(R/p, n) có kiểu đa thức bậc d − 1.  Bổ đề sau đây sẽ cho biết khi nào một đa thức thuộc Q[X] nhận giá trị nguyên. Bổ đề 2.4. Cho P (X) ∈ Q[X] là một đa thức bậc d − 1. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a. P (n) ∈ Z với mọi n ∈ Z; b. Tồn tại các số nguyên a0, a1, . . . , ad−1 sao cho d−1 X X + i P (X) = a . i i i=0 Chứng minh: Chiều b. ⇒ a. là tầm thường. 24
  33. X+i a. ⇒ b. Ta có i với i ∈ N là một Q−cơ sở của không gian vector Q[X], do đó d−1 X X + i P (X) = a , a ∈ Q. i i i i=0 Mặt khác ta có X + i + 1 X + i X + i − = i i i − 1 i nên ta suy ra ai = ∆ P (−i − 1) ∈ Z, i = 0, . . . , d − 1.  Định nghĩa 2.5. Cho M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. Đa thức duy nhất PM (X) ∈ Q[x] thỏa H(M, n) = PM (n) với mọi n đủ lớn được gọi là đa thức Hilbert của M. Ta viết d−1 X X + i P (X) = (−1)d−1−ie . M d−1−i i i=0 Khi đó, bội của M được định nghĩa như sau  e0 nếu d > 0, e(M) = l(M) nếu d = 0. Nhận xét 2.6. Hàm Hilbert liên tiếp Hi(M, n), i ∈ N của một R−module phân bậc hữu hạn sinh M được định nghĩa một cách đệ quy như sau: X H0(M, n) = H(M, n) và Hi(M, n) = Hi−1(M, j) j≤n với i > 0. Theo Bổ đề 2.2 và Bổ đề 2.4 ta suy ra Hi(M, n) có kiểu đa thức bậc d + i − 1, với d = dim M. Đặc biệt, với mọi n đủ lớn, có một cách biểu diễn Pd n+i H1(M, n) = i=0 ai i với ai ∈ Z, và dễ thấy rằng ad = e(M). P n Bổ đề 2.7. Cho H(t) = ant là một chuỗi Laurent hình thức với hệ số nguyên, và ai = 0 với mọi i đủ bé. Hơn nữa, cho số nguyên d > 0. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: 25
  34. a. Tồn tại một đa thức P (X) ∈ Q[X] bậc d − 1 sao cho P (n) = an với mọi n đủ lớn; b. H(t) = Q(t)/(1 − t)d với Q(t) ∈ Z[t, t−1] và Q(1) 6= 0. Chứng minh: a. ⇒ b. Đặt F (n) = an với mọi n ∈ Z. Khi đó X (1 − t)dH(t) = ∆dF (n − d)tn, n d −1 P d n và theo Bổ đề 2.2 thì (1 − t) H(t) ∈ Z[t, t ]. Đặt Q(t) = ∆ F (n − d)t . Giả n sử Q(1) = 0 thì khi đó X X 0 = ∆dF (n − d) = (∆d−1F (n + 1 − d) − ∆d−1F (n − d)) = ∆d−1F (m) n n với m đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết F là đa thức bậc d − 1 (theo Bổ đề 2.2). b. ⇒ a. Giả sử tồn tại Q(t) ∈ Z[t, t−1] sao cho Q(1) 6= 0 thỏa H(t) = 1 Q(t)/(1 − t)d. Đặt Q(t) = P b ti. Chú ý rằng = P n+d−1tn. Khi i i (1 − t)d n≥0 n đó ta có ! ! X X n + d − 1 H(t) = b ti tn i n i n≥0 Nhân và đồng nhất số hạng của chuỗi ta thu được X n + d − i − 1 a = b với n  0. n i n − i i Vế phải của biểu thức trên là một đa thức bậc d − 1.  Hệ quả 2.8. Cho M 6= 0 là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d. −1 Khi đó tồn tại duy nhất QM (t) ∈ Z[t, t ] với QM (1) 6= 0 sao cho Q (t) H (t) = M . M (1 − t)d P i Hơn nữa, nếu QM (t) = i hit thì min{i : hi 6= 0} là số nhỏ nhất sao cho Mi 6= 0. 26
  35. Chứng minh: Ở phần đầu của hệ quả, nếu d = 0 thì kết quả là rõ ràng. Nếu d > 0 thì kết luận được rút ra từ Định lý 2.3 và Bổ đề 2.7. Để chứng minh phần thứ hai của hệ quả, ta có d X i (1 − t) HM (t) = QM (t) = hit . i Ta khai triển và so sánh hệ số của hai vế.  