Luận văn Hàm trụ và ứng dụng

75 trang yendo 5650

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Hàm trụ và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

luan_van_ham_tru_va_ung_dung.pdf

Nội dung text: Luận văn Hàm trụ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội-2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÙNG THỊ NHÀN HÀM TRỤ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGƯT. Nguyễn Huy Lợi Hà Nội, 2009
LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi và các thầy cô giáo đã hướng dẫn tận tình, đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho em sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên cả về vật chất cũng như tinh thần giúp em hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô, cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn sớm được hoàn thành.
LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Phùng Thị Nhàn
NHỮNG KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng các kí hiệu với các ý nghĩa được xác định trong bảng sau R tập hợp số thực C tập hợp số phức tập rỗng ∅ âm vô cùng −∞ dương vô cùng (tương đương với + ) ∞ ∞ ber là phần thực của hàm bei là phần ảo của hàm
Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời cam đoan 3 Những kí hiệu 4 Mở đầu 7 Chương 1. HÀM TRỤ 9 1.1. Hàmchỉnhhình 9 1.2. HàmGamarEuler 12 1.3. Hàmtrụ 16 1.3.1. Hàmtrụloại1 18 1.3.2. Cáchàmtrụkhác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3. Biểudiễntiệmcậnđốivớicáchàmtrụ . . . . . . . . 39 1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm . . 47 Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 53 2.1. Ứngdụngđểgiảiquyếtcácvấnđềlýthuyết . . . . . . . . . . 53 2.1.1. Định lý cộng đối với các hàm Bessel 53 2.1.2. Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ 53 2.1.3. Các tích phân có chứa hàm Bessel 54 2.1.4. Tích phân Sonhin 56 2.1.5. Tích phân của thuyết sóng điện 58 2.1.6. Dao động của dây xích 60 2.1.7. Dao động của màng tròn 63 2.1.8. Nguồn nhiệt hình trụ 64 2.1.9. Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn 67
6 2.2. Mộtsốứngdụngkhác 68 Kết luận 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự ra đời của số phức và quá trình nghiên cứu phát triển hoàn thiện lí thuyết hàm số biến số phức như một dấu mốc quan trọng trong quá trình phát triển toán học. Những kết quả đạt được trong lý thuyết đó đã giải quyết rất nhiều những vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, đời sống khác nhau. Khi nghiên cứu giải tích phức, một trong những vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đó là lí thuyết hàm trụ. Nhiều tính chất quan trọng của hàm trụ đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao trong vật lý, kỹ thuật, xây dựng Từ việc nghiên cứu hàm trụ trong không gian hai chiều, nhiều nhà toán học đã không ngừng phát triển, mở rộng cho không gian ba chiều, nhiều chiều và đạt được nhiều kết quả to lớn. Với những kết quả đã đạt được trong không gian các hàm biến số thực như việc tính độ dài đường cong, diện tích mặt, thể tích khối Việc nghiên cứu trên hàm trụ đã giải quyết một cách triệt để những vấn đề này trên những lớp hàm biến số phức đặc biệt được biểu diễn thông qua hàm trụ. Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong khoa học và đời sống mà việc nghiên cứu hàm trụ đem lại, với mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm trụ cùng với những ứng dụng của nó tác giả mạnh dạn chọn đề tài “Hàm trụ và ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu hàm trụ, các tính chất của hàm trụ và ứng dụng của hàm trụ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hàm trụ, hệ thống hóa theo hướng ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
8 Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Hàm trụ. Chương 2: Ứng dụng của hàm trụ. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic và hệ thống. 6. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu một khái niệm của toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và người yêu thích toán học.
Chương 1 HÀM TRỤ 1.1. Hàm chỉnh hình Giả sử hàm f = u + iv xác định và hữu hạn trong lân cận nào đó của điểm z = x + iy C. 0 0 0 ∈ Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng f khả vi tại điểm z0 theo nghĩa giải tích thực (hay R2 khả vi), nếu các hàm u và v khả vi như những hàm của (x, y) tại − điểm (x0, y0) biểu thức df = du + idv, (1.1) được gọi là vi phân của f tại điểm z0. Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z nếu nó C khả 0 − vi trong lân cận của điểm ấy. Ta sẽ gọi hàm f là chỉnh hình trên tập mở D, nếu nó chỉnh hình tại mỗi điểm của D (do vậy trong tập D khái niệm giải tích và khả vi phức trùng nhau). Ta sẽ gọi hàm f chỉnh hình trên tập hợp bất kì M C nếu nó có thể ⊂ thác triển giải tích lên tập hợp mở nào đó D M. ⊃ Cuối cùng, hàm f chỉnh hình tại điểm vô cùng được hiểu là tính chỉnh 1 hình của hàm ϕ(z) = ϕ(z ) tại z = 0. Định nghĩa này cho phép ta xét hàm chỉnh hình trên các tập hợp của mặt phẳng đóng C. Định lý 1.1. Tổng và tích của các hàm chỉnh hình trong miền D cũng chỉnh hình trong miền ấy. Do đó tập hợp tất cả những hàm chỉnh hình trong miền D lập nên một vành và vành này ta sẽ chỉ bằng kí hiệu H(D). H(D) là một không gian vector trên C.
10 Định lý 1.2. Giả sử D C là một miền và H(D) là tập hợp các hàm chỉnh ∈ hình trên D. Khi đó i) Nếu f H(D) và f(z) =0 thì 1 H(D). ∈ 6 f ∈ ii) Nếu f H(D) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. ∈ Định lý 1.3. Nếu f : D D∗ và g : D∗ C là các hàm chỉnh hình, ở đây → → D và D∗ là các miền trong mặt phẳng (z), (w), thì hàm g f : D C chỉnh 0 → hình. Định lý 1.4. (Định lý Cauchy) Nếu hàm f H(D) thì tích phân của nó ∈ theo tuyến đóng bất kỳ γ D, đồng luân với không trong miền này là bằng ⊂ không fdz =0 nếu γ 0 ∼ Zγ Chứng minh. Vì γ 0 nên trong D có thể biến dạng đồng luân tuyến tính ∼ đóng γ : z = z (t), t [0, 1], nằm trong hình tròn nào đó U D. Mặt khác, 1 1 ∈ ⊂ hàm f có nguyên hàm F trong U và do đó nguyên hàm của f dọc theo γ1 sẽ là hàm F (z1(t)). Vì z1(0) = z1(1) = a (tuyến γ1 là tuyến đóng) nên theo công thức Newton-Leibnizt fdz = F (a) F (a)=0. − γZ1 Định lý 1.5. Hàm f bất kỳ, chỉnh hình trong miền đơn liên D, có nguyên hàm trong miền ấy. Định lý 1.6. (Định lý về giá trị trung bình) Giá trị của hàm f H(D) tại ∈ mỗi điểm hữu hạn z D bằng trung bình cộng của các giá trị của nó trên ∈ đường tròn đủ bé bất kỳ với tâm tại z 2π 1 f(z) = f(z + ρeit)dt. (1.2) 2π Z0
11 Chứng minh. Ta lấy hình tròn U = z0 : z0 z < ρ sao cho U b D. Theo ρ { | − | } ρ công thức tích phân Cauchy, ta thu được 1 f(ζ) f(z) = dζ. (1.3) 2πi ζ z ∂UZρ − vì trên ∂U ta có ζ z = ρeit, t [0, 2π] , dζ = ρeitidt, nên từ (1.3) suy ra ρ − ∈ (1.2). Định lý 1.7. (Định lý Liouville) Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt phẳng C và giới nội, thì nó là hằng số. Chứng minh. Trong hình tròn đóng bất kỳ U¯ = z R , R < hàm f {| |≤ } ∞ được biểu diễn bởi chuỗi Taylor ∞ n f(z) = cnz , n=0 X hệ số của nó không phụ thuộc vào R. Vì f giới nội trong C (giả sử f(z) | |≤ M), nên theo các bất đẳng thức Cauchy M c , n =0, 1, 2, | n|≤ Rn Bởi vì vế phải dần đến không khi R , nên c = 0 với n = 0, 1, 2, do → ∞ n đó ta nhận được f(z) c . ≡ 0 Định lý 1.8. Đạo hàm của f H(D) là hàm chỉnh hình trong miền D. ∈ Định lý 1.9. Nếu trong hình tròn z z < R hàm f được biểu diễn như {| − 0| } là tổng chuỗi luỹ thừa ∞ f(z) = c (z z )n, n − 0 n=1 X thì hệ số của chuỗi được xác định đơn vị theo công thức f (n)(z ) c = 0 n =0, 1, 2, (1.4) n n!
12 Chứng minh. Thế z = z0 vào (1.4), ta tìm được f(z0) = c0. Vi phân từng từ chuỗi (1.4) ta được f 0(z) = c + c (z z ) + 1 2 − 0 và sau đó thế z = z0 ta tìm được f 0(z0) = c1. Lấy vi phân (1.4) n lần (n) 2 f (z) = n!c + c0 (z z ) + c0 (z z ) + n 1 − 0 2 − 0 (ta không viết ra các biểu thức của hệ số) và lại thế z = z0 ta thu được (n) n!cn = f (z0). 1.2. Hàm Gamar Euler Trước tiên ta định nghĩa đạo hàm lôgarit của hàm Euler là khai triển sau đây ∞ 1 1 ψ (1 + z) = C . (1.5) − − z + k − k Xk=1 ở đó C là một hằng số nào đó. Chuỗi (1.5) gồm các số hạng trong chuỗi 1 ∞ 1 1 1 ∞ 2z πcotgπz = + 0 + = + , z = k. (1.6) z z k k z z2 k2 6 k= k=1 X−∞ − X − với các chỉ số âm (các công thức (1.5) và (1.6) còn khác nhau về dấu của k). Khai triển (1.6) là khai triển Mittag-Leffer của hàm ψ (1 + z), từ đó suy ra nó là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm z = 1, 2, 3, − − − Hàm Euler Γ (1 + z) (“Hàm Gamar”) được xác định qua đạo hàm lôgarit của nó z ∞ z z ln Γ (1 + z) = ψ (1 + z) dz = Cz ln 1 + , (1.7) − − k − k Z0 Xk=1 n o
13 ở đây z = k, (k = 1, 2, ), và tích phân được lấy theo một đường bất kì 6 − không đi qua điểm này. Lấy được tích phân như trên vì chuỗi (1.6) hội tụ đều. Mũ hóa (1.7) ta được 1 Cz ∞ z −z e 1 + e k , (1.8) Γ (1 + z) k Yk=1 tích vô hạn hội tụ, vì nó là một phần trong khai triển Weierstrass của sinπz, ứng với các chỉ số k âm (ở đó thay k bằng k và z = πz). Từ (1.8) suy ra rằng − hàm 1 nguyên và nó có không điểm tại các điểm z = k, (k = 1, 2, ) Γ(1+z) − và chỉ có tại các điểm đó. Vì thế hàm Γ(1+ z) không triệt tiêu và là hàm phân hình có các cực điểm cấp một tại các điểm nguyên âm và chỉ có tại các điểm đó mà thôi. Từ (1.8) suy ra Γ(1) = 1. Do khẳng định trên Γ(2) =0 và bởi vì hằng số 6 C chưa xác định, nên ta có thể buộc Γ(2) = 1. Khi đó từ (1.7) ta nhận được ∞ 1 1 0 = C ln 1 + , − − k − k Xk=1 hay n ∞ 1 1 1 2 3 n +1 C = ln 1 + = lim ln . n k − k →∞ ( k − 1 2 n ) Xk=1 Xk=1 n 1 = lim ln(n + 1) , n →∞ ( k − ) Xk=1 khi thêm vào trong dấu móc số hạng 1 0 (nó không làm thay đổi giới n+1 → hạn) và thay n +1 bằng n, ta nhận được biểu thức cuối cùng đối với C 1 1 C = lim 1 + + + lnn (1.9) n →∞ 2 n − Số C là giới hạn của hiệu giữa tổng riêng thứ n của chuỗi điều hoà (phân kỳ) và ln n, nó được gọi là hằng số Euler (giá trị gần đúng của nó bằng 0,5772157). Với z = k (k = 1, 2, ) ta có 6 − − ∞ 1 1 1 ψ (1 + z) ψ (z) = = , − − z + k 1 − z + k z Xk=1 −
14 vì tất cả các số hạng đều đã được giản ước. Lấy tích phân không định hạn hệ thức này ta nhận được lnΓ(z + 1) lnΓ(z)=ln z + ln A, trong đó A là − hằng số nào đó từ đó Γ (1 + z) = AzΓ(z). Ở đây khi đặt z =1 và sử dụng tính chất Γ(1)=Γ(2)=1 ta tìm được A =1, từ đó Γ (1 + z) = zΓ(z) . (1.10) Công thức truy hồi vừa nhận được cho phép ta tính ngay được giá trị của Γ(z) trong dải k < Re z k +1 và k 2 < Re z k 1, nếu đã biết giá trị ≤ − ≤ − của nó trong dải k 1 < Re z k. Áp dụng hai lần công thức (1.10) ta tìm − ≤ được Γ(z +2)=(z +1)Γ(z +1)=(z + 1) zΓ(z) , Γ(z +3)=(z +2)Γ(z +2)=(z +2)(z + 1) zΓ(z) , và nói chung với n nguyên dương bất kì Γ(z + n)=(z + n 1) (z + n 2) zΓ(z) . (1.11) − − Công thức (1.11) cho phép ta tìm giá trị Γ(z) trên toàn mặt phẳng nếu đã biết giá trị của nó trong dải 0 < Re z 1. ≤ Nói riêng khi z =1 thì (1.11) có dạng Γ(1+ n) = n!. (1.12) Từ đó ta thấy rằng Γ(1+ z) là sự mở rộng trong miền phức của hàm n! đối số nguyên. Nhờ công thức (1.11) cũng có thể tìm được thặng dư của Γ(z) tại các cực điểm của nó. Dựa vào công thức này ta có 1 Γ(z) = Γ(z + n + 1) , z. (z + 1) (z + n) từ đó theo công thức 1 sΓ( n)= lim (z + n)Γ(z)= lim Γ(z + n + 1) z n z n − →− →− z (z + 1) (z + n 1) 1 − = Γ(1) , n ( n + 1) ( 1) − − −
15 hay cuối cùng ( 1)n resΓ( n) = − . (1.13) − n! Hơn nữa, từ công thức (1.7) ta có 1 z Cz ∞ z −z = = ze 1 + e k , Γ(z) Γ (1 + z) k Yk=1 và 1 Cz ∞ z z = e− 1 e k . Γ(1 z) − k − Yk=1 Nhân các tích trên theo từng số hạng (có thể chứng minh tính đúng đắn của phép toán đó), ta nhận được 1 ∞ z2 = z 1 . Γ(z)Γ(1 z) − k2 − Yk=1 2 ∞ z Theo công thức sin z = z 1 2 2 , ta thấy rằng vế phải của đẳng k=1 − k π π thức cuối cùng bằng 1 sin πzQ. Như vậy, Γ(z)Γ(1 z) = . π − sin πz Công thức nhận được ở trên cho phép tính Γ(z) trong dải 0 < Re z 1 ≤1 (nghĩa là trên toàn phẳng). Về việc tính giá trị của nó trong dải 0 < Re z . ≤ 2 1 Đặc biệt khi z = từ công thức đó ta nhận được Γ2 1 = π, từ đó 2 2 1 Γ = √π. 2 Để kết thúc ta đưa ra bảng các giá trị Γ(x) trong khoảng (1.2) của trục 1 thực với bước nhảy của x là 0,1 cùng với đồ thị của các hàm Γ(x) và Γ(x) đối với x thực (bảng 1.1). x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Γ(x) 0,9514 0,918 0,897 0,887 0,886 0,893 0,908 0,931 0,961 2 5 3 2 5 6 4 8 Bảng 1.1
16 Hình 1.1 Hình ảnh chung của đồ thị hàm Γ(x) đã rõ ràng do các tính chất của nó đã nói ở trên hình 1.1. Ta chú ý rằng sự tiếp cận của các cực tiểu của Γ(x) với nửa trục âm khi x có liên quan đến sự giảm nhanh các thặng dư → −∞ của nó, dựa vào (1.12) tại lân cận điểm z = π, ta có − ( 1)n 1 Γ(x) = − + c + c (x + n) + n! x + n 0 1 và khi n tăng, hệ số của phần chính trong khai triển giảm đi rất nhanh. 1.3. Hàm trụ Những hàm trụ hay còn được gọi là hàm Bessel đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong phần khai triển, là phương pháp chính sử dụng trong các bài toán có liên quan tới hình tròn hoặc hình trụ. Điều này được giải thích rằng phương pháp giải các phương trình vật lý toán có chứa đựng các toán tử Laplace trong các toạ độ hình trụ , bằng phương pháp cổ điển để phân chia các biến số dẫn tới phương trình d2y dy x2 + x +(x2 λ2)y =0, (1.14) dx2 dx − phương trình này được dùng làm phương trình phụ trợ để xác định hàm trụ.
