Luận văn Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

77 trang yendo 7130

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_van_khai_trien_truc_giao_cua_ham_ngau_nhien.pdf

Nội dung text: Luận văn Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên LỜI MỞ ĐẦU Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội. Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên. Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học, khoa học trái đất, kinh tế Luận văn này gồm 3 chương : Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “ Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo. Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “ 2 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho chương sau. Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong LR2 ( ) và LR2 ( n ) . Cuối cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. 3 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn . 1 Lời nói đầu . 2 Mục lục 4 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN . 7 §1.1 Không gian L2 (,,)Ω FP 7 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 7 1.1.2 Định nghĩa 7 1.1.3 Định nghĩa 8 1.1.4 Tính chất 9 1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9 1.1.6 Tính chất của phép chiếu 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2 12 1.1.8 Phương trình dự đoán . 13 1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L2 14 §1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên .16 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu nhiên cơ bản 16 1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên 18 1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc 20 1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt 22 §1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert 25 4 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) 25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) 25 1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) 26 1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) 26 §1.4 Quá trình Wiener 27 1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener ) 27 1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo 27 1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều 37 §1.5 Tích phân Ito 39 1.5.1 Định nghĩa 39 1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito 40 1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều 43 1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito 44 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 Đa thức Hermite 48 2.1.1 Định nghĩa 48 2.1.2 Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite 49 2.1.3 Đạo hàm của đa thức Hermite 50 2.1.4 Các bổ đề của đa thức Hermite 53 §2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57 2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite 57 2.2.2 Tính chất 58 CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 60 §3.1 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite 60 3.1.1 Định nghĩa 60 5 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 3.1.2 Các ví dụ 60 §3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong LR2 ( ) và LR2 ( n ) 62 3.2.1 Định nghĩa 62 3.2.2 Các tính chất 62 3.2.3 Định nghĩa . 64 3.2.4 Tính chất 65 §3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên 66 3.3.1 Định nghĩa 66 3.3.2 Định lý 67 3.3.3 Bổ đề 67 3.3.4 Hệ quả 69 3.3.5 Các tính chất của quá trình dạng Hermite 70 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 6 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.1 KHÔNG GIAN L2 (,,)Ω FP Phần này giới thiệu không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L2(Ω,,F P ) 1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của thí nghiệm . Ta định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên là : Xét phép thử ngẫu nhiên với tập Ω và σ - đại số F các biến cố Biến ngẫu nhiên là ánh xạ XR:,Ω→=−∞+∞( ) sao cho: ( Xx(τττ) ≤=∈Ω) { \F, Xx( ) ≤∈} ∀∈ xR hoặc : XB−1 ( )=∈Ω{ττ\, X( ) ∈ BF} ∈ ∀B ∈ B với B là tập các tập Borel trong R . Ta chỉ xét những tập B sao cho XB−1 ( ) là biến cố, tức ∈ F, khi đó lớp tất cả các biến cố XB−1 ( ) là lớp biến cố cảm sinh bởi biến số ngẫu nhiên X (τ ). 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA Ta xét không gian xác suất (Ω,,F P) và lớp các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích được định nghĩa trên Ω và thỏa mãn điều kiện : 7 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên EX22= ∫ X()ττ P ( d ) ==XY,: EXY (.)∫ X ()()()τ Yττ Pd . (1.1) Ω Không gian LFP2 (,,)Ω là tập các lớp tương đương với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kì nào đó của lớp làm đại diện nên ta vẫn dùng kí hiệu X, Y để chỉ các phần tử của LFP2 (Ω,,) , ta có thể dùng ngắn gọn L2 và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X. 1.1.3 ĐỊNH NGHĨA 2 L2 Sự hội tụ trong L là sự hội tụ bình phương trung bình viết là XXn ⎯⎯→ 2 nghĩa là, dãy các phần tử {X n} , {XLn}∈ được gọi là hội tụ đến X nếu và chỉ nếu : 8 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 2 2 XXnn−=:0 EXX −→ khi n →∞ Để xây dựng tính đầy của L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng 2 2 2 tính đầy của L nghĩa là nếu XXmn− → 0 khi mn, →∞ thì tồn tại XL∈ sao L2 cho: XXn ⎯⎯→ Ta xét tính chất : 1.1.4 TÍNH CHẤT 2 −n Nếu X n ∈ L và XXnn+1 −≤2 ; n = 1, 2, 3 thì tồn tại một biến L2 ngẫu nhiên X trên (,,)Ω FP sao cho XXn ⎯⎯→ . Chứng minh: Chọn X 0 = 0 ∞ Đặt Xn : = ∑ XXjj− −1 , khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có : j=1 <>≤X ,.YXY ∞ ∞ ∞∞ − j E ( ∑ XXjj− −1 ) = ∑ EXjj− X−1 ≤ ∑∑XXjj−≤−1 2 <∞ j =1 j =1 jj==11 n Từ đó, suy ra tồn tại lim XXjj− −1 và giới hạn đó hữu hạn. n→∞ ∑ j=1 Như thế n lim (X jj−=XX−1 ) lim n tồn tại. nn→∞∑ →∞ j=1 1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x ∈ H thì: a) Tồn tại duy nhất một phần tử x' ∈A sao cho x − xxy'inf=− yA∈ 9 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên b) x ' ∈A và x −=xxy'inf − nếu và chỉ nếu x' ∈A và ()x −∈xA' ⊥ yA∈ ' x’ được gọi là chiếu (trực giao) của x lên A, viết là x : = PxA Định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao. Chứng minh: 2 a) Nếu dxy:inf=− thì tồn tại một dãy {yn}, yAn ∈ sao cho yA∈ 2 yxn −→0. Hơn nữa, với k, l bất kì thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có : 2222 kl−++ k l =2⎣⎡ k + l ⎦⎤ Do đó, xét yxAyxAmn− ∈−∈, Ta có: yxyx−+ −2222 + yxxy −+− =2⎡ yx − + yx − ⎤ mn m n⎣ m n⎦ tức là: yy+−22 x22 + yy − =⎡ yx − 22 + yx − ⎤ mn mn⎣ m n ⎦ Mặt khác, vì: ( yy− ) mn∈ A, 2 2 2 ⎛⎞yy− 2 2 04≤−yy =−mn −+ x 2 yx −+− yx mn⎜⎟ () m n ⎝⎠2 22 ≤−42dyxyx +( mn − + −) → 0 khi mn, →∞ 10 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Từ đó theo tiêu chuẩn Cauchy, ∃x'∈ H sao cho yxn − '0→ và vì A đóng nên x'∈A và vì tính liên tục của tích vô hướng nên : 2 2 x −=xxyd'lim −=n n→∞ Để chứng minh tính duy nhất của x’ ta giả sử có yA'∈ sao cho: 22 x −=−=yxxd'' khi đó dùng tính chất hình bình hành ta có : 2 222⎛⎞xy''+ ⎛⎞ 0''4≤−xy =−⎜⎟ − x + 2'⎜⎟ xx − +− yx ' ⎜⎟2 ⎝⎠ ⎝⎠ ≤−440dd + = ⇒=yx'' b) Nếu x'∈ A và (')x −∈xA⊥ thì x’ là phần tử duy nhất của A được định nghĩa trong a) vì với bất kỳ yA∈ có : 2 x −=−+−−+−y xxxyxxxy'', '' 22 2 =−xx'' + x − y ≥− xx ' dấu “ = “ đạt được khi và chỉ khi yx= '. Ngược lại, nếu x'∈ A và (')x −∉xA⊥ thì x không là phần tử của A và có phần tử x’’ : 11 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ay xx''=+ ' y 2 với x’’ gần x’ hơn x, với y là phần tử bất kỳ của A sao cho: ≠ 0 và axxy= Thật vậy, x −= xxxxxxxxx''2 ' ' '', ' ' '' 2 2 a = x −−xxxxx''''' + 2, y 2 a 2 =−x xxx''22 − ≤ − y 2 1.1.6 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU i) PxA ()α +=βα y PxPyAA + β. 22 2 ii) x =+−PxAA() I P x trong đó I là phép đồng nhất. iii) ∀∈x H tồn tại duy nhất một biểu diễn: x =+−PxAA( I P) x ⊥ PxA ∈ Ai ; (IPxA−∈A ) iv) PxA nA→ Px khi và chỉ khi xxn − → 0 v) x ∈ A khi và chỉ khi PxA = x. ⊥ vi) x ∈ A nếu và chỉ nếu PxA = 0. vii) A12⊆ A nếu và chỉ nếu PPAA12 x= P A 1 x,∀∈ x H. 1.1.7 PHÉP XẤP XỈ TUYẾN TÍNH TRONG L2 12 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 2 Giả sử X1, X2 và Y là những biến ngẫu nhiên trong L , nếu chỉ có thể quan sát được X1, X2 mà ta ước lượng giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính:YXX' =+α11α 2 2 , α12,α ∈R sao cho sai sót M dưới đây có trung bình bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho: 2 2 2 MEYY:'=−=− EY()αα11 X + 2 X 2 =YX−αα11−÷ 2 X 2 min Ta có thể viết : 22222 M =+EYαα11 EX + 22 EX −2()2() α 1 E YX 1 − α 2 E YX 2 + αα 1212 E ( X X ). Lấy đạo hàm riêng của M lần lượt đối với α1 ,α2 , dẫn đến hệ phương trình cho nghiệm tối ưu α12,α 2 ⎪⎧αα11EX()+= 2 EXX ( 12 ) EYX () 1 (1.4) ⎨ 2 ⎩⎪αα1212EXX()+= E ()() X 2 EYX 2 Ngoài ra, ta có thể dùng định lý hình chiếu trong không gian Hilbert L2 . Ta đặt vấn đề tìm phần tử Y’ trong tập đóng A : 2 A:\:=∈{XLXaXaX =11 + 2 2} với aa12, ∈ R, sao cho : YY−='inf XY − với XA∈ . XA∈ Như vậy, theo định lí chiếu trong không gian Hilbert YA'∈ và Y’ thỏa điều kiện trên khi và chỉ khi YA'∈ và YY−∈' A⊥ và do đó =, ⎧ = tức là : ⎨ ⎩ = Áp dụng tính chất của tích vô hướng đã định nghĩa ở trên ta suy ra (1.4). 1.1.8 PHƯƠNG TRÌNH DỰ ĐOÁN 13 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Cho không gian Hilbert L2 , một tập con đóng A ⊆ L2 và một phần tử XL∈ 2 , định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất một phần tử XA'∈ sao cho: =∀∈ 0, Y A (1.5) Phương trình (1.5 ) gọi là phương trình dự đoán và phần tử XPX':= A là dự đoán tốt nhất của X trong A. Hay ta có thể nói dự đoán tốt nhất của X trong A là chiếu của X trong A. 1.1.9 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ DỰ ĐOÁN TỐT NHẤT TRONG L2 2 2 L2 Như ta đã nói ở trên, nếu X n ∈L , X ∈L thì XXn ⎯⎯→ khi và chỉ khi: 22 XXnn−= EXX − →0 khi n→∞ Một số tính chất của sự hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình L2 Nếu XXn ⎯⎯→ thì khi n→∞ L2 i) EXn = ⎯⎯→ = EX 22L2 ii) EXnnn= ⎯⎯→ = EX L2 iii) EX( nn,, Y)= = E Định nghĩa 1: ( Dự đoán bình phương trung bình tốt nhất của Y) Nếu A là một không gian con đóng của L2 thì dự đoán bình phương tốt nhất của Y trong A được định nghĩa là phần tử YA' ∈ sao cho : 2 YY−=' :inf YZ −=22 inf EYZ − ZA∈∈ Z A Định nghĩa 2: ( Kỳ vọng có điều kiện EXA ) 14 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Nếu A là một không gian con đóng trong L2 và chứa các hàm hằng, nếu X ∈L2 thì ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X với A cho trước là phép chiếu EXAA= PX 2 Mặt khác, vì toán tử EXA là toán tử chiếu trên L nên EA có các tính chất phép chiếu : i) EaXbYaEXbEYabRAAA( +=) +,, ∈ L2 L2 ii) EXAn⎯⎯→ EX A nếu XXn ⎯⎯→ iii) EEXAA12( ) = EX A 1 nếu A12= A 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 15 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên §1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản ) Hàm ngẫu nhiên cơ bản là hàm có dạng : δ (tC)= .θ ( t) (1.6) trong đó : C là một đại lượng ngẫu nhiên θ (t) là hàm không ngẫu nhiên của biến số tT∈ Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên cơ bản i) Kỳ vọng : Etδ ( )== ECC θ ( t) θ ( tE) trong đó : EC là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên C * Nếu EC =0 thì Etδ ( )=0 0 * Khi xét các hàm ngẫu nhiên cơ bản có kỳ vọng bằng không , ta kí hiệu là δ ()t 0 => Etδ ()=0 ii) Hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên cơ bản δ (t) : '''⎡⎤ 2 ' KttEttδ (),==⎢⎥δ() . δ() θθ() ttECttD () () = θθ () () C ⎣⎦ trong đó : DC là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên C iii) Đối với các hàm ngẫu nhiên cơ bản, ta có các phép biến đổi tuyến tính + Phép toán đạo hàm : δθ' (tC)= . ( t)' 16 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên TT + Phép toán tích phân xác định : ∫∫δθ()tdtC= . () tdt 00 iv) Nếu G là một toán tử tuyến tính , ta có : GtCGt{δθ( )}= { ( )} Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản) Cho quá trình ngẫu nhiên : n χθ()tEt=+χ ()∑ Cii. () t (1.7) i =1 trong đó : Ci là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, in=1, Etχ ( ) là kỳ vọng của χ (t) . Biểu thức (1.7) được gọi là khai triển của quá trình ngẫu nhiên χ (t) theo các hàm cơ bản. với : + các đại lượng ngẫu nhiên Cti ( ) , in=1, được gọi là hệ số khai triển. + các hàm không ngẫu nhiên θi (t), in=1, được gọi là các hàm tọa độ. Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản Giả sử χ (t) biểu diễn được dưới dạng (1.7) , khi đó : Xét một toán tử tuyến tính G tác động lên χ (t) , ta sẽ có : n ` ξχ()tG=={} () t GEt{}χ () +∑ CGtii{} θ() i =1 Đặt GE{ χ ( t)}= EG ( t) và Gt{θii( )}=Ψ ( t) Khi đó : n ξ ()tEt=+ΨGii ()∑ C () t i =1 17 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Ta thu được ξ (t) theo các hàm cơ bản với các hệ số CC12, , , Cn . Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên χ (t) khai triển dưới dạng tổng các hàm cơ bản, qua phép biến đổi tuyến tính G thì các hệ số khai triển không thay đổi, còn kỳ vọng và các hàm tọa độ bị tác động theo phép biến đổi tuyến tính. 1.2.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Giả sử quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng : n χθ()tEt=+χ ()∑ Cii. () t, i =1 trong đó : Cii ,1,= n là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và ma trận tương quan kij . Xét hàm tự tương quan và phương sai của χ (t) 00 ''⎡ ⎤ KttEχ (),,= ⎢χχ() t() t⎥ ⎣ ⎦ trong đó : 0 n χθ()tCt=∑ ii () i =1 0 n '' χθ()tCt=∑ ii () i =1 Khi đó : ⎡⎤ n ''⎢⎥ ' KttEχ (),.,==⎢⎥∑∑ CCtijiθθ() j() t ECCt() iji θθ() j() t iij=1 ⎣⎦⎢⎥j=1 với : 2 ECC()ii== EC[] i D i ( Di được gọi là phương sai của Ci ) ECC( ij)=≠= k ij,,,1,( i j ij n) 18 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Như vậy : n '' ' Kttχ (),.=+∑∑θθii() t() tD i θθ i() t j() tk ij (1.8) iij=≠1 Đặt t = t’ ta có phương sai của χ (t) : n 2 Dχ ()ttDttk=⎡∑∑⎣⎦θθθiiijij () ⎤ + () () (1.9) iij=≠1 * Chú ý : Nếu các hệ số Ci (in=1, ) không tương quan với nhau , nghĩa là kij = 0 (ij≠ ) . Khi đó ta nói (1.7) là khai triển chính tắc của hàm ngẫu nhiên χ (t) Nhận xét * Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên χ (t) là khai triển có dạng : n χθ()tEt=+χ ()∑ Cii. () t i =1 trong đó : Etχ ( ) là kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên χ (t) θi (ti)( =1, n) là các hàm tọa độ Cii ( =1, n) là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với nhau và đều có kỳ vọng bằng 0 * Nếu χ (t) có khai triển chính tắc thì hàm tự tương quan của nó có dạng là n '' Kttχ (), =∑θθii() t() tD i i =1 * Nếu χ (t) có khai triển chính tắc thì phương sai của χ (t) có dạng là : n 2 Dχ ()ttD=∑()θii () i =1 19 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1.2.3 ĐƯA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Cho quá trình ngẫu nhiên χ (t) biểu diễn dưới dạng : n χψ()tMt=∑ ii. () (1.10) i =1 trong đó : ψ i (ti)( =1, n) là các hàm không ngẫu nhiên M i là các đại lượng ngẫu nhiên tương quan có ma trận tương quan : ⎡⎤D1121 kk n ⎢⎥ D k K = ⎢⎥22n M ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦Dn với : kEMEME=−⎡⎤ −≠∀=≠0, ijnij , 1, , ij⎣⎦( i i)( j j) và EMii=≠ E 0 Biểu thức dạng (1.10) của χ (t) chưa phải là dạng chính tắc , do đó ta cần đưa nó về dạng chính tắc. Ta viết biểu thức(1.10) dưới dạng : nn χψ()tEtMEt=+−∑∑ii () () i i ψ i() ii==11 0 Đặt : M iii=−ME, Etχ ( )= Eii.