Trong mệnh đề tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra cách để tính các hệ số ei của đa (i) thức Hilbert của module M từ QM (t). Chúng ta ký hiệu P là đạo hàm thứ i của P ∈ Z[t, t−1]. Mệnh đề 2.9. Với các giả sử như ở Hệ quả 2.8 thì ta có công thức sau Q(i)(1) e = M i i! với i = 0, . . . , d − 1. Hơn nữa, e(M) = QM (1). Chứng minh: Ta viết d−1 (i) X (−1)i Q (1) D(t) H (t) − M = M i! (1 − t)d−i (1 − t)d i=0 trong đó d−1 i X (−1) (i) D(t) = Q (t) − Q (1)(1 − t)i M i! M i=0 là phần còn lại trong khai triển Taylor của QM (t) tới bậc d − 1. Phần tử D(t) ∈ Z[t, t−1] chia hết (1 − t)d vì D(j)(1) = 0 với j = 0, . . . , d − 1. Điều này kéo theo d−1 i (i) P (−1) QM (1) hệ số của HM (t) và d−i là trùng nhau khi n đủ lớn. Do đó i=0 i! (1 − t) d−1 (i) X (−1)i Q (1) X M = P (n)tn i! (1 − t)d−i M i=0 n≥0 27
  36. từ hệ số của cả hai chuỗi là các hàm đa thức của n mà bằng nhau khi n đủ lớn. Khai triển vế trái của biểu thức như một chuỗi lũy thừa và so sánh các hệ số, (i) ta được ei = QM (1)/i!. Nếu d > 0 thì ta có e(M) = e0 = QM (1). Nếu d = 0 thì X e(M) = l(M) = H(M, n) = HM (1) = QM (1) n do HM (t) = QM (t).  Hệ quả 2.10. Với các giả sử như ở Hệ quả 2.8 và thêm vào M là Cohen- P i Macaulay. Cho QM (t) = i hit . Khi đó, hi ≥ 0 với mọi i. Hơn nữa, ei ≥ 0 với mọi i nếu Mj = 0 với mọi j 0, ideal cực đại thuần nhất duy nhất M = m0 ⊕ n>0 Rn của R L không thuộc Ass M, và ideal I = n>0 Rn được sinh bởi các phần tử của R1 là M−nguyên sơ. Từ R/M là vô hạn nên tồn tại một phần tử a ∈ R1 là M−chính quy. Đặt N = M/aM, khi đó N là một R−module phân bậc Cohen-Macaulay chiều d − 1, và dãy khớp 0 → M(−1) −→a M → N → 0 cho ta phương trình (1 − t)HM (t) = HN (t) và do đó QM (t) = QN (t). Do giả thiết quy nạp nên ta suy ra điều cần chứng minh.  Nhận xét 2.11. Các lập luận ở phần chứng minh trên cho ta một kết quả đáng chú ý: Giả sử M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh, và x là một M−dãy gồm các phần tử bậc 1, thì QM (t) = QM/(x)M (t). 28
  37. Định lý Hilbert nói rằng hàm Hilbert của một module phân bậc hữu hạn sinh là một hàm đa thức với n đủ lớn. Ta sẽ xác định từ giá trị nào của n thì điều trên xảy ra. Mệnh đề 2.12. Cho M 6= 0 là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều Pb i d, và QM (t) = i=a hit với hb 6= 0. Khi đó, H(M, b − d) 6= PM (b − d) và H(M, i) = PM (i) với mọi i ≥ b − d + 1. i d n−i+d−1 Chứng minh: Với i = a, . . . , b ta đặt Hi = hit /(1 − t) và Pi(n) = d−1 . ∞ P n Khi đó Hi(t) = Pi(n)t , nhưng từ Pi(n) = 0 với n = i − d + 1, . . . , i − 1 nên n=i ∞ P n ta có Hi(t) = Pi(n)t . n=i−d+1 b P Hơn nữa, PM (n) = Pi(n) với mọi n ∈ Z. Với i ≥ b−d+1 ta có H(M, n) = i=a b b−1 P P Pi(n), trong khi đó, H(M, b − d) = Pi(b − d) và Pb(b − d) 6= 0. Do đó i=a i=a H(M, b − d) 6= PM (b − d).  2.2 Lý thuyết bội Ở mục trước, ta đã xây dựng khái niệm hàm Hilbert và bội của một R−module phân bậc hữu hạn sinh M. Ở mục này, ta sẽ xây dựng khái niệm bội cho một R−module M bất kỳ. Để làm được điều này, ta dựa vào khái niệm module phân bậc liên kết của M. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R−module. Ideal I ⊂ m được gọi là ideal xác định của M nếu l(M/IM) hữu hạn. Cho I là một ideal xác định của M, đặt ∞ ∞ M i i+1 M i i+1 grI (R) = (I /I ) và grI (M) = (I M/I M). i=0 i=0 Khi đó, grI (M) là một grI (R)−module phân bậc. 29