17 Hàm trụ J0(x) được nghiên cứu đầu tiên bởi Danhil Bernull trong công trình nghiên cứu tính giao động của các chuỗi liên kết ( Peterburg, năm 1732).D. Bernull nghiên cứu từng phần của phương trình (1.14) với λ = 0, sau khi giải phương trình tìm ra biểu thức J0(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa, hơn nữa ông nhận ra rằng biểu thức J0(x) có tập hợp vô hạn những nghiệm số thực. Trong nghiên cứu tiếp theo ( Peterburg, năm 1738) được tiến hành bởi Leonard Euler người ta bắt gặp những hàm trụ. Trong nghiên cứu này Euler sau khi nghiên cứu bài toán về sự giao động của các màng tròn, đưa ra biểu thức (1.14) với giá trị λ = n nguyên. Sau khi giải phương trình này, ông ta đã tìm ra biểu thức Jλ(x) cho n nguyên dưới dạng lũy thừa x, và trong các nghiên cứu sau này ông đã phổ biến biểu thức này trong trường hợp những giá trị độc lập của chỉ số λ, bằng 0 với nửa hàm Jλ(x) được thể hiện thông qua những yếu tố cơ bản, chúng ta nhận ra một cách hiển nhiên với những giá trị λ thực thì hàm Jλ(x) có tập hợp vô số các đường trung tính thực tế và đưa ra các khái niệm tích phân đối với Jλ(x). Cuối cùng, với λ = 0 và λ = 1 trong nghiên cứu của mình năm 1769, Euler đã đưa ra biểu thức dưới dạng luỹ thừa cách giải phương trình bậc hai (1.14), phụ thuộc một cách tuyến tính với Jλ(x). Vì thế Euler nhận được các kết quả cơ bản có liên quan tới hàm trụ và những phụ lục của môn vật lý toán học. Nhà thiên văn học người Đức P. Bessel mà tên tuổi của ông luôn gắn liền với hàm trụ trong mối tương quan nghiên cứu chuyển động của trái đất xung quanh mặt trời, trong công trình nghiên cứu năm 1824 đã đưa ra các phương trình truy toán đối với hàm ,Jλ(x) những phương trình vẫn mang những đặc trưng cơ bản mặc cho tính quan trọng của chúng, ông đã thu được khái niệm tích phân mới Jn(x) cho số nguyên n, ông cũng đã chứng minh tập hợp vô số các đường trung tính J0(x) và lập ra những bản đầu tiên cho J0(x), J1(x) và J2(x).
18 1.3.1. Hàm trụ loại 1 1) Những khái niệm tích phân của Sonhin. Chúng ta cùng nghiên cứu biểu thức vi phân của hàm trụ 2 2 2 t x00 + tx0 +(t + λ )x =0 (1.15) ở đó t là biến số độc lập, x hàm ẩn và λ là tham số, chỉ số của biểu thức − (1.15) chúng ta sẽ tính bằng số thực. Chúng ta sẽ giải biểu thức này bằng phương pháp mở. Nếu như đặt X(p) là phương trình của hàm ẩn, thì theo định lý về gốc vi phân chúng ta sẽ có 2 2 2 t x00 =(p X px x )00 = p X00 +4pX0 +2pX, − 0 − 1 2 tx0 = (pX x )0 = pX0 X, t x = X00, − − 0 − − ở đó x0 = x(0),x1 = x0(0), là những dữ liệu có sẵn (những dữ liệu ban đầu không tham gia vào biểu thức tử số (1.16), hoặc t =0 được coi là điểm đặc biệt của biểu thức (1.15)), vì thế những phương trình toán tử tương ứng với biểu thức (1.15) sẽ có dạng 2 2 (p + 1)X00 +3pX0 + (1 λ )=0. (1.16) − Để giải biểu thức này chúng ta tiến hành thay thế những biến số độc lập và những hàm ẩn, sau khi đặt 1 p = shp, X(p) = Y (q). ch q Khi đó ta có dX dp 1 sh q X0 = : = Y 0 Y, X00 = dq dq ch2q − ch3q 2 2 dX0 dp 1 sh q 3sh q ch q = : = Y 00 3 Y 0 + − Y, dq dq ch3q − ch4q ch5q ta đưa chúng vào (1.16), sẽ dẫn tới một phương trình đơn giản 2 Y 00 = λ Y =0.
19 λq Quay trở lại giải từng phần Y = e− của biểu thức này với các biến số cũ ρ và x, ta được 1 λarshp 1 X = e− = . (1.17) p2 +1 p2 + 1(p + p2 + 1)λ Hàm p2 +1 bỏp qua sự phân chiap những nhánhp cùng giá trị trên mặt phẳng p = s + jσ với các tia hình quạt vô nghiệm s =0, σ > 1. Bên cạnh p | | đó λ > 0 và chúng ta đặt điều kiện nghiên cứu từng phần p2 +1 mà trên trục tâm s nhận các giá trị dương. Khi đó hàm X(p) sẽ tiếnp gần tới 0 với ρ , Reρ > 0, tương đương với argρ và vì thế sẽ được coi là sự thể hiện. | |→∞ Chúng ta có thể gọi các hàm trụ loại 1 hay là những hàm Bessel bậc λ và đặt biểu tượng Jλ(x) (cho λ = n nguyên). Ta tìm ra hàm Jλ(x) như sau 1 eptdp Jλ(t) = , (1.18) 2πi p2 + 1(p + p2 + 1)λ ZL p p trong đó L là đuờng thẳng tự do Re ρ = a > 0. Tiếp tục tới một biến số mới ω = p + p2 +1, (1.19) p khi đó 1 1 dp dω p = (ω ), = , 2 − ω p2 +1 ω và đường tích phân sẽ là đuờng cong Cpcủa mặt phẳng ω = ξ + iη là mẫu đường thẳng L theo hình thức của (1.19). Vì thế trên trục tâm σ dịch chuyển dần tới thể hiện của (1.19) trong tập hợp của các tia ξ =0, η > 1 và một | | nửa vùng lân cận ω =1, ξ > 0, còn số α càng nhỏ, thì C càng có dạng thể | | hiện trên hình 1.2 là đường đứt quãng. Tích phân (1.18) theo đó tiến theo đường này tới tích phân (N. Ya. Sonhin năm 1870) t 1 ω 1 e2 −ω ! J (t) = dω. (1.20) λ 2πi ωλ+1 ZC
20 Hình 1.2 Không thay đổi giá trị tích phân, khi đường cong C có thể được thay thế bởi bất cứ một đường thẳng đứng nào Im ω = α > 0. − t 2ω Vì thế trên vùng lân cận ω = R thì hàm e ωλ+1 tiến dần tới 0 với R , | | →∞ khi đó t > 0 theo bổ đề của Giordan thì tích phân (1.20) dọc theo đuờng vòng cung C có thể thay thế bởi đường chu tuyến C∗ đã được chỉ trong hình 1.2, đuợc vẽ từ các điểm theo giới hạn dưới của bán trục âm ξ , chạy −∞ vòng quanh vùng lân cận từ đầu toạ độ và quay về theo giới hạn trên −∞ của bán trục này. Vì thế chúng ta thu được một khái niệm tích phân của hàm trụ, cũng như thuộc về N. Ya. Sonhin (chúng ta viết z thay t) 1 z (ω ) 1 e 2 −ω J (z) = dω. (1.21) λ 2πi ωλ+1 CZ0 Tích phân Sonhin (1.21) chúng ta nhận được đối với những số dương z, nhưng phần phải của nó là hàm phân tích trong nửa mặt phẳng phải z, hoặc nhờ Re z > 0 tích phân (1.21) cùng bằng z. Vì vậy tích phân Sonhin tiếp tục phân tích Jλ(z) ở nửa mặt phẳng phải. Ngoài ra khi Re z > 0 tích phân Sonhin hội tụ không chỉ đối với những số dương mà còn đối với các giá trị tổng hợp bất kỳ của tham số λ, hoặc trên phần thẳng đứng của chu tuyến C∗ số nhân đặc trưng tiến tới 0 càng nhanh
21 ωλ+1 càng phát triển. Cho nên tích phân Sonhin xác định ở nửa mặt phẳng phải những hàm Bessel bậc tổng hợp tự do. 2) Tính chất giải tích. Nhờ những giá trị nguyên của tham số λ = n,n = 0, 1, 2, hàm thuộc tích phân của tích phân (1.21) có 1 giá trị, ± ± cho nên những tích phân các phần nằm ngang của chu tuyến C∗ biến mất và tích phân (1.21) có dạng 1 z (ω ) 1 e 2 −ω J (z) = dω (1.22) λ 2πi ωn+1 ωZ=1 | | (bán kính đường tròn thuộc chu tuyến C∗ chúng ta có thể lấy bằng 1). Bởi vì tích phân ở vế phải (1.22) hội tụ đối với z bất kỳ và hơn nữa hội tụ đều, điều đó có thể khảng định rằng nhờ các giá trị số nguyên tham số λ = n các hàm Jλ(z) là nguyên. 2ζ Giả sử tiếp theo z là số dương, còn λ là bất kỳ. Khi thay biến số ω = z ở tích phân Sonhin (1.21), ta được tích phân Sonhin - Slepply z2 ζ 1 z λ − λ 1 J (z) = ( ) e 4ζ ζ− − dζ (1.23) λ 2πi 2 CZ∗ (sự thay đổi này chu tuyến C∗ được thay đổi ) Tích phân Sonhin – Slepply hội tụ và ngoài ra hội tụ đều với bất kỳ giá trị z và λ, cho nên tiếp tục phân tích hàm trụ Jλ(z) trên cả mặt phẳng tổng hợp z và tất cả giá trị của tham J (z) số λ. Nhưng hệ thức λ zλ khi tổng hợp bất kỳ là hàm nguyên. 3) Những biểu diễn tích phân khác. Giả sử Re z > 0, chúng ta i ζ thay ω = e trong tích phân Sonhin, từ đó chu tuyến C∗ được thay bằng chu tuyến II, được miêu tả ở hình 1.3 (Bán kính đường tròn ở chu tuyến C∗ chúng ta coi là bằng 1). Tích phân Sonhin đi qua tích phân Slepply 1 iz sin ζ i λ ζ J (z) = e − dζ, λ 2π IIZ biểu diễn hàm hình trụ ở nửa mặt phẳng phải.
22 Hình 1.3 Khi những giá trị nguyên của tham số λ = n,n = 0, 1, 2, do tính ± ± tuần hoàn của hàm số einζ và sin ζ tích phân phần thẳng đứng của chu tuyến II được rút gọn tương quan, và chúng ta nhận được π π 1 iz sin ζ in ζ 1 J (z) = e − dζ = cos(z sin ζ nζ)dζ n 2π π − Zπ Z0 − (chúng ta khai triển hàm theo công thức Euler và sử dụng hàm chẵn cos và hàm lẻ sin). Đó là tích phân Bessel. 4) Biểu diễn bởi chuỗi. Chúng ta khai triển ở tích phân Sonhin – 1 z ( )2 1 Slepply (1.23) bằng số nhân e−ζ 2 ở chuỗi bậc và thay bậc tổng và tích ζ phân (đó là theo quy luật sự trùng hợp bằng nhau của chuỗi nhận được) k 1 z λ ζ λ 1 ∞ ( 1) z 2k J (z) = ( ) e ζ− − − ( ) dζ = λ 2πi 2 k!ζk 2 CZ∗ Xk=0 k ∞ ( 1) z 2k+λ 1 ζ λ 1 k = − ( ) e ζ− − − dζ. k! 2 2πi Xk=0 CZ∗ Chúng ta nhớ lại biểu diễn tích phân Khakeli đối với hàm Gamma, chúng ta tìm thấy khai triển cần tìm của hàm hình trụ ở chuỗi ∞ ( 1)k z J (z) = − ( )λ+2k. (1.24) λ k!Γ(λ + k + 1) 2 Xk=0 Từ công thức (1.24) rõ ràng rằng nhờ những số thực λ và z = x hàm số Jλ(x) có những số thực.