ψ ( t) , in=1, Khi đó: n 0 χψ()tEt=+χ ()∑ Mii () t i =1 Biểu thức trên còn có thể viết dưới dạng : 20 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên T χψ()tM= . () t (1.11) * * với : χχ()ttEt=− ()χ () và M , ψ ()t là các ma trận cột và T biểu diễn phép chuyển vị của ma trận Ma trận tương quan được viết dưới dạng : * * ⎡ T ⎤ KEMMM = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ * Chọn ma trận A sao cho vectơ : CAM= . có các thành phần Ci , in=1, là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan ⎡ ⎤⎡⎤ ⎡⎤TTTTT KECCEAMMAC ==⎣⎦. ⎢ ⎥⎢⎥ = AEMMA ⎣ ⎦⎣⎦ (1.12) T ==AKMC A D với : DC là ma trận đường chéo mà các phần tử trên đường chéo là phương sai của Ci , in=1, ⎡DC 0 0 ⎤ ⎢ 1 ⎥ 0 0D ⎢ C2 ⎥ DC = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢000D ⎥ ⎣ Cn ⎦ Biểu thức ( 1.12) ta thấy ma trận A đã chuyển ma trận tương quan KC về dạng đường chéo Ma trận KM là đối xứng và thực , vì vậy tồn tại ma trận trực giao A thỏa : Aa= ij n× n Ta có : 21 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên TT TT⎛⎞⎛⎞−−11T χ ()tMtAAMtAMA==ψψ ()⎜⎟⎜⎟ () =() ψθ() tCt = () ⎝⎠⎝⎠ * với : CAM= TT θψψψ()tA===( −1 ) () tA( T ) () tAt () (do A là ma trận trực giao nên A−1 = AT ) Như vậy ta có quá trình ngẫu nhiên được đưa về dạng chính tắc : n χθ()tEt=+χ ()∑ Cii. () t i =1 1.2.4 MỘT SỐ KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC ĐẶC BIỆT Khai triển Karhunen – Loéve Quá trình Wiener {Wt,0( ) ≤t ≤ 1} khai triển theo công thức : ∞ Wt ()ωωθ=∑ Xtii () () i =0 trong đó : X i là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn : 1 EXi = 0 , DXini ==, 0,1,2, , ⎡⎤π 2 ()21i + ⎣⎦⎢⎥2 θi (t) là các hàm không ngẫu nhiên xác định bởi : ⎡⎤π θi ()titi=+=2 sin() 2 1 , 0,1,2 ⎣⎦⎢⎥2 2 * Dãy hàm {θi (t)} có thể xem như một hệ trực chuẩn đầy đủ trong L [0,1] với : 22 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1 θθ,0= θttdt θ = , ij≠ ()ij∫ i() j () 0 ∞ ∑θθij()s ()tst=min( , ) i =0 * Mặt khác, dãy hàm {θi (t)} có thể xem như hàm riêng của toán tử B được xác định bởi công thức: 1 Btθθ()= ∫ Bsttds (, ) () 0 với Bst( ,min(,))= st Các giá trị riêng của toán tử B là : 2 ⎡π ⎤ λi =+()21i , i = 0, 1, 2 . ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Khai triển theo các hàm Schauder Xác định các hàm Haar bởi các biểu thức sau : It1 ( )=≤≤101 t ⎧ 1 10khi≤< t ⎪ 2 It()=⎨ 2 1 ⎪−≤<11khi t ⎩⎪ 2 . 23 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎧ n −+()n 1 ⎪2022 khi≤< t ⎪ ⎪ n 2 −+()n 1 −n I21n + =⎨−≤<22khi t 2 ⎪ ⎪ −n ⎪⎩021khi≤< t ⎛⎞i −1 n ItItnn()=−⎜⎟ i =1,2,, ,2 221++i ⎝⎠2n 2 Các hàm Haar {Itn ( )} tạo nên một hệ trực chuẩn đầy đủ trong L []0,1 . Tích phân các hàm Haar ta được các hàm Schauder T Z tIxdx kk()= ∫ ( ) 0 Cho ξ12,ξξ n là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn ∞ N (0,1) . Khi đó quá trình ngẫu nhiên xác định bởi Wt =∑ ξiiZ ()t sẽ là một i =1 chuyển động Brown tiêu chuẩn với 01≤ t ≤ 24 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên §1.3 CƠ SỞ TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.3.1 ĐỊNH NGHĨA ( Trực giao, trực chuẩn ) Hai phần tử x, y của không gian Hilbert được gọi là trực giao, x ⊥ y nếu: xy,0= . Cho tập hợp SH⊂ ta viết x ⊥ S nếu mọi yS∈ , x ⊥ y . Phần bù trực giao cho tập S trong H, kí hiệu S ⊥ , là tập tất cả x ∈ H sao cho x ⊥ S . Tích vô hướng trên không gian Hilbert H được xác định: x = xx, Tập hợp hàm { βkkK} ∈ trong không gian H là tập trực giao nếu mọi phần tử là trực giao. Chẳng hạn, ββij,0,,,= ijijKN≠∀∈⊂ Nếu hàm đã được chuẩn hóa sao cho βk = 1, ∀k khi đó tập hợp được gọi là tập trực chuẩn. 1.3.2 ĐỊNH NGHĨA (Cơ sở) Nếu tập hợp β bao gồm các hàm độc lập tuyến tính trong H được { k }kK∈ gọi là cơ sở của H. Số những phần tử cơ sở được gọi là chiều của H. Cho cơ sở B = β của không gian Hilbert H, tồn tại với bất kì { k }kK∈ x ∈ H một tập duy nhất hệ số x sao cho : { k }kK∈ xx− ∑ kkβ =0 (1.13) kK∈ Hệ số này được gọi là hệ số khai triển của x đối với cơ sở B. Từ (1.13 ) viết đơn giản là: 25 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên x = ∑ xkkβ (1.14) kK∈ 1.3.3 ĐỊNH NGHĨA (Cơ sở trực giao và trực chuẩn) Cơ sở trực giao của không gian Hilbert H là tập trực giao β trong { k } kK∈ H. Nếu trong hàm cộng tính βk là chuẩn, chẳng hạn βk = 1, ∀k , khi đó nó là cơ sở trực chuẩn. Tính chất của cơ sở trực chuẩn là khai triển hệ số xk bởi tích vô hướng của x với hàm cơ sở trực chuẩn βk : xxkk= ,β (1.15) Bất kì tập hợp của hàm độc lập trong không gian Hilbert H có thể biến đổi thành tập trực chuẩn. Hiển nhiên bất kì tập trực giao có thể thành trực chuẩn do được chuẩn hóa đơn giản. Do đó, hầu như ta xét trực chuẩn hơn tập trực giao và cơ sở không mất tính tổng quát. Xét không gian con S của không gian Hilbert H. Khi đó ta xác định phép chiếu trực giao trên S như sau: 1.3.4 ĐỊNH NGHĨA ( Phép chiếu trực giao ) Xét cơ sở trực chuẩn β của không gian con S của H. Phép chiếu { k }kK∈ trực giao của x ∈H trên S, kí hiệu: PxS , được cho: PxSkk= ∑ <> x,β β kK∈ 26 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên §1.4 QUÁ TRÌNH WIENER Quá trình Wiener là một ví dụ rất quan trọng đối với lý thuyết xác suất thống kê. Qua thí nghiệm của Brown quá trình ngẫu nhiên này được dùng làm mô hình chuyển động của hạt dưới tác động va chạm hỗn loạn của các phần tử . 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA ( Quá trình Wiener ) Ta gọi quá trình Wt( ) là quá trình Wiener thỏa mãn các điều kiện sau: i) W(0)=0 ( h.c ) ii) Với mọi 0≤<<<tt01 tn các đại lượng ngẫu nhiên Wt(1021 )−− Wt( ) , W( t) Wt ( ), , Wt (nn ) − Wt (− 1 ) là đại lượng độc lập iii) W(t) có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai t 2 1 b −u P{}W(t)∈=() a,b ∫ edu2t 2πt a iv) Wt( ) là quá trình liên tục, tức hầu hết các quỹ đạo của Wt( ) là hàm liên tục. * Một quá trình Wiener Wt( ) với tham số phương sai bằng 1 được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn ( hay chuyển động Brown tiêu chuẩn ). * Nếu ta thay W(0) = 0 bởi W(0)= x ta sẽ có quá trình Wiener xuất phát từ x 1.4.2 CÁC TÍNH CHẤT QUÁ TRÌNH WIENER VÀ ĐỘ ĐO WIENER Tính chất 1: Nếu Wt( ) là quá trình Wiener khi đó : Eth{WtWh( ) ( )}= ∧ 27 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên trong đó : th∧ = min ( th , ) Chứng minh: Giả sử, ht≥≥0 , ta sẽ có : EWtWh⎣⎦⎡⎤=+−( ) ( ) E⎣⎦⎡⎤( Wh( ) Wt( ) Wh( )) Wh( ) =+−EW⎡⎤2 () h E⎡() Wt () Wh () Wh()⎤ ⎣⎦⎣ ⎦ =+hEWtWh⎣⎦⎡⎤()() − ( ) EWh ⎡⎣⎦() ⎤ ==∧hht Do Wh( ) có phân phối chuẩn Nh(0, ) và Wt( ) − Wh( ) là độc lập với Wh( ). □ Tính chất 2 : Cho Xab=[], và Ycd=[ , ] , trong đó ab< và cd< xác định : ΔW(X)= W(b) - W(a) ΔW(Y)= W(d)-W(c) Khi đó : EXY{ΔΔW(X) W(Y)} =∩λ ( ) trong đó : λ là độ đo Lebesgue Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử với ac≤ , khi đó: ⎧ 0 khi b≤ c ⎪ λ ()XY∩=⎨ bc − khicbd <≤ (1.16) ⎪ ⎩ dc−< khidb Ta có: EWYE{ΔΔWX( ) ( )} ={( Wb( ) − W(a)Wd)( ( ) − Wc( ))} = EEEE{WbWd( ) ( )}−−+{ WbWc( ) ( )} { WaWd( ) ( )} { WaWc( ) ( )} Khi đó theo tính chất 1 ta có : 28 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎧ 0 khi b≤ c ⎪ Ebckhicbd{}ΔΔWX() WY () =−⎨ <≤ ⎪ ⎩ dc−< khidb Kết hợp (1.16) ta có : EXY{ΔΔWX( ) WY( )} =∩λ ( ) □ Tính chất 3: Với α j ∈R và t j ≥0 , trong đó j = 1, 2, , n : ⎪⎪⎧⎫⎛⎞n ⎛⎞1 n Ettexp iα W(t ) =− exp αα ∧ ⎨⎬⎜⎟∑ j jjkjk⎜⎟∑ () ⎩⎭⎪⎪⎝⎠j=1 ⎝⎠2 jk,1= Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử với 0 ≤tt12≤≤ ≤ tn Ta chứng minh tính chất này bằng phép quy nạp trên n. Với trường hợp n=1, ta thấy rằng : ⎛⎞1 2 E{}exp() iαα11 W() t= exp⎜⎟ - 11t (1.17) ⎝⎠2 ∞ 1-x2 Thật vậy ,vế trái (1.17) = exp( iα x ) exp ( ) dx ∫ 1 −∞ 2π t1 2t1 Đặt x = yt1 t ∞ ⎛⎞y2 Khi đó vế trái (1.17) = 1 exp iα yt exp - dy ∫ ()11 ⎜⎟ 2πt1 −∞ ⎝⎠2 21π ⎛⎞2 = exp⎜⎟ - α11t 2π ⎝⎠2 ⎛⎞1 2 = exp⎜⎟− α11t ⎝⎠2 