  38. Định nghĩa 2.13. Hàm Hilbert lặp lần thứ nhất n I P χM (n) = H1(grI (M), n) = H(grI (M), i) i=0 n = P l(IiM/Ii+1M) = l(M/In+1M) i=0 được gọi là hàm Hilbert - Samuel của M và e(I,M) = e(grI (M)) được gọi là bội của M theo I. Mệnh đề 2.14. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M 6= 0 là một R−module hữu hạn sinh có chiều d, và I là một ideal xác định của M. Khi đó I a. Hàm Hilbert - Samuel χM có kiểu đa thức bậc d. d! b. e(I,M) = lim l(M/In+1M). n→∞ nd Chứng minh: a. Ta có dim M = dim grI (M) nên theo Nhận xét 2.6 thì ta suy ra điều cần chứng minh. I d b. Từ ý a. ta có: với n đủ lớn thì χM (n) = (e(I,M)/d!)n + các hạng tử có d! bậc bé hơn d. Do đó, e(I,M) = lim l(M/In+1M). n→∞ nd  Định nghĩa 2.15. Cho R là một vành Noether, I là một ideal thực sự của R và M là một R−module hữu hạn sinh. Một ideal J ⊂ I được gọi là ideal rút gọn của I theo module M nếu JInM = In+1M với n đủ lớn. Bổ đề 2.16. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh, I là một ideal xác định của M và J là một ideal rút gọn của I theo M. Khi đó J là một ideal xác định của M và e(J, M) = e(I,M). Chứng minh: Với n đủ lớn thì ta có In+1M = JInM ⊂ JM và dó đó, J là một ideal xác định của M. Ngoài ra, ta được các bất đẳng thức l(M/Im(n+1)) ≥ l(M/J mM) ≥ l(M/ImM) với mọi m ≥ 1. Khi đó, theo Mệnh đề 2.14 ta suy được điều cần chứng minh. 30
  39. Mệnh đề 2.17. Cho R là một vành Noether, J ⊂ I là các ideal thực sự của R, và M là một R−module hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là tương đương a. J là một ideal rút gọn của I theo M. b. R+(I,M) là R+(J)−module hữu hạn sinh. n+1 n Chứng minh: a. ⇒ b. Giả sử I M = JI M thì R+(I,M) được sinh trên R+(J) bởi các phần tử có bậc bé hơn bằng n, nên là module hữu hạn sinh. b. ⇒ a. Ta có thể chọn một tập các phần tử thuần nhất x1, . . . , xr trong R+(I,M). Gọi n là bậc lớn nhất của các phần tử thuần nhất xi này, và cho n+1 bi x ∈ I M. Tồn tại các phần tử ai ∈ J , với bi = n + 1 − deg xi sao cho r P x = aixi. i=1 b+i n+1−bi n n n+1 Từ aixi ∈ J I M ⊂ JI M nên suy ra x ∈ JI M. Hay I M ⊂ JInM. Bao hàm ngược lại là tầm thường. Do đó, In+1M = JInM hay J là một ideal rút gọn của I theo M.  Định nghĩa 2.18. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, I là một ideal thực sự của R và M là một R−module hữu hạn sinh. Số λ(I,M) = dim(R+(I,M)/mR+(I,M)) = dim(grI (M)/m grI (M)) gọi là độ trải giải tích của I theo M. Đặt λ(I) = λ(I,R) và gọi là độ trải giải tích của I. Mệnh đề 2.19. Với các giả thiết ở Định nghĩa 2.18 ta có µ(J) ≥ λ(I,R) với mọi ideal rút gọn J của I theo M. Nếu thêm giả thiết R/m hữu hạn sinh thì tồn tại một ideal rút gọn J của I theo M sao cho µ(J) = λ(I,M). Chứng minh: Ta có module R+(I,M)/mR+(I,M) là module hữu hạn sinh L i i trên R+(J)/mR+(J) = J /mJ mà đây là vành nhân tử của k[X1, ,Xm] i≥0 31
  40. với m = dimk J/mJ = µ(J). Do đó ta có dim(R+(I,M)/mR+(I,M)) ≤ m hay µ(J) ≥ λ(I,R). Bây giờ ta đặt A = R+(I)/a, trong đó a là cái triệt của R+(I)−module R+(I,M)/mR+(I,M). Ideal a là phân bậc và chứa mR+(I). Do đó, A là một R/m−đại số thuần nhất, và dim A = λ(I,M). Từ R/m là vô hạn, định lý tiêu chuẩn hóa Noether nói rằng tồn tại các phần tử y1, . . . , yd ∈ A bậc 1, d = λ(I,M) sao cho A là một B−module hữu hạn sinh với B = k[y1, . . . , yd]. Nó kéo theo R+(I,M)/mR+(I,M) là một B−module phân bậc hữu hạn sinh. Với mỗi yi ta chọn zi ∈ I trong đó zi là tạo ảnh của yi qua phép chiếu chính tắc I → R+(I)/a. Đặt J = (z1, . . . , zd) thì µ(J) = λ(I,M) và R+(I,M)/mR+(I,M) là module hữu hạn sinh trên R+(J)/mR+(J). Khi đó, theo bổ đề Nakayama phiên bản phân bậc thì ta có R+(I,M) là R+(J)−module hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 2.17 thì J là ideal rút gọn của I theo M.  