23 Đối với những giá trị không âm số nguyên λ = n chúng ta nhận được nói riêng khai triển ∞ ( 1)k z J (z) = − ( )n+2k. (1.25) n k!(n + k)! 2 Xk=0 Đối với những giá trị âm số nguyên λ = n những giá trị đầu n của tổng 1 − các số cộng (1.24) biến mất, hoặc =0 khi k =0, 1, 2, ,n 1 Γ( n + k + 1) − và công thức (1.25) có dạng − ∞ k ∞ n+v ( 1) z n+2k ( 1) z n+2v J n(z) = − ( )− = − ( ) , − k!( n + k)! 2 (n + v)!v! 2 v=0 Xk=0 − X (chúng ta thay chỉ số tổng số k bằng chỉ số ν = k n), hoặc − J n(z)=( 1)Jn(z). (1.26) − − 5) Hàm sinh. Đối với giá trị không nguyên λ = n =0, 1, 2 , phân ± ± · ·· tích của Sonhin (1.22) trùng hợp với công thức đối với hệ số khai triển của 1 z (ω ) hàm e 2 −ω vào chuỗi Laurent bậc ω ta có 1 z (ω ) ∞ 2 − n e ω = Jn(z)ω . (1.27) n= X−∞ 1 z (ω ) 2 − Hàm số e ω gọi là hàm sinh đối với Jn(z), chúng ta đã sử dụng nó để xác định hàm hình trụ bậc số nguyên. Khi thay ở (1.27) ω = eiθ, chúng ta khai triển thành chuỗi Fourier iz sin θ ∞ inθ e = Jn(z)e . (1.28) n= X−∞ Khi tách ở (1.28) (khi số thực z và θ) phần thực và phần ảo, ta được ∞ ∞ cos(z sin θ) = jn(z) cos nθ, sin(z sin θ) = Jn(z) sin nθ, n= n= X−∞ X−∞ hoặc khi sử dụng hệ thức (1.26) ta nhận được những chuỗi Fourier ở dạng
24 thực ∞ cos(z sin θ) = j∂(z)+2 j2π(z)cos2nθ, n=1 X (1.29) ∞ sin(z sin θ)=2 j2n 1(z) sin(2n 1)θ. − − n=1 π X Khi θ = nói riêng ta có 2 cos z = J (z) 2J (z)+2J (z) , 0 − 2 4 − sin z =2J (z) 2J (z) + 1 − 3 6)Quan hệ truy toán. Từ khai triển vào những chuỗi (1.24) ta được k d Jλ(z) 1 ∞ ( 1) z 2k 1 = − ( ) − = dz zλ 2λ (k 1)!Γ(λ + k + 1) 2 Xk=1 − 1 ∞ ( 1)k z = − ( )λ+2k+1 −zλ k!Γ(λ + k + 2) 2 Xk=0 (chúng ta đã thay chỉ số tổng k bằng k 1), hoặc cuối cùng − d J (z) J (z) λ = λ+1 . (1.30) dz zλ − 2λ Công thức cuối cùng có thể được viết lại dưới dạng d J (z) J (z) λ = λ+1 , zdz zλ − 2λ+1 J (z) d từ đó ứng với λ của phép tính được quy lại thay đổi dấu và thay zλ z dz chỉ số λ thành λ +1. Khi sử dụng phép tính này một cách trình tự và khi đưa ra ký hiệu rút gọn d d d dn = , zdz · zdz · · · zdz (zdz)n n lần ta được | {z } dn J (z) J (z) λ =( 1)n λ+n . (1.31) (zdz)n zλ − zλ+n
25 Chính xác hơn ta nhận được k d λ λ ∞ ( 1) (λ + k) z 2λ+2k 1 (z J (z))=2 − ( ) − = dz λ k!Γ(λ + k + 1) 2 Xk=0 k λ ∞ ( 1) z λ+2k 1 = z − ( ) − k!Γ(λ + k) 2 Xk=0 (ta đã sử dụng hệ truy toán đối với hàm Gamma), hoặc d λ λ (z Jλ(z)) = z Jλ 1(z). (1.32) dz − d Khi chia 2 vế cho z, chúng ta áp dụng phép tính với zλJ (z). Ta thay zdz λ chỉ số λ thành λ 1. Trình tự khi sử dụng phép tính này, ta tìm được − n d λ λ n z Jλ(z) = z − Jλ n(z). (1.33) (zdz)n − Các công thức (1.30) và (1.32) được ghi lại dưới dạng λ λ Jλ0 (z) = Jλ(z) Jλ+1(z), Jλ0 (z) = Jλ 1(z) Jλ(z). (1.34) z − − − z Khi trừ phương trình khác từ phương trình thứ nhất (1.34), chúng ta tìm thấy hệ truy toán, không chứa những đạo hàm 2λ Jλ 1(z) + Jλ+1(z) = Jλ(z). (1.35) − 2 Chính xác như vậy, khi đặt vào phương trình (1.34), ta tìm được hệ truy toán thứ 2 Jλ 1(z) Jλ+1(z)=2Jλ0 (z). (1.36) − − Chúng ta thay đổi lần nữa từ (1.35) khi λ =0 chúng ta nhận được J00 (z) = J1(z). 1 7) Những hàm trụ có bậc bằng số nguyên cộng . Như Euler đã 2 chỉ những hàm biểu diễn qua hàm cơ bản. Từ công thức (1.23) theo khi tính
26 3 (2k + 2)!√π rằng Γ(k + ) = . Chúng ta bước đầu nhận được 2 4k+1(k + 1)! 1 ∞ ( 1)k4k+1(k + 1)! z +2k 2 ∞ ( 1)k J (z) = − ( )2 = − z2k+1 = 1 k!(2k + 2)√π 2 πz (2k + 1)! k=0 r k=0 2 X X 2 = sin z πz r (1.37) và 1 ∞ ( 1)k4kk! z +2k 2 ∞ ( 1)k 2 J (z) = − ( )−2 = − z2k = cos z. 1 k!(2k)√π 2 πz (2k)! πz k=0 r k=0 r −2 X X (1.38) Sau đó khi sử dụng hệ thức (1.31) và (1.33), ta được 1 2 n+ dn sin z J (z)=( 1)n z 2 , 1 − π (zdz)n z  n+ r  2  (1.39) 1  2 n+ dn cos z  J (z) = z 2 ,  1 π (zdz)n z n r − −2    từ đó ta thấy J 1(z) được biểu diễn qua những hàm cơ bản. n+ ± 2 Sau những biến đổi đơn giản những công thức này có dạng 2 nπ nπ J 1(z) = S1 sin(z ) + S2 cos(z ) , n+ πz − 2 − 2  2 r n o  , (1.40) 2 nπ nπ  J 1(z) = S1 cos(z + ) S2(z + ) ,  n πz 2 − 2 − −2 r n o   ở đó  n " 2 # ( 1)k(n +2k)! S = − ,  1 2k  k=0 (2k)!(n 2k)!(2z)  n 1 −  (1.41) P  −  " 2 # ( 1)k(n +2k + 1)! S = − 2 2k+1  k=0 (2k + 1)!(n 2k 1)!(2z)  − −  P  
27 ( [a] ký hiệu phần nguyên của số dương a). 8) Tính trực giao. Khi xác định hàm trụ y = Jλ(x) thỏa mãn phương trình vi phân 2 2 2 x J 00(x) + xJ 0 (x)+(x λ )J (x)=0. (1.42) λ λ − λ Đặt x = αt , trong đó α là hằng số, và chúng ta xem xét hàm số y = − 1 dy 1 d2y J (αt) = y(t). Chúng ta có J (x) = , J (x) = và đưa nó vào λ λ0 α dt λ00 α2 dt2 phương trình (1.42). Chúng ta tìm thấy phương trình vi phân thoả mãn hàm số y = Jλ(αt) 2 1 2 λ y00 + y0 +(α )y =0. (1.43) t − t2 Bây giờ chúng ta xem xét 2 hàm số y1 = Jλ(αt) và y2 = Jλ(βt), trong đó α và β là hằng số, theo cái đã chứng minh chúng thoả mãn phương trình 2 2 1 2 λ 1 2 λ y00 + y0 + α y =0, y00 + y0 + β y =0. 1 t 1 − t2 1 2 t 2 − t2 2 Chúng ta nhân phương trình thứ nhất trong những phương trình này với y2, phương trình thứ hai với y1, và lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất. Nếu đặt u = y0 y y y0 thì u0 = y0 y y y00, khi đó chúng ta nhận 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 được 1 2 2 u0 + u =(β α )y y . t − 1 2 d Sau khi nhân với t vế trái sẽ bằng (u t), vì thế khi lấy tích phân của t từ dt 0 đến l, chúng ta nhận được l ut l =(β2 α2) y y tdt. t=0 − 1 2 Z 0 Thay y1 và y2 bởi Jλ, chúng ta có l 2 2 (β α ) J (αt)J (βt)tdt = l αJ 0 (βl)J (βl) βJ (αl)J 0 (βl) . (1.44) − λ λ { λ λ − λ λ } Z0 Bây giờ giả sử α và β là các nghiệm khác nhau của phương trình Jλ(xl)=0, (1.45)
28 hoặc phương trình J 0(xl)=0. (1.46) Khi đó vế phải của biểu thức (1.44) bằng 0 và chúng ta nhận được l Jλ(αt)Jλ(βt)tdt =0 (1.47) Z0 Như đã chứng minh với số thực λ thì mỗi phương trình trong phương trình (1.45) và (1.46) có tập hợp vô số các nghiệm thực. Giả sử α , α , , α là hệ 1 2 ··· 3,··· thống các nghiệm của một trong các phương trình này, khi đó dựa trên công thức (1.47) có thể khẳng định rằng các hàm số J (α t),J (α t), ,J (α t), λ 1 λ 2 λ k ··· tạo nên tổ hợp trực giao với t ở khoảng (0,l). Điều này chỉ ra sự tương tự giữa những hàm trụ Jλ(αt) (thoả mãn phương 2 1 2 λ trình vi phân y00+ y0 +(α y )=0, và hàm lượng giác sin αt, cos αt (thoả 1 t 1 − t2 1 2 mãn phương trình y00 + α y = 0). Thực tế hàm lượng giác sin kαt, cos kαt cũng là tổ hợp trực giao trong khoảng nào đó. 9) Những chuỗi theo hàm trụ. Giả sử α , α , , α , là những 1 2 · · · k nghiệm dương của phương trình (1.45) hoặc (1.46) và f(t) là hàm phẳng, đoạn ở trong khoảng (0; l). Ta giả thiết rằng trong khoảng này f(t) là chuỗi hội tụ đều ∞ f(t) = ckJλ(αkt). (1.48) Xk=1 Những hàm số Jλ(αkt) tạo hệ trực giao với trọng lượng t ở trong khoảng (0; l), thì hệ số của chuỗi (1.48) được xác định theo công thức l 1 ck = 2 f(t)Jλ(αkt)tdt, (1.49) dk Z0 ở đó l 2 2 dk = Jλ(αkt)tdt. Z0 Chúng ta tính tích phân cuối. Khi đó chúng ta sử dụng công thức (1.44), mà trong đó chúng ta giả thiết rằng αk là một trong những nghiệm của
29 phương trình (1.45) và (1.46), còn β không ngừng tiến gần tới nghiệm này. Đối với trường hợp phương trình (1.45) công thức (1.44) có dạng 1 αklJλ0 (αkl)Jλ(βl) Jλ(αkt)Jλ(βt)tdt = 2 2 , β αk Z0 − 0 từ đó ta thấy rằng khi β α một lần nữa có dạng không xác định . Khi → k 0 xét dạng không xác định này theo công thức Lôpital , chúng ta tìm được 1 2 2 2 αklJλ0 (αkl)Jλ(βl) l 02 dk = Jk (αkt)tdt = lim 2 2 = Jλ (αkl). β αk β αk 2 Z0 → − Theo công thức thứ nhất (1.34), giả sử trong công thức z = αkl, ta tìm được J 0 (α l) = J (λ l), và công thức cuối cùng được viết lại dưới dạng λ k − λ+1 k l2 d2 = J 2 (λ l). (1.50) k 2 λ+1 k Tương ứng như vậy, đối với trường hợp phương trình (1.45) sẽ có 2 2 βJ(αkl)Jλ0 (βl l dk = lim 2 2 } = Jλ(αkl)Jλ00(αkl). − β αk β α − 2 → − k Nhưng từ phương trình vi phân (1.42), giả sử trong phương trình x = αkl và khi sử dụng công thức (1.45), chúng ta tìm thấy Jλ00(αkl) = (1 λ2 − − 2 2 )Jλ(αkl), tiếp theo công thức cuối cùng có thể viết lại dưới dạng αkl 2 2 1 2 λ 2 dk = (l 2 )Jλ(αkl). (1.51) 2 − αk Chuỗi (1.48) mà hệ số của nó tìm được theo công thức (1.49), là chuỗi tổng quát Fourier, nó được gọi là chuỗi Fourier-Bessel. Được chứng minh rằng 1 nó trùng hợp với [f(t 0) + f(t + 0)] đối với hàm phẳng đoạn trong 2 − − khoảng (0; l). 1.3.2. Các hàm trụ khác. 1) Hàm Khankelia. Chúng ta tiếp tục xét phương trình vi phân của hàm trụ với chỉ số 2 2 2 z ω00 + zω0 +(z λ )ω =0 (1.52) −