29 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Vậy (1.17) thỏa mãn. Bằng phương pháp quy nạp ta giả thiết : ⎪⎪⎧⎫⎛⎞⎛k-1 1 k −1 ⎞ Ett⎨⎬exp⎜⎟⎜ i∑∑αααjj W() t=∧ exp - jl() j l ⎟ (1.18) ⎩⎭⎪⎪⎝⎠⎝j=12 jl ,= 1 ⎠ với mọi số k, ta chỉ ra rằng tính chất này đúng với nk= Ta xét : kk−1 iii∑∑αααjjkWt()jjk=+ Wt () Wt() jj==11 k−1 =+−+iiii∑ααjkWt()jk-1k-1k Wt() α k Wt () α k Wt() j =1 k −1 =−+iitαα⎡⎤Wt Wt' W kjj⎣⎦()kk-1() ∑ () j =1 ' ' trong đó: α jj= α với jk=−1,2, , 2 và αkkk−−11= αα+ . Như vậy: ⎪⎪⎧⎫⎛⎞k E ⎨⎬exp⎜⎟ i∑α j W() t j ⎩⎭⎪⎪⎝⎠j =1 ⎪⎪⎧⎫⎛⎞k-1 = E expiαα⎡⎤Wt − Wt expi' Wt ⎨⎬()kk-1jj⎣⎦()k () ⎜⎟∑ () ⎩⎭⎪⎪⎝⎠j=1 Do tính chất số gia độc lập của Wt( ) , khi ttjj≤ +1 ta có Wt( kk-1)− Wt( ) độc lập với mọi Wt( j ) với j ≤−k 1 Bởi vậy : ⎪⎪⎧⎫⎛⎞k E ⎨⎬exp⎜⎟ i∑ α j W() t j ⎩⎭⎪⎪⎝⎠j=1 ⎪⎧ ⎛⎞k-1 ⎪⎫ = EEexp iαα⎡⎤ W t− W t exp i' W t {}()kk⎣⎦() () k-1⎨ ⎜⎟∑ jj()⎬ ⎩⎭⎪ ⎝⎠j=1 ⎪ 30 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎛⎞1 k −1 = Ettexp iααα⎡⎤ W t−∧ W t exp - '' { ()kk⎣⎦() () k-1} ⎜⎟∑ jl() j l ⎝⎠2 jl,1= do giả thiết (1.18). Khi Wt( k1)− Wt( k− ) có cùng phân phối với Wt( k1− tk− ) Ta có : E exp iα ⎡⎤ W t− W t = Etexp iα W t − { ( kk⎣⎦() ( k-1) )} { ( kk1( k − ))} ⎛⎞1 2 = exp⎜⎟ - αkk()tt− k−1 ⎝⎠2 từ cơ sở trên ta có công thức (1.17) Như vậy ta có: k k −1 ⎪⎪⎧⎫⎛⎞⎛⎞112'' E ⎨⎬exp⎜⎟ i∑α jj W() t =exp⎜⎟ - αααkk()tt−− k−1 ∑ jlj() tt ∧ l (1.19) ⎩⎭⎪⎪⎝⎠j=1 ⎝⎠22jl,1= mà : k −1 112'' αααkk()tt−+ k−1 ∑ jj l() tt ∧ l 22il,1= kk−−22 2 1111'''''22 = ∑∑ααjjll()tt∧+ α k−1111 α jj t +() α kkkkkk−− t + α t − α t − 2222jl,1== j 1 1 k = ∑ ααjjll()tt∧ (1.20) 2 jl,1= thay (1.20) vào (1.19) ta có: ⎧⎫⎪⎪⎛⎞k ⎛⎞1 E ⎨⎬exp⎜⎟ i∑α jj W() t = exp⎜⎟ - ααjl()tt j∧ l . ⎩⎭⎪⎪⎝⎠j=1 ⎝⎠2 Bằng phép quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh. Độ đo Wiener : Cho 0<<tt12 < < tn và xác định : 31 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên A=∈∈{ωω:(tB11) , ω( tB 22) , , ω( tBnn) ∈}. trong đó : Bi là tập hợp Borel của đường thẳng thực với in=1,2, , Khi đó : 11 1 μ ()A = 22()2()ππttttt121−− πn n− 1 22⎛⎞2 ⎛⎞⎛x(x)121− x ⎞ (xn − xn−1 ) exp⎜⎟⎜ - exp - ⎟ exp⎜⎟ - dx12 dx dxn ∫∫ ∫ 2 t 2(tt−− )⎜⎟ 2( tt ) BB12 Bn ⎝⎠⎝121 ⎠ ⎝⎠n n− 1 Chứng minh : Ta có: μ ()A = PtBtB{ωω ()1122∈∈ , () , ,() ω tBnn ∈} =∈⎡−⎤+∈PB{W( t11) ,⎣⎦ W( t 2) W( t 1) W( t 12) B , , ⎡⎤Wt−+∈ Wt Wt B ⎣⎦()nn-1n-1( ) ( ) n} = P Wt∈⎡ dxWt, − Wt ⎤+∈ Wt B , , ∫ { ( 11) ⎣⎦( 2) ( 1) ( 12) B1 ⎡⎤Wt−+∈ Wt Wt B ⎣⎦()nn-( 1n-1)()n } = Pdx W() t∈−+∈ ,⎡⎤ W() t W t xdx , , ∫∫ ∫ { 11⎣⎦ 2()1 12 BB12 Bn ⎡Wt−+∈ Wt x dx⎤ . ⎣ ( nnnn) ( −−11) ⎦ } Hơn nữa, Wt()ii− Wt (−1 ) có cùng phân phối với Wt( ii− t−1 ) . Như vậy : APdxtdx=∈−∈ W t ,W t , , Wt−+∈txdx μ ()∫∫ ∫ { ()11() 212 ( n1nn−−) 1 n} BB12 Bn Wtx ( ) kí hiệu là quá trình Wiener tại x, khi đó : 32 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên μ ()A=∈−∈ P W () t dx ,W() t t dx , , Wt−∈tdx ∫∫ ∫ { 11x2121 xnn-1 ( nn− 1) } BB12 Bn Khi đó, do tính chất của số gia độc lập, ta có : μ ()APdxPttdx=∈−∈ W () t W() , , ∫∫ ∫ {}11{} x2121 BB12 Bn PtdxWt−∈ { xnn-1 ( nn− 1) } Như vậy : 11 1 μ ()A = 2πt 2π tt− 1 ()21 2π ()ttnn− −1 2 2 2 ⎛⎞ ⎛⎞x ⎛⎞()xx− ( xxnn− −1 ) exp−−1 .exp⎜⎟21 ⎜⎟ − dx dx dx ∫∫ ∫ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟12 n BB B ⎝⎠22ttt121()− 2 ttnn− −1 12 n ⎝⎠⎝⎠() Tính chất 4 : Tổng bình phương các gia số của quá trình Wiener ứng với phân hoạch at=<<<01 t tn = b của đoạn từ a đến b hội tụ đến b – a theo bình phương trung bình khi làm mịn phân hoạch : n −1 2 lim XXtt− =− ba mtax t−→ 0 ∑()ii+1 ()i+1 i i = 0 Chứng minh: Ta có : 2 n −1 2 n−1 EXX−= EXX − ∑∑()ttii++11 () tt ii ii==00 n−1 n −1 =−=−=−D XX ttba ∑∑()ttii+1 () ii+1 ii==00 Do tính độc lập của XX− ( i = 0,1, , n – 1 ) ttii+1 33 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎡⎤nn−−1122 DXX−= DXX − ⎢⎥∑∑()ttii++11 () tt ii ⎣⎦ii==00 n−1 ⎡⎤422 =−−−EX X⎛⎞ EX X ∑ ⎢⎥()()ttii++11⎜⎟ tt ii i = 0 ⎣⎦⎝⎠ nn−−11 22 2 =−−−=−⎡⎤32tt tt tt ∑∑⎢⎥()()ii++11 i i () ii + 1 ii==00⎣⎦ n −1 ≤−−=−−2axtmtttbamt()()i+1iii∑ + 1 2() axt() i+1 i i = 0 ⎛⎞n −1 2 Vậy : khi mtax t−→ 0 thì DXX− →0 ( i+1 i ) ⎜⎟∑()ttii+1 ⎝⎠i =0 Từ đó : 2 ⎛⎞⎛⎞nn−−1122 EXXbaDXX−−−= − →0 ⎜⎟⎜⎟∑∑()ttii++11() () tt ii ⎝⎠⎝⎠ii==00 khi mtax( ti+1 −→i ) 0 ⎛⎞n −1 2 hay EXX−→− ba khi làm mịn phân hoạch ⎜⎟∑()ttii+1 () ⎝⎠i =0 Tính chất 5: Cho W(t) là quá trình Wiener tiêu chuẩn, khi đó quá trình : 1 Kt()= t W(); t> 0, t K(0)= 0, cũng sẽ là quá trình Wiener tiêu chuẩn. Chứng minh: Để chứng minh tính chất này ta dùng phương pháp hàm đặc trưng Khi t > u ta xét : 34 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎪⎧ ⎡ ⎛⎞⎛⎞11 ⎛ ⎞⎤⎪⎫ EKtKuE{}exp ⎣⎦⎡⎤iλλ()()−= ( ) ⎨ exp⎢ i⎜⎟ tW⎜⎟ − u W ⎜ ⎟⎥⎬ ⎩⎭⎪ ⎣ ⎝⎠⎝⎠tu ⎝ ⎠⎦⎪ ⎛⎞⎛⎞⎡ ⎛⎞111⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞⎤ = Etuu⎜⎟exp iλ W−− W − W ⎜⎟⎜⎟⎢ ⎜⎟()⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟⎥ ⎝⎠⎝⎠⎣ ⎝⎠tut⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠⎦ 222 ⎧ λλ2 111u ⎛⎞⎫ = exp ⎨−−−()tu ⎜⎟ −⎬ ⎩⎭22tut⎝⎠ ⎧ λ 2 ⎫ = exp⎨ - ()tu− ⎬ (1.21) ⎩⎭2 Như vậy ⎣⎦⎡−K(tKu) ( ) ⎤ có phân phối chuẩn N (0, t -u ). Tính độc lập của các số gia của quá trình K(u) , được suy ra từ hệ thức sau: EKuK⎣⎦⎡−( () (0))( KtKu () −⎤= () EKuKtKu⎣⎡ ( )( ( ) −( ))⎦⎤ ⎡ ⎛⎞11⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ 1⎤ = Eu⎢ WW⎜⎟⎜⎟ t ⎜⎟− u W ⎜⎟⎥ ⎣ ⎝⎠u ⎝⎠ ⎝⎠tu ⎝⎠⎦ ⎡ ⎛⎞11 ⎛ ⎞22 ⎛ 1 ⎞⎤ = Eu⎢ WW⎜⎟ t ⎜ ⎟− u W ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝⎠tu ⎝u ⎠ ⎝ ⎠⎦ = u – u = 0 (1.22) Từ (1.21) và (1.22) ta suy ra K(u) là một quá trình Wiener tiêu chuẩn. Tính chất 6 Các quỹ đạo của quá trình Wiener hầu hết không đâu khả vi, cho dù chúng liên tục hầu chắc chắn : P { ω : Wt (ω) là khả vi } = 0 Tính chất 7 : Hầu chắc chắn hàm Wt( ) không có biến phân bị chặn trên bất kỳ khoảng hữu hạn nào : 35 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎧⎫n −1 Pt⎨⎬ω :W∑ ()i+1i− Wt()>→ AA 1 ∀> 0 ⎩⎭i=0 Tính chất 8: W(t) tuân theo luật lôga lặp, nghĩa là : ⎧⎫ ⎪⎪Wt() P ⎨⎬limsup= 1= 1 ⎪⎪t→∞ 2t ln lnt ⎩⎭ ⎧⎫ ⎪⎪Wt() P ⎨⎬liminf=−= 1 1 ⎪⎪t→∞ 2t ln lnt ⎩⎭ Luật lôga lặp địa phương của quá trình Wiener : ⎧⎫ ⎪⎪Wt() P ⎨⎬limsup= 1= 1 t→0 1 ⎪⎪2t ln ln ⎩⎭⎪⎪t ⎧⎫ ⎪⎪Wt() P ⎨⎬liminf= −= 1 1 t→0 1 ⎪⎪2t ln ln ⎩⎭⎪⎪t Tính chất 9: W Wt( ) là một Mactingan đối với Ft Tính chất 10 : (Đặc trưng Levy của quá trình Wiener ) Wt( ) là quá trình Wiener khi và chỉ khi : + Wt( ) là một mactingan , W0( )= 0 hầu chắc chắn. 2 W + Wt( ) −t là một mactingan ( đối với Ft ) 36 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1.4.3 QUÁ TRÌNH WIENER n - CHIỀU Một quá trình Wiener n - chiều là vectơ Wt( ) sao cho : W() t=( W12 ()tt ,W () , ,W n () t) trong đó: Wi (t) là quá trình Wiener một chiều và, với ij≠ , quá trình Wi (t) và Wj (t) độc lập. Tính chất 1: Nếu Wt( ) là quá trình Wiener n - chiều : Eht{WWij( ) ( )}=δij ,( ht∧ ) Chứng minh : Rõ ràng nếu ij≠ khi đó Wi (h) ) và Wj (t) độc lập và bởi vậy : EhtEhEt{WWij( ) ( )}=={ W i( )} { W j( )} 0 Hơn nữa, nếu ij= ta dễ dàng có tính chất 1. Tính chất 2 : n Với β jj=∈(ββ12 ,j , , β jn ) R và t j ≥ 0 trong đó j = 1,2, ,m : ⎪⎪⎧⎫⎛⎞⎛mm1 ⎞ E ⎨⎬exp⎜⎟⎜iWt∑∑βββjj .