Nhận xét 2.20. Cho (R, m, k) là một vành địa phương Noether và I là một ideal thực sự của R, J được gọi là ideal rút gọn cực tiểu của I nếu J là ideal rút gọn của I và J không có ideal rút gọn thực sự nào khác. Nếu k là vô hạn thì ta có một kết quả sau: Cho J là ideal rút gọn của I, và giả sử J có hệ sinh cực tiểu là x1, . . . , xn. Khi đó, J là ideal rút gọn cực tiểu của I nếu và chỉ nếu các phần tử x1, . . . , xn là độc lập đại số trong I và n = λ(I). Hệ quả 2.21. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether có trường các lớp thặng dư vô hạn, M là một R−module hữu hạn sinh và I là ideal xác định của M. Khi đó, tồn tại một hệ tham số x của M sao cho (x) là ideal rút gọn của I theo M. Đặc biệt, e(I,M) = e((x),M). Ở trên ta thấy việc tính bội e(I,M) của một module hữu hạn sinh M theo ideal xác định I có thể rút gọn thành trường hợp I được sinh bởi hệ tham số của M. Sự thuận tiện của việc rút gọn này sẽ trở lên rõ ràng khi chúng ta chỉ ra rằng 32
  41. bội của một module M theo một ideal sinh bởi hệ tham số có thể được mô tả trong giới hạn của đồng điều Koszul H•(x,M). Chúng ta sẽ tiếp cận mục tiêu này bằng việc giới thiệu bội hình thức e(x,M). Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M là một R−module hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x = x1, . . . , xn trong m được gọi là hệ bội của M nếu l(M/(x)M) hữu hạn, hay nếu (x) là một ideal xác định của M. Bổ đề 2.22. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, x là một dãy các phần tử trong R, và 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là một dãy khớp các R−module hữu hạn sinh. Khi đó dãy x là hệ bội của M khi và chỉ khi x là hệ bội của M 0 và M 00. Chứng minh: Tính khớp của dãy M 0/(x)M 0 → M/(x)M → M 00/(x)M 00 → 0 cho ta kết quả l(M 00/(x)M 00) ≤ l(M/(x)M) ≤ l(M 00/(x)M 00) + l(M 0/(x)M 0). Do đó, nếu x là hệ bội của M 0 và M 00 ta suy ra x là hệ bội của M. Ngược lại, nếu l(M/(x)M) < ∞ thì l(M 00/(x)M 00) < ∞. Theo Bổ đề Artin- Rees thì tồn tại số nguyên m sao cho (x)mM ∩ M 0 ⊂ (x)M 0 và do đó l(M 0/(x)M 0) ≤ l(M 0/(x)mM ∩ M 0) ≤ l(M/(x)mM) nên nếu l(M/(x)M) < ∞ thì l(M 0/(x)M 0) < ∞. Ta suy ra điều cần chứng minh.  Hệ quả 2.23. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module 0 hữu hạn sinh và x = x1, . . . , xn là một hệ bội của M. Khi đó x = x2, . . . , xn là một hệ bội của M/x1M và (0 : x1)M . 33