30 (z là biến số độc lập, ω là hàm số phải tìm, λ là tham số, tất cả đại lượng được đưa ra ở đây là tổng hợp). Ta đi tìm cách giải phương trình (1.52) bằng phương pháp biến đổi tích phân, có nghĩa chúng ta sẽ tìm cách giải dưới dạng ω = K(z, ζ)W (ζ)dζ, (1.53) ZC ở đó W là hàm phải tìm mới, còn hàm K(z, ζ) và chu tuyến C được chọn sao cho như chỉ ở dưới. Khi đặt (1.53) vào phương trình (1.52), chúng ta sẽ có (giả sử hoán vị thứ tự vi phân và phép lấy tích phân) ∂2K ∂K z2 + z +(z2 λ2)K W (ζ)dζ =0. ∂z2 ∂z − ZC Bây giờ giả sử K thoả mãn phương trình vi phân ∂2K ∂K ∂2K z2 + z + z2K + =0. (1.54) ∂z2 ∂z ∂ζ2 Khi đó hệ thức đã cho có dạng ∂2K + λ2K W (ζ)dζ =0. ∂ζ2 CZ ∂2K Sử dụng cách tính tích phân từng phần đối với tích phân thứ nhất W (ζ), ∂ζ2 chúng ta đưa phương trình thành dạng sau b 2 ∂K W 00 + λ W Kdζ + W KW 0 =0, ∂ζ − Z a C trong đó a và b chỉ phần đầu của đường thẳng C. Từ đó nếu đặt iλ ζ W = c± ∂K và chọn cách lấy tích phân để trên các phần đầu của nó biểu thức W ∂ζ − KW 0 bằng 0, thì từ tích phân (1.53) sẽ cho cách giải phương trình (1.52). Dễ dàng kiểm tra rằng phương trình (1.54) sẽ được thỏa mãn nếu đặt K = iz sin ζ e . Để lấy tích phân chúng ta chọn các chu tuyến C1 và C2 trên hình 1.4,
31 vì trên trục ảo sin ζ = sin iη = ishη, còn trên những đường thẳng π + iη ± ta có sin ζ = sin iη = ishη, nên trên đoạn thẳng đứng C và C chúng − − 1 2 ta có e x shη, η > 0 K = − | | ex shη, η 0, thì khi η + tương ứng khi η , x → ∞ x → −∞ eη eη K hướng tới 0 với tốc độ e− 2 , tương ứng e− 2 . Nhưng khi đó cả | | − ∂K iλ ζ iλ ζ W = e± i z cos ζ.K và KW 0 = iλe± K hướng tới 0 khi tiến gần ∂ζ ± đến đầu C1 và C2, hoặc tiến đến 0. Do đó ta có cách giải phương trình (1.52) ở nửa mặt phẳng phải Re z > 0 1 H(1)(z) = eiz sin ζ iλ ζdζ, λ π − C1  (1.55) (2) 1 R H (z) = eiz sin ζ iλ ζdζ,  λ −  π C2 R  được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia. 2) Mối liên hệ giữa hàm trụ loại 1 và loại 3. Nếu cộng hai công thức (1.55), thì tích phân theo nửa trục ảo được rút gọn. Chúng ta nhận được (1) (2) 1 iz sin ζ iλζ H (z) + H (z) = e − dζ =2J (z) λ λ π λ Z Q
32 (Π là chu tuyến hình 1.4). Bằng cách đó, đối với tất cả giá trị tổng hợp λ ở nửa mặt phẳng phải Rez > 0 hàm Bessel bằng H(1)(z) + H(2) J (z) = λ λ . (1.56) λ 2 Để tìm biểu thức hàm Khankelia thông qua hàm Bessel, ta tìm mối liên hệ ban đầu giữa các hàm Khankelia trái dấu. Chúng ta có, ví dụ (1) 1 iz sin ζ+iλ ζ H λ(z) = e dζ − π CZ1 và khi đưa vào biến số mới của tích phân ω = ζ + π, từ đó chu tuyến C − 1 chuyển đến chu tuyến C1−, trùng với C1, nhưng chuyển qua hướng đối lập, chúng ta nhận được iλπ (1) e iz sin ω iλω iλπ (1) H λ(z) = e − dω = e Hλ (z) − − π Z− C1 tương tự khi đưa ω = ζ π, chúng ta nhận được công thức cho H(2)(z). − − λ Như vậy, (1) iλπ (1) (2) iλπ (2) H λ(z) = e Hλ (z), H λ(z) = e− Hλ (z). (1.57) − − Bây giờ cùng với hệ thức (1.56) ta xem xét công thức (1) (2) iλ π (1) iλπ (2) H λ(z) + H λ e Hλ (z) + e− Hλ (z) J λ(z) = − − = − 2 2 (chúng ta sử dụng công thức (1.57), thì từ hai công thức này chúng ta tìm được biểu thức hàm Khankelia qua hàm Bessel iλπ (1) e− Jλ(z) J λ(z) H (z) = i − − ; λ sin λ π iλ π (2) e Jλ(z) J λ(z) H (z) = i − − . (1.58) λ − sin λ π Nói đúng ra những công thức (1.58) nhận được khi cho λ khác với những số nguyên, nhưng chúng vẫn đúng cả trong trường hợp λ là số nguyên, nếu 0 ở những phần phải xét có dạng không xác định thì chúng ta sử dụng quy 0
33 tắc Lôpital. Khi đó ta có thể khẳng định rằng công thức (1.58) cho phép tiếp (1) (2) tục phân tích Hλ (z) và Hλ (z) trên cả mặt phẳng phức z. Từ công thức (1.58) của hàm Khankenlia nhận được các hệ thức, tương đương của hàm Bessel. Ví dụ khi sử dụng công thức truy toán ta có 2λ Hλ 1(z) + Hλ+1(z) = Hλ(z), Hλ 1(z) Hλ+1(z)=2Hλ0 (z) (1.59) − 2 − − (1) (1) (ở đây Hλ có nghĩa là Hλ , như cả Hλ . Khi sử dụng công thức (1.36) và công thức J00 (z) = J1(z) của mục trước, chúng ta nhận được (1) 2 iz (2) 2 iz H1 (z) = i e ; H1 (z) = i e− . (1.60) − rπz − rπz 2 2 Tương tự trên giữa hàm Bessel và lượng giác, công thức (1.56) và (1.60) iz chỉ ra sự tương đương giữa các hàm Hλ(z) và e± . 3) Những hàm Vêbe. Công thức (1.56) cho chúng ta thấy hàm Jλ được xây dựng từ những hàm Hλ, như hàm cosin. Xem xét cả những hàm mà xây dựng từ Hλ như sin H(1)(z) H(2)(2) Y (z) = λ − λ . (1.61) λ 2 i Những hàm này được gọi là hàm trụ dạng 2 hay là hàm Vêber; chúng được gọi cả hàm Nheyman và khi đó có nghĩa là qua hàm Nλ(z). Vì trong giá trị thực z và λ hàm Jλ(z) là hàm thực, nên từ công thức (1.58) rút ra rằng đối với giá trị z và λ như thế ta có (1) (2) Hλ (z) = Hλ (z). Nhưng khi rút ra từ (1.61) rõ ràng đối với những giá trị thực z và λ những hàm Vêber có giá trị thực. Khi sử dụng các công thức (1.58) và (1.61) chúng ta cũng nhận được biểu thức hàm Vêber qua hàm Bessel cos λπJλ J λ(z) Y (z) = − − . (1.62) λ sin λπ
34 0 Nhờ λ hướng đến những số nguyên n, chúng ta nhận được dạng . Khi xem 0 xét nó theo quy tắc Lôpital, chúng ta nhận được đối với số nguyên λ = n ∂Jλ(z) ∂J λ(z) cos λπ π sin λπJ (z) − ∂λ − λ − ∂λ Yn(z) = = π cos λπ (1.63) λ=n 1 ∂Jλ(z) n ∂J λ(z) = ( 1) − π ∂λ − − ∂λ λ=n Đối với hàm số Vêbe ta có hệ truy toán 2λ Yλ 1(z) + Yλ+1(z) = Yλ(z), Yλ 1(z) + Yλ+1(z)=2Yλ0(z), (1.64) − z − để kiểm tra chúng ta đưa biểu thức Yλ qua Hλ (công thức (1.61)) và sử dụng 1 hệ thức (1.59). Những hàm Vêber có bậc bằng , được biểu diễn qua hàm 2 cơ bản, hoặc từ công thức π π 1 iz sin ζ in ζ 1 J (z) = e − dζ = cos(z sin ζ nζ)dζ n 2π π − Zπ Z0 − 1 Ở mục trên rút ra nhờ λ = (n + ) ± 2 n+1 n Y 1(z)=( 1) J 1(z), Y 1(z)=( 1) J 1(z). (1.65) n+ − n n − n+ 2 − −2 − −2 2 Chúng ta tìm được biểu thức của hàm Vêber bậc số nguyên ở chuỗi luỹ thừa. Đối với việc này có thể sử dụng công thức (1.63) và khai triển trong chuỗi z ∞ ( 1)k z 1 J (z)=( )λ − ( )2k . (1.66) λ 2 k! 2 Γ(λ + k + 1) Xk=0 Chúng ta nhận được những công thức phụ từ hàm Gamma. Từ công thức (1.60) đối với đạo hàm Lôgarit Gamma, giả sử trong nó z = n 1 (n =0, 1, 2, ), − · · · chúng ta nhận được Γ (Γ) 1 1 1 1 1 ψ(n) = 0 = C ( 1) ( ) ( ) Γ(n) − − n − − n +1 − 2 − n +2 − 3 −··· 1 1 = C + 1 + + + . (1.67) − 2 · · · n 1 −
35 Từ đó cho n =0, 1, 2, 3, chúng ta có d 1 Γ (n) 1 1 1 = 0 = (C 1 ) dt Γ(t) −Γ2(n) (n 1)! − − 2 −···− n 1 t=n − − (chúng ta thay Γ(n)=(n 1)!). Tại các điểm t = n (n =0, 1, 2, ) hàm − 1 − · · · Gamma có các cực bậc 1 với các phép trừ ( 1)n , tiếp theo ở ngoại vi điểm − n! t = n khai triển đúng − 1 =( 1)nn!(t + n) 1 + C (t + n) + . Γ(t) − { 1 · · ·} · Từ đó rõ ràng rằng đối với n =0, 1, 2, ta có d 1 =( 1)nn!. dt Γ(t) − t= n − Lấy vi phân (1.66) theo λ, chúng ta tìm được ∂J (z) z z ∞ ( 1)k z d 1 λ = ln J (z)+( )λ − ( )2k ∂λ 2 λ 2 k! 2 dt Γ(t) k=0 t=λ+k+1 X và k ∂J λ(z) z z λ ∞ ( 1) z 2k d 1 − = ln J λ(z) ( ) − ( ) . ∂λ − 2 − − 2 k! 2 dt Γ(t) k=0 t= λ+k+1 X − Đối với những số nguyên dương λ = n từ đây trên cơ sở công thức (1.63) và d 1 những giá trị ( ) chúng ta nhận được dt Γ(t) n 1 2 z 1 − (n k 1)! z 2k n Y (z) = j (z)(ln + C) − − ( ) − n π n 2 − π k! 2 − Xk=1 1 ∞ ( 1)k z 1 1 1 1 − ( )2k+n 1 + + + + 1 + + + , − π k!(n + k)! 2 2 · · · n + k 2 · · · k k=0 X (1.68) với n =0 2 z 2 ∞ ( 1)k z 1 1 Y (z) = J (z)(ln + C) − ( )2k(1 + + + ). (1.69) 0 π 0 2 − π (k!)2 2 2 · · · k Xk=1 Chúng ta thấy rằng khi đó những hàm Bessel bậc số nguyên là số nguyên, đưa vào khai triển Yn(z), ngoài bậc z cả lnz.
36 4) Cách giải tổng quát của phương trình các hàm trụ. Theo định (1) (2) nghĩa hàm Khankelia Hλ (z) và Hλ (z) thì cách giải phương trình 2 2 2 z ω00 + zω0 +(z λ )ω =0. (1.70) − Phương trình trên là độc lập tuyến tính, do đó cách giải tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính (1.70) được biểu diễn dưới dạng (1) (2) ω = C1Hλ (z) + C2Hλ (z), (1.71) trong đó C1 và C2 là đại lượng bất kỳ. (1) (2) Vì những hàm Jλ(z) và Yλ(z) được biểu diễn qua Hλ (z) và Hλ (z) tuyến tính cả với định thức khác 0 1 1 2 2 i 1 1 = 2 − 2i 2i (xem công thức (1.56) và (1.61). Thì cả những hàm Jλ(z), Yλ(z) là những cách giải phụ thuộc tuyến tính của phương trình (1.52). Tiếp theo cách giải tổng quát của phương trình này nhờ λ bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng ω = C1Jλ(z) + C2Yλ(z), (1.72) (1) (2) trong đó C1 và C2 là đại lượng bất kỳ. Ngoài ra vì Hλ và Hλ (z) được biểu diễn qua và tuyến tính cả với định thức e iλ π i i − sin λ π −sin λ π 2 i iλ π = , e i sin λ π i − sin λ π sin λ π khác 0 và kết thúc khi số λ không nguyên bất kỳ, khi đó cách giải tổng quát có thể biểu diễn cả ở dạng ω = C1Jλ(z) + C2J λ(z). (1.73) − Khi số nguyên λ = n những hàm Jn và J n trở thành hàm độc lập tuyến − tính, và thay (1.73) cần chọn cách giải tổng quát dạng (1.71) và (1.72).