() =− exp jkjk . () tt ∧ ⎟ ⎩⎭⎪⎪⎝⎠⎝jjk==1,12 ⎠ Chứng minh : Theo tính chất 3 ở trên , khi sử dụng tính độc lập của thành phần quá trình Wiener Wt( ) ta có : ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎞⎛mmn ⎞ EEt⎨⎬⎨⎬exp⎜⎟⎜ i∑∑∑ββjj .W() t= exp ijk W k () j ⎟ ⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎝⎠⎝j=1jk== 1 1 ⎠ 37 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên n ⎪⎧ ⎛⎞m ⎪⎫ ∏ E ⎨exp⎜⎟ i∑ β jk .W k() t j ⎬ = k=1 ⎪⎩⎭⎝⎠j=1 ⎪ n ⎛⎞1 m =∧∏exp⎜⎟ - ∑ ββjk lk()tt j l k =1 ⎝⎠2 jl,1= ⎛⎞1 mn =∧exp⎜⎟ - ∑∑ββjk lk()tt j l ⎝⎠2 jl,1== k 1 ⎛⎞1 m =∧exp⎜⎟ - ∑ ββjl()tt j l ⎝⎠2 jl,1= 38 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên §1.5 TÍCH PHÂN ITO 1.5.1 ĐỊNH NGHĨA Giả sử trên không gian (Ω,,F P) đã cho họ hàm tăng các δ - đại số FFt ⊆ , t ≥0 và quá trình Wiener Wt( ) , t ≥ 0 , W(0) =0 với quỹ đạo liên tục tương thích với họ Ft sao cho số gia Wh( ) − Wt( ) sau thời điểm t độc lập với δ - đại số Ft . Cho T là một số không âm , ta xét NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f :0,[]TR×Ω→ thỏa các điều kiện sau : T i) ∫ E ft() 2 dt<∞ 0 ii) f( t ) là hàm đo được iii) ft là tương thích đối với Ft , nghĩa là ft là Ft đo được Để xây dựng khái niệm tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT trước hết ta xét các hàm sơ cấp, nghĩa là hàm có dạng : n−1 ft()= f ()ttk Ι⎡⎞ () (1.23) ∑ tt, ⎟ k =0 ⎣⎠⎢ kk+1 trong đó : 0=<<<<ttt012 tn = T là một phân hoạch của [0,T ], f (tk) là các biến ngẫu nhiên đo được đối với Ft , với k = 0, 1, 2, , n ; I là hàm chỉ tiêu Với các hàm sơ cấp có dạng (1.23) ta xác định tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên cơ bản bởi : T n-1 ftd() W(t) = f( t ) W t− W t ∫ ∑ kk()()+1 ()k 0 k=0 Với f ∈NT sẽ tồn tại dãy hàm sơ cấp fn ()t bị chặn sao cho : 39 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên T 2 limEftftdtn ()− () = 0 n→∞ ∫0 () Từ đó ta định nghĩa tích phân Ito cho hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT theo hệ thức sau TT ftd( ) W(t) := lim fn ( td ) W(t) ∫∫00n→∞ 1.5.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN ITO Tính chất 1: ( tuyến tính ) TTT ∫∫∫()αβft()+ gt ()dW(t)= α ft ()dW(t)+ β g(t)d W (t) , 000 trong đó : α,β : là những hằng số Chứng minh: Ta giả sử : n−1 ft()= f ()ttΙ () ∑ k ⎡tt, k =0 ⎣⎢ kk+1) n−1 gt()= gt()Ι () t ∑ k ⎡tt, k =0 ⎣⎢ kk+1) Do định nghĩa T n −1 αβft()+ gt () dW(t) = αβft()+− gt () W( t )W(t) ∫ ()∑ ()kkk()+1k 0 k = 0 nn−−11 = α ∑∑ft()kk()Wt()k+1−+ Wt() kβ gt ( )Wt()() k+1 − Wt() k kk==00 TT = α ∫∫ftd() W(t)+ β gtd () W(t) 00 Tính chất 2: 40 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎧⎫T E ⎨⎬∫ ftd() W(t)= 0 ⎩⎭0 Chứng minh: f (tk ) và Wt( k+1) − Wt( k ) độc lập với nhau Bởi vậy: E ft⎡⎤ Wt − Wt = E ft EWt− Wt { ()kk⎣⎦( +1k) ()} { ( k )} { ( k+1) ( k )} Khi đó theo định nghĩa : T ⎪⎪⎧⎫n−1 E ftd() W(t) = Eft⎡Wt− W t⎤ ⎨⎬∫ ∑ { ()kk⎣ ()k1+ ()⎦ } ⎩⎭⎪⎪0 k =1 n −1 = Eft E⎡Wt− W t⎤ ∑ {}()kk{ ⎣ ()k1+ ()⎦ } k =1 = 0 Tính chất 3: (Đẳng cự Ito ) ⎡TT⎤⎡ T ⎤ E⎢∫∫ f() tdWt () gtd () Wt ()⎥⎢= E ∫ f () tgtdt () ⎥ ⎣⎢ 00⎦⎣⎥⎢ 0 ⎦⎥ Khi f (tgt) ≅ ( ) ta sẽ có : TT2 ⎛⎞⎛⎞2 Eftd⎜⎟⎜⎟∫∫()Wt ()= E ftdt () ⎝⎠⎝⎠00 Chứng minh: Do định nghĩa ⎧⎫TT E ⎨⎬∫∫f ()tdWW () t gtd () () t ⎩⎭00 41 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎧⎫n −1 = E ft⎡Wt−− Wt⎤⎡ gt Wt Wt ⎤ ⎨⎬∑ ()ik⎣ ()i+1() i⎦⎣() () k+1() k ⎦ ⎩⎭ik,0= Nếu i < k khi đó do tính chất độc lập Ta có : E ft⎡⎤⎡⎤Wt−− Wt gt Wt Wt { ()ik⎣⎦⎣⎦( i+1) () i() ( k+1) () k } = E ft⎡⎤⎡⎤Wt−− Wt Egt Wt Wt { ()ik⎣⎦⎣⎦( i+1) () i} { () ( k+1) () k } = 0 Như vậy, T T ⎧⎫⎧ n −1 2 ⎫ E ftd( ) W(t) g(t)dW(t) = E ft gt ⎡Wt− Wt ⎤ ⎨⎬∫∫ ⎨∑ ()()kk⎣ ()k+1() k ⎦ ⎬ ⎩⎭00 ⎩⎭k = 0 n −1 2 = E ft gt E⎡Wt− Wt ⎤ ∑ {}()()kk{⎣ ()k+1() k ⎦ } k =0 n −1 2 = E ft gt E⎡Wt − t ⎤ ∑ {}()()kk{⎣ ()k+1 k⎦ } k =0 n −1 = ∑ Eft{}()()kkkk gt() t+1 − t k =0 T = ∫ E{} ftgt() () dt 0 Tính chất 4 : T ftd() W(t) là hàm đo được đối với F ∫ t 0 Chứng minh: T n −1 Khi ftd()W(t) = f t W t− W t ∫ ∑ ()k ()()k+1() k 0 k = 0 Và do định nghĩa f (s) và Ws( ) đo được đối với Ft , nên: 42 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên T ftd() W(t) đo được đối với F ∫ t 0 Tính chất 5 T XT= ftd() W(t) là một martingale đối với F () ∫ t 0 Chứng minh : Với s < T , do tính chất 2 , tính chất 4 và tính chất số gia độc lập Ta có : EFXsEXTXsF{XT\( ) ss} =+( ) { ( ) −( ) \ } =+Xs() EXT{} ( ) − Xs () = Xs() Tính chất 6 : Với 0 ≤ s <≤uT Tu T ftd( ) W=+ ft ( )dWt ftd ( ) Wt ∫∫t ∫ ss u Tính chất 7: T fI.W.WtWt dt21= f⎡−⎤() (). ∫ []tt12, ⎣ ⎦ 0 trong đó: f là biến ngẫu nhiên tùy ý đo được đối với F tt≤ và bình phương t1 ( 12) khả tích 1.5.3 TÍCH PHÂN ITO NHIỀU CHIỀU Vectơ ngẫu nhiên 1n W( t) = ( Wtt , ,W ) 43 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên được gọi là quá trình Wiener n - chiều nếu : k + Mỗi thành phần W(t kn= 1,2, ) là quá trình Wiener 1 chiều k + Các thành phần Wt ,kn= 1, , là những quá trình ngẫu nhiên độc lập ⎡⎤ Giả sử aat= ⎣⎦ij ( ) là ma trận mn× sao cho mỗi atij () thuộc NT . T Khi đó ta định nghĩa : Xad= ∫ Wt() 0 là ma trận m×1 ( hay vectơ cột m - chiều ) mà thành phần thứ i của nó là : n T Xadim==Wj , 1, , i ∑ ∫ ij t j =1 0 1.5.4 VI PHÂN NGẪU NHIÊN CỦA HÀM HỢP, CÔNG THỨC ITO • Trong phép tính vi phân thông thường có vi phân của đạo hàm hợp như sau : Giả sử X t là hàm khả vi sao cho : dX( t)= a dt Giả sử g (t, x) là hàm hai biến khả vi. Khi đó công thức tính vi phân của hàm số hợp YgtXt= ( , ( )) dạng : ∂∂gg dY() t=+() t,, X() t dt() t X() t dX() t ∂∂tt ⎡⎤∂∂gg =+()tX,,() t() tX() t adt ⎣⎦⎢⎥∂∂tx Ta xét vi phân ngẫu nhiên Ito , ta có : • Công thức Ito 1- chiều : Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Ito hay quá trình Ito (1chiều ) là quá trình ngẫu nhiên liên tục X (t) trong L2 có dạng : 44 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên dX( t)= a( t) dt+ b( t) dW t tt nếu: Xt()=+ X (0)∫∫ asds () + bsd () Ws,0 ≤≤ t T 00 trong đó : at( ) và bt( ) là các quá trình ngẫu nhiên tương thích đối với F (t) đo được sao cho : ⎧⎫T Patdt⎨⎬∫ () <∞=1 ⎩⎭0 T ⎧ 2 ⎫ Pbtdt⎨ ∫ () <∞=⎬ 1 ⎩⎭0 Công thức Ito : Nếu X(t) là quá trình Ito dạng : dXt( ) = atdtbtd( ) + ( ) Wt và gtx( , ) là một hàm một lần khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt( )= gtXt( , ( )) có vi phân tính theo công thức sau : ∂∂gg1 ∂2 g dYt()=+() tXt , () dt() tXt , () dXt () +() tXt , (). b2 () tdt ∂∂tx 2 ∂x2 hay có thể viết cách khác : 2 ⎡∂∂∂ggg1 2 ⎤ dY() t=+⎢ ()() t ,() X t a t() t ,() X t +2 ()() t ,(). X t b t⎥ dt ⎣ ∂∂∂txx2 ⎦ ∂g + bt() () tXt,()W(t) d ∂x • Công thức Ito nhiều chiều : Giả sử {W(t), t∈[] 0,T } là quá trình Wiener nhiều chiều, tức là, các thành phần của nó độc lập với nhau, và mỗi thành phần của nó : {W(i tt ),∈[] 0, T}là một quá trình Wiener một chiều ( i = 1, ,n) 45 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Ito hay quá trình Ito n - chiều là quá trình ngẫu nhiên vectơ liên tục Xt( )=( Xt1( ), , Xn ( t )) sao cho mỗi thành phần của nó là quá trình Ito: ttn Xt()=+ X (0) atdt () + bd W(),0 t ≤≤ tT ii∫∫ i∑ iji 00j=1 trong đó: {ati ( )} , i= 1, , n và {btij ( )} , ij ,= 1, , n là các quá trình ngẫu nhiên tương thích đối với Ft sao cho : ⎧⎫T Patdt()<∞= 1 ⎨⎬∫ i ⎩⎭0 T ⎧ 2 ⎫ Pbtdt()<∞= 1 ⎨ ∫ ij ⎬ ⎩⎭0 Trong trường hợp như thế ta nói X t có vi phân ngẫu nhiên và ta viết : dXt = Adt+ B dWt Công thức Ito nhiều chiều: Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener n - chiều 12 n W(t) = ( Wtt ,W , ,W t) Và một quá trình ngẫu nhiên k - chiều ααα(tttt )=( 12 ( ), ( ), , αk ( )) Có vi phân ngẫu nhiên: dX() t=+ A () t dt B () t d W(t) (1.24) trong đó A(t) là hàm vectơ A(tatatat )=( 12 ( ), ( ), ,k ( )) 46 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên j và Bt() là ma trận các hàm đo được bti () ik=1,2, , j =1,2, ,m Ta có thể viết dưới dạng tọa độ như sau : 11 1 1 1 m ⎧dXtm=+ a dt b1t dW ++ b d W t ⎪ ⎪dX22=+ a dt b 2 dW 2 ++ b 2 d W m ⎨ tm1t t ⎪ ⎪ kk kkm k ⎩dXtm=+ a dt b1t dW ++ b d W t Công thức vi phân Ito mở rộng có dạng : Với quá trình ngẫu nhiên k- chiều , có vi phân ngẫu nhiên (1.21) và Y(t) là hàm khả vi liên tục một lần theo t , hai lần theo xi và xj đồng thời các đạo hàm ∂Y riêng bị chặn ∂xi Ta có: nk⎡⎤∂Y dY() t (). t bi () t d Wj =+∑∑⎢⎥i j i ji==11⎣⎦∂x ⎡⎤∂∂YYkkn1 ∂2 Y ()ttattbtbtdt ()iij () () () () ⎢⎥++∑∑∑iji ll ⎣⎦∂∂txiijl===1,112x ∂∂ x 47 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 ĐA THỨC HERMITE Trên trục thực R =−∞+∞( , ) với độ đo Gauss : μ ()dx= ρ () x dx , (2.1) x2 1 − trong đó ρ()x = e 2 . 