  42. 0 0 Chứng minh: Ta có x(M/x1M) = x (M/x1M) và x(0 : x1)M = x (0 : x1)M . Từ dãy khớp x1 0 −→ M −→ M −→ M/x1M → 0 0 và x là hệ bội của M ta suy ra x là hệ bội của M/x1M và từ đó x là hệ bội của M/x1M. Phần còn lại chứng minh tương tự.  Hệ quả trên cho ta một cách định nghĩa đệ quy về bội hình thức: Định nghĩa 2.24. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh và x = x1, . . . , xn là một hệ bội của M. Nếu n = 0 thì 0 l(M) 0, ta đặt e(x,M) = e(x , M/x1M)− 0 0 e(x , (0 : x1)M ) với x = x2, . . . , xn. Ta gọi e(x,M) là bội hình thức. Từ cái nhìn đầu tiên, ta có cảm giác rằng bội hình thức phụ thuộc vào thứ tự các phần tử của dãy x. Tuy nhiên, điều này không đúng theo định lý dưới đây. Chú ý rằng đồng điều H•(x,M) của phức Koszul của hệ bội x của M có độ dài hữu hạn. Do đó, ta có thể xem xét đặc trưng Euler của đồng điều Koszul X i χ(x,M) = (−1) l(Hi(x,M)). i Bổ đề sau cho ta một tính chất cơ bản của đặc trưng này: Bổ đề 2.25. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và x = x1, . . . , xn là một dãy các phần tử trong m. Khi nào đặc trưng Euler được xác định, nó có các tính chất sau a. χ(x, −) có tính chất cộng tính trên các dãy khớp ngắn, tức là với bất kỳ dãy khớp ngắn 0 → M 0 → M → M 00 → 0 sao cho x là hệ bội của M, ta có χ(x,M) = χ(x,M 0) + χ(x,M 00); 34
  43. b. Nếu x1M = 0 thì χ(x,M) = 0. c. Nếu x1 là M−chính quy thì χ(x,M) = χ(x2, . . . , xn, M/x1M). Chứng minh: a. Bởi tính chất cộng tính của hàm độ dài, tổng thay phiên của các độ dài của các module đồng điều trong dãy khớp dài 0 00 · · · → Hi(x,M ) → Hi(x,M) → Hi(x,M ) → · · · bằng 0. Từ đó ta suy ra χ(x,M) = χ(x,M 0) + χ(x,M 00) 0 b. Đặt x = x2, . . . , xn. Nếu x1M = 0 thì 0 ∼ 0 0 Hi(x,M) = Hi(0, x ,M) = Hi(x ,M) ⊕ Hi−1(x ,M) với mọi i (theo Mệnh đề 1.21). Do đó X i 0 0 χ(x,M) = (−1) (l(Hi(x ,M)) + l(Hi−1(x ,M))) = 0. i ∼ c. Nếu x1 là phần từ M−chính quy thì theo Hệ quả 1.13 thì Hi(x,M) = 0 Hi(x , M/x1M) và ta suy ra điều cần chứng minh.  Từ Bổ đề 2.25 ta có một kết quả quan trọng sau Định lý 2.26 (Auslander - Buchsbaum). Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh và x là một hệ bội của M. Khi đó e(x,M) = χ(x,M). 0 Chứng minh: Cho x = x1, . . . , xn và x = x2, . . . , xn. Nếu n = 0 thì ta có χ(x,M) = l(M) = e(x,M). Nếu n > 0, ta chỉ ra rằng 0 0 χ(x,M) = χ(x , M/x1M) − χ(x , (0 : x1)M ). (2.1) 35
  44. Dãy tăng các module con của M 2 0 ⊂ (0 : x1)M ⊂ (0 : x1)M ⊂ · · · a là dừng vì M là module Noether. Gọi a là một số nguyên sao cho (0 : x1)M = a+1 a 0 (0 : x1 )M . Khi đó ta có x1 là phần tử chính quy trên N = M/(0 : x1)M và x a là một hệ bội của (0 : x1)M . Xét biểu đồ giao hoán với các dòng và cột là khớp sau 0 0   (0 : x1)M (0 : x1)M 0    / a / / / 0 (0 : x1)M MN 0 x1 x1 x1    / a / / / 0 (0 : x1)M MN 0    0 / C / M/x1M/ N/x1N / 0    0 0 0 0 0 0 Từ Bổ đề 2.25 a. thì ta có χ(x , N/x1N) = χ(x , M/x1M) − χ(x ,C) và 0 0 χ(x ,C) = χ(x , (0 : x1)M ), và do đó 0 0 0 χ(x , N/x1N) = χ(x , M/x1M) − χ(x , (0 : x1)M ). (2.2) Áp dụng Bổ đề 2.25 a. và c. ta được 0 0 a χ(x , N/x1N) = χ(x,N) = χ(x,M) − χ(x , (0 : x1)M ). (2.3) Bằng cách quy nạp theo i, từ Bổ đề 2.25 a. và b., và từ dãy khớp i−1 i i i−1 0 → (0 : x1 )M → (0 : x1)M → (0 : x1)M /(0 : x1 )M → 0 i ta suy ra χ(x, → (0 : x1)M ) = 0 với mọi i. Điều này cùng với (2.2) và (2.3) ta 0 0 suy ra χ(x,M) = χ(x , M/x1M) − χ(x , (0 : x1)M ).  36