37 5) Các hàm trụ biến thuần ảo. Ở một vài ứng dụng thường gặp những hàm trụ có biến thuần ảo z = ix. Từ công thức (1.39) rút ra rằng hàm y = Jλ(ix) thoả mãn phương trình vi phân 1 λ2 y00 + y0 (1 + )y =0. (1.74) x − x2 Từ khai triển Jλ(z) vào chuỗi chúng ta có ∞ ( 1)kiλi2k x ∞ 1 x J (ix) = − ( )λ+2k = iλ ( )λ+2k. λ k!Γ(λ + k + 1) 2 k!Γ(λ + k + 1) 2 Xk=0 Xk=0 Từ đây rõ ràng nếu chúng ta muốn nhận hàm số thực đối với những số thực λ và z, chúng ta cần nhân với số nhân cố định Jλ(ix), tích đó có ký hiệu λπi/2 ∞ 1 x λ+2k I (z) = e− J (ix) = ( ) . (1.75) λ λ k!Γ(λ + k + 1) 2 Xk=0 Hàm I λ(z) cũng là cách giải hàm (1.74) và nếu λ không nguyên, thì Iλ(z) − và I λ(z) là phụ thuộc tuyến tính. Nếu λ = n là nguyên thì từ (1.75) và hệ − n J n (z)=( 1) Jn (z) chúng ta nhận được − − I n (z) = In (z) . (1.76) − Để có được cách giải thứ hai của hệ số độc lập tuyến tính với In, ở đây cần phải sử dụng các hàm đã nhận được từ các hàm trụ khác. Được sử dụng nhiều hơn trong số các hàm đó là hàm nhận được từ hàm Hankel đầu tiên từ biến số ảo bằng cách nhân thành số nhân bất biến nào đó. πi λπi/2 (1) K (x) = e− H (ix). (1.77) λ 2 λ Điều quan trọng của hàm này đối với việc sử dụng được quy ước trước nó là giải phương trình (1.74), phương trình dương và tiến đến 0 khi x theo →∞ quy luật số mũ λπi/2 λπi/2 e− Jλ(ix) e J λ(ix) K (x) = π − − , λ − 2 sin λπ hoặc là khi đưa vào theo công thức (1.75) của hàm Jλ(z) π I λ(x) Iλ(x) K (x) = − − . (1.78) λ 2 sin λπ
38 Ở đây khi chuyển đến giới hạn hướng đến số nguyên n nhờ λ, và khi xét tính không ổn định, chúng ta sẽ nhận được n ( 1) ∂I λ(x) ∂Iλ(x) K (x) = − − . (1.79) n 2 ∂λ − ∂λ λ=n Từ đó có thể nhận sự khai triển Kn(x) vào chuỗi bởi vì chúng ta đã thực hiện điều này đối với hàm Veber. Ví dụ, với n =0, chúng ta nhận được x 1 ∞ 1 x 2k K (x) = I (x) ln + ψ(k + 1), (1.80) 0 − 0 2 2 (k!)2 2 Xk=0 trong đó ψ là hàm gamma sinh lôgarit. Dựa vào công thức (1.77) và (1.57) với λ bất kỳ chúng ta nhận được Kλ(x) = K λ(x). − Dễ dàng kiểm tra được các hàm Iλ(z) và Kλ(z) đáp ứng một vài hệ thức truy toán biến thái 2λ Iλ 1(z) Iλ+1(z) = Iλ(z); Iλ 1(z) + Iλ+1(z)=2Iλ0 (z). (1.81) − − z − 2λ Kλ 1(z) Kλ+1(z) = Kλ(z); Kλ 1(z) + Kλ+1(z) = 2Kλ0 (z), (1.82) − − − z − − nói riêng, I0 (z) = I (z); K0 (z) = K (z). (1.83) 0 1 0 − 1 Khi λ bằng nửa số nguyên những hàm này sẽ được biểu diễn thông qua các hàm thành phần, ví dụ 2 2 I1 (z) = shz, I 1 (z) = chz, /2 rπz − /2 rπz 2 z K1 (z) = K 1 (z) = e− . (1.84) /2 − /2 rπz Trong một số bài toán còn gặp các hàm trụ của biến z = x√ i = e3iπ/4x. − Đối với phần thực và đưa vào các kí hiệu đặc biệt J (x√ i) = eλπi/2I (x√i) = ber x + i bei x, λ − λ λ λ e λπi/2K (x√i) = ker x + i kei x, . (1.85) − λ λ λ  H (x√ i) = her x + i hei x, λ − λ λ  Với λ =0 chỉ số thường bị bỏ qua, ví dụ  J (x√ i) = I (x√i) = ber x + i bei x. (1.86) 0 − 0
39 1.3.3. Biểu diễn tiệm cận đối với các hàm trụ Biểu diễn tiệm cận có các dạng khác nhau phụ thuộc vào việc chúng ta sẽ coi bậc λ, biến x, hay là cả hai đại lượng này là lớn hay không (chúng ta giả định rằng chúng có thực). Phù hợp với điều này chúng ta sẽ phân biệt 3 trường hợp: 1) Biểu diễn tiệm cận đối với bậc lớn. Trước hết chúng ta xét hàm số đầu tiên Hankel, lấy hàm số ở dạng tích phân (1.55) (1) 1 ix sin ζ iλζ H (x) = e − dζ, (1.87) λ π CZ1 trong đó C1 là đường chu tuyến hình 1.4. Chúng ta sẽ tính λ>x và biểu thị x 1 nhỏ hơn 1 số = . Công thức (1.87) có dạng λ ch α sin ζ 1 λ(i iζ) 1 H(1)(x) = e ch α − dζ = eλf(ζ)dζ, (1.88) λ π π CZ1 CZ1 ở đó sin ζ sh σ ch σ f(ζ) = i iζ = cos s + σ + i(sin s s) (1.89) ch α − − ch α ch α − (chúng ta giả định rằng ζ = s + iσ). Để nhận công thức tiệm cận chúng ta sử dụng phương pháp chuyển động, các yên điểm được tìm thấy từ phương trình cos ζ0 f 0(ζ ) = i 1 =0, 0 ch α − từ đó cos ζ0 = chα và ζ = iα. (1.90) 0 ± Đường thoải xuống đi qua các điểm này được xác định bằng phương trình chσ imf (ζ) = sin s s =0 (1.91) chα − s (thực tế, tại các yên điểm s = 0,σ = α) , từ đó chσ = chα . Nó có ± sin s dạng được nêu ra trong hình 1.5 bằng đường chấm, và bao gồm từ trục ảo và hai cung tròn, gần tiệm cận với đường thẳng s = π. Từ cung của đường ±
40 này có thể tạo đường của phép tích phân đưa ra tích phân (1.87), có nghĩa là giá trị đường C1. Chúng ta sẽ biểu thị đường C˜1 này và biểu diễn nó trong hình 1.5 bởi đường chấm in đậm; đường này bao gồm 2 tia (i ; αi) đi dọc ∞ − theo trục ảo, và nửa bên phải cung tròn phía dưới của đường thoải xuống. Bởi vì theo (1.91) tại điểm giao nhau C˜1 có Imf(ζ)=0, thì tại đó shσ f (ζ) = cos s + σ − chα shσ . Trên trục σ hàm số f (iσ) = σ đạt giá trị lớn nhất bằng α thα − chα − tại điểm σ = α và tối thiểu thα - α tại σ = α (điều này rút ra trực tiếp df chσ − từ việc xét hàm sinh = +1). Dễ dàng nhận thấy rằng tối đa dσ −chα tại điểm ζ0 = αi là tối đa duy nhất của hàm số f (ζ) trên đường C˜1. Vì f (ζ0) = α thα, f 00 (ζ0) = thα, và góc nghiêng của đường thoải xuống tại − π điểm vượt qua ϑ = − , khi đó chúng ta có 2 π i (1) 1 λ(α thα) 2π − 1 2 λ(α thα) Hλ (x) e − e 2 = i e − . ≈ π rthα √λ − rπλthα 1 1 µ Ở đây khi thay thế thα = 1 = √λ2 x2 = , trong đó µ = − ch2α λ − λ µ r √λ2 x2 và α = arth , ta sẽ nhận được một cách triệt để cách biểu diễn − λ ẩn tiệm cận của hàm Hankel theo quy tắc λ lớn µ 2 µ+λ arth H(1) (x) i e− λ (1.92) λ ≈− πµ r (ở đây cần coi x < λ). Một cách tương tự cách biểu diễn tiệm cận hàm Becsel theo quy tắc bậc lớn cũng sẽ được tìm ra µ 2 µ+λ arth H(2) (x) i e− λ . (1.93) λ ≈ πµ r Xuất phát từ công thức (1.56) từ các đánh giá (1.92) và (1.93) chúng ta sẽ tìm thấy biểu diễn tiệm cận hàm Becsel theo quy tắc bậc lớn H(1) (x) + H(2) (x) J (x) = λ λ 0. (1.94) λ 2 ≈
41 Hình 1.5 Nếu tiến hành các tính toán hoàn toàn tương tự khi xét tích phân Slephly thay vì (1.88) 1 i x sin ζ iλζ 1 λf(ζ) J (x) = e − dζ = e dζ, λ 2π 2π Z Z Q Q và thay chu tuyến của hình 1.3 bằng chu tuyến của hình 1.6 bằng một phần của đường thoải xuống bề mặt τ = Re f (ζ) thì thay vì (1.94) chúng ta Q Qe sẽ nhận được biểu diễn tiệm cận khác đối với các λ lớn µ 1 2 µ λ arth J (x) e − λ. (1.95) λ ≈ 2 πµ r Chi tiết hơn trong các tính toán này chúng ta sẽ không dừng lại. Theo công thức (1.61) của mục trước dựa vào (1.92) và (1.93) chúng ta sẽ tìm thấy cả biểu diễn tiệm cận đối với hàm số Veber của quy tắc bậc lớn (1) (2) µ H (x) H (x) 2 µ+λ arth Y (x) = λ − λ e− λ. (1.96) λ 2i ≈− πµ r 2) Biểu diễn tiệm cận đối với những giá trị lớn của biến số. λ π Chúng ta coi x > λ và chúng ta biểu thị số nhỏ = cos α (0 < α < ). x 2 Có thế tìm lại hàm số Becsel đầu tiên ở dạng (1) 1 x(i sin ζ iζ cos α) 1 xg(ζ) H (x) = e − dζ = e dζ, (1.97) λ π π CZ1 CZ1
42 Hình 1.6 trong đó g(ζ) = i sin ζ iζ cos α − (1.98) = cos sshσ + σ cos α + i (sin s ch σ s cos α)) , − · − chỉ bằng thừa số bất biến sẽ phân biệt hàm số f(ζ) với công thức (1.89). Yên điểm được tìm thấy từ phương trình g0(ζ) = i(cos ζ cos α)=0, từ 0 − đó ζ = α. Đường thoải xuống đi qua các điểm này được xác định bởi các 0 ± phương trình Im g(ζ) = sin s ch σ s cos α = (sin α α cos α), · − ± − hoặc là s sin α α cos α ch σ = cos α − . sin s ± sin s Các đường này có dạng được chỉ ra trong hình 1.7, mỗi đường trong số đó bao gồm 2 nhánh giao nhau tại các yên điểm và gần tiệm cận với trục ảo và đường thẳng s = π. ± Chúng ta sẽ chọn đường chu tuyến C˜1, là một trong các nhánh của đường thoải xuống đi qua điểm ζ0 = α. s sin α α cos α ch σ = cos α + − , sin s sin s
43 Hình 1.7 theo chu tuyến tích phân (1.97) vẫn có giá trị đó, và theo C˜1 trong hình 1.7 đường chu tuyến này được biểu diễn bởi đường gạch in đậm. Tại C˜1 chỉ có một điểm tĩnh của hàm số τ = Re g(ζ) = cos s shσ + σ cos α, − chính là yên điểm ζ0 = α và khi gần với cả hai điểm cuối C˜1 hàm số này hướng tới . Từ đó rút ra rằng ζ = α là duy nhất tại C˜ bằng điểm tối −∞ 0 1 đa của hàm số τ = Re g(ζ). π Vì chúng ta có g(ζ ) = i(sin α α cos α), g00(ζ ) = i sin α và ϑ = nên 0 − 0 − − 4 chúng ta nhận được π i x(sin α α cos α) i (1) 2 − − Hλ (x) e 4 , ≈ rπx sin α ν 2 2 từ đó, khi thay đổi x cos α = λ, sin α = /x, trong đó ν = √x λ và ν − α = arcsin chúng ta sẽ nhận được biểu diễn tiệm cận hàm Hankel đầu tiên x của biến số lớn. ν π 2 i ν λ arcsin (1) − x− 4 ! Hλ (x) = e . (1.99) rπν Hoàn toàn tương tự ta nhận được biểu diễn tiệm cận hàm Hankel thứ hai ν π 2 i ν λ arcsin (2) − − x− 4 ! Hλ (x) = e . (1.100) rπν
44 ν π Nếu còn coi x >> λ, do đó ν = √x2 λ2 x, α = arcsin , thì các − ≈ x ≈ 2 công thức dưới đây được đơn giản hóa π π i x−λ − π π 2  2 4  2 i x λ (1)   (2) − − 2 − 4 ! Hλ (x) e   , Hλ (x) e . (1.101) ≈ rπx ≈ rπx Từ các công thức (1.101) rút ra khẳng định rằng khi số thực λ bất kỳ các (1) (2) hàm Hankel Hλ (z) và Hλ (z) độc lập tuyến tính. Cũng từ các công thức đó dựa trên công thức (1.91) và (1.96) của chúng ta nhận được những biểu diễn tiệm cận các hàm hình trụ của dòng I và II đối với các giá trị x >> λ 2 π π Jλ(x) cos x λ ; ≈ rπx − 2 − 4 (1.102) 2 π π Yλ(x) sin x λ . ≈ rπx − 2 − 4 1 Nhận thấy rõ ràng là đối với các giá trị của thông số λ = các biểu diễn ±2 tiệm cận này là các biểu diễn điểm (với toàn bộ λ = n). Bằng cách hoàn toàn tương tự có được các công thức tiệm cận hàm trụ của biến số ảo với các giá trị x >> λ. λπi − 2 x Iλ(x) = e 2 Jλ(ix) e , ≈ √2πx  λπi  (1.103)  πi (1) π x  K (x) = e 2 H (ix) e− . λ 2 λ ≈ 2x r   Chúng ta sẽ không dừng lại ở kết luận của chúng.  3) Biểu diễn tiệm cận với x và λ đủ lớn. Nếu coi x = λ và đặt g(ζ) = i sin ζ iζ, (1.104) − thì (1) 1 x(i sin ζ iζ) 1 xg(ζ) H (x) = e − dζ = e dζ, (1.105) λ π π ZC ZC và chúng ta sẽ có chỉ một yên điểm ở đầu tọa độ ζ =0. Đường thoải xuống Im g(ζ) = sin sch σ s =0, (1.106) −
45 Hình 1.8 được tạo từ 2 nhánh đi qua phần đầu của tọa độ: trục ảo s = 0 và 2 cung gần tiệm cận với trực diện s = π (hình 1.8). Từ các nhánh của của đường ± này chúng ta sẽ xây dựng đường chu tuyến C˜1 (được biểu thị trong hình 1.8 bằng nét vạch đậm), đường chu tuyến mà đưa ra tích phân (1.104), thì cả giá trị C1, chúng ta cũng áp dụng phương pháp di chuyển cho đường chu tuyến này. Ở đây khác với những trường hợp trước tại điểm di chuyển g00(ζ) = i sin ζ − hướng đến 0 và chỉ g000(0) = i khác 0. Tuy thế phân tích thành phần chỉ − ra rằng điểm ζ =0 là điểm tối đa của hàm g(ζ) đối với C˜1, hơn thế là điểm duy nhất. Phù hợp với ý tưởng của phương pháp di chuyển để nhận được g (0) i biểu diễn tiệm cận chúng ta có thể thay g(ζ) 000 ζ3 = ζ3 và đường ≈ 3! −6 cong C˜1 bởi miền kế cận của yên điểm hay với mức điểm đó ix ix 1 ζ3 ζ3 H(1)(x) e− 6 dζ + e− 6 dζ , λ ≈ π   ZI IIZ0  trong đó I là nửa trục dương ảo, còn II0 tiếp điểm với phần II (xem hình 1 − 1.8). So sánh tiếp điểm này là σ = s (không mấy khó khăn có được từ −√3 khai triển Taylor của phần bên trái (1.106), và ở đó π π i i ζ3 =(s + iσ)3 = iσ(3s2 σ2)=8iσ3, dζ = e− 6 ds2 + dσ2 = 2e− 6 dσ − − p
46 (dấu hiệu - được chúng ta giải thích là dσ > 1, − ≈ p hay chính là trường hợp, với các giá trị hữu hạn 2 x /3 λ2 t = 1 . 2 x2 − Công thức này có dạng 1/ (1) i x 3 H (x) − ω(t), (1.108) λ ≈−√π 2 trong đó ζ0 1 iζ ω(t) = e − 3 dζ (1.109) √π ZL và L là đường chu tuyến đi từ ζ đến 0 theo tia arg ζ = 2π/ , và từ − −∞ − 3 ζ = 0 đến theo nửa trục dương arg ζ = 0. Công thức này được nghiên ∞ cứu và với nó các bảng đã được xây dựng.