2π 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA Ta định nghĩa không gian các hàm bình phương khả tích với độ đo Gauss μ là : ⎧ +∞ ⎫ 2 ⎪ 2 ⎪ LR(,)μ = ⎨ fx (),∫ fx()μ ( dx ) =f ,g fxgx ()()(μρ dx ) = fxgx ()()() xdx μ ∫∫−∞ −∞ Giả sử, ξ là biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn với phân phối N (0,1) ,khi đó: <>fg,=μ E [f(ξ ) g(ξ )] với E là toán tử kỳ vọng Ta kí hiệu không gian Hilbert trong định nghĩa trên là LR2 ( ,μ ) 48 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 2.1.2 LIÊN HỆ GIỮA ĐA THỨC TRỰC GIAO VÀ ĐA THỨC HERMITE Đa thức Hermite được xác định là: xx22n − n d Px()=− (1 ) e22 e , n = 0,1,2 (2.2) n dxn Pn ( x) là đa thức trực giao đối với độ đo Gauss ∀∈nm,, N =⎡ E⎣ P n(ξ ) P m(ξ ) ⎤⎦ = nnm!,δ ( ) ⎧0,nm≠ = ⎨ ⎩n! , nm= Do đó đa thức Hermite chuẩn hóa được xác định : −−1 x2 n x2 Px() 2 d Hx()= n =−(!)(1)nee22n ( ) (2.3) n n! dxn 2 {Hxnn ( ),= 0,1, } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert LR(,)μ . Khi Hx0 ( )=1 , ta có: +∞ EH⎡⎤=ξμ H() xd () x = ( H ,1) = 0, nếu n ≠ 0 (2.4) ⎣⎦n () ∫ nnμ −∞ Bởi vậy đa thức Hermite của biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn có kỳ vọng bằng 0 Cũng như hầu hết những đa thức trực giao, đa thức Hermite có hàm sinh 2 −z +zx ψ (,)xz = e 2 (2.5) Khai triển ψ (,)x z thành chuỗi Taylor của biến z ( x được xem như một tham số) Ta có: ∞ ∂nnψ (,)x zz ψ (,)xz = ∑ n z =0 ( ) n=0 ∂zn! 49 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Mặt khác, 2 zx22()zx− −+zx − ψ ()xz, == e222 e e xx22n n ∞ ()−1 d ⎛⎞− =eez22. ⎜⎟n ∑ n ⎜⎟ n = 0 n! dx ⎝⎠ ∞ Px( ) = ∑ n zn (2.6) n = 0 n! Bởi vậy hệ số khai triển Taylor ψ (,)x z là đa thức Hermite ∂nψ (,)xz Px()= (2.7) n ∂zn z =0 Hàm sinh (2.5) là hàm lũy thừa trong tính chất của đa thức Hermite 2.1.3 ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC HERMITE Đạo hàm 2 vế công thức (2.2) đối với x ta có : xxxx2222n1n + n ⎡ −−⎤ ' 2222d d Pxn ()(=−1 )⎢ xenn e − e+1 e ⎥ ⎣⎢ dx dx ⎦⎥ ' => Pxnnn( )=− xPx( ) P+1 ( x) (2.8) Mặt khác, đạo hàm 2 vế (2.6) đối với x ta có : ∂ ∞ Px( ) ψψ()xz,,== z () xz∑ n zn +1 ∂xnn = 0 ! ∞ Px' () = ∑ n zn n = 0 n! Sự chuyển lấy chỉ số tích phân trong ψ ∞∞Px( ) Px' ( ) ∑∑nnzznn+1 = nn==00nn!! 50 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ∞∞' Pxn −1 ( ) Px( ) ∑∑zznn= n nn==10()nn−1! ! So sánh hệ số zn ta có : ' Pxnn( )= nPx−1 ( ) (n ≥ 1) (2.9) Hệ thức đệ quy của đa thức Hermite : Ta có thể sử dụng hệ thức đệ quy đạo hàm phép toán Hermite Kết hợp công thức (2.8) và (2.9) ở trên ' Pxnnn( )=− xPx( ) P+1 ( x) ' Pxnn()= nPx−1 () Ta suy ra được : x Pxnn( )− P+−11( x) = nPx n( ) Hay PxxPxnPx( )=−( ) ( ), n = 1,2, , nnn+−11 Từ công thức (2.8) ta có : ' PxxPxPxnnnn+1 ( )=−( ) ( ), = 1,2, (2.10) Đạo hàm đối với x ta có : '''' PxPxxPxPxnn+1 ( )=+( ) nn( ) −( ) ''' (1)nPxPxxPxPx+=+−nn( ) ( ) nn( ) ( ) '' ' hay Pxnn( )− xPx( ) += nPx n( ) 0 (2.11) Đây là phép toán đa thức Hermite • Sử dụng hệ thức đệ quy (2.10) PxxPxnPxnnn+−11( )=−( ) ( ), n = 1,2, , 51 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên với Px−10( ) ==0, Px( ) 1 Ta có thể dễ dàng có các đa thức Hermite là : P10( xxPxx)===( ) .1 x 2 Px210( ) =−=−=− xPx( ) Px( ) xx.1 x 1 233 Px321( )=−=−−=−−=− xPx( ) 21223 Px( ) xx( ) xx x xx x 3 2 422 42 PxxPxPxxxx432( )=( ) −333133363( ) =( −−) ( x −=−−+=−+) xxx xx 53 Px543( )=−=−+ xPx( ) 41015 Px( ) x x x Hệ thức đệ quy của đa thức Hermite chuẩn: Ta có : 22 1 xxn − n d ⎛⎞− Hx=− n!12 e22⎜⎟ e n ()( ) () n ⎜⎟ dx ⎝⎠ Đạo hàm 2 vế ta có : xxxx2222n1n + 1 ⎡ ⎛⎞−−⎤ ' − n d d Hx()(=− n!1 )2 ()⎢ xe2222⎜⎟ e + e e ⎥ n dxn1⎜⎟ dx n + ⎣⎢ ⎝⎠ ⎦⎥ ' ⇒=+−+Hxnnn( ) xHx( ) H+1 ( 11) n (2.12) Sự chuyển lấy chỉ số tích phân và so sánh hệ số zn ta có : ' Hxnn( )= nHx−1 ( ) (2.13) Với đa thức Hermite chuẩn, kết hợp (2.12) và (2.13) hệ thức đệ quy trở thành x Hxnnn( )−+ n1 H+−11( x) = nHx( ) ⇒+nH10nn+−11( xxHxnHx) −( ) + n( ) = (2.14) với Hx−10( )==0, Hx( ) 1 Vậy theo quy tắc đạo hàm ta có 52 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ' Hxnn( )= nHx−1 ( ) 2.1.4 CÁC BỔ ĐỀ CỦA ĐA THỨC HERMITE Bổ đề 1 : 1 d ρ ()x Hxnn+1 ()= ⎣⎡⎤ρ () xHx ()⎦ , (2.15) n+1 dx trong đó ρ()x là mật độ Gauss (2.1) Chứng minh : Do phép tích phân và hệ thức đệ quy (2.14) ta có: d [()ρρρx Hx ()]=+ '() xHx () () xHx '() dx nnn ' Theo công thức (2.13) : Hxnn( )= nHx−1 ( ) nên : d ⎡⎤=−+ρρρ()x Hx () x() xHx () n () xHx () dx ⎣⎦nnn−1 = ρ x ⎡−+xH x nH x ⎤ ( ) ⎣ nn( ) −1 ( )⎦ = nxHx+1()ρ n +1( ) do công thức (2.14) Chia 2 vế cho n +1 , ta có (2.15) Bổ đề 2: Với bất kì số nguyên k và l không âm , kí hiệu kl∧ = min{kl , } Ta có: 53 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Hkl()xH () x= ∑ ZklhH (,,) klh+−2 () x (2.16) hkl≤∧ trong đó: 1/2 Zklh(),, = ⎡ ()()(kl klh+−2 )⎤ (2.17) ⎣⎢ hhkh− ⎦⎥ Chứng minh: Từ công thức (2.6) ta có : ∞∞PxPx( ) ( ) ψ ()()x,,zxψφ= ∑∑ kl zkl φ (2.18) kl==00 kl!! Mặt khác: z22φ − +−+zxφ x ψ ()()xz,,ψφ x= e22 . e z22+φ −++()z φ x = e 2 2 x2 ()zx+−φ − = eeezφ 22 h ∞∞ ()zPxφ () v = ∑∑v ()z +φ hv==00hv!! ∞∞Px()1 =+∑∑ v ()(zzφ hvφ ) hv==00hv!! ∞ ∞ Pxv () 1 ⎛⎞u uh++− vhu = ∑∑ ∑ ⎜⎟z φ h! v! ⎝⎠v h=0 vuv=≤≤00 Cho vu=+ s khi uv≤ thì tương đương s ≥ 0 . Công thức trên có thể viết: ∞∞∞Px( ) ψ ()()xz,,ψφ x= ∑∑∑ us+ zuh+ φ sh+ hus===000hus!!! 54 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên kí hiệu uhkshl+=, += Khi ukh=−≥0, slh =−≥ 0 , ta có hkl≤ ∧ Thay đổi tổng trên ta có: ⎛⎞ ∞∞ Px() ψ xz,,ψφ x= ⎜⎟us+ zkl φ ()()∑∑⎜⎟ ∑ kl==00⎜⎟ uhk += hus!!! ⎝⎠shl+= ∞∞ Px( ) = ∑∑ ∑ kl+−2 h zklφ klhkl==≤∧00 hk!!!()()−− h lh Bởi vậy , ta có: ∞∞ Px( ) ψ ()()x,,zxψφ= ∑∑ ∑ kl+−2 h zkl φ (2.19) klhkl==00 ≤∧hkh!!!()()−− l h So sánh công thức trên với (2.18) ta có: kl!! Pkl()x Px ()= ∑ P klh+−2 () x (2.20) hkl≤∧hk!!!()()−− h lh 1/2 mà Pnn( xn)=( !) Hx( ) nên : HxHxkl() ( )= ∑ HxZklhkl+−2 h() (,, ). hkl≤∧ Bổ đề 3: Giả sử Hn(x) là đa thức Hermite chuẩn và ξ là biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn. an Khi đó: EH[(ξ += a )] n n! trong đó : a là hằng số tùy ý. Chứng minh: Từ hàm sinh (2.6) ta có: 55 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ∞ Px()+ a ψ (,)x +=az∑ n zn n=0 n! Mặt khác: zz22 −+zx() + a −+ xz ψ ()x +=az, e22 = e eaz ∞∞i ⎛⎞a ij⎛⎞Pxj () = ⎜⎟∑∑zz⎜⎟ ⎝⎠ij==00ij!!⎝⎠ ∞∞⎛⎞ai Px() = ni− zn ∑∑⎜⎟ ni==00⎝⎠ini!!()− So sánh 2 công thức trên ta có: ∞∞∞i Px()+ ann⎛⎞a P () x ∑∑∑nnizz= ⎜⎟− nni===000nini!!()!⎝⎠− n ani ! Pnni()x +=aPx∑ − () i =0 ini!!()− Lấy kỳ vọng 2 vế : n ani ! => EP⎣⎦⎡+⎤=n ()ξ a ∑ EP[()]()ni− ξ i =0 ini!