  45. Nếu dãy x là hệ sinh tối tiểu của ideal I thì đồng điều Koszul H•(x,M) chỉ phụ thuộc vào ideal (x). Bởi Định lý 2.26, ta có lập luận tương tự cho bội hình thức. Định lý 2.27 (Serre). Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh, x = x1, . . . , xn là một hệ bội của M và I là ideal sinh bởi x. Khi đó  e(I,M) nếu x là một hệ tham số của M, χ(x,M) = 0 với các trường hợp khác. Cùng với Định lý 2.26 ta thấy: Với mọi hệ tham số x của M thì các số e(x,M), e((x),M) và χ(x,M) là giống nhau. Chứng minh: Đặt K• = K•(x,M) là phức Koszul, và với mỗi số nguyên m ta (m) đặt K• là phức con của K• m m+1 m+n 0 → I Kn → I Kn−1 → · · · → I K0 → 0. (m) Ta có K• là khớp với mọi m đủ lớn: Với một số nguyên i cố định, chu trình (m) m+n−i thứ i là Zi(K• ) = Zi(K•) ∩ I Ki. Theo Bổ đề Artin-Rees ta có m+n−i m+n−i−1 Zi(K•) ∩ I Ki = I · (Zi(K•) ∩ I Ki) với mọi m đủ lớn. Ta có thể chọn m0 đủ lớn sao cho đẳng thức trên đồng thời xảy ra với mọi i và m ≥ m0. n (m) P Cho m ≥ m0 và z ∈ Zi(K• ), khi đó z = xizi với zi ∈ Zi(K•) ∩ i=1 m+n−i−1 I Ki. Đặt e1, . . . , en là một cơ sở của K1(x,R) với dx (ei) = xi với n P m+n−i−1 i = 1, . . . , n và dx là vi phân trên K•(x,R). Khi đó w = eizi ∈ I Ki+1 i=1 (m) và dx,M (w) = z. Do đó K• thực sự là khớp. Từ dãy khớp các phức (m) (m) 0 → K• → K• → K•/K• → 0 37
  46. (m) ∼ (m) và tính khớp của K• ta suy ra H•(K•) = H•(K•/K• ), do đó χ(x,M) = n P i (m) (m) n m+n−i (−1) l(Hi(K•/K• )). Tuy nhiên, từ độ dài của Ki/Ki = i l(M/I M) i=0 là hữu hạn với mọi i ta có n n X i (m) X i (m) (−1) l(Hi(K•/K• )) = (−1) l(Ki/Ki ) i=0 i=0 và do đó với m đủ lớn thì n P in I n I χ(x,M) = (−1) i χM (m + n − i − 1) = ∆ χM (m − 1) i=0 e(I,M) nếu dim M = n, = 0 nếu dim M < n; theo Mệnh đề 2.14 và tính chất hàm ∆ giảm 1 bậc của các hàm đa thức.  Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và I là một ideal xác định của R. Với một số nguyên q, ta đặt Kq(R) là một phạm trù con đầy đủ của phạm trù M(R) các R−module hữu hạn sinh, mà có số chiều không quá q. Ta định nghĩa  e(I,M) nếu dim M = q eq(I,M) = 0 nếu dim M < q. Hệ quả 2.28. Bội eq(I,M) là một hàm cộng tính trên phạm trù Kq(R), nghĩa 0 00 0 00 là eq(I,M) = eq(I,M ) + eq(I,M ) với mọi dãy khớp 0 → M → M → M → 0 trong Kq(R). Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử trường thặng dư R/m là vô hạn và M trong dãy khớp trên có chiều là q. Theo Hệ quả 2.21 thì tồn tại một hệ tham số x = x1, . . . , xq của M sao cho (x) là ideal rút gọn của I theo M và do đó eq(I,M) = e(I,M) = χ(x,M). Ngoài ta, (x) cũng là ideal rút gọn của 0 00 0 0 00 00 I theo M và M nên ta cũng có eq(I,M ) = χ(x,M ) và eq(I,M ) = χ(x,M ) và do đó, theo Bổ đề 2.25 và Định lý 2.26 ta suy ra điều cần chứng minh.  38
  47. Hệ quả 2.29. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, I là một ideal xác định của R và M là một R−module hữu hạn sinh có chiều không quá q. Khi đó X eq(I,M) = l(Mp)eq(I, R/p), p với tổng trên thực hiện trên tất cả các ideal nguyên tố p sao cho dim R/p = q. Chứng minh: Module M có một lọc là 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mr−1 ⊂ Mr = M ∼ sao cho Mi/Mi−1 = R/pi với i = 1, . . . , r. Hiển nhiên dim R/pi ≤ q. Do đó, từ r P hệ quả trước ta có eq(I,M) = eq(I, R/pi). Tổng này chỉ thực hiện ở các hạng i=1 tử thỏa dim R/pi = q. Cố định một ideal nguyên tố p thỏa dim R/p = q, khi đó, số các số nguyên i thỏa eq(I, R/pi) = eq(I, R/p) bằng với độ dài của Mp, điều này dễ thấy bởi tính chất địa phương hóa tại p. Ta thu được điều cần chứng minh.  