47 Hình 1.9 Hình 1.10 1.3.4. Đồ thị của hàm trụ và sự phân bố các không điểm Chúng ta dẫn ra ở đây đồ thị của các hàm trụ được sử dụng nhiều nhất với các giá trị dương của biến số. Trong hình 1.9 và 1.10 đồ thị của các hàm J0(x) và Y0(x) được biểu thị bằng các đường liên tục. Đối với các giá trị nhỏ của biến số có thể làm rõ tính chất của các lược đồ này từ khái niệm J0(x) và Y0(x) ở dạng chuỗi. Đối với các giá trị lớn x có thể sử dụng các biểu diễn tiệm cận (1.76) của mục trước, từ đó mà 2 π 2 π J (x) cos x ,Y (x) sin x (1.110) 0 ≈ πx − 4 0 ≈ πx − 4 r r Các đồ thịcủa hàm Bessel và Veber của trật tự đầu tiên được biểu diễn bằng những đường chấm trong các hình trên. Chúng nhận được từ đồ thị J0(x) và Y0(x) nhờ sự vi phân hóa đồ thị dựa trên hệ thức J1(x) = J 0 (x), Y (x) = Y 0(x). − 0 1 − 0 Trong hình 1.11 và 1.12 các đồ thị hàm trụ của biến số ảo như vậy được dẫn ra. 2 x πi (1) π x I (x) = J (ix) e , K (x) = H (ix) e− , (1.111) 0 0 ≈ √ 0 2 0 ≈ 2x 2πx r những đồ thị mà thường được áp dụng trong vật lý, các đồ thị In(x) với n =1, 2, 3, 4 cũng được chỉ ra bằng đường vạch. Các hàm Jn(x)và Yn(x) có tính dao động, tần xuất của chúng thường cố
48 Hình 1.11 Hình 1.12 1 định, còn biên độ giảm xuống √x. Với hàm số khi gần với đầu tọa độ sẽ được hướng đến . −∞ Ngược lại, các hàm I0(x) và K0(x) không có tính chất dao động, hàm đầu tiên trong số chúng tăng đơn điệu từ giá trị 1 đến với tốc độ của hàm mũ, ∞ còn hàm số thứ hai giảm từ + 0 . ∞→ Trong hình 1.11 dẫn ra hình dạng của hàm J0(z), đưa vào đó là các đường dọc theo đường mức môđun (là 0,2) và acgumen (là 300), tiết diện dọc theo trục thực đưa ra đồ thị J (x) . Hình 1.12 chỉ ra hình dạng của nhánh H(1)(z) | 0 | 0 bị gián đoạn dọc theo trục âm có thực và hướng đến 0 khi y + . Trong → ∞ đó đường mức môđun (là 0,2) và acgumen (là 150). Trong hình 1.13 chỉ ra sự phụ thuộc Jλ(x) vào hai trị thực thay đổi x và λ; đường trên bề mặt của đồ thị J0(x),J1(x), ,J10(x) và Jλ(2),Jλ(4), ,Jλ(20). Hình 1.13 Hình 1.14
49 Chúng ta xét sự sắp xếp không điểm của những hàm Bessel. Giả sử λ là Hình 1.15 số thực, λ > 1. Từ công thức (1.44) mà chúng ta đã tiến hành khi chứng − minh tính trực giao của các hàm này, với không điểm bất kỳ z = β và z = α hàm số Jλ(z) sẽ rút ra hệ thức 1 β2 α2 J (αt)J (βt)tdt =0. (1.112) − λ λ Z 0 Vì vậy tất cả các hệ số khai triển k z λ ∞ ( 1) z 2k J (z) = − , (1.113) λ 2 k!Γ(λ + k + 1) 2 Xk=0 là thực, thì hiển nhiên Jλ(z) = Jλ(z). (1.114) Từ đó, nói riêng rút ra nếu z là nghiệm phức hợp của phương trình Jλ(z)=0, thì z sẽ cũng là nghiệm của chính phương trình đó. Khi đặt trong công thức (1.112) α = z, β = z và khi sử dựng công thức (1.114) phù hợp với J (z)J (¯z) = J (z) 2, ta có λ λ | λ | 1 z¯2 z2 J (tz) 2tdt =0. − | λ | Z 0 Nhưng vì ở đây tích phân không thể bằng 0, nên z2 z2 =0 , từ đó hoặc là − z = z hoặc là z = z. Bằng cách như vậy khi các giá trị thực λ > 1 hàm − − Jλ(z) có thể có chỉ số không thực hoặc thường là số không ảo.
50 Từ công thức đã nhận trọng mục trên với λ 0 rút ra công thức tiệm ≥ cận 2 π π J (x) cos x λ (1.115) λ ≈ πx − 2 − 4 r rút ra rằng Jλ(x) có tập hợp hữu hạn số dương 0 (trên thực tế Jλ(x) không gián đoạn và rút từ (1.114), dấu thường xuyên thay đổi). Nhưng từ công thức J ( z) = eiλπJ (z), (1.116) λ − λ trực tiếp rút ra từ khai triển (1.113), rõ ràng là các không điểm Jλ(z) được nằm tiệm cận tương đối đầu tọa độ. Do vậy, Jλ(z) có cả tập hợp hữu hạn số âm 0. Từ (1.114) rút ra công thức gần đúng với các không điểm Jλ(x) 3π π α(λ) + λ + kπ, (1.117) k ≈ 4 2 công thức gần đúng càng chính xác bao nhiêu, thì k càng lớn bấy nhiêu. | | Chúng sẽ dẫn ra với tư cách là ví dụ của giá trị các số dương 0 nhỏ nhất của hàm số J0(x). K 0 1 2 3 4 5 6 (0) αk 2,4048 5,5201 8,6537 11,7415 14,9309 18,0711 21,2126 Bảng 1.2 (0) Chúng ta nhận thấy rằng công thức gần đúng (1.116) đưa ra giá trị αk = 21, 206 (độ chính xác 0,01) với k =6. Để nghiên cứu câu hỏi về các nghiệm ảo thuần Jλ(z), chúng ta sẽ đặt trong công thức (1.112) z = xi, chúng ta sẽ nhận được J (z) 1 ∞ x 2k 1 λ = . (1.118) zλ 2λ 2 k!Γ(λ + k + 1) Xk=0 Giả sử λ là số thực sinh; vì λ + k +1 với tất cả k, ngoài số hữu hạn, có các giá trị dương, thì tất cả các hệ số chuỗi (1.117), ngoài số hữu hạn của chúng là số âm. Vì ngoài đầu phần bên phải của công thức (1.117) với x lớn được | | Jλ(z) xác định bằng dấu bậc cao, thì chúng ta có thể khẳng định rằng zλ > 0
51 với các số đủ lớn z , nghĩa là J (z) = 0. Nhưng trong đoạn hữu hạn của | | λ 6 Jλ(z) trục ảo hàm nguyên zλ có thể có chỉ số hữu hạn 0, do vậy, đối với số thực λ bất kỳ hàm số Jλ(z) có thể có chỉ số hữu hạn thuần các không điểm ảo. Nói riêng, khi λ > 1 tất cả các hệ số của chuỗi (1.117) là dương, do vậy, − hàm số J (z) hoàn toàn không có số không thuần ảo khi λ > 1. λ − Chúng ta sẽ làm rõ một vài đặc điểm phân bổ của các không điểm của các hàm Bessel. Để làm được điều này trước hết chúng ta sẽ biểu thị J (x) y(x) = λ (1.119) xλ và chúng ta nhận thấy rằng hàm này thỏa mãn phương trình vi phân xy00 + (2λ + 1)y0 + xy =0, λ phương trình mà nhận được bằng sự thay thế Jλ = x y vào phương trình của hàm trụ. Giả sử α là không điểm âm bất kỳ của giá trị sinh y00, khi đó phương trinh (1.119) có dạng y00(α) + y(α)=0 khi x = α. Nhưng y(α) không thể bằng 0, vì khi đó từ các điều kiện y(α)=0, y0(α)=0 theo định lý duy nhất (điểm x = a là điểm đúng của phương trình (1.119)), giải trong bài toán đầu tiên của phương trình vi phân (1.119) cần thiết y(x)=0. Cho nên y0(α) và y00(α) có dấu khác nhau. Giả sử bây giờ α và β là hai không điểm liền kề y0(α), sao cho y0(x) =0 6 trong khoảng (α, β) theo định lý đã biết Rolle trong khoảng (α, β) mặc dù chỉ có một không điểm của y00(x), chính xác hơn là số các không điểm không lẻ. Từ đó y0(α) và y00(β), cũng có nghĩa là y(α) và y(β) có dấu khác nhau, nghĩa là dù chỉ có 1 không điểm y(x) trong khoảng (α, β). Không thể có nhiều hơn một không điểm y(x) trong khoảng (α, β), vì khi đó ở trong khoảng này chỉ có 1 không điểm y0(x) trái với điều kiện được chúng ta chấp thuận. Như vậy có thể khẳng định rằng các nghiệm dương y(x) và y0(x) tương quan tách lẫn nhau. Nó đúng cả với các không điểm. Tiếp đó chúng ta sẽ nhận thấy rằng, hệ truy toán được viết lại dưới dạng Jλ+1(x) y0(x) = . − xλ
52 Do vậy, các không điểm y0(x) trùng với các không điểm Jλ+1(x), mặt khác từ (1.119) thấy rằng các không điểm y(x) trùng với các không điểm Jλ(z). Như vậy, chúng ta có thể khẳng định rằng đã nhận được: các không điểm của hàm Bessel bậc khác 1 là khác nhau. Một lần nữa chúng ra tìm thấy sự trùng π hợp giữa các hàm Bessel và hàm lượng giác: các không điểm cos x + λ 2 π và cos x +(λ + 1) 2 , hiển nhiên, cũng khác nhau.
Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỤ 2.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết 2.1.1. Định lý cộng đối với các hàm Bessel Định lý 2.1. Với n nguyên bất kỳ và z1 và z2 là biến phức ∞ Jn (z1 + z2) = Jk(z1)Jn k(z2). (2.1) − k= X−∞ Chứng minh. Chứng minh được rút ra từ định lý cộng với hàm mũ và xác định Jn nhờ hàm sinh. Chúng ta có 1 z 1 z 1 z1+z2 1 2 ∞ (ω ) 2 ω 2 ω n 2 − −ω ! −ω ! Jn (z1 + z2)ω = e ω = e e . n= X−∞ Bây giờ chúng ta sẽ khai triển trong dãy của hàm 1 1 z1 z2 2 ω ∞ 2 ω ∞ −ω ! n −ω ! k e = Jn (z1) ω , e = Jk (z2)ω . n= k= X−∞ X−∞ Và nhân khai triển khi đặt tích ở mức ω. Chúng ta có ∞ n ∞ ∞ n Jn (z1 + z2)ω = Jk (z1) Jn k (z2) ω , − n= n= (k= ) X−∞ X−∞ X−∞ từ đó vì tính duy nhất của khai triển vào dãy Laurent với bất kỳ n = 0, 1, 2, chúng ta được công thức (2.1). ± ± 2.1.2. Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ Nhóm ví dụ quan trọng của các phương trình vi phân tuyến tính bậc hai được giải trong những hàm trụ đưa ra phương trình 2 α x y00 + axy0 +(b + cx ) y =0, (2.2)
54 ở đó a, b, c và α là các giá trị bất biến, hơn nữa c và α khác 0 (nếu c hoặc α bằng 0 thì phương trình (2.2) được giải trong các hàm thành phần). Thực tế, chúng ta chuyển sang phương trình (2.2) đến hàm t độc lập thay đổi mới và hàm u phải tìm mới khi đặt x = ktµ, y = tνu, (2.3) trong đó µ, ν và k là một số giá trị bất biến. Chúng ta sẽ thay − dy 1 dy0 1 y0 = dx , y00 = dx , dt · dt dt · dt và sẽ tính các giá trị phái sinh ở phần bên phải của các công thức này khi sử dụng hệ thức (2.3). Chúng ta sẽ đặt biểu thị này vào phương trình (2.2). Sau khi rút gọn chúng ta sẽ đưa đến phương trình dạng 2 2 α αµ 2 2 t u00 + [2ν +(α 1) µ + 1] tu0 + cµ k t +(a 1) µν + bµ + ν u =0, − − ở đó u0 và u00 biểu thị giá trị phái sinh theo t. Nếu phù hợp các giá trị bất biến µ, ν và k sao cho 2ν +(a 1) µ =0, αµ =2, cµ2kα =1 (2.4) − (điều đó luôn có thể, nếu α và c khác 0), thì phương trình của chúng có dạng 2 2 2 t u00 + tu0 + t λ u =0, (2.5) − trong đó λ2 = (a 1) µν + bµ2 + ν2 = ν2 bµ2, (2.6) − − − nghĩa là sẽ trùng với phương trình của hàm trụ với chỉ số α. 2.1.3. Các tích phân có chứa hàm Bessel Khi áp dụng định lý để diễn giải hàm trụ, chúng ta sẽ tìm thấy bn Jn(bt) = n . (2.7) p2 + b2 p2 + b2 + p Theo công thức để biến đổip Laplace chúngp ta sẽ có ∞ n at b e− Jn(bt)dt = n (2.8) √a2 + b2 √a2 + b2 + a Z0
55 khi n =0 chúng ta sẽ nhận được tích phân Lipsit nói riêng ∞ at 1 e− J0(bt)dt = , (2.9) √a2 + b2 Z0 tích phân mà được rút ra khi Re a 0. ≥ Khi thay vào (2.9) a bởi ai, chúng ta sẽ có 1 ∞ , a b 0  √a2 b2 | | | | − Khi tách vế thực và ảo, ta tìm thấy những tích phân Vêbe 1 ∞ ∞ 0 J0 (at)cos btdt = √a2 b2 , J0 (at) sin btdt = 1  2 2 0− √b a Z0  Z0 − (2.10)  (dòng trên tương ứng với trường hợp a>b). Giả sử a>b, tích phân công thức thứ nhất từ công thức (2.10) theo b, chúng ta được b ∞ sin bt db b J0 (at) dt = = arcsin (0 b 0 → ∞ sin at π J (at) dt = arcsin 1 = . (2.11) 0 t 2 Z0 Mặt khác khi lấy tích phân của công thức (2.10) tại mặt cắt b0b,a<b0 <b chúng ta có ∞ sin bt sinb t J (at) 0 dt =0, 0 t − t Z0 từ đó khi chuyển qua giới hạn khi b a, theo công thức (2.11) ta có 0 → ∞ sin bt π J (at) dt = , (b a) . 0 t 2 ≥ Z0
56 Như vậy khi thống nhất các kết quả ta được b ∞ sin bt arc sin , J0 (at) dt = π a , (2.12) t  , Z0  2 trong đó dòng đầu tiên liên quan tới trường hợp 0 b a, công thức thứ ≤ ≤ hai liên quan đến trường hợp b a ≥ ∞ 1 ρτ n/ 1 /ρ e− τ 2Jn 2√τ dτ = e− , (2.13) ρn+1 Z 0 a2t2 4b2 dựa vào công thức Laplace khi đặt τ = 4 và ρ = a2 ta có ∞ n 2 b2t2 n+1 a a / 2 Jn (at) e− t dt = e 4b . (2.14) (2b2)n+1 Z0 2.1.4. Tích phân Sonhin Từ giả thuyết Jm(x) ở dạng chuỗi chúng ta tìm được k ∞ ( 1) xm+2k J (x sin t) sinm+1 t cos2n+1t = − sin2m+2k+1 t cos2n+1t. m 2m+2kk!(m + k + 1) Xk=0 π Khi lấy tích phân biểu thức này từng vế từ 0 đến 2 (đó là quy luật khi m > 1, n > 1) ta có − − π 2 m+1 2n+1 Jm (x sin t) sin t cos t = 0 k m+2k R ∞ ( 1) x 1 Γ(m + k +1)Γ(n + 1) = m+2k− = k=0 2 k!(m + k + 1) 2 Γ(m + n + k + 2) n k m+n+2k+1 P 2 ∞ ( 1) x = Γ(n + 1) n+1 − = x k=0 k!Γ(m + n + k + 2) 2 2n = Γ(n + 1) JP (x) , xn+1 m+n+1 hay n+1 ∞ x m+1 2n+1 Jm+n+1 (x)= n Jm (x sin t)sin t cos tdt, (m,n > 1). (2.15) 2 Γ (n + 1) 0 − R tích phân này có được bởi Sonhin.
57 Tương tự ta có công thức tích phân thứ hai của Sonhin π m n x y Jm n x2 + y2 2 m n + +1 Jm (x sin t) Jn (y cos t)sin +1 t cos +1tdt = , (m,n > 1). (2.16) (m+ n + 1) − 0 2 2 p /2 R (x + y ) Công thức cũng thuộc về Sonhin √ 2 2 ∞ Jn b t + x m+1 Jm (at) n t dt = 0 (t2 + x2) /2 R n m 1 am √a2 b2 − − − 2 2 n Jn m 1 x√a b , 0 b> 0 (2.17)  Để kết luận công thức công thức này chúng ta nhận thấy rằng trong tích phân Sonhin – Slepbli (1.23), theo bổ đề Gioocdan có thể nhận được chu tuyến của tích phân C∗ của đường thẳng Im ζ = c > 0. Chúng ta nhận được khái niệm tích phân hàm Bexala(Xinhi) 2 c+i z λ ∞ ζ 1 z − λ 1 J (z) = e 4ζ ζ− − dζ. (2.18) λ 2πi 2 c Zi − ∞ 2 2 Khi thay vào vế trái công thức (2.17) Jn b√t + x theo công thức thứ (2.18). Chúng ta tìm được vế trái này bằng b2(t2 + x2) c+i ζ 1 n dζ ∞J (at) b tm+1 ∞e − 4ζ dt = 2πi m 2  ζn+1  0 c i  R  −R∞  t2 + x2 b c+i 2 ω  1 ∞ m+1 ∞  − ω  dω = Jm(at)t  e  dt 2πi   ωn+1 0 c i  R  −R∞  2ζ   (ta thay /b = ω và sử dụng b > 0, sự thay đổi này không thay đổi đường đi của tích phân). Khi chuyển đổi ở đây thứ tự tích phân và khi sử dụng tích
58 phân Vêbe (2.14). Ta được x2 b c+i 2 ω 2 1 ∞ n 1  − ω  ∞ bt / m+1 ω− − e dω e− 2ωJm (at) t dt =   2πi c i 0 − ∞ 2 (2.19) R R 2 2 bx m c+i b −a a 2b ω ∞ − 2ω m n = m+1 e ω − dω 2πib c i −R∞ Khi a>b tích phân này bằng 0, thực tế trong trường hợp này hệ số ω chỉ số mũ bậc e âm và theo bổ đề Grordana thì tích phân thu nhận như giới hạn tích phân theo đường cắt (c id,c + id). − 2.1.5. Tích phân của thuyết sóng điện Chúng ta tách công thức 2 2 1 τ√p2+a2 J0 a t τ η (t τ) = e− (2.20) − − p2 + a2 p Công thức trên chúng ta rút ra từ côngp thức (1.22) khi đặt ở nó n =0 và z = a√t2 τ 2, ta có − a√t2−τ2 1 1 2 ω dω J a t2 τ 2 = e −ω ! , 0 − 2πi ω ωZ=1 p | | thay t + τ ω = ζ, t τ r − t τ đường tròn ω =1 sẽ chuyển qua vào đường tròn ζ = − và vì vậy nếu | | | | t+τ hàm thuộc tích phân có một điểm đặc biệt ζ =0, thì đườngq tròn này có thể thay bằng đường tròn ω =1 , ta được công thức | | 1 aτ 1 at 1 2 ζ + ζ+ dζ J a t2 τ 2 = e −ζ ! 2 ζ ! (2.21) 0 − 2πi ζ ζZ=1 p | | Khi sử dụng công thức này chúng ta sẽ tìm thấy được biểu diễn theo
59 Laplace ở vế trái công thức (2.20), ta coi τ và Re p > 0, ta có a 1 1 aτ ∞ ∞ t p ζ 2 ζ+ pt 2 2 1 − " − − !# ! dζ e− J a t τ dt = e 2 ζ dt e ζ 0 − 2πi   ζ Zτ ζZ=1 Zτ  p | | (2.22)   (chúng ta đã thay đổi trật tự tích phân), do đó ta có vế thực của hệ số a 1 Re p ζ =Re (p ai sin ϕ) = Re p > 0 − 2 − ζ − (chúng ta đưa ra ζ = eiϕ và cho a là số thực), vì vậy tích phân dễ dàng được tách ra a 1 a 1 τ p ζ ∞ t p ζ e− " − 2 −ζ !# e− " − 2 −ζ !#dt = . a 1 Zτ p ζ − 2 − ζ Khi đặt giá trị này vào tích phân (2.22) ta được ∞ ζp pt 2 2 e− aτζ dζ e− J0 a t τ dτ = e . − − aπi 2 2p Zτ ζZ=1 ζ ζ 1 p | | − a − p p2 + a Hàm dưới dấu tích phân ở đây có hai cực ζ = ± trong số 1,2 a đó một cực nằm trong vòng tròn ζ 0, Re p + a > 0 nghiệm ζ2 = 1 − p p2 + a2 nằm trong đường tròn và theop định lý về thặng dư tích a − phân cuốip cùng bằng 2 2 τp aτζ2 τ√p +a ∞ pt 2 2 e e e− e− J0 a t + τ dt = 2πi = , p 2 2 ∫τ −aπi 2ζ2 2a p + a p − trùng với công thức (2.20) p Bằng cách chính xác như vậy thu được kết quả chung nhất đối với n nguyên không âm bất kỳ n τ p2+1 2 2 e √ p2 +1 p Jn √t + τ − η (t τ)(t τ)n = − . (2.23) − − (t2 τ 2)n/2 pp2 +1 − p
60 2.1.6. Dao động của dây xích Cho rằng chuỗi xích nặng đồng loại AMB chiều dài l được cheo thẳng đứng tại điểm B và dưới tác động lực kéo thực hiện các dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Nếu biểu thị thông qua là thời gian x. Chiều dài chuỗi xích từ điểm a đến điểm chuyển động M và qua n = u(x, t) nghiêng của điểm M từ chiều thẳng đứng hình 2.1, thì phương trình của các dao động nhỏ sẽ có dạng ∂2u ∂2u ∂u = g x + , (2.24) ∂t2 ∂x2 ∂x trong đó g là gia tốc lực kéo. Khi theo Becnuli, chúng ta sẽ giải chương trình Hình 2.1 này bằng phương pháp nhân chia các đường chuyển động. Đối với điều này chúng ta sẽ tìm ra cách giải phương trình riêng, có dạng sinh của hai hàm, trong số đó một hàm chỉ phụ thuộc vào đường di chuyển x, còn hàm khác phụ thuộc vào t u =X(x)T(t) . Khi đặt điều này vào (2.24), sau các biến đổi đơn giản chúng ta sẽ có T (t) xX (x)+X (x) 00 = g 00 0 T(t) X(x) Vì bên trái ở đây là hàm của một biến t, còn bên phải là hàm một biến x, cho nên đẳng thức chỉ có thể sảy ra khi cả hai vế bằng cùng một hằng số.
61 Khi đó phương trình cuối cùng có dạng 2 2 ω T00 (t) + ω T(x)=0, xX00 (x)+X0 (x) + X(x)=0. (2.25) g Giải phương trình đầu có dạng T(t) =Asin(ωt + ϕ) , ở đó A và ϕ là điểm cố định, còn phương trình thứ hai có dạng phương trình ω2 (2.2) khi a =1, b =0, c = , α =1. Theo công thức (2.4) chúng ta sẽ tìm g g được µ =2, v =0, k = và do đó, phép thế (2.3) trong trường hợp của 4ω2 g chúng ta có dạng x = t2 hoặc t = 2ω x, đưa phương trình đến dạng 4ω2 g phương trình hàm tuần hoàn với chỉ số x q= 0, như đã thấy từ phép tương ứng (2.6). Bằng cách như vậy việc giải phương trình (2.25) sẽ có dạng x x X(x)=BJ 2ω + CY 2ω , 0 g 0 g r r ở đó B và C là các điểm cố định. Từ các lý giải vật lý rõ ràng là khi x 0 việc giải g phải có giới hạn, do → đó C =0, có thể coi điểm cố định B =1, vì thừa số tuỳ ý A đã đưa vào giải thích đối với T . Bằng cách như vậy chúng ta sẽ tìm cách giải riêng phương trình (2.24) ở dạng x u =AJ 2ω sin(ωt + ϕ) (2.26) 0 g r Đại lượng ω có thể có giá trị tuỳ ý, vì từ điều kiện đó dây xích được treo tại điểm B, chúng ta sẽ tìm u(l, t)=0 đối với tất cả các t, chỉ có thể có điều này trong trường hợp, nếu l J0 2ω =0, (2.27) sg! α từ đó ω = ω = κ g , trong đó α là số 0 của hàm Becnuli bậc 0. κ 2 l κ Phương trình (2.26)p cho thấy rằng tất cả các điểm xích sẽ thực hiện các α dao động ngang với tần xuất tương đương ω = g với biên độ thay đổi κ 2 l p
62 x x từ điểm đến điểm theo quy luật AJ0 2ωk g = AJ0 αk l (Khi x = 0 hàm số J0(x)=1, do vậy điểm cố định Aqthể hiện biên độp dao động vòng tròn tự do của chuỗi). Tần xuất dao động và dạng chuỗi xích dao động có thể là khác biệt, phụ Hình 2.2 thuộc vào số 0 ακ của hàm J0(x) được xét trong hình 2.2 diễn giải các quy luật thay đổi biên độ điểm của chuỗi khi k = 0, 1, 2. Thường các dao động của chuỗi nhận các dao động (2.26) với các biên độ khác biệt và chu kỳ đầu tiên. ∞ x u (x, t) = A J α sin(ω t + ϕ ) (2.28) κ 0 κ l κ κ κ=0 r X Để xác định hệ số Aκ và ϕκ, cần đưa ra chênh lệch và vận tốc đầu tiên các điểm của chuỗi , nghĩa là u (x, 0) = f (x) , ∂(u) = ϕ (x). ∂(t) |t=0 Khi đó chúng ta sẽ có điều kiện ∞ x ∞ x f (x) = A J a sin ϕ 0 g (x) = A ω J a cos ϕ 0 . κ 0 κ l κ κ κ 0 κ l κ κ=0 r κ=0 r X X Những điều kiện mà khi biểu thị x/l = τ và f lτ 2 = F (τ) , g lτ 2 = G (τ), có thể viết lại dưới dạng khaip triển phụ đề khái quát ∞ ∞ F (τ) = Ak sin ϕkJ0 (aκτ) , G (τ) = Akωκ cos ϕkJ0 (aκτ) . (2.29) κ=0 κ=0 X X Từ khai triển theo công thức (1.49) có thể tìm được các hệ số Aκ và ϕκ.
63 Becnulli đã giải phương trình (2.25) với sự giúp đỡ của chuỗi đưa đến điều kiện (2.27) và nhận thấy chuỗi xích có thể tập hợp vô hạn các dạng sợi chỉ dao động . 2.1.7. Dao động của màng tròn Độ võng u = u(x,y,t) chênh lệch từ trạng thái cân bằng của màng, − đang thực hiện các dao động nhỏ dưới tác động của lực kéo, dẫn đến phương trình ∂2u ∂2u ∂2u = a2 + , (2.30) ∂t2 ∂x2 ∂y2 ở đó a2 =T/σ, T sức kéo và σ mật độ bề mặt. Trong công trình đã công − − bố năm 1764, Euler đã xem xét bài toán về các dao động của màng xung quanh. Euler đã tìm từ phương trình ∂2u 1 ∂u ∂2u ∂2u a2 + + = , (2.31) ∂r2 r ∂r ∂ϕ2 ∂y2 phù hợp với phương trình (2.30) tại các toạ độ cực tính. Để xây dựng cách giải phương trình giêng (2.3) Euler giả định u = R (r)sin(ωt + y)sin(λϕ + δ) ở đó có ω, λ và δ l là các điểm cố định, và sau phép thế vào (2.31) sẽ được − 2 2 ω 2 r R00 + rR0 + r λ R =0, (2.32) a2 − sau khi chuyển từ r đến điểm duy chuyển mới p = rω/a phương trình cuối tiếp nhận dạng thông thường của phương trình hàm tuần hoàn 2 2 2 ρ R00 + ρR0 + ρ λ R =0. (2.33) − Từ các lý giải vật lý rõ ràng là chu kỳ của hàm theo ϕ phải bằng 2π, do vậy, λ cần phải là số nguyên. Đối với các giá trị như thế Euler thu được cách giải phương trình riêng (2.32) của dạng ωr u = AJ sin (ωt + γ) sin(nϕ + δ) . (2.34) n a Nếu màng bao tại các đường tròn, thì khi r = r , trong đó r là bán 0 0− ωr0 (n) a (n) kính của màng, cần phải có Jn a =0, từ đó ω = ωκ = ak , trong đó r0 (n) aκ là κ của hàm Jn(x).
64 Euler cũng nhận thấy rằng tồn tại tập vô hạn các dao động màng có thể khi n =0 hàm số u không phụ thuộc vào ϕ r u = A J α sin(ω t + γ ) , (2.35) k 0 k r k k 0 nghĩa là tất cả các điểm của màng nằm ở khoảng cách tương đồng từ tâm, dao động tương đồng. Các điểm của màng thực hiện những dao động hài aα r hoà, với tần xuất tương đồng ω = k và với biên độ A J α , phụ k r k 0 k r 0 0 thuộc vào khoảng cách điểm đến tâm. Trong hình 2.3 diễn tả quy luật thay Hình 2.3 đổi biên độ dao động của các điểm riêng biệt của màng khi k =0, 1, 2. Loại hình dao động chung nhất có được bởi phép cộng của các dao động (2.34) với các điểm n và k khác biệt ∞ u = A J α(n) r sin ω(n)t + γ sin(nϕ + δ ) (2.36) nk n k r0 k nk nk n,X k=0 Với vị trí và độ lệch của màng được đưa ra đầu tiên có thể tìm thấy các hệ số Ank, γnk, δnk khi sử dụng tính trực giao của các hệ thống hàm hình học và hàm tuần hoàn. 2.1.8. Nguồn nhiệt hình trụ Dòng nhiệt mặt phẳng song song mà tại đó phân bổ nhiệt độ và tất cả các mặt phẳng (II), vuông góc với hướng cố định nào đó, tương đương, được
65 viết bởi phương trình vi phân ∂u ∂2u ∂2u = a2 + (2.37) ∂t ∂x2 ∂y2 ở đó t là thời gian, a là hệ số cố định và x, y là các tọa độ Đề các. Tại một trong những mặt phẳng (II). Bằng kiểm tra vi phân trực tiếp là hàm số (x ξ)2 +(y η)2 A − − u = e− 4a2t , (2.38) t ở đó A, ξ, và η là cố định thoả mãn phương trình (2.37). Hiển nhiên là khi t 0 tại điểm bất kì z = x + iy, khác với ζ = ξ + iη, hàm số u 0 , còn → → tại điểm ξ hàm này tiến đến . Cho nên có thể nói rằng (2.38) về mặt vật ∞ lý học thể hiện nhiệt độ xuất hiện tại điểm z từ tác động của nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t =0 tại điểm ζ. Chúng ta sẽ tính nhiệt độ tổng Hình 2.4 xuất hiện tại điểm z từ tác động của nguồn nhiệt điểm tức thời, t =0 được phân bố đều dọc theo vòng tròn ζ = p. Chúng ta sẽ cho rằng tác dụng từ | | các nguồn được phân phối trên cung nhỏ pdϑ của vòng tròn này, bằng với tác dụng từ một nguồn điểm. Khi đó nhiệt độ từ tác động của nguồn này xác định theo công thức (2.38) z ζ 2 r2 + p2 2pr cos ϑ Adθ | − | Adθ − du = e− 4a2t = e− 4a2t , t t
66 ở đó z = reiϕ, ζ = pei(ϑ+ϕ) hình 2.4. Khi lấy tích phân biểu thức này theo ϑ từ π đến π, chúng ta sẽ tìm được nhiệt độ tổng cần tìm − r2 + p2 π A 2 pr cos ϑ u = e− 4a t e 2a2t dϑ. t Zπ − Ở đây có thể thay hàm cos ϑ thành hàm sin ϑ, vì phép thế này chỉ tương π tự với phép thế biến đổi ϑ thành ϑ , thay vì giới hạn của tích phân − 2 3π , π có thể một lần nữa lấy π.π, mà không làm thay đổi đại lượng tích − 2 2 − phân, Chúng ta có r2 + p2 2πA pr u = e− 4a2t I . (2.39) t 0 2a2t Để giải thích ý nghĩa vật lý của A chúng ta sẽ tính tổng lượng nhiệt cần thu được tại mặt phẳng z phân bổ nhiệt độ của chúng ta. Nếu biểu thị thông qua nhiệt dung riêng c và qua mặt phẳng bề mặt chất σ, thì nhiệt trên thành phần diện tích rdrdϕ sẽ là dQ = cσurdrdϕ, mà trên toàn bộ mặt phẳng. 2π p2 r2 ∞ 2πAcσ ∞ pr Q = cσ dϕ ur dr = e−4a2t2π e−4a2tI rdr t 0 2a2t Z0 Z0 Z0 Khi tính toán tích phân Veber (2.14) của mục này ( ở đó n, a và b2 trong pi 1 trường hợp của chúng ta p bằng tương đương 0, 2a2t, 4a2t), chúng ta sẽ tìm r2 ∞ 2 2 pr 2 p e−4a tI rdr =2a te 4a2t . 0 2a2t Z0 Do vậy, Q =8π2Acσa2 và biểu thức đối với u đưa đến dạng cuối cùng r2 + p2 Q pr u = e− 4a2t I . (2.40) 4πa2cσt 0 2a2t Khi chuyển từ vùng nhiệt của mặt phẳng đến có thể cho rằng công thức (2.40) đưa ra biểu thức đối với nhiệt độ xuất hiện từ tác động của nguồn nhiệt tức thời, vào thời điểm t = 0 được phân bố đều trên một số chu kỳ (nguồn nhiệt tuần hoàn). Vì vậy, Q biểu thị tổng nhiệt lượng có trong dải chiều dài l và chuyển dịch đến trục của chu kỳ.
67 2.1.9. Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn Lấy các toạ độ trên bề mặt của hình trụ tròn ρ để giữ cho nhiệt độ tương đương bằng u0cos ωt. Chúng ta tìm sự phân bố nhiệt độ theo các điều kiện trong đó nhiệt độ ban đầu bên trong hình trụ là bằng 0. Do bài toán bao hàm các điểm đối xứng của hình trụ, nên sẽ tạo ra các toạ độ hình trụ là r, ϕ, z. Nhưng bởi vì từ đây u sẽ không phụ thuộc vào z và ϕ nên phương trình độ dẫn nhiệt sẽ có dạng sau ∂u ∂2u 1 ∂u = a2 + , (2.41) ∂t ∂r2 r ∂r theo đó u = 0, u = u cos ω t trở thành điều kiện đường t =0 r = ρ 0 biên. Bài toán sẽ giải được theo phương pháp mở từ đó dẫn đến sự tái thiết lập Laplace theo biến số t, chúng ta thu được phương trình mở sau d2U 1 dU ρ + U =0. dr2 r dr − a2 Phương trình này cần phải có điều kiện sau ρu U = 0 r = ρ p2 + ω2 Kết quả chung của phương trình mở này phải phù hợp với công thức (1.43) và công thức (1.72) sẽ là √ρ− √ρ− U = AJ ir + BY ir 0 a 0 a √ρ− (chúng ta có λ = 0, α = i) theo đó U bị hạn chế, với n , khi đó a → ∞ B =0 và √ρ− U = AI r . 0 a − ρu Đặt các điều kiện về khoảng chúng ta tìm ra AI √ρ ρ = 0 và 0 a ρ2 + ω2 khi đó phương trình mở sẽ có dạng √ρ− I r 0 a ρ U = u0 2 2 . (2.42) √ρ− ρ + ω I ρ 0 a
68 Công thức U(ρ) có số cực dương không xác định, từ đó hai số ρ = iω, 2 ± còn các số âm còn lại là ρ = aαk , α có bậc không, ta có k − ρ k π √ω− i 4 I0 r e r aαk  a ∞ J0 αk 3 ( ρ )  ! iωt 4 ρ αke− u (r, t) = uo Re π e +2a 4 4 4 2   J(αk) a α + ρ ω   √ω− i k=0 0 k   I0 ρ e 4 X  a !     Nếu hạn chế công thức (1.86) ta có  π i − I0 xe 4 = I0 x√i = ber x + ibeix ! √ω αk và để thực hiện a = λ, ρ = βk khi đó ta được ber λr ber λρ+bei λr bei λρ u (r, t) = u0 ber2 λρ+bei2 λρ cos ωt+ ber λr bei λρ bei λr ber λρ + n − sin ωt+ ber2 λρ + bei2 λρ (2.43) 4 2 2 t 3 2a ∞ a β k J0 (rβk) βk + e− 4 4 2 a βk+ω ρ k=0 J00 (ρβk) P o 2.2. Một số ứng dụng khác Bài toán 2.1. (Biểu diễn tích phân Bessel của hàm trụ). Hàm trụ loại thứ nhất Jn(z) bậc nguyên n được xác định như là hệ số với ωn trong phần khai triển của Laurent 1 z (ω ) ∞ 2 − n e ω = Jn(z)ω . n= X−∞ Có thể biểu diễn hàm Jn(z) dưới dạng chuỗi lũy thừa. Muốn vậy cần nhân − z . 1 z . 1 các chuỗi đối với e 2 ω và e 2 ω , chúng ta có 1 z n 2 (ω ) ∞ 1 z ∞ ( 1) z 1 e −ω = ( )nωn. − ( )n . nl 2 nl 2 ωn n=0 n=0 X X Từ đó hệ số với ωn(n =0, 1, 2, ) bằng k ∞ ( 1) z n+2k J (z) = − n (n + k)!k! 2 Xk=0
69 1 và hệ số với (n =0, 1, 2, ) bằng ωn n J n(z)=( 1) Jn(z). − − Bây giờ chúng ta tìm được biểu thức đối với Jn(z) một cách trực tiếp nhờ công thức xác định hệ số của chuỗi Laurent: 1 z 1 2 (ω ) dω J (z) = e −ω n 2πi ωn+1 CZ chúng ta biến đổi biểu thức này, muốn vậy chúng ta chọn làm C đường tròn ω =1 và đặt ω = eit, chúng ta nhận được | | 2π 2π 1 iz sin t nit 1 Jn(z) = 2πi e e− idt = 2π cos(nt z sin t)dt = 0 0 − 2π R 1 R = 2π sin(t z sin t)dt 0 − R Nhưng tích phân thứ hai bằng 0, vì theo tính chất tích phân của hàm tuần hoàn, các khoảng lấy tích phân (0, 2π) có thể thay thế bởi khoảng lấy tích phân ( π, π), còn hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. Như vậy, − 2π J (x) = 1 cos(nt z sin t)dt. n 2π − Z 0 Hệ thức nhận được gọi là tích phân Bessel có cho biểu diễn hàm trụ dưới dạng tích phân và được áp dụng hiệu quả trong vật lí toán. Bài toán 2.2. (Bài toán tìm công thức tiệm cận đối với hàm trụ). 1 x 1 2 (x ) dz J (λ) = e −z , (2.44) n 2πi zn+1 zZ=t | | 1 1 1 1 1 ở đây, ϕ(z) = ,f(z) = (x ), f 0(z) = (1 + ), vì thế có 2 điểm 2z+1 2 − z 2 z2 khoảng cách z = i bậc như nhau Ref(z)=0, do vậy chúng ta có 1,2 ± π in ∓ ϕ( i) = ie 2 , f( i) = i, f 00( i) =1. ± ∓ ± ± | ± |
70 x 1 Do đó ta có phần thực u = Re f (z) = 1 = 0, khi cho 2 − x2 + y2 z =1 và x =0 chúng ta tìm được ϑ = 3π/ , ϑ = π/ . Do vậy chúng ta có | | 1 4 2 4 công thức tiệm cận cần tìm π 3π π π 1 λ n + i λ n i − − 2 4 ! − − 2 − 4 ! Jn (λ) e + e = ∼ √2πλ     2 π π = cos λ n  πλ − 2 − 4 r Bài toán 2.3. (Bài toán hỗn hợp trong hình trụ). Cho y và ϕ và x là hình trụ toạ độ(y là véc tơ bán kính). Trong hình trụ tròn 0 y 0, bề mặt của nó y =1 cho giá trị hàm u: trên phần còn lại x 0. (2.46) − u (x, 1 0) = h (x) , x < 0. (2.47) y − u (x, y) là bị chặn khi y , (2.48) | | →∞ tại g(x) và h(x) là hàm trên đã cho. Ta sẽ áp dụng cả hai phần của phương trình (2.44) toán tử V 1 x2U (x, y) + U (x, y) + U (x, y)=0, 0 < y < 1. (2.49) − y y yy phương trình nhận được dẫn đến phương trình của Becel. Cách giải chung của phương trình (2.49) có dạng U (x, y) = C (x) I0 (xy) + C1 (x) K0 (x, y) ở đó I0(x) và K0(x) là các hàm hình trụ của đối số ảo, còn C(x) và C1(x) là các hàm sinh. Trong mối liên hệ với điều kiện (2.48) ta suy đoán C (x) 0. 1 ≡
71 Như vậy U (x, y) = C (x) I (x, y) , 0, 0, x > 0, g+ (x) = h (x) = ( 0, x < 0, − ( h (x) , x < 0, còn f+(x) và f (x) là các hàm chưa biết dạng (2.45) và (2.46). − Ta sẽ đưa ra các phép biến đổi các đẳng thức Fourier (2.50), (2.51) + + U (x, 1 0) = F − (x) + G (x) , U (x, 1 0) = F (x) + H− (x) . (2.53) − y − Từ đẳng thức (2,50) và (2.52) ta đưa ra + xI1 (x) xI1 (x) + F (x) = F − (x) H− (x) + G (x) , < x < I0 (x) − I0 (x) −∞ ∞ Sau khi xác định được hàm F −(x), ta cần tìm lời giải 1 I0 (xy) + u (x, y) = V − F − (x) + G (x) . I (x) 0
KẾT LUẬN Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết hàm trụ nói riêng có tầm quan trọng trong toán học. Trong luận văn này đã tập trung nghiên cứu hàm trụ trên trường số phức. Luận văn đã trình bày trọng tâm khái niệm hàm trụ trên trường số phức cùng một số tính chất quan trọng của chúng, sau đó luận văn trình bày một số ứng dụng của hàm trụ gồm: Ứng dụng để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học • – Định lí cộng đối với các hàm Bessel. – Những phương trình vi phân giải được nhờ hàm trụ. – Các tích phân có chứa hàm Bessel. – Tích phân Sonhin. – Tích phân của thuyết sóng điện. – Dao động của dây xích. – Dao động của màng tròn. – Nguồn nhiệt hình trụ. – Sự truyền nhiệt trong hình trụ tròn. Một số ứng dụng khác • – Biểu diễn tích phân Bessel của hàm trụ. – Bài toán tìm công thức tiệm cận đối với hàm trụ. – Bài toán hỗn hợp trong hình trụ. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng song chắc chắn luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến và nhận xét để luận văn được đầy đủ và hoàn thiện, đồng thời tác giả cũng có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này.
73 Một lần nữa, cho em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy cô trong Khoa Toán, các thầy cô Phòng Sau Đại học Trường ĐHSP Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân trong gia đình, đặc biệt là PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này.
Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Hàm một biến phức Lý thuyết và ứng dụng, − NXB Giáo dục, Hà Nội. [2] Đinh Văn Phiêu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Thu Nga, Nguyễn Huy Lợi (1984), Bài tập hàm số biến phức, NXB Giáo dục, Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [4] Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. [5] B. V. SABAT (1979), Nhập môn giải tích phức, tập 1 và tập 2, NXB ĐH và THCN, Hà Nội. [6] G. M. Fichtengon (1972), Cơ sở giải tích toán học, NXB ĐH và THCN, Hà Nội. [7] L. I. Vonkovưski, G. L. Lunxơ, L. G. Aramnovich (1980), Bài tập lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH và THCN, Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Nga [8] M.A.Lavrentev i B.V.Xabat (1973), MeTody Teorii funkci kom- pleksnogo permennogo, IZDATELSTVO ”NAUKA” GLAVNA REDAKCI FIZIKO- MATEMATIQESKO LITERATURY , Moskva.