(− )! n = a EP⎣⎡ 0 (ξ )⎦⎤ với i = n ⎧ 0 khi k≠ 0 Chú ý: E[ Pk(ξ ) ] = δk,0 = ⎨ ⎩1 khi k = 0 Như vậy ,ta có : n EP[(n ξ + a)] a E ⎣⎦⎡⎤Hn (ξ + p) = = n! n! 56 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên §2.2 KHAI TRIỂN FOURIER - HERMITE CỦA HÀM BIẾN NGẪU NHIÊN GAUSS 2.2.1 KHAI TRIỂN FOURIER - HERMITE Khi đa thức Hermite là cơ sở trực giao trong LR2 ( ,μ ) , với bất kỳ hàm fx()∈ L2 ( R ,μ ) tồn tại khai triển Fourier - Hermite ∞ fx()= ∑ fnnHx() n=0 ∞ trong đó = f xH xμ dx fnn∫ () () ( ) −∞ Mặt khác, ta xem fLR∈ 2 ( ,μ ) như một hàm của biến ngẫu nhiên đơn vị 2 Gauss với Ef⎣⎦⎡⎤(ξ ) 0 Từ định lí Parseval, ta có: ∞ 2 2 E[f (ξ )]= ∑ fn (2.22) n=0 Thông thường khai triển Fourier - Hermite là công thức cho hàm tất định trong không gian đều L2(R) với độ đo Lebesgue. Xác định hàm Hermite là: 1/2 ψ nn( x)= ρ ( xH) ( x) trong đó ρ()x là phân phối Gauss (2.1) 57 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 2 Dạng hàm Hermite {ψ n ( x)}là cơ sở trực chuẩn trong L (R). Với bất kì hàm gx( )∈ L2 ( R) , có khai triển: gx()= ∑ gnnψ () x (2.23) n f = gx()ψ () xdx (2.24) nn∫ R Liên quan khai triển (2.21) đến (2.24) , với bất kì hàm fx( )∈ LR2 ( ,μ ), ta có 1 F ()xfx= ()ρ 2 () x Khi đó khai triển (2.21) là tương đương F ()x =∑ Fxnnψ () n F = Fxψ xdx nn∫ () () R 2.2.2 TÍNH CHẤT Giả sử f xBR∈ k , khi đó hệ số Fourier - Hermite ffH= , là: ( ) ( ) nn( )μ ⎧ −1 n () ⎡⎤()n ⎪ Efμ ()ξ , nk≤ ⎪ n! ⎣⎦ fn =⎨ k (2.25) ()−1 ⎪ Ef⎡⎤k ξ , nk> ⎪ μ ⎣⎦() ⎩ nnk ()−+ 1 trong đó: Eμ là kỳ vọng đối với độ đo Gauss đơn vị μ . Chứng minh: Dựa vào công thức (2.15) ta có +∞ f = fxHxρ xdx nn∫ () () () −∞ 58 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 1 +∞ d = f ()xHxdx [ ()ρ ( )] ∫ n−1 n −∞ dx −1 +∞ = f '(xH )x ρ ( xdx ) ∫ n−1 () n −∞ do phép quy nạp ta dễ dàng có công thức (2.25) • Khai triển Fourier – Hermite (2.21) có thể mở rộng thành đa chiều. Với chỉ số hữu hạn β =( ββ12, , , βd ) với thành phần số nguyên không âm, xác định đa thức Hermite nhiều biến bằng tích vô hướng d Hxββ()=∏ Hii() x i =1 2 dd Khi đó {Hxβ ( ) } là cơ sở trực giao trong không gian Hilbert LR( ,μ ), trong đó μ d là độ đo Gauss d – chiều trên Rd . Kí hiệu ξ =(ξξ12, , , ξd ) là vectơ ngẫu nhiên với những thành phần độc lập. Giả sử ξ là hàm của biến ngẫu nhiên ξ với Eq2 (ξ ) <∞ khi đó qLR(.,)∈ 2 ( ddμ ) và tồn tại khai triển Fourier Hermite : qqH(ξ )=∑ ββ(ξ ) β ⎡⎤ với qEqHββ= ⎣⎦(ξ ) (ξ ) Mặt khác, ta có : 2 2 Eq(ξ ) = q0 , Eq(ξ ) =∑ qα β Khai triển phù hợp với không gian hữu hạn chiều LR2 ( dd,μ ) với d <∞ 59 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE Từ khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Wiener kết hợp với các đa thức Hermite ta sẽ xây dựng được quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite . Chúng sẽ trở thành cơ sở trực giao của không gian các quá trình ngẫu nhiên. Vì vậy trong chương này ta tập trung nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Về mặt lý thuyết chúng có những tính chất lý thú và cũng có nhiều ứng dụng quan trọng. Từ đa thức Hermite một biến ở chương 2 ta mở rộng đa thức Hermite hai biến ở chương 3. Ta bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite § 3.1 KHÁI NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA Đa thức Hermite bậc n là đa thức xác định bởi : n ⎛⎞uu22 ⎛⎞ n ⎛⎞− * ⎜⎟ ⎜⎟ ()−t ⎝⎠22ttd ⎝⎠ Hutn (),,0,1,2 == e⎜⎟ e n (3.1) n!dun ⎜⎟ ⎝⎠ 3.1.2 CÁC VÍ DỤ Theo định nghĩa trên, ta có : 60 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên * Khi n = 0 : Hut0 (),1= * Khi n = 1 : Hutu1 (), = * ut2 Khi n = 2 : Hut(), = − 2 22 * utu3 Khi n = 3: Hut(), = − 3 62 * utut422 Khi n = 4 : Hut(), = −+ 4 24 4 8 61 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 2 n § 3.2 TẬP TRỰC CHUẨN ĐẦY ĐỦ TRONG LR2 ( ) VÀ LR( ) Trong phần này ta xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng. 3.2.1 ĐỊNH NGHĨA Với m = 0, 1, 2, và tT∈[0, ], ta xác định đa thức Hermite suy rộng vat− ( ) trong bậc m là bt() 22 m ⎧⎫⎧⎫m ⎛⎞ m ⎪⎪⎪⎪()vat−−() d () vat() 2 ⎜⎟ Qvtm ()(),1=− () bt () exp⎨⎬⎨⎬ exp- (3.2) 2()bt dvm ⎜⎟ 2() bt ⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎝⎠ Công thức (3.2) được gọi là đa thức Hermite suy rộng với hai biến (v, t) Theo định nghĩa từ (3.2) ta sẽ thu được Khi m = 0 : Qvt0 ( ,1)= vat− ( ) Khi m = 1 : Qvt1 (), = bt() 2 ⎛⎞vat− () Khi m = 2: Qvt(),1=− +⎜⎟ 2 ⎜⎟ ⎝⎠bt() 3.2.2 CÁC TÍNH CHẤT Tính chất 1: m Qvt'(,)= Q (,) vt (3.3) mmbt() −1 • Chú ý: Với m = 0, 1, và tT∈[ 0, ] 62 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Đạo hàm 2 vế biểu thức (3.2) theo biến v ta có : ⎛⎞vat− () 1 Qvt(;)=− QvtbtQvt (;) ()2 '(;) (3.3’) mmm+1 ⎜⎟ () ⎝⎠bt() Với m = 1,2 , và tT∈[0, ] từ (3.3) và ( 3.3’) Ta có ⎛⎞vat− () Qvt(,)−+= . QvtmQvt (,) (,) 0 mmm+−11⎜⎟ ⎝⎠bt() Tính chất 2: Với bất kì số nguyên m và k không âm , 2 ⎧⎪⎪()v-a (t) ⎫ IQvtQvtdv=−exp⎨⎬km ( ; ) ( ; ) ∫ 2()bt R ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎧0, km≠ = ⎨ (3.4) ⎩⎪kbt!2π (), km= Chứng minh : Giả sử với mk≤ 2 ⎪⎧ ()v-a (t) ⎫⎪ Cho ϕ(;)vt =− exp⎨ ⎬ 2()bt ⎩⎪ ⎭⎪ Khi đó: 2 ⎧⎫ k v-a() t k ⎪⎪( ) 2 k exp⎨⎬ -Qvtk ()() ,=− 1() bt ()ϕ () vt , 2bt ⎩⎭⎪⎪() Sử dụng công thức trên thay vào công thức (3.4) ta có : k k ()k IbtvtQvtdv≡−1()(,)(,)2 ϕ ()()∫ m R 63 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có : k k ⎡⎤()kk−−11∞ () ' IbtvtQvtvtQvtdv≡−1 ()2 ϕϕ (;) (;) − (;) (;) ()()⎢⎥mm−∞ ∫ ⎣⎦R k k+1 (1)k− ' =−1()(;)(;)bt2 ϕ vt Q vt dv ()( )∫ m R Tiếp tục cách này ta có k km+−() km () m IbtvtQvtdv=−1()(;)(,)2 ϕ () ( )∫ m R Ta xét 2 trường hợp : + Trường hợp 1: Nếu m < k thì I = 0 +Trương hợp 2: Nếu m = k , sử dụng công thức (3.3) trên 2 k ⎧ 2k k! ⎪ ()v-a (t) ⎪⎫ Ibt=−()(1() )2 exp-⎨ ⎬ du ∫ k 2()bt R bt()2 ⎩⎪ ⎭⎪ 2 ⎧⎪⎪()v-a (t) ⎫ =kdu!exp-⎨⎬ ∫ 2b(t) R ⎩⎪ ⎭⎪ = kbt!2π ( ) Vậy tính chất 2 đã chứng minh xong. 3.2.3 ĐỊNH NGHĨA Với m = 0,1 và tT∈[0, ] ta xác định hàm Hermite suy rộng bậc m là : 2 ⎧⎪ ()v-a (t) ⎪⎫ hvtQvtmm(;)= (;)exp-⎨ ⎬ 4()bt ⎩⎪ ⎪⎭ 64 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Và ta xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng bậc m là 1 − 2 Kvtmmm(;)=() ! 2π bt () hvt (;) (3.5) 3.2.4 TÍNH CHẤT ∞ Tập hợp hàm K xác định bởi (3.16) là tập hợp cơ sở trực giao LR() { m}m=0 2 Chứng minh: Sử dụng công thức (3. 5) trên với mọi số nguyên k và m không âm KvtKvtdv(;) (;) ∫ km ¡ 11 −− = k!2ππ bthvtmbthvtdv ()22 ; !2 () ; ∫()km()()() ¡ 11 2 −− ⎧ ⎫ 22 ⎪ ()v-a (t) ⎪ = kbtmbtQvtQvt! 2ππ () ! 2 ()km (,) (,)exp-⎨ ⎬ dv ()()∫ 2()bt R ⎩⎪ ⎭⎪ = δkm, W 65 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên § 3.3 MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.3.1 ĐỊNH NGHĨA Cho{ W:t t ≥ 0} là quá trình Wiener tiêu chuẩn một chiều (chuyển động Brown ), khi đó ta xác đinh công thức Hermite bởi công thức truy hồi sau : * Ht0 ()W,t := 1 * Ht1 ()W,tt := W * 2 Wt t Ht2 ()W, :=− t 22 * WW3 t Ht()W, :=−tt 3t 62 * 422 WtWttt Ht4 ()W, :=− + t 24 4 8 ⎡⎤ 1 ⎢⎥ Htnnn()W,ttt :=−⎢⎥ W H−−12() W, ttHt () W, t , n = 2,3 n ⎢⎥ ⎣⎦ Hoặc ta có thể xác định cách khác bởi công thức truy hồi sau : n * ()−t ⎡⎤⎛⎞xx22d n ⎛⎞ ⎛ ⎞ n Ht()W,t := ⎢⎥ exp⎜⎟n ⎜⎟ exp ⎜ - ⎟ n!2t2t⎣⎦⎢⎥⎝⎠dx ⎝⎠ ⎝ ⎠ x = Wt * Vậy HtnN()W, , ∈ là quá trình ngẫu nhiên và ta gọi chúng là quá trình { n t } ngẫu nhiên dạng Hermite. 66 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 3.3.2 ĐỊNH LÝ Cho HHnn= ()W,t t là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với m nguyên và lớn hơn 1 ta sẽ có vi phân ngẫu nhiên ⎛⎞ mm−−122mm( −1) m dH⎜⎟nnn=+ mH dH H nn H−1 dt (3.6) ⎝⎠ 2 Để chứng minh định lý trên ta cần chứng minh bổ đề sau 3.3.3 BỔ ĐỀ : Đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite ta sẽ có dHnn()W,ttt t= H−1 () W, t d W (3.7) Chứng minh: Trước hết ta nhận xét : 2 ⎛⎞ud2n⎡⎤ ⎛λ 2td ⎞ n ⎡ ⎛⎞()u-λ t ⎤ ⎢ ⎥ exp⎜⎟ -n ⎢⎥ exp ⎜λu −= ⎟ n exp⎜⎟ - 2tdλλ 2d ⎢ ⎜⎟ 2t ⎥ ⎝⎠⎣⎦ ⎝ ⎠λ = 0 ⎝⎠ ⎣ ⎦ λ = 0 n 2 n d ⎡⎤⎛⎞u =−()t n ⎢⎥exp⎜⎟ - du ⎣⎦⎝⎠2t suy ra : n2 2n 2 duu⎡⎤⎛⎞λ td ⎛⎞n ⎡⎤ ⎛⎞ n ⎢⎥exp⎜⎟λut−= exp ⎜⎟() −n ⎢⎥ exp ⎜⎟ - ( ) dλ 22t2tdu ⎣⎦⎝⎠λ =0 ⎝⎠ ⎣⎦ ⎝⎠ Mà theo (3.1) n * (−t) ⎛⎞uu22d n ⎛ ⎞ Hutn (),expexp-= ⎜⎟n ⎜ ⎟ ndu!2t2t⎝⎠ ⎝ ⎠ 22n * ⎛⎞uun d ⎛ ⎞ => exp⎜⎟()−=tnHutn exp ⎜ - ⎟ !n () , ⎝⎠2tdu ⎝ 2t ⎠ 67 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên Thay vào ( ) ta có : dtn ⎡⎤⎛⎞λ 2 * n ⎢⎥exp⎜⎟λ u -=nH !n () u, t dλ 2 ⎣⎦⎝⎠λ = 0 ⎡ ⎛⎞λ 2t ⎤ Vậy theo khai triển Taylor đối với hàm ⎢exp⎜⎟λu − ⎥ tại λ = 0 ta sẽ có : ⎣ ⎝⎠2 ⎦ 2 ∞ * ⎡⎤⎛⎞λ t n ⎢⎥exp⎜⎟λuHut−=∑ n () , λ ⎣⎦⎝⎠2 n = 0 Mặt khác , nếu ta áp dụng công thức Itô cho hàm 2 ∞ * ⎡⎤⎛⎞λ t n φt =−=⎢⎥exp⎜⎟λλ Wtt∑ Htn () W , . (3.8) ⎣⎦⎝⎠2 n = 0 Ta sẽ có φt lại là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên ⎪⎧ddφλφtt= Wt ⎨ ⎪φ ()01= ⎩ t ⇒=+φλφ1Wd ts∫ s 0 Từ đó, ta có: ∞∞ tt ∞ * nn n λλλHHdHdnn=+1W1W =+ λ n−1 (3.9) ∑∑∫∫ss ∑ nn==0000 n = 1 t ⇒=HtHsdnnW,−1 W, W ()tss∫ ( ) 0 Vậy dHnn()W,ttt t= H−1 () W, t d W Vậy bổ đề đã chứng minh xong. 68 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên * Chứng minh định lý 3.3.2 m Áp dụng công thức Itô cho hàm YtX(X,t )= t với m nguyên , lớn hơn 1 và * XW,tt≡ Htn () Từ công thức Ito ∂∂YY1 ∂2 Y dYt()=+() tXt , () dt() tXt , () dXt () +() tXt , (). b2 () tdt ∂∂tx 2 ∂x2 Và (3.7) ta suy ra được (3.6) Vậy định lý 3.3.2 đã chứng minh xong. Ví dụ : Với m = 2 từ công thức (3.6) ta có : ⎛⎞ 22 dH⎜⎟nnnn=+2 HdH H−1 dt (3.10) ⎝⎠ • Chú ý: Công thức (3.8) còn có thể thu được từ nhận xét sau: Giả sử X1 và X 2 có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: ⎧dX11=+ a dt b 1t dW ⎨ ⎩dX22=+adt bd 2t W Khi đó : dXX( 12. )= XdXXdXbbdt 1 2++ 2 1 12 * Với XXH12≡≡n ()W, t t Sử dụng công thức (3.7) ta có được công thức (3.10) 3.3.4 HỆ QUẢ: * Cho Htn ()W,t là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, ta sẽ có : 69 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên t ∞ * − 2 ∑ Hten ()W,tt= expW() (3.11) n = 0 Thật vậy khi sử dụng công thức (3.8) với λ = 1 ta sẽ có được (3.11) 3.3.