Như một trường hợp đặc biệt quan trọng của kết quả trước, ta có Hệ quả 2.30. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh có hạng dương, và I là một ideal m−nguyên sơ của R. Khi đó e(I,M) = e(I,R) rank M. Đặc biệt, e(M) = e(R) rank M. ∼ r Chứng minh: Đặt r = rank M, khi đó ta có Mp = Rp với mọi ideal nguyên tố p thỏa dim R/p = d. Đặc biệt, khi M có chiều lớn nhất và khi đó e(I,M) = ed(I,M), d = dim R. Theo Hệ quả 2.29 ta có X X e(I,M) = l(Mp)e(I, R/p) = rl(Rp)e(I, R/p) = e(I,R) rank M, p p ở đây, tổng được thực hiện trên các ideal nguyên tố p thỏa dim R/p = d.  39
  48. Một kết quả của Định lý 2.26 là: Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh và x là một hệ bội của M. Khi đó χ(x,M) = P i i(−1) l(Hi(x,M)) ≥ 0. Với j ≥ 0, ta định nghĩa đặc trưng Euler từng phần của M theo x: X i−j χj(x,M) = (−1) l(Hi(x,M)). i≥j Theo Serre, tất cả các đặc trưng Euler từng phần đều không âm. Ta chỉ chứng minh kết quả này với χ1(x,M). Định lý 2.31 (Serre). Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh và x là một hệ bội của M. a. χ1(x,M) ≥ 0, hay tương đương với l(M/xM) ≥ χ(x,M). b. Giả sử thêm x là một hệ tham số của M. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: i. χ1(x,M) = 0; ii. H1(x,M) = 0; iii. Hi(x,M) = 0 với mọi i ≥ 1; iv. x là một M−dãy; v. M là Cohen-Macaulay. Chứng minh: Cho x = x1, . . . , xn, ta chứng minh a. bằng quy nạp theo n: Nếu n = 1 thì χ1(x1,M) = l(H1(x1; M)) và điều cần chứng minh là tầm thường. 0 Cho n > 1, đặt x = x1, . . . , xn. Chú ý rằng χ(x,M) = l(M/xM)−χ1(x,M), ở đó 0 0 χ1(x,M) = χ1(x , M/x1M) + χ(x , (0 : x1)M ) (2.4) 40
  49. 0 theo (2.1) trên. Theo giả thiết quy nạp thì χ1(x , M/x1M) ≥ 0 và từ điều kiện 0 χ(x , (0 : x1)M ) ≥ 0 nên ta suy ra điều cần chứng minh. b. Sự tương đương của các mệnh đề ii. đến v. đã được chứng minh dựa trên điều kiện Cohen-Macaulay của M và x là một hệ tham số của M. iii. ⇒ i. dựa vào định nghĩa đặc trưng Euler từng phần. Chúng ta chỉ cần chứng minh chiều i. ⇒ v. Giả sử rằng χ1(x,M) = 0, khi đó từ (2.4) ta có 0 0 χ1(x , M/x1M) = 0 và χ(x , (0 : x1)M ) = 0. Bằng quy nạp, ta có thể giả sử M/x1M là Cohen-Macaulay với chiều n − 1, ta cần chỉ ra rằng (0 : x1)M = 0. Đặt M1 = M/(0 : x1)M , áp dụng bổ đề con rắn vào biểu đồ giao hoán 0 / (0 : x1)M / M / M1 / 0 x1 x1 x1    0 / (0 : x1)M / M / M1 / 0 ta thu được dãy khớp ϕ 0 → (0 : x1)M −→ (0 : x1)M → (0 : x1)M1 → ψ → (0 : x1)M −→ M/x1M → M1/x1M1 → 0. Dễ thấy ϕ là một đẳng cấu. Ta chứng minh ψ là đồng cấu 0. Thật vậy, ta 0 có dim(0 : x1)M ≤ n − 2 do χ(x , (0 : x1)M ) = 0. Mặt khác, dim R/p = n − 1 với mọi p ∈ Ass(M/x1M) do M/x1M là Cohen-Macaulay. Do đó, ta suy ra Hom((0 : x1)M , M/x1M) = 0. Ta thu được các đẳng cấu ∼ ∼ M/x1M = M1/x1M1 và (0 : x1)M = (0 : x1)M1 . Từ (2.1) ta được 0 0 χ1(x,M) = l(M/xM) − χ(x , M/x1M) + χ(x , (0 : x1)M ), 41
  50. và do đó, từ phương trình tương tự cho M1 và các đẳng cấu trên ta được χ1(x,M1) = χ1(x,M) = 0. Lặp lại các lập luận trên, ta thu được một dãy các module Mn được định nghĩa một cách đệ quy là Mn = Mn−1/(0 : x1)Mn−1 với ∼ ∼ Mn/x1Mn = Mn−1/x1Mn−1 và (0 : x1)Mn = (0 : x1)Mn−1 . Xét dãy M → M1 → · · · → Mn−1 → Mn các toàn cấu chính tắc. Một lập n luận quy nạp đơn giản chỉ ra rằng nhân của nó là (0 : x1 )M . Do M là module m m+1 Noether nên tồn tại số nguyên m sao cho (0 : x1 )M = (0 : x1 )M và do đó toàn cấu chính tắc Mm → Mm+1 phải là một đẳng cấu, do đó, (0 : x1)Mm = 0. Khi đó ∼ ∼ ∼ (0 : x1)M = (0 : x1)M1 = ··· = (0 : x1)Mm = 0 nên ta suy ra M là Cohen-Macaulay.  Từ Hệ quả 2.30 và Định lý 2.31 ta được tiêu chí cho các module Cohen- Macaulay như sau: Hệ quả 2.32. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−module hữu hạn sinh có hạng dương, I là ideal được sinh bởi một hệ tham số của R. a. l(M/IM) ≥ e(I,R) rank M. b. M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi l(M/IM) = e(I,R) rank M. c. Giả sử R là Cohen-Macaulay, khi đó M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi l(M/IM) = l(R/I) rank M. 42
  51. Kết luận Luận văn đã trình bày một số kết quả cơ bản về phức Kozsul và lý thuyết Bội, được trình bày cụ thể trong hai chương. Chương 1: Trình bày các kết quả về phức Koszul: xây dựng một cách tổng quát phức Koszul của một dạng tuyến tính và của một dãy phần tử trong vành thông qua các khái niệm về lũy thừa ngoài và đại số ngoài; các tính chất quan trọng của phức Koszul và đồng điều Koszul. Các kết quả đáng chú ý của chương này là Định lý 1.16 và Định lý 1.17 liên quan đến mối liên hệ giữa đồng điều Koszul với hàm tử dẫn xuất Ext và bậc của module đối với một ideal. Chương 2: Trình bày về hàm Hilbert và Lý thuyết bội như: khái niệm hàm Hilbert, chuỗi Hilbert, bội của một module phân bậc; hàm Hilbert - Samuel, bội hình thức của một module hữu hạn sinh theo một ideal xác định; các tính chất quan trọng của bội hình thức. Các kết quả quan trọng của chương là định lý Hilbert (Định lý 2.3) về hàm Hilbert, định lý Auslander - Buchsbaum (Định lý 2.26) và các định lý Serre (Định lý 2.27 và Định lý 2.31) về mối liên hệ giữa bội hình thức với đặc trưng Euler của đồng điều Koszul H•(x,M) cũng như mối liên hệ giữa một module Cohen-Macaulay với đặc trưng Euler từng phần. 43
  52. Tài liệu tham khảo [I] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn Đại số giao hoán và Hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội. [2] Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết Chiều, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [II] TÀI LIỆU TIẾNG ANH [3] M. F. Atiyah và I. G. MacDonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press. [4] M. Auslander và D. A. Buchsbaum (1958), "Codimension and multi- plicity", Ann. of Math, 68: 625–657. [5] Winfried Bruns và Udo Vetter (1998), "A Remark on Koszul Com- plexes", Contributions to Algebra and Geometry, 39(2): 249–254. [6] Winfries Bruns và Jurgen¨ Herzog (1993), Cohen - Macaulay Rings, Cambridge University Press. [7] D. Eisenbud (1996), Commuative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Springer. 44
  53. [8] Bogdan Ichim và Udo Vetter (2006), "Generalized Koszul complexes", An. St. Univ. Ovidius Constanta, 14(2): 61–72. [9] D. G. Northcott (1968), Lessons on rings, modules, and multiplicities, Cambridge University Press. [10] Paul C. Roberts (1998), Multiplicities and Chern Classes in Local Alge- bra, Cambridge University Press. [11] Jean-Pierre Serre (2000), Local Algebra and Multiplicities, Springer. 45