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE * Cho Htnn ()Wt , ,∀= 1,2,3 , t ≥ 0 là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite , ta sẽ có: * a) EHn ()W, t = 0. (3.12) { t } ⎧⎫ 22⎧⎫t t n b) EHnnW, t== E H−1 W, sds . (3.13) ⎨⎬⎨⎬()ts∫ ( ) ⎩⎭⎩⎭0 n! ⎧⎫t c) EHW, sHn −1 W, sd W= 0 . (3.14) ⎨⎬∫ n ()()sss ⎩⎭0 d) dHn +1 ()()W,ttt t= Hn W, t d W. (3.15) ⎧⎫tt ⎪⎪ t EH⎨⎬nm()W,ss sdH W () W, ss sd W= EH nm−− 1s1s ()() W, sH W, sds= 0, e) ∫∫ ∫0 {} ⎪⎪00 ⎩⎭ ∀∈nm,, Nn ≠ m (3.16) Chứng minh: • Chứng minh tính chất (a) và (b) Ta có : 70 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên * 2 HtLtnn ()Wt ,∈=>() 0, 1,2,3, ; t 0 và từ (3.7) ta có : t HtHnnW,= −1 W, sd W (3.17) ()tsS∫ ( ) 0 * Ta chứng minh (a) và (b) đối với các hàm bước nhảy, Hsn −1 ()W,s và giả sử ()k * ()k rằng HsHnn−−11()W,s = khi skk≤ ss≤ +1 ; H n − 1 là F(sk ) - đo được và F(sk ) độc lập với σ - trường sinh bởi chuyển động Brown trong tương lai sau thời điểm sk a) Lấy kỳ vọng 2 vế (3.17) ⎛⎞t EHnn()W, t= E H−1 () W, sd W { tsS} ⎜⎟∫ ⎝⎠0 n −1 ⎛⎞* ()k =−∑ EH⎜⎟n − 1 ()Ws()k+1 Ws() k k =0 ⎝⎠ n −1 ⎛⎞* ()k ⎞ =−=EHn − 1 EWs Ws 0 ∑ ⎜⎟⎟ ( ()k+1() k k = 0 ⎝⎠⎠ * ()k do H n − 1 và Ws( k+1)− Ws( k) độc lập với nhau * Vậy EHn ()W, t = 0 { t } b) => 2 ⎛⎞t * n −1 ⎛⎞ ()kj () EHd⎜⎟⎜⎟n −1 WWsWsWsWsS11k+1k+1j=−− EHHnn−− () j ⎜⎟∫ ∑ {}()() ()() () ⎝⎠⎝⎠0 kj,0= • Với j < k 71 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên (kj) ( ) khi đó Ws( k+1)− Ws( k ) độc lập với HHnn−−11()Ws()j+1− Ws() j Ta có : ⎪⎪⎧⎫ ()kj () EH⎨⎬nn−−11 H ()Ws()k +1−−= Ws() k() Ws() j+1 Ws() j ⎩⎭⎪⎪ ⎪⎪⎧⎫ ()kj () EH⎨⎬nn−−11 H()Ws()jk+1−−= Ws() j E() Ws() +1 Ws() k 0 ⎩⎭⎪⎪ (do E{Ws( k+1)−= Ws( k )} 0 ) Do đó : 2 2 t n −1 ⎧ ()k ⎫ ⎛⎞⎛⎞ ⎪⎛⎞ 2 ⎪ EHd⎜⎟⎜⎟nn−−11WWsWss+1k=− EH⎨⎜⎟ k ()⎬ ⎜⎟∫ ∑ ()() ⎝⎠⎝⎠0 k = 0 ⎪⎩⎭⎝⎠ ⎪ 2 n −1 ⎧ ()k ⎫ ⎪⎛⎞* ⎪⎪⎫ 2 =−∑ EH⎨⎜⎟n −1 ⎬⎬ E()Ws()k +1 Ws() k k = 0 ⎪⎝⎠⎪⎪ ⎩⎭⎭ 2 n −1 ⎧⎫⎪⎪⎛⎞* ()k =−∑ EH⎨⎬⎜⎟n −1 ()ssk +1 k k = 0 ⎩⎭⎪⎪⎝⎠ ⎛⎞t * 2 = EH⎜⎟∫ n −1 dt ⎝⎠0 ⎧⎫ 22⎧ t ⎫ Vậy EHnnW, t= E H−1 W, sds ⎨⎬⎨⎬()ts∫ ( ) ⎩⎭⎩⎭0 • Chứng minh (c ) Từ hệ thức (3.10) ta có : tt *2 2 HtHW=+ 2nn W, sHsdH−−11 W, W n W, sds n ()t,∫∫()() s s s () s 00 Lấy kì vọng 2 vế 72 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên ⎧⎫ 2 ⎛⎞⎛⎞tt2 => EHtEHsHsdEHsdsnnnnW2=+ W,W,W−−11 W, ⎨⎬()t,⎜⎟⎜⎟∫∫()() s s s () s ⎩⎭⎝⎠⎝⎠00 Theo tính chất (b) ⎧ ⎫⎧t ⎫ EH22()W, t= E H ( W, sds ) ⎨ n ts⎬⎨∫0 n−1 ⎬ ⎩⎭⎩⎭ nên ⎧⎫⎛tt 2 ⎞⎛⎞ t2 E Hnnnn−−−111W, sdsEH=+ 2 W, sH W, sd W EH W, sds ⎨⎬∫∫()sssss⎜⎟⎜⎟ ()() ∫ () ⎩⎭⎝00 ⎠⎝⎠ 0 t Vậy EH()()W, sH W, sds W= 0 {∫0 nns1s− } Vậy tính chất (c) chứng minh xong • Chứng minh tính chất (d) : đẳng thức (3.15) chính là đẳng thức (3.7) mà ta đã chứng minh • Chứng minh tính chất (e) : dựa vào tính đẳng cự Ito của tích phân ngẫu nhiên. 73 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên KẾT LUẬN Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên có nhiều vấn đề hấp dẫn, thú vị cũng như những ứng dụng thực tế của chúng trong cuộc sống của chúng ta. Tôi rất muốn nghiên cứu thêm và đưa ứng dụng thực tế của chúng vào luận văn này để có được những kết quả tốt đẹp về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng vào thực tiễn. Khi nghiên cứu về những vấn đề về luận văn chúng ta đã nêu được mối liên hệ giữa đa thức Hermite, quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, đa thức Hermite suy rộng bậc m và một số đặc tính vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Hướng phát triển tiếp theo sẽ nghiên cứu sâu về hệ số Fourier – Hermite suy rộng và hàm Fourier – Hermite suy rộng. Khi đó có được tập trực chuẩn đầy 2 đủ trong LC( ab, []0, T) . Ngoài ra cũng có thể nghiên cứu tiếp phép biến đổi không gian hàm Fourier – Wiener suy rộng. 74 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] A .D. VENTXEL Giáo Trình Lý Thuyết Quá Trình Ngẫu Nhiên NXB “ Mir “ Maxcova, 1987 ( Bản dịch từ tiếng Nga sang tiếng Việt của Nguyễn Viết Phú và Nguyễn Duy Tiến) [2] DƯƠNG TÔN ĐẢM Quá Trình Ngẫu Nhiên Phần Mở Đầu NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006 [3] DƯƠNG TÔN ĐẢM Quá Trình Ngẫu Nhiên Phần I : Tích Phân và Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 [4] ĐINH VĂN GẮNG Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê NXB Giáo Dục, 2000 [5] NGUYỄN BÁC VĂN Xác Suất Và Xử Lý Số Liệu Thống Kê NXB Giáo Dục, 2000 75 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên [6] NGUYỄN DUY TIẾN, ĐẶNG HÙNG THẮNG Các Mô Hình Xác Suất Và Ứng Dụng Phần I : - Xích Markov Và Ứng Dụng Phần II: - Quá Trình Dừng Và Ứng Dụng Phần III: - Giải Tích Ngẫu Nhiên NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 – 2001 [7] NGUYỄN DUY TIẾN, NGUYỄN VIẾT PHÚ Cơ Sở Lý Thuyết Xác Suất NXB Đại Học Và Trung Học Chuyên Nghiệp Hà Nội, 1983 [8] NGUYỄN DUY TIẾN, NGUYỄN VIẾT PHÚ Lý Thuyết Xác Suất NXB Giáo Dục Hà Nội, 2000 [9] NGUYỄN HỒ QUỲNH Chuỗi Thời Gian : Phân Tích Và Nhận Dạng NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật Hà Nội, 2004 [10] TRẦN HÙNG THAO Tích Phân Ngẫu Nhiên Và Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội, 2000 76 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên TIẾNG ANH [1] A. J. CHORIN Hermite Expansion In Monte – Carlo Simulations J. Comput Phys, 8 : 472 – 482, 1971 [2] BERNT OKSENDAL Stochastic Differential Equation – An Introduction With Application 6th edition, Springer, 2005 [3] DEBNATH. L AND MIKUSINSKI Introduction To Hilbert Spaces With Application Academic Press ,1990 [4] F. H. MALTZ AND D . L . HITZL Variance Reduction In Monte Carls Computations Using Multi – Dimensional Hermite Polynimals. J. Comput Phys, 32 : 345 – 376, 1979 [5] R . H. CAMERON The Orthogonal Development Of Non – Linear Functionals In Series Of Fourier – Hermite Functionals. Ann Of Math, 48 (1947), 385 – 392, [6] R . H. CAMERON Some Examples Of Fourier – Wiener Transforms Of Analytic Functionals. Duke Math. J. 12 (1945), 485 – 488 77 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh
Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên [7] R . H . CAMERON AND W. T. MARTIN Fourier – Wiener Transforms Of Analytic Functionals Duke Math. J. 12 (1945), 489 – 507 [8] SEUNG JUN CHANG AND HYUN SOO CHUNG Generalized Fourier – Wiener Function Space Transforms J. Korean Math. Soc. 46 (2009), No 2, 327 – 345 [9] WUAN LUO Wiener Chaos Expansion And Numerical Solutions Of Stochastic Partial Differential Equations Californial Institute Of Technology Pasadena , California Defended May 2, 2006 78 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh